Rozwinięcie funkcji modulującej m(t) w szereg potęgowy: B PM 2f m

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozwinięcie funkcji modulującej m(t) w szereg potęgowy: B PM 2f m"

Karolina Kubiak
6 lat temu
Przeglądów:

1 Wąskopasmowa modulacja fazy (przypadek k p x(t) max 1) Rozwinięcie funkcji modulującej m(t) w szereg potęgowy: m(t) = e jk px(t) = 1 + jk p x(t) +... Sygnały zmodulowane: z PM (t) Y 0 [1 + jk p x(t)]e jωt y PM (t) Y 0 cos Ωt Y 0 k p x(t) sin Ωt Szerokość pasma sygnału: B PM 2f m TSIM W8: Modulacja fazy i częstotliwości 1/24

2 Szerokopasmowa modulacja fazy Modulacja tonem harmonicznym x(t) = X 0 sin ω 0 t o pulsacji ω 0 Ω. Sygnał zmodulowany: y PM (t) = Y 0 cos(ωt + k p X 0 sin ω 0 t) Kąt chwilowy zmodulowanego sygnału: ψ PM (t) = Ωt + k p X 0 sin ω 0 t Częstotliwość chwilowa sygnału: f PM (t) = 1 2π dψ PM (t) dt = F + k px 0 ω 0 2π cos ω 0 t = F + k p X 0 f 0 cos ω 0 t TSIM W8: Modulacja fazy i częstotliwości 2/24

3 Szerokopasmowa modulacja fazy Wskaźnik modulacji: β PM = k p X 0 Dewiacja częstotliwości: f PM = k p X 0 f 0 = β PM f 0 TSIM W8: Modulacja fazy i częstotliwości 3/24

4 Widmo sygnału PM zmodulowanego jednym tonem Sygnał zmodulowany w postaci analitycznej (β β PM ): z PM (t) = Y 0 e j[ωt+k px 0 sin ω 0 t] = Y 0 e j[ωt+β sin ω 0t] = Y 0 e jβ sin ω 0t e jωt Funkcja e jβ sin ω 0t jest okresowa - rozwinięcie w szereg Fouriera. Współczynniki rozwinięcia są wartościami funkcji Bessela J k (x) 1-go rodzaju, k-tego rzędu w punkcie x = β: e jβ sin ω 0t = k= J k (β)e jkω 0t TSIM W8: Modulacja fazy i częstotliwości 4/24

5 Funkcja Bessela 1-go rodzaju jest opisana wzorem: J k (x) = ( 1) n (x/2)2n+k n!(n + k)! k=0 TSIM W8: Modulacja fazy i częstotliwości 5/24

6 Widmo sygnału PM zmodulowanego jednym tonem Widmo ma charakter prążkowy: TSIM W8: Modulacja fazy i częstotliwości 6/24

7 Właściwości widma sygnału PM Widmo jest teoretycznie nieograniczone W praktyce wartości J k (β) szybko maleją wraz ze wzrostem k, Np. 99% mocy sygnału (β = 3) skupionych jest w prążkach k 4 99,9% mocy sygnału (β = 3) skupionych jest w prążkach k 7 Amplituda prążka k = 0 (fala nośna) zależy od β - możliwość optymalizacji efektywności energetycznej! Ponieważ dla każdego β zachodzi: J 2 0 (β) + 2 Jk(β) 2 = 1 k=1 Więc całkowita moc sygnału PM wynosi P y = 1 2 Y 2 0. TSIM W8: Modulacja fazy i częstotliwości 7/24

8 Szerokość pasma sygnału PM Dla sygnału PM zmodulowanego jednym tonem, obliczono numerycznie najmniejszą liczbę K prążków, zawierających 99% mocy sygnału, w zależności od β: B PM 2(β PM + 1)f 0 ; Dla β PM > 10 : B PM 2β PM f 0 TSIM W8: Modulacja fazy i częstotliwości 8/24

9 Sprawność energetyczna systemu PM Dla pewnych wartości β, zachodzi J 0 (β) = 0, np. dla β = 2,405; 5,520; 8,654; 11,792, a zatem amplituda fali nośnej zeruje się, a sprawność energetyczna osiąga 100%. TSIM W8: Modulacja fazy i częstotliwości 9/24

10 Przypadek modulacji wieloma tonami Załóżmy sygnał modulujący: x(t) = X 1 sin ω 1 t + X 2 sin ω 2 t, ω 1 ω 2. Sygnał zmodulowany przybiera postać: y PM (t) = Y 0 cos(ωt + β 1 sin ω 1 t + β 2 sin ω 2 t) Po rozwinięciu w szereg Fouriera, otrzymujemy: y PM (t) = Y 0 k= l= J k (β 1 )J l (β 2 ) cos(ω + kω 1 + lω 2 )t Nowy składnik widma: prążki boczne o pulsacjach skrośnych: ±kω 1 ± lω 2 Modulacja typu nieliniowego TSIM W8: Modulacja fazy i częstotliwości 10/24

11 Efektywna szerokość pasma dla dowolnego sygnału modulującego Dla β > 0, 7, szerokość pasma sygnału można oszacować wzorem Carsona: B PM 2(β PM + 1)f m Gdzie f m - największa częstotliwość widma sygnału modulującego. Dla dostatecznie dużych wartości wskaźnika modulacji (β PM > 10): B PM 2β PM f m TSIM W8: Modulacja fazy i częstotliwości 11/24

12 Generacja sygnału PM - metoda Armstronga Modulator wąskopasmowy (np. Hartleya) : y PM (t) Y 0 cos Ωt Y 0 k p x(t) sin Ωt Powielacz: element nieliniowy o charakterystyce potęgowej: y(t) = a[x(t)] n Dla n=2: y(t) = a 2 Y 2 0 (1 + cos(2ωt + 2k p x(t))) TSIM W8: Modulacja fazy i częstotliwości 12/24

13 Generacja sygnału PM z wykorzystaniem VCO x(t) Uk³ad ró niczkuj¹cy u(t) VCO y(t) Układ różniczkujący: u(t) = U 0 α dx(t) dt VCO = Voltage Controlled Oscillator, generator strojony napięciem, o charakterystyce F(u): y(t) = Y 0 cos[2πf (u(t)] = Y 0 cos[2πf (U 0 α dx(t) dt )] Wykorzystuje diodę pojemnościową (warikap, waraktor) TSIM W8: Modulacja fazy i częstotliwości 13/24

14 Demodulacja sygnału wąskopasmowego PM Demodulator koherentny, faza oscylatora lokalnego przesunięta o π 2 Sygnał na wyjściu filtru: y d (t) = Y 0 2 sin[k p x(t)] Jeśli k p x(t) max 1, to y d (t) Y 0 2 k p x(t) TSIM W8: Modulacja fazy i częstotliwości 14/24

15 Demodulacja sygnału szerokopasmowego PM y (t) PM Przetwornik czêstotliwoœæ - napiêcie u(t) Detektor obwiedni U(t) Uk³ad ca³kuj¹cy y (t) d Obwiednia U(t) sygnału u(t) niesie informację o sygnale modulującym, jest proporcjonalna do pulsacji chwilowej sygnału y PM (t): U(t) α[ω + k p dx(t) dt ] Po scałkowaniu sygnału U(t) otrzymujemy sygnał modulujący x(t) Tzw. dyskryminator częstotliwości Najprostsze wykonanie: obwód LC TSIM W8: Modulacja fazy i częstotliwości 15/24

16 Jednoobwodowy dyskryminator częstotliwości Pulsacja rezonansowa ω r > ω 0 Punkt pracy na liniowym odcinku charakterystyki TSIM W8: Modulacja fazy i częstotliwości 16/24

17 Dwuobwodowy dyskryminator częstotliwości Większa czułość (nachylenie charakterystyki) Większy zakres liniowości TSIM W8: Modulacja fazy i częstotliwości 17/24

18 Współczesne metody detekcji PM, FM Obwody LC - konieczność strojenia Problemy z automatyzacją procesu produkcji Kłopotliwe i kosztowne wykonanie cewek indukcyjnych Problemy z miniaturyzacją (układy scalone!) Demodulator kwadraturowy Demodulator z pętlą PLL TSIM W8: Modulacja fazy i częstotliwości 18/24

19 Demodulator kwadraturowy Generator fali noœnej I Q y (t) PM FDP arc tan y (t) d FDP Dwie gałęzie: synfazowa (I), kwadraturowa (Q) Fala nośna w fazie (c I (t) = C 0 cos Ωt) i w kwadraturze (c Q (t) = C 0 sin Ωt) TSIM W8: Modulacja fazy i częstotliwości 19/24

20 Demodulator wykorzystujący PLL y (t) PM Detektor fazy VCO FDP u(t) Uk³ad ca³kuj¹cy y (t) d Pętla PLL (Phase-Locked Loop) śledzi częstotliwość chwilową sygnału Sygnał u(t) jest proporcjonalny do częstotliwości chwilowej sygnału (demodulacja FM) Blok całkujący umożliwia demodulację PM TSIM W8: Modulacja fazy i częstotliwości 20/24

21 Porównanie modulacji PM i FM Dla modulacji wąskopasmowej: B FM 2f m B PM Sygnał wyjściowy dla szerokopasmowej modulacji FM jednym tonem: y FM (t) = Y 0 cos(ωt + k f X 0 ω 0 sin ω 0 t) Faza chwilowa: ψ FM (t) = Ωt + k f X 0 ω 0 sin ω 0 t TSIM W8: Modulacja fazy i częstotliwości 21/24

22 Porównanie modulacji PM i FM Częstotliwość chwilowa: f FM (t) = F + k f X 0 2π cos ω 0t Wskaźnik modulacji: Dewiacja częstotliwości: β FM = k f X 0 ω 0 f FM = k f X 0 2π Szerokość pasma sygnału: B FM 2( f FM + f 0 ) TSIM W8: Modulacja fazy i częstotliwości 22/24

23 Porównanie modulacji amplitudowych i fazowych Modulacje amplitudowe: Wąskie pasmo, zależne tylko od częstotliwości sygnału modulującego Mała złożoność nadajnika i odbiornika Duża podatność na zakłócenia (szumy, zaniki, interferencje) Zastosowania: telewizja, radiodyfuzja dalekiego zasięgu (fale długie, średnie, krótkie), CB-radio Modulacja SSB-SC: łączność dalekiego zasięgu, niezależna od infrastruktury: wojskowa, dyplomatyczna, morska TSIM W8: Modulacja fazy i częstotliwości 23/24

24 Porównanie modulacji amplitudowych i fazowych Modulacja fazy (PM): Praktyczne zastosowanie tylko w modulacjach cyfrowych (BPSK, QPSK, QAM) oraz jako etap pośredni w modulacji FM Modulacja częstotliwości (FM): Szerokość pasma regulowana dewiacją częstotliwości Duża odporność na zakłócenia Stała obwiednia sygnału wyjściowego Zastosowania: radiofonia UKF, telewizja satelitarna, radiotelefony UKF, radiolinie, telefonia komórkowa: NMT, GSM(GMSK) TSIM W8: Modulacja fazy i częstotliwości 24/24

Podobne dokumenty

MODULACJE ANALOGOWE. Funkcja modulująca zależna od sygnału modulującego: m(t) = m(t) e

MODULACJE ANALOGOWE. Funkcja modulująca zależna od sygnału modulującego: m(t) = m(t) e Nośna: MODULACJE ANALOGOWE c(t) = Y 0 cos(ωt + ϕ 0 ) Sygnał analityczny sygnału zmodulowanego y(t): z y (t) = m(t)z c (t), z c (t) = Y 0 e jωt Funkcja modulująca zależna od sygnału modulującego: j arg