Dynamiczne właściwości układu hybrydowego poddanego ruchomym źródłom zaburzeń

Transkrypt

1 Bartłomiej Dyniewicz Dynamiczne właściwości układu hybrydowego poddanego ruchomym źródłom zaburzeń rozprawa doktorska promotor: doc. dr hab. inż. Czesław Bajer Warszawa 28

2 Spis treści ½ Ï ØÔ ¾ Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù ½¼ ¾½ Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù ØÖÙÒÝ ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ ½¼ ¾¾ Ê ÛÒ Ò Ð ÖÒÓÙÐÐ Ó¹ ÙÐ Ö ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ ½¾ ¾ Ê ÛÒ Ò Ð Ì ÑÓ Ò ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ ½ ÊÓÞÛ Þ Ò Ò Ð ØÝÞÒ Ö ÛÒ Ò ØÖÙÒÝ ½ ½ ÁÒ ÖÝ Ò ØÖÙÒ ÔÓ Þ Ò Ñ ÖÙ ÓÑ Ø Ý ÖÓÞÛ Þ Ò Ð ¹ ¾ ÝÞÒ ½ ½½ ÈÖÞÝÔ v c ½ ½¾ ÈÖÞÝÔ v=c ½ ÁÒ ÖÝ Ò ØÖÙÒ ÔÓ Þ Ò Ñ ÖÙ ÓÑ Ø Ý ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÛ ¾¼ ÞÑ ÓÛ ØÖÙÒ ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ Ò ÖÝ ÒÝÑ ¾½ ½ ÈÖÞÝÔ Ýα ¾¾ ¾ ÈÖÞÝÔ Ýα= ¾ Æ Ó ÖÓÞÛ Þ Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù ØÖÙÒÝ ÞÑ ÓÛ ¾ ÊÓÞÛ Þ Ò Ò Ð ØÝÞÒ Ö ÛÒ Ò Ö Ð ¾ ½ Ð ÖÒÓÙÐÐ Ó¹ ÙÐ Ö ÔÓ ÖÙ ÓÑ Ø ¾ ¾ Ð Ì ÑÓ Ò ÔÓ ÖÙ ÓÑ Ø ¾ ÊÓÞÛ Þ Ò Ô Ò Ð ØÝÞÒ ØÖÙÒÝ ½ ÁÒ ÖÝ Ò ØÖÙÒ ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ Ò ÖÝ ÒÝÑ ¾ Ê ÛÒ Ò Ä Ö Ò ³ ¾¹ Ó ÖÓ Þ Ù Û ÔÖÞÝÔ Ù ØÖÙÒÝ ÔÓ Ñ ¼ Æ Ó ÖÓÞÛ Þ Ò ØÖÙÒÝ Ñ ÓÛ ÔÓ Ó Ò Ñ Ò ÖÝ ÒÝÑ ÊÓÞÛ Þ Ò Ô Ò Ð ØÝÞÒ Ö Ð ½ Ð ÖÒÓÙÐÐ Ó¹ ÙÐ Ö ÔÓ Þ Ò Ñ ÖÙ ÓÑ Ó Ó Ò Ò Ö¹ Ý Ò Ó ¾ Ð Ì ÑÓ Ò ÔÓ Þ Ò Ñ ÖÙ ÓÑ Ñ Ý Å ØÓ Ð Ñ ÒØ Û Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ Û Ö ÒØ ÔÖ Ó ÓÛݵ ½ Ý Ö ØÝÞ ØÖÙÒÝ Ñ ØÓ Ð Ñ ÒØ Û Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ ¾ Ð Ñ ÒØÝ Ó ÔÓÛ Þ ÐÒ Þ ÖÙ ÓÑ Ñ Û ÔÖÞÝÔ Ù ØÖÙÒÝ Ð Ñ ÒØÝ ÓÔ Ù ÖÙ ÓÑ Ñ Û Ð ÖÒÓÙÐÐ Ó ÙÐ Ö ¼ Ç ÖÓÞÛ Þ Ò Ù Ð Ì ÑÓ Ò ½ ÈÖÞÝ Ý ÙÒ Û ÖØÙ ÐÒÝ ¾ ½

3 ËÈÁË ÌÊ á Á ¾ ÈÖÞÝ Ý Þ ØÓ ÓÛ ½ ÝÒ Ñ ØÓÖÙ ÓÐ ÓÛ Ó ¾ Å ØÓ Ý Þ Ø ÓÛ Ð Ñ ÒØ Ö Ð Ö Ò Å Ø Ó µ ½ ÏÒ Ó Å ÖÞ Û Ð Ñ Ò Ð Ð Ó Ö

4 Rozdział Wstęp ÊÙ ÓÑ Ó Ò ÔÓÖÙ Þ ÔÓ ÛÓ Ó Ò ÔÓ Ô ÖØ Ð ÑÓ ØÓÛ Ò Ð Ý Ó Ò Ó Þ Ò Ø Ö ÞÝ ÔÖÓ Ð Ñ Û ÝÒ Ñ Ù ÓÛÐ ÏÖ Þ Þ ÖÓÞÛÓ Ñ ØÖ Ò ÔÓÖØÙ ÓÐ ÓÛ Ó ÖÓ ÓÛ Ó Þ ØÒ ÔÓØÖÞ Ð Þ Ó ÔÓÞÒ Ò Þ Û ØÓÛ ÖÞÝ Þ ¹ Ý ÔÓÖÙ Þ Ð Þ Ö ÛÒÓ Ö Û Ø Ý Ò ÞÛ ÒÓ ÓÛ ¹ Ø Ñ ÖÙ ÓÑ Ñ Ý Ë Ý Ø Ó Ó ÞÙÔ Ò ÒÒÝÑ Ö Ø ÖÞ Þ ØÓ Þ Ó ÑÝÐÓÒ Ï Ò Ò Þ ÔÖ Ý Þ ÑÙ ÑÝ Ù Ñ ÒÓÛÝÑ ÖÓÛÝÑ Ó Ó ÞÓ¹ Ò Ù Ó ÔÓ Þ Ò Ñ ÖÙ ÓÑ Ó ÙÔ ÓÒ Ó Ó Ò ÞÛ ÒÓ ÓÛ Ó ÊÓÞÔ ØÖÙ ÑÝ ÔÖÞÝÔ Þ ÛÝÑÙ Þ Ò Ñ Þ ÛÒØÖÞÒÝÑ ÔÖÞÝ Þ ÖÓÛÝ Û ÖÙÒ ÔÓ¹ Þ Ø ÓÛÝ ÖÞ ÓÛÝ ÔÓ Ò Ñ ÝÑ Ó ÞØ Ò ÓÑ Ô Ò ÝÑ Þ Ð ÒÓ ( u/ x) 2 << ÈÓÑ ÑÓ Þ ÖÓ Ó Þ ÒØ Ö ÓÛ Ò ØÝÑ Ø Ñ Ø Ñ Ó ÔÓÒ Û Ù Ò Ð Û Ð ÔÖ Û ÔÓÞÓ Ø Ò ÖÓÞÛ Þ ÒÝ Ç Ð ØÒ Ô Ò Ò Ð ØÝÞÒ ÖÓÞÛ ¹ Þ Ò Û Þ Ö ÓÙÖ Ö ÓØÝÞ ÖÙ ÓÑ Ý Ö Û Ø Ý Ò ÔÓÖÙ Þ ÔÓ ØÖÙÒ Ð ÞÝ Ô ÝØ Ó ØÝÐ ÖÙ ÓÑ Ó Ò ÞÛ ÒÓ ÓÛ Ó Ò Þ ¹ Þ Ó Ò ÓÞ Ó Ô Ò Ó Ò Ð ØÝÞÒ Ó ÖÓÞÛ Þ Ò ÏÝ Ø Ø ÒÓÛ ØÖÙÒ ÞÑ ÓÛ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ø Ö ÞÒ ÑÝ Ô Ò Ò Ð ØÝÞÒ ÖÓÞÛ Þ Ò Û ÓÖÑ Þ Ö ¹ Û Ô Ö ÓÑ ØÖÝÞÒÝ Û ÞÞ ÐÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Ö ÛÒ Ô Ò Þ Ñ Ò Ø ÖÓÞ¹ Û Þ Ò ÈÓÛÓ Ñ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒÝ ØÖÙ ÒÓ Ø Ò Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÓÔ Ù Ý ÖÙ ÓÑ Ñ ÊÙ ÓÑ Ó Ò Ñ Û Ð Û ÒÝ ÔÖ ØÝÞÒÝ Þ ØÓ ÓÛ Û Þ Ò ¹ Ò Ò ÝÒ Ö ÏÖ Þ Þ ÖÓ Ò ÔÖ Ó ÔÖÞ Þ Ù Ñ Ý ÖÓ Ò Ø ØÝ ¹ ÐÓÛ ÔÓÛÓ Ù Û Þ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò Ò Ó Ù Ù Ò ÒÓ ÖÓØÒ ÞÒ ÞÒ ÔÖÞ Ö Þ Ó Ù Ø ØÝÞÒ Æ Û Þ ØÓ ÓÛ ÞÒ Þ ÑÝ Û ÓÐ Ò ¹ ØÛ Ñ Ò Ó Þ ÝÛ Ò ÓÐ ÓÛÝ Þ ÞÝÒ ÐÙ ØÓÖ Ñ ÛÔ ÝÛ ÖÙ ÓÑ Ó ÔÓ Þ Ù Ò ÑÓ Ø Û Ô ÔÖ ÓÐ ÓÛ Ó Ó Ö ÔÖ Ù Þ ØÖ Ý Ò Ø Û ÓÐ Ñ Ò ØÝÞÒ ÊÙ ÓÑ Ó Ò Ñ Ö ÛÒ Þ ÖÓ Þ ØÓ ÓÛ Ò Û ÔÖÞ ÑÝ Ð ÐÓØÒ ÞÝÑ ÓÖ Þ ÑÓ Ó ÓÛÝÑ Ø Û ÖÓ ÓØÝ ÊÙ ÔÓ Ù Û ÐÙ Ö ÒÓÛ Ó Ò Ó Ö Þ Þ Ó ÓÒÝ Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÖÙ ÓÑ Ó Ó Ò Ò ÖÝ Ò Ó Ð Ñ ÔÖ Ý Ø ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò ØÒ Ý ÖÓÞÛ Þ ÞÛ Þ ÒÝ Þ Þ Ò Ò Ñ ÖÙ ÓÑÝ Ó ÔÖÞ Û ÞÝ Ø Ñ ØÝ Ð Ò Ð ØÝÞÒÝ ÙÞÝ Ò ÖÓÞÛ Þ Þ Ñ Ò ØÝ ÐÙ ÓÔÖÓÛ Þ Ò ÖÓÞÛ Þ Ó Ò ÔÖÓ Ø¹ Þ ÓÖÑÝ ÔÓÞÛ Ð Ò Ò Ð Þ Ó ÓÛ

5 ÊÝ ÙÒ ½½ ÈÖÞÝ Ý Þ ØÓ ÓÛ ÖÙ ÓÑÝ Ó ÙÓ ÐÒ Ò ÛÒ Ó Û Ô ÝÒ Ý Þ Ó ÓÛÝ Ù ÓÛ Ó ÔÓÛ Ò ÒÙÑ ÖÝÞÒÝ Ñ Ø Û Ó Ð Þ Ò ÓÛÝ ÓÛ Ò Ö ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ Ó ÖÙ¹ Ù Ð Ñ Ó ÓÛÝÑ Ø Ó ÔÓÛ Ò ÑÓ Ý Ñ ÖÞÝ Ö Ø ÖÝ ØÝÞ¹ ÒÝ Ù Ù Ø Ý ÛÔ ÝÛ ÖÙ ÓÑ Ñ Ý Ñ Ý ÙÛÞ Ð Ò ÓÒÝ ÔÖÞ Þ Ó¹ Ò Ó Ñ ÖÞÝ ÐÓ ÐÒ Ñ ÖÞÝ ÔÓ ÝÒÞ Ó Ð Ñ ÒØÙ ÙÛÞ Ð Ò Ó ÔÖÞ ÙÛ Ñ Ï Ð Ø Ö ØÙÖÞ ÞÒ Ð õ ÑÓ Ò Ð ÞÒ ÔÖ ÓØÝÞ ÖÙ ÓÑÝ Ó Ý ÓÛ Ò Û ÞÓ ÓØÝÞÝ Ó ÞÑ ÓÛÝ Å ÑÓ Þ Û ÖØÝ Û ØÝØÙ ÔÖ Ò ÓÖÑ ¹ Ó Ò Ù Ó Ñ ÓÛÝ ÙØÓÖÞÝ ÔÓÔÖÞ Ø Ò Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù Ó Ò ÞÑ ÓÛ Ï ÖÓÞÙÑ Ò Ù Ó Ò Ñ ÓÛ ÔÓÐ Ò ÛÝÛ Ö Ò Ù Ý Þ¹ Ñ ÓÛ Ö ÛÒ Ó Ó Û Ð Ó Ð Ö Û Ø Ý Ò ÛÝÛÓ Ò Ñ Ï ÒÒ ÖÙÔ ÔÖ ÔÓÖÞÙ ÔÓÞ Ø ÓÛ ÖÓÞÛ Ò ÓØÝÞ Ñ Ý ÞÔÓ Ö Ò Ó ÔÓ Ó ÓÒ Ò Ð ÐÙ ØÖÙÒ ÛÔÖÓÛ Þ Þ ØÔÞÝ Ù Û ÔÓ Ø Ó ÝÐ ØÓÖ Á ØÒ Ø ÒÒ Ø Ò Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÔ Ù Þ ÓÛ Ò Ù Ù Ó Û Û ÔÖÞ Þ Ó ÔÓÞ Ø ÓÛ ÔÓ ÔÓÖÝ Ó Ñ Ý Ó Ñ Ý Ó Ó ÓÛ ÔÓ ÔÓÖÝ ÍÞÝ Ò Ô Ö ÖÓÞÛ ¹ Þ ÔÖ Ù ÞÝ Û ÔÙÒ Ð Þ ÝÑ Ñ Ï ØÖ Ý Ù ÓÒ Ö ÒÝ ÒÝ Þ ØÓ ÔÖÞÝÛÓ ÝÛ ÒÓ ÞÒ Ò ÑÓÒÓ Ö ÖÝ Ý Þ Ò ÓÛ ÖÞ Ò Ñ ÔÖÞÝ ÑÓÛ ÒÓ Ó ÔÓ¹ Û õ ÖÙ ÓÑ Ñ Ø Ø Ñ ÖÓÞÔ ØÖÝÛ Ò ÝÒ Ö Ñ ÒØ ÖÝÞÒ ØÓ ÝÒ Û ÔÖÞÝÔ Ù ÞÑ ÓÛ ØÖÙÒÝ Ó Ø Ó Ô ÛÒ Þ Û ÖØ Û Ò ÓÖÑÙ Ý ÛÝÒ ÓÛ Ò ÈÖ Þ ÒØÓÛ Ò Û Ð Ø Ö ØÙÖÞ Ò Ð ØÝÞÒÓ¹ÒÙÑ ÖÝÞÒ ÖÓÞÛ Þ Ò Þ Ò ÖÙ ÓÑ Ñ Ý Ó ÓÑÔÐ ÓÛ Ò Ò Ó Þ Ó ÔÓÖÓ ÙÔÖÓ ÞÞ Ñ Ý Ó Ø Ø ÞÒÝ ÛÔ ÝÛ Ò ÓØÖÞÝÑ Ò ÛÝÒ ÇÔÖ ÓÛ Ò ÔÖÓ Ø Ó Ñ ØÙ Ó Ð Þ ÒÓÞ Ò

6 ÑÓ Ð Û Ò Ó Ò Þ Ó ÖÓÞÛ Þ Ò ÔÖÓ Ð ÑÙ ÖÙ ÓÑ Ó Ó Ò ÞÛ ÒÓ¹ ÓÛ Ó ÔÓ Ù Ý Ó Ó Û ÖÝ ØÒ Ý Ò ÖÞ Þ ÒÙÑ ÖÝÞÒÝ ÓÔ ÖØÝ Ò Ñ ØÓ Þ Ð Ñ ÒØ Û Ó ÞÓÒÝ ÓÖ Þ Þ ÔÖÓÔÓÒÓÛ Ò Û Ò Ó ÔÓ Þ ÛÝ ÓÖÞݹ Ø Ò Ñ Ñ ØÓ Ý Ð Ñ ÒØ Û Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ ÓÔ ÒÝ ÔÖ Ó Ñ Ï ÔÖ Ý ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ Û Ö ÞÒ Ò Þ Ð Ø Ö ØÙÖÝ ÖÓÞÛ Þ Ò Ò Ð ØÝÞÒ ØÖÙÒÝ Ð ÖÒÓÙÐÐ Ó¹ ÙÐ Ö ÓÖ Þ Ð Ì ÑÓ Ò ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ Ö Û Ø ¹ Ý ÒÝÑ Ø ÖÓÞÛ Þ Ò Ò Ð ØÝÞÒ ÞÑ ÓÛ ØÖÙÒÝ ÔÓ ÖÙ ÓÑ ÞÛ ¹ ÒÓ ÓÛ Ï Ð Þ Þ ÔÖ Ý ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ Û Ò ÖÓÞÛ Þ Ò Ô Ò Ð ØÝÞÒ Ù Û ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ Ò ÖÝ ÒÝÑ Û Ø ÖÝ Ó ÓÒÙ ÑÝ ÒÙÑ ÖÝÞ¹ Ò Ó ÓÛ Ò Ó ÓÛÝ ÓÖÑÙ Þ ÔÓÛÓ Ù Ö Ù ÑÓ Ð ÛÓ Ð Þ Ó Ò Ð ØÝÞ¹ Ò Ó ÓÒØÝÒÙÓÛ Ò Ó Ð Þ Ï ÔÖÞÝÔ Ù ØÖÙÒÝ Ð Ì ÑÓ Ò ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ ÞÛ ÒÓ ÓÛÝÑ ÛÝ ÖÝØÓ Ò Ó ØÖ ØÓÖ ÔÓÖÙ Þ Ñ Ý ÔÖÞÝ Ó ÓÛ ÔÓ ÔÓÖÞ ÍÞÝ ÒÓ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒÝ ÓÛ Ò Ó ÖÙ Ù ÔÙÒ ØÙ Ñ Ø Ö ÐÒ Ó Û ÔÖÞÝÔ Ù ØÖÙÒÝ ÞÑ ÓÛ ÔÓÒ Û ØÝÐ Ó ØÓ Þ Ò Ñ Ô Ò ÖÓÞÛ Þ Ò Ò Ð ØÝÞÒ Æ Ó Û ØÖÙÒ Ð Ì ÑÓ Ò Þ Û Ò ÞÛ ÒÓ¹ Þ ÛÞ Ð Ù Ò Ö Ô Ò Ó ÖÓÞÛ Þ Ò Ò Ð ØÝÞÒ Ó ÞÓ Ø ØÝÐ Ó ÔÖÞ Ø Û ÓÒ ÛÝ Þ Ò Þ ÓÛÓ Ù ÁÒÒ ÙÔÖÓ ÞÞ Ò ÔÖÞÝ ÑÓÛ Ò Û Ð Ø Ö ØÙÖÞ ÓÑ Û ÓÒÓ Þ ÖÞ Û ÖÓÞÔÖ Û ÌÖÞ ÔÖÞÝÞÒ Û Û ÞÓ ÔÖÞÝÔ Û ÔÖ Þ ÒØÓÛ Ò Û Ð Ø Ö ØÙÖÞ ÖÓÞÛ Þ Ò Ûݹ Ø ÖÞ Û ÔÖ ØÝÞÒÝ Þ ØÓ ÓÛ Ò Æ Ø ØÝ Ó Ö Ð Þ ÔÓ Ø Û ÓÒ Ó Û ÔÖ Ý ÐÙ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò ÖÓÞÛ Þ Û Ù ÙÒ ØÒ Ý Û Ò Û Þ ¹ ÔÖÓÔÓÒÓÛ Ò ÔÓÔÖ ÛÒ Óµ Ò Ð Ó ÙÒ ÓÐÛ ÙÔÖÓ ÞÞ Ù Û Þ ¹ ØÔÞÝ Ç Ö Ò ÞÓÒÓ ÝÒ Ó ÓÑ ÒØ ÖÞ ÛÝ ÞÙ Ó Ò Ó Þ Ò ÔÙÒ ØÓÛÝ ÔÓ Ô Ö ÔÖ Ý ØÝ ÐÙ ÖÓÞ Ó ÓÒ Ó Û ÔÓ Ý ÔÓ Ó ÔÖ Ý Ø Ó ØÝÔÙ Ï Ò Ð Ö Ò ÔÖÞ Ø Û ÒÝ ØÖÙ ÒÓ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒÝ Ð Ø Ò ÛÒÓ ØÓØÒÝ Ô Ø Û ÔÓÞÒ ÛÞÝ Ï ÔÖ Ý Þ ÔÖÓÔÓÒÓÛ ÒÓ ÓÖÝ Ò ÐÒ ÖÓÞÛ Þ Ò ÞÔÓ Ö Ò Ö ÛÒ ¹ Ò Ö Ò Þ ÓÛ Ó ÓÔ ÖØ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö ÒÝ Þ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ ¹ ÓÙÖ Ö ÓÖ Þ Ä ÔÐ ¹ Ö ÓÒ Æ Þ Ð Ò ÖÓÞÛ Þ ÒÓ ÒØÝÞÒÝ ÔÖÓ¹ Ð Ñ ÛÝ Ó Þ Þ Ö ÛÒ Ò Ä Ö Ò ³ ÍÞÝ ÒÓ ÒØÝÞÒÝ ÛÝÒ Ñ ¹ Ø Ñ ØÝÞÒÝ ÏÝÒ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒÝ ÔÓÞÛÓÐ ÛÝ Þ Ò ÞÒ Ò ÓØ Û ¹ ÒÓ ÖÓÞÛ Þ Ò ÔÖÞ Ñ ÓØÓÛ Ó Þ Ò Û ÔÓ Ø Ò Ó ØÖ ØÓ¹ Ö Ñ Ý Â Ø ØÓ ÛÔÖ Û Þ Ø ÔÓÞÒ ÛÞÝ Ó ÑÒ ÞÝÑ ÔÖ ØÝÞÒÝÑ ÞÒ Þ Ò Ù Ý ÔÓÖ ÛÒ Ò Ó ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Þ ÛÝÑ ÙÛÞ Ð Ò Ò Ö ÛÒ ÒÒÝ ÞÝÒ¹ Ò Û ÒÔ Ò Ð Ò ÓÛÓ Ó Þ Ý Ò Ó Ð Þ Ñ ÑÓ ØÓ Ø Ó ÖÛÓÛ ÒÝ Û ÓÒ ØÖÙ ÑÓ ØÓÛÝ Ó Ö ÔÖ Ù Û ÓÐ Ò ØÛ ÇØÖÞÝÑ Ò ÛÝÒ Ù Þ Ý ÔÓÛ Ò Ý Û ÓØ ØÓ ÓÛ ÒÝ ÔÓ ¹ Û Þ ØÓ ÓÛ Ò ÒÙÑ ÖÝÞÒÝ Ý Ö ØÒÝ ÒÔ Ñ ØÓ Þ Ð Ñ Ò¹ Ø Û Ó ÞÓÒÝ ÞÞ ÐÒ Û ÔÖÞÝÔ Ù ØÖÙÒÝ ÈÓÔÖ ÛÒ Þ Ý Ð ÓÖÝØÑ Û ÓØÝÞ Ý ÖÙ ÓÑ Ñ Ý Ý Ó ÓØ Ö Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ð Ó ÓÒÝ Ò ÖÝ Ò ØÓ ÓÛ Ò Ò ÔÓÔÖ ÛÒÝ ÓÖÑÙ Ò Ø ØÛ Ó Ûݹ ÛÝ Ò ÙØÓÖÞÝ Û ÐÙ ÔÖ Þ Ñ ÞÞ Ò ÔÓÔÖ ÛÒ ÛÝÒ ÔÓÖ ÛÒÙ Û ¹ Ò ÙÔÖÓ ÞÞÓÒ ÐÙ Ò ÔÓÔÖ ÛÒ ÖÓÞÛ Þ Ò Þ ÒÒÝÑ Ö ÛÒ Ó ÖÞÓÒÝÑ Û Ñ ÙÛ Ò Ô Ö ÓÐ ÞÒ ØÝ Û Ð ÞÝÒ ÓÒ Ý ÖÓÞÑÝÛ Ò Ò ÛÝÒ ÓÛÝ ÛÝ Ö ÔÖÓÔÓÒÓÛ ÒÓ Û Ò ÔÓ ÒÙÑ ÖÝÞÒ ØÓ Ù Ó Ý Ö ØÝÞ ¹ Ö Ò Þ ÓÛ Ó Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù Ñ ØÓ Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ Ð Ñ ÒØ Û

7 Ó ÞÓÒÝ Ç Ø Ø ÞÒ ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Ñ ØÓ Þ ØÓ ÓÛ ÒÓ Û ÓÒ Ö Ø¹ ÒÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÝÒ Ö Ï ÞÝ Ø ÔÖ Þ ÒØÓÛ Ò Û ÔÖ Ý Ù Ý Ñ Ó ÞÓÒ Ù Ó Û Ø ÖÝ Û Ó Ö Ò Ò Ù Ó Ó Ø Û Ò Ó ÞÓÒÝ ÛÝ ØÔÙ Û Ð ÛÝ Þ Û ÞÛ Þ ÒÝ Þ Ó Ñ Ð Ñ Ò ÞÒÝ Ó ÔÓ Ô Ö ÓÖ Þ ÖÙ¹ ÓÑ Ó Ó Ò Ñ Ý ÛÔ ÝÛ Ò Ó Ø Ø ÞÒÝ Ö Ø Ö ÖÓÞÛ Þ Ò Ç Ò ÙÔ ÓÒ Û ÔÓ Ø Ý ÞÑ ÓÛ ÐÙ ÙÔ ÓÒ Ñ Ý Ò Ð Ô ÔÖÞ ¹ Ø Û Þ ÔÓÑÓ ÐØÝ Ö Ç ÔÓÛ ÓÒ Þ ÔÓ Ó Ò ÖÙ ÓÑ Ó Ó Ò Ò ØÖÙÒ Ð ÐÙ Ô Ý Ï ÔÖÞÝØ Þ Û ÞÓ ÔÖ ÓØÝÞ Ý Ø ÖÙÔÝ Þ Ò Ø ØÓ Ø ÞÝÒ ÓÒ Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ý Ö Û Ø Ý Ò ÖÓÞÛ Þ Ò Þ Ø ÔÖÓ Ø Ý Ó ÔÓÛ Ò Þ ÓÒ Ó ÔÓÛ Þ ÐÒÝ Þ ÖÙ ÓÑ Ø ÐÓÞÝÒ Ñ Û Ö¹ ØÓ Ø ÐØÝ Ö Ï ÒÒÝ ÔÖÞÝÔ Ñ ÑÝ Ó ÞÝÒ Ò Þ ÐÓÞÝÒ Ñ Ô ÛÒ ÙÒ ÐØÝ Ö ÌÓ ÔÓÛÓ Ù ÞÒ ÞÒ ÓÑÔÐ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ý ¹ ØÖÝ Ù Ò ÑÓ Ò Ò Ó ÑÒÓ Ý ÔÖÞ Þ Ø ÙÒ Æ Ó Ö ÐÓÒÝ Ø ÒÔ ÐÓÞÝÒδ(x a)δ(x b) ÅÓ Ò Ò ÑÒÓ Ý Ý ØÖÝ Ù ÔÖÞ Þ ÙÒ Ð Ý C ÈÖ Ù Þ ØÔÓÛ ÐÓÞÝÒÝ Ý ØÖÝ Ù ÔÐÓØ Ñ Þ Ò Ø Ý ØÖÝ Ù Ó Ö Ð Ø Ý Þ Ò Ý ØÖÝ ÙÝ Ò Ý Ó ÓÛ Ò Ñ Ï Ò Ò Þ ÔÖ Ý ÛÝ ØÓ Ý ÑÒ ÔÖÞÝ ØÒ Ý ÛÝÑ ØÓ ÞÒ ÓÑÓ Ö ÛÒ Ò Û ÔÓ Ø ÓÛ ÁÐÓÞÝÒ Û ÙÒ Ò Ý ÞÝÐ Ý ØÖÝ Ù ÝÒ ÛØ Ý Ø Ó Ö ÐÓÒÝ ÑÓ Ð Ûݵ Ý Þ ÙÒ ÓÔ Ò Ø ÛÞ Ð Ñ ÒÒ ÞÑ ÒÒ Ò Þ Ð Ò ½ Ï ÔÖ Þ ÒØÓÛ ÒÝÑ Û ÔÖ Ý ÔÖÞÝÔ Ù ÖÙ ÓÑ Ñ Ý Ø Û Ò Ø ÐØ ¹ Ö Ø ÙÒ ÞÑ ÒÒ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ x Ò ØÓÑ Ø ÔÖÞÝ Ô Þ Ò ÖÙ ÓÑ Ó ÔÙÒ ØÙ Ñ Ø Ö ÐÒ Ó Ø ØÝÐ Ó ÛÝ ÞÒ ÙÒ Þ Ùt Ï ÖÓÞ Þ Ð ¾ ÔÖ Ý ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ Ò Þ ÔÓ Ó Û ÛÝÔÖÓÛ Þ Ò Ö Ò Þ Ó¹ Û Ó Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù Ò ÔÓ Ø Û Ö ÛÒÓÛ ÑÓÑ ÒØ Û Û Ò Ò Ø ÞÝÑ ÐÒÝÑ ÛÝ Ò Ù Ù Ù Þ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ ÊÓÞÛ Þ Ò Ò Ð ØÝÞÒ ÞÓ Ø Ý ÔÖÞ Ø ¹ Û ÓÒ Û ÔÖÞÝÔ Ù ØÖÙÒÝ Û ÖÓÞ Þ Ð ÓÖ Þ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ Ó¹ ÙÐ Ö Ì ÑÓ Ò Û ÖÓÞ Þ Ð Ó Ø ÓÛÓ Û ÖÓÞ Þ Ð ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ ÓØ Ò ÔÙ Ð ÓÛ ÒÝ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒÝ ÓÛ ØÒ Ò Ò Ó ØÖ ØÓÖ ÖÙ¹ ÓÑ Ó Ó Ò ÞÛ ÒÓ ÓÛ Ó ÔÓÖÙ Þ Ó ÔÓ ÞÑ ÓÛ ØÖÙÒ ÆÓÛ ÓØ Ò ÞÒ Ò Ô Ò Ð ØÝÞÒ ÖÓÞÛ Þ Ò ÙØÓÖ ÓØÝÞ Ó Ò Ò ÖÝ Ò Ó ÔÓÖÙ Þ Ó ÔÓ ØÖÙÒ Ñ Û Ò ÞÛ ÒÓ ÞÓ Ø Ó ÔÖÞ ¹ Ø Û ÓÒ Û ÖÓÞ Þ Ð ÌÓ ÑÓ ÒÓÛ Ô Ò Ð ØÝÞÒ ÔÓ Þ ØÓ ÓÛ ÒÓ Ó Ð Û ÖÓÞ Þ Ð Ö ÛÒÓ Û ØÖÙÒ ÓÔ Ò Û ÖÓÞ Þ Ð ÓÖ Þ Û Ð Ì ¹ ÑÓ Ò Þ ÖÓÞ Þ Ù Þ Ó ÖÛÓÛ ÒÓ ÓØ Ò ÞÒ ÒÝ Ø Ò Ó ØÖ ØÓÖ ÖÙ ÓÑ Ñ Ý Ï ÖÓÞ Þ Ð ÓÔ ÒÓ ÓÖÑÙ ÓÛ Ò ÔÖ Ó ÓÛ Ñ ¹ ØÓ Ý Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ Ð Ñ ÒØ Û Ó ÞÓÒÝ ÓÖ Þ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ ÒÓÛ ÓØ Ò ÔÙ Ð ÓÛ Ò ÓÖÑÙ ÓÛ Ò Ó ÔÓÛ Þ ÐÒ Þ ÑÓ ÐÓÛ Ò ÖÙ ÓÑ Ñ Ý Û ÔÖÞݹ Ô Ù ØÖÙÒÝ ÓÖ Þ Ð ÈÖÞÝ Ý Þ ØÓ ÓÛ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ Û ÖÓÞ Þ Ð Ò ØÓÑ Ø Û ÖÓÞ Þ Ð Þ Ñ ÞÞÓÒÓ ÛÒ Ó Ô ÝÒ Þ ÔÖÞ ÔÖÓÛ ÞÓÒÝ ÖÓÞÛ ÈÓÑ ÑÓ Ð Þ Ð Þ Ý ÔÙ Ð ÓØÝÞ Ý ÖÙ ÓÑÝ Ó ÛÒÓ ÔÖÞ ÖÓÞÝ ØÝ ÔÓÞÝ Ó Ö Ò ÞÝÑÝ Û ØÝÑ ÔÖÞ Ð Þ Ð Ø Ö ØÙÖÓÛÝÑ Ó ÞÞ ¹ ÓÛ Ó ÔÖÞ Ø Û Ò ÛÒ ÔÖ ÔÖÞ ÓÑÓÛÝ ÒÓÛ ØÓÖ Ó ÒÓ Þ Ý ÞÔÓ Ö Ò Ó Ó ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ Û ÔÖ Ý Þ Ò

8 È ÖÛ ÞÝÑ ØÓÖÝÞÒÝÑ ÔÓ Ñ Ó ÔÖÓ Ð ÑÙ ÖÙ ÓÑ Ó Ó Ò Ø ØÞÛ Þ Ò Ò Ï ÐÐ ËØÓ ¼ ÊÓÞÔ ØÖÞÓÒÓ Û Ò Ñ Ð ÖÒÓÙÐÐ Ó ÙÐ Ö Ø ØÝÞÒ Ó ÓÒ Ø Ö Û Ø Ý Ò Æ ØÔÒ Û ÓØÖÞÝÑ ÒÝÑ ÖÓÞÛ Þ Ò Ù Þ Ø Ô ÓÒÓ Ø Ó Ò Ñ Ñ ÓÛÝÑ Ñ ÝÑ ÛÓ ÞÛ ÒÓ Á ØÒ Þݹ ØÓ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ ÙÞ Ò Ò Ø Ó ÔÓ ØÔÓÛ Ò ÔÓÐ Ò ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ù Ý ØÖÝ ÙÝ Ò Ñ ØÓ Ý ÖÓÞÛ ÞÝÛ Ò Ö ÛÒ Ö Ò Þ ÓÛÝ ÈÓ Þ ÔÖÓÔÓÒÓ¹ Û Ò ÔÖÞ Þ Ï ÐÐ Ò Ø Ò ÔÓÞ Û ÓÒ Û ËØÓ Ù ÓÒ ÓÛ Ñ ÔÖÞÝ Ô Þ Ò ÔÓÔÖÞ ÞÒ ÖÙ ÓÑ Ñ Ý Ò ÙÛÞ Ð Ò ÓÛÝ ÖÙ Ù ÛÞ Ù Ð ÈÓ¹ Ñ ÑÓ Ø Ó ÔÖÞÝ Ñ Ý ÔÖ Ó ÔÖÞ Þ Ù Ñ Ý ÛÝÒ Ý Þ Ö Ù Ý Þ ÓÒ Û Ø Ò Û Ð Ï ÖÓ Ù ½ ½ Ê Ò Ù ÓØ ÔÖÞ Ø Û ÔÖ Û ÓÛ ÔÓ Ø ÔÖÞÝ Ô Þ Ò ÖÙ Ó¹ Ñ Ñ Ý Þ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ Ó ÔÙÒ ØÙ Û Þ Ò ÔÓ Ó Ò Þ Ó ÓÒ ÔÓ ÔÖÞÝ ØÝÑ ÓÑ ØÖÝÞÒ ÒØ ÖÔÖ Ø ÈÖÞÝ Ô Þ Ò ÖÙ ÓÑ Ñ Ý Þ ÔÖÞݹ Ô Þ Ò ÔÓÔÖÞ ÞÒ Ó Ð Ø Þ ÔÖÞÝ Ô Þ Ò ÓÖ ÓÐ ÓÖ Þ Ó ÖÓ ÓÛ Ó Ó ¹ ÔÓÛ Þ ÐÒÝ Þ ÖÙ ÛÞ Ù ÒÝ Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ó Ò Ö Û Ø Ý Ò Ó ÞÒ Ò Ô Ò ÖÓÞÛ Þ Ò Ò Ð ØÝÞÒ Å ØÓ Þ ÔÖÓÔÓÒÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÃÖ ÓÛ ÔÓÐ Ò ÖÓÞ Þ Ð Ò Ù ÞÑ ÒÒÝ Ø Ð ÝÞÒÝÑ ÔÓ Ó Ñ ÖÓÞÛ ÞÝÛ Ò Þ ÔÖÓ Ð ÑÙ ÖÙ ÓÑ Ø Ý ÄÓÛ Ò ÔÖÞ Ø Û ÖÓÞÛ Þ Ò ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ ÙÒ Ö Ò ÈÓÛ Ø Ó Ø Û Ð ÔÖ Þ ÖÙ ÓÑÝÑ ÛÝÑÙ Þ Ò Ñ ÖÑÓÒ ÞÒÝÑ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝÑ Ñ Ò Û È ÖÛ Þ ÔÖ ÔÓ Ó Þ Ò Ò ÖÙ ÓÑ Ñ Ý ÞÓ Ø ÔÓ Ø ÔÖÞ Þ Ë Ð¹ Ð Ö Í ÓÛÓ Ò ÓÒ ÔÓÑ ÑÓ Ð Ó Ý ÙÔÖÓ ÞÞ ÞÒ ÞÒÝ ÛÔ ÝÛ ÖÙ ÓÑ Ñ Ý Ò ÝÒ Ñ Ð Â Ò ÔÖ ÔÖÞ ÓÑÓÛ ÁÒ Ð ¾ Ë ÐÐ Ò ÑÔ ÔÖÞÝÔ Ò Ð Ø ØÖÞÝ Þ Ø ÛÙ Þ Ø Ó Û Ù ÁÒ Ð Ó ÓÔ Ù ÖÙ ÓÑ Ñ Ý Þ ØÓ ÓÛ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ ÛÞ Ò ÛÞ Ö Ê Ò Ù ÓØ ÈÓ ÞÙ Û Ò ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò ÔÖÞ Ø Û Þ ÔÓÑÓ Þ Ö Ù ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒ Ó ÔÖÞÝ ÑÙ Ò ÙÔÖÓ ÞÞ Ò ÔÓÐ Ò Ó Ö Ò Þ Ò Ù ÖÓÞÛ Þ Ò ØÝÐ Ó Ó Ô ÖÛ Þ Ó Ó ÛÝÖ ÞÙ ÇØÖÞÝÑ Ò Ö ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ ÞÛÝÞ Ò Ø Ö ÛÒ Ò Ñ Ó ÞÑ ÒÒÝ Û Ô ÞÝÒÒ ÁÒ Ð ÔÓ ÞÙ Ù ÖÓÞÛ ÞÒ Ø Ó Ö ÛÒ Ò Û ÔÓ Ø Ò Ó ÞÓÒ Ó Þ Ö Ù Ó Ò Û ÓÑÝ Ø Ý Û Ô ÞÝÒÒ Ý ÖÓÞÛ Þ ÑÙ Ó Ö Ò ÞÝ Ó Ó ÞÓÒ Ð Þ Ý ÛÝÖ Þ Û Ç Ø Ø ÞÒ ÔÓÔÖÞ Ø Ò ¾¾ ÊÓÞÛ Þ Ò Þ ÔÖÓÔÓÒÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÁÒ Ð Ø ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ ÔÖÞÝ Ð ÓÒÝÑ Ï Þ ¹ ØÓ ÓÛ Ò Ò ÝÒ Ö Û Ò Ø ÖÝ ÔÖÞÝÔ Ò ÛÝÖ Þ Þ Ö Ù ÑÓ Ý ÛÝ Ø ÖÞ Ý ÓÐ Ý Þ Ó ÖÛÓÛ Þ Û ÐÓÛ Û ÒÝ Ù ÔÓ¹ ØÖÞ Ù ÑÝ ÛÝÖ Þ Û ÞÒ ÞÒ Û Â Ø ØÓ ÞÞ ÐÒ Û Ò Ý Þ ÑÙ ÑÝ Þ Ò Ò Ñ ÖÙ ÓÑ Ñ Ý Ó Ø Ò ØÓ ÓÛ Þ ÓÒ Û Ð Þ Þ ÔÖ Ý ÖÙ Û Ò ÔÓÞÝ ÓØÝÞ Þ Ò ÖÙ ÓÑ Ý ÞÛ ÒÓ ÓÛ Ø ÔÖ Ë ÐÐ Ò ÑÔ ÔÖÓÔÓÒÓÛ ÓÒ ÒÒÝ ÔÓ ÖÓÞÛ Þ Ò ÔÖÓ Ð ÑÙ ÖÙ ÓÑ Ñ Ý Þ ÑÙ ØÝÐ Ó ØÖ ØÓÖ ØÓ ÓÛ Ñ ØÓ ÖÓÞ Þ Ð Ò ÞÑ ÒÒÝ ÖÓÞÛ ÞÙ Ò ÙÒ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Û ÒÙ ÓÛÝ Þ Ö ÓÙÖ Ö Þ Ø ÑÙ Ò ÔÓ Ø Û Û ÒÓ ÙÒ ÒÙ Û ÞÔÓ Ö Ò ÔÓ Ö Ð ÞÓÛ Ò Þ Ó ÓÒ Û ÖÙÒ ÖÞ ÓÛ Ê ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ ÞÛÝÞ Ò ÓÔ Ù ÖÙ ÓÑ Ñ ÞÓ¹ Ø Ó ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Þ ÔÓÑÓ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÙÓ ÐÒ ÓÒÝ Þ Ó Ò Þ Ö ÛÒ Ò Ñ Ä ¹ Ö Ò ³ ÖÙ Ó ÖÓ Þ Ù ËØ ÒÓÛ ÛÒÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÙÓ ÐÒ ÓÒ ÞÓ Ø Ûݹ ÞÒ ÞÓÒ Ò ÔÓ Ø Û Þ Ý ÔÖ Ý Û ÖØÙ ÐÒ ÊÓÞÛ Þ Ò Ë ÐÐ Ò ÑÔ Ø Ó Þ Ó ÓÒ ÛÓÐÒÓ Þ Ò ÔÓÒ Û Ó Ø Ø ÞÒ Ù Ð ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Þ ÔÓÑÓ ÔÓØÖ Ò Ó Ò Ó ÞÓÒ Ó Þ Ö Ù

9 Á Ø Ò ØÝÐ Ó ÒÓ Ô Ò ÖÓÞÛ ÞÒ Ò Ð ØÝÞÒ Ó Ò Ò ÖÝ Ò Ó Ï ÖÓ Ù ½ ËÑ Ø ÔÖÞ Ø Û ÖÓÞÛ Þ Ò ÞÑ ÓÛ ØÖÙÒÝ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ Þ Ö ¹ Û Ô Ö ÓÑ ØÖÝÞÒÝ Þ Ø ÓÛ Ö ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ ÖÙ Ù ÔÖÞ ÞØ ÓÒÓ Ûݹ ÓÖÞÝ ØÙ Ñ ØÓ Ý ØÖÝ ÙÝ Ò Û Ö ÛÒ Ò Ô Ö ÓÑ ØÖÝÞÒ Ö ÛÒ Ò Ñ Ö Ò Þ ÓÛÝÑ ÞÛÝÞ ÒÝÑ Ó ÞÑ ÒÒÝ Û Ô ÞÝÒÒ Å ÓÒÓ Ô Ò ÖÓÞÛ Þ Ò Ò Ð ØÝÞÒ Û ÓÖÑ Ò Ó ÞÓÒÝ Þ Ö Û ÖÝ ¾ Þ ØÓ ÓÛ ØÓ ÑÓ ÔÓ Ó Þ Ò Ò ÞÒ Ð Þ ÞÞ ÐÒÝ Ó ÔÖÞÝÔ Ø ÖÝ Ñ Ô Ò Þ Ñ Ò Ø ÖÓÞÛ ¹ Þ Ò Ò Ð ØÝÞÒ ÈÖ ÁÒ Ð Ë ÐÐ Ò ÑÔ Ý Ý ÔÓ Ø Û Ó Ò Ð Þ ÔÖÓ Ð ÑÙ ÖÙ ÓÑ Ñ Ý ÔÖÞ Þ Û ÐÙ ÞÝ ÛÒ Þ ËÊÊ Ñ Ò ½¼ ½½ Û ÐÙ ÒÒÝ Ï Ð Ø Ö ØÙÖÞ ØÒ Û Ð ØÓÖÝÞÒÝ ÔÖ ÔÖÞ Ð ÓÛÝ ÛÒ ÖÓ Ý Ó¹ ØÝÞ Ý ÖÙ ÓÑÝ Ó ÒÔ ½ ¾ ½ Ç Ù Þ Ó Þ Ù Ö ÔÖ ÔÖÞ ÙÒ Û ÖÙÒ Ù ÖÓÞÛ Þ Ô Ò Ð ØÝÞ¹ ÒÝ ÓØÝÞ Ý ÛÔ ÝÛÙ ÖÙ ÓÑ Ñ Ý Ò Ö Ò ÓÒ ØÖÙ Â Ò Þ Ò Û¹ ÞÝ ÔÖ Ø Ó ØÝÔÙ Ø ÔÓÞÝ Û Ø Ö ÖÓÞÔ ØÖÞÓÒÓ ÛÓ Ó Ò ÔÓ Ô ÖØ Ð ÖÒÓÙÐ Ó ÙÐ Ö Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù Þ Ô Ò ÞÓ Ø Ó Û ÓÖÑ ÓÛ Þ Þ ØÓ Ó¹ Û Ò Ñ ÙÒ Ö Ò Ý ÖÓÞÛ Þ ØÓ Ö ÛÒ Ò ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÒÓ ÔÓ Û ÒÝ Ñ Ø ÒÙÑ ÖÝÞÒÝ Ñ ØÓ Ö Ò Ó ÞÓÒÝ Û Ø Þ Û Þ ÓÖ Þ ÒÙÑ ÖÝÞÒ ÓÛ Ò Û Û Ö ØÙÖ Ñ ØÓ Ù ÛÞ Ð Ñ Ô Ö Ñ ØÖÙ ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÊÓÞÛ Þ Ò ÓØݹ ÞÝ ØÝÐ Ó ÔÙÒ ØÙ ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ Å ØÓ ÑÓ Ý ØÓ ÓÛ Ò Û Ô ÒÝÑ Þ Ö ÔÖ Ó ÔÖÞ Þ Ù Ñ Ý Â ÝÒ Û Ø Ó Þ Ó ÓÒÝ ÔÓ Û ÒÝ Ñ Ø ÒÙÑ ÖÝÞÒÝ Û ÛÝÒ Ù Þ Ó ÓØÖÞÝÑ Ò Ó Ò Ó ÛÝÒ Ù ÛÝÑ Ö ÞÓ Ù Ó Ò Ù Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ó ÁÒÒ ÔÓ Ò Ð ØÝÞÒÓ ÒÙÑ ÖÝÞÒ ÞÓ Ø Ý ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Û ÔÖ ¾½ ¾ ¼ ¾ Ó ÓÒ Û Ò ÑÓÒÓ Ö ÓØÝÞ ÖÙ ÓÑÝ Ó Ñ ÓÛÝ ÔÓÖÙ Þ ¹ Ý ÔÓ Ð Ò Ô ËÞÞ Ò ¾ Ò Þ ÑÝ Û Ò ÓÔ Ø ÔÖ ÓØÝÞ ¹ Ý ÔÖÓ Ð ÑÙ ÖÙ ÓÑÝ Ó ÔÓÖÙ Þ Ý Â ÞÞ ØÖÞ Ý Ó Ó ÒÓ Ò Ð Ø Ö ØÙÖÓÛ ÔÓ Ð ÙØÓÖ ÔÖÞ Ø Û ÖÝØÝÞÒ Ó Ò ØÒ Ý ÖÓÞÛ Þ ÔÓ ÞÝÑ ÔÖ Þ ÒØÙ Û Ò Ø ÒÒÝÑ ÔÖ Ñ Ø Ó ÙØÓÖ ½ Û Ò Ò Þ ÔÓÞÒ Ý Þ Ø ÖÙÔÝ Þ Ò Ï Ò ÔÖ ÔÖÞ Ø Û Ð Ø ÒÒ ÔÓй Ý Þ Ã Þ ÓÛ ¼ Ä Ò Ö ½ ¾ ÃÐ ÞØÓÖÒÝ áò Ý ÈÖ Ø ÓØÝÞ Þ Ö ÛÒÓ Ó Ø Ý Ö Û Ø Ý ÒÝ Ó ÞÛ ÒÓ ÓÛÝ Ç Ö Ò Þ ÑÝ Ò Þ Þ Ò Ð ÞÝ Ð Ø Ö ØÙÖÝ Ó Ò Ð ÞÒÝ ÛÝ Ö ÒÝ ÔÓÞÝ Â Ø Û Ð ÒÒÝ ÒÒÝ ÔÖ Ø Ö ÔÓÛ Þ Ò ÞÒ Ò Þ ÔÓÛÓ Ù ÞÞÙÔ Ó Ñ Û Ø Þ Ò ÞÓ Ø Ý Þ ÝØÓÛ Ò È ÖÛ Þ ÔÖ Ý Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ó ÑÓ ÐÓÛ Ò Þ ÞÝÞÒÝ Ý Ý ÓÔÙ Ð Ó¹ Û Ò Û ½ ÔÖÞ Þ ÙÖØ Ò ¾ ¾ À ÖÖ Ö ¾ Ò ÓÛ Ò Ñ Ò Ñ Ð ÞÓÛ Ò Ó ÙÒ ÓÒ Ù ÛÝÒ Ó Þ Ø ÓÖ ÔÐÓØ Û ÙÑÓ Ð Û Ó ÛÝÔÖÓÛ Þ Ò Þ Ð ÒÓ ÔÓ¹ Ñ ÞÝ ÞÑ ÒÒ Þ ÓÛ ÞÑ ÒÒÝÑ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝÑ Û Ó Þ Ö Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ Ò¹ ÒÝ Ç Þ ÖÝ Ø ÑÓ Ò ÒØ ÖÔÖ ØÓÛ Ó Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ð Ñ ÒØÝ Ó ÞÓÒ È õò Û ½ ÖÓ Ù Ç Ò ¼ Þ ÔÖÓÔÓÒÓÛ ÙÓ ÐÒ Ò Ñ ØÓ Ý Ð Ñ ÒØ Û Ó ÞÓ¹ ÒÝ Ö ¾¾ Ö ÝÖ Ë ÖÔ Ò ½ ¾ Þ ÞÐ Ò ÓÛÓ ØÖ ØÓÛ ÞÑ ÒÒ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ ÞÑ ÒÒ Þ ÓÛ ÔÖÞÝ ÓÖÑÙ ÓÛ Ò Ù ÔÖÓ Ð Ñ Û Æ Þ Ð Ò Ó Ø Ó ÖÙÒ Ù ÔÖ ÔÓ Û Ý ÓÔÖ ÓÛ Ò Ã Þ ÓÛ Ó ½ ¾ Û Ø ÖÝ ÛÔÖÓÛ ÞÓÒÓ ÔÓ Ö Þ Ô ÖÛ ÞÝ Ó Ñ Ò ÓÒ ØÖÙ ÒØ ÖÔÖ Ø ÞÝÞÒ Ô ÛÒÝ Û Ð Ó ÓØÝ Þ Ó Ö Ð ÒÝ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÞÝÞÒ ÊÓÞÔ ØÖݹ

10 Û ÒÓ ÔÖÓ Ø ÔÖÞÝÔ Ö Ó ÓÛÝ ÔÖØ ØÖÙÒÝ ÃÓÐ Ò ÔÓÖÙ Þ Ò Þ Ò Ò ØÓ Ö Ò ÔÓÔÖÞ ÞÒ Ð ÔÓ ÖÓÞÛ ÞÝÛ Ò ÓÖÑÙ ÓÛ ÒÝ Û Þ ÓÔÖÞ ¹ ØÖÞ Ò Þ ÝÒ Ñ ÞÒÝ ÔÖÞÝ Ô Þ Ò ÔÖÓ Ù ÝÑÙÐ Þ ÓÛ Þ Ð Ò Ó¹ ÛÝ ÔÓÔÖÞ Þ Ð Ö ÞÒ Ð Ñ Ò 2 n Û Ö ØÛ Þ ÓÛÝ ½ ÔÖ ÝÒØ ÞÝ ÓÖÑÙ¹ ÓÛ Ò Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ó Þ ÓÖ Þ Ó Þ ÓÛ Ò Ø ÐÒÓ ½¾ ½ ¼ ¾ Ò Þ ÝÑ Û Ñ Ý Ó Û Þ Ò ÑÓ Ð ÛÓ Ù ÓÛ Ò ÞÛ ÖÙÒ ÓÛÓ Ø ÐÒÝ ÖÓÞÛ Þ Þ ÑÓ Ý Û ÖØÙ ÐÒ ÙÒ ÞØ ØÙ ¾ ÖÙÔ ÔÖ ÔÖÞ Ð ÓÛÝ Ò Ø Ñ Ø Ñ ØÓ Ý Ð Ñ ÒØ Û Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ Ø ÒÓ¹ Û ÔÓÞÝ ¼ Ø Þ ÛÔÖÓÛ Þ Ó ÑÓÒÓ Ö ÇÔ Ñ ØÓ Ý Þ Û ÖØÓ Ø Û ÔÖ

11 Rozdział2 Równania ruchu ÊÓÞ Þ Ø Ò Ñ Þ Þ Ò ÔÖÞ Ø Û Ò Ò Ó Þ ÔÓ Ó Û ÛÝÔÖÓÛ Þ Ò Ö ¹ Ò Þ ÓÛ Ó Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù ØÖÙÒÝ Ð ÔÓÐ Ó Ò Ö ÛÒÓÛ Þ ÑÓÑ ÒØ Û Û Ò Ò Ø ÞÝÑ ÐÒÝÑ Ó Ò Ù Ò Ó Ù Ù ÛÒÝÑ Ò ÔÓÛÓ Ñ Ø ÔÖÞ ¹ Ø Û Ò ÔÓ Ó Ù ÑÓ ÐÓÛ Ò ÖÙ ÓÑ Ó Ó Ò Þ ÔÓÑÓÝ ÐØÝ Ö 2.. Równanie ruchu struny pod ruchomym obciażeniem ÊÝ ÙÒ ¾½ ÏÝ Ò ØÖÙÒÝ Æ ÖÝ ¾½ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ Ò Ó Þ Ò Ñ Ý Ó Ò ØÖÙÒÝ x Ó ÞØ ÓÒ Ó Ô ¹ Û Ò Ò ÞÒ ÒÝ Øα(x,t) Û ÛÝÒ Ù Þ Ò Ó Þ ÛÒØÖÞÒ Ó Ó Ò q(x,t) Æ ÔÓ Ø Û Ö ÛÒÓÛ ÛÞ Ð Ñ Ó Ô ÓÒÓÛ u(x,t) ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ò ØÔÙ Ö ÛÒ Ò [ q(x,t) x+ B(x,t)+Nsin α(x,t)+ α(x,t) ] x Nsin[α(x,t)]=, ¾½µ x Þ N Ø Ò Ù ØÖÙÒÝ Ë ÞÛ ÒÓ Þ Ò ÖÓÞÔ ØÖÝÛ ÒÝ Ó Ò ØÖÙÒÝ Þ Ô Ù ÑÝ ÛÞÓÖ Ñ B(x,t)= ρa 2 u(x,t) t 2 x. ¾¾µ ½¼

12 ¾½ Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù ØÖÙÒÝ ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ ½½ ÈÖÞÝ Ñ Ý ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò Ô Ò ÓÒ Ò ØÔÙ Þ Ó Ò sin[α(x,t)] α(x,t) tan[α(x,t)] α(x,t). ¾ µ ÈÖÞ Ø Û ÓÒ Þ Ó Ò Þ ØÓ ÔÖÞ Ø Û Ò Ó Û ÖÙÒ Ñ Ý Ó ÞØ ( u/ x) 2 << ÈÓÒ Û u x =tan[α(x,t)], ¾ µ ØÓ Ò ÔÓ Ø Û ¾ µ ÔÓÛÝ Þ Ö ÛÒ Ò ÑÓ ÑÝ Þ Ô Û Ò ØÔÙ ÓÖÑ α(x,t) u(x,t) x. ¾ µ Ø Ñ Ö ÛÒ Ò Ö ÛÒÓÛ ¾½µ ÔÖÞÝ ÑÙ ÞÑ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Þ Ô Ù ØÝÐ Ó Ûݹ ÞÒ Þ ÔÓÑÓ ÔÖÞ Ñ ÞÞ q(x,t) x+ B(x,t)+N u(x,t) x +N 2 u(x,t) x N u(x,t) x 2 x =. ¾ µ ÊÙ ÓÑ Ó Ò Þ Ò Ó Ò Ù x ÑÓ ÑÝ ÔÖÞ Ø Û Þ Ó Ò Þ ÖÝ ¾¾ Þ ÔÓÑÓ Ö Ò Ý ÙÒ À Ú ³ Æ Ø ÔÓ Ø Û ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Þ Ð ÒÓ ÓÔ Ù Þ ÛÒØÖÞÒ Ó Ò q(x,t) Þ Ò Ó Ò Ù x ÊÝ ÙÒ ¾¾ Ê Ò ÙÒ À Ú ³ q(x,t) x=[h(x vt) H(x vt dx)] [ P m 2 u(vt,t) t 2 ]. ¾ µ ÍÛÞ Ð Ò ÓÒ Þ Ö ÛÒÓ ÖÙ ÓÑ Ø Ö Û Ø Ý Ò ÛÔ ÝÛ Ó Ò Þ¹ Û ÒÓ ÓÛ Ó Ï ÖØÓ Þ ÙÛ Ý ÔÖÞÝ Ô Þ Ò ÖÙ ÓÑ Ñ Ý ÙÛÞ Ð Ò ÓÒ ÞÓ¹ Ø Ó Û ÖÙ ÓÑÝÑ ÔÙÒ vt Û Ó Ö Ò Ò Ù Ó ÞÛ ÒÓ Ñ ØÖÙÒÝ ¾¾µ Ó ¹ Ò Þ ¾ µ ¾¾µ Ö ÛÒ Ò ¾ µ Û ÛÝÒ Ù Ó Ù ØÖÓÒÒ Ó Þ Ð Ò ÔÖÞ Þ x ÔÖÞÝ ÑÙ Ò ØÔÙ ÔÓ Ø N 2 u(x,t) +ρa 2 u(x,t) = H(x vt) H(x vt dx) x 2 t 2 x [ P m 2 u(vt,t) t 2 ¾ µ ÈÓÒ Û ÖÓÞÔ ØÖÙ ÑÝ Ò Ó Þ Ò Ñ Ý Ó Ò ØÖÙÒÝ dx µ ÔÓÒ Þ Ö Ò ÑÓ ÑÝ ÔÖÞ Ø Û Þ ÔÓÑÓ ÐØÝ Ö im dx H(x vt) H(x vt dx) dx =δ(x vt). ]. ¾ µ

13 ¾¾ Ê ÛÒ Ò Ð ÖÒÓÙÐÐ Ó¹ ÙÐ Ö ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ ½¾ Ç Ø Ø ÞÒ Ö ÛÒ Ò ¾ µ ÓÔ Ù ÖÙ ØÖÙÒÝ ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ ÑÓ ÑÝ Þ Ô Ò ØÔÙ Ó [ ] N 2 u(x,t) +ρa 2 u(x,t) =δ(x vt) P m 2 u(vt,t) x 2 t 2 t 2. ¾½¼µ ÈÖÞÝ Ô Þ Ò ÖÙ ÓÑ Ñ Ý ÞÒ Ò Û Ð Ø Ö ØÙÖÞ ÔÓ Ò ÞÛ ÛÞÓÖÙ Ê Ò Ù ÓØ Þ ¹ Û Ö Ô Ò ÓÔ Þ Û ØÓÛ ÖÞÝ Þ Ý ÔÓÖÙ Þ ÑÙ ÙÔ ÓÒ ÑÙ Ó Ò Ù ÞÛ ÒÓ ÓÛ ÑÙ ÈÖÞÝv=const ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ 2 u(vt,t) = 2 u(x,t) t 2 t 2 +2v 2 u(x,t) +v 2 2 u(x,t) x=vt x t x=vt x 2. ¾½½µ x=vt 2.2. Równanie beki Bernouiego-Euera pod ruchomym obcia- żeniem ÈÓÑ ÑÓ Ö Ò Þ ÓÛ Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ Ó¹ ÙÐ Ö Ò Ø Ö ÛÒ Ò Ñ ÐÓÛÝÑ ØÓ Þ Û Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ Ù ÓÛ ÓÖ Þ ÔÖÓ Ø Ø Ò ÞÒ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÒÓÛ Þ Ý ÓÛ Ò Ò Û Þ ÖÙÔ ÔÖ ÓÔ Ù Ý ÖÙ ÓÑ Ó Ò Æ ÔÓ ¹ ÊÝ ÙÒ ¾ ÏÝ Ò Ð ÖÒÓÙÐÐ Ó¹ ÙÐ Ö Ø Û ÙÖ Ù ÛÝØÖÞÝÑ Ó Ñ Ø Ö Û ÔÖÞÝ Ñ Ý ÛÝ ÝÐ Ò ÓÖ Þ Þ ÓÛÙ ÓÒÛ Ò ÞÒ Û ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ M(x,t)= EI ψ(x,t) x = EI 2 u(x,t) x 2. Ó Ò Þ ÖÝ ¾ Ö ÛÒÓÛ ÑÓÑ ÒØ Û ÛÞ Ð Ñ ÖÓ Ð Ñ ÒØÙ x ÛÝÒÓ M(x,t) M(x,t) M(x,t) x x+q(x,t) x 2 +Q(x,t) x 2 + Q(x,t) x 2 x 2 ¾½¾µ =. ¾½ µ ÈÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ù Ö ÛÒ Ò ¾½¾µ ÓÖ Þ ÔÓÑ Ò Ù Ñ Ý ÛÝ Þ Ó ÖÞ Ù x 2 ÓØÖÞݹ ÑÙ ÑÝ Ó ÐÒ ÞÒ ÒÝ ÛÞ Ö Ó Ö Ð Ý Ò Q(x,t)= M(x,t) x = [ ] EI 2 u(x,t) x x 2. ¾½ µ

14 ¾ Ê ÛÒ Ò Ð Ì ÑÓ Ò ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ ½ Æ ÔÓ Ø Û Ö ÛÒÓÛ ÛÞ Ð Ñ Ó Ô ÓÒÓÛ u(x,t) ÊÝ ¾ µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ B(x,t)+Q(x,t)+ Q(x,t) x Q(x,t)+q(x,t) x=. ¾½ µ x Ó Ò Þ ¾¾µ ¾½ µ Ö ÛÒ Ò ¾½ µ ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø ρa 2 u(x,t) t 2 x 2 x 2 [ EI 2 u(x,t) x 2 ] x+q(x,t) x=. ¾½ µ ÊÙ ÓÑ Ó Ò Þ Ò Ó Ò Ù x ÔÓ Ó Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù ØÖÙÒÝ ÑÓ ÐÙ ÑÝ Þ ÔÓÑÓ ÐØÝ Ö Ç Ø Ø ÞÒ Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ Ó ÙÐ Ö ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ Þ Ô Ù ÑÝ Û Ò ØÔÙ Ý ÔÓ EI 4 u(x,t) x 4 +ρa 2 u(x,t) t 2 =δ(x vt) [ P m 2 u(vt,t) t 2 ]. ¾½ µ 2.3. Równanie beki Timoshenki pod ruchomym obciażeniem Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ð Ì ÑÓ Ò Ø ÓÔ Ù Ý ÓÖÑ Ù Ù Ò Ó ÔÓÛ ÝÒ ØÓÛ ÔÖÞÝ ÞÝ ØÝÑ Þ Ò Ò Ùψ(x,t) Û ÔÖÞÝÔ Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ Ó ÙÐ Ö ÏÖ Þ ÊÝ ÙÒ ¾ ÏÝ Ò Ð Ì ÑÓ Ò Þ Ø Ñψ(x,t) ÑÝ ÔÓ ÙÛ Ö ÛÒ ÛÔ ÝÛ Ó ÞØ Ò ÔÓ Ø ÓÛ Ó u(x, t) x =ψ(x,t)+γ(x,t). ¾½ µ Ã Ø Ó ÞØ Ò ÔÓ Ø ÓÛ Ó ÔÓ Þ Ò Ñ Ý Ò Q(x,t) Þ Ô Ù ÑÝ Ò ¹ ØÔÙ Ó γ(x,t)=k Q(x,t) GA, ¾½ µ Þ k Ø Û Ô ÞÝÒÒ Ñ ÞØ ØÙ ÔÖÞ ÖÓ Ù ÔÓÔÖÞ ÞÒ ÓA GÑÓ Ù Ñ Ó ¹ ÞØ Ò ÔÓ Ø ÓÛ Ó ÞÛ ÒÝÑ ÑÓ Ù Ñ Ã Ö Ó ÒÝ Ù ÙÛÞ Ð Ò Ö Û¹ Ò ÔÖÞÝÖÓ Ø ÑÓÑ ÒØÙ ÞÛ ÒÓ Ò Ò Ø ÞÝÑ ÐÒ Ó Ó Ò Ð Ø ÖÝ Þ Ó Ò Þ ÓÒÛ Ò ÞÒ Û ÔÖÞÝ ÑÙ Ò ØÔÙ ÔÓ Ø M B = ρi 2 ψ(x,t) t 2 x. ¾¾¼µ

15 ¾ Ê ÛÒ Ò Ð Ì ÑÓ Ò ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ ½ Æ ÔÓ Ø Û Û ÖÙÒ Ù Ö ÛÒÓÛ ÑÓÑ ÒØ Û ÛÞ Ð Ñ ÖÓ Ð Ñ ÒØÙ x ÊÝ ¾ µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ M(x,t) M(x,t) M(x,t) x x+q(x,t) x 2 +Q(x,t) x 2 + Q(x,t) x 2 x 2 + M B=. ¾¾½µ ÈÓ Ø Û ¾¾¼µ Ó ¾¾½µ ÓÖ Þ ÔÓÑ Ñ ÛÝ Þ Ó ÖÞ Ù x 2 Ò ÑÓ ÑÝ Þ Ô Û Ò ØÔÙ ÓÖÑ Q(x,t)=ρI 2 ψ(x,t) + M(x,t) t 2 x. ¾¾¾µ Ï ÔÖÓ ØÝ ÔÓ ÑÓ ÑÝ Þ Ó ÖÛÓÛ Ö Ò Ñ ÞÝ ÔÓ Ñ Ø Ò ÞÒÝÑ Ð ¾½ µ ÐÓÛÝÑ ÓÔ Ñ ÖÙ Ù Ê Ò Þ Ù ÑÓÑ ÒØ Ò Ý ¾½¾µ ÛÞ Ð Ñx ÔÓ ¹ Ø Û Ó ¾¾¾µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Q(x,t)=ρI 2 ψ(x,t) t 2 EI 2 ψ(x,t) x 2. Ó Ò Þ ¾½ µ ¾½ µ Ö ÛÒ Ò ¾¾ µ ÔÖÞÝ ÑÙ Ò ØÔÙ ÔÓ Ø ¾¾ µ Q(x,t)=ρI 3 u(x,t) ρik 2 Q(x,t) EI 3 u(x,t) + EIk 2 Q(x,t). ¾¾ µ x t 2 GA t 2 x 3 GA x 2 Ö Ù Ó Ø ÓÛ Þ Ð ÒÓ ÞÒ Þ ÑÝ ÔÓ Ó Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ Ó ÙÐ Ö Ò ÔÓ Ø Û Ö ÛÒ Ò Ö ÛÒÓÛ ¾½ µ ÛÞ Ð Ñ Ô ÓÒÓÛ Ó ÔÖÓ ØÓÔ Ó Ó Ox ÈÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ù ÓÖ Þ Þ Ó Ò Þ ÛÞÓÖ Ñ ÓÔ Ù ÝÑ ÞÛ ÒÓ Þ Ò Ó Ò Ù x ¾¾µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Q(x, t) x =ρa 2 u(x,t) t 2 q(x,t). ¾¾ µ ÈÓ ÙÔÖÞ Ò ÔÖÞ ÞØ Ò Ö ÛÒ ¾¾ µ ¾¾ µ Ó Ø Ø ÞÒ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Þ Ø¹ ÓÛ Ö Ò Þ ÓÛ Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù Ð Ì ÑÓ Ò EI 4 u(x,t) x 4 ( ρi+ρk EI G =q(x,t) k EI GA ) 4 u(x,t) +ρ 2 k I 4 u(x,t) +ρa 2 u(x,t) = x 2 t 2 G t 4 t 2 2 q(x,t) +ρk I 2 q(x,t), x 2 GA t 2 Þ ÖÙ ÓÑ Ó Ò Þ Ò Ù Þ Ô Ù ÑÝ Ò ØÔÙ Ó q(x,t)=δ(x vt) [ P m 2 u(vt,t) t 2 ] ¾¾ µ. ¾¾ µ ÈÓ Ó Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù ØÖÙÒÝ Ð Ì ÑÓ Ò Ø Ö ÛÒ Ò Ñ ÐÓÛÝÑ Þ ÔÖ Ó Ð ØÒ c ÓÖ Þ ÔÖ Ó Ð Ò Ò c 2 Ò ÛÞÓÖ Ñ c = E ρ, c 2= G kρ. ¾¾ µ

16 Rozdział3 Rozwiazania anaityczne równania struny Ï ÞÝ Ø ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Û ÖÓÞ Þ Ð ÖÓÞÛ Þ Ò ÓØÝÞ ÖÙ ÓÑ Ý Ö Û Ø Ý ¹ Ò ÓÔ Ö Ò ÞÒ ÒÝÑ ÖÓÞÛ Ò Ù Û Ò Ó ÞÓÒÝ Þ Ö ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒÝ ÈÓ¹ ÞÛ Ð ÓÒ ÖÓÞ Þ Ð ÞÑ ÒÒ Þ Ø ÑÙ ÞÖ Ù ÓÛ Þ Ø ÓÛ Ö ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ ÖÙ Ù Ó Ö ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ Ó ÞÛÝÞ Ò Ó ÈÖÞ Ø Û ÓÒÓ Þ Ö ÛÒÓ ÖÓÞÛ Þ Ò Ð ÝÞÒ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÛ Ï Ð Þ Þ ÖÓÞ Þ Ù ÔÖÞ Ø Û ÓÒ ÞÓ Ø Ò Û Ö ÝÒ Ô Ò ÖÓÞ¹ Û Þ Ò Ò Ð ØÝÞÒ ÓØÝÞ ÞÑ ÓÛ ØÖÙÒÝ ÔÓ Ò ÖÙ ÓÑ ÑÙ Ó Ò Ù ÞÛ ÒÓ ÓÛ ÑÙ Æ ÓÒ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ ÞÓ Ø Ò Ñ Ø Ñ ØÝÞÒÝ ÓÛ ØÒ Ò Ò Ó ØÖ ØÓÖ ÖÙ ÓÑ Ñ Ý Ò ÔÓ Ø Û ÛÞ Ò ÙÞÝ ÒÝ ÖÓÞÛ Þ ÓØÝÞ Ý ÞÑ ÓÛ ØÖÙÒÝ ½ ½ ÇØÖÞÝÑ Ò ÖÓÞÛ Þ Ò ÞÓ Ø Ò ÔÓ Þ ÞÓ Ö ÞÓÛ Ò Ö ÞÒ Ï ÐÙ ØÛ Ó ÔÓÖ ÛÒ Ò ÛÝÒ Û Û ÔÖÞÝ ÔÖÞÝ ØÓ Ò ÓÛ Ò ÙÔ ÓÒ P= ÔÓÖÙ Þ Ñ m= Ò Ô ØÖÙÒÝN= ØÓ Ñ Ýρ= ÔÓÐ ÔÖÞ ÖÓ Ù ÔÓÔÖÞ ÞÒ ÓA= ÓÖ Þ Ù Ó = ÏÝÒ ÓØÝÞÝ Ö ÒÝ ÔÖ Ó ÔÖÞ Þ Ù Ó Ò v 3.. Inercyjna struna pod działaniem ruchomej stałej siły rozwi azanie kasyczne ÊÝ ÙÒ ½ ËØ ÖÙ ÓÑ P ËØ È ÔÓÖÙ Þ Þ Ø ÔÖ Ó v ÊÝ ½µ ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Ø Þ ÔÓÑÓ ÐØÝ Ö ¾ µ Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù Þ Ó Ò Þ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝÑ ÛÝÔÖÓÛ Þ ¹ ½

17 ½ ÁÒ ÖÝ Ò ØÖÙÒ ÔÓ Þ Ò Ñ ÖÙ ÓÑ Ø Ý ÖÓÞÛ Þ Ò Ð ÝÞÒ ½ Ò Ñ Û ÖÓÞ Þ Ð ¾ Þ ÙÛÞ Ð Ò Ò ÞÛ ÒÓ ÖÙ ÓÑ Ó Ó Ò Ñ Ò Ø¹ ÔÙ ÔÓ Ø N 2 u(x,t) +ρa 2 u(x,t) =δ(x vt)p, ½µ x 2 t 2 Þ N Ø Ò Ù ρa Ð Ò ÓÛ ØÓ ØÖÙÒÝ ÈÖÞÝ ÑÙ ÑÝ Ò ØÔÙ Û ÖÙÒ ÖÞ ÓÛ u(,t) =, u(,t) =, ¾µ ÓÖ Þ Û ÖÙÒ ÔÓÞ Ø ÓÛ u(x,) =, u(x,t) t t= =. µ Ý ÖÓÞ Þ Ð ÞÑ ÒÒ ÖÓÞÛ ÑÝ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò Û Ò Ó ÞÓÒÝ Þ Ö u(x,t)= X(x)T(t). n= ÌÓ ÑÓ ÔÓ ØÓ Ù ÑÝ Ó Þ ÛÒØÖÞÒÝ ËØÓ Ù ÔÓ Ø Û Ò q(x,t)= ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù ØÖÙÒÝ X(x)Q(t). n= ρa N = c 2 c= N ρa 2 u(x,t) x 2 + c 2 2 u(x,t) t 2 =δ(x vt) P N, µ µ µ µ Þ c Ø ÔÖ Ó ÖÓÞÔÖÞ ØÖÞ Ò Ò Ð Ñ Ò ÞÒ Û ØÖÙÒ Æ ÔÓ Ø Û Þ Ö Û µ µ Ö ÛÒ Ò µ ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø c 2 X(x) T(t) n= X (x)t(t)= n= X(x)Q(t). n= µ ÈÖÞÝ ÑÙ ÑÝ ÙÒ X(x) X(x)=sin nπx µ Ö Ð ÞÙ Þ Ó ÓÒ Û ÖÙÒ ÖÞ ÓÛ ¾µ Æ Ø ÔÓ Ø Û ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÖÙ ÔÓ Ó Ò ÔÓx X (x)= n2 π 2 sin nπx. ½¼µ 2 ÈÓÖ ÛÒÙ µ ½¼µ ÞÒ ÑÝ Þ Ð ÒÓ ÔÓÑ ÞÝX(x) X (x) X (x)= n2 π 2 2 X(x). ½½µ ÏÝ ÓÖÞÝ ØÙ Þ Ð ÒÓ ½½µ ÑÓ ÑÝ Ö ÛÒ Ò µ Þ Ô Û Ò ØÔÙ Ý ÔÓ c 2 n= T(t)X(x)+ n= T(t) n2 π 2 2 X(x) Q(t)X(x) =. ½¾µ n=

18 ½ ÁÒ ÖÝ Ò ØÖÙÒ ÔÓ Þ Ò Ñ ÖÙ ÓÑ Ø Ý ÖÓÞÛ Þ Ò Ð ÝÞÒ ½ Ç Ø Ø ÞÒ Ö ÛÒ Ò ½¾µ ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø [ c 2 T(t)+ n2 π 2 ] T(t) Q(t) X(x)=. 2 n= ½ µ ÈÓÒ Û Þ Ó ÓÒ ÙÒ X(x) Û ÔÖÞ Þ Ð (,) Ò ÔÖÞÝ ÑÙ Û ÖØÓ Þ ÖÓÛÝ Ð Ø Ó Ø Þ Û ÖØÓ Ò Û Ù Û Ö ØÓÛ Ó Ý Ý Ô Ò ÓÒ Ö ÛÒÓ Þ ÔÓÛÝ Þ Ó ÛÞÓÖÙ ÑÙ Ö ÛÒ Þ ÖÓ Þ Ø Ñ c 2 T(t)+ n2 π 2 2 T(t) Q(t)=. ÈÓ ÔÖÞ ÞØ Ò ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ö ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ ÞÛÝÞ Ò Ò ÒÓÖÓ Ò T(t)+ n2 π 2 c 2 2 T(t)=c 2 Q(t). ½ µ ½ µ Ò ÒÓÖÓ ÒÓ ÙÒ Q(t) ÛÝÞÒ Þ ÑÝ Ò ÔÓ Ø Û Ö ÛÒ Ò µ ÑÒÓ¹ ÔÖÞ Þ ÙÒ X(x) Ù Û ÔÖÞ Þ Ð <;> Q(t)= q(x,t)sinnπx x sin2nπx x. ½ µ Ó Ò Þ Ö ÛÒ Ò Ñ µ Û Ø ÖÝÑ ÔÖ Û ØÖÓÒ Ø ÙÒ q(x,t) ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ q(x,t)sin nπx x= P δ(x vt)sin nπx x= P N N sinnπvt ÓÖ Þ sin 2nπx x= 2. Æ ÔÓ Ø Û ½ µ ½ µ ÙÒ Q(t) ÔÖÞÝ ÑÙ Ò ØÔÙ ÔÓ Ø Q(t)= 2P N sinnπvt Ç Ø Ø ÞÒ Ö ÛÒ Ò ½ µ Þ Ô Ù ÑÝ Ò ØÔÙ Ó T(t)+ n2 π 2 c 2 T(t)= 2P 2 N c2 sin nπvt, ½ µ ½ µ. ½ µ. ¾¼µ ÈÓÛÝ Þ Ö ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ ÖÓÞÛ ÞÙ ÑÝ Ð ÝÞÒ Ñ ØÓ ÞÝÐ ÛÙ Ø ÔÓÛÓ ËÞÙ Ò ÖÓÞÛ Þ Ò Ø ÙÑ ÖÓÞÛ Þ Ò Ó ÐÒ Ó ÞÞ ÐÒ Ó T(t)=T o (t)+t s (t). ¾½µ ÊÓÞÛ Þ Ò Ó ÐÒ Ó ÞÙ ÑÝ Þ Þ ÒÓÖÓ Ò Ö ÛÒ Ò ¾¼µ T(t)+ n2 π 2 c 2 Ø Ö Ó ÖÓÞÛ Þ Ò ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ ÔÓÒ T o (t)=c cos nπct 2 T(t)=, +C 2 sin nπct ¾¾µ. ¾ µ

19 ½ ÁÒ ÖÝ Ò ØÖÙÒ ÔÓ Þ Ò Ñ ÖÙ ÓÑ Ø Ý ÖÓÞÛ Þ Ò Ð ÝÞÒ ½ 3... Przypadek v c ÊÓÞÛ Þ Ò ÞÞ ÐÒ Ó ÞÙ ÑÝ Ñ ØÓ ÔÖÞ Û ÝÛ Þ T s (t)=asin nπvt A= 2P N +Bcos nπvt c 2 n 2 π 2 (c 2 v 2 ), B=. ÈÓ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù Ø Ý A B ÖÓÞÛ Þ Ò ÞÞ ÐÒ ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø T s (t)= 2P N c 2 n 2 π 2 (c 2 v 2 ) sinnπvt Ç Ø Ø ÞÒ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ö ÛÒ Ò ¾¼µ Ø Ò ØÔÙ ÙÒ, ¾ µ ¾ µ. ¾ µ T(t)=C cos nπct +C 2 sin nπct + 2P N c 2 n 2 π 2 (c 2 v 2 ) sinnπvt. ¾ µ Ó Ò Þ Þ Ó ÓÒÝÑ Û ÖÙÒ Ñ ÔÓÞ Ø ÓÛÝÑ µ ÓÖ Þ ÖÓÞÛ Ò Ñ Û Þ Ö µ ÑÓ ÑÝ Þ Ô n= T()X(x)= n= T()X(x)= T()= T()=. ¾ µ Æ ÔÓ Ø Û ÔÓÛÝ ÞÝ Þ Ó Ó Ð Þ ÑÝ Ø C C 2 Û Ö ÛÒ Ò Ù ¾ µ C =, C 2 = 2P N cv n 2 π 2 (c 2 v 2 ). ¾ µ ÈÓ ÙÛÞ Ð Ò Ò Ù ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ô Ò ÖÓÞÛ Þ Ò Ö ÛÒ Ò ¾¼µ T(t)= 2P N ( c csin nπvt n 2 π 2 (c 2 v 2 ) vsin nπct ). ¼µ Ç Ø Ø ÞÒ ÖÓÞÛ Þ Ò Ö ÛÒ Ò ½µ ÙÛÞ Ð Ò µ µ ¼µ ÙÞÝ Ù ÔÓ¹ Ø u(x,t)= 2P N c π 2 (c 2 v 2 ) n= ( csin nπvt n 2 vsin nπct ) sin nπx. ½µ ÈÖÞ Ø Û ÓÒ ÛÝÒ Ó ÓÒ Ð Ó Ö ÞÙ ÛÔ ÝÛ ÞÛ ÒÓ ØÖÙÒÝ Ò Ó Ø Ø ÞÒ ÖÓÞÛ Þ Ò ØÛÓ ÑÓ ÑÝ Þ Ó ÖÛÓÛ Ó Ð Ñ Ò ÞÒ Ó ÖÙ ÓÑ Ó Ó Ò ÓÖ Þ Ó Ù ÔÓ Ô Ö Przypadek v = c ÈÓÒ Û Ð ÔÖ Ó ÖÙ Ù Ý Ö Û Ø Ý Ò v Ö ÛÒ ÔÖ Ó Ð Û ØÖÙÒ cöóþ¹ Û Þ Ò ÞÞ ÐÒ Þ ÔÓÔÖÞ Ò Ó ÔÖÞÝÔ Ù ¾ µ ÔÓ ÖÝÛ Ó Ý Þ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ

20 ½ ÁÒ ÖÝ Ò ØÖÙÒ ÔÓ Þ Ò Ñ ÖÙ ÓÑ Ø Ý ÖÓÞÛ Þ Ò Ð ÝÞÒ ½ u/u v=. -.2 v=.2 v= v=.4 v= v=.6 v= v=.8 v= x/l u/u v=. -.8 v=.2 v=.3 - v=.4 v= v=.6 v= v=.8 v= x/l ÊÝ ÙÒ ¾ ÊÙ ÓÑ Ö Û Ø Ý Ò ØÖ ØÓÖ ÖÙ ÓÑ Ý ÖÝ ÙÒ Ð Ûݵ ÖÓ ØÖÙÒÝ ÖÝ ÙÒ ÔÖ Ûݵ Ó ÐÒÝÑ ÅÙ ÑÝ ÔÓ ÑÓ Ý Þ Ó Ò Þ Þ Ñ ÖÓÞÛ ÞÝÛ Ò Ö ÛÒ Ö Ò Þ ÓÛÝ ÞÛÝÞ ÒÝ Ò ÒÓÖÓ ÒÝ Þ T s (t)=atsin nπct +Btcos nπct, ¾µ A=, B= Pc Nnπ. µ ÈÓ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù Ø Ý A B ÖÓÞÛ Þ Ò ÞÞ ÐÒ ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø T s (t)= Pct Nnπ cosnπct. µ Ç Ø Ø ÞÒ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ö ÛÒ Ò ¾¼µ Ð v=c Ø Ò ØÔÙ ÙÒ T(t)=C cos nπct +C 2 sin nπct Pct Nnπ cosnπct. µ Æ ÔÓ Ø Û Þ Ó ÓÒÝ Û ÖÙÒ Û ÔÓÞ Ø ÓÛÝ ¾ µ Ó Ð Þ ÑÝ Ø C C 2 ÈÓ ÙÛÞ Ð Ò Ò Ù Ø Ý ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ T(t)= P Nnπ C =, C 2 = P Nn 2 π 2. ( nπ sinnπct ctcos nπct ) µ. µ Ç Ø Ø ÞÒ Þ Ó Ò Þ µ µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò ØÖÙÒÝ ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ Ö Û Ø Ý ÒÝÑ ÔÓÖÙ Þ ÝÑ Þ Ø ÔÖ Ó Ö ÛÒ ÔÖ Ó Ð c= N/ρA u(x,t)= P Nπ n= ( n nπ sinnπct ctcos nπct ) sin nπx. µ

21 ¾ ÁÒ ÖÝ Ò ØÖÙÒ ÔÓ Þ Ò Ñ ÖÙ ÓÑ Ø Ý ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÛ ¾¼ v=c.2 v=c u/u -.6 u/u x/l x/l ÊÝ ÙÒ ÊÙ ÓÑ Ö Û Ø Ý Ò ÔÖ Ó ÔÖÞ Þ Ù Ö ÛÒ ÔÖ Ó Ð µ ØÖ ¹ ØÓÖ ÖÙ ÓÑ Ý ÖÝ ÙÒ Ð Ûݵ ÖÓ ØÖÙÒÝ ÖÝ ÙÒ ÔÖ Ûݵ 3.2. Inercyjna struna pod działaniem ruchomej stałej siły transformacja całkowa ÈÖ Þ ÒØÓÛ Ò Ñ ØÓ Ø Ñ ØÓ ÞÝ Þ Ö Þ Ð Ò Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÔÓ¹ Ó Ò Ö ÛÒ Ò ½µ Ñ Ò ØÔÙ ÔÓ Ø N 2 u(x,t) x 2 +ρa 2 u(x,t) t 2 = δ(x vt)p. µ ÈÖÞÝ ÑÙ ÑÝ Ø Ñ Þ Ó Ò Ó Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ Ô Ö Ö Ý Ö ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ Þ Ø ÓÛ ÔÖÞ ÞØ Ó Ö ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ Ó ÞÛݹ Þ Ò Ó ØÓ Ù ÑÝ ÒÙ ÓÛ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÛ ÓÙÖ Ö V(j,t) = u(x,t)sin jπx x, ¼µ u(x,t) = 2 j= V(j,t)sin jπx. ½µ Ó ÓÒÙ ÑÝ ÒÙ ÓÛ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ö ÛÒ Ò µ V(j,t)+ω 2 jv(j,t) = P ρa sinωt, ¾µ Þ ω = jπv, ω 2 j = j2 π 2 2 N ρa. µ Ý ÖÓÞÛ Þ Ö ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ ¾µ ØÓ Ù ÑÝ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÛ Ä ÔÐ Ö ÓÒ ½ ÔÓ ÔÖÞ ÞØ Ò Ù ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ V (j,p) = Pω ρa p p 2 +ω 2 p 2 +ωj 2. µ

22 ÞÑ ÓÛ ØÖÙÒ ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ Ò ÖÝ ÒÝÑ ¾½ ÈÓÛÖ ÑÝ Ó ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÖÞ ÞÝÛ Ø Ó ÓÒÙ Ó ÛÖÓØÒ ØÖ Ò ÓÖÑ ØÝ Ä ÔÐ Ö ÓÒ Ö ÛÒ Ò µ V(j,t) = P ρa ω 2 j ω 2 ( sinωt ω ω j sinω j t ). µ Ç Ø Ø ÞÒ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò ØÖÙÒÝ Ò ØÔÙ u(x,t) = j= 2P ρa ω 2 j ω 2 ( sinωt ω ω j sinω j t ) sin jπx. µ Ê ÛÒ Ò µ Ò ÔÓ Ø Û µ µ ÑÓ ÑÝ ÔÖÞ ÞØ Ó ÔÓ Ø ÓØÖÞÝÑ ¹ Ò Þ ÖÓÞÛ Þ Ò Ð ÝÞÒ Ó ½µ Ýv c u(x,t)= 2P N c π 2 (c 2 v 2 ) n= ( csin nπvt n 2 vsin nπct ) sin nπx. µ Ï ÔÖÞÝÔ Ùv=cÔÓÛÝ Þ ÖÓÞÛ Þ Ò ÔÖÞ Ñ ÞÞ ÔÖÞÝ ÑÙ Û ÖØÓ Ò ÓÞÒ ¹ ÞÓÒ [/] ËØÓ Ù Ñ ØÓ Ð³ÀÓ Ô Ø Ð im u(x,t)=im 2P v c v c N 2vπ 2 n= ( c 2nπt cos nπvt n 2 csin nπct ) sin nπx. µ ÈÓ ÔÖÞ ÞØ Ò Þ ÙÛÞ Ð Ò Ò Ñ µ Ó Ó Þ ÑÝ Ó ÞÒ Ò Ó Ò Ñ ÖÓÞÛ Þ Ò µ 3.3. Bezmasowa struna pod ruchomym obciażeniem inercyjnym ÈÖÞÝ ÑÙ ρ= Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù ØÖÙÒÝ ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ Ñ ÓÛÝÑ ÊÝ µ ÙÞÝ Ù Ò ØÔÙ ÔÓ Ø ÊÝ ÙÒ ÊÙ ÓÑ Ó Ò Ñ ÓÛ N 2 u(x,t) x 2 = δ(x vt)p δ(x vt)m 2 u(vt,t) t 2. µ Ý ÖÓÞÛ Þ ÔÓÛÝ Þ Ö ÛÒ Ò ÓÖÞÝ Ø ÑÝ Þ Û ÒÓ ÔÐÓØÙ u(x,t) = G(x,s) p(s,t) = G(x,s)p(s,t) s, ¼µ

23 ÞÑ ÓÛ ØÖÙÒ ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ Ò ÖÝ ÒÝÑ ¾¾ Þ G(x,s) Ø ÙÒ Ö Ò Ø Ö ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÖÓÞÛ ÞÙ ØÞÛ Ö ÛÒ Ò ÔÓ ¹ Ø ÛÓÛ Þ ØÔÙ ÔÖ Û ØÖÓÒ µ ÐØ Ö δ(x s) Ç Ø Ø ÞÒ ÔÖÞ Ñ Þ¹ Þ Ò ÞÑ ÓÛ ØÖÙÒÝ Þ Ó Ò Þ ¼µ ÔÐÓØ ÑG(x,s) Ò ÒÓÖÓ ÒÓ µ p(x,t) = δ(x vt) ( P m 2 u(vt,t) t 2 ). ½µ ÔÖÓ Ø Ó ÓÛ Ò Ò ÔÓ Ø Û Þ Ó ÓÒÝ Û ÖÙÒ Û ÖÞ ÓÛÝ ¾µ ÓÖ Þ ÔÖÞÝ ÑÙ Ò ØÔÙ ÓÞÒ Þ Ò x=vt i u (t)=u(vt,t) ¾µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Þ Ó Ò Þ ¼µ ½µ ¾µ Ö Ò Þ ÓÛ Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù ØÖÙÒÝ Þ¹ Ñ ÓÛ ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ Ò ÖÝ ÒÝÑ u (t) = ( P m 2 u (t) t 2 ) [ N ( vt ) ] vt. µ ÈÖÞÝ ÑÙ ÑÝ ÞÛÝÑ ÖÓÛ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò ØÖÙÒÝy ÓÖ Þ ÞÛÝÑ ÖÓÛÝ Þ τ y(τ) = u (t) u i τ = vt, µ Þ u = P µ 4N Ø Ù Ñ Ø ØÝÞÒÝÑ Û ÖÓ Ù ØÖÙÒÝ ÈÓ Ø Û µ Ó µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ö ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ ÞÛÝÞ Ò Ò ÒÓÖÓ Ò Ó ÞÑ ÒÒÝ Û Ô ÞÝÒÒ Þ τ( τ)ÿ(τ)+2αy(τ) = 8ατ( τ), α = N 2mc 2. µ µ Przypadek gdy α ÈÖÞÝ ÑÙ ÑÝ Ö ÛÒ Ò ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ö ÛÒ Ò µ y(τ) = τ( τ)ν(τ). µ ÈÓ Ø Û µ Ó ÖÙ ÔÓ Ó Ò Ó µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ τ( τ) ν(τ)+(2 4τ) ν(τ) 2( α)ν(τ) = 8α. µ Â ÒÓÖÓ Ò Þ µ Ø Ö ÛÒ Ò Ñ Ô Ö ÓÑ ØÖÝÞÒÝÑ Ó Ó ÐÒ ÔÓ Ø ÔÖÞ Ø Û ÓÒ ÔÓÒ τ( τ) ν(τ)+[c (a+b+)τ] ν(τ) abν(τ) =. ¼µ

24 ÞÑ ÓÛ ØÖÙÒ ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ Ò ÖÝ ÒÝÑ ¾ Ï Ô ÖÛ ÞÝÑ ÖÓ Ù ÖÓÞÛ ÞÙ ÑÝ Þ ÒÓÖÓ Ò µ Þ Û Ô ÞÝÒÒ a b c Ñ Ò ØÔÙ ÔÓ Ø a,2 = 3± +8α 2, b,2 = 3 +8α 2, c = 2. ½µ ÊÓÞÛ Þ Ò Ö ÛÒ Ò Ô Ö ÓÑ ØÖÝÞÒ Ó Ý Ð Þ c Ø Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒ ÔÓ Ø c=+m ÓÖ Þa m b m ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø ν (τ) = F(a,b,c,τ), ν 2 (τ) = F(a,b,c,τ)nτ + + { (ak )(b k ) [h(k) h()] τk (c k ) k! + }, ¾µ ( a)( b)τ k= Þ F(a,b,c,τ) Ø Þ Ö Ñ Ô Ö ÓÑ ØÖÝÞÒÝÑ F(a,b,c,τ) = + k= (a k )(b k ) (c k ) τ k k!, µ (a k ) (b k ) (c k ) ØÞÛ ÝÑ ÓÐ Ñ ÈÓ Ñ Ö (a k ) = a(a+)...(a+k ), (b k ) = b(b+)...(b+k ), (c k ) = c(c+)...(c+k ). µ ÊÓÞÛ Þ Ò ÞÞ ÐÒ µ Ò ÔÓ Ø Û Ó Ò ÒÓÖÓ ÒÓ ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø ν s (τ) = 4α α. Ó Ò Þ µ Ð α Ö ÛÒ Ò µ Ø Ò ØÔÙ y(τ) = [A ν (τ)+a 2 ν 2 (τ)+ν s (τ)]τ( τ). µ µ Æ ÔÓ Ø Û Û ÖÙÒ Û ÔÓÞ Ø ÓÛÝ µ Ó Ð Þ ÑÝ Ø A A 2 A = 4α α, A 2=. µ ËØ A 2 =ÞÒ ÞÒ ÙÔÖ ÞÞ ÓÖÑÙ µ Ç Ø Ø ÞÒ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò ØÖÙÒÝ ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ Ð α Ò ØÔÙ ÔÓ Ø y(τ) = = 4α α τ( τ)[ ν (τ)] 4α α τ( τ)[ F(a,b,c,τ)], µ Þ F(a,b,c,τ) Ò Ø ÛÞÓÖ Ñ µ Æ ÛÝ Ö ÑÓ ÑÝ Þ Ó ÖÛÓÛ ÛÔ ÝÛ Ó ÒÓ Ò ÖÓÞÛ Þ Ò Ð Ó Ó ÓÛ ÔÓ ÔÓÖÝ

25 ÞÑ ÓÛ ØÖÙÒ ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ Ò ÖÝ ÒÝÑ ¾ u/uo -.8 u/uo vt/l vt/l ÊÝ ÙÒ ÌÖ ØÓÖ ÖÙ ÓÑ Ñ Ý ÔÓÖÙ Þ ÔÓ ÞÑ ÓÛ ØÖÙÒ ÑÒ Þ Ó ÒÓ ÖÓÞÛ Þ Ò Ð ÛÝ ÖÝ ÙÒ µ Û Þ Ó ÒÓ ÖÓÞÛ Þ Ò ÔÖ ÛÝ ÖÝ ÙÒ µ Przypadek gdy α = Ï ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Ö ÛÒ Ò µ ÔÖÞÝ ÑÙ Ò ØÔÙ ÔÓ Ø τ( τ)ÿ(τ)+2y(τ) = 8τ( τ). µ Ê ÛÒ Ò µ ÔÓ ÖÓÞÛ Þ Ò Ò Ð ØÝÞÒ Û Þ Ñ Ò Ø ÓÖÑ Ç Ø Ø ÞÒ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò ØÖÙÒÝ ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ Ð α=ôöþý Þ Ó ÓÒÝ Û ÖÙÒ¹ ÖÞ ÓÛÝ ¾µ ÔÓÞ Ø ÓÛÝ µ ÔÖÞ Ø Û ÓÒ ÔÓÒ y(τ)= 4 3 τ( τ) 4 3 τ(+2τn( τ) 2n( τ)). ¼µ -.2 afa= u/u x/l ÊÝ ÙÒ ÌÖ ØÓÖ Ñ Ý Û ÔÖÞÝÔ Ù ÞÑ ÓÛ ØÖÙÒÝ ÔÖÞÝÔ α=µ

26 Æ Ó ÖÓÞÛ Þ Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù ØÖÙÒÝ ÞÑ ÓÛ ¾ d B N N v u B m P+mu.. ÊÝ ÙÒ ÊÙ Ñ Ý ÔÖÞÝ Ó ÓÛ ÔÓ ÔÓÖÞ 3.4. Nieci agłość rozwiazania w przypadku struny bezmasowej Ó ÓÒ Þ Û Ò ÓÛ Ò Ñ ØÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Þ ÔÖÓÔÓÒÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ËÑ Ø ÔÓ¹ ÞÛ Ð Ò Ñ ÔÖÞ Ø Û Û Û ÒÓ ÖÓÞÛ Þ Ò Ð Ó Ó ÓÛ ÔÓ ÔÓÖÝ ÈÖ ¹ Þ ÒØÓÛ Ò ÛÝÒ ÔÖÞ Ø Û Ó ÔÖÞ Ñ ÞÞ ÔÓ Ñ Û Þ ÊÓÞÔ ØÖÞÑÝ ÞÝÞÒ Ò ØÙÖ Ø Ó Ó Ù Æ ÔÖÓ Ø Þ ÛÝ Ò Ò ÔÓÐ Ò ÔÖÞ Ð Þ Ò Ù Ö ÛÒÓ¹ Û ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ Ò ÊÝ ÅÙ ÑÝ Ô Ñ Ø ÛÒÝÑ Þ Ó Ò Ñ Ø Ó Þ Ò Ø Ø Û ÖØÓ Ò Ù ØÖÙÒÝN ÓÖ Þ Ø Û ÖØÓ ÔÖ Ó v ÔÖÞ Þ Ù Ñ Ým Æ ÊÝ ÔÓÞ ÓÑ Ô Ñ Ý ÙØÖÞÝÑ Ø Û ÖØÓ ÔÖ Ó¹ ÃÓ ÓÛÝ Ý Ø Ò ØÖÙÒÝdÑÙ Ý ÔÓ ÓÒ ÒÝ ÔÖÞ Þ Ñ Û Þ d/v ÈÓ ØÝÑ Þ Ñ ÑÙ ÞÒ Ð õ Ò Ó ÓÛ ÔÓ ÔÓÖÞ Þ Ó Ò Þ Þ Ó ÓÒÝÑ Û ÖÙÒ Ñ ÖÞ ÓÛÝÑ Â Ð ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò u B Ø ÛÝ Ø ÖÞ Ó Ù Û ÔÓÖ ÛÒ Ò Ù Þ ÒÒÝÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ñ ÔÖÞÝ Ô Þ Ò Þ Ò Ñ ÔÓÛÓ Ù Ù Ó Þ ÝÛÙ Ò ØÖÙÒF umv 2 /d 2 Ýd Ý Ó Þ Ö F Ý Ó Ò Ó ÞÓÒÓ Ï Ò ¹ ÞÝÑ ÔÖÞÝÔ ÙF Ø Û Þ Ó N Ð mðù v Ø ÛÝ Ø ÖÞ Ó Ù Ì Ò Ø Ò ÖÙ Þ Ò Þ Þ Ó Ò Û ÖÙÒ ØÓ ÓÛ ÐÒÓ Ñ Ý ÔÖÞ Ñ ÞÞ ( u/ x) 2 << Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ýα= ØÖÙÒ ÞÑ ÓÛ Ñ Ô Ò Þ Ñ Ò Ø ÖÓÞÛ Þ Ò Ò Ð ØÝÞÒ ¼µ y(τ)= 4 3 τ( τ) 4 3 τ(+2τn( τ) 2n( τ)), ½µ Þ Ø Ñ ÓÛ Ò Ó ÔÖÞÝ Ó ÓÛ ÔÓ ÔÓÖÞ Ø Ö ÞÓ ÔÖÓ ØÝ im τ y(τ)=4 3. ¾µ Ì Ö Þ Þ Ñ ÑÝ ÔÖÞÝÔ Ñα ÊÓÞÛ Þ Ò Ò Ø Û ÔÓ Ø ÙÑÝ µ y(τ)= 4α α τ(τ ) k (a+i )(b+i ) τ k c+i k!, µ k=i=

27 Æ Ó ÖÓÞÛ Þ Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù ØÖÙÒÝ ÞÑ ÓÛ ¾ Þ τ =vt/> Ø ÞÛÝÑ ÖÓÛÝÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ñ Þ Ù Ø Ò ÛÑÝ Ò ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ö ÛÒ Ò µ ÞÞ ÐÒ Ò Ó Û ÖØÓ ÔÖÞÝτ= È ÖÛ ÞÝ Ò τ(τ ) Ö ÛÒ Þ ÖÓ Ò ØÓÑ Ø ÔÓÞÓ Ø Þ Ý Ó Ò Ó ÞÓÒÓ k k=i= (a+i )(b+i ) c+i τ k k!. µ Å ÑÝ Û Ò Ó Ö ÐÓÒ ÖÓÞÛ Þ Ò [ ] ÔÖÞÝτ= Ì Ò Ñ ÛÝÒ ÓØÖÞÝÑ ÑÝ Ò ÔÓ Ø Û ØÛ Ö Þ Ò Ð ËÞ Ö ÔÓØ ÓÛÝ ÑÓ¹ ÑÝ Þ Ô Û Ò ØÔÙ ÓÖÑ k A k τ k, A k = k= i= (a+i )(b+i ) (c+i )i. µ Ï ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù im τ A kτ k = y( )= Ý ÔÓÞ Ý Ò ÓÞÒ ÞÓÒÓ Û ÖÓÞÛ Þ Ò Ù ËÑ Ø ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ ÒÒÝ Ñ Ø ÔÓ ØÔÓÛ Ò ÔÓÐ Ý Ò Û Þ Ò Ù Ò τ(τ ) Ó ÙÑÝ Ï Ø Ò ÔÓ Ö ÛÒ Ò µ ÞÓ Ø Ó ÔÖÞ ÞØ ÓÒ Ó Ò ØÔÙ ÓÖÑÝ ( τ) Þ k= (a k )(b k ) (c k ) τ k k! =abτ c + k=2 (a k )(b k ) (c k ) (a k ) = a(a+)...(a+k ), (b k ) = b(b+)...(b+k ), ( ) (a+k )(b+k ) τ k k(c+k ) (k )!, µ (c k ) = c(c+)...(c+k ). µ Ó Ò Þ ÖÝØ Ö ÙÑ Ê Ó Ð a+b<c+2 Ö Ò im τ [ ( τ) k k=i= (a+i )(b+i ) c+i τ k ] k! Ø Ó ÞÓÒ Ì Ö Þ ÑÓ ÑÝ Ó Þ ÓÛ Û ÖØÓ ÙÑÝ µ ËÙÑ Ô ÖÛ ÞÝ ØÖÞ Ò Û ÛÖ Þ Þabτ/c Ø Ó ØÒ Æ ØÔÒ Ò ÙÑÝ Ø Ó ØÒ ÓÛÓ Þ ØÓ ÙÑ µ Ø Ó ÞÓÒ Û Þ Ó Þ Ö Æ Ó ÙÒ ÞÓ Ø ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Ò ÊÝ ÈÖÞÝ ÖÞÝ ÑÝ Û ÖÙÒ ÓÑ ÖÞ ÓÛÝÑ Ð τ= ÅÓ ÑÝ ÛÝÓ Ö Þ Ó ÝÑ ¹ ØÖÝÞÒ Þ Ò Þ Ñ ÔÓÖÙ Þ Þτ =2 Óτ = Þ P Ó ÔÖÞ ÛÒÝÑ ÞÒ Ùµ ÇØÖÞÝÑ ÑÝ ÛØ Ý Û Ò ÐÓ ÞÒ ÔÖÓ Ð ÑÝ ÔÖÞÝτ= ËÙÑ ØÝ Û Ö Ò Ð τ= Ö ÛÒ Þ ÖÓ ( ) im 2 τ y(τ)+im τ +y(τ) =. ÈÓØÖ ÑÝ Ö ÛÒ Ó Ð ÞÝ ÔÓ Ó Ò y/ τ Â Ö Ò ÔÖÞÝτ Ø Û õò ¹

28 Æ Ó ÖÓÞÛ Þ Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù ØÖÙÒÝ ÞÑ ÓÛ ¾ τ ÊÝ ÙÒ Æ Ó ÙÒ µ Û ÔÙÒ τ= τ ÊÝ ÙÒ Ä Û ÔÖ Û Ö Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù Ýτ= Ñ Ò ÝÐ Ò Ó ÓÛ Ó Ö Ñ ÒØÙ ØÖÙÒÝ ÛÞ Ð Ñ Ó ÔÓÞ ÓÑ Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÖÙ ÓÑ ÝP ÔÖÞÝ Ø Þ ÞÒ Ñ Ñ ÒÙ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ò ØÔÙ Ö Ò y im τ τ =. µ ÈÓØÛ Ö Þ ÓÒ Ó Ø Ø ÞÒ Ò Ó ØÖ ØÓÖ ÖÙ ÓÑ Ñ Ý ÔÓÖÙ Þ ÔÓ ÞÑ ÓÛ ØÖÙÒ

29 Rozdział4 Rozwiazania anaityczne równania drgań beek Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ Ó ÙÐ Ö Ì ÑÓ Ò Þ ØÓ ÓÛ ÒÓ ÞÒ Ò Þ ÔÓ¹ ÔÖÞ Ò ÖÓÞ Þ Û ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Þ Ø ÑÙ Ö Ù Ù Þ Ø ÓÛ Ö Û¹ Ò Ò ÖÙ Ù Ó Ö ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ Ó ÞÛÝÞ Ò Ó ÇØÖÞÝÑ Ò Ö ÛÒ Ò ÖÓÞÛ Þ ÒÓ Û Ó Ù ÔÖÞÝÔ ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ ÓÛ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ³ Ö ÓÒ 4.. Beka Bernouiego-Euera pod ruchoma,stał asił a Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ Ó¹ ÙÐ Ö ÛÝ Ð Ò ØÔÙ Ó EI 4 u(x,t) x 4 +ρa 2 u(x,t) t 2 =δ(x vt)p. ÑÝ Ò ØÔÙ Û ÖÙÒ ÖÞ ÓÛ u(,t) =, u(,t) =, ÓÖ Þ Û ÖÙÒ ÔÓÞ Ø ÓÛ u(x,) =, 2 u(x,t) x 2 =, x= u(x,t) t =. t= 2 u(x,t) x 2 ½µ x= =, ¾µ µ ËØÓ Ù ÑÝ ÒÙ ÓÛ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Û ÔÖÞ Þ Ð <;> ¼µ Û Ø Ö ÖÓÞÛ ¹ Ò ÔÖÞ Ñ ÞÞ Û Ò Ó ÞÓÒÝ Þ Ö ½µ Ö Ð ÞÙ Þ Ó ÓÒ Û ÖÙÒ ÖÞ ÓÛ ¾µ EI j4 π 4 V(j,t)+ρA V(j,t)=Psin jπvt. µ 4 Ê ÛÒ Ò µ ÑÓ Ò Þ Ô Ò ØÔÙ Ó V(j,t)+Ω 2 jv(j,t)= P ρa sinω jt, µ Þ ω j = jπv, Ω 2 j= EI ρa j 4 π 4 4. µ ¾

30 ¾ Ð Ì ÑÓ Ò ÔÓ ÖÙ ÓÑ Ø ¾ u/u -.8 u/u v=. v=.2 v= v=.4 v= v=.6 v=.7 v= x/l - v=. -.2 v=.2 v=.3 v= v=.5 v= v=.7 v= x/l ÊÝ ÙÒ ½ Ð ÙÐ Ö ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ Ö Û Ø Ý ÒÝÑ ØÖ ØÓÖ ÖÙ ÓÑ Ý ÖÝ ÙÒ Ð Ûݵ ÓÖ Þ Ù Û ÖÓ Ù Ð ÖÝ ÙÒ ÔÖ Ûݵ ËØÓ Ù ÑÝ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ¹ Ö ÓÒ Ö ÛÒ Ò µ ÙÛÞ Ð Ò Þ Ó ÓÒ Û ¹ ÖÙÒ ÔÓÞ Ø ÓÛ p 2 V(j,p)+Ω 2 jv(j,p)= P ω j p. µ ρap 2 +ωj 2 ÈÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ù Ö ÛÒ Ò ÔÖÞ Ø Û ÑÝ Û Ò ØÔÙ ÔÓ Ø V(j,p)= Pω j ρa p p 2 +ω 2 j p 2 +Ω 2 j. µ Æ ØÔÒÝÑ ÖÓ Ñ Ø Þ ØÓ ÓÛ Ò Ó ÛÖÓØÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ¹ Ö ÓÒ V(j,t)= P ρa Ω 2 j ω 2 j ( sinω j t ω ) j sinω j t Ω j. µ ÓÐ Ó ÛÖÓØÒ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Û Ó ÞÓÒÝÑ ÔÖÞ Þ Ð <:> Ò ØÔÙ Ý ÛÝÒ u(x,t)= j= 2P ρa Ω 2 j ω 2 j ( sinω j t ω j Ω j sinω j t ) sin jπx. ½¼µ 4.2. Beka Timoshenki pod ruchoma,stał asił a ÈÓ ØÔÙ ÑÝ ÔÓ Ó Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ Ó¹ ÙÐ Ö Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù Ð Ì ÑÓ Ò Ñ Ò ØÔÙ ÔÓ Ø EI 4 u(x,t) x 4 ( ρi+ρk EI G =q(x,t) k EI GA ) 4 u(x,t) +ρ 2 k I 4 u(x,t) +ρa 2 u(x,t) = x 2 t 2 G t 4 t 2 2 q(x,t) +ρk I 2 q(x,t). x 2 GA t 2 ½½µ

31 ¾ Ð Ì ÑÓ Ò ÔÓ ÖÙ ÓÑ Ø ¼ ÈÖÞÝ ÑÙ ÑÝ Û ÖÙÒ ÖÞ ÓÛ u(,t) =, u(,t) =, 2 u(x,t) x 2 =, x= 2 u(x,t) x 2 x= =, ½¾µ ÓÖ Þ Û ÖÙÒ ÔÓÞ Ø ÓÛ u(x,) =, u(x,t) t =. t= ½ µ ÛÒØÖÞÒ Ó Ò ÓÔ Ù ÑÝ Ó ÙÔ ÓÒ Þ Û ÔÖÞ Ñ ÞÞ ÝÑ ÔÙÒ x=vt q(x,t)=δ(x vt)p. ½ µ ÏÝÞÒ Þ ÑÝ ÖÙ ÔÓ Ó Ò Ø Ó ÛÝÖ Ò ÛÞ Ð Ñx ÓÖ Þ ÖÙ ÔÓ Ó Ò ÛÞ Ð Ñt 2 q(x,t) x 2 =δ (x vt)p, ½ µ 2 q(x,t) t 2 =δ (x vt)pv 2. ½ µ ÈÓ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù ÒÙ ÓÛ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Û ÔÖÞ Þ Ð <;>ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ EI j4 π 4 4 V(j,t)+ ( =Psin jπvt ρi+ρk EI G ) j 2 π 2 2 V(j,t)+ρ 2 k I G +k EI π 2 GA Pj2 sin jπvt 2 ÈÓÛÝ Þ Ö ÛÒ Ò ÑÓ ÑÝ Þ Ô Û Ö ÓÒ ÔÓ Ø Þ ÓÖ Þ V(j,t)+ˆb V(j,t)+ĉV(j,t)= a=ρ 2 k I G ˆb= b a ĉ= c a V(j,t)+ρA V(j,t)= ρk I π 2 GA Pv2j2 sin jπvt 2 ˆd= d a, ˆdsin jπvt b=ρa+ j2 π 2 ( ρi+ρk EI 2 G. ½ µ, ½ µ ) ½ µ, ¾¼µ c=ei j4 π 4 d=p+k EI π 2 4 GA Pj2 ρk I π 2 2 GA Pv2j2. ¾½µ 2 ÊÓÞÔ ØÖÙ Þ ÒÓÖÓ Ò Ö ÛÒ Ò ½ µ ÓÖ Þ ØÓ Ù ÔÓ Ø Û Ò V(j,t)=e rt ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ö ÛÒ Ò Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ r 4 +ˆb(j)r 2 +ĉ(j)=. ¾¾µ Ê ÛÒ Ò ØÓ Û Þ Ð ÒÓ Ó Û Ô ÞÝÒÒ Ûˆb(j) ĉ(j) Ñ ØÖÞÝ Û Ö ÖÓÞÛ Þ Ï Ô ÖÛ ÞÝÑ Ñ Û ÔÓ Û Ò Ô ÖÛ Ø ÖÞ ÞÝÛ Ø r,2 =±a r 3,4 =±a 2 Ï ÖÙ Ñ Û Ô ÖÛ Þ ÔÓÐÓÒ r,2 =a 3 ± b r 3,4 = a 3 ± b ÌÖÞ Ñ Û Ö ÒØ Ñ

32 ¾ Ð Ì ÑÓ Ò ÔÓ ÖÙ ÓÑ Ø ½ Ô ÖÛ Ø ÙÖÓ ÓÒ r,2 =± b 2 r 3,4 =± b 3 Ï ÞÛ Þ Ù Þ ØÝÑ ÖÓÞÛ Þ Ò Ó ÐÒ ½ µ ÑÓ Ñ ØÖÞÝ Ö Ò ÔÓ Ø V o (j,t)=c e a t +C 2 e a t +C 3 e a 2t +C 4 e a 2t, ¾ µ ÐÙ ÐÙ V o (j,t)=e a 3t (C sinb t+c 2 cosb t)+e a 3t (C 3 sinb t+c 4 cosb t) ¾ µ V o (j,t)=c sinb 2 t+c 2 cosb 2 t+c 3 sinb 3 t+c 4 cosb 3 t. ¾ µ  ÝÒ ØÖÞ ÔÖÞÝÔ Ñ Ò ÞÝÞÒÝ ÏÖ Þ Þ ÛÞÖÓ Ø Ñj ÔÓ Û Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø a a 2 ÐÙ a 3 Û ÖÓÞÛ Þ Ò Ö ÛÒ Ò Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ Ó ¾¾µ Ø Ñ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÖÛ ÞÝÑ ÖÙ Ñ ÔÖÞÝ ÓÐ ÒÝ j ÖÓ Ò ÔÓØ ÙÒ ÛÝ Ò Þ ÛÖ Þ Þ Ò Ñ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò Ð áû ÞÝ ØÓ Ó ÖÓÞ ÒÓ Ó ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Þ Ö Ù ½µ ËØÓ Ù ÑÝ Ø Ö Þ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ¹ Ö ÓÒ Ä¹ µ Ó Ö ÛÒ Ò ½ µ Þ p 4 V(j,p)+ˆbp 2 V(j,p)+ĉV(j,p)= ˆd ωp p 2 +ω 2, ¾ µ ω= jπv. ¾ µ ÈÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ù Ö ÛÒ Ò ¾ µ ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓÒ Þ ÔÓ Ø V(j,p)= ˆdω p p 2 +ω 2 p 4 +ˆbp 2 +ĉ. ¾ µ Ý Ó ÛÖ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ä¹ ÑÙ ÑÝ ÖÓÞ Ó Ý ÔÖ Û ØÖÓÒ Ö ÛÒ Ò ¾ µ Ò Ù Ñ ÔÖÓ Ø Ï ØÝÑ ÐÙ Ò Ð Ý ÖÓÞÛ Þ ÔÓÒ Þ Ö ÛÒ Ò p 4 +ˆbp 2 +ĉ=. ¾ µ È ÖÛ Ø Ñ Ø Ó Ö ÛÒ Ò p = 2 p 2 = 2 p 3 = 2 2ˆb+2 ˆb2 4ĉ, ¼µ 2ˆb+2 ˆb2 4ĉ= p, ½µ 2ˆb 2 ˆb2 4ĉ, ¾µ p 4 = 2ˆb 2 ˆb2 4ĉ= p 3. µ 2 Æ ÔÓ Ø Û ÔÓÛÝ ÞÝ ÖÓÞÛ Þ ÑÓ ÑÝ Ò Ô ˆdω (p 2 +ω 2 )(p 4 +ˆbp 2 +ĉ) A p ω + B p+ ω + C p p + D p+p + E p p 3 + F p+p 3. µ

33 ¾ Ð Ì ÑÓ Ò ÔÓ ÖÙ ÓÑ Ø ¾ ËØ Ó Ð Þ ÑÝ Þ Ù Ù Ö ÛÒ A+B+C+D+E+F= Aω Aω+p C p D+p 3 E p 3 F= Ap 2 3 Ap 2 Bp 2 3 Bp 2 Cp 2 3+Cω 2 Dp 2 3+Dω 2 Ep 2 +Eω 2 Fp 2 +Fω 2 = Ap 2 3ω Ap 2 ω+ Bp 2 3ω+ Bp 2 ω Cp p 2 3+Cp ω 2 +Dp p 2 3 Dp ω 2 Ep 2 p 3 + +Eω 2 p 3 +Fp 2 p 3 Fp 3 ω 2 = Ap 2 p 2 3+Bp 2 p 2 3 Cp 2 3ω 2 Dp 2 3ω 2 Ep 2 ω 2 Fp 2 ω 2 = Aωp 2 3p 2 Bωp 2 3p 2 Cp p 2 3ω 2 +Dp p 2 3ω 2 Ep 3 p 2 ω 2 +Fp 3 p 2 ω 2 =ˆdω. µ ÈÓ ÖÓÞÛ Þ Ò Ù Ù Ù µ Ö ÛÒ Ò µ Þ Ô Ù ÑÝ Û ÔÓ Ø Ò ØÔÙ ˆdω ˆd (p 2 +ω 2 )(p 4 +ˆbp 2 +ĉ) = 2 (p 2 3 +ω2 )(p 2 +ω2 ) p ω ˆdω (ω 2 +p 2 )p (p 2 3 p2 ) p+p + ˆdω + 2 p 3 (ω 2 p 2 3 +p4 3 p2 p2 3 ω2 p 2 ) p+p 3. 2 ˆd (p 2 3 +ω2 )(p 2 +ω2 ) p+ ω ˆdω + 2 p 3 (ω 2 p 2 3 +p4 3 p2 p2 3 ω2 p 2 ) p p 3 + ˆdω (ω 2 +p 2 )p (p 2 3 p2 ) p p + µ Ó Ò Þ ÔÓ Ø Û Ñ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ô Þ ÑÝ p a eat. ËØÓ Ù ÑÝ Ø Ö Þ Ó ÛÖÓØÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ¹ Ö ÓÒ Ö ÛÒ Ò ¾ µ µ V(j,t)= 2 ˆd ( e ωt e ωt) + ˆdω ( e p t e ) p t + (p 2 3+ω 2 )(p 2 +ω 2 ) 2(ω 2 +p 2 )p (p 2 3 p 2 ) + ˆdω ( e p 3 t e ) p 3t. 2p 3 (ω 2 p 2 3+p 4 3 p 2 p 2 3 ω 2 p 2 ) µ Ê ÛÒ Ò µ ÑÓ ÑÝ Þ Ô Û ÔÓ Ø V(j,t)= ˆd ( e ωt e ωt) ˆdω ( e p t e ) p t + 2 (p 2 +ω 2 )(p 2 3+ω 2 ) 2(ω 2 +p 2 )p (p 2 3 p 2 ) + ˆdω ( e p 3 t e ) p 3t. 2p 3 (ω 2 p 2 3+p 4 3 p 2 p 2 3 ω 2 p 2 ) µ ÈÓÒ Û ÓÖ Þ sinx= ex e x 2, ¼µ sinhx= ex e x. ½µ 2

34 ¾ Ð Ì ÑÓ Ò ÔÓ ÖÙ ÓÑ Ø u/u u/u v=, v=,2 v=,3 -.4 v=,4 v=, vt/l v=, -.4 v=,2 v=,3 -.6 v=,4 v=, vt/l ÊÝ ÙÒ ¾ Ð Ì ÑÓ Ò ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ Ö Û Ø Ý ÒÝÑ ØÖ ØÓÖ ÖÙ ÓÑ Ý ÖÝ ÙÒ Ð Ûݵ ÓÖ Þ Ù Û ÖÓ Ù Ð ÖÝ ÙÒ ÔÖ Ûݵ Ç Ø Ø ÞÒ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ˆd V(j,t)= (p 2 +ω 2 )(p 2 3+ω 2 ) sinωt ˆdω (ω 2 +p 2 )p (p 2 3 p 2 ) sinhp t+ ˆdω + p 3 (ω 2 p 2 3+p 4 3 p 2 p 2 3 ω 2 p 2 ) sinhp 3t. ¾µ ÈÓÛÖ Ø Ó ÖÞ ÞÝÛ ØÝ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Þ ÒÙ ÓÛ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ÔÓÞÛ Ð ÙÞÝ Ó ÓÛÝ ÛÝÒ u(x,t)= 2 j= V(j,t)sin jπx. µ

35 Rozdział5 Rozwiazania półanaityczne struny ÊÓÞÛ Þ Ò Ò Ð ØÝÞÒÓ ÒÙÑ ÖÝÞÒ ÓØÝÞ ØÖÙÒÝ ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ Ò¹ ÖÝ ÒÝÑ ÍÛÞ Ð Ò Ò ÖÙ ÓÑ Ó Ó Ò ÞÛ ÒÓ ÓÛ Ó ÔÓ Þ Ó Ö ÞÓ ÔÓÛ Ò Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ ÓÒ Û Ò Ê Ò Þ ÓÛ Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÓØÖÞÝÑ Ò Û ÖÓÞ Þ Ð ¾ ÔÓ Ó ÔÓÛ Ò ÓÛÝ ÔÖÞ ÞØ Ò Û Ó Ø ØÒ Þ ÑÙ Ý Þ ÛÞ Ð Ù Ò ÛÓ ÔÓ Ø Ó Ð Þ Ò ÒÙÑ ÖÝÞÒ Ý ØÖÝ Ù ÔÓ ÔÓ Ø ÐØÝ Ö ÑÓ Ù Þ Û Ö ÞÝØ ÐÒ Û Û Ð ÓÒØÖÓÛ Ö Â Ó ÔÓÛ Ò Ó ÖÓÞ¹ Û Þ Ò ÙÔ ØÖÝÛ ÒÓ Û Ò Ó ÒÓ Ø Ó ÛÞ Ð Ù Ø Þ ØÓ ÓÛ ÒÓ Ó Ñ ÒÒÝ ÔÓ ÔÓ Ó ÔÖÓ Ð ÑÙ ØÓ ÓÛ ÒÓ Ö ÛÒ Ò Ä Ö Ò ³ ÖÙ Ó ÖÓ Þ Ù Ì Ò Ö ØÝÞÒ Ñ ØÓ Ó Þ Ô Ù Ò Ö Ò Ó Ù Ù Ò ÛÝÑ ØÓ ÓÛ Ò ÐØÝ Ö 5.. Inercyjna struna pod ruchomym obciażeniem inercyjnym ÊÓÞÔ ØÖÞÑÝ ØÖÙÒ ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ ÖÓÞ Þ Ð Ó ÑÝ Ó Ø ÖÙ Ó¹ Ñ ÝP ÔÓÖÙ Þ ÛÖ Þ Þ Ò Ñ m ÖÝ ½µ Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÓÔ Ù ÊÝ ÙÒ ½ ÈÓÖÙ Þ Ó Ò Ò ÖÝ Ò ØÖÙÒ ÔÓ Þ Ò Ñ ÖÙ ÓÑ Ó Ó Ò Ò ÖÝ Ò Ó Ó Þ Ø ÔÖ Ó v Ñ Ò ØÔÙ ÔÓ Ø N 2 u(x,t) x 2 +ρa 2 u(x,t) t 2 = δ(x vt)p δ(x vt)m 2 u(vt,t) t 2. ½µ

36 ½ ÁÒ ÖÝ Ò ØÖÙÒ ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ Ò ÖÝ ÒÝÑ ÈÖÞÝ ÑÙ ÑÝ Ø Ñ Ó ÛÞ Ò Û ÖÙÒ ÖÞ ÓÛ ¾µ ÔÓÞ Ø ÓÛ µ ÈÓ Ó Ò Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ ÖÓÞ Þ Ð ØÓ Ù ÑÝ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ¼µ ½µ Þ Ø¹ ÔÙ ÑÝ Ö ÛÒ Ò Þ Ø ÓÛ Ö ÛÒ Ò Ñ ÞÛÝÞ ÒÝÑ ÅÓ ÑÝ ÖÓÞÛ Ò ÔÖÞÝ Ô Þ Ò ÔÓÔÖÞ ÞÒ ÖÙ ÓÑ Ñ Ý Û Ò Ó ÞÓÒÝ Þ Ö Þ Ó ÔÓÛ Ò Ñ Û Ô ÞÝÒÒ Ñ 2 u(vt,t) t 2 = 2 k= [ V(k,t)sin kπvt + 2kπv V(k,t)cos kπvt ÓÛ ØÖ Ò ÓÖÑ ¼µ Ö ÛÒ Ò ½µ ÞÓ Ø Þ Ô Ò ÔÓÒ k2 π 2 v 2 V(k,t)sin kπvt ] 2 ¾µ. δ(x vt)sin jπx x, µ Þ Þ Û Ö ÐØ Ö Þ Ô Ù Û ÔÖÓ Ø ÔÓ Ø N j2 π 2 V(j,t)+ρA V(j,t) = Psin jπct 2 m 2 u(vt,t) t 2 δ(x vt)sin jπx x = sin jπvt. µ ÍÛÞ Ð Ò ¾µ µ ÑÓ ÑÝ Þ Ô µ Û ÔÓ Ò ØÔÙ Ý N j2 π 2 V(j,t)+ρA V(j,t) = Psin jπvt 2m 2 2m 2kπv k= + 2m k 2 π 2 v 2 k= k= V(k,t)cos kπvt V(k,t)sin kπvt 2 V(k,t)sin kπvt sin jπvt sin jπvt Ç Ø Ø ÞÒ Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÔÓ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø sin jπvt +. µ ρa V(j,t)+α V(k,t)sinω k tsinω j t+2α ω k V(k,t)cosωk tsinω j t+ k= k= +Ω 2 V(j,t) α ωkv(k,t)sinω 2 k tsinω j t = Psinω j t, k= µ Þ ω k = kπv, ω j = jπv, Ω 2 = N j2 π 2 2, α = 2m. µ ÈÓÒ Û Ò ÔÓØÖ ÑÝ ÓÒØÝÒÙÓÛ Ó Ð Þ Ò Ð ØÝÞÒ ÑÙ ÑÝ ÖÓÞÛ Þ Ö ÛÒ ¹ Ò µ ÒÙÑ ÖÝÞÒ Ô Ù ÑÝ µ Û ÔÓ Ø Ñ ÖÞÓÛ Þ Ñ ÖÞ M C K Ñ ÖÞ Ñ Û Ö ØÓÛÝÑ j,k=...nµ V(,t) V(,t) V(,t) V(2,t) V(2,t) V(2,t) M +C +K =P, V(n,t) V(n,t) V(n,t) µ

37 ½ ÁÒ ÖÝ Ò ØÖÙÒ ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ Ò ÖÝ ÒÝÑ ÐÙ Ö Þ C=2α M V+C V+KV=P, µ ρa sin πvt sin πvt sin πvt sin 2πvt sin πvt sin nπvt ρa M= +α sin 2πvt sin πvt sin 2πvt sin 2πvt sin 2πvt sin nπvt ρa sin nπvt sin πvt sin nπvt sin 2πvt sin nπvt sin nπvt ½¼µ πvsin πvt cos πvt 2πvsin πvt cos 2πvt nπv sin πvt cos nπvt πvsin 2πvt cos πvt πvsin nπvt cos πvt 2πv sin 2πvt cos 2πvt nπv sin 2πvt cos nπvt 2πvsin nπvt cos 2πvt nπv sin nπvt cos nπvt, ½½µ, K = 2 π 2 α N π 2 N 2 n 2 π 2 2 N 2 π 2 v 2 sin πvt sin πvt 2 2 π 2 v 2 sin 2πvt sin πvt 2 2 π 2 v 2 sin nπvt sin πvt π 2 v 2 2 sin πvt sin 2πvt n 2 π 2 v 2 2 sin πvt ½¾µ sin nπvt sin 2πvt sin nπvt π 2 v 2 sin 2πvt sin 2πvt n 2 π 2 v π 2 v 2 sin nπvt sin 2πvt n 2 π 2 v 2 sin nπvt sin nπvt 2 2 sin πvt sin P=P 2πvt sin nπvt. ½ µ Ï Ô ÞÝÒÒ V(j,t) ÛÝÞÒ ÞÓÒ ÒÙÑ ÖÝÞÒ ÔÓ Ø Û ÑÝ Ó Þ Ö Ù ÓÔ Ù Ó ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò ØÖÙÒÝ, u(x,t) = 2 j= V(j,t)sin jπx. ½ µ Ï Ø Ò ÔÓ ÙÞÝ Ù ÑÝ ÖÓÞÛ Þ Ò Û ÝÑ ÖÓÞÔ ØÖÝÛ ÒÝÑ Ó Þ ÖÞ ÔÖÞ ØÖÞ Ò¹ ÒÝÑ ÅÓ ÑÝ ÛÝÞÒ ÞÝ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò Û ÓÛÓÐÒÝÑ Ñ Ù ØÖÙÒÝ ÓÖ Þ ÛÝ Ö Ð Ó Ó ÞØ ÓÒ ØÖÙÒÝ Û Ô ÒÝÑ Þ Ö ÔÖ Ó Ñ Ýv Ï ÔÙÒ x=ó ÖÛÙ¹ ÑÝ Ò Ó ØÖ ØÓÖ ÊÝ ¾ ÔÖÞ Ø Û ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò ØÖÙÒÝ Û Þ ÔÖÞÝ ÛÝ Ö ÒÝ ÔÖ Ó ÖÙ Ù Ñ Ýv ÊÝ ÔÓ ÞÙ ÖÓÞÛ Þ Ò Ò ÐÓ ÞÒ Ó Þ Ò Û Ø ÖÝÑ Ó Ò ØÖÙÒÝ Ö Ð ÞÓÛ Ò Ø Û ÔÓ Ø Ó ÝÐ ØÓÖ Ø Ö Ó ÞØÝÛÒÓ ÞÑ ÖÞ Ó Ò Ó ÞÓÒÓ Ç Ð Þ Ò ÛÝ ÓÒ ÒÓ Ñ ØÓ Ð Ñ ÒØ Û Ó ¹ ÞÓÒÝ ÔÖÞÝ ÑÙ ÞØÝÛÒÓ ÔÖ ÝÒÝ Ó ÝÐ ØÓÖ Ó ÖÞ Û Û Þ Ó ÞØÝÛÒÓ

38 ½ ÁÒ ÖÝ Ò ØÖÙÒ ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ Ò ÖÝ ÒÝÑ ÔÓÔÖÞ ÞÒ ØÖÙÒÝ ÏÝ Þ Þ Ö Ý ÞØÝÛÒÓ ÔÓÛÓ ÓÛ Ý ÖÓÞ Ò Ø Ö Ý ¹ ÒÝ ÖÓÞÛ Þ Æ ÖÝ ÙÛ ÓÞÒ ÓÒÓ Û Ô Ò ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò ÔÙÒ Ø Û ØÖÙÒÝ Û Þ Ó ØÖÞ ÑÓ Ò Ø Ò Ó ÓÔ Ò ÛÞ Ò ÞÛ ÞÞ ÔÖÞÝ ÔÖ Ó v=,5c.5 m v m -.5 u/uo vt/l ÊÝ ÙÒ ¾ ÌÖ ØÓÖ ÖÙ Ù Ñ Ý ÔÖÞÝ Ö Ò ÔÖ Ó v.5 m v m -.5 u/uo vt/l ÊÝ ÙÒ ÌÖ ØÓÖ ÖÙ Ù Ñ Ý ÔÖÞÝ Ö Ò ÔÖ Ó v Ó Ò ÖÙ ÓÑÝÑ Ó ÝÐ ØÓÖ Ñ ÈÖÞÝ ÑÙ Û ÞÞ ÐÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ùρ=Û ½¼µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÖÓÞÛ Þ Ò Þ Ò ÖÙ Ù ØÖÙÒÝ ÞÑ ÓÛ ÖÓÞ Þ µ ÊÓÞÛ Þ Ò ØÓ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ Ò ÖÝ Ç ÖÞÝÛ ÔÓ ÖÝÛ

39 ½ ÁÒ ÖÝ Ò ØÖÙÒ ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ Ò ÖÝ ÒÝÑ u/u vt/l x/l u/u vt/l x/l v=,2c v=,3c u/u vt/l x/l u/u vt/l x/l v=,5c v=,c u/u vt/l x/l u/u vt/l x/l v=,2c v=,5c ÊÝ ÙÒ ËÝÑÙÐ Ö ØÖÙÒÝ Ó ÓÒ Ò ÖÝ Ò ÔÖÞÝ ÔÖ Ó v m ¼ ¾c ¼ c ¼ c ½ ¼c ½ ¾c ½ c

40 ½ ÁÒ ÖÝ Ò ØÖÙÒ ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ Ò ÖÝ ÒÝÑ -.2 poanaitycznie Fryba, afa= u/u ÊÝ ÙÒ ÊÓÞÛ Þ Ò Ô Ò Ð ØÝÞÒ ØÖÙÒÝ ÞÑ ÓÛ ÓÖ Þ Ò Ð ØÝÞÒ ÓÔ Ò ÔÖÞ Þ ÖÝ vt/l

41 ¾ Ê ÛÒ Ò Ä Ö Ò ³ ¾¹ Ó ÖÓ Þ Ù Û ÔÖÞÝÔ Ù ØÖÙÒÝ ÔÓ Ñ ¼ 5.2. Równanie Lagrange a 2-go rodzaju w przypadku struny pod jad ac amas a Þ Ò Ö ØÝÞÒ ÑÙ ÔÓ Ù Ó ÔÖÓ Ð ÑÙ Ò ÑÙ ÑÝ ÔÓ Ù Û ÐØ Ö Û ÓÔ ÖÙ ÓÑ Ó Ó Ò ½ Ò Ö Ò ØÝÞÒ ØÖÙÒÝ ÓÖ Þ ÖÙ ÓÑ Ñ Ý ÔÖÞ Ø Û Ò ØÔÙ Ó Þ E k = [ ] 2 u(x,t) 2 ρa x+e km, ½ µ t E km = [ ] 2 u(vt,t) 2 m. ½ µ t Ò Ö ÔÓØ Ò ÐÒ ØÖÙÒÝ ÖÙ ÓÑ Ý Ö Û Ø Ý Ò ÓÔ Ò Ø Ò ØÔÙ Ó E p = [ ] 2 u(x,t) 2 N x Pu(vt,t). ½ µ x ÊÓÞÛ ÑÝ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò ØÖÙÒÝ Û Ò Ó ÞÓÒÝ Þ Ö u(x,t)= U i (x)ξ i (t). i= ½ µ ÓÐ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò ØÖÙÒÝ Û ÔÙÒ Ø ØÝ Ù Þ ÖÙ ÓÑ Ñ ÓÖ Þ Ô ÖÛ Þ ÔÓ Ó Ò ÔÓ Þ Þ Ô Ù ÑÝ ÛÞÓÖ Ñ u(vt, t) t u(vt,t)= =v U j(x)ξ j (t) + j= x=vt U j (vt)ξ j (t), j= U j (x) ξ j (t) =f ( ξ i, ξ i j= x=vt ½ µ ). ¾¼µ ÓÛ Ø Ò Ö Ò Ó Ù Ù ½ µ Þ Ó Ò Þ ½ µ ÔÓ ÔÖÞ ÞØ Ò ÑÓ¹ ÑÝ ÔÖÞ Ø Û Û Ò ØÔÙ ÓÖÑ E k = 2 ρa i,j= ξ i (t) ξ j (t) U i (x)u j (x) x+ [ ] 2 u(vt,t) 2 m. ¾½µ t ÈÖÞÝ ÑÙ ÑÝ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ ÙÒ U i (x) Ø Ö Û ÔÓ Ò ØÙÖ ÐÒÝ Ö Ð ÞÙ Þ Ó ÓÒ Û ÖÙÒ ÖÞ ÓÛ ¾µ U i (x)=sin iπx. ¾¾µ Å ÓÒ Ò ØÔÙ Û ÒÓ U i (x)u j (x) x= Ð i=j, 2 Ð i j. ¾ µ

42 ¾ Ê ÛÒ Ò Ä Ö Ò ³ ¾¹ Ó ÖÓ Þ Ù Û ÔÖÞÝÔ Ù ØÖÙÒÝ ÔÓ Ñ ½ Ó Ò Þ ¾¾µ Ò Ö Ò ØÝÞÒ Ù Ù ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø E k = 4 ρa i= ξ i(t)+ 2 [ ] 2 u(vt,t) 2 m. ¾ µ t Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ò Ö ÔÓØ Ò ÐÒ Ö ÛÒ Ò ½ µ Ò ÔÓ Ø Û ½ µ ½ µ ÓÖ Þ ÔÓ ÓÛ Ò Ù ÔÖÞ Þ Þ ÑÓ ÑÝ Þ Ô Û Ò ØÔÙ ÓÖÑ E p = 2 N ξ i (t)ξ j (t) U i(x)u j(x) x Pu(vt,t)= i,j= = 2 N ξ i (t)ξ j (t) U i(x)u j (x) x P U i (vt)ξ i (t), Þ Þ Ó Ò Þ ¾¾µ i,j= U i(x)= i2 π 2 U i(x). 2 Þ Ø ÑÙ Ö ÛÒ Ò ¾ µ ÔÖÞ Ø Û ÑÝ Û Ù Ò ØÔÙ Ó ÛÞÓÖÙ i= ¾ µ ¾ µ E p = 2 N i 2 π 2 ξ i(t)ξ 2 j (t) i,j= U i (x)u j (x) x P Ç Ø Ø ÞÒ Ò Ö ÔÓØ Ò ÐÒ ØÖÙÒÝ ÑÓ ÑÝ ÔÖÞ Ø Û Ò ØÔÙ Ó i= U i (vt)ξ i (t). ¾ µ E p = 4 N i 2 π 2 2 ξ2 i(t) P i= i= ξ i (t)sin iπvt. ¾ µ Ì Ö Þ Ý Ñ ÑÝ Ù Ò Ö Ò ØÝÞÒ ÔÓØ Ò ÐÒ ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Û Û Ô ÖÞ ¹ ÒÝ ÙÓ ÐÒ ÓÒÝ Ý ÙÒ Ñ Þ Ù ÑÓ ÑÝ Þ ÓÖÑÙ ÓÛ Ò Ñ Ö Û¹ Ò Ò ÖÙ Ù ÔÖÞÝ Ù Ý Ù Ö ÛÒ Ò Ä Ö Ò ³ ÖÙ Ó ÖÓ Þ Ù Â Ó ÔÓ Ø Ó ÐÒ Ò Ø ÛÞÓÖ Ñ t ( ) Ek ξ i E k ξ i + E p ξ i =H i (t). ¾ µ Ï ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Ó Ò Þ ÛÒØÖÞÒ H i (t)= Æ ÔÓ Ø Û ½ µ ¾¼µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ E km =m u(vt,t) ( ) u(vt,t), ¼µ ξ i t ξ i t ÓÖ Þ E km =m u(vt,t) ( ) u(vt,t). ½µ ξ i t ξ i t Ï Ö ÛÒ Ò Ù ¾ µ ÙÛÞ Ð Ò ÑÝ ¼µ ½µ ÓÖ Þ Ó Ð Þ ÑÝ ÔÓ Ó Ò Ò Ö ¹ Ò ØÝÞÒ ¾ µ ÛÞ Ð Ñ ÙÓ ÐÒ ÓÒ Ó ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò ξ i ÓÖ Þ ÔÖ Ó ξ i E k = E km =m v 2 ξ i ξ i i,j= ijπ 2 cos iπvt 2 cos jπvt ξ j (t)+v i,j= iπ cos iπvt sin jπvt ξ j (t) ¾µ

43 ¾ Ê ÛÒ Ò Ä Ö Ò ³ ¾¹ Ó ÖÓ Þ Ù Û ÔÖÞÝÔ Ù ØÖÙÒÝ ÔÓ Ñ ¾ E k ξ i = 2 ρa i= ξ i (t)+ E km ξ i = 2 ρa i= ξ i (t)+m v + i,j= i,j= jπ sin iπvt sin iπvt sin jπvt cos jπvt ξ j (t)+ ξ j (t). µ Æ ØÔÒ Ó Ð Þ ÑÝ ÔÓ Ó Ò Ò Ö ÔÓØ Ò ÐÒ ¾ µ ÛÞ Ð Ñ ÙÓ ÐÒ ÓÒÝ ÔÖÞ ¹ Ñ ÞÞ ξ i E p = ξ i 2 N i 2 π 2 ξ i(t) P sin iπvt. µ 2 i= ÈÓ Ó Ò µ ÛÞ Ð ÑtÑ Ò ØÔÙ ÔÓ Ø ( ) Ek = t ξ i 2 ρa ξ i (t)+m i= i,j= + i,j= t jπv i= [ sin iπvt t [ sin iπvt sin jπvt ξ j (t) cos jπvt ] ξ j (t) ]. + µ Ç Ø Ø ÞÒ Ö ÛÒ Ò Ä Ö Ò ³ ¾¹ Ó ÖÓ Þ Ù ¾ µ ÓÔ Ù ØÖÙÒ Þ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Ò Ñ Ò ÖÝ ÒÝÑ ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø 2 ρa +m i= i,j= ξ i (t)+m m v 2 Þ i,j= [ sin iπvt t i,j= [ sin iπvt t jπv sin jπvt ijπ 2 cos iπvt 2 cos jπvt ] [ sin iπvt t ] ξj (t)+m cos jπvt = iπv cos jπvt ] i,j= ξ j (t)+v cos iπvt ξ j (t)+m sin iπvt i,j= cos jπvt iπ i,j= jπv sin iπvt sin jπvt ξ j (t)+ 2 N i= cos iπvt jπv sin iπvt sin jπvt cos jπvt i 2 π 2 ξ j (t)+ 2 ξ i(t) ξ j (t) =Psin iπvt, sin jπvt µ, µ [ sin iπvt sin jπvt ] = iπv cos iπvt sin jπvt + jπv sin iπvt cos jπvt. µ t Â Ø ØÓ Ö ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ Ó ÞÑ ÒÒÝ Û Ô ÞÝÒÒ Þ Û Ñ Ò Û ÓÑÝÑ Ç Ø Ø ÞÒ Ö ÛÒ Ò µ ÑÓ ÑÝ Þ Ô ÔÖÓ ξ i (t)+ 2m ρa j= ξ j (t)sin iπvt + N i 2 π 2 ρa ξ i(t) 2m 2 ρa sin jπvt j 2 π 2 v 2 j= + 4m ρa j= jπv ξ 2 j (t)sin iπvt ξ j (t)sin iπvt sin jπvt cos jπvt + = 2P ρa siniπvt. µ ØÛÓ Þ ÙÛ Ý Ö ÛÒ Ò µ Ñ Ö ÞÓ ÔÓ Ó Ò Ù ÓÛ Ó Ö ÛÒ Ò µ Þ ÔÓÔÖÞ Ò Ó ÖÓÞ Þ Ù Ç Ö Ò ØÝÐ Ó ÔÓ Ø ÔÖ ÛÝ ØÖÓÒ Ó Ò

44 Æ Ó ÖÓÞÛ Þ Ò ØÖÙÒÝ Ñ ÓÛ ÔÓ Ó Ò Ñ Ò ÖÝ ÒÝÑ ÑÒÓ Ò Ñ2/ Ç Ø Ø ÞÒ ÖÓÞÛ Þ Ò ÔÖÞ Ñ ÞÞ u(x,t) ÒØÝÞÒ Û Ó Ù ÔÖÞÝÔ ÔÓÒ Û ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò ½ µ ½ µ Ö Ò ØÝÐ Ó ØÝÑ ÑÒÓ Ò Ñ ÇÞÝÛ Ó ÖÓÞÛ Þ Ò µ Ó Þ ÑÝ Ø ØÖ ØÙ ÖÙ ÓÑ Ó Ò Û Ö ÛÒ Ò Ù Ä Ö Ò ³ ¾ µ Ó Ó Ò Þ ÛÒØÖÞÒ H i (t) H i (t)= Þ ÙÒ q(x,t) Ò Ø ÛÞÓÖ Ñ q(x,t)=δ(x vt) q(x,t)sin iπvt x, [ P m 2 u(vt,t) t 2 ] ¼µ. ½µ Æ ÙÛÞ Ð Ò ÑÝ Û ÛÞ Û Þ Ô Ò Ö Ò ØÝÞÒ ÔÓØ Ò ÐÒ Ù Ù ÖÙ Ó¹ Ñ Ý Ö Û Ø Ý Ò ÞÛ ÒÓ ÓÛ 5.3. Nieci agłość rozwiazania struny masowej pod obciażeniem inercyjnym Ï ÔÖÞÝÔ Ù ØÖÙÒÝ Ñ ÓÛ Ö ÛÒ Ó ÖÛÙ ÑÝ Ø Ò Ó ØÖ ØÓÖ Ñ Ý ÔÖÞÝ Ó ÓÛ ÔÓ ÔÓÖÞ ÙÛ Ò ÓÒ ÞÒÓ ÒÙÑ ÖÝÞÒ Ó ÓÛ Ò Ñ ÖÞÓ¹ Û Ó Ù Ù Ö ÛÒ Û Ó ÓÛ Þ ÖÓÞÛ Þ Ò Ò ÔÓØÖ ÑÝ ÔÖÞ Ø Û Ò Ð ¹ ØÝÞÒ Ó ÓÛÓ Ù Ø Ò Ó ØÓ ÔÖÞ ÔÖÓÛ ÞÓÒÓ Û ÖÓÞ Þ Ð Û ÔÖÞÝÔ Ù ØÖÙÒÝ ÞÑ ÓÛ Æ ÊÝ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ ÔÓÖ ÛÒ Ò Ó Ù ÖÓÞÛ Þ Ý ØÓ Ù¹ Ò m/ρa Ñ Ð ÖÞÝÛ ÖÓÞÛ Þ ÓÖ Þ Ö Þ Þ ÊÝ ÔÓ ÞÙ Þ ÒÓ Ó ÓÛ ÞÝ ØÖ ØÓÖ ÖÙ ÓÑ Ñ Ý ÔÖÞÝ ÔÖ Ó v=,5 ÔÖÞÝ ÖÓ Ò Ð Þ ÛÝÖ Þ Û Þ Ö Ù ÛÝÒ ÓÛ Ó ÈÖÞÝ ÖÓ Ò Ó ÒÓ¹ Ó Ð Þ ÖÓÞÛ Þ Ò ÓÖ Þ Ö Þ ÔÖÞÝ Ð Ó ÖÓÞÛ Þ Ò Ò Ó Æ Ó ÖÛÙ ÔÖÞÝ ØÝÑ Ô Ó ÝØÒ ÞÝ Ó ÝÐ Û ÔÓ Ð Ù ÔÙÒ ØÙ Ó ÓÛ Ó massess string inertia string -.5 u/u - v=.2 v= v= vt/l ÊÝ ÙÒ ÈÓÖ ÛÒ Ò ØÖ ØÓÖ ÖÙ Ù Þ Ø Ñ Ø Ö ÐÒ ÔÓÖÙ Þ ÔÓ ØÖÙÒ ÞÑ ÓÛ Ñ ÓÛ

45 Æ Ó ÖÓÞÛ Þ Ò ØÖÙÒÝ Ñ ÓÛ ÔÓ Ó Ò Ñ Ò ÖÝ ÒÝÑ u/u vt/l ÊÝ ÙÒ ÒÓ ØÖ ØÓÖ ÖÙ ÓÑ Ñ Ý Ð ÖÓ Ò ÐÓ ÛÝÖ Þ Û Þ Ö Ù Ûݹ Ò ÓÛ Ó v=,5µ

46 Rozdział6 Rozwiazania półanaityczne drgań beek Ò Ð ØÝÞÒÓ ÒÙÑ ÖÝÞÒ Ñ ØÓ Ñ ÖÞÓÛ Þ ÖÓÞ Þ Ù Þ ØÓ ÓÛ ÒÓ Ö ÛÒ Þ ÔÓ¹ ÛÓ Þ Ò Ñ Ó Ð ÖÒÓÙÐÐ Ó ÙÐ Ö ÓÖ Þ Ð Ì ÑÓ Ò 6.. Beka Bernouiego-Euera pod działaniem ruchomego obci ażenia inercyjnego Æ Ô ÞÑÝ Ö ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ ÖÙ Ù Ð Ö ÓÙÐÐ Ó¹ ÙÐ Ö ¹ µ Ó ÓÒ Ñ Ò ÖÙ ÓÑ Ñ EI 4 u(x,t) x 4 +ρa 2 u(x,t) t 2 =δ(x vt)p δ(x vt)m 2 u(vt,t) t 2. ½µ ÈÖÞÝ ÑÙ ÑÝ Û ÖÙÒ ÖÞ ÓÛ u(,t)=, u(,t)=, 2 u(x,t) x 2 =, x= 2 u(x,t) x 2 x= =, ¾µ ÓÖ Þ Û ÖÙÒ ÔÓÞ Ø ÓÛ u(x,)=, u(x, t) t =. t= µ Ó Ò Þ Ò ÒÙ ÓÛ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Û ÔÖÞ Þ Ð <;>Ô Þ ÑÝ Þ V(j,t)= u(x,t)= 2 u(x,t)sin jπx j= x, V(j,t)sin jπx µ. µ Æ ÔÓ Ø Û Ö ÛÒ Ò µ Û ÔÙÒ x=vt ÑÓ ÑÝ ÛÝÞÒ ÞÝ ÔÖÞÝ Ô Þ Ò 2 u(vt,t) t 2 = 2 k= [ V(k,t)sin kπvt + 2kπv V(k,t)cos kπvt k2 π 2 v 2 V(k,t)sin kπvt ] 2 µ.

47 ½ Ð ÖÒÓÙÐÐ Ó¹ ÙÐ Ö ÔÓ Þ Ò Ñ ÖÙ ÓÑ Ó Ó Ò Ò ÖÝ Ò Ó ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ö ÛÒ Ò ½µ ÔÓÞÛ Ð Ò Ô EI j4 π 4 V(j,t)+ρA V(j,t)=Psin jπvt m 2 u(vt,t) 4 t 2 δ(x vt)sin jπx x µ δ(x vt)sin jπx x=sin jπvt. µ ÍÛÞ Ð Ò ÙÑ µ Ö ÛÒ Ò µ Þ Ô Ù ÑÝ Û Ò ØÔÙ ÔÓ Ø EI j4 π 4 V(j,t)+ρA V(j,t)=Psin jπvt 2m 4 2m 2kπv k= + 2m k 2 π 2 v 2 k= k= V(k,t)cos kπvt V(k,t)sin kπvt V(k,t)sin kπvt 2 sin jπvt sin jπvt sin jπvt +. µ ÈÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ù ÔÓÛÝ Þ Ó Ö ÛÒ Ò ÑÓ ÑÝ ÙÞÝ ÔÖÓ Ø Þ ÔÓ Ø V(j,t)+α V(k,t)sinω k tsinω j t+2α ω k V(k,t)cosωk tsinω j t+ k= k= +Ω 2 V(j,t) α ωkv(k,t)sinω 2 k tsinω j t= P k= ρa sinω jt, ½¼µ Þ ω k = kπv, ω j = jπv, Ω 2 = EI j 4 π 4, α= 2m ρa 4 ρa. ½½µ Ê ÛÒ Ö ÛÒ Ò ½¼µ Ò ÔÓØÖ ÑÝ ÖÓÞÛ Þ Ò Ð ØÝÞÒ Ï Ð ÞÝÑ Ø Ô Ù¹ ÑÝ ÒÙÑ ÖÝÞÒ Ï ØÝÑ ÐÙ Þ Ô Ù ÑÝ Ó ÓÛ Ö ÛÒ Ò Û ÔÓ Ø Ñ ÖÞÓÛ ÐÙ Û Ö Þ V(,t) V(,t) V(,t) V(2,t) V(2,t) V(2,t) M +C +K =P, V(n,t) V(n,t) V(n,t) M V+C V+KV=P, ½¾µ ½ µ sin πvt sin πvt sin πvt sin 2πvt sin πvt sin nπvt M= +α sin 2πvt sin πvt sin 2πvt sin 2πvt sin 2πvt sin nπvt, sin nπvt sin πvt sin nπvt sin 2πvt sin nπvt sin nπvt ½ µ

48 ½ Ð ÖÒÓÙÐÐ Ó¹ ÙÐ Ö ÔÓ Þ Ò Ñ ÖÙ ÓÑ Ó Ó Ò Ò ÖÝ Ò Ó C=2α πvsin πvt cos πvt πvsin 2πvt cos πvt πvsin nπvt cos πvt 2πvsin πvt cos 2πvt nπv sin πvt cos nπvt 2πvsin 2πvt cos 2πvt nπv sin 2πvt cos nπvt 2πvsin nπvt cos 2πvt nπv sin nπvt cos nπvt, ½ µ K = 4 π 4 EI 4 ρa 2 4 π 4 EI 4 ρa n 4 π 4 EI 4 ρa ½ µ α 2 π 2 v 2 sin πvt sin πvt 2 2 π 2 v 2 sin 2πvt sin πvt 2 2 π 2 v 2 sin nπvt sin πvt 2 sin nπvt sin 2πvt sin nπvt π 2 v 2 2 sin πvt sin 2πvt n 2 π 2 v 2 2 sin πvt 2 2 π 2 v 2 sin 2πvt sin 2πvt n 2 π 2 v π 2 v 2 sin nπvt sin 2πvt n 2 π 2 v 2 sin nπvt sin nπvt 2 2 sin πvt P= P sin 2πvt ρa sin nπvt. ½ µ, u/u v=, -.4 v=,2 v=,3 -.6 v=,4 v=,5 v=, vt/l ÊÝ ÙÒ ½ ÌÖ ØÓÖ ÖÙ Ù Ñ Ý ÔÓÖÙ Þ ÔÓ Ð ÔÖÞÝ Ö ÒÝ ÔÖ Ó¹ v

49 ½ Ð ÖÒÓÙÐÐ Ó¹ ÙÐ Ö ÔÓ Þ Ò Ñ ÖÙ ÓÑ Ó Ó Ò Ò ÖÝ Ò Ó u/u vt/l x/l u/u vt/l x/l v=, v=,2 u/u vt/l x/l u/u vt/l x/l v=,3 v=,4 u/u vt/l x/l u/u vt/l x/l v=,5 v=,6 ÊÝ ÙÒ ¾ ËÝÑÙÐ Ö Ð ÖÒÓÙÐÐ Ó ÙÐ Ö Ó ÓÒ Ò ÖÝ Ò ÔÖÞÝ ÔÖ ¹ Ó v m ¼ ½ ¼ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼

50 ¾ Ð Ì ÑÓ Ò ÔÓ Þ Ò Ñ ÖÙ ÓÑ Ñ Ý 6.2. Beka Timoshenki pod działaniem ruchomej masy Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù Ð Ì ÑÓ Ò ÔÓ Þ Ò Ñ ÖÙ ÓÑ Ó Ó Ò ÔÖÞ Ø Û ÔÓÒ ÞÝ ÛÞ Ö EI 4 u(x,t) x 4 ( ρi+ρk EI G =q(x,t) k EI GA ) 4 u(x,t) +ρ 2 k I 4 u(x,t) +ρa 2 u(x,t) = x 2 t 2 G t 4 t 2 2 q(x,t) +ρk I 2 q(x,t), x 2 GA t 2 ½ µ Þ Ó Ò Þ ÛÒØÖÞÒ Ñ µ ÞÝÐ Ó Ò Ö Û Ø Ý Ò ÞÛ ÒÓ¹ ÓÛ ÓÔ Ò Ø Ò ØÔÙ Þ Ð ÒÓ q(x,t)=δ(x vt)p δ(x vt)m 2 u(vt,t) t 2. ½ µ ÖÙ ÔÓ Ó Ò ½ µ ÔÓx t 2 q(x,t) x 2 =δ (x vt)p δ (x vt)m 2 u(vt,t) t 2, ¾¼µ 2 q(x,t) t 2 =δ (x vt)pv 2 δ (x vt)mv 2 2 u(vt,t) t δ (x vt)mv 3 u(vt,t) t 3 δ(x vt)m 4 u(vt,t) t 4. ¾½µ Æ ÔÓ Ø Û µ Ó Ð Þ ÑÝ ÞÛ ÖØ ÔÓ Ó Ò ÔÖÞ Ñ ÞÞ ÔÓtÛÔÙÒ Ø x=vt 4 u(vt,t) t 4 = 2 k= [ V(k,t)sin kπvt 4k3 π 3 v 3 kπvt V(k,t)cos 3 + 4kπv V(k,t)cos kπvt + k4 π 4 v 4 V(k,t)sin kπvt 4 6k2 π 2 v 2 kπvt V(k,t)sin 2 ]. ¾¾µ ÈÓ Ø Û ¾¼µ ¾½µ Ó ½ µ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ù ÛÞ Ð Ñ ÔÓ Ó ÒÝ ÓØÖÞݹ ÑÙ ÑÝ EI 4 u(x,t) x 4 δ (x vt)ρkmv 2I GA +δ (x vt)ρkmv 2 I GA +δ (x vt)pρkv 2 I GA. ( ρi+ρk EI ) 4 u(x,t) + G x 2 t 2 3 u(vt,t) + t 3 ( ρ 2 k I G +δ(x vt)ρkm I ) 4 u(vt,t) GA t 4 ( ρa+δ(x vt)m δ (x vt)km EI GA + ) 2 u(vt,t) t 2 =δ(x vt)p δ (x vt)pk EI GA + ¾ µ

51 ¾ Ð Ì ÑÓ Ò ÔÓ Þ Ò Ñ ÖÙ ÓÑ Ñ Ý ¼ Ó ÓÒÙ ÑÝ ØÖ Ò ÓÖÑ ØÝ ÓÙÖ Ö µ Ö ÛÒ Ò ¾ µ EI j4 π 4 V(j,t)+ j2 π 2 ( ρi+ρk EI ) V(j,t)+ρ 2 k I V(j,t)+ρkm I 4 2 G G GA sinjπvt +ρkmv 2I jπ cos jπvt 3 ( u(vt,t) +ρa V(j,t)+ msin jπvt +km EI GA t 3 GA ρkmv 2 I j 2 π 2 sin jπvt ) 2 u(vt,t) =Psin jπvt +Pk EI j 2 π 2 sin jπvt GA 2 t 2 GA 2 Pρkv 2 I j 2 π 2 sin jπvt GA 2, 4 u(vt,t) t 4 + j 2 π 2 sin jπvt 2 ¾ µ Þ δ (n) (x ξ)f(x) x=( ) n f (n) (ξ). ÍÛÞ Ð Ò µ ¾¾µ Ö ÛÒ Ò ¾ µ ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø ¾ µ V(j,t)+βsinω j t V(k,t)sinω k t+2βω j cosω j t V(k,t)sinω k t+ k= k= +4βsinω j t V(k,t)cosω k t+ A k= I c2 V(j,t)+γ 2( c 2 +c 2 2 ) V(j,t)+ ( ) Aβ + I c2 +βc 2 2γ 2 βωj 2 sinω j t V(k,t)sinω k t+6βω j cosω j t ω k V(k,t)cosωk t k= k= ( ) Aβ 6βsinω j t ωk V(k,t)sinω 2 k t+2 k= I c2 +βc 2 2γ 2 βωj 2 sinω j t ω k V(k,t)cosωk t k= 6βω j cosω j t ωk V(k,t)sinω 2 k t 4βsinω j t ωk V(k,t)cosω 3 k t+γ 4 c 2 c 2 2V(j,t) k= k= ( ) Aβ I c2 +βc 2 2γ 2 βωj 2 sinω j t ωkv(k,t)sinω 2 k t 2βω j cosω j t ωkv(k,t)cosω 3 k t+ k= k= +βsinω j t ωkv(k,t)sinω 4 k t= P k= ρi c2 sinω j t+ P ρa c2 2γ 2 sinω j t P ρa ω2 jsinω j t, ¾ µ Þ γ= jπ, c = G kρ, c 2= E ρ 2m, β= ρa, ω k= kπv, ω j = jπv. ¾ µ c c 2 Ó ÔÓÛ Ò Ó ÔÖ Ó Ñ Ð Ò Ò Ð ØÒ Û Ð Ì ÑÓ Ò Ê Û¹ Ò Ò ¾ µ Ø Ö ÛÒ Ò Ñ Ö Ò Þ ÓÛÝÑ ÞÛÝÞ ÒÝÑ ÞÛ ÖØ Ó ÖÞ Ù Ó ÞÑ ÒÒÝ Û Ô ÞÝÒÒ Ø Ö Ó Ò ÔÓØÖ ÑÝ ÖÓÞÛ Þ Ò Ð ØÝÞÒ Ð Ø Ó Ð Þ Ó Ð Þ ¹ Ò ÓÒØÝÒÙÙ ÑÝ ÒÙÑ ÖÝÞÒ Ñ ØÓ ÊÙÒ Ó ÃÙØØÝ ÞÛ ÖØ Ó ÖÞ Ù Ê ÛÒ Ò ¾ µ Û Ö ÑÓ ÑÝ Þ Ô Ò ØÔÙ Ó Γ V+U V+M V+C V+KV=P, ¾ µ

52 ¾ Ð Ì ÑÓ Ò ÔÓ Þ Ò Ñ ÖÙ ÓÑ Ñ Ý ½ V=ˆP Û V ˆM V Ĉ V ˆKV, ¾ µ Þ Γ= +β U=2β +4β πvcos πvt sin πvt 2πv cos 2πvt sin πvt nπvcos nπvt sin πvt πvsin πvt cos πvt πv sin 2πvt cos πvt πvsin nπvt cos πvt M= A I c2 +( c 2 +c Aβ + ( βc 2 2 βv 2) sin πvt sin πvt sin πvt sin 2πvt sin 2πvt sin πvt sin 2πvt sin 2πvt sin nπvt sin nπvt sin πvt sin 2πvt sin nπvt sin πvt sin nπvt sin 2πvt sin nπvt sin nπvt sin nπvt sin 2πvt 2πv cos 2πvt sin nπvt πv cos πvt sin 2πvt πv cos πvt 2πv cos 2πvt nπvcos nπvt sin 2πvt nπv cos nπvt sin nπvt 2πvsin πvt cos 2πvt nπv sin πvt cos nπvt 2πvsin 2πvt cos 2πvt nπv sin 2πvt cos nπvt 2πvsin nπvt cos 2πvt nπv sin nπvt cos nπvt 2 π 2 2 ) 2 2 π n 2 π 2 2 +,, ¼µ ½µ sin πvt sin πvt sin πvt sin 2πvt sin πvt sin nπvt sin 2πvt sin πvt sin 2πvt sin 2πvt sin 2πvt sin nπvt I c2 + sin nπvt sin πvt sin nπvt sin 2πvt sin nπvt sin nπvt 2 π 2 sin πvt sin πvt 2 π 2 sin πvt sin 2πvt 2 π 2 sin πvt sin nπvt π 2 sin 2πvt sin πvt 2 2 π 2 sin 2πvt sin 2πvt 2 2 π 2 sin 2πvt sin nπvt n 2 π 2 sin nπvt sin πvt n 2 π 2 sin nπvt sin 2πvt n 2 π 2 sin nπvt sin nπvt ππ cos πvt cos πvt π2π cos πvt cos 2πvt πnπ cos πvt cos nπvt 2ππ cos 2πvt cos πvt 2π 2π cos 2πvt cos 2πvt 2πnπ cos 2πvt cos nπvt nππ cos nπvt cos πvt nπ2π cos nπvt cos 2πvt nπ nπ cos nπvt cos nπvt 2 π 2 sin πvt sin πvt 2 2 π 2 sin πvt sin 2πvt n 2 π 2 sin πvt sin nπvt π 2 sin 2πvt sin πvt 2 2 π 2 sin 2πvt sin 2πvt n 2 π 2 sin 2πvt sin nπvt 2 2 2, +6βv 2 6βv 2 2 π 2 sin nπvt sin πvt π 2 sin nπvt sin 2πvt n 2 π 2 sin nπvt sin nπvt 2 2 ¾µ +

53 ¾ Ð Ì ÑÓ Ò ÔÓ Þ Ò Ñ ÖÙ ÓÑ Ñ Ý ¾ C= 2Aβ πvsin πvt cos πvt 2πvsin πvt cos 2πvt nπv sin πvt cos nπvt πv I c2 sin 2πvt cos πvt 2πvsin 2πvt cos 2πvt nπv sin 2πvt cos nπvt πvsin nπvt cos πvt 2πvsin nπvt cos 2πvt nπv sin nπvt cos nπvt 2 π 2 πvsin πvt cos πvt 2 π 2 nπvsin πvt cos nπvt π 2 πv sin 2πvt cos πvt 2 2 π 2 nπvsin 2πvt cos nπvt 2 2, +2 ( βc 2 2 βv 2) 4 π K = c 2 c 2 4 π n 4 π 4 4 βc 2 c 2 2 n 2 π 2 πvsin nπvt cos πvt n 2 π 2 nπvsin nπvt cos nπvt π 2 v 2 sin πvt sin πvt 2 2 π 2 v 2 sin 2πvt 2 sin πvt 2 π 2 v 2 sin nπvt sin πvt π 2 v 2 2 sin πvt sin 2πvt n 2 π 2 v 2 2 sin πvt 2 2 π 2 v 2 sin 2πvt sin 2πvt 2 + µ µ sin nπvt sin 2πvt sin nπvt 2 n 2 π 2 v π 2 v 2 sin nπvt sin 2πvt n 2 π 2 v 2 sin nπvt sin nπvt 2 2 sin πvt P= P EI c2 c 2 sin 2πvt 2. µ sin nπvt,

54 6.2 Beka Timoshenki pod dziaªaniem ru homej masy u/u vt/l u/u x/l vt/l v =, u/u vt/l x/l vt/l v =, x/l.8 v =, vt/l x/l u/u u/u v =, v =, x/l u/u vt/l x/l.8 v =, 6 Symua ja drga«beki Timoshenki ob i»onej iner yjnie, przy pr dko± i vm =,,,2,,3,,4,,5 i,6. Rysunek 6.3:

55 Rozdział7 Metoda eementów czasoprzestrzennych (wariant prędkościowy) Ï ÖÓÞ Þ Ð ØÝÑ Þ Ñ ÑÝ ÒÙÑ ÖÝÞÒÝÑ ÔÓ Ñ Ó ÔÖÓ Ð ÑÙ ÖÙ ÓÑ Ñ Ý ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÔÖ Ó ÓÛ Ñ ØÓ Ð Ñ ÒØ Û Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ ÃÐ ÝÞÒ Ñ ¹ ØÓ Ð Ñ ÒØ Û Ó ÞÓÒÝ Ñ ÑÓ ÛÓ Ò Þ ÔÖÞ Þ ÐÒÝ Þ Ð Ø ÛÝÒ Ý Û¹ Ò Þ ÑÓ Ð ÛÓ Ó ÓÖÙ Ò ÙØ ÞÒ ÞÝ Ò ÖÞ Þ Ó ÓÛ Ò Ö ÛÒ ÖÙ Ù Û Þ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÛÙ Ø ÔÓÛ ÔÖÓ ÝÑ Ó Þ ÐÒ ÛÞ Ð Ñ ÞÑ ÒÒ ÔÖÞ ¹ ØÖÞ ÒÒ Ó Þ ÐÒ ÛÞ Ð Ñ Þ Ù Å ÑÓ ÒØ Ò ÝÛÒÝ ÔÖ Ò Ù Ó ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ó ÖÓÞÛ ÞÝÛ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û ÖÙ ÓÑ Ñ Ý ÔÓÖÙ Þ Þ Ù ÝÑ ÔÖ Ó Ñ ÞÔÓ Ö Ò ÑÓ Ý Ñ ÖÞÝ ÞÛ ÒÓ ÊÝ ½µ Ò ÔÖÞݹ ÒÓ Þ ÓÛ Ð Ý Ö ÞÙÐØ Ø Û Ì ÔÖ ÔÓ Ø ÔÖÞ Þ Ð Ó ¾¼ ÙÛÞ Ð Ò - y/yo -2 m P P x m P2 m vt/l ÊÝ ÙÒ ½ Å ØÓ ÔÓÐ Ò ÔÖÓ Ø ÑÓ Ý ÐÓ ÐÒ Ñ ÖÞÝ ÞÛ ÒÓ Ó Ø ÓÛÝ ÛÔ ÝÛ ÔÖÞÝ Ô Þ Ò ÓÖ ÓÐ ÓÖ Þ ÔÖÞÝ Ô Þ Ò Ó ÖÓ ÓÛ Ó ÛÝ Ó¹ ÖÞÝ ØÙ Ð ÝÞÒ Ñ ØÓ Ð Ñ ÒØ Û Ó ÞÓÒÝ Ø Ò ÊÝ ¾µ Ò ÞÝÑ Ð Ñ ÒØ Ñ Ö Ò ÝÑ Ñ ØÓ Ð Ñ ÒØ Û Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ Ó Ð ¹ ÝÞÒÝ ÔÓ Ó ÖÓÞÛ Þ Ò ÔÖÓ Ð ÑÙ ÔÓÞ Ø ÓÛÓ¹ ÖÞ ÓÛ Ó Ø ÔÓ Ý Ö ¹ ØÝÞ Ö Ò Þ ÓÛ Ó Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù Ï ÔÖ Þ ÒØÓÛ Ò Ñ ØÓ Þ Ý Ö ØÝÞÙ ÑÝ ÖÓÞ¹ Ô ØÖÝÛ Ò Ö ÛÒ Ò ÒÓÞ Ò ÛÞ Ð Ñ ÞÑ ÒÒÝ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ ÓÖ Þ Þ Ù ÅÓ¹

56 ½ Ý Ö ØÝÞ ØÖÙÒÝ Ñ ØÓ Ð Ñ ÒØ Û Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ u/u vt/l ÊÝ ÙÒ ¾ ÃÐ ÝÞÒ Ñ ØÓ Ð Ó Þ ØÓ ÓÛ Ò Ó ØÖÙÒÝ ÑÝ Þ Ø Ñ ÔÓ ØÙÐÓÛ Ö ÛÒÓÛ Ô ÛÒÝ Û Ð Ó ÞÝÞÒÝ ÒÔ Ò Ö Û ÔÖÞ ¹ Þ Ð Þ Ù Ò ÝÒ Û ÛÝ Ö ÒÝ Û Ð ÊÓÞÛ Þ Ò ÔÖÓ Ð ÑÙ ÔÖÓÛ Þ Ó ÒÙÑ ÖÝÞÒ Ó ÖÓÞÛ Þ Ò Ù Ù Ö ÛÒ Ì ÔÓ Þ Ý ÖÓÞ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒÝ ÙÒ ÔÖ Ó Û ÝÑ Ó Þ ÖÞ Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝÑΩ Û Ø ¹ ÖÝÑ ÓÒ ØÖÙ Ø ÖÓÞÔ ØÖÝÛ Ò Å ØÓ Ð Ñ ÒØ Û Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ Ø ÙÓ Ð¹ Ò Ò Ñ Ñ ØÓ Ý Ð Ñ ÒØ Û Ó ÞÓÒÝ 7.. Dyskretyzacja struny metoda eementów czasoprzestrzennych ÏÝ ÓÖÞÝ Ø ÑÝ ØÙ ÔÖ Ó ÓÛÝ Û Ö ÒØ Ñ ØÓ Ý Ó Ý Ö ØÝÞ ØÖÙÒÝ ÊÓÞÔ ØÖÞÑÝ Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù ØÖÙÒÝ Û Þ ÓÖÞ Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝÑΩ={(x,t): x b, t h} Ê ÛÒ Ò ÑÓÝ Û ÖØÙ ÐÒ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÑÒÓ Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÔÖÞ Þ ÔÖ Ó Û ÖØÙ ÐÒ v (x,t) Ù Ó Þ Ö ÛÒÓ ÛÞ Ð Ñ Þ Ù ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÓØÖÞÝÑÙ¹ ÑÝ Ö ÛÒ Ò ÔÖ Ý Û ÖØÙ ÐÒ ÓÛ Ø ÔÖ Û ÖØÙ ÐÒ Û Þ ÓÖÞ ΩÔÖÞ Ø Û ÛÞ Ö h ( ) b v (x,t) ρa 2 u u t 2 N 2 x 2 η u x t=, ½µ t Þ η Ø Û Ô ÞÝÒÒ Ñ Ø ÙÑ Ò Û ÓØÝÞÒ Ó Ï ÛÝÒ Ù ÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Þ ÛÞ Ð ÑxÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ρa v v Ω t Ω Ω+N v u x x Ω Ω+ v x ε Ω η v v Ω=. ¾µ Ω ÈÖÞÝ ÑÙ ÑÝ Ð Ò ÓÛÝ ÖÓÞ ÔÖ Ó v= u/ t Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò x ÛÞ t 4 v(x,t)= N i (x,t)v i. i= µ Ï ÔÖÞ ØÖÞ Ò ΩÑ ÖÞÓÛ ÙÒ ÞØ ØÙN=[N,...,N 4 ] Ñ Ò ØÔÙ ÓÖÑ N= [ ] (x b)(t h), x(t h), bh bh bh (x b)t, bh xt. µ

57 ½ Ý Ö ØÝÞ ØÖÙÒÝ Ñ ØÓ Ð Ñ ÒØ Û Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ ÈÖÞ Ñ ÞÞ Ò Ó Ð Þ ÑÝ Ù ÔÖ Ó µ Ô Ñ Ø Ó ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò ÔÓÞ Ø ÓÛÝ u(x,) u(x,t)=u(x,)+ t (N v +...+N 4 v 4 ) t=u(x,)+ t N v t. µ Ç Ø Ø ÞÒ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò Þ Ô Ò Þ ÔÓÑÓ ÔÖ Ó ÛÞ ÓÛÝ u(x,t)=u(x,)+ xt2 2bh (v v 2 v 3 +v 4 )+ xt b ( v +v 2 )+ t2 2h ( v +v 3 )+v t, µ ÓÖ Þ ÔÓ Ó Ò ÛÞ Ð Ñ ÞÑ ÒÒ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ x u x = t2 2bh (v v 2 v 3 +v 4 )+ t b ( v +v 2 )+ u x t=. µ Ï ÛÝ Ó Ö ÙÒ Û ÖØÙ ÐÒÝ v Ñ ÔÓ Ø ÛÓÛ ÞÒ Þ Ò Û Ñ ØÓ Þ Ð Ñ Ò¹ Ø Û Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ Ê Ò ÙÒ Û ÖØÙ ÐÒ Þ ØÓ ÓÛ Ò Û Ó Ð Þ Ò Û ÛÝÒ Ù Ð Ô Þ ÐÙ ÓÖ Þ ÔÓÞ ÓÑÝ Þ ÒÓ Ø ÐÒÓ Ï ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Þ ØÓ ÓÛ ÒÓ Ô ÐÙ ÞÓÛ ÙÒ ÔÖ Ó Û ÖØÙ ÐÒÝ Ó Ø Û ÖØÓ Û Þ v (x,t)=( x b )v 3+ x b v 4. µ ÏÝÑ Ò ÔÓ Ó Ò ÙÒ Û ÖØÙ ÐÒ v ÓÖ Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÙÒ v Ò ÔÓ Ø Û µ µ ÞÓ Ø Ý ÔÖÞ Ø Û ÓÒ ÔÓÒ v x = b ( v 3+v 4 ), v t = x bh (v v 2 v 3 +v 4 )+ h ( v +v 3 ). Ç Ø Ø ÞÒ Ö ÛÒ Ò ¾µ ÑÓ ÞÓ Ø Þ Ô Ò Û Ñ ÖÞÓÛ ÔÓ Ø h [ ( ] b x [x ρa b ) ] x bh h, x bh, x bh + h, x x t+ bh b h [ ][ b +N b t 2 b 2bh t b, t2 2bh +t b, t2 2bh, t 2 ] x t 2bh h [ ][ b ( x (x b)(t h) η, x(t h), (x b)t, bh bh bh b ) x b ] xt x t=. bh µ ½¼µ ½½µ Æ ÔÓ Ø Û Ñ ÖÞÓÛ Ó Ö ÛÒ Ò ½½µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ØÖÞÝ ÛÝÒ ÓÛ Ñ ÖÞ Ó¹ ØÝÞ ØÖÙÒÝ M = ρb h =ρb[ M s M s ], K = Nh b = [ = Nh2 b 3 K s s] 6 K C = ηb =ηb[ 2 C s ] 2 C s ½¾µ, ½ µ. ½ µ

58 ¾ Ð Ñ ÒØÝ Ó ÔÓÛ Þ ÐÒ Þ ÖÙ ÓÑ Ñ Û ÔÖÞÝÔ Ù ØÖÙÒÝ M K C Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝÑ Ñ ÖÞ Ñ ÞÛ ÒÓ ÞØÝÛÒÓ Û ÓØÝÞ¹ Ò Ó Ø ÙÑ Ò ÅÓ ÑÝ Þ Ó ÖÛÓÛ Þ Ñ ÖÞÝ Þ Ù ÓÛ Ò Ø Þ Û Ñ ÖÞÝ Û Ö ØÓÛÝ Ø ÖÝ ÛÝÑ Ö Ö ÛÒ Ð Þ ØÓÔÒ ÛÓ Ó Ý Û ÔÖÞ ¹ ØÖÞ ÒÒÝÑ Ð Ñ Ò Ó ÞÓÒÝÑ Å ÖÞ M s K s C s Ñ ÔÓ Ó Ò ÓÖÑÝ Ó Ñ ¹ ÖÞÝ ÓØÖÞÝÑ ÒÝ ØÖ ÝÝ Ò Û Ð ÝÞÒ Ñ ØÓ Þ Ð Ñ ÒØ Û Ó ÞÓÒÝ Æ ¹ Þ Ö Ò ÝÒ Ó ÔÓÛ Ò Ñ ÑÒÓ Ò Ñ Ç Ø Ø ÞÒ ÓÖÑ Þ Ý Ö ØÝÞÓ¹ Û Ò Ó Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù Þ Ó Ö ÛÒÓÛ Ò ÖÞ Ð Ñ ÒØÙ Û Þ ÓÖÞ Ω ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ Û ÔÓ Ø Ñ ÖÞÓÛ (M+C+K) { vi v i+ } +e= ÐÙ K v+e=. ½ µ Ï ØÓÖvÞ Û Ö Þ Ö ÛÒÓ ÔÖ Ó ÛÞ ÓÛ v i Û ÔÓÞ Ø ÓÛÝÑ Þ t=t i v i+ Û Ó ÓÛÝÑ Þ t=t i +h ÖÓÞÔ ØÖÝÛ Ò Ó ÔÖÞ Þ Ù Þ Ùh Ø Þ Ó¹ ÓÒÝÑ ÖÓ Ñ Þ ÓÛÝÑ Ï ØÓÖ ÔÖ Ó v i+ Ø ÝÒÝÑ Ò ÞÒ ÒÝÑ Û ØÓÖ Ñ Û ÔÓÛÝ ÞÝÑ Ö ÛÒ Ò Ù Ó Ð Þ ÒÝÑ ÖÓ ÔÓ ÖÓ Ù Ç Ø Ø ÞÒ ÑÙ ÑÝ Ó Ð ÞÝ ÔÖÞ ¹ Ñ ÞÞ Ò q i+ Ï ØÝÑ ÐÙ Ù ÝÛ ÑÝ Ò ØÔÙ ÓÖÑÙ Ý q i+ =q i +h[βv i +( β)v i+ ]. ½ µ ËØ ÐÒ ÖÓÞÛ Þ Ò ÙÞÝ Ù ÑÝ ÔÖÞÝβ <.5;.> 7.2. Eementy odpowiedziane za ruchomamasęwprzypadku struny Ç Ø ØÒ Þ ÓÒδ(x v m t)m 2 u(v m t,t)/ t 2 Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù ½µ ÓÔ Ù ÖÙ ÓÑ ÞÛ ÒÓ ÓÛ ÏÝÖ Ò 2 u(v m t,t)/ t 2 Ø ÔÖÞÝ Ô Þ Ò Ñ ÖÙ ÓÑ Ñ Ý ÒÓÞ Ò ÔÖÞÝ Ô Þ Ò Ñ ÔÙÒ ØÙ ØÖÙÒÝ Û Ø ÖÝÑ Ø Ñ ÞÒ Ù x= x +v m tµ Ó Ò Þ ÛÞÓÖ Ñ Ê Ò Ù ÓØ ÔÖÞÝ Ô Þ Ò ÖÙ ÓÑ Ñ Ý ÔÓÖÙ Þ ¹ Þ Ø ÔÖ Ó v m Þ Ó Ò Þ Þ Ñ Ö Ò Þ ÓÛ Ò ÙÒ Þ Ó ÓÒ Þ ØÖÞ Ò ØÔÙ Ý Þ ÓÒ Û 2 u(v m t,t) t 2 = 2 u(x,t) t 2 x=vmt +2v m 2 u(x,t) x t +v m 2 x=vmt 2 u(x,t) x 2 x=vmt. ½ µ Ï ÛÞÓÖÞ ØÝÑ ÑÓ ÑÝ Þ ÙÛ Ý ÔÖÞÝ Ô Þ Ò ÔÓÔÖÞ ÞÒ ÔÖÞÝ Ô Þ Ò ÓÖ ÓÐ ÓÖ Þ ÔÖÞÝ Ô Þ Ò Ó ÖÓ ÓÛ Ï ÔÖÞÝÔ Ù ØÖÙÒÝ Þ Ó Þ ÔÓØÖÞ Þ Ô Ù ÔÖÞݹ Ô Þ Ò ÖÙ ÓÑ Ñ Ý 2 u(v mt,t) t 2 Þ ÔÓÑÓ ÔÖ Ó 2 u(v m t,t) = v(x,t) [ v(x,t) u(x,t) t 2 +v t m +v x=vmt x m + u ]. x=vmt t x x=vmt x ½ µ ÈÓ ÔÖÞ ÑÒÓ Ò Ù Ö ÛÒ Ò ½ µ ÔÖÞ Þ Û ÖØÓ Ñ ÝmÔ ÖÛ ÞÝ Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÙ ÞÛ ÒÓ ÖÙ ØÖÞ Þ ÓÒ ÔÓ Ó Ò Ó Ø ÙÑ Ò ÞØÝÛÒÓ Ç Ø ØÒ Þ ÓÒ Þ ÓÐ Ó ÔÓÛ Þ Ý ÛÞ ÓÛ Û Û Ð ÔÓÞ Ø ÓÛ ÔÖÞ Þ Ù Þ Ù

59 ¾ Ð Ñ ÒØÝ Ó ÔÓÛ Þ ÐÒ Þ ÖÙ ÓÑ Ñ Û ÔÖÞÝÔ Ù ØÖÙÒÝ t x o +v α h m αh h x o b x ÊÝ ÙÒ ÌÖ ØÓÖ ÖÙ Ù Ñ Ý Û Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ Ò Ï ÐÙ Ý Ö ØÝÞ Þ ÓÒÙ Þ Û Ö Ó ÖÙ ÓÑ Ñ ØÓ Ù ÑÝ Ø Ñ Ó Û ÔÖÞÝÔ Ù ØÖÙÒÝ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ ÔÓ ÔÓÐ Ò Ù ÓÛ Ö ÛÒ Ò ÔÖ Ý Û ÖØÙ ÐÒ h b N mδ(x x v m t) 2 u(x +v m t,t) x t. ½ µ t 2 Æ ÔÓÞ Ø Þ Ñ ÑÝ Ô ÖÛ ÞÝÑ Þ ÓÒ Ñ Ö ÛÒ Ò ½ µ ÈÖÞÝ Ñ ÑÝ Ø Ñ Ð Ò ÓÛ ÙÒ ÒØ ÖÔÓÐÙ µ µ ÓÖ Þ ÔÖ Ó Û ÖØÙ ÐÒ v (x)=n q p = [ ] x b x b q p. ¾¼µ ÃÓÒ Û ÒØÒ ÓÛ Ò ÔÖÓÛ Þ Ó ÓØÖÞÝÑ Ò Ñ ÖÞÝ ÞÛ ÒÓ ÖÙ ÓÑ Ñ ÝM m M m = m h ( κ)2 κ( κ) κ( κ) κ 2 ( κ) 2 κ( κ) κ( κ) κ 2, ¾½µ Þ κ=(x +.5v m h)/bx Ø ÔÓÞ Ø ÓÛ ÔÓÞÝ Ñ Ý Û Ð Ñ Ò Þ ÓÔÖÞ ¹ ØÖÞ ÒÒÝÑ ÔÖÞÝt=t µ ÊÝ µ Å ÖÞ Ø ÙÑ Ò ÖÙ ÓÑ Ñ ÝC m ÔÖÞÝ ÑÙ Ò ØÔÙ ÔÓ Ø C m = mv b 2 ( κ) 2 ( κ) 2 κ 2 κ 2 ( κ) 2 ( κ) 2 κ 2 κ. ¾¾µ Ñ ÑÝ Ø Ö Þ ÛÔ ÝÛ Ñ ÔÖÞ Ñ ÞÞ u(x,t) ÔÖÞ Ñ ÞÞ ÔÓÞ Ø ÓÛÝ u(x,) Ò ÛÝÒ ÓÛ Ñ ÖÞ ÓÔ Ù ÖÙ ÓÑ Ñ Ï ÛÝÒ Ù ÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Þ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ h b v m δ(x x v m t) [ u(x,t) + u ] v (x) x t= t x x=vmt x h [ b u(x,t) = vm 2 δ (x x v m t) + u ] v (x) x t. x x=vmt x ¾ µ

60 ¾ Ð Ñ ÒØÝ Ó ÔÓÛ Þ ÐÒ Þ ÖÙ ÓÑ Ñ Û ÔÖÞÝÔ Ù ØÖÙÒÝ Å ÖÞK m Ø Ñ ÖÞ ÞØÝÛÒÓ ÖÙ ÓÑ Ñ Ý K m = mhv2 m 6b ¾ µ ÙÛ Ò Ð Ò ÓÛ ÙÒ ÞØ ØÙ ÔÖÞÝt=ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò ÔÓÞ Ø ÓÛ Þ Ô Ù ÑÝ Û ÔÓ Ø ( u = x ) u 3 + x b b u 4, ¾ µ ÔÓ Ó Ò Ó u x = b u 3+ b u 4. Ç Ø ØÒ Ñ Ò Ñ Ó ÔÓÛ Þ ÐÒÝÑ Þ ÓÔ ÖÙ ÓÑ Ñ Ý Ý ÛÞ ÓÛ e m e m = mv2 m b 2 u L u P u L +u P ¾ µ. ¾ µ ÃÓÑÔÐ Ø ØÖÞ Ñ ÖÞÝM m C m K m ÓÖ Þ Û ØÓÖ ÛÞ ÓÛÝ e m Ø ÒÓÛ Ô ÒÝ ÓÔ ÛÔ ÝÛÙ ÖÙ ÓÑ Ý ÞÛ ÒÓ ÓÛ Û Ñ ØÓ Þ Ð Ñ ÒØ Û Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ Ò¹ ÒÝ Ë ÓÒ Þ Ô Ò Û ÔÖ Ó ÈÖÞ ÔÖÓÛ ÞÓÒÓ Ó Ð Þ Ò Ö ØÖÙÒÝ Þ ÔÓÖÙ Þ Ñ m ÍÞÝ Ò Ûݹ Ò ÔÖÞÝ Ö Ò ÔÖ Ó Þ ÔÖÞ Þ Ù<v,c ÔÓÖ ÛÒ ÒÓ Þ ÛÝÒ Ñ Ñ ØÓ Ý Ô Ò Ð ØÝÞÒ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ Ò ÊÝ ÈÖÞ Ø Û ÓÒ Ò ÛÝ Ö ÖÞÝÛ Ò Ñ Ð ÔÓ ÖÝÛ Þ ÛÝÒ Ñ Ó Ð Þ Ô Ò Ð ØÝÞÒÝ Æ Ð Ý Þ ÞÒ ÞÝ Þ ÒÓ Þ Ó Þ Ø ÔÖÞÝ Ù Ý ÔÖ Ó v>,8c u/u numerica anayt. v=. - anayt. v=.2 anayt. v=.3 anayt. v=.4 anayt. v=.5 anayt. v= anayt. v=.7 anayt. v=.8 anayt. v=.9 anayt. v= vt/l ÊÝ ÙÒ ÌÖ ØÓÖ ÖÙ Ù Ñ Ý ÔÖÞÝ Ö Ò ÔÖ Ó v ÙÞÝ Ò ÒÙÑ ÖÝÞÒ Þ Þ ¹ ØÓ ÓÛ Ò Ñ Ô ÐÙ ÞÓÛÝ ÙÒ Û ÖØÙ ÐÒÝ

61 Ð Ñ ÒØÝ ÓÔ Ù ÖÙ ÓÑ Ñ Û Ð ÖÒÓÙÐÐ Ó ÙÐ Ö ¼ 7.3. Eementy opisujaceruchom a masę w bece Bernouiego Euera Ý Ö ØÒÝ Ð Ñ ÒØ Ð Þ Ö ÛÒÓ Û Ð ÝÞÒ Ñ ØÓ Þ Ð Ñ ÒØ Û Ó ÞÓÒÝ Ñ ØÓ Þ Ð Ñ ÒØ Û Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ Ø Ù Ó Ö Þ Þ Ó ÓÒÝ Ò Ð Ñ ÒØ ØÖÙÒÝ ÏÝÒ ØÓ Ó Ý Þ ÛÙ ÖÓØÒ Û Þ Ð Þ Ý ØÓÔÒ ÛÓ Ó Ý Ð Ñ ÒØÙ Ð È ¹ Ñ Ø ÑÝ Ô ÐÙ ÞÓÛ ÙÒ Û ÖØÙ ÐÒ Ø Ø Û Þ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ Ó ÙÐ Ö ¹ µ Þ Ô Ù Û Ò ØÔÙ Ý ÔÓ ( ) vm(x,t)= 3 x2 v b 2+2x3 b ϕ v ϕ 4. ¾ µ ÊÓÞÔÓÞÒ ÑÝ ØÙ Ù Ý ÙÒ ÞØ ØÙ Ó ÓÔ ÔÖÞ Ñ ÞÞ ÐÙ ÔÖ Ó µ Þ ÔÓ¹ ÑÓ Þ Ö ÛÒÓ ÛÞ ÓÛÝ ÔÖ Ó Ð Ò ÓÛÝ ÓÖ Þ ÛÞ ÓÛÝ ÔÖ Ó Ó ÖÓØÓÛÝ ÈÓÒ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÔÖÓÛ Þ Ó ÛÝÞÒ Þ Ò Ô ÖÛ Þ Ó Ð Ñ ÒØÙ Ñ ¹ ÖÞÝ ÞÛ ÒÓ ÖÙ ÓÑ Ñ ÝM m Ð Ð ¹ (M m ) = m h = m h h b h b ÏÔÖÓÛ Þ ÑÝ ÔÓ Ø Û Ò (M m ) = m h h ( ) 2 δ(x x vt) 3 x2 x t= b 2+2x3 b 3 [ 3 (x +vt) 2 +2 (x +vt) 3 ] 2 x t. b 2 b 3 s= x +vt b ( 3s 2 +2s 3) 2 s= m h ÈÓ ÓÛ Ò Ù ÔÓÛÖ ÑÝ Ó ÞÑ ÒÒ t (M m ) = m [ ( ) b 4 x +vt 7 ( ) x +vt ( x +vt hv 7 b b 5 b ( ) x +vt x ] +vt h. b b ¾ µ s= v t, ¼µ b b v ( 4 7 s7 2s s5 +s 4 2s 3 +s) h. ½µ ) 5 ( ) x +vt 4 + b ¾µ ÍÛÞ Ð Ò Ö Ò ÓÛ Ò ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ò Þ Ð Ñ ÒØ Û Ñ ÖÞÝ ÞÛ ¹ ÒÓ ÖÙ ÓÑ Ñ ÝM m (M m ) = m [ ( 56b 6 4κ 6 2κ 5 +9κ 4 +4κ 3 6κ 2 + ) +28b 4 v 2 h 2( κ 4 56b 6 2κ 3 +9κ 2 +2κ ) +2b 2 v 4 h 4( 2κ 2 2κ+3 ) +5v 6 h h], µ Þ κ= x +vh/2 b. µ

62 Ç ÖÓÞÛ Þ Ò Ù Ð Ì ÑÓ Ò ½ ÈÓ Ø Ñ ÖÞÝM m C m K m Ó ÔÓÛ Þ ÐÒÝ Þ ÓÔ ÖÙ ÓÑ Ñ Ý ÞÓ Ø Ý Þ ¹ Ñ ÞÞÓÒ Û Ó Ø Ù Ó ÔÖ Ý ÅÙ ÑÝ Ô Ñ Ø ØÖÞÝ Ô ÖÛ Þ Ñ ÖÞ Þ Û ØÓÖÝ ÔÖ Ó Û Û Ò ØÔÙ Ý ÔÓ Ó Û Ð Ë ÓÒ Þ Û Û Ö ØÓÛÝ ÔÓ Ñ ÖÞÝ Ð Û ÔÖ Û Å ÓÒ ÛÝÑ Ös 2s Þ s Ø Ð Þ ØÓÔÒ ÛÓ Ó Ý Û ÛõÐ Ò ØÖÙ ØÙÖÝ Å ÖÞE m Ñ ÛÝÑ Ös s Ï ÞÝ Ø Ñ ÖÞ ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Û Ó Ø Ù ÓØÝÞ Ñ Ým= Û ÑÙ Þ Ý ÑÒÓ ÓÒ ÔÖÞ Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø Ñ m ÏÔÖÓÛ ÞÓÒÓ Ö ÛÒ ÓÞÒ Þ Ò ξ=vh/b κ Ò ÛÞÓ¹ Ö Ñ µ ÇØÖÞÝÑ Ò ÖÓÞÛ Þ Ò ÒÙÑ ÖÝÞÒ ÊÝ µ ÒØÝÞÒ Þ ÛÝÒ Ñ ÔÓ Ô Ò Ð ØÝÞÒ Ó Þ ÖÓÞ Þ Ù ÊÝ ½µ u/u v=, v=,2 -.6 v=,3 v=,4 v=, vt/l ÊÝ ÙÒ ÌÖ ØÓÖ ÖÙ Ù Ñ Ý ÔÓÖÙ Þ ÔÓ Ð ÔÖÞÝ Ö ÒÝ ÔÖ Ó¹ v ÙÞÝ Ò ÒÙÑ ÖÝÞÒ Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ñ Ô ÐÙ ÞÓÛÝ ÙÒ Û ÖØÙ ÐÒÝ 7.4. O rozwiazaniu beki Timoshenki Ê Ò Þ ÓÛ Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù Ð Ì ÑÓ Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù ÒÓÖ ÛÒ Ò ÓÛÝÑ ¾¾ µ Ñ Ö ÞÓ ÔÓÛ Ò Û Þ ÛÞ Ð Ù Ò ÒÙÑ ÖÝÞÒ ÔÓ Ñ ØÓ Þ ÓÔÖÞ ¹ ØÖÞ ÒÒ Ï Ø Ø ÞÛ ÖØ ÔÓ Ó Ò ÛÞ Ð Ñ Þ Ùt ÈÓÒ Û Þ Û ÖÞ Þݹ Û Ø ÙÒ ÞØ ØÙ Ñ ÖÓÞ Ð Ò ÓÛÝ Ò Ñ ÑÝ ÑÓ Ð ÛÓ Ý Ö ØÒ Ó ÔÖÞ Ø ¹ Û Ò Ø ÔÓ Ó Ò ÃÓÒ ÞÒ Ø ÔÖÞ ÔÖÓÛ Þ Ò Ò Ð ÞÝ Ð Ì ÑÓ Ò Û ÔÖÞݹ Ô Ù Ý Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Ø Û ÔÓ Ø Û Ö ÛÒ ÔÖÞ ÓÒÝ Þ Ó ÛÞ Ð Ñ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ø Û Ò Ò ÖÙ ÓÑ Ó Ó Ò ÞÛ ¹ ÒÓ ÓÛ Ó ÔÓÖÙ Þ Ó ÔÓ Ð Ì ÑÓ Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÑÝÑ Û Ó ÛÞ Ð Ù Ò Û Þ Ó ÓÒÓ Ò ÞÓ Ø Ò ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ Û Ò Ò Þ ÔÖ Ý

63 ÈÖÞÝ Ý ÙÒ Û ÖØÙ ÐÒÝ ¾ 7.5. Przykłady funkcji wirtuanych Ï ÛÝ Ó Ö Û ÖØÙ ÐÒ ÙÒ v Ø ÔÓ Ø ÛÓÛÝÑ Þ Ò Ñ Ñ ØÓ Ý Ð Ñ ÒØ Û Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ Ã Þ ÔÖ Þ ÒØÓÛ ÒÝ Ò ÖÝ ÙÒ Ñ Ö ÒÝ ÞØ Ø ÔÖÞ Þ ØÓ ÒÒ Û ÒÓ Ï Ô ÖÛ ÞÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Þ Ó Þ Ö ÛÒÓÛ ÔÙÒ ØÓÛ Û ÓÐ ÒÝ ØÖÞ Ñ ÑÝ Ó ÞÝÒ Ò Þ Ö ÛÒÓÛ ÐÓ ÐÒ Ð Ô ÛÒ Ó Þ Ö Ù Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ Ó Ô Ö Ñ ØÖÙ Ý ÔÓÖ ÛÒ ÔÖÞ Ø Û ÓÒ ÙÒ Û ÖØÙ ÐÒ ÔÓ¹ a h h t t t h h b c d h t ÊÝ ÙÒ ÙÒ Û ÖØÙ ÐÒ ¹ ÐØ Ö ¹ Ô ÐÙ ÞÓÛ ¹ ØÖ ØÒ ¹ Þ ÓÛ ÑÝ ÛÝÔÖÓÛ ÞÓÒ ÔÖÞÝ Ù Þ Ð Ñ ÖÞ ÞÛ ÒÓ ÞØÝÛÒÓ Ö Ó Ó ÓÛÓ ÔÖØ Æ ÓÒ Ó Þ Ù ÑÝ Ñ ØÓ Ý ÒÙÑ ÖÝÞÒ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö ÛÒÓÛ ÔÙÒ ØÓÛ ÏÝ ÓÖÞÝ Ø ÑÝ Þ Ô ÔÖÞ Ó Ò Ø ÔÒ Ó ÖÓ Ù Û ÓÖÑ Ñ ÖÞÝ ÔÖÞ ¹ Ò Ò ÛÞÑÓÒ Ò µt { vi+ q i } =T { vi q i }. µ ÈÓÛÝ ÞÝ Ñ Ø ÓØÝÞÝ Þ Ò Ö ÛÓ Ó ÒÝ Ò Ø ÙÑ ÓÒÝ Å ÖÞTÑ ÛÝÑ Ö2 2v Ø ÔÖ Ó qôöþ Ñ ÞÞ Ò Ñ Ï Ð Þ Þ Þ Ø ÒÓÛ ÑÝ Ò ÑÓ Ð ÛÓ Þ ØÓ ÓÛ Ò ÒÒÝ ÞØ Ø Û ÙÒ Û ÖØÙ ÐÒÝ ÊÓÞÔ ØÖÞÝÑÝ Û Þ Ò Ð ÓÛ ÖÙ ÔÖÞÝ Þ ÖÓÛ ÔÖ Ó ÔÓÞ Ø ÓÛ ÓÖ Þ ÖÙ ÔÖÞÝ Þ ÖÓÛÝÑ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò Ù ÔÓÞ Ø ÓÛÝÑ Ò ÖÓ Ù ØÝ Û ÔÖÞÝÔ Û ÑÓ ÑÝ Þ Ó Ý ÔÖÞÝÔ ÓÛÓÐÒ Ó ÖÓ Ù ÔÖÞÝ ÓÛÓÐÒÝ Û ÖÙÒ ÔÓÞ Ø ÓÛÝ ÞÝÒ ÑÝ Ø Ý Û ÛÞ Ò Þ Û ÓÑÔÓÒ ÒØ Û Û ØÓÖ Þ ÔÖ Û ØÖÓÒÝ Ñ Û ÖØÓ Þ ÖÓ ÑÝ ÝÒ Û Ð Ñ ÒØÝ Ñ ÖÞÝ ÔÖÞ Ò Ò ÊÓÞÛ Ò ÑÝ Ð Ñ ÒØÝ Ø Ñ ¹ ÖÞÝ Û Þ Ö Ì ÝÐÓÖ Þ ÑÝ ÑÓ Ð Þ ØÝÑ ÖÓÞÛ Ò Ñ ÔÓÖ ÛÒ ÖÓÞÛ Ò ÙÒ ÒÙ Ó ÒÙ Pseudofunkcja Diraca Ñ ÑÝ ÔÖÓ Ø ÓÖÑ Ý ØÖÝ Ù δ ÖÝ µ Ï ÖØÙ ÐÒ ÙÒ ÞØ ØÙ ÔÖÞÝ ¹ ÑÙ ÛØ Ý Ò ØÔÙ ÔÓ Ø [ v (x,t)=δ(t αh) ( x b )v 3+ x ] b v 4. µ ÔÓ Ø Û ÓÛ Ò Ý ØÖÝ Ù Û ÓÑÓ Þ ÐÓÞÝÒÙ ÙÒ ÐØÝ Ö Ö ÛÒ Ø Û ÖØÓ ÖÓÞÔ ØÖÝÛ Ò ÙÒ Û ÔÙÒ ÛÝÞÒ ÞÓÒÝÑ ÔÖÞ Þ Ø ÐØ Ï ÖÓÞÔ ØÖÝÛ ÒÝÑ ÔÖÞ Þ Ò ÔÖÞÝÔ Ù ÓÛ Ò Û Þ ÔÓÐ Ò Þ Ñ Ò tò αh Æ ÔÓ Ø Û ÖÞ ÞÝÛ Ø Ð Ò ÓÛ ÙÒ ÞØ ØÙ µ ÓÖ Þ ÔÓÛÝ Þ ÔÖ Ó

64 ÈÖÞÝ Ý ÙÒ Û ÖØÙ ÐÒÝ Û ÖØÙ ÐÒ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ò ØÔÙ Ñ ÖÞ ÞÛ ÒÓ ÞØÝÛÒÓ M = ρb h K = Nh b =h α( α 2 ) α( α 2 ) α( α 2 ) α( α 2 ) [ α( α ] 2 )K s α2 2 K s = h [ M s M s ], µ α2 2 α 2 α2 2 2 α 2 2 =. µ Ý Ó Ð ÞÝÑÝ Ù ÔÖ Ó Û Ò ØÔÒ Û Ð Þ Ù Þ Ó Ò Þ ½ µ ÑÓ ÑÝ Ûݹ ÞÒ ÞÝ Ò ÔÓ Ø Û ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò q i+ =q i +h[βv i +( β)v i+ ], µ Þ Û Ô ÞÝÒÒ β= α Ó ÔÓÛ Þ Ø ÐÒÓ ÖÓÞÛ Þ Ò ÈÖÞÝ ÖÞÝ ÑÝ Û ÒØÝÞÒÝ ÔÓ Û ÒÓ ÓÑ ÒÒÝ Û ÖØÙ ÐÒÝ ÙÒ ÞØ ØÙ Funkcja kapeuszowa ÈÓ ØÙÐÙ ÑÝ Ö ÛÒÓÛ ÐÓ ÐÒ Û ÔÖÞ Þ Ð [,h] Ó Ò Þ ÖÝ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ v (x,t)=( x b )v 3+ x b v 4. ¼µ ÈÓÛÝ Þ ÙÒ Ñ Ø Û ÖØÓ Ö ÛÒ ÒÓ Ò ÖÞ Ò ØÓÑ Ø Ö ÛÒ Ø Þ ÖÓ ÈÓ ÓÛ Ò Ù Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÔÖØ Ò ÔÓ Ø Û Ô ÐÙ ÞÓÛ ÙÒ Û ÖØ٠й Ò ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ò ØÔÙ Ñ ÖÞ ÞØÝÛÒÓ ÞÛ ÒÓ K= EAh b M= ρab h , ½µ. ¾µ ÈÖÞ Ñ ÞÞ Ò Û Û Ð Ò ØÔÒ ÛÝÞÒ Þ ÑÝ Ò ÔÓ Ø Û ÛÞÓÖÙ µ Þ Û Ô ÞÝÒÒ β Ð ÔÖ Þ ÒØÓÛ Ò ÙÒ Û ÖØÙ ÐÒ Ý Þ ÓÛ Ò Ý Ø ÐÒÓ ÖÓÞÛ Þ Ò ÑÙ Ý Þ ÔÖÞ Þ Ù/2 β Funkcja trójkatna Ï ÔÖÞÝÔ Ù Û ÖØÙ ÐÒ ÙÒ ØÖ ØÒ ÖÝ µ v (x,t)=( x b )t h v 3+ x b t h v 4. Æ Ø ÔÓ Ø Û Ñ ÖÞ ÞØÝÛÒÓ ÞÛ ÒÓ ÙÞÝ Ù Ò ØÔÙ ÔÓ Ø K= EAh b µ, µ

65 ÈÖÞÝ Ý ÙÒ Û ÖØÙ ÐÒÝ M= ρab h µ Û ÖÙÒ Ù Ø ÐÒÓ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Þ Ö ØÓ ÓÛ ÐÒÓ Ô Ö Ñ ØÖÙβ 2/3 β Funkcja daszkowa ÈÖÞÝ ÑÙ ÑÝ ØÖ ØÒÝ ÖÓÞ ÙÒ Û ÖØÙ ÐÒ Û Þ ÖÝ µ v (x,t)= ( x b )2tv h 3+ x 2t v bh 4, ÔÖÞÝ t t/2 ( x b )( 2t h +2)v 3+ x b ( 2t h +2)v 4 ÔÖÞÝ t/2<t h. µ Ì ÔÓ Ø ÙÒ v ÔÖÓÛ Þ Ó Ò ØÔÙ ÔÓ Ø Ñ ÖÞÝ ÞØÝÛÒÓ Þ¹ Û ÒÓ K= EAh , µ b 7 M= ρab h Û ÖÙÒ Ù Ø ÐÒÓ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ô Ö Ñ ØÖ3/4 β µ Ý Ó Ö Ð ÔÖ Þ ÒØÓÛ Ò Ñ ØÓ Ý ÒÙÑ ÖÝÞÒ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö ÛÒÓÛ ÔÙÒ ØÓÛ ÔÖÞ Ò Ð ÞÙ ÑÝ ÔÖÓ ÓÔ ÒÝ Ö ÛÒ Ò Ñ µ ÊÓÞÛ Ò ÔÖ Ó ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò Û Þ Ö Ì ÝÐÓÖ ÔÖÞ Ø Û ÑÝ ÔÓÒ v i+ = ( αω 2 h 2 + ) 2 α3 ω 4 h 4 +O(h 6 ) v i + ( + ω 2 h+ ) 2 α2 ω 4 h 3 +O(h 5 ) u i, u i+ = ( h ω 2 h 3 α( α)+o(h 5 ) ) v i + ( + ω 2 h 2 ( α)+ ) 2 ω4 h 4 α 2 ( α)+o(h 6 ) u i. µ È Ñ Ø Ó ÖÓÞÛ Ò ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒÝ ÑÓ ÑÝ Ó Þ ÓÛ Ñ ¹ ØÓ Ý Ï ØÝÑ ÐÙ Ò Ð Ý ÖÓÞÔ ØÖÞ Û ÔÖÞÝÔ v()= u()= ÓÖ Þv()= u()= ÔÖÞÝÖ ÛÒ ÛÝÒ µ Ó ÖÓÞÛ Ò ÖÓÞÛ Þ Ý ÇØÖÞÝÑ ÑÝ Û ÛÞ ÔÖ Ó ǫ v ÓÖ Þ ÔÖÞ Ñ ÞÞ ǫ u ( ǫ v =ω 2 h 2 α ( ) )+ω 4 h α3 +O(h 6 ), 2 ǫ v 2=ω 4 h 3 ( 6 α2 2 ) +O(h 5 ), ( ǫ u 2=ω 2 h 3 α( α) ) +O(h 5 ), 6 ¼µ ½µ ¾µ

66 ÈÖÞÝ Ý ÙÒ Û ÖØÙ ÐÒÝ ǫ u 22=ω 2 h 2 ( 2 α ) +ω 4 h 4 ( 24 α2 2 ( α) ) +O(h 6 ). µ ÓÐÒ Ò Ý ÓÞÒ Þ Ð Ñ ÒØ Ñ ÖÞÝ ÔÖÞ µ Ï Þ ÑÝ ÔÖÞÝα=/2 ÞÒ Þ ÓÒÝ ÖÙ Ó ØÓÔÒ ÛÝÒÓ Û ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù/2h 3 +O(h 4 )

67 Rozdział8 Przykłady zastosowań Â Ù Û ÔÓÑÒ ÒÓ Û Û ØÔ ÖÙ ÓÑ Ó Ò Ñ Û Ð ÔÖ ØÝÞÒÝ Þ ØÓ¹ ÓÛ Ò ÝÒ Ö Ï ÖÓÞ Þ Ð ØÝÑ ÔÖÞ Ø Û ÑÝ Ò ÔÓ Ø Û Þ Ø ÛÙ Û Þ Û ÓÐ ÓÛÝ Ò Þ ØÝÔÓÛÝ ÔÖÞÝ Û ÛÝ ØÔÓÛ Ò ÖÙ ÓÑÝ Ö Û Ø Ý ¹ ÒÝ ÞÛ ÒÓ ÓÛÝ Æ ÓÒ Þ ÔÖ Þ ÒØÙ ÑÝ ÒÓÛ ÞÝ Ó ÖÓÞÛ ÒÙÑ ÖÝÞÒ ÔÓ Þ Ø ÓÛ ÊÓÞÔ ØÖÞÓÒÓ Û ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Ø ÖÙ ÓÑ Ö Û Ø Ý Ò 8.. Dynamika toru koejowego ÊÓÞÛ ÞÝ ÓÐ ÛÝÑ Ó ØÓ ÓÛ Ò ØÓÖ Û Ó ÛÝ ÞÝ ÔÖ Ó ÓÖ Þ Û ¹ ÞÝ Ó ÌÓ Þ ÓÐ ÑÙ Ý ÔÓÔÖÞ ÞÓÒ ÒØ Ò ÝÛÒÝÑ ÔÖ Ñ ÔÖÓ ØÓÛÝÑ ÛÞÝÑ Ç Ð Ù ÓÛ ÔÖ ÒÝ Ó Ò Û ÔÐÓ Ø Ý ÒÝ Ø ÖÓ Ò Þ Ó ÓÒÒ ØÓ ÝÑÙÐ ÓÑÔÙØ ÖÓÛ ÑÓ Ò ÛÝ ÓÒ ÞÝ Ó Ë Û ÖØÓ ÓÛ Û Û¹ Þ Ý ÑÓ Ð ÒÙÑ ÖÝÞÒÝ Ó ÔÓÛ ÑÓ Ð Û Û ÖÒ ÑÓ ÐÓÛ ÞÝÞÒ ÑÙ ÈÖÞÝ Ó ÓÔÖ ÓÛÝÛ Ò Ù Þ ÑÝ Ó Ó ÓÐ ÓÛ Û ÓÒØ Þ ÞÝÒ ÔÓÛ Þ Ñ ÞÑ Ò ÐÓ ÐÒ Û ÒÓ ÝÒ Ñ ÞÒ Ï ÞÛ Þ Ù Þ ØÝÑ ØÓ ÓÛ Ò Ó ¹ Ò ÝÒ Ñ ÞÑ ÓÛÝÑ Ø Ò ÛÝ Ø ÖÞ ÈÓ Ø ÛÓÛ Ô Ö Ñ ØÖÝ ÑÓ ÐÙ ÑÓ Ò ØÓ ÙÒ ÓÛÓ Ó ÖÞ Ó Ö Ò ÔÓ Ø Û Ó ÙÑ ÒØ Ø Ò ÞÒ È ÛÒ Ø ÔÖÞÝ Ù Ý ÔÖ Ó Þ Ý Ò Ò Ð Ý Ó ØÓÖÙ ÝÒ Ð Ñ ÒØ Ñ ÔÖ Ý¹ ØÝÑ Ò Ò ÖÝ ÒÝÑ Ò Ð Ý ÙÛÞ Ð Ò Ñ Ò Ø Ö ÑÓ Ò Ò ØÔÒ ÙÐÓ ÓÛ Þ Ó ÓÒÝ Ò Û Ø ÑÓ Ð ÔÓ Þ Ù Ò ÔÖÞ Þ Ù ÔÓ Þ Ù ÞÝÒÓÛ Ó ÔÓ ØÓÖÞ Ð ÝÞÒÝÑ ÔÓ Þ ÐÓÒÓ Ò Û Ó ¹ Ö Ò Ø ÔÝ Ï Ô ÖÛ ÞÝÑ ÒÓ ØÓÖ Þ Ó ÓÒÝ Þ ÞÝÒ ÔÓ Û Ð Ô Ó ÔÖ Ý ØÝ ÔÖÞ ÓÖ Þ Ð Ô Ó ÔÖ Ý Ø Ó ÔÓ Ó ÖÙÒØÓÛ Ó ÖÝ ½µ ÖÙ Ø Ô ÓØÝÞÝ ÔÓ Þ Ù ÞÝÒÓÛ Ó Þ Ù ÓÛ Ò Ó Û ÔÖÓ ØÝ ÔÓ Þ ÞØ Ö Ó ÝÐ ØÓÖ Û ÔÓ ÞÓÒÝ Ó ÞØ ÐÒ Ö Ñ ÈÖÞÝ ÑÙ ÑÝ Ö Ò Ó Ù ÞÝÒ ÔÖÞ Ò ÔÖÞ Þ Þ Ø ÛÝ Ó ÓÛ Ð Ñ ÒØ Ñ ÔÖÞ ÝÑ Ö Ò ÔÖÓÔ Ù ÛÞ Ù ÞÝÒÝ Ø Ö Ñ Û Þ ÔÓ Þ Ù ÞÝÒÓÛ Ó ËÞÝÒÝ ÔÓ Ý ÓÖ Þ Ö ÑÝ Û Þ ÔÖÞÝ ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÝ ÖÙ ÞØÙ Ó ØÖÞ ØÓÔÒ ÛÓ Ó Ý Û ÛõÐ ÈÖÞ ÔÖÞÝ ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÝ Ó ¹ ÞÓÒ ÔÖØ ÈÓ Ó ÖÙÒØÓÛ ÔÖÞÝ ØÓ Ó Ò ÖÝ Ò ÔÓ Ó Ï Ò Ð Ö Ç ÔÓÛ Ò Ó Ó Ö ÒÓ ÞØÝÛÒÓ Ö ÑÝ ÓÖ Þ ÞÛ ÒÓ ÔÓ ÞÞ ÐÒÝ Ð Ñ ÒØ Û ÈÓÒ ÞÝ ÔÖÞݹ Þ ØÓ ÓÛ Ñ Ð ÔÓ Ð ÓÛÝ Þ Ø Ó ÔÓÛÓ Ù Ò ÙÔ ÑÝ Ò ÔÖ ÝÞÝ ÒÝÑ Ó ÓÖÞ ÒÝ Ð Þ ÓÛÝ ÞÒ Þ ÑÝ ÝÒ Ó Ó ØÓÞ ÔÓ ÞÝÒ ÞÓ Ö ¹

68 ½ ÝÒ Ñ ØÓÖÙ ÓÐ ÓÛ Ó ÊÝ ÙÒ ½ ÅÓ Ð ØÓÖÙ ÔÖÞÝ ØÝ Û Ó Ð Þ Ò ÒÙÑ ÖÝÞÒÝ ÞÓÛ ÒÓ Ó ÔÓÖÙ Þ Ñ ÙÔ ÓÒ ØÓÛ ÖÞÝ ÞÓÒ Þ Ó ÔÓÛ Ð ÓÒØ ØÙ ÛÝÛÓ Ò Ñ Ò Ó Ò Ñ Û Þ ÔÙ Û ÓÒÙ Ç Ù Ý ÝÒ Ñ ÞÒ ÖÓÞÛ ÞÝÛ ÒÓ Ò Þ Ð Ò Ù Ù ÖÓÞÛ ÞÙ Ó ÔÓ¹ Û Ò ÛÝÒ ÓÛ Ù Ý Ö ÛÒ Ð Ö ÞÒÝ Ë Ø ÛÞ Û Ó Ù Ù Û Ý Ö Ø¹ ÒÝ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ý ÛÞ Ð Ñ Û ÞÛ Þ Ù Þ ØÝÑ Þ ØÓ ÓÛ ÒÓ ÔÖÓ Ø ÔÖÓ ¹ ÙÖ Ø Ö Ý Ò Ö ÛÒÓÛ Ò Û Ó Ù Ù Ï Ô ÖÛ ÞÝÑ Ø Ô ØÓÖ Ó ÒÓ Û ÔÙÒ Ø ÓÒØ ØÙ Þ ÞÝÒ Ñ Ñ Ó ÔÓÛ ÝÑ Ò ÓÛ ÝÒ Ñ ÞÒ ÑÙ Û Þ Ï ÛÝÒ Ù ÓØÖÞÝÑ ÒÓ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò ÛÞ Û Ø Ý Ö ØÒ ÞÝÒÝ ÌÓ ÔÓÞÛ Ð Ó ÛÝÞÒ ÞÝ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò Ô ÓÒÓÛ ÞÝÒ Û Ñ ÓÒØ ØÙ Þ Ó Ñ ÈÖÞ Ñ ÞÞ Ò ÔÖÞÝ ÑÓÛ ÒÓ Ó Û ÖÙÒ ÖÞ ÓÛ Û ÖÓÞÛ Þ Ò Ù Ù Ù Û Þ Ó ¹ ÓÒ Ó Ñ Þ ÛÒØÖÞÒÝÑ Ñ Ò Ö Ñ Û ÒÝÑ Ö Ñ ÔÙ Û ÓÒÙ Ïݹ Ò Ñ ÖÓÞÛ Þ Ò Ø Ó Ø ÔÙ Ý Ý Ö Û Ñ ÓÒØ ØÙ Þ ÞÝÒ Ñ Ê Ø Þ ÔÖÞ ÛÒÝÑ ÞÒ Ñ Ù Ý Ý ÔÓÒÓÛÒ Ó Ó Ò ØÓÖÙ ÈÓÛØ ÖÞ Ò Ø Ö ¹ Ý Ò ÔÖÓ ÙÖ ÔÖÓÛ Þ Û Ð Ù ÖÓ Ó ÞÖ ÛÒÓÛ Ò Ù Ù Ø ØÝÞÒ Ó Ò ØÔÒ ÔÓÞÛ Ð ÔÖÞ Ó Ò ØÔÒ Û Ð Û ÔÖÓ ÝÒ Ñ ÞÒÝÑ ÈÖÓ ÙÖ Þ ÔÓÔÖ ÛÒ Û Ô ÛÒÝ Þ Ö Ô Ö Ñ ØÖ Û Ï Ò ÞÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Û ÔÖ ØÝ Ò Ó Ó Þ Ó Ó ÙØÖ ØÝ Ø ÐÒÓ ÖÓÞÛ Þ Ò Ó Ð ÖÓ Þ ÓÛÝ Ò Ý Þ ÝØ Ù Ý ÊÝ ¾ ÔÓ ÞÙ ÔÓÖ ÛÒ Ò ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ô ÓÒÓÛÝ Û Þ ÔÖÞÝ ÔÖÞ õ Þ Þ Ø ÛÙ Ó ÓÛ Ó Þ Ö Ò ÔÖ Ó ÏÝÒ ÙÞÝ Ò Ñ ØÓ Ð Ñ ÒØ Û Þ ÓÔÖÞ ¹ ØÖÞ ÒÒÝ ÔÓÖ ÛÒ ÒÓ Þ ÛÝÒ Ñ ÔÖÓ Ö ÑÙ Å ÝÒ Å ÑÓ Ö Ò Ó ÔÓ ÔÖÞÝ ØÛÓÖÞ Ò Ù ÑÓ ÐÙ ÒÙÑ ÖÝÞÒ Ó Û ÔÖÓ Ö Ñ Å ÝÒ ÓÖ Þ Å Þ ÙÞÝ ÒÓ ÔÓ¹ Ó ØÛÓ ÛÝÒ Û Â ÒÝÑ Þ Ó ØÔ ØÛ Ø Þ Ó ÖÛÓÛ Ò ÔÖÞÝ ÔÖ Ó ¾ Ñ» ÛÝ Þ Ù Ò Ò ÅÓ Ò ÔÓ Þ Û ÛÝ Ø Ô Ò Ø Ó Þ Û Û ÛÝÒ Å ¹ ÝÒÝ ÔÖÞÝ Ò Ó ÒÒ ÔÖ Ó Þ Ý Ì Ö Ò ÑÓ ÛÝÒ Þ Ò ÙÛÞ Ð Ò Ò Û ÔÖÓ Ö Ñ Å ÝÒ Ñ Ý ØÓÛ ÖÞÝ ÞÓÒ Û ÖÙ Ù ÔÓÔÖÞ ÞÒÝÑ Þ ÞÝÒ Ñ Ö Þ ÔÖ ÝÞÝ ÒÝ ÑÓ Ð ÖÞ ÞÝÛ Ø Ó ØÓÖÙ ÔÓ Þ ÒÓ Ò ÖÝ Â Ø ÓÒ Ò Þ ÔÖÓÔÓÞÝ ÞÓÐ Ö ÔÖÞ ÞÝÛ ÒÝ Þ Ù Ù ØÓÖ ÔÓ Þ ÞÝÒÓÛÝ Ò ÓØÓÞ ¹ Ò Ï ÖÓ ÞÓÐ Û ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ÙÑ ÞÞÓÒ Ø ÔÓ ÛÞ Ù Ò ØÓÒÓÛ Ð ÙÑ ÞÞÓÒ Û ÛÖ ÙÒ Ñ ÒØÙ Ð Ø Ñ Þ Þ Ò ÞÛ ÞÝ Ñ Ù Ù ÔÓ Ò Ó Ó Ò ÓÑ ÖÙ ÓÑÝÑ Æ Ð Ø Ù Ó ÓÒ ÔÓ Ý ÞÝÒÓÛ ÖÝ µ ÏÝÒ Û ÛÝ Ö ÒÝ ÔÙÒ Ø ØÓÖÓÛ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ Ò ÖÝ ÈÓÖ ÛÒ ÒÓ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò Ô ÓÒÓÛ Û ÔÖÞÝÔ Ù Þ ØÓ ÓÛ Ò Ñ Ø Ö Ù ÞÓÐÙ Ó Ö Ò

69 ½ ÝÒ Ñ ØÓÖÙ ÓÐ ÓÛ Ó ÊÝ ÙÒ ¾ ÈÖÞ Ñ ÞÞ Ò Ô ÓÒÓÛ ÔÙÒ ØÙ ÓÒØ ØÙ Ó Þ ÞÝÒ ÙÞÝ Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Å ÝÒ Ó Ð Þ Ò ÛÝ ÓÒ Ò ÔÖÞ Þ È ÌÓ ¹ Ð Û ÓÐÙÑÒ µ ÓÖ Þ Ñ ØÓ Å Þ ÔÖ Û ÓÐÙÑÒ µ ÔÖÞÝ ÔÖ Ó ¾ ½¼¼ Ñ» ÓÖ Þ Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò ÞÓÐ Å Ø Ö ÞÓÐÙ Ý ÙÛÞ Ð Ò ÓÒÓ ÔÖÞ Þ ÞÑ Ò Ô Ö Ñ ¹ ØÖ Û ÔÖ Ý ØÝ Ñ Ø Ö Ù Ñ ÞÝ Ð ÛÞ Ù Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ñ

70 ½ ÝÒ Ñ ØÓÖÙ ÓÐ ÓÛ Ó podkad / beka wzduzna / fundament grunt. ÊÝ ÙÒ Ë Ñ Ø ØÓÖÙ Ñ ØÖ ÓÖ Þ Ó ÑÓ Ð Ý Ö ØÒÝ ÊÝ ÙÒ ÅÓ Ð ÞÝÞÒÝ ØÓÖÙ Ñ ØÖ