t = pn T = pi ρ dv i dt = ρf i + p , i = 1, 2, 3 µ x i ρ( v i t + v v i div v = 0 ρ v + (v )v = ρf p = 0 j = ρf i p, i = 1, 2, 3 µ

Transkrypt

1 ÏÝ Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÞÝ Ò Ð Ô À ÒÖÝ ÃÙ Ð ËÔ ØÖ ½ Ê ÛÒ Ò ÙÐ Ö ÖÙ Ù ÞÝ Ò Ð Ô ½ ½º½ Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÞÝ Ò ÐÔ Û ÓÖÑ ÖÓÑ ¹Ä Ñ º º º º º º º º º ½º¾ Ê ÛÒ Ò À ÐÑ ÓÐÞ ØÖ Ò ÔÓÖØÙ Û ÖÓÛÓ Ð Ô ÝÒÙ Ò Ð Ô Ó º º º º º º ½º ÓÑÔÓÞÝ ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ó Ò Þ Ò Ð Û Ö ÒØÓÛ º º º º º ½º Å ØÓ ÔÖÓ ÒÙÑ ÖÝÞÒ Ó ÖÓÞÛ ÞÝÛ Ò Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÞÝ Ò ¹ Ð Ô Ò Ð Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÈÖÞ Ô ÝÛÝ ÔÓØ Ò ÐÒ ¾º½ Ò Ö Ò ØÝÞÒ ÖÙ Ù ÔÓØ Ò ÐÒ Ó ØÛ Ö Þ Ò Ì ÓÑ ÓÒ º º º º º º º ¾º¾ Ê ÛÒ Ò ÖÒÓÙÐÐ ³ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º ÌÛ Ö Þ Ò Ã ÐÚ Ò Ó ÝÖ ÙÐ ÔÓÐ ÔÖ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ÌÛ Ö Þ Ò À ÐÑ ÓÐØÞ Ó ÖÓÞ Þ ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ó ½¾ º½ éö Ó ÔÙÒ ØÓÛ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÙÒ ÐØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÔÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ÇÔ ÝÛ ÙÐ ØÖÙÑ Ò Ñ ÒÓÖÓ ÒÝÑ ¾ º½ ÊÙ Ô ÝÒÙ ÛÝÛÓ ÒÝ ÖÙ Ñ ÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½ Ê ÛÒ Ò ÙÐ Ö ÖÙ Ù ÞÝ Ò Ð Ô Ý Ö ÛÒ Ò ÔÓ Ò ÔÖÞ Þ Ù Ý³ Ó ÑÓ Ó Ý Þ ØÓ ÓÛ Ò Ó Ó ÖÓ Ô ÝÒÒ Ó ÔÖÞ Þ Ø ÖÝ ÖÓÞÙÑ Þ Ö ÛÒÓ Þ Þ Ò Ð Ý ÔÓ ÞÛ Þ ÓÛÝ Ø Ò ÓÖ T ij ÒÒÝÑ ÞÑ ÒÒÝÑ Ö Ø ÖÝÞÙ ÝÑ Ô Ö Ñ ØÖÝ ÞÝÞÒ Ó ÖÓ Ó Û ÒÓ ÞÑ ÒÒ Ó ÖÙ Ùº Ë ØÓ Ø ÞÛ Ò Ö ÛÒ Ò ÓÒ ØÝØÙØÝÛÒ º Ï ØÓÖ ÖÓÞÛÓ Ù Ñ ¹ Ò Ô ÝÒ Û Ò Ô ÖÛ Ù Ó ÓÖÑÙ ÓÛ Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù Ô ÝÒÙ Ð ÞÝ Ò Ð Ô º Ó ÓÒ Ø Ó Ô ÖÛ ÞÝ ÙÐ Ö Û ÖÓ Ù ½ ½º Ï Ö ÛÒ Ò ÔÓ ÒÝ ÔÖÞ Þ ÙÐ Ö ÝÒÝÑ Ñ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÛÝÑ Ý ÞÝÐ ÓÛÓÐÒ Ó ØÓ Ð Ñ ÒØÙ Ô ÝÒÙ ÔÓ Ð ÓÑÔÖ º Ë Ý Ø Þ Û Þ ÔÖÓ ØÓÔ Ó ÖÞ Ù Ó Ö Ò Þ Ó Ò Ó ØÓ º ½

2 ½ Ê ÏÆ ÆÁ ÍÄ Ê ÊÍ ÀÍ Á ÆÁ Ä ÈÃÁ Â Ò ½º½º È ÝÒ Ñ Ó ÓÒ ÝÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ô ÝÒ Û Ø ÖÝÑ Ò ÛÝ ØÔÙ Ò ÔÖ Ò ØÝÞÒ ØÓ ÞÒ ÞÝ Û ØÓÖ Ò ÔÖ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÛÝ Ñ ÔÓ Ø t = pn ½µ ÞÝÐ T n Ø Þ Û Þ Ö ÛÒÓÐ Ð Ó n Ñ ÔÓ Ø T = pi Ó Ò Ò ÔÖ Ò Û ÞÝ Þ Û Þ ÔÖÓ ØÓÔ Ó ÔÓÛ ÖÞ Ò Ø Ô ÛÒ Ð Þ º Ð Ø Ó Ó ÖÓ Ô ÝÒÒÝ Þ Ø Ó Ö ÐÓÒÝÑ Ø Ò ÓÖ Ñ Ò ÔÖ Ò ÞÝÛ Ô Ý¹ Ò Ñ Ó ÓÒ ÝѺ ÈÓÑ Ò ØÓ Ð Ô Ó Ô ÝÒÙ Ø Ö ÔÓÛÓ Ù Ñ ÞÝ Ð Ñ ÒØ Ñ Ô ÝÒÙ ÔÓ Û Ò ÔÖ Ò Ò º Ë Ð Ö p(x,t) ÓÔ Ù Ý ØÓ ÒØ Ò ÝÛÒÓ µ Ý ÔÓ¹ Û ÖÞ Ò ÓÛ N/m 2 Ò ÞÝÛ Ò Ò Ñº Ç ÛÓ Ù Ó Ò ØÙÖÝ ÞÝÞÒ Ô ÝÒ Û Ò Ð Ý ØÛ Ö Þ Û Ó ÖÓ Ù Ô ÝÒÒÝÑ Þ Û Þ ØÒ Ò Ò º Â Ø ØÓ ÔÓ Ø ÛÓÛ ÔÓ¹ Ó Ò ØÓ Ó ÖÓ Ô ÝÒÒ Óº Ò Ò Ø ÛÝÒ Ñ ÑÓÐ ÙÐ ÖÒ Ò ØÙÖÝ Ñ Ø Ö º ÓÛÓÐÒÝ Ð Ñ ÒØ ÔÓÛ ÖÞ Ò Þ ÒÙÖÞÓÒ Û Ó ÖÓ Ù Ô ÝÒÒÝÑ Ò Û ÙØ Ø ÖÑ Þ¹ Ò Ó ÖÙ Ù ÑÓÐ Ù ÓÞÒ Ó ÓØ Þ Ó Ó ÖÓ Ò Û ÙØ Þ ÖÞ ÑÓÐ ÙÑ Þ Ø Þ ÔÓÛ ÖÞ Ò º Æ Ý Ð Ñ ÒØ Ø ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò Þ Ð Ò Ó ÓÖ ÒØ Þ df = pndaº Æ Ð Ý ÙÞÑÝ Û Ó Ø Ò Ò Ó ØÓ Ý ÔÓÛ ÖÞ ¹ Ò ÓÛ Ò ÑÓ Ò ÔÓÑ ÖÞÝ ÞÔÓ Ö Ò Ó Ð ÑÓ Ò Ó ÓÒ ÔÓÑ ÖÙ Ó Ö Ò Ýº Ï ÔÖ ØÝ Ò ÝÒ Ö ÔÓÛ Þ Ò ÔÓÑ ÖÙ Ö Ò Ý Ò Ó ÓÒÙ ÛÞ Ð Ñ Ò ¹ Ò ÓØÓÞ Ò ØÑÓ ÖÝÞÒ ÓµºÂ Ø ØÓ Ø ÞÛ Ò Ò Ò ÛÞ Ð Ò º Ó ÓÒÙ Ø Ò Ý ÔÓÑ ÖÙ Ö Ò Ý Ò ÛÞ Ð Ñ ÔÖ Ò Þ Ò Ñ Ó ÖÓ Ñ Ø Ö ÐÒ Ó Ò Ò Ø Ö ÛÒ Þ ÖÓº ÏØ Ý Ò Ò Ñ Ò ÞÝÛ Ò Ø ÓÐÙØÒÝÑ ÐÙ ÞÛÞ Ð ÒÝѵº Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù Ô ÝÒÙ ÞÝ Ó ÓÒ Ð Ò ÞÝÛ Ò Ö ÛÒ Ò Ñ ÙÐ Ö Þ ÛÞ Ð Ù Ò ØÓ Ð Ø Ò ÓÖ ÔÓ Ø ¾µ Þ Ó Þ Div T = p ÔÓ Ø ρ dv i dt = ρf i + p x i, i = 1, 2, 3 µ ÐÙ ÖÓÞÔ Ù ÔÓ Ó Ò Ù Ø Ò ÐÒ ÔÓ Ð Û ØÖÓÒ Û ÔÓ Ø ρ( v i t + v v i j = ρf i p, i = 1, 2, 3 µ x j x i Æ Û ÓÑÝÑ Û Ö ÛÒ Ò µ (v 1,v 2,v 3,p,ρ)º Û Ñ ÑÝ Ô Ò Û ÓÑÝ º Ó Ö ÛÒ µ Ò Ð Ý Ó ÞÝ Ö ÛÒ Ò Ó ÛÝÖ ÛÝÖ Þ Þ ÓÛ Ò Ñ Ý dρ dt + ρdivv = 0 ÓÖ Þ Ó Ø ÓÛÓ ÙÞÙÔ Ò ÞÛ Þ Ñ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÞÒÝÑ Ø ÞÛ ÒÝÑ Ö ÛÒ Ò Ñ Ø ÒÙ Ó Ö Ð ÝÑ Þ Ð ÒÓ ÔÓÑ ÞÝ Ò Ò Ñ ØÓ Ô ÝÒÙ Ò ÔÖÞÝ Ð Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Ø Ö ÛÒ Ò ÑÓ Ñ ÔÓ Ø p/ρ = cont ØÔº Ð ÞÝ Ò Ð Û ÒÓÖÓ Ò ρ = const.µ Ù Ö ÛÒ ÓÔ Ù Ý ÖÙ ÞÝ ÛÖ Þ Þ Û ÖÙÒ Ñ ÔÓÞ Ø ÓÛÝÑ ÖÞ ÓÛÝÑ Ò Ð Ø ÝÑ Ø ÔÓ Ø ρ v t + (v )v = ρf p µ div v = 0 v(x,0) = v 0 v n = 0 ¾µ µ µ µ ¾ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

3 Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÞÝ Ò ÐÔ Û ÓÖÑ ÖÓÑ ¹Ä Ñ Ê ÛÒ Ò µ ÛÖ Þ Þ Û ÖÙÒ Ñ ÖÞ ÓÛÝÑ Ò ÞÝÛ Þ Ò Ò Ñ Ù Ý³ Ó Ø Ö Ø ÒÓÛ ÓÑÔÐ ØÒÝ ÓÔ ÖÙ Ù ÞÝ Ò Ð Û ÒÓÖÓ Ò º Ð ÔÖÞ Ô ÝÛÙ ØÖ ÛÝÑ ÖÓ¹ Û Ó v = (v 1,v 2,v 3 ) Þ Ò Ò ØÒ Ò ÖÓÞ Û Þ Ò Ø ÓÛ Þ ÓÒ ØÝÐ Ó Ð Ø Ø Ó ÔÖÞ Þ ÐÙ Þ Ùº Ð Ð Þ Ò Ò ÛÙ ÛÝÑ ÖÓÛ Ó ÓÛ ØÒ Ò Ó ÖÓÞ¹ Û Þ Ò Ð Û ÞÝ Ø Þ Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ ÔÓ ÔÓÐ Ñ Ø Ñ ØÝ Ïº ÏÓÐ Ò Ö ½ ¾ ÖÓ Ùº º ½º½ Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÞÝ Ò ÐÔ Û ÓÖÑ ÖÓÑ ¹Ä Ñ Ê ÛÒ Ò ÙÐ Ö µ ÑÓ Ò ÔÖÞ ÞØ Ó ÒÒ Ö ÞÓ Ù ÝØ ÞÒ ÓÖÑݺ ÈÓÒ Þ ØÓ ÑÓ Û ØÓÖÓÛ ÔÓÞÛ Ð Þ Ô Ö ÛÒ Ò ÙÐ Ö µ Û Ò ØÔÙ ÓÖÑ (v )v = ( 1 2 v2 ) + ω v µ ρ v t + ω v = (1 2 v2 ) ρf p ½¼µ Ï ÞÞ ÐÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Ý Þ ÛÒØÖÞÒ Ñ ÓÛ Ñ ÔÓØ Ò f = Φ Ò ÔÖÞݹ Û ÔÓÐÙ Ö Û Ø Ý ÒÝÑ Φ = gx 3 ØÓ ÔÓÛÝ Þ Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÞÝ Ò Ð Ô Ó Ø ØÓ ρ ÑÓ Ò Ð ÔÖÞ ÞØ Ó ÔÓ Ø v t + ω v = (v2 2 + ρφ + p ρ ) ½½µ Ï ÖÙÒ v n = 0 Ò ÖÞ Ù Ø Ó ÞÝÞÒ ÓÞÒ Þ Ö ÔÖÞ Ô ÝÛÙ ÔÖÞ Þ Òº Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù Û ÔÓ Ø ½½µ ÑÓ Ò Þ Ô Ò ØÝÐ Ó Ð ÞÝ Ò Ð Û ÒÓÖÓ Ò ρ = const.µ Ð ÖÓÛÒ Ð ÔÖÞ Ô Ù ÞÝ ÖÓØÓÖÔÓÛ ØÓ Ø Ø Ý ØÓ Ô ÝÒÙ Þ Ð Ý Ó Ò Ò ρ = ρ(p)º ÏØ Ý Ó ÖÓÞÛ ÛÔÖÓÛ Þ ØÞÛº ÙÒ Ò Ò P(p) = p p 0 dp ρ(p) ½¾µ Ð Ø Ó Ö ÐÓÒ ÙÒ Ò Ò Þ Ó Þ P(p) = dp dp p = 1 ρ p ½ µ Ð Ô ÝÒÙ ÖÓØÓÖÔÓÛ Ó Ö ÛÒ Ò ½½µ ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø v t + ω v = (v2 2 + ρφ + P) ½½ µ Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù Û ÔÓ Ø ½½ µ ÐÙ ½½µ Ò ÞÛ Ö ÛÒ Ò Ñ ÓÖÑ µ ÖÓÑ Ä Ñ º Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û

4 Ê ÛÒ Ò À ÐÑ ÓÐÞ ØÖ Ò ÔÓÖØÙ Û ÖÓÛÓ Ð Ô ÝÒÙ Ò Ð Ô Ó ½º¾ Ê ÛÒ Ò À ÐÑ ÓÐÞ ØÖ Ò ÔÓÖØÙ Û ÖÓÛÓ Ð Ô ÝÒÙ Ò Ð Ô Ó Ê ÛÒ Ò ½½µ ÐÙ ½½ µ ÑÓ Ò ÔÖÞ Ø Û Ò ØÔÙ Ó v t + ω v = (B) ½½ µ Þ B = v2 2 + ρφ + P Ò ÞÝÛ Ø Þ ÓÒ Ñ ÖÒÓÙÐÐ ³ Óº ÔÓÛÝ Þ Ó Ö ÛÒ Ò ½½ µ ÛÝÒ Ó Ð Û ØÖÓÒ Û Ø Ö ÛÝ ØÔÙ Û Ð Ó Ò Ñ ØÝÞÒ ÔÖ Ó Û ÖÓÛÓ Ø ÔÓÐ Ñ ÔÓØ Ò ÐÒÝÑ ÞÝÐ ÝÑ ÔÖÞ Ø Û Ó Ö ÒØ Þ Ô ÛÒ ÙÒ Ð ÖÒ º Ò ÞÝ ØÓ Ð Û ØÖÓÒ Ö ÛÒ Ò Ø ÞÛ ÖÓÛ ÑÙ Þ Ó Þ rot( v t + ω v) = 0 ½ µ ÐÙ Ò Þ ω + rot(ω v) = 0 t ½ µ ÏÝÒ Ø Ò ÔÓÐ ÔÖ Ó ÑÓ Ý Ö Ð ÞÓÛ Ò Ð Ô ÝÒÙ Ó ÓÒ Ó ÖÓØÖÓÔÓÛ Ó Û ÔÓØ Ò ÐÒÝÑ ÔÓÐÙ Ñ ÓÛÝ Ð ØÝÐ Ó Ø Ø Ö Ô Ò Ö ÛÒ ¹ Ò ½ µº Ê ÛÒ Ò ½ µ ÑÓ Ò ÔÖÞ ÞØ Ð ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Ò ØÔÙ ØÓ ÑÓ Û ØÓÖÓÛ rot(ω v) = (v )ω (ω )v + ω divv v div ω ½ µ ÈÓÒ Û div ω 0 ØÓ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ½ µ ÛÞ Ö ½ µ ÑÓ Ò Þ Ô ω + (v )ω = (ω )v ω divv t ½ µ ÙÛ Ð Û ØÖÓÒ ÛÝÖ ÔÓ Ó Ò Ù Ø Ò ÐÒ Ö ÛÒ Ò ½ µ ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø dω = (ω )v ω divv dt ½ µ Ê ÛÒ Ò ½ µôó Ö Þ Ô ÖÛ ÞÝ ÛÝÔÖÓÛ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ Ö Ñ Ò ÒÓ Ò ÞÛ Ö ÛÒ Ò ÝÒ ¹ Ñ ÞÒ ÑÓ Ð ÛÓ ÖÙ Ùº È ÖÛ ÞÝ Þ ÓÒ ÔÖ Û ØÖÓÒÝ Ö ÛÒ Ò (ω )v ÓÔ Ù ÞÑ Ò Û ØÓÖ v ÛÞ Ù ÖÙÒ Ù Û ØÓÖ Û ÖÓÛÓ ω ÔÓÒ Û Ó ÔÓÛ ØÓ ÔÖÓ Ö ¹ ÒØÙ ÔÖ Ó Ò ÖÙÒ Û ØÓÖ ωº Þ ÓÒ Ø Ò ÑÓ Ò ÔÖÞ Ø Û Ó (ω )v = D ω ½ µ Þ D Ø Ø Ò ÓÖ Ñ ÞÝ Ó ÓÖÑ º ÇÔ Ù ÓÒ Ø ÓÖÑ ÔÓÐ Û ÖÓÛÓ ωº Þ Ò Þ ÓÒÙ (ω )v Ò ÔÓÐ Û ÖÓÛÓ ÔÓÔÙÐ ÖÒ Ò ÞÝÛ ÒÝ Ø Ø Ñ ÖÓÞ Ò Ð Ò Û ÖÓÛÝ º ÖÙ Þ Þ ÓÒ Û ÔÓ ÔÖ Û ØÖÓÒ Ö ÛÒ Ò ½ µ ( ω divv) Ó Ö Ð Ø Ð ÛÓ º ÓÖ ÔÓ ÙÛ Ø divv = 1 dρ ρ dt ÓÖ Þ Þ Ð Ö ÛÒ Ò ½ µ Ó Ù ØÖÓÒÒ ÔÖÞ Þ ρ ÑÓ Ò ÔÖÞ Ø Û Û Ò ØÔÙ ÔÓ Ø ( ) d ω = ( ω )v ¾¼µ dt ρ ρ Â Ó ÞÞ ÐÒÝ ÔÖÞÝÔ Ö ÛÒ Ò ½ µ ÐÙ ¾¼µ Ø ÒÓÛ Ö ÛÒ Ò ÛÓÐÙ Û ÖÓÛÓ Ð ÖÙ Ù Ò Ð Û Ó (div v = 0) Û ÔÓ Ø dω = (ω )v dt ¾½µ Ê ÛÒ Ò ¾½µ Ò ÞÝÛ Ò Ø Ö ÛÒ Ò Ñ À ÐÑ ÓÐØÞ ØÖ Ò ÔÓÖØÙ Û ÖÓÛ º À ÒÖÝ ÃÙ Ð

5 ÓÑÔÓÞÝ ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ó Ò Þ Ò Ð Û Ö ÒØÓÛ ½º ÓÑÔÓÞÝ ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ó Ò Þ Ò Ð Û Ö ÒØÓÛ Ð ÝÒ Ñ Ô ÝÒÙ Ò Ð Û Ó Ò Ò p(x,t) Ø ÞÑ ÒÒ Ø Ö Ò Ñ ÞÛ Þ Û Ø Ö¹ ÑÓ ÝÒ Ñ ÞÒÝ Þ ÒÒÝÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ñ ÞÝÞÒÝÑ Ó ÖÓ Ø ØÓ ÞÝ Ø Ø Ñ¹ Ô Ö ØÙÖ º Ï ÔÖ ØÝ ÒÙÑ ÖÝÞÒ ÛÝÞÒ Þ Ò Ò Ò Þ Ö ÛÒ µ Ò ØÖÞ Ô ÛÒ ÓÔÓØÝ Þ ÛÞ Ð Ù Ò ØÓ Û ÖÙÒ ÖÞ ÓÛ ÔÓÞ Ø ÓÛ Ø Û ØÝÐ Ó Ð ÔÓÐ ÔÖ Ó º Ý Þ ÖÓÐ Ò Ò Û ÖÙ Ù Ò Ð ÛÝÑ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÑÝ ÓÑÔÓÞÝ ÀÓ ³ Ø Ö Ø ÒÓÛ Ô ÛÒ ÞÞ ÐÒ ÓÖÑ ØÛ Ö Þ Ò À ÐÑ ÓÐØÞ Ó ÖÓÞ Þ ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ó Ó Ø ÖÝÑ ÔÓÛ ÑÝ Ò Ó Ô õò º ÌÛ Ö Þ Ò ½º½º ÓÑÔÓÞÝ ÀÓ ³ µ ÓÛÓÐÒ ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ v Þ Ò Ò ÒÓ¹ Ô ÒÝÑ Ó Þ ÖÞ Ó Ñ Ö ÙÐ ÖÒÝѵ ÖÞ Ù ÑÓ Ò ÔÖÞ Ø Û ÒÓÞÒ ÞÒ Û ÔÓ Ø ÙÑÝ Ô Ð ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒÝ Û Ò ÔÖÞ ØÖÞ Ò L 2 Û ÔÓ Ø v = u d + p ¾¾µ Þ Û Ó Þ ÖÞ div u d = 0 ÓÖ Þ u d n = 0 Ò ÖÞ Ù º ÓÛ º ÈÓ ÑÝ ÑÓ Ò ÓØÖÞÝÑ ÔÓÐ u d ÓÖ Þ pº Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ý¹ Û Ö Ò Ó Ù ØÖÓÒÒ Ò Ö ÛÒ Ò ¾¾µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Þ Ò Ò Æ ÙÑ ÒÒ Ð ÙÒ p p = div v ¾ µ p = v n n Ò ÖÞ Ù ¾ µ Ï ÓÑÓ Þ Ò Ò ÆÙÑ ÒÒ ¾ µ Ñ ÒÓÞÒ ÞÒ ÖÓÞÛ Þ Ò Þ Ó ¹ ÒÓ Ó Ø ÔÓ Û ÖÙÒ Ñ Ô Ò ÓÒÝ Ø Û ÖÙÒ ÖÓÞÛ ÞÝÛ ÐÒÓ Þ Ò Ò ÆÙÑ ÒÒ ÖÝ Ñ Û ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ÔÓ Ø div vdυ = v nds ¾ µ Ï ÖÙÒ ¾ µ Ø Ò Ô Ò ÓÒÝ Û ØÖÝÛ ÐÒÝ ÔÓ Ó ÓÒ Û Ò ØÛ Ö Þ Ò Ù º Ý ÔÓÒÙ ÙÒ Ð ÖÒ p ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ u d ÑÓ Ò ÓØÖÞÝÑ Ó u d = v pº ØÛÓ ÔÖ Û Þ Ø ÛÝÞÒ ÞÓÒ ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ô Ò Û ÖÙÒ ØÛ Ö Þ Ò div u d = 0 ÓÖ Þ u d n = 0º ÇÖØÓ ÓÒ ÐÒÓ Ô Ð u d ÓÖ Þ p ÞÝÐ u d p dυ = 0 ¾ µ ÛÝÒ Þ Ò ØÔÙ Ý ØÓ ÑÓ div (p u d ) = pdiv u d + u d p Ù ÔÓÛÝ Þ Ö ÛÒ Ò ØÖÓÒ Ñ Ô Ñ Ø div u d = 0 ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ div (pu d ) dυ = u d p dυ = pu d nds = 0 Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û

6 Å ØÓ ÔÖÓ ÒÙÑ ÖÝÞÒ Ó ÖÓÞÛ ÞÝÛ Ò Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÞÝ Ò Ð Ô Ò Ð Û ÔÓÒ Û Ò ÖÞ Ù u d n = 0º  ÒÓÞÒ ÞÒÓ ÛÝÒ Þ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒÓ Ô Ð p u d º ÑÝ ØÒ Û Ö Ò ÖÓÞ¹ Ý ÔÓÐ v = u 1d + p 1 v = u 2d + p 2 ¾ µº ÏØ Ý Ö Ò ØÝ ÖÓÞ Û 0 = u 1d u 2d + (p 1 p 2 ) ¾ µ ÅÒÓ Ð Ö Ò Ö ÛÒ Ò ¾ µ ÔÖÞ Þ u 1d u 2d ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ( 0 = u1d u 2d 2 + (p 1 p 2 )(u 1d u 2d ) ) dυ = u 1d u 2d 2 dυ ÈÓÒ Û ÛÝÖ Ò ÔÓ ÓÛ ¾ µ Ø ÙÒ Ó ØÒ Ø ÛÝÒ u 1d = u 2d Ö ÛÒ p 1 = p 2 ) p 1 = p 2 + constantº Ì Û Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÙÒ L 2 Û ØÓÖ ÑÓ Ò ÓÑ ØÖÝÞÒ ÔÖÞ Ø Û Ò ÖÝ ÙÒ Ù ½º ¾ µ ÊÝ ÙÒ ½ ÊÓÞ Û ØÓÖ v = u d + pº ½º Å ØÓ ÔÖÓ ÒÙÑ ÖÝÞÒ Ó ÖÓÞÛ ÞÝÛ Ò Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù ¹ ÞÝ Ò Ð Ô Ò Ð Û Ø ÖÓÞ Ø ÒÓÞÒ ÞÒÝ ÔÓÞÛ Ð Ò ÛÔÖÓÛ Þ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÞÙØÓÛ Ò P Û ¹ ØÓÖ v Ò ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ Û ØÓÖ Û Þ ÝÛ Ö ÒÝ ÒÝ Û Ö ÒØ p ÑÓ Ò ÔÖÞ Ø Û Ó P(v) = u d ¾ µ (I P)v = p ¼µ ÇÖØÓ ÓÒ ÐÒÓ Ô Ð p ÓÖ Þ u d ÛÔÖÓÛ Þ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÞÙØÓÛ Ò P Ð Ý Ù ÔÓ Ø Û Ó Ò Ò Þ Ò Ö Þ ÔÓÔÙÐ ÖÒ Ñ ØÓ Ý ÒÙÑ ÖÝÞÒ Ó ÖÓÞÛ ÞÝÛ Ò Ö ÛÒ ÖÙ¹ Ù ÞÝ Ð ØÞÛº ÞÑ ÒÒÝ Ô ÖÛÓØÒÝ p,vµº Å ØÓ ÔÓ Ö Þ Ô ÖÛ ÞÝ ÔÖÞ Ø Û Ð À ÒÖÝ ÃÙ Ð

7 Å ØÓ ÔÖÓ ÒÙÑ ÖÝÞÒ Ó ÖÓÞÛ ÞÝÛ Ò Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÞÝ Ò Ð Ô Ò Ð Û º ÓÖ Ò º Å ØÓ Ò ÞÝÛ Ò Ø Ñ ØÓ ÖÞÙØÓÛ Ò º ÅÓ Ý ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò Ó ÖÓÞÛ ÞÝÛ Ò Ö ÛÒ ÖÙ Ù ÞÝ Ò Ð Ô Ð ÔÖÞ Û ÞÝ Ø Ñ Ø Ù ÝÛ Ò Ó ÖÓÞÛ ÞÝÛ Ò Ö ÛÒ ÖÙ Ù Ô ÝÒÙ Ð Ô Ó Ó Ø ÖÝ Þ ÑÝ Ñ Û Ð Ò Ó Ô õ¹ Ò º Á Ð ÓÖÝØÑÙ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ó ÔÖÞ Ø Û ÑÝ Ö ÛÒ Ò Ð ÞÝ Ò Ð Ô º Â Ð Þ Þ ÑÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÖÞÙØÓÛ Ò P Ò Ó ØÖÓÒÝ Ö ÛÒ Ò µ ÓØÖÞÝÑ ÑÝ v t = P ( v )v ½µ Ï Ö ÛÒ Ò Ù ÔÖÓ Ý ÒÝÑ ½µ Ò ÛÝ ØÔÙ Ù Ò Ò º ÅÓ Ò Û ÔÓ Ù Ý Ö Û¹ Ò Ò Ñ ½µ Þ Ò Ò Ò ØÔÒ ÔÖ ÓÛ Ó ÞÝ Þ Ö ÒØÓÛ ÖÓÞÛ Þ Ò º Ð Þ ÔÖ Þ ÒØÓÛ Ò Û ÑÓ Ð Û Ò ÔÖÓ Ø ÞÝ ÔÓ ÔÓ Ù ÝÑÝ ÛÒÝÑ Ñ ¹ Ø Ñ Ö Ò ÓÛÝѺ ÞÒ Ò Ø ÔÓÐ ÔÖ Ó Ò Ò Ò Û Ö ØÛ Þ ÓÛ t n = n t p n,v n div v n = 0º Æ Ð Ý ÛÝÞÒ ÞÝ ÔÓÐ ÔÖ Ó ÔÓÐ Ò Û Þ t n+1 = t n + tº ÈÓ Ó Ò ÔÓ Þ Þ ØÔÙ ÑÝ ÐÓÖ Þ Ñ Ö Ò ÓÛÝѺ ÔÖÓ ÝÑ Ö ÛÒ Ò Ô Ù µ Ò Û Ö ØÛ t n+1 ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø v n+1 = v n t (v n )v n t p n+1 + tρf ¾µ ÈÓ Ø ÛÓÛÝÑ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Û ÞÔÓ Ö Ò Ñ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù Ö ÛÒ Ò ¾µ Ø Ø div v n+1 0 Û Ò Ô Ò ÓÒ Ø Þ Þ ÓÛ Ò Ñ Ý ÔÓÒ ØÓ ÔÓ Û ÓÔÓØÝ Þ Ó Ð Þ Ò Ñ Ò Ò p n+1 Ò ÒÓÛ Û Ö ØÛ Þ ÓÛ º Ö Ø Ö ÛÒ Ò ÓÔ Ù Ó ÛÓÐÙ Ò Ò Û Þ º Ï ØÝÑ ÑÓÑ Ò ÑÓ ÑÝ ÔÓ Ù Ý Óѹ ÔÓÞÝ ÀÓ ³ º ÏÔÖÓÛ Þ ÑÝ Ó ÖÓÞÛ ÔÖÞ ÓÛ ÔÓÐ ÔÖ Ó Ø Ö Þ ÑÝ ÓÞÒ Þ v º ÏÝÞÒ Þ ÑÝ Þ Ö ÛÒ Ò v = v n t (v n )v n t p n + tρf µ ÈÓÐ v Ò Ô Ò Ö ÛÒ Ò Ó div v 0µº ÛÖ ÙÛ Ò Ò Û Ö ÛÒ ¹ Ò Ù µ ÛÝ ØÔÙ Ò Û Ö ØÛ nº ÈÓÐ ÔÖ Ó v ÖÓÞ Ò Þ Þ ÝÛ ÒÝ Ò Þ Ö ÒØÓÛ Þ Ô ÛÒ ÙÒ Φº Û v = v n+1 + Φ µ ë ÑÝ Ý div v n+1 = 0º Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ div Ò Ó ØÖÓÒÝ Ö ÛÒ Ò µ ÓØÖÞݹ Ñ ÑÝ Ö ÛÒ Ò ÈÓ ÓÒ Ð ÙÒ Φ Φ = div v Φ n = v n µ µ Ï ÖØÓ ÔÖ Ó Ð Û Ð t n+1 ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Þ Ö ÛÒ Ò µ Ñ ÒÓÛ v n+1 = v Φ Ò Ò ÛÓ ÛÒ Ó Ñ ØÙ Ö Ò ÓÛ Ó ÑÓ Ò ÛÝÞÒ ÞÝ Þ Ó ÒÓ Ó Ø ÔÓ Ó Ù ØÖÓÒ Ñ Ö ÛÒ ¾µ µ Ó p n+1 = p n + Φ t µ Ï ÖØÓ ÞÛÖ ÙÛ Ò Ø ÔÓÐ ÔÖÞ ÓÛ v Ò Ù Ô Ò Ò ÓÖÑ Ó Û ÖÓÛÓ ÔÓÐ ÔÖ Ó º Ó Ò Ó ÔÓÐ v ÓÛ Ö ÒØÓÛ ÔÓØ Ò ÐÒ µ Ò ÞÑ Ò Ó Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û

8 ¾ ÈÊ È Ï ÈÇÌ Æ Â ÄÆ Û ÖÓÛÓ º ÈÓÐ v ÑÙ Ý ÛÝÞÒ Þ Ò Û ÝÑ ÖÓ Ù Þ ÓÛÝѺ Ï Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù Ó ÔÖÞ Ô ÝÛ Û Ð Ô ÔÓÛÝ Þ Ó Ð ÓÖÝØÑÙ Ò Ð Ý Þ Ô ÛÒ Ø Ö ÒÒÓ ÔÓ Ó Þ Ó Ö Ð Þ Û ÖÙÒ Ù ÖÞ ÓÛ Ó Ò Ò Ð ÔÓÐ v º ÏÝÒ ØÓ Þ ØÙ Ð ÞÝ Ð Ô ÛÝÑ ÑÝ Ý Ò ØÝÐ Ó ÓÛ ÒÓÖÑ ÐÒ ÔÓÐ ÔÖ Ó Ò Ò Ý Þ ÖÓ Ð Ö ÛÒ ÓÛ ØÝÞÒ º Ó ÒÝÑ ÔÓÐ Ò Ø Ø Ö ÔÓÖØ Û Ø Ö ÙØÓÖÞÝ Þ ØÓ ÓÛ Ð ÔÓ Ð Ó Û ÞÝ Ù ÓÖØÖ Ò Ó ÖÓÞÛ ÞÝÛ Ò Ö ÛÒ ÖÙ Ù ÞÝ Ð Ô Ò Ð Û Û Û ÛÝÑ Ö ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÛÒÝ Ñ Ø Ó Ð Þ Ò ÓÛÝ Þ Ñ ØÓ ÔÖÓ º ÃÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛÝ Ø ÔÖÞ ÖÞÝ ØÝ Ò Û Ð ÖÓÞÑ Ö Ûº ÅÓ Ò Ó ØÛÓ Þ ÓÔØÓÛ Ó Å ÌÄ º ËØ ÒÓÛ Ö ÞÓ Ó ÖÝÑ ÔÙÒ Ø Ñ Ø ÖØÓÛÝÑ Ó Ö¹ Þ Þ Û Ò ÓÛ ÒÝ Ó Ð Þ º Ê ÔÓÖØ ÞÞ Ð Ð Ø Ø ÑÙ Ý ØÓ ÙÒ ÓÛÓ ØÛÓ Ó ÔÓÞÝ Ò Ó ÙØÓÖ Ûº ¾ ÈÖÞ Ô ÝÛÝ ÔÓØ Ò ÐÒ Ò ¾º½º ÈÖÞ Ô ÝÛ Ñ ÔÓØ Ò ÐÒÝÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÔÖÞ Ô ÝÛ Ø Ö Ó ÔÓÐ ÔÖ Ó Ûݹ Ö ÔÖÞ Þ Ö ÒØ Þ Ô ÛÒ ÙÒ Ð ÖÒ v = ϕ µ ÈÖÞ Ô ÝÛÝ Ð Ø ÖÝ rot v = 0 Ò ÞÝÛ ÑÝ ÞÛ ÖÓÛÝÑ º ÈÓÒ Û rot ( φ) = 0 Û ÔÖÞ Ô ÝÛÝ ÔÓØ Ò ÐÒ ÔÖÞ Ô ÝÛ Ñ ÞÛ ÖÓÛÝÑ º Ï Ó Þ ÖÞ ÒÓ Ô ÒÝÑ Û ÖÙÒ rot v = 0 ÑÔÐ Ù ØÒ Ò ÙÒ Ð ÖÒ ϕ Ø Þ Ó Þ µº ÏÝÞÒ Þ Ò Ø ÓÒ ÖÒ Ó ÔÖÞ Ô ÝÛÙ ÔÓØ Ò ÐÒ Ó Ò Ð Û Ó divv = 0 ÔÖÓÛ Þ Ó ÛÝÞÒ Þ Ò ÖÓÞÛ Þ Ò Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ ϕ = 0º ÌÛ Ö Þ Ò ¾º½º Æ v = ϕ Þ Ø ÓÒ ÖÒÝÑ Ò Ð ÛÝÑ ÔÓÐ Ñ ÔÖ Ó Ó Ø ØÓ Ý Ñ ÓÛ Ò Ñ ÔÓØ Ò Φ f = Φº ÈÓÐ ÔÖ Ó u = φ Ô Ò Ö ÛÒ Ò ÙÐ Ö µ Þ ÙÒ Ò Ò p = ρv2 2 + ρφ + c µ Þ v 2 = v1 2 + v2 2 + v2 3 c Ø ÓÛÓÐÒ Ø º ÓÛ º Ê ÛÒ Ò ÙÐ Ö µ ÛÖ Þ Þ Ö ÛÒ Ò Ñ Ó Ñ ÔÓ Ø ρ v t div v = 0 + (v )v = p Þ Ó Ò ÔÖÞ Ô ÝÛ Ø Ø ÓÒ ÖÒÝ Ñ ÑÝ v t ØÓ ÑÓ Û ØÓÖÓÛ = 0º Ë ÓÖÞÝ Ø ÑÝ Ð Þ Ò ØÔÙ (v )v = 1 2 (v2 ) + ω v ¼µ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

9 Ò Ö Ò ØÝÞÒ ÖÙ Ù ÔÓØ Ò ÐÒ Ó ØÛ Ö Þ Ò Ì ÓÑ ÓÒ Ê ÛÒ Ò ÙÐ Ö Þ ÛÞ Ð Ù Ò ØÓ ω = rot v 0 ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø ρ 1 2 (v2 ) = p ρ Φ ½µ ÈÖÞ ÒÓ Þ ÛÝÖ Ò Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ò Ò ØÖÓÒ ÓØÖÞÝÑÙ (p + ρ 1 2 (v2 ) + ρφ) = 0 ¾µ ËØ Ø Þ ØÛ Ö Þ Ò p = ρv2 2 + ρφ + cº Æ Ð Ý ÔÓ Ö Ð ÔÖÞÝ ÑÒ ÓÒ Û Ò ØÙ Þ Ó Ò Ó ÖÙ Ù ÞÛ ÖÓÛÝѺ ÈÓÞÛÓÐ Ó ØÓ Ò ÔÖÓÛ Þ Ò ÖÓÞÛ ÞÝÛ Ò Ò Ð Ò ÓÛ Ó Ö ÛÒ Ò ÙÐ Ö Ó ÖÓÞÛ ÞÝÛ Ò Ö ÛÒ ¹ Ò Ä ÔÐ ³ Ð Ò ÓÛ Óµº ¾º½ Ò Ö Ò ØÝÞÒ ÖÙ Ù ÔÓØ Ò ÐÒ Ó ØÛ Ö Þ Ò Ì ÓÑ ÓÒ ÈÓ ÑÝ Ø Ö Þ Ð ØÛ Ö Þ ÛÞÓÖ Û Ø Ö Ö Ø ÖÝÞÓÛ ÔÖÞ Ô ÝÛÝ ÔÓØ Ò¹ ÐÒ º Æ Ô ÖÛ ÛÝÔÖÓÛ Þ ÑÝ ÛÞ Ö Ò Ò Ö Ò ØÝÞÒ ÖÙ Ù ÔÓØ Ò ÐÒ Óº Þ ÑÝ ÔÖÞÝ ÑÓÛ ÖÙ Ù ÞÝ Ø Ò Ð ÛÝ Û ÔÓØ Ò ÔÖ Ó Ô Ò Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ ϕ = 0 ÔÓÐ ÔÖ Ó v = ϕ Ö ÛÒ Ò ÙÐ Ö µº Ð ÓÖÞÝ Ø ÑÝ Þ Ô ÖÛ Þ ØÓ ÑÓ Ö Ò ÔÖÞÝØÓÞÓÒ Û ÖÓÞ Þ Ð Á Ô ØÖÞ ÖÓÞ Þ Á Ö ÛÒ Ò µ ( ϕ ψ + ϕ ψ) dυ = ϕ ψ n ds Ä Ñ Ø ¾º½º Ò Ö Ò ØÝÞÒ Û ÔÖÞ Ô ÝÛ ÔÓØ Ò ÐÒÝÑ ÛÝÖ ÛÞÓÖ Ñ E k = 1 2 ρ v 2 dυ = 1 2 ρ ϕ 2 dυ = 1 2 ρ ϕ ϕ n ds ÓÛ º Â Ð Û Ö ÛÒ Ò µ ÔÓÑÒÓ ÝÑÝ ØÖÓÒ Ñ ÔÖÞ Þ 1 2ρ ÓÖ Þ ÔÖÞÝ Ñ ÑÝ ψ = ϕ Ó Ö ÞÙ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ø Þ Ð Ñ ØÙ Ò Ö Ò ØÝÞÒ ÔÖÞ Ô ÝÛÙ ÔÓØ Ò ÐÒ Ó ÛÝÖ ÔÖÞ Þ ÔÓÛ ÖÞ ¹ Ò ÓÛ ÔÓ ÖÞ Ù Ó Þ ÖÙ º Â Ð Ò Þ Ñ Ò Ø ÔÓÛ ÖÞ Ò = S ÓÛ ÒÓÖÑ ÐÒ ϕ n = v n = 0 ÐÙ Û ÖØÓ ÔÓØ Ò Ù Ò ÖÞ Ù ϕ = 0 ØÓ Ô ÝÒ Þ ÔÓÞÓ Ø Û Û ÔÓÞÝÒ Ùº Å Û ÔÖÞ Ô ÝÛ ÞÛ ÖÓÛÝ Û Ó Þ ÖÞ ÒÓ Ô ÒÝÑ Û Ø ÖÝÑ ÖÞ Ø Ò ÖÙ ÓÑÝ Ø Ò ÑÓ Ð Ûݺ ÈÓÒ Ù ÓÛÓ Ò ÑÝ ØÛ Ö Þ Ò Ò ÞÝÛ Ò Þ Ñ Ò ÑÙÑ Ð Ò Ö ÖÙ Ù ÔÓØ Ò Ð¹ Ò Óº Å Û ÓÒÓ ÔÖÞ Ô ÝÛ ÔÓØ Ò ÐÒÝ Ñ Ò ÑÒ Þ Ò Ö Ò ØÝÞÒ ÔÓ Ö Û ÞÝ Ø ÑÓ Ð ÛÝ ÔÖÞ Ô ÝÛ Û Ø Ö Ô Ò Ø Ñ Û ÖÙÒ ÖÞ ÓÛ Ö ÛÒ Ò Ó º ÌÛ Ö Þ Ò ¾º¾º Æ v(x,t) = ϕ Þ ÔÓÐ Ñ ÔÖ Ó ÔÖÞ Ô ÝÛÙ ÔÓØ Ò ÐÒ Ó Û Ó Þ ÖÞ Ó Ö Ò ÞÓÒÝÑ ÓÖ Þ Ò v (x,t) Þ ÓÛÓÐÒÝÑ ÒÒÝÑ ÔÓÐ Ñ ÔÖ Ó Ø Ö Ô Ò Ø Ñ Û ÖÙÒ ÖÞ ÓÛ Ò ÖÞ Ù Ó ÔÓÐ ÔÓØ Ò ÐÒ Û v n = ϕ n Ò µ Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û

10 Ê ÛÒ Ò ÖÒÓÙÐÐ ³ Ó ÓÖ Þ v Ô Ò Ö ÛÒ Ò Ó div v = 0 Û ÏØ Ý Þ Ó Þ v 2 dυ ϕ 2 dυ ÓÛ º ÊÓÞÛ ÑÝ Ö Ò v v 2 dυ = v 2 + ϕ 2 dυ 2 v ϕdυ Ç Ø ØÒ Û ÔÓÛÝ ÞÝÑ ÛÝÖ Ò Ù Þ Ñ Ò Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÛ v ϕdυ = div(ϕv )dυ = ϕv nds = ϕ ϕ n ds = ϕ 2 dυ ËØ Ó Ø Ø ÞÒ Ö Û Ò ÔÖÞÝ Ö ÔÓ Ø v v 2 dυ = v 2 dυ ϕ 2 dυ ÈÓÒ Û ÔÓ Ð Û ØÖÓÒ Ö ÛÒ Ò Ø Þ Û Þ Ó ØÒ Ø ÛÝÒ º ¾º¾ Ê ÛÒ Ò ÖÒÓÙÐÐ ³ Ó Â ÒÝÑ Þ ÔÓ Ø ÛÓÛÝ Ò ÖÞ Þ ÔÓÞÛ Ð Ý ÖÙ Ù Ô ÝÒÙ Ò Ð Ô Ó Ø ÒÓÛ Ö ÛÒ Ò ÖÒÓÙÐÐ ³ Óº Å Ø Ñ ØÝÞÒ Ö ÛÒ Ò ØÓ ÛÝÖ Ô ÖÛ Þ Ö ÛÒ Ò Ù¹ Ð Ö º Ø Ñ ÔÓÔÙÐ ÖÒ ÞÝÞÒ ÒØ ÖÔÖ Ø Ó Ö ÛÒ Ò Þ ÓÛ Ò Ò Ö º Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù Ð Ô ÝÒÙ Ò Ð Ô Ó ÓÔÙ ÞÞ ØÒ Ò Ô ÖÛ ÞÝ Û Ò ØÔÙ ¹ Ý ÔÖÞÝÔ Ð ÔÖÞ Ô ÝÛÙ Ù Ø ÐÓÒ Ó ÔÖÞ Ô ÝÛÙ ÔÓØ Ò ÐÒ Ó Æ Ô ÖÛ ÖÓÞÔ ØÖÞÝÑÝ ÔÖÞ Ô ÝÛ Ù Ø ÐÓÒÝ v i t 0 Ð ρ = cost.º Ð ÔÖÞ Ô ÝÛÙ Ù Ø ÐÓÒ Ó Ö ÛÒ Ò ÙÐ Ö Ñ ÔÓ Ø ω v = ( v2 2 + ρφ + p ρ ) Â Û ÑÝ ÐÓÞÝÒ Û ØÓÖÓÛÝ ω v Ø Þ Ö ÛÒÓ ÔÖÓ ØÓÔ Ý Ó Û ØÓÖ v ωº ÅÒÓ Ð ÖÒ Ö ÛÒ Ò ÔÖÞ Þ ÒÓ Ø ÓÛÝ Û ØÓÖ ØÝÞÒÝ Ó Ð Ò ÔÖ Ù e u ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ e u ω v = s (v2 2 + Φ + p ρ ) = 0 ½¼ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

11 ÌÛ Ö Þ Ò Ã ÐÚ Ò Ó ÝÖ ÙÐ ÔÓÐ ÔÖ Ó ÈÓ Ó Ò B s = B e u Ø ÔÓ Ó Ò ÖÙÒ ÓÛ Û ÖÙÒ Ù Ð Ò ÔÖ Ùº Ö ÛÒ Ò ÛÝÒ ÛÞ Ù Ð Ò ÔÖ Ù ÙÒ B Þ ÓÛÙ ÛÓ Û ÖØÓ B = v2 2 + ρφ + p ρ = C ¼µ ËØ C ÔÓ Ð Û ØÖÓÒ Ö ÛÒ Ò ¼µ ÑÓ ÔÖÞÝ ÑÓÛ Ö Ò Û ÖØÓ Ò Ö ÒÝ Ð Ò ÔÖ Ùº ÈÓ Ó ÒÝ ÛÒ Ó ÑÓ Ò ÓÖÑÙ ÓÛ Ð Ð Ò Û ÖÓÛ ØÓ ÞÒ ÞÝ Ð Ò ØÝÞÒ ØÓ ÔÓÐ Û ÖÓÛÓ ωº ÅÒÓ Ð ÖÒ Ö ÛÒ Ò ÔÖÞ Þ ÒÓ Ø ÓÛÝ Û ØÓÖ e ω ÑÓ Ò ÛÝÛÒ Ó ÓÛ ÛÞ Ù Ð Ò Û ÖÓÛÝ ÙÒ B(x 1,x 2,x 3 ) Þ ÓÛÙ ÛÓ Û ÖØÓ º Ð ÓÛ ÑÝ Ð Ò Û ÖÓÛ ÙÒÓ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ ÔÖÞ Ô ÝÛº Ì Û ÔÓÛ ÖÞ Ò B(x 1,x 2,x 3 ) = C ÙØÛÓÖÞÓÒ Ø Þ Ð Ò ÔÖ Ù Ð Ò Û ÖÓÛÝ º ÈÓÛ ÖÞ Ò Ø Ò ÞÝÛ Ò Ø ÔÓÛ ÖÞ Ò ÖÒÓÙÐÐ ³ Óº ÊÝ ÙÒ ¾ ÈÓÛ ÖÞ Ò ÖÒÓÙÐÐ Ó B(x 1,x 2,x 3 ) = C ÙØÛÓÖÞÓÒ ÔÖÞ Þ ÖÓ Þ Ò Ð Ò ÔÖ Ù Ð Ò ÔÓÐ Û ÖÓÛÓ ¾º ÌÛ Ö Þ Ò Ã ÐÚ Ò Ó ÝÖ ÙÐ ÔÓÐ ÔÖ Ó ÈÖÞÝÔÓÑÒ ÑÝ Ú ÖÓÞ Þ ½ µ Þ ÝÖ ÙÐ Γ ÔÓÐ ÔÖ Ó v Ò ÞÝÛ ÑÝ Ð Ò ÓÛ ÛÞ Ù Þ Ñ Ò Ø ÖÞÝÛ C Γ = v s 0 ds = (v 1 dx + v 2 dx 2 + v 3 dx 3 ) ½µ C C Þ ÓÞÒ Þ ÛÞ Ù Þ Ñ Ò Ø ÖÞÝÛ C s o ds = (dx 1,dx 2,dx 3 Ø Ð Ñ ÒØ Ñ ÖÞÝÛ ÔÓ Ø Ö Ó ÝÛ ÓÛ Ò º Ð Þ ÑÝ ÒØ Ö ÓÛ ÝÖ ÙÐ ÛÞ Ù ÖÞÝÛ Ø Ö ÙÒÓ ÞÓÒ Ø ÔÖÞ Þ ÔÖÞ Ô ÝÛ Û C t = Φ(C α )º ÖÞÝÛ C t ÙØÛÓÖÞÓÒ Ø Þ ØÝ ÑÝ Þ Ø º Å Û ÑÝ ÖÞÝÛ C Ø ÖÞÝÛ Ñ Ø Ö ÐÒ ÖÝ º µº ÌÛ Ö Þ Ò ¾º º à ÐÚ Ò ½ µ Ï ÖÙ Ù ÞÝ Ó ÓÒ Ð Ò Ð Û ÐÙ ÖÓØÖÓÔÓÛ (ρ = ρ(p)) Û ÔÓØ Ò ÐÒÝÑ ÔÓÐÙ ÝÖ ÙÐ Ò Þ Ð Ý Ó Þ Ù ÞÝÐ dγ dt = 0 ¾µ Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û ½½

12 ÌÏÁ Ê ÆÁ À ÄÅÀÇÄÌ Ç ÊÇ Ã Á ÈÇÄ Ï ÃÌÇÊÇÏ Ç ÊÝ ÙÒ ÃÖÞÝÛ C ÙÒÓ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ Ô ÝÒ ÖÞÝÛ Ñ Ø Ö ÐÒ µ ÓÛ º Ó ÓÛÓ Ù ØÛ Ö Þ Ò ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÑÝ Ò ØÔÙ Ý ÛÞ Ö d dv v ds = dt dt ds Φ(C) Ý ÛÝ Þ ÔÖ Û Þ ÛÓ ÛÞÓÖÙ µ ÑÙ ÑÝ Ò Ô ÖÛ Ó ÓÒ Þ Ñ ÒÝ ÞÑ ÒÒ Û Ø Ò ÔÓ Ý ÑÓ Ò Ý Ó Ö Ò Þ ÓÛ ÔÓ ÞÒ Ñ º ÈÖÞÝ Ñ ÑÝ ÖÞÝÛ C Ñ ÔÖÞ Ø Û Ò Ô Ö Ñ ØÖÝÞÒ C = φ(a),0 a 1º ÏØ Ý d dt 0 1 v ds = d Φ(C) dt 0 1 ( dv 0 dt 1 ( dv dt Φ(C) v(φ(a),t) a Φ(φ(a),t)da = 2 Φ(φ(a),t) + v a t a Φ(φ(a),t) a Φ(φ(a),t) + v a v(φ(φ(a),t)) ) da = ) da Þ ÓÒ ( v a v(φ(φ(a),t))) da = d( 1 2 v2 )º Þ Ö Ò Þ ÔÓ ÖÞÝÛ Þ Ñ Ò Ø Ø Ö ÛÒ Þ ÖÙº ËØ ÛÝÒ ÛÞ Ö µº ÛÖ ÑÝ ÙÛ Þ Ó Ò ØÛ Ö Þ Ò Ã ÐÚ Ò Þ Ô ÛÒ ÞÛ ÖÓÛÓ ÔÓÐ ÔÖÞÝ Ô ¹ Þ ÞÝÐ dv dv dt = 0º ÁÒ Þ dt = H Þ H = p ρ Φ Ð Ô ÝÒÙ Ò Ð Û Ó ÐÙ H = P Φ Ð Ô ÝÒÙ ÖÓØÓÖÔÓÛ Óº Ì Û dγ dt = Φ(C) dv dt ds = Φ(C) dh = 0 ËØ ÛÝÒ Ø Þ ØÛ Ö Þ Ò Ã ÐÚ Ò Ó Þ ÓÛ Ò Ù ÝÖ ÙÐ º ÌÛ Ö Þ Ò À ÐÑ ÓÐØÞ Ó ÖÓÞ Þ ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ó ÈÖÞÝØÓÞÝÑÝ ÒÓ Þ Ò Û Ò ÞÝ ØÛ Ö Þ Ö ÙÒ Ù Û ØÓÖÓÛ Ó ØÛ Ö Þ Ò À Ðѹ ÓÐØÞ Ó ÖÓÞ Þ ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Óº ØÛ Ö Þ Ò ÒÓ Þ ÛÝÒ ÞÒ ÓÑÓ ÝÛ Ö Ò Θ = div v ÓÖ Þ ÔÓÐ Û ÖÓÛÓ ω = rot v Þ Ô ÛÒÝÑ Û ÖÙÒ Ñ ÖÞ ÓÛÝÑ ÔÓÞÛ Ð ÒÓÞÒ ÞÒ ÛÝÞÒ ÞÝ ÔÓÐ vº µ ½¾ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

13 ÌÏÁ Ê ÆÁ À ÄÅÀÇÄÌ Ç ÊÇ Ã Á ÈÇÄ Ï ÃÌÇÊÇÏ Ç ÌÛ Ö Þ Ò º½º ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒ ØÛ Ö Þ Ò Ö ÙÒ Ù Û ØÓÖÓÛ Óµ ÓÛÓÐÒ Ö Ò Þ ÓÛ ÐÒ ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ v Ø Ó ÑÓ Ù v ÝÛ Ö Ò Θ = div v ÓÖ Þ Û ÖÓÛÓ ω Ñ Ð Ó Ø Ø ÞÒ ÞÝ Ó ÔÖÞÝ x ÑÓ Ò ÔÖÞ Ø Û Þ Ó ¹ ÒÓ Ó Û ØÓÖ Ø Ó Û ÔÓ Ø ÙÑÝ ÔÓÐ ÔÓØ Ò ÐÒ Ó ÞÛ ÖÓÛ Óµ v 1 ÓÖ Þ ÔÓÐ ÓÐ ÒÓ ÐÒ Ó Ò Ð Û Óµ v 2 v = v 1 + v 2 Þ rot v 1 = 0, div v 2 = 0 ÓÛ º º Æ Ô ÖÛ ÓÒ ØÖÙÙ ÑÝ ÔÓÐ ÔÓØ Ò ÐÒ v 1 Ò ÔÓ Ø Û ÞÒ ÓÑÓ Ý¹ Û Ö Ò Θ = div vº Ï ÑÝ Û ÖÓÛÓ ÓÛÓÐÒ Ó ÔÓÐ ÔÓØ Ò ÐÒ Ó Û Ó Þ ÖÞ ÒÓ Ô ÒÝѵ Ø Ö ÛÒ Þ ÖÙº Ò ÞÝ ØÓ ÔÓÐ v 1 ÑÓ Ò ÔÖÞ Ø Û Ó v 1 = ϕ + c 1 Þ c 1 Ø Û ØÓÖ Ñ Ø ÝÑ ϕ ÒÓ Û ÖØÓ ÓÛ ÙÒ ÔÓØ Ò ÐÒ º Þ ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ Ñ ÝÛ Ö Ò Ò Ö ÛÒ Ò ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ϕ = Θ Â Ø ØÓ Ö ÛÒ Ò ÈÓ ÓÒ º ØÛ Ö Þ Ò Ó ÖÓÞ Þ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ϕ = 1 Θ 4π r dυ Ì Û Ô ÖÛ Þ ÓÛ v 1 Ñ ÔÓ Ø v 1 = 1 4π D D Θ r dυ + c 1 ¼µ ½µ ÏÝÞÒ Þ ÑÝ Ø Ö Þ ÖÙ ÓÛ ÙÑÝ v 2 Ò ÔÓ Ø Û ÔÓÐ Û ÖÓÛÓ º Ï ÑÝ Þ ÖÓÞ Þ Ù ½ ÝÛ Ö Ò Þ ÓÛÓÐÒ Ó ÔÓÐ Û ÖÓÛÓ Ø Ö ÛÒ Þ ÖÓº ÈÓÒ Û div v 2 = 0 Û ÔÓÐ ÑÓ Ñ Ö ÔÖ Þ ÒØ v 2 = rot Ψ + c 2 ¾µ Þ c 2 Ø ÓÛÓÐÒ Ø º ÈÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ψ = (Ψ 1,Ψ 2,Ψ 3 ) Ò ÞÝÛ ÔÓØ Ò Ñ Û ¹ ØÓÖÓÛÝѺ ÈÓÒ Û Û ÖÓÛÓ Þ ÓÛÓÐÒ Ó ÔÓÐ ÔÓØ Ò ÐÒ Ó φ Ø Ö ÛÒ Þ ÖÙ rot φ 0 Û ÔÓØ Ò Û ØÓÖÓÛÝ ÛÝÞÒ Þ ÒÝ Ø Þ Ó ÒÓ Ó Ö ÒØÙ Þ ÓÛÓÐÒ ÙÒ φº Á ØÓØÒ Ð Ψ = Ψ + φ ÛØ Ý rot Ψ = rot Ψ + rot φ = rot Ψ µ Þ Ó Ù ØÖÓÒÒ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÖÓØ Ò Ö ÛÒ Ò ¾µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ rot v 2 = rot rot Ψ Ò ÞÝ ØÓ v Ñ Ð 1 r 1+ε Ý x Ñ Ð 1 r 2+ε Ý x Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û ½

14 éö Ó ÔÙÒ ØÓÛ Ð ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÑÝ ØÓ ÑÓ Û ØÓÖÓÛ rot rot Ψ = (div Ψ) Ψ Þ Ψ = ( Ψ 1, Ψ 2, Ψ 3 )º Þ ÙØÖ ØÝ Ó ÐÒÓ ÖÓÞÛ ÑÓ ÑÝ Þ Ó Ý div Ψ = 0º Â Ð Ö ÛÒÓ Ø Ò Þ Ó Þ Ý div Ψ = Θ 0 ØÓ Þ Û Þ ÑÓ ÑÝ Ó Ö Ô ÛÒ ÙÒ ÔÓØ Ò ÐÒ ϕ Ø Ý Ψ = Ψ + ϕ Ý Ó Ù ÔÓÐ Ñ Ò Ð ÛÝѺ ÈÓØ Ò ϕ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÖÓÞÛ ÞÙ Ö ÛÒ Ò ÈÓ ÓÒ ϕ = Θ º Ö ÛÒ Ò ØÓ ÑÓ ÛÝÒ ÓÛ ÔÓØ Ò Ù Û ØÓÖÓÛ Ó (Ψ 1,Ψ 2,Ψ 3 ) Ø ÒÓÛ ÖÓÞÛ Þ Ò Ö ÛÒ Ò ÈÓ ÓÒ Ψ i = ω i i = 1,2,3 ÊÓÞÛ Þ Ò Ö ÛÒ Ò Ñ Ò ÙÛ Þ Þ Ó Ò Ó Ó Ø Ø ÞÒ ÞÝ Ñ ÞÒ Ò Ù ÔÓÐ v Û Ò Ó ÞÓ ÑÓ Ò ÔÖÞ Ø Û Ó Ψ i = 1 ω i i = 1,2,3 4π r ËØ ÔÓÐ v 2 ÑÓ Ò ÛÝÖ Þ Ó D v 2 = 1 4π rot ω D r + c 2 Ó Ó Ö ÛÒ Ò ½µ ÓÖ Þ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÞÙ ÒÝ ÖÓÞ Þ Ó ÒÓ Ó Ø Ó ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ó v = 1 4π Θ D r dυ + 1 4π rot ω D r  ÒÓÞÒ ÞÒÓ ÖÓÞ Ù ÑÓ Ò ÛÝ Þ Ó ÛÓ Ù Ó Þ Ý Ñ ÑÙÑ Ð Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ º Ñ ÒÓÛ Ð Ð Ð Þ Ò ÝÛ Ö Ò Θ ÔÓÐ Û ÖÓÛÓ ω ØÒ Ý Ý Û Ö Ò ÖÓÞ Ý v 1 + v 2 ÓÖ Þ v 1 + v 2 ØÓ Ö Ò ØÝ Ô Ð Ô Ò Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ Þ Þ ÖÓÛÝÑ Û ÖÙÒ Ñ ÖÞ ÓÛÝÑ º ËØ ÛÝÒ Þ Ó ÒÓ Ó Ø v 1 = v 1 ÓÖ Þ v 2 = v 2 º½ éö Ó ÔÙÒ ØÓÛ Ï ÔÖ ØÝ Ù ÝØ ÞÒÝÑ Ø ÙÓ ÐÒ Ò Ö ÛÒ Ò Ó ÔÖÞ Þ Û Ø Û Ò Ó ÔÖ Û ØÖÓÒÝ Ö ÛÒ Ò Ó ØÓ ÓÛ Ó Þ ÓÒÙ õö ÓÛ Ó dρ + ρdiv v = f(x). dt ¼µ Ð ÖÙ Ù Ô ÝÒÙ Ò Ð Û Ó ÞÛ ÖÓÛ Ó ÔÓØ Ò ÐÒ Óµ Ö ÛÒ Ò Ó ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø ϕ = f(x) ½µ ÈÓ ÞÙ Û Ò ÔÓÐ ÔÖ Ó ÛÝÛÓ Ò Ø Ñ ÖÓÞ Ñ õö ÔÖÓÛ Þ Ó ÛÝÞÒ Þ ¹ Ò ÔÓØ Ò Ù ÔÖ Ó º ÊÓÞÔ ØÖÞÑÝ ÔÖÞ Ô ÝÛ ÛÝÛÓ ÒÝ ÙÑ ÓÛ Ò Ñ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò ½ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

15 éö Ó ÔÙÒ ØÓÛ ÊÝ ÙÒ ÈÙÒ Ø Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÛÝØÛ ÖÞ Ý ØÖÙÑ Ó ØÓ q Ò ÞÝÛ ÒÝ õö Ó R 3 ÔÙÒ ØÙ Þ Ø Ö Ó ÛÝÔ ÝÛ Ó ÓØ Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ò Ð ÛÝ ØÖÙÑ Ô ÝÒÙ Ó ¹ ÒÓ Ø ÓÛÝÑ ØÖÙÑ Ò Ù Ó ØÓ Õ ½µ Ö ÛÒÓÑ ÖÒ Û ÞÝ Ø ÖÙÒ f = qδ 3 (x) Þ δ 3 (x) = δ(x 1 )δ(x 2 )δ(x 3 ) Ø ÙÒ Ö Ô ØÖÞ Ò µ ÖÝ º µ  РÓØÓÞÝÑÝ Ø Ò ÔÙÒ Ø ε¹óû Ö ØÓ Ò ÑÓÝ ØÛ Ö Þ Ò Ù ÑÓ ÑÝ Þ Ô q = v n ds = div v dv = 1 ¾µ B ε B ε  РÔÖÞ Þ ÑÝ Þ ÔÖÓÑ Ò Ñ ÙÐ ε 0 ØÓ Û Ö Ò Ý ÓØÖÞÝÑ ÑÝ õö Óº ÈÓØ Ò Ø Ó ÔÖÞ Ô ÝÛÙ Þ ÛÞ Ð Ù Ò Þ Ó ÓÒ ÝÑ ØÖ ÔÓÛ Ò Ò Þ Ð ØÝÐ Ó Ó Ó Ð Ó r Ó õö r = (x 1 x 01 ) 2 + (x 2 x 02 ) 2 + (x 3 x 03 ) 2 = x x 0 µ ÏÝ Ó Ò ÔÖÞÝ Ø Ó ÖÓÞÛ ÖÝÞÒÝ Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ Ô ØÖÞ ÖÓÞ Þ ½µº Ï ÑÝ Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ Û Û Ô ÖÞ ÒÝ ÖÝÞÒÝ Þ Ð Ò ØÝÐ Ó Ó ÔÖÓÑ Ò Ö Ñ ÔÓ Ø ½¾ µ ( r 2 ϕ r r ÊÓÞÛ Þ Ò Ñ Ø Ó Ö ÛÒ Ò Ø ÙÒ ) = 0 ϕ(r) = A r + B Ý ÔÓØ Ò Û Ò Ó ÞÓÒÓ Ñ Û ÖØÓ Þ ÖÓ Ø B Ò Ð Ý ÔÖÞÝ Ö ÛÒ Þ ÖÓº Æ Ñ ÓÒ ÛÔ ÝÛÙ Ò Û ÖØÓ ÔÖ Ó ÔÓÒ Û v r = ϕ r º ËØ A ÑÓ Ò ÛÝÞÒ ÞÝ Þ Û ÖÙÒ Ù ØÖÙÑ Ó ØÓ ÔÖÞ Þ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÛÓÐÒ ÙÐ Ø Ö ÖÓ ÙÑ Þ¹ ÞÓÒÝ Ø Û õö Ð ÔÓÛ Ò Ò Ý Þ Û Þ Ö ÛÒÝ ÒÓ º ÈÖ Ó Ö ÐÒ ÔÖÓ ØÓÔ Ó ÔÓÛ ÖÞ Ò ÙÐ Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R Ø Ö ÛÒ v R = ϕ r = A r=r R 2 Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û ½

16 éö Ó ÔÙÒ ØÓÛ ÈÓÛ ÖÞ Ò ÙÐ ÛÝÒÓ 4πR 2 º Û ÖÙÒ Ù v R 4πR 2 = 1 ÞÔÓ Ö Ò Ó ÛÝÒ Ø A = 1 4π º ÈÖ Ó Ô ÝÒÙ ÛÝÖ ÛÞÓÖ Ñ ϕ r = 1 4πr 2 ÔÓØ Ò ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø ϕ = 1 4πr Ä Ò ÔÖ Ù ÛÝÛÓ Ò õö Ñ Ó ÒÓ Ø ÓÛ ÛÝ ÒÓ ÔÖÞ Ø Û Ó ÔÖÓÑ Ò ÛÝ Ó Þ Þ ÔÙÒ ØÙ ÔÓ Ó Ò õö º ÈÖ Ó ÛÞ Ù ÔÖÓÑ Ò ÓÔ Ò Ø ÛÞÓÖ Ñ º  РÒØ Ò ÝÛÒÓ õö Ñ Û ÖØÓ q ØÓ Ó ÔÓÛ Ý ÔÓØ Ò Ñ ÔÓ Ø x x 1 ÊÝ ÙÒ Ä Ò ÔÖ Ù ÔÓØ Ò Ù Ð Ò ÔÖÞ ÖÝÛ Ò µ ÛÝØÓÛÖÞÓÒ ÔÖÞ Þ ÒÓ Ø ÓÛ õö ¹ Óº ϕ = q 4πr  Рq Ø Ù ÑÒ ØÓ Û Ñ õö ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÙÔÙ Ø µº ÙÒ Þ ÛÞ Ð Ù Ò ÛÓ ÓÒ Ó ÖÓÐ Ó ÖÝÛ Û Ø ÓÖ Ö ÛÒ Ö Ò Þ ÓÛÝ Þ Ø ÓÛÝ ÒÓ Ò ÞÛ ÖÓÞÛ Þ Ò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒ Ó ÐÙ ÙÒ Ö Ò Ð Ó Þ ÖÙ Ò Ó Ö Ò ÞÓÒ Óº ÛÖ ÑÝ ÙÛ ÙÒ Ö Ò Ö Ò ØÝÐ Ó Ø 1 4π ÔÓ ÒÝ ÖÓÞÛ Þ Ö ÛÒ Ò Ä Ô Ð ³ º Ê ÛÒ Ò Ð ÖÓÞÛ Þ Ò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒ Ó ÑÓ Ò Þ Ù Ý Ñ ÙÒ ÐØÝ Ö Þ Ô Ó G = δ 3 (x x 0 ) ¼µ ÔÖÞÝ ÞÝÑ Bε((x) 0 ) G n ds = 1 ½µ ½ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

17 éö Ó ÔÙÒ ØÓÛ ÙÒ δ 3 (x 1,x 2,x 3 ) Ø Ò ÞÝÛ Ò Ø ÙÒ ÐØ Ö Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò ØÖ ÛÝÑ ÖÓ¹ Û Ó Ö Ð Ò Ò ØÔÙ Ó { δ 3 (x 1,x 2,x 2 ) = δ 3 0 x 2 1 (x) = + x2 2 + x2 3 0 x x2 2 + x2 3 = 0 ¾µ δ 3 (x 1,x 2,x 2 ) dx 1 dx 2 dx 3 = 1 δ 3 (x 1,x 2,x 3 ) = δ(x 1 )δ(x 2 )δ(x 3 ) µ Ï ÒÓ ÙÒ δ ÔÓ ÑÝ Û Ò ØÔÒÝÑ ÔÓ ÖÓÞ Þ Ð º ÙÒ G Ø ÝÑ ØÖÝÞÒ ÙÒ Û Ö ÙÑ ÒØ Û (x,x ) ÔÓÒ Û r = x x º ÅÓ Ò ÔÖ Û Þ Ù ÝÛ Ö ÙÑ ÒØ Û Þ ÖÓÞ Þ Ù ½ ( 1 r ) = 1 r 2e r, div ( 1 r ) = (1 r ) = 4πδ(x x ) ÈÖÞ Ð õñý ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ ÙÒ Ö Ò ÑÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓÛ ÖÓÞÛ Þ Ò Ö ÛÒ ¹ Ò ÈÓ ÓÒ Û Ó Þ ÖÞ Ò Ó Ö Ò ÞÓÒÝѺ ÑÝ Û Ó Þ ÖÞ Þ Ò Ø ÙÒ Θ(x 1,x 2,x 3 )º ÈÓØ Ò ÔÖ Ó Ô Ò Ö ÛÒ Ò ÈÓ ÓÒ 2 ϕ x ϕ x ϕ x 2 3 = Θ(x 1,x 2,x 3 ) Þ Ð ÑÝ Ó Þ Ö Ò Ñ Ó ØÓ δυ i Û Ó ØÓ ÛÝ Ö ÑÝ ÔÙÒ Ø M i Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ x 1 i,x 2 i,x 3 i Û ÝÑ Ø Ñ ÔÙÒ ÙÑ ÞÞ ÑÝ õö Ó Ó ÒØ Ò ÝÛÒÓ q i = δυ i Θ(x 1 i,x 2 i,x 3 i )º ÈÖÞÝ Ð ÓÒ ÖÓÞÛ Þ Ò Û ÔÙÒ x = (x 1,x 2,x 3 ) ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÓÖ ÙÑ ÔÓØ Ò Û Û ÞÝ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ õö Ó ÒØ Ò ÝÛÒÓ q i ϕ(x) Θ(x 1 i,x 2 i,x 3 i ) δυ i, r i i r i = (x 1 i x 1 ) 2 + (x 2 i x 2 ) 2 + (x 3 i x 3 ) 2 Ó ÓÒÙ ÓÖ Þ ÖÓ Ò Þ Ó ÔÓ Þ Ù δυ i 0 Û Ö Ò Ý ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÖÓÞÛ Þ Ò Ø Ö ÑÓ ÑÝ Þ Ô Ó Ô ØÖÞ ¼µµ ϕ(x) = G(x,x )Θ(x ) dυ ÓÒ ØÖÙ ÖÓÞÛ Þ Ò ÞÖÓÞÙÑ ÝÑ Ø Ð Þ Ó ÙÒ Ö Ò Ò ÞÝÛ Ò Ø Ö ÛÒ ÙÒ õö º ÏÝÖ ÔÓØ Ò ÔÖ Ó Ô ÝÒÙ Û ÔÙÒ x ÛÝÛÓ ÒÝ ÒÓ Ø ÓÛÝÑ õö Ñ ÙÑ ÞÞÓÒÝÑ Û ÔÙÒ x º ËÔÖ Û õñý ÞÞ Ô Ò Ö ÛÒ Ò ÈÓ ÓÒ ϕ(x) = G(x,x )Θ(x ) dυ ¼µ = G(x,x )Θ(x ) dυ = δ 3 (x x )Θ(x ) dυ = Θ(x). Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û ½

18 ÙÒ ÐØ Ö Ï ÔÓÛÝ ÞÝÑ Ö ÛÒ Ò Ù ¼µ Ð ÔÐ Ò Ð ÞÓÒÝ Ø ÔÓ ÞÑ ÒÒÝ Ò ÔÖ ÑÓÛ ÒÝ º  ÑÓ Ò Ù ÞÓÖ ÒØÓÛ ÔÖÞÝ ÛÝÞÒ Þ Ò Ù ÙÒ Ö Ò Ð Ó Ó Þ ÖÙ ÖÓÞÛ ¹ Þ Ò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒ Óµ ØÓØÒÝÑ Ø Û ÖÙÒ ÞÒ Ò ÙÒ Û Ò Ó ÞÓÒÓ º ÙÒ Ö Ò Þ Ð Ý Ó Ó Þ ÖÙ Û Ø ÖÝÑ ÔÓ ÞÙ Ù ÑÝ ÖÓÞÛ Þ Ò º ÅÓ Ò ÛÝÞÒ ÞÝ ÙÒ Ö Ò Ð Ó Þ ÖÙ Ó ÞÓÒ Ó ÖÓÞÛ ÞÙ Þ Ò Ò G = δ((x) x ) ½µ G = 0 ¾µ ÏÝ Ø ÖÞÝ ÔÖÞÝ G = 1 4πr + F Þ ÙÒ F Ô Ò Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ Þ Û ÖÙÒ¹ Ñ ÖÞ ÓÛÝÑ F = 1 4πr ÞÝÐ F = 0 µ F = 1 4πr Ý Û ÖÓÞÛ Þ Ö ÛÒ Ò ÈÓ ÓÒ Û Ó Þ ÖÞ Ó Ö Ò ÞÓÒÝÑ ϕ = Θ Ò ϕ = g Ò ÖÞ Ù Ò Ð Ý Ó Ø ÓÛÓ ÖÓÞÛ Þ Û ØÝÑ Ó Þ ÖÞ Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ µ Ò ÙÒ F ÖÓÞ¹ Û Þ Ò Ó Ó ÙÒ Ö Ò Û Ó Þ ÖÞ Ò Ó Ö Ò ÞÓÒÝѺ ÊÓÞÛ Þ Ò ÛÝÖ ÛÞÓÖ Ñ ¼µº ÊÓÞÛ Þ Ò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒ ÙÒ Ö Ò µ Ð Ö ÛÒ Ò ÈÓ ÓÒ Ò Ô ÞÞÝõÒ ØÛÓ ØÓ ÛÝÔÖÓÛ Þ ØÓ Ù ÔÓ ØÔÓÛ Ò ÔÖÞÝØÓÞÓÒ ÔÓÛÝ Ñ ÔÓ Ø º¾ G(x,x ) = 1 ln r, 2π r ÙÒ ÐØ Ö = (x 1 x 1 )2 + (x 2 x 2 )2 Ï Ð Þ Þ ÔÖ Ý Ò ÒÓ ÖÓØÒ Þ ÑÝ Ù ÝÛ Ð ÙÒ δº ÈÓ ÑÝ Ø Ö Þ Ð ØÓØÒÝ Ò ÓÖÑ Ó Ø ÙÒ º ÈÓØÖÞ Þ ÑÓÛ Ò Þ ÖÞ Ò Ñ ØÖÛ ÝÑ Ò ¹ Ó Þ Ò Ö Ø Ó ÒÔº Þ ÖÞ Ò Ñ Û ÔÖ Ý ØÝ Þ Ø Þ Û Ñ ÞÐÓ Ð ÞÓÛ ¹ ÒÝÑ Û ÒÝÑ ÔÙÒ ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÒÔº ÙÒ Ù ÒÓ Ø ÓÛ Ó õö Ó ØÓ Ô ÝÒÙ Ø Ö Ò ÔÓÛÓ ÓÛ Ý Û ÓÞÒÝ ÓÛ ÐÒÝ Ø Ý Û Ó Ù Ñ Ø Ñ ØÝÞÒÝÑ Ó ÛÒ À ÖÑ Ø Ù Ý ÈÓ ÓÒ Ã Ö Ó À ÐÑ ÓÐØÞ Ã ÐÚ Òµº Â Ò ÓÔ ÖÓ δ¹ ÙÒ ¹ ÛÔÖÓÛ ÞÓÒ Ù ÝØ ÔÖÞ Þ Ö ½ ¾ µ Ó Þ Ò Ñ Ò Û ÒØÓÛ ½ ¾ µ Ø ÖÝ Þ ÑÓÒ ØÖÓÛ Ù Ö ÙÒ ÓÛ Ù ÝØ ÞÒÓ ÙØ ÞÒÓ ÞÝ Ò ÝÛ ÔÓÔÙÐ ÖÒÓ º Ì Ö ÙÒ ÓÛ ÙØ ÞÒÓ ÓÔÖÓÛ Þ Ó Ò ÖÓ Ý ÆÓ Ð Ø Ö ÛÖ Þ Þ Ë ÖÓ Ò Ö Ñ Ö ÓØÖÞÝÑ ½ Ö Û Þ Þ Ò ÞÝ Þ Ó ÖÝ ÒÓÛÝ Ô Ó ÒÝ Ô Ø Û Ø ÓÖ ØÓÑ Û Þ ØÓ ÓÛ Ò º ÐØ Ö Ø Ñ Ø Ñ ØÝÞÒÝÑ ÑÓ Ð Ñ Ò Ö Ð ÞÓÛ ÐÒ Ó ÞÝÞÒ Ò Ó Þ Ò Û Ó ÑÔÙÐ Ù ÛÝ ØÔÙ Ó Û Û Ð τ = 0 Ó Ò Ó Þ Ò Ù ÑÔÐ ØÙ Þ ÔÓÐÙ Ö ÛÒÝÑ ½º { 0 x t 0 δ(x x 0 ) = δ(x x 0 ) dx = 1 x = x 0 ½ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

19 ÙÒ ÐØ Ö ÊÝ ÙÒ ÁÑÔÙÐ ØÛÓÖÞ Ý ÙÒ δ Ó Ö Ø Ó ØÖÝ ÑÔÙÐ º Ý ε 0 ÛÝ Ó Ó ÑÔÙÐ Ù h ε º ÈÓÐ ÔÓ ÑÔÙÐ Ñ Ø Þ Û Þ Ö ÛÒ ÒÓ º Ï Ö Ò Ý ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ δ(t t 0 )º ÈÖÞ Þ ÓÛ Ò (, ) ÑÓ Ý Þ Ø Ô ÓÒÝ ÔÖÞ Þ ÔÖÞ Þ ( x 0 ǫ,x 0 + ǫ ) Þ ǫ > 0 Ø ÓÛÓÐÒ Ñ Ð Þ Ô ØÖÞ ÖÝ º µº Å Ø Ñ ØÝÝ Þ ÙÛ Ð Ò ÞÝ Ó Ø ÙÒ Û Ò Ð ÝÞÒ Ò Ð ÞÝ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ Ò ØÒ º Ò Ò δ¹ ÙÒ ÓÔÖÓÛ Þ Ý Ó ÖÓÞÛÓ Ù ÒÓÛ Þ Ñ Ø Ñ ØÝ Ò ÞÝÛ Ò Ø ÓÖ Ý ØÖÝ Ù ÐÙ Ø ÓÖ ÙÒ ÙÓ ÐÒ ÓÒÝ Ë Û ÖØÞ ½ ½µº ÓÖÑ ÐÒ δ Ø Ð Ò ÓÛÝÑ ÙÒ ÓÒ Ñ Þ ÝÑ Ò ÔÖÞ ØÖÞ Ò ØÞÛº ÙÒ Ø ØÓÛÝ ÔÖ ÒÝ µ ϕ Û ÞÝ Ø ÙÒ ¹ ÔÓ Ý Û ÞÝ Ø ÔÓ Ó Ò ÞÛ ÖØÝ ÒÓ Ò ØÞÒº Þ Ö Ò Ø ÖÝÑ ÙÒ Ø Ö Ò Ó Þ Ö Ø Ó Ö Ò ÞÓÒݺ Þ Ò δ Ò ÙÒ ϕ ÓÞÒ Þ Ó (δ,ϕ)º ÙÒ ÓÒ Ð ÒÓÛÝ ÔÖÞ Ø Û ÒÝ Ø Û ÔÓ Ø ÐÓÞÝÒÙ Ð ÖÒ Óµ (f,ϕ) = + f(x)ϕ(x)dx ÙÒ δ ÑÓ Ò ÙÛ Ó Ö Ò Ô ÛÒ Ó Ù ÙÒ h ε Ð Ø ÖÝ ε ε h ε(x) dx = 1 Ð Ó ε Ø Þ Ò Ò ÓÛÓÐÒ ÙÒ ϕ lim ε 0 (ϕ,h ε ) = ϕ(0)º ÓÖÑ ÐÒ ÑÓ Ò Ò Ô lim h ε(x) = δ(x) ½¼¼µ ε 0 ÈÖÞÝ Ñ Ø Ó Ù ÙÒ ØÛÓÖÞ Ý δ ¹ ÙÒ Ø ÙÒ ÔÖÓ ØÓ ØÒ Þ Ò Ó¹ Û Ò Ó 1/τΠ(x/τ) Ý τ 0 ÙÒ Π(x) Þ Ò ÓÛ Ò Ø Ò ØÔÙ Ó { 0 x > 1 Π(x) = 2 1 x < 1 ½¼½µ 2 ÁÒÒÝÑ ÔÓÔÙÐ ÖÒÝÑ ÙÒ Ñ δ¹ ØÛÓÖÞ ÝÑ δ(x) = 1 π lim ε ε 0 x 2 + ε 2 1 δ(x) = lim ε 0 2 πε e x 2 4ε ½¼¾µ ½¼ µ Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û ½

20 ÙÒ ÐØ Ö ÊÝ ÙÒ ÁÑÔÙÐ ÔÖÓ ØÓ ØÒÝ δ¹øûóöþ ݺ ËÞ ÖÓ Ó Ó ÑÔÙÐ Ù Ø Ö ÛÒ τ Ó Þ ÛÝ Ó Ó Ø Ö ÛÒ 1 τ º Ý τ 0 ÛÝ Ó Ó ÑÔÙÐ Ù Ý Ó Ò Ó ÞÓÒÓ º ÈÓÐ Ó Ö Ò ÞÓÒ ÑÔÙÐ Ñ Ø Ö ÛÒ ½º áû ÓÑÓ Ø Ó ÓÔÖ ÓÛ ÒÓ Ð Ò Ø ÓÖ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ Ð δ ÙÒ Ø ÖÞ Ô º Ï ÔÖ ØÝ Û ÞÞ ÐÒÓ Û Ò Ù Ò ÝÒ Ö ÙØÓÑ ØÝ Ø ÓÖ Ø ÖÓÛ Ò ÞÝ Û Ò Ø Ò Ö ÛÒ Ô ÛÒ ÔÖ ÛÒÓ ÓÔ ÖÓÛ Ò ÙÒ δ(x)º ËØ Ø ØÒ ÓÒ ÞÒÓ ÔÓÞÒ Ò Ô ÛÒÝ Ö Ù ÓÔ Ö Ý ÒÝ ÞÛ Þ ÒÝ Þ ÙÒ δº ½º Ë Ð ØÝÛÒ Þ Ò ÙÒ δ(x)º Þ Ò ÙÒ δ Ø Ó Ö ÐÓÒ ÔÖÞ Þ ÔÓ Û ÙÒ δ(x) Þ ÓÛÙ ÔÓ ÞÒ Ñ º Å ÑÝ Û f(x)δ(x x 0 ) dx = x0 +ǫ x 0 ǫ x0 +ǫ f(x 0 ) f(x)δ(x x 0 ) dx x 0 ǫ δ(x x 0 ) = f(x 0 ) ½¼ µ Ï ÒÓ Ø Ò ÞÝÛ Ð ØÝÛÒÝÑ Þ Ò Ñ ÙÒ δ(x) ÔÓÒ Û Þ Û ÞÝ Ø Û Ö¹ ØÓ ÙÒ f(x) ÙÒ δ(x x 0 ) ÛÝ Ö Û ÖØÓ f(x 0 )º Â Ø ØÓ Ò Þ Ò Û Ò ÞÝ Û ÒÓ ÙÒ δ(x)º Û ÒÓ Ø ÛÝÒ ÓÛÓÐÒ ÙÒ f(x) ÑÓ Ò ÔÖÞ Ø Û Ó f(x) = δ(ξ x 0 )f(ξ) dξ n δ(ξ n x 0 )f(ξ n ) ξ n ½¼ µ ¾º ÙÒ δ Ó Þ Ó ÓÒ Ó Ö ÙÑ ÒØÙ δ(g(x)) Ó ÓÒ ÑÝ ÔÓ Ø Û Ò z = g(x)º ÏØ Ý dz = g (x)dx Ø dx = dz/g(x) ÓÖ Þ x = g 1 (z) ÈÓÒ ØÓ Ò g(x i ) = 0 ÞÝÐ x i Þ Ö Ñ ÙÒ g(x) x i = g 1 (0)º Å ÑÝ f(x)δ(g(x)) dx = f(g 1 (z))δ(z) dz g (g 1 (z)) = f(g 1 (0)) g (g 1 (0)) ½¼ µ ËØ ÔÓÒ Û δ( x) = δ(x) ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ δ(g(x)) = i δ(x x i ) g (x i ) ½¼ µ ¾¼ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

21 ÙÒ ÐØ Ö Ï ÞÞ ÐÒÓ ÓÖ Þ Ð x a δ(ax) = 1 a δ(x) δ(x 2 a 2 ) = 1 (δ(x + a) + δ(x a)) 2 a ½¼ µ ½¼ µ º δ ÙÒ Ò Ô ÞÞÝõÒ δ 2 (x 1,x 2 ) Æ ØÙÖ ÐÒÝÑ ÙÓ ÐÒ Ò Ñ ÙÒ δ(t) Ò ÞÑ ÒÒ Ò ÙÒ Û ÞÑ ÒÒÝ (x 1,x 2 ) Ø δ 2 (x 1,x 2 ) { δ 2 0 x 2 1 (x 1,x 2 ) = + x2 2 0 x x2 2 = 0 ½½¼µ R 2 δ(x 1,x 2 ) dx 1 dx 2 = 1 δ 2 (ax 1,bx 2 ) = 1 ab δ(x 1,x 2 ) = 1 ab δ(x 1)δ(x 2 ) ½½½µ ½½¾µ Ó ÓÒÙ Þ Ñ ÒÝ ÞÑ ÒÒ x x2 2 = r2 Û ÙÒÓÛÝÑ Ù Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ (r,θ) ÙÒ δ 2 (x)1,x 2 ) ÑÓ Ò ÛÝÖ Þ ÔÖÞ Þ δ(r) δ 2 (x 1,x 2 ) = δ(r) 2πr ÍÓ ÐÒ Ò Ð ÔÖÞ ØÖÞ Ò ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ ÔÓ ÒÓ Ù Û ÛÞÓÖÞ ¾µº º ÈÓ Ó Ò ÙÒ δ(x)º Ç ÖÛÙ ÔÖÞ ÙÒ δ¹øûóöþ Ý ØÛÓ ÓÒ Ø ØÓÛ ÔÓÛ ÒÒÓ Þ Ó Þ δ (x) dx = 0 ½½ µ ½½ µ ÈÓ Ø ÛÓÛÝÑ Ö ÛÒ Ò Ñ Ø Ö Ó Ö Ð ÔÓ Ó Ò ÙÒ δ Ø Ö ÛÒ Ò Ó Ö Ð ØÞÛ ÔÓ Ó Ò ÙÓ ÐÒ ÓÒ Ò ÓÛ Ò Ò ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÙÒ ÔÖ ÒÝ Ó f ϕ dx = fϕ Ø Ö ÛÝÒ Þ Ö Ù Ý ÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Þ ÈÖÞÝ ÑÙ f(x) = g(x)x ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ËØ xg(x)δ dx = fδ dx = f δdx δ [ g(x) + xg ] dx = xδ (x) = δ(x) δ(x)g(x) dx ½½ µ ½½ µ ½½ µ Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û ¾½

22 ÔÓÐ º ÔÓÐ Ï ÝØÙ Þ ÝÑ ØÖ ÛÝÔ ÝÛÙ Ø Þ ÓÒ ÛÝ Ó Ò Ø ÔÓ Ù Û Þ Ñ Ø Ó Ó Ð ÛÓ ØÝÔÙ õö Ó Ó Ó Ð ÛÓ Ò ÞÝÛ Ò ÔÓРѺ Ê ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ Ø Ö ÛÒ ¹ Ò Ñ Ð Ò ÓÛÝÑ ÔÓÛ Þ ÒÓ Û ÖÓÞ Þ Ð ½ ÖÓÞÛ Þ Ò Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ u(x 1,x 2,x 3 ) Ñ Û ÞÝ Ø ÔÓ Ó Ò º ÈÓ Ó Ò ÛÞ Ð Ñ ÓÛÓÐÒ ÞÑ ÒÒ u x i Ø ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ º Ï ÞÞ ÐÒÓ ÔÓ Ó Ò ÖÙÒ ÓÛ ÖÓÞÛ Þ Ò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒ Ó Û ÖÙÒ Ù Û ØÓÖ p Ø Ö ÛÒ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ º ÈÓØ Ò ÔÓÐ ÛÝÖ Ó ϕ d (r) = µp 1 4πr = µp x r 3 = ½½ µ Þ µ Ø ÒØ Ò ÝÛÒÓ ÔÓÐ p ÖÙÒ Ñ Þ Ò ÔÓÐ ÈÓÐ ÔÖ Ó Ò ÖÓ¹ Û Ò ÔÖÞ Þ ÒÓ Ø ÓÛÝ ÔÓÐ µ = 1µ ÛÝÖ ÛÞÓÖ Ñ ( p v = ϕ d = 1 4πr 3 3(x p)x r 2 ) ½½ µ ÔÓÐ Û ÔÖ ØÝ ÑÓ ÑÝ ÞÖ Ð ÞÓÛ ÔÖÞ Þ õö Ó Ó ÒØ Ò ÝÛÒÓ +q ÙÔÙ Ø q ÔÓ Ó¹ ÓÒÝ Ð Ó º  РÙÑ ÑÝ õö Ó Û Ó Ð Ó 1 2d Ó ÔÓÞ Ø Ù Ù Ù ÙÔÙ Ø Û Ó Ð Ó 1 2d ØÓ ÔÓØ Ò Û ÔÙÒ x Ø ÙÑ ÔÓØ Ò Û Ó Ó Ù õö ÛÝÖ Ó ÖÝ º µ ( ) ϕ d (x) = q 1 4π x 1 2 d 1 x d = = q 4π ( 1 r 2 + (d/2) 2 x d 1 r 2 + (d/2) 2 + x d ) ½¾¼µ r d ÑÓ Ò Û ÛÝÖ Ò Ù ½¾¼µ Þ ÓÛ ØÝÐ Ó Þ ÓÒÝ Ô ÖÛ Þ Ó ÖÞ Ù ÊÝ ÙÒ Û õö Ó ÔÖÞ ÛÒ ÛÝ ÒÓ q ÓÖ Þ q Û Ó Ð Ó d Ó p ÓÞÒ Þ ÖÙÒ Þ Ò ÔÓÐ r dº ÛÞ Ð Ñ d/r ÔÓØ Ò Û õö Ó ÔÖÞ ÛÒÝ ÞÒ ÑÓ Ò ÔÖÞÝ Ð Ý Ó ϕ d (x) q 1 1 ½¾½µ 4π 1 x d r x d r 2 ¾¾ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

23 ÇÈ Ï ÃÍÄÁ ËÌÊÍÅÁ ÆÁ Å Â ÆÇÊÇ Æ Å ÊÓÞÛ Û Þ Ö ÛÝÖ Ò Û Ò Û ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ϕ d (x) q 4π = x (qd) 4πr 3 ( (1 + x d 2r 2 + ) (1 x d 2r 2 + ) = p x 4πr 3 ) = ½¾¾µ Ó ÓÒÙ ÔÖÞ Ö Ò ÞÒ Ó Û Ø ÔÓ Ý d 0 ØÓ qd Ý Ó Ó ÞÓÒ Û ÖØÓ µp ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÔÓÐ Ó ÒØ ÝÛÒÓ µ ÖÙÒ Ù pº Â Ð ÖÙÒ ÔÓÐ ÔÓ¹ ÖÝÛ Ò ÔÖÞÝ Þ Ó x 1 ÔÓÐ ÙÑ ÞÞÓÒÝ Ø Û ÔÓÞ Ø Ù Ù Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ p = (1,0,0) ÛØ Ý Ó ÔÓØ Ò Ñ ÔÓ Ø ϕ d (x) = µ ( 1 4πr ) x 1 = µ x 1 4πr 3, r2 = x x2 2 + x2 3 ½¾ µ ÈÓÐ ÔÖ Ó ÛÝÖ Ò ØÔÙ Ó ÔÖÞÝÔÓÑÒ ÑÝ r x 1 = x 1 r µ ÔÓÖ ÛÒ ÛÞ Ö ½½ µµ v = ϕ d = ( µ ( ) 4πr 3 1 3x2 1 r 2, 3x ) 1x 2 4πr 5, 3x 1x 3 4πr 5 ½¾ µ Ð Ñ ÒØ Ð Ò ÔÖ Ù dx Ø Ö ÛÒÓÐ Ý Ó v = ϕ d Ø Û Ð Ò ÔÖ Ù ÐÓ ÐÒ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ó ÔÓÛ ÖÞ Ò ϕ d (x) = const. ÖÝ º µ y ÊÝ ÙÒ Ä Ò ÔÖ Ù Þ ØÖÞ Ñ ÓÖ Þ Ð Ò Û ÔÓØ ÐÒ ÔÖÞ ÖÝÛ Ò µ Û Ô ÞÞÝõÒ x 3 = 0.01 Ò ÖÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÒÓ Ø ÓÛÝ ÔÓÐ ÙÑ ÞÞÓÒÝ Û ÔÓÞ Ø Ù Ù Ù ÛÞ Ù Ó x 1 x ÇÔ ÝÛ ÙÐ ØÖÙÑ Ò Ñ ÒÓÖÓ ÒÝÑ ÊÓÞÔ ØÖÞÑÝ Þ Ò Ò ÓÔ ÝÛÙ ÙÐ B ÙÑ ÞÞÓÒ Û ÒÓÖÓ ÒÝÑ ØÖÙÑ Ò Ùº ÈÓØ Ò¹ ØÖÙÑ Ò ÒÓÖÓ Ò Ó Þ ÒÝ Ø ÙÒ ϕ(x,y,z) = Ax 1 + Bx 2 + Cx 3 Þ Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û ¾

24 ÇÈ Ï ÃÍÄÁ ËÌÊÍÅÁ ÆÁ Å Â ÆÇÊÇ Æ Å A,B,C Ø ÝÑ º ØÛÓ ÔÖ Û Þ ϕ = 0º ÈÖ Ó v = ϕ = (A,B,C) Ø Û ØÓÖ Ñ Ø ÝÑ Û ÝÑ ÔÙÒ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ð Ø Ó Ø ÔÖÞ Ô ÝÛ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÔÖÞ ¹ Ô ÝÛ Ñ ÒÓÖÓ ÒÝѺ ËÞÞ ÐÒÝÑ ÔÖÞ Ô Ñ ØÖÙÑ Ò ÒÓÖÓ Ò Ó Ø ÔÖÞ Ô ÝÛ ÛÞ Ù Ó x 1 Ø Ö Ó ÔÓØ Ò ÛÝÒÓ ϕ = Ux 1 Þ U ÓÞÒ Þ ÔÖ Ó ØÖÙÑ Ò Ô ÝÒÙ Û ÖÙÒ Ù Ó x 1 º ÁÒØ Ö Ù Ò ÔÓÐ ÔÖ Ó ÛÝÒ Þ ÓÔ ÝÛÙ ÙÐ ØÖÙÑ ¹ Ò Ñ ÒÓÖÓ ÒÝÑ Û ÖÙÒ Ù Ó x 1 ÖÝ º ½¼µº Ý ÛÝÞÒ ÞÝ ÔÓØ Ò ÔÓÐ ÔÖÞ Ô ÝÛÙ ÊÝ ÙÒ ½¼ ÇÔ ÝÛ ÙÐ ØÖÙÑ Ò Ñ ÒÓÖÓ ÒÝÑ Ò Ð Ý ÖÓÞÛ Þ Ò ØÔÙ Þ Ò Ò Æ ÙÑ ÒÒ ϕ ϕ = 0, n = 0, ϕ x = Ux 1 ½¾ µ S ÛÞ Ð Ù Ò ÓÑ ØÖ ÔÖÞ Ô ÝÛÙ ÛÝ Ó Ò Ø Ó Ð Þ Ò ÔÖÞ ÔÖÓÛ Þ Û Û Ô ¹ ÖÞ ÒÝ ÖÝÞÒÝ (r,θ,φ)º Ê ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ Ù ÔÓ Û Ò Ý Ó Û ÔÓ ÓÖÞº Ñ ÔÓ Ø 1 r 2 r 2 (rϕ) + 1 r 2 sin 2 θ 2 ϕ φ r 2 sin 2 θ ( sin θ ϕ ) = 0 ½¾ µ θ θ Þ 0 < r < a, 0 < θ < π, 0 < φ < πº Ò Ò ½¾ µ Ø Þ ÛÒØÖÞÒÝÑ Þ Ò Ò Ñ Æ ÙÑ ÒÒ ÖÓÞÛ Þ Ò ÞÙ ÑÝ Û Ó Þ ÖÞ Ò Ó Ö Ò ÞÓÒÝÑ Ò Þ ÛÒ ØÖÞ Bµ Ð Þ Ó ÝÑÝ ÔÖÞ Ô ÝÛ Ø Ó ÓÛÓ ÝÑ ¹ ØÖÝÞÒÝ Ò Þ Ð Ý Ó Û Ô ÖÞ Ò ÞÝÑÙØ ÐÒ φº ÈÓ ÞÙ Û ÒÝ ÔÓØ Ò Ø ÙÒ Û ÞÑ ÒÒÝ r,θ ϕ(r,θ)º ÏÝ Ó Ò Ø Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ x 3 Ù Ó ÓÔ Ù ÔÓ¹ Ó Ò ÔÙÒ Ø Û Ò ÙÐ ÖÓÛ Þ Ó Ò Þ ÖÙÒ Ñ ÔÖÞ Ô ÝÛÙ ÛÞ Ù Ó x 1 Û Ø Ò ÔÓ θ Ñ ÖÞÝ Ó Ó x 1 º Ò Ò ÖÞ ÓÛ Ð Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø 1 r 2 r 2 (rϕ) + 1 r 2 sin 2 θ ϕ r = 0 S ( sinθ ϕ ) = 0 ½¾ µ θ θ ½¾ µ ϕ r U cos θ ½¾ µ Ó ÖÓÞÛ Þ Ò Þ Ò Ò ½¾ µ ÑÓ Ò ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ñ ØÓ ÖÓÞ Þ Ð Ò ÞÑ ÒÒÝ º Å ¹ ØÓ Ø ØÓ Ù Þ ÔÓÛÓ Þ Ò Ñ Ó Þ Ò Ð Ò ÓÛÝ ÓÖ Þ Ð ÔÖÓ ØÝ Ó Þ Ö Û ÓÑ ØÖÝÞÒÝ ÒÔº Þ Ò Ö ÔÖÓ ØÓ Ø Ó Óº ÈÖÞÝ ÑÙ ÖÓÞÛ Þ Ò ÑÓ Ò ¾ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

25 ÇÈ Ï ÃÍÄÁ ËÌÊÍÅÁ ÆÁ Å Â ÆÇÊÇ Æ Å ÊÝ ÙÒ ½½ Í Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÖÓ ØÓ ØÒÝ ÛÖ Þ Þ Ù Ñ ÖÝÞÒÝÑ ÛÝ ÓÖÞÝ Øݹ Û ÒÝ Ó Ò ÓÔ ÝÛÙ ÙÐ ØÖÙÑ Ò Ñ ÒÓÖÓ ÒÝѺ ÈÖÞ Ô ÝÛ Ò Þ Ð Ý Ó ÞÑ ÒÒ ÞÝÑÙØ ÐÒ φ ÔÖÞ Ø Û Þ ÔÓÑÓ ÐÓÞÝÒÙ Û ÙÒ Þ Ø ÖÝ Þ Ð Ý ØÝÐ Ó Ó Ò ÞÑ ÒÒ º Ï ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ϕ = R(r)Θ(θ) ½ ¼µ Þ ÙÒ R(r) ÓÖ Þ Θ(θ) ÙÒ Ñ ØÝÐ Ó Ò ÞÑ ÒÒ Ó ÔÓÛ Ò Ó r θº ÈÓ ÔÓ Ø Û Ò Ù ÙÒ ½ ¼µ Ó Ö ÛÒ Ò ½¾ µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Θ d ( r 2dR ) + R 1 ( d sin θ dθ ) = 0 ½ ½µ dr dr sinθ dθ dθ Ð Þ Ð Ö ÛÒ Ò ½ ½µ ØÖÓÒ Ñ ÔÖÞ Þ R(r)Θ(θ) ÔÖÞ ÒÓ Þ ÙÒ Ó Ò ÞÑ Ò¹ Ò Ò ÔÖÞ ÛÒ ØÖÓÒÝ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ( ) 1 d r 2dR = 1 ( d sin θ dθ ) = λ ½ ¾µ R dr dr Θ sin θ dθ dθ Ä Û ØÖÓÒ Ö ÛÒÓ ÛÞÓÖÙ ½ ¾µ Ø ÙÒ ØÝÐ Ó ÞÑ ÒÒ r ÔÖ Û Ø ÙÒ ØÝÐ Ó ÞÑ ÒÒ θº Ñ ÒÒ Ø ÑÓ ÞÑ Ò Ò Þ Ð Ò ÞÑ Ò Û ÖØÓ ÙÒ ÔÓ Ó Ù ØÖÓÒ Ö ÛÒ Ò º ËØ Ý Þ Ó Þ Ö ÛÒÓ Ó ØÖÓÒÝ ÔÓÛ ÒÒÝ Ö ÛÒ Ø Ñ Ø º ËØ Ø ÓÞÒ ÞÓÒÓ Ó λº ÇØÖÞÝÑÙ Û Ö ÛÒ Ò ( d r 2dR ) λr = 0 ½ µ 1 sin θ d dθ dr dr ( sin θ dθ dθ ) + λθ = 0 ½ µ Ê ÛÒ Ò ½ µ ÛÞ Ð Ñ ÞÑ ÒÒ r Ø Ö ÛÒ Ò Ñ ÙÐ Ö r 2 R + 2rR λr ¼º ÊÓÞ¹ Û Þ Ò ÔÓ ÞÙ Ù Û ÔÓ Ø R(r) = r α º ÈÓ ÔÓ Ø Û Ò Ù Ø ÔÓ Ø ÖÓÞÛ Þ Ò Ó Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û ¾

26 ÇÈ Ï ÃÍÄÁ ËÌÊÍÅÁ ÆÁ Å Â ÆÇÊÇ Æ Å Ö ÛÒ Ò ½ µóøöþýñù ÑÝ Ö ÛÒ Ò Û Ö ØÓÛ α(α 1) λ = 0º ÈÖÞÝ Ñ ÑÝ Ø λ ÑÓ Ò ÛÝÖ Þ Û ÔÓ Ø λ = (l + 1)l Þ l Ø ÞÞ Ò Ó Ö ÐÓÒ º È ÖÛ Ø Ø Ó Ö ÛÒ Ò Û Ö ØÓÛ Ó ÑÓ Ò ÛÝÖ ÔÖÞ Þ l α 1 = (l+1) ÓÖ Þ α 2 = lº ÊÓÞÛ Þ Ò Ó ÐÒ Ø ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ ÖÓÞÛ Þ r (l+1) ÓÖ Þ r l ÞÝÐ R l (r) = C l r l + D l r (l+1) ½ µ ÊÓÞÛ Þ Ò Ø Û Ò Ð ÓÛÓÐÒÝ Û ÖØÓ l Ð Ø Ó ÖÓÞÛ Þ Ò R l ÓÛÓÐÒ Ø A l ÓÖ Þ B l ÓÞÒ ÞÓÒ Ò Ñ l Û ÞÙ ÝÑ Ð Ø Ö Û ÖØÓ l ÓÒ Û Ò º Ñ ÑÝ Ø Ö Þ Ö ÛÒ Ò Ñ ½ µ ÛÞ Ð Ñ ÞÑ ÒÒ θº Ó ÓÒ ÑÝ Þ Ñ ÒÝ ÞÑ ÒÒ θ Ò u ÔÓ ÔÖÞ Þ u cos θ ÓÖ Þ ÛÔÖÓÛ Þ ÑÝ ÒÓÛ ÙÒ P(u) = Θ(θ)º Æ ÑÓÝ Ö Ù Ý Ö Ò Þ ÓÛ Ò ÙÒ Þ Ó ÓÒ Ñ ÑÝ dp du = dp dθ dθ du = 1 dp sinθ dθ Û dp dθ = sin θdp du ½ µ ÈÓ Ø Û Û Ö ÛÒ Ò Ù ½ µ Þ sin 2 θ = 1 u 2 ÓÖ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÞÛ Þ Ö ÛÒ Ò ½ µ ÑÓ Ò Þ Ô Û ÔÓ Ø [ d (1 u 2 ) dp ] + λp = 0, ½ µ du du Ø Ö ÑÓ Ò Ð ÔÖÞ ÞØ Ó ÔÓ Ø d 2 u du 2 2 dp 1 u 2 du + λ 1 u2p = 0. ½ µ Ê ÛÒ Ò ½ µ Ò ÞÝÛ ÞÛÝÞ ÒÝÑ Ö ÛÒ Ò Ñ Ö Ò Þ ÓÛÝÑ Ä Ò Ö ³ º ÊÓÞÛ ¹ Þ Ò Ñ Ö ÛÒ Ò Ä Ò Ö ³ ÙÒ Ä Ò Ö ³ ØÖ ÝÝ Ò ÓÞÒ Þ Ò Ó P n (u) ÙÒ Ä Ò Ö ³ ÖÙ Ó ÖÓ Þ Ù Q n uº ÙÒ P n (u) Ñ ÔÓ Ø Û ÐÓÑ ÒÙ ØÓÔÒ n Ò ÞÝÛ Û ÐÓÑ Ò Ñ Ä Ò Ö ³ º ÊÓÞÛ Þ Ò Ó ÐÒ Ö ÛÒ Ò ½ µ Ñ ÔÓ Ø Θ(θ) = (A n P n (cos θ) + B n Q n (cos θ)) ½ µ n=0 Ï ÐÓÑ ÒÝ Ä Ò Ö ³ P(u) Ö ÙÐ ÖÒ ÔÖÞÝ ÑÙ Û ÖØÓ Ó ÞÓÒ µ Û ÝÑ ÔÖÞ Þ Ð [ 1,1] ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý λ Û Ö ÛÒ Ò Ù ½ µ Ø ÔÓ Ø λ = n(n + 1) Þ n Ø Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒ º ÊÓÞÛ ÞÙ Ñ ØÓ ÖÓ Ò Ù º ÊÓÞÛ Þ Ò ÔÓ ÞÙ Ù Û ÔÓ Ø Þ Ö Ù ÔÓØ ÓÛ Ó P(u) = n=0 a nu n ÛÝÞÒ Þ Ö Ð ÑÙ Þ ¹ Ô Ò Û Ô ÞÝÒÒ a N Þ Ö Ù ÓØ ÓÛÓ Ó ÈÓ ÙÑÙ ÑÝ ÔÓÛÝ Þ ØÛ Ö Þ Ò ØÛ Ö Þ Ò Ñ Ø Ö Ó ÓÛ ÑÓ Ò ÞÒ Ð õ Û ÌÛ Ö Þ Ò º½º ÊÓÞÛ Þ Ò Ö ÛÒ Ò ½ µ Ñ ÖÓÞÛ Þ Ò Û ÔÓ Ø Û ÐÓÑ ÒÙ Ä ¹ Ò Ö ³ ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý λ Û Ö Û Ò Ò Ù ½ µ Ñ ÔÓ Ø λ = n(n + 1) Þ n Ø Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒ º à ÑÙ n Ó ÔÓÛ Û ÐÓÑ Ò ØÓÔÒ n Ò ÞÝÛ ÒÝ Û ÐÓÑ Ò Ñ Ä Ò Ö ³ ØÓÔÒ nº Ï ÐÓÑ Ò Ä Ò Ö ³ Þ Û Ö Ô ÖÞÝ Ø ÔÓØ ÞÑ ÒÒ u Ý n Ø Ô ÖÞÝ Ø Ò Ô ÖÞÝ Ø ÔÓØ u Ý n Ø Ò Ô ÖÞÝ Ø º Ý Ù Ø Ò ÖÝÞÓÛ Û ÐÓÑ ÒÝ ÔÖÞÝ ÑÙ ÙÑÓÛÒ P n (1) = 1 Ð Û ÞÝ Ø nº ¾ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

27 ÇÈ Ï ÃÍÄÁ ËÌÊÍÅÁ ÆÁ Å Â ÆÇÊÇ Æ Å Ã Ð ÔÖÞÝ ÓÛÝ ÙÒÓÖÑÓÛ ÒÝ P n (1) = 1µ Ô ÖÛ ÞÝ Û ÐÓÑ Ò Û Ä Ò Ö ³ Ñ ÔÓ Ø P 0 (u) = 1, P 1 (u) = u ½ µ P 2 (u) = 1 2 (3u2 1), P 3 (u) = 1 2 (5u3 3u) ½ ¼µ P 4 (u) = 1 8 (35u4 30u 2 + 3) P 5 (u) = 1 8 (63u5 70u u) ½ ½µ Ï ÐÓÑ ÒÝ Ä Ò Ö ³ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Û Ò ÐÓÞÝÒÙ Ð ÖÒ Ó π 0 P n (cos θ)p m (cos θ)sin θ dθ = { 2 2n+1 Ð n = m 0 Ð n m ½ ¾µ ÈÓÞÛ Ð ØÓ Ò ÔÖÞ Ø Û Ò ÓÛÓÐÒ ÙÒ f(θ) Ò Ð Ó L 2 Û ÔÓ Ø ÙÓ ÐÒ ÓÒ Ó Þ Ö Ù ÓÙÖ Ö f(θ) = a n P n (cos θ) ½ µ n=0 Þ Û Ô ÞÝÒÒ a n ÛÝÞÒ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Û ÒÓ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒÓ ÙÒ ÞÓ¹ ÛÝ P n ½ ¾µ Ò ØÔÙ Ó a n = 2n π 0 f(θ)p n (cos θ)sin θ dθ ÙÒ Ä Ò Ö ³ ÖÙ Ó ÖÓ Þ Ù Ó Ð Þ Þ ÛÞÓÖÙ ½ µ Q n (u) = A n P n (u) u λ ds (1 s 2 )(P 2 n (s)) ½ µ Ø ÖÝ ÛÝÒ Þ Ñ ØÓ Ý Ö Ù ÖÞ Ù Ð Ò ÓÛ Ó Ö ÛÒ Ò ÖÞ Ù ÖÙ Ó Ý ÒÓ Þ ÖÓÞÛ Þ Ø Ó Ö ÛÒ Ò Ø ÞÒ Ò Û ØÝÑ ÛÝÔ Ù P n (u) ÈÖÞÝ ÓÛÓ Ð u < 1 ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Q 0 (u) = 1 2 ln 1 + u 1 u, Q 1(u) = 1 2 u ln 1 + u 1 u 1 ½ µ ÙÒ Ä Ò Ö ³ ÖÙ Ó ÖÓ Þ Ù Q(u) Ñ Ó Ó Ð ÛÓ Û ÔÙÒ Ø u = 1 u = 1º Ç ÖÓÞÛ Þ Ò ÓÔ Ù Ó Þ Ò Ò ÞÝÚÞÒ ÛÝÑ Ó Ø ÓÛÓ Ý Ý Ý Ó Ö Ò ÞÓÒ º ËØ ÞÑÙ Þ Ò Ø ÑÝ ÙÒ Ä Ò Ö ³ ÖÙ Ó ÖÓ Þ Ù Q(u) ÔÓÑ Ò Û Ð ÞÝ ÖÓÞÛ Ò ÔÖÞÝ ÑÙ B n 0º Ç ÐÒ ÖÓÞÛ Þ Ò Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ Þ ÝÑ ØÖ ÞÝÑÙØ ÐÒ Ò Þ Ð Ò Ó ÞÑ ÒÒ φ ÛÝÖ Û Ò ØÔÙ Ó ϕ(r,θ) = n=0 ( C n r n + D n r (n+1)) P n (cos θ) ½ µ Þ Û Ô ÞÝÒÒ C n D n Ò Ð Ý Ó Ö Ð Þ Û ÖÙÒ Û ÖÞ ÓÛÝ º Ý Þ ÖÓÞÛ Þ Ò Ó ÐÒ Ó ½ µ ÛÝ Ó Ý ÖÓÞÛ Þ Ò ÓÔ ÝÛÙ ÙÐ Ò Ð Ý Ó Ö Ð Û Ô ¹ ÞÝÒÒ C n D n Þ Û ÖÙÒ Û ÖÞ ÓÛÝ º ÈÖÞÝÔÓÑÒ ÑÝ ÔÓØ Ò ÔÖ Ó ÑÙ Ý Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û ¾

28 ÇÈ Ï ÃÍÄÁ ËÌÊÍÅÁ ÆÁ Å Â ÆÇÊÇ Æ Å Ô Ò ϕ Ux 1 Ý r º ÈÓÒ Û x 1 = r cos θ) rp 1 (cos θ) ØÓ Þ Ö ÛÒ Ò ½ µ ÛÝÒ Ð C 1 = Ur ÔÓÞÓ Ø Û ÖØÓ Û Ô ÞÝÒÒ Û C n Ð n > 1 Ö ÛÒ Þ ÖÓº ÈÓÒ ØÓ ÑÝ Ý ϕ/ r Ð r = a Ý Ö ÛÒÝ Þ ÖÓº Å ÑÝ Û UP 1 (cos θ) n=0 ( (n + 1)D n a (n+2)) P n (cos θ) = 0 ½ µ ÅÒÓ Ð ÖÒ Ö ÛÒ Ò ½ µ ÔÖÞ Þ P n (cos θ) ÑÒÓ ÝÑÝ ØÖÓÒ Ñ ÔÖÞ Þ P n sin(theta) Ù ÑÝ Û ÔÖÞ Þ Ð [0,π]µ ÓÖ Þ ÓÖÞÝ Ø Þ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒÓ ½ ¾µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ D 1 = Ua 3 /2º ÈÓØ Ò ÓÔ ÝÛÙ ÙÐ Ð Þ Ò Ò Ñ ÔÓ Ø ϕ = Ur(1 + a3 2r 3)cos θ ½ µ ÈÓÐ ÔÖ Ó Ø Ö ÛÒ ( ) ϕ v = ϕ = (v r,v θ,v φ ) = r, 1 ϕ r θ, 1 ϕ = sin θ φ ) ½ ¼µ = (U(1 a3 a3 )cos θ, U(1 + r3 2r3)sin θ, 0 Ï ÞÞ ÐÒÓ Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò ÙÐ Ö µ Ñ ÑÝ v r = 0, v θ = 3 2 U sinθ, v φ = 0 ½ ½µ Ò Ò Ò Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò ÙÐ ÛÝÖ ÛÞÓÖ Ñ ÔÓÖ ÛÒ µµ p = p c 9 8 ρu2 sin 2 θ ½ ¾µ Þ p c ÛÝÖ Ò ÑÓÝ Ö ÛÒ Ò ÖÒÓÙÐÐ ³ Ó Ó p c = p +(1/2)ρU 2 º Ï Ô ÞÝÒÒ Ò Ò c p ÔÓ Û Ý Þ ØÓ Û Þ ØÓ ÓÛ Ò Ö ÛÒ c p = p p 1 2 ρu2 = 1 ( vθ ) 2 9 = 1 U 4 sin2 θ ½ µ Ò ÖÓÞ Ò Ò Ò ÙÐ ÑÓ ÑÝ ÛÝÞÒ ÞÝ ÛÝÛ Ö Ò ÔÖÞ Þ Þ Ò ÙÐ ÖÝ º µ F = pn ds ½ µ S Þ Û ØÓÖ ÒÓÖÑ ÐÒÝ Ó ÙÐ n = e r (θ)º Ë ÓÛ Ý ÛÞ Ù Ó x 1 ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÑÒÓ Ð ÖÒ F ÔÖÞ Þ Û ØÓÖ ÒÓ Ø ÓÛÝ e 1 ÐÓÞÝÒ n e 1 = cos θ π F e 1 = pn e 1 ds = (p c 9 S 0 8 ρu2 sin 2 θ)cos θ2πasin θ (adθ) = π = aπ p c sin 2θdθ 9 π ½ µ 1 cos 2θ 8 ρu2 sin θdθ = ¾ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

29 ÇÈ Ï ÃÍÄÁ ËÌÊÍÅÁ ÆÁ Å Â ÆÇÊÇ Æ Å ÊÝ ÙÒ ½¾ Ï ØÓÖ ÒÓÖÑ ÐÒÝ n Ó ÔÓÛ ÖÞ Ò ÖÝ ÛÖ Þ Þ Ð Ñ ÒØ ÔÓÛ ÖÞ Ò ds = (adθ)2πa sin θ ÈÓ Ó Ò Ð Þ ÓÛ Ý Þ Û ÖÙÒ Ù e 2 ÓØÖÞÝÑ ÑÝ Ö ÛÒ F e 2 = 0º ËØ F 0º Ø Ø Ò ÖÞ ÞÝ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÑÙ Ó Û Þ Ò Ùº Ð Ø Ó Ø Ò ÞÝÛ Ô Ö ¹ Ó Ñ ³ Ð Ñ ÖØ º Â Ø ØÓ ÓÒ Û Ò ÔÖÞÝ ÔÓØ Ò ÐÒÓ ÖÙ Ù Ô ÝÒÙº ÖÓÛ Ó Þ ÝÛ Ò Ô ÝÒÙ Ò Ó Û ÖÙ Ù ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛÝÑ Ò Þ Ð Ý Ó ÞØ ØÙ º Ä Ò ÔÖ Ù ÓØÖÞÝÑ Ò Ò ÔÓ Ø Û ÔÓÐ ÔÖ Ó ÛÖ Þ Þ Ð Ò Ñ Ø Ó ÔÓØ Ò Ù ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ½ º ÛÞÓÖÙ ½ µ ÛÝÒ ÛÝÔ ÓÛÝ ÔÓØ Ò Þ Ò ¹ Ò ÓÔ ÝÛÙ ÙÐ Ô ÝÒ Ñ Ò Ð Ô Ñ Ø ÙÔ ÖÔÓÞÝ ÔÓØ Ò Ù ÔÖÞ Ô ÝÛÙ Ö ÛÒÓÑ ÖÒ Ó ϕ J = Ux 1 = Ur cos θ ÓÖ Þ ÔÓÐ ϕ d = µx 1 /(4πr 3 ) ϕ d = ϕ J + ϕ d = Ur cos θ + µ x 1 4πr 3 ½ µ Þ ÒØ Ò ÝÛÒÓ ÔÓÐ µ = 4πUa 3 /2º ÈÓÛÝ Þ Ò Ð Þ Ó ÞÛ Þ Ò Þ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ ÔÓÞÛÓÐ Ò ÛÝÞÒ ¹ Þ Ò ÖÙÒ Ù ÒØ Ò ÝÛÒÓ ÑÓÑ ÒØÙ ÔÓÐÓÛ Ó µp = µ( 1,0,0)º ÛÖ ÑÝ ÙÛ ÔÓÐ ÖÓÛ ÒÝ Ø ÔÖÞ Û Ó Ò Ô ÝÛ ÑÙ ØÖÙÑ Ò ÓÛ º Â Ó ÒØ Ò ÝÛÒÓ ¹ ÖÙÒ ÑÙ Þ Ô ÛÒ Þ ÖÓÛ Ò ÓÛ ÒÓÖÑ ÐÒ ÔÖ Ó Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò ÙÐ º ÇÔÖ Þ ÓÔ ÝÛÙ ÔÓÐ ØÖÙÑ Ò Ñ ÒÓÖÓ ÒÝÑ ÔÖ ØÝÞÒ Þ Ø ÓÛ Ò ÞÒ Ù ÓÔ ÝÛ ØÖÙ Ñ Ò Ñ ÒÓÖ ÒÝÑ õö ÐÙ Û õö Ó ÔÖÞ ÛÒÝ ÞÒ ÙÑ ÞÞÓÒÝ Û Ó Ð Ó Ò Ó x 1 º È ÖÛ ÞÝ ÔÖÞÝÔ Ó Ö Þ ÔÖÞ Ô ÝÛÙ ÛÓ ØÔ Ó Ô Ò ¹ Ó ÞÓÒ Ó Þ Ó ÝÑ ØÖ Ô Ò Ó ÞÓÒ Ó Ê Ò Ò ³ ÓÖ Þ ÓÛ Ð Ê Ò Ò ³ µ Ä Ò ÔÖ Ù ÛÝÞÒ ÞÝ ÑÓ Ò Þ Ö ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ Ó dr ( = 1 )cos a3 θ r 3 rdθ ( 1 + )sin a3 θ 2r 3 = dφ 0 ½ µ Ä Ò ÔÖ Ù Ð Û Ô ÞÞÝõÒ φ = const. ÑÓ Ò ÛÝÞÒ ÞÝ Þ Ö ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ Ó 2cos θ dθ sin θ = ( ) 1 r 3r2 r 3 a 3 dr ½ µ Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û ¾

30 ÊÙ Ô ÝÒÙ ÛÝÛÓ ÒÝ ÖÙ Ñ ÙÐ 2 1 U x U ÊÝ ÙÒ ½ Ä Ò ÔÖ Ù Ð Ò Þ ØÖÞ Ñ µ ÛÝÞÒ ÞÓÒ Ò ÔÓ Ø Û ÔÓÐ ÔÖ Ó ½ ¼µ ÛÖ Þ Þ Ð Ò Ñ Ø Ó ÔÓØ Ò Ù Ð Ò Þ Ö µº x 1 Ê ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ ½ µ ÑÓ Ò ÓÛ ÔÓÛÝ Þ Ó Ö ÛÒ Ò Ñ ÑÝ ln sin 2 θ = ln r r 3 a 3 + ln C C = (r 2 a3 r )sin2 θ Ð r = a Ð Ò ÔÖ Ù Ð Ý Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò ÙÐ C = 0µº ½ µ ½ ¼µ º½ ÊÙ Ô ÝÒÙ ÛÝÛÓ ÒÝ ÖÙ Ñ ÙÐ Ý ÔÓÒÙ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ó ÐÒÝÑ Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ ½ µ ØÛÓ Ø ÓØÖÞÝÑ ÖÓÞÛ ¹ Þ Ò ÓØÝÞ ÖÙ Ù ÙÐ Û Ò Ó Ö Ò ÞÓÒ ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÛÝÔ Ò ÓÒ Ô ÝÒ Ñº ÈÖÝ ÔÓÖÙ¹ Þ ÙÐ Þ ÔÖ Ó v k = (U,0,0) ÑÝ Ý Ô ÝÒ Û Ò Ó ÞÓÒÓ Ý Û ÔÓÞÝÒ Ùº Æ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÙÐ Û ÖÙÒ ÖÞ ÓÛÝ Ð ÔÖ Ó Ñ ÔÓ Ø Ï ÖÙÒ Ò ÔÓØ Ò ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø n (v v k ) = 0 ϕ r = cos θ ½ ½µ ½ ¾µ ¼ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

31 ÊÙ Ô ÝÒÙ ÛÝÛÓ ÒÝ ÖÙ Ñ ÙÐ ÊÓÞÛ Þ Ò Ö ÛÒ Ò ½ µ Þ Û ÖÙÒ Ñ ½ ¾µ ÓÖ Þ ϕ 0 Ý r ϕ = Ur a3 2r 3 cos θ ½ µ ÈÓØ Ò ½ µ Ó ÔÓÛ ÔÓÐÓÛ Ó ÖÙÒ Ù Ó x 1 ÒØ Ò ÝÛÒÓ µ = 4πUa 3 /2º ÏÝ Ö Ý Ð Ò Ø Ó ÔÓØ Ò Ù ÛÖ Þ Ð Ò Ñ ÔÖ Ù ÛÝÞÒ ÞÓÒÝÑ Ò ÔÓ Ø Û ÔÓÐ ÔÖ Ó ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ½ 3 2 x ÊÝ ÙÒ ½ Ä Ò ÔÖ Ù Ð Ò Þ ØÖÞ Ñ µ ÛÝÞÒ ÞÓÒ Ò ÔÓ Ø Û ÔÓÐ ÔÖ Ó ½ ¼µ ÛÖ Þ Þ Ð Ò Ñ Ø Ó ÔÓØ Ò Ù Ð Ò ÔÖÞ ÖÝÛ Ò µº x 1 Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û ½