M(N) = Homeo(N, N)/Homeo 0 (N, N). M(S) = Homeo + (S, S)/Homeo 0 (S, S).

Transkrypt

1 ÍÌÇÊ Ê Ì ½º ÈÓ Ø ÛÓÛ Ò ÓÖÑ ½º½º ÁÑ ÓÒ Ò ÞÛ Ó Â Ù ËÞ Ô ØÓÛ ½º¾º ÈÓ Ò ÝÔÐÓÑÝ ØÓÔÒ Ò Ù ÓÛ ÝÔÐÓÑ Ñ ØÖ Ñ Ø Ñ ØÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÞÝ ¾¼¼¾ ØÓÔ Ó ØÓÖ Ñ Ø Ñ ØÝ Ò ÔÓ Ø Û ÖÓÞÔÖ ÛÝ Ò Ö ØÓÖÝ Ö Ð Û ÖÙÔ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ ÔÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö º ÖÞ ÓÖÞ ÖÓÑ Þ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÞÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ¾¼¼ º ½º º ÓØÝ Þ ÓÛ Þ ØÖÙ Ò Ò Û ÒÓ Ø Ò Ù ÓÛÝ ¾¼¼¾ ¹ ¾¼¼ Ý Ø ÒØ Û ÁÒ ØÝØÙ Å Ø Ñ ØÝ ÍÒ Û Ö ÝØ ØÙ Ó Ó ¾¼¼ ÙÒ Ø Û ÁÒ ØÝØÙ Å Ø Ñ ØÝ ÍÒ Û Ö ÝØ ØÙ Óº ½º º Ç Ò Ò Ù ÓÛ ÛÝÒ Þ Öغ ½ ٠غ ¾ Ù Ø ÛÝ Þ Ò ½ Ñ Ö ¾¼¼ Öº Ó ØÓÔÒ Ò Ù ÓÛÝ ØÝØÙÐ Ò Ù ÓÛÝÑ ÓÖ Þ Ó ØÓÔÒ ØÝØÙÐ Û Þ Ö ÞØÙ ÒÓØ Ñ ØÝÞÒÝ Ý Ð ÔÙ Ð ÔÓ ØÝØÙ Ñ ÖÙÔ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ º ÈÙ Ð Û Ó Þ Û ÛÛº Ó Ò À½ º ËÞ Ô ØÓÛ ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ó Ø ÐÓ ÒÓÒ¹ÓÖ ÒØ Ð ÙÖ Ó ÒÙ ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÈÙÖ Ò ÔÔÐ Ð Ö ¾½ ¾¼¼ µ ¾¼¼½ ¾¼½ º À¾ º ËÞ Ô ØÓÛ ÖÓ Ô Ð Ò Ø Ð Ú Ð ¾ Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ó ÒÓÒÓÖ ÒØ Ð ÙÖ ÓÑ ØÖ Ø ½ ¼ ¾¼½¾µ ½ ½ º À º ËÞ Ô ØÓÛ Ò Ø Ò Ö Ø Ò Ø ÓÖ Ø Ð Ú Ð ¾ Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ó ÒÓÒÓÖ ÒØ Ð ÙÖ ÃÓ Å Ø Ñ Ø Ð ÂÓÙÖÒ Ð ¾¼½ µ ½ ½ º À º ËÞ Ô ØÓÛ ÄÓÛ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð Ò Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ó ÒÓÒÓÖ ÒØ Ð ÙÖ Ð Ö ² ÓÑ ØÖ ÌÓÔÓÐÓ Ý ½ ¾¼½ µ ¾ ¾ º À ĺ È Ö º ËÞ Ô ØÓÛ ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ó ÒÓÒÓÖ ÒØ Ð ÙÖ ÙÐÐ Ø Ò Ð ËÓ Ø Å Ø Ñ Ø ÕÙ Ö Ò ½ ¾¼½ µ ¼ º ½

2 ¾ ¾º ÇÑ Û Ò Ó Ò Ò Ù ÓÛ Ó Ï ÔÓÒ ÞÝÑ ÓÑ Û Ò Ù ÓÔÖ Þ ÔÖ À½¹À ÝØÓÛ Ò Ö ÛÒ Ò Ø Ö Þ ÑÓ ÔÓÞÓ Ø Ý ÔÖ È½¹È½ Ø ÖÝ Ð ØÝ ÞÒ Ù Û Ô Ö Ö º½ º¾º ËÔ ÔÖ ÒÒÝ ÙØÓÖ Û ÞÒ Ù Ò Ó Ù ÙØÓÖ Ö ØÙº ¾º½º Ï ØÔº ÖÙÔ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò º Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔµ ÞÛ ÖØ Ô Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ N ÓÞÒ Þ Ò ÔÖÞ Þ M(N) Ò ÞÝÛ ÑÝ ÖÙÔ Ð ÞÓØÓÔ ÓÑ ¹ ÓÑÓÖ ÞÑ Û N Ö ÛÒÝ ÒØÝÞÒÓ Ò ÖÞ Ù N Ó Ð Ø ÓÒ Ò ÔÙ ØÝ M(N) = Homeo(N, N)/Homeo 0 (N, N). ÌÙØ Homeo 0 (N, N) ÓÞÒ Þ ÔÓ ÖÙÔ Homeo(N, N) Þ ÓÑ ¹ ÓÑÓÖ ÞÑ Û ÞÓØÓÔ ÒÝ Þ ÒØÝÞÒÓ ÔÖÞ Þ ÞÓØÓÔ ÖÓÞÙÑ ÑÝ ÓÑÓØÓÔ H: N [0,1] N Ø H(,t) Homeo(N, N) Ð t [0,1]º ÖÙÔ Ð Ó ¹ ÛÞÓÖÓÛ ÞÛ ÖØ Ô Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ S Ò Ù Ò ÐÓ ÞÒ Ó ÖÙÔ Ð ÞÓØÓÔ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑ Û Þ ÓÛÙ Ý ÓÖ ÒØ M(S) = Homeo + (S, S)/Homeo 0 (S, S). Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ý Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò ÛÝÖ Ò ÓÒÓ Ó ÞÓÒÝ Þ Ö ÔÙÒ Ø Û P Û ÔÓ¹ ÛÝ Þ Ò Þ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑÝ Ô ÖÑÙØÙ P ÖÙÔ Ð Ó ¹ ÛÞÓÖÓÛ ÓÞÒ Þ ÔÖÞ Þ M(N,P) ÐÙ M(S,P)º Û ÖØ Ô Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò Ó Ø Ö Ò Þ ÑÝ Ò Ø ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ Ò Ø Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ Þ ÑÝ ÓÞÒ Þ ÔÖÞ Þ F ÖÙÔ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ ÔÖÞ Þ M(F) ÐÙ M(F,P) Û ÔÖÞÝÔ Ù ÛÝÖ Ò ÓÒÝ ÔÙÒ Ø Ûº Þ ÑÝ Ö ÛÒ ØÓ ÓÛ ÓÞÒ Þ Ò N g,n S g,n F g,n Ð ÔÓÛ ÖÞ Ò ÖÓ Þ Ù g Ó n ÓÛÝ Ô ÒÓ ÖÞ Ù ÔÖÞÝ ÞÝÑ Þ ÑÝ ÓÔÙ ÞÞ n Ý n = 0º Ì Û N g,n ÓÞÒ Þ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÒ Þ ÙÑ Ô Ò g Ô ÞÞÝÞÒ ÖÞÙØÓÛÝ Þ Ø Ö Ù ÙÒ ØÓ ÛÒØÖÞ n Ô Ö Ñ ÖÓÞ ÞÒÝ Ý Ûº ÖÙÔ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ Ó ÖÝÛ Ò ÞÛÝ Ð Û Ò ÖÓÐ Û Ò Ó¹ÛÝÑ ÖÓÛ ØÓ¹ ÔÓÐÓ Û ØÝÑ Ø ÓÖ ÖÓÞÑ ØÓ ÛÝÑ ÖÙ µ Ø Û Ø ÓÖ ÙÒ ÞÑ ÒÒ Þ ÔÓÐÓÒ ÓÑ ØÖ Ð Ö ÞÒ ÓÖ Þ ÓÑ ØÖÝÞÒ Ø ÓÖ ÖÙÔº ÖÙÔ Ø ÞÝ Ó ÖÓÑÒÝÑ Þ ÒØ Ö ÓÛ Ò Ñ Û ÐÙ Ñ Ø Ñ ØÝ Û Ø ÔÖÞ Ñ ÓØ Ñ ÒØ Ò ÝÛ¹ ÒÝ Ò ÔÖÞ ÖÛ Ò Ó ÔÓÒ Ô Þ Ù Ð Øº ÈÓÑ ÑÓ Ø Ó Û Ò Ö Ù ÞÛ Þ ÒÝ Þ Ò ÓØÛ ÖØÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ûº Ò ÖÙÔÝ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ Þ ÔÓÞ Ø ÓÛ Ð Û Ð Ø ÛÙ Þ ØÝ Ù ¹ Ó ØÙÐ Ò Þ Ð Ò Ó Åº Ò Âº Æ Ð Ò Ò ÔÖ Û Þ Û ÝÒ Ñ ÞÒÝ ÖÓÞÛ Ø Ø ÓÖ ÖÓÞÔÓÞ ÓÔ ÖÓ Û Ð Ø Þ Þ ØÝ Ý Ò Ô Þ ÒÝ Û Ò ØÔÒÝ Þ ÓÐ ÔÖÞ Þ ÔÖÞ ÓÑÓÛ ÔÖ Ø Ñ Ø Ñ ¹ ØÝ Û Ïº º ʺ Ä ÓÖ Âº ˺ ÖÑ Ò Ïº Ⱥ Ì ÙÖ ØÓÒ Âº ĺ À Ö Ö Æº κ ÁÚ ÒÓÚ º ÂÓ Ò ÓÒ º Ï ÒÖÝ º ÌÛ Ö Þ Ò Ñ ØÓ Ý ÛÝÔÖ ÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ØÝ ÙØÓÖ Û Ó Þ Ø ÒÓÛ ÔÓ Ø ÛÓÛ Ò ÖÞ Þ ÛÞ Û ÓÑ Û Ò Þ ¹ Þ Ò º Ó Û Ò Ø Ö Þ ØÝ Ñ ØÓ ÞÞ ÐÒ Ø ÔÓ Ó Þ Ó Ì ÙÖ ØÓÒ ØÓ Ù Þ ÔÓÛÓ Þ Ò Ñ Ó Ò ÒÒÝ ÔÓ Ö ÛÒÝ ÖÙÔ ÔÖÞ Û ÞÝ Ø Ñ Û Ö ÓÞÝ ÙØÓÑÓÖ ÞÑ Û ÖÙÔÝ ÛÓÐÒ º

3  ÒÝÑ Þ ÔÓÛÓ Û Ù Ó ÞÒ Þ Ò ÖÙÔÝ M(S g ) Ø ÖÓÐ Û ÓÒ ØÖÙ ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÑÓ ÙÐ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ê Ñ ÒÒ Þ ÖÙÔ Ø Þ Û Û Ò ¹ Ð Ó Ô Ò ÖÙÔ ÞÓÑ ØÖ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ì Ñ ÐÐ Ö Teich(S g ) Þ ÔÖÞ ØÖÞ ÓÖ Ø M(S g ) = Teich(S g )/M(S g ) Ø Ó Þ Ò Ø Û ÔÓÑÒ Ò ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÑÓ¹ ÙÐ ÞÛ ÖØÝ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ê Ñ ÒÒ ÖÓ Þ Ù g g 2µ ÒØÖ ÐÒÝÑ Ó Ø Ñ Ø ÓÖ ÙÒ ÞÑ ÒÒ Þ ÔÓÐÓÒ ÓÖ Þ Ø ÓÖ ÖÞÝÛÝ Ð Ö ÞÒÝ º ÓÔÙ Þ¹ Þ ÒØÝ ÓÐÓÑÓÖ ÞÒ ÙÒ ÔÖÞ Ñ ÞÝ Ñ Ô Ñ ÓØÖÞÝÑÙ ÔÓ Ò Ð ØÝÞÒ ØÖÙ ØÙÖÝ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÃÐ Ò Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ N g º Ç ØÝ Ø ÖÓÞÔ ØÖÝÛ Ò Ý Ý Ù ÔÖÞ Þ Ñ Ó ÃÐ Ò º Ï Ý Ø Ñ ØÝÞÒÝ ÔÓ¹ ÞÓ Ø Ý ÓÔ Ò Û Û Ô Þ Ò ÑÓÒÓ Ö ½ Ò ØÓÑ Ø Ñ ØÓ ÓÐÓ ÞÓ Ø ÖÓÞÛ Ò Ø Û ½ º ÈÖÞ ØÖÞ ÑÓ ÙÐ M(N g ) ØÝ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ø ÞÒÓÛÙ ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÓÖ Ø Þ Ò ÖÙÔÝ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ M(N g ) Ò ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ì Ñ ÐÐ Ö Teich(N g )º à ÞÛ ÖØ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÃÐ Ò Ø ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÓÖ Ø S/ σ Ð Ó Ò Ò Ô ÖÝ (S,σ) Þ S Ø ÔÓÛ ÖÞ Ò Ê Ñ ÒÒ σ: S S ÝÑ ØÖ ÞÝÐ ÒØÝ ÓÐÓÑÓÖ ÞÒ ÒÛÓÐÙ º ÈÖÞÝ Ó ÖÞ ÞÒ Ò ÙÒ ØÓÖ ÐÒ ÛÞ ÑÒ ÒÓÞÒ ÞÒ Ó ÔÓÛ Ò Ó ÔÓÑ ÞÝ ÞÛ ÖØÝÑ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ñ Ê Ñ ÒÒ Ñ Ò ÖÓÞ ÐÒÝÑ ÖÞÝÛÝÑ ÖÞÙØÓÛÝÑ Þ ÔÓÐÓÒÝÑ ÝÑ ØÖÝÞÒ ÔÓ¹ Û ÖÞ Ò Ó ÔÓÛ ÖÞÝÛÝÑ Ø Ö ÔÓ Ö ÛÒ Ò ÖÞ ÞÝÛ Ø º È Ö (S,σ) Ò ÞÝÛ ÞÛÝ Ð ÖÞ ÞÝÛ Ø ÖÞÝÛ Ð Ö ÞÒ ½ º ÈÓÒ Û Teich(F) Ø ÖÓÞÑ ØÓ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÒ Þ ÙÐ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ù¹ Ð ÓÛ µ M(F) Ñ ØÖÙ ØÙÖ ÓÖ ÓÐ Ù Ø Ö Ó ÔÙÒ ØÝ Ó Ó Ð Û Ó ÔÓÛ ¹ ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÓÑ Ê Ñ ÒÒ ÐÙ ÃÐ Ò ÔÓ ÝÑ Ò ØÖÝÛ ÐÒ ÙØÓÑÓÖ ¹ ÞÑݺ Ï ÖÙÔ M(F) Þ Ó ÓÛ Ò Ø Û ÞÓ ØÓÔÓÐÓ ÞÒÝ Û ÒÓ ÔÖÞ ¹ ØÖÞ Ò M(F) Ò Ó ÛÖ Ø Ò ÞÑ ÒÒ Ø ÓÑÓÐÓ M(F) Þ Ø Ö¹ Ñ ÒÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ØÓÔÓÐÓ M(F)º Â Ó ÔÖÞÝ Ý ÔÓÛÝ Þ Þ Ð ÒÓ ÑÓ Ò ÔÖÞÝÛÓ ÓÛÓ Ý ÒÓ Ô ÒÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÑÓ ÙÐ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ê Ñ ÒÒ ÃÐ Ò È½ ØÛ Ö Þ Ò À Ö Ö ½ Ó Ø ÐÒÓ ÖÙÔ Óµ ÓÑÓÐÓ M(S) M(S) ÞÝ Ø ØÛ Ö Þ Ò Å Ò ¹Ï ÓÛÓ Þ ÔÓØ ÞÝ ÅÙÑ ÓÖ Ó Ø ÐÒÝ ÖÙÔ Ó ÓÑÓÐÓ M(S)º Ò ÐÓ ÞÒ ØÛ Ö Þ Ò Ð ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒÝ Ù ÓÛÓ Ò Æº Ï Ð ¾ º ÖÙ Ñ ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ì Ñ ÐÐ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝÑ Ó Ø Ñ Ò Ø ÖÝÑ Þ ÖÙÔ M(F) Ø ÓÑÔÐ ÖÞÝÛÝ C(F) Þ Ò ÓÛ ÒÝ ÔÖÞ Þ À ÖÚ Ý³ º Â Ø ØÓ ÓÑÔÐ ÝÑÔÐ ÐÒÝ Ø Ö Ó k¹ ÝÑÔÐ Ñ Ð Ý ÞÓØÓÔ ÖÓ Þ Òk+1 Ô Ö Ñ ÖÓÞ ÞÒÝ Ô Ö Ñ Ò ÞÓØÓÔ ÒÝ ÖÞÝÛÝ Þ Ñ Ò ØÝ ÞÛÝÞ ÒÝ Ò F º ÃÓÑÔÐ Ø Ò Ó ÖÝÛ ÐÙÞÓÛ ÖÓÐ Û ÔÖ À Ö Ö ½ ¾ ÁÚ ÒÓÚ Ï Ð ¾ ÓØÝÞ Ý Óµ ÓÑÓÐÓ M(F)º ÈÓ Ù ÓÛÓ Ò Ò Ù Ô Ö ÓÐ ÞÒÓ C(S) ÔÖÞ Þ Å ÙÖ Å Ò Ý³ Ó Ò ÖÙÔÝ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ö Ó ÒÓ¹ Û ÝÒ Ñ º Ï Ò ÞÝÑ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Ô Ö ÓÐ ÞÒÓ ÓÑÔÐ Ù ÖÞÝÛÝ C(N) ÞÓ Ø Ù ÓÛÓ Ò ÓÒ ÔÖÞ Þ ØÚ Ò Ù Û Ö Ù ÝÛ ÔÖ Ý ÓÛ Ø ½¾ Ø ÒÒ Ñ ØÓ ÔÖÞ Þ Å ÙÖ Ë Ð Ñ Ö º Ï ÔÖ ¹ À½ À Ù ÝÐ ÑÝ Þ Ò M(N) Ò ÓÑÔÐ ÖÞÝÛÝ Ó ÛÝÞÒ Þ Ò Ó ÞÓÒ ÔÖ Þ ÒØ Ø ÖÙÔݺ

4 È ÖÛ Þ ÔÖ ÔÓ Û ÓÒ Û Ó ÖÙÔ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ¹ ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ ÙØÓÖ ØÛ Ä ÓÖ ½ ¾ ÐÐ Ò ÛÓÖØ ½ ÓÖ Þ ÖÑ Ò ÐÐ Ò ÛÓÖØ ÔÓÛ Ø Ý ÞÞ Û Ð Ø Þ Þ ØÝ Ù Ó Û Ùº Ï Ù Ò ØÔÒÝ ØÖÞÝ Þ ØÙ Ð Ø Ñ Ñ Ô Û Ò Þ Ø Þ Ó ÞÓÒÝ ÔÖ Ñ ÃÓÖ Ñ Þ ¾ Ó Ø Ó ÑÓÑ ÒØÙ Ø Ñ ØÝ ÖÙÔ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒÝ ÞÝ Ø Ð ÖÓ Ò ÝÑ Þ ÒØ Ö ÓÛ Ò Ñº à ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ N ÓÔÙ ÞÞ Ò ÖÝ ØÓÔÒ Û ÔÓ¹ Û ÖÞ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ Sº Æ ÑÓÝ ØÛ Ö Þ Ò ÖÑ Ò¹ ÐÐ Ò ÛÓÖØ ÖÙÔ M(N) Ø ÞÓÑÓÖ ÞÒ Þ ÔÓ ÖÙÔ Ò Ó ÞÓÒ Ó Ò Ù ÖÙÔÝ M(S) ¹ Þ Ð Ñ ÒØ Û ÔÖÞ Ñ ÒÒÝ Þ ÒÛÓÐÙ Ò ÖÝÛ º Ì Þ Ð ÒÓ ÔÓ¹ ÛÓ Ù Ò Ø Ö Û ÒÓ M(S) ÙØÓÑ ØÝÞÒ ÔÖÞ ÒÓ Þ Ò M(N) ¹ Ò ÔÖÞÝ Û Þ Ð Ó ÖÓ Þ Ù Û ÒÓ Ö ÞÝ Ù ÐÒ º ÖÙ ØÖÓÒÝ Ò Ó ÞÓ¹ ÒÓ Ò Ù Ø ÔÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ó Û ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò ÔÖÞÝ ÞÒ Ð ¹ Þ Ò Ó ÞÓÒ ÔÖ Þ ÒØ º Ì Û Ó ØÛ Ö Þ Ò ÖÑ Ò¹ ÐÐ Ò ÛÓÖØ Ø Ö ÞÓ Û Ò ØÓ Ò Ó Ù ÝØ ÞÒÓ Ø Ó Ö Ò ÞÓÒ º ÈÓÒ ØÓ Û Ð Ö ÞÙÐØ Ø Û ÓØÝÞ Ý M(S) Û ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÔÓ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÓÖ ÒØÓÛ Ð¹ ÒÓ º ÌÝÑ ÑÝÑ ÔÖÓ Ø ÔØ Ó ÔÖÞÝÔ Ù ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ Ò Ø ÑÓ Ð Û ÛÝÑ ÓÒ ÒÓÛÝ ÔÓÑÝ Ûº Ï Ð Û ÒÝ ØÛ Ö Þ Ó M(S) ÓÞ Ó ÛÓ Ó ÔÓÛ Ò Û Ð ÔÓ¹ Û ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ Û ÔÓÑÒ Ò ÛÝ ØÛ Ö Þ Ò À Ö Ö Å Ò ¹ Ï Å ÙÖ ¹Å Ò Ý³ Ó ÞÝ Ø Ò ÑÒ ÝÒÒ ØÛ Ö Þ Ò ÁÚ ÒÓÚ Ó ÙØÓÑÓÖ ÞÑ C(S) ÔÖÞ Ò ÓÒ Ó Ø ØÒ Ó Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ ÔÖÞ Þ Ø Ð Ò ÃÓÖ Ñ Þ º Ó Ò ÛÒ ÒÝÑ Þ ÛÒÝ ÛÝ Ø Û Ó ÔÓÛÝ ¹ Þ Ö Ù Ý Ý Ó ØÛ Ö Þ Ò Ï ÒÖÝ ÔÓ ÔÖÓ Ø ÔÖ Þ ÒØ ÖÙÔÝ M(S) Þ ÔÓÑÓ Ò Ö ØÓÖ Û Ö Ð º Ö Ø ÔÖ Þ ÒØ Ð ÖÙÔÝ M(F) ÞÓ Ø ÙÞÙÔ Ò ÓÒÝ Û ÔÖ Ý À Ó ÙÛ Ñ Þ ÛÓ Ò Û Ò Þ Ó Ò º Æ Þ Ó Þ Ò Ø Ó Û ØÔÙ ÔÖÞ Ø Û Ö Ø Ó ÑÓ ÛÒ ÛÝÒ ÙÞÝ Ò Û ÔÖ À½¹À Û ÓÐ ÒÓ Û ÒÓ Û Ù ÑÓ Ó Òݺ ÈÖ À½ À ÔÓ Û ÓÒ ÔÖÓ Ð ÑÓÛ ÛÝÞÒ Þ Ò Ó ÞÓÒ ÔÖ ¹ Þ ÒØ Ð ÖÙÔ M(N g,n )º Ï À½ ÛÝÞÒ ÞÝ Ñ Ø ÔÖ Þ ÒØ Ð (g,n) = (4,0) Û À Û Ô ÐÒ Þ Äº È Ö Ñ Ð n {0,1} ÓÛÓй Ò Ó g Ø Ó g +n > 3º Ï ÔÖÓ Ð Ñ ÛÝÞÒ Þ Ò ÔÖ Þ ÒØ ÖÙÔ M(N g,n ) Ò Ö Þ ØÓØÒÝ Ø ÔÖÞÝÔ n = 0 ÔÓÒ Û Þ ÞÝÒ Ó ÔÖ Þ ÒØ M(N g,0 ) ÑÓ Ò Ò Ù Ý Ò Ó Ð ÞÝ ÔÖ Þ ÒØ M(N g,n ) Ð ÓÛÓÐÒ Ó n Ñ ØÓ ÓÔ ÖØ Ò Ù Ó ÒÝÑ ÖÑ Ò Û ÔÖ Ý ¼ Û ÔÖÞÝÔ Ù ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒÝ º Ï ÔÖ Ý À ÓÔ Ñ Û ÞÝ Ø Ò ØÖÝÛ ÐÒ ÓÑÓÑÓÖ ÞÑÝ M(N g ) GL(m,C) Ð g 5 m g 1º Ï Ø Ò ÔÓ ÖÓÞ Þ ÖÞÝ Ñ Ò ÔÖÞÝÔ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ ÛÝÒ ÙÞÝ Ò Ò ÛÒÓ ÔÖÞ Þ Âº Ö Ò Åº À Ò Ð Åº ÃÓÖ Ñ Þ ÙÞÙÔ Ò Ñ ÓÔ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð Ò ÓÛÝ Ò ¹ Ó ÛÝÑ ÖÙ ÖÙÔ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ ÔÓÛ ÖÞ Ò º ÈÖ À Ø ÒÓÛ ØÓØÒÝ Û Ó Ø Ó ÓÔ Ù ÔÓÒ Û Ð ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒÝ ÝØÙ Ø Ö Þ ÓÑÔÐ ÓÛ Ò Ò Ð ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒÝ º

5 Â Ó Þ ØÓ ÓÛ Ò ÛÝ Þ Ñ Ð h < g g 5 ÓÛÓÐÒÝ Ò ØÖÝÛ ÐÒÝ ÓÑÓÑÓÖ ÞÑ M(N g ) M(N h ) Ñ Ó Ö Þ ÞÓÑÓÖ ÞÒÝ Þ Z 2 ÐÙ Z 2 Z 2 ÔÖÞÝ ÞÝÑ Ø Ò ÖÙ ÔÖÞÝÔ Ø ÑÓ Ð ÛÝ ØÝÐ Ó Ð g {5,6}º ÈÖ À¾ À ÔÓ Û ÓÒ ÖÙÔ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ ÔÓÞ ÓÑÙ ¾ ÓÞÒ ¹ Þ Ò ÔÖÞ Þ Γ 2 (N g ) Þ Ò ÓÛ Ò Ó ÔÓ ÖÙÔ M(N g ) Þ Ð ÞÓØÓÔ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑ Û Ò Ù Ù Ý ÒØÝÞÒÓ Ò H 1 (N g,z 2 )º Ï À¾ ÛÝ Þ Ñ Γ 2 (N g ) Ø Ò ÖÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ø ÞÛ Ò ¹ ÓÑ Ó¹ ÑÓÖ ÞÑÝ Þ Ò ÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ä ÓÖ Û ½ Öº Ø Ø Ò ÖÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÒÛÓÐÙ Ð Ñ ÒØÝ ÖÞ Ù ¾µº Ï À ÞÒ Ð Þ Ñ Ó ÞÓÒÝ Þ Ö Ò ÖÙ Ý Ø ÖÙÔº Ï Ð Þ Þ ÙØÓÖ Ö ØÙ ÓÔ Þ ÔÓÛÝ Þ ÛÝÒ Ö Þ ÞÞ ÓÛÓ Ò ØÐ Ö ÞÙÐØ Ø Û ÒÒÝ ÙØÓÖ Ûº ¾º¾º ÈÖ Þ ÒØ Þ ÔÓÑÓ Ò Ö ØÓÖ Û Ö Ð º À½ À Å ÓÓÐ ¼ ÔÓ Ô ÖÛ ÞÝ Ð ÓÖÝØÑ ÛÝÞÒ Þ Ò Ó ÞÓÒ ÔÖ Þ ÒØ ÖÙÔÝ M(S g,1 )º Â Ó ÔÓ Ý Ó ÞÝ ØÓ Ð Ö ÞÒ Þ ÔÓÑÓ Ø Ó Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ÙÞÝ ÒÓ ÛÒ ÔÖ Þ ÒØ º Ï ÔÖÞ ÓÑÓÛ ÔÖ Ý À Ø Ö Ì ÙÖ ØÓÒ ÔÓ Ð Ð ÓÖÝØÑ Ó Ð Þ Ò Ó ÞÓÒ ÔÖ Þ ÒØ Ø ÖÙÔÝ ÓÔ ÖØÝ Ò Þ ¹ Ò Ù Ò Ô ÛÒÝÑ ÒÓ Ô ÒÝÑ ¾¹ÛÝÑ ÖÓÛÝÑ Ï¹ ÓÑÔÐ º ÔÓÑÓ Ø Ó Ð ÓÖÝØÑÙ À Ö Ö ¼ ÛÝÞÒ ÞÝ Ó ÞÓÒ Ð Ö ÞÓ ÓÑÔÐ ÓÛ Ò ÔÖ Þ ÒØ ¹ M(S g,1 ) Ð ÓÛÓÐÒ Ó gº Ì ÔÖ Þ ÒØ ÞÓ Ø Ò ØÔÒ ÙÔÖÓ ÞÞÓÒ ÔÖÞ Þ Ï ÒÖÝ Ø ÖÝ Ö ÛÒ ÞÒ Ð Þ ÔÖ Þ ÒØ M(S g,0 )º Í ÝÛ Ö ÞÙÐØ ØÙ Ï ÒÖÝ Å Ø ÙÑÓØÓ ÔÓ ÒÒ ÔÖ Þ ÒØ M(S g,1 ) M(S g,0 ) ÖÚ ¾ ÛÝÞÒ ÞÝ ÔÖ Þ ÒØ M(S g,n ) Ð ÓÛÓÐÒÝ g 1 nº Ä ÖÙ Ö È Ö ¼ ÞÒ Ð õð Ó ÞÓÒ ÔÖ Þ ÒØ M(S g,n,p) Ð ÓÛÓÐÒÝ g 1 n P º ÒÚ ÒÙØ À ÖÓ ÔÓ Þ Ð Ò Þ Ð Ò ÑÓ Ò ÓØÖÞÝÑ ÔÖ Þ ÒØ ÖÚ Ù Ý¹ Û Þ Ò M(S g,n ) Ò ÓÑÔÐ ÖÞÝÛÝ À ÖÚ Ý³ Þ Ñ Ø ÓÑÔÐ Ù À Ø Ö ¹Ì ÙÖ ØÓÒ º Â Ð Ó Þ Ó ÔÖ Þ ÒØ M(N g,n ) ØÓ ÔÖÞ ÔÖ Ñ À½ À Ý Ý ÓÒ ÞÒ Ò ØÝÐ Ó Ð Ð Ù ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒÝ ÖÓ Þ Ù g 3 Û ØÝÑ M(N 2,0 ) = Z 2 Z 2 ½ M(N 3,0 ) = GL(2,Z) ¾ º Í ÝÛ ÛÝÒ Û Ä ÓÖ ½ ¾ ÐÐ Ò ÛÓÖØ ½ ÔÓ Ó ÞÓÒÝ Þ Ö Ò ÖÙ Ý M(N g,0 ) Ð ÓÛÓÐÒ Ó g 3º Ì Ò ÛÝÒ ÞÓ Ø ÙÓ ÐÒ ÓÒÝ Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ Þ ÛÝÖ Ò ÓÒÝÑ ÔÙÒ Ø Ñ Þ ÖÞ Ñ º Ï ÐÙ ÓÖÑÙ ÓÛ Ò ÛÒ Ó ÛÝÒ Ù ÔÖ À½ À Ù Ø ÐÑÝ ÑÓ Ð ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ º Ð N g,1 Ó ÔÓÛ Ò Ó N g,0 µ Þ ØÓ ¾¹ÛÝÑ ÖÓÛÝ Ý Ó Ôº Ö µ Þ Ø Ö Ó ÛÝ ØÓ ÛÒØÖÞ g Ô Ö Ñ ÖÓÞ ÞÒÝ Ý Û Ò ØÔÒ ÙØÓ ¹ Ñ ÓÒÓ ÔÙÒ ØÝ ÒØÝÔÓ ÝÞÒ Ò Þ ÔÓÛ Ø Ý ÓÛÝ ÖÞ Ù ÐÙ Ö ÛÒÓÛ Ò Û Ð ÓÒÓ Û Ø Å Ù Û Ñ Ù ÙÒ ØÝ Ý Ûº Æ Êݹ ÙÒ Ù ½ ÛÒØÖÞ Ù ÙÒ ØÝ Ý Û Þ Ò ÓÛ Ò ÔÓÒÙÑ ÖÓÛ Ò Ó 1 Ó gº Ð ÓÛÓÐÒ Ó Ò ÔÙ Ø Ó ÔÓ Þ ÓÖÙ I {1,2,...,g} Ò γ I ÓÞÒ Þ ÖÞÝÛ Þ Ñ Ò Ø ÞÛÝÞ Ò Ò N ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Ò ÊÝ ÙÒ Ù ½º ÙÛ ÑÝ Ø ÖÞÝÛ Ø ÒÓ ØÖÓÒÒ Ð I Ñ Ò Ô ÖÞÝ Ø Ð Þ Ð Ñ ÒØ Û Û ÔÖÞ ÛÒÝÑ

6 i 1... i 2... i k... g ÊÝ ÙÒ ½º ÃÖÞÝÛ γ I Ð I = {i 1,i 2,...,i k }º δ γ T γ ÊÝ ÙÒ ¾º ÌÛ Ø Ò ÛÞ Ð Ñ ÛÙ ØÖÓÒÒ ÖÞÝÛ γº ÛÝÔ Ù ¹ ÛÙ ØÖÓÒÒ º ÛÙ ØÖÓÒÒ ÖÞÝÛ Þ Ñ Ò Ø ÞÛÝÞ Ò γ Ò N ÑÓ Ò ØÓÛ ÖÞÝ ÞÝ ØÛ Ø Ò ÛÞ Ð Ñ γ ÞÝÐ Ð ÞÓØÓÔ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑÙ Þ Ò ÓÛ Ò Ó Ò ØÔÙ Óº ÏÝ Ö ÑÝ ÞÓÖ ÒØÓÛ Ò ÓÑ Ò Ø ÓØÓÞ Ò Ö Ù¹ Ð ÖÒ A N ÖÞÝÛ γ Ø Ö ÙØÓ Ñ ÑÝ Þ Ø Ò Ö ÓÛÝÑ Û Ð Ñ S 1 [0,1]º ÌÛ Ø Ò T γ Ø Ö ÛÒÝ ÒØÝÞÒÓ ÔÓÞ A Ò ØÓÑ Ø Ó Þ Ò Ò A Ø Ø Ò ÊÝ ÙÒ Ù ¾ Ó Ò δ Ø ÔÖÞ ÞØ ÒÝ Û Ô Ö ÐÒÝ Ù Þ Ó Ò Þ ÛÞÓÖ Ñ { x Ð x / A T γ (x) = (e 2iπ(θ+r),r) Ð x = (e 2iπθ,r) A = S 1 [0,1]. Ð I {1,2,...,g} Ó Ô ÖÞÝ Ø Ð Þ Ð Ñ ÒØ Û ÓÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ Þ T I ØÛ Ø Ò ÛÞ Ð Ñγ I Û ÖÙÒ Ù ÓÞÒ ÞÓÒÝÑ ØÖÞ Ñ Ò ÊÝ ÙÒ Ù ½º ÈÖÞÝ Ñ ÑÝ Ø ÓÞÒ Þ Ò a i = T {i,i+1} Ð i = 1,2,...,g 1 b j = T {1,2,...,2j+2} Ð 1 j (g 2)/2º Ð i = 1,2,...,g 1 Ò Ù ÑÝ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑ u i Þ Ñ Ò Ý Ñ Ñ Û ÓÐ Ò Û Ø Å Ù Ò ÊÝ ÙÒ Ù Ö ÛÒÝ ÒØÝÞÒÓ Ò Þ ÛÒ ØÖÞ Ù¹ Ø Ð ÃÐ Ò Þ ÖÞ Ñ Þ Û Ö Ø Û Ø º ÃÐ ÞÓØÓÔ u i ÓÞÒ Þ ÑÝ ØÝÑ ÑÝÑ ÝÑ ÓÐ Ñ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÖÓ Ô ØÖ Ò ÔÓ Ø ÓÒº Â Ø ÑÝ Ù ÓØÓÛ Ó ÓÖÑÙ ÓÛ Ò ÛÒÝ ÛÝÒ Û ÔÖ Ý À º ÌÛ Ö Þ Ò ½ È Ö ¹ËÞ Ô ØÓÛ À Ì ÓÖ Ñ º µº Ð g 3 ÖÙÔ M(N g,1 ) ÔÓ ÔÖ Þ ÒØ Ó Ò Ö ØÓÖ u i a i Ð 1 i g 1 b j Ð 0 j (g 2)/2 Ö Ð (A1) a i a j = a j a i Ð i j > 1 (A2) a i a i+1 a i = a i+1 a i a i+1 Ð 1 i g 2 (A3) a i b 1 = b 1 a i Ð i 4 Ð g 4

7 i i+1 u i ÊÝ ÙÒ º ÖÓ Ô ØÖ Ò ÔÓ Ø ÓÒ u i º b 1 b 2 b ρ 1 b 1 b 2 b ρ 1 b ρ a 1 a 2 a 3 a 4 a5 a6 a g 1 a 1 a 2 a 3 a 4 a5 a6 a g 2 a g 1 ÊÝ ÙÒ º ÃÖÞÝÛ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ ÔÓ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÖÓ Þ Ù ρ = g 1 2 Ò Ù Ò Ö ØÓÖÝ a i b j º (A4) b 1 a 4 b 1 = a 4 b 1 a 4 Ð g 5 (A5) (a 2 a 3 a 4 b 1 ) 10 = (a 1 a 2 a 3 a 4 b 1 ) 6 Ð g 5 (A6) (a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 b 1 ) 12 = (a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 b 1 ) 9 Ð g 7 (A7) b 0 = a 1 (A8) b i+1 = (b i 1 a 2i a 2i+1 a 2i+2 a 2i+3 b i ) 5 (b i 1 a 2i a 2i+1 a 2i+2 a 2i+3 ) 6 Ð 2 2i g 4 (A9) bg 2a g 5 = a g 5 bg 2 Ð g Ø Ô ÖÞÝ Ø g > (A10) b 2 b 1 = b 1 b 2 Ð g = 6º (B1) u i u j = u j u i Ð i j > 1 (B2) u i u i+1 u i = u i+1 u i u i+1 Ð i = 1,...,g 2º (C1) a 1 u i = u i a 1 Ð i = 3,...,g 1 (C2) a i u i+1 u i = u i+1 u i a i+1 Ð i = 1,...,g 2 (C3) a i+1 u i u i+1 = u i u i+1 a i Ð i = 1,...,g 2 (C4) a 1 u 1 a 1 = u 1 (C5) u 2 a 1 a 2 u 1 = a 1 a 2 (C6) (u 3 b 1 ) 2 = (a 1 a 2 a 3 ) 2 (u 1 u 2 u 3 ) 2 Ð g 4 (C7) u 5 b 1 = b 1 u 5 Ð g 6 (C8) a 4 u 4 (a 4 a 3 a 2 a 1 u 1 u 2 u 3 u 4 )b 1 = b 1 a 4 u 4 Ð g 5º ÌÛ ØÝ Ò a i b j Þ Ò ÓÛ Ò ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ ÖÞÝÛÝ Ð Ý Ò ÓÖ Ò¹ ØÓÛ ÐÒ ÔÓ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÒ Þ S ρ,r Þ r {1,2} g = 2ρ + r ÊÝ º µº Ò Ö ØÓÖÝ Ø ÛÖ Þ Þ Ö Ð Ñ ½¹ ½¼µ Ø ÒÓÛ ÔÖ Þ ÒØ ÖÙÔÝ M(S ρ,r ) À Ì ÓÖ Ñ º½ º Ý g Ø Ò Ô ÖÞÝ Ø ØÓ Ö Ð µ ½¼µ Ò Ñ ÑÓ Ò Ù ÙÒ Þ ÔÖ Þ ÒØ Ò Ö ØÓÖÝ b j Ð j = 0 j > 1 ÓÖ Þ Ö Ð µº ÈÓÞÓ Ø Ò Ö ØÓÖÝ a i i = 1,...,g 1 b 1 ÛÖ Þ Þ Ö Ð Ñ ½¹ µ Ø ÒÓÛ ÔÖ Þ ÒØ M(S ρ,1 ) ÞÒ Ð Þ ÓÒ ÔÖÞ Þ Å Ø ÙÑÓØÓ º Ý g Ø Ô ÖÞÝ Ø ØÓ

8 Ø ÑÓ ÑÓ Ò ÛÝÖÙ ÓÛ b j Ð j 1º Â Ò Û ÛÞ Û Ö Ð ½¼µ bg 2 ÑÙ Ó Ý Ý Þ Ø Ô ÓÒ ÔÖÞ Þ Ó ÔÓÛ Ò ÛÝÖ Ò Û Ò Ö ØÓÖ a i 2 b 1 º Ò Ð Þ Ò Ø Ó ÛÒ Ó ÛÝÖ Ò ÞÒ ÞÒ ÙÔÖÓ Ó Ý Ò Þ ÔÖ Þ ÒØ º Ò Ö ØÓÖÝ u i i = 1,...,g 1 ÛÖ Þ Þ Ö Ð Ñ ½ ¾µ ØÛÓÖÞ Ó ÖÞ ÞÒ Ò ÔÖ Þ ÒØ ÖÙÔÝ Û Ö ÓÞÝ B g º Ì Û ÌÛ Ö Þ Ò ½ Ñ Û M(N g,1 ) Ø ÞÓÑÓÖ ÞÒ Þ ÖÙÔ ÐÓÖ ÞÓÛ ÔÓÛ Ø ÔÖÞ Þ ÔÓ Þ Ð Ò ÔÖÓ Ù ØÙ ÛÓÐÒ Ó M(S ρ,r ) B g ÔÖÞ Þ Ö Ð ½¹ µº Ý ÓØÖÞÝÑ ÔÖ Þ ÒØ M(N g,0 ) Ò Ð Ý Ó ÞÞ ØÖÞÝ Ö Ð º ÌÛ Ö Þ Ò ¾ È Ö ¹ËÞ Ô ØÓÛ À Ì ÓÖ Ñ º µº Ð g 4 ÖÙÔ M(N g,0 ) Ø ÞÓÑÓÖ ÞÒ Þ ÖÙÔ ÐÓÖ ÞÓÛ ÔÓÛ Ø ÔÖÞ Þ ÔÓ Þ Ð Ò M(N g,1 ) Ó ÔÖ ¹ Þ ÒØ Ò Û ÌÛ Ö Þ Ò Ù ½ ÔÖÞ Þ Ö Ð (B3) (u 1 u 2 u g 1 ) g = 1 (B4) (u 1 u 2 u g 2 ) g 1 = 1º (D) a 1 (a 2 a 3 a g 1 u g 1 u 3 u 2 )a 1 = a 2 a 3 a g 1 u g 1 u 3 u 2 º ÈÖÞÝ ÑÙ g = 4 Û ÌÛ Ö Þ Ò Ù ¾ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÔÖ Þ ÒØ ÖÙÔÝ M(N 4,0 ) Ö Ò Ó Ø ÔÓ Ò Û À½ Ì ÓÖ Ñ ¾º½ º Ï À Ë Ø ÓÒ ÔÓ Þ Ð ÑÝ Ø ÔÖ Þ ÒØ Ö ÛÒÓÛ Ò ÛÝ ÓÒÙ Û Ø Ò ÔÓ ÖÓ ÞÓÛÝ Ò Ù Ý Ò Ó ÓÛÓ Ù ÌÛ Ö Þ Ò ¾º Ì Û ÑÓ Ò ÔÓÛ Þ ÔÖ À½ Þ Û Ö Þ ÓÛÓ Ù ÌÛ Ö Þ Ò ¾º ÓÛÓ Ý ÌÛ Ö Þ ½ ¾ Ò Ù Ý Ò ÛÞ Ð Ñ ÖÓ Þ Ù g ÔÖÞÝ ÞÝÑ ÌÛ Ö¹ Þ Ò ½ ÓÛÓ Þ ÑÝ ÔÖÞÝ Þ Ó Ò Ù ÔÖ Û Þ Û Ø ÌÛ Ö Þ Ò ¾º ÓÛ ÌÛ Ö Þ Ò ¾ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ØÛ Ö Þ Ò ÃºËº ÖÓÛÒ ½ ÙÑÓ Ð Û ÛÝÐ Þ ¹ Ò Ó ÞÓÒ ÔÖ Þ ÒØ ÖÙÔÝ Ø Ö Þ Ò ÒÓ Ô ÒÝÑ Ï¹ ÓÑÔÐ X Ô ÖÑÙØÙ Ó ÓÑ Ö ÔÖÞÝ Þ Ó Ò Ù Ø Ð Þ ØÓÖ Ó Û ÖÞ Ó X Ñ Ó ÞÓÒ ÔÖ Þ ÒØ Ø Ð Þ ØÓÖ Ö Û Þ X Ø Ó Þ Ò Ò ÖÓÛ ÒÝ Ð Þ ÓÖ Ø ÓÑ Ö ÛÝÑ ÖÙ 2 Ø Ó ÞÓÒ º ÌÛ Ö Þ Ò ÖÓÛÒ ØÓ Ù ÑÝ Ó Þ Ò M(N) Þ N = N g,0 g 4 Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝÑ ÓÑÔÐ ÖÞÝÛÝ C ord (N) Þ Ò ÓÛ ÒÝÑ Û ÔÓ Ó Ò Ó ÓÑÔÐ Ù ÖÞÝÛÝ À ÖÚ Ý³ º Û ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò k¹ ÖÓØ Ô Ö Ñ ÖÓÞ Þ¹ ÒÝ Ò ÞÓØÓÔ ÒÝ ÖÞÝÛÝ Þ Ñ Ò ØÝ ÞÛÝÞ ÒÝ Ò N (γ 1,γ 2,...,γ k ) (γ 1,γ 2,...,γ k ) Ö ÛÒÓÛ Ò Ð γ i γ i ÞÓØÓÔ Ò Ó Ò ÞÓÖ ÒØÓÛ Ò ÖÞÝÛ µ Ð i = 1,...,kº ÃÐ Ý Ö ÛÒÓÛ ÒÓ Ø k¹ ÖÓØ (k 1)¹ Ýѹ ÔÐ Ñ ÓÑÔÐ Ù C ord (N)º ÍÞÝ Ò ÔÖ Þ ÒØ M(N) Ù ÝÛ Þ Ò Ø ÖÙÔÝ Ò C ord (N) ÛÝÑ Ó Ð Þ Ò ÔÖ Þ ÒØ Ø Ð Þ ØÓÖ Û Û ÖÞ Ó Û ÛÝ Ö ÔÓ ÒÝÑ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ò Þ ÓÖ ØÝ Û ÖÞ Ó Ûº ËØ Ð Þ ØÓÖ Stab M(N) [γ] Û ÖÞ Ó [γ] Ø Ö ÞÓ Ð ÖÙÔ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ ÔÓÛ ÖÞ Ò N γ ÔÓÛ Ø ÔÖÞ Þ ÖÓÞ N ÛÞ Ù ÖÞÝÛ γº Þ Ø ÑÙ ØÛÓ Ó Ð ÞÝ ÔÖ Þ ÒØ Stab M(N) [γ] ÞÒ ÔÖ Þ ÒØ M(N γ ) Ø Ö Þ ÓÐ ÑÓ Ý Ó Ð ¹ ÞÓÒ Ö ÙÖ ÒÝ Ò ÔÓÒ Û N γ Ñ Ò ÞÝ ÖÓ Þ Ò Nº ËÝØÙ ÓÑÔÐ Ù Ò Ó Ø N γ Ñ Ò ÔÙ ØÝ ÖÞ Û ÔÖÞ Û ØÛ Ó Nº

9 Ï ÔÖ Ý È Þ ÔÖÓÔÓÒÓÛ Ñ Ð ÓÖÝØÑ ÛÝÞÒ Þ Ò ÔÖ Þ ÒØ M(N) ÓÔ ÖØÝ Ò ÔÓÛÝ ÞÝÑ ØÛ Ö Þ Ò Ù ÖÓÛÒ º ÈÖ Þ ÒØ Ó ÛÝÒ Ñ Ø Ó ¹ ÞÓÒ Ð ÓÐ ÖÞÝÑ Þ Û Ö Ó Ð Þ Ò Ö ÙÖ ÒÝ Ò ÔÖ Þ ÒØ Ø Ð Þ ØÓÖ Û Û ÖÞ Ó Û ÓÑÔÐ Ù C ord (N) ÓÖ Þ Û Ð Ö Ð ÞÛ Þ ÒÝ Þ ÝÑÔÐ Ñ Ûݹ Ñ ÖÙ ½ ¾º Ý ÓØÖÞÝÑ ÛÒ ÔÖ Þ ÒØ M(N) Ó ÖÓÞ Ò Ð Þ Ò ¹ Ö ØÓÖ Û Ö Ð ØÖÞ Ø Ò Ð ÓÖÝØÑ ØÓ ÓÛ Û Ù Ø ÐÒÝ ÔÓ Ó ØÓ Ý ÔÖ Þ ÒØ ÓØÖÞÝÑÝÛ Ò Û ÖÓ ÔÓ Ö Ò Ò Ý Ý Þ ÝØ Ù º Ï ÔÖ Ý À½ Ù Ó ØÓ ÞÖÓ Ð g = 4 Ó Ø Ø ÞÒÝ Ð ØÓ ÞÒ ÞÝ ÛÒ ÔÖ Þ ÒØ M(N g ) Ð ÓÛÓÐÒ Ó g ÞÓ Ø Ó Ò ØÝ Û ÔÖ Ý À º Þ Ø ÑÙ ÔÖÞÝÔ ¹ g = 4 ÞÓ Ø ÖÓÞÔ ØÖÞÓÒÝ Û ÛÞ Ò Þ ÔÖ Ý À½ Û À ÑÓ Ð ÑÝ Ù Ý ÔÖÞ ÓÑÓÛ Ó ÔÓÑÝ Ù ÔÓÐ Ó Ò Þ Ø Ô Ò Ù ÓÑÔÐ Ù C ord (N) Ó ÔÓ ¹ ÓÑÔÐ Ñ Þ Ù ÓÛ ÒÝÑ ØÝÐ Ó Þ ÖÞÝÛÝ Ò ÖÓÞ Þ Ð Ý Ø ÖÝ Ø ÒÓ¹ Ô ÒÝ Ð g 5º Ï ÔÖÞÝÔ Ù g 7 Ù ÝÐ ÑÝ ÞÞ ÑÒ Þ Ó ÔÓ ÓÑÔÐ Ù Ó ÞÒ Þ Ó ÞÑÒ ÞÝ Ó ÔÖ Þ ÒØ ÛÝÒ Þ ØÛ Ö Þ Ò ÖÓÛÒ º ÏÝ Ó Þ Ó ÔÖ Þ ÒØ M(N g,0 ) ÑÓ Ò Ò Ù Ý Ò Ó Ð ÞÝ ÔÖ Þ ÒØ ÖÙÔÝ M(N g,n,p) Ð ÓÛÓÐÒÝ n P Ñ ØÓ ÓÔ ÖØ Ò Ù Ó ÒÝÑ ÖÑ Ò Û ÔÖ Ý ¼ Û ÔÖÞÝÔ Ù ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒÝ º Ò Ð Þ Ò Ø ÔÖ Þ ÒØ Û Ó ÐÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Ø ÛÝÑ ÛÝÞÛ Ò Ñ ÛÞÝѺ ÔÖ Þ ÒØ ÔÓ ÒÝ Û ÌÛ Ö Þ Ò ½ ¾ ÑÓ Ò Ó Ý ØÛÓ ÛÝÖÙ ÓÛ Ò Ö ØÓÖÝ u i Ð i > 1º ÖÓ ØÓ ËØÙ ÓÛ ÓØÖÞÝÑÙ Û Ø Ò ÔÓ ÔÖ Þ ÒØ ¹ M(N g,1 ) M(N g,0 ) Þ ÑÒ Þ Ð Þ Ò Ö ØÓÖ Û Ö Ð ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ó Ð ÞÝ Ô ÖÛ Þ ÖÙÔ ÓÑÓÐÓ M(N g,n ) Ó Û Ô ÞÝÒÒ Û H 1 (N g,n ;Z) Ð n 1 º Æ ÛÒÓ Û Ö ÔÓÞÝØÓÖ ÙÑ Ö Ú ÔÓ Û ÛÝ ÔÖ ÔÖ ÒØ ÇÑÓÖ ¾ Þ Û Ö Ý Ò Ó ÞÓÒ ÔÖ Þ ÒØ ÖÙÔ M(N g,1 ) M(N g,0 ) Þ Ö ÞÓ ÔÖÓ¹ ØÝÑ Ö Ð Ñ º Ò Ö ØÓÖ Ñ Û ØÝ ÔÖ Þ ÒØ Û ÞÝ Ø ØÛ ØÝ Ò ÓÖ Þ Û ÞÝ Ø ¹ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑÝ Ò ÞÝÛ Ò Ö ÛÒ ÖÓ Ô Ð Ó Ø ÖÝ Ô Þ ÔÓÒ Û Ô Ö Ö ¾º µº ÓÛ ÛÒ Ó ÛÝÒ Ù ÔÖ Ý ¾ ÓÖÞÝ Ø Þ ÔÖ Þ ÒØ ËØÙ ÓÛ Û ÔÓ Ö Ò Ó Ö ÛÒ Þ ÌÛ Ö Þ ½ ¾º Ï ÖØÓ Ó Ò Ø ÑÓ Ð Û ÔÖ Þ ÒØ M(N g,n ) Û Ø Ö Û ÞÝ Ø ¹ Ò Ö ØÓÖÝ Ý Ý Ý ØÛ Ø Ñ Ò º Á ØÓØÒ ÔÓ ÖÙÔ M(N g,n ) Ò ÖÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û ÞÝ Ø ØÛ ØÝ Ò Ñ Ò ¾ ¾ º ¾º º Ê ÔÖ Þ ÒØ Ð Ò ÓÛ ÒÒ ÓÑÓÑÓÖ ÞÑݺ À Þ Ò ÖÙÔÝ M(S g,n ) Ò H 1 (S g,z) Þ ÓÛÙ Ð Ö ÞÒÝ Ò ÔÖÞ Ø ÖÝ Ø ÓÖÑ ÝÑÔÐ ØÝÞÒ º ÁÒ Ù ÓÛ ÒÝ ÙÖ ØÝÛÒÝ ÓÑÓÑÓÖ ÞÑ Φ: M(S g,n ) Sp(2g,Z), Ò ÞÝÛ ÒÝ Ø Ò Ö ÓÛ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÝÑÔÐ ØÝÞÒ Ø ÒÝÑ Þ Û Ò ÞÝ Ò ÖÞ Þ Ó Ò ÖÙÔÝ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ º Ï Ó Ø Ø¹ Ò Ð Ø Âº Ö Ò Åº À Ò Ð Åº ÃÓÖ Ñ Þ ¾ Ù ÓÛÓ Ò Ð Ð g 3 Ò ÑÒ ÞÝÑ ØÓÔÒ Ñ Ò ØÖÝÛ ÐÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ M(S g,n ) GL(m,C) Ø m = 2g Ø Ò Ö ÓÛ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÝÑÔÐ ØÝÞÒ Ø ÝÒ Þ Ó ÒÓ¹ Ó ÔÖÞ Ò Û C Þ ÔÓÐÓÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ M(S g,n ) ÛÝÑ ÖÙ 2gº Ï ÔÖ Ý

10 ½¼ À Ù ÓÛÓ Ò Ñ Ò ÐÓ ÞÒ ØÛ Ö Þ Ò Ð ÖÙÔÝ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ º Å Û ÑÝ Û ÓÑÓÑÓÖ ÞÑÝf 1,f 2 Þ ÖÙÔÝ G Ó H ÔÖÞ ÓÒ Ð ØÒ Ø y H f 1 (x) = yf 2 (x)y 1 Ð Ó x Gº Ç Ö Þ ÓÑÓÑÓÖ ÞÑÙ f ÓÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ Þ Im(f)º Í Ø ÐÑÝ ÔÓ Û Ò Ò ÖÝ P: S g 1 N g º Æ ÑÓÝ ØÛ Ö Þ Ò ÖÑ Ò Ð¹ Ð Ò ÛÓÖØ M(N g ) Ø ÞÓÑÓÖ ÞÒ Þ ÔÓ ÖÙÔ M(S g 1 ) Þ Ó ÓÒ Þ Þ ÓÛÙ¹ Ý ÓÖ ÒØ ÔÓ Ò ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑ Û N g º ËØ Ñ ÑÝ Þ Ò M(N g ) Ò H 1 (S g 1,Z)º ÇÞÒ ÞÑÝ ÔÖÞ Þ K g ÖÓ ÓÑÓÑÓÖ ÞÑÙ P : H 1 (S g 1,Z) H 1 (N g,z)/z 2 Ò Ù ÓÛ Ò Ó ÔÖÞ Þ Ò ÖÝ P Þ Z 2 ÓÞÒ Þ ÔÓ ÖÙÔ ØÓÖ¹ Ý Ò H 1 (N g,z)º ÖÙÔ K g Ø Ò ÞÑ ÒÒ Þ ÛÞ Ð Ñ Þ Ò M(N g ) Ò H 1 (S g 1,Z)º ÈÓÒ ØÓ K g H 1 (S g 1,Z)/K g ÛÓÐÒÝÑ Z¹ÑÓ Ù Ñ Ö Ò g 1 Þ Ø Ñ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Û Ö ÔÖ Þ ÒØ M(N g ) ØÓÔÒ g 1 Ψ 1 : M(N g ) GL(K g ), Ψ 2 : M(N g ) GL(H 1 (S g 1,Z)/K g ), Ø Ö ÔÓ Ù Ø Ð Ò Ù Þ ØÖ ØÙ ÑÝ Ó ÓÑÓÑÓÖ ÞÑÝ Û GL(g 1,C)º Ë ÓÒ Ò ÔÖÞ ÓÒ Ó kerψ 1 = kerψ 2 À Ä ÑÑ º½ º È ÖÛ ÞÝ Ö ÞÙÐØ Ø ÔÖ Ý À Ñ Û g 1 Ø Ò ÑÒ ÞÝÑ ØÓÔÒ Ñ Ò ØÖÝÛ ÐÒ Ò ÐÓÛ µ Ö ÔÖ ¹ Þ ÒØ M(N g )º ÌÛ Ö Þ Ò ËÞ Ô ØÓÛ À Ì ÓÖ Ñ ½º µº Æ n 1 g 5 m g 2 Þ ÑÝ f: M(N g,n ) GL(m,C) Ø Ò ØÖÝÛ ÐÒÝÑ ÓÑÓÑÓÖ ÞÑ Ñº ÏØ Ý Im(f) Ø ÞÓÑÓÖ ÞÒ Þ Z 2 ÐÙ Z 2 Z 2 ÔÖÞÝ ÞÝÑ ÖÙ ÔÖÞÝÔ Ø ÑÓ Ð ÛÝ ØÝÐ Ó Ð g = 5 ÐÙ 6º ÈÓÛÝ ÞÝ Ö ÞÙÐØ Ø ÞÓ Ø ÛÞ Ò Ù ÓÛÓ Ò ÓÒÝ ÔÖÞ Þ ÃÓÖ Ñ Þ ÔÖÞÝ Ó¹ Ø ÓÛÝÑ Þ Ó Ò Ù m g 3 Ð g Ø Ô ÖÞÝ Ø º ÆÓÛÓ ÌÛ Ö Þ Ò ÔÓÐ Ò ØÝÑ Ó ÑÙ ÓÒÓ Ö ÛÒ ÔÖÞÝÔ m = g 2 Ð Ô ÖÞÝ Ø Ó gº Â Ó Þ ØÓ ÓÛ Ò ÌÛ Ö Þ Ò Ù ÓÛÓ Ò Ñ Ò ØÔÙ Ý Ö ÞÙÐØ Ø Ø ÖÝ Ø ÒÓÛ ÖÓÞÛ Þ Ò ÈÖÓ Ð ÑÙ º Þ º ÌÛ Ö Þ Ò ËÞ Ô ØÓÛ À Ì ÓÖ Ñ ½º µº ÑÝ g 5 h < g f: M(N g ) M(N h ) Ø Ò ØÖÝÛ ÐÒÝÑ ÓÑÓÑÓÖ ÞÑ Ñº ÏØ Ý Im(f) Ø Û ÌÛ Ö Þ Ò Ù º Ò ÐÓ ÞÒ ØÛ Ö Þ Ò Ð ÖÙÔ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ Þ Ñ Ò ØÝ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒÝ Ù ÓÛÓ Ò Ð À ÖÚ Ý ÃÓÖ Ñ Þ º Ö ÛÒÓ ÌÛ Ö Þ Ò Ò Þ Ó Þ Ð g = 4 ÔÓÒ Û ÔÓ Þ Ñ ØÒ ÓÑÓÑÓÖ ÞÑ Þ M(N 4 ) Ó M(N 3 ) = GL(2,Z) Ø Ö Ó Ó Ö Þ Ø Ò Ó ÞÓÒ ÖÙÔ Ö ÐÒ À Ó¹ ÖÓÐÐ ÖÝ º¾ º Ó ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Ø Ó ÓÑÓÑÓÖ ÞÑÙ Ù Ý Ñ ÔÖ Þ ÒØ ÖÙÔÝ M(N 4 ) Þ ÔÖ À½ À º ÑÝ g 7º ÏØ Ý Ð Ò Þ M(N g ) Ø ÞÓÑÓÖ ÞÒ Þ Z 2 ¾ º ÇÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ Þ ab: M(N g ) Z 2 ÒÓÒ ÞÒ ÖÞÙØÓÛ Ò Ð i = 1,2 Ò Ù¹ ÑÝ Ψ i : M(N g) GL(g 1,C) ÛÞÓÖ Ñ Ψ i (x) = ( 1)ab(x) Ψ i (x) Ð x M(N g )º ÃÓÐ ÒÝ Ö ÞÙÐØ Ø ÔÖ Ý À Ø Ò ØÔ٠ݺ

11 ÌÛ Ö Þ Ò ËÞ Ô ØÓÛ À Ì ÓÖ Ñ ½º µº Æ g 7 g 8 Þ ÑÝ f: M(N g ) GL(g 1,C) Ø Ò ØÖÝÛ ÐÒÝÑ ÓÑÓÑÓÖ ÞÑ Ñº ÏØ Ý Ð Ó Im(f) = Z 2 Ð Ó f Ø ÔÖÞ ÓÒÝ Þ ÒÝÑ Þ ÓÑÓÑÓÖ ÞÑ Û Ψ 1 Ψ 1 Ψ 2 Ψ 2 º Ð g = 8 Ù ÓÛÓ Ò Ñ Ò ÐÓ ÞÒ ØÛ Ö Þ Ò À Ì ÓÖ Ñ ½º º Ï ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Ñ ÑÝ Ó Ø ÓÛÝ ÓÑÓÑÓÖ ÞÑ M(N 8 ) GL(7,C) ÛÝÒ Ý Þ ØÙ ØÒ Ô ÑÓÖ ÞÑ Þ M(N 8 ) Ò Sp(6,Z 2 ) Ó Ø ØÒ ÖÙÔ Ñ Ò ¹ ÔÖÞÝÛ ÐÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ Û GL(7,C)º ¾º º ÖÙÔ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ ÔÓÞ ÓÑÙ ¾º À¾ À Ë Ø Ò Ö ÓÛ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÝÑÔÐ ØÝÞÒ ÖÙÔÝ M(S g ) Þ ÓÑÓÑÓÖ¹ ÞÑ Ñ Ö Ù ÑÓ ÙÐÓ m Ð Ô ÛÒ Ð Þ Ý Ò ØÙÖ ÐÒ m 2 ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÙÖ ØÝÛÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ M(S g ) Sp(2g,Z m ) Ø Ö ÖÓ ÓÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ Þ Γ m (S g ) Ò ÞÝÛ ÑÝ ÖÙÔ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ ÔÓÞ ÓÑÙ m ÔÓÛ ÖÞ Ò S g º ÖÙÔ Γ m (S g ) ÑÓ Ý Ö ÛÒ ÓÔ Ò Ó ÖÙÔ Ð ÞÓØÓÔ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑ Û S g Þ Ý ØÖÝÛ ÐÒ Ò H 1 (S g,z m )º ÈÓ ÙÑÓÛÙ Ñ ÑÝ Ö Ø Ó¹ ÒÝ 1 Γ m (S g ) M(S g ) Sp(2g,Z m ) 1. ÖÙÔÝ Γ m (S g ) Ý Ý ÒØ Ò ÝÛÒ Ò Ñ ÞÝ ÒÒÝÑ ÔÖÞ Þ À Ò ¾ ÁÚ ÒÓÛ Þ ÒÓÛ ÞÝ Ö ÞÙÐØ Ø Û Û ÖØÓ Û ÔÓÑÒ Ó Ð Þ Ò Ð Ò Þ º Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ N g Ð Ö ÞÒÝ Ò ÔÖÞ Ò H 1 (N g,z) Ø Þ Ò ÓÛ ÒÝ ÝÒ ÑÓ ÙÐÓ 2º Ø Ó ÔÓÛÓ Ù Ö ÞÓ Ò ØÙÖ Ð¹ Ò Ø ÖÓÞÛ Þ Ò M(N g ) Ò H 1 (N g,z 2 ) Ó ÖÓ Γ 2 (N g )º ÖÙÔ ÙØÓÑÓÖ ÞÑ Û H 1 (N g,z 2 ) Þ ÓÛÙ Ý Ð Ö ÞÒÝ Ò ÔÖÞ ÓÞÒ ¹ Þ ÑÝ Þ ÃÓÖ Ñ Þ Ñ ¾ ÔÖÞ Þ Iso(H 1 (N g,z 2 ))º ÏÝ Ö Ø Ò Ö ÓÛ Þ H 1 (N g,z 2 ) ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÞÓÑÓÖ ÞÑ Iso(H 1 (N g,z 2 )) = {A GL(g,Z 2 ) AA t = I}. Å ÖØ Ý È Ò ÐÐ ÓÖ Þ Ð È Ò ÓÐ ¾ ÛÝ Þ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò M(N g ) Iso(H 1 (N g,z 2 )) Ø ÙÖ º Å ÑÝ Þ Ø Ñ Ö Ø Ó ÒÝ 1 Γ 2 (N g ) M(N g ) Iso(H 1 (N g,z 2 )) 1. ÈÖ À¾ À ÔÓ Û ÓÒ ÖÙÔ Γ 2 (N g )º Ó ÓÖÑÙ ÓÛ Ò Þ Û ÖØÝ Û Ò ÛÝÒ Û ÔÓØÖÞ Ò Ø ÔÓ ¹ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑÙº Ï Ó Ö Ò Ò Ù Ó M(S g ) ÖÙÔ M(N g ) Ò Ø Ò ÖÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ØÛ ØÝ Ò º Í ÓÛÓ Ò ØÓ Ä ÓÖ ½ Ø ÖÝ ÔÓ Ô ÖÛ ÞÝ ÔÖÞÝ Ð Ñ ÒØÙ M(N g ) Ø ÖÝ Ò Ø ÐÓÞÝÒ Ñ ØÛ Ø Ûº Â Ø ØÓ ¹ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑ Ò ÞÝÛ ÒÝ Ø ÖÓ ¹ Ô Ð º ÑÝ g 2 α β Û Ñ ÖÞÝÛÝÑ Þ Ñ Ò ØÝÑ ÞÛݹ Þ ÒÝÑ Ò N g ÔÖÞ Ò ÝÑ ØÖ Ò Û Ö ÐÒ Û ÒÝÑ ÔÙÒ Þ α Ø ÒÓ ØÖÓÒÒ β ÛÙ ØÖÓÒÒ º Æ K N g Þ ÓØÓÞ Ò Ñ Ö ÙÐ ÖÒÝÑ α β ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÒÝÑ Þ ÙØ Ð ÃÐ Ò Þ ÖÞ Ñº ÇÞÒ ÞÑÝ ÔÖÞ Þ M Û Ø Å Ù ÓØÓÞ Ò Ñ Ö ÙÐ ÖÒÝÑ ÖÞÝÛ αº ¹ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑ Y α,β ÑÓ Ý ÓÔ ÒÝ Ó Ø ÔÖÞ Ò M Ò Ö Þ ÛÞ Ù ÖÞÝÛ β Þ ÓÛÙ ÔÖÞÝ ØÝÑ Ý ÔÙÒ Ø Ò ÖÞ Ù K ÊÝ º µº ½½

12 ½¾ α K Y α,β β ÊÝ ÙÒ º ¹ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑ ÐÙ ÖÓ Ô Ð º Ä ÓÖ ÛÝ Þ Ð g 2 ÖÙÔ M(N g ) Ø Ò ÖÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ØÛ ØÝ Ò Ò ¹ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑ ÔÓ ÖÙÔ Ò ÖÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û ÞÝ Ø ØÛ ØÝ Ñ Ò ¾ ½ ¾ º ÇÞÒ ÞÑÝ ÔÖÞ Þ Y(N g ) ÔÓ ÖÙÔ M(N g ) Ò ÖÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û ÞÝ Ø ¹ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑݺ  ØÛÓ ÔÖ Û Þ Ý ¹ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑ Ò¹ Ù Ù ÒØÝÞÒÓ Ò H 1 (N g,z 2 ) Þ Ø Ñ Y(N g ) Γ 2 (N g )º Ï ÔÖ Ý À¾ ÛÝ Þ Ñ Þ Ó Þ Ö ÛÒÓ Y(N g ) = Γ 2 (N g )º ÌÛ Ö Þ Ò ËÞ Ô ØÓÛ À¾ Ì ÓÖ Ñ º µº Æ g 2º Ð Ñ ÒØ f M(N g ) Ò Ù Ù ÒØÝÞÒÓ Ò H 1 (N g,z 2 ) ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý f Ø ÐÓÞݹ Ò Ñ ¹ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑ Ûº Ï ÞÞ ÐÒÓ Y(N g ) Ø Û Û ÔÓ ÖÙÔ M(N g ) Ó ÞÓÒ Ó Ò Ùº Ð I,J {1,2,...,g} ÓÞÒ ÞÑÝ Y γi,γ J ÔÖÞ Þ Y I;J Þ γ I γ J ÖÞÝÛÝÑ Þ Êݹ ÙÒ Ù ½ Þ ÖÞÝÛ Ø Ô Ò Þ Ó Ò Ò ¹ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑÙº ÏÝ Þ Ñ Y(N g ) Ø ÓÑ Ò Ñ ÒÓÖÑ ÐÒÝÑ Û M(N g ) Ò Ó ¹ ÓÑ Ó¹ ÑÓÖ ÞÑÙ Y {1};{1,2} À¾ Ä ÑÑ º Ø ÖÝ Ø ÐÓÞÝÒ Ñ Û ÒÛÓÐÙ Ò Ð ¹ Ý Ó Y(N g )º Ï Ø Ò ÔÓ Ù ÓÛÓ Ò Ñ Ò ØÔÙ ØÛ Ö Þ Ò º ÌÛ Ö Þ Ò ËÞ Ô ØÓÛ À¾ Ì ÓÖ Ñ º ÓÖÓÐÐ ÖÝ º µº Ð g 2 ÖÙÔ Γ 2 (N g ) Ø Ò ÖÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÒÛÓÐÙ º Ó Ø ØÒ Ó ØÛ Ö Þ Ò ÛÝÒ Ð Ò Þ ÖÙÔÝΓ 2 (N g ) ØZ 2 ¹ÑÓ Ù Ñº ÈÓÒ Û M(N g ) Ø Ó Þ Ò Ò ÖÓÛ Ò Γ 2 (N g ) Ö ÛÒ Ø Ó Þ Ò Ò ÖÓÛ Ò Ó ÔÓ ÖÙÔ Ó ÞÓÒ Ó Ò Ùº ÏÓ Ø Ó Ò ØÙÖ ÐÒÝÑ ÔÖÓ¹ Ð Ñ Ñ Ø ÞÒ Ð Þ Ò Ó ÞÓÒ Ó Þ ÓÖÙ Ò ÖÙ Ó Ð Γ 2 (N g )º ÈÖÓ Ð Ñ Ø Ò ÖÓÞÛ Þ Ñ Û ÔÖ Ý À Ø Ö ÛÒÝ ÛÝÒ Ø Ò ØÔ٠ݺ ÌÛ Ö Þ Ò ËÞ Ô ØÓÛ À Ì ÓÖ Ñ º¾ µº Ð g 3 ÖÙÔ Γ 2 (N g ) Ø Ò ÖÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ò ØÔÙ Ð Ñ ÒØÝ ½µ Y {i};{i,j} Ð i {1,2,...,g 1} j {1,2,...,g} i j ¾µ Y {i,j,k};{i,j,k,l} Ð i < j < k < l Ð g 4º Ð ÙÞÙÔ Ò Ò Ó ÑÝ Γ 2 (N 1 ) = M(N 1 ) = {1} Γ 2 (N 2 ) = Z 2 º Ï ÌÛ Ö Þ Ò Ù Ý Ò Ö ØÓÖ Y {i,j,k};{i,j,k,l} ØÝÔÙ ¾µ ÑÓ Ý Þ Ø Ô ÓÒÝ ÔÖÞ Þ T{i,j,k,l} 2 Þ T {i,j,k,l} Ø ØÛ Ø Ñ Ò ÛÞ Ð Ñ γ {i,j,k,l} À Ê Ñ Ö º º ÙÛ ÑÝ Ø (g 1) 2 Ò Ö ØÓÖ Û ØÝÔÙ ½µ ( g 4) Ò Ö ØÓÖ Û ØÝÔÙ ¾µº Ï Ó Ø ØÒ Þ ÔÖ Ý À ÛÝ Þ Ñ Ð Þ Ò Ö ØÓÖ Û Γ 2 (N g ) Þ ÌÛ Ö¹ Þ Ò Ø Ñ Ò Ñ ÐÒ Ð g = 3 4º Þ Ò M(N 3 ) Ò H 1 (N 3,Z) Ò Ù Ù

13 ÞÓÑÓÖ ÞÑ M(N 3 ) GL(2,Z) Ø ÖÝ ÔÖÞ ÔÖÓÛ Þ Γ 2 (N 3 ) Ò ÛÒ ÔÓ ÖÙÔ ÓÒ ÖÙ ÒÝ Ò ÔÓÞ ÓÑÙ 2 ÖÙÔÝ GL(2,Z) À ÓÖÓÐÐ ÖÝ º¾ º Æ ØÔÙ ØÛ Ö¹ Þ Ò Ñ Û Ð Þ Ò Ö ØÓÖ Û Γ 2 (N 4 ) Þ ÌÛ Ö Þ Ò Ø Ö ÛÒ Ö Ò Þ Ð Ò Þ Ø ÖÙÔÝ Û Ø Ñ Ò Ñ ÐÒ º ÌÛ Ö Þ Ò ËÞ Ô ØÓÛ À Ì ÓÖ Ñ º µº ÖÙÔ H 1 (Γ 2 (N 4 ),Z) Ø ÞÓ¹ ÑÓÖ ÞÒ Þ Z 10 2 º ÓÛ ÌÛ Ö Þ Ò ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÌÛ Ö Þ Ò Ø ÔÖ Þ ÒØ ÖÙÔÝ M(N 4 ) Þ ÔÖ Ý À½ º Ð g > 4 Þ Ö Ò ÖÙ Ý Γ 2 (N g ) Þ ÌÛ Ö Þ Ò Ò Ø Ñ Ò Ñ ÐÒݺ À ÖÓ Ë ØÓ ½ ÔÓ Þ Ð Þ Û Ö ÓÒ ÔÓ Þ Ö ÑÓÝ ( g+1) 3 Ø ÖÝ Ö ÛÒ Ò ÖÙ Γ 2 (N g ) Ò ØÔÒ Ù ÓÛÓ Ò Ð H 1 (Γ 2 (N g ),Z) Ñ Ö Ò Ö ÛÒ ( g+1) 3 Ó Ø ÒÓÛ ÙÓ ÐÒ Ò ÔÓÛÝ Þ Ó ÌÛ Ö Þ Ò º Ó Ó Ð Þ Ò Ð Ò Þ Γ 2 (N g ) À ÖÓ Ë ØÓ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ð ÑÓ ÌÛ Ö Þ Ò º ÈÖ À¾ Þ Û Ö Û Ò ÓÒ ØÖÙ ÓÑÓÑÓÖ ÞÑÙ ÖÓ Ô ÔÙ Ò Ñ Ô ψ: π 1 (N g 1,x 0 ) M(N g ), Þ N g 1 ÔÓÛ Ø ÔÖÞ Þ ÛÝ Þ N g Û Ø Å Ù Þ Ø Ô Ò Ý Ñ Þ ÛÝÖ Ò ÓÒÝÑ ÔÙÒ Ø Ñ x 0 º Ý α π 1 (N g 1,x 0 ) Ø Ð ÓÑÓØÓÔ Ö ÔÖ Þ Ò¹ ØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÖÞÝÛ ÞÛÝÞ Ò ØÓ ψ(α) Ø Ð Ó ¹ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑ Ñ Ý α Ø ÒÓ ØÖÓÒÒ Ð Ó ÐÓÞÝÒ Ñ Û ØÛ Ø Û Ý α Ø ÛÙ ØÖÓÒÒ º ÈÓÞÛ Ð ØÓ Ò ÓØÖÞÝÑÝÛ Ò Û M(N g ) Ö Ð ÔÓ Ø ½µ ψ(αβ) = ψ(α)ψ(β), Þ ÔÓ Ó Ù ØÖÓÒ ÛÝ ØÔÙ ¹ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑÝ ÐÙ ØÛ ØÝ Ó Ð α β αβ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÖÞÝÛ ÞÛÝÞ Ò ÙÛ ØÙØ ÐÓÞÝÒ αβ Û π 1 (N g 1,x 0 ) ÓÞÒ Þ Ò Ô ÖÛ β ÔÓØ Ñ αµº Ï Ø Ò ÔÓ ÙÞÝ ÒÓ Ò Ø Ö Ö Ð ÛÝ ØÔÙ¹ Û Ó ÞÓÒÝ ÔÖ Þ ÒØ ÖÙÔ M(N g ) M(N g,1 ) ÞÒ Ð Þ ÓÒÝ Û ÔÖ À º Ó Û ½µ Ø Ò Þ Ö Ð Ò Ù Ý Û Ò Ó ÞÓÒ ÔÖ ¹ Þ ÒØ ÇÑÓÖ ¾ º ÀÓÑÓÑÓÖ ÞÑ ψ Ø ÔÓ Ø ÛÓÛÝÑ Ò ÖÞ Þ Ñ Ù ÝÑ Ó Ò ¹ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑ Û ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÒÝÑ Û ÔÖ À¾ À Ø Û ÔÖ ÒÒÝ ÙØÓÖ Û Ñ ÞÝ ÒÒÝÑ Û ¾ ÓÖ Þ Û Û ÔÓÑÒ ÒÝ ÔÓÛÝ ÔÖ ¾ º Ë Þ Ò ÖÞ Þ ØÓ Ñ Ù Ý ÔÓØ Ò ÔÓÒ Û Ò ¹ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑ Û Ø Û Ò Þ Ø ÓÖ ÖÙÔÝ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ º ÖÙÔ Γ 2 (N g ) ÑÓ Ò Û Þ Ó Ô ÛÒ ÔÖÞÝ Ð Ò ÔÓ ÖÙÔÝ ÌÓÖ ÐÐ I(N g ) Þ Ð Ñ ÒØ Û M(N g ) Ò Ù Ù Ý ÒØÝÞÒÓ Ò H 1 (N g,z)º Ò ØÖÓÒÝ Ø ØÓ ÔÖÞÝ Ð Ò Ö ÞÓ Ò Ó Ò Ó I(N g ) Ø ÔÓ ÖÙÔ Γ 2 (N g ) Ò Ó ÞÓÒ Ó Ò Ùº ÖÙ ØÖÓÒÝ Ò Ó ÞÓÒÝ Þ Ö Ò ¹ ÖÙ Ý Γ 2 (N g ) ÛÝ ØÔÙ Ý Û ÌÛ Ö Þ Ò Ù ÞÖ Ù ÓÛ ÒÝ Û ½ Ø ÒÓÛ Ò Þ Ò Û ÛÝ ÓÛÝ ÓÛÓ Ù ÛÒ Ó ØÛ Ö Þ Ò ÔÖ Ý ¾ Û Ø Ö À ¹ ÖÓ ÃÓ Ý ÞÒ Ð õð Ô Û Ò Ò Ó ÞÓÒÝ Þ Ö Ò ÖÙ Ý I(N g )º ÏÝÒ Ø Ò Ø Ò ÐÓ ÞÒÝ Ó Ð ÝÞÒ Ó ØÛ Ö Þ Ò ÈÓÛ ÐÐ Ó Ò Ö ØÓÖ ÖÙÔÝ ÌÓ¹ Ö ÐÐ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ º Ï ÖØÓ Ó Ó Ø ÔÓÖÝ Ò Ø ÞÒ ÒÝ Ò Ó ÞÓÒÝ Þ Ö Ò ÖÙ Ý I(N g )º ½

14 ½ ÌÛ Ö Þ Ò ÞÓ Ø Ý Ø ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Û ÓÛÓ Þ ÛÒ Ó ØÛ Ö Þ Ò ÔÖ Ý ¼ ÔÓ Ó Û ÖÙÒ ÓÒ ÞÒÝ ÛÝ Ø ÖÞ Ý Ò ØÓ Ý ÓÑ ÓÑÓÖ¹ ÞÑ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ Þ ÒÙÖÞÓÒ Û Ô Û Ò Ø Ò Ö ÓÛÝ ÔÓ Û ¹ÛÝÑ ÖÓÛ ÖÞ S 4 ÖÓÞ Þ ÖÞ Ó ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑÙ S 4 º º ÈÓÞÓ Ø Ó Ò Ò Ù ÓÛÓ¹ ÛÞ º½º ÈÖ ÔÖÞ ÙÞÝ Ò Ñ Ó ØÓÖ Ø٠Ƚ º ËÞ Ô ØÓÛ Å ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ó ÒÓÒ¹ÓÖ ÒØ Ð ÙÖ Ò ÑÓ¹ ÙÐ Ô Ó ÃÐ Ò ÙÖ ÓÑÔØ Ê Ò Ù Ð³ Ñ Ë Ò È Ö Ë Öº Á ¾¼¼¾µ ½¼ ½¼ º Ⱦ º ËÞ Ô ØÓÛ ÁÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ò Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ó ÒÓÒ¹ÓÖ ÒØ Ð ÙÖ¹ ÓÐÐ Ø Ò Å Ø Ñ Ø ¾¼¼ µ ¾ ¾ ¼º È º ËÞ Ô ØÓÛ Ì Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ó ÒÓÒÓÖ ÒØ Ð ÙÖ Ò Ö Ø Ý Ø Ö Ð Ñ ÒØ Ò Ý ÓÙÖ ÒÚÓÐÙØ ÓÒ ÓÑ ØÖ Ø ½½ ¾¼¼ µ ½ º È º ËÞ Ô ØÓÛ ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ó ÒÓÒ¹ ÓÖ ÒØ Ð ÙÖ ÖÓÑ Ø Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÑÔÐ Ü Ó ÙÖÚ Ç ÂÓÙÖÒ Ð Ó Å Ø Ñ Ø ¾¼¼ µ ¾ ¾ º º¾º ÈÖ ÔÓ ÙÞÝ Ò Ù Ó ØÓÖ ØÙ È º ËÞ Ô ØÓÛ ÇÒ Ø ÓÑÑÙØ ØÓÖ Ð Ò Ø Ó Ò ØÛ Ø ÓÑÔØ Ê Ò Ù Å Ø Ñ ØÙÕÙ ¾¼½¼µ ¾ ¾ º È º Ù Ð Ò º º ÖÖ Åº º º ÓÒ Ö º ËÞ Ô ØÓÛ Ò Ø ÖÓÙÔ Ø ÓÒ ÓÒ ÓÖ Ö ÙÖ Ó Ñ ÐÐ ÒÙ ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÈÙÖ Ò ÔÔÐ Ð Ö ¾½ ¾¼½¼µ ¾½ ¾½ º È º ËÞ Ô ØÓÛ Ñ Ò Ø Ö ÖÓÙÔ Ò Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ ÈÙ¹ Ð ÓÒ Å Ø Ñ Ø ÕÙ ¾¼½¼µ º È º ËÞ Ô ØÓÛ ÓÙÒØ Ò Ô Ù Ó¹ ÒÓ ÓÚ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ó Ø Ø Ö ¹ÔÙÒØÙÖ ÔÖÓ Ø Ú ÔÐ Ò ÌÙÖ ÂÓÙÖÒ Ð Ó Å Ø ¹ Ñ Ø ¾¼½ µ ¾ º È º ËÞ Ô ØÓÛ ÇÒ Ò Ø Ò Ü Ù ÖÓÙÔ Ó Ø Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ó ÒÓÒÓÖ ÒØ Ð ÙÖ Ð Ò Å Ø Ñ Ø ¾¼½ µ ¼º Ƚ¼ º Ù Ð Ò Âº º Ø ÝÓ º Å ÖØ Ò Þ º ËÞ Ô ØÓÛ ÇÒ Ø ÓÒÒ Ø ¹ Ò Ó Ø Ö Ò ÐÓ Ó ÒÓÒ¹ÓÖ ÒØ Ð ÙÒ ÓÖ Ö ÃÐ Ò ÙÖ Ó ÐÓÛ ÒÙ Ð ÓÛ Å Ø Ñ Ø Ð ÂÓÙÖÒ Ð ¾¼½ µ ¾½½ ¾ ¼º Ƚ½ º ÖÓÑ Þ º ËÞ Ô ØÓÛ ÇÒ ØÓÔÓÐÓ Ð ØÝÔ Ó Ô Ö Ó Ð ¹ ÓÑ Ó¹ ÑÓÖÔ Ñ Ó ÐÓ ÒÓÒ¹ÓÖ ÒØ Ð ÙÖ Ê Ú Ø Ð Ê Ð Ñ Ò Ü Ø Ý Æ ØÙÖ Ð Ë Ö Å Ø Ñ Ø ÓÒÐ Ò Ö Ø ¾¼½ ½ ÔÔº ÇÁ ½¼º½¼¼» ½ ¹¼½ ¹¼¾ ¹ Ƚ¾ º ÖÓÑ Þ º ËÞ Ô ØÓÛ º Ó ÇÒ Ð Ø ÓÒ Ó ÝÐ ÓÖ Òع Ø ÓÒ¹Ö Ú Ö Ò Ø ÓÒ Ó ÓÖ Ö ÓÒ ÐÓ ÙÖ ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÈÙÖ Ò ÔÔÐ Ð Ö ¾¾¼ ¾¼½ µ ¹ ½º

15 Ƚ º Ø Ð Ò º ËÞ Ô ØÓÛ ÙØÓÑÓÖÔ Ñ Ó Ø Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ó ÒÓÒÓÖ ÒØ Ð ÙÖ ÔÖ ÔÖ ÒØ ¾¼½ Ö Ú ½ ¼ º¾ º Ó ÓÒ Ó ÔÙ Ð º Ï ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò Ù È½ º ÖÓÑ Þ Ëº À ÖÓ º ËÞ Ô ØÓÛ ÇÒ ØÓÔÓÐÓ Ð Ð Ø ÓÒ Ó Ò Ø ÝÐ Ø ÓÒ ÓÒ ÓÖ Ö ÙÖ ÔÖ ÔÖ ÒØ ¾¼½ º ÈÓÒ ÓÔ Þ Ò Û Ò Þ ÛÝÒ ÔÓÛÝ ÞÝ ÔÖ Þ ÞÝÒ Ó ØÝ ÔÓ¹ Û ÓÒÝ Ð ÖÙÔÓÑ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ º Æ ØÔÒ ÓÑ Û ÔÖ ÓØÝÞ ÒÒ Ø Ñ ØÝ Þ Û Û Ô ÔÖ Ý Þ ÒÒÝÑ Ñ Ø Ñ ØÝ Ñ Ù Ó Ñ Þ ØÓ¹ ÓÛ ÑÓ Ó Û Þ Ò Û Ò Ù ÖÙÔÝ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ º Ë ØÓ ÞØ ÖÝ ÔÖ ÓØÝÞ ØÓÔÓÐÓ ÞÒ Ð Ý Þ ÖÙÔ Ó ÞÓÒÝ Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò È È½½ Ƚ¾ Ƚ ÓÖ Þ Ò ÔÖ Ó Ô ÒÓ Ñ Ó Ó Ð Û Ó ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÑÓ ÙÐ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒÝ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÃÐ Ò È½¼ º º º ÈÓ ÖÙÔÝ Ó ÞÓÒ Ó Ò Ù ÖÙÔÝ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ º È Æ ÑÓÝ ØÛ Ö Þ Ò ÖÓ Ñ Ò ¾ ÖÙÔ M(S g,n ) Ø Ö ÞÝ Ù ÐÒ Ó ÞÓÒ ÔÓÒ Û M(N g,n ) Ø ÞÓÑÓÖ ÞÒ Þ ÔÓ ÖÙÔ M(S g 1,2n ) Û Ø Ø Ö ¹ ÞÝ Ù ÐÒ Ó ÞÓÒ º ÌÓ ÓÞÒ Þ ÖÙÔÝ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ ÔÓ Ö ÞÓ Ù Ó ÔÓ ÖÙÔ Ó ÞÓÒ Ó Ò Ùº Ï ÖØÓ Ó Ø ÔÓ ÖÙÔ Ó ¹ ÔÓÛ Ô ÛÒ Ò ÖÝ Ó ÞÓÒ Ó ØÓÔÒ Ó ÔÓÛ Ò ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÑÓ ÙÐ º ÖÙ ØÖÓÒÝ º º ÖÖ Îº Ö Ø Äº È Ö ÛÝ Þ Ð Ð g 3 Ñ Ò Ñ ÐÒÝ Ò Û Û ÔÓ ÖÙÔÝ M(S g,n ) ÛÝÒÓ 2 g 1 (2 g 1)º Ó Ò Û Ù ÓÛÓ Ò ÓÒÓ M(S g,n ) Þ Û Ö ÝÒ Þ Ó ÒÓ Ó ÔÖÞ Ò ÔÓ ¹ ÖÙÔ Ò Ù m g = 2 g 1 (2 g 1) ÝÒ Þ Ó ÒÓ Ó ÔÖÞ Ò ÔÓ ÖÙÔ Ò Ù m + g = 2g 1 (2 g + 1) Û ÞÝ Ø ÒÒ Û Û ÔÓ ÖÙÔÝ M(S g,n ) Ñ Ò Û ÞÝ Ó m + g Ó Ò ÑÒ 5m g Ð g 4µº Ð g 2 Ñ Ò Ñ ÐÒÝ Ò Û Û ÔÓ ÖÙÔÝ M(N g,n ) ÛÝÒÓ 2 Ð g 7 ØÓ ÝÒ ÔÓ ÖÙÔ M(N g,n ) Ò Ù 2 Ø ÔÓ ÖÙÔ Ò ÖÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û ÞÝ Ø ØÛ ØÝ Ò ÓÞÒ Þ Ò ÔÖÞ Þ T (N g,n )º ÑÝ g 7 n {0,1} ÔÖÞÝ Ñ ÑÝ h = (g 1)/2 º Æ G ÓÞÒ Þ ÖÙÔ M(N g,n ) ÐÙ T(N g,n )º Ï È Ì ÓÖ Ñ ½º½ ÛÝ Þ Ñ G Þ Û Ö ÝÒ Þ Ó ÒÓ Ó ÔÖÞ Ò ÔÓ ÖÙÔ Ò Ù m h = 2h 1 (2 h 1) ÝÒ Þ Ó ÒÓ Ó ÔÖÞ Ò ÔÓ ¹ ÖÙÔ Ò Ù m + h = 2h 1 (2 h + 1) Û ÞÝ Ø ÒÒ Û Û ÔÓ ÖÙÔÝ G Ñ Ò Û ÞÝ Ó m + h Ó Ò ÑÒ 5m h Ð h 4µº Ï ÞÞ ÐÒÓ Ñ Ò Ñ ÐÒÝ Ò Û Û ÔÓ ÖÙÔÝ T (N g,n ) ÛÝÒÓ m h º Ð 2 g 6 Ñ Ò Ñ ÐÒÝ Ò Û Û ÔÓ ÖÙÔÝ T(N g,n ) ÛÝÒÓ 2º Ð g {5,6} ÛÝ Þ Ñ È Ì ÓÖ Ñ º½ T (N g,n ) Þ Û Ö Ò ÔÓ ÖÙÔ Ò Ù 2 Û ÔÓ ÖÙÔÝ Ò Ù m 2 = 6 Ò ÔÓ ÖÙÔ Ò Ù m+ 2 = 10 Þ Ó ÒÓ Ó ÔÖÞ Ò Û ÞÝ Ø ÒÒ Û Û ÔÓ ÖÙÔÝ T(N g,n ) Ñ Ò Û ÞÝ Ò 10º ÈÓÒ Û Ð Ò Þ ÖÙÔÝ T (N 4,0 ) Ø ÞÓÑÓÖ ÞÒ Þ Z Z 2 Ð Þ ÓÛ Ø Ó ØÒ Ø Ò Ñ Ô ÛÒ ÔÓ ÖÙÔÝ T(N 4,n )º ½

16 ½ º º ÒÙÖÞ Ò ÖÙÔÝ Û Ö ÓÞÝ Û ÖÙÔÝ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ º È Ý Û ÛÙ ØÖÓÒÒ ÖÞÝÛ Þ Ñ Ò Ø ÞÛÝÞ Ò α β Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò F Ò ÔÖÞ Ò ØÓ Ó ÔÓÛ Ñ ØÛ ØÝ Ò ÓÑÙØÙ T α T β = T β T α Ò ØÓ¹ Ñ Ø Ý α β ÔÖÞ Ò Û ÒÝÑ ÔÙÒ ØÓ ØÛ ØÝ Ô Ò Û M(F) Ö Ð Û Ö ÓÞ T α T β T α = T β T α T β Ó Ð ÖÙÒ ØÛ Ø Û Þ Þ Û ÔÙÒ ÔÖÞ ¹ µº Ì Û ÑÙ Ù ÓÛ α 1,α 2,...,α n 1 ÛÙ ØÖÓÒÒÝ ÖÞÝÛÝ Þ Ñ Ò ØÝ ÞÛÝÞ ÒÝ Ò F Þ α i α j = Ð i j > 1 ÓÖ Þ α i ÔÖÞ Ò α i+1 Û ÒÝÑ ÔÙÒ Ð i = 1,2,...,n 2 Ó ÔÓÛ ÓÑÓÑÓÖ ÞÑ Þ ÖÙÔÝ B n Û Ö ÓÞÝ Ó n Ô Ñ Ó ÖÙÔÝ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ M(F)º Ì ÓÑÓÑÓÖ ÞÑ Ø Ò Ó Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛݺ ÈÖ È Ý ÑÓØÝÛÓÛ Ò ÔÝØ Ò Ñ º Ï ÒÖÝ Ó ØÒ Ò Ò ÓÑ ØÖÝÞÒÝ Þ ÒÙÖÞ B n M(F) ÔÖÞÝ Ø ÖÝ Ó Ö ÞÝ Ø Ò Ö ÓÛÝ Ò Ö ØÓÖ Û B n Ò ØÛ Ø Ñ Ò º Ï ÔÖ Ý È Ù ÓÛÓ Ò ¹ Ñ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ø Ò Ö ÓÛÝ Ò Ö ØÓÖ Û B g Ò ÖÓ Ô ØÖ Ò ÔÓ Ø ÓÒ u i ÊÝ º µ i = 1,...,g 1 Ò Ù Þ ÒÙÖÞ Ò ϕ: B g M(N g,1 ). Ï Ø Ñ ÔÖ Ý ÙÓ ÐÒ Ñ ØÛ Ö Þ Ò ÖÑ Ò¹ ÐÐ Ò ÛÓÖØ Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò Þ ÖÞ Ñ ÓÛÓ Þ M(N g,n ) Ø ÞÓÑÓÖ ÞÒ Þ ÔÓ ÖÙÔ M(S g 1,2n ) Ó ÔÓÞÛÓÐ Ó Þ Ò ÓÛ Þ ÒÙÖÞ Ò ψ: B g M(S g 1,2 ) ÔÖÞ Þ ÔÓ Ò Ò u i Þ N g,1 Ó ÔÓ Û Ò Ó Ò ÖÝ S g 1,2 º Ç Þ ÒÙÖÞ Ò ϕ ψ Ñ Ø Û ÒÓ Ó Ö ÞÝ Ø Ò Ö ÓÛÝ Ò Ö ØÓÖ Û B g Ò ØÛ Ø Ñ Ò º Ñ Ö Ì ÐÐÑ ÒÒ ½½ ÛÝ Þ Ð Þ ÒÙÖÞ Ò ψ Ò Ù Ù Ó ¹ ÛÞÓÖÓÛ Ò Þ ÖÓÛ ÔÓÑ ÞÝ ÖÙÔ Ñ ÓÑÓÐÓ Ó ØÒ Ó ØÓÔÒ Ó Ð ÖÓ Þ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ø Ó ÔÓÛ Ò Ó Ù Ý Û ØÓ ÙÒ Ù Ó ØÓÔÒ ÓÑÓÐÓ º Ì Ñ Û ÒÓ Ñ Ø Ò Ö ÓÛ Þ ÒÙÖÞ Ò ÓÑ ØÖÝÞÒ ÓÖ Þ ÒÒ Ò ÓÑ ØÖÝÞÒ Þ ÒÙÖÞ Ò ÖÙÔÝ Û Ö ÓÞÝ Û ÖÙÔ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ ÓÔ Ò Û ½½ Ð Ò Þ ÒÙÖÞ Ò ϕº Ð g 7 0 < k g/3 Ò Ù ÓÛ ÒÝ ÓÑÓÑÓÖ ÞÑ ϕ : H k (B g ;Z 2 ) H k (M(N g,1 );Z 2 ) Ø Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛÝ ½½ º º º ÌÛ Ø Ò Ó ÓÑÙØ ØÓÖº È ÈÓ ÖÙÔ ÖÙÔÝ G Ò ÖÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û ÞÝ Ø ÓÑÙØ ØÓÖÝ [a,b] = aba 1 b 1 a,b G ÓÞÒ Þ ÔÖÞ Þ [G,G]º Ð x [G,G] Ò cl G (x) ÓÞÒ Þ Ò ÑÒ Þ Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒ k Ø x Ø ÐÓÞÝÒ Ñk ÓÑÙØ ØÓÖ Û scl G (x) Ò ÓÞÒ Þ Ö Ò cl(x n ) scl G (x) = lim n n. Ä Þ Ý cl g (x) scl G (x) Ò ÞÝÛ Ó ÔÓÛ Ò Ó Ù Ó ÓÑÙØ ØÓÖÓÛ Óѹ ÑÙØ ØÓÖ Ð Ò Ø µ Ø ÐÒ Ù Ó ÓÑÙØ ØÓÖÓÛ Ø Ð ÓÑÑÙØ ØÓÖ Ð Ò Ø µ Ð Ñ ÒØÙ x Û ÖÙÔ Gº ÑÝ S Ø Þ Ñ Ò Ø ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ ÖÓ Þ Ù g 3º ÖÙÔ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ M(S) Ø Ó ÓÒ ØÓ ÞÒ ÞÝ [M(S),M(S)] = M(S) º Æ α Þ ÖÞÝÛ Þ Ñ Ò Ø ÞÛÝÞ Ò Ò S Ò ÐÒ Ó ÔÙÒ ØÙ T α

17 Ò ÓÞÒ Þ ØÛ Ø Ò ÛÞ Ð Ñαº ÏØ Ý cl M(S) (T α ) = 2 scl M(S) (T α ) 1 ¾¼ º Ï ÞÞ ÐÒÓ cl 18g 6 M(S)(Tα n ) n Z Ø Ò Ó Ö Ò ÞÓÒݺ ÊÓÞ Þ ¹ ÖÞÓÒ ÖÙÔ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ M (S) Ò Ù Ó ÖÙÔ Ð ÞÓØÓÔ Û ÞÝ Ø¹ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑ Û S Ö ÛÒ ØÝ Ó ÛÖ Ý ÓÖ ÒØ º Ï ÔÖ Ý È Ù ÓÛÓ Ò Ñ Tα n Ø Ö ÛÒ ÔÓ ÝÒÞ ÑÙ ÓÑÙØ ØÓÖÓÛ Ð Ñ ÒØ Û M (S) Ð ÓÛÓÐÒ Ó n Zº Ø Ñ cl M (S)(Tα n) = 1 Ø scl M (S)(T α ) = 0º ÑÝ N Ø Þ Ñ Ò Ø ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ ÖÓ Þ Ù g 7º ÏØ Ý [M(N),M(N)] = T (N) = [T (N),T(N)] Þ T(N) Ø ÔÓ ÖÙÔ M(N) Ò Ù 2 Ò ÖÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û ÞÝ Ø ØÛ ØÝ Ò ¾ º Ï ÔÖ Ý È Ù ÓÛÓ Ò Ñ cl M(N) (Tα n ) = 1 Ð ÓÛÓÐÒ ÖÞÝÛ Þ Ñ Ò Ø ÞÛÝÞ Ò ÛÙ ØÖÓÒÒ α Ò N ÓÛÓÐÒ Ó n Z ÔÖÞÝ Ó Ø ÓÛÝ Þ Ó Ò Ó α N Ø cl T (N) (Tα) n = 1º º º ÙÒ ÛÞÖÓ ØÙ ØÓ Ð Ñ ÒØ Û Ô Ù Ó¹ ÒÓ ÓÚ Û ÖÙÔ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ Ô ÞÞÝÞÒÝ ÖÞÙØÓÛ Þ ØÖÞ Ñ Ò Ù Ñ º È ÖÙÔ G Þ Ù Ø ÐÓÒÝÑ Þ ÓÖ Ñ Ò ÖÙ ÝÑ A ÑÓ Ý ÛÝÔÓ ÓÒ Û Ñ ØÖÝ ÞÛ Ò Ñ ØÖÝ Ûº Ï Ø Ñ ØÖÝ Ù Ó Ð Ñ ÒØÙ x Ø Ñ Ò Ñ ÐÒ Ð Þ ÞÝÒÒ Û ÔÓØÖÞ Ò Ó Þ Ô Ò x Û ÔÓ Ø ÐÓÞÝÒÙ Ò Ö ØÓÖ Û Þ Þ ÓÖÙ Aº Ð ÓÛÓÐÒ Ó ÔÓ Þ ÓÖÙ X ÖÙÔÝ G Ò Ù Þ Ö ÔÓØ ÓÛÝ Ø Ö Ó Û Ô ÞÝÒÒ a n Ö ÛÒ Ð Þ ÓÑ Ð Ñ ÒØ Û Þ ÓÖÙ X Ó Ù Ó nº ËÞ Ö Ø Ò Ò ÞÝÛ Þ Ö Ñ ÛÞÖÓ ØÙ ÙÒ Ø Ö ÓÒ Ò Ù Ò ÞÝÛ ÙÒ ÛÞÖÓ ØÙº ØÓ Þ ÓÖÙ X Ò ÞÝÛ ÑÝ Ö Ò lim n B(n) X, B(n) Þ B(n) ÓÞÒ Þ Þ Ö Ð Ñ ÒØ Û G Ù Ó Ò Û Þ Ò nº Æ N Þ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ Þ Ó ÞÓÒÝÑ Þ ÓÖ Ñ P ÛÝÖ ¹ Ò ÓÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ò Ù µº ÞÝ Ø ÖÙÔ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ PM(N,P) Ò Ù ÑÝ Ó ÖÙÔ Ð ÞÓØÓÔ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑ Û N Þ ÓÛÙ Ý Ý ÔÙÒ Ø Þ P ÓÖ Þ Þ ÓÛÙ Ý ÐÓ ÐÒ ÓÖ ÒØ Û ÝÑ ÔÙÒ ÞP º Ï ÔÖ Ý È ÖÓÞÛ Ý Ñ ÖÙÔ PM(N,P) Þ (N,P) Ø Ô ÞÞÝÞÒ ÖÞÙØÓÛ Þ ØÖÞ Ñ ÛÝÖ Ò ÓÒÝÑ ÔÙÒ Ø Ñ ÛÝÔÓ ÓÒ Û Ñ ØÖÝ Û Ò Ù ÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ô Û Ò Ù Ø ÐÓÒÝ Þ Ö Ò Ö٠ݺ Ç Ð ÞÝ Ñ ÙÒ ÛÞÖÓ ØÙ Ð Þ ÓÖ Û Ð Ñ ÒØ Û Ö Ù ÓÛ ÐÒÝ Ô Ù Ó¹ ÒÓ ÓÚ º Ç Þ Ó ÙÒ Ø ÛÝÑ ÖÒ º Í ÓÛÓ Ò Ñ Ø Þ Ö Ð Ñ ÒØ Û Ô Ù Ó¹ ÒÓ ÓÚ Ñ ØÓ Ö ÛÒ 1º Ò ÐÓ ÞÒ ÛÝÒ ÙÞÝ ÒÓ Û ¾ Ð ÖÝ Þ ÞØ Ö Ñ Ò Ù Ñ Û ½ Ð ØÓÖÙ º ÇÔ Ò Ö ÞÙÐØ ØÝ Ø ÒÓÛ Þ ÓÛ Ó ÔÓÛ õ Ò ÔÝØ Ò º½ ÔÓØÛ Ö Þ Ò ÔÓØ ÞÝ º½ Þ ¾¾ Û ÞÞ ÐÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ùº º º ÁÒÒ ÔÖ ÔÓ Û ÓÒ ÖÙÔ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ¹ ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ º Ƚ¹È Ƚ ÈÖ È½ Þ Û Ö ÛÝÒ ÙÞÝ Ò Û ÑÓ ÔÖ Ý Ñ Ø Ö ÔÖ È¾ È È Ø ÒÓÛ ØÖÞÓÒ ÑÓ Ó Ó ØÓÖ ØÙ Ó È ÞÓ Ø ÓÔÙ Ð ÓÛ Ò Û Ð Ø ÔÓ ÑÓ Ñ Ó ØÓÖ º ½

18 ½ Æ N g ÓÞÒ Þ Þ Ñ Ò Ø ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ ÖÓ Þ Ù g 3º Ï È½ Ù ÓÛÓ Ò Ñ ÖÙÔ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ M(N g ) Ø Ò ÖÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ò¹ ÛÓÐÙ º Â Ó Û Ò Þ ØÓ ÓÛ Ò Ø Ó ØÙ ÛÝ Þ Ñ ÒÓ Ô ÒÓ ÔÖÞ ¹ ØÖÞ Ò ÑÓ ÙÐ M(N g ) ÔÓÛ ÖÞ Ò ÃÐ Ò ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÒÝ Þ N g Ò Ð Ù Ó¹ Û ÒÓ Ô ÒÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÑÓ ÙÐ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ê Ñ ÒÒ ÔÓ ÒÝ ÔÖÞ Þ Å ¹ Ð Ð Ò º Ï È¾ Ù ÓÛÓ Ò Ñ ÖÙÔ M(N g,p) Þ P Ø Ó ÞÓ¹ ÒÝÑ Þ ÓÖ Ñ ÛÝÖ Ò ÓÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ò N g Ö ÛÒ Ø Ò ÖÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ò¹ ÛÓÐÙ º Ï È ÛÝ Þ Ñ M(N g ) Ø Ò ÖÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ØÖÞÝ Ð Ñ ÒØÝ Ø Ø Ò ÖÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÞØ ÖÝ ÒÛÓÐÙ º ÈÖ È Ý Ò Ô ÖÓÛ Ò Ö¹ ØÝ Ù Ñ ½ ¼ Þ Û Ö ÝÑ ÔÓ Ó Ò ÛÝÒ Ð ÖÙÔÝ Ð Ó ÛÞÓ¹ ÖÓÛ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ º Ï È ÔÓ Ñ Ð ÓÖÝØÑ Ö ÙÖ ÒÝ Ò Ó Ûݹ ÞÒ Þ Ò ÔÖ Þ ÒØ ÖÙÔÝ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ M(N g,n ) ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Ý Þ ¹ Ò Ò ÓÑÔÐ ÖÞÝÛÝ º Ð ÓÖÝØÑ Ø Ò ÞÓ Ø Þ ØÓ ÓÛ ÒÝ Û ÔÖ À½ À º Ï È ÛÝÞÒ ÞÝ Ñ Ø Ó ÞÓÒ ÔÖ Þ ÒØ ÖÙÔ M(N g,n ) Ð (g,n) {(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(3,1)}º Ð ØÝ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÑÔÐ ÖÞÝÛÝ Ò Ø ÒÓ Ô Òݺ Ï ÔÖ Ý È½ ÓØ Ò ÓÔÙ Ð ÓÛ Ò Ù ÓÛÓ Ò Ð ÑÝ Û Ô ÐÒ Þ º Ø ¹ Ð Ò Ð N Ø Þ Ñ Ò Ø ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ ÖÓ Þ Ù g 5 Þ ÓÛÓй ÒÝÑ Ó ÞÓÒÝÑ Ý ÑÓ ÔÙ ØÝѵ Þ ÓÖ Ñ ÛÝÖ Ò ÓÒÝ ÔÙÒ Ø Û P ØÓ Ý ÙØÓÑÓÖ ÞÑ ÖÙÔÝ M(N,P) Ø Û ÛÒØÖÞÒݺ Ò ÐÓ ÞÒ ØÛ Ö Þ Ò Ð ÖÙÔÝ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ Ù ÓÛÓ Ò ÁÚ ÒÓÚ º ÈÓ Þ ÓÒ Ð S Ø ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ ÖÓ Þ Ù g 3 Þ Þ ÓÖ Ñ ÛÝÖ Ò ÓÒÝ ÔÙÒ Ø Û P ØÓ Ý ÙØÓÑÓÖ ÞÑ M(S,P) Ø Ò Ù ÓÛ ÒÝ ÔÖÞ Þ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑ S Ò ÓÒ ÞÒ Þ ÓÛÙ Ý ÓÖ ÒØ º º º ÌÓÔÓÐÓ ÞÒ Ð Ý Þ ÖÙÔ Ó ÞÓÒÝ Ò ÞÛ ÖØÝ ÔÓ¹ Û ÖÞ Ò º È È½½ Ƚ¾ Ƚ º ÈÖÞ Þ Þ Ò ÖÙÔÝGÒ ÔÓÛ ÖÞ Ò F ÖÓÞÙÑ ÑÝ Þ ÒÙÖÞ Ò GÛHomeo(F) Û Ø Þ Ò Ò ÞÝÛ ÑÝ ØÓÔÓÐÓ ÞÒ Ö ÛÒÓÛ ÒÝÑ Ð Ó Ö ÞÝ ÔÖÞ ÓÒ Û Homeo(F)º ÃÐ Ý Þ ÖÙÔ Ó ÞÓÒÝ Ò ÞÛ ÖØÝ ÔÓÛ ÖÞ Ò Þ Ó ÒÓ Ó ØÓÔÓÐÓ ÞÒ Ö ÛÒÓÛ ÒÓ Ø Ð ÝÞÒÝÑ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ø Ö Ó ØÓÖ Þ Û Æ Ð Ò Ð Ø Ö ØÙÖ ÔÓ Û ÓÒ Ø Ø ¹ Ñ ØÝ Ø Ö ÞÓ Ó Þ ÖÒ ÞÞ ÐÒ Û ÔÖÞÝÔ Ù ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÒÝ º Ï ÔÖ È È½½ Ƚ¾ Ƚ ØÓ Ù ÑÝ Ñ ØÓ Ý ÓÑ Ò ØÓÖÝÞÒ Ø ÓÖ Ò ¹ Ù Ð ÓÛÝ ÖÙÔ ÖÝ Ø ÐÓ Ö ÞÒÝ Û Ö Æ ÞÝÐ Ý Ö ØÒÝ Ó¹ ÞÛ ÖØÝ ÔÓ ÖÙÔ ÖÙÔÝ ÞÓÑ ØÖ Ô ÞÞÝÞÒÝ Ô Ö ÓÐ ÞÒ H Þ ÔÓÞ Ø ÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Å Ø º Þ Ò Ó ÞÓÒ ÖÙÔÝ G Ò ÞÛ ÖØ ÔÓÛ ÖÞ Ò F Ó Ù ÑÒ Ö Ø ÖÝ ØÝ ÙÐ Ö ÑÓ Ý ÞÖ Ð ÞÓÛ Ò Ó Þ Ò Ò Ð ØÝÞÒ ÐÙ Ò Ð ØÝÞÒ ÛÞ Ð Ñ Ô ÛÒ ØÖÙ ØÙÖÝ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ê Ñ ÒÒ ÐÙ ÃÐ Ò Ò F º ÇÞÒ Þ ØÓ Ø Þ Ò ÑÓ Ý Þ Ò ÔÖÞ Þ Ô ÑÓÖ ÞÑ θ: Λ G Þ Λ Ø Ô ÛÒ ÖÙÔ Æ Ø Ö Ó ÖÓ Ö ÛÒ Ø ÖÙÔ Æ ÞØÓÖ Ý Ò Ý F Ø ÔÓÛ ÖÞ Ò Þ Ñ Ò Ø ÐÙ Ò Þ Û Ö Þ ÓÛÙ ¹ Ý ÓÖ ÒØ ÞÓÑ ØÖ Ó ÞÓÒ Ó ÖÞ Ù Ý F Ø ÔÓÛ ÖÞ Ò Þ ÖÞ Ñº ÊÞ Þ Û ØÝÑ ØÓÔÓÐÓ Þ Ò G Ø Þ Ø ÖÑ ÒÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Ö ÞÒ

19 Û ÒÓ θ Λº Ì Û Û Ò Ù Þ ÖÙÔ Ó ÞÓÒÝ ÑÓ Ò Ó Ö Ò ÞÝ Ó Ð ÖÝ ÓÑ Ò ØÓÖÝ Þ ÔÓÑ Ò Ó Ô Ø Ò Ð ØÝÞÒÝ º Ï ØÝÑ ÞÝ Ù Û Þ Ò ÖÙÔÝ G Ò F ØÓÔÓÐÓ ÞÒ Ö ÛÒÓÛ Ò ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý Ó ÔÓÛ Ñ Ô ÑÓÖ ÞÑÝ θ i : Λ i G i = 1,2 ÛÔ Ù Û Ö Ñ ÔÖÞ Ñ ÒÒÝ ½ ¾µ θ Λ 1 1 α G β θ Λ 2 2 G Þ α β Ô ÛÒÝÑ ÞÓÑÓÖ ÞÑ Ñ º Ý ÖÓÞ ØÖÞÝ Ò ÞÝ Û Ò ¹ Ô ÑÓÖ ÞÑÝ Λ G Ó ÔÓÛ ØÓÔÓÐÓ ÞÒ Ö ÛÒÓÛ ÒÝÑ Þ Ò ÓÑ ÔÓØÖÞ Ù ÑÝ Þ Ø Ñ ÞÒ ÖÙÔ ÙØÓÑÓÖ ÞÑ Û ÖÙÔÝ Æ Λº Ï ØÝÑ Ñ Ù ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÑÝ Ð ÞÛ Þ ÖÙÔÝ Out(Λ) ÙØÓÑÓÖ ÞÑ Û Þ ÛÒØÖÞÒÝ ÖÙÔÝ Λ Ó ÔÓÛ Ò Ó Þ Ò ÓÛ Ò ÖÙÔÝ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ M(H/Λ) ÓÖ ÓÐ Ù H/Λº Ò Ò Ö ØÓÖÝ ÖÙÔÝ M(H/Λ) ÑÓ ÑÝ Û ØÛÝ ÔÓ ÓØÖÞÝÑ Ò Ö ØÓÖÝ Out(Λ) Ý ÖÞ ÖÙÔÝ G Ø Ó ÔÓÛ Ò Ó Ù Ý Û ØÓ ÙÒ Ù Ó ÖÓ Þ Ù ÔÓ¹ Û ÖÞ Ò ØÓ ÖÙÔÝ M(H/Λ) Out(Λ) Ó ÞÓÒ Ó ÙÑÓ Ð Û ØÝÛÒ ¹ Ò ØÓÔÓÐÓ ÞÒ Ö ÛÒÓÛ ÒÓ Þ ÓÔ ÒÝ ÔÖÞ Þ Ô ÑÓÖ ÞÑݺ ÈÖ È½½ Ƚ¾ Ƚ Ø ÒÓÛ Ý Ð ÔÓ Û ÓÒÝ Þ Ò ÓÑ Ó ÞÓÒÝ ÖÙÔ Ý Ð ÞÒÝ Ù Ó ÖÞ Ù Ò ÞÛ ÖØÝ ÔÓÛ ÖÞ Ò º ÈÓ ÓÒ Á Ûº Ï ¹ Ñ Ò Ù ÓÛÓ Ò ÖÞ Þ ÓÛÙ Ó ÓÖ ÒØ ÙØÓÑÓÖ ÞÑÙ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ê Ñ ÒÒ ÖÓ Þ Ù g 2 ÛÝÒÓ Ó Ò ÛÝ 4g + 2 À ÖÚ Ý ÛÝ Þ Ó Ö Ò Þ Ò ØÓ Ø Ó ÐÒ Ð Û ÞÝ Ø g 2º Ò ÐÓ ÞÒ ÛÝÒ ÓØݹ Þ Ñ ÝÑ ÐÒ Ó ÖÞ Ù Ô Ö Ó ÝÞÒ Ó ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑÙ Ó ÛÖ Ó ÓÖ ÒØ ¹ ÓÖ Þ Ô Ö Ó ÝÞÒ Ó ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑÙ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ ÞÓ Ø Ý Ù Ó¹ ÛÓ Ò ÓÒ Û ÔÖ ½ ¾½ º Æ ØÙÖ ÐÒÝÑ ÔÝØ Ò Ñ Ø Ó Ó ØÓÔÒ ÖÞ Ô Ö Ó ÝÞÒ Ó ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑÙ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ø ÖÑ ÒÙ Ó Ð ÔÖÞ Ó¹ ÒÓ º Ï ÔÖÞÝÔ Ù Þ ÓÛÙ Ý ÓÖ ÒØ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑ Û S g Û ÓÑÓ ÖÞ Ø ÖÑ ÒÙ Ð ÔÖÞ ÓÒÓ Ó Ð Ø Ò ÖÞ ÖÓ Þ g Ó ÔÓÛ Ò Ó Ù º Ï ÔÖ È½½ Ƚ¾ ÖÓÞÛ ÝÐ ÑÝ Ò ÐÓ ÞÒÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÔÓÛ ¹ Ò Ó Ð ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑ Û N g g 3 Ó ÛÖ Ý ÓÖ ÒØ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑ Û S g g 2º Ï ÔÖ Ý È½½ Ó ÔÓÛ Ò Ó È½¾ µ Ó Ð ÞÝÐ ÑÝ Ð Þ Ý ØÓÔÓÐÓ ÞÒ Ò Ö ÛÒÓÛ ÒÝ Þ ÖÙÔÝ Ý Ð ÞÒ Z n Ò N g Ó Ôº Ò S g Þ Û Ö Ý ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑÝ Ó ÛÖ ÓÖ ÒØ µ Û Þ Ð ÒÓ Ó ØÝÔÙ ÓÖ ÓÐ Ù N g /Z n Ð n > g 2 Ó Ôº S g /Z n Ð n > 2g 2µº Ï ÞÞ ÐÒÓ Ù ÓÛÓ Ò Ð ÑÝ Þ Ò Ñ ÝÑ ÐÒ Ó ÖÞ Ù ÝÒ Þ Ó ÒÓ Ó ØÓÔÓÐÓ ÞÒ Ö Û¹ ÒÓÛ ÒÓ Þ ÛÝ Ø Ñ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ Ô ÖÞÝ Ø Ó ÖÓ Þ Ù g Ò Ø Ö Ñ ÑÝ Û Ö Ò ØÝÔÝ ØÓÔÓÐÓ ÞÒ Þ Ñ ÝÑ ÐÒ Ó ÖÞ Ù n = 2gº Ï ÖØÓ ÔÓ Ö Ð Ó Û ØÛ Ö Þ Ò ÓÖÑÙ ÓÛ ÒÝ Û È½½ Ƚ¾ ÔÓ Ð ¹ ÑÝ ØÝÐ Ó Ð Þ Ý Þ Ù Ó ÖÞ Ù ØÓ Û ÓÛÓ ÛÝÞÒ ÞÝÐ ÑÝ Ó ÔÓÛ ¹ Ñ Ô ÑÓÖ ÞÑÝ Þ Ø Ñ ÓØÖÞÝÑ Ð ÑÝ ØÓÔÓÐÓ ÞÒ Ð Ý º ÈÖ È½ Û ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò Ù Þ Û Ö Ò ÐÓ ÞÒ Ð Ý Þ Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò Þ ÖÞ Ñ ÖÙÔ Ý Ð ÞÒÝ ÖÞ Ù Û Þ Ó Ò p 2 Þ

20 ¾¼ p Ø Ð Ö ÞÒÝÑ ÖÓ Þ Ñ ÔÓÛ ÖÞ Ò º Ï ÞÞ ÐÒÓ Ð Ý ÓÛ Ð ÑÝ Þ Ò Ö Ð ÞÙ ÖÓÞÛ Þ Ò Ø ÞÛ ÒÝ ÔÖÓ Ð Ñ Û Ñ Ò Ñ ÐÒ Ó ÖÓ Þ Ù Ñ ÝÑ ÐÒ Ó ÖÞ Ù Ð ÔÓÛ ÖÞ Ò Þ ÖÞ Ñ ÞÒ Ð Þ ÓÒ ØÖÞÝ Þ Ð Ø Ø ÑÙ Û ½ º Ï ÔÖ Ý È Ð Ý ÓÛ Ð ÑÝ Þ Ó ÒÓ Ó ØÓÔÓÐÓ ÞÒ Ö ÛÒÓÛ ÒÓ¹ Þ Ò ÓÛÓÐÒÝ ÖÙÔ Ó ÞÓÒÝ ÖÞ Ù Ó Ò ÑÒ 6 Ò ÞÛ ÖØÝ ÔÓ¹ Û ÖÞ Ò Þ ÖÞ Ñ ÖÓ Þ Ù Ð Ö ÞÒ Ó p Ð 2 p 6º Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒÝ Þ ÖÞ Ù Ò ÐÓ ÞÒ ØÓÔÓÐÓ ÞÒ Ð Ý ÞÓ¹ Ø ÔÖÞ ÔÖÓÛ ÞÓÒ Ð ÔÓÛ ÖÞ Ò ÖÓ Þ Ù 2 3 ÔÖÞ Þ ÖÓÙ ØÓÒ ½ ÓÖ Þ 4 ÔÖÞ Þ Ó ÓÔÓÐ Ó ½¼ à ÑÙÖ ½ º Ï ÐÙ ÞÒ Ð Þ Ò Û ÞÝ Ø ÑÓ Ð ÛÝ Ô ÑÓÖ ÞÑ Û Λ G Ð Ò ÖÙÔÝ Λ Ù ÝÐ ÑÝ ØÙØ ÔÖÓ Ö ÑÙ Óѹ ÔÙØ ÖÓÛ Ó Å Å º Ð p = 5 6 ÓØÖÞÝÑ Ð ÑÝ Ó ÔÓÛ Ò Ó ¾ ¾½ ØÓÔÓÐÓ¹ ÞÒ Ò Ö ÛÒÓÛ ÒÝ Þ º Ï È Ë Ø ÓÒ ÖÓÞÛ ÝÐ ÑÝ Ø Þ Ò ÖÙÔ ÖÞ Ù ÑÒ Þ Ó Ò 6 Ð Ø Þ ÝØ Ù Ó Ý ÔÓ Ô Ò Ð Ý º Ñ Ø Ø Ó Ð ÖÙÔÝ ÖÞ Ù Ó Ò ÛÝ 5 ÛÝÞÒ ÞÝÐ ÑÝ Û ÞÝ Ø ØÝÔÝ ØÓÔÓÐÓ ÞÒ ÔÓÛ ÖÞ Ò Þ ÖÞ Ñ ÓÛÓÐÒ Ó ÖÓ Þ Ù Ò Ø ÖÝ Ø ÖÙÔ Þ º Ò ÐÓ ÞÒÝ ÛÝÒ ÓØÖÞÝÑ Ð ÑÝ Ö ÛÒ Ð ÖÙÔ Ø ÖÝ ÖÞ Ø Ð Þ Ô ÖÛ Þ º Â Ô Ñ Û Û ØÔ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÃÐ Ò Ó ÔÓÛ ÙÒ ØÓÖ ÐÒ Ô ÛÒ ÖÞÙØÓÛ ÖÞÝÛ Ð Ö ÞÒ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÖÓÞÙÑ Ò ÞÛÝ Ð Ó ÖÞÝÛ Þ ÔÓÐÓÒ Þ Ò ÓÛ Ò ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ö ÛÒ Ò ÖÞ ÞÝÛ Ø Óº ÏÓ Ø Ó ÔÓ¹ Û Ò Ó ÛÝÒ ÓØÖÞÝÑ Ò Û ÔÖ È È½½ Ƚ ÑÓ Ý ÒØ ÖÔÖ ØÓÛ Ò Ó ØÓÔÓÐÓ ÞÒ Ð Ý Þ Ó ÔÓÛ Ò ÖÙÔ Ó ÞÓÒÝ Ò ÖÞݹ ÛÝ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ º º º Å Ó Ó Ð Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÑÓ ÙÐ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒÝ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÃÐ Ò º Ƚ¼ Æ F Þ Þ Ñ Ò Ø ÔÓÛ ÖÞ Ò Ó Ù ÑÒ Ö Ø ÖÝ ØÝ ÙÐ Ö º ÈÖÞ ¹ ØÖÞ ÑÓ ÙÐ M(F) ÔÓÛ ÖÞ Ò Ê Ñ ÒÒ ÐÙ ÃÐ Ò ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÒÝ Þ F Ø ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÓÖ Ø Û Û Ò Ó Þ Ò ÖÙÔÝ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ M(F) Ò ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ì Ñ ÐÐ Ö Teich(F)º ÈÓÒ Û Teich(F) Ø ÖÓÞÑ ØÓ Ó¹ Ñ ÓÑÓÖ ÞÒ Þ ÙÐ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ù Ð ÓÛ M(F) Ñ ØÖÙ ØÙÖ ÓÖ ÓÐ Ùº ÈÙÒ ØÝ Ó Ó Ð Û M(F) Ó ÔÓÛ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÑ Ê Ñ ÒÒ ÐÙ ÃÐ Ò ÔÓ ¹ ÝÑ Ò ØÖÝÛ ÐÒ ÙØÓÑÓÖ ÞÑݺ Ö Û ÞÝ Ø ÔÙÒ Ø Û Ó Ó Ð ÛÝ M(F) Ò ÞÝÛ ÑÝ Ñ Ñ Ó Ó Ð ÛÝÑ Ö Ò ÐÓÙ µ ÓÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ Þ B(F)º Ò Ñ Ó Ó Ð Û Ó B(S g ) ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÑÓ ÙÐ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ê Ñ ÒÒ ÖÓ¹ Þ Ù g 2 Ø Ð ÝÞÒÝÑ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ø Ö Ó ØÓÖ Ð Ø Þ Þ ØÝ Ù Ó ØÙÐ º Ç Þ ÖÒ Ð Ø Ö ØÙÖ ÔÓ Û ÓÒ Ø Ø Ñ ØÝ Þ Û Ö Ö ÔÖ ÓØÝÞ Ý Ô ÒÓ B(S g )º Ç Ø Ø ÞÒÝ Ö ÞÙÐØ Ø Ø Ò ØÔÙ Ý B(S g ) Ø Ô ÒÝÑ ÔÓ Þ ÓÖ Ñ M(S g ) ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý g {3,4,7,13,17,19,59} º Ï ÔÖ Ý È½¼ ÑÝ Ñ Ó Ó Ð Û B(N g ) ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÑÓ ÙÐ Ò ÓÖ ÒØÓ¹ Û ÐÒÝ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÃÐ Ò Þ ÖÞ Ù ÖÓ Þ Ù 3 g 5º Â Ó ÛÒÝ ÛÝÒ

21 Ù ÓÛÓ Ò Ð ÑÝ B(N g ) Ø Ô ÒÝÑ ÔÓ Þ ÓÖ ÑM(N g ) Ð g = 4 g = 5º ËÔ ¹ ÒÓ B(N 3 ) Ý ÞÒ Ò ÛÞ Ò º ÏÝÒ ÓÒ Þ ØÙ Û ÞÝ Ø ÔÓÛ ÖÞ Ò ÃÐ Ò ÖÓ Þ Ù 3 Ô Ö Ð ÔØÝÞÒ Þ Ø Ñ ÔÓ Ò ØÖÝÛ ÐÒ ÙØÓÑÓÖ ÞÑݺ ÈÓ Ó Ò Û Ò Þ ÓÛ Ô ÒÓ B(N g ) ÓÔ Ö Ò Ó ÖÞ ÞÒ Ò ØÖ ØÝ ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÑÓ ÙÐ ÓÔ Ò Ñ ÞÝ ÒÒÝÑ Û ½ º ÏÞ Ð Ñ Ø ØÖ ØÝ B(N g ) ÖÓÞ Ò ÙÑ Ô ÛÒÝ Ô ÒÝ ÔÓ Þ ÓÖ Û M(N g ) Ó ÔÓÛ Ý Ð ÓÑ ØÓÔÓÐÓ ÞÒ Ö ÛÒÓÛ ÒÓ Þ ÖÙÔ Ó ÞÓÒÝ Ò N g º Ï Ø Ò ÔÓ Ò Ô ÒÓ B(N g ) Û Þ Ø Ñ ØÝ ÓÔ Ò Û Ô ¹ Ö Ö º º Ì Ò Û Ø ÛÞÝ ÔÓÛ Ò Ò Ý ÓÒØÝÒÙÓÛ ÒÝ Û ÐÙ ÞÒ Ð Þ Ò Û ÞÝ Ø Û ÖØÓ g Ð Ø ÖÝ B(N g ) Ø Ô ÒÝÑ ÔÓ Þ ÓÖ Ñ M(N g )º º ÈÐ ÒÝ ÛÞ Æ Þ Ó Þ Ò ÙØÓÖ Ö ØÙ ÔÖÞ Ø Û ÑÓ ÔÐ ÒÝ ÛÞ Û Þ Ö Þ Ô Ö¹ Ô ØÝÛ Þ ÓÛ ÓÒ ÒØÖÙ Ò ÔÓÞ Ø ÓÛÝ ÖÓ Û ÝÑ Þ ÔÐ ¹ ÒÓÛ ÒÝ Û Ø Û Ó Ó Ø ÖÝ Ñ Ñ Ù Ó ÓÒ Ö ØÒ ÔÖÞ ÑÝ Ð Ò ÔÐ Òݺ Ï Ô ÖÛ ÞÝÑ ÖÞ Þ ÖÓÞÛ ÒÝ Þ Ò Ð Û Ø ÖÙÔÝ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ ÔÓ¹ Û ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ Û ÖÙÒ Þ ÓÛÓ Ò Ö ÐÓÒÝ ÔÖÞÝ ÓÑ Û Ò Ù ÑÓ ÓØÝ Þ ÓÛÝ Ó Ò Ò Ù ÓÛÝ º ÅÝ Ð Ø Ó ÔÓ Þ ÖÞ Ò Ù Ó Þ ÖÙ ¹ Ó Ò ØÙÖ ÐÒ Þ ØÓ ÓÛ Ò ÛÝÑ Ö ÒÓÖÓ ÒÝ ÙÑ ØÒÓ Ò ÖÞ Þ º ÏÓ Ø Ó Ð Þ Ò Ù Þ Û Ö Ð Þ ÔÓ ÞÞ ÐÒÝ Û Ø Û Û Ô ÔÖ ÓÛÒ Û Ñ Û ØÔÒ Þ Ó Û ÐÙ Þ Ò º Ï Ô ÖÛ ÞÝÑ ÖÞ Þ Þ ØÓ Û Ô ÔÖ Û Ö Ñ ØÒ ÖÙÔÝ ÛÞ Û ÑÓ Ñ Ñ ÖÞÝ ØÝÑ Þ Þ Ð ÖÝ Ò Í ÔÖÞ Û ÞÝ Ø Ñ º ÖÓÑ Þ Åº ËØÙ ÓÛµº ÈÖÓ Ö Ñ Ø Ö ÛÒ Ø ÔÓÑÝ Ð ÒÝ Ý ÞÒ Ð Þ Ó Û Ò Ñ Ñ Ð ÔÖÞÝ Þ Ý Ó ØÓÖ ÒØ Û Ó Ó Ø Ø ÞÒÝÑ Ð Ñ Ø ØÛÓÖÞ Ò Þ ÔÓ Ù ÛÞ Ó Þ ÑÙ Ó Ð ÓÑ Þ ÖÓ Ñ Û Ø Ñ ÛÞÝÑ Ù ÔÓ Ø Û Ø ÖÝ Ð Ý ÞÒ ÓÑÓ ÖÙÔ Ð Ó ¹ ÛÞÓÖÓÛ ÔÓÛ ÖÞ Ò º º½º ÖÙÔ ÌÓÖ ÐÐ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ º Â Ò Û Ò Û Ò ÞÝ ÔÓ ÖÙÔ ÖÙÔÝ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ ÔÓÛ ÖÞ Ò F Ø ÔÓ ÖÙÔ ÌÓÖ ÐÐ I(F) ¹ Þ Ð ÞÓØÓÔ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑ Û Ò Ù Ù Ý ÒØÝÞÒÓ Ò H 1 (F,Z)º Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ ÔÓ Ø ÛÓÛ ØÛ Ö Þ Ò Ò ÖÞ Þ Ù¹ Ó Ò ÔÓ ÖÙÔÝ ÌÓÖ ÐÐ ÔÓ Ó Þ Ó º ÂÓ Ò ÓÒ º Ç ÖÙÔ ÌÓÖ ÐÐ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ Û ÓÑÓ Ö ÞÓ Ò Û Ð º È ÖÛ ÞÝ ÞÒ Þ Ý ÛÝÒ ÓØÝÞ Ý I(N) ÙÞÝ Ð ÓÔ ÖÓ Ò ÛÒÓ À ÖÓ ÃÓ Ý ¾ ÔÓ ¹ Ô Û Ò Þ Ö Ò ÖÙ Ý I(N)º Ö Ø Ò Ø Ò Ò Ó ÞÓÒÝ ÒÝÑ Þ ÑÓ Ð Û Þ ÞÒ Ð Þ Ò Ó ÞÓÒ Ó Þ ÓÖÙ Ò ÖÙ Ó I(N) ÓÖ Þ ÖÓÞ¹ Û Ò Ø ÓÖ Ò ÐÓ ÞÒ Ó Ø ÓÖ ÂÓ Ò ÓÒ ÖÙÔÝ I(S)º  ÒÝÑ Þ Ô ÖÛ ÞÝ Þ ÞÞ ÓÛÝ Ø Þ Ò ÓÛ Ò ÓÑÓÑÓÖ ÞÑÙ ÂÓ Ò ÓÒ Ð I(N) Ó ÖÓ Û ÖÙÒ Ù Ó Ð Þ Ò Ð Ò Þ Ø ÖÙÔÝ Û Ð Þ Ô Ö Ô ØÝÛ º ÏÝ Ó Ø Ó Þ Ò ÑÓ Ò ÔÓ Û Ù Ù ÔÖ Ý À ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÔÓ Û Ò Ò ÖÝ S g 1 N g º Ï ÞÛ Þ Ù Þ ØÝÑ Ò ÑÓÝ ØÛ Ö Þ Ò Ø ¾ Ø Ö ÒÓØ Ò µ ÑÓ Ò ÓØÖÞÝÑ Ó ÛÒ Ó Þ ÑÓ Ó Ä Ñ ØÙ º½ Û À I(N g ) Ø ÞÓÑÓÖ ÞÒ Þ ÔÓ ÖÙÔ I(S g 1 ) ÑÓ Ò Ó ÓÑÓÑÓÖ ÞÑ ÂÓ Ò ÓÒ Ó Ö ÐÓÒÝ ¾½

22 ¾¾ Ò I(S g 1 ) Ó ÓÑÓÑÓÖ ÞÑÙ I(N g ) 3 H 1 (S g 1,Z)º ÈÓ Û ÔÖÞÝ ØÝÑ Ò ØÙÖ ÐÒ ÔÝØ Ò Ó Ó Ö Þ Ò Ö ØÓÖÝ Ö ÔÓÛÝ Þ Ó ÓÑÓÑÓÖ ÞÑÙº ÈÓ ¹ Ñ ÑÝ Ø ÔÖ Þ Ò ÓÛ Ò ÓÑÓÑÓÖ ÞÑÙ ÂÓ Ò ÓÒ Ð I(N) Þ Ó ÛÓ ÝÛ ¹ Ò Ó ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ º Ï ÖØÓ ØÙØ Û ÔÓÑÒ À ÖÓ Ë ØÓ ½ Ù ÝÐ ÓÑÓÑÓÖ ÞÑÙ ÂÓ Ò ÓÒ ÑÓ ÙÐÓ ¾ Ó Ö ÐÓÒ Ó Ò ÖÙÔ Γ 2 (N) Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ ÔÓÞ ÓÑÙ ¾ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ Ó Ó Ð Þ Ò Ð Ò Þ Ø ÖÙÔÝ Þ Ñ Ñ Ö ÛÒ Û Ò Ó Û Þ Ò Þ ÔÖ À¾ À º Æ Û ¾¼½ ÖÓ Ù Þ ÔÐ ÒÓÛ Ò Ø ÑÓ ØÝ Ó Ò ÓÛ Û ÞÝØ Ò ÙÒ Û Ö ÝØ Û ÌÓ Ó Þ Ò ØÝÛÝ ÔÖÓ ÓÖ Æ Ö Ý Ã Û ÞÙÑ ÓÛ Ò Ò ÓÛ Ò Þ Ó ÖÓ Û Ò Ò º ÈÖÓ ÓÖ Ã Û ÞÙÑ Ø ÛÝ ØÒÝÑ Ô ÖØ Ñ Û Ø Ñ ØÝ ÓÑÓÑÓÖ ¹ ÞÑÙ ÂÓ Ò ÓÒ Ø Ñ ÔÖÞ ÓÒ ÒÝ Ý Ù Þ Ò Ñ Þ Ð ÑÒ Ò Ô ÖÙ º Ê ÙÑ٠˺ À ÖÓ Æº Ã Û ÞÙÑ ØÝÑ Ô ÖØ Ñ Ò Ø ÖÝ Û Ô ÔÖ Û ØÝÑ Ø Ñ Ð Þº º¾º Ò Ö ØÓÖÝ ØÓÖ Ý Ò º Ï ÓÑÓ ÖÙÔ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ Þ Ñ Ò Ø ÔÓ¹ Û ÖÞ Ò Ø Ò ÖÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Ñ ÒØÝ Ó ÞÓÒ Ó ÖÞ Ùº Ï Ò Û ÒÓ Ø Ð Ñ ÒØ Û Ø ÒÓÛ ØÓ ÑÓ Ý ÓÒ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÓÒ ÓÖ ÑÒ ÙØÓÑÓÖ ÞÑÝ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ê Ñ ÒÒ Ð Ó ÔÓÛ Ò Ó Ó Ö Ò ØÖÙ ØÙÖÝ Ò Ð ¹ ØÝÞÒ Ó ÔÓÞÛ Ð ÔÖÞÝ Ò Ð Þ ØÓ ÓÛ Ñ ØÓ Ý ÓÑ ØÖ Ô Ö ÓÐ ÞÒ ÓÑ Ò ØÓÖÝÞÒ Ø ÓÖ ÖÙÔ Þ ØÛ Ö Þ Ò Ù Ê Ñ ÒÒ Ó ÙÒ ÓÖÑ Þ º Â Ø ØÓ Ò ÞÛÝ Ð ÐÒ Ñ ØÓ Ø Ö ÔÓÞÛÓÐ Û Ó Þ Ù º Å Ð Ð ÒÓÛ ÛÝ Þ ÒÓ Ô ÒÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÑÓ ÙÐ ÖÞÝÛÝ Ð Ö ÞÒÝ Þ ÔÓÐÓÒÝ Ñ Û ÑÓ Ñ Ñ Ø Ö ÙÑ È½ ÙÞÝ Ò ÐÓ ÞÒÝ ÛÝÒ Ð ÞÝ ØÓ ÙÖÓ ÓÒÝ ÖÞݹ ÛÝ Ð Ö ÞÒÝ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ ØÓ ÖÞÝÛ Þ ÔÓÐÓÒ ÔÓ Ö ÛÒ Ò ÖÞ ÞÝÛ Ø Ð Ò ÔÓ ÔÙÒ Û R¹ÛÝÑ ÖÒÝ µº Ï Þ Þ Ò Ø Ñ Ñ Ø ÔÓÖÓ ÒÒÝ Ó Û Þ Þ Þ Û ÑÓ Ó Ó ØÓÖ ØÙº Ï ÔÖ Ý È ÛÝ ¹ Þ Ñ Ð g 3 ÖÙÔ M(N g ) Ø ÓÒ Ò ÖÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÞØ ÖÝ ÒÛÓÐÙ Ø ÔÖÞ Þ ØÖÞÝ Ð Ñ ÒØÝ Þ Ø ÖÝ Û Ñ Ò Ó ÞÓÒÝ ÖÞ º ÇØÛ ÖØÝÑ Ôݹ Ø Ò Ñ Ø ÞÝ Ø ÓÒ Ò ÖÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û Ð Ñ ÒØÝ ÐÙ ÔÖÞ Þ ØÖÞÝ ÒÛÓÐÙ º ÁÒÒ ÔÝØ Ò Ò Ø Ö ÝÑ Ó ÔÓÛ Þ Ø Ò ØÔÙ º ÞÝ M(N g ) Ø Ò ÖÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Ñ ÒØÝ Ñ ÝÑ ÐÒ Ó Ó ÞÓÒ Ó ÖÞ Ù Â Ð Ø ØÓ Ø Ò ÑÒ Þ Ð Þ Ø Ò Ö ØÓÖ Û ÈÓÛÝ Þ ÔÝØ Ò Ø ÑÓØÝÛÓÛ Ò ØÛ Ö Þ Ò Ñ ÃÓÖ Ñ Þ Ø ÖÝ Ù ÓÛÓ Ò ÖÙÔ M(S g ) Ø Ò ÖÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û Ð Ñ ÒØÝ Ñ ÝÑ ÐÒ Ó Ó ÞÓÒ Ó ÖÞ Ù 4g +2º Ï Ø Ø Ò ÛÔÖ Û¹ Þ Ò Ø Ð ÑÒ Ó Ó ÛÝ Ó Ó ÔÖ ÓÖÝØ ØÓÛÝ Ð Þ ÖÓÞÛ Ò Ø Ó Ø Ñ ØÙ Ø ÒÓÛ ÑÓ Ó ÖÝ Ñ Ø Ö Ð ÔÖÞÝ Þ Ó Ó ØÓÖ ÒØ ÔÖÞ Þ ÑÒ ÔÖÓÛ ÞÓÒ Óº º º ÃÓÑÔÐ Ý ÝÑÔÐ ÐÒ ÞÛ Þ Ò Þ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ñ Ò ÓÖ ÒØÓÛ Ð¹ ÒÝÑ º Æ ÑÓÝ ÝÒÒ Ó ØÛ Ö Þ Ò ÁÚ ÒÓÚ ÖÙÔ ÙØÓÑÓÖ ÞÑ Û Óѹ ÔÐ Ù ÖÞÝÛÝ C(S) Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ S Ø ÞÓÑÓÖ ÞÒ Þ ÖÓÞ Þ ¹ ÖÞÓÒ ÖÙÔ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ M (S)º ÌÛ Ö Þ Ò ØÓ ÞÓ Ø Ó ÙÓ ÐÒ ÓÒ Ò ÖÓÞ¹ Ñ Ø ÒÒ ÓÑÔÐ Ý ÝÑÔÐ ÐÒ ÞÛ Þ Ò Þ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ Ó Ø Ø¹ Ò Ó Ö ÛÒ Ò ÔÖÞÝÔ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ ¾ º Ç Ø ØÒ ÛÝÒ Ø ÒÓÛ

23 ÑÓØÝÛ Ó Ò ÙØÓÑÓÖ ÞÑ Û ÓÑ ØÖÝÞÒÝ Û ÒÓ Ö ÒÝ Óѹ ÔÐ Û Ø Ö ÑÓ Ò ØÓÛ ÖÞÝ ÞÝ Þ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ º Å Ñ Ò ÑÝ Ð ÔÖÞ Û ÞÝ Ø Ñ ÖÓÞÑ Ø Ò ØÙÖ ÐÒ ÔÓ ÓÑÔÐ Ý ÓÑÔÐ Ù ÖÞÝÛÝ Ø Ò ÔÖÞÝ ÓÑÔÐ ÖÞÝÛÝ ÖÓÞ Þ Ð Ý ÖÞÝÛÝ ÒÓ ØÖÓÒÒÝ Ó Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒÝÑ ÙÞÙÔ Ò Ò Ù ÖÞÝÛÝ Ö ÔÖ Þ ÒØÙ Ý Ù Ø ÐÓÒ Ð ÓÑÓ¹ ÐÓ º ÌÓ ÞÒÓÛÙ ÑÓ Ñ Þ Ò Ñ ÑÓ Ý Ó ÖÝ Ñ Ø Ö Ò ÔÖÞÝ Þ Ý Ó ØÓÖ Ø ÔÖÞ Þ ÑÒ ÖÓÛ Òݺ ¾ º º ÊÓÞÑ ØÓ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ ¹ Þ Ò ÖÙÔ Ó ÞÓÒÝ Ò Ù¹ Ð Þ Ö Þ Ñ º ÈÓ Ø Ñ ØÝ ÖÓÞÑ ØÓ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛÝ Ø Ð ÑÒ Ò ØÙÖ ÐÒÝÑ ÖÓ Ñ ÓÖ ÔÓ ÙÛ ÖÓÐ Û Ø Ø ÓÖ Ô Ò ÔÓÛ ÖÞ ¹ Ò ÖÙÔÝ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ ÛÝ Ø ÖÞÝ ØÙ Û ÔÓÑÒ ÖÓÞ Ý À Ö ÞÝ Ø ÖÓÞ Ý ÓÛ ¹ÖÓÞÑ ØÓ µº Ï Ô ÖÛ Þ ÓÐ ÒÓ Þ Ñ ÖÞ Ñ ÓÒ ÒØÖÓÛ Ò ÙÐ Þ Ö Þ Ñ Ò Ð Ó µ ÔÖÞÝ ÞÝÑ ÖÓÞÛ Ö Û¹ Ò Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ ¹ÖÓÞÑ ØÓ ÔÓÛ Ø ÔÖÞ Þ Ó Ð Ò Ó ÙÐ ÖÓÒÝ Ö Þ ÒÓÒÓÖ ÒØ Ð Ò Ð Ó µº  ÒÝÑ Þ Ù ÓØ ÖÑ ÒÓÛÝ Ð Û Û Ø Ø Ñ ØÝ Ø ÛÝÔÖ ÓÛ Ò ÒÓÛÝ Ñ ØÓ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Ð Ý Þ ÖÙÔ Ó ÞÓÒÝ Ò ÙÐ Þ Ö Þ Ñ º Â Ø ØÓ Ð ÝÞÒ Ø Ñ ØÝ Ó Ó Ø Ð Ø Ö ØÙÖÞ Ð Ó Þ Ó ÔÖÞÝÔ ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒݺ Ñ ÖÞ Ñ ÔÖ ÓÛ Û Ò ÛÓ ÙÛÞ Ð Ò ÔÖÞÝÔ ÖÓÞÑ ØÓ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒÝ ÞÙ Ò Ó Û Þ Ò Ù Ò ÝØÝÑ ÔÓ Þ Ò Þ ÖÙÔ Ó ÞÓÒÝ Ò ÔÓÛ ÖÞ ¹ Ò Ô Ö Ö º µ ÓÒØÝÒÙÙ ÓÛÓÒ Û Ô ÔÖ Þ º ÖÓÑ Þ Ñº ÈÖÞÝ Ö Ð Þ Ø Ó ÔÖÓ ØÙ Ð Þ Ö ÛÒ Ò Û Ô ÔÖ Åº ËØÙ ÓÛ Ø ÖÝ Ø ¹ Ô ÖØ Ñ Û Þ Þ Ò ÖÙÔ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ ÔÓ Ó Ò Ø Êº À Ð Ó Þ Ð Ø ÖÝ Ø ÞÒ Û ÖÙÔ Ë ÓØØ Ýº Æ ÞÝÑ Ð Ñ Ø ÛÝÔÖ ÓÛ Ò Ð Ö ÞÒ Ó ÖÝØ Ö ÙÑ ÔÓÞÛ Ð Ó ÖÓÞ¹ ØÖÞÝ Û ÖÞ Þݺ ÈÓ Ô ÖÛ Þ ÞÝ Þ Ò ÖÙÔÝ Ó ÞÓÒ G Ò Þ Ñ Ò Ø ÔÓÛ ÖÞ Ò F Þ Ò ÔÖÞ Þ Ô ÑÓÖ ÞÑ Ø ØÓ ÓÔ Ñ Û Ô Ö Ö º µ ÖÓÞ Þ ÖÞ Ó Þ Ò Ò ÙÐ Þ Ö Þ Ñ Ø Ö ÖÞ Ñ Ø F ÈÓ ÖÙ¹ Ý Û ÖÓ Ò ÖÓÞ Þ ÖÞ Ò Ø Ó Ñ Ó Þ Ò ØÓÔÓÐÓ ÞÒ ÔÖÞ ÓÒ Æ ÞÝÑ Ô ÖÛ ÞÝÑ Þ Ò Ñ Ø Ö ØÖ ØÙ ÑÝ Ó ÖÓ Þ ÔÓÐ ÓÒÙ Ó Û Þ Ð¹ Ò Ó Þ Ð Ý Þ ÖÙÔ Ó ÞÓÒÝ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒÝ ÙÐ Þ Ö Þ Ñ Ò Ó ÖÓ Þ Ù ¾ µ Þ Ó ÒÓ Ó ØÓÔÓÐÓ ÞÒ Ó ÔÖÞ Ò º ÈÙÒ Ø Ñ ÛÝ Ø Ð Ý Þ Ó ÒÓ Ó ÞÓÑÓÖ ÞÑÙ ÖÙÔ Ó ÞÓ¹ ÒÝ Þ Ý Ò Ø ÙÐ Þ Ö Þ Ñ ÞÒ Ð Þ ÓÒ Û ½ Ø ÛÝÒ ÓØÝÞ ØÓÔÓÐÓ ÞÒ Ð Ý Þ ÖÙÔ Ó ÞÓÒÝ Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒÝ ÖÓ Þ Ù ¾ ÙØÓÖ ØÛ ÖÓÙ ØÓÒ ½ à ÑÙÖÝ ½ Ó Ó¹ ÔÓÐ Ó ½¼ Ø ÖÝ ÛÝÖ Þ Þ ÒØ Ö ÓÛ Ò Ù Þ Ñ Û Ö Ð Þ Ø Ó Þ Ò º Í Þ Çº Ó ÓÔÓÐ Ó Ø ÖÝ Ø ÛÝ ØÒÝÑ Ô Ð Ø Û Þ Þ Ò ÓÑ Ò ØÓ¹ ÖÝÞÒ Ø ÓÖ ÖÙÔ Ø Û ÒÝ Û ÓÒØ Ò ÞÝ ÔÐ Ò Û ÖÓÞ Þ ÖÞ Ò Ò ÔÖÞÝÔ ¹ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒÝ Ð ÝÞÒ Ñ ØÓ Ý ÓÒ ØÖÙ Þ Ò ÙÐ Þ Ö Þ Ñ ÖÙÔÝ ÔÓ Ø ÛÓÛ Ö Ù ÖÙÔ ÔÓ Ò ÔÖÞ Þ º Å ÙÐÐÓÙ º Å ÐÐ Ö º ÑÑ ÖÑ ÒÒ Û ½ º

24 ¾ º º ÖÙÔ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ ÙÐ Þ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒÝÑ Ö Þ Ñ º ÃÓÐ ¹ ÒÝÑ Ð Ñ Ò ØÙÖÝ ÐÓ ÐÒ Ø Þ Ò Ð Ö ÞÒÝ Û ÒÓ ÖÙÔÝ Ð Ó ¹ ÛÞÓÖÓÛ ÙÐ Þ Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒÝÑ Ö Þ Ñ Ø Ö ÖÞ Ñ Ø Ò ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ô ÖÞÝ Ø Ó ÖÓ Þ Ùº ÈÖÞÝ ÓÛ Ð ÞÞ ÓÛ ØÓ ÛÝÞÒ Þ Ò Ó ÞÓÒ Ó Ù Ù Ò Ö ØÓÖ Û Ø ÖÙÔÝ Ò ØÔÒ Ó ÞÓÒ ÔÖ Þ ÒØ Ù ÝÛ Ñ ØÓ ÔÓ Ó ÒÝ Ó ØÝ Ø Ö ÓÔÖÓÛ Þ Ý Ó Ò ÐÓ ÞÒÝ Ö ÞÙй Ø Ø Û Ð ÓÖ ÒØÓÛ ÐÒÝ ÖÓÞÑ ØÓ ¼ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Ó Û Þ Ò Ò ¹ ÝØ ÔÓ Þ ÑÓ ÔÖ Ý Ò ÔÖ Þ ÒØ ÖÙÔÝ Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ ÔÓÛ ÖÞ Ò º Ê ÛÒ Û Ö Ñ Ø Ó Û Ø Ù ÔÐ ÒÙ Ð Þ Ò ÓÛÓÒ Û Ô ÔÖ Þ Ëº À ÖÓ Þ ÔÓÞ Ø ÓÛ Ò ÔÓ Þ Ó Û ÞÝØÝ Û Ù Û Þ ÖÛÙ ¾¼½ º Ì Ñ Ø Ø Û Þ Þ ÞÙÔ Ò ÒÓÛÝ Þ ØÙ Ø Ñ Ò Ù Þ ÔÖÞÝ Þ Ó Ó ØÓ¹ Ö ÒØ º Ä Ø Ö ØÙÖ ½ ƺ ĺ ÐÐ Ò Æº Ö ÒÐ ÓÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÓÖÝ Ó ÃÐ Ò ÙÖ Ä Øº ÆÓØ Ò Å Ø º ¾½ ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ½ ½º ¾ º Ø Ð Ò Åº ÃÓÖ Ñ Þ Ì ÒÙÑ Ö Ó Ô Ù Ó¹ ÒÓ ÓÚ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ó ÓÙÖ¹ ÓÐ Ô Ö ÌÙÖ Âº Å Ø º ¾¼½¼µ ¾º º Ø Ð Ò Åº ÃÓÖ Ñ Þ ÙØÓÑÓÖÔ Ñ Ó ÓÑÔÐ Ü Ó ÙÖÚ ÓÒ ÒÓÒÓÖ ÒØ Ð ÙÖ ÖÓÙÔº ÓѺ ÝÒ Ñº ½µ ¾¼½ µ º º ź ÖÚ Ó º ÖÓÑ Þ Êº À Ð Ó ÇÒ Ô Ö Ó Ð ¹ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ Ó ÐÓ ÓÖ ÒØ Ð ÙÖ Ø ÖÑ Ò Ý Ø Ö ÓÖ Ö ÓÐРغ Å Ø º ÓÒÐ Ò Ö Ø ¾¼½ º º ÖØÓÐ Ò º º Ó Ø Åº ÁÞÕÙ Ö Ó ÇÒ Ø ÓÒÒ Ø Ú ØÝ Ó Ö Ò ÐÓ Ó ÑÓ ÙÐ Ô ÒÒº º Ë º ÒÒº Å Ø º ¾¼½ µ ÒÓº ½ ¾ ¾ º ˺ ÒÚ ÒÙØ Ò Ø ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ú Ø ÓÖ Ö ÓÑÔÐ Ü Ó ÙÖÚ Úº ÓѺ ½ ¾¼¼½µ ¾ ½ ¾½º ź ØÚ Ò Ãº Ù Û Ö ÉÙ ¹ ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ ÓÒ Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ð º Šغ Ë Öº ÁÁÁ ¾ ¾¼¼ µ ¾½ ¾ º º º ÖÖ Îº Ö Ø Äº È Ö Ò Ø Ò Ü Ù ÖÓÙÔ Ó Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ ÈÖÓº ÄÓÒ ÓÒ Å Ø º ËÓº ½¼ ¾¼½ µ º º ˺ ÖÑ Ò º ʺ º ÐÐ Ò ÛÓÖØ ÇÒ Ø ÓÑ ÓØÓÔÝ ÖÓÙÔ Ó ÒÓÒ¹ÓÖ ÒØ Ð ÙÖ ÈÖÓº Ñ Ö È ÐÓ º ËÓº ½ ½ ¾µ º ½¼ Ǻ κ Ó ÓÔÓÐ Ð Ý Ò Ø Ø ÓÒ Ó Ò Ø ÖÓÙÔ ÓÒ ÓÖ ÒØ Ð ÙÖ Ó ÒÙ 4 Ë Ö Ò Úº Å Ø º ½ µ ÒÓº º ½½ º¹ º Ñ Ö Íº Ì ÐÐÑ ÒÒ Ñ Ò Ó Ö ÒØÓ Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ò Ø Ö ÓÑÓÐÓ Ý Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ËÔ ÓÑ ØÖÝ ÓÑ Ò ØÓÖ Ò ÌÓÔÓÐÓ Ý ¾¼½¾ ËÓº ÆÓÖѺ ËÙÔº È ½ ½ ½º ½¾ º Àº ÓÛ Ø ÁÒØ Ö Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö Ò Ø ÝÔ Ö ÓÐ ØÝ Ó Ø ÙÖÚ ÓÑÔÐ Ü Âº Ê Ò Ò Ûº Å Ø º ¾¼¼ µ ½¼ ½¾ º ½ ̺ º Ö Ò Ð º Ö Ú ÖÝ Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ò Ö Ø Ý ÒÚÓÐÙØ ÓÒ Âº Ð Ö ¾ ¾¼¼ µ ½ ¹½ º ½ ˺ º ÖÓÙ ØÓÒ Ì ÕÙ ÝÑÑ ØÖ ØÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÑÓ ÙÐ Ô Ò Ø ÃÖÙÐÐ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ó Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ ÌÓÔÓÐÓ Ý ÔÔк ½ ¼µ ½¼½ ½½ º ½ ˺ º ÖÓÙ ØÓÒ Ð Ý Ò Ò Ø ÖÓÙÔ Ø ÓÒ ÓÒ ÙÖ Ó ÐÓÛ Ò٠º ÈÙÖ ÔÔк Ð Ö ½ ½µ ¾ ¾ ¼º ½ ú ˺ ÖÓÛÒ ÈÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÖ ÖÓÙÔ Ø Ò ÓÒ ÑÔÐݹÓÒÒ Ø ÓÑÔÐ Ü Âº ÈÙÖ ÔÔк Ð Ö ¾ ½ µ ½ ½¼º

25 ½ º Ù Ð Ò ÝÐ ÖÓÙÔ Ó ÙØÓÑÓÖÔ Ñ Ó ÓÑÔ Ø ÒÓÒÓÖ ÒØ Ð ÃÐ Ò ÙÖ Û Ø ÓÙØ ÓÙÒ ÖÝ È Âº Å Ø º ½¼ ½ µ ¾ ¾ º ½ º Ù Ð Ò ÂºÂº Ø ÝÓ Âº ź Ñ Ó º ÖÓÑ Þ ÙØÓÑÓÖÔ Ñ ÖÓÙÔ Ó ÓÑÔ Ø ÓÖ Ö ÃÐ Ò ËÙÖ º ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÔÔÖÓ Ä Øº ÆÓØ Ò Å Ø º ½ ËÔÖ Ò Ö¹ Î ÖÐ ½ ¼º ½ º ʺ º ÐÐ Ò ÛÓÖØ Ò Ø Ø Ó Ò Ö ØÓÖ ÓÖ Ø ÓÑ ÓØÓÔÝ ÖÓÙÔ Ó ÒÓÒ¹ÓÖ ÒØ Ð ÙÖ ÈÖÓº Ñ º È Ðº ËÓº ½ µ ¼ ¼º ¾¼ Àº Ò Ó º ÃÓØ ÓÙÒ Ó ÓÑÓÐÓ Ý Ò ÒÓÒ¹ÙÒ ÓÖÑ Ô Ö Ø ÓÒ Ó Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ ÁÒÚ Òغ Å Ø º ½ ¾¼¼½µ ½ ½ º ¾½ ºº Ø ÝÓ ÓÖ Ù Ð ÆÓÒÓÖ ÒØ Ð ÙØÓÑÓÖÔ Ñ Ó Ê Ñ ÒÒ ÙÖ Ö º Å Ø º е µ ½ µ º ¾¾ º Ö ËÓÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ò ÑÓ ÙÐ Ô º ÁÒ ÈÖÓ Ð Ñ ÓÒ Å ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ò Ê Ð Ø ÌÓÔ º Ý º Ö ÈÖÓº ËÝÑÔº ÈÙÖ Ò ÔÔÐ Å Ø º ÎÓк ¾¼¼ µ ½½ º ¾ º Ö Ò Åº À Ò Ð ÌÖ Ú Ð ØÝ Ó ÓÑ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó MCG(S) Ò GL(n,C) Diff(S 2 ) Ò Homeo(T 2 ) ÈÖÓº Ñ Öº Å Ø º ËÓº ½ ½ ¾¼½ µ ¾ ½ ¾ ¾º ¾ ˺ Ð º È Ò ÓÐ ÀÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ Ò Ø ÓÑÓÐÓ Ý Ó ÒÓÒ¹ÓÖ ÒØ Ð ÙÖ ÈÖÓº ÁÒ Ò º Ë º Å Ø º Ë º ½½ ¾¼¼ µ ¾ ½ ¾ º ¾ Ⱥ º Ø ÒÓØ ÓÒ ÌÓÖ ÐÐ Ô Ó ÓÑÔ Ø ÒÓÒ¹ÓÖ ÒØ Ð ÃÐ Ò ÙÖ ÒÒº º Ë º ÒÒº Å Ø º ¾ ½ µ ¾ ¹ ¼º ¾ ˺ ÖÚ Ò Ø ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ó ÔÙÒØÙÖ ÙÖ ÌÓÔÓÐÓ Ý ¼ ¾¼¼½µ ¼ ¾ º ¾ º º ÓÒÞ Ð Þ¹ ٠º ź Å ÖÕÙ Þ¹ Ó ÐÐ ÇÒ Ø ÓÑ ÓØÓÔÝ ÖÓÙÔ Ó Ø ÒÓÒ ÓÖ Ò¹ Ø Ð ÙÖ Ó ÒÙ Ø Ö Ê Úº ÓÐÓÑ Ò Å Øº ¼ ¾¼¼ µ º ¾ º ú ÖÓ Ñ Ò ÇÒ Ø Ö Ù Ð Ò Ø Ò Ó ÖØ Ò Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Âº ÄÓÒ ÓÒ Å Ø º ËÓº ½» µ ½ ¼ ½ º ¾ ʺ ź À Ò ÌÓÖ ÐÐ ÖÓÙÔ Ò ÓÑ ØÖÝ Ó ÑÓ ÙÐ Ô Ó ÙÖÚ Ò ÙÖÖ ÒØ ØÓÔ Ò ÓÑÔÐ Ü Ð Ö ÓÑ ØÖÝ Å Ø º Ë º Ê º ÁÒ Øº È٠к ¾ Ñ Ö ÍÒ Úº ÈÖ Ñ Ö ½ ½ º ¼ º ĺ À Ö Ö Ì ÓÒ ÓÑÓÐÓ Ý ÖÓÙÔ Ó Ø Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ó Ò ÓÖ ÒØ Ð ÙÖ ÁÒÚ Òغ Å Ø º ¾ ½ ¾µ ¾¾½ ¾ º ½ º ĺ À Ö Ö ËØ Ð ØÝ Ó Ø ÓÑÓÐÓ Ý Ó Ø Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ó ÓÖ ÒØ Ð ÙÖ ÒÒº Å Ø º ½¾½ ¾µ ½ µ ¾½ ¾ º ¾ º ĺ À Ö Ö Ì Ú ÖØÙ Ð Ó ÓÑÓÐÓ Ý Ñ Ò ÓÒ Ó Ø Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ó Ò ÓÖ ÒØ Ð ÙÖ ÁÒÚ Òغ Å Ø º ½ µ ½ ½ º Ϻ º À ÖÚ Ý ÝÐ ÖÓÙÔ Ó ÙØÓÑÓÖÔ Ñ Ó ÓÑÔ Ø Ê Ñ ÒÒ ÙÖ ÉÙ Öغ º Å Ø º ÇÜ ÓÖ Ë Öº ¾µ ½ ½ µ º Ϻ º À ÖÚ Ý ÇÒ Ö Ò ÐÓ Ò Ì Ñ ÐÐ Ö Ô ÌÖ Ò º Ñ Öº Å Ø º ËÓº ½ ½ ½µ º Ϻ º À ÖÚ Ý ÓÙÒ ÖÝ ØÖÙØÙÖ Ó Ø ÑÓ ÙÐ Ö ÖÓÙÔ Ò Ê Ñ ÒÒ ÙÖ Ò Ö Ð Ø ØÓÔ ÈÖÓº ½ ËØÓÒÝ ÖÓÓ ÓÒ º ÒÒº Å Ø º ËØÙ º ÈÖ Ò ØÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ ½ ½µ ¾ ¾ ½º Ϻ À ÖÚ Ý Åº ÃÓÖ Ñ Þ ÀÓÑÓÑÓÖÔ Ñ ÖÓÑ Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ ÙÐк ÄÓÒ ÓÒ Å Ø º ËÓº ¾¼¼ µ ¾ ¾ º º À Ø Ö Ïº Ì ÙÖ ØÓÒ ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ó ÐÓ ÓÖ ÒØ Ð ÙÖ ÌÓÔÓÐÓ Ý ½ ½ ¼µ ¾¾½ ¾ º ˺ À ÖÓ ÓÑÔÐ Ü Ó ÙÖÚ Ò ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ó ÙÖ Ç Âº Å Ø º ¾¼¼¾µ ¾¼º ˺ À ÖÓ ÇÒ Ô Ö Ó Ñ Ô ÓÚ Ö ÙÖ Û Ø Ð Ö Ô Ö Ó ÌÓ Ó Ù Å Ø º º ¾ ½µ ¾¼½¼µ º ¾

26 ¾ ¼ ˺ À ÖÓ ÇÒ ÓÑÓÖÔ Ñ ÓÚ Ö ÒÓÒ¹ÓÖ ÒØ Ð ÙÖ Ø Ò Ö ÐÝ Ñ Ò Ø ¹ Ô Ö Ð Öº ÓѺ ÌÓÔÓк ½¾ ¾¼½¾µ ½¼ ½ ¼º ½ ˺ À ÖÓ Åº Ë ØÓ Ñ Ò Ñ Ð Ò Ö Ø Ò Ø Ó Ø Ð Ú Ð ¾ Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ó ÒÓÒ¹ ÓÖ ÒØ Ð ÙÖ Å Ø º ÈÖÓº Ñ º È ÐÓ º ËÓº ½ ¾¼½ µ º ¾ ˺ À ÖÓ Êº ÃÓ Ý ÒÓÖÑ ÐÐÝ Ò Ö Ø Ò Ø ÓÖ Ø ÌÓÖ ÐÐ ÖÓÙÔ Ó ÒÓÒ¹ÓÖ ÒØ Ð ÐÓ ÙÖ ÔÖ ÔÖ ÒØ ¾¼½ Ö Ú ½ ½¾º¾¾¾¾º ƺ κ ÁÚ ÒÓÚ ÓÑÔÐ Ü Ó ÙÖÚ Ò Ì Ñ ÐÐ Ö ÑÓ ÙÐ Ö ÖÓÙÔ Í Ô Å Øº Æ Ù ¾ ÆÓº ½ µ ½ Ò Ð ØÖ Ò Ðº ÊÙ º Å Ø º ËÙÖÚº ¾ ÆÓº ½ µ ½¼ º ƺ κ ÁÚ ÒÓÚ ÙØÓÑÓÖÔ Ñ Ó Ì ÑÙÐÐ Ö ÑÓ ÙÐ Ö ÖÓÙÔ Ä Øº ÆÓØ Ò Å Ø º ½ ËÔÖ Ò Ö ÖÐ Ò ½ µ ½ ¾ ¼º ƺ κ ÁÚ ÒÓÚ ËÙ ÖÓÙÔ Ó Ì Ñ ÐÐ Ö ÑÓ ÙÐ Ö ÖÓÙÔ ÌÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ó Å Ø Ñ Ø Ð ÅÓ¹ ÒÓ Ö Ô ½½ Ñ Öº Å Ø º ËÓº ÈÖÓÚ Ò ÊÁ ½ ¾º ƺ ÁÚ ÒÓÚ ÙØÓÑÓÖÔ Ñ Ó ÓÑÔÐ Ü Ó ÙÖÚ Ò Ó Ì ÑÙÐÐ Ö Ô ÁÒغ Å Ø º Ê º ÆÓØ ½ ½ µ ½ º º ÂÓ Ò ÓÒ Ì ØÖÙØÙÖ Ó Ø ÌÓÖ ÐÐ ÖÓÙÔ Á Ò Ø Ø Ó Ò Ö ØÓÖ ÓÖ I ÒÒº Ó Å Ø º ½½ ½ µ ¾ ¾º º ÂÓ Ò ÓÒ Ì ØÖÙØÙÖ Ó Ø ÌÓÖ ÐÐ ÖÓÙÔ ÁÁ Ö Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÖÓÙÔ Ò Ö Ø Ý ØÛ Ø ÓÒ ÓÙÒ Ò ÙÖÚ ÌÓÔÓÐÓ Ý ¾ ½ µ ½½ ½¾ º º ÂÓ Ò ÓÒ Ì ØÖÙØÙÖ Ó Ø ÌÓÖ ÐÐ ÖÓÙÔ ÁÁÁ Ì Ð Ò Þ Ø ÓÒ Ó I ÌÓÔÓÐÓ Ý ¾ ½ µ ½¾ ½ º ¼ à ÓÚ Åº Ò Ö Ø Ò Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ý ÒÚÓÐÙØ ÓÒ ÔÖ ÔÖ ÒØ ¾¼¼ Ö Ú Ñ Ø º Ì»¼ ½½ º ½ Àº à ÑÙÖ Ð Ø ÓÒ Ó ÙØÓÑÓÖÔ Ñ ÖÓÙÔ ÙÔ ØÓ ØÓÔÓÐÓ Ð ÕÙ Ú Ð Ò Ó Óѹ Ô Ø Ê Ñ ÒÒ ÙÖ Ó ÒÙ 4 º Ð Ö ¾ ¾¼¼ µ ÒÓº ½ ¾ º ¾ ź ÃÓÖ Ñ Þ Ö Ø ÓÑÓÐÓ Ý ÖÓÙÔ Ó Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ó ÒÓÒÓÖ ÒØ Ð ÙÖ Å Ø º ÈÖÓº Ñ º È Ðº ËÓº ½¾ ½ µ º ź ÃÓÖ Ñ Þ Å ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ó ÒÓÒÓÖ ÒØ Ð ÙÖ ÓѺ Ø ¾¼¼¾µ ½¼ ½ º ź ÃÓÖ Ñ Þ ËØ Ð ÓÑÑÙØ ØÓÖ Ð Ò Ø Ó Ò ØÛ Ø Å Ò Å Ø º º ¾ ¾¼¼ µ ¾ ½º ź ÃÓÖ Ñ Þ Ò Ö Ø Ò Ø ÙÖ Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ý ØÛÓ Ð Ñ ÒØ ÌÖ Ò º Ñ Öº Å Ø º ËÓº ¾¼¼ µ ¾ ½¼º ź ÃÓÖ Ñ Þ ÈÖÓ Ð Ñ ÓÒ ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ Ó Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ò ÈÖÓ Ð Ñ ÓÒ Å Ô¹ Ô Ò Ð ÖÓÙÔ Ò Ê Ð Ø ÌÓÔ º Ö º ÈÖÓº ËÝÑÔº ÈÙÖ Å Ø º ¾¼¼ µ º ź ÃÓÖ Ñ Þ ÄÓÛ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð Ò Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ ÔÖ ÔÖ ÒØ ¾¼½½ Ö Ú ½½¼ º ½ ź ÃÓÖ Ñ Þ Ì ÝÑÔÐ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ ÙÒ ÕÙ ÔÖ ÔÖ ÒØ ¾¼½½ Ö Ú ½½¼ º ¾ ½ ź ÃÓÖ Ñ Þ º ÇÞ Å Ò Ñ Ð ÒÙÑ Ö Ó Ò ÙÐ Ö Ö Ò Ä ØÞ Ö Ø ÓÒ ÈÖÓº Ñ Öº Å Ø º ËÓº ½¾ ¾¼¼½µ ½ ½ º ¼ º Ä ÖÙ Ö Äº È Ö º ÈÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÔÙÒØÙÖ Ñ ÔÔ Ò Ð ÖÓÙÔ Ò Ø ÖÑ Ó ÖØ Ò ÖÓÙÔ Ð Öº ÓѺ ÌÓÔÓк ½ ¾¼¼½µ ½½ º ½ Ϻ º ʺ Ä ÓÖ ÀÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ Ó ÒÓÒ¹ÓÖ ÒØ Ð ØÛÓ¹Ñ Ò ÓÐ ÈÖÓº Ñ º È Ðº ËÓº ½ µ ¼ ½ º ¾ Ϻ º ʺ Ä ÓÖ ÇÒ Ø ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ Ó ÒÓÒ¹ÓÖ ÒØ Ð ÙÖ ÈÖÓº Ñ º È Ðº ËÓº ½ ½ µ ½ º º ź Å Ø Ì Ð Ø ÓÒ Ó ÒÓÒ¹ ÙÐ Ò ÔÐ Ò ÖÝ Ø ÐÐÓ Ö Ô ÖÓÙÔ Ò º º Å Ø º ½ ½ µ ½½ ¾ ½¾¼ º º Å Ð Ð Ò ÅÓ ÙÐÙ Ô ÑÔÐݹÓÒÒ Ø º ÈÖÓº Ñ Öº Å Ø º ËÓº ¾ ½µ ½ ½µ º