Sygnały i Systemy. Streszczenie Zadania na Przedmiot Sygnały i Systemy realziowany w katedrze telekomuniakcji AGH.

Transkrypt

1 Sygnały i Systemy Piotr Guzik Krzysztof Rusek Streszczenie Zadania na Przedmiot Sygnały i Systemy realziowany w katedrze telekomuniakcji AGH. Problemset for Signals and system teached ath department of telecommunications AGH. 1 Tablica wzorów/table of formulas x(t) = a 0 + n= a n cos(nω 0 t) + b n sin(nω 0 t) X 0 = a 0, X k = a k jb k, X k = a k+jb k T P x = lim T 1 T T x (t)dt P x = 1 t 0+T 0 T 0 x (t)dt = t 0 x = x(t) dt ( t T ) T Sa( ωt ) ( t T ) T Sa ( ωt ) Sa(W t) π W ( ω W ) Sa (W t) π W ( ω W ) sgn(t) jω e αt e α t π α e ω 4α α α +ω n= X n cos(ω 0 t) π(δ(ω ω 0 ) + δ(ω + ω 0 )) sin(ω 0 t) iπ(δ(ω ω 0 ) δ(ω + ω 0 )) X(t) πx( ω) x(t t 0 ) X(ω)e jωt0 x(t)e jω0t X(ω ω 0 ) x(t)y (t)dt = 1 X(ω)Y (ω)dω π x(t)y(t) 1 π X(ω) Y (ω) x(t) y(t) X(ω)Y (ω) dx dt jωx(ω) cos(α)cos(β) = 1 (cos(α + β) + cos(α β)) δ(x x 0 )f(x) = δ(x x 0 )f(x 0 ) + δ(x x 0 )f(x)dx = f(x 0 ) δ(x x 0 ) f(x) = f(x x 0 ) 1

2 R(τ) = lim T 1 T R(τ) = 1 t 0+T 0 T 0 R(τ) = + t 0 T T x(t)x(t τ)dtdt x(t)x(t τ)dt x(t)x(t τ)dt

3 Ortogonalność i szeregi Fouriera/ Orthogonali and Fourier series Zadanie 1 Proszę wyznaczyć rozwinięcie impulsu trójkątnego x(t) w ortogonalny szereg Walsha. Find orthogonal Walsh expansion of triangle pulse: ( ) t 0.5 x(t) = 0.5 (1) Zadanie Proszę rozwinąć w trygonometryczny szereg Fouriera sygnały: a) x(t) = cos(at) dla π < t < π i a nie będącego liczbą całkowitą. b) x(t) = sgncos(t) Expand signals: a) x(t) = cos(at) for π < t < π, a Z b) x(t) = sgncos(t) into trigonometric Fourier series. Zadanie 3 Proszę wyznaczyć postać trygonometryczną szeregu Fouriera o postaci wykładniczej: Find trigonometric form of Fourier series expansion of the signal x(t) = 4 ( ) 1 + j k e jkω 0t. k= 4 Zadanie 4 Proszę tak dobrać stałe rzeczywiste α, β, γ, aby dwa wielomiany x 1 (t) = α i x (t) = β + γt były ortonormalne na przedziale [0, 1]. Choose α R, β R, γ R, so that two polynomials x 1 (t) = α i x (t) = β + γt are ortonormal in [0, 1]. Zadanie 5 Proszę wykazać, że zbiór coskω 0 t, k = 0, 1,... jest ortogonalny w przestrzeni L ( 0, T ), T = π ω 0. Proszę też sprawdzić, czy jest to zbiór ortonormalny, a jeśli nie, to przeprowadzić jego normalizację. Prove that the set coskω 0 t, k = 0, 1,... is ortogonal in L ( 0, T ), T = π ω 0. Check, whether this set is also ortonormal, and if it is not, normalize it. Zadanie 6 Proszę rozwinąć w trygonometryczny szereg Fouriera sygnał x(t) = t w przedziale [ π; π]. Przyjmując w otrzymanym rozwinięciu t = π, wyrazić w postaci nieskończonego szeregu liczbowego liczbę π 6 Find trigonometric form of Fourier series expansion of the signal x(t) = t on the interval [ π; π]. Adopting t = π, represent π 6 as infinite series. Zadanie 7 Proszę wyznaczyć aproksymację sygnału x(t) = sin(πt) za pomocą ortonormalnych na przedziale [0, 1] wielomianów x 1 (t) = 1 i x (t) = 3(1 t), tak aby błąd kwadratowy tej aproksymacji był minimalny. Find an approximation of the signal: x(t) = sin(πt) with use of polynomials: x 1 (t) = 1 i x (t) = 3(1 t), which are ortonormal in [0, 1]. Zadanie 8 Oblicz transformatę Fouriera sygnału wykładniczego malejącego: Find Forier transform of the signal:. x(t) = X 0 e αt Zadanie 9 Proszę wykazać, że trygonometryczny szereg Fouriera odpowiadający sygnałowi o tzw. symetrii obrotowej zawiera wyłącznie harmoniczne nieparzyste. Sygnał ma symetrię obrotową, jeżeli spełniony jest warunek x(t) = x ( ) t + T0. Prove, that the trigonometric Fourier series of a signal satisfying the condition: x(t) = x ( ) t + T0 contains only odd harmonics. 3

4 3 Fourier Zadanie 10 Oblicz transformatę Fouriera sygnału: x(t) = X 0 e αt. Zadanie 11 Proszę wyznaczyć transformatę Fouriera impulsu prostokątnego X 0 ( t T ). Proszę wyznaczyć także widmo tego sygnału. Proszę narysować wykresy przedstawiające widmo amplitudowe i fazowe tego sygnału. Zadanie 1 Proszę obliczyć transformatę Fouriera sygnału danego wzorem: 1 gdy 1 < t < 3 x(t) = 1 gdy 3 < t < 1 0 w pozostałych przypadkach () Zadanie 13 Proszę zapisać sygnał x(t) jako sumę dwóch sygnałów prostokątnych i obliczyć transformatę Fouriera tego sygnału jeszcze raz, korzystając ze znajomości transformaty Fouriera sygnału X 0 ( t T ). Zadanie 14 Wyznaczyć transformatę Fouriera sygnału danego wzorem: X 0 Sa ω 0 t. Proszę skorzystać z twierdzenia o symetrii oraz twierdzenia o splocie w dziedzinie czasu. Zadanie 15 Wiedząc, że: e iω0t πδ(ω), wyznacz transformatę Fouriera dowolnego sygnału okresowego x(t) o okresie T 0 = π/ω 0 reprezentowanego zespolonym szeregiem Fouriera: 4 MOC x(t) = k= Zadanie 16 Proszę, korzystając z twierdzenia Rayleigha, udowodnić, że: X k e jkω0t (3) dt (t + a ) (t + b ) = π ab (a + b) (4) dla a, b > 0. Zadanie 17 Wyznacz transformatę Fouriera sygnału x(t) = te πt. Zadanie 18 Proszę udowodnić tożsamość: sinw t lim = δ(t) (5) W πt Zadanie 19 Sygnały x(t) i y(t) są sygnałami dolnopasmowymi o szerokości pasma równej odpowiednio W x oraz W y. Proszę udowodnić, związek W xy = W x + W y (szerokość widma iloczynu sygnałów jest równa sumie szerokości widm sygnałów mnożonych). Zadanie 0 Układ wygładzający skokowe zmiany sygnału wejściowego x(t) realizuje operację: y(t) = 1 ɛ t+ɛ t ɛ x(τ)dτ (6) Uzasadnij, dlaczego operację realizowaną przez powyższy układ możemy nazwać wygładzaniem. Wyznacz związek pomiędzy transformatami Fouriera sygnałów X(ω), Y (ω). Uzasadnij, czy filtr dolnoprzepustowy może realizować wygładzanie skokowych zmian w sygnale wejściowym. Zadanie 1 Proszę udowodnić twierdzenie o splocie w dziedzinie częstotliwości: x(t)y(t) 1 X(ω) Y (ω) (7) π 4

5 5 Próbkowanie Zadanie Na wejście filtru o charakterystyce amplitudowej A(ω) = 1 ( ω ) i fazowej φ(ω) = π sgn(ω) jest podany sygnał x(t). Proszę wyznaczyć i narysować widmo amplitudowe i fazowe sygnału y(t) na wyjściu z filtru. Obliczyć moce P x i P y (lub, zależnie od przypadku, energie E x i E y ) sygnałów x(t) i y(t). a) x(t) = b) x(t) = 1(t) c) cos(t) d) sin(t) e) cos (t) + 4cos(t)cos(t) Zadanie 3 Sygnał acosω 0 t jest sygnałem wejściowym filtru o transmitancji H(ω) = H(ω) e jφ(ω). Proszę wyznaczyć sygnał wyjściowy filtru. Zadanie 4 Sygnał x(t) X(ω) jest sygnałem dolnopasmowym - X(ω) = 0 dla ω > W. Tworzymy sygnał spróbkowany: x (t) = x(nt )δ(t nt ) (8) n= Proszę wyznaczyć widmo sygnału spróbkowanego, a następnie udowodnić, że w przypadku W = π T, a więc gdy próbkujemy z częstotliwością dwukrotnie większą od częstotliwości granicznej W sygnału x(t), filtracja sygnału spróbkowanego x (t) w idealnym filtrze dolnoprzepustowym o szerokości pasma przepustowego W i transmitancji T ( ) ω W Sa(W t) pozwala odtworzyć sygnał x(t) z sygnału spróbkowanego x (t). Proszę wyrazić wartości sygnału x(t) w dowolnej chwili poprzez wartości jego próbek x(nt ), n = 0, ±1, ±,... Zadanie 5 Proszę wyznaczyć i zbadać odpowiedź skokową 1 W (t) idealnego filtru dolnoprzepustowego o transmitancji H(ω) = W (ω) na skok jednostkowy x(t) = 1(t). Sygnał wejściowy narasta od zera do jedności w nieskończenie krótkim czasie. Skokowa zmiana poziomu sygnału na wyjściu filtru jest rozciągnięta w czasie. Jako czas narastania t n sygnału wyjściowego określamy czas, w którym sygnał wyjściowy narasta od swojej minimalnej do maksymalnej wartości. Proszę udowodnić związek: t n W = π = const. Proszę udowodnić, że poziom przesterowania sygnału wyjściowego (ponad poziom jednostkowy) jest niezależny od szerokości W pasma przepustowego filtru. Zadanie 6 Sygnał x(t) = 1(t)e αt, α > 0 jest sygnałem wejściowym filtru dolnoprzepustowego o charakterystyce amplitudowej: β H(ω) = (9) β + ω Wyznacz związek pomiędzy parametrami α oraz β tak, aby energia sygnału wyjściowego filtru była równa połowie energii sygnału wejściowego. Zadanie 7 Proszę udowodnić, że zbiór sygnałów {SaW (t kt ) : k = 0, ±1, ±,...} jest ortogonalny w przedziale czasu (, ), przy czym W = π T. Zadanie 8 Proszę wyznaczyć rozkład sygnału x(t) X(ω) w szereg względem ortogonalnych funkcji {SaW (t kt ) : k = 0, ±1, ±,...}, przy założeniu że widmo X(ω) sygnału x(t) ma skończone pasmo ω W i W = π T. Potrzebne transformaty Fouriera można odczytać z tablic. Zadanie 9 Dla podanych sygnałów proszę określić minimalną częstotliwość próbkowania oraz maksymalny okres próbkowania, zapewniające ich wierne odtworzenie z próbek: a) x(t) = Sa(100πt) b) x(t) = Sa (100πt) c) x(t) = A 0 + A 1 cos(π10 5 t + φ) d) x(t) = ASa(π10 4 t)cos(3π10 4 t) 5

6 Zadanie 30 Sygnał x(t) X(ω) jest sygnałem dolnopasmowym - X(ω) = 0 dla ω > W. Tworzymy sygnał spróbkowany: x (t) = x(nt )δ(t nt ) (10) n= Proszę wyznaczyć widmo sygnału spróbkowanego, a następnie udowodnić, że w przypadku W = π T, a więc gdy próbkujemy z częstotliwością dwukrotnie większą od częstotliwości granicznej W sygnału x(t), filtracja sygnału spróbkowanego x (t) w idealnym filtrze dolnoprzepustowym o szerokości pasma przepustowego W i transmitancji T ( ) ω W Sa(W t) pozwala odtworzyć sygnał x(t) z sygnału spróbkowanego x (t). Proszę wyrazić wartości sygnału x(t) w dowolnej chwili poprzez wartości jego próbek x(nt ), n = 0, ±1, ±,... Zadanie 31 Wykazać, że sygnał okresowy x(t) o okresie T nie zawierający składowych harmonicznych o pulsacjach większych od nω 0, gdzie ω 0 = π T, jest jednoznacznie określony przez n + 1 próbek pobranych w ciągu jednego okresu. Na przykładzie n = 1 wykazać, że chwile pobierania próbek mogą być wybrane dowolnie. 6 Moc? Zadanie 3 Korzystając z twierdzenia Parsevala oblicz moc sygnału: Zadanie 33 Proszę obliczyć funkcje autokorelacji sygnałów: x(t) = sin(13t)sin(5t)cos(8t)cos(3t) (11) (a) x(t) = (t) (korzystając ze związku autokorelacji z widmową gęstością energii) (b) x(t) = Acos(ωt + φ) (c) x(t) = δ(t) (d) x(t) = A (1 e αt ) 1(t) Zadanie 34 Na wejście filtru o charakterystyce H(ω) = ( ω ω 0 ) podawany jest sygnał o funkcji autokorelacji równej R x (τ) = 1 t +α. Wyznacz energię sygnału na wyjściu z filtru. Skorzystaj z ze związku funkcji autokorelacji z widmową gęstością energii sygnału. Zadanie 35 Udowodnij, że funkcja autokorelacji rzeczywistego sygnału energetycznego spełnia nierówność: R(τ) R(0) = x(t) dt (1) Zadanie 36 Wyznacz funkcje korelacji wzajemnej (interkorelacji) sygnałów x 1 (t) = Asin(ω 1 t + φ 1 ) i x (t) = Bsin(ω t + φ ). Zadanie 37 Widmo sygnału x(t) ma postać X(ω) = e ω. Proszę wyznaczyć przebieg sygnału x(t), jego energię E x oraz funkcję autokorelacji R x (τ), korzystając z wiedzy, że transformatą Fouriera sygnału o postaci e α t (dla α > 0) jest α α +ω. Zadanie 38 Sygnał x(t) = 1(t)e αt, α > 0 jest sygnałem wejściowym filtru dolnoprzepustowego o charakterystyce amplitudowej: β H(ω) = (13) β + ω Wyznacz związek pomiędzy parametrami α oraz β tak, aby energia sygnału wyjściowego filtru była równa połowie energii sygnału wejściowego. 7 Losowe Zadanie 39 Rzucamy kostką do gry. Niech n oznacza liczbę oczek, które wypadły podczas rzutu. W zależności od tego, ile wypadło oczek, generujemy następujący proces losowy: 6

7 4A jeśli n = 1 A jeśli n = At jeśli n = 3 X(t, ζ) = At jeśli n = 4 A jeśli n = 5 4A jeśli n = 6 gdzie A jest stałą. Narysuj kilka przykładowych realizacji tego procesu. Oblicz prawdopodobieństwa: (14) P (X A, t = 4) P (X 0, t = 4) P (X A, t = ) Zadanie 40 Rozważmy proces losowy: n(t) = Acos(πf 0 t + Θ) (15) gdzie: f 0 jest stałą a Θ jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa danej przez: f(θ) = 1 π dla Θ π i 0 dla Θ > π. Policzyć średnią oraz wariancję tego procesu po czasie i po realizacjach. Zadanie 41 Rozważmy proces losowy: n(t) = Acos(πf 0 t + Θ) (16) gdzie: f 0 jest stałą a Θ jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa danej przez: f(θ) = 1 π dla Θ π 4 i 0 dla Θ > π 4. Proszę sprawdzić, czy ten proces jest stacjonarny i czy jest ergodyczny. Zadanie 4 Rozważmy proces losowy, który spełnia warunek: S(f) = { 1 N 0, f B 0 w przeciwnym razie (17) taki proces nazywany jest szumem białym o ograniczonym paśmie (ang. bandlimited white noise). Proszę znaleźć funkcję autokorelacji tego procesu. Zadanie 43 Sygnał dany jest wzorem X0 T t w przedziale (0, T ). Wyznacz funkcję autokorelacji tego sygnału. 8 Szumy Zadanie 44 Rezystor o rezystancji R jest połączony z kondensatorem o pojemności C jak pokazano na rysunku1. Jaka jest moc szumu pomiędzy punktami AB A R C B Rysunek 1: Szumiący układ RC Wskazówka: Rezystor generuje szum termiczny o mocy gęstości mocy kt, gdzie T jest temperaturą, a k to stała Boltzmanna. 7

8 Zadanie 45 Szum o szerokości pasma W i widmie gęstości mocy S n (ω) = η = const, ω W jest próbkowany idealnie z częstotliwością ω 0 = π/t 0, a otrzymane próbki są filtrowane w idealnym filtrze dolnoprzepustowym T 0 ( ω ω b ). Wyznacz zysk szumowy γ = N O /N I łącznej operacji próbkowania i filtracji, gdzie N O jest mocą szumu na wyjściu filtra, a N I mocą szumu na wejściu układu próbkującego. Szerokość pasma szumu jest wielokrotnością częstotliwości próbkowania W = kω 0. Zadanie 46 Na wejście szeregowego połączenia górnoprzepustowego filtru RC oraz idealnego filtru dolnoprzepustowego ( ω ω b ) jest podawany sygnał harmoniczny a cos ω m t zakłócany przez AWGN o widmowej gęstości mocy η; wiemy, że ω m < ω b. Wyznacz odstęp sygnał-szum γ na wyjściu układu. x /(1 + x )dx = x arctgx. Zadanie 47 Sygnał pilotujący x p (t) = 5cos(ω 0 t) przesyłamy kablem. Moc tego sygnału jest tłumiona o L [db/m], a dodatkowo dodawany jest do niego szum AWGN o gęstości mocy η. Znajdź długość kabla, dla której amplituda sygnału pilotującego z prawdopodobieństwem 95% będzie mieć wartość mniejszą niż szum. 9 Modulacje Zadanie 48 Analizie poddano dwa sygnały zmodulowane amplitudowo, opisane wzorami: φ 1 (t) = ( + E 1 cosω m t)cosω 0 t, φ (t) = E cosω m tcosω 0 t. Należy wyznaczyć takie wartości wielkości E 1 i E aby uzyskać maksymalną dopuszczalną modulację w przypadku sygnału φ 1 (t). Wyznaczone wartości powinny także zapewniać równość mocy obydwu sygnałów. Zadanie 49 Mając dany napięciowy sygnał AM: u AM (t) = A 0 (1+mcosω m t)cosω 0 t, wyprowadź wzór na współczynnik głębokości modulacji m, m 1, w zależności od: wartości maksymalnej U max i minimalnej U min obwiedni sygnału u AM (t) wartości współczynnika zawartości harmonicznych h = P B /P AM, gdzie P B - moc wstęg bocznych, P AM - moc całkowita sygnału zmodulowanego AM. Zadanie 50 Moc sygnału zmodulowanego DSB-SC wynosi P DSB SC = 4W, moc harmonicznego sygnału modulującego P x = W, stała modulatora k = 1/4V 1. Odtwórz postać czasową sygnału zmodulowanego wiedząc, że szerokość pasma sygnału zmodulowanego wynosi B DSB SC = 10kHz, częstotliwość sygnału nośnego f 0 = 100kHz. Narysuj transformatę Fouriera sygnału zmodulowanego zaznaczając odpowiednie wartości na rysunku. Zadanie 51 W detektorze synchronicznym generujemy sygnał nośny z błędem częstości ω 0 i błędem fazy φ. Przeprowadź obliczenia i wyznacz widmo sygnału wyjściowego detektora dla przypadku detekcji sygnału DSB-SC. Zadanie 5 Rozważamy układ detekcji obwiedni z wprowadzaniem fali nośnej. Zakładamy, że częstotliwość jest dokładnie synchronizowana, powstaje jednakże błąd fazy. Przeprowadź obliczenia dla systemu SSB-SC. Zadanie 53 Sygnał wąskopasmowej modulacji fazy NBPM (ang. NarrowBand Phase Modulation) dany jest wzorem φ(t) = A 0 sin [ω 0 t + kx(t)]. Stosujemy detekcję synchroniczną. Wyznacz sygnał wyjściowy detektora. Zadanie 54 Sygnał x(t) ze składową stałą d taką, że x(t) > 0 i X(ω) = 0 dla ω < W jest kluczowany z częstotliwością W < ω 0 a następnie filtrowany idealnym filtrem pasmowoprzeupstowym [ω 0 W, W + ω 0 ]. Pokazać że na wyjściu () dostajemy sygnał modulacji AM. Zadanie 55 Sygnał m(t) = cos(π10t)cos(π30t) moduluje częstotliwość fali nośnej: c(t) = cos(π10 7 t) Wyznacz szerokość pasma zmodulowanego sygnału. Zadanie 56 Sygnał harmoniczny o częstotliwości f m = 5kHz jest sygnałem modulującym w modulatorze AM i FM. Amplitudy niemodulowanych fal nośnych są jednakowe. Szerokość pasma sygnału zmodulowanego FM wynosi B F M = 110kHz. Amplitudy pierwszych harmonicznych wstęg bocznych są jednakowe. Moc sygnału zmodulowanego AM wynosi P AM = 10W. Wyznacz: a) dewiację częstotliwości, b) współczynnik głębokości modulacji, c) moc sygnału FM, 8

9 x(t) Key Filter Rysunek : Klucz jako modulator AM d) moc składowej nośnej sygnału FM, e) współczynnik sprawności energetycznej sygnału AM. Zadanie 57 Wyznacz SNR na wyjściu z filtra w demodulatorze DSB-SC. Jednostronna widmowa gęstość mocy szumu wynosi: N0 m(t) = cos(π10t) c(t) = 3cos(π10 7 t) Zadanie 58 Wyznacz SNR na wyjściu z demodulatora DSB-SC. Jednostronna widmowa gęstość mocy szumu wynosi: N0 m(t) = cos(π10t) Porównaj wyniki z transmisją w paśmie podstawowym. c(t) = 3cos(π10 7 t) Zadanie 59 Powtórz zadanie 58 dla modulacji FM i PM. 10 Kody Zadanie 60 Wyznacz funkcję autokorelacji następującego procesu losowego: X(t) = a k p(t kt θ) gdzie a k jest ciągiem zmiennych losowych, dla których zachodzi: E[a k a k+m ] = R m Funkcja p(t) jest deterministycznym kształtem impulsu, T to czas pomiędzy impulsami, θ jest niezależnie od a i ma rozkład jednorodny w T/, T/ Zadanie 61 Korzystając z wyniku z zadania 60 wyznacz widmową gęstość mocy kodu NRZ z impulsami o kosinusoidalnym kształcie. Wyznacz pasmo sygnału. Zadanie 6 Wyznacz energię przypadającą na 1 bit kodu NRZ z impulsami o kształcie kosinusoidalnym. 9