N + R C. A T A 1 A 2 I I n. [a;b] (a;b] [a;b) m,n m,n = {m,m + 1,...,n 1,n}

Transkrypt

1 ÏÝ Þ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÓÐ Ó¹Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ ØÓ ÓÛ Ò Ý Ö ØÒ Ó ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ Û ÓÑÔÖ Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖ Û Ó Ö Þ Û ÑÓÒÓ ÖÓÑ ØÝÞÒÝ Ñ Ö Ö Ù Þ Â Þ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º Öº º Ï ØÓÐ ÃÓ Ó Ï Ö Þ Û ÖÙ Þ ¾¼¼

2 Praca powinna być cytowana jako: Jakóbczak, D.J., Zastosowanie dyskretnego, ortogonalnego operatora Hurwitza-Radona w kompresji i rekonstrukcji konturów obrazów monochromatycznych. Rozprawa doktorska. Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych. Spis tre± i Spis ozna ze«4 1 Wst p Metody rekonstruk ji konturu Metody kompresji stratnej i bezstratnej Metody rekonstruk ji obrazu tomogra znego Przedmiot bada« Cel i zakres pra y Teza pra y Opis metody MHR Budowa operatora OHR i operatora odwrotnego do OHR Metoda MHR Wyzna zanie warto± i po±redni h Wªasno± i metody MHR Dokªadno± metody MHR i przykªady osza owa«bª du Zªo»ono± obli zeniowa dekompresji MHR Zªo»ono± obli zeniowa kompresji MHR Przykªady obli ze«z zastosowaniem metody MHR Metoda MHR w przestrzeni 3D Rekonstruk ja obrazu 3D zªo»onego z konturów pªaski h Metoda MHR w 3D dla konturów pªaski h Rekonstruk ja obrazu 3D za pomo podwójnego operatora ±redniego Metoda MHR rekonstruk ji obrazu 3D za pomo podwójnego operatora ±redniego w przypadku staªego kroku pierwszej wspóªrz dnej w zªów Metoda MHR rekonstruk ji obrazu 3D za pomo podwójnego operatora ±redniego w przypadku staªego kroku drugiej wspóªrz dnej w zªów Zastosowanie metody MHR w projektowaniu implantów ko± i Analiza mo»liwo± i te hni zny h zastosowa«mhr Posz zególne etapy odtwarzania ko± i Metodyka konstruowania metod MHR 4.1 Budowa operatora u±rednionego na podstawie trze h operatorów OHR 4.2 Budowa operatora u±rednionego na podstawie dowolnej ilo± i operatorów OHR

3 ËÈÁË ÌÊ á Á ØÓ ÓÛ Ò Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ Û ØÓÑÓ Ö ÓÑÔÙØ ÖÓÛ º½ Ç Ö ÞÝ ØÓÑÓ Ö ÞÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Å ØÓ Ý Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó º º º º º º º º º º º º º ¼ º ÈÖÞ ÞØ Ò Ó Ö Þ Û ØÓÑÓ Ö ÞÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º ÃÓÑÔÖ Ó Ö Þ Û Ñ ÝÞÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¾ ÈÓÖ ÛÒ Ò Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ Þ ÒÒÝÑ Ñ ØÓ Ñ ÓÑÔÖ ½¼ º½ Å ØÓ Ý ØÖ ØÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ Å ØÓ Ý Þ ØÖ ØÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¼ Ó Þ Ò ½½ º½ ÏÝÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾ Ã ÖÙÒ Ð ÞÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ Ï ÒÓ Ñ ÖÞÝ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ ½½ º½ ÊÝ ØÓÖÝÞÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º½º½ ÓÖÑÝ Û Ö ØÓÛ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¼ º½º¾ ÈÖÓ Ð Ñ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ ¹ Ñ ÒÒ º º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾ ÃÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÖÓ Þ ÒÝ Ñ ÖÞÝ ÀÊ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾º½ Å ÖÞ ÀÊ Ó Ð Ñ ÒØ ÓÛ ØÝ º º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾º¾ Å ÖÞ ÀÊ Ó Ð Ñ ÒØ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ º º º º º º º º º º º º ½¾ º Ý Ñ ÖÞÝ ÀÊ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º º½ Ì ÓÖ Ö Û Ñ ÖÞ ÀÊ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º º¾ Å ÖÞ ÀÊ Ð Þ Ý Û R 2 R 4 R 8 º º º º º º º º º º º º º º ½ º º ÃÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ Ñ ÖÞÝ ÀÊ º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ËÔ ÖÝ ÙÒ Û ËÔ Ø Ð Ð Ó Ö ½ ½ ½ ½

4 ËÔ ÓÞÒ Þ N Þ Ö Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ ¼ ½ ¾ º º º N + R C H A T A 1 A 2 I Þ Ö Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ Ó ØÒ Þ Ö Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Þ Ö Ð Þ Þ ÔÓÐÓÒÝ Þ Ö Ð Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò R 4 Û Ø ÖÒ ÓÒÝµ Ñ ÖÞ ØÖ Ò ÔÓÒÓÛ Ò Ó Ñ ÖÞÝ A Ñ ÖÞ Ó ÛÖÓØÒ Ó Ñ ÖÞÝ A Ñ ÖÞ Û Ö ØÓÛ ÔÖÞ ÑÒÓ ÓÒ ÔÖÞ Þ Ñ ÖÞ ÒØÝÞÒÓ ÓÛ ÒÓ Ø ÓÛ µ I n Ñ ÖÞ ÒØÝÞÒÓ ÓÛ ÒÓ Ø ÓÛ µ ÛÝÑ ÖÙ n O(N 2 ) ÖÞ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ N 2 ÀÊ a,bµ ÅÀÊ ÇÀÊ ¾ Þ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ð Ô ÖÛ Þ Ó ÛÞ Ó Û Ô ÖÞ Ò Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ Ò Ð Ó ÔÖÞ Þ Ù [a;b] Ñ ØÓ ÀÊ ÓÔ Ö ØÓÖ ÀÊ Ó Ö Þ ÛÙÛÝÑ ÖÓÛÝ Ó Ö Þ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛÝ ( n i) ÝÑ ÓÐ Æ ÛØÓÒ ρ(n) P Q [a;b] (a;b] [a;b) {a;b;c} Ð Þ Ê ÓÒ Ð N N ÐÓÞÝÒ Ø Ò ÓÖÓÛÝ Ñ ÖÞÝ P Q ÔÖÞ Þ ÓÑ Ò ØÝ Ó ÔÓÞ Ø Ù a Ó Ù b ÔÖÞ Þ Ð ÛÓ ØÖÓÒÒ ÓØÛ ÖØÝ ÔÖÞ Þ ÔÖ ÛÓ ØÖÓÒÒ ÓØÛ ÖØÝ Þ Ö Ó Ð Ñ ÒØ a,b,c (x,y,z) ÔÙÒ Ø Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ x,y,z Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò R 3 (x,y) ÔÙÒ Ø Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ x,y Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò R 2 (x 1,x 2,...,x n ) Û ØÓÖ Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ x 1,x 2,...,x n x,y ÐÓÞÝÒ Ð ÖÒÝ Û ØÓÖ Û x y 0 Û ØÓÖ Þ ÖÓÛÝ Û ØÓÖ Ó Û ÞÝ Ø Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ ÖÓÛÝ µ m,n Þ Ö Ð Þ ÓÛ ØÝ Ó m Ó n m,n = {m,m + 1,...,n 1,n}

5 ÊÓÞ Þ ½ Ï ØÔ ½º½ Å ØÓ Ý Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖÙ Ò Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ ÞÝ ÓÛÓÐÒ ÖÞÝÛ Ò ÔÓ Ø Û Ô ÛÒ ÐÓ ÔÙÒ Ø Û ÓÒØÖÓÐÒÝ Ø ØÓØÒ Û Ö ÓÑÔÙØ ÖÓÛ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ù Ó Ö ÞÙ Û ØÝ Þ Ò Ù Û Ø ÖÝ Û Ò Ø ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÞØ ØÙ Ó ØÙº Æ ÔÖÞÝ Û ÝØÙ Ý Þ Ø Ð Ø ÖÒ Ò ÔÖÞ Ø Û Ó ÓÒØÙÖÙ Ù¹ ÝÒ Ù ØÒ ÔÓØÖÞ ÔÖÞÝ Ð Ò ÞØ ØÙ Ò ÔÓ Ø Û ÔÓ ÒÝ ÐÙ ÔÖÞ Û ¹ ÝÛ ÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒÝ Ð Ò Ó Ó ØÙº ÁÒÒÝÑ ÔÖÞÝ Ñ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ñ ØÓ Ó ØÛ ÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ Ø Þ Ò Ò ÓÑÔÖ Ñ ÔÝº Æ Ñ Ô Û Þ Ð ÒÓ Ó ÔÖÞ ÞÒ Þ Ò ÑÓ ÛÝ ØÔÓÛ Ö Ò Ó ÖÓ Þ Ù Ð Ò ÓØÛ ÖØ ÞÝ Þ Ñ Ò Ø ÒÔº ÔÓ Ù Ò Ö ÛÒÓÐ Ò ÔÓÞ ÓÑ Û Ö ØÛ ÞÓ ÖÝ ÞÓ ØÝ ÞÓ Ô Ý Ø ºµº Ô Ñ Ø Ò Ð Ò Ò Ñ Ô Þ ÔÓÑÓ Ó ÔÓÛ ¹ Ò Ó Þ ÓÖÙ ÛÞ Û ÓÑÔÖ Ñ ÔÝµ Ö ÓÒ ØÖÙ Þ Ù Ó ÒÓ ÓÑ¹ ÔÖ Þ ØÖ ØÒ ÐÙ Ñ Ó ØÖ ØÒ µ ØÓ Ø Ñ ØÝ Û ØÙ ÐÒ Û ÞÛ Þ Ù Þ ÖÓ ¹ Ò ÐÓ ÒÝ ÔÓØÖÞ ÒÝ Ó Ò Ð ÞÓÛ Ò ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ö Û ÞÓÛ Ò º Ê ÛÒ Û Ó Ö Þ Û Ó Þ Ô Ñ Ø Ò ÞØ ØÙ Ó ØÙ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ ÔÓ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò Ù Ó ØÙ Ø Û ÒÝÑ Ø Ñ Ø Ñº Ï ÐÙ ÔÖÓ ÝÑ ÞØ ØÙ ØÓ Ù Û ÐÓÑ ÒÝ ÐÙ ÖÞÝÛ ÛÝ Þ Ó ÖÞ Ù ½¾¾ º Ï Þ ØÓ ÓÛ Ò Ò ÓÖÑ ØÝÞÒÝ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÔÖÞ Û ÞÝ Ø Ñ ÔÖÞÝ¹ Ð Ò ÔÖÓ ÝÑ µ ÓÒØÙÖÙ Þ ÔÓÑÓ ÖÞÝÛÝ Þ Ö º Ë ØÓ Ô Ö Ñ ØÖÝÞÒ ÖÞÝÛ Û ÐÓÑ ÒÓÛ ÔÓÛ Þ Ò ØÓ ÓÛ Ò Û ÔÖÓ Ö Ñ Ó ÔÖÓ ØÓÛ Ò Ò¹ ÝÒ Ö Ó ÓÑÔÙØ Ö Òµ ÔÖÓ ØÓÛ Ò Ö ÓÑÔÙØ ÖÓÛ ÒÔº ÓÖ Ð Ö Ûµ Ó Ö ÔÖ Þ ÒØÓÛ Ò Ó ÖÝ Û ÞÒ Û Û ÓÒØ ÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ ÒÔº ÌÖÙ ÌÝÔ µ Û Ý Ø Ñ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ö ÒÔº ÈÓ ØËÖ ÔØµ ÓÖ Þ Û Ö Û ØÓÖÓÛ ÓÖÑ Ø ËÎ Ë Ð Ð Î ØÓÖ Ö Ô µº Ã ÞØ Ø ÖÞÝÛ Þ Ö ¹ Ø ÖÑ ÒÙ Û ÐÓÑ ÒÝ ÓÛÓÐÒ Ó ØÓÔÒ n Ò ÔÓ Ø Û n+1 ÔÙÒ Ø Û ÓÒØÖÓÐÒÝ P i Þ Ø ÖÝ Û ÔÓ ÖÝÛ Þ Ó Ñ ÖÞÝÛ Ò ØÓÑ Ø ÔÓÞÓ Ø n 1 ÔÙÒ Ø Û Ð Ý ÔÓÞ ÖÞÝÛ Ù Ý Ó Ó Ö Ð Ò ½½ º Ä Þ Û ÐÓÑ Ò Û Ø Ö ÛÒ ÛÝÑ ÖÓÛ ÔÖÞ ØÖÞ Ò ØÞÒº Ó ÓÔ Ù ÖÞÝÛ Ô ÔÓØÖÞ Ò Û Û ÐÓÑ ÒÝ (x,y) = (X(t),Y (t)) t [0;1] Ð ÖÞÝÛ Û ØÖÞÝ Û ÐÓÑ ÒÝ (x,y,z) = (X(t),Y (t),z(t)) t [0;1]º ÓÛÓÐÒÝ ÔÙÒ Ø Ò ÖÞÝÛ ÓÔ ÝÛ ÒÝ Ø Ö ÛÒ Ò Ñ n P(t) = P i Bi n (t) Ð t [0;1] ½º½µ Þ i=0

6 ÊÇ Á ½º ÏËÌ È B n i (t) = ( n i) t i (1 t) n i Û ÐÓÑ ÒÝ ÞÓÛ ÖÒ Ø Ò º ÊÝ ÙÒ ½º½º ÃÖÞÝÛ Þ Ö ØÖÞ Ó ØÓÔÒ º Ï Ô ÖÞ Ò ÓÛÓÐÒ Ó ÔÙÒ ØÙ P(t) Ò ÖÞÝÛ Þ ÊÝ º ½º½ ÑÓ Ò ÞÒ Ð õ Ò ØÔÙ¹ Ó (x(t),y(t)) = P(t) = P 0 (1 t) 3 +3P 1 t(1 t) 2 +3P 2 t 2 (1 t)+p 3 t 3 Ð t [0;1]. ½º¾µ ÊÝ ÙÒ ½º¾º ÃÖÞÝÛ Þ Ö ØÓÔÒ ½ º Ì ÓÖ ØÝÞÒ ÖÞÝÛ ÑÓ ÓÔ ÝÛ ÓÛÓÐÒ ÐÓ ÔÙÒ Ø Û ÓÒØÖÓÐÒÝ Ð Þ Û ÐÓÑ ÒÝ ØÓÔÒ Û Þ Ó Ò ØÖÞÝ ÊÝ º ½º¾µ Ò ØÓ ÓÛ Ò Û ÔÖ ØÝ Þ Û ÛÞ Ð Û ½º Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÛÝÞÒ Þ Ò ÔÙÒ ØÙ Ò ÖÞÝÛ Ø Ù ¾º Û ÞÝ Ø ÔÙÒ ØÝ ÓÒØÖÓÐÒ Ñ ÛÔ ÝÛ Ò ÞØ Ø ÖÞÝÛ ÔÖÞ Þ Ó ØÖÙ Ò ÓÒØÖÓÐÓÛ ÞØ Ø Ò Û Ð ÔÖÞ ÙÒ Ò Ó Þ ÔÙÒ Ø Û ÓÒØÖÓÐÒÝ ÑÓ ÞÒ Þ Ó ÛÔ ÝÒ Ò ÔÖÞ ÖÞÝÛ Ò Ø ÐÒÓ Ñ ØÓ Ýµº Ï ÞÛ Þ Ù Þ ØÝÑ Ò Þ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Û ÐÓÑ ÒÝ ØÓÔÒ ØÖÞ Ó ÊÝ º ½º½µ ÐÙ Ð Ð ÖÞÝÛÝ ØÛÓÖÞÝ ÖÞÝÛ ¹ Ð Ò ¹ ÔÐ Ò µº

7 ½º½º Å ÌÇ Ê ÃÇÆËÌÊÍÃ ÂÁ ÃÇÆÌÍÊÍ ÊÝ ÙÒ ½º º ÃÖÞÝÛ ¹ Ð Ò ØÖÞ Ó ØÓÔÒ Þ Ù ÓÛ Ò Þ Ô Ù ÖÞÝÛÝ Þ Ö º Ï ÖÞÝÛÝ Þ Ö Ø Ø Ò ÑÓ Ò Þ ÔÓÑÓ ÓÔ ÝÛ ÖÞÝ¹ ÛÝ ØÓ ÓÛÝ ÒÔº Ó Ö Ù Ð Ô Ý Ô Ö ÓÐ Ô Ö ÓÐ µº Ì Û Ý Ò ÔÓ ÛÝÑ ÖÒ ÖÞÝÛ Þ Ö ÔÓ Ø ( X(t) p(t) = W(t), Y (t) ) W(t),.... ½º µ Ó Ò p(t) = n w i P i Bi n(t) i=0 Ð t [0;1] ½º µ n w i Bi n(t) i=0 Þ Bi n(t) = ( n i) t i (1 t) n i Û ÐÓÑ ÒÝ ÞÓÛ ÖÒ Ø Ò w i Û ÔÙÒ ØÙ ÓÒØÖÓÐÒ Ó P i ÓÛÓÐÒ Ð Þ ÖÞ ÞÝ¹ Û Ø Þ Ð Ò Ó ØÝÔÙ ÖÞÝÛ ØÓ ÓÛ µº ÏÝÑ ÖÒ ÖÞÝÛ Þ Ö ÑÓ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÛ Û ÞÝ Ø ÖÞÝÛ ØÓ ÓÛ Ó Ñ ÞÒ Þ Ò Û Þ ØÓ ÓÛ Ò µ ÖÞÙØ Ô Ö Ô ØÝÛ ÞÒÝ ÖÞÝÛ ÛÝÑ ÖÒ Ø Þ ¹ Û Þ ÖÞÝÛ ÛÝÑ ÖÒ ØÓØÒ Û Ö ÓÑÔÙØ ÖÓÛ µ Ò ØÓÑ Ø ÖÞÙØ Ô Ö Ô ØÝ¹ Û ÞÒÝ ÖÞÝÛ Û ÐÓÑ ÒÓÛ Ò ÑÙ Ý ÖÞÝÛ Û ÐÓÑ ÒÓÛ Û w i ÔÓÞÛ Ð Ò Ð Ô Þ ÓÒØÖÓÐ ÞØ ØÙ ÖÞÝÛ º ÈÓ Ö Ð Ò Ð Ý Û Û Ý ÖÞÝÛÝ Þ Ö Û Ó ØÛ ÖÞ Ò Ù ÓÒØÙÖÙ Ê ÓÒ ØÖÙ ÞØ ØÙ Þ ÔÓÑÓ ÖÞÝÛÝ Þ Ö Ò Ø Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ò ÞÝÐ ÓÑÔÖ ÓÒØÙÖÙ Þ ÔÓÑÓ ÔÙÒ Ø Û ÓÒØÖÓÐÒÝ ÓÖ Þ Ó ¹ ØÛÓÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÖÞÝÛÝ Þ Ö Ø ÓÑÔÖ ØÖ Ø¹ Ò ÊÝ º ½º µ ÑÓ Ý ØÓ ÓÛ Ò ØÝÐ Ó Ø Ñ Þ ÓÔÙ ÞÞ ÐÒ Ô ÛÒ ÞÒ ÞØ Ò ÞØ ØÙ Ó ØÙ ÒÔº Ò Û ÓÞÒ ÐÙ Ñ Ó ÞÒ Þ Ð Ó ÐÙ Þ Óµº Æ ØÓÑ Ø Û ÔÖÞÝÔ Ù ÛÝÑ Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Þ ØÖ ØÒ ÐÙ Ñ Ó ØÖ ØÒ Û ÐÓÑ ÒÝ ÞÝ ÖÞÝÛ ¹ Ð Ò Ò ÑÓ Ý Ù ÝØ º Ï Þ ÐÓ ÔÙÒ Ø Û ÓÒØÖÓÐÒÝ Ò Þ Û Þ Û Þ Û Þ Ó ÒÓ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ Ð Þ ÑÓ ÔÖÓÛ Þ Ó ÞÒ ÞÒÝ ÞÒ ÞØ ÖÞÝÛ Ò Ø ÐÒÓ Ñ ØÓ Ýµ ÔÖÞ ÙÒ Ò Ó ÔÙÒ ØÙ ÓÒØÖÓÐÒ Ó ÞÑ Ò ÖÞÝÛ º

8 ÊÇ Á ½º ÏËÌ È ÊÝ ÙÒ ½º º ÔÖÓ ÝÑ ÓÒØÙÖÙ Þ ÔÓÑÓ ÖÞÝÛÝ ¹ Ð ÒÝ Ó Ø ØÒ Ö Ñ ÒØ Þ Û Ö ÔÙÒ ØÝ ÓÒØÖÓÐÒ µ º ÇÔÖ Þ ÖÞÝÛÝ Þ Ö Û ÔÖÓ ÝÑ ÓÒØÙÖÙ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò ÖÞÝÛ À ÖÑ Ø ³ Ö ÛÒ ØÓ Ô Ö Ñ ØÖÝÞÒ ÖÞÝÛ Û ÐÓÑ ÒÓÛ µ ½ º ÁÒÒ Ø Ò Þ Ô Ù ÓÒØÙÖÙ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ ÞØ ØÙ Ó ØÙ Þ ÔÓÑÓ Ö Ù ¾ º Þ Ø ÑÙ ØÓÔ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ Ø Ð Ô ÞÝ Ò Û Û ÐÙ ÔÓÛ Þ Ò ØÓ ÓÛ ÒÝ Ñ ØÓ Ð Þ ÓÑÔÖ Ø ØÖ ØÒ ÊÝ º ½º µº ÈÖÞÝ Ñ ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ ÓÒØÙÖÙ Ø Ø Ó ÓÛ Ò ÞØ ØÙ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÙÒÓÛÝ Ý Ö Ø¹ Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ ØÝ Ó ÒÙ ÓÛ ½¼¼ º Ê ÛÒ ÔÖÓ ÝÑ Þ ÔÓÑÓ Û ÐÓÑ Ò Û ÖÞÝÛÝ ÛÝ Þ Ó ÖÞ Ù Ñ ØÓ ÈÈ ÈÖÓ Ö Ú ÈÓÐÝ ÓÒ ÒÓ Ò µ Ø ØÖ ØÒ Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖÙº ËØÓ ÓÛ Ò Ø Ø Ù ÓÛ Ò ÓÒØÙÖÙ Ò ÔÓ ¹ Ø Û Þ Ð ØÙ ÒÔº ÔÓ Þ ÓÒØÙÖÙ Ó ØÛÓÖÞ Ò Ñ ØÓ Ö Ø ÙÖÚ ÚÓÐÙØ ÓÒµ ¾ ½½ Ð Þ Ø ÔÓ ÑÓ ÔÖÓÛ Þ Ó Ò Ó Ò Ö ÓÒ¹ ØÖÙ ÓÒØÙÖÙº Ö Ø Þ ØÖ ØÒ ÐÙ Ñ Ó ØÖ ØÒ ÓÖ Þ ØÝÛÒ Ó Ð Þ Ò ÓÛÓ Ñ ØÓ Ý Ö ¹ ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖÙ Ø Ö ÛÖ Þ Þ ÛÞÖÓ Ø Ñ Ð Þ Ý ÔÙÒ Ø Û Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒÝ ÔÖÞÝ Þ ÓÛ Ò Ù ÛÝ Ó Ó ØÓÔÒ ÓÑÔÖ Þ Ô ÛÒ Ó Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò ÞØ ØÙ Ó ØÙº ½º¾ Å ØÓ Ý ÓÑÔÖ ØÖ ØÒ Þ ØÖ ØÒ Ï Û ÐÙ Þ Þ Ò Û Ô Þ Ò Ò Ù Ò ÓÖÑ ØÝ Ð ØÖÓÒ ÓÒÓÑ Ñ Ý¹ ÝÒ Ñ Ø Ñ ØÝ µ ØÓØÒÝÑ Þ Ò Ò Ñ Ø Þ Ô Ó Ö ÞÙ Þ ÔÓÑÓ Ñ Ò Ñ ÐÒ ÐÓ Ò ÓÖÑ Ø Ö ÔÓÞÛÓÐ Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò Ô ÖÛÓØÒ Ó Ó Ö ÞÙ Û ÔÓ Þ Ó¹ Û Ð Ý Ù ÝØ ÓÛÒ º Â Ø ØÓ Þ Ò Ò ÓÑÔÖ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙº Â Ð Ó Ö Þ ÑÙ Ý Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ Ó Ò ØÓ ÓÑÔÖ Ø ÛØ Ý Þ ØÖ ØÒ Ò ØÓÑ Ø Ð ÓÞÛÓÐÓÒ Ô ÛÒ ÞÒ ÞØ Ò Ó Ö ÞÙ ÒÔº ÞÞ Ý Ó Û ÓÞÒ Ð ÐÙ Þ Ó Ó µ ØÓ Û ÛÞ ÓÔÙ ÞÞÓÒ Ñ ØÓ Ý ÓÑÔÖ ØÖ ØÒ º Ï Ò ÓÖÑ ØÝ Þ Þ Ò Þ Ò ÞÛ Þ ÒÝ Ò Þ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Ò ØÔÙ Ñ ØÓ Ý Þ ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ ÊÄ Ä Ï ÈÆ ÄÁ ÄÇ Ç¹Á»ÂÈ ¹ÄË ½½ º Å ØÓ ÊÄ ÊÙÒ¹Ä Ò Ø ÒÓ Ò Ó ÓÛ Ò Ù Ó Ö µ Ù ÞÝ ÓÑÔÖ ÓÑÔÖ Ð Þ Ø ÙØ ÞÒ ØÝÐ Ó Ð Ó Ö Þ Û Û Ø ÖÝ ÔÓÛØ ÖÞ ÓÐÓÖÝ Ò Ô Ð º Å ØÓ Ä Ï Ä ÑÔ Ð¹ Ú¹Ï Ð µ ÞÝ Ó Ó ÖÞ ÓÑÔÖ Ù ÓÑÔÖ Ù Ó Ö ÞÝ Þ Ô Ð Ø

9 ½º¾º Å ÌÇ ÃÇÅÈÊ ËÂÁ ËÌÊ ÌÆ Â Á ËÌÊ ÌÆ Â ÊÝ ÙÒ ½º º ÃÓÑÔÖ ØÖ ØÒ µ ÓÖÝ Ò ÐÒÝ Þ Ä ÓÒ Ö Î Ò µ Ó ¹ ØÛÓÖÞÓÒÝ Ó Ö Þ ¾ º ÓÐÓÖ Û Ò ØÓÑ Ø Û ÔÖÞÝÔ Ù Ó Ö Þ Û Þ ÖÒÓ¹ Ý ØÓÔ ÓÑÔÖ Ø Ò º Ï Ñ ØÓ Ý Ä Ï Ø Ø ÖÓÒ ÓÒ Ø Ô Ø ÒØ Ñ º Å ØÓ ÈÆ ÈÓÖØ Ð Æ ØÛÓÖ Ö Ô µ ÔÓÞÛ Ð Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÛ Ò ÔÖ ØÝÞÒ ÓÛÓÐÒÝ Ó Ö Þ Û Ð Þ Û Ø Ö ÞÓ Ý Û Ô ÞÝÒÒ ÓÑÔÖ Û ÔÓÖ ÛÒ Ò Ù Þ Ñ ØÓ Ñ ØÖ ØÒÝÑ º Á ØÒ Þ ØÖ ØÒ Ð ÓÖÝØÑÝ Þ Ô ÛÒ Ð Ô Þ ÓÑÔÖ º ÄÁ ÓÒØ ÜØ ÔØ Ú ÄÓ Ð ÁÑ ÓÑÔÖ ÓÒµ Ø ÒÝÑ Þ Ò Ð Ô ÞÝ ÔÓ Ó Û Þ ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ Ð Þ Ù Ù Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ º Å ØÓ ÄÇ Ç¹Á»ÂÈ ¹ÄË ÞÓ Ø ÓÔÖ ÓÛ Ò Ò ÔÓ Ø Û ÄÁ Þ ØÛ Ö ÞÓÒ ÔÖÞ Þ ÖÙÔ ÂÈ ÂÓ ÒØ È ÓØÓ Ö Ô ÜÔ ÖØ ÖÓÙÔµº ÈÓ Ò Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ò ÄÁ Ð Ò ÔÓÞÛ Ð Ò Ø ÑÓ Ó Ö ÓÑÔÖ ÄÁ º ØÓ ÓÛ Ò Û Ò Ù Ø Ò ÞÒÝ Ñ Ò ØÔÙ Ñ ØÓ Ý ØÖ ØÒ ÓÑ¹ ÔÖ Ó Ö ÞÙ ÂÈ ÂÈ ¾¼¼¼ ÓÑÔÖ Ð ÓÛ µ ÓÑÔÖ Ö Ø ÐÒ ½½ º ÂÈ ¾¼¼¼ ÔÓ Ö ÞÓ Ó Ö Û Ô ÞÝÒÒ ÓÑÔÖ ÔÖÞÝ Þ Ó¹ Û Ð Ó Ó Ö ÞÙ Ò ØÓ ÙÒ ÓÛÓ ÛÓÐÒÓ Þ º Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÓÑÔÖ Ö Ø ÐÒ Ø Ö ÓÔ ÖØ Ø Ò ÛÝ ÞÙ Û Ò Ù Û Ó Ö Þ Ò Ö Þ Ó ÔÓ Ó ÒÝ Ð Ñ ÒØ Û ÓÔ ÝÛ Ò Ù ØÝ ÔÓ Ó ØÛ ÔÓ Ù Û ÔÓÞ Ø ÓÛ Þ ØÙ ÐÒ ÖÞ Ó ÔÓØÝ Û ÔÖ ØÝ Ø Ò ÖÓ Þ ÓÑÔÖ Þ ÛÞ Ð Ù Ò Ö ÞÓ ÛÓÐÒ Þ Ò º Ö ÞÓ ÔÓÔÙÐ ÖÒ Ñ ØÓ ÂÈ ÔÓÛ Ø Ó ÛÝÒ ÓÔÖ ÓÛ Ò Û ØÓÛ Ó Ø Ò Ö Ù Þ Ô Ù Þ º ÂÈ ØÓ Ò ÞÛ Ý Ø ÑÙ ÓÑÔÖ Ø ØÝÞÒÝ Ó Ö Þ Û Ö ØÖÓÛÝ ÔÖÞ ÞÒ ÞÓÒ Ó ÛÒ Ó ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ó Ö Þ Û Ò ØÙÖ ÐÒÝ Þ Ø Ð Ø ÖÒÝ Ô Þ Ý ÔÓÖØÖ Ø Û ØÔºµ Û Ø Ø Ö Ò Ñ Þ ÝØ Û ÐÙ Ó ØÖÝ Ö Û Þ ÖÓ ÒÝ Ø Ð º Æ ØÓÑ Ø Û ÔÖÞÝÔ Ù Ó ¹

10 ½¼ ÊÇ Á ½º ÏËÌ È Ø Û Þ ÛÝÖ õò Þ ÞÒ ÞÓÒÝÑ Ö Û Þ Ñ ÒÔº Ò Ô ÓÒØÙÖ ÔÖÞ Ñ ÓØÙµ Ð ÓÖÝØÑ ÂÈ ÑÓ Û Ò ÔÓ Ò Ö ÞÙÐØ ØÝº Å ØÓ Ý ÓÑÔÖ ØÖ ØÒ ÔÓ Ò Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÔÓÞÛ Ð Ò ÛÝ Ó ØÓÔ ÓÑÔÖ Ò Þ ÛÞ Ð Ù Ò Ö ÑÓ Ð ÛÓ Ó Ò Ó Ó ØÛÓ¹ ÖÞ Ò ÒÝ Ò ÑÓ Ý Ù ÝØ Û Û ÐÙ ÔÖÞÝÔ º Æ ØÓÑ Ø Ñ ØÓ Ý ÓÑ¹ ÔÖ Þ ØÖ ØÒ Þ ØÓ Ò ÞÒ Ù Þ ØÓ ÓÛ Ò Þ ÔÓÛÓ Ù ÛÝ Ó Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÐÙ Ò ÛÝ Ø ÖÞ Ó ÖÞ Ù ÓÑÔÖ º Ï ÔÓÑÒ Ò Ñ ØÓ Ý ÓÑ¹ ÔÖ ØÖ ØÒ Ò ÑÓ Ý Ù ÝØ Û Û ÐÙ Þ Þ Ò ÒÔº Û Ñ ÝÝÒ Þ Ò ÓÖÑ ÑÙ Ý Ó ØÛÓÖÞÓÒ Ö ÞÓ Ó Ò µ Ò ØÓÑ Ø Ñ ØÓ Ý Þ ØÖ ØÒ Û Û ÐÙ ÔÖÞÝÔ Þ ÝØ ÛÓÐÒ ÐÙ Ò Þ Ô ÛÒ Þ ÓÛ Ð Ó ÖÞ Ù ÓÑ¹ ÔÖ º ÃÓÑÔÖ ÒÝ ÑÓ ÓØÝÞÝ Ò ÓÖÑ Ø ØÓÛÝ õû Ù ÑÓÛÝ ÑÙ¹ ÞÝ µ Ó Ö ÞÙ Þ Ö µ ÐÑÙº Ã Ý ØÝÔ ÒÝ ÓÖÞÝ Ø Þ Ó Ö ÐÓÒÝ Ñ ØÓ ÓÑÔÖ Ò Ð Ô ÔÖÞÝ ØÓ ÓÛ ÒÝ Ó Þ Ò Ò Ô Ý ÞÒÝ ØÝÔ ÔÐ Ûº ÈÓ ÙÑÓÛÙ Ö Ø Ñ ØÓ Ý Þ ØÖ ØÒ ÐÙ Ñ Ó ØÖ ØÒ µ ÓÑÔÖ ÔÖÞ Þ¹ Ò ÞÓÒ Ô ÐÒ Ð Ó Ö ÞÙ Ò ÖÒ Ó Þ ÖÒÓ¹ Óµº ÏÝÑ Ò ÓÒ Ñ ØÓ Ý Þ ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ ÓÐÓÖÓÛ Ó Ù ÛÒ Û Ð Û Ý ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò Ó Ó Ö ÞÙ Þ ÖÒÓ¹ Óº Å ØÓ Ý ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ ÑÓ Ý ØÓ ÓÛ Ò Ø Ñ Þ ÔÓÑ ÑÓ ÞÒ ÞØ Ò Ó Ö ÞÙ ÙÑÝ Þ ÓÛ Ø Û Ø Ò Ó ØÛÓÖÞÝ Ô Ö¹ ÛÓØÒÝ ÛÝ Ð Ð Þ ØÓ ØÝÐ Ó ÛÝ Ö Ò ÔÖÞÝÔ Þ ØÓ ÓÛ ØÖ ØÒÝ Ñ ØÓ ÓÑ¹ ÔÖ º ½º Å ØÓ Ý Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó Ò Þ ÝÑ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ñ Þ Ô Ù ÓÑÔÖ µ Ó Ö ÞÙ ÛÝ Ý ÔÖÞÝÔ ØÓÑÓ¹ Ö ÓÑÔÙØ ÖÓÛ ÌÃµº Ï ÌÃ ÔÖÞ Ö ÐÙ Þ Ó Ø ÒÓÛ ÒÝ ÊÝ º ½º µ Þ Ô Ñ Ø ÒÝ Ò ØÔÒ Þ Ù ÐÓ Ò Û Ö ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ Ø ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ Ó Ö Þ Ö Ñ ÒØÙ Þ ÓÛ ½ º È ÒÝ Ó Ö Þ Þ ÑÙ Û ÓÑÔÙØ ÖÞ Þ Ø ÞÝ Ø Ñ Ø Ûº ÍÞ Ò ÓÒ Ø Û ÔÝØ Ò ÞÝ ÑÓ Ò Ø Ó Ö Þ ØÓÑÓ¹ Ö ÞÒÝ ÓÑÔÖ ÓÛ Þ Ó ÔÓÛ Ò Ñ ØÓÔÒ Ñ ÓÑÔÖ ÔÓØ Ñ ÞÝ Ó Ó¹ Ò Ó ØÛÓÖÞÝ ÓÑÔÖ Þ ØÖ ØÒ µº ÊÝ ÙÒ ½º º ÌÓÑÓ Ö ÞÒ Ò ÓÐ ÒÝ ÔÖÞ ÖÓ Û Þ ÓÛ ½ º Ï Ó Ò Ù ÝÛ ÒÝ Ñ ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Û ÞÙ Ð Þ Ó Ö ÞÙ ØÓ Ù Ó ÔÓÛ Ò ÙÒ ÞÓÛ ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ º Å ØÓ Ý Ø ÞÒ Ò Ó Ð¹ Ö ÞÒ Ø Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Ð Ö Ê ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ì Ò ÕÙ ÊÌ µ ½

11 ½º º Å ÌÇ Ê ÃÇÆËÌÊÍÃ ÂÁ Ç Ê Í ÌÇÅÇ Ê Á Æ Ç ½½ ½½ º Ï ØÖ ÝÝ Ò ÌÃ Ò Þ Ö Ò ØÝÐ Ó Þ ÛÝ Ö Ò Û Ö ØÛÝ Ø Ò Þ ¹ Þ ÑÙ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Û Ö ØÛÝ Ð ÙÑ Ð Ñ ØÖÓÛ ÖÙ Ó Ò Ô ¹ ÞÞÝÞÒº Ï ÒÝÑ Þ Ò Ò Ñ Ø ÞÝ Ó Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò Ó Ö ÞÙ ØÓ¹ ÑÓ Ö ÞÒ Ó ÔÓ ÓÑÔÖ º ÔÓÛÓ Ù Û Ð ÐÓ Ò ÓÖÑ ÔÓØÖÞ ÒÝ Ó ÛÝ Û ØÐ Ò ÔÖÞ ÓÛ Ò Ó Ö ÞÙ Û ÒÓÛÓÞ ÒÝ Ý Ø Ñ ÌÃ Þ ØÓ ÛÝ Ó¹ ÖÞÝ ØÙ Û ÓÑÔÙØ ÖÝ Ò Ø ÖÙ Þ Ò Ñ Ó ÔÖÞØÙ Ñ ÝÞÒ Ó ÖÙ ÔÓ Ý Þ Ö Ù Ý Ð ÔÖÓ ÓÖ Ûµ Ø Ó ÔÓÛ Þ ÐÒÝ Þ Ö ÓÒ ØÖÙ ÔÖÞ Ø Û Ò Ó Ö ÞÙº Ï Ó Ø ØÒ Ñ Þ ÓÐ Ù Û Ù Ø ÖÓ ÓÞ Ö ¹ Ò Ó Þ Ö Ù Ë Á ÇØ Ò ÞÝ ÇÒÝÜµ Þ Ô ÛÒ ÔÓÞ ÓÑ Ö ÓÒ ÞÒÝ Û ÌÃ Ó ÞØÓÛ ÔÓÒ ¾¼ ¼¼¼ ½¾¼ º ÏÝ Ó ØÓÔ ÓÑÔÖ ÓÖ Þ ÞÝ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ¼ Û ÒÝÑ ÞÝÒÒ Ñ Û ÞÑÒ Þ Ò Ù ÐÓ ÔÖÞØÙ ÓÑÔÙØ ¹ ÖÓÛ Ó Ù ÝÛ Ò Ó Û ÌÃ Þ ØÝÑ ÞÛ Þ Ò Ø ÞÑÒ Þ Ò Ó ÞØ Û Ó Þ Ø ÛÙ ÌÃº ÈÓÛ Þ Ò Ù ÝÛ Ò Ñ ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Û ÌÃ Ø Û Ø ÞÒ ÔÖÓ Þ ÐØÖÓÛ Ò Ñ ½ ½¾¼ º Â Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÛÝÒÓ O(N 2 log 2 N) ÔÖÞÝ Ó ØÛ ÖÞ Ò Ù Ó Ö ÞÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ N 2 N N N = 256 ¾¼ ½¾ ½¼¾ µ Ô Ð ¾ º Å ØÓ Ø Ñ Þ ØÓ ÓÛ Ò Û ØÓÑÓ Ö Û ÞÝ Ø Ò Ö º ÈÓ ÞÙ Û ÒÝ Ó Ö Þ Û Û Û ÖØÓ Ð Þ ÓÛ ÔÖÞÝÔ Ò ÔÓ ÞÞ ÐÒÝÑ Ó Ð Ñ ÒØÓÑ ÔÓ Ó Ò ÓÐÓÖ ÒÓ µ ÒÝ Ø ÔÓÔÖÞ Þ Ñ ÖÞ Û Ô ÞÝÒÒ Û Ó Ò ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò µ(x,y)º Ï Ð Ó ÞÔÓ Ö Ò Ó Ñ ÖÞÓÒ Ò Ò Û Ô ÞÝÒÒ Ó Ò Ð Þ Ò Ø Ò ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò º Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ö ØÖÓÛ Ò Þ ÖÒÓ¹ Ý ÓÒØÙÖ Û Û Þ ÒÝ ÒÔº ÓÐÓÖ ÒÓ µ Ø Þ Ô ÝÛ Ò Ò ÔÓØÖÞ Ò º Ï ÐÙ ÙÒ Ò ÔÖÞ ÖÛ Û ÒÓÛ Ò Ù ÓÐ ÒÝ ÔÖÞ ÖÓ Û ÔÓ Þ Ø ÖÝ Ó Ô ÒØ Ò Ö ÓÒ Ø Ò ÔÖÞ ÙÒ ÞÑ Ò ÔÓÞÝ ØÓ Ù ØÓÑÓ Ö Ô Ö ÐÒ ½ º Ç ØÛÓÖÞ Ò Ó Ö ÞÙ ÔÓ ÒÓÛ Ò Ù Ô Ö ÐÒÝÑ ÛÝÑ Ó Ý Ø ÑÙ ÓÑÔÙØ ÖÓÛ Ó Û Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù ÒÓÛ Ò Û Ö Ø¹ Û Ñ Ý Ò ÔÓØÖÞ Ò Ó Ö ÓÒ ØÖÙ ÔÓ ÝÒÞ Ó Ô Ó ÔÖÞ ÖÓ Ù ÙÞÝ Û Ò Þ Þ ÓÖÙ ÒÝ Þ Ö ÒÝ Þ Ô ÛÒ Ó ØÓ Ô ÒØ º Ì Ò Ô Ö ÐÒ Ö Þ Ò Ó ½¼ Ñ ÒÙØ Ò ØÓÑ Ø ÓÒÛ Ò ÓÒ ÐÒ Ò ÌÃ ØÖÛ Ó Ó Ó ¼ Ñ ÒÙØº ÃÖ Ø Þ Ò Ø Ö ÞÓ Û ÒÝÑ ÞÝÒÒ Ñ Û Ò Ý ÛÝÔ ÓÖ Þ ÛÔ ÝÛ Ò ÞÑÒ Þ Ò Ó ÞØ Ûº Â Ð ÓØÓÛ Ò Ñ ÝÞÒ Ø Ò ÒÓÛ Ò Ô Ö ÐÒ Óµ ÐÙ ÞÖ ÓÒ¹ ØÖÙÓÛ Ò ÔÖÞ ÖÓ ÔÓÔÖÞ ÞÒ ØÖ ÝÝ Ò ÌÃµ Û ÛÞ Ó ÓÒÙ Ö ÓÒ ØÖÙ Ð Ñ ÒØ Û ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛÝ Ó Ö ÞÙ ¾¾ º Ç Ö Þ Ñ ÝÞÒÝ Ò ÑÓ ÞÓ Ø Ó ØÛÓ¹ ÖÞÓÒÝ Û Ò ÝÒ ÖÝ ÒÝ ÔÖÓ Ö Ñ ØÝÔÙ ÓÑÔÙØ Ö Ò ÓÑÔÙ¹ Ø ÖÓÛ Û ÔÓÑ Ò ÔÖÓ ØÓÛ Ò µº Ï Ò ÖÞ Þ ØÝÔÙ Ó Ö Þ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ò ÔÓ Ø Û ÔÓÑ Ö Û Ñ ÝÞÒÝ ÑÓ Ý ÞÒ ÞØ ÓÒÝ Ñ Ó ÞÝØ ÐÒÝº ÈÓ Ø ÛÓÛ Ñ ØÓ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ó Ó Ö ÞÙ ÔÓÐ Ò ÔÓ ¹ Þ Ò Ù Þ Ó Ò ÑÒ ÞÝ Ð Ñ ÒØ Û Ó ØÓ ÚÓ Ð Þ Ò º ÚÓÜ Ð ÚÓÐÙÑ Ð Ñ ÒØµ Ó ØÝ ÑÝ Û ÖØÓ Ý Ø Ñ Ñ ÒØ ÒÝ º ÇÞÒ Þ ØÓ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Ò Þ ÓÖÝ ÚÓ Ð ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Û ÖÙÔÝ Û Ù ÔÖÞÝ ØÝ ÖÝØ Ö Ûº ÎÓ Ð Ò Ð Ó Ø Ñ ÖÙÔÝ Ñ Ø Ò Ñ Ò Ø Ö ÑÙ ÔÖÞÝÔ ÑÓ Ò ÓÐÓÖ Û ÐÙ ÛÝ Û ØÐ Ò Ò Ö Ò º ÇÞÒ Þ ØÓ ÑÓ Ò ÔÖÞÝ ÓÛÓ ÔÖÞ Ø Û ØÝÐ Ó Ø ÚÓ Ð Ø Ö Ñ ÒÝ ÓÐÓÖ ÒÔº ÓÖØº ÁÒÒ Ñ ØÓ Ù ÓÛÝ Ó Ö ÞÙ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Ó Ø ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÔÖÞ ØÖÞ Ò¹ Ò Ø Þ Ó ÓÒ Þ Û ÐÓ Ø Û Ñ ÑÓ ÐÐ Ò µ º Ë Ø Ø Ø Þ Ù ÓÛ Ò Ò ÔÓ Ø Û Ô ÐÒ Ó Ö ÒÝ ÛÞ Ûº ÏÝÖ Ò Ò Ð Ý Ò ØÔÙ Ñ ØÓ Ý Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó ½

12 ½¾ ÊÇ Á ½º ÏËÌ È ½º Ê ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ÔÖÞÝ Ù Ý Ù Ö ÛÒÓÐ Ó Ù Ù ÔÖÓ Ý Ò Ó µ Ñ ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý Ò Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÔÐÓØÙ Û Ø ÞÒ ÔÖÓ ÔÓ Ø ÛÓÛ Ñ ØÓ Þ ÛÞ Ð Ù Ò ÔÖÓ ØÓØ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ý Ò ÛÝ ÓÖÞÝ ¹ ØÙ ÒØ ÖÔÓÐ Û ÖØÓ ÔÖÓ ÓÐÓÖ ÒÓ µ Û ÔÙÒ ÔÖÞ Þ Ø ÖÝ Ò ÔÖÞ Ó Þ ÔÖÓÑ Ò Û ÒÝÑ ÖÞÙ Ò ÔÓ Ø Û Ò Ð Ò ÔÖÓ Ý ÒÝ Ò ÖÞÙØ Ûµ µ Ñ ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý Ò Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÐØÖ Û Ø ÞÒ ÔÖÓ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÛÝÒÓ O(N 2 log 2 N) ÔÖÞÝ Ó ØÛ ÖÞ Ò Ù Ó Ö ÞÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ N 2 Ô Ð Þ N Ø Û Ð Ó Ó Ù Ð Þ Ô Ð µ Û ¹ Ö ØÓÛ Ó Ó Ö ÞÙ µ Ñ ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý Ò Þ ÒÛ Ö ÓÙÖ ÖÓÛ ÓÔ ÖØ Ò ÛÙÛÝÑ ¹ ÖÓÛ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö º ¾º Ê ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ÔÖÞÝ Ù Ý Ù Ù Ù ÔÖÓ Ý Ò Ó Þ Û Þ Ù ÓÖÑÓÛ Ò Û Û Ð ÖÞ µ Ñ ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý Ò Þ ÔÖÞ ÓÖØÓÛ Ò Ñ ÛÝ ÞÙ Ù ÔÓ Ö Û ÞÝ Ø Ó ÓÒ ÒÝ ÔÖÓ Ø ÔÖÓÑ Ò Ø Ö Ó ÔÓÛ Ý Ý ÔÖÞ Ñ ÔÓØ ØÝÞÒÝÑ ÔÖÓÑ Ò ÓÑ Ö ÛÒÓÐ ÝÑ ÔÖÞ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÓ¹ µ Ò ØÔÒ Ù ÝÛ Ñ ØÓ Ý ÓÖÑÙ ÓÛ Ò Ð Ö ÛÒÓÐ Ó Ù Ù ÔÖÓ Ý Ò Ó µ Ñ ØÓ Þ ÞÔÓ Ö Ò Ñ Ù Ý Ñ ÔÖÓ Û Ð ÖÞÓÛÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ø ÔÖÞ ÞØ ÓÒ Ñ ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý Ò Ô ÖÛÓØÒ ÓÖÑÙ ÓÛ Ò Ð Ö ÛÒÓÐ Ó Ù Ù ÔÖÓ Ý Ò Ó Ù Ý ÞÛ Þ Û ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒÝ Ð Ö ÒÝ Ù Û ÔÖÓ Ý ÒÝ µº º Ê ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Û ØÓÑÓ Ö Ô Ö ÐÒ µ Ð ÓÖÝØÑ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý ÒÝ ¼ ÄÁ Ð ÔÓ ÝÒÞ Ó ÔÖÞ ÖÓ Ùµ Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù Ó ÔÓÛ Ò ÓÖÑÙ Ý ÒØ ÖÔÓÐ Ð Ò ÓÛ ÄÁ Ð Ò Ö Ò¹ Ø ÖÔÓÐ Ø ÓÒµ ÑÓ Ð Û Ø ÙÞÝ Ò Ò ÔÓ Ø Û ÔÓÑ Ö Û ÔÖÓ Û ¹ Ð ÖÞÓÛÝ Ò ØÔÒ Ù ÝÛ Ñ ØÓ Ý ÓÖÑÙ ÓÛ Ò Ð Û Ð ÖÞÓ¹ Û Ó Ù Ù ÔÖÓ Ý Ò Ó µ Ð ÓÖÝØÑ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý ÒÝ ½ ¼ ÄÁ Ð ÔÓ ÝÒÞ Ó ÔÖÞ ÖÓ Ùµ ÔÖÓ¹ ÛÝ ÓÒ Ò Û Ô Ö ÐÒÝÑ Ù Þ ÔÖÓ Ý ÒÝÑ ÔÓ Ó ÔÓÛ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ÔÖÓ ÙÞÝ Ù ÔÖÓ Û Ð ÖÞÓÛ µ Ð ÓÖÝØÑ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý ÒÝ Ü¹½ ¼ ÄÁ Û Ö Ð Û ÐÙ ÔÖÞ ÖÓ Û µ Ð ÓÖÝØÑ Ð ÑÔ Û Þ ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ù ÓÖÑÓÛ Ò Ø Û ØÓ Ð ÓÖÝØÑ Ø Ò Ø ÒÓÛ ÖÓÞÛ Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Ð Û Þ Û Ð ÖÞÓÛ µ Ð ÓÖÝØÑ Þ Þ Û Ò ÓÛ ÒÝÑ ÓÖØÓÛ Ò Ñ Ð ÔÓ ÝÒÞ Û Ö ØÛÝ ËËÊ Ú Ò Ë Ò Ð ¹ËÐ Ê ÒÒ Ò µ Ñ ØÓ Ù Ù Þ Ó¹ ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ º º Ð Ö ÞÒ Ø Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Ý Ò ÊÌ Ð Ö Ê ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ì ¹ Ò ÕÙ µ µ ÔÓ Ø ÛÓÛÝ Ð ÓÖÝØÑ ÊÌ ÔÓÐ ÓÒ Ò Ø Ö Ý ÒÝÑ ÖÓÞÛ ÞÝÛ Ò Ù Ù Ù Ö ÛÒ ÓÔ Ù ÝÑ Þ Ù Ý Ñ ÙÒ ÞÓÛÝ ÔÓ ÞÞ ÐÒ Ô Ö Ñ ØÖÝ Ó Ö ÞÙ Ëº ÃÖ Ñ ÖÞ ½ µ

13 ½º º ÈÊ ÅÁÇÌ ½ µ Ð ÓÖÝØÑ ÊÌ Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ñ Ö Ð Ó ÔÓ Ø ÛÓÛ ÓÖÑÙ Ý Ø ¹ Ö Ý Ò ÛÔÖÓÛ Þ Ó Ø ÓÛÝ Ô Ö Ñ ØÖ µ ÓØÝÞÒÝ Ð ÓÖÝØÑ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý ÒÝ ÊÌ Û ÝÑ ÖÓ Ù Ø Ö ÛÝ¹ ÓÖÞÝ Ø ÒÝ Ø ÒÒÝ Þ Ø Û ÒÝ ÛÝ Ö Ø Ò Ø ÐÓ ÓÛÝº Ï Ñ ØÓ ÛÝÑ Ò ÓÒÝ Û ÔÙÒ Ø ½ Ø Ù Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÖÞ Ù Ó Ò ÑÒ O(N 2 log 2 N) ÔÖÞÝ Ó ØÛ ÖÞ Ò Ù Ó Ö ÞÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ N 2 Ô Ð º Ï Ñ ØÓ ÓÔ ÒÝ Û ÔÙÒ Ø ½ ØÓ Ù ÒØ ÖÔÓÐ ÐÙ ÔÖÓ ÝÑ Ó ÔÓÛ Ò ÒÝ Ó ÔÓÛÓ Ù Ý Û Ó ØÛ ÖÞ ÒÝ Ò ÓÖÑ º ÌÓÑÓ Ö ÞÒ Ù Þ ØÓ ÓÛ Ò Ò ØÝÐ Ó Û Ñ ÝÝÒ Ð Þ Ø Û ÔÖÞ ÑÝ Ð º Â Ø ØÓ ØÓÑÓ Ö ÔÖÓ ÓÛ Þ ÑÙ Ø Ò Ñ ÔÓÑ ÖÓÛÝÑ ØÖÙ ØÙÖÝ Ñ ¹ Ø Ö Û Ô ÝÒ Û ÔÖ Ó ÔÖÞ Ô ÝÛÙ Û Þ ÖÞ ÞÝÛ ØÝÑº Å ØÓ Ý Ö ÓÒ¹ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Û ØÓÑÓ Ö ÔÖÓ ÓÛ Ò ØÔÙ Ñ ØÓ ÔÖÓ Û Ø ÞÒ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò Ø Û Ñ ÝÝÒ µ ½ ½¾¼ Ñ ØÓ Ý Ø Ö Ý Ò ÓÔ ÖØ Ò Ñ Ò Ñ Ð Þ Ù Ö ÓÒ ØÖÙ ÛÖ Þ Þ ÓÐ ÒÝÑ Ø Ö Ñ µ Ñ ØÓ Ý Ò Ð ¹ ØÝÞÒ ÔÓ Ø Û Ö ÛÒ Ò Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ ÓÔ Ù Ó ØÛ ÖÞ ÒÝ Ó Ö Þµ ½ º Ï ÔÖÓ Û Ø ÞÒ Ò ÛÝÖ õò ØÖÙ Ò Ó Ù Ø Ð Ò Ö Ò Ñ ÞÝ ÛÓÑ Ó ÖÓ Ñ º ÈÓÔÖ Û ÓÒØÖ ØÙ ÞÛ Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ø Ñ ØÓ Ýº Å ØÓ Ý Ø Ö Ý Ò ÛÓÐÒ Þ Ó Ò Ð ØÝÞÒÝ Ð Ø Ó Û Û ÐÙ ÔÖÞÝÔ Ò Ó ÔÖÞÝ ¹ º Å ØÓ Ý Ò Ð ØÝÞÒ ÞÒ Ù ÓÖ Þ Û Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò Û ØÓÑÓ Ö ÔÖÓ ¹ ÓÛ º Ç ÔÓÛ Ò ØÓÔ ÓÑÔÖ ÒÝ Þ ØÖ ØÒ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ÔÖÞÝ Ò Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÐÙÞÓÛÝÑ Þ Ò Ò Ñ Û ØÓÑÓ Ö ÓÑÔÙØ ¹ ÖÓÛ ½¼½ º Ö Ø Ñ ØÓ Ý Ò Ð ØÝÞÒ Ø Ö Û ÔÓ Þ Ò Ù Þ Ù Ó ÒÓ ÒØ ÖÔÓÐÓÛ ÒÝ ÒÝ ÔÖÞÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ù ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ ÞÝ Ò Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ø ÒÓÛ Ý ÒÓÛ ÔÓ Ó Þ Ò Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ¹ Ö ÞÒ Óº ½º ÈÖÞ Ñ ÓØ ÈÖÞ Ñ ÓØ Ñ Ñ ØÓ Ý ÓÑÔÖ Þ ØÖ ØÒ ÐÙ Ñ Ó ØÖ ØÒ ÓÑ¹ ÔÖ ÓÒØÙÖÙ Ó Ö ÞÙ Þ ÖÒÓ¹ Óº ÏÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò Ñ ØÓ Ý Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒ¹ ØÙÖÙ Ò ÔÓÞÛ Ð Ò Ó Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÛÓÐÒ Ó ÓÒØÙÖÙº Ï ÞÓ ØÒ ¹ Ý Ó Ò Ñ ØÓ ÓÑÔÖ Þ ØÖ ØÒ Ð Ô Þ ØÝ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ó Ö ÞÙ ÓÐÓÖÓÛ Ó Þ Ö µ Ò Þ ÖÒÓ¹ Óº Å ØÓ Ý Þ ØÖ ØÒ ÔÓÞÛ Ð Ò Ó ÔÓÛ Ò ÖÞ ÓÑÔÖ Ó ÞØ Ñ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ º Æ ØÓÑ Ø Ñ ØÓ Ý ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ ÑÓ Ý ØÓ ÓÛ Ò ØÝÐ Ó Û ØÝ Þ Ò Ò Þ Ò Ø ÛÝÑ Ò Ó Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÖÝ Ò ÐÒ Ó Ó Ö ÞÙº Â Ð ÓÒ ÞÒ Ø Û ÖÒ Ö ÓÒ ØÖÙ ÒÝ Û ÛÞ Ò Ð Ý Ù Ý Ñ ØÓ Þ ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ º ÊÓ Þ Ò Ñ ÖÞÝ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ ÛÝÑ ÖÙ N = 2 ÞÓ Ø ÛÝ ÓÖÞÝ ¹ Ø Ò Ó Ù ÓÛÝ Ý Ö ØÒ Ó ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÖÞÓÛ Óº Å ÖÞ ÀÊ Ñ ÖÞ Ñ Ó ÒÓ¹ ÝÑ ØÖÝÞÒÝÑ ÓÖ Þ Û ÞÝ Ø ÓÐÙÑÒÝ Û Ö Þ Ô Ö Ñ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ º ÛÒ ÔÖÞÝ Û ÓÒ ØÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ò ÔÓ Ø Û ØÝ Û Ò Ñ ÖÞÝ Ø Ø Ó ÒÓ¹ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ñ ÖÞ ÛÝÑ ÖÙ N = 2 ØÝÐ Ó Ø Ó ÛÝÑ ÖÙµ ÑÓ Ò Þ Ô Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ N 1 Ñ ÖÞÝ ÀÊ Ó Ð Ñ ÒØ ¼ 1 ½ Ñ ÖÞÝ ÒØÝÞÒÓ ÓÛ I N º Ì Ó ÒÓ¹ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ñ ÖÞ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ð Ò ÓÛÝ M Þ Û Ô ÞÝÒÒ Ñ Ó Ö ÒÝÑ Ð ÛÞ Û ÊÝ º ½º ½º½¼µ ÔÓ Û ÞÝ Ø ÓÐÙÑÒÝ Û ÞÝ Ø Û Ö¹ Þ Ô Ö Ñ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ º ÃÓÐÙÑÒÝ Ø ÒÓÛ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Û ØÓÖÝ ÞÓÛ Ø Ö Ð

14 ½ ÊÇ Á ½º ÏËÌ È Û Ô ÞÝÒÒ Û Þ Ô ÒÝ Û Û ØÓÖÞ Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x ÔÓÞÛÓÐ ÛÝÞ¹ Ò ÞÝ Û ØÓÖ ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ y Þ Ö ÛÒ Ò y = Mxº ÓÛÓÐÒ ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ Ñ ÖÞÝ ÀÊ Ñ ÖÞÝ ÒØÝÞÒÓ ÓÛ ÛÝÑ ÖÙ N ÑÓ Ý ÙØÓ ¹ Ñ Ò Þ Ð Ñ ÒØ Ñ ÔÖÞ ØÖÞ Ò R 2 R 4 R 8 Ð Þ Ñ Þ ÔÓÐÓÒÝÑ Û Ø ÖÒ ÓÒ Ñ Ó ØÓÒ ÓÒ Ñ ÞÛ ÒÝÑ Ð Þ Ñ ÝÐ Ý³ µº ÇÔ Ö ØÓÖ M : R N R N ÓÖ Þ ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒÝ M 1 : R N R N ÞÓ Ø Ò ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ó Ó Ð Þ Ò Ö Ù Ý Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ó Ö ÞÙ Þ Þ Ð ÒÓ ÓÑ Mx = y ÓÖ Þ M 1 y = xº ÈÖÞ Ñ ÓØ Ñ Ø Ö ÛÒ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Ó Þ ÛÝ Ó¹ ÖÞÝ Ø Ò Ñ Ñ ÖÞÝ ÀÊº Ç ØÛÓÖÞ Ò Ó Ö ÞÙ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ó Ø ØÓØÒ Û ØÝ Þ Þ Ò Û Ø ÖÝ Ó Ö Þ Ô Ò ÛÝ Ø ÖÞ ÐÓ Ò ÓÖÑ Ó Ö ÓÒ¹ ØÖÙÓÛ ÒÝÑ Ó º Ï ÔÖ Ý Ó ÓÒ ÒÓ Ò Ð ÞÝ ÔÖÓ Ð Ñ Û ÞÛ Þ ÒÝ Þ Þ ØÖ ØÒ ØÖ ØÒ ÓÑ¹ ÔÖ ÓÒØÙÖÙ Ó Ö ÞÙ ÓÖ Þ ÓÔÖ ÓÛ ÒÓ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÒÓ Ý Ö ØÒÝ Ñ ÖÞÓÛÝ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ò ÔÓ Ø Û ÖÓ Þ ÒÝ Ñ ÖÞÝ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ º ÙØÓÖ Ò Ò Þ ÔÖ Ý ÓÔ ÙÞ Ò Û ÒÓ Ø Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÞÛ Ò Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÇÀÊµ ÓÖ Þ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ñ ØÓ Þ ØÖ ØÒ Ó Ó ØÛ ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û ÓÒØÙÖ Û Ó Ö Þ Û Þ ÖÒÓ¹ Ý ÞÛ Ò Ñ ØÓ ÅÀÊµ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÇÀÊº ½º Ð Þ Ö ÔÖ Ý Ð Ó ÔÓÛ Ò Ó ÔÖÞ Ø Û Ò ÔÓ Ø ÛÓÛ Ó Þ Ò Ò Ø ÖÝÑ Þ ÑÙ ÑÝ Û Ò Ò Þ ÖÓÞÔÖ Û ÛÔÖÓÛ õñý Ð ÔÓ Ø ÛÓÛÝ ÔÓ º Ì Ð ½º½º È Ð Ò Ð ÒÖ ½ ¾ ½ Ò ½º½º ÞÔÓ Ö Ò Ñ Ñ Ô Ð ÒÖ ½ Þ Ì º ½º½ Ò ÞÝÛ ÑÝ µ ØÝÐ Ó Ô Ð ¾ º Ò ½º¾º ÈÓ Ö Ò Ñ Ò ÞÔÓ Ö Ò Ñ µ Ñ Ô Ð ÒÖ ½ Þ Ì º ½º½ Ò ÞÝÛ ÑÝ µ ØÝÐ Ó Ô Ð º Ò ½º º ÃÓÒØÙÖ Ñ Ò Ó Þ ÓÖÙ Ô Ð Ò ÞÝÛ ÑÝ Þ Ö Û ÞÝ Ø Ô Ð Ò Ð Ý Ó Ø Ó Þ ÓÖÙ Ñ Ý Ó Ò ÑÒ Ò Ó ÞÔÓ Ö Ò Ó Ò Ò Ð Ó Ó Ø Ó Þ ÓÖÙ Ô Ð º Ð Ó Ö ÞÙ Þ ÊÝ º ½º ÛÝ Þ ÐÓÒÓ ØÖÞÝ ÓÒØÙÖÝ ÊÝ º ½º µº ÊÝ ÙÒ ½º º ÈÖÞÝ Ó Ö ÞÙ Þ ÖÒÓ¹ Óº

15 ½º º Ä Á ÃÊ Ë ÈÊ ½ ÊÝ ÙÒ ½º º ÈÖÞÝ Ó Ö ÞÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ ØÖÞ ÓÒØÙÖ Ûº Ð Ñ ÔÖ Ý Ø ÓÔÖ ÓÛ Ò ØÝÛÒ Ó Ð Þ Ò ÓÛÓ Ñ ØÓ Ý ÓÑ¹ ÔÖ Þ ØÖ ØÒ Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖ Û Þ Ó ÓÛ ÒÝ Û ÔÓ Ø Þ ÓÖÙ ÛÞ Ûº Ç Ò ÐÙ ÔÖ Ý ÛÝÑ Ó Ò Ð ÞÝ ÔÖÓ Ð Ñ Û ÞÛ Þ ÒÝ Þ Þ ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ ÓÒØÙÖÙ Ó Ö ÞÙ ÓÖ Þ ÓÔÖ ÓÛ Ò ÔÓ Ó Ù ÓÒ ØÖÙ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ý Ö ØÒ Ó Ñ ÖÞÓÛ Ó ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Þ Ù ÓÛ Ò Ó Ò ÔÓ Ø Û ÖÓ Þ ÒÝ Ñ ÖÞÝ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ º ÙØÓÖ Ò Ò Þ ÔÖ Ý ÓÔ ÙÞ ¹ Ò Û ÒÓ Ø Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÞÛ Ò Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÇÀÊ ÓÖ Þ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ñ ØÓ Þ ØÖ ØÒ Ó Ó ØÛ ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û ÓÒØÙÖ Û Ó Ö Þ Û Þ ÖÒÓ¹ Ý Ð ÞÛ Ò Ñ ØÓ ÅÀÊº ÈÓÖ ÛÒ ÒÓ ØÒ Ñ ØÓ Ý ÓÑÔÖ ØÖ ØÒ Þ ØÖ ØÒ Þ ÅÀÊ Ø ÔÓÖ ÛÒ ÒÓ ÅÀÊ Þ ØÓ ÓÛ ÒÝÑ Ó Ò Ñ ØÓ Ñ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Óº Ë ÓÖÑÙ ÓÛ Ò ÔÓ Ø ÛÓÛ Ó Þ Ò Ò Ï ÒÝÑ Þ Ò Ò Ñ Û Û Ô Þ Ò Ò Ù Ø Þ Ô ÒÝ ÒÔº Ó Ö ÞÙµ Þ Ù Ý¹ Ñ Ø ÐÓ Ò ÓÖÑ Ø Ö ÔÓÞÛÓÐ Ò ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÓÑÔÖ ÓÛ ÒÝ ÒÝ Û ÔÓ Ó ÔÓÛ Ò Ó ØÙ ÐÒÝ ÔÓØÖÞ º ÃÓÑÔÖ Þ ØÖ ØÒ ÔÓÐ Ò Ó ÒÝÑ Ó ØÛÓÖÞ Ò Ù Ô ÖÛÓØÒÝ ÒÝ Ò ØÓÑ Ø ÓÑÔÖ ØÖ ØÒ Ó¹ ÔÙ ÞÞ Ô ÛÒ Ò Ó ÒÓ º Å ØÓ Ý ÓÑÔÖ ØÖ ØÒ Ù Ò Þ Þ Ó Ó¹ ÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ò Ñ ØÓ Ý Þ ØÖ ØÒ ÙÑÓ Ð Û ÛÝ Ó ØÓÔ ÓÑÔÖ Ò Û ÞÛ Þ Ù Þ ÛÝ ØÔÙ ÝÑ Ò Ó ÒÓ Ñ ÔÓ Þ ÓÑÔÖ Ò ÑÓ ÞÓ Ø ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ø Ñ Þ ÛÝÑ Ò Ø Û ÖÒ Ö ÓÒ ØÖÙ ÒÝ ÒÔº Û Ñ ÝÝÒ ÞÝ ØÓÔÓ Ö µº Å ØÓ Ý ÓÑÔÖ Þ ØÖ ØÒ Þ ØÓ Ò ÑÓ Ý ØÓ ÓÛ Ò Þ ÛÞ Ð Ù Ò Þ ÝØ Ù Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÐÙ Þ Ñ Ý ØÓÔ ÓÑ¹ ÔÖ º Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÖÓ Þ ÒÝ Ñ ÖÞÝ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ ÖÞÝÛ ÒÔº Ð Ø Ö ÓÒØÙÖ Ó ØÙ Ö Û õ Ó Ö ÞÙ ØÔºµ Ø ÓÑÔÖ ÓÛ Ò Ó Ô ÛÒ ÐÓ ÔÙÒ Ø Û ÛÞ Ý ÔÙÒ ØÝ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ ÛÝ Ö Ò ÔÖÞ Þ Ô ÖØ µº ÈÙÒ ØÝ ÓÑ¹ ÔÖ ÔÙÒ Ø Ñ Û Ø ÖÝ ÐÓ ÐÒ ÛÝ ØÔÙ Û ÖØÓ Ò Û Þ ÐÙ Ò ÑÒ Þ Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÓÖ Þ ÔÙÒ ØÝ Ð ÔÓÑ ÞÝ Ø Ñ ÔÙÒ Ø Ñ º Þ ØÝÑ ÛÞ ÓÑ ÑÓ Ð Û Þ ÓÑÔÖ ÞÝÐ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÖÞÝÛ ÊÝ º ½º ½º½¼µº Ï ÔÖÞ ÞØ Ò Ù ÀÊ ÛÞ Ý ÔÙÒ Ø Ñ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒÝÑ Ð ÝÑ Ò Ô Û¹ Ò ÖÞÝÛ Û R 2 º ÅÓ Ò ÓÖÑÙ ÓÛ ÞÒ ÒÝ ÔÖÓ Ð Ñ ¾ ÞÝ Ø ÑÓ Ð Û Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÛÓÐÒ Ó ÔÙÒ ØÙ Ð Ó Ò ÖÞÝÛ Ð ÞÒ Ò Ø Ó ¹ ÞÓÒ ÐÓ ÔÙÒ Ø Û (x i,y i ) R 2 Ø ÖÞÝÛ ÞÛ ÒÝ ÛÞ Ñ Ø (x i,y i ) Ñ Ð Ó Ø Ý ÖÓ Û x i ÊÝ º ½º µ Ð Ó Ø Ý ÖÓ Û y i ÊÝ º ½º½¼µ ÈÓ Û Û ÔÝØ Ò ÞÝ Ø ÑÓ Ð Û Ó ØÛÓÖÞ Ò ÖÞÝÛ ÓÔ Ò Þ ÓÖ Ñ ÛÞ Û (x i,y i ) Ï ÔÖÓÔÓÒÓÛ Ò Û ÖÓÞÔÖ Û Ñ ØÓ Þ Û ÖØÓ Û Ô ÖÞ ÒÝ (x i,y i ) ÞÓ Ø Ò ÔÓÛ Þ Ò Þ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ù ÖÓ Þ ÒÝ Ñ ÖÞÝ ÀÊº Æ ÔÓ ¹

16 ½ ÊÇ Á ½º ÏËÌ È ÊÝ ÙÒ ½º º x i : h = 1º ÃÖÞÝÛ Ó Þ Û Ù ÛÞ Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ Û Ô ÖÞ Ò Ø Û Þ Ù ÓÛ ÒÝ Þ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒÝ Ó Û Ô ÞÝÒÒ Ó ÔÓÛ Ò Ð ÒÝ ÛÞ Û Ó Ð ÞÓÒ ÞÓ Ø Ò Ö Ù Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ý ÔÓÑ ÞÝ ÛÞ ¹ Ñ º Ö ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÔÙÒ ØÝ ÔÓÞÛÓÐ Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò ÖÞÝÛ º ÊÝ ÙÒ ½º½¼º y i : h = 1º ÃÖÞÝÛ Ó ÞØ ÖÒ ØÙ ÛÞ Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ Û Ô ÖÞ Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ ÀÊ ÔÓÞÛ Ð Ò Ó Ò Ö ÓÒ ØÖÙ ÛÞ Û ÓÒØÙÖÙ ÓÑ¹ ÔÖ Þ ØÖ ØÒ µ ÓÑÔÖ ÔÙÒ Ø Û ÓÒØÙÖÙ Ð Ý ÔÓÑ ÞÝ ÛÞ Ñ Þ Ù Ó ÒÓ ÓÑÔÖ Ñ Ó ØÖ ØÒ µ ÓÖ Þ ÞÝ Þ Ò Û Þ ÖÞ ÞÝÛ ØÝÑº Ï Ö Ö ØÖÓÛ ÛÝ ØÔÙ Ó ÐÒÝ ÔÖÓ Ð Ñ Þ ÔÖÞ ÞØ Ò Ñ ÓÑ ØÖÝÞÒÝÑ Ó ØÙ ÔÖÞ ÙÒ Ó Ö Ø ÐÓÛ Ò Ñ ÔÝ ØÓÛ ÔÓÛ Þ Ò ÐÙ ÔÓÑÒ Þ ¹ Ò µº Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ñ ÖÞÝ ÀÊ ÛÝ Ø ÖÞÝ ÔÖÞ ÞØ ØÝÐ Ó ÛÞ Ý Ó ØÛÓÖÞÝ Ó Ø ÔÓ ÔÖÞ ÞØ Ò Ùº ÈÖÞ ÞØ Ò ÀÊ ÔÓÞÛ Ð Ò ÑÓ ÐÓÛ Ò ÓÒ¹ ØÙÖÙ ÔÖÞ Þ Ù ÝØ ÓÛÒ ÔÖÞÝ ÓÑÔÙØ ÖÞ Ö ÓÛ Ò Ó Ø Û Û Þ ÖÞ ÞÝÛ ØÝÑ ÓÖ Þ ÙÞÙÔ Ò Ò ÓÖÝ ÓÛ Ò ÔÓÔÖ Ûµ ÓÒØÙÖÙ Ó ØÙº Ó Ö ÛÞ Û Û Ø ÔÓ ÔÓ Ø Ý ÖÓ Û Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÓÛÓ Ù ÛÞ Ý Ó¹ ÖÞ ÓÔ Ù Ò Þ ÖÞÝÛ ØÞÒº Ø ÑÓ Ð Û Ø ÞÒ Ð Þ Ò ÓÛÓÐÒ Ó ÔÙÒ ØÙ Ð Ó Ò ÖÞÝÛ º ½º º½ Ì Þ ÔÖ Ý Ò Û ÒÓ Ñ ÖÞÝ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Û Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖÙ Ó Ö ÞÙ ÔÓÞÛ Ð Ò ÓÖÑÙ ÓÛ Ò Ø Þ ÔÖ Ýº Ë ÓÖÑÙ Ù ÑÝ Û Ø ÞÝ ÔÖ Ý ÇÖØÓ ÓÒ ÐÒÝ Ý Ö ØÒÝ Ñ ÖÞÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Þ Ù ÓÛ ÒÝ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ

17 ½º º Ä Á ÃÊ Ë ÈÊ ½ ÖÓ Þ ÒÝ Ñ ÖÞÝ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ Ó ÛÝÑ Ö ÞÒ Ù Þ ¹ ØÓ ÓÛ Ò Û Þ ØÖ ØÒ ØÝÛÒ Ó Ð Þ Ò ÓÛÓ Ñ ØÓ Þ ÓÑÔÖ ÓÑ¹ ÔÖ ÓÒØÙÖ Û Ó Ö Þ Û Ò ÖÒÝ Þ ÖÒÓ¹ Ý µ Þ Ó ÓÛ ÒÝ Û ÔÓ Ø ÛÞ Ûº ÈÖÞ ÞØ Ò ÀÊ Ø Ñ ØÓ ÓÑÔÖ Þ ØÖ ØÒ Ó Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ ÓÑÔÖ ÖÞ Ù O(N 2 ) ÓÖ Þ ÛÝ Ó Ñ ØÓÔÒ Ù ÓÑÔÖ ÑÓ Ý ØÓ ÓÛ Ò Ó ÓÑÔÖ ÓÑÔÖ Ó Ö Þ Û Þ ÖÒÓ¹ Ý º Ì ÞÝ ÖÓÞÔÖ ÛÝ ÞÓ Ø Ò ÛÝ Þ Ò ÔÓÔÖÞ Þ ÖÓÞÛ Þ Ò Ò Ó Þ ÛÒÝ Ø ¹ Û ÒÝ ÔÖÓ Ð Ñ Û ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ð Ó Ö Þ Û ØÝÔÙ ÓÒØÙÖ Ó ÛÝÑ Ö N N Ô Ð º ÑÝ ÞÒ Ò Û ÒÓ ÓÖÑ Ð ÞÑÙ ÖÓ Þ ÒÝ Ñ ÖÞÝ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ Ð Ò Ó Ó Ö ÞÙ ÞÒ Ò Ø Ó ÞÓÒ ÐÓ ÛÞ Û (x i,y i ) R 2 ÛÞ Ý Ñ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i ÐÙ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò y i ÓÖ Þ ÛÞ Ý Ù Ø ÐÓÒ Û Û ÖØÓ Ñ ¹ Ò ÑÙÑ Ñ ÑÙÑ ÐÓ ÐÒ Ó Ð Û Ô ÖÞ Ò x i Ö ÛÒÓÓ Ð ØÓ ØÖ ÑÙÑ ÐÓ ÐÒ ÓØÝÞÝ Ñ Ò Ñ ÐÒÝ Ñ ÝÑ ÐÒÝ Û ÖØÓ Û Ô ÖÞ Ò y i Ò ØÓÑ Ø Ð Ø Ý ÖÓ ÔÓ Û Ô ÖÞ Ò y i ØÓ ØÖ ÑÙÑ ÐÓ ÐÒ ÓØÝÞÝ Ñ Ò Ñ Ð¹ ÒÝ Ñ ÝÑ ÐÒÝ Û ÖØÓ Û Ô ÖÞ Ò x i µ ÓÖ Þ Û Ó Ò ÑÒ ÒÝÑ ÔÙÒ Ð ÝÑ ÔÓÑ ÞÝ ØÖ Ñ Ñ ÐÓ ÐÒÝÑ Û ÔÓ ÓÛ Ó Ò µº ÞÝ ÑÓ Ð Û Ø Ó ØÛÓÖÞ Ò Ó Ö ÞÙ ÓÒØÙÖÙ ÓÔ Ò Ó ÒÝÑ Þ ÓÖ Ñ ÛÞ Û Ñ ØÓ Ó Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ O(N 2 ) ÊÝ ÙÒ ½º½½º ÈÖÞÝ ÛÞ Û ÓÔ Ù Ý ÓÒØÙÖº ÊÓÞÛ Þ Ò ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Ó ÔÖÓ Ð ÑÙ Ø ØÓØÒ Û ÓÒØ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ØÓ Þ ØÖ ØÒ ÐÙ Ñ Ó ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ Û Û ÐÙ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ø ¹ Ò ÞÒÝ º ÈÖÓ Ð Ñ ÞÙ Ò ÓÛÓÐÒ Ó ÔÙÒ ØÙ ÖÞÝÛ Ò ÔÓ Ø Û Þ ÓÖÙ ÛÞ Û Ò Ô ÞÞÝõÒ ÖØ Þ Ø ØÓØÒÝ Þ ÛÞ Ð Ù Ò ÑÓ Ð ÛÓ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÞØ ØÙ Ó ØÙ ØÒ Ø ÑÓ Ð ÛÓ ÔÓÖ ÛÒ Ò Û Ó Ø Û ÓÔ ÒÝ Ö ÒÝÑ Þ ÓÖ Ñ ÛÞ Û ÔÖ Û Þ Ò ÞÝ Ø Ò Ñ ÔÙÒ Ø Ð Ý Ò Û ÖÞÝÛÝ µº Þ ¹ Ñ ÖÞÓÑ ÀÊ ÑÓ Ð Û Ø Ø ÓÔ Ò ÓÛÓÐÒ ÖÞÝÛ Þ ÔÓÑÓ Ó ÞÓÒ Ó Þ ÓÖÙ ÔÙÒ Ø Û ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÑÓ Ð Ý Ö ØÒÝ ÀÊ Ò ÖÞÝÛ ÔÖÞÝ Ó Ð Þ Ò ÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ º ÈÓ ÝÒÞÝ Þ ÒÓÛ ÒÝ Û ÌÃ ÔÖÞ Ö Ö Ñ ÒØÙ Ø Ô ÛÒ ÖÞÝÛ º ÖÙ Ó Ø ÖÞÝÛ Ø Ò ØÓØÒ ÔÖÞ ÞØ Ò ÀÊ ÔÓÞÛ Ð Ò Ó Ò Ó Ð¹

18 ½ ÊÇ Á ½º ÏËÌ È Ò Þ Ù Ó ÒÓ µ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ ÒÓÛ Ò Ó Ò ÖÞ Ù Þ ÓÛ º ÅÓ Ð ÓÖ ÒÙ Û ØÖ Ò Ð ÞÝ ÛÝÑ ÔÖÞ ÞØ ÓÑ ØÖÝÞÒÝ Ó ÖÓØ Û ÔÖÞ ÙÒ ÔÓÛ Þ Ò ÐÙ ÔÓÑÒ Þ Ò º Ï ØÖ Ò ÓÖÑ ÀÊ ÔÖÞ ÞØ Ò Ù ÙÐ Ò Ý ÓÒØÙÖ Ð Þ ØÝÐ Ó ÔÙÒ ØÝ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ Ò ØÔÒ Ò ÔÓ Ø Û ÒÓÛÝ ÛÞ Û Ó ØÛ ÖÞ ÒÝ Ø ÓÒØÙÖ ÔÓ ÔÖÞ ÞØ Ò Ùº Á ØÓØÒÝÑ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ñ ÔÖÞ ÞØ Ò ÀÊ ÑÓ Ý Ø Ó ØÛ ÖÞ Ò ÞØ ØÙ Ó ÔÖÞ ÛÝÔ Ñ Ò Ø ÔÓ Ø Û ÔÖÓ ØÓÛ Ò ÔÖÓØ ÞÝº Ï Ò ØÖ Ò ÓÖÑ ÀÊ Ø Ø ÔÖÞÝ Ù ÐÓ ÛÞ Û Ò Ñ ÔÓØÖÞ Ý ÔÓ Ù Û Ò ÒÝÑ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÐÓ ÐÒÝÑ Ð Þ Þ Ò ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ ÐÓ ÐÒÝ ÓÔ ÖØÝ Ò Ð Ù ÐÙ Ð ÙÒ ØÙ ÛÞ º Ð Ø ÔÖÞ ÞØ Ò ÀÊ Ø Ø Ñ ÖÞ ÀÊ Ø ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ º Ô ÛÒ ØÓ Ø ÐÒÓ ÛÝ Ó Ó ÒÓ Ó Ð Þ º ÇÔ Ö ØÓÖ Ý Ö ØÒÝ Ó ÖÞ Ò Ó Ó Ð Þ ÓÑÔÙØ ¹ ÖÓÛÝ º Ò Þ ØÖ Ò ÓÖÑ ÀÊ Ø ÑÓ Ð ÛÓ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ó ÔÖÞÝ ÔÖÓ ÝÑ ÐÙ ÒØ ÖÔÓÐ ÙÒ ¾ º Æ Ø Ö Ñ ØÓ Ý ÔÖÓ ÝÑ ÐÙ ÒØ ÖÔÓÐ ÒÔº ÒØ ÖÔÓÐ Æ ÛØÓÒ µ Ò Ö Þ Ó Þ ÙÒ Ñ Ø Ö Ò Ö Ò Þ ÓÛ ÐÒ Û Ñ ÔÙÒ Ò Ó ÔÖÞ Þ Ù ¾ ÒÔº f(x) x ÐÙ Þ ÙÒ Ñ Ø ÖÝ ÛÝ Ö ÞÒ ÞÒ Ö Ò Ó Û ÐÓÑ ÒÙ ÒØ ÖÔÓÐÙ Ó ÒÔº y = 1/xº ÈÖÞ ÞØ Ò ÀÊ Ò ÔÖ Û Ø ÓÔÓØ Ûº ÈÖ Ó ÑÙ Ò Ð Þ Ð Ø Ö ØÙÖÓÛ Ó ÑÙ Þ Ò Ò ÓÑÔÖ ÓÑÔÖ ÓÒØÙÖÙ Ó Ö ÞÙ ÓÖ Þ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó ÓÔ Û ÒÓ ÖÓ Þ ÒÝ Ñ ÖÞÝ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ ÓÔÖ ÓÛ Ò ÔÓ Ó Ù Ù ÓÛ Ò ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ó Ý Ö ØÒ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Û Ñ ØÓ Þ ÅÀÊ Þ ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ Þ ØÓ ÓÛ Ò ÅÀÊ Û ÓÑÔÖ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó ÔÓÖ ÛÒ Ò ØÒ Ý Ñ ØÓ ÓÑÔÖ Þ ÅÀÊ ÔÓÖ ÛÒ Ò ÅÀÊ Þ Ñ ØÓ Ñ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó Ò Ð Þ Ó Ò ÓØÖÞÝÑ ÒÝ ÛÝÒ Û ÓÖÑÙ ÓÛ Ò ÛÒ Ó Û Ó ÓÛÝ º Ï ÖÓÞ Þ Ð ¾ ÓÑ Û ÓÒÓ Ý ÞÝ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ ÔÓ ÒÓ Ù ÓÛ Û ÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ó Þ ÓÛ ÒÓ ÔÖÞÝ Ð Ò ÅÀÊ Û Ð Ý ÙÒ Ó ¹ ÓÛÝ Û ÐÓÑ Ò Û ØÓÔÒ Ô ÖÛ Þ Ó ÖÙ Ó ØÖÞ Ó ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÅÀÊ ÖÞ Ù O(N 2 ) ÓÖ Þ ÔÓ ÒÓ ÔÖÞÝ Ý Ó Ð Þ º ÈÓÖ ÛÒ ÒÓ Ó ¹ ÒÓ Ó Ð Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ØÓÔ ÓÑÔÖ ÔÖÞÝ ÓÛ ÖÞÝÛ Ö ÓÒ¹ ØÖÙÓÛ Ò Ñ ØÓ Þ Ö ÅÀÊº Á ÅÀÊ Ø Þ Ô ÓÒØÙÖÙ Ó ØÙ Þ ÔÓÑÓ Þ ÓÖÙ ÔÙÒ Ø Û Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒÝ ÛÞ Û ÓÑÔÖ µ Ó Ö ÒÝ Û Ó ÔÓÛ Ò ÔÓ ÛÞ Ý ÓÔ Ù ØÖ Ñ ÐÓ ÐÒ ÓÖ Þ ÔÙÒ ØÝ Ð ÔÓÑ ÞÝ ØÖ Ñ Ñ ÐÓ ÐÒÝÑ µ Ó ØÛÓÖÞ Ò Ù Ö Û Þ Ò ÔÓ Ø Û ÛÞ Ûº ÅÀÊ Ø Ñ ØÓ ÓÑÔÖ Þ ØÖ ØÒ ÓÒØÙÖÙ Þ Ó ÓÛ Ò Ó Û ÔÓ Ø Þ ÓÖÙ ÛÞ Û Ñ Ó ØÖ ØÒ ÓÑ¹ ÔÖ ÔÙÒ Ø Û Ð Ý ÔÓÑ ÞÝ ÛÞ Ñ Ù Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ ÓÑÔÖ ÖÞ Ù O(N 2 ) ÓÖ Þ ÔÓÞÛ Ð Ò ÛÝ Ó ØÓÔ ÓÑÔÖ º ÊÓÞ Þ Þ Û Ö ÓÔ Û ÔÓ Ó Û ÖÓÞ Þ ÖÞ Ò ÅÀÊ Û Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Ó ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ó Ö ÞÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ ÓÒØÙÖ Û Û ÔÖÓ¹ ØÓÛ Ò Ù ÑÔÐ ÒØ Û Ó º Ó ÓÒ ÒÓ Ø Ò Ð ÞÝ ÑÓ Ð ÛÓ Ø Ò ÞÒÝ Þ ¹ ØÓ ÓÛ ÅÀÊ Û Þ Ò Ò Ù Ê Ô ÈÖÓØÓØÝÔ Ò ÞÞ ÐÒ Û Ñ ØÓ Þ ÄÇÅ Ä Ñ¹ Ò Ø Ç Ø Å ÒÙ ØÙÖ Ò µº

19 ½º º Ä Á ÃÊ Ë ÈÊ ½ Ï ÖÓÞ Þ Ð ÔÓ ÒÓ Ñ ØÓ Ý ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Ñ ØÓ ÅÀÊ Ò ÔÓ Ø Û Ù¹ ÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Þ Ó ÓÒ Ó Þ ÓÛÓÐÒ ÐÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊº Ï ÖÓÞ Þ Ð ÓÔ ÒÓ Û ÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÔÓÞÛ Ð Ò Þ ØÓ ÓÛ Ò ÅÀÊ Û Ñ ÝÝÒ ÓÖ Þ ÔÓÖ ÛÒ ÒÓ ÅÀÊ Þ ØÒ ÝÑ ÔÓ Ó Ñ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Óº ÅÀÊ ÔÓÞÛ Ð Ó Ò ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ ÓÒØÙÖ Þ ÖÒÓ¹ Ó Ó ØÙ ÔÖÞÝ ÛÝ Ó Ñ ØÓÔÒ Ù ÓÑÔÖ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù ÔÖÓ Ø Ó Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÑÔÖ ÖÞ Ù O(N 2 )º ÅÀÊ ÔÓÐ Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò Ù Ö Ù Ý Ô Ð ÔÖÞÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ù Û ØÓÖ Û ÞÓÛÝ ÙÑ ÞÞÓÒÝ Û Ñ ÖÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊº Ê ¹ ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó Þ ÔÓÑÓ ÔÓ Ø ÛÓÛ Ñ ØÓ Ý Û Ø ÞÒ ÔÖÓ¹ Þ ÐØÖÓÛ Ò Ñ Ó ÖÞÓÒ Ø Û Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ò ÅÀÊº ÅÀÊ Ò Ð Ý Þ Ð ÞÝ Ó Ñ ØÓ Ò Ð ØÝÞÒÝ ÓÑÔÖ ÔÓÒ Û ÓÔ ÖØ Ø Ò ÑÓ ÐÙ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒÝÑ ÓÔ Ù ÝÑ Ó Ö Þ ½½ º Ï ÖÓÞ Þ Ð ÔÓÖ ÛÒ ÒÓ ÓÑÔÖ ÓÑÔÖ ÅÀÊ Þ Ò Û Ò ÞÝÑ Ñ ØÓ¹ Ñ ØÖ ØÒ Þ ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙº ËÔÓ ÔÓ Ó ÓÑÔÖ ÒÝ ØÝÔÙ (x i,y i ) R 2 Û ÑÓ ÐÓÛ Ò Ù Ñ Ø Ñ ØÝÞÒÝÑ ÔÓÐ Ò ÞÒ Ð Þ Ò Ù Ô ÛÒ Þ Ð ÒÓ Ö Ð µ Ñ ÞÝ Û ÞÝ Ø Ñ Û Ô ÖÞ ÒÝÑ x i ÓÖ Þ y i º Ì Þ Ð ÒÓ ÑÓ Ý Þ Ð ÒÓ ÙÒ Ý Ò º Ï ÅÀÊ Û Ô ÖÞ Ò ÛÞ Û ÔÓÛ Þ Ò Þ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÇÀÊ Þ Þ Ò ÓÑ Ò Ó ÔÓÛ Ò Ó ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝÑ ÓÔ Ö ØÓÖÞ ÑÓ Ð Û Ø Ó ØÛÓÖÞ Ò Ö Ù Ý ÔÙÒ Ø Û ÔÓ Ö Ò ÖÞÝÛ º Æ ÔÖÞÝ Ð ÙÒ f(x) = x Ñ ÖÞ ÒØÝÞÒÓ ÓÛ Ø ØÝÑ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÇÀÊº Ï Ó Ø Ù ÓÔ ÒÓ ÖÓ Þ Ò Ñ ÖÞÝ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ Û ÒÓ ØÝ Ñ ÖÞÝ ÓÖ Þ ÔÓ Ó Ý Ù ÓÛ Ò ÖÓ Þ ÒÝ Ñ ÖÞÝ ÀÊ Ó Ð Ñ ÒØ ÓÛ ØÝ ÖÞ ÞÝ¹ Û ØÝ º Ó Ò Û Ò ÞÝ ÛÝÒ Û ÔÖ Ý Ò Ð Ý Þ Ð ÞÝ ÓÔÖ ÓÛ Ò ÔÓ Ó Ù Ù ÓÛ Ò Ñ ÖÞÓÛ Ó Ý Ö ØÒ Ó ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÔÓ Ø Û Ñ ÖÞÝ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ ÓÖ Þ ÓÑ Û Ò ÙÞ ¹ Ò Ò Û ÒÓ Ø Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÞÛ Ò Ó ÔÖÞ Þ ÙØÓÖ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÇÀÊ Þ ØÓ ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Û ÓÖÝ Ò ÐÒ Þ ØÖ ØÒ Ñ ØÓ Þ ÓÑÔÖ Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖ Û Ó Ö Þ Û Þ ÖÒÓ¹ Ý Þ Ó ÓÛ ÒÝ Û ÔÓ Ø Þ Ó¹ ÖÙ ÛÞ Û Ò ÞÛ Ò Ñ ØÓ ÅÀÊµ Þ ØÓ ÓÛ Ò ÅÀÊ Û Ñ ÝÝÒ Þ Ô Ó ØÛÓÖÞ Ò Ó Ö ÞÙ Û ØÓÑÓ Ö ÓÑ¹ ÔÙØ ÖÓÛ ÔÖÓ ØÓÛ Ò ÑÔÐ ÒØ Û Ó ÔÓÖ ÛÒ Ò ØÒ Ý Ñ ØÓ ÓÑÔÖ Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖÙ ÐÙ Ó Ö ÞÙ Þ ÅÀÊ ÔÓÖ ÛÒ Ò ÅÀÊ Þ Ñ ØÓ Ñ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó Þ ØÓ ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Û Ó ØÛ ÖÞ Ò Ù Ó Ö ÞÙ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Óº ÏÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò Ó Ò Ñ ØÓ Ý Þ ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ Ð Ô Þ ØÝ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ó Ö Þ Û ÓÐÓÖÓÛÝ Ò Þ ÖÒÓ¹ Ý º Ï Û ÐÙ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ø ¹ Ò ÞÒÝ ÒÔº Û Ñ ÝÝÒ ÐÙ ØÓÔÓ Ö µ ØÒ ÔÓØÖÞ Þ Ô Ù Ó Ö ÞÙ Ò ¹ ÖÒ Ó Þ Ù ÝÑ ØÓÔÒ Ñ ÓÑÔÖ º ËØÓ ÓÛ Ò Ñ ØÓ Ý ÔÖÞÝ Ð Ò ÓÒØÙÖÙ Þ ÔÓ¹ ÑÓ Û ÐÓÑ Ò Û ÐÙ ÖÞÝÛÝ ÛÝ Þ Ó ÖÞ Ù ÔÖÓ ÝÑ ØÖ ØÒ º ÊÓ Þ Ò Ñ ÖÞÝ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ Ó ÛÝÑ Ö ÑÓ ÞÒ Ð õ Þ ØÓ ÓÛ Ò Û Ù ÓÛ Þ ØÖ ØÒ Ñ ØÓ Ý Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖ Û Ó Ö Þ Û Þ ÖÒÓ¹ Ý Þ ¹ Ó ÓÛ ÒÝ Û ÔÓ Ø Þ ÓÖÙ ÛÞ Ûº

20 ÊÓÞ Þ ¾ ÇÔ Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ ¾º½ Ù ÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒ Ó Ó ÇÀÊ Þ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Û Ó Þ Ò ÛÝÑ ÖÓÛ n¹ûýñ ÖÓÛ µ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Þ ÐÓÞÝÒ Ñ Ð ÖÒÝÑ Ø ØÓ Þ Ö n Ð Ò ÓÛÓ Ò Þ Ð ÒÝ Û ØÓÖ Û Ó n Ð Ñ ÒØ Ø ÐÓÞÝÒ Ð ÖÒÝ Û ÓÛÓÐÒÝ Þ Ø ÞÝ Ø Ö ÛÒÝ Þ ÖÓ º ÈÖÞÝ Ò Û ÓÛÓÐÒ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Û ØÓÖÝ ÞÓÛ u = (u 1,u 2,...,u n ) R n ÓÖ Þ t = (t 1,t 2,...,t n ) R n º Ï ÛÞ ÐÓÞÝÒ Ð ÖÒÝ u,t = n i=1 u it i = 0º ÆÔº Ð n = 2 u = (1,0) t = (0,1)º ÇÖØÓ ÓÒ ÐÒÓ ÞÝ Ø Û ÒÝÑ ÞÝÒÒ Ñ Û Þ Ô Ó Ð Ñ ÒØÙ ÔÖÞ ØÖÞ Ò n¹ûýñ ÖÓÛ Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ Û ¹ ØÓÖ Û ÞÓÛÝ º Ï ØÝÑ ÖÓÞ Þ Ð ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Û ØÓÖÝ ÞÓÛ ÖÓÞÔ ØÖÝÛ Ò Ó Û Ö Þ ÐÙ ÓÐÙÑÒÝ Ñ ÖÞÝ ÀÊ ÛÝÑ ÖÙ n = 2,4,8º ÊÓ Þ Ò Ñ ÖÞÝ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ ÀÊµ Ô Ò A j A k + A k A j = 0, A 2 j = I, A 1 j = A T j = A j Ð j k; j,k = 1,...,n. Ã Ó ÒÓ¹ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ñ ÖÞ ÛÝÑ ÖÙ N = 2,4,8 ØÝÐ Ó Ø Ó ÛÝ¹ Ñ ÖÙµ ÑÓ Ò Þ Ô Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ N 1 Ñ ÖÞÝ ÀÊ Ó Ð Ñ ÒØ 0, 1,1 Ñ ÖÞÝ ÒØÝÞÒÓ ÓÛ I N º Ë Ó ÒÓ¹ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ñ ÖÞ Ó ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ Ð Ò ÓÛÝ M Þ Û Ô ÞÝÒÒ Ñ Ó Ö ÒÝÑ Ð ÛÞ Û ÔÓ Û ÞÝ Ø ÓÐÙÑÒÝ Û ÞÝ Ø Û Ö Þ Ô Ö Ñ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ ¾ ½¼ º ÃÓÐÙÑÒÝ Ø ÒÓÛ ÓÖØÓ Ó¹ Ò ÐÒ Û ØÓÖÝ ÞÓÛ Ø Ö Ð Û Ô ÞÝÒÒ Û Þ Ô ÒÝ Û Û ØÓÖÞ Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x R N ÔÓÞÛÓÐ ÛÝÞÒ ÞÝ Û ØÓÖ ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ y Þ Ö Û¹ Ò Ò y = Mx ¾ ½½¼ º ÊÝ ÙÒ ¾º½º ÈÖÞÝ ÖÞÝÛ ÒØ ÖÔÓÐÓÛ Ò Ò ÛÞ (x i,y i ) Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ö ÙÑ ÒØÙ x i ¾¼

21 ¾º½º Í ÇÏ ÇÈ Ê ÌÇÊ ÇÀÊ Á ÇÈ Ê ÌÇÊ Ç ÏÊÇÌÆ Ç ¾½ ÈÖÓ Ð Ñ ÞÙ Ò ÓÛÓÐÒ Ó ÔÙÒ ØÙ ÖÞÝÛ Ò ÔÓ Ø Û Þ ÓÖÙ ÛÞ Û ÊÝ º ¾º½ ¾º¾µ Ò Ô ÞÞÝõÒ ÖØ Þ Ø ØÓØÒÝ Þ ÛÞ Ð Ù Ò ÑÓ Ð ÛÓ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÞØ ØÙ Ó ØÙ ØÒ Ø ÑÓ Ð ÛÓ ÔÓÖ ÛÒ Ò Û Ó Ø Û ÓÔ ÒÝ Ö ÒÝÑ Þ ÓÖ Ñ ÛÞ Û ÔÖ Û Þ Ò ÞÝ Ø Ò Ñ ÔÙÒ Ø Ð Ý Ò Û ÖÞÝÛÝ ÔÓÖ ÛÒ Ò Ó Ð ÞÓÒÝ Û ÖØÓ Ð ØÝ ÑÝ Ö ÙÑ ÒØ Ûµº Þ Ñ ÖÞÓÑ ÀÊ ÑÓ Ð Û Ø Ø ÓÔ Ò ÓÛÓÐÒ ÖÞÝÛ Þ ÔÓÑÓ Ó ¹ ÞÓÒ Ó Þ ÓÖÙ ÔÙÒ Ø Û ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÑÓ Ð Ý Ö ØÒÝ ÀÊ Ò ÖÞÝÛ ÔÖÞÝ Ó Ð Þ Ò ÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ º Ï Ð Þ Þ ÔÖ Ý ÔÓ Þ ÒÝ Ø ÔÓ Ù ÓÛÝ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ó Ð Ò ÓÛ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ý Ö ØÒ Ó Ù Ó Ó ÞÒ Ð Þ Ò Ö Ù Ý ÔÙÒ Ø Û ÖÞÝÛ ÒÔº ÓÒØÙÖÙ Ó Ö ÞÙ ÞØ ØÙ Ó ØÙ ØÔºµº ÈÖÓ Ð Ñ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÛÓÐÒ Ó ÔÙÒ ØÙ ÖÞÝÛ Ò ÔÓ Ø Û Ò Ó Þ ÓÖÙ ÛÞ Û ÑÓ Ý ÖÓÞÔ ØÖÝÛ ÒÝ Û ÓÒØ ÙÞ Ò Ò ÞÓÖÓÛ Ò Ó ÙÔ ÖÚ Ð ÖÒ Ò Ð ÖÒ Ò ÖÓÑ Ü ÑÔÐ µ ½ º Ï ÙÞ Ò Ù Ò ÞÓÖÓÛ ÒÝÑ ÒÝ Ø Ô Û Ò Þ Ö Ô Ö (x i,y i ) ÔÓ ÞÙ Ù ÞÛ Þ Ù Ñ ÞÝ ØÝÑ Ô Ö Ñ Û ÔÓ Ø ÙÒ ÐÙº Ï Ð Þ Þ ÔÖ Ý ÛÞ Ý ÔÙÒ Ø Ñ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÖØ Þ º ÙÒ ÐÙ Ø Þ Ø Ô ÓÒ Ý Ö ØÒÝÑ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ð Ò ÓÛÝÑ Þ Ù ÓÛ ÒÝÑ Þ ÓÖ¹ ØÓ ÓÒ ÐÒÝ Ñ ÖÞÝ ÀÊº ÊÝ ÙÒ ¾º¾º ÈÖÞÝ ÖÞÝÛ ÒØ ÖÔÓÐÓÛ Ò Ò ÛÞ x i,y i ) Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û ÖØÓ y i Ò x = (x 1,x 2,...,x k ) T R k Þ Ó ÓÒÝ Þ Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÛÞ Û ÞÛ ÒÝ ØÙØ Û ØÓÖ Ñ Ö ÙÑ ÒØ Ûµ ÓÖ Þ y = (y 1,y 2,...,y k ) T R k Þ Ó ÓÒÝ Þ ÖÙ¹ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÛÞ Û ÞÛ ÒÝ ØÙØ Û ØÓÖ Ñ Û ÖØÓ µº ÞÝ ÑÓ Ð Û Ø ÞÒ Ð Þ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÖÞÓÛ Ó M : R k R k Ø Ó Ý y = Mx ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ M ÙÑÓ Ð Û ÞÒ Ð Þ Ò Û Ô ÖÞ ÒÝ y = Mx Ð ÒÒÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x R k ÈÖÓ Ð Ñ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÖÞÝÛ Ø ÔÓ Ø Û ÓÒÝ Û Ø ÓÖ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ý Ò Ø ÖÞÝÛ º ÇÔ Ö ØÓÖ M Þ ÑÝ ÞÙ Ð Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÛÛº Ñ ÖÞÝ ÀÊ º Â Ò Þ ÔÓ Ø ÛÓÛÝ Û ÒÓ ÖÓ Þ ÒÝ Ñ ÖÞÝ ÀÊ Ø Ø ØÝÐ Ó Ð ÛÝÑ Ö Û N = 1,2,4,8 ÖÓ Þ Ò ÀÊ ÑÓ Ð ÞÝ N 1 Ñ ÖÞÝ ÔÓÖº Ó Ø µº ËØ ÒÓÛ ÓÒ ÛÖ Þ Þ Ñ ÖÞ ÒØÝÞÒÓ ÓÛ N ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒÝ Ñ ÖÞÝº Æ Û Ó ÐÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Ð N = 1,2,4,8 Þ Þ Ò ÓÛ Ò Ñ ÖÞ W(w) ÓÞÒ ÞÓÒ Ð W µ ÓÖ Þ W(w 0,w) Ð w = (w 1,...,w N 1 ) R N 1 W = W(w) = Þ N 1 i=1 w i W i, N 1 i=1 w 2 i = 1, W(w 0,w) = W + w 0 I N, w 0 0, ¾º½µ

22 ¾¾ ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ W 1,...,W N 1 Ò Ð Ó ÖÓ Þ ÒÝ Ñ ÖÞÝ ÀÊ Ó Ð Ñ ÒØ ÓÛ ¹ ØÝ 0, ±1 ÛÝÑ ÖÞ N w 0 0, w 1,...,w N 1 Ð Þ Ñ ÖÞ ÞÝÛ ØÝÑ º ÇÔ Ö ØÓÖ M ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ Ø Þ Ñ ÖÞÝ W(w 0,w)º Ð N = 1 Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø W(w 0,w) = w 0 1º Ð N = 2 ÓØÖÞÝÑ ÒÓ Ñ ÖÞ ¾º½µ W = [ ] 0 w1, W(w w 1 0 0,w) = [ ] w0 w 1. ¾º¾ µ w 1 w 0 Ð N = 4 Ñ ÖÞ W Ø ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ ØÖÞ Ñ ÖÞÝ ÀÊ Þ W(w 0,w) = W + w 0 I 4 0 w 1 w 2 w 3 W = w 1 0 w 3 w 2 w 2 w 3 0 w 1, w 3 w 2 w 1 0 w 0 w 1 w 2 w 3 W(w 0,w) = w 1 w 0 w 3 w 2 w 2 w 3 w 0 w 1. w 3 w 2 w 1 w 0 ¾º¾ µ Ð N = 8 Ñ ÖÞ W Ø ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ Ñ Ù Ñ ÖÞÝ ÀÊ Þ W(w 0,w) = W + w 0 I 8 W = W(w 0,w) = 0 w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 1 0 w 3 w 2 w 5 w 4 w 7 w 6 w 2 w 3 0 w 1 w 6 w 7 w 4 w 5 w 3 w 2 w 1 0 w 7 w 6 w 5 w 4 w 4 w 5 w 6 w 7 0 w 1 w 2 w 3 w 5 w 4 w 7 w 6 w 1 0 w 3 w 2 w 6 w 7 w 4 w 5 w 2 w 3 0 w 1 w 7 w 6 w 5 w 4 w 3 w 2 w 1 0 w 0 w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 1 w 0 w 3 w 2 w 5 w 4 w 7 w 6 w 2 w 3 w 0 w 1 w 6 w 7 w 4 w 5 w 3 w 2 w 1 w 0 w 7 w 6 w 5 w 4 w 4 w 5 w 6 w 7 w 0 w 1 w 2 w 3 w 5 w 4 w 7 w 6 w 1 w 0 w 3 w 2 w 6 w 7 w 4 w 5 w 2 w 3 w 0 w 1 w 7 w 6 w 5 w 4 w 3 w 2 w 1 w 0,. ¾º¾µ ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½º Â Ð Þ Ò ÓÛ ÒÝ ÞÓ Ø Ò ÒÓÛÝ Û ØÓÖ Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ¹ ÒÝ u = (u 1,u 2,...,u N ) R N Ô Ò Ý Ö Ð u = x w 0 y Ø Ð Ô ÛÒ Ó w 0 0 Þ Ó Þ y = Wu ØÓ Û ÛÞ ÐÓÞÝÒÝ Ð ÖÒ u,y = 0 x,y 0 Ð u x y 0 x 0º ÍÞ Ò Ò ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒÓ Ñ ÖÞÝ W Û ÒÓ º½µ ÛÝÒ ÐÓÞÝÒÝ Ð ÖÒ ÛÝÒÓ Þ u,y = u,wu = 0 x,y = u + w 0 y,wu = u,wu + w 0 y,wu = 0 + w 0 y,y 0º

23 ¾º½º Í ÇÏ ÇÈ Ê ÌÇÊ ÇÀÊ Á ÇÈ Ê ÌÇÊ Ç ÏÊÇÌÆ Ç ¾ ÅÓ Ò ÛÝÔÖÓÛ Þ Ö ÛÒ Ò x = u + w 0 y x = Wy + w 0 y x = ( W + w 0 I N )y. ¾º µ Ê ÛÒ Ò ¾º µ ØÛÓÖÞÝ Ù Ö ÛÒ Ð Ò ÓÛÝ Ø Ö Ó ÖÓÞÛ Þ Ò w 0,w 1,..., w N 1 Ø Ò ØÔÙ Ð ÒÝ ÛÞ Û x = (x 1,x 2,...,x N ) R N x 0 y = (y 1,y 2,...,y N ) R N y 0 º Ð N = 2 Ù Ö ÛÒ ¾º µ Ø Ò ØÔÙ Ý ÔÓ ÙÛÞ Ð Ò Ò Ù ¾º¾ µ [ x1 x 2 ] [ w0 w = 1 w 1 w 0 ] [ y1 y 2 ], ÞÝÐ { w0 y 1 w 1 y 2 = x 1 w 0 y 2 + w 1 y 1 = x 2. ÏÝÞÒ ÞÒ ÛÒÝ Ø Ó Ù Ù ÛÝÒÓ y1 2 +y2 2 > 0 ÔÖÞÝÒ ÑÒ Ò ÛÞ ÑÙ Ñ Û Ô ÖÞ Ò y i Ò Þ ÖÓÛ µº ÊÓÞÛ Þ Ò Ù Ù w 0 = x 1y 1 + x 2 y 2 y y2 2, w 1 = x 2y 1 x 1 y 2 y y2 2 Ð N Ù Ö ÛÒ ¾º µ Ø Ò ØÔÙ Ý ÔÓ ÙÛÞ Ð Ò Ò Ù ¾º¾ µ x 1 w 0 w 1 w 2 w 3 y 1 x 2 x 3 = w 1 w 0 w 3 w 2 w 2 w 3 w 0 w 1 y 2 y 3. x 4 w 3 w 2 w 1 w 0 y 4 ÞÝÐ w 0 y 1 w 1 y 2 w 2 y 3 w 3 y 4 = x 1 w 0 y 2 + w 1 y 1 w 2 y 4 + w 3 y 3 = x 2 w 0 y 3 + w 1 y 4 + w 2 y 1 w 3 y 2 = x 3 w 0 y 4 w 1 y 3 + w 2 y 2 + w 3 y 1 = x 4. ÏÝÞÒ ÞÒ ÛÒÝ Ø Ó Ù Ù ÛÝÒÓ y y4 2 + y4 3 + y i,j y2 i y2 j > 0 Ð i,j = 1,2,3,4 ÓÖ Þ i < j ÔÖÞÝÒ ÑÒ Ò ÛÞ ÑÙ Ñ Û Ô ÖÞ Ò y i Ò Þ ÖÓÛ µº ÊÓÞÛ Þ Ò Ù Ù Ö ÛÒ w 0 = (x 1 y 3 1 +x 1 y 1 y 2 2 +x 1 y 2 4y 1 +x 1 y 2 3y 1 +x 2 y 2 y 2 1 +x 2 y 3 2 +x 2 y 2 4y 2 +x 2 y 2 3y 2 +x 3 y 3 y x 3 y 3 y x 3y x 3y 3 y x 4y 4 y x 4y 4 y x 4y 4 y x 4y 3 4 ) /(y y 2 1y y 2 4y y 2 3y y y 2 4y y 2 3y y y 2 3y y 4 4), w 1 = (x 2 y 3 1 +y 1 x 2 y 2 2 +x 3 y 4 y 2 1 x 4 y 3 y 2 1 y 2 x 1 y 2 1 x 1 y 3 2 +x 3 y 4 y 2 2 x 4 y 3 y 2 2 x 1 y 2 3y 2 + x 2 y 2 3 y 1 x 4 y 3 3 y 3x 4 y 2 4 x 1y 2 4 y 2 + x 2 y 2 4 y 1 + y 4 x 3 y x 3y 3 4 ) /(y y 2 1y y 2 4y y 2 3y y y 2 4y y 2 3y y y 2 3y y 4 4), w 2 = (x 3 y 3 1 +y 2 1y 2 x 4 y 4 y 2 1x 2 +y 1 y 2 3x 3 +y 2 2x 3 y 1 +x 4 y 3 2 +y 2 y 2 4x 4 y 3 y 2 2x 1 +y 2 x 4 y 2 3 y 3 x 1 y 2 1 x 1y 3 3 y2 3 y 4x 2 y 4 x 2 y y 1x 3 y 2 4 y2 4 x 1y 3 x 2 y 3 4 ) /(y y 2 1y y 2 4y y 2 3y y y 2 4y y 2 3y y y 2 3y y 4 4),

24 ¾ ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ w 3 = (x 4 y1 3 y 2 x 3 y1 2 +y 1 y4x 2 4 +y 3 y1x 2 2 +y 1 y2x 2 4 x 3 y2 3 y 4 y2x 2 1 y 2 y3x 2 3 +y 3 x 2 y2 2 + y 1 x 4 y3 2 + y3 3 x 2 y 4 x 1 y3 2 y 2x 3 y4 2 y 4x 1 y1 2 + y 3y4 2 x 2 x 1 y4 3 ) /(y y1y y4y y3y y y4y y3y y y3y y4). 4 ÈÓ ÙÔÖÓ ÞÞ Ò Ù ÛÝÖ Ò ÖÓÞÛ Þ Ò w 0 = x 1y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4 y y2 2 + y2 3 + y2 4, w 1 = x 2y 1 x 1 y 2 + x 3 y 4 x 4 y 3 y1 2 + y2 2 + y2 3 +, y2 4 w 2 = x 3y 1 + x 4 y 2 x 1 y 3 x 2 y 4 y y2 2 + y2 3 + y2 4, w 3 = x 2y 3 x 1 y 4 + x 4 y 1 x 3 y 2 y1 2 + y2 2 + y y2 4 Ð N = 8 Ù Ö ÛÒ ¾º µ Ø Ò ØÔÙ Ý ÔÓ ÙÛÞ Ð Ò Ò Ù ¾º¾µ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = ÏÝÞÒ ÞÒ ÛÒÝ Ø Ó Ù Ù w 0 w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 1 w 0 w 3 w 2 w 5 w 4 w 7 w 6 w 2 w 3 w 0 w 1 w 6 w 7 w 4 w 5 w 3 w 2 w 1 w 0 w 7 w 6 w 5 w 4 w 4 w 5 w 6 w 7 w 0 w 1 w 2 w 3 w 5 w 4 w 7 w 6 w 1 w 0 w 3 w 2 w 6 w 7 w 4 w 5 w 2 w 3 w 0 w 1 w 7 w 6 w 5 w 4 w 3 w 2 w 1 w 0 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 2 y 1 y 4 y 3 y 6 y 5 y 8 y 7 y 3 y 4 y 1 y 2 y 7 y 8 y 5 y 6 y 4 y 3 y 2 y 1 y 8 y 7 y 6 y 5 y 5 y 6 y 7 y 8 y 1 y 2 y 3 y 4 y 6 y 5 y 8 y 7 y 2 y 1 y 4 y 3 y 7 y 8 y 5 y 6 y 3 y 4 y 1 y 2 y 8 y 7 y 6 y 5 y 4 y 3 y 2 y 1 Ø Ö ÒÝ Ó Þ Ö Ð ÔÖÞÝÒ ÑÒ Ò ÛÞ ÔÓ Û Ô ÖÞ Ò y i Ò Þ ÖÓÛ º ÊÓÞÛ Þ Ò w 0,w 1,...,w N 1 Ð N = 2,4,8 ÛÞ Û x = (x 1,x 2,...,x N ) R N x 0 y = (y 1,y 2,...,y N ) R N y 0 ÑÓ Ò Þ Ô Ò ØÔÙ Ó Ð N = 2 [ w0 w 1 ] [ 1 y1 y = 2 y1 2 + y2 y 2 2 y 1 ] [ x1 x 2 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8. ], ¾º µ Ð N = 4 w 0 w 1 w 2 w 3 = 1 4 yi 2 i=1 y 1 y 2 y 3 y 4 y 2 y 1 y 4 y 3 y 3 y 4 y 1 y 2 y 4 y 3 y 2 y 1 x 1 x 2 x 3 x 4, ¾º µ

25 ¾º½º Í ÇÏ ÇÈ Ê ÌÇÊ ÇÀÊ Á ÇÈ Ê ÌÇÊ Ç ÏÊÇÌÆ Ç ¾ Ð N = 8 w 0 w 1 w 2 w 3 w 4 = 1 8 w 5 i=1 w 6 w 7 y 2 i y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 2 y 1 y 4 y 3 y 6 y 5 y 8 y 7 y 3 y 4 y 1 y 2 y 7 y 8 y 5 y 6 y 4 y 3 y 2 y 1 y 8 y 7 y 6 y 5 y 5 y 6 y 7 y 8 y 1 y 2 y 3 y 4 y 6 y 5 y 8 y 7 y 2 y 1 y 4 y 3 y 7 y 8 y 5 y 6 y 3 y 4 y 1 y 2 y 8 y 7 y 6 y 5 y 4 y 3 y 2 y 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8. ¾º µ Ö ÛÒ Ò ¾º µ ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ y y = ( W + w 0 I) 1 x y = Mx Ð M = ( W + w 0 I) 1 º ËÞÙ ÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÀÊ ÇÀÊµ ÛÝÒÓ M = w0 2 (W + w 0 I). Â Ð Ð ÓÛÓÐÒÝ Û ØÓÖ Û Û Ô ÖÞ ÒÝ ÛÞ Û x = (x 1,x 2,...,x N ) R N x 0 y = (y 1,y 2,...,y N ) R N y 0 Û Ô ÞÝÒÒ w i Ò Ô Ò Þ Ó Ò = 1 ØÓ Û ÛÞ N 1 i=1 w2 i ( W + w 0 I) 1 = 1 N 1 wi 2 i=0 (W + w 0 I). ÊÓÞÛ Þ Ò ¾º µ ¾º µ ¾º µ Ò Ð ØÙ ÐÒ ÓÖ Þ ÞÙ ÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ó ¹ ÛÖÓØÒÝ Ó ÇÀÊ Ö ÛÒ Ð N = 2,4,8 M = 1 N 1 wi 2 i=0 (W + w 0 I), M 1 = w 0 I W. ¾º µ ÈÖÞÝ ÓÛÝ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÒÓ¹ ÝÑ ØÖÝÞÒÝ ÛÝÑ ÖÙ N = 8 ÛÝ ÓÖÞÝ¹ Ø ÒÝ Ó Ó Ð Þ Û ÖÓÞ Þ Ð ¾º ÔÖÞ Ø Û Ò ØÔÙ Ó M = Ù ÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ ÇÀÊµ ÃÖÓ ½º ÒÝ Ø N ÔÙÒ Ø Û N = 2,4,8µ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò R 2 º ÃÖÓ ¾º Ç Ð Þ Ò Û Ô ÞÝÒÒ Û w i Ð i = 0,1,...,N 1 ÛÞÓÖÝ ¾º µ ¾º µ ¾º µº ÃÖÓ º Ù ÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ M ÐÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒ Ó M 1 ¾º µº

26 ¾ ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ ¾º¾ Å ØÓ ÅÀÊ ÏÝÔÖÓÛ Þ Ò Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ ÞÙ Ò Þ Ó Ò Ù ÖÞÝÛ ÓÔ Ù Þ Ö ÛÞ Û (x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ),..., (x n,y n ) R 2 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù h/2 Û Û Ô ÖÞ Ò x i Û ÛÞ h/2 = x i+1 x i ÐÙ Û Û Ô ÖÞ Ò y i (h/2 = y i+1 y i )º Â Ð ÛÞ Ý Ñ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò Û ÛÞ Û ÐÙ Ó Ð Þ Ò Û ÖØÓ Ð Ö¹ ÙÑ ÒØÙ Þ ÔÖÞ Þ Ù [x 0,x 1 ] Ò Ð Ý ÛÝÞÒ ÞÝ Û ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÇÀÊ M 0 Þ Ù¹ ÓÛ ÒÝ Ò ÛÞ (a = x 0,y 0 ),(x 2,y 2 ),...,(x 2N 2,y 2N 2 ) Ò ØÓÑ Ø M 1 Þ Ù¹ ÓÛ ÒÝ Ò ÛÞ (b = x 1,y 1 ),(x 3,y 3 ),...,(x 2N 1,y 2N 1 ) Ð N = 2,4,8º Þ ÓÔ Ö ØÓÖÓÑ M 0 M 1 ÑÓ Ð Û Ø Ó Ö Ð Ò Û ÖØÓ Ð ÓÛÓÐÒ Ó Ö ÙÑ ÒØÙ c [a;b] ÓÐ ÒÝ N 1 Ö ÙÑ ÒØ Û Þ ÖÓ Ñ hº Â Ð ÛÞ Ý Ñ Ø Ý ÖÓ Û ÞÑ ÒÒ y Û ÛÞ Û ÐÙ Ó Ð Þ Ò ÞÑ ÒÒ x Ð ÖÙ Û Ô ÖÞ ¹ Ò Þ ÔÖÞ Þ Ù [y 0,y 1 ] Ò Ð Ý ÛÝÞÒ ÞÝ Û ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÇÀÊ M 1 0 Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ò ÛÞ (x 0,a = y 0 ),(x 2,y 2 ),...,(x 2N 2,y 2N 2 ) Ò ØÓÑ Ø M 1 1 Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ò ÛÞ (x 1,b = y 1 ),(x 3,y 3 ),...,(x 2N 1,y 2N 1 ) Ð N = 2,4,8º Þ ÓÔ Ö ØÓÖÓÑ M 1 0 M 1 1 ÑÓ Ð Û Ø Ó Ö Ð Ò Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò Ð ÓÛÓÐÒ ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò c [a;b] ÓÐ ÒÝ N 1 Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ ÖÓ Ñ hº ¾º¾º½ ÏÝÞÒ Þ Ò Û ÖØÓ ÔÓ Ö Ò Ð ÓÖÝØÑ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û M 0 M 1 Ó ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó M 2 ÓÖ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û M 1 0 M 1 1 Ó ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Ó ÛÖÓØÒ Ó ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó M 1 2 Ø Ò ØÔÙ Ý ½º Æ c ÊÝ º ¾º µ Þ Û ÖØÓ ÔÓ Ö Ò Þ ÔÖÞ Þ Ù [a;b]º ¾º Ç Ð Þ α = k m+k β = m m+k Ø ÓÞÝÛ Ø α + β ½º º ÏÝÞÒ Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò M 2 Ó ÓÑ Ò ÛÝÔÙ M 0 M 1 ÐÙ Ó ÛÖÓØÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò M 1 2 Ó ÓÑ Ò ÛÝÔÙ M 1 0 M 1 1 M 2 = α M 0 + β M 1, M 1 2 = α M β M 1 1. ¾º µ ÊÝ ÙÒ ¾º º ÈÖÓÔÓÖ ÔÓ Þ Ù Ó Ò [a;b] Ñ ÛÓ Ó ÞÛ Ö Ð Ò ÔÖÞÝ Ù ÓÛ Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó M 2 ÅÓ Ò ÛØ Ý Þ Ô c = α a + (1 α) bº Æ h/2 = b a ÓÞÒ Þ Ø Ý ÖÓ Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÛÞ Ûº Â Ð M 0 Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Þ Ù ÓÛ ÒÝÑ Ð Ô ÖÛ Þ Ó ÛÞ Ó Û Ô ÖÞ Ò a ÓÐ ÒÝ ÛÞ Û Þ ÖÓ Ñ Û Ô ÖÞ Ò h ØÓ ÓÐÙÑÒÝ Ñ ÖÞÝ M 0 Ø ÒÓÛ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Û ØÓÖÝ ÞÓÛ Ð ØÝ ÛÞ Û Ù Ý Ó Ù ÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ M 0 )º ÈÓ Ó Ò Ñ ÖÞ M 1 Þ Û Ö ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Û ØÓÖÝ ÞÓÛ Ð Ô ÖÛ Þ Ó ÛÞ Ó Û Ô ÖÞ Ò b ÓÐ ÒÝ ÛÞ Û Þ ÖÓ Ñ Û Ô ÖÞ Ò hº Â Ð c = α a+(1 α) b ØÓ Ð Û ØÓÖ Û ÞÓÛÝ Þ Ó Þ Ø Ñ ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ α M 0 +(1 α) M 1 º ÇÞÒ Þ ØÓ ÔÙÒ ØÓÛ c ÓÐ ÒÝÑ Þ ÖÓ Ñ h Ó ÔÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ M 2 = α M 0 + (1 α) M 1 º

27 ¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ¾ Æ f ÓÞÒ Þ ÔÖÞ ÞØ Ò ÔÖÞ Þ Ù [a;b] Û Þ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Þ Ù¹ ÓÛ ÒÝ Ð Ô ÖÛ Þ Ó ÛÞ Ó Û Ô ÖÞ Ò Þ ÔÖÞ Þ Ù [a;b] ÓÐ ÒÝ ÛÞ Û Þ ÖÓ Ñ Û Ô ÖÞ Ò h ÓÞÒ ÞÓÒÝ ÀÊ a,bµº f : [a;b] ÀÊ(a,b). ÈÖÞ ÞØ Ò f Ø Þ Ù ÓÛ Ò Ò ØÔÙ Ó c α M 0 + (1 α) M 1 Þ c = α a + (1 α) bº ÙÛ ÑÝ f Ô Ò Û ÖÙÒ ÖÞ ÓÛ f(a) = M 0 f(b) = M 1 º ØÛÓ ÛÝ Þ Û ÒÓ Ð Ò ÓÛÓ f(c) = f(α a + (1 α) b) = α f(a) + (1 α) f(b) = α M 0 + (1 α) M 1 º ÍÛ ÈÖÞ ÞØ Ò Ð Ò ÓÛ f Ø ÙÒ ÛÞ ÑÒ ÒÓÞÒ ÞÒ ÞÝÐ ÑÙ ÔÙÒ ¹ ØÓÛ ÔÖÞ Þ Ù [a;b] Þ Ó ÔÓÛ Ó Ò Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Þ Þ ÓÖÙ ÀÊ a,bµ Ö ÒÝÑ ÔÙÒ ØÓÑ Ö Ò ÓÔ Ö ØÓÖÝº ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º¾º Ç Ð Þ Ò Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ Ñ ÖÞÝ ÀÊ Ó ÛÝÑ Ö N = 4 ÔÓ ÑÒ Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ò Ó Ð Þ Ò Þ Ñ ÖÞ Ñ ÀÊ Ð N = 8º ÍÞ Ò Ò Ó ØÛÓÖÞÝ Ò ÞÒ Ò Û Ô ÖÞ Ò Û ÒÝÑ ÔÙÒ ÖÞÝ¹ Û Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ó ÛÝÑ Ö 4 4 Ò Ð Ý ÛÝ ÓÒ Þ Ò ÑÒÓ Ò ÐÙ Þ Ð Ò ¾º µ ¾º µº Æ ØÓÑ Ø Ó Ð Þ Ò ÔÓ ÝÒÞ Û Ô ÖÞ Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ó ÛÝÑ Ö 8 8 ÛÝÑ ½ ÑÒÓ ÐÙ Þ Ð ¾º µ ¾º µº Ó Û Ò Ó ÑÓÛ Ò ÑÓ Ò Ò Ö ÔÓ ÙÛ ÔÖÞÝ Þ ÓÛ Ò Ù Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ º ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º º Æ n ÓÞÒ Þ Ò Û Þ Ð Þ Ñ ÖÞÝ ÀÊ Û Ò ÖÓ¹ Þ Ò Ò Ó ÛÝÑ ÖÙº Ï ÐÙ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û 8 8 n = 7µ Ò Ð Ý ÔÓ Ó Ò ÑÒ ½ ÛÞ Û Ó Ð Ñ ÒØ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Ò ØÓ¹ Ñ Ø Û ÔÖÞÝÔ Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û 4 4 n = 3µ Ñ Ò Ñ ÐÒ ÐÓ ØÓ ÛÞ Û Ó Ð Ñ ÒØ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ º ÏÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û 2 2 n = 1µ ØÓ Ñ Ò ÑÙÑ ÛÞ Ûº ÍÞ Ò Ò Ï ÐÙ Ó Ð Þ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ý ÔÓÑ ¹ ÞÝ ÛÞ Ñ ÞÝÐ Ð Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ Û ÔÖÞ Þ [x 0,x 1 ] [x 2,x 3 ] º º º [x 2n,x 2n+1 ] Ò Ð Ý Ó Ð ÞÝ Û ÓÔ Ö ØÓÖÝ M 0 M 1 Ò Ð ÛÞ Û (x 0,y 0 ) (x 2,y 2 ) º º º (x 2n,y 2n ) ÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Ð ÛÞ Û (x 1,y 1 ) (x 3,y 3 ) º º º (x 2n+1,y 2n+1 ) Ò ØÔÒ ÛÝÞÒ Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò M 2 Ó Ó ÔÓÛ Ò Û Ô ÞÝÒÒ º ÇÔ ¹ Ö ØÓÖÝ Ö Ò M 2 = α M 0 + β M 1 ¾º µ Ù Ó Ó Ð Þ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ý Ñ ÞÝ ÛÞ Ñ º ÞÝÐ ÔÓØÖÞ 2n + 2 ÛÞ Û ½ ÛÞ Û Û ÔÖÞÝÔ Ù ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ 8 8 ÓÖ Þ ÛÞ Û Ð ÛÝÑ ÖÙ 4 4º Ï ÐÙ Ó Ð Þ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ ¹ ÒÝ Ð Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ Ð Ý Û ÔÖÞ Þ [x 1,x 2 ] [x 3,x 4 ] º º º [x 2n+1,x 2n+2 ] Ò Ð Ý ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Û ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ò Ð ÛÞ Û (x 2,y 2 ) (x 4,y 4 ) º º º (x 2n+2,y 2n+2 ) ÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Ð ÛÞ Û (x 1,y 1 ) (x 3,y 3 ) º º º (x 2n+1,y 2n+1 ) Ø ÖÝ Ù Ý Þ Ù ÓÛ ÒÝº Æ ØÔÒ ÛÝÞÒ Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó Ó ÔÓÛ Ò Û Ô ÞÝÒ¹ Ò º Ó ÔÓÔÖÞ Ò Ð Þ Ý ÛÞ Û 2n + 2 Ó ÒÓ Ò Ó Û ÙÑ 2n + 3º ÌÓ ÓÞÒ Þ ½ ÛÞ Û Û ÔÖÞÝÔ Ù ÓÔ Ö ØÓÖ 8 8 ÓÖ Þ ÛÞ Û Ð ÛÝÑ ÖÙ 4 4 ÛÞ Û Ð ÇÀÊ 2 2º Å ØÓ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ ÅÀÊµ Ó ØÛÓÖÞ Ò Ö Ù Ý ÔÙÒ Ø Û ÖÞÝÛ Ó Ò Ò Û Ù Ò ÔÙÒ ØÝ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ Û R 2 ÓÔ Ù ÖÞÝÛ ÛÝ Ö Ò ÔÖÞ Þ Ô ÖØ µ ÔÓ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÛ Þ ÐÙ Û ÖÙ Û Ô ¹

28 ¾ ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ ÖÞ Ò º Æ Ô ÖÛ ÓÒØÙÖ Ò Ð Ý ÔÓ Þ Ð Ò Þ ÓÔ Ò ÛÞ Ñ Þ Ø ÝÑ ÖÓ¹ Ñ Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ Ù Ø ÒÓÛ ÓÒÝÑ Û ØÖ Ñ ÐÓ ÐÒÝ ÒÒ Û Ô ¹ ÖÞ Ò ÓÖ Þ Û ÔÙÒ Ø ÞÒ Ù Ý ÔÓÑ ÞÝ Ò Ñ Ó Ò ÑÒ Ò ÔÙÒ Ø Ð Ý ÔÓÑ ÞÝ Ò Ñ ØÖ Ñ Ñ ÐÓ ÐÒÝÑ µº Æ ÛÝ Ù Ó Ð ÞÓÒ Ö Ù Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ý Ò ÖÞÝÛ Ò ÔÓ Ø Û ÛÝÞÒ ÞÓÒÝ ÔÙÒ Ø Û ÑÓ Ð Û Ø Ó ØÛÓÖÞ Ò ÖÞÝÛ Ó ÔÓÛ Ò Ó Ö ÛÞ Û Þ Ô ÛÒ Þ ØÖ ØÒ ÐÙ Ñ Ó ØÖ ØÒ Ö ÓÒ ØÖÙ ÖÞÝÛ µº ÈÓ Þ ÓÒØÙÖÙ Ò ÔÓ ÞÞ ÐÒ Þ Þ Ó ÓÛ Ò Û ÔÓ Ø Þ ÓÖÙ ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÓÛÓ Ù Þ ÓÒØÙÖÙ ÑÓ Ý ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Ó Þ ÐÒ ÙÑ ÞÞÓÒ Ò ÒÝÑ Ó Ö Þ Û ÞÝ Ø Ó ØÛÓ¹ ÖÞÓÒ ÔÙÒ ØÝ ÔÖÞ Ø Û ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ Ý ÓÒØÙÖº ÃÖÓ ½º ÏÝ Ö ÛÞ Û (x i ;y i ) R 2 Ð i = 0,1,...,n ÔÓ ÖÙÔÓÛ ÒÝ Ð Þ ÓÒØÙÖÙ Û ÔÓ Þ ÓÖÝ Þ Ó ÓÒ Þ Ó Ò ÑÒ Ô Ù ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù h/2 Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ º ÏÞ Ñ ØÖ Ñ ÐÓ ÐÒ Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÓÖ Þ ÔÙÒ ØÝ ÞÒ Ù ÔÓÑ ÞÝ Ò Ñ Ó Ò ÑÒ Ò Ð Ý Ñ ÞÝ Ô Ö Ò ØÖ Ñ Û ÐÓ ÐÒÝ µº ÃÖÓ ¾º Ù ÓÛ Ò Û ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ N = 2,4,8µ Ò ÔÓ ¹ Ø Û ÓÐ ÒÝ 2N ÛÞ Û ÒÔº Ò ÓÔ Ö ØÓÖ M 0 Þ Ù ÓÛ ÒÝ Þ ÓÐ ¹ ÒÝ ÛÞ Û (x i ;y i ) Ó Ò Ô ÖÞÝ ØÝ ÖÓ Ù h i = 0,2,..., 2N 2µ ÖÙ M 1 Þ ÓÐ ÒÝ ÛÞ Û (x i ;y i ) Ó Ò Ò Ô ÖÞÝ ØÝ i = 1,3,...,2N 1µº Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÛÞ Û Ó Ö ÛÒÓÓ Ð Ý ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ Ò Ð Ý ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ó ÛÖÓØÒ Ó ÇÀÊº ÃÖÓ º ÏÝ Ö Ð Þ Ý c [a;b] Ð Ø Ö ÞÓ Ø Ò ÛÝÞÒ ÞÓÒ ÔÓ ÞÙ Û Ò Û Ô ÖÞ Ò x ÐÙ Û Ô ÖÞ Ò y Û ÔÖÞÝÔ Ù Ø Ó ÖÓ Ù Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò a = x 0 b = x 1 Ò ØÓÑ Ø Û ÔÖÞÝÔ Ù Ø Ó ÖÓ Ù ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò a = y 0 b = y 1 º Ð Ð Þ Ý c Ò Ð Ý Ù Ø Ð Ô Ö ¹ Ñ ØÖ α [0;1] Ý c = α a + (1 α) b ÊÝ º ¾º µº ÃÖÓ º Ù ÓÛ ÒÝ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò M 2 = α M 0 + (1 α) M 1 Û ÔÖÞÝ¹ Ô Ù ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò µ Û ÛÞÓÖÙ ¾º µ ÐÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò M 1 2 = α M (1 α) M 1 1 Û ÔÖÞÝÔ Ù ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò µº ÃÖÓ º Ç Ð Þ Û ØÓÖ ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ Y (C) = M 2 C Ð C = [c,c + h,...,c + (N 1) h] T Û ÐÙ ÛÝÞÒ Þ Ò Ö Ù Ý Û Ô ÖÞ ÒÝ Ö ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ ÔÙÒ ¹ Ø Û Þ Y (C) = [y c,y c+h,...,y c+(n 1)h ] T ÓÖ Þ y c+j h Ð j = 0,1,...,N 1 Ø Ó Ð ÞÓÒ ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò Ð Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò c + j hº Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò Ó Ð Þ Û ØÓÖ Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ X(C) = M 1 2 C, Þ X(C) = [x c,x c+h,...,x c+(n 1)h ] T ÓÖ Þ x c+j h Ð j = 0,1,...,N 1 Ø ÛÝÞÒ ÞÓÒ Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò Ð ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò c+j hº

29 ¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ¾ Ì Û ÓÒØÙÖ Ó Ö ÞÙ Ò Ð Ý ÖÓÞ Þ Ð Ò Þ Ø Ö ÑÓ ÞÓ Ø ÓÔ Ò Þ ÔÓÑÓ ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ º Ç ØÛÓÖÞ Ò Ö Ù Ý ÔÙÒ Ø Û ÔÖÞ Û ÔÓ ÞÞ ÐÒÝ ÔÓ Þ ÓÖ B i ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ò Û Ô ÖÞ Ò º Â Ð ØÓ ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÛÝÑ ÖÙ N = 2 ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ò Þ ÓÒØÙÖÙ Ó ÝÛ Þ ÔÓÑÓ Ò ØÔÙ Ý ÔÓ Þ ÓÖ Û ÛÞ Û B 0 = {(x 0 ;y 0 ),...,(x 4 ;y 4 )}, B 1 = {(x 4 ;y 4 ),...,(x 8 ;y 8 )}, B 2 = {(x 8 ;y 8 ),...,(x 12 ;y 12 )}, º B i = {(x 4i ;y 4i ),...,(x 4i+4 ;y 4i+4 )}. Ó ÛÝÞ ÖÔ Ò ÛÞ Û ÓÔ Ù Ý Ò Þ ÓÒØÙÖÙº Â Ð ØÓ ÓÛ Ò ÓÔ ¹ Ö ØÓÖÝ ÛÝÑ ÖÙ N = 4 ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ò Þ ÓÒØÙÖÙ Ó ÝÛ Þ ÔÓÑÓ Ò ØÔÙ Ý ÔÓ Þ ÓÖ Û ÛÞ Û B 0 = {(x 0 ;y 0 ),...,(x 8 ;y 8 )}, B 1 = {(x 8 ;y 8 ),...,(x 16 ;y 16 )}, B 2 = {(x 16 ;y 16 ),...,(x 24 ;y 24 )}, º B i = {(x 8i ;y 8i ),...,(x 8i+8 ;y 8i+8 )} Ó ÛÝÞ ÖÔ Ò ÛÞ Û ÓÔ Ù Ý Ò Þ ÓÒØÙÖÙº Â Ð ØÓ ÓÛ Ò ÓÔ ¹ Ö ØÓÖÝ ÛÝÑ ÖÙ N = 8 ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ò Þ ÓÒØÙÖÙ Ó ÝÛ Þ ÔÓÑÓ Ò ØÔÙ Ý ÔÓ Þ ÓÖ Û ÛÞ Û B 0 = {(x 0 ;y 0 ),...,(x 16 ;y 16 )}, B 1 = {(x 16 ;y 16 ),...,(x 32 ;y 32 )}, B 2 = {(x 32 ;y 32 ),...,(x 48 ;y 48 )}, º B i = {(x 16i ;y 16i ),...,(x 16i+16 ;y 16i+16 )} Ó ÛÝÞ ÖÔ Ò ÛÞ Û ÓÔ Ù Ý Ò Þ ÓÒØÙÖÙº Ç ÐÒ ÓÖÞÝ Ø Þ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ N = 2,4,8 ÔÖÞÝ Ö ÓÒ ØÖÙ Ò Þ ÓÒØÙÖÙ Ò ÔÓ Þ Ö ÛÞ Û B i Þ Û Ö 2N + 1 ÛÞ Û ÓÖ Þ B i = {(x 2Ni ;y 2Ni ),..., (x 2Ni+2N ;y 2Ni+2N )}º Â Ð Ó Ø ØÒ ÛÞ ÓÔ Ù Ý Ò Þ ÓÒØÙÖÙ Ò Ñ Ò¹ Ù ÔÓ Ø 2N i+2n ØÓ ÛØ Ý Ó Ø ØÒ ÔÓ Þ Ö ÛÞ Û Ð Ò Þ ÓÒØÙÖÙ Þ Ó ÓÛÝ 2N + 1 ÛÞ Ûº Ì Û Ó Ø ØÒ ÔÖÞ Ó Ø ØÒ ÔÓ Þ Ö ÛÞ Û Ö ÛÒ Û ÓÛÓÐÒ ÔÓ Þ ÓÖÝ ÛÞ Û B i Ð Ò Þ ÓÒØÙÖÙ ÑÓ Þ Û Ö Û Ò Ò ÒØÝÞÒÝ ÛÞ Ó Ò ÑÒ Ò ÛÞ ÑÙ Ý Ö ÒÝµº ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º º ÏÝÑ ÖÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ù ÝØÝ ÔÖÞÝ Ö ÓÒ ØÖÙ Û Þ ÓÒØÙÖÙ ÑÓ Ý Ö Ò º ÈÖÞÝ Þ ÓÖÙ ÛÞ Û ÓÒØÙÖÙ ÊÝ º ¾º µ Þ Ó ÓÒ Ó Þ ØÖÞ Þ º Â Ò Þ ÓÒØÙÖÙ ÓÔ Ù ÛÞ Ý Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò h/2 = 0.5

30 ¼ ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ ÊÝ ÙÒ ¾º º Û Ô ÖÞ Ò ÊÝ ÙÒ ÔÖÞ Ø Û Ô ØÒ ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ô ÖÛ Þ È ÖÛ Þ Þ Þ ÓÖÙ ÊÝ º ¾º µ Ò ÑÓ Ý Ó ØÛÓÖÞÓÒ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÛÝÑ ÖÙ N = 8 Ý ÐÓ ÛÞ Û Ø ÑÒ Þ Ò ÑÒ º Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ó ¹ ØÛ ÖÞ Ò Ø Þ ÓÒØÙÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ó ÛÝÑ Ö N = 4 Ò Ò ØÔÙ ÔÓ Þ ÓÖÝ ÛÞ Û B 0 = {(1;8),(1.5;6),(2; 5.5), (2.5; 5.9), (3; 7),(3.5;4.2), (4;2),(4.5;3.1),(5;4)}, B 1 = {(4;2),(4.5;3.1),(5; 4), (5.5; 2.1), (6; 1),(6.5;0.8), (7;0),(7.5;2.6),(8;5.7)}. Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ó ØÛ ÖÞ Ò Ø Þ ÓÒØÙÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ó ÛÝÑ Ö N = 2 Ò Ò ØÔÙ ÔÓ Þ ÓÖÝ ÛÞ Û B 0 = {(1;8),(1.5;6),(2;5.5),(2.5;5.9), (3;7)}, B 1 = {(3;7),(3.5;4.2), (4; 2),(4.5;3.1), (5;4)}, B 2 = {(5;4),(5.5;2.1), (6; 1),(6.5;0.8), (7;0)}, B 3 = {(6;1),(6.5;0.8), (7; 0),(7.5;2.6), (8;5.7)}. ÖÙ Þ Ö ÛÞ Û ÊÝ º ¾º µ Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò h/2 = 1 ÊÝ ÙÒ ¾º º ÊÝ ÙÒ ÔÖÞ Ø Û Þ Ò ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù ÖÙ Û Ô ¹ ÖÞ Ò

31 ¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ½ ÖÙ Þ ÊÝ º ¾º µ Ò ÑÓ Ý Ó ØÛÓÖÞÓÒ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÛÝÑ ÖÙ N = 8 Ý ÐÓ ÛÞ Û Ø ÑÒ Þ Ò ÑÒ Ð Þ Ò ØÙ ÛÞ Û ØÝÐ Ó ÔÓ ÓÛ ÔÙÒ Ø Û Ò Þ ÓÒØÙÖÙ ÑÓ ÞÓ Ø ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Þ ÔÓÑÓ ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ Û ÛÝÑ ÖÙ N = 8µº Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ó ØÛ ÖÞ Ò Ø Þ ÓÒØÙÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ó ÛÝÑ Ö N = 4 Ò Ò ØÔÙ ÔÓ Þ ÓÖÝ ÛÞ Û B 0 ={(8;5.7),(9.1;6.7),(10.1;7.7),(11.5; 8.7), (12.9;9.7),(13.1;10.7), (14.7;11.7), (13.8;12.7),(12.7; 13.7)}, B 1 = {(13.8;12.7),(12.7;13.7), (11.6;14;7), (10.1;15.7),(9.5;16.7), (8.7; 17.7), (7;18.7),(6.2;19.7), (5; 20.7)}. Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ó ØÛ ÖÞ Ò Ø Þ ÓÒØÙÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ó ÛÝÑ Ö N = 2 Ò Ò ØÔÙ ÔÓ Þ ÓÖÝ ÛÞ Û B 0 = {(8;5.7),(9.1;6.7),(10.1;7.7),(11.5; 8.7), (12.9;9.7)}, B 1 = {(12.9;9.7),(13.1; 10.7),(14.7;11.7), (13.8;12.7), (12.7;13.7)}, B 2 = {(12.7;13.7),(11.6;14;7), (10.1;15.7),(9.5;16.7), (8.7; 17.7)}, B 3 = {(9.5;16.7),(8.7;17.7)},(7;18.7),(6.2;19.7),(5;20.7)}. ÌÖÞ Þ Ö ÛÞ Û ÊÝ º ¾º µ Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò h/2 = 1 ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ Ò ÊÝ º ¾º º ÊÝ ÙÒ ¾º º ÊÝ ÙÒ ÔÖÞ Ø Û Ô ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ ¹ Ò ÌÖÞ Þ ÓÒØÙÖÙ ÊÝ º ¾º µ ÑÓ ÞÓ Ø Ó ØÛÓÖÞÓÒ ØÝÐ Ó Þ ÔÓÑÓ ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ Û ÛÝÑ ÖÙ N = 2 ÐÓ ÛÞ Û ÑÒ Þ Ò Þ Û µº Ï ÞÝ Ø ÛÞ Ý ÓÔ Ù ÒÝ ÓÒØÙÖ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ Ò ÊÝ º ¾º º ÊÝ ÙÒ ¾º º ÊÝ ÙÒ ÔÖÞ Ø Û Û ÞÝ Ø ÛÞ Ý ÔÖÞÝ ÓÛ Ó ÓÒØÙÖÙ

32 ¾ ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ Ò ¾º½º Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÓÒØÙÖÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ Ó ÞÓÒ ÐÓ ÔÙÒ Ø Û ØÓÔ ÖÞ µ ÓÑÔÖ ÅÀÊ Ø ØÓ ÙÒ Ñ Ð Þ Ý ÛÞ Û ÓÑÔÖ Ó Ð Þ Ý Û ÞÝ Ø ÔÙÒ Ø Û ÓÒØÙÖÙº Ë Ñ Ø ÐÓ ÓÛÝ ÓÑÔÖ ÅÀÊ Ð Ó ÓÒØÙÖÙ Ã ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ ÞÓ Ø Ò ÊÝ º ¾º º ÊÝ ÙÒ ¾º º Ë Ñ Ø ÐÓ ÓÛÝ ÓÑÔÖ ÅÀÊ Ð Ó ÓÒØÙÖÙ Ë Ñ Ø ÐÓ ÓÛÝ ÔÓ Þ Ù Ó ÓÒØÙÖÙ Ã Ò Þ Ã i i = 1,2,...,Äµ Û Ø ÔÓ Ý Ð Þ ÓÒØÙÖÙ ÑÓ Ð Û Ý Ó ÛÝÞÒ Þ Ò ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ Ø Ò ÊÝ º ¾º º ÙÒ sgn(arg(b a)) Ñ Þ Þ Ò ÔÖ Û Þ Ò ÞÒ Ù Ö Ò Ý Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÙÒ Ø Û a bº ÙÒ sgn(wart(b a)) Ñ Þ Þ Ò ÔÖ Û Þ Ò ÞÒ Ù Ö Ò Ý ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÙÒ Ø Û a bº ÙÒ cecha(a,b) ÔÖÞÝ ÑÙ Û ÖØÓ sgn(arg(b a)) ÐÙ sgn(wart(b a)) Û Þ Ð ÒÓ Ó ØÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ø ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò Û ÐÙ Ù Ø Ð Ò Ó Ý Ò Þ ÓÒØÙÖÙ ÑÓ Ý ÓÔ Ò Þ ÔÓÑÓ ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ò Û Ô ÖÞ Ò º Ë Ñ Ø ÐÓ ÓÛÝ ÛÝÞÒ Þ Ò ÛÞ Û Ð Þ Ã i i = 1,2,...,Äµ Û Ø ÔÓ Ý ÛÞ Ý Ù Ø ÐÓÒ Ý Ý Û ØÖ Ñ ÐÓ ÐÒÝ Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÓÖ Þ Û ÔÖÞÝÒ ÑÒ ÒÝÑ ÔÙÒ ÓÒØÙÖÙ Ð ÝÑ Ñ ÞÝ ØÖ Ñ Ñ Ý ÛÞ Ý ÔÓ Ý Ø Ý ÖÓ h ÒÒ Û Ô ÖÞ Ò ÔÖÞ Ø Û ÊÝ º ¾º½¼º ÙÒ arg Ó Ð Þ Ö Ò Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ Û ÔÙÒ Ø Û ÙÒ wart Ó Ð Þ Ö Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ Û ÔÙÒ Ø Ûº Ë Ñ Ø ÐÓ ÓÛÝ ÛÝÞ¹ Ò Þ Ò ØÖ Ñ Û ÐÓ ÐÒÝ Ø ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ Ò ÊÝ º ¾º½½º ÙÒ f Ø Þ Ò ÓÛ Ò Ò ÔÓÞ Ø Ù Ñ ØÙ Û Þ Ð ÒÓ Ó Ø Ó Ø Ö Û Ô ÖÞ Ò Ñ Ø Ý ÖÓ º ØÖ Ñ ÐÓ ÐÒ E 0 E M ÔÙÒ Ø Ñ Ö ÒÝÑ Ò Þ ÓÒØÙÖÙº Ê ÓÒ ØÖÙ ÓÑÔÖ µ Ó ÓÒØÙÖÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ Þ Ã i i = 1,2,...,Äµ ÔÖÞ Þ Ó Ò Þ Ñ Ø Ñ Ò ÊÝ º ¾º½¾º Ç ØÛÓÖÞ Ò Û Ô ÖÞ ÒÝ Ö Ù Ý ÔÙÒ Ø Û ÔÖÞ Û Ñ ØÙ Þ ÊÝ º ¾º½ ÙÒ g Ø Þ Ò ÓÛ Ò Ò ÔÓÞ Ø Ù Ñ ØÙ Û Þ Ð ÒÓ Ó

33 ¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ÊÝ ÙÒ ¾º º Ë Ñ Ø ÐÓ ÓÛÝ ÔÓ Þ Ù Ó ÓÒØÙÖÙ Ò Þ ÊÝ ÙÒ ¾º½¼º Ë Ñ Ø ÐÓ ÓÛÝ ÛÝÞÒ Þ Ò ÛÞ Û ÓÑÔÖ Ð Þ ÓÒØÙÖÙ Ã i

34 ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ ÊÝ ÙÒ ¾º½½º Ë Ñ Ø ÐÓ ÓÛÝ ÛÝÞÒ Þ Ò ØÖ Ñ Û ÐÓ ÐÒÝ Ð Þ ÓÒ¹ ØÙÖÙ Ã i ÊÝ ÙÒ ¾º½¾º Ë Ñ Ø ÐÓ ÓÛÝ ÓÑÔÖ Ö ÓÒ ØÖÙ µ Ó ÓÒØÙÖÙ

35 ¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ÊÝ ÙÒ ¾º½ º Ë Ñ Ø ÐÓ ÓÛÝ Ö ÓÒ ØÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ Ö Ù Ý ÔÙÒ Ø Û

36 ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ Ø Ó Ø Ö Û Ô ÖÞ Ò Ñ Ø Ý ÖÓ Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û x Ò ÞÛ ÒÓ Ö ÙÑ ÒØ Ñ Ö º Ò ØÓÑ Ø ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û y Ò ÞÛ ÒÓ Û ÖØÓ ¹ Ñ Û ÖØºµº ÈÖÞÝ Þ ÖÒÓ¹ Ó Ó Ö ÞÙ Ó ÔÓÛ Ò Ó ÓÒØÙÖÙ Þ ÖÓÞ Þ Ù º ÔÖÞ Ø Û ÖÝ ÙÒ ¾º½ ÊÝ ÙÒ ¾º½ º Ç Ö Þ Ó ØÙ ÓÖ Þ ÛÝ Þ ÐÓÒÝ ÓÒØÙÖ ÁÐÓ ÛÞ Û Û ÅÀÊ ÙÞ Ð Ò ÓÒ Ø Ó ÐÓ Ñ Ò ÑÙÑ ÐÙ Ñ ÑÙÑ ÐÓ ÐÒÝ Û ÖØÓ Û Ô ÖÞ ÒÝ Ò ÖÞÝÛ º Â Ð ÔÙÒ ØÝ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ ÔÓ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i ØÓ ØÖ ÑÙÑ ÐÓ ÐÒ ÓØÝÞÝ Û Ô ÖÞ Ò y i Ò ØÓÑ Ø Ð ÔÙÒ ØÝ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ ÔÓ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò y i ØÓ ØÖ ÑÙÑ ÐÓ ÐÒ ÖÓÞÔ ØÖÝÛ Ò Ø Þ ÛÞ Ð Ù Ò Û Ô ÖÞ Ò x i º ÁÑ Û ÛÝ Ö ÖÞÝ¹ Û ÔÓ ØÖ Ñ Û ÐÓ ÐÒÝ ØÝÑ Û Ò Ð Ý Ó Ö Ð ÛÞ Û ØÝÑ ÑÒ ÞÝ Ø ØÓÔ ÓÑÔÖ º ÆÔº ÔÓ ÓÛ Ð Ø Ò ÊÝ º ¾º½ ÔÓ ØÖÞÝ Þ ØÖ Ñ Û ÐÓ ÐÒÝ Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÑÓ Ý ÓÑÔÖ ÓÛ Ò ÞÖ ÓÒ¹ ØÖÙÓÛ Ò Þ ÔÓÑÓ Ñ Ù Þ ÓÖ Û ÛÞ Û Ã i º ¾º¾º¾ Ï ÒÓ Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ Ö ÞÓ ØÓØÒ Ø Þ Ò Ó ÒÓ Þ Ó ØÛ ÖÞ Ò Û ÞÝ Ø ÔÙÒ ØÝ ÓÒ¹ ØÙÖÙº Ð N = 2 ÐÓ Ò ÓÖÑ ÙÑ ÞÞÓÒ Û Ñ ÖÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÝÑ Ö 2 2 Ø ÑÒ Þ Ò Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 ÐÙ 8 8º Ð Û ØÓ ÓÛ ÓÔ Ö ¹ ØÓÖÝ Ð N = 4 ÐÙ N = 8 ÔÓÒ Û Þ Ô ÛÒ Û Þ Ó ÒÓ Ó Ð Þ º Â Ð ÔÖÞÝ Ð ÝÞÒ Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ ÓÒØÙÖ Ñ ÞØ Ø Û ÐÓÑ ÒÙ ÒØ ÖÔÓÐ Ý Ò Ó ØÓ Ó Þ ÓÛ Ò Ù ÞÒ Ù Û º Æ Þ Ñ ØÓ ÅÀÊ ÔÓÞÛ Ð Ò Ò Û ÖÒ Þ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÖÝ Ò ÐÒ Ó ÓÒØÙÖÙ Ò ØÝÐ Ó Þ ÔÓÑÓ Û ÐÓÑ ÒÙº Æ Û Ò Þ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ø ØÓ Ó Ñ ÖÞ Þ Û Ö ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Û ØÓÖÝ ÓÐÙÑÒÓÛ ÐÙ Û Ö ÞÓÛ Ø Ö Ø ÒÓÛ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Þ Ð ÔÙÒ Ø Û ÛÞ ÓÛÝ Ù Ý Ó Ù ÓÛÝ Ò Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊº ÃÓÐÙÑÒÝ Ø ÒÓÛ ÓÖ¹ ØÓ ÓÒ ÐÒ Û ØÓÖÝ ÞÓÛ Ø Ö Ð Û Ô ÞÝÒÒ Û Þ Ô ÒÝ Û Û ØÓÖÞ Ô Ö¹ Û ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x R N ÔÓÞÛÓÐ ÛÝÞÒ ÞÝ Û ØÓÖ ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ y Þ Ö ÛÒ Ò y = M xº Ò Ð Þ ÓÒ Þ ¾º µ Ø Û Ò Ð Ô Þ Þ ÔÓ Ø Ñ Þ ÓÛ Ò Ò ÓÖÑ Ó ÛÞ ÔÓÞÛ Ð Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ý Ñ ÞÝ ÛÞ Ñ ÊÝ º ¾º½ µº Á ØÓØÒÝ Ø Ó Ö ÛÞ Û Û ÔÙÒ Ø Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒÝ ÓÒ¹ ØÙÖÙ ØÖ Ñ ÐÓ ÐÒ ÓÖ Þ ÔÙÒ ØÝ Ð Ñ ÞÝ Ò Ñ Ó Ò ÑÒ Òµº Þ Ø ÑÙ ÛÝ ÓÖÓÛ ÔÙÒ Ø Û ÓÑÔÖ Ø Ô ÛÒ ÔÓÑ ÞÝ Ò Ñ ÛÞ Ñ ÙÒ Ø Ò Ñ Ð ÐÙ Ò ÖÓ Ò Ö ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÔÙÒ ØÝ ÔÓÑ ÞÝ ¹ Ò Ñ ÛÞ Ñ Ð Û ÔÖÓ ØÓ ØÒÝÑ Ó Þ ÖÞ [x 1,x 2 ] [y 1,y 2 ] ÛÝÞÒ ÞÓÒÝÑ ÔÖÞ Þ Ø

37 ¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ÛÞ Ý Þ ÓÛ Ò Ø ÔÓ Ø ÛÓÛ Ò ÓÖÑ Ó ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒÓ ØÖ Ñ ÖÞÝ¹ Û µº ÁÒÒÝÑ Û ÒÝÑ ÞÝÒÒ Ñ ÛÔ ÝÛ ÝÑ Ò Ó ÒÓ Ó Ð Þ Ø Ø ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ Û ÓÔ Ö ØÓÖ Û ¾º µ Ø ÛÝÔÙ º Þ Ø ÑÙ Ø Ô ÛÒÓ Ð Ð Û ÓÐ ÒÝ ÛÞ Û ÒÔº (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) R 2 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò Þ Ù ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÔÓ ÞÙ Û Ò Ø Û ÖØÓ y Ð x [x 1,x 2 ] ØÓ y [y 1,y 2 ]º ÈÓ Ó Ò Ð ÛÞ Ý ÔÓ Ø Ý ÖÓ ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÓ ÞÙ Û Ò Ø Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò x Ð y [y 1,y 2 ] ØÓ x Ò Ð Ý Ó ÔÖÞ Þ Ù [x 1,x 2 ]º ÊÝ ÙÒ ¾º½ º Ç ØÛÓÖÞÓÒ ÔÙÒ ØÝ (x,y) (t,u) Ð Ñ ÞÝ ÛÞ Ñ (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) ÈÙÒ ØÝ ÔÓ ÓÑÔÖ ÙØÛÓÖÞ ÖÞÝÛ ½ Ð ÊÝ º ¾º½ µ t = x + δ u = y + ε ÓÖ Þ Ð δ 0 ØÓ t x ÓÖ Þ Ò ÑÓÝ ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒÓ ÖÞÝÛ u y ε 0º Ó ÒÓ ÓÑÔÖ Ø Ò Û Ð ÙÒ Ý º ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º º Ò Û ÓÐ Ò ÛÞ Ý (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) R 2 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò x 2 x 1 = h/2º Æ c [x 1,x 2 ] ÓÖ Þ y c ÓÞÒ Þ Ó Ð ÞÓÒ ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ ØÙ (c,y c )º Â Ð h/2 0 ØÓ y c y 1 º ÍÞ Ò Ò Â Ð x 2 x 1 0 ØÓ x 2 x 1 ÓÖ Þ Ò ÑÓÝ ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒÓ y 2 y 1 º ÈÙÒ Ø (c,y c ) Ð Ý Û ÔÖÓ ØÓ ØÒÝÑ Ó Þ ÖÞ [x 1,x 2 ] [y 1,y 2 ]º Â Ð x 2 x 1 ÓÖ Þ y 2 y 1 ØÓ [x 1,x 2 ] [y 1,y 2 ] (x 1,y 1 )º ÞÝÐ c x 1 y c y 1 º Ð Ø Ó ÖÓ Ù ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º Ø Ò ÐÓ ÞÒ º Ò Û ÓÐ Ò ÛÞ Ý (x 1,y 1 ) x 2,y 2 ) R 2 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò y 2 y 1 = h/2º Æ c [y 1,y 2 ] ÓÖ Þ x c ÓÞÒ Þ Ó Ð ÞÓÒ Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ ØÙ (x c,c)º Â Ð h/2 0 ØÓ x c x 1 º ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º º Ï ÖØÓ y 1,y 2 ÛÞ Û (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) R 2 Ó ØÛÓÖÞÓÒ Ó Ò Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ó ÛÝÑ ÖÞ N = 2 Þ Ù ÓÛ Ò Ó Ò ÛÞ (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò x i ÐÓ ÛÞ Û i > 4µº ÍÞ Ò Ò Ç Ð ÞÓÒÓ Û Ô ÞÝÒÒ ¾º µ w 0 = x 1y 1 + x 2 y 2 y y2 2, w 1 = x 2y 1 x 1 y 2 y y2 2 Ï ÛÞ ÓÔ Ö ØÓÖ ¾º µ ÛÝÒÓ [ 1 x1 y M = 1 + x 2 y 2 x 2 y 1 x 1 y 2 x x2 2 x 1 y 2 x 2 y 1 x 1 y 1 + x 2 y 2 ]. Æ ØÔÒ ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ M x 1 [ x1 y 1 + x 2 y 2 x 2 y 1 x 1 y 2 x x2 2 x 1 y 2 x 2 y 1 x 1 y 1 + x 2 y 2 ][ x1 x 2 ] = [ y1 y 2 ].

38 ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ Ï ÖØÓ y 1,y 2 Ó ØÛÓÖÞÓÒ Ó Ò º ÏÝÞÒ Þ ÓÔ Ö ØÓÖ M ÛÝÑ ÖÙ N = 2 Û ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º Ò Ð Ý ÛÝ ÓÒ Þ Û Þ ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò º Æ ØÓÑ Ø Ó Ð Þ Û Ô ÞÝÒÒ ¾º µ ÔÓ Ø Û Ó ÛÞÓÖÙ ¾º µ ÐÓ Ø Þ ÛÝÒÓ ÞØ ÖÒ º Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ñ ØÓ Ý ÞÓ Ø ÞÑÒ ÞÓÒ º ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º º Ï Ô ÖÞ Ò x 1,x 2 ÛÞ Û (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) R 2 Ó ØÛÓ¹ ÖÞÓÒ Ó Ò Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒ Ó Ó ÇÀÊ Ó ÛÝÑ ÖÞ N = 2 Þ Ù¹ ÓÛ Ò Ó Ò ÛÞ (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò y i ÐÓ ÛÞ Û i > 4µº ÍÞ Ò Ò Ç Ð ÞÓÒÓ Û Ô ÞÝÒÒ ¾º µ w 0 = x 1y 1 + x 2 y 2 y y2 2, w 1 = x 2y 1 x 1 y 2 y y2 2 Ï ÛÞ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒÝ Ó ¾º µ ÛÝÒÓ [ M 1 1 x1 y = 1 + x 2 y 2 x 1 y 2 x 2 y 1 y1 2 + y2 x 2 2 y 1 x 1 y 2 x 1 y 1 + x 2 y 2 ]. ¾º µ Æ ØÔÒ ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ M 1 y 1 [ x1 y 1 + x 2 y 2 x 1 y 2 x 2 y 1 y1 2 + y2 2 x 2 y 1 x 1 y 2 x 1 y 1 + x 2 y 2 ][ y1 y 2 ] = [ x1 x 2 ]. Ï Ô ÖÞ Ò x 1,x 2 Ó ØÛÓÖÞÓÒ Ó Ò º Ð N = 4,8 ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º ¾º ÓÖ Þ ÓÛÓ Ý Ò ÐÓ ÞÒ Û Ô ÖÞ Ò ÛÞ Û Ó ØÛÓÖÞÓÒ Ó Ò Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ð Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØ¹ Ò Ó Ó ÇÀÊ Þ Ù ÓÛ Ò Ó Ò ØÝ ÛÞ º ÍÞ Ò Ò ÃÓÖÞÝ Ø Ð N = 4 Þ ÔÓ ØÖÞ ¾º½¼ ¾º½½ ÑÓ Ò Ó Ð ÞÝ M x ÓÖ Þ M 1 y Ð x = [x 1,x 2,x 3,x 4 ] T R 4 y = [y 1,y 2,y 3,y 4 ] T R 4 º ÏÝÒ Ó Ò M x = y ÓÖ Þ M 1 y = xº ÈÓ Ó Ò Ð N = 8 Ò Ð Ý ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½¾ ¾º½ º ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º º ÇÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ò ÛÞ (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) R 2 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò x i Ö ÛÒÝ Ø [ ][ 1 x1 x M = 2 y1 y 2 x x2 2 x 2 x 1 y 2 y 1 ÍÞ Ò Ò ÛÝÒ Þ ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º º ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º º ÇÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒÝ Ó ÇÀÊ ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ Ò ÛÞ (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) R 2 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò y i Ö ÛÒÝ Ø ¾º µ [ ][ M 1 1 x1 x = 2 y1 y 2 y1 2 + y2 x 2 2 x 1 y 2 y 1 ÍÞ Ò Ò ÛÝÒ Þ ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º º ]. ].

39 ¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½¼º ÇÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ò ÛÞ (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) (x 3,y 3 ) (x 4,y 4 ) R 2 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò x i Ö ÛÒÝ Ø M = 1 x x2 2 + x2 3 + x2 4 u 0 u 1 u 2 u 3 u 1 u 0 u 3 u 2 u 2 u 3 u 0 u 1 u 3 u 2 u 1 u 0 Ð u 0 = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4, u 1 = x 1 y 2 + x 2 y 1 + x 3 y 4 x 4 y 3, u 2 = x 1 y 3 x 2 y 4 + x 3 y 1 + x 4 y 2, u 3 = x 1 y 4 + x 2 y 3 x 3 y 2 + x 4 y 1. ÍÞ Ò Ò ÏÝÞÒ ÞÓÒ Û Ô ÞÝÒÒ ¾º µ Û Ø Û ÓÒÓ Ó ÛÞÓÖÙ ¾º µ Ó Ó¹ Ò ÒÓ Ö Ù ÛÝÖ º ÍÛ Þ ÔÓ ØÖÞ Ò Ù ¾º½¼ ÐÓ Þ ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò ÔÓØÖÞ ÒÝ Ó ÛÝÞ¹ Ò Þ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ N = 4 ÛÝÒÓ Û Þ Ô Ò ØÓÑ Ø Ó Ð Þ ¹ Û Ô ÞÝÒÒ ¾º µ ÔÓ Ø Û Ó ÛÞÓÖÙ ¾º µ ÐÓ Ø Þ ÛÝÒÓ ØÖÞÝ Þ ÞØ ÖÝº Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ñ ØÓ Ý ÞÓ Ø ÞÑÒ ÞÓÒ º ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½½º ÇÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒÝ Ó ÇÀÊ Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ò ÛÞ (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) (x 3,y 3 ) (x 4,y 4 ) R 2 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò y i Ö ÛÒÝ Ø M 1 = 1 y y2 2 + y2 3 + y2 4 u 0 u 1 u 2 u 3 u 1 u 0 u 3 u 2 u 2 u 3 u 0 u 1 u 3 u 2 u 1 u 0. ¾º½¼µ Ï Ô ÞÝÒÒ u i ÓÖ Þ ÙÞ Ò Ò ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½¼º ÍÛ ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½½ Ò ÞÑ Ò ÐÓ Þ ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò ÔÓØÖÞ ÒÝ Ó ÛÝÞÒ Þ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒ Ó Ó ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ N = 4 ¾º½¼µ Ò Ð ÐÓ Ø Þ ÛÝÒÓ Û Þ Ô º ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½¾º ÇÔ Ö ØÓÖ M Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ò ÛÞ (x i,y i ) R 2 i = 1,2,..., 8 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò x i Ö ÛÒÝ Ø M = 1 8 x 2 i i=1 u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 1 u 0 u 3 u 2 u 5 u 4 u 7 u 6 u 2 u 3 u 0 u 1 u 6 u 7 u 4 u 5 u 3 u 2 u 1 u 0 u 7 u 6 u 5 u 4 u 4 u 5 u 6 u 7 u 0 u 1 u 2 u 3 u 5 u 4 u 7 u 6 u 1 u 0 u 3 u 2 u 6 u 7 u 4 u 5 u 2 u 3 u 0 u 1 u 7 u 6 u 5 u 4 u 3 u 2 u 1 u 0,

40 ¼ ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ u = u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 = y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 2 y 1 y 4 y 3 y 6 y 5 y 8 y 7 y 3 y 4 y 1 y 2 y 7 y 8 y 5 y 6 y 4 y 3 y 2 y 1 y 8 y 7 y 6 y 5 y 5 y 6 y 7 y 8 y 1 y 2 y 3 y 4 y 6 y 5 y 8 y 7 y 2 y 1 y 4 y 3 y 7 y 8 y 5 y 6 y 3 y 4 y 1 y 2 y 8 y 7 y 6 y 5 y 4 y 3 y 2 y 1 ÍÞ Ò Ò ÏÝÞÒ ÞÓÒ Û Ô ÞÝÒÒ ¾º µ Û Ø Û ÓÒÓ Ó ÛÞÓÖÙ ¾º µ Ó Ó¹ Ò ÒÓ Ö Ù ÛÝÖ º ÍÛ Þ ÔÓ ØÖÞ Ò ÓÑ ¾º½¾ ÐÓ Þ ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò ÔÓØÖÞ ÒÝ Ó ÛÝÞ¹ Ò Þ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ N = 8 ÛÝÒÓ Ó Ñ Þ Ø Ò Ò ØÓÑ Ø Ó Ð Þ Û Ô ÞÝÒÒ ¾º µ ÔÓ Ø Û Ó ÛÞÓÖÙ ¾º µ ÐÓ Ø Þ ÛÝÒÓ Þ Û Þ Ø Ó Ñº Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ñ ØÓ Ý ÞÓ Ø ÞÑÒ ÞÓÒ º ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½ º ÇÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒÝ M 1 Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ò ÛÞ (x i,y i ) R 2 i = 1,2,...,8 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò y i Ö ÛÒÝ Ø x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 M 1 = 1 8 yi 2 i=1 u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 1 u 0 u 3 u 2 u 5 u 4 u 7 u 6 u 2 u 3 u 0 u 1 u 6 u 7 u 4 u 5 u 3 u 2 u 1 u 0 u 7 u 6 u 5 u 4 u 4 u 5 u 6 u 7 u 0 u 1 u 2 u 3. ¾º½½µ u 5 u 4 u 7 u 6 u 1 u 0 u 3 u 2 u 6 u 7 u 4 u 5 u 2 u 3 u 0 u 1 u 7 u 6 u 5 u 4 u 3 u 2 u 1 u 0 Ï Ô ÞÝÒÒ u i ÓÖ Þ ÙÞ Ò Ò ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½¾º ÍÛ ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½ Ò ÞÑ Ò ÐÓ Þ ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò ÔÓØÖÞ ÒÝ Ó ÛÝÞÒ Þ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒ Ó Ó ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ N = 8 ¾º½½µ Ò Ð ÐÓ Ø Þ ÛÝÒÓ ½º ¾º¾º Ó ÒÓ Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ ÔÖÞÝ Ý Ó Þ ÓÛ Ù Ï ÓÑÓ Ù Û ÛÞ Ó Ð Ñ ÒØ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Û Ô ÖÞ Ò Ó Ð ÞÓÒ Ó Ò Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÐÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒ Ó Ó ÇÀÊº Ó Þ Þ ÛÝÞÒ ÞÓÒÝÑ ÔÙÒ Ø Ñ Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Ð ÝÑ Ñ ÞÝ ÛÞ Ñ Ï ÐÙ ÓØÖÞÝÑ Ò Ó ÔÓÛ Þ Ò ØÓ ÔÝØ Ò Ó Þ ÓÛ ÒÓ ÔÖÞÝ Ð ¹ Ò ÅÀÊ Û Ð ÙÒ Ó ÓÛÝ ÙÞÙÔ Ò ÓÒÝ Ó Ò Ñ Ô ÓÒÓÛÝÑ ÓÖ Þ Û ÐÓÑ Ò Û ØÓÔÒ Ô ÖÛ Þ Ó ÖÙ Ó ØÖÞ Óº Ó Ò Ó ØÛ ÖÞ Ò ÙÒ Ò Ð Ý Ó Ð Ý ÙÒ Ó ÓÛÝ ÙÞÙÔ Ò ÓÒÝ Ó Ò Ñ Ô ÓÒÓÛÝÑ Ó Ø ÛÝ Ó Ó Þ ÖÓ Ó Ó º Æ ÊÝ º¾º ÞÒ Ù ÛÞ Ý a = x 0 = a 0 R b = x 1 = a K R b a = h/2 R Ø Ý ÖÓ Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò µº ÈÖÞ Þ (a;b] Ø ÔÓ Þ ÐÓÒÝ Ò ÖÓÞ ÞÒ ÔÓ ÔÖÞ Þ Ý (a i ;a i+1 ] Ó Ö ÛÒ Ù Ó h/(2k) Ð i = 0,1,...,K 1 : a j = a + jh/(2k)

41 ¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ½ ÊÝ ÙÒ ¾º½ º ÙÒ Ó ÓÛ Ñ ÞÝ ÛÞ Ñ (1;1) (4;4) K = 3 Ð j = 0,1,...,Kº Ï ÖØÓ Ø ÙÒ Ó ÓÛ Ð ÓÛÓÐÒ Ó t (a i 1 ;a i ÛÝÒÓ y 0 + i K (y 1 y 0 ) Ð i = 1,2,...,K ÊÝ º ¾º½ µº Ó Ò ÓÔ Ö ØÓÖ M 0 Þ Ù ÓÛ ÒÓ Ð ÛÞ Û (x 0,y 0 ) (x 2,y 2 ) Ò ØÓÑ Ø ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ M 1 Þ Ù ÓÛ ÒÓ Ð ÛÞ Û (x 1,y 1 ) (x 3,y 3 )º Ï Ô ÖÞ Ò c [a;b] c = α a+β b α + β = 1 α,β [0;1]º Ï ÛÞ ÔÖÞÝ ØÓ x 0 = a x 1 = b = a + h/2 x 2 = a + h x 3 = a + 3h/2 c = a + βh/2º Æ M 2 = α M 0 + β M 1 ÓÞÒ Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó ÛÝÞÒ Þ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ Ð c c + hº Æ y c ÓÞÒ Þ Ó Ð ÞÓÒ ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò Ð c ÛÝÞÒ ÞÓÒ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ M 2 º ÈÖÞ ÞØ ÓÒÓ y 0 + i(y 1 y 0 )/K y c Û ÐÙ Ó Þ ÓÛ Ò ÔÖÞÝ Ð Ò Û ÖØÓ y c º ÇÔ Ö ØÓÖ Ö Ò ÛÝÒÓ [ ] α x0 y M 2 = 0 + x 2 y 2 x 2 y 0 x 0 y 2 x x2 x 2 0 y 2 x 2 y 0 x 0 y 0 + x 2 y 2 [ ] β x1 y x 3 y 3 x 3 y 1 x 1 y 3 x ¾º½¾µ x2 x 3 1 y 3 x 3 y 1 x 1 y 1 + x 3 y 3 Ï ÖØÓ y c Ó Ð ÞÓÒÓ Ò ØÔÙ Ó y c ÛÝÒÓ [ yc c ] y c+h = M2 [ c+h] Ï ÛÞ Û Ô ÖÞ Ò y c = α 2 y 0 + β 2 y 1 + αβy 0 + ( 2ahy0 + h 2 y 0 + h 2 y 2 αβ 4a 2 + 4ah + 2h 2 + 4a2 y 1 + 6ahy 1 + 3h 2 y 1 h 2 ) y 3 4a 2 + 8ah + 5h 2. ÇÞÒ ÞÓÒÓ s = 2ahy 0 + h 2 y 0 + h 2 y 2 4a 2 + 4ah + 2h 2 + 4a2 y 1 + 6ahy 1 + 3h 2 y 1 h 2 y 3 4a 2 + 8ah + 5h 2. ÏØ Ý y c = α 2 y 0 + β 2 y 1 + αβy 0 + αβs. ËÞ ÓÛ Ò ÛÝ ÓÒ ÒÓ ÔÖÞÝ Þ Ó Ò Ù Û ÞÝ Ø Û Ô ÖÞ Ò ÛÞ Û Ò Ù¹ ÑÒ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô Ð Û Ô ÖÞ Ò Ò Ù ÑÒ µº Ó Ò a 0,y 1 y 0 0,s > 0. ÈÓ Ó Ð Þ Ò Ù y c ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ù ØÙ ÐÓÞÝÒ α β [0;25] α 2,β 2 [0;1]

42 ¾ ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ ÓØÖÞÝÑ ÒÓ Ó Þ ÓÛ Ò Ð i = 1,2,...,K y 0 + i K (y 1 y 0 ) y c = y 0 α 2 y 0 αβy 0 β 2 y 1 αβs + i K (y 1 y 0 ) = y 0(1 α 2 αβ i K ) y 1(β 2 i K ) αβs ÈÓÒ Û 1 α 2 αβ = β 2 + αβ = β = 1 α Þ Ô ÒÓ Û = y 0(1 α 2 αβ i K ) y 1(β 2 i K + αβ αβ) αβs = (y 0 y 1 )(1 α i K ) + y 1αβ αβs = (y 1 y 0 )(1 α i K ) y 1αβ + αβs 0 αβy 0 αβy y 1 Þ Ø Ñ < (y 1 y 0 )(1 α i K ) + αβs = (y 1 y 0 )( i K + α 1) αβs ÈÓÒ Û Ð i = 2,3,...,K 1 i 1 K β i K i K β + 1 K = 1 α + 1 K < 1 αβ 1 0.5β αβ 1 Û < (y 1 y 0 )(1 0.5 β αβ + α 1) αβs = (α 0.5 β αβ)(y 1 y 0 ) αβs = α (1 β 0.5 β )(y 1 y 0 ) βs. ¾º½ µ ÍÛ ØÓ ÛÞ Û ÖÓ Ò Ý h/2 0º Ï ÛÞ Ð α 0 ØÓ Ó Þ ÓÛ Ò Ù ¾º½ µ Ý Ó Þ Ö º Æ ØÓÑ Ø Ð β 0 ÛØ Ý α 1µ ØÓ Ó Þ ÓÛ Ò Ù ¾º½ µ ÛÝÒÓ y 1 y 0 Ø Ý Ó Þ Ö Ý h/2 0º Â Ð h 0 ÛØ Ý s y 1 y c α 2 y 0 + β 2 y 1 + αβy 0 + αβy 1 = αy 0 + βy 1 º ÇÞÒ Þ ØÓ Û ÖØÓ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÑÓ Ý Ð ÞÓÒ Ð ÙÒ Ð Ò ÓÛ º ÈÖÞÝ Ó Þ ÓÛ Ò Ð h/2 ½ ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i ) a = x 0 = 1 x 1 = 2 x 2 = 3 x 3 = 4 y 0 = 2 y 1 = 4 y 2 = 0 y 3 = 2 α = 0.45 ØÓ Û ÛÞ y 0 + i(y 1 y 0 )/K y c < 0.008º Ç Þ ÓÛ Ò ÔÖÞÝ Þ Ó Ò Ù a 0 y 0 y 1 0 y 0 + i K (y 1 y 0 ) y c < α (1 β 0.5 β )(y 0 y 1 ) βs. ¾º½ µ ÈÖÞÝ Ó Þ ÓÛ Ò Ð h/2 ½ ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i ) a = x 0 = 1 x 1 = 2 x 2 = 3 x 3 = 4 y 0 = 8 y 1 = 4 y 2 = 0 y 3 = 2 α = 0.39 ØÓ Û ÛÞ y0 + i K (y 1 y 0 ) y c < 0.004º

43 ¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ÖÙ ] Û Ô ÖÞ Ò y c+h Ð (c + h) [x 2,x 3 ] Ó Ð ÞÓÒ Ø ¾º½ µ Ò ØÔÙ Ó y c+h = c M2 [ c+h ] Ï ÛÞ ÔÓ Ó Ò Ð y c [ yc y c+h = α 2 y 2 + β 2 y 3 + αβy 2 ( ahy0 + ahy 2 + h 2 y 2 + αβ 2a 2 + 2ah + h 2 + 4a2 y 3 + 6ahy 3 + h 2 y 1 + 3h 2 ) y 3 4a 2 + 8ah + 5h 2. ËÞ ÓÛ Ò ÔÖÞ Ò ÐÓ ÞÒ Û ÔÖÞÝÔ Ù y c º Ð y 3 y 2 0 ÓØÖÞÝ¹ Ñ ÒÓ Ò Ö ÛÒÓ y 2 + i K (y 3 y 2 ) y c+h < α (1 β 0.5 β )(y 3 y 2 ) ( ahy0 + ahy 2 + h 2 y 2 β 2a 2 + 2ah + h 2 + 4a2 y 3 + 6ahy 3 + h 2 y 1 + 3h 2 ) y 3 4a 2 + 8ah + 5h 2. Â Ð Ò ØÓÑ Ø y 2 y 3 0 ØÓ ÛØ Ý y 2 + i K (y 3 y 2 ) y c+h < α (1 β 0.5 β )(y 2 y 3 ) ( ahy0 + ahy 2 + h 2 y 2 β 2a 2 + 2ah + h 2 + 4a2 y 3 + 6ahy 3 + h 2 y 1 + 3h 2 ) y 3 4a 2 + 8ah + 5h 2. Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò h/2 = y 1 y 0 Ó Ð Þ Ò ÔÖÞ Ò ÐÓ ÞÒ º ÇÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó ÛÖÓØÒÝ Ð Ó Ð Þ Ò Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ¹ ÒÝ x c,x c+h Ð ÒÝ ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ c = α a + β b c + h a = y 0 ÓÖ Þ b = y 1 ) ÛÝÒÓ M 1 2 = α [ x0 y y0 2 + = 0 + x 2 y 2 x 0 y 2 x 2 y 0 y2 2 x 2 y 0 x 0 y 2 x 0 y 0 + x 2 y 2 ] + β y y2 3 È ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò x c Ó Ð ÞÓÒÓ Þ Ö ÛÒ Ò [ x c+h ] = M 1 x c [ ] x1 y 1 + x 3 y 3 x 1 y 3 x 3 y 1. x 3 y 1 x 1 y 3 x 1 y 1 + x 3 y 3 2 [ c c+h] ÏØ Ý Ð x c = α 2 x 0 + β 2 x 1 + αβx 0 + αβs s = 2ahx 0 + h 2 x 0 + h 2 x 2 4a 2 + 4ah + 2h 2 + 4a2 x 1 + 6ahx 1 + 3h 2 x 1 h 2 x 3 4a 2 + 8ah + 5h 2. Ç Þ ÓÛ ÒÓ x c Ð ÙÒ Ó ÓÛ ÙÞÙÔ Ò ÓÒ Ó Ò Ñ Ô ÓÒÓÛÝÑ x 0 + i K (x 1 x 0 ) x c < α (1 β 0.5 β )(x 1 x 0 ) βs, Ý x1 x 0 0; x 0 + i K (x 1 x 0 ) x c < α (1 β 0.5 β )(x 0 x 1 ) βs, Ý x0 x 1 0. ÈÖÞÝ Ó Þ ÓÛ Ò Ð h/2 ½º ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò y i ) x 0 = 5 x 1 = 3.9 x 2 = 1 x 3 = 2 y 0 = 3.5 y 1 = 5 y 2 = 6.5 y 3 = 8 α = 0.79 ØÓ Û ÛÞ x0 + i K (x 1 x 0 ) x c < º Ç Þ ÓÛ Ò Ù ¾º½ µ ÞÖÓ ÓÒÓ Ð ÙÒ Ó ÓÛ ÙÞÙÔ Ò ÓÒ Ó ¹ Ò Ñ Ô ÓÒÓÛÝÑ ÊÝ º ¾º½ µ Ó ÞØ Ø ÖÝ Ù ÖÙ ÒØ ÖÔÓÐÓÛ Ò ÙÒ

44 ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ Ø ÖÓ Ò Û Ð Û ÒÝÑ ÔÖÞ Þ Ð Ñ Ù ÑÒ ÖÙ ÔÓ Ó Ò µº Ï ÞÛ Þ Ù Þ ØÝÑ Û ÔÖÞÝÔ Ù ÙÒ ÖÓ Ò ÛÝÔÙ Ó Ó ØÒ ÖÙ ÔÓ Ó Ò µ Ó Þ ÓÛ Ò ¾º½ µ ÛÝ Û ÞÝ Ò Ð ÙÒ ÖÓ Ò Û Ð º ÓÐ Ó Þ ÓÛ Ò ¾º½ µ ÞÖÓ ÓÒÓ Ð ÙÒ Ó ÓÛ Ó ÞØ Ø ÖÝ Ù ÖÙ Ò¹ Ø ÖÔÓÐÓÛ Ò ÙÒ Ø Ñ Ð ÛÝÔÙ Û ÒÝÑ ÔÖÞ Þ Ð º Ï ÞÛ Þ Ù Þ ØÝÑ Û ÔÖÞÝÔ Ù ÙÒ Ñ Ð Û Ð Ó Þ ÓÛ Ò ¾º½ µ ÛÝ Û ÞÝ Ò Ð ÙÒ Ñ Ð ÛÝÔÙ º Â Ð Ò Ø Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò c [a;b] c = α a + β b α + β = 1 α β [0;1] ÊÝ º¾º µ ØÓ Û ÖØÓ y c Ó Ð ÞÓÒ ÛÞÓÖ Ñ [ ] [ ] yc c = M 2 c + h ÛÝÒÓ y c+h y c = α 2 y 0 + β 2 y 1 + αβy 0 + αβ ( 2ahy0 + h 2 y 0 + h 2 y 2 4a 2 + 4ah + 2h 2 + 4a2 y 1 + 6ahy 1 + 3h 2 y 1 h 2 ) y 3 4a 2 + 8ah + 5h 2 ( = α 2 y 0 +β 2 2ahy0 + h 2 y 0 + h 2 y 2 y 1 +αβy 0 +αβy 1 +αβ 4a 2 + 4ah + 2h 2 2ahy 1 + 2h 2 y 1 + h 2 y 3 4a 2 + 8ah + 5h 2 Ï ÖØÓ Þ ÙÛ Ý α 2 +β 2 +αβ +αβ = (α+β) 2 = 1º ÏÝ ØÔÙ ØÙ Ò ÐÓ ÞÒÝ ÞÛ Þ Û Ô ÞÝÒÒ Û ÔÖÞÝ ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ Û ÔÖÞÝÔ Ù c = α a+β b Þ α + β = 1º Ò ¾º¾º Ï Ð Ó ( 2ahy0 + h 2 y 0 + h 2 y 2 r = r(h) = αβ 4a 2 + 4ah + 2h 2 2ahy 1 + 2h 2 y 1 + h 2 ) y 3 4a 2 + 8ah + 5h 2, Ò ÞÛ ÒÓ Ö ÞØ Ó Ð Þ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò y c Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ N = 2º ÍÛ Â Ð ØÓ ÛÞ Û ÖÓ Ò ÞÝÐ h/2 0 Û ÛÞ r 0 Ð Ô ÖÛ Þ Ó ÛÞ a 0µº Ê ÛÒ Ð Û Ô ÖÞ Ò c Þ Ð Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ a ÐÙ b ÞÝÐ α 0 ÐÙ β 0 ÛØ Ý r 0º ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½ º ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò y c Ó Ð ÞÓÒ Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ Ð N = 2 ÑÓ Ò Þ Ô Ó ). y c = (α + β)(αy 0 + βy 1 ) + r = αy 0 + βy 1 + r. ¾º½ µ ÍÛ ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½ Ñ Û Û ÐÙ Ó Ð Þ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò y c Þ Ù Ý Ñ ÅÀÊ Ð N ¾ Ò ØÖÞ ÞÙ Û ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó Ð Þ ÑÓ Ò ÓÖÞÝ Ø Þ ÛÞÓÖÙ ¾º½ µº Â Ò ÛÞ Ö ¾º½ µ Ò ÔÓÞÛ Ð Ò ÑÒ Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ð Þ Ò ÔÓ Ø Û ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ò Ð Ý ÛÝ ÓÒ ¾ Þ ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò Û ÐÙ ÞÒ Ð Þ Ò Û Û ÖØÓ Ò ØÓÑ Ø ÓÖÞÝ Ø Þ ÛÞÓÖÙ ¾º½ µ ÛÝ ÓÒÙ ¾¼ ÓÔ Ö ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò Û ÐÙ ÞÒ Ð Þ Ò Ò Û ÖØÓ º

45 ¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ Ï ÞÛ Þ Ù Þ ÔÓ ØÖÞ Ò Ñ ¾º½ Ó Þ ÓÛ Ò Ù ÔÖÞÝ Ð Ò Ð ÙÒ Ó ÓÛ ÙÞÙÔ Ò ÓÒ Ó Ò Ñ Ô ÓÒÓÛÝÑ Ø Ò ØÔÙ y 0 + i K (y 1 y 0 ) y c = y 0 + i K (y 1 y 0 ) αy 0 βy 1 r ( ) = i (y 1 y 0 ) K β r i 1 ÔÓÒ Û Ð i = 1,2,...,K K β i K Û ( i (y 1 y 0 ) K i 1 ) r K = 1 K (y 1 y 0 ) r. ÍÛ ÔÖÞÝ Ð Ò Ð ÙÒ Ó ÓÛ ÙÞÙÔ Ò ÓÒ Ó Ò Ñ Ô ÓÒÓÛÝÑ Ó Ø Þ ÖÓ Ó ÛÝ Ó Ó Ó Þ Ð Ý Ó ÐÓ Ó Û Kº Â Ð K Û ÛÞ ÙÒ Ó ÓÛ ÔÖÞÝ ÑÙ ÞØ Ø ÙÒ Ð Ò ÓÛ ÔÖÞÝ Ð Ò ÛÝÒÓ r º ÈÖÞÝ Ó Þ ÓÛ Ò Ð h/2 = 0.5 ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i µ K = 50 x 0 = 3.5 x 1 = 4 x 2 = 4.5 x 3 = 5 y 0 = 1.5 y 1 = 3.9 y 2 = 1 y 3 = 2 α = 0.9 ØÓ Û ÛÞ y0 + i K (y 1 y 0 ) y c ) < 0.08º Ç Þ ÓÛ ÒÓ Ø Ö Þ Ó ÒÓ ÅÀÊ Û Ð Û ÐÓÑ Ò Û ØÓÔÒ ½ ¾ Û ÔÙÒ Ó Û Ô ÖÞ Ò c [a;b] c = α a + β b α + β = 1 α,β ¼ ½ ÊÝ º ¾º µº Ó Ò Ó ØÛ ÖÞ Ò ÙÒ f Ò Ð Ý Ó Ð Ý ÙÒ Ð Ò ÓÛÝ Ð Ò ÞÒÝ µ ÔÓÑ ÞÝ Ò Ñ ÛÞ Ñ (a = x 0 ;y 0 ) R 2 (b = x 1 ;y 1 ) R 2 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò b a = h/2 Rº ÏØ Ý ¾º½ µ f(c) y c = αy 0 + βy 1 y c = r. ÍÛ Ï ÖØÓ ÞÛÞ Ð Ò Ö ÞØÝ r Ø Ò Û Þ Ð α = β = 0.5 ØÞÒº Û Ô ÖÞ Ò c Ð Ý Û ÔÓ ÓÛ ÔÖÞ Þ Ù [a;b]º Ï ÛÞ ( 2ahy0 + h 2 y 0 + h 2 y 2 r = a 2 + 4ah + 2h 2 2ahy 1 + 2h 2 y 1 + h 2 ) y 3 4a 2 + 8ah + 5h 2. Ý ÈÖÞÝ Ó Þ ÓÛ Ò Ð h/2 = 0.1 ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i µ x 0 = 3.2 x 1 = 3.3 x 2 = 3.4 x 3 = 3.5 y 0 = 3 y 1 = 7.9 y 2 = 0 y 3 = 2 α = 0.12 ØÓ Û ÛÞ f(c) y c = r = 0.09º Ó Ò Ó ØÛ ÖÞ Ò ÙÒ Ò Ð Ý Ó Ð Ý ÙÒ Û Ö ØÓÛÝ ÔÓ Ø f(x) = mx 2 + tx ÔÓÑ ÞÝ Ò Ñ ÛÞ Ñ (a = x 0 ;y 0 ) R 2 (b = x 1 ;y 1 ) R 2 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò b a = h/2 Rº ÏØ Ý Þ Ù Ù Ö ÛÒ Ó Ò Û ÓÑÝ m,t ÓØÖÞÝÑ ÒÓ { y0 = ma 2 + ta y 1 = m ( a + h 2 ( ) 2) + t a + h 2

46 ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ m = y 0 a 2 + h2 y 0 + 4ahy 0 + 4a 2 y 0 4a 2 y 1 2a 3 h + a 2 h 2, t = h2 y 0 + 4ahy 0 + 4a 2 y 0 4a 2 y 1 2a 2 h + ah 2. ÅÓ Ò Ó Þ ÓÛ ÔÖÞÝ Ð Ò Ð Û Ô ÖÞ Ò c [a;b] c = α a + β b α + β = 1 α,β [0;1] Ð a 0 y 1 y 0 0 f(c) y c = mc 2 + tc αy 0 βy 1 r < a(y 1 y 0 ) 4a + 2hβ2 + 4hαβ αβah 2 + r h(2a + h). ÈÖÞÝ Ó Þ ÓÛ Ò Ð h/2 = 3 ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i µ x 0 = 3.5 x 1 = 6.5 x 2 = 9.5 x 3 = 12.5 y 0 = 3 y 1 = 3.9 y 2 = 1 y 3 = 2 α = 0.82 ØÓ Û ÛÞ f(c) y c < r = º Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ý a 0 y 0 y 1 0 ØÓ Ó Þ ÓÛ Ò Ù Ð ÙÒ Û Ö ¹ ØÓÛ ÔÖÞÝ Ñ ÔÓ Ø f(c) y c < a(y 0 y 1 ) 4a + 2hβ2 + 4hαβ αβah 2 + r h(2a + h). Ó Ò Ó ØÛ ÖÞ Ò ÙÒ Ò Ð Ý Ó Ð Ý ÙÒ ÔÓ Ø f(x) = mx 3 + t ÔÓÑ ÞÝ Ò Ñ ÛÞ Ñ (a = x 0 ;y 0 ) R 2 (b = x 1 ;y 1 ) R 2 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò b a = h/2 Rº ÏØ Ý Þ Ù Ù Ö ÛÒ Ó Ò Û ÓÑÝ m,t { y0 = ma 3 + t ÓØÖÞÝÑ ÒÓ m = y 1 = m ( a + h 2) 3 + t 8(y 1 y 0 ) 12a 2 h + 6ah 2 + h 3, t = 8a3 y 0 8a 3 y a 2 hy 0 + 6ah 2 y 0 + h 3 y 0 12a 2 h + 6ah 2 + h 3. ÅÓ Ò Ó Ð ÞÝ ÔÖÞÝ Ð Ò Ð Û Ô ÖÞ Ò c [a;b] c = α a + β b α + β = 1 α,β [0;1] Ð a 0 y 1 y 0 0 f(c) y c = mc 3 + t αy 0 βy 1 r = 0.5hβ(y 1 y 0 ) 12αβa + 12aβ2 + 2hβ 2 αβah 2 12a 2h 6ha + 12a 2 + h 2 r. ÈÖÞÝ Ó Þ ÓÛ Ò Ð h/2 = 1 ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i µ x 0 = 1 x 1 = 2 x 2 = 3 x 3 = 4 y 0 = 12 y 1 = 24 y 2 = 57 y 3 = 32 α = 0.5 ØÓ Û ÛÞ f(c) y c = r = 0.145º Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ý a 0 y 0 y 1 0 ØÓ Ð ÙÒ f(x) = mx 3 + t ÔÖÞÝ Ñ ÔÓ Ø f(c) y c = 0.5hβ(y 0 y 1 ) 12αβa + 12aβ2 + 2hβ 2 αβah 2 12a 2h 6ha + 12a 2 + h 2 r.

47 ¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ÍÛ Â Ð h/2 0 a 0µ ÐÙ α 0 Ð Ó β 0 Û ÛÞ ÔÖÞÝ Ð Ò f(c) y c 0 Ð ÙÒ ÔÓ Ø f(x) = mx 3 + tº Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ó ØÛ ÖÞ Ò ÙÒ Ð Ý f(x) = m 3 x 3 + m 2 x 2 + m 1 x + t Ð ÛÞ Û a = x 0 ;y 0 µ (b = a + h/2 = x 1 ;y 1 ) (a + h = x 2 ;y 2 ) (a + 3h/2 = x 3 ;y 3 ) Ò Ð Ý ÖÓÞÛ Þ Ù Ö ÛÒ Ð Ò ÓÛÝ Ó Ò Û ÓÑÝ m 3,m 2,m 1,t y 0 = m 3 a 3 + m 2 a 2 + m 1 a + t = m 3 (a + h 2 )3 + m 2 (a + h 2 )2 + m 1 (a + h 2 ) + t y 1 y 2 y 3 = m 3 (a + h) 3 + m 2 (a + h) 2 + m 1 (a + h) + t = m 3 (a + 3h 2 )3 + m 2 (a + 3h 2 )2 + m 1 (a + 3h 2 ) + t ÏÝÞÒ ÞÒ ÛÒÝ Ø Ó Ù Ù ÛÝÒÓ 3h 6 /16 > 0. ÊÓÞÛ Þ Ò Ò ØÔÙ m 3 =4 y 3 3y 2 + 3y 1 y 0 3h 3, m 2 =2 2hy 0 + 6ay 2 2ay 3 + 2ay 0 + 4hy 2 6ay 1 5hy 1 hy 3 h 3, m 1 = 1 3h 2 ( 24ahy0 12ahy ahy 2 2h 2 y 3 + 9h 2 y 2 18h 2 y h 2 y 0 +12a 2 y 0 12a 2 y 3 60ahy 1 36a 2 y 1 ), t = 1 3h 2 ( 6a 2 y 3 h + 11ah 2 y 0 2ah 2 y 0 + 9ah 2 y a 2 y 2 h + 3h 3 y a 2 y 0 h + 4a 3 y 0 18ah 2 y 1 30a 2 y 1 h + 12a 3 y 2 4a 3 y 3 12a 3 y 1 ). Æ Ð Ý Ó Þ ÓÛ ÔÖÞÝ Ð Ò Ð Û Ô ÖÞ Ò c [a;b] c = α a + β b α + β = 1 α,β [0;1] f(c) y c = m3 c 3 + m 2 c 2 + m 1 c + t αy 0 βy 1 r = 2βy y 0β y 1β y 2β y 3β 3 + y 0 β 2 + 2y 2 β y 1β y 0β y 3β 3 2 y 2β 5 6 y 0β r. ¾º½ µ Ï ÛÞ Ð α 0 ÐÙ β 0 ØÓ f(c) y c 0º Ç Þ ÓÛ ÒÓ Ø Ö Þ Ð ÔÖÞÝ ÓÛ ÖÞÝÛ ÔÖÞÝ Ð Ò ÛÝ Ö ÒÝ ÔÙÒ ¹ Ø Û Þ ÔÓÑÓ Ñ ØÓ Ý Þ Ö Ñ ØÓ Ý ÅÀÊº ÇÖÝ Ò ÐÒ ÖÞÝÛ ÓÔ Ò Ø Þ ÔÓÑÓ Ñ Ù ÛÞ Û ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Ø Ò ÊÝ º ¾º½ º ÃÖÞÝÛ Þ Ö ÔÖÓ ÝÑÙ ÓÖÝ Ò ÐÒ ÖÞÝÛ ÊÝ º ¾º½ µ Ò Ø Þ ÔÓ¹ ÑÓ Ô Ù ÔÙÒ Ø Û ÓÒØÖÓÐÒÝ (0;1) (0.25;0) (0.50;0) (0.75;2) (1; 1)º Ì Ñ ÔÙÒ ØÓÑ ÓÒØÖÓÐÒÝÑ Ó ÔÓÛ Û ÐÓÑ Ò y = 8t 4 +4t 3 +6t 2 4t+1 Ð t [0;1] Ó Ø Ö Ó Ò Ð Ö Ò ÛÞ Ý (0;1) (0.96; 0.56) ÓÖ Þ ØÖ Ñ ÐÓ ÐÒ Û ÔÙÒ ¹ Ø (0.32;0.38) (0.64;0.6) Ð ÞÓÒ Þ Ó ÒÓ ÖÞ Ù ¼º¼½º Ð ÛÝ Ö ÒÝ Ö ÙÑ ÒØ Û x ÔÓÖ ÛÒ ÒÓ Û ÖØÓ ÓÖÝ Ò ÐÒ ÖÞÝÛ Û ÖØÓ ÛÝÐ ÞÓÒ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÖÞÝÛ Þ Ö Ì º ¾º½µ ÔÖÞÝ Ð Ò Ñ ØÓ Ý Þ Ö Ð ÞÓÒÝ Ó Ö Ò ÖÝØÑ ØÝÞÒ Þ ÑÓ Ù Û Ö Ò Ý Ó ÔÓÛ Ò Û ÖØÓ ÛÝÒÓ ¼ ¼ Ò ØÓÑ Ø Ö Ò Ó Û Ö ØÓÛÝ Ñ ØÓ Ý Þ Ö Ð ØÝ ÑÝ ÒÝ ÛÝÒÓ ¼ ¼ º

48 ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ x i ¼ ¼ ½ ¼ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ y i ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼¾ ¹¼ ÊÝ ÙÒ ¾º½ º ÇÖÝ Ò ÐÒ ÖÞÝÛ ÊÝ ÙÒ ¾º½ º Ò Ñ Ï ÐÓÑ Ò Ó ÖÞÝÛ Þ Ö ÔÙÒ ØÝ ÓÒØÖÓÐÒ ÔÓ ÞÓÒ Ó ¹

49 ¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ x ÓÖÝ Ò Þ Ö Ö Ò ¼ ¾ ¼ ¼ ½¼ ¼ ½¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼½ ¼ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼½ ¼ ¼ ¼ ¾¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼¼ ¼ ¼½¼ ¼ ¾¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¾ ¼ ½ ¼ ¾¼ ¼ ¼¼¾ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼¼ ¼ ¼¼ Ì Ð ¾º½º ÈÓÖ ÛÒ Ò Û ÖØÓ ÓÖÝ Ò ÐÒ ÖÞÝÛ Û ÖØÓ ÛÝÐ ÞÓÒÝ Þ ÔÓ¹ ÑÓ Ñ ØÓ Ý Þ Ö x ÓÖÝ Ò ÅÀÊ Ö Ò ¼ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¾ ¼ ¼¾½ ¼ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼½ ¼ ¼ ¼ ¾¼ ¼ ¼ ¼ ¼¾¼ ¼ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼½¼ ¼ ¾¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¾ ¼ ½ ¼ ½¼ ¼ ¼¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼¾¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼¼ ¼ ¼¼ Ì Ð ¾º¾º ÈÓÖ ÛÒ Ò Û ÖØÓ ÓÖÝ Ò ÐÒ ÖÞÝÛ Û ÖØÓ ÛÝÐ ÞÓÒÝ Þ ÔÓ¹ ÑÓ Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ ÊÝ ÙÒ ¾º½ º ÈÓÖ ÛÒ Ò Ù ÔÖÞÝ Ð Ò Ñ ØÓ Ý Þ Ö ÅÀÊ Ð ÔÖÞÝ ¹ ÓÛ ÖÞÝÛ Ð ÛÝ Ö ÒÝ Ö ÙÑ ÒØ Û x ÔÓÖ ÛÒ ÒÓ Û ÖØÓ ÓÖÝ Ò ÐÒ ÖÞÝÛ Û ÖØÓ ÛÝÐ ÞÓÒ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 Ì º ¾º¾µº ÔÖÞÝ Ð Ò Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ Ð ÞÓÒÝ Ó Ö Ò ÖÝØÑ ØÝÞÒ Þ ÑÓ Ù Û Ö Ò Ý Ó ÔÓÛ Ò Û ÖØÓ ÛÝÒÓ 0,0215 Ò ØÓÑ Ø Ö Ò Ó Û Ö ØÓÛÝ ÅÀÊ Ð ØÝ ÑÝ ÒÝ ÛÝÒÓ 0,02546º

50 ¼ ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ ÊÝ ÙÒ ¾º¾¼º ÈÓÖ ÛÒ Ò Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ñ ØÓ Ý Þ Ö ÅÀÊ Ð ÔÖÞÝ¹ ÓÛ ÖÞÝÛ ÏÒ Ó Ð ÔÖÞÝ ÓÛ ÖÞÝÛ Ñ ØÓ ÅÀÊ Ù Û Þ Ó ÒÓ Ó Ð Þ Ò Ñ ØÓ Þ Ö º Ï ÐÙ Ó Ð Þ Ò ÔÖÞÝ Ð ÓÒÝ Û ÖØÓ Ð Þ Ù ÔÙÒ Ø Û ÔÖÞÝ ÓÛ ÖÞÝÛ ÊÝ º ¾º½ µ Ñ ØÓ Þ Ö ÛÝ ÓÒ ÒÓ ¼ ÓÔ Ö ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò ÙÛÞ¹ Ð Ò Ù Ö Ò Û Ð Ó ÔÖÞÝ Ó Ð Þ Ò Ù ÝÑ ÓÐÙ Æ ÛØÓÒ ÛÝÞÒ Þ Ò Û ÖØÓ Û ÐÓÑ ÒÙ Û Ñ ØÙ ÀÓÖÒ Ö µ Ò ØÓÑ Ø Ñ ØÓ ÅÀÊ ÛÝÑ ÑÒÓ º ÏÒ Ó Ð ÔÖÞÝ ÓÛ ÖÞÝÛ Ñ ØÓ ÅÀÊ Ù ÑÒ Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ ¹ Ò ÓÛ Ò Ñ ØÓ Þ Ö º Å ØÓ Þ Ö ÛÝÑ Ð ÔÖÞÝ ÓÛ ÖÞÝÛ Ô Ù ÔÙÒ Ø Û ÓÒØÖÓÐÒÝ Ò ØÓÑ Ø ÅÀÊ ÓÖÞÝ Ø Þ Ñ Ù ÛÞ Ûº ÇÞÒ Þ ØÓ ÔÖÞÝ Ö ÓÒ ØÖÙ Ò ÖÞÝÛ Þ Ó ÓÒ Þ ØÙ ÔÙÒ Ø Û Ñ ØÓ Þ Ö Þ Ô ÛÒ ± ÓÑÔÖ Ð Þ ÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ø ÞÑÒ ÞÓÒ Ó ±µ Ò ØÓÑ Ø ÅÀÊ ± ÓÑÔÖ Ð Þ ÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ø ÞÑÒ ÞÓÒ Ó ±µº ÏÒ Ó Å ØÓ ÅÀÊ ÔÓ Ð ÔÖÞÝ ÓÛ ÖÞÝÛ ØÖÓ ÓÖ ÞÝ ØÓÔ ÓÑÔÖ Ò ÔÖÞÝ ÞÒ ÞÒÝ Ö Ò Û Ó ÒÓ Ó Ð Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ò ÓÖÞÝ Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ Ò ÞÒ ÞÒ Ö Ò ØÓÔÒ ÓÑÔÖ Ø Ó Þ ÔØÓÛ Ò º Ó Þ ÓÛ Ù ÔÖÞÝ Ð Ò Û ÖØÓ Û ÔÙÒ Ð ÝÑ ÔÓÑ ÞÝ ÛÞ Ñ (x 0,y 0 ) (x 1,y 1 ) ÛÝÒ Ø ÓÒ ØÝÑ ÑÒ ÞÝ Ñ ÑÒ Þ Ø Û Ð Ó y 1 y 0 ÐÙ ÖÓ h/2 = x 1 x 0 ÓÖ Þ Ñ ÑÒ Þ Ø Ó Ð Ó ÞÙ Ò Ó ÔÙÒ ØÙ Ó Ò Ó Þ Û Ò ÛÞ Û Ð ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò x i µº Ï ÔÖÞÝ¹ Ô Ù ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò y i Ó Þ ÓÛ Ò Ù ÔÖÞ Ò ¹ ÐÓ ÞÒ º ¾º¾º Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ ÅÀÊ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ M Ô Ð Ó Þ ÓÛ ÒÓ Ò ØÔÙ Ó Ó Ò ÔÖÞÝ ØÓ Û Ö ÒØ Ò Û Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ý ÓÑÔÖ ÓÛ ÒÝ Ó Ö Þ Ó ÛÝÑ Ö M M M > 8µ ØÝÐ Ó Þ Þ ÖÒÝ Ô Ð º

51 ¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ½ ÊÝ ÙÒ ¾º¾½º ÃÛ Ö ØÓÛÝ Ó Ö Þ Þ Ó ÓÒÝ ØÝÐ Ó Þ Þ ÖÒÝ Ô Ð Ã Ð Ò ÔÓÞ ÓÑ Ø Þ Ô Ò Þ ÔÓÑÓ Ô ÛÒ Ð Þ Ý ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ¹ ÒÝ Ò ØÙÖ ÐÒÝ Ò ØÔÒ Ð Ò ÔÓÞ ÓÑ Ø ÔÓ ÓÐ Ó ØÛÓÖÞÓÒ Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ ÔÖÞÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ó ÔÓÛ Ò Ó ÛÝÑ ÖÙº ÏÝÞÒ Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÛÞ ØÓ ÔÓ ÙÛ Ð Þ ÛÝ ÓÒ ÒÝ Þ ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò º Ç Þ ÓÛ Ò Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ M Ô Ð ÛÝ ÓÒ ÒÓ Ò ÔÖÞÝ Þ ÖÞÝÛ Ð Ò µ Þ Ù ÓÛ Ò Þ M Ô Ð º Â Ø ÓÞÝÛ Ø Ð Û Ð Ò ÔÓÞ ÓÑ ÐÓ ÛÞ Û ÛÝÒÓ s ØÓ ÖÞ ÓÑÔÖ Ö ÛÒ sm/m 2 = s/mº ÌÛ Ö Þ Ò ¾º½º Ó Ò ÞÑ ÒÒ ÞÓ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ ÅÀÊ Û ÔÖÞÝÔ Ù ÔÓ Û Ò ÐÓ ÛÞ Ûµ Ó Ò ÐÓ Ö ÛÒÓÓ Ð Ý ÛÞ Û Ó Ð Ñ ÒØ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Û Ð Ò ÔÓÞ ÓÑ ÛÝÒÓ s > 4º Æ k 2 = N ÓÞÒ Þ ÛÝÑ Ö Û ÞÝ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ù ÝØÝ Û ÅÀÊ k = 4,6,10 N = 2,4,8µº Ó Ø ÓÛÓ Ò Ð Þ ÛÞ Û ÔÓÛ Þ Ò Þ Ò ØÔÙ Ö ÙÖ Ò s(0) = 5,s(i) = 2s(i 1) 1 Ð i = 1,2,...,M ÐÓ ÛÞ Û s = 5,9,17,33,...µº Ì Þ Ð Ð Ð Þ Ý ÛÞ Û s Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Ó ÛÝÑ ¹ Ö M M Ô Ð Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ ÛÝÒÓ km 2 + mm ØÓ ÔÖÞÝ ÐÓ ÛÞ Û 2s 1 Ý ÒÓÛÝ ÛÞ ÔÓÛ Ø Û ÔÓ ÓÛ Ó Ò Ñ ÞÝ ÛÞ Ò ØÒ ÝÑ Ù ÛÞ Ñ µ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Ó ÛÝÑ Ö M M Ô Ð Û ÅÀÊ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ó Ò ÞÑ Ò ÓÒÝÑ ÛÝÑ ÖÞ N = k 2 ÛÝÒÓ km 2 + (2m + k)mº ÓÛ Ð Ñ Ò Ñ ÐÒ ÐÓ ÛÞ Û s Û ÔÖÞÝÔ Ù ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞÓ Ø ÔÓ Þ Ò Û ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½ km + m = 4M + 7º Ð Ñ Ò Ñ ÐÒ ÐÓ ÛÞ Û s = 9 Û ÔÖÞÝÔ Ù ÛÝ ÓÖÞÝ ¹ Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞÓ Ø ÔÓ Þ Ò Û ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½ km + m = 6M + 21º Ð Ñ Ò Ñ ÐÒ ÐÓ ÛÞ Û s = 17 Û ÔÖÞÝÔ Ù ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8 Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞÓ Ø ÔÓ Þ Ò Û ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½ km + m = 10M + 73º Æ Ð ÐÓ ÛÞ Û s km + m = t u + M s s 1 p q, Þ t = 3 2 s 1 k 2 ÓÞÒ Þ ÐÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ò Ó ÛÝÑ ÖÙ ÔÓØÖÞ ÒÝ Ó Ó Ð Þ u Ø ÐÓ ÓÔ Ö ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò ÛÝ ÓÒ ÒÝ ÔÖÞÝ Ù ÓÛ Ò Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ò Ó ÛÝÑ ÖÙ u Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 u = 25 Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 u = 81 Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8µ p Ö ÛÒ ÐÓ Þ ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò ÛÝ ÓÒ ÒÝ ÔÖÞÝ Ù ÓÛ Ò Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó ÔÓÑÒÓ Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó ÔÖÞ Þ Û ØÓÖ Ó ÔÓÛ Ò Û Ô ÖÞ ÒÝ p = 8 Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 p = 24 Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ

52 ¾ ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 p = 80 Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8µ q = s 1 k 2 = 2 3t Ø ÐÓ ÔÓ ÔÖÞ Þ Û ÛÝÞÒ ÞÓÒÝ ÔÖÞ Þ ÓÐ Ò ÛÞ Ý ÔÓØÖÞ ÒÝ Ó Ó Ð Þ º ÏØ Ý k = p q spq,m = tu s 1 s 1. Ð ÐÓ ÛÞ Û 2s 1 ÐÓ Þ ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò ÔÓØÖÞ ÒÝ Ó Ö ÓÒ ØÖÙ¹ Ò Ð Ò Þ Ó ÓÒ Þ N Ô Ð ÛÝÒÓ 2t u + M 2s + 1 2s 2 2p q = 2tu + M 2s + 1 pq s 1 = M pq 2spq + 2tu s 1 s 1 + pq = km + 2m + k. s 1 ÈÓ ÛÝÑÒÓ Ò Ù ÔÖÞ Þ ÐÓ Ð Ò M ÓØÖÞÝÑ ÒÓ km 2 + (2m + k)mº Â Ø ØÓ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Ó ÛÝÑ Ö M M Ô Ð Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ N = k 2 = 2,4,8º ÍÛ Û Þ Ò ÐÓ ÛÞ Û ÔÓÛÓ Ù ÛÞÖÓ Ø Ó ÒÓ Ö ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Ó ÓÒ¹ ØÙÖÙ ÔÖÞÝ Ò ÞÑ Ò ÓÒ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ º Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½ º Þ Ó Ò Ð Ò ÔÓÞ ÓÑ Ø Þ Ô Ò Þ ÔÓÑÓ Ô Ù ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ Ò ØÙÖ ÐÒÝ º Ï ÛÞ Þ ÛÞ Ð Ù Ò ÛÝÑ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ N ¾ ÐÓ ÓÔ Ö ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò ÛÝ ÓÒ ÒÝ ÔÖÞÝ Ö ÓÒ ØÖÙ Ð Ò ÛÝÒÓ (N + 2)M + 7 = 4M + 7 Ó ÔÓ ÔÖÞ ÑÒÓ Ò Ù ÔÖÞ Þ ÐÓ Ð Ò M Û Ð Ó (4M + 7)M Þ ÑÒÓ Ò ÐÙ Þ Ð Ò º ÍÞ Ò Ò Ð Ð Ò Ò Ð Ý ÞÒ Ð õ ØÖÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÇÀÊ Ò Ð ÛÞ Ô ÖÛ Þ Ó ØÖÞ Ó ÖÙ Ð ÛÞ ÖÙ Ó ÞÛ ÖØ Ó ØÖÞ Ð ÛÞ ØÖÞ Ó Ô Ø Óµ ÛÝÑ ÖÙ = 27 Þ ÑÒÓ Ò ÐÙ Þ Ð Ò Ò ÔÓ Ø Û ÙÛ Ó ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º µº ÈÓØ Ñ Ð (M 5)/4 Ô Ð Þ ÛÞ Ûµ Û Ò Û ÖØ ÔÓ Þ ÐÓÒ ÔÓÞ ÓÑ Ð Ò ÛÝ ÓÒ Ò Ð Ý Ó Ñ Þ ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò ÞØ ÖÝ Ð Þ Ù ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó ¾º µ ÞØ ÖÝ Ð ÛÝÐ Þ Ò Û Ö Ù Ý Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ Ù Ý Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Óº Ç ØÛÓÖÞÓÒÝ Ø ÔÓ ÓÛ ÔÙÒ Ø Û Þ Á ÁÁÁ Û ÖØ Ð Ò µ Ð Þ ÑÒÓ Þ Ð ÞÓ Ø Ò ÔÓ ÛÓ ÓÒ ÔÖÞÝ Ö ÓÒ ØÖÙ ÖÙ ÔÓ ÓÛÝ ÔÙÒ Ø Û Þ ÁÁ ÁÎ Û ÖØ Ð Ò µ 27 + (M 5) = 4M + 7º ÏÒ Ó Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ Ó ÛÝÑ Ö M M Þ Ù Ý Ñ ÅÀÊ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 Ø Ò Û Þ Ò 4M 2 + 7M ÔÖÞÝ ÓÑÔÖ ÖÞ Ù 5M/M 2 = 5/Mº ÍÛ Â Ð Ð Þ ÛÞ Û Þ Û Þ ØÓ ÖÞ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ ÅÀÊ ÔÖÞÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 Ò ÞÑ Ò º Æ ÔÖÞÝ ÔÖÞÝ Þ Û Ù ÛÞ Û ÔÓÞ ÓÑ Ð Ò ÓØÖÞÝÑ ÒÓ Û Ð Ó M = 4M + 18 Þ ÑÒÓ Ò ÐÙ Þ Ð Ò Ð Ð Ò Ó Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ 4M M ÔÖÞÝ ÓÑÔÖ ÖÞ Ù 9M/M 2 = 9/Mº

53 ¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ÊÝ ÙÒ ¾º¾¾º Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÅÀÊ ÔÖÞÝ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 Ø ÖÞ Ù O(M 2 ) Æ ÊÝ º ¾º¾¾ ÔÓ Þ ÒÓ Þ Ð ÒÓ 4M 2 + Mm m N m ÓÔ ÒÓ Û ØÛ Ö Þ Ò Ù ¾º½µ ÔÓÑ ÞÝ ÛÝÑ Ö Ñ Ó Ö ÞÙ M M ÐÓ ÛÞ Û s Ð Ò Ð Ò Û ÅÀÊ ÔÖÞÝ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 ÔÓ ÖÝÛ ÔÙÒ ØÝ Ð Ò Ó M Û ÞÙ Ò Ò ÞÒ ÞÒ ÞÑ ÒÝ Ð Þ Ý ÑÒÓ Þ Ð ÔÖÞÝ ÞÛ Þ Ò Ù ÐÓ ÛÞ Ûµº ÊÝ º ¾º¾¾ ÛÝÒ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ ÅÀÊ ÔÖÞÝ Þ ØÓ ÓÛ ¹ Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 ÔÓÞÓ Ø ÖÞ Ù O(M 2 ) ÔÖÞÝ ÞÛ ÞÓÒ ÐÓ ÛÞ Ûº Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½ º Þ Ó Ò Ð Ò ÔÓÞ ÓÑ Ø Þ Ô Ò Þ ÔÓÑÓ Þ ¹ Û Ù ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ Ò ØÙÖ ÐÒÝ º Ï ÛÞ Þ ÛÞ Ð Ù Ò ÛÝÑ Ö ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ ÇÀÊ N ÐÓ ÓÔ Ö ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò ÛÝ ÓÒ ÒÝ ÔÖÞÝ Ö ÓÒ ØÖÙ Ð Ò ÛÝÒÓ (N + 2)M + 21 = 6M + 21 Ó ÔÓ ÔÖÞ ÑÒÓ Ò Ù ÔÖÞ Þ ÐÓ Ð Ò M Û Ð Ó (6M + 21)M Þ ÑÒÓ Ò ÐÙ Þ Ð Ò º ÍÞ Ò Ò Ð Ð Ò Ò Ð Ý ÞÒ Ð õ ØÖÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 ¾ Þ ¹ ÑÒÓ Ò ÐÙ Þ Ð Ò Ò ÔÓ Ø Û ÙÛ Ó ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½¼ ¾º½½µ ÔÓØ Ñ Ð (M 9)/8 Ô Ð Þ ÛÞ Ûµ Û 1/8 Þ ÔÓ Þ ÐÓÒ ÔÓÞ ÓÑ Ð Ò ÛÝ ÓÒ Ò Ð Ý Û Þ ÞØ ÖÝ Þ Ò ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò Ó Ñ Ð Þ Ù ÓÛ Ò ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó ¾º µ Þ Ò Ð ÛÝÐ Þ Ò ÞØ Ö Ö Ù Ý Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ Ù Ý Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Óº Ç ØÛÓÖÞÓÒÝ Ø ÔÓ ÓÛ ÔÙÒ Ø Û Û Á ÁÁÁ Î ÎÁÁ ÔÓ ÔÖÞ Þ Ð ÔÓ Þ ÐÓÒ Ð Ò µ Ð Þ ÑÒÓ Þ Ð ÞÓ Ø Ò ÔÓ ÛÓ ÓÒ ÔÖÞÝ Ö ÓÒ ØÖÙ ÖÙ ÔÓ ÓÛÝ ÔÙÒ Ø Û Û ÁÁ ÁÎ ÎÁ ÎÁÁÁ ÔÓ ÔÖÞ Þ Ð ÔÓ Þ ÐÓÒ Ð Ò µ 75 + M = 6M + 21º ÏÒ Ó Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ Ó ÛÝÑ Ö M M Û ÅÀÊ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 Ø Ò Û Þ Ò 6M M ÔÖÞÝ ÓÑÔÖ ÖÞ Ù 9M/M 2 = 9/Mº

54 ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ ÍÛ Â Ð Ð Þ ÛÞ Û Þ Û Þ ØÓ ÖÞ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ ÅÀÊ ÔÖÞÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 Ò ÞÑ Ò º Æ ÔÖÞÝ ÔÖÞÝ ÑÒ ØÙ ÛÞ Û ÔÓÞ ÓÑ Ð Ò ÓØÖÞÝÑ ÒÓ Û Ð Ó M = 6M +48 Þ ÑÒÓ Ò ÐÙ Þ Ð Ò Ð Ð Ò Ó Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ 6M M ÔÖÞÝ ÓÑÔÖ ÖÞ Ù 17M/M 2 = 17/Mº Æ ÛÝ Ö ÔÓ Þ ÒÓ Þ Ð ÒÓ 6M 2 + Mm m N m ÓÔ ÒÓ Û ØÛ Ö Þ Ò Ù ¾º½µ ÔÓÑ ÞÝ ÛÝÑ Ö Ñ Ó Ö ÞÙ M M ÐÓ ÛÞ Û s Ð Ò Ð Ò Û ÅÀÊ ÔÖÞÝ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 ÔÓ ÖÝÛ ÔÙÒ ØÝ Ð Ò Ó M Û ÞÙ Ò Ò ÞÒ ÞÒ ÞÑ ÒÝ Ð Þ Ý ÑÒÓ Þ Ð ÔÖÞÝ ÞÛ Þ Ò Ù ÐÓ ÛÞ Ûµº ÊÝ ÙÒ ¾º¾ º Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÅÀÊ ÔÖÞÝ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 Ø ÖÞ Ù O(M 2 ) ÊÝ º ¾º¾ ÛÝÒ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ ÅÀÊ ÔÖÞÝ Þ ØÓ ÓÛ ¹ Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 ÔÓÞÓ Ø ÖÞ Ù O(M 2 ) ÔÖÞÝ ÞÛ ÞÓÒ ÐÓ ÛÞ Ûº Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8 ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½ º Þ Ó Ò Ð Ò ÔÓÞ ÓÑ Ø Þ Ô Ò Þ ÔÓÑÓ Ñ¹ Ò ØÙ ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ Ò ØÙÖ ÐÒÝ º Ï ÛÞ Þ ÛÞ Ð Ù Ò ÛÝÑ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ N = 8 ÐÓ ÓÔ Ö ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò ÛÝ ÓÒ ÒÝ ÔÖÞÝ Ö ÓÒ ØÖÙ Ð Ò ÛÝÒÓ (N + 2)M + 73 = 10M + 73 Ó ÔÓ ÔÖÞ ÑÒÓ Ò Ù ÔÖÞ Þ ÐÓ Ð Ò M Û Ð Ó (10M + 73)M Þ ÑÒÓ Ò ÐÙ Þ Ð Ò º ÍÞ Ò Ò Æ Ð Ý ÞÒ Ð õ ØÖÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ ½ ¾ Þ ÑÒÓ Ò ÐÙ Þ Ð Ò Ò ÔÓ Ø Û ÙÛ Ó ÔÓ ØÖÞ ¾º½¾ ¾º½ µ ÔÓØ Ñ Ð (M 17)/16 Ô Ð Þ ÛÞ Ûµ Û 1/16 Þ ÔÓ Þ ÐÓÒ ÔÓÞ ÓÑ Ð Ò ÛÝ ÓÒ Ò Ð Ý Ó Ñ¹ Þ Ø Þ ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò Þ Ò Ð Þ Ù ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ö ¹ Ò Ó ¾º µ Þ Þ Ø ÞØ ÖÝ Ð ÛÝÐ Þ Ò Ó Ñ Ù Ö Ù Ý Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ Ù Ý Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Óº Ç ØÛÓÖÞÓÒÝ Ø ÔÓ ÓÛ ÔÙÒ Ø Û Ð Þ ÑÒÓ Þ Ð ÞÓ Ø Ò ÔÓ ÛÓ ÓÒ ÔÖÞÝ Ö ÓÒ ØÖÙ ÖÙ ÔÓ ÓÛÝ ÔÙÒ Ø Û 243+ M = 10M + 73º

55 ¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ÏÒ Ó Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ Ó ÛÝÑ Ö M M Û ÅÀÊ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8 Ø Ò Û Þ Ò 10M M ÔÖÞÝ ÓÑÔÖ ÖÞ Ù 17M M = 17 2 M º ÍÛ Â Ð Ð Þ ÛÞ Û Þ Û Þ ØÓ ÖÞ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ ÅÀÊ ÔÖÞÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8 Ò ÞÑ Ò º Æ ÔÖÞÝ ÔÖÞÝ ØÖÞÝ Þ ØÙ ØÖÞ ÛÞ Û ÔÓÞ ÓÑ Ð Ò ÓØÖÞÝÑ ÒÓ Û Ð Ó M = 10M Þ ÑÒÓ Ò ÐÙ Þ Ð Ò Ð Ð Ò Ó Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ 10M M ÔÖÞÝ ÓÑÔÖ ÖÞ Ù 33M M = 33 2 M º Æ ÛÝ Ö ÔÓ Þ ÒÓ Þ Ð ÒÓ 10M 2 + Mm m N m ÓÔ ÒÓ Û ØÛ Ö Þ Ò Ù ¾º½µ ÔÓÑ ÞÝ ÛÝÑ Ö Ñ Ó Ö ÞÙ M M ÐÓ ÛÞ Û s Ð Ò Ð Ò Û ÅÀÊ ÔÖÞÝ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8 ÔÓ ÖÝÛ ÔÙÒ ØÝ Ð Ò Ó M Û ÞÙ Ò Ò ÞÒ ÞÒ ÞÑ ÒÝ Ð Þ Ý ÑÒÓ Þ Ð ÔÖÞÝ ÞÛ Þ Ò Ù ÐÓ ÛÞ Ûµº ÊÝ ÙÒ ¾º¾ º Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÅÀÊ ÔÖÞÝ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8 Ø ÖÞ Ù O(M 2 ) ÊÝ º ¾º¾ ÛÝÒ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ ÅÀÊ ÔÖÞÝ Þ ØÓ ÓÛ ¹ Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8 ÔÓÞÓ Ø ÖÞ Ù O(M 2 ) ÔÖÞÝ ÞÛ ÞÓÒ ÐÓ ÛÞ Ûº ÍÛ ÈÖÞÝ Û Þ ÐÓ ÛÞ Û Û Ð Ò ÔÓ Ö Þ ÖÞ ÓÑÔÖ Ð ÞÛ Þ Ó ÒÓ Ó Ð Þ Ò ÔÖÞÝ Þ Û Ô ÖÛ ÞÝ ÛÞ Û (x 0 ;y 0 ) (x 1 ;y 1 ) Û Ð Ó x 1 x 0 ÓÖ Þ y 1 y 0 Ó ÖÝÛ ÞÓ ÓÛ ÖÓÐ Û Ó Þ ÓÛ Ò Ó ¹ ÒÓ Û ÖÓÞ Þ Ð ¾º¾º º Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÔÖÞÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ò Ó ÛÝÑ ÖÙ ÔÓÞÓ Ø Þ ÞÑ Òº ÌÛ Ö Þ Ò ¾º¾º Ó Ò ÞÑ ÒÒ ÞÓ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ ÅÀÊ Û ÔÖÞÝÔ Ù ÓÛÓÐÒ ÐÓ ÛÞ Ûµ Ó Ò ÐÓ Ö ÛÒÓÓ Ð Ý ÛÞ Û Ó Ð Ñ ÒØ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Û Ð Ò ÔÓÞ ÓÑ ÛÝÒÓ sº Æ N = k 2 ÓÞÒ Þ ÛÝÑ Ö Û ÞÝ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ù ÝØÝ Û ÅÀÊ k = 4,6,10 N = 2,4,8µº Ó Ø ÓÛÓ Ò Ð Þ ÛÞ Û s Þ ÓÛÓÐÒ Ð Þ s > 5 Û ÔÖÞÝÔ Ù ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2

56 ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ s > 9 Û ÔÖÞÝÔ Ù ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 s > 17 Û ÔÖÞÝÔ Ù ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8º Ì Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Ó ÛÝÑ Ö M M Ô Ð Þ Ù Ý Ñ ÅÀÊ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ó Ò ÞÑ Ò ÓÒÝÑ ÛÝÑ ÖÞ N = k 2 ÛÝÒÓ km 2 + mm m Nº ÓÛ M s Ð ÓÛÓÐÒ ÐÓ ÛÞ Û s > 5 Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ km +m = t u+ s 1 p q Þ ÔÓ ÞÞ ÐÒ ÝÑ ÓÐ Ó Ö ÐÓÒ Û ØÛ Ö Þ Ò Ù ¾º½ ÓÞÒ Þ Þ Ó Ö Ð Ò Û Ö Ó Ò Ð Þ Ð Þ Ý ÓÛ Ø º Ã ÓÛÓÐÒ Ð Þ s N s > 5 Þ Û ÖØ Ø Û ÔÖÞ Þ Ð [s(j);s(j + 1)] Ð Ô ÛÒ Ó j = 0,1,...,M ÓÖ Þ Û ÖØÓ s(j) Þ Ò ÓÛ Ò Û ØÛ Ö Þ Ò Ù ¾º½º ÇÞÒ Þ ØÓ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ð ÓÛÓÐÒ Ð Þ Ý ÛÞ Û ÑÓ Ò Ó Þ ÓÛ Ø ÑÓ Û ÔÖÞÝÔ Ù ÔÓ Û Ò ÐÓ ÛÞ Ûº Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Ó ÛÝÑ Ö M M Ô Ð Û ÅÀÊ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ó Ò ÞÑ Ò ÓÒÝÑ ÛÝÑ ÖÞ N = k 2 = 2,4,8 ÛÝÒÓ km 2 + mm m Nº ÏÒ Ó Ê ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ M Ô Ð Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ Ó ÖÞÓÒ Ø Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ O(M) Ò Þ Ð Ò Ó ÐÓ ÛÞ Û ÛÝÑ ÖÙ Ù ÝØÝ ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ Û ÇÀÊ.Ê ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Ò ÖÒ Ó Þ Ó ÓÒ Ó Ñ ÝÑ ÐÒ Þ M ÓÒØÙÖ Û Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ Ó ÖÞÓÒ Ø Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ O(M 2 ) Ò Þ Ð Ò Ó ÐÓ ÛÞ Û ÛÝÑ ÖÙ Ù ÝØÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊº ØÛ Ö Þ ¾º½ ¾º¾ ÛÝÒ Ñ ÑÒ ÞÝ Ø ÛÝÑ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ù Ý¹ ØÝ Û ÅÀÊ ØÝÑ ÐÓ ÛÝ ÓÒ ÒÝ ÑÒÓ Þ Ð Û ÅÀÊ Ø ÑÒ Þ º Â ¹ Ò ÖÞ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ñ ØÓ Ý O(M 2 ) ÔÓÞÓ Ø Þ ÞÑ Ò Ò ØÓÑ Ø Û ÞÝ ÛÝÑ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Û Þ Û Þ Û ÖÝ Ó ÒÓ Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ó Ö ÞÙ Û Û ØÓÖ Û ÞÓÛÝ Ñ ÛÔ ÝÛ Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Û Ô ÖÞ ¹ ÒÝ Ö Ù Ý Ô Ð µº Æ ÛÝ Ö ÔÓ Þ ÒÓ Þ Ð ÒÓ km 2 + mm m N ÔÓÑ ÞÝ ÛÝÑ Ö Ñ Ó Ö ÞÙ M M ÛÝÑ Ö Ñ N = k 2 = 2,4,8 ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Þ ØÓ ÓÛ ÒÝ Û ÅÀÊ Ð ÑÒ ØÙ ÛÞ Û ÊÝ ÙÒ ¾º¾ º Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÖÞ Ù O(M 2 ) Û ÅÀÊ ÔÖÞÝ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ N = 2,4,8 Ð Ð Þ Ý ÛÞ Û s = 17

57 ¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ÊÝ º ¾º¾ ÛÝÒ Þ ØÓ ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Û Þ Ó ÛÝÑ ÖÙ ÔÖÞÝ Ø Ñ Ð Þ ÛÞ Û Û Þ ÞÛ ÞÓÒ Ð Þ ÓÔ Ö ÑÒÓ Þ Ð ÛÝ ÓÒ ÒÝ Û Ñ ØÓ Þ ÅÀÊº Â Ò ÖÞ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ñ ØÓ Ý O(M 2 ) ÔÓÞÓ Ø Þ ÞÑ Òº Ð Ù Ø ÐÓÒ ÐÓ Ô Ð M Û Ó Ö Þ Ó ÛÝÑ Ö M M ÔÓÖ ÛÒ Ò Ð Þ Ý ÛÝ ÓÒ ÒÝ ÓÔ Ö ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò km 2 + mm m N Û ØÓ ÙÒ Ù Ó ÛÝ¹ Ñ ÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ N = k 2 = 2,4,8 ÔÖÞÝ Ò Ð Þ ÛÞ Û s Ø ÛÝ ÛÞÖÓ Ø ÐÓ ÑÒÓ Þ Ð ÛÖ Þ Þ ÛÞÖÓ Ø Ñ ÛÝÑ ÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ì Ð ¾º º ÈÓÖ ÛÒ Ò ÐÓ ÑÒÓ Þ Ð Û ÅÀÊ Ð M ½¼¾ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ù Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ Ö Û Æ ¾ ÔÖÞÝ Ð Þ ÛÞ Û s = 17,33,65,129º M s = 17 s = 33 s = 65 s = 129 ¾ ¾ ¾ ¼ ¾¼ ¼ ¾ ¼ ÇÀÊ 2 2 ½¼¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¾ ¼ ÇÀÊ 4 4 ½¼ ¼ ½¾ ½¼ ¼ ½¼ ½ ½½½ ÇÀÊ 8 8 Ì º ¾º ÛÝÒ Þ ØÓ ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Û Þ Ó ÛÝÑ ÖÙ ÔÖÞÝ Ø Ñ Ð Þ ÛÞ Û Û Þ ÞÛ ÞÓÒ Ð Þ ÓÔ Ö ÑÒÓ Þ Ð ÛÝ ÓÒ ÒÝ Û ÅÀÊº Â Ò ÖÞ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ ÅÀÊ O(M 2 ) ÔÓÞÓ Ø Þ ÞÑ Ò Ò ØÓÑ Ø Û ÞÝ ÛÝÑ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Û Þ Û Þ ÐÓ Û ÞÝÑ ÛÝÑ Ö Ñ Û ØÓÖ Û ÞÓÛÝ Ñ Ý ÛÔ ÝÛ Ò Ó ÒÓ Ó Ð Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ Ö ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ ÔÙÒ Ø Ûº ¾º¾º Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ ÅÀÊ Ñ ØÙ ÐÓ ÓÛ Ó ÓÑÔÖ ÅÀÊ Ð Ó ÓÒØÙÖÙ K ÊÝ º ¾º µ ÛÝÒ Ò ÔÓÞ Ø Ù Ò Ð Ý Ó Þ ÓÛ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÔÓ Þ Ù Ó ÓÒØÙÖÙ Ò Þ K i Ò ØÔÒ Ó Ð ÞÝ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÛÝÞÒ Þ Ò ÛÞ Û ÓÑÔÖ Ð Þ ÓÒØÙÖÙº ÈÓ Þ ÓÒØÙÖÙ Ò ÔÓ ÞÞ ÐÒ Þ K i ÊÝ º¾º µ Ó ÝÛ Þ ÔÓÖ ÛÒ ¹ Ò Ù Ö Ò Ý Ó ÔÓÛ Ò Û Ô ÖÞ ÒÝ ØÖÞ Ò Ô Ð º Ø Ñ Ð ÓÒ¹ ØÙÖÙ K Þ Ó ÓÒ Ó Þ M Ô Ð ÛÝ ÓÒ ÒÝ Ø M 2 ÔÓÖ ÛÒ ÞÝÐ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ø Ó Ø ÔÙ ÓÑÔÖ ÅÀÊ Ø ÖÞ Ù O(M)º ÃÓÐ ÒÝÑ Ø Ô Ñ ÓÑÔÖ ÅÀÊ Ø ÛÝÞÒ Þ Ò ÛÞ Û ÓÑÔÖ Ð Þ ÓÒØÙÖÙ ÊÝ º ¾º½¼µº Ï ØÝÑ ÐÙ Ò Ð Ý ÛÝÞÒ ÞÝ ØÖ Ñ ÐÓ ÐÒ Ð Þ ÓÒØÙÖÙ K i ÊÝ º ¾º½½µº Æ Þ ÓÒØÙÖÙ Ã i Þ M i Ô Ð i = 1,2,...,Lº Ó Þ Ö ÛÒÓ L i=1 M i = M + L 1º ë Ý ÛÝÞÒ ÞÝ ØÖ Ñ ÐÓ ÐÒ Þ ÓÒØÙÖÙ K i Þ Ó ÓÒ Þ M i Ô Ð Ò Ð Ý ÛÝ ÓÒ 2(M i 2) ÔÓÖ ÛÒ Ó ÔÓÛ ¹ Ò Û Ô ÖÞ ÒÝ ØÖÞ Ò Ô Ð º Ø Ñ Ð Þ Û ÞÝ Ø ÔÓÖ ÛÒ Ð Ó ÓÒØÙÖÙ K ÛÝÒÓ L i=1 2(M i 2) = 2 L i=1 M i 4L = 2(M +L 1) 4L = 2M 2L 2º ÞÝÐ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÛÝÞÒ Þ Ò ØÖ Ñ Û ÐÓ ÐÒÝ Ó ÓÒØÙÖÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ M Ô Ð Ñ ØÓ ÅÀÊ Ø ÖÞ Ù O(M)º ÏÒ Ó ÃÓÑÔÖ ÓÒØÙÖÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ M Ô Ð Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ Ó ÖÞÓÒ Ø Þ Ó ÓÒÓ ¹ Ó Ð Þ Ò ÓÛ O(M)º ÃÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ Þ ÖÒÓ¹ Ó Þ Ó ÓÒ Ó Ñ ÝÑ ÐÒ Þ M ÓÒØÙÖ Û Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ Ó ÖÞÓÒ Ø Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ O(M 2 )º

58 ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ ¾º ÈÖÞÝ Ý Ó Ð Þ Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ñ Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ ÏÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ó Ö ÓÒ ØÖÙ ÖÞÝÛ Ò ÔÓ Ø Û ÔÓ ÒÝ ÛÞ Û ÔÓ Þ Ò Ø Û ÔÖÞÝ ¾º½ ¾º º Ó Ò ÒÝ Ø Û Þ Ò ÔÙÒ Ø Û x i,y i ) R 2 Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò h/2 = 0.5 ÓÔ Ù Ý Ð Ø Ö W i = 0,1,...,20µ x i ¼ ¼º ½ ½ ¾ ¾ ½¼ y i ½ ¾ ½ ¾ ¼ ½ ¾ ¾ ½ ¾ ¼ ½ ¾ ¾ ½ ÊÝ ÙÒ ¾º¾ º ÞÒ ÞÓÒ ÛÞ Ý (x i,y i ) Ï ÐÙ Ó Ð Þ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ý ÔÓÑ ÞÝ ÛÞ Ñ Ù ÓÛ Ò Ò ÔÓ Ø Û Ó ÖÙ Ó ÛÞ Þ Ø ÑÙ Þ Ô Ñ Ø Ò Ø Ò ÓÖÑ Ñ ÞÝ ÛÞ Ñ µ Û ÓÔ Ö ØÓÖÝ M ÓÖ Þ M 1 ¾º µ Ò ÔÓ Ø Û Ù ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ö Ò ¾º µ Ó Ó ÔÓÛ Ò Û Ô ÞÝÒÒ º È ÖÛ ÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖ M Ð ÛÞ Û (x 0,y 0 ) (x 2,y 2 ),...,(x 14,y 14 ) x = [ ] T, y = [ ] T, w = [ ] T, W= M= ÞÝ Û Ô ÖÞ Ò y i ÛÝÐ ÞÓÒ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ M Ö Ò Ý Ó ÔÓ ÒÝ ÛÞ Û Ï Ô ÖÞ Ò ÔÓÐ ÞÓÒ Þ Ù Ý Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ M ÛÝÒÓ Þ M x = ,.

59 ¾º º ÈÊ Ã Ç ÄÁ ËÌÇËÇÏ ÆÁ Å Å ÌÇ ÅÀÊ Ö Ò Ó Û Ö ØÓÛÝ Ð Ó Ð ÞÓÒÝ ÛÞ Û ÛÝÒÓ (M x y) T (M x y) = Ï Ð Ó Ù ÔÓÞÛ Ð Ò ØÛ Ö Þ Ò Ó Ð Þ Ò Þ Ù Ý Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ø ÐÒ Þ Ó ÒÓ ÖÞ Ù 10 3 Ò Ø ØÓ Ñ ØÓ Ý Ð Þ Ù Ø ÐÓÒ Ó ¹ ÒÓ Ó Ð Þ Û Ô Å Ø µº Ù ÓÛ ÒÓ ÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ M 1 Ð ÛÞ Û (x 1,y 1 ),(x 3,y 3 ),...,(x 15,y 15 ) x = [ ] T, y = [ ] T, w = [ , ] T, M 1 = , M 1 x = [ ]. Ö Ò Ó Û Ö ØÓÛÝ Ð Ó Ð ÞÓÒÝ ÛÞ Û ÛÝÒÓ y M 1 x = º Ï Ô ÖÞ Ò x i ÛÞ Û Ù Ý Ó Ù ÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ø Ý ÖÓ h R Û ØÝÑ ÔÖÞÝ Þ h = 1µº È ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò x 0 = 0 Ð ÓÔ Ö ØÓÖ M ÛÝÒÓ a = 0 Ò ØÓÑ Ø Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò x 1 = 0.5 Ð ÓÔ Ö ØÓÖ M 1 ÛÝÒÓ b = 0.5º ÈÖÞÝ Ý ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ö Ò ¾º µ Ó Ó ÔÓÛ ¹ Ò Û Ô ÞÝÒÒ Ó Ð ÞÓÒ ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ò Ó Û ØÓÖ Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ º ÈÖÞÝ ¾º½º Æ c ¼º¾ º ÏØ Ý k = m ½ M 2 = (M + M 1 )/2 x = [ ] T, M 2 x = [ ] T. ÈÖÞÝ ¾º¾º Æ c ¼º½º ÏØ Ý k m ½ M 2 = (4M + M 1 )/5 x = [ ] T, M 2 x = [ ] T. ÈÖÞÝ ¾º º Æ c ¼º º ÏØ Ý k ½ m M 2 = (M + 4M 1 )/5 x = [ ] T, M 2 x = [ ] T. ÈÖÞÝ ¾º º Æ c ¼º½¾ º ÏØ Ý k m ½ M 2 = (3M + M 1 )/4 x = [ ] T, M 2 x = [ ] T.

60 ¼ ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ ÈÖÞÝ ¾º º Æ c =¼º¾º ÏØ Ý k m ¾ M 2 = (3M + 2M 1 )/5 x = [ ] T, M 2 x = [ ] T. Â Ó Ð ÞÝ ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð c [0.5;1] ÇÔ Ö ØÓÖ M 1 ÔÓ¹ ÞÓ Ø Ò Þ ÞÑ Ò ÔÓÒ Û Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò Ð Ó Þ Ù ÓÛ Ò ÛÝÒÓ x 1 = 0.5º Æ ØÓÑ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ M ÞÓ Ø Ò Þ Ø Ô ÓÒÝ ÒÒÝÑ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÑÓ Ò ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½¾µ Ð Ø Ö Ó Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò x 2 = 1 x = [ ] T, y = [ ] T, M = , M x = [ ] T. Ö Ò Ó Û Ö ØÓÛÝ ÛÝÒÓ y M x = ÓÒØÖÓÐ Ó Ð ÞÓÒÝ Û Ô ¹ ÖÞ ÒÝ µº Ï ÐÙ Ó Ð Þ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð c [0.5;1] ÓÐ ÒÝ ¹ Ñ Ù Þ ÖÓ Ñ h = 1 Ó Ð Þ Ò Ò ÐÓ ÞÒ ÓÔ Ö ØÓÖÓÛ M 1 Ó ÔÓÛ Ø Ö Þ a = 0.5 Þ ÓÔ Ö ØÓÖÓÛ M b ½µ M 2 = (mm + km 1 )/(m + k)º ÈÖÞÝ Ý Ó Ð Þ Ð c ¼º ½ ÈÖÞÝ ¾º º Æ c ¼º º ÏØ Ý k ½ m ½ M 2 = (M + M 1 )/2 x = [ ] T, M 2 x = [ ] T. ÈÖÞÝ ¾º º Æ c ¼º º ÏØ Ý k m ½ M 2 = (M + 4M 1 )/5 x = [ ] T, M 2 x = [ ] T. ÓØÝ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÒÝ ÞÓ Ø Ó Ô ÖÛ ÞÝ ÑÒ ÛÞ Û Ó ÔÓÞ¹ ÛÓÐ Ó Ò Ó Ð Þ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò Þ ÔÖÞ Þ Ù [x 0 ;x 16 ] = [0;8]º Ó Þ ÔÖÞ Þ Ñ [8;10] Ð ÓÐ ÒÝ ÔÖÞ Þ ¹ Û Ò Ð Ý ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÓÐ Ò ÛÞ Ý Û ØÝÑ ÔÖÞÝ Þ ÓÞÒ Þ ØÓ ÑÒ Ó Ø ØÒ ÛÞ Ûµ Ò ÐÓ ÞÒ Þ Ù ÓÛ Ò ÞÓ Ø Ò ØÖÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖÝ Û ÛÞÓÖÙ ¾º µ ÐÙ ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½¾ x = [ ] T, y = [ ] T,

61 ¾º º ÈÊ Ã Ç ÄÁ ËÌÇËÇÏ ÆÁ Å Å ÌÇ ÅÀÊ ½ M = , M x = [ ] T. Ö Ò Ó Û Ö ØÓÛÝ Ð Ó Ð ÞÓÒÝ ÛÞ Û ÛÝÒÓ y M x = º ÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ M 1 x = [ ] T, y = [ ] T, M 1 = , M 1 x = [ ] T. Ö Ò Ó Û Ö ØÓÛÝ Ð Ó Ð ÞÓÒÝ ÛÞ Û ÛÝÒÓ y M 1 x = º ÈÖÞÝ ¾º º Ï ÐÙ Ó Ð Þ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ð Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ º º Ð Þ c = 2.75 [2.5;3]º ÏØ Ý k = 1 m = 1 M 2 = (M + M 1 )/2 x = [ ] T, M 2 x = [ ] T. Ý Ó Ð ÞÝ ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ ÔÖÞ ¹ Þ Û º ÞÝ º Ò Ð Ý ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ð ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ x = [ ] T, x = [ ] T. ÈÖÞÝ Ý ¾º½ ¾º ÔÓ ÞÙ ÔÙÒ ØÝ Ð Ò ÖÞÝÛ ÛÞ Ý Ò ÞÓÒ Ó Ò Ñ Ð Þ Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ Ø Û ÛÝ ÞØ Ø ÓÒØÙÖÙº ÍÛ ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò Ð Ò Ø ÖÝ Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÞÓ Ø Ý ÛÝÐ ÞÓÒ Û Ö ÞÝº ÆÔº Û ÔÖÞÝ Þ ¾º Û ÖØÓ Ð Û Ô ÖÞ Ò ¾º ÛÝÒÓ ¾º ½ Û ÔÖÞÝ Þ ¾º Û ÖØÓ Ð Û Ô ÖÞ Ò ¾º ÛÝÒÓ ¾º º Ç Ø Ø ÞÒ ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÑÓ Ò ÞÒ Ð õ Ó Ö Ò ÖÝØÑ ØÝÞÒ Þ Û ÓØÖÞÝÑ ÒÝ Û ÖØÓ º ÈÖÞÝ Ó Ð Þ Ð Ò ØÔÙ Ó ÓÒØÙÖÙ Þ Á ÁÁÁ Ù ÛÞ Ñ Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò x i Ò ØÓÑ Ø Þ ÁÁ ÔÓ ÛÞ Ý Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò y i µ

62 ¾ ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ ÊÝ ÙÒ ¾º¾ º ¾º½ ¾º ÏÝ Ö Þ Û Ö Ý Û ÞÝ Ø ÔÙÒ ØÝ Ó Ð ÞÓÒ Û ÔÖÞÝ ÊÝ ÙÒ ¾º¾ º ÃÓÒØÙÖ ÔÓ Þ ÐÓÒÝ Ò ØÖÞÝ Þ x i ½¼ ½ ¾¼ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ y i ¼ ¾ ¼ ¾ ¾¼ ½ ¼ ¾½ ½¼ ¼ ¾ ÊÝ ÙÒ ¾º¾ º ÏÞ Ý Á Þ ÓÒØÙÖÙ

63 ¾º º ÈÊ Ã Ç ÄÁ ËÌÇËÇÏ ÆÁ Å Å ÌÇ ÅÀÊ Þ Á ÓÒØÙÖÙ Û ÒÒ Ð Ò Ò ÊÝ º¾º¾ µ ÓÔ Ò Ø ÛÞ Ñ Ô ØÖÞ ÊÝ º ¾º¾ µº ÁÐÓ ÛÞ Û Ð Á Þ ÓÒØÙÖÙ Ø ÑÒ Þ Ò ÑÒ ÞÝÐ Ò ÑÓ Ò ÓÖÞÝ Ø Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8º ÈÙÒ ØÝ Á Þ ÓÒØÙÖÙ Ö ÓÒ¹ ØÖÙÓÛ Ò Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 Û Û ÔÓ Þ ÓÖ ÛÞ Û Ý Þ Û Ö Þ Û ÛÞ Ûµ ÔÓ Þ Ö B 0 Þ Û Ö ÛÞ Ý Ó (10;80) Ó (50;40) ÔÓ Þ Ö B 1 Þ Û Ö ÛÞ Ý Ó (40;20) Ó (80;57)º ÆÔº Ð ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ x = [ ] T, y = [ ] T, ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ M 0 = Ð ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ x = [ ] T, y = [ ] T, ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ M 1 = ÈÖÞÝ Ó Ð Þ ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ð Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ Ô ÒÝ Û Û ØÓÖÞ p = [ ] T M 2 = 0.6M M 1, M 2 = , M 2 p =

64 ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ ÈÖÞÝ ÛÝ Ö ÒÝ ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ ÔÙÒ Ø Û Á Þ ÓÒØÙÖÙ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ Ò ÊÝ º ¾º ¼ ÊÝ ÙÒ ¾º ¼º Þ Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ð Ó ÓÒØÙÖÙ Þ ÊÝ º ¾º¾ ÙÑ ÞÞÓÒÓ Ó ØÛÓÖÞÓÒ ÔÖÞÝ ÓÛ ÔÙÒ ØÝ ÊÝ º ¾º ½µº ÊÝ ÙÒ ¾º ½º Þ ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ð ÓÒØÙÖÙ Þ ÊÝ º ¾º¾ ÅÀÊ Ø Ñ ØÓ Ó Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÖÞ Ù O(M 2 ) Ð Ó Ö ÞÙ Ó ÛÝ¹ Ñ Ö M M Ô Ð ÔÓÞÛ Ð Ò Ó Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ Ó Ö ÞÙ Ò ÔÓ Ø Û Þ ÓÖÙ ÔÙÒ Ø Û Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒÝ º ÈÙÒ ØÝ Ø ÑÓ Ý ØÖ ØÓÛ Ò Ó Þ Ö ÛÞ Û ÓÑÔÖ Þ ÔÓÑÓ Ø Ö Ó ÞÓ Ø Þ Ô Ñ Ø Ò ÖÞÝÛ º ÅÀÊ Ø Ñ ØÓ Þ ØÖ ØÒ Ó ÛÝ Ó Ñ ØÓÔÒ Ù ÓÑÔÖ º Ï ÖÓÞ Þ Ð ¾ ÓÔ ÒÓ ÔÓ Ù ÓÛÝ Û ÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ó Þ ÓÛ ÒÓ ÔÖÞÝ Ð Ò Û Ð Ý ÙÒ Ó ÓÛÝ Û ÐÓÑ Ò Û ØÓÔÒ ½ ¾ ÓÖ Þ Ó Þ ÓÛ ÒÓ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ ¹ Ò ÓÛ ÔÓ ÒÓ ÔÖÞÝ Ý Ó Ð Þ Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ñ ÅÀÊº

65 ÊÓÞ Þ Å ØÓ ÅÀÊ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ï ÖÓÞ Þ Ð ØÝÑ ÓÔ ÒÓ Þ ØÓ ÓÛ Ò ÅÀÊ Û Ó ØÛ ÖÞ Ò Ù Ö Ù Ý ÔÙÒ Ø Û Ó Ö ÞÝ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Óº Ò Ò ÔÖÞ Ø Û Ò Ó ØÙ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ø ØÓØÒ ÒÔº Û ØÓÑÓ Ö ÓÑÔÙØ ÖÓÛ Û ÔÖÓ ØÓÛ Ò Ù ÑÔÐ ÒØ Û Ó º ÏÝ Ó¹ ÖÞÝ Ø Ò ÅÀÊ Û Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó Þ ÔÖÓÔÓÒÓÛ ÒÓ Û ÖÓÞ Þ Ð º º½ Ê ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ ÓÒØÙÖ Û Ô ¹ Ò º½º ÃÓÒØÙÖ Ñ Ô Ñ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ò ÞÝÛ ÒÝ Ø Þ Ö ÔÙÒ Ø Û x i,y i,z) R 3 ÔÖÞ Ø Û Ý ÓÒØÙÖ Û Ô ÞÞÝõÒ Ñ Ý Ø Û Ô ¹ ÖÞ Ò zº Â Ð Û ÅÀÊ Ý Þ Ö ÛÞ Û B m ß x i,y i ) x i R y i RÐ Ð m = 0, 1,..., M ÞÓ Ø Ò ÔÓÛ Þ ÒÝ Þ ØÖÞ Û Ô ÖÞ Ò z m R ØÓ Ó ØÛÓÖÞ Ò Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ ÔÙÒ Ø Û x,y) R 2 Ð Þ ÓÖÙ ÛÞ Û B m Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÛÙÛÝÑ ¹ ÖÓÛ Ø Ö ÛÒÓÞÒ ÞÒ Þ Ö ÓÒ ØÖÙ ÔÙÒ Ø Û x,y,z m ) Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò ØÖ ÛÝÑ ¹ ÖÓÛ º Æ ÔÖÞÝ Ó ØÛÓÖÞ Ò ØÖÞ Ô ÓÒØÙÖ Û Ð ØÖÞ Û ÖØÓ Û Ô ÖÞ Ò z m ÔÖÞ Ø Û ÊÝ º º½º ÊÝ ÙÒ º½º Ç Ö Þ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛÝ Þ Ó ÓÒÝ Þ ØÖÞ ÓÒØÙÖ Û ÛÙÛÝÑ ÖÓÛÝ º º½º½ Å ØÓ ÅÀÊ Û Ð ÓÒØÙÖ Û Ô Ó Ò Ð Û Ô ÖÞ Ò z m Ö ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Ó Ó Ö ÞÙ ÑÓ Ð Û Ø Ù Ø Ð Ò Þ ÓÖÙ ÛÞ Û Û Þ Ó Ð ÅÀÊ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò ¾ Þ ÖÓÞ Þ Ù ¾º Æ Û Ù Ñ ØÓ Ý Ò Þ ÓÖÝ ÛÞ Û Ó ØÖÞ Û Ô ÖÞ ÒÝ Ò ÛÝ Ù Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ Ø Ó Ö Þ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛÝ Þ Ó ÓÒÝ Þ ÓÒØÙÖ Û Ô º ÃÖÓ ½º Æ Ð Ý Ù Ø Ð ÞÝ Û Ô ÖÞ Ò z m Ó ØÙ Û ÑÓ Ð Û Ø ÔÖÞÝÔÓÖÞ ÓÛ Ò Þ ÓÖÙ ÛÞ Û B m ß x i,y i ) x i R y i RÐ Û

66 ÊÇ Á º Å ÌÇ ÅÀÊ Ï ÈÊ ËÌÊ ÆÁ Þ Ó ÅÀÊ Ð Ó Ö ÞÙ ÛÙÛÝÑ ÖÓÛ Ó Þ ÖÓÞ Þ Ù ¾ ÛÞ Ñ ÔÙÒ ØÝ x i,y i ) R 2 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ò Û Ô ÖÞ Ò Ù Ø ÐÓÒ Û Ñ Ò ¹ ÑÙÑ Ñ ÑÙÑ ÐÓ ÐÒÝÑ ÒÒ Û Ô ÖÞ Ò ÓÖ Þ Û ÔÙÒ Ø Ð Ý Ñ ÞÝ ØÖ Ñ Ñ ÐÓ ÐÒÝÑ Ó Ò ÑÒ Ò ÔÙÒ Øµº ÃÖÓ ¾º Â Ð Ó ÔÓÛ õ Û ÖÓ Ù ½ Ø ØÛ Ö Þ Û ÛÞ Ð Ó Þ ÓÖÙ ÛÞ Û B m Ò Ð Ý Ó ØÛÓÖÞÝ Ö Ù ÔÙÒ ØÝ Þ Ù Ý Ñ ÅÀÊ Û ¾ Þ ÖÓÞ Þ Ù ¾º ÃÖÓ º ÈÙÒ ØÝ ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Û ÖÓ Ù ¾ ÙØÛÓÖÞ ÓÒØÙÖÝ Ô Ð Û Ô ÖÞ ¹ ÒÝ z m. ÊÝ ÙÒ º¾º ÈÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ó Ö ÞÝ Þ Ó ÓÒ Þ Ð ÙÒ ØÙ ÐÙ Ð Ù Þ Ù ÓÒØÙÖ Û Ô º ÍÛ Ç ØÛÓÖÞ Ò Ó ÔÓ ÝÒÞ Ó ÓÒØÙÖÙ Ô Ó Þ Ó ÓÒ Ó Þ N Ô Ð ÞÛ ¹ Þ Ò Ø Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÖÞ Ù O(N)º Â Ð ÐÓ ÓÒØÙÖ Û ÛÝÒÓ K Û ÛÞ ÅÀÊ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ð ÓÒØÙÖ Û Ô ÔÓ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÖÞ Ù O(NK)º ËØÓÔ ÓÑÔÖ ÓÖ Þ Ó ÒÓ Ó Ð Þ ÔÓÞÓ Ø Ø Û ÅÀÊ Ð Ó Ö Þ Û Ô º º¾ Ê ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Þ ÔÓÑÓ ÔÓ Û Ò Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó Ï ÅÀÊ Ð Ó Ö ÞÙ ¾ ÒÝ Ø Þ Ö ÛÞ Û x i,y i ) R 2 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ º Ð Ó Ö ÞÙ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ó Ò ÐÓ ÞÒ ÞÖÓ ÓÒÓ Þ Ó Ò Ó ÛÞ x i,y i,z i ) R 3 Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ x i Ð Ó y i Ø Ö ÛÒÓÓ Ð º Ó Ò Û Ô ÖÞ Ò x i ÔÓ Ø Ý ÖÓ º Ï ÛÞ ÔÙÒ ØÝ x,y,z) Ó ØÙ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ó ÞÓ Ø Ò ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Ò ØÔÙ Ó Ð ÛÞ Û x i,y i ) R 2 ÞÒ ¹ Ð Þ ÓÒ ÞÓ Ø Ò Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ Ö Ù Û Ô ÖÞ Ò y Ò ØÓÑ Ø Ð ÛÞ Û x i,z i ) R 2 ÞÒ Ð Þ ÓÒ ÞÓ Ø Ò Þ Ù Ý Ñ ÅÀÊ Ö Ù Û Ô ÖÞ Ò zº ÇÞÒ Þ ØÓ Ð ÓÛÓÐÒ Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò x ÑÓ Ò Ó ØÛÓÖÞÝ Û Ô ÖÞ Ò y ÓÖ Þ z Ð ÔÙÒ ØÙ x,y,z) Ò Ð Ó Ó Ó Ö ÞÙ Û º Â Ð Û Ô ÖÞ Ò x = α x 0 +β x 1 α β [0;1] α + β = 1 ÛØ Ý Ð Þ Ý α ÓÖ Þ β ÞÓ Ø Ò Ù ÝØ Ó Þ Ù ÓÛ Ò Û

67 º¾º Ê ÃÇÆËÌÊÍÃ Â Ç Ê Í º º º ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ö Ò Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò M = αm 1 +βm 2 ÔÓ Ù Ý Ó Ó Ð Þ Ò Û Ô ÖÞ Ò y ÓÔ Ö ØÓÖÝ M 1 M 2 Þ Ù ÓÛ Ò Ð ÛÞ Û x i,y i ) R 2 Û ÅÀÊ Þ ÖÓÞ Þ Ù ¾µ ÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò M 0 = αm 3 + βm 4 Ø ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÒÝ Ó ÛÝÞÒ Þ Ò Û Ô ÖÞ Ò z ÓÔ Ö ØÓÖÝ M 3 M 4 Þ Ù ÓÛ Ò Ð ÛÞ Û x i,z i ) R 2 Û ÅÀÊ Þ ÖÓÞ Þ Ù ¾µº ÊÝ ÙÒ º º Ï Ô ÖÞ Ò x = αx 0 + βx 1 º ÔÓÑÓ Û ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ö Ò ÑÓ Ð Û Ø ÛÝÞÒ Þ Ò Û Ô ÖÞ ÒÝ y ÓÖ Þ zº º¾º½ Å ØÓ ÅÀÊ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Þ ÔÓÑÓ ÔÓ Û Ò Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó Û ÔÖÞÝÔ Ù Ø Ó ÖÓ Ù Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò ÛÞ Û Ó Ò ÛÞ Ý x i,y i,z i ) R 3 ÔÓ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i º ÏÞ Ý Ù Ø ÐÓÒ Û ØÖ Ñ ÐÓ ÐÒÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ y i z i ÓÖ Þ Û ÔÙÒ Ø Ð Ý Ñ ÞÝ ØÖ Ñ Ñ ÐÓ ÐÒÝÑ ÔÖÞÝÒ ÑÒ Ò ÔÙÒ Øµº Æ Û Ù Ñ ØÓ Ý ÒÝ Ø Þ Ö ÛÞ Û Ó ØÖÞ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Ò ÛÝ Ù Ó ØÛÓÖÞÓÒ Ö Ù ÔÙÒ ØÝ (x,y,z) Ó Ö ÞÙ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Óº ÃÖÓ ½º Ð ÛÞ Û x i,y i ) R 2 Ó ØÛÓÖÞÓÒ Ö Ù ÔÙÒ ØÝ x,y) R 2 Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ Þ ÖÓÞ Þ Ù ¾ ÃÖÓ ¾º Ð ÛÞ Û x i,z i ) R 2 Ó ØÛÓÖÞÓÒ Ö Ù ÔÙÒ ØÝ x,z) R 2 Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ Þ ÖÓÞ Þ Ù ¾º Ï Ô ÖÞ Ò x i ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Û ÖÓ Ù ¾ ÑÙ Þ Ý ÒØÝÞÒ Û ÖÓ Ù ½º ÃÖÓ º Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ ÔÙÒ Ø Û x,y) R 2 ÓÖ Þ x,z) R 2 ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÔÙÒ ØÝ (x,y,z) Ó Ö ÞÙ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Óº ÆÔº Ð (x,y) ¾º ½º¾µ (x,z) ¾º º µ ØÓ Ó Ó Ö ÞÙ Ò Ð Ý ÔÙÒ Ø (x,y,z) ¾º ½º¾ º µº ÈÖÞÝ º½º Ò Ø Ô ÛÞ Û (x i,y i,z i ) R 3 i = 0, 1,..., 4 ½ ¾ µ µ µ ½¼µ ½¼ ½¾µº Ï ÖÓ Ù ½ Ð ÛÞ Û (x i,y i ) R 2 i = 0, 1,..., 4 ½ ¾µ µ µ µ ½¼µ Ó ØÛÓÖÞÓÒ ÔÙÒ ØÝ (x;y) ¾ µ µ µ µº Ï ÖÓ Ù ¾ Ð ÛÞ Û (x i,z i ) R 2 i = 0, 1,..., 4 ½ µ µ µ ½¼µ ½¾µ Ó ØÛÓÖÞÓÒ ÔÙÒ ØÝ (x;z) ¾ µ µ µ ½½µº Ï ÖÓ Ù ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÔÙÒ ØÝ ÔÙÒ ØÝ (x;y;z) ¾ µ µ µ ½½µº ÍÛ ÛÙ ÖÓØÒ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÅÀÊ Ð ÛÞ Û (x i,y i ) R 2 ÓÖ Þ (x i,z i ) R 2 Ò ÞÛ Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÅÀÊ ÖÞ Ù O(N 2 ) Ò ØÓÔÒ ÓÑÔÖ ÔÖÞÝ

68 ÊÇ Á º Å ÌÇ ÅÀÊ Ï ÈÊ ËÌÊ ÆÁ ÊÝ ÙÒ º º ÊÓÞ Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ ÔÙÒ Ø Û (x;y;z) Þ ÔÖÞÝ Ù º½ Ò ÔÙÒ ØÝ (x;y) (x;z)º Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö Þ Û ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛÝ º Ó ÒÓ Ó ØÛ ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û (x,y) (x,z) ÔÓÞÓ Ø Þ ÞÑ Òº Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ø Ó ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò y i Û ÛÞ (x i,y i,z i ) Ò Ð Ý ØÓ ÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒÝ Þ Ó Ò Þ ÅÀÊ Þ ÖÓÞ Þ Ù ¾º Ó Ò Û Ô ÖÞ Ò y i ÔÓ ¹ Ø Ý ÖÓ º Ï ÛÞ ÔÙÒ ØÝ (x,y,z) Ó ØÙ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ó Ö ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Ò ØÔÙ Ó Ð ÛÞ Û (x i,y i ) R 2 ÞÒ Ð Þ ÓÒ ÞÓ Ø Ò Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ Ö Ù¹ Û Ô ÖÞ Ò x Ò ØÓÑ Ø Ð ÛÞ Û (y i,z i ) R 2 ÞÒ Ð Þ ÓÒ ÞÓ Ø Ò Þ Ù Ý Ñ ÅÀÊ ÓÖ Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒ Óµ Ö Ù Û Ô ÖÞ Ò zº ÇÞÒ Þ ØÓ Ð ÓÛÓÐÒ Û Ô ÖÞ Ò y ÑÓ Ò Ó ØÛÓÖÞÝ Û Ô ÖÞ Ò x ÓÖ Þ z Ð ÔÙÒ ØÙ (x,y,z) Ò Ð Ó Ó Ó Ö ÞÙ Û º Â Ð Û Ô ÖÞ Ò y = α y 0 + β y 1 α β ¼ ½ α + β = 1 ÛØ Ý Ð Þ Ý α ÓÖ Þ β ÞÓ Ø Ò Ù ÝØ Ó Þ Ù ÓÛ Ò Û Ó ÛÖÓØ¹ ÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ö Ò Ò Ó ÛÖÓØÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò M 1 = αm βm 1 2 ÔÓ Ù Ý Ó Ó Ð Þ Ò Û Ô ÖÞ Ò x ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ó ÛÖÓØÒ M 1 1 M 1 2 Þ Ù ÓÛ Ò Ð ÛÞ Û (x i,y i ) R 2 Û ÅÀÊ Þ ÖÓÞ Þ Ù ¾µ ÖÙ Ó ÛÖÓØÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò M 1 0 = αm βm 1 4 Ø ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÒÝ Ó ÛÝÞÒ Þ Ò Û Ô ÖÞ Ò z ÓÔ Ö ¹ ØÓÖÝ Ó ÛÖÓØÒ M 1 3 M 1 4 Þ Ù ÓÛ Ò Ð ÛÞ Û (y i,z i ) R 2 Û ÅÀÊ Þ ÖÓÞ¹ Þ Ù ¾µº ÊÝ ÙÒ º º Ï Ô ÖÞ Ò y = αy 0 +βy 1 º ÔÓÑÓ Û Ó ÛÖÓØÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ö Ò ÑÓ Ð Û Ø ÛÝÞÒ Þ Ò Û Ô ÖÞ ÒÝ x ÓÖ Þ zº º¾º¾ Å ØÓ ÅÀÊ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Þ ÔÓÑÓ ÔÓ Û Ò Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó Û ÔÖÞÝÔ Ù Ø Ó ÖÓ Ù ÖÙ Û Ô ¹ ÖÞ Ò ÛÞ Û Ó Ò ÛÞ Ý (x i,y i,z i ) R 3 ÔÓ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò y i º ÏÞ Ý Ù Ø ÐÓÒ Û ØÖ Ñ ÐÓ ÐÒÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x i z i ÓÖ Þ Û ÔÙÒ Ø Ð Ý Ñ ÞÝ ØÖ Ñ Ñ ÐÓ ÐÒÝÑ Ó Ò ÑÒ Ò ÔÙÒ Øµº Æ Û Ù Ñ ØÓ Ý ÒÝ

69 º¾º ËÌÇËÇÏ ÆÁ Å ÌÇ ÅÀÊ Ï ÈÊÇÂ ÃÌÇÏ ÆÁÍº º º Ø Þ Ö ÛÞ Û Ó ØÖÞ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Ò ÛÝ Ù Ó ØÛÓÖÞÓÒ Ö Ù ÔÙÒ ØÝ (x,y,z) Ó Ö ÞÙ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Óº ÃÖÓ ½º Ð ÛÞ Û (x i,y i ) R 2 Ó ØÛÓÖÞÓÒ Ö Ù ÔÙÒ ØÝ (x,y) R 2 Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ Þ ÖÓÞ Þ Ù ¾º ÃÖÓ ¾º Ð ÛÞ Û (y i,z i ) R 2 Ó ØÛÓÖÞÓÒ Ö Ù ÔÙÒ ØÝ (y,z) R 2 Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ Þ ÖÓÞ Þ Ù ¾º Ï Ô ÖÞ Ò y i ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Û ÖÓ Ù ¾ ÑÙ Þ Ý ÒØÝÞÒ Û ÖÓ Ù ½º ÃÖÓ º Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ ÔÙÒ Ø Û (x,y) R 2 ÓÖ Þ (y,z) R 2 ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÔÙÒ ØÝ (x,y,z) Ó Ö ÞÙ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Óº ÆÔº Ð (x,y) ¾º ½º¾µ (y,z) ½º¾ º µ ØÓ Ó Ó Ö ÞÙ Ò Ð Ý ÔÙÒ Ø (x,y,z) ¾º ½º¾ º µº ÈÖÞÝ º¾º Ò Ø Ô ÛÞ Û (x i,y i,z i ) R 3 i = 0, 1,..., 4 ½ ¾ µ µ µ ½¼µ ½¼ ½¾µº Ï ÖÓ Ù ½ Ð ÛÞ Û (x i,y i ) R 2 i = 0, 1,..., 4 ½ ¾µ µ µ µ ½¼µ Ó ØÛÓÖÞÓÒ ÔÙÒ ØÝ (x;y) ¾ µ µ µ µº Ï ÖÓ Ù ¾ Ð ÛÞ Û (y i,z i ) R 2 i = 0, 1,..., 4 ¾ µ µ µ ½¼µ ½¼ ½¾µ Ó ØÛÓÖÞÓÒ ÔÙÒ ØÝ Ý Þµ µ µ µ ½½µº Ï ÖÓ Ù ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÔÙÒ ØÝ (x;y;z) ¾ µ µ µ ½½µº ÊÝ ÙÒ º º ÊÓÞ Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ ÔÙÒ Ø Û (x;y;z) Þ ÔÖÞÝ Ù º¾ Ò ÔÙÒ ØÝ (x;y) (y;z)º ÍÛ ÛÙ ÖÓØÒ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÅÀÊ Ð ÛÞ Û (x i,y i ) R 2 ÓÖ Þ (y i,z i ) R 2 Ò ÞÛ Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÅÀÊ ÖÞ Ù O(N 2 ) Ò ØÓÔÒ ÓÑÔÖ ÔÖÞÝ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö Þ Û ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛÝ º Ó ÒÓ Ó ØÛ ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û (x,y) (x,z) ÔÓÞÓ Ø Þ ÞÑ Òº º ØÓ ÓÛ Ò Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ Û ÔÖÓ ØÓÛ Ò Ù ÑÔÐ Ò¹ Ø Û Ó ËÔÓ Ö ÛÙ ØÙ Þ Ù Ó ÐÙ Þ Ó Û ÞÝ Ø Ö Ò ÞØ Ø Ñ ÖÓÞÑ ¹ Ö Ñº ÌÓÑÓ Ö ÓÑÔÙØ ÖÓÛ Þ Ô ÛÒ Ò Û ÖÒ ÞÝ Ó Ö Þ Ó ÔÖÞ ÞÒ ÞØ ¹ Ò Ñ Ò Ø ØÓ Ö ÞÓ ÖÞ Þ Ó ÓÐ ÞÒÓ Ò ÌÃ ÞÓ Ø Ó ÞÖÓ¹ ÓÒ ÔÖÞ ÛÝÔ Ñº Æ Þ Þ Ó Þ ÔÓØÖÞ Ö ÓÒ ØÖÙ ÞØ ØÙ Ó Ò ÔÓ Ø Û Þ ÓÛ ÒÝ Ö Ñ ÒØ Ûº Ï ÛÞ Ò Ð Ý Þ ÞÒ ÞÝ ÔÙÒ ØÝ ÓÒØÖÓÐÒ ÛÞ Ýµ Ò ÔÓ Ø Û ÑÓ Ð Û Ø Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ Ó ÊÝ º º µº

70 ¼ ÊÇ Á º Å ÌÇ ÅÀÊ Ï ÈÊ ËÌÊ ÆÁ ÊÝ ÙÒ º º ÈÙÒ ØÝ ÓÒØÖÓÐÒ ÙÑ ÞÞÓÒ Ò Ó Þ ÔÓ Ó Þ Þ ØÖÓÒÝ ÒØ ÖÒ ØÓÛ ØØÔ»» Ö Ô º ÑÙº Ù» Ò»ÅÊÁºÔÔØµº ÓØÝ Þ ÓÛ Ñ ØÓ Ý Ö ÓÒ ØÖÙ Ó ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÒØ ÖÔÓÐ Ð Ò ÓÛ Û ÛÞ ÖÞÝÛ Ò Ø µ ÐÙ ÒØ ÖÔÓÐ ÔÐ Ò Ñ ½¾ º ÅÀÊ Þ Ô ÛÒ Ó Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò ÞØ ØÙ Ó Ø ØÝÛÒ Ó Ð Þ Ò ÓÛÓº Á ØÓØÒ ÖÓÐ Ó Ò Ó ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÓÒØÙÖ Û ÓÖ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÓÒØÙÖ Û Û Ù ÓÛ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ó Ó Ö ÞÙ Ö Ñ ÒØÙ ÐÙ Þ Ó Ó Ö ÞÙ ÊÝ º º º½½ º ÊÝ ÙÒ º º ÈÓ ÞÞ ÐÒ Ø ÔÝ Ó ØÛ ÖÞ Ò Ó Ò ÔÓ Ø Û ÓÒØÙÖ Ûº º º½ ÈÓ ÞÞ ÐÒ Ø ÔÝ Ó ØÛ ÖÞ Ò Ó Þ ÊÝ º º Æ Û Ù ÒÝ Ø Þ Ö ÓÒØÙÖ Û Ö ÔÖ Þ ÒØÓÛ ÒÝ Ó Ó Ö ÞÝ Ò ÖÒ º Ð Ó ÓÒØÙÖÙ Ò ÖÓÛ Ò Ø ÖÞÝÛ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Þ ÒÓÖÑ Ù Ð ÓÛ ÛÝ ¹ Þ Ò ÖÞÝÛ µ Ù ÙÛ Ò Û Þ Ð Ò Ó ÖÞÝÛ ÒØ ÖÔÓÐ µº Ï ØÝÑ ÑÓ¹ Ñ Ò ÑÓ Ð Û Ø Þ ØÓ ÓÛ Ò ÅÀÊ ÔÖÞÝ Ó ØÛ ÖÞ Ò Ù Ó Ó ÓÒ¹ ØÙÖÙº Æ ØÔÒ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÖÞÝÛ Ó ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ó Ó Ö ÞÙº Ï Ò Ù ÌÃ ÓØÖÞÝÑÙ ÔÖÞ ÖÓ ÐÙ Þ Ó ÓÖ ÒÙ ÒÓÛ Ò Û Ö ÛÒÝ Ó ØÔ º ÃÐÙÞÓÛÝÑ Þ Ò Ò Ñ Û Ö ÓÒ ØÖÙ Ó ÓÖ ÒÙ Ø Ó Ö Ð Ò

71 º º ËÌÇËÇÏ ÆÁ Å ÌÇ ÅÀÊ Ï ÈÊÇÂ ÃÌÇÏ ÆÁÍº º º ½ ÊÝ ÙÒ º º ÓÒØÙÖ Ûº ÃÓ ÞÞ ÓÛ ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Ò ÔÓ Ø Û ÞØ Ö Þ ØÙ Ó Ñ Ù ÊÝ ÙÒ º½¼º ÏÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ØÖÞÝ Þ ØÙ ÞØ Ö ÓÒØÙÖ Û Ó Ó ØÛÓÖÞ Ò Ö ¹ Ñ ÒØÙ ÐÙ Þ Ó º ÞØ ØÙ Ó ØÙ ÔÓÑ ÞÝ ÒÓÛ ÒÝÑ ÔÖÞ ÖÓ Ñ º ÔÖÞ Ö ØÖ ¹ ØÓÛ ÒÝ Ø Ó ÓÒØÙÖ Ô Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò ¾ Ó Ò Ò Ô ÞÞÝõÒ ØÓ Ò ÔÓ Ø Û ÔÙÒ Ø Û Ò Ð Ý Ó ÔÓ ÞÞ ÐÒÝ ÔÖÞ ÖÓ Û ÑÓ Ð Û Ø Þ ÔÓ¹ ÑÓ ÅÀÊ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÞØ ØÙ Ó ØÙ Û Ô ÞÞÝÞÒ ÓÖ Þ º Ï Ô ÖÞ Ò z i Ñ Ø Ý ÖÓ Û ÛÞ (x i,z i ) (y i,z i )º ÊÝ ÙÒ º½½º ÁÒØ ÖÔÓÐÓÛ ÒÝ Ö Ñ ÒØ ÓÒØÙÖÙ Û Ô ÞÞÝõÒ º Â Ð Ò ÛÞ Ý (x i,z i ) R 2 Û Ô ÖÞ Ò z i ÔÓ Ø Ý ÖÓ Û Û¹ Þ Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò x Ð Ó ÔÓÛ Ò Û Ô ÖÞ ÒÝ z Ó Ð ÞÓÒ ÞÓ Ø Ò Þ ÅÀÊ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒ Óº Â Ð Ò ÛÞ Ý (y i,z i ) R 2 Û Ô ÖÞ Ò z i ÔÓ Ø Ý ÖÓ Û ÛÞ Û Ô ÖÞ Ò y Ð Ó ÔÓÛ Ò Û Ô ¹ ÖÞ ÒÝ z Ó Ð ÞÓÒ ÞÓ Ø Ò Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÅÀÊ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊº

72 ¾ ÊÇ Á º Å ÌÇ ÅÀÊ Ï ÈÊ ËÌÊ ÆÁ ÊÝ ÙÒ º½¾º Ç Ö Þ ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ Þ ÔÓÑÓ ÓÒØÙÖ Û Ò Ò ÓÒÝ Û Ô ÞÞÝÞÒ Þ ÔÓ Ó Þ Þ ÁÒØ ÖÒ ØÙµº Ç ØÛ ÖÞ Ò ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Ó ÞØ ØÙ Ó ØÙ Ø ÔÖÞ Ñ ÓØ Ñ Ø Ò ÞÝ ¹ Ó ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÔÖÓØÓØÝÔ Û ÊÈ Ê Ô ÈÖÓØÓØÝÔ Ò µ ½ ½¼ ÓÒ ØÖÙÓÛ ¹ Ò Ò ÖÞ Þ ÊÌ Ê Ô ÌÓÓÐ Ò µ ¾½ º Å ØÓ Ý ÊÈ ÞÒ Ù ÓÖ Þ Þ Ö Þ Þ ¹ ØÓ ÓÛ Ò Û Ñ ÝÝÒ ÒÔº Û Þ Ò Ò Ù Ù ÓÛÝ ÑÔÐ ÒØ Û Ó ½ º ËÞÞ Ð¹ Ò Ø ÒÓÐÓ ÄÇÅ Ä Ñ Ò Ø Ç Ø Å ÒÙ ØÙÖ Ò µ ÛÝ Ò Û Û Þ Ó ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Û Ñ ÝÝÒ º ÌÖ ÝÝ Ò Ñ ØÓ Ý ÄÇÅ ÓÖÞÝ Ø Þ Û ÖØÙ ÐÒ Ó ÑÓ ÐÙ Þ Ù ÓÛ Ò Ó Û ÔÖÓ Ö Ñ ØÝÔÙ ÓÑÔÙØ Ö Òµ ½¼¼ º Â Ò Ø Ò Ò ÔÓÞÛ Ð Ò ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÒÝ Ñ ÝÞÒÝ Ó ÞÖ ÓÒ¹ ØÖÙÓÛ Ò Ó Ö ÞÙ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ó Ò Ö Ò ÓÑÔÙØ Ö Þ ÔÓÛÓ Ù Ò ÛÝ Ø ÖÞ Ó ÒÓ ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Ó Ö Ñ ÒØÙ ÐÙ Þ Ó º ÅÀÊ ÓÔ ÖØ Ò Ó ØÛ ÖÞ ¹ Ò Ù ÓÒØÙÖÙ ÛÙÛÝÑ ÖÓÛ Ó Ó Ö ÞÙ ÑÓ ÞÒ Ð õ Þ ØÓ ÓÛ Ò Û ÄÇÅ º ÊÝ ÙÒ º½ º Ç Ø ÛÝØÛÓÖÞÓÒÝ Û ÔÖÓ ÄÇÅ Þ ÔÓ Ó Þ Þ ÁÒØ ÖÒ ØÙµº Ç Ø Þ ÊÝ º º½ Ò Û Ð ÞÑ Ò ÓÒÝµ Ñ Ý Ý ÑÔÐ ÒØ Ñ Ö ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Ó ÐÙ Þ º Å ÝÝÒ ÔÓØÖÞ Ù Ó ÒÝ ØÝÛÒÝ Ñ ØÓ Û Û ÐÙ Þ ¹ Ò Ò ÒÔº Û ÔÖÓ ØÓÛ Ò Ù ÑÔÐ ÒØ Û Ó º Ì ÒÓÐÓ ÄÇÅ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ¹ ÓÑ ØÖ ÓÒØÙÖÙ ÅÀÊ ÛÝ Ý Ö ÞÓ Ó Ù Û Þ ØÓ ÓÛ Ò Ñ ÝÞÒÝ º

73 º º Æ ÄÁ ÅÇëÄÁÏÇá Á Ì ÀÆÁ Æ À ËÌÇËÇÏ ÅÀÊ º Ò Ð Þ ÑÓ Ð ÛÓ Ø Ò ÞÒÝ Þ ØÓ ÓÛ ÅÀÊ ÈÖÞ Ø Û ÓÒ Û ÖÓÞ Þ Ð ¾ ÖÓÞÛ Ò ÔÖÞÝ Ý Û ÞÙ Ò Ù ØÝÛÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÔÖÞÝ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ º ÏÝ ÐÓÛÝÑ Û Þ Ò Ô ÛÒÝ Ó Þ Ö Û Û Ø Ò Þ Ñ ØÓ Ø ÑÓ Ý Þ ÔÓÛÓ Þ Ò Ñ ÞÒ Ð õ Þ ØÓ ÓÛ Ò º Æ Ð Ý Ó Ò Þ Ô ÛÒÓ Û ÞÓ Ø ÒÓÐÓ Ø Ö ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÓÒØÙÖ ÓÑ ØÖ Ó ØÖ ØÓÖ ÖÙ Ù Ò ÖÞ Þ Ñº Òº ÛÝ Ö Û Ò ÛÝ Ò Ò ÛÝÔ Ð Ò ØÔº Ó ÒÓÛÓÞ ÒÝ Ø ÒÓÐÓ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Ý ÓÒØÙÖ Ó Ö ÞÙ Þ Ð ¹ ÞÝ ÑÓ Ò Ø Ò Ê Ô ÈÖÓØÓØÝÔ Ò ÞÞ ÐÒ Ñ ØÓ ÄÇÅ Ä Ñ Ò Ø Ç Ø Å ÒÙ ØÙÖ Ò µº Ö ÞÓ Þ ØÓ Þ Ó Þ Û ÛÞ ÔÓØÖÞ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÑ ØÖ ÓÒØÙÖÙ Ò ÔÓ Ø Û ØÒ Ó ÑÓ ÐÙº Ç ÐÒÝ Ñ Ø ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ó Ö ÞÙ Ó ØÝ Ð Û ÔÖÞ Ø Û ÊÝ º º½ º ÊÝ ÙÒ º½ º Ë Ñ Ø ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ó Ö ÞÙ Û Þ ØÓ ÓÛ Ò Ø Ò ÞÒÝ º Ï ÔÖÓ ÔÖ ÓÛ Ò Ø Ð Þ Ó Ö Þ ÞÓ Ø ÔÓ Þ ÐÓÒÝ Ò Ò ÓÛ Û Ö ØÝ Ý Þ ÓÐÓÖ Û ÛÝÔ Ò ÓÒÝ ÓÐÓÖ Ñ ÛÝÔ ÓÛÝÑº Æ Þ ÛÝ ÓÒÝ¹ Û Ò Ø Ø Þ Ñ Ò ÑÓ ÐÙ Ê Ò ÑÓ Ð Ô Ö ÔÝ ÒÝ ÀËÄ ÀÙ ¹Ë ØÙÖ Ø ÓÒ¹ Ä ØÒ µ Û Ò ØÔÙ Ý Þ Ð ÒÓ f(x,y) = R(x,y)G(x,y)B(x,y) f (x,y) = H(x,y)S(x,y)L(x,y) x 0,M 1, y 0,N 1

74 ÊÇ Á º Å ÌÇ ÅÀÊ Ï ÈÊ ËÌÊ ÆÁ f (0,0) f (0,1) f (0,N 1) f f (1,0) f (1,1) f (1,N 1) (x,y) = º º º º f (M 1,0) f (M 1,1) f (M 1,N 1) Þ M ÛÝ Ó Ó Ó Ö ÞÙ Û Ô Ð N Þ ÖÓ Ó Ó Ö ÞÙ Û Ô Ð º Ï Û ÞÓ Ý Ø Ñ Û Ö ÞÒÝ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ý Ó Ö ÞÝ Ö ØÖÓÛ ÑÓ Ð Û Ø Û ÛÞ ÛÝ Þ Ð Ò Ó ÔÓÛ Ò Ò Û ÀËÄ ÊÝ º º½ º ÊÝ ÙÒ º½ º ÏÝ Þ Ð Ò Ò Û Û Ñ ØÓ Ý ÀËÄº Ð ÔÓØÖÞ Ø Ò ÞÒÝ ÛÝ Ø ÖÞ Ò Þ ÔÓÞÓ Ø Û Ò Ò Ù Lº ÈÓ Ó Ö Ð Ò Ù ÓÐÒ Ó ÖÒ Ó ÔÖÓ Ù ÒÓ L min ÓÖ Þ L max ) ÓÖ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Þ Ð ÒÓ L min L(x,y) L max Ø Ò L(x,y) = 1 Ð L(x,y) = 0 ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÒÓÐ ØÝ Ó Ö Þ Ó ØÙ Þ Ø Ö Ó ÛÝ Þ ÐÓÒÝ ÞÓ Ø ÓÒØÙÖ ÊÝ º º½ º ÃÓ ÓÛÝ Ø Ô ØÓ Þ Ñ Ò ÔÓ Ø Ó Ö ÞÙ Ò ÔÓ Ø Û ØÓÖÓÛ ÔØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ý Ø ÑÝ» Åº Æ ØÝÑ Ø Ô ÑÓ Ð Û Ø Þ ØÓ ÓÛ Ò ÓÑ Û ÓÒ Ó Ð ÓÖÝØÑÙ ÅÀÊº Ó Ò Þ Ñ Ø Ñ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝÑ Ò ÊÝ º º½ Ó Ø ØÒ ÞÝÒ¹ ÒÓ Ø Ò ÖÓÛ Ò Ó Ù Æ Û Ý Ø Ñ Åº Æ ÊÝ º º½ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ ØÖ ¹ ØÓÖ ÖÙ Ù Ò ÖÞ Þ ÓÔÖ ÓÛ Ò Ð ÔÓÛÝ Þ Ó Ø ÐÙ Û Ý Ø Ñ ÐÔ ¹ Å ÓÖ Þ Û ÖØÙ ÐÒÝ ÑÓ Ð Ø ÐÙ ÔÓ Ó Ö º ÇÑ Û ÓÒÝ Ð ÓÖÝØÑ ÔÓ ØÔÓÛ Ò ÔÓÞÛ Ð Ò ÞÒ ÞÒ Ö Ò Þ Ù ÓÔÖ Ó¹ Û Ò Ø ÒÓÐÓ ÓÖ Þ Ò ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÓÒØÙÖ Û Ó Ð Þ Ó ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ò ¹ ÖÓÛ Ò Ó ÙÑ ÒØ Ø Ò ÞÒ º ÊÝ ÙÒ º½ º Ç Ö Þ Ó ØÙ ÓÖ Þ ÛÝ Þ ÐÓÒÝ ÓÒØÙÖº

75 º º Æ ÄÁ ÅÇëÄÁÏÇá Á Ì ÀÆÁ Æ À ËÌÇËÇÏ ÅÀÊ ÁÒÒÝÑ Ó Þ Ö Ñ Ø Ò Þ Ð ÓÖÝØÑ ÅÀÊ ÑÓ ÞÓ Ø Þ ØÓ ÓÛ ÒÝ ØÓ ÔÖÓ ØÓÛ Ò Ó ÛÖÓØÒ Ê Ú Ö Ò Ò Ö Ò µ Û ÔÓ Þ Ò Ù Þ Ø Ò Ñ Ê Ô ÈÖÓØÓØÝÔ Ò º ÈÖÓ ØÓÛ Ò Ó ÛÖÓØÒ Ø Ò ÓÛ Ò Ó ÔÖÓ ØÛÓÖÞ Ò ÓÔ ÔÓÔÖÞ Þ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò ÙÒ ÓÒ ÐÒ ÛÝÑ ÖÓÛ ØÒ Ó ÞÝÞÒ Ó Ó ØÙ Û ÐÙ ÙÞÝ ¹ Ò ÒÝ Ø Ò ÞÒÝ ÞÝÞÒÝ Ñ Ø Ö ÓÛÝ µ ÛÝÑ ÒÝ ÔÖÞ Þ ÔÖÓ¹ Ù ÒØ º Ï ÙÔÖÓ ÞÞ Ò Ù ÑÓ Ò ÔÓÛ Þ Ø ØÓ ÔÖÓ ØÛÓÖÞ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ÛÝÖÓ Ù ÔÓÔÖÞ Þ ÔÓÑ Ö Þ Û ÐÙ Ó Ö Ð Ò ÛÝÑ Ö Û ÓÖ Þ ØÓÐ Ö Ò Û ÝØÙ¹ Ý Ò ØÒ ÓÖÑ ÐÒ Ô Ý º Þ Ò Ø Û ÔÓÑ Ò Þ ¹ Û Ò ÓÛ ÒÝÑ Ý Ø Ñ Ñ Ð Ý Ü Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ ØÓÛ Ò Ó ÛÖÓØÒ Ó Ò ÞÝÛ Ò Ø ÓÖ Þ Þ Ó ÓÑÔÙØ ÖÓÛÓ Û ÔÓÑ Ò ÔÖÓ ØÓÛ Ò Ó ÛÖÓØÒ Ê ÓÑÔÙØ Ö Ê Ú Ö Ò Ò Ö Ò µº ÈÖÓ ØÓÛ Ò Ó ÛÖÓØÒ Ø ÒÓÛ Þ Ò Þ ÒØ Ö ÐÒÝ ÔÖÓ Û ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝ¹ Û ÒÝ Û Ò ÝÒ Ö ÔÖÓ Ù º Ï ÔÓ Þ Ò Ù Þ Ø Ò Ñ Ê Ô ÌÓÓÐ Ò ÓÖ Þ Ê Ô ÈÖÓØÓØÝÔ Ò Ø ÒÓÛ Þ Û Ò ÓÛ Ò Ò ÖÞ Þ Û Þ Ö ÔÓÔÖ ÛÝ Ó Ö Ò Þ Ù ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò Ó ÙÑ ÒØ Ó ÔÖÓ Ù ÒÓÛ Ó ÛÝÖÓ Ùº ÈÖÞ ØÛ ÖÞ Ò ÔÓÐ Ò Ò Ð Ô ÞÝÑ Ý ÖÓÛÝÑ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ù Þ Ô Û ÓÖ¹ Ñ ÔØÓÛ ÒÝÑ ÔÖÞ Þ Ý Ø ÑÝ Üº ÇÞÒ Þ ØÓ Þ Ò Ñ Ø Ò Ê Ø ÒØÝ ÓÛÓÐÒ Ò ÞÒ Ò Ö Û Þ ÐÙ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÑÓ ÐÙº Ï Û ØÔÒ Þ Þ Ò ÝÒ Ö Ò Ð Ý ÓÔÖÓÛ Þ ÓÔÖ ÓÛ ÒÝ ÑÓ Ð Ó ÔÓ Ø ÙÑÓ Ð ¹ Û Ð Þ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Û Ý Ø Ñ Ù Ý Ó ÓÔÖ ÓÛ Ò ÔÖÓ Û Ø ¹ ÒÓÐÓ ÞÒÝ ÛÝØÛ ÖÞÝ º ÔÙÒ ØÙ Û Þ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ò ÅÀÊ ÔÓ Ö Û ÞÝ Ø Ñ ØÓ ÊÈ Ò Ö Þ Û ØÒ Ø Ø Ò ÄÇÅ Ý Û ÛÓ Ñ Þ Ó Ò Ù ÓÔ ÖÙ ÓÒ Ò ÓÒØÙÖ Ó ØÙº ÈÓÐ Ò Ð Ò Ù ÛÝ Ò Ò Ù ÔÓ ÞÞ ÐÒÝ Û Ö ØÛ Ù ÓÛ Ò Ó ÑÓ ÐÙº Ó ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÔÖÓÑ Ð Ö º Å Ø Ö Ñ Ø Û ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ÒÓ ØÖÓÒ¹ Ò ÔÓ ÖÝØ Ð Ñ ÓÐ Ô Ô ÖÓÛ ÒÝÐÓÒÓÛ ÐÙ ÔÓÐ ØÖÓÛ ½ º Ë Ñ Ø Ø Ò ÄÇÅ ÔÖÞ Ø Û ÊÝ º º½ º Ï ÙÖÞ Þ Ò Û Ó Þ Ø Ò Ø ÖÝÑ Ù ÓÛ ÒÝ Ø ÑÓ Ðº ËØ Ó Ò Ó ÖÙ Ó ÓÐ ÔÓ ÛÝ ÓÒ Ò Ù Ò Ò Û Ö ØÛ º È Ô Ö ÔÓ Û ÒÝ Ø Þ ÖÓÐ ÞÛ Ò ÔÓ Ò Ñ Ó ÞÙ ÝØ ÔÓÛÝ Ò Ò µ Ö ÞØ Ò Û Ò ÖÙ ÖÓÐ ÞÛ Ò Ó ÓÖÒ Ñº áû Ó Ò Ð ÓÒ Û Ö ØÛ Ô Ô ÖÙ Ó ÛÝÖ ÛÒÙ Ø ÐÓÛÝ Û Ð º Æ ØÔÒ ÔÖÓÑ Ð Ö ÛÝ Ò ÓÒØÙÖÝ Ø ÐÙ Û Ù Þ ÛÒØÖÞÒ Ó Þ ÖÝ Ùº ÌÝÑ ÔÖÓÑ Ò Ñ Ø ÖÙ ÓÑÔÙØ Ö Ø ÖÝ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò ÑÓ ÐÙ ÓÔÖ ÓÛ Ò Û ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÔÓ ÞÞ ÐÒ Û Ö ØÛÝ Ù ÓÛ Ò Þ º ÖÙ Ó Ò Û Ö ØÛÝ Þ Û Ö ÞÛÝ Ð Ñ ÞÝ ¼ ¼¼ ¼ ¼ ÑÑº ÃÓÑ¹ ÔÙØ Ö Þ Ø ÑÙ Ó ÞÝØÓÛ ÛÞ ÑÒ Ó ÔÓ Ó Ò Û Ð Ó ÓÛ Ó ÓÖ Þ ØÓ Ù ÊÝ ÙÒ º½ º Ï ÞÙ Ð Þ Ó Ö Û Ý Ø Ñ ÐÔ Åº

76 ÊÇ Á º Å ÌÇ ÅÀÊ Ï ÈÊ ËÌÊ ÆÁ ÊÝ ÙÒ º½ º Ë Ñ Ø ÔÖÞ Ù ÔÖÓ Ù ØÛÓÖÞ Ò ÔÖÓØÓØÝÔÙ Ñ ØÓ ÄÇÅ ½ º ÖÓ ÓÞ Ó ÑÓ ÓÖÝ ÓÛ Ð Þ ÞØ Ø Ò ÒÝ ØÙ ÐÒ Û Ö ØÛº Þ ÑÓÒ ØÓÖÓÛ Ó ÞÓÒ ÑÙ Ó ÙÖÞ Þ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ø ÓÒØÖÓÐ Ò Ô Ö Ñ ¹ ØÖ Ñ ÔÖÓ Ù ÓÖ Þ Ò ÓÖÑ Ö ÞÒ Ó ÞØ ØÙ ÐÒ ÛÝ ÓÒÝÛ Ò Û Ö ØÛÝº Æ Ð ÓÒÝ Ô Ô Ö Û Ñ Þ ÔÖÞ Û Þ Ò Ø ÛÓÐÒ ÔÖÞ ØÖÞ ÔÓ ØÝ Ø Û Ö Ø Ó Ù ØÛ Ó Ô õò Þ Ù ÙÛ Ò º Ï ÔÖ Ý ÙÖÞ Þ Ò ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÔÖÓ ØÓÔ Ó ÒÒÝ ÐÓ Ð ÓÒ Ó Û Ö ØÛ Ñ Ô Ô ÖÙ ÐÙ ÒÒ Ó Ñ ¹ Ø Ö Ùº ÈÓ Ó Ó Ù Ó ØÓ Ù ÒÔº Þ ÔÓÑÓ ØÖÙÒÝ ÔÖÞÝ ØÔÙ Ó ÓÞÝ ÞÞ Ò Û Ó Þ Ð Ò ÔÓ ØÝ Û Ö Ø Þ ÒÝ Ó Ø º ÈÓÛ ÖÞ ¹ Ò Ø ÛÝ ÓÒ Ò Ó ÑÓ ÐÙ ÑÓ Ý Ô ÓÛ Ò ÞÐ ÓÛ Ò ÔÓÐ ÖÓÛ Ò ÓÖ Þ ÔÓ¹ Ñ ÐÓÛ Ò Û ÐÙ ÛÝ Ó Ý Ó Û ÐÓÖ Û Ø ØÝÞÒÝ º Þ ÛÝ ÓÒ Ò Ø Ø ¹ ÒÓÐÓ ÐÒ Ò Ó ÛÝ Þ Ó Ö Ó Ù ØÛ ÔÖÓ Ø ÒØÓÑ ÔÖ ¹ ÓÛÒ ÓÑ Ñ Ö Ø Ò Ù Ó Ò Û ÐÓÖ Û Ø ØÝÞÒÝ º ÅÓ Ð ÛÝ ÓÒ Ò Ñ ØÓ ÄÇÅ Þ ØÓ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò Û ÒÒÝ Ñ ØÓ ÛÝ ÓÒÝÛ Ò Þ ÒÔº Û Ñ ØÓ Þ ØÖ ÓÒ Ó ÑÓ ÐÙ º ÈÖÞ Ø Û Ò Ò Ö Ò ÓÑÔÙØ Ö ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ó Ó Ö ÞÙ Ø Û ÒÝÑ Þ ¹ Ò Ò Ñ Û Þ Þ Ò Ø Ò Û ÞÞ ÐÒÓ Û Ö ÓÑÔÙØ ÖÓÛ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ù Ó Ö ÞÙ ½ ¼ ½ º ÅÀÊ Û ÑÓ Ý ØÓ ÓÛ Ò Û ØÝ Þ Þ¹ Ò Û Ø ÖÝ Ó Ø ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛÝ ÓÔ ÒÝ Ø Þ ÓÖ Ñ ÛÞ Û (x i,y i,z i ) R 3 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò x i ÐÙ y i,º Å ØÓ Ý Þ ÔÖÓÔÓÒÓÛ Ò Û ØÝÑ ÖÓÞ Þ Ð ÔÓ ÞÙ ÑÓ Ð ÛÓ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÛÙÛÝÑ ÖÓÛ ÅÀÊ Þ ÖÓÞ Þ Ù ¾ Û Ö ÓÒ ØÖÙ¹ Ó Ö ÞÙ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Óº Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÖÞ ÓÑÔÖ ÓÖ Þ Ó ¹ ÒÓ Û ÔÖÞÝÔ Ù ¾ Ø Ñ º

77 ÊÓÞ Þ Å ØÓ Ý ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Ñ ØÓ ÅÀÊ º½ Ù ÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Ò ÔÓ Ø Û ØÖÞ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ï ÖÓÞ Þ ¾ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò ¾º µ Ù ÓÛ ÒÝ Ø Ò ÔÓ Ø Û Û ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ Û ÇÀÊº ÅÀÊ ÑÓ Ø ÓÔ Ö Ò ÓÔ Ö ØÓÖÞ Ù Ö Ò ÓÒÝÑ Þ Ù ÓÛ ÒÝÑ Þ Û Þ ÐÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÒÔº ØÖÞ µº Þ Ø ÑÙ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ø Û ¹ Þ ÐÓ Ò ÓÖÑ ÔÖÞÝ Ó ØÛ ÖÞ Ò Ù ÔÓ ÞÞ ÐÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ó Ö ÞÙ Ò Ó ¹ Ò Þ Ö ÓÒ ØÖÙ ÔÓ ÝÒÞ Ó ÔÙÒ ØÙ Þ ÔÓÑÓ Ð Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ñ ÛÔ ÝÛ Û Ò ÓÖÑ Þ Û Þ Ð Þ Ý ÛÞ Û Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù Û ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ Û ÇÀÊ Ò Ó ÛÝÑ ÖÙº Ã Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÑÓ Ò ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ó Ù ÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Û ÝØÙ Ý ÛÝ ØÔÙ Þ ÝØ Ñ Ó ÛÞ Û Ó Ù ÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Û Û Þ Ó ÛÝ¹ Ñ ÖÙº Æ ÔÖÞÝ Ð Ò Ø Þ Ñ ÐÙ Ó Ñ ÛÞ Û ØÓ Ø ØÓ ÐÓ Ò ÛÝ Ø ÖÞ Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Û ÞÝ Ø ÔÙÒ Ø Û Ó Ö ÞÙ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓ¹ Ö Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4º Æ Ð Ý Û ÛÞ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ò Û ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 ÛØ Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò ÓÖÞÝ Ø Þ ÞØ Ö ÓÐ ÒÝ ÛÞ Ûµ ÐÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ Þ Ù ÓÛ ÒÝ ÒÔº Ò ØÖÞ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 ÛØ Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ ÓÖÞÝ Ø Þ Þ Ù ÛÞ Ûµº Â Ð Ð Þ ÛÞ Û Ø ÑÒ Þ Ó ÑÒ ØÙ ØÓ Ø ØÓ ÐÓ Ò ÛÝ Ø ÖÞ Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Û ÞÝ Ø ÔÙÒ Ø Û Ó Ö ÞÙ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8º Æ Ð Ý Û ÛÞ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ò Û ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 ÛØ Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò ÓÖÞÝ Ø Þ Ó Ñ Ù ÓÐ ÒÝ ÛÞ Ûµ ÐÙ ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ Þ Ù ÓÛ ÒÝ ÒÔº Ò ØÖÞ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 ÛØ Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ ÓÖÞÝ Ø Þ ÛÙÒ ØÙ ÛÞ Ûµº ÈÖÞÝ Ù ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Ò ÔÓ Ø Û ØÖÞ ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 Ò Ø Ô ÛÒ ÐÓ Ó Ò ÑÒ Û Ò µ ÛÞ Û x i,y i ) i = 0,1... n ÓÖ Þ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i ÛÝÒÓ x 1 x 0 = x 2 x 1 =... = x i+1 x i = hº Æ ÓÔ Ö ØÓÖ H 0 Ø Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ð ÛÞ Û Ó Ö ÛÒÓÓ Ð Ý Þ ÖÓ Ñ 4hµ Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x 0 = a, x 3 = a + 4h, x 6 = a + 8h, x 9 = a + 12h ÓÔ Ö ØÓÖ H 1 Ð ÛÞ Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x 1 = b, x 4 = b+4h, x 7 = b+8h, x 10 = b+12h

78 ÊÇ Á º Å ÌÇ Ã ÃÇÆËÌÊÍÇÏ ÆÁ Å ÌÇ ÅÀÊ ÓÔ Ö ØÓÖ H 2 Ð ÛÞ Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x 2 = c, x 5 = c + 4h, x 8 = c + 8h, x 11 = c + 12h Ð ÛÞ Û Ó Ö ÛÒÓÓ Ð Ý Û Ô ÖÞ ÒÝ y i Ó Ð Þ Ò Ò ÐÓ ÞÒ µº ËÞÙ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ s, s + 4h, s + 8h, s + 12hº Ó Ò s [a;b]º ÊÝ ÙÒ º½º ÈÓ Ó Ò ÛÞ Û ÔÓÞ Ø ÓÛÝ Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò s [a;b] ÇÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H Ø ÔÓ Ø H = α H 0 + β H 1 + γ H 2, º½µ Þ ( ) k + h 2 α =, β = 2h α + β + γ = 1, m(k + h) ( m ) 2 2h 2, γ =, 2h º¾µ Ó Ð m + k = h, b a = c b = h. º¾ µ ÍÞ Ò Ò ÛÞÓÖÙ º½µ ÔÖÞÝ Þ Ó Ò º¾µ º¾ µ Ø ÓÞÝÛ Ø º ÁÒÒ ÞÒ Ù ÔÖÞÝ ÛÞÓÖÞ º µ Ø ÖÝ Ø ÔÖÞÝÔ Ñ Ó ÐÒ ÞÝÑº ÍÛ ÈÖÞÝÔ ÞÞ ÐÒ º Ä Þ Ý α,β,γ Ó ÔÓÛ ÔÓ Ó Ò Ù Ð Þ Ý s Û ÔÖÞ Þ Ð [a;c]º Â Ð ÔÓÒ ØÓ m = 0 ØÓ s = a ÔÙÒ Ø Ö ÒÝµ k = h ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H = H 0 Ò ØÓÑ Ø Ð k = 0 ØÓ s = b ÔÙÒ Ø ÖÓ ÓÛÝµ m = h H = 1 4 H H H 2 = 1 2 (H 1 + H 0+H 2 2 )º ÖÙ ØÖÓÒÝ ÔÙÒ Ø b = (a + c)/2 ÞÝÐ ÔÙÒ ØÓÛ s = b Ó ÔÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ H 0+H 2 2 ÓÖ Þ ÔÙÒ ØÓÛ s = b Ó ÔÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ H 1 º ÇÞÒ Þ ØÓ ÓÔ Ö ØÓÖ H 0+H 2 2 ÑÓ Ò ÙØÓ Ñ Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ H 1 º ÞÝÐ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H Ð ÔÙÒ ØÙ s = b Û Ù ÛÞÓÖÙ º½µ ÛÝÒÓ H 1 º Â Ð s [b;c] ØÓ ÝØÙ Ø Ò ØÔÙ ÊÝ ÙÒ º¾º ÈÓ Ó Ò ÛÞ Û ÔÓÞ Ø ÓÛÝ Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò s [b;c] ÇÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H Ø Ø ÔÓ Ø º½µ Þ Û ÖÙÒ Ñ α = ( ) k 2 k(m + h), β = 2h 2h 2, γ = α + β + γ = 1, ( ) m + h 2, 2h º¾ µ Ó Ð Ñ Ñ º¾ µº

79 º½º Æ ÈÇ ËÌ ÏÁ ÌÊ À ÇÈ Ê ÌÇÊ Ï ÇÀÊ ÍÞ Ò Ò Ð Ø Ó ÔÖÞÝÔ Ù ÛÝÒ Þ ÛÞÓÖÙ º µ Ø ÖÝ Ø ÔÖÞÝÔ Ñ Ó ÐÒ ÞÝÑº ÍÛ ÈÖÞÝÔ ÞÞ ÐÒ º Ä Þ Ý α,β,γ Ó ÔÓÛ ÔÓ Ó Ò Ù Ð Þ Ý s Û ÔÖÞ Þ Ð [a;c]º ÈÓÒ ØÓ Ð k = 0 ØÓ s = c ÔÙÒ Ø Ö ÒÝµ m = h ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H = H 2 Ò ØÓÑ Ø Ð m = 0 ØÓ s = b ÔÙÒ Ø ÖÓ ÓÛÝµ k = h H = 1 4 H H H 2 = 1 2 (H 1 + H 0+H 2 2 )º ËÞÙ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ s,s + 4h,s + 8h,s + 12h Ó Ð Þ Ò Ò ØÔÙ Ó [ ] T [ ] T ys y s+4h y s+8h y s+12h = H s s + 4h s + 8h s + 12h. ÈÖÞÝ Ù ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Ò ÔÓ Ø Û ØÖÞ ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 Ò Ø Ô ÛÒ ÐÓ Ó Ò ÑÒ Þ µ ÛÞ Û (x i,y i ) i = 0,1,...,n ÓÖ Þ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i ÛÝÒÓ x 1 x 0 = x 2 x 1 =... = x i+1 x i = hº Æ ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ H 0 Ø Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ð ÛÞ Û Ó Ö ÛÒÓÓ Ð Ý Þ ÖÓ Ñ 4h) Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x 0 = a, x 3 = a+4h ÓÔ Ö ØÓÖ H 1 Ð ÛÞ Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ¹ ÒÝ x 1 = b, x 4 = b + 4h ÓÔ Ö ØÓÖ H 2 Ð ÛÞ Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x 2 = c, x 5 = c + 4h Ð ÛÞ Û Ó Ö ÛÒÓÓ Ð Ý Û Ô ÖÞ ÒÝ y i Ó Ð Þ Ò Ò ÐÓ ÞÒ µº ËÞÙ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ s,s + 4hº Ó Ò s a;b ÊÝ º º½µº Ï ÛÞ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H Ø ÔÓ Ø º½µ Þ Û ÖÙÒ Ñ º¾µº Â Ð s [b;c] ÊÝ º º¾µ ÛØ Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H Ø Ø Þ ÔÓ Ø º½µ Þ Û ÖÙÒ Ñ º¾ µº ËÞÙ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ s,s + 4h Ó Ð Þ Ò Ò ØÔÙ Ó y s y s+4h T = H [ s s + 4h ] T º ÈÖÞÝ Ù ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Ò ÔÓ Ø Û ØÖÞ ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8 Ò Ø Ô ÛÒ ÐÓ Ó Ò ÑÒ Û Þ ÞØ ÖÝµ ÛÞ Û (x i,y i ) i = 0,1,...,n ÓÖ Þ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i ÛÝÒÓ x 1 x 0 = x 2 x 1 =... = x i+1 x i = hº Æ ÓÔ Ö ØÓÖ H 0 Ø Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ð ÛÞ Û Ó Ö ÛÒÓÓ Ð Ý Þ ÖÓ Ñ 4hµ Ô Ö¹ Û ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x 0 = a,x 3,x 6,x 9,x 12,x 15,x 18,x 21 ÓÔ Ö ØÓÖ H 1 Ð ÛÞ Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x 1 = b,x 4,x 7,x 10,x 13,x 16,x 19,x 22 ÓÔ Ö ØÓÖ H 2 Ð ÛÞ Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x 2 = c,x 5,x 8,x 11,x 14,x 17,x 20,x 23 Ð ÛÞ Û Ó Ö ÛÒÓÓ Ð Ý Û Ô ÖÞ ÒÝ y i Ó Ð Þ Ò Ò ÐÓ ÞÒ µº ËÞÙ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ s,s + 4h,s + 8h,s + 12h,s + 16h,s + 20h,s + 24h,s + 28hº Ó Ò s [a;b] ÊÝ º º½µº ÏØ Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H Ø ÔÓ Ø º½µ Þ Û ÖÙÒ Ñ º¾µº Â Ð s [b;c] ÊÝ º º¾µ Û ÛÞ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H Ø Ø ÔÓ Ø º½µ Þ Û ÖÙÒ Ñ º¾ µº ËÞÙ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ s,s + 4h, s + 8h,s + 12h,s + 16h,s + 20h,s + 24h,s + 28h Ó Ð Þ Ò Ò ØÔÙ Ó [ ys y s+4h y s+8h y s+12h y s+16h y s+20h y s+24h y s+28h ] T = H [s s + 4h s + 8h s + 12h s + 16h s + 20h s + 24h s + 28h ] T

80 ¼ ÊÇ Á º Å ÌÇ Ã ÃÇÆËÌÊÍÇÏ ÆÁ Å ÌÇ ÅÀÊ ÈÖÞÝ Ó Ð Þ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Þ Ù ÓÛ Ò Ó Ò ÔÓ Ø Û ØÖÞ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2º Ò Ò ØÔÙ ÛÞ Ý ÓÑ¹ ÔÖ (x i,y i ) i = 0,1,...,15 ÓÖ Þ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i ÛÝÒÓ h : x 1 x 0 = x 2 x 1 = h = 0.5º x i ½ ½º ¾ ¾º º º º º º y i ¾ ¾ ½ ¾ ½ ½ ¼ ¼ ¾ ÊÝ ÙÒ º º ÏÞ Ý ÓÑÔÖ (x i,y i ) ÓÖ Þ ÛÝ Ö ÙÒ ÒØ ÖÔÓÐÓÛ Ò Ð ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ (1;8) (3;7) ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ H 0 [ ] H 0 = Ð ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ (1.5;6) (3.5;4.2) ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ H 1 [ ] H 1 = Ð ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ (2;5.5) (4;2) ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ H 2 [ ] H 2 = Ç Ð Þ Ò Ð Ö ÒÝ Û Ð Ó s [1;2] ÔÖÞ Ò ØÔÙ Ó s = 1.3 H = [ ] , H [ ] 1.3 = 3.3 [ ] ; s = 1.75 H = [ ] , H [ ] 1.75 = 3.75 [ ] ;

81 º½º Æ ÈÇ ËÌ ÏÁ ÇÏÇÄÆ Â ÁÄÇá Á ÇÈ Ê ÌÇÊ Ï ÇÀÊ ½ s = 1.9 s = 1.15 s = 1.35 H = H = H = [ ] , H [ ] , H [ ] , H [ ] 1.9 = 3.9 [ ] 1.15 = 3.15 [ ] 1.35 = 3.35 [ ] ; [ ] ; [ ] Þ Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ ÔÖÞ Þ Û [1;2] [3;4] Ò Ò ÓÒÓ Ò ÛÝ Ö ÊÝ ÙÒ º º Ö ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÔÙÒ ØÝ Þ Ö ÐÓÒ µ ÙÑ ÞÞÓÒÓ Ò ÛÝ Ö Ó Ó ÛÞ Û ÏÒ Ó Ó Ò Ð ÔÓÞ Ø ÓÛÝ ÛÞ Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x 0,x 1,...,x L 1 Ø ÝÑ ÖÓ Ù h Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ø L ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ó ÔÓÛ Ò Ó H 0,H 1,...,H L 1. Ï ÛÞ Û ÐÙ Ó Ð Þ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò s [x 0 ;x L 1 ] ÓÖ Þ ÓÐ ÒÝ Þ ÖÓ Ñ 2(L 1) h Ò Ð Ý ÛÝÞÒ ÞÝ Û Ô ÞÝÒÒ s i Ø L 1 i=o s i = 1º Ï Ô ÞÝÒÒ s i ÙÞ Ð Ò ÓÒ Ó ÔÓ Ó Ò ÔÙÒ ØÙ s Û ÔÖÞ Þ Ð [x 0 ;x L 1 ] ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H = L 1 i=o s i H i º Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò Ó ÛÖÓØÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ Ö ÛÒ L 1 H 1 = s i Hi 1. i=o º¾ Ù ÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Ò ÔÓ Ø Û ÓÛÓÐ¹ Ò ÐÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ï ÖÓÞ Þ Ð º½ Ó Ò [a;c] ÔÓ Þ ÐÓÒÓ Ò ØÖÞÝ Þ ÊÝ º º½ º¾µ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ Þ Ù ÓÛ ÒÓ Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ ÛÝÔÙ µ ØÖÞ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ

82 ¾ ÊÇ Á º Å ÌÇ Ã ÃÇÆËÌÊÍÇÏ ÆÁ Å ÌÇ ÅÀÊ Ó Û Ô ÞÝÒÒ α,β,γ ÛÞÓÖÝ º½µ º¾µº Æ ØÓÑ Ø Ó Ù ÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö ¹ Ò ÓÒ Ó Ò ÔÓ Ø Û ÓÛÓÐÒ Ð Þ Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ñ Û ÛÒ Ó Ó Þ Ý ÖÓÞ Þ º½º ÈÖÞÝ ØÓ Þ Ó Ò Ø Û ÛÒ Ó Ù ÞÙ Ò Û Ô ÞÝÒÒ s i º ÓÛÓÐÒÝ ÔÙÒ Ø s Ð Ý Û ÔÖÞ Þ Ð [x 0 ;x L 1 ] ÊÝ ÙÒ º º ÈÓ Ó Ò ÓÛÓÐÒ Ó ÔÙÒ ØÙ Û ÔÖÞ Þ Ð [x 0 ;x L 1 ] ÈÙÒ Ø s Þ Ð ÔÖÞ Þ [x 0 ;x L 1 ] Ò Û Þ Û Ò ØÔÙ Ý ÔÖÓÔÓÖ ÒÓÛ ÞÒ Þ Ò Û Ô ÞÝÒÒ Û α,βµ α = x L 1 s (L 1)h, β = s x 0 (L 1)h, α + β = 1. º µ Ï Ô ÞÝÒÒ s i Ó ÔÓÛ ÛÞ ÓÑ x i Ð i = 0,1,...,L 1 ÛÝÞÒ ÞÓÒ Û ÔÓ Ò ØÔÙ Ý Ð Ô Ö Ñ ØÖ Û α,β º µ ( ) L 1 s i = α L 1 i β i, º µ i Þ ( L 1) i Ø ÝÑ ÓÐ Ñ Æ ÛØÓÒ º Ï ÛÞ L 1 i=o s i = 1 º µ ÔÓÒ Û L 1 ( ) L 1 α L 1 i β i = (α + β) L 1 = 1 i i=0 Ð Û Ô ÞÝÒÒ Û α β º µº ÇÞÒ Þ ØÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H Ö ÛÒ ÍÞ Ò Ò ÛÞÓÖÙ º µ ÅÓ Ò Þ Ô ÊÝ º º µ L 1 ( ) L 1 H = α L 1 i β i H i. º µ i i=0 L 1 ( ) L 1 s = α L 1 i β i x i i i=0 Ð α β º µº Æ h ÓÞÒ Þ Ø Ý ÖÓ Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÛÞ Û h = x 1 x 0 = x 2 x 1 =... = x L 1 x L 2 º Â Ð H i Ð i = 0,1,...,L 1 Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Þ Ù ÓÛ ÒÝÑ Ð Ô ÖÛ Þ Ó ÛÞ Ó Û Ô ÖÞ Ò x i ÓÐ ÒÝ ÛÞ Û Þ ÖÓ Ñ 2(L 1)h ØÓ ÓÐÙÑÒÝ Ñ ÖÞÝ H i Ø ÒÓÛ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Û ØÓÖÝ ÞÓÛ Ð ØÝ ÛÞ Û Ù Ý Ó Ù ÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ H i µº Â Ð L 1 ( ) L 1 s = α L 1 i β i x i, i i=0

83 º¾º Æ ÈÇ ËÌ ÏÁ ÇÏÇÄÆ Â ÁÄÇá Á ÇÈ Ê ÌÇÊ Ï ÇÀÊ ØÓ Ð Û ØÓÖ Û ÞÓÛÝ Þ Ó Þ Ø Ñ ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ L 1 ( ) L 1 α L 1 i β i H i. i i=0 ÇÞÒ Þ ØÓ ÔÙÒ ØÓÛ s ÓÐ ÒÝÑ Þ ÖÓ Ñ 2(L 1)h Ó ÔÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ L 1 ( ) L 1 H = α L 1 i β i H i. i i=0 Æ f ÓÞÒ Þ Ð Ò ÓÛ ÔÖÞ ÞØ Ò ÔÖÞ Þ Ù [x 0 ;x L 1 ] Û Þ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ð Ô ÖÛ Þ Ó ÛÞ Ó Û Ô ÖÞ Ò Þ ÔÖÞ Þ Ù [x 0 ;x L 1 ] ÓÐ ¹ ÒÝ ÛÞ Û Þ ÖÓ Ñ Û Ô ÖÞ Ò 2(L 1)h ÓÞÒ ÞÓÒÝ ÀÊ x 0 ;x L 1 )º f : [x 0 ;x L 1 ] HR(x 0 ;x L 1 ) Ó Ò ÔÖÞ ÞØ Ò f Ô Ò Û ÖÙÒ f(x i ) = H i Ð i = 0,1,...,L 1º Û ÒÓ Ð Ò ÓÛÓ L 1 ( ) L 1 L 1 ( ) L 1 f(s) = f( α L 1 i β i x i ) = α L 1 i β i f(x i ) i i i=0 i=0 L 1 ( ) L 1 = α L 1 i β i H i. º µ i ÈÖÞ ÞØ Ò f ÑÓ Ò Þ Ù ÓÛ Ò ØÔÙ Ó L 1 ( ) L 1 s α L 1 i β i H i. i i=0 ÍÛ ÈÖÞ ÞØ Ò Ð Ò ÓÛ f Ø ÙÒ ÛÞ ÑÒ ÒÓÞÒ ÞÒ ÞÝÐ ÑÙ ÔÙÒ ØÓÛ ÔÖÞ Þ Ù [x 0 ;x L 1 ] Ó ÔÓÛ Ó Ò Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Þ ÓÖÙ HR(x 0 ;x L 1 )º Å ØÓ ÅÀÊ Ó ØÛÓÖÞ Ò Ö Ù Ý ÔÙÒ Ø Û ÖÞÝÛ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ ¹ Ø Ò Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Þ Ù ÓÛ Ò Ó Ò ÔÓ Ø Û ÓÛÓÐÒ ÐÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ó Ò Ò Û Ù Ò ÔÙÒ ØÝ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ Û R 2 ÓÔ Ù ÖÞÝÛ ÛÝ Ö Ò ÔÖÞ Þ Ô ÖØ µ ØÖ Ñ ÐÓ ÐÒ Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÓÖ Þ ÔÙÒ ØÝ ÞÒ Ù ÔÓÑ ÞÝ ØÖ Ñ Ñ Ó Ò ÑÒ Òµº Æ ÛÝ Ù Ó Ð ÞÓÒ Ö Ù Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ý Ò ÖÞÝÛ Ò ÔÓ Ø Û ÛÝÞÒ ÞÓÒÝ ÔÙÒ Ø Û ÑÓ Ð Û Ø Ó ØÛÓÖÞ Ò ÖÞÝÛ º ÃÖÓ ½ Í Ø Ð Ò ÛÝÑ ÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ N = 2,4,8 ÓÖ Þ ÐÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û Lº ÏÝ Ö ÛÞ Û ÔÓÞ Ø ÓÛÝ (x i ;y i ) R 2 Ð i = 0,1,...,L 1 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù h R Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÓÖ Þ ÓÐ ÒÝ ÛÞ Û Þ ÖÓ Ñ 2(L 1)h x 0 + 2(L 1)h,...,x 0 + 2(N 1)(L 1)h,x 1 + 2(L 1)h,..., x 1 + 2(N 1)(L 1)h,...,x L 1 + 2(L 1)h,...,x L 1 + 2(N 1)(L 1)h. i=0

84 ÊÇ Á º Å ÌÇ Ã ÃÇÆËÌÊÍÇÏ ÆÁ Å ÌÇ ÅÀÊ ÏÞ Ñ ØÖ Ñ ÐÓ ÐÒ Û Ô ÖÞ Ò ÓÖ Þ ÔÙÒ ØÝ ÞÒ Ù ÔÓÑ ÞÝ Ò Ñ Ó Ò ÑÒ Òµº ÃÖÓ ¾ Ù ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û H i ÛÝÑ ÖÙ N = 2,4,8µ Ð i = 0,1...,L 1 ÓÔ Ö ØÓÖ H i Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ø Þ ÛÞ Û (x k ;y k ) Ó ÖÓ Ù Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò 2(L 1)h Ð k = i,l+i,2l+i,...,(n 1)L+iº Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÛÞ Û Ó Ö ÛÒÓÓ Ð Ý ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ Ò Ð Ý ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ó ÛÖÓØÒ Ó H i ÛÞÓÖÝ ¾º µ ¾º½¼µ ¾º½½µº ÃÖÓ ÏÝ Ö Ð Þ Ý s [x 0 ;x L 1 ] Ð Ø Ö ÞÓ Ø Ò ÛÝÞÒ ÞÓÒ Ö Ù Û Ô ÖÞ Ò º Ð Ð Þ Ý c Ò Ð Ý Ù Ø Ð Ô Ö Ñ ØÖÝ α,β º µº ÃÖÓ Ù ÓÛ ÒÝ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ L 1 ( ) L 1 H = α L 1 i β i H i, i i=0 ÐÙ Ó ÛÖÓØÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ ÃÖÓ Ç Ð Þ L 1 ( ) L 1 H 1 = α L 1 i β i Hi 1. i i=0 Ð Y (S) = H S S = [s,s + 2(L 1)h,...,s + 2(N 1)(L 1)h] T Û ÐÙ ÛÝÞÒ Þ Ò Ö Ù Ý Û Ô ÖÞ ÒÝ Ö ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ ÔÙÒ Ø Û Þ ÓÖ Þ Y (S) = [ y s,y s+2(l 1)h,...,y s+2(n 1)(L 1)h ] T y s+jh Ð j = 0,2(L 1),...,2(N 1)(L 1) Ø Ó Ð ÞÓÒ ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò Ð Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò s + j hº Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò Ó Ð Þ Þ ÓÖ Þ X(S) = H 1 S, X(S) = [ x s,x s+2(l 1)h,...,x s+2(n 1)(L 1)h ] T x s+j h Ð j = 0,2(L 1),...,2(N 1)(L 1)

85 º¾º Æ ÈÇ ËÌ ÏÁ ÇÏÇÄÆ Â ÁÄÇá Á ÇÈ Ê ÌÇÊ Ï ÇÀÊ Ø ÛÝÞÒ ÞÓÒ Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò Ð ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò s + j hº ÍÛ ÁÐÓ ÛÞ Û Û ÅÀÊ ÙÞ Ð Ò ÓÒ Ø Ó ÐÓ ØÖ Ñ Û ÐÓ ÐÒÝ Ò ÖÞÝ¹ Û º Â Ð ÔÙÒ ØÝ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ ÔÓ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i ØÓ ¹ ØÖ ÑÙÑ ÐÓ ÐÒ ÓØÝÞÝ Û Ô ÖÞ Ò y i Ò ØÓÑ Ø Ð ÔÙÒ ØÝ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ ÔÓ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò y i ØÓ ØÖ ÑÙÑ ÐÓ ÐÒ ÖÓÞÔ ØÖÝÛ Ò Ø ÛÞ Ð¹ Ñ Û Ô ÖÞ Ò x i º ÁÑ Û ÛÝ Ö ÖÞÝÛ ÔÓ ØÖ Ñ Û ÐÓ ÐÒÝ ØÝÑ Û Ò Ð Ý Ó Ö Ð ÛÞ Û ØÝÑ ÓÖ ÞÝ Ø ØÓÔ ÓÑÔÖ º Ï ÒÓ º½ Å ØÓ ÅÀÊ Ó ØÛÓÖÞ Ò Ö Ù Ý ÔÙÒ Ø Û ÖÞÝÛ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Þ Ù ÓÛ Ò Ó Ò ÔÓ Ø Û ÓÛÓÐÒ ÐÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÔÓ Ø Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÖÞ Ù O(N 2 )º ÍÞ Ò Ò Ù ÓÛ Ò Û Þ ÐÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Û ÖÓ Ù ¾ ÛÝ ÓÖÞÝ ¹ Ø Ò Ó ÓÒ ØÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Û ÖÓ Ù Ò ÞÛ Þ Þ Ó ÓÒÓ ÅÀÊ Û ÔÓÖ ÛÒ Ò Ù Þ Û Ö Û ÖÓÞ Þ Ð ¾º ÈÖÞÝ Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ù Ö Ò ÓÒÝ Û ÛÞÓÖÙ º µ ½º Æ L = 3 Û ÖÓÞ Þ Ð º½µº Ï ÛÞ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H ÛÝÒÓ H = α 2 H 0 + 2αβ H 1 + β 2 H 2 Ð Ó ÔÓÛ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Û α,β Þ ÛÞÓÖÙ º µº Ó º½µº Â Ø ØÓ ÛÞ Ö ÒØÝÞÒÝ ¾º Æ L = 4º Ï ÛÞ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H ÛÝÒÓ H = α 3 H 0 + 3α 2 β H 1 + 3αβ 2 H 2 + β 3 H 3. º Æ L = 5º Ï ÛÞ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H ÛÝÒÓ H = α 4 H 0 + 4α 3 β H 1 + 6α 2 β 2 H 2 + 4αβ 3 H 3 + β 4 H 4. Å ÞÒ Ð Þ ÓÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H ÛÝÑ ÖÙ N N N = 2,4,8µ ÑÓ Ò Ó Ð ÞÝ Ö Ù Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Ûº Ð N = 2 ÞÙ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ s,s + 2(L 1)h Ó Ð Þ Ò Ò ØÔÙ Ó [ ys y s+2(l 1)h ] T = H [ s s + 2(L 1)h ] T. Ð N = 4 ÞÙ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ s,s + 2(L 1)h,s + 4(L 1)h,s + 6(L 1)h Ó Ð Þ Ò Ò ØÔÙ Ó [ ys y s+2(l 1)h y s+4(l 1)h y s+6(l 1)h ] T = H [s s + 2(L 1)h s + 4(L 1)h s + 6(L 1)h ] T. Ð N = 8 ÞÙ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ Û Û ØÓÖÞ S = [s,s + 2(L 1)h,s + 4(L 1)h,s + 6(L 1)h, s + 8(L 1)h,s + 10(L 1)h,s + 12(L 1)h,s + 14(L 1)h]

86 ÊÇ Á º Å ÌÇ Ã ÃÇÆËÌÊÍÇÏ ÆÁ Å ÌÇ ÅÀÊ Ó Ð Þ Ò Ò ØÔÙ Ó [ ys, y s+2(l 1)h, y s+4(l 1)h, y s+6(l 1)h, y s+8(l 1)h, y s+10(l 1)h, y s+12(l 1)h, y s+14(l 1)h ] T = H S T. ÈÖÞÝ Ó Ð Þ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Þ Ù ÓÛ Ò Ó Ò ÔÓ Ø Û ÞØ Ö L = 4µ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ N = 2º Ò ÛÞ Ý ÓÑÔÖ (x i,y i ) i = 0,1,...,15 ÊÝ º º µ ÓÖ Þ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i : h = 0.5º Ð ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ (1;8) (4;2) ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ H 0 [ ] H 0 = Ð ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ (1.5;6) (4.5;3.1) ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ H 1 [ ] H 1 = Ð ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ (2;5.5) (5;4) ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ H 2 [ ] H 2 = Ð ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ (2.5;5.9) (5.5;2.1) ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ H 3 [ ] H 3 = Ç Ð Þ Ò Ð Ö ÒÝ Û Ð Ó s [1;2.5] ÔÖÞ Ò ØÔÙ Ó s = 1.3 s = 1.75 s = 1.9 s = 1.15 s = 1.35 H = H = H = H = H = [ ] , H [ ] , H [ ] , H [ ] , H [ ] , H [ ] 1.3 = 4.3 [ ] 1.75 = 4.75 [ ] 1.9 = 4.9 [ ] 1.15 = 4.15 [ ] 1.35 = 4.35 [ ] ; [ ] ; [ ] ; [ ] ; [ ]

87 º¾º Æ ÈÇ ËÌ ÏÁ ÇÏÇÄÆ Â ÁÄÇá Á ÇÈ Ê ÌÇÊ Ï ÇÀÊ ÊÝ ÙÒ º º Ö ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÔÙÒ ØÝ Þ Ö ÐÓÒ µ ÙÑ ÞÞÓÒÓ Ò ÛÝ Ö Ó Ó ÛÞ Û Þ Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ ÔÖÞ Þ Û [1;2.5] [4;5.5] Ò Ò ÓÒÓ Ò ÛÝ Ö ÍÛ ÅÀÊ ÔÓÐ Ò Ù ÓÛ Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Þ Ó¹ ÛÓÐÒ Ð Þ Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÔÓÞÛ Ð ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ñ ÝÑ ÐÒ Ð Þ ÛÞ Û Ó Ó Ð Þ Ò Ö Ù Ý Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÙÒ Ø Ûº Ù ÓÛ ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Ò ÔÓ Ø Û ÓÛÓÐÒ Ð Þ Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÙÑÓ Ð Û Ö ÓÒ¹ ØÖÙ ÔÙÒ Ø Û Ó Ö ÞÙ Ò ÔÓ Ø Û Û Þ ÐÓ ÛÞ Û Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ Ö Ò Ó Ù ÓÛ Ò Ó Þ Û ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊº Þ Ø ÑÙ ØÒ ÑÓ Ð ÛÓ ÛÝ ÓÖÙ ÛÞ Û ÔÓ Þ ÛÝÞÒ Þ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÔÖÞÝ Ò ÞÑ Ò ÓÒ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÅÀÊ ÖÞ Ù O(N 2 )º

88 ÊÓÞ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ Û ØÓÑÓ Ö ÓÑÔÙØ ÖÓÛ º½ Ç Ö ÞÝ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ï ÖÓÞ Þ Ð ½ ÔÓÖÙ ÞÓÒÓ Þ Ò Ò Þ Ô Ù ÒÝ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Û ØÓÑÓ¹ Ö ÓÑÔÙØ ÖÓÛ ÌÃµº È ÒÝ Ó Ö Þ ÓÖ ÒÙ ÐÙ Þ Ó Þ ÑÙ Ò Ý Ù Ð ¹ Þ Ø Ò Û Ø Ó ØÙµ Ñ Ø Û Û ÒÝÑ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ø ÑÓ Ð ÛÓ Þ ØÖ Ø¹ Ò Ó ÓÑÔÖ ÓÛ Ò Ò Ó Ó Ö ÞÙ Ó ÔÐ Ù Ó ÞÒ ÞÒ ÑÒ Þ Ó ØÓ º Æ Ø ØÝ Û ÞÓ Þ ØÖ ØÒÝ Ñ ØÓ ÓÑÔÖ ÔÖÞÝ ØÓ ÓÛ Ò Ø Ó Ó Ö Þ Û ÓÐÓÖÓÛÝ ÑÓ Û Ò ÔÓ Ò ÛÝÒ ÒÔº Þ ÝØ Ù Þ µ ÔÓ Þ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Þ ÖÒÓ¹ Ó ÐÙ ÔÓÞÛ Ð Ò Ò Û Ð ÓÑÔÖ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ó Ö ÞÙ Þ ÖÒÓ¹ Óº ÈÓ ÝÒÞÝ Þ ÒÓÛ ÒÝ ÔÖÞ Ö Ö Ñ ÒØÙ Ø Ô ÛÒ ÖÞÝÛ º ÖÙ Ó Ø ÖÞÝÛ Ø Ò ØÓØÒ ÅÀÊ ÔÓÞÛ Ð Ó ØÛÓÖÞÝ Ó Ò ÓÒØÙÖ ÒÓÛ Ò Ó Ò ÖÞ Ù Þ ÓÛ Û ÐÙ Þ Ò ÔÖÞ ÖÓ Ø Û ÞÛÝÖÓ Ò ÙÞ Û ÔÖÞ ÝØÝ ÙÖ Þ Û ÞÝ Ø Û ÛÝ ÓÒ Ò Þ Ùº ÈÓ Þ Ò ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó ÙÞÝ Ù ÔÖÞ ÖÓ ÓÖ ÒÙ ÐÙ Þ Ó Ó Ó Ö Þ Û Ù Ý Þ Ó ÔÖÞ ÖÓ Û Ò Ó µ ÛÝ ÓÒ Ò Þ Ø Ó Ð Ó ÖÞ Ù Ð Ù Ñ Ð Ñ ØÖ Û ÐÙ Ò Û Ø Ó ¼ ÑÑµ ÒÓÛ Ò Û Ö ØÛÝ Ó Ò ½ º Á ØÓØÒÝÑ Þ Ò Ò Ñ Ø Ò Ó Ò Þ Ó ØÛÓÖÞ Ò Ó Ö ÞÙ ÞÒ Ù Ó ÔÓÑ ÞÝ ÒÝÑ Û Ö ØÛ Ñ º Ï ØÝÑ ÐÙ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Ö Ò Ñ ØÓ Ý ÒØ ÖÔÓÐ ÔÙÒ Ø Û Ð Ý Ñ ÞÝ ÔÖÞ ÖÓ Ñ Ò ÔÓ Ø Û Þ Ö ÒÝ ÒÝ Þ ÒÓÛ ÒÝ ÔÖÞ ÖÓ Û ÒÔº Ð Ò ÓÛ ÒØ ÖÔÓÐ ÛÝÒ Û ÔÖÓ Û ÔÙÒ Ø ÔÖÞ Þ Ø Ö Ò ÔÖÞ Ó Þ ÔÖÓÑ Ò Û ÒÝÑ ÖÞÙ ½ º ÁÒØ ÖÔÓÐ Þ Ù Ý Ñ ÙÒ Ð Ò ÓÛ ÑÓ ÔÓÛÓ ÓÛ Ù Ò Ó ÒÓ Û Ó ¹ ØÛ ÖÞ Ò Ù Ö Ù Ý ÔÙÒ Ø Û Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Óº ÅÀÊ ÔÓÐ Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò Ù Ö Ù Ý Ô Ð Ó Ö ÞÙ Ò ÔÓ Ø Û Ò Ó Þ ÓÖÙ ÛÞ Û ÓÑÔÖ ÔÖÞÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ù Û ØÓÖ Û ÞÓÛÝ ÙÑ ÞÞÓÒÝ Û Ñ ÖÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊº Ý Ö ØÒ ÔÓ Ó Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ÓÑÔÙØ ¹ ÖÓÛ Ó Û ÅÀÊ Ø Ó Þ Ð Ø ÔÓÒ Û ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÒÝ Ý Ö ØÒÝ Û ÅÀÊ Ó ÖÞÓÒ Ø Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÖÞ Ù O(N 2 )º Ï ØÖ ÝÝ Ò ÌÃ Ò Þ Ö Ò ØÝÐ Ó Þ ÛÝ Ö Ò Û Ö ØÛÝ Ø Ò Þ Þ ÑÙ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Û Ö ØÛÝ Ð ÙÑ Ð Ñ ØÖÓÛ ÖÙ Ó Ò Ô ÞÞÝ¹ ÞÒº ÊÝ º º½ ÛÝÒ ÑÓÒÓ ÖÓÑ ØÝÞÒÝ ÑÓ Ð ÐÙ Þ Ó ÓÖ ÒÙ Þ Ô ÛÒ ÐÓ ÓÒØÙÖ Û Ý ÓÒØÙÖ Ø Þ Ô Ñ Ø ÒÝ Þ ÔÓÑÓ Þ ÓÖÙ ÛÞ Ûº Ï ÒÝÑ Þ Ò Ò Ñ Ø Û ÞÝ Ó Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ Ò ÔÓ ¹

89 º½º Ç Ê ÌÇÅÇ Ê Á Æ Ø Û ÔÙÒ Ø Û ÓÑÔÖ º Þ ÖÒÓ¹ Ý Ó Ö Þ Þ ÊÝ º º¾ ÑÓ Ò Ó ØÛÓÖÞÝ Û ÅÀÊ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÓÒØÙÖ Ûº ÊÝ ÙÒ º½º ÈÖÞÝ ÓÛÝ ÓÖ Ò Û ÛÒØÖÞÒÝ Þ ÓÛ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ Þ ÔÓÑÓ ÓÒØÙÖ Û ÊÝ ÙÒ º¾º Ç Ö Þ ØÓÑÓ Ö ÞÒÝ Þ ØÓ Û Ô ÞÞÝõÒ ÞÓ ÓÛ ½ ÊÝ ÙÒ º º ÒØÓÑÝ Û ÌÃ ¾ ÒØÓÑÝ ÙÞÝ Ò Û ÛÝÒ Ù Ò ÌÃ ÔÓÞÛ Ð Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Þ ÔÓ¹ ÑÓ ÓÒØÙÖ Û Û ÅÀÊº ÅÓÒÓ ÖÓÑ ØÝÞÒ Ó Ö ÞÝ ØÓÑÓ Ö ÞÒ ÑÓ Ò Þ Ô Ó Þ Ö ÛÞ Û ÓÑ¹

90 ¼ ÊÇ Á º ÅÀÊ Ï ÌÇÅÇ Ê ÁÁ ÃÇÅÈÍÌ ÊÇÏ Â ÔÖ Ó Ò Ó ØÛÓÖÞÝ Þ ÅÀÊº ÅÀÊ ÔÓÞÛ Ð Ò ÛÝ Ó ØÓÔ ÓÑ¹ ÔÖ Ò Û Ð ÐÓ ÛÞ Û Û ÔÓÖ ÛÒ Ò Ù Þ ÐÓ Ô Ð Û ÝÑ Ó Ö Þ µ ÓÖ Þ Þ Ô ÛÒ ÞÝ ÖÞ Ù O(N 2 ) Ð Ó Ö ÞÙ Ó ÛÝÑ Ö N N Ô Ð µ Þ ØÖ ØÒ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Ò ÖÒ Óº º¾ Å ØÓ Ý Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó ØÓ ÓÛ Ò Ñ ÅÀÊ ÑÓ Ý Ò ØÝÐ Ó Ò ÛÒØÖÞ Þ ÓÛ ØÓÑÓ Ö µ Ð Þ Ø Ò Ð Þ ÛÝ Ð Ù Þ ÛÒØÖÞÒ Ó Þ ÓÛ ÒÔº Ó ØÛ ÖÞ Ò ÞØ ØÙ Ó ÔÖÞ ÛÝÔ Ñ Ò Ø ÔÓ Ø Û ÔÖÓ ØÓÛ Ò ÔÖÓØ ÞÝ Ò Ð Ò Ô Ô ¹ Ð ÖÒÝ ÔÓÖ ÛÒ Ò ÞØ ØÙ Ù ÒÓ Þ Þ Ö ÓÒ ØÖÙ ØÛ ÖÞÝº ÏÝÖ Ò Ò Ð Ý Ò ØÔÙ Ñ ØÓ Ý Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó ½ ½º Ê ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ÔÖÞÝ Ù Ý Ù Ö ÛÒÓÐ Ó Ù Ù ÔÖÓ Ý Ò Ó µ Ñ ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý Ò Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÔÐÓØÙ Û Ø ÞÒ ÔÖÓ ÔÓ Ø ÛÓÛ Ñ ØÓ Þ ÛÞ Ð Ù Ò ÔÖÓ ØÓØ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ý Ò ÛÝ ÓÖÞÝ ¹ ØÙ ÒØ ÖÔÓÐ Û ÖØÓ ÔÖÓ ÓÐÓÖ ÒÓ µ Û ÔÙÒ ÔÖÞ Þ Ø ÖÝ Ò ÔÖÞ Ó Þ ÔÖÓÑ Ò Û ÒÝÑ ÖÞÙ Ò ÔÓ Ø Û ¹ Ò Ð Ò ÔÖÓ Ý ÒÝ Ò ÖÞÙØ Ûµ ÅÀÊ Ø ÔÓÐ Ò Ò¹ Ø ÖÔÓÐ ÔÙÒ Ø Û Ò ÔÓ Ø Û Þ Ö ØÖÓÛ ÒÝ ÛÞ Û Ð Þ Û ÔÖÞÝ¹ Ô Ù Ó ØÛ ÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ Þ ÖÒÓ¹ Ó Ù ÑÒ Þ Þ Ó ÓÒÓ ¹ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÑÒ Þ Þ ØÓ Ô Ñ ÓÐÓÖ ÒÓ Ò Ö Ò ÔÓ ÙÛ µ µ Ñ ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý Ò Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÐØÖ Û Ø ÞÒ ÔÖÓ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÛÝÒÓ O(N 2 log 2 N) ÔÖÞÝ Ó ØÛ ÖÞ Ò Ù Ó Ö ÞÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ N 2 Ô Ð Ó ØÛÓÖÞ Ò ÑÓÒÓ ÖÓÑ ØÝÞÒ Ó Ó Ö ÞÙ Þ ÔÓ¹ ÑÓ ÅÀÊ Ó ÖÞÓÒ Ø Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÖÞ Ù O(N 2 ) ÅÀÊ Ñ ÑÒ Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ò Û Ø ÞÒ ÔÖÓ Þ ÐØÖ µ Ñ ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý Ò Þ ÒÛ Ö ÓÙÖ ÖÓÛ ÓÔ ÖØ Ò ÛÙÛÝÑ ¹ ÖÓÛ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö º ¾º Ê ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ÔÖÞÝ Ù Ý Ù Ù Ù ÔÖÓ Ý Ò Ó Þ Û Þ Ù ÓÖÑÓÛ Ò Û Û Ð ÖÞ µ Ñ ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý Ò Þ ÔÖÞ ÓÖØÓÛ Ò Ñ ÛÝ ÞÙ Ù ÔÓ Ö Û ÞÝ¹ Ø Ó ÓÒ ÒÝ ÔÖÓ Ø ÔÖÓÑ Ò Ø Ö Ó ÔÓÛ Ý Ý ÔÖÞ ¹ Ñ ÔÓØ ØÝÞÒÝÑ ÔÖÓÑ Ò ÓÑ Ö ÛÒÓÐ ÝÑ ÔÖÞ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÓ ¹ µ Ò ØÔÒ Ù ÝÛ Ñ ØÓ Ý ÓÖÑÙ ÓÛ Ò Ð Ö ÛÒÓÐ Ó Ù ¹ Ù ÔÖÓ Ý Ò Ó µ Ñ ØÓ Þ ÞÔÓ Ö Ò Ñ Ù Ý Ñ ÔÖÓ Û Ð ÖÞÓÛÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ø ÔÖÞ ÞØ ÓÒ Ñ ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý Ò Ô ÖÛÓØÒ ÓÖÑÙ ÓÛ Ò Ð Ö ÛÒÓÐ Ó Ù Ù ÔÖÓ Ý Ò Ó Ù Ý ÞÛ Þ Û ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒÝ Ð Ö ÒÝ Ù Û ÔÖÓ Ý ÒÝ µº

91 º¾º Å ÌÇ Ê ÃÇÆËÌÊÍÃ ÂÁ Ç Ê Í ÌÇÅÇ Ê Á Æ Ç ½ º Ê ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Û ØÓÑÓ Ö Ô Ö ÐÒ µ Ð ÓÖÝØÑ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý ÒÝ ¼ ÄÁ Ð ÔÓ ÝÒÞ Ó ÔÖÞ ÖÓ Ùµ Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù Ó ÔÓÛ Ò ÓÖÑÙ Ý ÒØ ÖÔÓÐ Ð Ò ÓÛ ÑÓ Ð Û Ø ÙÞÝ¹ Ò Ò ÔÓ Ø Û ÔÓÑ Ö Û ÔÖÓ Û Ð ÖÞÓÛÝ Ò ØÔÒ Ù Ý¹ Û Ñ ØÓ Ý ÓÖÑÙ ÓÛ Ò Ð Û Ð ÖÞÓÛ Ó Ù Ù ÔÖÓ Ý Ò Ó µ Ð ÓÖÝØÑ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý ÒÝ ½ ¼ ÄÁ Ð ÔÓ ÝÒÞ Ó ÔÖÞ ÖÓ Ùµ ÔÖÓ ¹ ÛÝ ÓÒ Ò Û Ô Ö ÐÒÝÑ Ù Þ ÔÖÓ Ý ÒÝÑ ÔÓ Ó ÔÓÛ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ÔÖÓ ÙÞÝ Ù ÔÖÓ Û Ð ÖÞÓÛ µ Ð ÓÖÝØÑ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý ÒÝ Ü¹½ ¼ ÄÁ Û Ö Ð Û ÐÙ ÔÖÞ ÖÓ Û µ Ð ÓÖÝØÑ Ð ÑÔ Û Þ ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ù ÓÖÑÓÛ Ò Ø Û ØÓ Ð ÓÖÝØÑ Ø Ò Ø ÒÓÛ ÖÓÞÛ Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Ð Û Þ Û Ð ÖÞÓÛ µ Ð ÓÖÝØÑ Þ Þ Û Ò ÓÛ ÒÝÑ ÓÖØÓÛ Ò Ñ Ð ÔÓ ÝÒÞ Û Ö ØÛÝ ËËÊµ Ñ ØÓ Ù Ù Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ º º Ð Ö ÞÒ Ø Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Ý Ò ÊÌµ µ ÔÓ Ø ÛÓÛÝ Ð ÓÖÝØÑ ÊÌ ÔÓÐ ÓÒ Ò Ø Ö Ý ÒÝÑ ÖÓÞÛ ÞÝÛ Ò Ù Ù Ù Ö ÛÒ ÓÔ Ù ÝÑ Þ Ù Ý Ñ ÙÒ ÞÓÛÝ ÔÓ ÞÞ ÐÒ Ô ¹ Ö Ñ ØÖÝ Ó Ö ÞÙ Ëº ÃÖ Ñ ÖÞ ½ µ µ Ð ÓÖÝØÑ ÊÌ Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ñ Ö Ð Ó ÔÓ Ø ÛÓÛ ÓÖÑÙ Ý Ø ¹ Ö Ý Ò ÛÔÖÓÛ Þ Ó Ø ÓÛÝ Ô Ö Ñ ØÖ µ ÓØÝÞÒÝ Ð ÓÖÝØÑ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý ÒÝ ÊÌ Û ÝÑ ÖÓ Ù Ø Ö ÛÝ¹ ÓÖÞÝ Ø ÒÝ Ø ÒÒÝ Þ Ø Û ÒÝ ÛÝ Ö Ø Ò Ø ÐÓ ÓÛÝº Ï Ñ ØÓ ÛÝÑ Ò ÓÒÝ Û ÔÙÒ Ø ½ Ø Ù Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÖÞ Ù Ó Ò ÑÒ O(N 2 log 2 N) ÔÖÞÝ Ó ØÛ ÖÞ Ò Ù Ó Ö ÞÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ N 2 Ô Ð º ÅÀÊ Ø ÖÞ Ù O(N 2 )º Ï Ñ ØÓ Þ ÔÙÒ Ø Û ½ ØÓ Ù ÒØ ÖÔÓÐ ÐÙ ÔÖÓ ÝÑ Ó ÔÓÛ Ò ÒÝ Ó ÔÓÛÓ Ù Ý Û Ó ØÛ ÖÞ ÒÝ Ò ÓÖÑ ¹ º ÅÀÊ ÓÔ Ö Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ó ÛÝ Ó Ó ÒÓ º Æ ØÓÑ Ø Ø Ö Ý Ò Ñ ØÓ Ý ÊÌ ÛÓÐÒ Þ Ó Ñ ØÓ Ò Ð ØÝÞÒÝ Ó Ò Ð Ý Þ Ð ÞÝ ÅÀÊº ÅÀÊ ÔÓ Ý Ò Ø ÖÝ Þ Ñ ØÓ Û ÔÓÑÒ ÒÝ Û ÔÙÒ Ø ½ ÓÔ Ö Ò ÒØ ÖÔÓÐ ÒÝ Ñ ØÓ Ý Þ ÔÙÒ Ø Û ½ µ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Ð Ñ ÒØÝ ÞÓÛ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Û ØÓÖÝ ÞÓÛ µ Ø Ñ ØÓ Ý ÊÌ ÔÖÞÝ Ö ÓÒ ØÖÙ ÑÓÒÓ ÖÓÑ ØÝÞÒ Ó ÓÒØÙÖÙ Ò Ó Ó ØÙº ÆÓÛÓ ÅÀÊ Û ÔÓÖ ÛÒ Ò Ù Þ Ñ ØÓ Ñ ÛÝÑ Ò ÓÒÝÑ Ø ÔÓ Ò Ð ØÝÞÒ ÔÓÐ Ò Þ Ù ÓÛ ¹ Ò Ù ÑÓ ÐÙ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ Ó ÓÔ Ù Ó Ó Ø Ò ÔÓ Ø Û ÛÝ Ö ÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒÝ º Â Ø ØÓ Û Ò Ñ ØÓ Ý ÛÔ ÝÛ Ò ÔÖÓ ØÓØ Ð Ó¹ ÖÝØÑÙ ÓÖ Þ Ò Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ô Ñ ÓÛ º Æ ÔÓ Ø Û Ö Ö ÛÒÓÐ Ý ÛÙÛÝÑ ÖÓÛÝ Ó Ö Þ Û ÓÒØÙÖ Û ÓØÖÞÝÑ ÒÝ Û ÅÀÊµ ÑÓ Ð Û Ø ÞÖ ÓÒ¹ ØÖÙÓÛ Ò Ó Ö ÞÙ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ó ½¼ ÍÛ Ò Ð ØÝÞÒÓ ÅÀÊ Û ÔÓ Þ Ò Ù Þ Ó Ö Ó ÒÓ ÒØ ÖÔÓÐÓÛ ÒÝ ÒÝ ÔÖÞÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ù ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ ÞÝ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÖÞ Ù O(N 2 ) ÔÖ Û ÅÀÊ Ø ÒÓÛ ÒÓÛ ÔÓ Ó Þ Ò Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Óº Å ÑÓ ÐÐ Ò Ù ÓÛ Ò ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ø Ò ÔÓ Ø Û ÛÞ Ûµ Ø Ò¹ ÒÝÑ ÔÓ Ó Ñ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Ò Ò Ò ÓÒØÙÖ Û ÔÖÞ Ø Û Ý

92 ¾ ÊÇ Á º ÅÀÊ Ï ÌÇÅÇ Ê ÁÁ ÃÇÅÈÍÌ ÊÇÏ Â ÊÝ ÙÒ º º Å ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Ò ÔÓ Ø Û Þ Ö Ù Ö ÛÒÓÐ Ý Ó Ö Þ Û ¾ ÔÓ ÞÞ ÐÒ ÔÖÞ ÖÓ ÓÖ ÒÙ ÊÝ º º½µº Ï ÅÀÊ ÔÖÞ ÞØ Ò ÓÑ ÓÑ ØÖÝÞÒÝÑ ÔÖÞ ÙÒ ÐÓÛ Ò ÔÓÛ Þ Ò ÐÙ ÔÓÑÒ Þ Ò Ó Ö Ø Ó ØÝ k π/2µ ÙÐ Ò Ý ÓÒØÙÖ Ð Þ ØÝÐ Ó ÔÙÒ ØÝ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ Ò ØÔÒ Ò ÔÓ Ø Û ÒÓÛÝ ÛÞ Û Ó ØÛ ÖÞ ÒÝ Ø ÓÒØÙÖ ÔÓ ÔÖÞ ÞØ Ò Ùº Ï Ò ÅÀÊ Ø Ø ÔÖÞÝ ÞÒ ÞÒ ÐÓ ÛÞ Û Ò Ñ ÔÓØÖÞ Ý ÔÓ Ù Û Ò ÒÝÑ Ù ÝÑ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÐÓ ÐÒÝÑ Ð Þ Þ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÐÓ ÐÒÝ ÓÔ ÖØÝ Ò Ð Ù ÐÙ Ð ÙÒ ØÙ ÛÞ º ÇÐ ÖÞÝÑ Þ Ð Ø Ø Ø Ñ ÖÞ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ø ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ º Ô ÛÒ ØÓ Ø ÐÒÓ Ó ÒÓ Ó Ð Þ º ÇÔ Ö ØÓÖ Ý Ö ØÒÝ Ó ÖÞ Ò Ó Ó Ð Þ ÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ º Ï Ò Þ Ð Ø ÅÀÊ Ø ÑÓ Ð ÛÓ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ó ÔÖÞÝ ÔÖÓ ÝÑ ÐÙ ÒØ ÖÔÓÐ ÙÒ ½¼¾ º Æ Ø Ö Ñ ØÓ Ý ÔÖÓ ÝÑ ÐÙ ÒØ ÖÔÓÐ ÒÔº ÒØ ÖÔÓÐ Æ ÛØÓÒ µ Ò Ö Þ Ó Þ ÙÒ ¹ Ñ Ø Ö Ò Ö Ò Þ ÓÛ ÐÒ Û Ñ ÔÙÒ Ò Ó ÔÖÞ Þ Ù ¾ ÒÔº f(x) = x ÐÙ Þ ÙÒ Ñ Ø ÖÝ ÛÝ Ö ÞÒ ÞÒ Ö Ò Ó Û ÐÓ¹ Ñ ÒÙ ÒØ ÖÔÓÐÙ Ó ÒÔº y = 1/xº ÇÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ò ÔÖ Û Ø ÓÔÓØ Û Û ÔÖÞÝ ÓÛ Ð Ø ÖÞ Ï Þ ÊÝ º ¾º¾ Ø Ö ÔÖÞ Ø Û ÛÝ Ö Ô ÛÒ ÙÒ ØÖÞÝ ÔÙÒ ØÝ Û Ø ÖÝ Ò ØÒ ÔÓ Ó Ò µº Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Þ Ù Ý¹ Ñ ÅÀÊ ÖÞ Ù O(N 2 ) Ø ÑÒ Þ Ò Û ÐÙ Ð ÝÞÒÝ Ñ ØÓ ÒØ ÖÔÓÐ ÞÝ ÔÖÓ ÝÑ ÒÔº ÙØÛÓÖÞÓÒÝ Ò ÛÙ Þ ØÙ Ò ÛÞ Û ÐÓÑ Ò Ð Ö ÞÒÝ ÑÓ Ý ØÓÔÒ ÛÙ Þ Ø Ó ÛØ Ý Ò Ð Ý ÛÝ ÓÒ Ó Ò ÑÒ Û Þ ÑÒÓ Ð Ó Ð Þ Ò Û ÖØÓ Û Ô ÛÒÝÑ ÔÙÒ º Æ ØÓÑ Ø Ñ ÞÒ Ð Þ ÓÒ Û ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÇÀÊ Ó ÛÝÑ Ö 8 8 Ð ÓÐ ÒÝ Þ Ò ØÙ ÛÞ Û ÛÝ ÓÒÙ Ö Ò Ó Ò ÑÒÓ Ð Ó Ð Þ Ò ÔÓ ÝÒÞ Û ÖØÓ º ÈÖÞ ÞØ Ò Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ø ÔÖÞ ÞØ Ò Ñ Ð Ò ÓÛÝÑ Ó Þ Ô ÛÒ Ñ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÖÞ Ù O(N 2 )º ÁÒÒÝÑ ÔÓ Ó Ñ ÔÓ Ó Þ Ò Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó Ø Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ Þ ÔÓÑÓ Û ÐÓ Ø Û Ò ØÔÒ Þ Ù ÓÛ Ò Ó Ö ÞÙ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Ó Þ Ó ÓÒ Ó Þ Û ÐÓ Ò Û º Â Ò Ø Ñ ØÓ ÑÓ ÔÓÛÓ¹ ÓÛ ÔÖÓ ÝÑ ÓÒØÙÖÙ Ó Ö ÞÙ ÊÝ º º µº Å ØÓ ÅÀÊ Ö ÓÒ ØÖÙ Ô Ó ÓÒØÙÖÙ Ó Ö ÞÙ ÓÔ ÖØ Ø Ò Þ Ó Ò Ù ÔÙÒ ØÝ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ ÛÞ Ý ÒØ ÖÔÓÐ (x i,y i ) Ð i = 0,1,...,n ÔÓ ¹ Ø Ý ÖÓ h/2 = x i+1 x i Û Ô ÖÞ Ò x i ÐÙ Ø Ý ÖÓ h/2 = y i+1 y i Û Ô ÖÞ Ò y i Ð ÔÓ ÝÒÞ Þ ÓÒØÙÖÙº Ï ØÖ Ò ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó ÓØÖÞÝÑÙ Þ Ö ÔÖÞ ÖÓ Û Û Ô ÞÞÝõÒ Ó Þ Ö ÔÙÒ Ø Û Ó Û Ô ÖÞ ¹ ÒÝ (x,y,z i ) Ð i¹ø Ó ÔÖÞ ÖÓ Ùº Â Ð Ù Ø ÐÓÒ ÞÓ Ø Ò Ð Û ÞÝ Ø Û Ö ØÛ Û Ô ÖÞ Ò y = ÓÒ Øº ØÓ Ð Ò Û Ô ÖÞ Ò y ÑÓ Ò Ñ Û Ó ÛÞ (x i,z i ) Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ h/2 = z i+1 z i Ð ÓÐ ÒÝ ÔÖÞ ÖÓ Ûº Ï ÛÞ Ð ÛÞ Û

93 º¾º Å ÌÇ Ê ÃÇÆËÌÊÍÃ ÂÁ Ç Ê Í ÌÇÅÇ Ê Á Æ Ç ÊÝ ÙÒ º º ÃÓÒØÙÖ Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ Þ ÔÓÑÓ Û ÐÓ Ø ÑÓ Ð Þ Ù ÓÛ ÒÝ Þ Û ¹ ÐÓ Ò Û (x i,z i ) Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ h/2 = z i+1 z i Ñ ØÓ ÅÀÊ ÔÓÞÛ Ð Ò Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖÙ Û Ô ÞÞÝõÒ Ð Ù Ø ÐÓÒ Ó yº Ê ÛÒ Ð Ù Ø ÐÓÒ ÞÓ Ø Ò Ð Û ÞÝ Ø Û Ö ØÛ Û Ô ÖÞ Ò x = ÓÒ Øº ØÓ Ð Ò Û Ô ÖÞ Ò x ÑÓ Ò Ñ Û Ó ÛÞ (y i,z i ) Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ h/2 = z i+1 z i Ð ÓÐ ÒÝ ÔÖÞ ÖÓ Ûº Ï Û¹ Þ Ð ÛÞ Û (y i,z i ) Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ h/2 = z i+1 z i Ñ ØÓ ÅÀÊ ÔÓÞÛ Ð Ò Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖÙ Û Ô ÞÞÝõÒ Ð Ù Ø ÐÓÒ Ó xº Á ØÒ Û ÑÓ Ð ¹ ÛÓ ÒØ ÖÔÓÐ ÓÒØÙÖÙ Ò Ó ÓÖ ÒÙ Û Ô ÞÞÝÞÒ Ð Ù Ø ÐÓÒ Ó x Ð Ó yº Ö ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ ÓÒØÙÖ Û Û Ô ÞÞÝÞÒ ÓÖ Þ ÔÖÞ Ø Û ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛÝ Ó Ö Þ Ò Ó ÓÖ ÒÙ ÊÝ º º½µº ÊÝ º º ÔÖÞ Ø Û Ö Ñ ÒØ Ù Ù Ó ØÒ Ó Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ Þ ÔÓÑÓ ÓÒØÙÖ Û Û Ö ÒÝ Ô ÞÞÝÞÒ º ÊÝ ÙÒ º º ÃÖ ÐÙ Þ ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ Ò ÔÓ Ø Û Ò ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó ½¼

94 ÊÇ Á º ÅÀÊ Ï ÌÇÅÇ Ê ÁÁ ÃÇÅÈÍÌ ÊÇÏ Â Ý Ö ØÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ø ØÝÛÒÝÑ ÔÖÓ ØÝÑ Ò ÖÞ Þ Ñ Ó Ó ØÛÓÖÞ ¹ Ò ÓÑÔÖ µ ÖÞÝÛ Ò Ô ÞÞÝõÒ ÖØ Þ ÓÒØÙÖÙ ÞØ ØÙ Ó ØÙµ Ò ÔÓ Ø Û Ô ÛÒ ÐÓ Ö ÛÒÓÓ Ð Ý ÔÙÒ Ø Û ÔÖÞÝ ÓÛÝ ÛÞ Û ÓÑ¹ ÔÖ µº Ï ÞÞ ÐÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÑÓ Ù Ý Ó ÛÝÞÒ Þ Ò Û ÖØÓ Ò Þ¹ Ò Ò ÙÒ ÔÓÑ ÞÝ ÒÝÑ ÛÞ Ñ Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ö ÙÑ ÒØÙº º ÈÖÞ ÞØ Ò Ó Ö Þ Û ØÓÑÓ Ö ÞÒÝ Ï ÒÝÑ Þ Ò Ò Ñ Ø Þ ØÓ ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ó ÛÖÓØÒÝ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ý ÖÞÝÛ ÐÙ Ö Ñ ÒØµ ÓÔ Ò Ø Þ ÔÓÑÓ ÛÞ Û (x i,y i ) Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò y i R (y i N Û ÔÖÞÝÔ Ù Ó Ö ÞÙ ÓÑÔÙØ ÖÓÛ Ó Ó Û Ô ÖÞ ¹ ÒÝ Ò ØÙÖ ÐÒÝ µº ÃÓÒØÙÖÝ Þ Ó Ö ÐÓÒ ÓÛ ÐÒ ÒÔº Ö Ñ ÒØ ÐÙ Þ Ó ÓÖ ÒÙ ÐÙ Ó Ð Ø ÖÝ Ô Ò µ Ó ØÛÓÖÞÓÒ ÞÓ Ø Ò Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊº ÈÖÞÝ Ó Ð Þ Ð Ô Ð ÛÞ ÓÛÝ (x i,y i ) N 2 Ð i = 0,1,...,8 Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò h/2 = 50 Ð Ö Ñ ÒØÙ Ó Ö ÞÙ Ü ¼ ¾¼ ½¼ ¼ ½¼ ¾¼ ¼ Ý ¼ ¼ ½¼¼ ½ ¼ ¾¼¼ ¾ ¼ ¼¼ ¼ ¼¼ ÊÝ ÙÒ º º Ö Ñ ÒØ ÖÞÝÛ Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ Û Ô ÖÞ Ò y i Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ø Ó ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò y i Ù ÝØÝ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒÝ x = M 1 y Ð M 1 = w 0 I W ¾º µ ¾º½½µ Û ÐÙ ÛÝÞÒ Þ Ò Ö Ù ¹ Ý Ô Ð ÓÒØÙÖÙ ½ Þ ÊÝ º º º ÇÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒÝ Ó M ÓÞÒ Þ ÒÝ ØÙØ ÔÖÞ Þ A Ø ÒÝ ÔÖÞ Þ A = w 0 I W Ý M 1 = A Þ M 1 1 = A 1 º ÈÖÞÝ ÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò ÛÝÒÓ A 2 = 0.5 A A 1 Ð y = 25,125,225,325 ÓÖ Þ ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ Ö Ò A = A A 1 Ð y = 10,110,210,310º Ö ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Ô Ð ÙÑ ÞÞÓÒÓ Ò ÛÝ Ö Ó Ð ÞÓÒ Û Ô ÖÞ Ò x Þ Ó Ö ÐÓÒÓ Ó Ò Ð Þ Ð Þ Ý Ò ØÙÖ ÐÒ µ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝÑ Ò ÊÝ º º º ÈÓÞÓ Ø Ö Ñ ÒØÝ ÓÒØÙÖÙ ÞÓ Ø Ò Ó ØÛÓÖÞÓÒ Ò ÐÓ ÞÒ º Ï ÖØÓ ÔÓ Ö Ð Ñ ÑÒ ÞÝ Ø ÔÖÞ Þ Þ Û Ö Ý Û Ô ÖÞ Ò ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù ØÝÑ Ó Ð Þ Ò Ö Ù Ý Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ó Ò Þ º Ï ÖÓÞ Þ Ð ¾º Ý Ö Ò Ó Û Ö ØÓÛ Ò ÛÝÒ Ý Þ Ò Ó ÓÒ Ó Ñ ØÓ Ý Ð Þ Þ Þ Ó Ö Ð Ò Ó Ð Þ Û ÔÖÓ Ö Ñ Å Ø º Â ÛÝÒ ÅÀÊ Ð Ð Ò Ô ÓÒÓÛ ÈÓÒ ½ ÈÖÞÝ Ð Ø ÖÝ Ï Þ ÊÝ º ¾º¾ Ø ÒÓÛ ÛÝ Ö ÙÒ Ò ÝÑ ÔÖÞ Þ Ð Ö ÙÑ ÒØ Û Ý ÞÒ Ð Þ ÓÒÓ Ö Ù Û ÖØÓ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÙÒ Ð ÓÛÓÐÒÝ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Ö ÙÑ ÒØ Û

95 º º ÈÊ ÃË Ì ÆÁ Ç Ê Ï ÌÇÅÇ Ê Á Æ À Ü ¼ ¾¼ ½¼ ¼ ½¼ ¾¼ ¼ Ý ¼ ¼ ½¼¼ ½ ¼ ¾¼¼ ¾ ¼ ¼¼ ¼ ¼¼ Ü ½ ½ ½ ¼ ½½ Ý ¾ ½¾ ¾¾ ¾ ½¼ ½½¼ ¾½¼ ½¼ ÊÝ ÙÒ º º ÈÙÒ ØÝ ÞÒ Ð Þ ÓÒ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒ Ó Þ ØÓ ÓÛ ÒÝ ÞÓ Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒÝ Ò ÔÖÞÝ Þ Ð Ø ÖÝ Å Ø Ö ÓÔ Ù ÔÙÒ ØÝ Û R 2 ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Ò ÊÝ º º º Ü ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ¾ Ý ¼ ½ ¾ Ü ½º ¾º º º Ý ¾ ½ ¼ ÊÝ ÙÒ º º ÈÖÞÝ ÖÞÝÛ Þ Ó ÓÒ Þ ØÖÞ Þ Ä Ø Ö Å ÖÓÞ Þ ÐÓÒ Ø Ò ØÖÞÝ Þ Ó Ó ÒÓ Û Ó Ò Ô ÓÒÓÛ Ð Ò ÞÓ Ø Ò Þ ØÓ ÓÛ ÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒÝ ÔÓÒ Û Ò ÔÖÞ Ø Û ÛÝ Ö Ù ÙÒ µ ÓÖ Þ Þ ÖÓ ÓÛ º Â Ó ØÛÓÖÞÝ ÒÒ ÔÙÒ ØÝ Ð x = 1 Ò Ð Þ ÓÒ Û ÓÔ Ö ØÓÖÝ M M 1 Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Ð ÞØ Ö ÛÞ Û Ó Ð Ñ ÒØ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ µ x T = [1,1,1,1]

96 ÊÇ Á º ÅÀÊ Ï ÌÇÅÇ Ê ÁÁ ÃÇÅÈÍÌ ÊÇÏ Â y T = [0,2,4,6] M = ÇÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒÝ Ó M A = w 0 I W ¾º µº A = ,Mx =,Ay = Ö Ò Ó Û Ö ØÓÛÝ Ð Ó Ð ÞÓÒÝ ÛÞ Û ÛÝÒÓ (A y x) T (A y x) = /4 = ÔÖÞÝ Ð Ò Û ÔÖÓ Ö Ñ Å Ø µº ÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ x T = [1,1,1,1] y T = [1,3,5,7] M 1 = A 1 = ,M 1x =,A 1y = ÈÖÞÝ º½º Ç Ð ÞÓÒÓ Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò Ð Û ØÓÖ ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ y R 4 ÇÔ Ö ØÓÖ Ö Ò A 2 = (A + A 1 )/2 A 2 = ÈÖÞÝ º¾º Æ ÛØ Ý ÓÔ Ö ØÓÖ A 2 = (3 A + A 1 )/ A 2 = ,A 2y =,A 2x = ÏÝÐ ÞÓÒ ÔÙÒ ØÝ Þ ÔÖÞÝ Û º½ º¾ Þ ÞÒ ÞÓÒÓ Ò ÛÝ Ö ÊÝ º º½¼µº Ì Û Ý ÓÒØÙÖ Ó ØÙ Ø ÒÓÛ Ý Ô ÛÒ ÖÞÝÛ Ò Ð Ý ÔÓ Þ Ð Ò Ð Þ Ø Ý Þ Ý Ó ØÛÓÖÞÓÒ Þ ÓÔ Ö ØÓÖÓÑ ÐÓ ÐÒÝÑ Þ Ù¹ ÓÛ ÒÝÑ Ð ÛÞ Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ ÔÖÞÝ Ý ¾º½ ¾º µ Ð Ó Ð ÛÞ Û Ó ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ ÔÖÞÝ Ý º½ º¾µº Á ØÓØÒÝÑ Þ Ò Ò Ñ Û ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ö ÞÙ ÔÖÞ ÞØ Ò ÓÑ ØÖÝÞÒ ÔÖÞ ÙÒ Ó Ö Ø ÐÓÛ Ò µº ÅÀÊ ÛÝÑ ÝÒ ÔÖÞ ÞØ Ò ÛÞ Û ÔÓØ Ñ Ò ÔÓ Ø Û ÑÓ Ð Û Ø Ó ØÛÓÖÞ Ò Ó Ó ØÙ ÔÓ ÔÖÞ ÙÒ Ù,...

97 º º ÈÊ ÃË Ì ÆÁ Ç Ê Ï ÌÇÅÇ Ê Á Æ À ÊÝ ÙÒ º½¼º ÈÙÒ ØÝ ÞÒ Ð Þ ÓÒ Ò Ð Ò Ô ÓÒÓÛ Ó ÖÓ Ó ØÝ k π/2 ÞÝ ÛÝ ÐÓÛ Ò Ùº Ã Ý ÔÙÒ Ø Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ (x,y) R 2 ÑÓ Ò Ó Ö Ó Ø α ÛÞ Ð Ñ ÔÙÒ ØÙ ¼ ¼µ Û ÛÞÓÖÙ [ ] cos(α) sin(α) [x,y]. sin(α) cos(α) ÆÔº ÛÞ Ý Þ ÊÝ º º ÔÓ Ó ÖÓ Ó Ø π ÔÖÞ Ø Û Ý Ò ØÔÙ Ý ÓÒØÙÖ Ü ¹½¼ ¹¾¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ Ý ¹ ¼ ¹ ¼ ¼ ¹¾¼ ¹ ¼ ¹¾¼ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ÊÝ ÙÒ º½½º ÈÙÒ ØÝ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ ÔÓ Ó ÖÓ Ó Ø π Ç ØÛÓÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ Ò ÔÓ Ø Û ÔÖÞ ÞØ ÓÒÝ ÛÞ Û Ù Ø Ñ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ ÔÖÞ ÔÖÞ ÞØ Ò Ñ ÛÞ Ûº ÈÖÞ ÙÒ Ó Û ØÓÖ (s,t) R 2 ÔÓÐ Ò Ó Ð Þ Ò Ù ÒÓÛÝ ÛÞ Û (x,y) + (s,t) ÛÝÒ ÔÖÞ Ø Û ÊÝ º º½ º Ë ÐÓÛ Ò ÔÓÐ Ò ÔÖÞ ÑÒÓ Ò Ù x ÐÙ y ÔÖÞ Þ Ô ÛÒ Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø º ÆÔº ÛÙ ÖÓØÒ ÔÓÛ Þ Ò Û Ô ÖÞ Ò ÛÝÒ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ Ò ÊÝ º º½ º ÃÓÒØÙÖÝ ÛÝÑ ÔÓ Þ Ù Ò Þ º ÈÖÞÝ ÓÛ ÛÞ Ý ÓÑÔÖ Û R 2 Þ ÖÝ Ý ÖÞÝÛÝ Ò Ø ÖÝ Ò Ð Ý ÞÒ Ð õ ÓÛÓÐÒÝ ÔÙÒ Ø ÔÓ ÓÑÔÖ ÞÒ ¹ Ù Ò ÊÝ º º½ º½ º ÈÖÞÝ ÔÖÞ ÞØ Ò ÓÒØÙÖÙ ÓÔ Ò Ó Þ ÓÖ Ñ ÛÞ Û B 1 B 2 Ó Ð Ñ Ò¹ Ø ÖÞ ÞÝÛ ØÝ º

98 ÊÇ Á º ÅÀÊ Ï ÌÇÅÇ Ê ÁÁ ÃÇÅÈÍÌ ÊÇÏ Â ÊÝ ÙÒ º½¾º ÃÖÞÝÛ ÔÓ Ó ÖÓ Ó Ø π Ü ¾ ½¼ Ý ¼ ¼ ½¼ ¼ ¼ ¼ ½¼ ¼ ¼ ÊÝ ÙÒ º½ º ÏÞ Ý Þ ÊÝ º º ÔÖÞ ÙÒ Ø Ó Û ØÓÖ (s,t) = (15,10) Ü ¾¼ ¼ ¼ ¼ ½¼¼ ½¾¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ Ý ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ÊÝ ÙÒ º½ º ÏÞ Ý Þ ÊÝ º º ÛÝ ÐÓÛ Ò 2

99 º º ÈÊ ÃË Ì ÆÁ Ç Ê Ï ÌÇÅÇ Ê Á Æ À ÊÝ ÙÒ º½ º ÓÖÝ ÛÞ Û Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò ÔÓ ÞÓÒ ÛÝ Ö Ñ ÊÝ ÙÒ º½ º ÛÝ Ö Ñ ÓÖÝ ÛÞ Û Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÓ ÞÓÒ ÊÝ ÙÒ º½ º Ý ÞØ Ø Ó ØÙ Ò ÔÓ Ø Û Û ÞÝ Ø ÛÞ Û Þ ÊÝ º º½ º½

100 ½¼¼ ÊÇ Á º ÅÀÊ Ï ÌÇÅÇ Ê ÁÁ ÃÇÅÈÍÌ ÊÇÏ Â ÈÖÞ ÞØ Ò ÓÑ ÔÓ Ð Þ ÓÖÝ ÛÞ Û Ò ØÔÒ Ð ÒÓÛÝ ÛÞ Û ØÓ¹ Ù ÅÀÊº ÈÖÞÝ ÓÛ ÔÖÞ ÞØ Ò Ø Þ Ó Ò Ñ Ó ÖÓØÙ Ó Ø ½ ¼ ÛÞ Ð¹ Ñ ÔÙÒ ØÙ ¼ ¼µ ÔÖÞ ÙÒ Ó Û ØÓÖ µ ÛÝ ÐÓÛ Ò Ù Û Ô ÖÞ Ò x ÔÖÞ Þ ½º Û Ô ÖÞ Ò y ÔÖÞ Þ º B 1 Ü ½¼ ¾¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ Ý ¼ ¼ ¼ ¾¼ ¼ ¾¼ ¼ ¼ ¼ B2 Ü ½¼ ¼ ¼ ¼ ¼ Ý ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ÊÝ ÙÒ º½ º ÙÖ ÔÖÞ ÔÖÞ ÞØ Ò Ñ B 1 Ü ¹½¼ ¹¾¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ Ý ¹ ¼ ¹ ¼ ¼ ¹¾¼ ¹ ¼ ¹¾¼ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ B 2 Ü ¹½¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ Ý ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ÊÝ ÙÒ º½ º ÙÖ ÔÓ Ó ÖÓ Ó Ø ½ ¼ ÛÞ Ð Ñ ÔÙÒ ØÙ ¼ ¼µ ÍÛ ÇÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ð ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ ÞÑ Ò ÓÒÝÑ ÞÒ Ñ ÔÓÞÓ Ø Ø Ñ Ò ØÖÞ Û ÛÝÞÒ Þ ÒÓÛ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó ÖÓ ÙÖÝ Ó Ø ½ ¼ º ÈÓ Ó ÖÓ ÙÖÝ Ó Ø ¼ ÐÙ ¾ ¼ Ò Ø Ô Þ Ñ Ò Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ ÞÑ Ò ÞÒ Ù ÔÖÞÝ x Ð Ó yµ Ò Ð Ý Þ Ø Ñ Ó Ð ÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒÝº Ï Ô ÞÝÒÒ w i ¾º µ ¾º µ Ò ÙÐ Ò ÞÑ Ò Ó ÑÓ Ò ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Û Ó Ð Þ Ò ¾º µº

101 º º ÈÊ ÃË Ì ÆÁ Ç Ê Ï ÌÇÅÇ Ê Á Æ À ½¼½ ÍÛ ÈÓ ÔÖÞ ÙÒ Ù ÛÞ Û Ó Û ØÓÖ Ò Ð Ý ÛÝÞÒ ÞÝ ÒÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Û ÐÙ Ó ¹ ØÛÓÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û ÓÒØÙÖÙº ÍÛ ÈÓ ÛÝ ÐÓÛ Ò Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÖÞ Þ Ø Ñ Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÔÓÞÓ Ø Þ ÞÑ Òº Æ ØÓÑ Ø Ð Û ÞÝ Ø Û Ô ÖÞ Ò x ÔÓÑÒÓ ÝÑÝ ÔÖÞ Þ Ò Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø Û Ô ÖÞ Ò y ÔÖÞ Þ ÒÒ Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø ØÓ Ò Ð Ý ÛÝÞÒ ÞÝ ÒÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ð ÒÓÛÝ ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ º B 1 Ü ¹ ¹½ ¹¾ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ Ý ¹ ¹ ¹½ ¹ ¹½ ¹ ¹ B 2 Ü ¹ ¹¾ ¹ ¹ ¹ Ý ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ÊÝ ÙÒ º¾¼º ÙÖ ÔÓ ÔÖÞ ÙÒ Ù Ó Û ØÓÖ µ B 1 Ü ¹½¼º ¹¾ º ¹ ¼º ¹ º ¹ ¼º ¹ º ¹½¼¼º ¹½½ º ¹½ ¼º Ý ¹¾½ ¹ ¾½ ¹ ¹ ¹ ¾½ ¹ ¹¾½ B 2 Ü ¹½¼º ¹ ¼º ¹ ¼º ¹½¼¼º ¹½ ¼º Ý ¹¾½ ¹¾½ ¹¾½ ¹¾½ ¹¾½ ÊÝ ÙÒ º¾½º ÙÖ ÔÓ ÛÝ ÐÓÛ Ò Ù Û Ô ÖÞ Ò x ÔÖÞ Þ ½º Û Ô ÖÞ Ò y ÔÖÞ Þ

102 ½¼¾ ÊÇ Á º ÅÀÊ Ï ÌÇÅÇ Ê ÁÁ ÃÇÅÈÍÌ ÊÇÏ Â º ÃÓÑÔÖ Ó Ö Þ Û Ñ ÝÞÒÝ ËØ ØÝÞÒ Ó Ö ÞÝ Ñ ÝÞÒ ÛÝÑ ÓÑÔÖ Þ ÛÞ Ð Ù Ò Ù ÖÓÞÑ ÖÝ ÔÐ Û Ò Û Ø Ó ½¼¼Å µº ÏÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò Û ØÝÑ ÐÙ Ñ ØÓ Ý ÓÑÔÖ ØÓ ÓÛ Ò Ð Ò ØÙÖ ÐÒÝ Ó Ö Þ Û ÓÐÓÖÓÛÝ ÊÄ ÂÈ ÂÈ ¹ÄË ÂÈ ¾¼¼¼ ÈÆ ÄÁ º Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ó Ö Þ Û Ñ ÝÞÒÝ Ó Ö ÞÝ ØÓÑÓ Ö ÓÑÔÙØ ÖÓÛ Ó Ö ÞÝ Ö ÞÓ¹ Ò Ò Ù Ñ Ò ØÝÞÒ Ó Ó Ö ÞÝ ÙÐØÖ ÓÒÓ Ö ÞÒ Ó Ö ÞÝ Ö ÒØ ÒÓÛ µ Ò Ð Ô ÞÝ ØÓÔ ÓÑÔÖ ÔÖÞÝ Ù Ý Ù Û ÔÓÑÒ ÒÝ Ñ ØÓ ÛÝÒÓ ¾ ± ÔÐ ÞÑÒ ÞÓÒÝ Ó ±µ Ò ÓÖ ÞÝ ØÓ ± ÔÐ ÞÑÒ ÞÓÒÝ Ó ±µ ½¼½ º Ï ÖÓÞ Þ Ð ÓÑ Û ÓÒÓ Ñ ØÓ Ý ØÖ ØÒ Þ ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ ÓÖ Þ ÔÓÖ ÛÒ ÒÓ Þ Ñ ØÓ ÅÀÊº Ç Ö ÞÝ Ñ ÝÞÒ ÛÝÑ Þ ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ º Þ ØÖ ØÒ Ñ ØÓ Ý ÞÒ ¹ Ù Þ ØÓ ÓÛ Ò Û Ñ ÝÞÒÝ Ý Ø Ñ ÓÛ Ò ØÖ Ò Ñ Ó Ö Þ Û È Ë È ØÙÖ Ö Ú Ò Ò ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñµº Ö Ø Ð ÓÖÝØÑ Û ÓÑÔÖ Ó Ö Þ Û ØÓ ÓÛ ÒÝ ÛÝ ÞÒ Ó Ó Ö Þ Û Ñ ÝÞÒÝ º Ï ÛÝÒ Ù Û Ô ÔÖ Ý Ê Ñ Ö Ò ÓÐÐ Ó Ê ÓÐÓ Ýµ ÓÖ Þ Æ Å Æ Ø ÓÒ Ð Ð ØÖ Ð Å ÒÙ ¹ ØÙÖ Ó Ø ÓÒµ Ó Ö ÐÓÒÓ Ø Ò Ö Þ Ô Ù Ó Ö Þ Û Ñ ÝÞÒÝ Û ÓÖÑ Ý ÖÓÛ Á ÇÅ Ø Ð ÁÑ Ò Ò ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ò Å Ò µº Á ØÒ Ò Û Ô ÐÒ ÔÐ Ø ÓÖÑÝ ÔÖÓ Ö ÑÓÛ ÙÑÓ Ð Û ÔÖÞÝÒ ÑÒ Ø ÓÖ ØÝÞÒ Û Ô ÔÖ ÙÖÞ Þ Ö ÒÝ ÔÖÓ Ù ÒØ Û ØÓ Ù Ý ÓØÝ Þ Û Ò ÛÞ ÑÒ Ò ÓÑÔ ØÝ ÐÒ ÖÓÞÛ Þ Ò ½¼½ º ÈÓ Ö Ó Ö Þ Û ØÓÑÓ Ö ÞÒÝ ÑÓ Ò ÛÝÖ Ò Ó Ö ÞÝ Ð Ý ÓÒØÙÖº Ð Ø Ð Ý Ó Ö Þ Û Ñ ÝÞÒÝ Þ Ò Ø Ù Ý Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ ÔÓÞÛ Ð Ò Ó ÔÓÛ Ò Ó ÒÓ Ö ÓÒ ØÖÙ ÖÓÞ Þ ¾º¾º µ ÔÖÞÝ ØÓÔÒ Ù ÓÑÔÖ Ð Ô¹ ÞÝÑ Ò ¾ ± Ò ÓÖ Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ò Ñ ØÓ Ý Ó Ò ØÓ ÓÛ Ò º Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ý ÒÓÞ Ð Ö ÛÝÑ ÝÒ Þ Ò ÔÓ Ó Ò ÞØ ØÙ Û Ð Ó Ò Ó ÓÖ ÒÙ ÞÝ Ö Ñ ÒØÙ ÐÙ Þ Ó ÒÔº ÞØ Ø Ó Û Ð Ó ÙÞ ÔÓ Ó Ò Ò ÖÓ Ð ÞÝ ÞÛÝÖÓ Ò Ò µ ÑÓ Ð Û Ø ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÞÖ ÓÒ ØÖÙ¹ ÓÛ ÒÝ Ñ ØÓ ÅÀÊ Ó Ö Þ Û ÑÓÒÓ ÖÓÑ ØÝÞÒÝ Þ Ó Ò Þ ÖÓ µº ÈÖÞÝ¹ Ñ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÅÀÊ ÑÓ Ý ÒØÓÑÝ Ù ÝÛ Ò Û ÌÃ ÊÝ º º µº ÊÝ ÙÒ º¾¾º ÒØÓÑ Þ Þ ÞÒ ÞÓÒÝÑ ÛÞ Ñ ÓÑÔÖ Ç Ö Þ ÊÝ º º¾¾µ Ó ÛÝÑ Ö Ô Ð ÞÓ Ø ÓÔ ÒÝ Þ ÔÓÑÓ ½¼ ÛÞ Û Ó ÓÞÒ Þ ÓÑÔÖ ¼ ± ½¼» µº Ï ÛÞ ÓÖÝ Ò ÐÒÝ ÔÐ Ø ÞÑÒ ÞÓÒÝ Ó ±º ÈÖÞÝ Û ÞÝ ÖÓÞÑ Ö ÒØÓÑÙ ØÓÔ ÓÑÔÖ Ø

103 º º ÃÇÅÈÊ ËÂ Ç Ê Ï Å Æ À ½¼ ÞÞ Ð Ô ÞÝº ÁÒÒÝ ÔÖÞÝ ØÓ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó Þ ÊÝ º º¾º ÊÝ ÙÒ º¾ º Ç Ö Þ ØÓÑÓ Ö ÞÒÝ Þ Þ ÞÒ ÞÓÒÝÑ ÛÞ Ñ ÓÑÔÖ Ç Ö Þ ÊÝ º º¾ µ Ó ÛÝÑ Ö Ô Ð ÞÓ Ø ÓÔ ÒÝ Þ ÔÓÑÓ ¾ ÛÞ Û Ó ÓÞÒ Þ ÓÑÔÖ ½± ¾» µº Ï ÛÞ ÓÖÝ Ò ÐÒÝ ÔÐ Ø ÞÑÒ ¹ ÞÓÒÝ Ó ±º ÈÖÞÝ Û ÞÝ ÖÓÞÑ Ö Ó Ö ÞÙ ØÓÔ ÓÑÔÖ Ø ÞÞ Ð Ô ÞÝº ËØÓÔ ÓÑÔÖ Ð Ñ ØÓ Þ ØÖ ØÒÝ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ó Ö Þ Û Þ ÊÝ º º¾¾ º¾ ÑÓ Ò ÔÓÖ ÛÒ Û Ø Ð Ñ ØÓ Ý ÓÑÔÖ ÊÄ ÂÈ ÂÈ ¹ÄË ÂÈ ¾¼¼¼ ÈÆ ÄÁ Ñ ØÓ ÅÀÊ Ó Ö ÞÝ Ð Ý ÓÒØÙÖµ ÃÓÑÔÖ Ó Ö Þ Û Ñ ÝÞÒÝ ¾ ±¹ ± ¼ ±¹½± Ì Ð º½º ÈÓÖ ÛÒ Ò ØÓÔÒ ÓÑÔÖ Ó Ö Þ Û Ñ ÝÞÒÝ Ð Ý ÓÒØÙÖ Ð Ó ÐÒ ØÓ ÓÛ ÒÝ Ñ ØÓ ÓÑÔÖ Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ Æ ÊÝ º º¾ ÓÔ ÒÓ Þ ÔÓÑÓ ÛÞ Û Ó Ö Ñ ÒØ Ó ÞÝÒÝº ÈÖÞÝ Ý ÑÓÒÓ ÖÓÑ ØÝÞÒÝ Ó Ö Þ Û Ñ ÝÞÒÝ Ø Ö ÑÓ Ò ÞÖ ÓÒ ØÖÙ¹ ÓÛ Þ ÔÓÑÓ ÓÒØÙÖ Û Ñ ØÓ ÅÀÊ ÔÓ Þ ÒÓ Ò ÊÝ º º¾ Þ ÔÓ Ó Þ Þ ØÖÓÒÝ ÛÛÛº Ñ Öº Ò Ú ÓÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ Å Ð Ù Ø ÓÒ Ò Ê Ö µº Å ØÓ ÅÀÊ ÔÓÞÛ Ð Ò ÓÑÔÖ ÖÞ Ù ½± ÐÙ Ò Û Ø Ð Ô Þ µ Þ ÖÒÓ¹ ¹ Ý Ó ÐÒ ÑÓÒÓ ÖÓÑ ØÝÞÒÝ Ó Ö Þ Û Ñ ÝÞÒÝ Þ Ù Ó ÒÓ ÖÓÞ Þ ¾º¾º µ ÙÞ Ð Ò ÓÒ Ó ÛÝ ÓÖÙ ÛÞ Ûº Ï ÛÞ ÓÖÝ Ò ÐÒÝ ÔÐ Ø ÞÑÒ ¹ ÞÓÒÝ Ó ±º ÈÙÒ ØÓÛ Ó ØÛ ÖÞ Ò ÖÞÝÛ Ô Ð ÔÓ Ô ÐÙµ Þ ÔÓÑÓ ÓÖ¹ ØÓ ÓÒ ÐÒ Ó Ð Ò ÓÛ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÔÓÛÓ Ù ÅÀÊ Ø Ñ ØÓ Þ ØÖ ØÒ Ó Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÖÞ Ù O(N 2 ) Þ Ô ÛÒ ÛÝ Ó ØÓÔ ÓÑÔÖ º Å ØÓ Ý Þ ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ Ñ Þ ØÓ ÓÛ Ò Û Ñ ÝÝÒ ØÝ Þ ÔÖÞ ¹ ÑÝ Ù ØÓÑÓ Ö ÔÖÓ ÓÛ µ Û Ø ÖÝ Ò ÓÖÑ ÑÙ Þ Ý Ó ØÛÓÖÞÓÒ Ó ¹ Ò º ËÞÝ Ó Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò Ó Ö ÞÙ Ñ Û Ð ÞÒ Þ Ò Û ØÓÑÓ Ö ÓÑ¹

104 104 ROZDZIA 5. MHR W TOMOGRAFII KOMPUTEROWEJ puterowej, gdzie przestrzenny model badanego organu podstawie kolejny h przekrojów skanowania. zªowieka jest budowany na Przekroje te mog by zapami tane i odtworzone na podstawie zbioru w zªów kompresji za pomo MHR. Rysunek Punkty kompresji opisuj e ko± i fragment ko«zyny Rysunek Medy zne zdj ia rzy metod MHR. zarno-biaªe, które mo»na skompresowa i odtwo-

105 ÊÓÞ Þ ÈÓÖ ÛÒ Ò Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ Þ ÒÒÝÑ Ñ ØÓ Ñ ÓÑÔÖ Å ØÓ ÓÑÔÖ ÅÀÊ ÑÓ Ò Þ Ð ÞÝ Ó ÓÑÔÖ ÔÓÔÖÞ Þ ÑÓ ÐÓÛ Ò Ñ Ø Ñ ¹ ØÝÞÒ ½½ º ËÔÓ ÔÓ Ó ÓÑÔÖ ÒÝ ØÝÔÙ x i,y i ) R 2 Û ÑÓ ÐÓÛ ¹ Ò Ù Ñ Ø Ñ ØÝÞÒÝÑ ÔÓÐ Ò ÞÒ Ð Þ Ò Ù Ô ÛÒ Þ Ð ÒÓ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ Ñ ÞÝ Û ÞÝ Ø Ñ Û Ô ÖÞ ÒÝÑ x i ÓÖ Þ y i º Ì Þ Ð ÒÓ ÑÓ Ý ÒÔº ÛÞ Ö ÙÒ º Ï ÅÀÊ Û ÖØÓ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÛÞ Û ÔÓÛ Þ Ò Þ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÇÀÊ Þ Þ Ò ÓÑ Ò Ó ÔÓÛ Ò Ñ ÓÔ Ö ØÓÖÞ ÇÀÊ ÑÓ Ð Û Ø Ó ØÛÓÖÞ Ò Ö Ù¹ Ý ÒÝ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ º Æ ÔÖÞÝ ÙÒ Ð Ò ÓÛ f(x) = c x Ó ÔÓÛ Ñ ÖÞ c I N Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊº ÃÓÑÔÖ ÒÝ ÓØÝÞÝ Ò ÓÖÑ Ø ØÓÛÝ õû Ù ÑÓÛÝ ÑÙÞÝ µ Ó¹ Ö ÞÙ Þ Ö µ ÐÑÙ ½¼ º Ã Ý ØÝÔ ÒÝ ÓÖÞÝ Ø Þ Ó Ö ÐÓÒÝ Ñ ØÓ ÓÑÔÖ Ò Ð Ô ÔÖÞÝ ØÓ ÓÛ ÒÝ Ó Þ Ò Ò Ô Ý ÞÒÝ ØÝÔ ÔÐ Ûº Ï ØÝÑ ÖÓÞ Þ Ð Ó ÓÒ ÒÓ ÔÖÞ Ð Ù Ñ ØÓ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ Û ÓÒØ Þ Ò ÅÀÊº Å ØÓ Ý ÓÑÔÖ ØÖ ØÒ ÔÓ Ò Û Ð Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÔÓÞÛ Ð Ò ÛÝ Ó ØÓÔ ÓÑÔÖ Ò Þ ÛÞ Ð Ù Ò Ö ÑÓ Ð ÛÓ Ó Ò Ó Ó ¹ ØÛÓÖÞ Ò ÒÝ Ò ÑÓ Ý Ù ÝØ Û Û ÐÙ ÔÖÞÝÔ º Æ ØÓÑ Ø Ñ ØÓ Ý ÓÑÔÖ Þ ØÖ ØÒ Þ ØÓ Ò ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò Þ ÔÓÛÓ Ù Ù Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÐÙ Ò ÛÝ Ø ÖÞ Ó ÖÞ Ù ÓÑÔÖ º º½ Å ØÓ Ý ØÖ ØÒ Å ØÓ Ý ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ Ò ÓÔÙ ÞÞ ÐÒ Ó ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Û ØÝ Þ Ò ¹ Ò Û Ø ÖÝ Ó Ö Þ ÑÙ Ý ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ Ö ÞÓ Û ÖÒ º Ï Ñ ÝÝÒ Þ Ð ÞÝ Ý ÞÞ µ ØÖÙ ÒÓ Ó ÛÝÓ Ö Þ Ý ÒÔº ÊÝ º º½ º Ý Ý Þ ÓÖÑÓÛ Ò º Ì Û Þ ØÓ ÓÛ Ò Ø Ò ÞÒÝ ÔÓ ÓÑÔÖ ÑÙ ÞÓ Ø Ó Ò Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ Ý Ø Ð ÔÖÞ Ñ ÓØÙº ØÓ ÓÛ Ò ÞÒ Ù Ò ØÔÙ Ñ ØÓ Ý ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ ÂÈ ÂÈ ¾¼¼¼ ÓÑÔÖ Ð ÓÛ µ ½¼ ÓÑÔÖ Ö Ø ÐÒ ½½ º ÈÓÖ ÛÒ Ò Þ Ò Ñ ØÓ Ý ÂÈ ÅÀÊº Ö ÞÓ ÔÓÔÙÐ ÖÒ Ñ ØÓ ÂÈ ÂÓ ÒØ È ÓØÓ Ö Ô ÜÔ ÖØ ÖÓÙÔµ ÔÓÛ Ø Ó ÛÝÒ ÓÔÖ ÓÛ Ò Û ØÓÛ Ó Ø Ò Ö Ù Þ Ô Ù Þ º ÂÈ ØÓ Ò ÞÛ Ý Ø ÑÙ ÓÑÔÖ Ø ØÝÞÒÝ Ó Ö Þ Û Ö ØÖÓÛÝ ÔÖÞ ÞÒ ÞÓÒ Ó ÛÒ Ó ÔÖÞ ØÛ ÖÞ ¹ Ò Ó Ö Þ Û Ò ØÙÖ ÐÒÝ Þ Ø Ð Ø ÖÒÝ ÔÓÖØÖ Ø Û ØÔºµ Û Ø Ø Ö ½¼

106 ½¼ ÊÇ Á º ÈÇÊ ÏÆ ÆÁ Å ÌÇ ÅÀÊ ÁÆÆ ÅÁ º º º Ò Ñ Þ ÝØ Û ÐÙ Ó ØÖÝ Ö Û Þ ÞÞ Ûº Æ ØÓÑ Ø Û ÔÖÞÝÔ Ù Ó ¹ Ø Û Þ ÛÝÖ õò Þ ÞÒ ÞÓÒÝÑ Ö Û Þ Ñ ÒÔº Ò Ô ÓÒØÙÖ ÔÖÞ Ñ ÓØÙµ Ð ÓÖÝØÑ ÂÈ ÑÓ Û Ò ÔÓ Ò Ö ÞÙÐØ ØÝº Á ÓÑÔÖ ÂÈ Ø ÔÓ Þ Ó Ö ÞÙ Ò ÐÓ Ó ÛÝÑ Ö 8 8 Ô Ð Ò ØÔÒ Ò ÝÑ Þ ÐÓ Û ÛÝ ÓÒÝÛ Ò Ø Ý Ö ØÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÒÙ ÓÛ Ìµ Ð Ó ÐÓ Ù ÛÝÞÒ Þ Û Ô ÞÝÒÒ Û Ô ÞÝÒÒ Ø Ò Ð Ó Þ ÓÖÙ Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Ó ÓÒÝ¹ Û Ò Ø Û ÒØÝÞ Þ Ñ Ò Ò Û ÖØÓ ÓÛ Ø µ ÓÖ Þ Ó ÓÛ Ò Û ÖØÓ Û Ô ÞÝÒÒ Ûº ÂÈ ÔÓÞÛ Ð Ò ÓÑÔÖ ÖÞ Ù ½ ¾¼ Ó ÞØ Ñ Ô ÛÒ ÙØÖ ØÝ ÞÞ Ûµ ØÞÒº Þ Ô ÖÛÓØÒ ÐÓ Ø Û ÑÓ ÔÓÞÓ Ø Û ÓÑÔÖ ÓÛ ÒÝÑ ÔÐ Ù ± Ó ÓÞÒ Þ ÞÑÒ Þ Ò ÖÓÞÑ ÖÙ ÔÐ Ù Ó ±º Ð ÓÖÝØÑ ÓÑÔÖ Ù ÝÛ ÒÝ ÔÖÞ Þ ÂÈ Ø Ð ÓÖÝØÑ Ñ ØÖ ØÒÝÑ ØÞÒº Û Þ ¹ Ó ÛÝ ÓÒÝÛ Ò ØÖ ÓÒ Ø ÞÔÓÛÖÓØÒ Þ Ô ÖÛÓØÒ Ò ÓÖÑ º Ç ØÛ ¹ ÖÞ Ò Ó Ö ÞÙ ÐÓ ÓÛÓ ÔÓÛÓ Ù Û ÔÖÞÝÔ Ù Ó Ö ÞÙ Þ ÖÒÓ¹ Ó Ó ÛÝÖ õò Þ ÞÒ ÞÓÒÝ ÓÒØÙÖ ÛÝ ØÔÙ ÞÒ ÞØ Ò º Ì Ö Ø Ó Ò ØÖ Ò ÓÖÑµ ½½ Ù ÝÛ Ò Û ÓÑÔÖ ÂÈ Ø Ò Þ Ò ÔÓÔÙÐ ÖÒ ÞÝ ÐÓ ÓÛÝ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÒÝ º Â Ø ÞÞ ÐÒ ÔÓÔÙÐ ÖÒ Û ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ ÒÝ º Ì ÔÖÞ ÞØ Ó ÞÓÒÝ N Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ ÐÙ Þ ÔÓÐÓÒÝ g(0),...,g(n 1) Û Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ ÐÙ Þ ÔÓÐÓÒÝ µ G(0),...,G(N 1) Þ Ó Ò Þ Þ Ð ÒÓ Ñ G(k) = N 1 2 g(m) cos N m=0 G(0) = 1 N 1 g(m), N m=0 πk(2m + 1) 2N dla k = 1,2,...,N 1. G(k) Ò ÞÝÛ Ò Û Ô ÞÝÒÒ Ñ Ìº Ò Ù Ö ÛÒ Ó ÛÖÓØÒ Ý Ö ØÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÒÙ ÓÛ Á Ìµ ½½ g(m) = 1 N 1 2 πk(2m + 1) G(0) + G(k) cos dla m = 0,1,...,N 1. N N 2N k=1 Ð Ø ØÖ Ò ÓÖÑ ØÝ Ì Ø ØÓ Û ÞÓ Û Ô ÞÝÒÒ Û Ø ÞÛÝ Ð Ð 0 ÔÓ Û ÒØÝÞ ÞÝÐ Þ Ø Ô Ò Ù ÒÝ ÞÑ ÒÒÓÔÖÞ Ò ÓÛÝ ÔÖÞ Þ Ð Þ Ý ¹ ÓÛ Ø ØÓ Û Ò ØÙØ ÛÝ ØÔÙ ØÖ ØÝ ÒÝ Þ Ð Ò Ó Ô Ö Ñ ØÖ Û ÓÑÔÖ ¹ ÓÖ Ó ÖÞÙ ÑÒ ÐÙ Û ÒÝ µ ÛÝÞ ÖÙ Ó ÙÑÓ Ð Û Ð Ô Þ ÓÑÔÖ ÒÝ º Ó Ì Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ½¹ÛÝÑ ÖÓÛ ØÛÓ ÑÓ Ò Þ ¹ Þ ÑÙ Þ Ö ÛÒ Ò ÐÓ ¾¹ ÐÙ Û ÛÝÑ ÖÓÛÝ º ÛÒÝÑ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ó ÓÛ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ ØÓÛ Ó ÓÔ ÖØ Ó Ò ÐÓ Ì Û ØÓÛÒ Ó Û ÖØÓ Ò Ö Ò ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ ÐÓ Û ØÞÛº Ø ÐÓ ÓÛÝµº Â ÒÝÑ Þ ÔÓ Ó Û Ñ Ò Ñ Ð Þ ØÙ ÐÓ ÓÛ Ó Ø Ù ÝÛ Ò Û ÞÝ ÐÓ Û Û ÔÖÞÝÔ Ù ÑÓÒÓ ÓÑÔÖ ÓÛ ÒÝ Ó Ö Þ Û Ù ÝÛ Ò ÔÖÞ Þ ÂÈ ÐÓ 8 8 Ø ÒÓÛÞÓ Þ Ñ ÐÙ Ò Û Ø Ý Ý Ý Ö Þ Ó ÔÓÛ Ò µº Í ÝØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ì ÔÓÛÓ Ù ØÝ ÐÓ ÓÛ Û ÔÖÞÝÔ Ù ÛÝ Ó ÓÑÔÖ º Â Ð ÓÒØÙÖ Ø ÛÝÖ õòý Ó Ø Þ ÖÒÓ¹ Ý ØÝÐ Ó Þ Ô Ð Ó Û ÖØÓ ½ Þ ÖÒÝµ Ð Ó ¼ Ýµ ØÓ Ø ÐÓ ÓÛÝ ÔÓÛÓ Ù ÞÒ ÞØ Ò ÓÒØÙÖÙº ÈÓÖ ÛÒ Ò Ó Ù Ñ ØÓ Ó ÓÒ ÑÝ Ò ÔÖÞÝ Þ Ó Ö ÞÙ Ð Ø ÖÝ Ïº Ï Ö ÓÑÔÙØ ÖÓÛ ÔÖÞÝ Ó ØÛ ÖÞ Ò Ù Ó Ö ÞÙ Ò Ö Ò Ò Ø ÖÓÞ Þ ÐÞÓ ÑÓÒ ØÓÖ Ò Ô Ð Ó Ò ÑÒ ÞÝ ÔÙÒ Øº Å ØÓ Ò ÙÛ Þ Ó Ð Þ Ò Û Ô ÖÞ ¹ ÒÝ ÔÖÞ ÔÖÓÛ ÞÓÒÓ Û Û ÔÓ Þ ÓÖÞ Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ ÛÝÞÒ ÞÓÒ Û Ô ÖÞ Ò

107 º½º Å ÌÇ ËÌÊ ÌÆ ½¼ Ô Ð ÞÓ Ø Ò Ó ÔÓÛ Ò Ó Þ Ó Ö ÐÓÒ Û Ö ÐÙ Û º Ä Ø Ö Ï Ò ÊÝ º ¾º¾ ÔÓ ¾½ ÛÞ Û Ò Ð Ý Ó R 2 º Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÖÙ ÓÛ Ò Ð Ø ÖÝ Ï ÊÝ º º½µ ÛÝ Ø ÖÞÝ Ò ÑÒ Þ ÓÔÙ ÞÞ ÐÒ ÐÓ Ý ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÇÀÊ ÛÝ¹ Ñ ÖÙ N = 4µ Ô Ð ÓÑÔÖ ÊÝ º º¾µ Ó Ò ØÔÙ Ý Û Ô ÖÞ ÒÝ Ì º º½µ ÊÝ ÙÒ º½º ÈÖÞÝ ÓÛ Ð Ø Ö ÊÝ ÙÒ º¾º ÏÞ Ý ÓÑÔÖ x i y i ½¼ ¼ ¾¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¾¼ ¼ ¼ ¼ ¾¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ Ì Ð º½º Ï Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒÝ ÏÞ Ý ÔÙÒ Ø Ñ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒÝÑ Û Ø ÖÝ ÛÝ ØÔÙ ØÖ ÑÙÑ ÐÓ ÐÒ Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÓÖ Þ ÔÙÒ ØÝ Ð ÔÓÑ ÞÝ ØÖ Ñ Ñ ÐÓ ÐÒÝÑ º Ð Ø Ö ÔÓ ÓÑÔÖ ÊÝ º º µ Ó Ò ÑÒ Þ ½ Ô Ð Ó x = 10 Ó x = 90µº ÇÔ Ö ØÓÖÝ ÇÀÊ Ù ÓÛ Ò Ò ÔÓ Ø Û ÞØ Ö ÛÞ Û Ñ ÖÞ Ñ Ó ÛÝÑ Ö 4 4 ÔÓÒ Û ÐÓ ÛÞ Û ÑÒ Þ Ò ½ Ò ÔÓÞÛ Ð Ò ÓÖÞÝ Ø Ò Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ó ÛÝÑ Ö 8 8º Ç ØÛÓÖÞÓÒÓ Û ÞÝ Ø Ö Ù Ô Ð Ð Ø ÖÝ Þ Ù Ý Ñ ÅÀÊº

108 ½¼ ÊÇ Á º ÈÇÊ ÏÆ ÆÁ Å ÌÇ ÅÀÊ ÁÆÆ ÅÁ º º º ÊÝ ÙÒ º º Ä Ø Ö ÔÓ Ó ØÛÓÖÞ Ò Ù Ó ÖÞÝÛ ÓØÛ ÖØ ÊÞ ÓÑÔÖ ÛÝÒÓ» ½ ÞÝÐ ½½± ÞÑÒ Þ Ò ÐÓ Ô Ð Ó ±µº Ó Ó ØÛÓÖÞ Ò Ö Ù Ý ¾ Ô Ð ÛÝ ÓÒ ÒÓ ¼ ÓÔ Ö ÑÒÓ Ò ÐÙ Þ Ð Ò Ó Ö Ò Ó º Ø Þ Ò Ò Þ ÓÑÔÖ ÓÛ ÒÝ Ô Ðº ÈÖÞÝ ÓÑÔÖ ±»½ ½ ÞÝÐ ÖÓÞÑ Ö ÔÐ Ù ÙÐ ÞÑÒ Þ Ò Ù Ó ±µ Ð Ó ØÛÓÖÞ Ò ½ ¾ Ô Ð Ò Ð Ý ÛÝ ÓÒ ½¾½¾ Þ º Æ ØÓÑ Ø Û ÔÖÞÝÔ Ù Ñ ØÓ Ý ÂÈ Ó ÔÓ Ó ÒÝÑ ÖÞ Þ ÓÑÔÖ ÅÀÊ Ð Ó ØÙ Ó ÛÝÑ Ö Ô Ð Ñ ÑÝ ½¼¼ ÐÓ Û 8 8º Ð Ó ÐÓ Ù ÞÝÐ Ð ¼¼ Ô Ð µ ÛÝ ÓÒ Ò Ø Ìº Æ Û Ø Þ Û ÓÒØÙÖÞ Þ ÖÒÓ¹ ÝÑ Û ÖØÓ Ô Ð Ó Ø Þ ÖÓ Ô Ð Þ ÖÒ Ó¹ Ò ØÓ Û Ñ ØÓ Þ ÂÈ Þ Ð Ó Ö Þ Ò ÐÓ 8 8 Ý ÐÓ Þ Û Ö Ñ ÝÑ ÐÒ Ò Þ ÖÓÛÝ Ô Ð ÞÝÐ ÒÝ Ø ½½ ÐÓ Û Ò Þ ÖÓÛÝ Ð ÔÖÞÝ ÓÛ Ð Ø ÖÝ Ï º Æ ØÔÒ Ð Ó ÐÓ Ù Ò Ð Ý ÛÝ ÓÒ Ì Ó Û ÔÖÞÝ Ð Ò Ù ÓÔ Ö ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò Ó Ð Þ Ò Ó ÒÙ Ö Þ Ñ ¾ ¾¼µº Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÓÑÔÖ ÛÝ ÓÒ Ò Ø Ó ÛÖÓØÒ Ì Ý Ó ØÛÓÖÞÝ Û ÞÝ Ø Ô Ð Û Ò Þ ÖÓÛÝ ÐÓ Ò Ð Ý ÛÝ ÓÒ ÓÔ Ö ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò Ó Ð Þ Ò Ó ÒÙ ¾ ½½¾µº ÈÖÞÝ Ó Ó ÛÝÑ Ö Ó Ø ØÒ Ð Þ Þ ÔÓ ÛÓ ÓÒ º Â Ø ØÓ Þ Ý ÓÛ Ò Û Ò Û ÅÀÊ ¾ ¾ µº Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ý Ö Û õ Ó ØÙ Ó Ö ÞÙµ Ø ÒÓÛ ÓÒØÙÖ Þ ÓÒØÙÖÙ Ò Ð Ý ÓÔ Þ ÓÖ Ñ Ô Ð ÛÞ ÓÛÝ Ó ØÛÓÖÞÝ Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊº ÈÖÞÝ Ó ØÙ Þ ÓÒØÙÖ Ñ ÊÝ ÙÒ º º Ä Ø Ö Ó ÓÒØÙÖ Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÓÒØÙÖÙ ÑÓ ØÒ ÓÒ ÞÒÓ ÔÓ ÛÓ Ò ÐÓ ÛÞ Û Ð ÛÙ ÖÓØÒ ÞÛ Þ Ò Ð Þ Ý ÛÝ ÓÒÝÛ ÒÝ ÓÔ Ö ÑÒÓ Ò ÐÙ Þ Ð Ò Ò ÛÔ ÝÒ Ò Ø ÅÀÊ Ñ Þ Ý ÓÛ Ò ÑÒ Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ò Ñ ØÓ ÂÈ º

109 º½º Å ÌÇ ËÌÊ ÌÆ ½¼ ÈÓÖ ÛÒ Ò Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ± ÓÑÔÖ Ð Ø ÖÝ Þ ÊÝ º º½ Ñ ØÓ ÂÈ ¾ ¾¾ Þ ÔÖÞÝ Á Ì Ñ ØÓ ÅÀÊ ¾ ¾ Þ º ÊÝ ÙÒ º º ÈÓÖ ÛÒ Ò Þ ÓÑÔÖ ÓÛ Ò Ð Ø ÖÝ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ñ ØÓ ÂÈ ÓÖ Þ ÅÀÊ Ï Ñ ØÓ Þ ÂÈ Þ ÙÛ ÐÒ Ù Þ Ó Þ Ò ÖÓÞÑ Þ Ò Ø ØÙ Ò Û Ø Ò Þ Ó Ó Ñ ÒÓÛ Ô ÛÒ ÙÔÖÓ ÞÞ Ò Ø Ö ÔÓÞÛ Ð Ó ÞÝØ Ó Ø Ò Ô Ò º ÈÖÞÝ Ø Ñ ÓÑÔÖ ± ¹ ÖÓÞÑ Ö ÔÐ Ù ÙÐ ÞÑÒ Þ Ò Ù Ó ±µ ÅÀÊ Ø ÓÑÔÖ Þ ØÖ ØÒ Ò Ð Ø ÖÝ ÔÓ Þ Ý¹ ÓÛ Ò ÑÒ Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ º ÅÀÊ Ò ÔÓÛÓ Ù ÖÓÞÑ Þ Ò Ð Ø ÖÝ ÂÈ Ó ØÛÓÖÞÓÒ ØÝÐ Ó ÔÙÒ ØÝ Ò Ð Ó Ó ØÙ Ö ÞÒ ÞØ ØÙ ÐÓ ÓÛ Óº ÇÔÖ Þ Ñ ØÓ Ý ÂÈ ÓÑÔÖ ØÖ ØÒ ÛÝ ÓÒÙ Ñ ØÓ ÂÈ ¾¼¼¼ Ñ ØÓ Ö Ø ÐÒ º Å ØÓ ÂÈ ¾¼¼¼ ÔÓÞÛ Ð Ò ÛÝ Ó ØÓÔ ÓÑÔÖ ÔÖÞÝ Ò Þ Ó Ó Ö ÞÙ Ð Ô Þ Ò ÂÈ µ Ò Ù ÛÝ Ó Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ó Ö Þ Ò Þ Û Þ Ø Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ Ó Ò º Ï Ñ ÝÝÒ ÞÝ ÔÖÞ ÑÝ Ð Ò ÑÓ Ò Ó ÔÓÞÛÓÐ Ò Ò Ô ÛÒÓ Ó Ö ÞÙº Å ØÓ ÂÈ ¾¼¼¼ ÞÛ Ò Ø Ø ÓÑÔÖ Ð ÓÛ ÔÓÒ Û ÓÔ ÖØ Ø Ò ÔÖÞ ÞØ Ò Ù ÒÝ Þ ÔÓÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ ØÝ Ð ÓÛ º Ð ÒÔº Ð À Ö µ ÙÒ Ñ ØÓ ÓÛ ÒÝÑ Ó ÔÖÓ ÝÑ ÔÖÞ ¹ Ù ÙÒ ½¾ º ÔÖÓ ÝÑ ÒÝ ÔÓÛÓ Ù ÞÒ ÞØ Ò Ó Ö ÞÙ ÔÓ ÓÑÔÖ º Ï ÓÑÔÖ Ö Ø ÐÒ ÛÝ ÞÙ Ù Û Ó Ö Þ Ò Ö Þ ÔÓ Ó Ò Ó Ö Ñ ÒØÝ ÓÔ Ù Ø ÔÓ Ó ØÛ º ÈÓ Ó ØÛ Ð Ñ ÒØ Û Ó Ö ÞÙ ÛÝ ÔÝ¹ Û Ò Þ Ó ÒÓ Ó ÔÖÓ ØÝ ÔÖÞ ÞØ ÞÑ Ò ÒÓ ÞÝ ÔÖÞ ÞØ Ò ÓÑ ØÖÝÞÒ ÝÑ ØÖ Ó ÖÓØÝµº ÈÓ Ó ØÛ Ö Ñ ÒØ Û ÔÓÛÓ Ù ÑÓ Ò Ð Ö Ñ ÒØ Û ÓÑÔÖ ÓÛ Ó Òº Ç Ò ÖÞ Ó ÔÓØÝ ÓÑÔÖ

110 ½½¼ ÊÇ Á º ÈÇÊ ÏÆ ÆÁ Å ÌÇ ÅÀÊ ÁÆÆ ÅÁ º º º Ö Ø ÐÒ Þ ÛÞ Ð Ù Ò Ö ÞÓ Ù Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÔÖÞÝ Ö Ù Û ÖÒ Ó ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÓÖÝ Ò ÐÒ Ó Ó Ö ÞÙº ÈÓ ÙÑÓÛÙ Ñ ØÓ Ý ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ ÑÓ Ý ØÓ ÓÛ Ò Ø Ñ Þ ÔÓ¹ Ñ ÑÓ ÞÒ ÞØ Ò Ó Ö ÞÙ ÙÑÝ Þ ÓÛ Ø Û Ø Ò Ó ØÛÓÖÞÝ Ô ÖÛÓØÒÝ ÛÝ Ð º º¾ Å ØÓ Ý Þ ØÖ ØÒ Ï Û ÐÙ Þ Þ Ò Ý Ó Ö Þ ÔÓ ÓÑÔÖ ÑÙ Ý Ó Ò Ø ÓÖÝ¹ Ò ½½½ º ÇÞÒ Þ ØÓ ÓÒ ÞÒÓ Ù Ý Ñ ØÓ ÓÑÔÖ Þ ØÖ ØÒ ÔÓÑ ÑÓ Þ ØÓ ÛÓÐÒ Þ ÐÙ ÔÓÞÛ Ð Ò ÑÒ ÞÝ ØÓÔ ÓÑÔÖ Û ÔÓÖ ÛÒ Ò Ù Þ Ñ ØÓ Ñ ÓÑÔÖ ØÖ ØÒ º Æ Ö Þ ÔÓÔÙÐ ÖÒ Ò ØÔÙ Ñ ØÓ Ý Þ¹ ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ ÊÄ Ä Ï ÈÆ ÄÁ ÄÇ Ç¹Á»ÂÈ ¹ÄË º ÈÓÖ ÛÒ Ò Þ Ò Ñ ØÓ Ý ÊÄ ÅÀÊº Å ØÓ ÊÄ ÊÙÒ¹Ä Ò Ø ÒÓ Ò Ó ÓÛ Ò Ù Ó Ö µ Ñ Þ ØÓ ÓÛ Ò Û ÓÑÔÖ Ó Ö Þ Û ÓÐÓÖÓÛÝ Û Ø ÖÝ ÛÝ ØÔÙ Ö Ñ ÒØÝ Ó Ø Ñ ÑÝÑ ÓÐÓÖÞ Ô Ð º Ï ÝØÙ Ý ÓÑÔÖ ÓÛ ÒÝ Ó Ö Þ Þ Þ ÖÒÓ¹ Ý ÓÒ¹ ØÙÖ Û ÞÒ Ù Ý Ð Ó ÊÝ º º½µ Ù Þ Ö Ñ ÒØÝ Û ÒÝÑ ÓÐÓÖÞ Ò ÛÝ ØÔÙ Ñ ØÓ ÊÄ Ù Ö ÞÓ ÝÑ ØÓÔÒ Ñ ÓÑÔÖ º Ó Ò Ò Ð Ý ÓÑÔÖ ÓÛ Ò ØÔÙ Ý Ó Ö Þ Þ ÖÒÓ¹ Ý Ñ ØÓ ÊÄ º ÊÝ ÙÒ º º ÈÖÞÝ Ó Ö ÞÙ Þ ÖÒÓ¹ Ó Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ý Ñ ÞÝ ÝÑ Ó Ö Ñ ÞÝ Ð Ô Ò ÊÝ º º ÛÝ ØÔÙ Ò Ô Ð Ó ØÔÙ Ñ ØÓ ÊÄ Ò ÞÒ Þ Ö Ò Ý Ô Ð Ò Þ ÖÒÝ Ô Ð º ÃÓÑÔÖ Ñ ØÓ ÊÄ Ø Û Ó Ö Ò ÞÓÒ Ó Ó ÖÞ Ù ÓÑÔÖ º Æ ØÓÑ Ø Þ ÅÀÊ Ý Ó Ö Ð Ô µ ÑÓ Ò Ó ØÛÓÖÞÝ Ò ÔÓ Ø Û Ô Ó Ö Ù Ô Ð Ô Ýµ ÞÒ ÓÑÓ ÔÙÒ ØÙ ÖÓ ÓÛ Ó Ô Ó Ö Ô Ð Ô µ ÑÓ Ò Þ Ô ÓÑÔÖ ÓÛ µ Þ ÔÓÑÓ Ô Ù ÛÞ Û ÔÖÞÝ Ù Ý Ù ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ N = 2µ Þ Û Ù ÛÞ Û Ð ÓÑÔÖ Ò Ø Ô Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ N = 4µ Ð Ó ÑÒ ØÙ ÛÞ Û Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ N = 8µº ÈÓÖ ÛÒ ÒÓ Ø Ö Þ ØÓÔ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ ØÝÔÙ Ò ÊÝ º º Ñ ØÓ ÊÄ ÅÀÊ

111 º¾º Å ÌÇ ËÌÊ ÌÆ ½½½ ÊÝ ÙÒ º º ÈÖÞÝ Ó Ö ÞÙ Þ ÖÒÓ¹ Ó ÔÓ Ò Ó ÓÑÔÖ ÊÄ ÅÀÊ Ó Ò Ó Ö Þ ØÝÔÙ Ò ÊÝ º º Þ Ô Ù Ö ÛÒÓÐ Ó Ó Ûº Ç Ö Þ ÓÔ Ù ÝÒ Ô Ð Þ ÖÒÝµ Þ Ö ÓÐÓÖ Ýµ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ Ì Ð º¾º Ç Ö Þ Ò ÖÒÝ Þ Ô ÒÝ Þ ÔÓÑÓ ¼ ½ Ý Ó Ö Þ Þ Ì º º¾ Þ 21 2 = 441 ÞÒ Ûº Ï Ñ ØÓ Þ ÊÄ Ò¹ ØÝÞÒÝ ÞÒ Û Ø Þ Ô ÒÝ ÔÓÔÖÞ Þ ÔÓ Ò ÐÓ ÛÝ ØÔÓÛ Ò Ò Ó ÞÒ Ù ÒÔº ¼¼¼¼¼¼ Ó ¼º Ì Û Þ Ô Ò ÓÞÒ Þ n¹ ÖÓØÒ ÛÝ Ø Ô Ò ÞÒ Ù A Ø Ô Ö ØÓÖ Ñ ÔÓÞÛ Ð ÝÑ Ó Ö Ò ÞÒ Ó ÓÛ ÒÝ Ó Ò Ó ÓÛ Ò Óµº Ð n = 1,2,3 Ò ØÖÞ Ó ÓÛ 1A 2A 3A Ð Þ Ò Ð Ý Þ Ô Ó ÔÓÛ Ò Ó º Å ØÓ ÊÄ ÔÓÛÓ Ù ÓÑÔÖ Ð ÞÒ ÛÝ ØÔÙ ÔÓ ÓÐ Ó Ò ¹ ÑÒ ÞØ ÖÝ Ö ÞÝ ½½ Û ÛÞ Ø Þ Ô ÒÝ Þ Ù Ý Ñ ØÖÞ ÞÒ Û Ò º Ï Ø Ò ÔÓ Ó Ö Þ Þ Ì º º¾ Ø ÓÑÔÖ ÓÛ ÒÝ Ñ ØÓ ÊÄ Ó ¾ ÞÒ Ûº ÇÞÒ Þ ØÓ

Pokazać jeszcze