ρ h (x 0 ) = M h h 3 ρ(x 0 ) = lim ρ h (x 0 )
|
|
|
- Wiktoria Kazimiera Czyż
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ÏÝ ½ ÈÓ Ø ÛÓÛ ÔÓ Ñ Ò Ó ÖÓ Ó ËÔ ØÖ ½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ø ÓÖ Ó ÖÓ Ó ½ ½º½ ÍÛ Ó ÔÓØ Þ Ó ÖÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ÈÓ ÖÙ Ù Û Ó ÖÓ Ù ÝÑ ¾ ¾º½ ÇÔ ÖÙ Ù Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ Û ÞÑ ÒÒÝ ÙÐ Ö º º º º º º º º º º ¾º¾ ÈÓÐ ÔÖ Ó ÔÖÞÝ Ô Þ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÈÓ Ó Ò Â Ó ÒÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ÌÛ Ö Þ Ò ØÖ Ò ÔÓÖØÓÛ ½½ ½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ø ÓÖ Ó ÖÓ Ó ÛÞ Ð Ù Ò Ô õò Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò ÛÔÖÓÛ Þ ÑÝ Ó Ò Ò Þ Ò Ò ÔÓ ÓØݹ Þ Ò Ô ÖÛ Ò Ñ ØÝ ÖÙ Ù Ò ØÔÒ Ò ØÔÒ ÛÝ Ö Ò Þ Ò Ò ÓØÝÞ Ò Ñ ØÝ ÖÙ Ù Û ÖÓÛ Óº ½º½ ÍÛ Ó ÔÓØ Þ Ó ÖÓ Ó Å Ò Ó ÖÓ Ó Ó ÑÙ Ñ Ò Ø Ó Ñ Ò ÞÝ ¹ Þ Û Ø ÓÖ ÔÖ Ý ØÓ Þ ÑÙ ÖÙ Ñ Ò Ñ ØÝ ÝÒ Ñ ÖÓÞÛ Ó ÖÓ Ñ Ø Ö ÐÒÝ Ó Ò Ó ÞÓÒÝ Ý Ù Þ Ø ÞÝ ÞÙ ÐÙ Ø Óº Ï Ñ ¹ Ò Ó ÖÓ Ó ÒÓÖÓÛ Ò ÞÞ Ý Ù ÓÛÝ Ñ Ø Ö Ò ÔÓÞ ÓÑ ØÓÑÓÛÝÑ Þ Ø Þ ÓÛÝѵº ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Ñ Ø Ö ÑÓ Ò Þ Ø Ô Ø ÔÖÞ Þ ÔÓØ ØÝÞÒ ÓÒØ ÒÙÙÑ ÓÛÓÐÒ Ñ ÔÓÖ ÓÒØ ÒÙÙÑ Ø Ó ÖÞ Ö Ø ÖÝÞÓÛ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ñ ÓÔ Ù Ó ÒÝ Ñ Ø Ö Ø Ñ ØÓ Ð Ô Ó Ò Ò º È Ö Ñ ØÖÝ Ø ÞÑ ¹ Ò Û Ó Ö Ó ØÓ Þ ÑÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ñ Ø Ö Û ÔÓ Ý Ó Ö ¹ ÐÓÒ Û ÝÑ ÔÙÒ Ó ØÓ º È Ö Ñ ØÖÝ ÓÔ Ù Ø Ò Ó ÖÓ Ó ÒÔ º ÔÖ Ó Ò Ò ÑÓ Ý Ó Ð ÞÓÒ Ò ÔÓ Ø Û ÓÑ ØÝÞÒÝ Ö Ù Ò Ð ÞÝ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ ÒÔº Ó Ð Þ Ò Ö Ò Ý ÙÒ ÔÓ Ó ÒÝ ØÔº ½
2 ¾ ÈÇ Á ÊÍ ÀÍ Ï ÇáÊÇ ÃÍ Á Å À ÔÓØ Þ ÓÒØ ÒÙÙÑ ÔÖÞ Ø Ó ÓÛ ÞÝÛ Ý Ð ÓÔ ÝÛ ÒÝ Þ Û Ø ÖÞ Ù Ó ¹ Ð Ó Ñ ÞÝ ØÓÑÓÛÝ º Ð Þ Û Ø ØÓ Ó Ð Ó ÖÞ Ù 10 7 m Ð ÞÝ 10 9 mº Ý Ð Ô ÞÖÓÞÙÑ Ó Ö Ò Þ Ò ÑÓ ÐÙ ÓÒØ ÒÙÙÑ ÔÖÞ ÔÖÓÛ Þ ÑÝ Ò ØÔÙ Ý Ô ¹ ÖÝÑ ÒØ ÑÝ ÐÓÛݺ Ï Ó Þ ÖÞ Ω Þ ÑÓÛ ÒÝÑ ÔÖÞ Þ Ô ÝÒ Û õñý ÓÒØÖÓÐÒ Ó ØÓ ÞÐÓ¹ Ð ÞÓÛ Ò ÛÓ ÔÙÒ ØÙ x 0 = Û ÞØ Þ ÒÙ Ó Ó Ù Ó Ð ÞÑÝ Ö Ò ØÓ Ô ÝÒÙ ÞÛ ÖØ Û Ø Ó ØÓ Ó ρ h (x 0 ) = M h h 3 Ý Ó Ð ÞÝ Û ÖØÓ ØÓ Û ÔÙÒ x 0 ÑÙ ÑÝ ÛÞ Ö Ò ρ(x 0 ) = lim h 0 ρ h (x 0 ) Ï Ù Þ ÖÞ ÞÝÛ ØÝÑ Ñ Ø Ö ÐÒÝÑ ØÖ ØÓÛ Ò ÔÖÞ Ö Ò ÞÒ Ó Û ÔÓ Ó¹ ÓÛÒÝ ÔÖÓÛ Þ Þ Ó ÛÝ Ö Ù ØÓ Û Þ Ð ÒÓ Ó ÖÓÞÑ ÖÙ ÓÒØÖÓÐÒ Ó ØÓ h Ò ÖÝ ÙÒ Ù ½º Ï Ó Þ ÖÞ ÓÞÒ ÞÓÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù Ó ÁÁ ÛÝ Ö ØÓ ρ h Ø ÊÝ ÙÒ ½ ÏÝ Ö Ö Ò ØÓ Û Þ Ò Ó Ó Ù Û Þ Ð ÒÓ Ó Ù Ó Ó Ó Ù h ÔÓÞ ÓÑݺ Æ Þ ÙÛ Ù ØÙ Û ÖØÓ Û ØÝÑ Ó Þ ÖÞ ÔÓÒ Û Ð Þ Þ Ø Û Þ Ò Ø Ö ÞÓ Ù Û 1 cm 3 ÛÓ Ý Þ Û Ö Û ÔÖÞÝ Ð Ò Ù Ó Ó Ó Þ Ø µº ÑÒ Þ Ò ÔÓÒ 10 9 m ÔÓÛÓ Ù Ö ØÝÞÒÝ Ô Ð Þ Ý Þ Ø Û Ó ØÓ Þ ¹ ÒÙ Ù ÞÑ ÒÝ ØÓ Û ÔÖÞÝ Ò Û Ð ÞÑ Ò ÔÖÞÝ ÑÒ ÞÝÑ Ó 10 9 m Ð Þ Þ Ø ÞÝ ÛÝÒÓ Ó Ó Ó ¼µº Ð Ø Ó ÔÖÞ Ö Ò ÞÒ h 0 Ò Ð Ý ÖÓÞÙÑ Ó h h Þ h = 10 9 m Ð Þݺ Ï ÔÓ Ó ÒÝ ÔÓ Ò Ð Ý ÒØ ÖÔÖ ØÓÛ ÒÒ ÙÒ Þ Ð Ò Ó ÔÙÒ ØÙ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Þ ÝÑ ÖÓÞ Ñ Ñ Ø Ö Û Ø ÖÝÑ Þ Ò Ù¹ ÑÝ ÑÓÐ ÙÐ ÖÒ ØÖÙ ØÙÖ Ñ Ø Ö º ¾ ÈÓ ÖÙ Ù Û Ó ÖÓ Ù ÝÑ Ý ÑÓ Ò Ð Þ ÑÓÛ ÖÙ Ñ Ô ÝÒÙ ÛÔÖÓÛ Þ ÑÝ Ô ÛÒ ÔÓ Ø Ö Ù ¹ ØÛ Ò Ñ Ò ÖÙ Ùº Ï Ô ÖÛ Þ ÓÐ ÒÓ Þ Ò Ù ÑÝ ÔÓ Ù Ù Ö ÖÝ Ò Ó Ù Ù Ó ÞÑ ÒÒÝ Ñ Ø Ö ÐÒÝ ÞÑ ÒÒÝ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ º ÈÓ ÑÝ ÖÓÞÙ¹ Ñ ÑÝ ÖÙ Þ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ Ó ÔÙÒ ØÙ ÓÖ Þ Ö Ò ÔÓ Ó Ý ÓÔ Ù Ø Ó ÖÙ Ù ¾
3 ÇÔ ÖÙ Ù Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ Û ÞÑ ÒÒÝ ÙÐ Ö ¾º½ ÇÔ ÖÙ Ù Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ Û ÞÑ ÒÒÝ ÙÐ Ö Ó ÓÔ Ù ÔÓ Ó Ò ÔÙÒ ØÙ Þ ÑÝ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ð ÖØ Þ Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ x = (x 1,x 2,x 3 )º Þ ÑÝ Þ Ó ÖÓ Ý ÛÝÔ Ò Ô ÛÒ Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò E 3 ÓÖ Þ ÒØ Ö Ù ÑÝ Ô ÛÒÝÑ ÛÝÖ Ò ÓÒÝÑ ÔÓ Þ ÓÖ Ñ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ù Ð ÓÛ E 3 Ø ÖÝ Þ ÑÝ Ó ÞÒ Þ Ð Ω Ø ÒÓÛ Ý ÓÒØ ÒÙÙѺ ÌÓ ÞÒ ÞÝ Û ÝÑ ÓØÛ ÖØÝÑ ÔÓ Þ ÓÖÞ Þ ÓÖÙ Ω ÞÒ Ù Ò Ó Þ Ò Û Ð Þ Ø Ñ Ø Ö ÐÒÝ º Ì Ñ Ø Ö ÐÒ Þ Ø Ó ÖÓ ÓÒØ ÒÙÙÑ Û Ò ÞÝÑ ÛÝ Þ Þ ÑÝ Ò ÞÝÛ Ð Þ Ø Ñ Ô ÝÒÙº Á Ò¹ ØÝ Þ Ø Ô ÝÒÙ Û Ω Ó Ö Ð ÓÒ ÙÖ Ó ØÓ Ñ Ø Ö ÐÒ Ωº Æ Û Ô ÛÒ ÛÝÖ Ò ÓÒ Û Ð Ò ÞÛ Ò ÔÓÞ Ø ÓÛ t = 0 Þ Ø Þ ÑÙ Ô ÛÒ ÔÓ Ó Ò Ω 0 º ÈÓ Ó Ò Þ Ø Û Þ ÓÖÞ Ω 0 Þ ÑÝ ÓÞÒ Þ ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ñ Ý Ð Ø Ö Ö ÒÔº α = (α 1,α 2,α 3 ) Þ α i (i = 1,..3)º ØÛÓ ÞÖÓÞÙÑ Ð Þ Ö Ω 0 ÙÐ Ò ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò Ù ØÓ Þ Ø ÔÖÞÝ Ñ ÒÓÛ ÔÓ Ó Ò x = (x 1,x 2,x 3 ) Ω t Þ Ö Ω 0 ÞÓ Ø Ò ÔÖÞ ÞØ ÓÒÝ ÔÓ Ð ÓÖÑ µ Û Þ Ö Ω t º Ö Ω 0 Ò ÞÝÛ ÓÒ ÙÖ ¹ Ö Ö ÒÝ Ò Þ Ö Ω t ÓÒ ÙÖ Þ ÓÖÑÓÛ Ò ÐÙ ÓÒ ÙÖ º ÓÖÝ Ω 0 ÓÖ Þ Ω t Û Ñ ÓÒ ÙÖ Ñ Ø Ñ Ó ØÓ Ñ Ø Ö ÐÒ ØÞÒº ÙØÛÓÖÞ Ò Þ ØÝ ÑÝ Þ Ø º Ö Û Ô ÖÞ ÒÝ α = (α 1,α 2,α 3 ) Ø Ö ÓÔ Ù ÔÓ Ó Ò Þ Ø Û Þ ÓÖÞ Ω 0 Ò ÞÝÛ Û Ô ÖÞ ÒÝÑ Ñ Ø Ö ÐÒÝÑ Ò ØÓÑ Ø Û Ô ÖÞ Ò x = (x 1,x 2,x 3 ) Ò ÞÝÛ Þ ÑÝ Û Ô ÖÞ ÒÝÑ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝÑ º Ð Û ÖØÓ Û Ð t ÑÓ Ò Þ Ò ÓÛ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ω 0 Ω t Ó Ò Þ ÑÓ Ò Þ Ô Ó x = Φ(α,t). ½µ Ç ÛÞÓÖÓÛ Ò ½µ ÔÖÞ ÔÖÓÛ Þ Ð Ù Ø ÐÓÒ Û Ð t ÔÙÒ Ø α = (α 1,α 2,α 3 ) Ω 0 ÔÖÞÝ ÞÝÑ Φ(α,0) = αº Ð Ù Ø ÐÓÒ Ó Þ Ù Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò ½µ Ò ÞÝÛ Ò Ø ÓÖÑ ÛÞ Ð Ñ Ù Ù Ö ¹ Ö ÒÝ Ò Ó Ω 0 º ÊÝ ÙÒ ¾ ÈÖÞ Ñ ÞÞ Ò Þ Ø Þ Þ ÓÖÙ Ω 0 Ó ÔÓ Ó Ò Ω t ÔÓ ÛÔ ÝÛ Ñ ÓÖÑ Φ(α, t) Ò ¾º½º ÓÖÑ Ó ØÓ Ñ Ø Ö ÐÒ Þ ÙÔ ÝÛ Ñ Þ Ù Ò ÞÛ Þ ÑÝ Ö٠Ѻ Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û
4 ÇÔ ÖÙ Ù Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ Û ÞÑ ÒÒÝ ÙÐ Ö ÊÙ Ó ØÓ Ñ Ø Ö ÐÒ Þ ÓÒ ÙÖ Ö Ö ÒÝ Ò Ω 0 ÓÔ Ù Ó ÛÞÓÖÓÛ ¹ Ò Φ : Ω 0 (0, ) E 3 ÔÖÞÝ ÞÝÑ Ð Ó Ù Ø ÐÓÒ Ó Þ Ù t 0 ÙÒ Φ(,t) = Φ t : Ω 0 E 3 Ø ÓÖÑ º Ç ÒÓ Ò Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò ½µ ÞÝÒ Þ Ö Þ ¹ Ó º ÈÖÞ Û ÞÝ Ø Ñ Þ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò ½µ Ø Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ñ ÝÑ Ó Ø Ø ÞÒ ÐÓ Ö ÞÝ Ö Ò Þ ÓÛ ÐÒÝÑ Þ Ö ÛÒÓ Þ ÛÞ Ð Ñ Þ Ù t Ô Ö Ñ ØÖÙ αº Ö ÛÒ Φ(α,t) Ø Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ñ ÛÞ ÑÒ ÒÓÞÒ ÞÒÝѺ Û ØÒ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ó ÛÖÓØÒ α = Φ 1 (x). ¾µ Ó ÛÞ Ð Ñ Þ Ù Þ Ô ÛÒ Þ Ø ÔÓ Þ ÖÙ Ù Ò ÞÑ Ò ÛÓ Ó ÔÓ Ó¹ Ò Û ÔÓ Ó ÓÛÝ Ò Ýº Ó ÛÞ Ð Ñ Ô Ö Ñ ØÖÙ α Û Ö ÒØÙ Þ Ø ÞÒ Ù Û Ò Ó Þ Ò Ñ ÝÑ ÓØÓÞ Ò Ù Ô ÛÒ ÛÝ Ö Ò Þ Ø ØÛÓÖÞÝ Ý ØÓ ÓØÓÞ Ò Û Û Ð Ô õò ÞÝ º  ÒÓÞÒ ÞÒÓ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Þ Ô ÛÒ Û ØÝÑ ÑÝÑ Þ Û ÒÝÑ ÔÓ Ó Ò Ù ÑÓ ÔÖÞ ÝÛ ØÝÐ Ó Ò Þ Ø º Ì Û Ñ Ø Ö Ð Þ Ø Ô ÝÒÙ Ø Ö Û Ô Û Ò ÔÓ ÞÓ Ø Ý ÛÝÖ Ò ÓÒ Û Û Ð ÔÓÞ Ø ÓÛ ÖÓÞ¹ Ö Ò ÐÒ ÔÓ Þ Ó ÖÙ Ùº Ó Ò Ó ØÒ Ò Ò Ù Ó ÛÖÓØÒ Ó Ö Ò Þ ÓÛ ÐÒ Ó Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò ¾µÛÝÑ Ý Â ¹ Ó Ò Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò ½µ Φ 1 (α,t) Φ J = det 2 (α,t) α 1 Φ 3 (α,t) Ý Ö ÒÝ Ó Þ Ö º Þ ÑÝ ÔÖÞÝ ÑÓÛ Φ 1 (α,t) Φ 2 (α,t) Φ 3 (α,t) Φ 1 (α,t) α 3 Φ 2 (α,t) α 3 Φ 3 (α,t) α 3 µ 0 < J <. µ Å ÖÞ ÛÝ ØÔÙ ÔÓ ÓÔ Ö ÛÝÞÒ ÞÒ Ñ ÖÞ Â Ó Ó Jµ Ò ÞÝÛ Þ ÑÝ Ö ÒØ Ñ ÓÖÑ J = Φº Ö ÒØ ÓÖÑ Ó Ø ÖÞ ÐÓ ÐÒ Ò ÓÖÑ Ò Ø ¹ Ñ Ø Ñ ÓÖÑ º ÊÓÞÙÑ ÔÖÞ Þ ØÓ Ø Ð ÓÛÓÐÒ Þ Ø α Ω 0 ÓÖÑ Φ ÑÓ Ò ÖÓÞ Ó Ý Û Þ Ö Ì ÝÐÓÖ ÛÞ Ð Ñ α 0 Ω 0 Φ(α) = Φ(α 0 ) + Φ(α α 0 ) + O ( α α 0 2) Ì Û Ö ÒØ ÓÖÑ ÓÔ Ù Ð Ò ÓÛ ÞÑ Ò ÓÖÑ Φ(α) Φ(α 0 ) = Φh + O ( h 2) ÔÖÞÝ ÞÝÑ h = α α 0 º Ï Ò Ò ÖÙ Ñ Ó ÖÓ Ó ÔÓØÝ ÑÝ Þ ÔÓÐ Ñ ÒÔº ÔÓÐ Ñ ÔÖ ¹ Ó Ò Ò µ Ó Ö ÐÓÒÝ Ò ÓÒ ÙÖ Ω t Ø Ö ÔÙÒ ØÝ ÓÔ Ò ÞÑ ÒÒ xº ÈÓÒ Û Ò x = Φ(α,t) ÓÛÓÐÒ ÙÒ x Ω t ÑÓ Ý ÛÝÖ ÓÒ Ó ÙÒ ¹ α Ω t º ÈÓ Ó Ò ÑÓ Ò ÔÓØ ÔÓÐ Ó Ö ÐÓÒ Ò ÓÒ ÙÖ Ö Ö ÒÝ Ò Ø Ö ÔÙÒ ØÝ ÓÔ Ò ÞÑ ÒÒÝÑ αº Á ØÒ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ó ÛÖÓØÒ Ó α = Φ 1 (x) ÔÓÞÛ Ð ÓÛÓÐÒ ÙÒ Ó α ÛÝÖ Þ Ó ÙÒ x Ω t º ÇÔ ÖÙ Ù ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ ÞÑ ÒÒÝ (α,t) Ò ÞÝÛ ÓÔ Ñ Û ÞÑ ÒÒÝ Ñ Ø Ö ÐÒÝ ÐÙ Ø ÓÔ Ñ Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ º ÇÔ ÖÙ Ù Þ Ù Ý Ñ ÞÑ ÒÒÝ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ (x,t) Ò ÞÝÛ ÓÔ Ñ Û ÞÑ ÒÒÝ ÙÐ Ö º µ
5 ÈÓÐ ÔÖ Ó ÔÖÞÝ Ô Þ Ò ¾º¾ ÈÓÐ ÔÖ Ó ÔÖÞÝ Ô Þ Ò ÈÖ Ó v L ÔÖÞÝ Ô Þ Ò a L Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ ÛÝÖ Ó v L = Φ(α,t), a L = 2 Φ(α,t) 2 µ Ï ÓÔ ÙÐ Ö ÖÙ Ù Ô ÝÒÙ ÙÔ ÑÝ Ò Þ Ð ÒÓ Ô Ö Ñ ØÖ Û Ô ÝÒÙ Û Ù Ø ÐÓÒÝÑ ÔÙÒ ÔÖÞ ØÖÞ Ò x Û Ð Þ Ù t Ò Ó Ò ÒØ Ö Ù Ò ØÓÖ ÖÙ Ù Þ Ø º ÑÝ Ò ÔÖÞÝ ÔÓÐ ÔÖ Ó v(x,t) Ò Ò p(x,t) ØÓ ρ(x,t) Û Ù Ø ÐÓÒÝÑ ÔÙÒ ÔÖÞ ØÖÞ Ò º  РÔÓÐ ÔÖ Ó v(x,t) Ø ÞÒ Ò ØÓ ÔÓÞÛ Ð ØÓ ÔÖÞÝÒ ÑÒ Ø ÓÖ ØÝÞÒ ÛÝÞÒ ÞÝ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò ÔÖÞ Ô ÝÛÓÛ x = Φ(α,t) ÔÓÔÖÞ Þ ÖÓÞÛ Þ Ò Þ ¹ Ò Ò ÔÓÞ Ø ÓÛ Ó { dx = v(x,t) µ x(0) = α Ì Û Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Φ(α,t) Ø ÖÞÝÛ ÓÛ Ö ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ Ó µº Æ ÑÓÝ ØÛ Ö Þ Ò Ó ØÒ Ò Ù ÒÓÞÒ ÞÒÓ ÖÓÞÛ Þ Ò Ö ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ Ó ÊÝ ÙÒ ÌÖ ØÓÖ Þ Ø Ø ÖÞÝÛ ÓÛ Ö ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ Ó µ µ ÛÝÒ Þ Ð t > s > 0 Þ Ó Þ x(t + s) = Φ(α,t + s) = Φ(x(s),t) Φ(α,0) = α Þ x(s) = Φ(α,s)º ÈÓÐ ÔÖ Ó v(x,t) ÓÞÒ Þ ÔÖ Ó Þ Ø Û Þ t Ø Ö Û Û Ð ÔÓÞ Ø ÓÛ ÞÒ ÓÛ Û ÔÓ Ó Ò Ù αº Â ØÓ ÔÓÛ Þ ÒÓ Ù ÛÝ Ý ÔÓÒÙ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ñ ÔÖÞ Ô ÝÛÓÛÝÑ Ö٠ѵ Φ(α,t) ÓÛÓÐÒ Û Ð Ó ÞÝÞÒ Þ Ò Û ÞÑ ÒÒÝ ÙÐ Ö f(x,t) ÑÓ Ò ÛÝÖ Þ Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ f(x,t) = f(φ(α,t),t) = F(α,t) ÈÓ Ó Ò ÛÞ Ð Ñ Þ Ù ÙÒ f(x,t) Ò ÑÓÝ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ò Þ ÓÛ Ò Ù ÙÒ Þ Ó ÓÒ ÛÝÖ Ò ØÔÙ Ó df(x,t) = f 3 ( ) f + x i x i i=1 µ µ ½¼µ ½½µ Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û
6 ÈÓÐ ÔÖ Ó ÔÖÞÝ Ô Þ Ò ÊÝ ÙÒ Ê Ò ÔÓ Ó Ò Ó ØÓ Ñ Ø Ö ÐÒ Ω ÔÓ Þ ÖÙ Ù Ω 0 ÓÞÒ Þ ÔÓ Ó Ò Þ ÓÖÙ Ω Û Û Ð ÔÓÞ Ø ÓÛ t = 0 Ω t ÓÞÒ Þ ÓÒ ÙÖ Û Û Ð tº ÃÓÒ ÙÖ t 2 ÑÓ Ý Ó Ò Ø Þ Ó Ò Ω t2 = Φ t2 t 1 (Φ t1 (Ω 0 )) Þ x i = Φ i (x 1,x 2,x 3,t)º ÈÓÒ Û v i = Φ i ÛÞ Ð Ñ Þ Ù ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø Û ÛÞ Ö ½½µ Ò ÔÓ Ó Ò ÙÒ df = f + 3 i=1 v i f x i = f + v f ½¾µ ÈÓ Ó Ò f Ò ÞÝÛ ÔÓ Ó Ò ÐÓ ÐÒ ÙÒ f Ò ØÓÑ Ø Þ ÓÒ v f ÓÔ Ù ÞÝ Ó ÞÑ Ò Û Ð Ó f ÛÞ Ù ØÖ ØÓÖ x = Φ(α,t) Ò ÞÝÛ ÑÝ ÔÓ Ó Ò ÓÒÛ Ý Ò º Ì Û Ö Ò Þ ÓÛ ÞÑ Ò ÙÒ f ÔÓ Þ ÖÙ Ù Ñ Û Ò ÐÓ ÐÒÝ df lok = f ÓÖ Þ ÓÒÛ Ý ÒÝ df konv = df df ds ds Þ ds = dx Ø Ð Ñ ÒØ Ñ ØÖ ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ds Ø ÔÓ Ó Ò ÖÙÒ ÓÛ Û ÖÙÒ Ù sº Ï ØÓÖ s ÔÓ ÖÝÛ Þ ÖÙÒ Ñ ÔÓÐ ÔÖ Ó Û df ds ds = v f v = v f. v Ð Ý ÙÔÖÓ Þ Ô ÓÖ ÞÓÛÓ Ò Ô ÞÒ Ù ÙÑÝ Þ ÑÝ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ ÓÒÛ Ò ÙÑ Ý Ò Ð Û ÛÝÖ Ò Ù ÛÝ ØÔÙ Þ ÓÒ Û Ø ÖÝÑ ÞÑ ÒÒ Ñ Ø Ò Ñ Ò ÛÝ ØÔÙ ÔÓÛØ ÖÞ Ý Ò Û ÛÞÓÖÞ ½½ Ò iµ ØÓ Ò Ð Ý ÖÓÞÑ Þ ÓÒ Ø Ò ØÓ ÔÓ ÞÒ Ñ ÙÑÝ ÙÑÓÛ Ò ÔÖÞ Ó i = 1 Ó i = 3º Ë ÓÛ ¹Ø ÔÖÞÝ Ô Þ Ò Û ÞÑ ÒÒÝ ÙÐ Ö ÛÝÖ Ò ØÔÙ Ó dv i (x,t) = v i + v i x j v j = v i + v i v ½ µ
7 ÈÓ Ó Ò Â Ó ÒÙ Ï Þ Ô Û ØÓÖÓÛÝÑ ÛÞ Ö ½ µ ÔÖÞ Ø Û Ò ØÔÙ Ó dv(x, t) = v + (v )v ½ µ Ö ÒØ Þ ÔÓÐ ÔÖ Ó v = (v 1 (x 1,x 2,x 3 ),v 2 (x 1,x 2,x 3 ),v 3 (x 1,x 2,x 3 )) ÛÝÖ Ó Ñ ÖÞ Þ Ó Ð Ñ ÒØÓÛ v 1 v 1 v 1 x 1 x 2 x 3 v 2 v 2 v 2 v = ½ µ x 1 x 2 x 3 v 3 v 3 v 3 x 1 x 2 x 3 Þ Ó ÖÝÛ Ö ÞÓ Û Ò ÖÓÐ Û ÓÔ ÓÖÑ Ð Ñ ÒØÙ Ó ØÓ Ô ÝÒÙ Ò ¹ ÔÖ ÛÝ ØÔÙ Ý Û Ô ÝÒ º ¾º ÈÓ Ó Ò Â Ó ÒÙ Ï Ð ÞÝÑ ÛÝ Þ Ó Ò ÞÛÝ Ð ÔÓ ÝØ ÞÒÝ ÛÞ Ö ÙÐ Ö Ò ÔÓ Ó Ò Â Ó ÒÙ ÛÞ Ð Ñ Þ Ùº Å Û ÔÓÐ Ó Ö ÐÓÒ ÔÖÞ Þ Â Ó Ò J(α,t) = det Φ(α,t) Ô ØÖÞ µµ Ø Ñ Ö Ó ØÓ ÓÛ Ó Ò ÔÖ Ò ÔÓÛÓ ÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÓÖÑ Φ(α,t) Û Û Ð t ÔÙÒ αº ÊÓÞÛ ÑÝ ÓØÓÞ Ò ÔÙÒ ØÙ α Ó ÔÖÓÑ Ò Ù ε α Ω 0 º ÇØÓÞ Ò ØÓ ÓÖÑ Φ(α,t) ÔÖÞ ÔÖÓÛ Þ Û ÓØÓÞ Ò ÔÙÒ ØÙ x Ω t º Ì Û Ω t = {x = Φ(α,t),α Ω 0 } Æ ÔÖ Ò Ñ Ó ØÓ ÓÛÝÑ Û ÔÙÒ α Ò ÞÝÛ ÛÞ Ð Ò ÞÑ Ò ÞØ ØÙ ÔÓÑ ¹ ÞÝ Ω t Ω 0 Ý ÔÖÓÑ ε 0º Ì Û Ò ÔÖ Ò Ó ØÓ ÓÛ Û ÐÓ ÐÒÝÑ ÖÓÞ Ò Ñ Ó ØÓ Ñ Ø Ö ÐÒ ÔÓ ÛÔ ÝÛ Ñ ÓÖÑ Φº ÈÖÞÝÔÓÑÒ ÑÝ Þ Ò Ð ÞÝ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÞ Ö Ò Þ Ñ Ò ÞÑ ÒÒÝ Û Ó ØÓ ÓÛ Ä Ñ Ø ¾º½º Æ φ Þ ÓÛÓÐÒÝÑ ÔÓÐ Ñ Ð ÖÒÝÑ Û ÞÑ ÒÒÝ Ñ Ø Ö ÐÒÝ Ò Þ Ó¹ ÖÞ Þ ÓÖÞ B t Ø Ö Ó ÔÓ Þ ÓÖ Ñ Ø Ω t Ω t B t ÓÖ Þ Ω t = Φ t (Ω 0 )º ÏØ Ý Þ Ó Þ Ö ÛÒÓ φ(x,t)dυ x = φ(α,t) J dυ α Ω t Ω 0 ÇÞÒ ÞÑÝ ÙÐ Ó ÔÖÓÑ Ò Ù ε Û Þ ÓÖÞ Ω t Ó Ω ε,t Ø Ö Ø Ó Ö Þ Ñ ÙÐ Ω ε,0 ÞÒ Ù Û Û Ð ÔÓÞ Ø ÓÛ Û ÔÙÒ α 0 Ω ε,t = Φ t (Ω ε,0 )º Æ ÑÓÝ Þ Ó Ò Ó Ö ÙÐ ÖÒÓ Â Ó ÒÙ J(α,t) ÑÓ ÑÝ Â Ó Ò Û ÓØÓÞ Ò Ù ÔÙÒ ØÙ α 0 ÖÓÞÛ Ò Û Þ Ö Ì ÝÐÓÖ J(α,t) = J(α 0,t) + 0(ε) ½ µ Ì Û Ó ØÓ ÙÐ Ω ε,t ÛÝÖ Ò ØÔÙ Ó vol(ω ε,t ) = dυ x = J dυ α = Ω t Ω 0 = J(α 0,t) + 0(ε) dυ α = (J(α 0,t) + 0(ε)) vol(ω ε,0 ) Ω 0 ½ µ ½ µ Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û
8 ÈÓ Ó Ò Â Ó ÒÙ Þ Ð ØÖÓÒ Ñ Û ÛÞÓÖÞ µ ÔÖÞ Þ vol(ω ε,0 ) ÔÖÞ Ó Þ Ó Ö Ò Ý ε 0 ÓØÖÞÝÑÙ¹ ÑÝ vol(ω ε,t ) J(α 0,t) = lim ½ µ ε 0 vol(ω ε,0 ) Ì Û Û ÖØÓ Â Ó ÒÙ J(α 0,t) ÛÝÖ ÐÓÖ Þ Þ ÓÖÑÓÛ Ò Ó ØÓ vol(ω t ) ÔÓ Þ Ò Ñ ÓÖÑ Φ t Ó Ó ØÓ Ò Þ ÓÖÑÓÛ Ò vol(ω 0 ) Û ÔÙÒ α 0 Ω 0 º Ý J(α,t) > 1 ÓÞÒ Þ Ó ØÓ Ñ Ø Ö ÐÒ ÓØÓÞ Ò vol(ω ε,t ) ÖÓ Ò ÛØ Ý Þ Ó Þ ÖÓÞ Ò Ñ Ø Ö Ù Ð Ò ØÓÑ Ø J(α,t) < 1 ØÓ Ñ Ø Ö ÔÓ Ð ÓÑÔÖ º Ý J(α,t) = 1 ØÓ Ó ØÓ Ñ Ø Ö ÐÒ Û ÔÓ Ð Ù ÔÙÒ ØÙ α Þ Þ ÓÛÝÛ º ÅÓ ÓÒ ÙÐ ÖÓÞ Ò Ù Û ÒÝÑ ÖÙÒ Ù ÔÓ Ð ÓÑÔÖ Û ÒÒÝÑ Ð Ó ÓÛ Ø Ó ØÓ Ò ÙÐ ÞÑ Ò º Í ÓÛÓ Ò ÑÝ Ø Ö Þ ÛÞ Ö ÙÐ Ö Ò Ö Ò Þ ÓÛ Ò Â Ó ÒÙ ÛÞ Ð Ñ Þ Ùº Ä Ñ Ø ¾º¾º J(α, t) = J(α,t)div v(x,t) ¾¼µ ÓÛ º Ð Þ ÓÛ Ò ÔÖÓ ØÓØÝ ÔÖÞ ÖÞÝ ØÓ Ö ÙÒ Û ÓÛ ÞÓ Ø Ò ÔÖÞ Ø ¹ Û ÓÒÝ Ð ÖÙ Ù ÛÙ ÛÝÑ ÖÓÛ Óº ÓÛ Ð ÖÙ Ù ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Ó ÔÖÞ Ó ¹ Ò Ø ÑÓº Æ Φ(x,t) = (Φ 1 (x 1,x 2,t),Φ 2 (x 1,x 2,t) ÓÖ Þ x i = Φ 1 (x 1,x 2,t)º Ï ÑÝ u i = Φ i(x 1,x 2,t) ÛÝÖ ÔÖ Ó Û ÔÙÒ (x 1,x 2 ) Þ Ø Ø Ö Û Û Ð ÔÓÞ Ø ÓÛ Ý Û ÔÙÒ α 1,α 2 º Ò ÔÓ Ó Ò Ñ ÑÝ J = lim h 0 ÏÝÖ Ò Ð J(t + h) Ø Ò ØÔÙ Φ 1 (t + h) Φ 1 (t + h) J(t + h) = Φ 2 (t + h) Φ 2 (t + h) ÙÒ Φ i(t+h) α j J(α,t + h) J(α,t) ) ¾½µ h ÑÓ Ò ÖÓÞÛ Ò Û Þ Ö Ì ÝÐÓÖ ÛÓ ÔÙÒ ØÙ t Φ i (t + h) α j = Φ i(t) α j Ï Ø Û ¾ µ Ó ÛÝÖ Ò ¾¾µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Φ 1 (t) + h 2 Φ 1 (t) J(t + h) = + O(h2 ) + h 2 Φ 2 (t) + O(h2 ) + 2 Φ i (t) α j h + O(h2 ) Φ 1 (t) + h 2 Φ 1 (t) + O(h2 ) + h 2 Φ 2 (t) + O(h2 ) Ì Ö Þ ÓÖÞÝ Ø ÑÝ Þ ØÙ ÛÝÞÒ ÞÒ Ø ÙÒ Û ÐÓ Ð Ò ÓÛ ÛÓ Û Ö Þݺ Â Ð Û w i ÓÞÒ Þ ¹ØÝ Û Ö Þ Ñ ÖÞÝ Ø Ö ÛÝÞÒ ÞÒ ÓÞÒ ÞÝÑÝ Ó det(w 1,w 2 ) ØÓ det(w 1 +ha 1,w 2 +ha 2 ) = det(w 1,w 2 )+h ( det(a 1,w 2 ) + det(w 1,a 2 )) + h 2 det(a 1,a 2 ) ) ¾ µ ¾¾µ ¾ µ ¾ µ
9 ÈÓ Ó Ò Â Ó ÒÙ Ì Û ÛÝÖ Ò ¾ µ ÑÓ Ò ÔÖÞ ÞØ Ó ÔÓ Ø 2 Φ 1 (t) J(t + h) = J + h( 2 Φ 1 (t) Φ 1 (t) + Φ 2 (t) α 2 α 1 1 Φ 1 (t) 2 Φ 2 (t) ) + O(h 2 ) ¾ µ Ð ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÑÝ Ø ÑÓ Ò Þ Ñ Ò ÓÐ ÒÓ Ö Ò Þ ÓÛ Ò Û ÛÝÖ Ò Ù 2 Φ i (x 1,x 2 ) α j Ô Ñ Ø u i = Φ i ÓÖ Þ x i = Φ i (α 1,α 2 )º ËØ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ 2 Φ i (x 1,x 2 ) α j = v i(x 1,x 2 ) = v i(x 1,x 2 ) x 1 + v i(x 1,x 2 ) x 2 α j x 1 α j x 2 α j ¾ µ Ð Ý ÙÔÖÓ Ò Ó Þ Ô ÞÓ Ø Ò Ù ÝØ ÓÞÒ Þ Ò v i x j = v i,j ÓÖ Þ Φ i α j Ù Ý Ñ Þ Ô Ù Ò ÓÛ Ó ÛÝÖ Ò ¾ µ ÔÖÞ Ø Û Ò ØÔÙ Ó = Φ i,j º 2 Φ i (x 1,x 2 ) α j = u i,j = u i,1 Φ 1,j + u i,2 Φ 2,j ¾ µ ÏÝ ÓÖÞÝ ØÙ Þ Ð ÒÓ ¾ µ Û Ø Û Ó Ô ÖÛ Þ Ó Û Ö Þ Ô ÖÛ Þ Ó ÛÝÞÒ Þ¹ Ò Û Ò Û ÔÖÞ ÔÖÞÝÖÓ Ø Ñ hµ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ 2 Φ 1 (t) 2 Φ 1 (t) = v 1,1Φ 1,1 + v 1,2 Φ 1,2 v 1,1 Φ 1,2 + v 1,2 Φ 2,2 Φ 2,1 Φ 2,2 = Φ = u 1,1 Φ 1,2 1,1 Φ 2,1 Φ 2,2 + u 1,2 Φ 2,1 Φ 2,2 Φ 2,1 Φ 2,2 = v 1,1J ÈÓÛØ ÖÞ Ó Ð Þ Ò Ð ÖÙ Ó ÛÝÞÒ ÞÒ Û Ò Û ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Û Ó Ø Ø ÞÒ 2 Φ 1 (t) 2 Φ 1 (t) = v 2,2 J J(t + h) = J(t) + hj( v 1 x 1 + v 2 x 2 ) + O(h 2 ) = J + hjdiv v x=φ(α,t) + O(h 2 ) ¾ µ ÈÓ Û Ø Û Ò Ù Ø Ó ÛÝÖ Ò Ó ÛÞÓÖÙ ¾½µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ø Þ Ð Ñ ØÙ ¾¼µº ÈÖÞÝ ½º ÊÙ Þ ÒÝ Ø Ò ØÔÙ ÝÑ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ñ x 1 = Φ 1 (α,t) = α 1 e bt, x 2 = Φ 2 (α,t) = α 2 e bt, x 3 = Φ 1 (α,t) = α 3 e 2bt ¼µ ½º Ç Ð ÞÝ Ó Ò ÓÖÑ º ÊÓÞ ØÖÞÝ Ò ÞÝ ÖÙ Þ Þ ÓÛÝÛ Ó ØÓ º Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û
10 ÈÓ Ó Ò Â Ó ÒÙ ¾º Ç Ð ÞÝ ÔÖ Ó ÔÖÞÝ Ô Þ Ò Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ Ñ Ø Ö ÐÒÝ µ ÓÖ Þ Û ÞÑ ÒÒÝ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ ÙÐ Ö µº º ÏÝÞÒ ÞÝ ØÖ ØÓÖ Þ Ø ÓÖ Þ Ð Ò ÔÖ Ù Þ Ó Ð ÞÓÒ Ó Û Ô Øº¾ ÔÓÐ ÔÖ Ó Û ÞÑ ÒÒÝ ÙÐ Ö ÊÓÞÛ Þ Ò º ½º Â Ó Ò Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò ÓÔ Ù Ó ÖÙ Ñ Ô Ø Φ 1 (α,t) Φ J = det 2 (α,t) α 1 Φ 3 (α,t) Φ 1 (α,t) Φ 2 (α,t) Φ 3 (α,t) Φ 1 (α,t) α 3 Φ 2 (α,t) e bt 0 0 = α 3 0 e bt 0 Φ 3 (α,t) 0 0 e 2bt = 1 α 3 ½µ J = 1 0 ÓÞÒ Þ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÔ Ù ÖÙ Þ Ò Ø ÔÖ Û ÓÛÓº Á ØÒ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ó ÛÖÓØÒ Ø Ö Ñ ÔÓ Ø α 1 = x 1 e bt, α 2 = x 2 e bt, α 3 = x 3 e 2bt ¾µ ÈÖÞ Ô ÝÛ Φ Þ Þ ÓÛÝÛ Ó ØÓ º ¾º ÈÓÐ ÔÖ Ó Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ ÛÝÖ Ò ØÔÙ Ó v L1 = Φ 1 = bα 1 e bt, v L2 = Φ 2 = bα 2 e bt, v L3 = Φ 3 = 2bα 3 e 2bt µ ÈÓ Ù Ù Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ñ Ó ÛÖÓØÒÝÑ ¾µ ÑÓ Ò ÛÝ Ð Ñ ÒÓÛ Þ ÛÝÖ µ Ô Ö Ñ ØÖÝ Ñ Ø Ö ÐÒ α i º ÈÖ Ó Û ÞÑ ÒÒÝ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ ÙÐ Ö µ ÛÝÖ Ò ØÔÙ Ó v 1 = bx 1, v 2 = bx 2, v 3 = 2bx 3 µ ÈÖÞÝ Ô Þ Ò Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ ÛÝÖ ÛÞÓÖÝ a L1 = 2 Φ 1 2 = b 2 α 1 e bt, a L2 = b 2 α 2 e bt, a L3 = 4b 2 α 3 e 2bt µ Ð Ñ ÒÙ Þ ÛÝÖ µ ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ó ÛÖÓØÒ Ó ¾µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÔÖÞÝ Ô Þ Ò Û ÞÑ ÒÒÝ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ a 1 = b 2 x 1, a 2 = b 2 x 2, a 3 = 4b 2 x 3 µ ÈÓÒ Û ÞÒ ÑÝ Ù ÔÓÐ ÔÖ Ó Û ÞÑ ÒÒÝ ÙÐ Ö µ ÔÖÞÝ Ô Þ Ò Û ØÝ ÞÑ ÒÒÝ ÑÓ ÑÝ ÛÝÞÒ ÞÝ Þ ÛÞÓÖÙ Ò ÔÓ Ó Ò Ù Ø Ò ÐÒ ½ µ a 1 = v 1 + v 1 v = b 2 x 1, a 2 = b 2 x 2, a 3 = 4b 2 x 3 µ ½¼
11 ÌÏÁ Ê ÆÁ ÌÊ ÆËÈÇÊÌÇÏ º½º ¾º Ò ÒÝ Ø ÖÙ x = Φ(α, t) x 1 = Φ 1 (α, t) = α 1 e t + α 3, x 2 = Φ 2 (α, t) = α 2, x 3 = Φ 1 (α, t) = α 3 tα 1 µ ½º ÈÖÞ Ø Û ÖÙ Ù Û ÔÓ Ø Ñ ÖÞÓÛ x = Aαº ÏÝÞÒ ÞÝ Â Ó Ò Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò ¾º ÈÓ Þ Ó ÛÖÓØÒ α = Φ 1 (x) Þ Ò Ø Ò ØÔÙ ÝÑ ÛÞÓÖ Ñ α 1 = x 1 x 3 t + e t, α 2 = x 2, α 3 = tx 1 + e t x 3 t + e t µ º ËÔÖ Û Þ Φ ( Φ 1 (x, t) ) = xº º ÏÝÞÒ ÞÝ ÔÓÐ ÔÖ Ó Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ v L (α, t) ÓÖ Þ ÔÓÐ ÔÖ Ó Û ÞÑ ÒÒÝ ÙÐ Ö v(x, t)º º¾º Æ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò E 3 Þ Ò Û ÔÓÐ Ð ÖÒ ρ(α, t) ÓÖ Þ T(x, t) Ø Ö Ó Ö ÐÓÒ Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ Þ ÔÓÑÓ ÛÞÓÖ Û ρ(α) = α 1 + t, T(x, t) = x 1 + t ¼µ ÃÓÖÞÝ Ø Þ ÔÖÞ Ô ÝÛÙ Φ ÔÓ Ò Ó Û Þ Ò Ù ½ ÛÝÞÒ ÞÝ ½º ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ ÓÔ ÔÓÐ ρ(x, t) ¾º ÓÔ ÔÓÐ Û ÞÑ ÒÒÝ Ñ Ø Ö ÐÒÝ Ð ÔÓÐ T(α, t) º ÔÓ Ó Ò Ù Ø Ò ÐÒ ÔÓÐ T(x, t) ÌÛ Ö Þ Ò ØÖ Ò ÔÓÖØÓÛ Ï ÔÖ ØÝ Þ ØÓ Þ Ó Þ ÓÒ ÞÒÓ Ó Ð Þ Ò ÔÓ Ó Ò ÛÞ Ð Ñ Þ Ù Þ Û Ð Ó f(x, t) Ó Ö ÐÓÒ Ò ÙÒÓ ÞÓÒ ØÖ Ò ÔÓÖØÓÛ Ò µ ÔÖÞ Þ ÔÖÞ Ô ÝÛ Φ Ó ØÓ Ω(t) = Φ(Ω(0))º  Рf(x, t) Ø Ö Ò Þ ÓÛ ÐÒ ÙÒ Ò Ω t ØÓ ÙÒ Q(t) = d f(x, t)dυ Ω(t) Ø ÙÒ Ö ÛÒ Ö Ò Þ ÓÛ ÐÒ º Ç Ð Þ Ò ÔÓ Ó Ò Q(t) Ò ÔÓØÝ Ô ÛÒ ØÖÙ ÒÓ Ûݹ Ò Þ ØÙ Ó Þ Ö ÓÛ Ò Ø Þ Ð ÒÝ Ó Þ Ùº Ý Ó ÓÒ Ø Ó Ö Ò Þ ÓÛ Ò ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò ÔÖÞ Ô ÝÛÓÛ ½µº Ó ÓÒÙ Þ Ñ ÒÝ ÓÛ Ò ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Þ ÖÞ Ò ÓÛ Ò ÓÛ Ò ÔÓ Ó Þ ÖÞ Ö Ö ÒÝ ÒÝÑ Ò Þ Ð ÒÝÑ Ó Þ Ù Ô ØÖÞ ½ µº ÌÛ Ö Þ Ò º½º º Æ Þ Þ ÒÝ ÖÙ Φ(α, t) Þ ÔÓÐ Ñ ÔÖ Ó v(x, t) ÛØ Ý ( ) d df f(x, t)dυ x = Ω(t) Ω(t) + f divv dυ x ÓÛ º Ó ÓÒ ÑÝ Þ Ñ ÒÝ ÞÑ ÒÒ ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò ÔÖÞ Ô ÝÛÓÛ Ó Φ Ò ØÔÒ ÓÖÞÝ Ø ÑÝ Þ ÛÞÓÖÙ ÙÐ Ö Ò ÔÓ Ó Ò Ó ÒÙ ½ µº ËØ d f(x, = d f(φ(α, t))j(t, α)dυ α = Ω t t)dυx Ω 0 ( ( f ) + f v)j + f Jdivv dυ α = Ω 0 Ω t ( ) df + f divv dυ x ½µ ¾µ Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û ½½
12 ÌÏÁ Ê ÆÁ ÌÊ ÆËÈÇÊÌÇÏ ÏÞ Ö ½µ ÑÓ Ò Þ Ô Ò Ó Ò Þ º Ñ ÒÓÛ ØÛÓ ÔÖ Û Þ Ð ÓÛÓÐÒ ÙÒ Ð ÖÒ f Û ØÓÖ v Þ Ó Þ Ò ØÔÙ Ö ÛÒÓ div (fv) = f v + fdivv µ ÃÓÖÞÝ Ø Þ ØÓ ÑÓ µ ÛÝÖ Ò ÔÓ ÓÛ ÔÓ ÔÖ Û ØÖÓÒ ÛÞÓÖÙ ½µ ÑÓ Ò Þ Ô Ó df f + f divv = + div (fv) Æ ØÔÒ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ØÛ Ö Þ Ò Ù Ç ØÖÓ Ö Þ Ó ÑÓ Ò Þ Ô ØÛ Ö Þ Ò ØÖ Ò ¹ ÔÓÖØÓÛ Û ÔÓ Ø d f f(x, t)dυ x = Ω(t) Ω(t) dυ x + f v nds S ÏÞ Ö µ ÒÓ Ò ÞÛ ÛÞÓÖÙ Ä Ò Þ º Â Ó ÒÓÛÝÑ ÖÓÛ Û Ö ÓØÝÞ Ö Ò Þ ÓÛ Ò Û Ø Ö Ö Ò ÙÒ ÔÓ ÓÛ Þ Ð Ó Ô Ö Ñ ØÖÙ t Ñ ÔÓ Ø µ d b(t) a(t) f(x, t)dx = b a f db dx + da f(b, t) f(a, t) µ ÈÓ Ó Ò db/ = u(b) Ò ØÓÑ Ø da/ = u(a)º Ê ÛÒ Ò µ ÑÓ Ò Þ Ô Ó d b(t) a(t) f(x, t)dx = b a b a f dx + u(b) f(b, t) u(a)f(a, t) = f dx + b a (uf) x dx = b a ( f + (uf) ) dx = x b a ( df + f u ) dx x ÏÞ Ö µ Ø ÒÓÛ ÒÓ ÛÝÑ ÖÓÛÝ Ó ÔÓÛ Ò ÛÞÓÖ Û ½µ µº ÏÞ Ö µ ÞÒ Ù Û ÔÖ ØÝ Ð ÞÒ Þ ØÓ ÓÛ Ò Û Û ÖØÓ ÔÓ Û ÑÙ Ò Ó Û ÙÛ º Ï ÛÞÓÖÞ ½µ ÔÖÞÝ ÑÙ Ó ØÓ ÞÝ Ω(t) ÔÓ Ø Ö Ù ÑÝ Ð Þ ØÝ ÑÝ Þ Ø º ÖÞ Ω Þ Ð Ó Þ Ö ÔÖÞ Ô ÝÛÙ Ò Û ÛÒØÖÞÒÝ ØÓ ÞÒ ÞÝ Ò Þ Ø Þ Û ÖØ Û ÛÒ ØÖÞ Ω ÓÖ Þ Þ ÛÒØÖÞÒÝ Û ØÓ ÙÒ Ù Ó ØÓ Ωº ÛÞ Ð Ù Ò Ó ÛÖ ÐÒÓ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò ÔÖÞ Ô ÝÛÓÛ Ó ÖÞ Ó Þ ÖÙ Ω Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ø Ö ÛÒ Þ Û Þ Þ ØÝ ÑÝ Þ Ø º Ì Ûݹ Ó Ö Ò ÓÒ Ó ØÓ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ù Ñ Þ Ñ Ò ØÝÑ Ó ÞÓÐÓÛ ÒÝѵ ÐÙ Ó ØÓ Ñ Ø Ö ÐÒ º Ï Þ ØÓ ÓÛ Ò ÔÖ ØÝÞÒÝ ÛÝ Ó Ò Ø Ó ÖÓÞÛ ÛÔÖÓÛ Þ Ó ØÓ ÓÒØÖÓÐÒ Ø Ö Ò ÞÝÛ Ò Ø Ø Ù Ñ ÓØÛ ÖØÝѺ Ñ Ò Ý ÛÓ ÔÓ Ó Ò Ù Þ Ñ Ò ØÝ Ð ÛÝ Ö Ò Û Ð t = t 0 ÔÓ ÖÝÛ Þ Ó ØÓ ÓÒØÖÓÐÒ º ÈÖ Ó Þ Ø Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò Ó Ö Ò Þ ¹ Ó ØÓ ÓÒØÖÓÐÒ Ö ÛÒ Û Ø ÛÝ Ö Ò Û Ð ÔÖ Ó Þ Ø Ù Ù Þ Ñ Ò Ø Óº ÌÛ Ö Þ Ò ØÖ Ò ÔÓÖØÓÛ Ð Ó ØÓ ÓÒØÖÓÐÒ ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø d f(x, t)dυ = f(x, t)dυ + f v nds Ω(t=t 0) OK S ÁÒØ ÖÔÖ Ø ÞÝÞÒ ØÛ Ö Þ Ò ØÖ Ò ÔÓÖØÓÛ Ó Ø Ò ØÔÙ ËÞÝ Ó ÞÑ ÒÝ Û Ð Ó f Û Ó ØÓ ÓÒØÖÓÐÒ Ó ÔÓÛ ÙÑ Û ÐÓÛ ÞÝ Ó ÞÑ ÒÝ f Û Ø Ó ØÓ ÓÖ Þ ØÖÙÑ Ò f ÔÖÞ Þ ÔÓÛ ÖÞ Ò S Ó Ö Ò Þ Ó ØÓ ÓÒØÖÓÐÒ º µ µ ½¾
13 ÌÏÁ Ê ÆÁ ÌÊ ÆËÈÇÊÌÇÏ ÊÝ ÙÒ ÈÓ Ó Ò Ù Ù Þ Ñ Ò Ø Ó ÛÞ Ð Ñ Ó ØÓ ÓÒØÖÓÐÒ Û Ö ÒÝ Û ¹ Ð t 0 t, t 0 ÓÖ Þ t 0 + tº Ç ØÓ Ù Ù Þ Ñ Ò Ø Ó ÔÓ ÖÝÛ Û Û Ð t 0 Þ Ó ØÓ ÓÒØÖÓÐÒ º Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û ½
ØÖ Ò ÔÓÖØ Û ÖØÓ ÔÖÞ ÛÓ Ò ÐÙ ÔÖÞ ÒÓ Þ Ò Û ÖØÓ Ô Ò ÒÝ ÔÓÞ Ó Ö Ñ Ô Þ ÐÒ ºÓ ÒÓ Ø Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÔÖÞÝ Ø Ó Ó Ö Ð Ò Ð Ñ ØÙ ÔÖÞ ÓÛÝÛ ¹ ÒÝ ÐÙ ØÖ Ò ÔÓÖØÓÛ ÒÝ Û ÖØÓ
ÁÒ ØÖÙ Ó ÔÓ Ö ÓÛ ½ ¹¼ ¹¾¼¼ ½ ÈÓ Ø ÒÓÛ Ò Ó ÐÒ ï½ ÁÒ ØÖÙ Ó Ö Ð Þ Ý Ó ÖÓÒÝ Û ÖØÓ Ô Ò ÒÝ ÔÖÓÛ Þ Ò Ó ÔÓ Ö ÓØ Û Û Ù Ó ÙÑ ÒØÓÛ Ò ÓÔ Ö ÓÛÝ ÈÖÞ Þ Ù ÝØ Û Ò ØÖÙ Ó Ö Ð Ò ÖÓÞÙÑ Ô Þ ÐÒ Ô Þ ÐÒ Ñ Þ Ò ÓÛ È ÓØÖÓÛÓ Þ ÖÞ
ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Å ÔÓ ÞÙ Û Ò Ø ÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Ò Ð µ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÈÓ ÞÙ Û Ò Ó ÑÓ ÐÙ ÑÓ Þ ÑÝ ÔÓ
ÈÓð Ö Ò ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÔÓÑ ÖÝ ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ó Ø Ð Ø ÖÒ Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÎÁÁ æ ÊÅÁ æ È Å Ä æ Å˹¾ ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó
Ð ÓÖÝØÑÝ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý ÛÝ ÓÛ ËØÙ Þ ÓÞÒ ÈÂÏËÌÃ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÛÝ ÞÙ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓ
Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÛÝ ÞÙ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û Ð ØÓÔ ¾¼¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð Ð ÓÖÝØÑ Û ÒÝ ÒÝ Ð ÓÖÝØÑ ØÙÖÒ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ¾¹ Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð
Ï ØÔ ÈÖÞÝ Ý Ç ÐÒ Û ÒÓ Ó Þ Ò À Ð ¹ÈÓ Ø ÓÒ Ð Ø ÖÑ Ò Ý Ó ÁÒ Ò Ø Ñ ÖÝ ÃÓÔÞÝ Ï Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ Û ØÒ ¾¼¼ ÖÝ ÃÓÔÞÝ À Ð ¹ÈÓ Ø ÓÒ Ð Ø ÖÑ Ò Ý Ó ÁÒ Ò Ø Ñ ½» ¼
Ï Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ Û ØÒ ¾¼¼ ½» ¼ ÔÖÞÝ Ö Þ ÛÝÔ Ø Ö Ò Ö Ò Ó ÞÓÒÝ Ò ØÖ Ø ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò ¹ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò Ò ÛÝÒ ¹ ¹ ¾¼ ÑÝ ¹½ ¹½ ¹¾ ½¼ ¹¾ ¹½ ¹¾ ÓÒ ¹½ ¹ ¾» ¼ ÔÖÞÝ Ö Ô ÖÞÝ ØÓ Ö Ò Ó ÞÓÒÝ Ò ØÖ Ø ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò ¹ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò Ò ÛÝÒ
Þ Á Ö Ø ØÙÖÝ ÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ À Ö Ö ÔÖÓØÓ Ó Û Ð Ù ØÛ Ò ÔÖÓ Ù ÔÖÓ ØÓÛ Ò Û Ô Þ ÒÝ ÓÑÔÙØ ÖÓ¹ ÛÝ ÔÖÞÝ ØÓ Þ Ó Ò ÓÒ ÔÓ Û Ñ Ö ÔÖÓ Ø ØÖÙ ØÙÖ ÐÓ ÞÒ º Ç Ø Ø ÞÒ Þ Ý ÓÛ ÒÓ ÓÑÔÙØ ÖÓÛ Þ ÞÓÖ Ò ÞÓ¹ ÊÝ ÙÒ ½ Ï Ö ØÛÓÛ ØÖÙ ØÙÖ
½ ÏÝ Ï Þ ð Û Ø ÛÓÐÙ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ ÁÒ ØÝØÙØ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ½ ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ¾ Ñ ¾¼½ æ
½ ÏÝ Ï Þ ð Û Ø ÛÓÐÙ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ ÁÒ ØÝØÙØ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ½ ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ¾ Ñ ¾¼½ æ Ôº½»¾ Ï Þ ð Û Ø ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ö Û Ø Ç ÐÒ
Ð ÓÖÝØÑÝ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý ÛÝ ÓÛ ËØÙ Þ ÓÞÒ ÈÂÏËÌÃ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ Ö
Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û Ø
ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Å ÔÓ ÞÙ Û Ò Ø ÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Ò Ð µ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÈÓ ÞÙ Û Ò Ó ÑÓ ÐÙ ÑÓ Þ ÑÝ ÔÓ
ÈÓð Ö Ò ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÔÓÑ ÖÝ ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ó Ø Ð Ø ÖÒ Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÎÁÁ æ ÊÅÁ æ È Å Ä æ Å˹¾ ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó
ÈÐ Ò ÛÝ Ø Ô Ò ½ ¾ ÃÐ ÝÞÒ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò ÅÓ Ð Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò Ë Ò ÙÖÓÒÓÛ ÏÒ Ó ÓÛ Ò Þ ÐÓ ÖÓÞÑÝØ Ð ÓÖÝØÑÝ ÛÓÐÙÝ Ò ÊÓÞÛ Þ Ò Ý ÖÝ ÓÛ ÝÒ Ñ
Ç Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò Â ÖÓ Û Ö ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÁÒ ØÝØÙØ ËÝ Ø Ñ Û Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ Ï ÌÁ ÈÐ Ò ÛÝ Ø Ô Ò ½ ¾ ÃÐ ÝÞÒ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò ÅÓ Ð Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò Ë Ò ÙÖÓÒÓÛ ÏÒ Ó ÓÛ Ò Þ ÐÓ ÖÓÞÑÝØ Ð ÓÖÝØÑÝ
Number of included frames vs threshold effectiveness Threshold of effectiveness
Ò Ð Þ ÒÝ Þ ÒÓÛ Ô Ö ØÙÖÝ Ø Ý Ò È Ó Ø Ë Ý ËÞÝÑÓÒ Å Þ ÞÑ Þ Ñ ÐºÓÑ ØÝÞÒ ¾¼½¾ ËÔ ØÖ ½ Ï ØÔ ½ ¾ ÇÔ Ñ ØÓ Ý ½ ¾º½ Ç Ò Ò Ö ÒÝ ÔÓÑ Ö Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ Ç Ö Ð Ò ØÝÛÒÓ Ð
ÛÙÛÝÑ ÖÓÛÝ ÔÖ Ò ÂÓ ÒÒ ÀÓÖ ÂÓ ÒÒ ÀÓÖ ÛÙÛÝÑ ÖÓÛÝ ÔÖ Ò
½º Ò ¾º ÈÖÞÝ º Ï ÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Þ ÒÓ Ù Ý Ó ÛÖ ÐÒ ÔÖÞ ÔÐ Ø Ò Ù ÐÒÓ µ º Ê Ó¹ Ð Û ÐÐ Þ º ÈÖ Ò Ð ÓÖÝØÑ Å º ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Û ÐÓÛÝÑ ÖÓÛ Ó ÔÖ Ò Ò Ù Ý Ó Ò ÖÓÛ Ò Þ Û ØÓÖ ÐÓ ÓÛ Ó (, ) Ó ÔÓÛ Ò ÔÖ Ý ( ½, ½ ),( ¾, ¾ ),...
Ð ÓÖÝØÑÝ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý ÛÝ ÓÛ ËØÙ Þ ÓÞÒ ÈÂÏËÌÃ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÎ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÒÝ ËØÖÙ ØÙÖÝ ÓÛÒ Ð ØÝ ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑ
Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÎ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÒÝ ËØÖÙ ØÙÖÝ ÓÛÒ Ð ØÝ ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð ÓÔ Ö Ò Ð Ø Ð ÓÖÝØÑ Ë ÔÖÞ Ó Þ Ò Ö Ù Ð ÓÖÝØÑ Ë ÔÖÞ
Þ Á Í Ù ÞÓÖ ÒØÓÛ Ò ÔÓ Þ Ò ÓÛÓ Ù Ù ÞÔÓ Þ Ò ÓÛ Ï Ö ØÛÝ ÑÓ Ó ÖÓÛ Û Ö ØÛÓÑ Ð ÝÑ Ó Ò ÔÓÞ ÓÑ ÛÝ Ù Ù ÞÔÓ Þ Ò ÓÛ Ù Ù ÛÝÑ ÔÓ Þ Ò º Ï Ù Ù ÓÛÝ ÞÓÖ ÒØÓÛ ÒÝ ÔÓ Þ Ò ÓÛÓ Ù ÝØ ÓÛÒ Ù Ù Ò Ô ÖÛ Ù Ø Ð ÔÓ Þ Ò ÔÓØ Ñ ÔÓ Þ Ò
ÃÓÑÔ Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ÈÓ ÖÞÒ ½º¼ ÏÝ Ò ÖÓÛ ÒÓ ÔÖÞ Þ ÓÜÝ Ò ½º º Ï ÂÙÒ ½½ ¼ ¾¼¼ ËÔ ØÖ ½ ÃÓÑÔ Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ½ ½º½ ÇÔ ÔÖÓ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ð Ñ ÒØÝ
ÁÒ ØÝØÙØ ÈÓ Ø Û ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù Ì ÑÔÓÖ ÐÒ Ô ØÝ ÔÐÓÖ ÒÝ Ñ ØÓ Ý Þ ÓÖ Û ÔÖÞÝ Ð ÓÒÝ ÊÇ ÈÊ Ï ÇÃÌÇÊËà ÙØÓÖ Ñ Ö È ÓØÖ ËÝÒ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÈÖÓ º Ö º Ò º Ò ÖÞ Ë ÓÛÖÓÒ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ Öº ËÔ ØÖ ½ Ï ØÔ ½º½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò º º
ÈÓÔÖ ÛÒ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÏÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ áö Ò ÓµÞ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û ÏÝ ¾ ¹ Ø Ó ÛÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò ÓµÞ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û ½»
ÏÝ ¾ ¹ Ø Ó ÛÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» ÈÒ ÛÝ Ù ÔÓ Ø ÛÓÛ ÔÓ Û ÔÓÛØ ÖÞ Ò µ Ø Ó ÞÝÞÒ Ó ÞÒ ÔÓÛØ ÖÞ Ò µ Ö Þ Þ Þ Ò ÔÓÛØ ÖÞ Ò µ ÛÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ Ò ØÓÒ ÔÖÓØÓØÝÔ ¾» Ö Ò Ö ¹ Ý Ò Þ Ô ÛÒ Ò ÞÛ Ó ÒÓ Ó Þ Ó ÜØ ÖÒ ÒØ Ü»»
ÈÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ï Ð Ô ØÑÓ ÖÝÞÒ º º ÖÒ ÏÝ ½
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØ Í Ê ÈÖÓ Ø Â Å¹ ÍËÇ Ê ÓÛ Ø Ô Û ØÑÓ ÖÝÞÒÝ ÈÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ï Ð Ô ØÑÓ ÖÝÞÒ º º ÖÒ ÏÝ ½ ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Þ Ö Ò ÓÛ ÔÖÞ Þ Ð ØÖÓÒÝ Û Ö Þ Ò Ù ÔÖÓ
LVI Olimpiada Fizyczna zawody III stopnia
LV Olimpiada Fizyczna zawody stopnia Zadanie 1 Piłka uderza w poziomą podłogę pod kątem α z prędkością v 0. Współczynnik tarcia piłki o podłogę jest równy µ. W jakiej odległości od miejsca pierwszego uderzenia
ØÓ ÔÖ Ù Ð ØÖÝÞÒ Ó ÈÖ Ó ÙÒÓ Þ Ò Ó Ò ÓÖ ØÓ ÔÖ Ù Ø Û ØÓÖ Ñ Ø Ö Ó ÖÙÒ ÛÝÞÒ Þ ØÝÞÒ Ó ØÓÖÙ ÔÓÖÙ Þ Ó ÙÒ Ù Ó ØÒ Óº ÛÖÓØ Û ØÓÖ Ó Ö Ð ÙÑÓÛÒ Ó ÖÙÒ ÖÙ Ù ÙÒ Ù Ó ØÒ
ÈÖ Ð ØÖÝÞÒÝ ÈÓÐ Ñ Ò ØÝÞÒ ½¼»½ Ò ÖÞ Ã Ô ÒÓÛ ØØÔ»»Ù Ö ºÙ º ÙºÔл Ù Ô ÒÓ» ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Â ÐÐÓ ÃÖ Û ¾¼½ ÈÖ Ð ØÖÝÞÒÝ Ø ØÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝ ÖÙ ÙÒ Û Ð ØÖÝÞÒÝ º ÊÙ ÙÒ Û ÑÓ Ñ Ñ Û ÔÖÞ ÛÓ Ò Û Ô ÛÒÝ Û ÖÙÒ Ö ÛÒ
Ð Ö Û Ø Ý Ò Û Ö ÞÓ Ò Û Ð Ñ ØÓÔÒ Ù ÔÓ Ð ÓÖ Û Ñ Ø Ö Â Ò Ð Ø Ó ÛÝ ÖÝ Ø Ø ØÖÙ Ò µ Ð Ö Û Ø Ý Ò Ï ÒÓð Ð Ö Û Ø Ý Ò Þ ÓÛÙ ÔÓ Ó Ò Ð Ð ØÖÓÑ Ò ØÝÞÒ ÔÓÖÙ Þ Þ Ø Ñ
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÎ ÈÓ ÞÙ Û Ò Ð Ö Û Ø Ý ÒÝ Ï½ ¼ ½ ÓÐ Ò ÔÖÞÝÔ È Ö Ô ØÝÛÝ ðò Ð Ö Û Ø Ý Ò Û Ö ÞÓ Ò Û Ð Ñ ØÓÔÒ Ù ÔÓ Ð ÓÖ Û Ñ Ø Ö Â Ò Ð Ø Ó ÛÝ ÖÝ Ø Ø ØÖÙ Ò µ Ð Ö Û
ÈÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ Û ÈÓÛØ ÖÞ Ò áö Ò Óµ Þ Û Ò ÓÛ Ò Èʵ ÏÝ ¹ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò Óµ Þ Û Ò ÓÛ Ò Èʵ ½»
ÏÝ ¹ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» È Ò ÛÝ Ù Ó ÞÑ ÓÓ Ø Ö Ü ÓÓ Ø ÜÔÖ Ú ÓÓ Ø Ô Ö Ø ÈÖÞÝ ÓÛ Þ Ò Ò ÓÓ Û ÙÑ ¾» ÈÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ Û» ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ ÙÒ ÓÒÛ ÖØÙ Þ ³ ÍØÛÓÖÞ Ò Þ Ý Ò ÔÓ Ø Û Ò Ô Ù ÒÙ Ø ÒØ ØÓ ½¾
1. Waciki do czyszczenia optyki 2. Isopropanol 3. SLED 4. Laser diodowy 1550nm 5. Mikroskop 6. Urządzenie do czyszczenia końcówek światłowodów
ÁÁ ÈÖ ÓÛÒ ÞÝÞÒ Á Í Ǿ ½ Ǿ ¹ ÇÔØÝÞÒÝ ÛÞÑ Ò Þ Û Ø ÓÛÓ ÓÛÝ Ð Û Þ Ò Û Þ Ò Ø Ô ÖÝÑ ÒØ Ñ Þ Þ Þ ÒÝ ÓØÓÒ ÞÝ Ð Ö Û ÓØÝÞÝ Þ Ò ÓÖ Þ Û ÒÓ¹ Û ÒÓÛÝ Û Ø ÓÛÓ ÓÛÝ µ õö Û Ø º ÈÓ Ø ÛÓÛÝÑ Ð Ñ ÒØ Ñ Ù Ù Ó Û ¹ Þ ÐÒ Ó Ø Û ÒÓ»
ÈÖ ÔÖÞ Ð Ñ Ó Ó ÒÝ Ø ÈÓ Ô ÙØÓÖ ÔÖ Ý ÈÖ Ø ÓØÓÛ Ó Ó ÒÝ ÔÖÞ Þ Ö ÒÞ ÒØ Ø ÈÓ Ô ÖÙ Ó ÔÖ
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Ð Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò È Û Ð Å Ð ÒÞÙ ÆÖ Ð ÙÑÙ ½ ½ Ò Ð Þ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ò ÛÝ ÞÝ ÓÛ ÙÒ Ý ÒÝ ÈÖ Ñ Ø Ö Ò ÖÙÒ Ù ÁÆ ÇÊÅ Ì Ã ÈÖ ÛÝ ÓÒ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ Ö Ð Ó Ë Ù ÖØ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Ð ÄÓ ËØÓ
f (n) lim n g (n) = a, f g
Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ Á Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã Ï ØÔ ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð ÛÝ Ù ÈÐ Ò ÒÓØ ÝÑÔØÓØÝÞÒ ÔÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Ó ÞØ Ð ÓÖÝØÑÙ Þ Ó ÓÒÓ
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò ËÔ Ý Û õò ÓÛÝ ØÖÙ ØÙÖ ÒÝ ÈÖ Ó ØÓÖ µ Å Ö Ò ÃÙ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö º Â Ò Å Ý ½ ØÝÞÒ ¾¼¼¼
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò ËÔ Ý Û õò ÓÛÝ ØÖÙ ØÙÖ ÒÝ ÈÖ Ó ØÓÖ µ Å Ö Ò ÃÙ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö º Â Ò Å Ý ½ ØÝÞÒ ¾¼¼¼ ËÔ ØÖ ½ Ï ØÔ ½º½ Ì Þ ÔÖ Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ËÞ ÐÓÒÝ ¹ ÔÓÛØ ÖÞ Ò ÈÖÓ Ð ÑÝ ÔÖÞÝ ØÓ ÓÛ Ò Ù Þ ÐÓÒ Û áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¼ ¹ Þ ÐÓÒÝ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û È
áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¼ ¹ Þ ÓÒÝ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» ÃÓ ÓÖÝØÑÝ ÈÓ Ò Þ Ò Ó ØÝÔÙ Ó ÒÔº Øݵ ÓÖÝØÑÝ ÒÔº ÞÒ ÓÛ Ò Ò Û Þ Ó Ñ ÒØÙµ Å Ò ÞÑÝ Ñ ÒÙ Ö ÙÒ Ò Ó Ùº Û Ô Ò ÞÓÛ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Þ ÓÒ Û ¾» à ÞÓÛ ÒÙ
Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ¾ Ñ Ö ¾¼½ Ï Þ ð Û Ø µæ Ôº¾»
ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØÝ Ï Ô Þ Ò Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ¾ Ñ Ö ¾¼½ æ Ôº½» Ï Þ ð Û Ø Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ
Þ ÈÖ ÛÓ ÀÙ Ð ÈÖÞ ÙÒ Ù Þ ÖÛ Ò Â ð Ð ðþö Ó ð Û Ø Ó Ð Ó Ä Ò Û Ð Û Û Ñ Û Þ Ö ÈÃË ½¾ ¾ ¼ ½ Ó ÖÛ ØÓÖ Ò Ø ÔÙ ÛÝ Ù Þ Ò Ð ½ ½ ¼ ½ Þµ ÔÖÞ ÙÒ Ù Þ ÖÛ Ò Ò º ãö Øäµ
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÁÁ Ï Ð ÏÝ Ù ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ÈÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ø ÈÓÑ ÖÝ Ù ØÙ Å Þ ÈÖ ÛÓ ÀÙ Ð ÈÖÞ ÙÒ Ù Þ ÖÛ Ò Â ð Ð ðþö Ó ð Û Ø Ó Ð Ó Ä Ò Û Ð Û Û Ñ Û Þ Ö ÈÃË ½¾ ¾ ¼ ½
ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØÝ Ï Ô Þ Ò Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ¾ Ñ Ö ¾
ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØÝ Ï Ô Þ Ò Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ¾ Ñ Ö ¾¼½ æ Ôº½» Ï Þ ð Û Ø Þ ð ãû Þ ÑÝä Ó Þ ÝÛ Ò Þ Ø Â Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ¾ Ñ
A(T)= A(0)=D(0)+E(0).
2 ÅÓ Ð ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ ÈÓ ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ ÓÔ ÖØ Ø Ò ÔÖ Ù ÓÛÝ ÑÓ ÐÙ ÛÝ Ò Ó Þ ÖÞ Ò Ò ÖÙØÛ Û ÔÓÛ Þ Ò Ù Þ Þ Û Ñ Þ Ó Þ ÝÑ Û Ó Ö ÖÓÞ¹ Û Ò ÖÑݺ Å Û Ò ÔÖÓ ÖÝÞÝ Ó Ö Ø ÖÞ Ö ÝØÓÛÝÑ ÛÝÒ Þ Ö Ù ÓØ Û Ò Ö ÙÐÓÛ Ò ÞÓ ÓÛ Þ º ÙÒ ÓÒÓÛ
Þ ÑÒ ÑÒ Ñ Ø Ö Ö Å ØØ Ö ¹ ŵ ÓÐ À Å Ñ Å Þ Å Ñ Å Å Å ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø Ç Ò ÔÓÛ Þ Ò ÙÞÒ ÒÝÑ ÑÓ Ð Ñ ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø Ø ØÞÛº ÑÓ Ð Åº ÓÒ Ï Þ ð Û Ø ÛÝÔ Ò ãþûý ä Ñ
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÎ ÑÒ Ñ Ø Ö Û Ï Þ ð Û È ÖÛÓØÒ ÆÙ Ð Ó ÝÒØ Þ ÊÓØ Ð ØÝ ÓÖÑÓÛ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ç Ð ÙÔ ÖÒÓÛ ÖÓÑ ÈÓ ÙÐÐ Ø ÐÙ Ø Öµ Þ ÑÒ ÑÒ Ñ Ø Ö Ö Å ØØ Ö ¹ ŵ ÓÐ À Å Ñ Å Þ
Fizyka I (mechanika), rok akad. 2012/2013 Zadania kolokwialne 1
ÞÝ Á ¾¼½¾»¾¼½ µ ÃÓÐÓ Û ÙÑ ½ º½½º¾¼½¾ Ò Ö ÙÒ ÓÛ ÖÙÔ ÍÛ Ã Þ Ò ÖÓÞÛ ÞÙ ÑÝ Ò Ó Ó Ò ÖØ º ÈÖ ÔÓÛ ÒÒÝ Ý ÞÝØ ÐÒ ÓÐ Ò ÖÓ ÓÔ ØÖÞÓÒ Ø Ñ ÓÑ ÒØ ÖÞ Ñ Ý ØÓ ÖÓÞÙÑÓÛ Ò Ý ÒÝ Ð ÔÖ Û Þ Óº ÊÓÞÛ ÞÙ Þ Ò ÛÝÔÖÓÛ õ ÛÞ Ö Ó ÓÛÝ ÔÖ
Þ ð ãû Þ ÑÝä Ó Þ ÝÛ Ò Þ Ø Â Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ½ Ð ØÓÔ ¾¼½ Ï Þ ð Û Ø µæ Ôº¾»
Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÙÑ Ò Ø Û Ð ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ½ Ð ØÓÔ ¾¼½ æ Ôº½» Ï Þ ð Û Ø Þ ð ãû Þ ÑÝä Ó Þ ÝÛ
x = x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3
ÏÝ ¼ ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ö ÙÒ Ù Û ØÓÖÓÛ Ó À ÒÖÝ ÃÙ Ð ËÔ ØÖ ½ ÈÖÞ ØÖÞ Ù Ð ÓÛ ¹ Û ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ½ ¾ Ì Ò ÓÖÝ ÖÞ Ù ÖÙ Ó ¾º½ Ê ÔÖ Þ ÒØ Ø Ò ÓÖ ÖÞ Ù ÖÙ Ó Û ÔÖÓ ØÓ ØÒÝÑ Ù Þ ÖØ Þ Ñ ¾º¾ ÈÖÞÝ Ý Ø Ò ÓÖ Û ÖÞ Ù ÖÙ Ó º º º º º
System ALVINN. 30 Output. Units. 4 Hidden. Units. 30x32 Sensor Input Retina. Straight Ahead. Sharp Right. Sharp Left
ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ½ System ALVINN ÄÎÁÆÆ ÔÖÓÛ Þ ÑÓ ÔÓ ÙØÓ ØÖ Þ Þ ÞÝ Ó ¼ Ñ Ð Ò Ó Þ Ò Sharp Left Straight Ahead Sharp Right 30 Output Units 4 Hidden Units 30x32 Sensor Input Retina ¾ www.wisewire.com,
Reguly. Wind = Weak Temp > 20 Outlook Rain PlayTennis = Y es
ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ½ Ï ÖÙÒ Ð ØÓÖ Û Ý Ð ØÓÖ Ö ÔÖ Þ ÒØÙ Ø Ø Û ÖØÓ ÃÓÒ ÙÒ ØÖÝ ÙØÙ Û ÖÙÒ Ó ÔÓÛ Ó ØÓÑ Ô Ò ÝÑ ÔÓ ÝÒÞ Ó Ð ØÓÖÝ Û ÞÝ Ø ÝÞ Ö Ù ÞÛ Þ Ò Ø Þ Ò ÝÞ Ã Reguly ÔÖÞÝÔ ÝÛ Ò Ó ØÓÑ Ô Ò ÝÑ Û ÖÙÒ Ö Ù
e 2 = 8, 3 e 1 = 5, 1, e 2 = i 3 + i
ÆÓØ Ø Ó Û Þ Þ Ò Ð ÞÝ Ð Öݺ Ä Ê Ò ½ ÞÝ Û ØÓÖ v ÑÓ Ò ÔÖÞ Ø Û Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ Û ØÓÖ Û e e 2 Þ i) v = 2, 4 e = 5, 7 e 2 = 8, 3 6 9 ÓÖ Þ ii) v = 2 3, e = Ç ÔÓÛ õ i) Ø v = 2e e 2 ii) Ò º, e 2 =, Ò ¾ ÞÝ Û ØÓÖÝ
Ö Þ Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Â Ò ÃÖ Þ Û ÏÖÓ Û ¾¼¼ ½
Ö Þ Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Â Ò ÃÖ Þ Û ÏÖÓ Û ¾¼¼ ½ ËÔ ØÖ ÈÖÞ ÑÓÛ ½ Ò ½ ¾ Ï Þ Û Ó Þ ½ Ç ÔÓÛ Þ Ó Þ ¾½ Ð Ó Ö ¼ ¾ ÈÖÞ ÑÓÛ Ï Þ ÓÖ Þ Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Þ Ò Þ ÞÛÝÞ Ø ÔÓ ÖÙÔÓÛ Ò Ý ÓØÝÞÝ Ý ÔÓ Þ ÔÓ ÞÞ ÐÒÝ Þ Û ÓÑ Û ÒÝ
pomiary teoria #pomiarow N
ÞÝ Á Å Ò ÔÖÓ º Ö º Ð Ò Ö Ð Ô ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ Á Ã Ò Ñ ØÝ ÈÓÑ ÖÝ ÞÝÞÒ Ù ÒÓ Ø ËÁ Ý ÔÓÑ ÖÓÛ Ã Ò Ñ ØÝ ÔÓ ÔÓ Ø ÛÓÛ µ ÔÙÒ Ø Ñ Ø Ö ÐÒÝ Ù Ó Ò Ò Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ µ ØÓÖ ÔÖ Óð ð ÔÖÞÝ Ô Þ Ò ÊÙ ÒÓ Ø ÒÝ
ÏÝ Ö Ò ÖÙÒ Û ÛÓÐÙ Ö Ò ÓÛ Â ÖÓ Û Ö ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÁÒ ØÝØÙØ ËÝ Ø Ñ Û Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ¹Ñ Ð Ö Ð ºÔÛº ÙºÔÐ Ñ Ò Ö ÙÑ Ù ÁÒØ Ð ÒØÒÝ ËÝ Ø Ñ Û Ï ÔÓÑ Ò ÝÞ ÈÓÐ Ø Ò ÈÓ
ÏÝ Ö Ò ÖÙÒ Û ÛÓÐÙ Ö Ò ÓÛ Â ÖÓ Û Ö ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÁÒ ØÝØÙØ ËÝ Ø Ñ Û Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ¹Ñ Ð Ö Ð ºÔÛº ÙºÔÐ Ñ Ò Ö ÙÑ Ù ÁÒØ Ð ÒØÒÝ ËÝ Ø Ñ Û Ï ÔÓÑ Ò ÝÞ ÈÓÐ Ø Ò ÈÓÞÒ ¾ º½½º¾¼½¼ ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ ½ ¾ Ð ÓÖÝØÑ ÛÓÐÙÝ ÒÝ Ó ÖÓÞ
Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼¾ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º Â ÞÙ ÞÛÝ Ý ÂÓ ÒÒ Ö ØÓÔ ÐÙÑ Ö
Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼¾ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º  ÞÙ ÞÛÝ Ý ÂÓ ÒÒ Ö ØÓÔ ÐÙÑ Ö Ø Ô ÓÒ Ö Û Ð Ù ÓÛ ÔÖ ÙÖ ÓÖ ÔÓ Ù ÙÛ ÐÒ Ò ½ º¼ º½ ¼
ÈÓ Þ ÓÛ Ò Æ Ò Þ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÛ Ø Ý Ò ÔÓ Ø Û ÒÓØ Ø Ó ÔÖÓÛ ÞÓÒÝ ÔÖÞ Þ ÑÒ Ò ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ð Ù Ð Ø ÛÝ Û Þ Ø ÓÖ ÞÝ Û ÙØÓÑ Ø Û ÓÖ Þ Ù ÓÛÝ ÓÑÔ Ð ØÓÖ Ûº ÝÑ ÓÖ Ó ÔÓ Þ
ÂÞÝ ÓÖÑ ÐÒ ÙØÓÑ ØÝ Â Å Ö Ò ÃÙ ¹Ñ Ð Ù Ñ ÑÙÛº ÙºÔÐ ¾¼¼ Æ Ò Þ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÛ ÒÒÝ Ý Ô ÖÛ ÞÝÑ õö Ñ Ò ÓÖÑ ÓØÝÞ Ý ÔÖÞ ¹ Ñ ÓØÙ ÂÞÝ ÓÖÑ ÐÒ ÙØÓÑ ØÝ Â µº ÞÝØ ÐÒ ÓÑ Ø ÖÞÝ ÓÔÖ Þ Ð ØÙÖÝ ØÝ ÒÓØ ¹ Ø Ð Ý Ò Ó ÔÓ ÖÞÒ ÔÓÐ Ñ
Sieci neuronowe: pomysl
ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ½ ØÓ Þ ÞÙÑ ÓÒ Ó õ ØÖ ÒÙ ÔÓÞ ÓÑ ÔÓØ Ò Ù Ð ØÖÝÞÒ Ó ËÝ Ò Ý ÓÑ Ö Sieci neuronowe: pomysl Æ Ð ÓÛ Ò Ñ Þ Ù Þ Ó Ó ÓÑ Ö Ò ÙÖÓÒÓÛÝ Axonal arborization Synapse Axon from another cell Dendrite
Ã Ø ÖÞÝÒ Â ÑÖÓÞ ÊÇ ÆÁà ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÏÈÁË ÆÁ Ï ÃÊ ÂÇ Ê Æ ÍÃÇÏ Á ÄÇÆÇ ÊËÃÁ ËÌÍ Á Á ÄÁÇÌ ÃÇ Æ Ï À ØÓÖ ÏÓ Û Þ Å Ð ÓØ ÈÙ Ð ÞÒ Ï Å Èµ Ѻ ݹ ÔÖ Ò Æ
Ã Ø ÖÞÝÒ Â ÑÖÓÞ ÊÇ ÆÁà ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÏÈÁË ÆÁ Ï ÃÊ ÂÇ Ê Æ ÍÃÇÏ Á ÄÇÆÇ ÊËÃÁ ËÌÍ Á Á ÄÁÇÌ ÃÇ Æ Ï À ØÓÖ ÏÓ Û Þ Å Ð ÓØ ÈÙ Ð ÞÒ Ï Å Èµ Ѻ ݹ ÔÖ Ò ÆÓÖÛ Û ÐÓÒ ÖÞ ½ Öº Ý Û Ñ ÓØÛ ÖØÓ Ô ÖÛ Þ ÔÙ Ð ÞÒ ÛÝÔÓ
Ñ ÒÒ Û È ÖÐÙ Ñ ÒÒ ÌÝÔ Ò ÈÖÞÝ Ò Þ Ò Ë Ð Ö Ð ÈÓ ÝÒÞ Û ÖØÓ Ð Þ ÐÙ Ò Ô µ Ì Ð Ø Ð Ä Ø Û ÖØÓ Ò ÓÛ Ò Ð Þ Ñ À Þ ± ±Þ ÓÖ ÖÙÔ Û ÖØÓ Ò ÓÛ Ò Ò Ô Ñ ÈÖÓ ÙÖ ² ²ÞÖÓ Ö
È ÊÄ ¹ ÞÝ Ó Ô Ò È ÖÐ ØÓ Ö Ò Ø ÙÑ Þݺ Ð ØÝ Ø ÖÞÝ Ó Þ Ð Û ÐÙ È ÖÐ Ø ÈÖ ØÝÞÒÝÑ ÂÞÝ Ñ Ó ÏÝ Û Ê ÔÓÖØ Û Ò º ÈÖ Ø Ð ÜØÖ Ø ÓÒ Ò Ê ÔÓÖØ Ä Ò Ù µº Â Ò Ð ÔÖ Û Þ ÛÝ Ñ Ó Ò Û È ÖÐ ØÓ È ØÓÐÓ ÞÒ Ð ØÝÞÒ ÊÓ Ø Ä Ò Û ØÝÞÒ
LVI OLIMPIADA FIZYCZNA ZADANIA ZAWODÓW I STOPNIA
http://www.kgof.edu.pl 1 LVI OLIMPIADA FIZYCZNA ZADANIA ZAWODÓW I STOPNIA Rozwiązania zadań I stopnia należy przesyłać do Okręgowych Komitetów Olimpiady Fizycznej w terminach: część I do 5 października
t = pn T = pi ρ dv i dt = ρf i + p , i = 1, 2, 3 µ x i ρ( v i t + v v i div v = 0 ρ v + (v )v = ρf p = 0 j = ρf i p, i = 1, 2, 3 µ
ÏÝ Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÞÝ Ò Ð Ô À ÒÖÝ ÃÙ Ð ËÔ ØÖ ½ Ê ÛÒ Ò ÙÐ Ö ÖÙ Ù ÞÝ Ò Ð Ô ½ ½º½ Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÞÝ Ò ÐÔ Û ÓÖÑ ÖÓÑ ¹Ä Ñ º º º º º º º º º ½º¾ Ê ÛÒ Ò À ÐÑ ÓÐÞ ØÖ Ò ÔÓÖØÙ Û ÖÓÛÓ Ð Ô ÝÒÙ Ò Ð Ô Ó º º º º º º ½º ÓÑÔÓÞÝ
ÉÙ ÕÙ ÔÖÙ ÒØ Ö Ø Ö Ô Ò Ñ ÇÛ Ù Þ ½ ½ Ó ÓÐÛ ÖÓ Þ Ö ÖÓÞØÖÓÔÒ Ô ØÖÞ Ó
ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Ð ØÖÓÒ Ì Ò ÁÒ ÓÖÑ Ý ÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÙØÓÑ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ËØÓ ÓÛ Ò È ÓØÖ Ë ÓÛ Þ ÒÙÑ Ö Ð ÙÑÙ ½ ¾ ¼ ÈÖ ÝÔÐÓÑÓÛ Ò ÝÒ Ö ÙØÓÑ ØÝÞÒ Ð Ö Ý Ø ÑÙ ÖÓ Óع Ñ Ö ÇÔ ÙÒ ÔÖ Ý ÔÖÓ º ÒÞÛº Ö º Ò º Þ ÖÝ Ð Ï Ö
ÈÖ ÔÖÞ Ñ Ó Ó ÒÝ Ø ÈÓ Ô ÙØÓÖ ÔÖ Ý ÈÖ Ø ÓØÓÛ Ó Ó ÒÝ ÔÖÞ Þ Ö ÒÞ ÒØ Ø ÈÓ Ô ÖÙ Ó ÔÖ
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò Ñ Ã ÙÒ ÆÖ ÙÑÙ ½ ½ Ê ØÓÖÝÞ ÔÖÓ Ö Ñ Û Û ÞÝ Ù Â Ú ÈÖ Ñ Ø Ö Ò ÖÙÒ Ù ÁÆ ÇÊÅ Ì Ã ÈÖ ÛÝ ÓÒ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ Ö Â Ò ÒÝ Å Ò Ö Þ Û Þ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Ä Ô ¾¼¼½ ÈÖ ÔÖÞ Ñ
¾
ÞÝ Û ÓÒÓÑ Ñ ØÓ Ý ÑÓ Ð ÃÖÞÝ ÞØÓ ÓÑ ÒÓ ÈÓÐ Ø Ò áð  ÖÞÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø áð à ØÓÛ ¾¼½ ¾ ËÔ ØÖ ½ ÈÖÓÐÓ ¾ Å ØÓ Ý ÔÖ ØÝÞÒ ¾º½ Ï ØÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ Ä Ø Ö ØÙÖ º
ÃÓÒØ Ò ÖÝ Þ ÓÓ Ø ÓÓ Ø Ö Ô Ä Ö ÖÝ ÈÓÛØ ÖÞ Ò áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¾ ¹ ÓÒØ Ò ÖÝ Þ ÓÓ Ø ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û È
áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¾ ¹ ÓÒØ Ò ÖÝ Þ ÓÓ Ø ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» ½ ËÌÄ ¹ Ø Ò Ö ÓÛ Ð ÓØ Þ ÐÓÒ Û ÓÒØ Ò ÖÝ Ø Ö ØÓÖÝ Ð ÓÖÝØÑÝ ÙÒ ØÓÖÝ Ó º ÙÒ Ý Ò µ ÔØ ÖÝ ÌÛÓÖÞ Ò ÙÒ ØÓÖ Û ÖÞÒ Ò ÔÓ Ø Û ØÒ Ý ÙÒ Ñ
ËÔ ØÖ ½ Ò Ó Ó ÓÛ ½º½ ÁÑ Ò ÞÛ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÈÓ Ò ÝÔÐÓÑÝ ØÓÔÒ Ò Ù ÓÛ º º º º º º º º º º º º º º ½º ÁÒ ÓÖÑ Ó
ÙØÓÖ Ö Ø ÁÒÒÓÛ Ý Ò Ñ ØÓ Ý Ò Ð ÞÝ Ò Ð Ò ÓÛÝ ÓÖ Ð ÖÞÝ ÓÛÝ Û Ù Þ Ó ÓÒÝ Ö Â ÒÙ Þ Å Û Þ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø ÏÖÓ Û ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Ì ÓÖ ØÝÞÒ ÏÖÓ Û ¾¼½ ËÔ ØÖ ½ Ò Ó Ó ÓÛ ½º½ ÁÑ Ò ÞÛ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Â Ù Ä ÔÓÐÓÒÝ ÑÓ Ð ÒÙѹ ÓÖ ÓÒ ÑÓ Ð ÔÓ Ö ÛÒ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º À ÒÖÝ ÖÓ Þ ÃÖ Û Ñ ¾¼½¼
Â Ù Ä ÔÓÐÓÒÝ ÑÓ Ð ÒÙѹ ÓÖ ÓÒ ÑÓ Ð ÔÓ Ö ÛÒ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º À ÒÖÝ ÖÓ Þ ÃÖ Û Ñ ¾¼½¼ Ö ÞÓ Ö ÞÒ Þ Ù ÑÓ ÑÙ ÔÖÓÑÓØÓÖÓÛ ÔÖÓ ÓÖÓÛ À ÒÖÝ ÓÛ ÖÓ Þ ÓÛ Þ Þ Ñ ÔÓ Û ÓÒÝ Þ ÒÒ Ö Ý ÝÞÐ Û ÙÛ º Þ
ÈÓ Þ ÓÛ Ò ÈÖ Ò Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ È ÒÙ Ö º Ò ÛÓÛ ÃÓÞ Þ ÒÒ ÙÛ ÞÖÓÞÙÑ Ò ÝÞÐ ÛÓ Û ØÖ Ô Ò ÔÖ Ý È ÒÙ Ñ Ö Å ÓÛ Å ØÝ Þ Ð ÞÒ Û Þ Û ÓÑ ÒØ ÖÞ Ø ÖÝÑ Ò Ò Þ ÔÖ Þ Û Þ Þ Ø
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø ÏÖÓ Û ÏÝ Þ ÞÝ Á ØÖÓÒÓÑ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Ì ÓÖ ØÝÞÒ Ë Ø Ò ËÞÞ Ò Ï ÒÓ Ý ÖÓ ÝÒ Ñ ÞÒ ÑÓ ÐÙ ÞÙ ÓÛ Ó ÀȹÁÁÁ ÀÝ ÖÓ ÝÒ Ñ Ó Ø ÀȹÁÁÁ Ð ØØ ÙØÓÑ Ø ÇÔ ÙÒ Ö º º ÃÓÞ ÏÖÓ Û ¾¼¼ ÈÓ Þ ÓÛ Ò ÈÖ Ò Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ È ÒÙ
ËÔ ØÖ ½ Ð Þ Ö ÔÖ Ý ¾ ËÝ Ø ÑÝ ÔÐ Û Ý Ø ÑÝ ÓÔ Ö Ý Ò ¾º½ ÊÓÐ Ý Ø Ñ Û ÔÐ Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ê ÒÓÖÓ ÒÓ Ý Ø Ñ Û ÔÐ Û º º º º
ÊÓÞÛ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ý Ø Ñ Û ÔÐ Û ÈÓÐ Ø Ò áð ÙØÓÖ Ò ÖÞ Ö ÞÓÛ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö º Ò º Ò ÖÞ ÖÞÝÛ ÃÓÒ ÙÐØ ÒØ Ñ Ö Ò º È ÓØÖ Ã ÔÖÞÝ Ð ØÓÔ ¾¼¼½ ÖÓ Ù ËÔ ØÖ ½ Ð Þ Ö ÔÖ Ý ¾ ËÝ Ø ÑÝ ÔÐ Û Ý Ø ÑÝ ÓÔ Ö Ý Ò ¾º½ ÊÓÐ Ý Ø Ñ Û
Ë Ñ Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ Ò Ð ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖ Ý ÔÖÓ º Öº º Ò º ÊÝ Þ Ö ÓÖ Þ ÔÓÑÓ ÑÓØÝÛ Ó Ô Ò Ò Ò Þ ÖÓÞÔÖ ÛÝ ¾
ÍÆÁÏ ÊË Ì Ì Ì ÀÆÇÄÇ Á ÆÇ ¹ ÈÊ ÊÇ ÆÁ Ѻ ºº áò Û Ý Ó ÞÞÝ Ï Á Ì Ä ÃÇÅÍÆÁà ÂÁ ÁÆ ÇÊÅ Ì ÃÁ Á Ä ÃÌÊÇÌ ÀÆÁÃÁ Ñ Ö Ò º Å ÖÓ Û Å ÁÒØ Ð ÒØÒÝ ËÝ Ø Ñ ÊÓÞÔÓÞÒ Û Ò ÃÐ Ý ÈÖÞ Ý ÈÓÞØÓÛÝ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö
ËÔ ØÖ ½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò ½º½ Ù ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÈÖÓ Ö Ñ ÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ï ØÔ Ó Ó Ù ÓÑÔÙØ Ö Û ÊÓ ÖØ ÆÓÛ Å Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ Ó Ï Ö ÞØ Ø Û ÁÒ ÓÖÑ ØÝÞÒÝ Û Ö Ñ Å Ó Þ ÓÛ Ñ ÍÑ ØÒÓ ÖÙÔ ½ ¹¾ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ ËÔ ØÖ ½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò ½º½ Ù ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Agnieszka Pr egowska
Á Ò Ø Ý Ø Ù Ø È Ó Ø Û Ó Û Ý È Ö Ó Ð Ñ Û Ì Ò È Ó Ð Ñ Æ Ù Agnieszka Pręgowska È ØÝÛÒ Ø ÖÓÛ Ò Ù Ñ Ñ Ò ÞÒÝÑ Ö ÝÑ ÖØÒ ÖÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÓÑÓØÓÖ Ö º Ò º ÌÓÑ Þ ËÞÓÐ ÔÖÓ º ÁÈÈÌ Ï Ö Þ Û ¾¼½ ËÔ ØÖ ½º Ï ØÔ ½ ¾º Ð Ø
ð Ö ½¼¼ Å Î ¹ Ì Î ½¼ ½ ØÑÓ ÖÝÞÒ Ñ ¾ Ð Ö ØÓÖÓÛ ÖÞ Ù Î ½¼ ¾¼ Æ ÙØÖ Ò ÌÝÔ Ô Ò Ö ËØÖÙÑ ðò ½ Å Î ½¼ ½¼ ½ Ë ÓÒ ÞÒ Ñ ¾ Ò Ñ µ ÔÓÛÝ Þ ½¼ Šε ÖÞ Ù Å Î ½¼ ½ Ê Ø
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÁ ØÖÓÒÓÑ Ò ÙØÖ Ò µ Ô ÖÝÑ ÒØ Á Ù ÛÓÐÙ Û Þ ð Ö ½¼¼ Å Î ¹ Ì Î ½¼ ½ ØÑÓ ÖÝÞÒ Ñ ¾ Ð Ö ØÓÖÓÛ ÖÞ Ù Î ½¼ ¾¼ Æ ÙØÖ Ò ÌÝÔ Ô Ò Ö ËØÖÙÑ ðò ½ Å Î ½¼ ½¼ ½
Spis treści. 1 Wstęp 3
Ê ÛÒÓÛ Æ Û Ö ÝÒ Ñ ÞÒÝ ØÒ Ò ÔÖÓ ÝÑ Ù Þ Ð Ù ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º Ö º Ò ÖÞ ÆÓÛ ÈÓÐ Ø Ò ÏÖÓ Û ÁÒ ØÝØÙØ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÏÖÓ Û ¾¼¼ ½ pis treści 1 Wstęp 3 2 Gry stochastyczne wielogeneracyjne
¾ Å ÑÞ ÈÖ Þ Ó ÓÒÓ Û Ý Ø Ñ Ä Ì º
Ç ÖÛ ØÓÖ ÙÑ ØÖÓÒÓÑ ÞÒ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº Ñ Å Û Þ Û ÈÓÞÒ Ò Ù ÇÔØÝÑ Ð Þ Ñ ØÓ Ö Ù Ó ÖÛ ÓØÓÑ ØÖÝÞÒÝ ÈÖ Ñ Ø Ö Å ÑÞ Ã ÖÓÛÒ ÔÖ Ý ÔÖÓ º Ö º Ì Ù Þ Å ÓÛ ÇÔ ÙÒ ÔÖ Ý Ö ÌÓÑ Þ ÃÛ Ø ÓÛ ÈÓÞÒ ½ ¾ Å ÑÞ ÈÖ Þ Ó ÓÒÓ Û Ý Ø Ñ Ä
ÃÓ Ý ÀÙ Ñ Ð ÓÖÝØÑÝ Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÝ Þ Ò º º Ð ÓÖÝØÑ Ñ ¹Ñ Ü ÖÝ ØÝÔÙ ÛÝ Ö»ÔÖÞ Ö ÖÞ Û Æ ¹ÇÊ ÏÝ ÞÙ Û ÛÞÓÖ Û Ð ÓÖÝØÑ ÃÒÙØ ¹ÅÓÖÖ ¹ÈÖ ØØ ÈÖÞ ÞÙ Û Ö Û ÈÖÓ ÙÖÝ Ù Ó
Ï ØÔ Ó ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Å ØÓ Ý ÔÖÓ Ö ÑÓÛ ÔÓØÓ ÙÒ Ýݵ Å Ö ÃÙ ¾¼¼»¾¼½¼ ËÔ ØÖ Ï ØÔ ÈÓ Ø ÛÝ ÞÝ ÔÖÓ Ö ÑÓÛ ½ ÓÑÔÓÞÝ ÔÖÓ Ð ÑÙ Û ÖÝ ÖÓÞÛ Þ ¾ ËØÖÙ ØÙÖÝ Ý Ù ÓÛ ØÖ Þ ÔÓÑÓ Ý ÈÖÓ ÙÖÝ ÛÝ ÞÝ ÖÞ Û Ó ØÖ ÓÒ ØÖÙ ÔÖÓ Ö Ñ ØÝÞÒÝ ÅÓ
ÊÇ ÆÁÃ ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÙÞ ÅÍ Ã Â ÃÇ Æ Ê Á ÃË Ì ÌÇÏ ÆÁ Å áä ÆÁ Å Ì Å Ì Æ Ç Ï ÍÃ ÂÁ Á Ã Ï Û ØÐ Û Ô Þ ÒÝ ÓÒ Ô Ô Ó ÞÒÝ ÛÝ ÓÛ Ò Ø ØÝÞÒ Ñ Ò ÐÙ Û Þ
ÊÇ ÆÁÃ ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÙÞ ÅÍ Ã Â ÃÇ Æ Ê Á ÃË Ì ÌÇÏ ÆÁ Å áä ÆÁ Å Ì Å Ì Æ Ç Ï ÍÃ ÂÁ Á Ã Ï Û ØÐ Û Ô Þ ÒÝ ÓÒ Ô Ô Ó ÞÒÝ ÛÝ ÓÛ Ò Ø ØÝÞÒ Ñ Ò ÐÙ Û Þ ØÖÓÒÒ ÓÖÑÓÛ Ò Ó Ó ÓÛÓ Þ ÓÛ º Â Ó ÒØ Ö ÐÒ Þ Ø ÛÝ ÓÛ
Ë Ñ Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ Ò È ÒÙ ÈÖÓ ÓÖÓÛ ÊÝ Þ Ö ÓÛ È ÖÞÝ ÑÙ Þ Ó Þ Ò ÝÞÐ ÛÓ ÓÖ Þ Û Þ Û Ù Þ ÐÓÒ Ñ ÔÓ Þ Ô Ò ÔÖ Ý
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº Ñ Å Û Þ Û ÈÓÞÒ Ò Ù ÏÝ Þ ÞÝ Å Ö ÒØ Ê ÞÓÒ Ò Û ÐÓ ÓØÓÒÓÛÝ Û Ù ØÖ ÔÓÞ ÓÑÓÛÝ ÈÖ Ó ØÓÖ Ò Ô Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º Öº º ÊÝ Þ Ö È ÖÞÝ Ó ÈÓÞÒ ¾¼½¾ Ë Ñ Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ Ò È ÒÙ ÈÖÓ ÓÖÓÛ ÊÝ Þ Ö ÓÛ È ÖÞÝ ÑÙ Þ
ÈÖÓÑ Ò ÓØÛ ÖÞÓð ð ÔÖÞ Þ Àº ÕÙ Ö Ð Û ÖÓ Ù ½ º Ç ÖÝØ Æ ÙØÖ Ò ÙÖ ÒÙ Ñ ØÓÛ Ý ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ø Ö Þ ÑÒ Ó Ô ÝØ ÓØÓ Ö ÞÒ º ËÓÐ ¹ Ò ÖÓ ÆÓ Ð ÛÖ Þ Þ ÅºË Ó ÓÛ Èº ÙÖ
ð Ö Ò ÙØÖ Ò Æ ÙØÖ Ò ÔÖÓ º Ö º Ð Ò Ö Ð Ô ÖÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÏÝ ½¾ Æ ÙØÖ Ò Û ÒÓð ÈÓÑ ÖÝ Ò ÙØÖ Ò Ç ÝÐ Ò ÙØÖ Ò ÈÖÓÑ Ò ÓØÛ ÖÞÓð ð ÔÖÞ Þ Àº ÕÙ Ö Ð Û ÖÓ Ù ½ º Ç ÖÝØ Æ ÙØÖ Ò ÙÖ ÒÙ Ñ ØÓÛ Ý ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò
ÈÓÞÝØÝÛÒ ÔÖÝÑÓÛ Ò Ñ ÒØÝÞÒ Ó Ò ÖÞ Þ ÓÔØÝÑ Ð Þ ÙØÓÑ ØÝÞÒÝ Ý Ø Ñ Û ÙØÓÖÝÞ Ù ÝØ ÓÛÒ Ê ÈÇÊÌ Ö Å Ö Ù Þ ÍÖ ÄÓ ÃÓ Ò ØÝÛ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ È Ý ÓÐÓ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº º Å
ÈÓÞÝØÝÛÒ ÔÖÝÑÓÛ Ò Ñ ÒØÝÞÒ Ó Ò ÖÞ Þ ÓÔØÝÑ Ð Þ ÙØÓÑ ØÝÞÒÝ Ý Ø Ñ Û ÙØÓÖÝÞ Ù ÝØ ÓÛÒ Ê ÈÇÊÌ Ö Å Ö Ù Þ ÍÖ ÄÓ ÃÓ Ò ØÝÛ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ È Ý ÓÐÓ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº º Å Û Þ Å Ö È Û ÙÔ ÓÛ ÄÓ ÃÓ Ò ØÝÛ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ È Ý ÓÐÓ
Notka biograficzna Streszczenie
Notka biograficzna Mgr inż. Rafał Muniak -absolwent kierunku Ekonomia w Szkole Głównej Gospodarstwa Wiejskiego. Przed podjęciem pracy na PJWSTK pracował w firmie konsultingowej na stanowisku analityka
Survival Probability /E. (km/mev)
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÁ ØÖÓÒÓÑ Ò ÙØÖ Ò µ Ô ÖÝÑ ÒØ Á Ù ÛÓÐÙ Û Þ ð Ö ½¼¼ Å Î ¹ Ì Î ½¼ ½ ØÑÓ ÖÝÞÒ Ñ ¾ Ð Ö ØÓÖÓÛ ÖÞ Ù Î ½¼ ¾¼ Æ ÙØÖ Ò ÌÝÔ Ô Ò Ö ËØÖÙÑ ðò ½ Å Î ½¼ ½¼ ½
ÔÓÑÓÒ Þ Ó ÛÝ Ù Å Ø Ö Ý ÔÓ Ø ÛÝ Ø Ò ÔÐÒ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÔÖÓ Ö Ñ Û ÔÓÔÖ Û Ó ÞØ Ò ÓÖ Þ ÓØÛ Ö ÍÒÓÛÓÞ Ò Ò Ô ÐÒÓ Ó ÞÝ Ò ÖÙÒ Ù ÞÝ Û ÍÒ Û Ö ÝØ ÐÓÒÓ Ö Ñ ÒÓÛ ¼ º¼½º¼
ÔÓÑÓÒ Þ Ó ÛÝ Ù Å Ø Ö Ý ÔÓ Ø ÛÝ Ø Ò ÔÐÒ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÔÖÓ Ö Ñ Û ÔÓÔÖ Û Ó ÞØ Ò ÓÖ Þ ÓØÛ Ö ÍÒÓÛÓÞ Ò Ò Ô ÐÒÓ Ó ÞÝ Ò ÖÙÒ Ù ÞÝ Û ÍÒ Û Ö ÝØ ÐÓÒÓ Ö Ñ ÒÓÛ ¼ º¼½º¼½¹¼¼¹¼ ½»¼ ¹¼¼ ÈÇÃÄ ÇÔ Ö Ý ÒÝ Ã Ô Ø ÄÙ Þ ÈÖÓ Ö Ñ ÏÞÑÓÒ
Notka biograficzna Streszczenie
Notka biograficzna Dr Mariusz Maciejczak -doktor ekonomii, wykładowca na polskich i zagranicznych uczelniach, uczestnik projektów badawczych i aplikacyjnych, doradca i ekspert organizacji biznesowych,
ÈÖÓ Ö ÑÓÛ Ò ÔÐ ÓÛÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Å Ö ÙÖ ¹Ë Ó ÓÛ ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÞÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÖÓ Ö ÑÓÛ Ò ÔÐ ÓÛÝ Â ÖÓ Û ÝÐ Ò Å ÓÖÞ Ø Ù Ò Å ÃÐ ÓÛ ÄÙ Ð Ò ¾¼½¾ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÍÅ Ë ÄÙ Ð Ò ¾¼½¾  ÖÓ Û ÝÐ
ÊÇ ÆÁÃ ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÑÖ ÈÊ ÃÊÇ Ê ÆÁ ÅÇÆËÌÊÍÅ Ê ÆÃ ÆËÌ ÁÆ ÈÇÏÁ á Á Å Ê ÏÇÄÄËÌÇÆ Ê Ì ËÀ ÄÄ ÊÙ Þ º... ÌÓ Ý ½ ÙÒØ ÔÖÞ Û Ó Æ ØÙÖÞ Â ÒÝÑ Þ Ó Û Þ
ÊÇ ÆÁà ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÑÖ ÈÊ ÃÊÇ Ê ÆÁ ÅÇÆËÌÊÍÅ Ê Æà ÆËÌ ÁÆ ÈÇÏÁ á Á Å Ê ÏÇÄÄËÌÇÆ Ê Ì ËÀ ÄÄ ÊÙ Þ º... ÌÓ Ý ½ ÙÒØ ÔÖÞ Û Ó Æ ØÙÖÞ Â ÒÝÑ Þ Ó Û ÞÒÝ ÔÖ Ò Þ ÓÛ Ø ÙÛÓÐÒ Ò Ó Ý Ø ØÙ Ò ØÙÖݺ ÏÝÖ ÓÒÓ Ò Ö
ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ ½ ¾ Ò ÔÖÞÝ Þ µº ÇÔ Ó ÔÐÙ Û Ò Û ÔÐ Ó ØÓÛ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò Ó Ó ÔÐÙ Û Ò Ø Ï Ê µº Æ ÖÞ Þ Ó ÛÝ ÖÝÛ Ò ÛÝ Û Ô Ñ Û ÔÖÓ Ö Ñ Ó ÔÖÓ ÐÓÛ Ò Ó Ùº ÝÑÓÓÔ ÍÅĺ
È ÓØÖ ÙÞ Å Ð Ò Ù Ð Ñ Å Û ØÝÞ ¾¼¼ ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ ½ ¾ Ò ÔÖÞÝ Þ µº ÇÔ Ó ÔÐÙ Û Ò Û ÔÐ Ó ØÓÛ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò Ó Ó ÔÐÙ Û Ò Ø Ï Ê µº Æ ÖÞ Þ Ó ÛÝ ÖÝÛ Ò ÛÝ Û Ô Ñ Û ÔÖÓ Ö Ñ Ó ÔÖÓ ÐÓÛ Ò Ó Ùº ÝÑÓÓÔ ÍÅĺ Ã Ï Ò µº ÈÓ Ø ÛÝ
Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼½ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÓÖ Þ Ð ÐÙ Á ÞÒ Ò Ó Ù ÝÙ Ò Û
Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼½ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÓÖ Þ Ð ÐÙ Á ÞÒ Ò Ó Ù ÝÙ Ò Û Þ Ò Þ Ñ Ð ÞÖ ÒÝ Ò ÖÓ Û Ý Þ ÙÞÝ ÑÓ¹ ÖÞ Ð º º º Ý ØÓ
arxiv: v1 [hep-th] 13 Dec 2007
![arxiv: v1 [hep-th] 13 Dec 2007](/thumbs/102/154154138.jpg "arxiv: v1 [hep-th] 13 Dec 2007")
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ ÞÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Ì ÓÖ ØÝÞÒ Ô ÓØÖ Ù ÓÛ arxiv:0712.2173v1 [hep-th] 13 Dec 2007 Ð ¹Ý Ù ÖÝ Ø Ð Ò ØÓÔÓÐÓ Ð ØÖ Ò Ø ÓÖÝ ÖÝ ÞØ Ý Ð ¹Ý Ù Û ØÓÔÓÐÓ ÞÒ Ø ÓÖ ØÖÙÒ ÖÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ º
ÈÓ Þ ÓÛ Ò ÈÖ Ò Þ Ó Ý Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ Ò Û ÞÝ Ø Ñ Ó Ó ÓÑ Ø Ö ÛÓ Ñ ÒÒÝÑ ÙÛ Ñ ÔÖÞÝÞÝÒ Ý Ó Ö Ð Þ Ò Ò Þ ÖÓÞÔÖ Ûݺ ËÞÞ ÐÒ ÔÖ Ò ÔÓ¹ Þ ÓÛ ÔÖÓÑÓØÓÖÓÛ ÔÖÓ º Ï ØÓÐ Ó
ÁÒ ØÝØÙØ ÈÓ Ø ÛÓÛÝ ÈÖÓ Ð Ñ Û Ì Ò ÈÓÐ Ñ Æ Ù ÃÐ Ý Ò ØÖÙÑ ÒØ Û ØÖÙÒÓÛÝ Û ÑÙÐØ Ñ ÐÒÝ Þ ÒÝ Þ ÞÞ ÐÒÝÑ ÙÛÞ Ð Ò Ò Ñ ÖØÝ ÙÐ Ô ÞÞ ØÓ Ñ Ö ÃÖÞÝ ÞØÓ ÌÝ ÙÖ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º Öº º Ï ØÓÐ ÃÓ Ó Ï Ö Þ Û
Notki biograficzne Streszczenie
9 788363 103095 Notki biograficzne Wojciech Borczyk (mgr inż.), absolwent kierunku Informatyka na Politechnice Śląskiej. Napisał doktorat z zakresu syntezy fotorealistycznych obrazów z wykorzystaniem modelu
faza nadkrytyczna ciecz cia³o sta³e punkt krytyczny gaz punkt potrójny
Á à ËÃÇÆ ÆËÇÏ Æ Â Ñ Ø Ö Ý Ó ÛÝ Ù Ì Ù Þ Ð ÖÞ Ì Ù Þ Ð ÖÞ ¹Ñ Ð Ø Ð ÖÞ ÙÒ ºÐÓ ÞºÔÐ ØØÔ»»ÛÛÛºÛ ºÙÒ ºÐÓ ÞºÔл»ÞØ»Ì È»Ì º ØÑ Ã Ø Ö ÞÝ ËØ Ó ÏÝ Þ ÞÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ËØÓ ÓÛ Ò ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Þ Ê Ø Ò ÞÒ Ó ÖÞÝ õ ¾¼½½ ËÈÁË ÌÊ
Ã Þ Ñ ÖÞ Åº ÓÖ ÓÛ Ê ÓÛ ÒØ Ö ÖÓÑ ØÖ Û Ð Ó ÞÓÛ ÎÄ Áµ ÌÓÖÙ ½
Ã Þ Ñ ÖÞ Åº ÓÖ ÓÛ Ê ÓÛ ÒØ Ö ÖÓÑ ØÖ Û Ð Ó ÞÓÛ ÎÄ Áµ ÌÓÖÙ ½ ÍÆÁÏ ÊË Ì Ì ÅÁÃÇ Â ÃÇÈ ÊÆÁÃ Ã Þ Ñ ÖÞ Åº ÓÖ ÓÛ Ê ÓÛ ÒØ Ö ÖÓÑ ØÖ Û Ð Ó ÞÓÛ ÎÄ Áµ ÌÓÖÙ ½ Ê ÒÞ Ò ÈÖÓ º Ö º Ò ÖÞ ÃÙ ÈÖÓ º Ö º Â Þ Å ÓÛ ÓÔÝÖ Ø Ý ÏÝ ÛÒ
N + R C. A T A 1 A 2 I I n. [a;b] (a;b] [a;b) m,n m,n = {m,m + 1,...,n 1,n}
![N + R C. A T A 1 A 2 I I n. [a;b] (a;b] [a;b) m,n m,n = {m,m + 1,...,n 1,n}](/thumbs/94/120142288.jpg "N + R C. A T A 1 A 2 I I n. [a;b] (a;b] [a;b) m,n m,n = {m,m + 1,...,n 1,n}")
ÏÝ Þ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÓРӹ ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ ØÓ ÓÛ Ò Ý Ö ØÒ Ó ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ Û ÓÑÔÖ Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖ Û Ó Ö Þ Û ÑÓÒÓ ÖÓÑ ØÝÞÒÝ Ñ Ö Ö Ù Þ Â Þ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º
Strategie heurystyczne
ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ø Ò Û Ð ÓÖÝØÑÝ ÈÖÞ ÞÙ Û Ò ÙÖÝ ØÝÞÒ ½ ÙÖÝ ØÝÞÒ ÓÖÞÝ Ø Þ Ó Ø ÓÛ ÙÖÝ ØÝÞÒ ÙÒ Ó ÒÝ ËØÖ Ø ÒÔº Þ Ù Ó ÞØ ÖÓÞÛ Þ Ò Ó Ó Ø ÒÙ Ó ÐÙµ Ø ÒÙ Strategie heurystyczne ÈÖÞ ÞÙ Û Ò Ô
Ø Ò Þ È ØÖ Û Þ ËÈ ÃÌÊÇËÃÇÈÁ ÊÇÌ ÂÆ Ï Ê Æ À ËÌ Ã Á ÃÇÅÈÄ ÃË Ï ÅÁ ËÌ ÃÇÏ À Ï Æ éïá ÃÇÏ Â ÏÁ ÅÇÄ ÃÍÄ ÊÆ Â ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò Û ÁÒ ØÝØÙ ÞÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù ÔÓ Ö
Ø Ò Þ È ØÖ Û Þ ËÈ ÃÌÊÇËÃÇÈÁ ÊÇÌ ÂÆ Ï Ê Æ À ËÌ Ã Á ÃÇÅÈÄ ÃË Ï ÅÁ ËÌ ÃÇÏ À Ï Æ éïá ÃÇÏ Â ÏÁ ÅÇÄ ÃÍÄ ÊÆ Â ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò Û ÁÒ ØÝØÙ ÞÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù ÔÓ ÖÙÒ Ñ Óº Ö º Ò Û Ã Ð Ï Ö Þ Û Ñ ¾¼¼ ÅÓ ÑÙ Ñ ÓÛ ÂÙÖ ÓÛ
Å Ø Ù Þ Ë ÓÖ ËØ ÐÒÓ Ñ Ò ÞÒ Ö ØÝ ÙÒ ÓÒ Ð ÞÓÛ ÒÝ Ò ÒÓÞ Ø Û ÑÓ Ð ÖÙ ÓÞ ÖÒ ØÝ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÈÖÓ º Ö º Å Ö ÔÐ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÛÝ ÓÒ Ò Û áöó ÓÛ ÓÛÝÑ Ä ÓÖ ØÓÖ ÙÑ ÞÝ ÓÐÓ ÞÒ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ È Æ Ï Ö Þ Û ½ Ñ ¾¼½¾ ÈÓ Þ ÓÛ Ò
Ç Û Þ Ò ÙØÓÖ ÖÓÞÔÖ ÛÝ Ç Û Þ Ñ Ò Ò Þ ÖÓÞÔÖ Û ÞÓ Ø Ò Ô Ò ÔÖÞ Þ ÑÒ ÑÓ Þ ÐÒ º Ø ÈÓ Ô ÙØÓÖ ÖÓÞÔÖ ÛÝ Ç Û Þ Ò ÔÖÓÑÓØÓÖ ÖÓÞÔÖ ÛÝ Æ Ò ÞÝÑ Ó Û Þ Ñ ÖÓÞÔÖ Û Ø ÓØÓ
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò Ø Â ÒÓÛ Ò ÖÓÛ Ò ÙØÓÑ Ø Û Þ ÓÛÝ Ð Ý Ø Ñ Û Þ Ù ÖÞ ÞÝÛ Ø Ó ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÖÓÞÔÖ ÛÝ Óº Ö º ÏÓ È ÒÞ ÁÒ ØÝØÙØ ÈÓ Ø Û ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù Ñ ¾¼¼ Ç Û Þ Ò
ÁÆËÌ ÌÍÌ Á ÃÁ ÈÇÄËÃÁ Â Ã ÅÁÁ Æ ÍÃ ÊÍÈ Á ÃÁ ÁÇÄÇ Á Æ Â Ë ÅÇÆ ÆÁ ÏÁ Ê ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÝÒ Ñ ÞÑ Ò ÓÒ ÓÖÑ Ý ÒÝ Æ Û ÑÓ Ð ÖÙ ÓÞ ÖÒ ØÝ ÈÊÇÅÇÌÇÊ ÈÖÓ º Ö º Å Ö ÔÐ Ï ÊË Ï ¾¼¼ Ä Ø ÔÙ Ð Æ Ò Þ ÔÖ ÔÓÛ Ø Ò ÔÓ Ø Û ÛÝÒ Û
f(a) F (b)=f(b)º f(x)dx, (sinx) =cosx
½ Ò ÓÞÒ ÞÓÒ ÓÛ Ò Ó ÓÔ Ö ÔÖ ¹ Û µ Ó ÛÖÓØÒ Ó Ö Ò Þ ÓÛ Ò ½º½ ÈÓ Ø ÛÓÛ Ò º ÙÒ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ ÙÒ f Ó Ö ÐÓÒ Û ÔÖÞ Þ Ð ÓØÛ ÖØÝÑ P Ó ÞÓÒÝÑ ÐÙ Ò Ó ÞÓÒÝѵ Ð F (x)=f(x) Ð Óx Pº ÈÖÞÝ Ýº ÙÒ sinx Ø ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ ÙÒ
Ç ÐÒ ÒÖ ¾½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÅÓ Ð ØÛÝ Û Ø Û ÒÒ Þ Þ ÈÓÐ Ç
Ç ÐÒ ÒÖ ¾½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÅÓ Ð ØÛÝ Û Ø Û ÒÒ Þ Þ ÈÓÐ Ç ÓÛ Þ Ñ Ó Þ ÓÛ Û ÖÞ Ó Ø ÑÓ Ð ØÛ Û Ò¹ Ø Ò Ö Ù ÐÙ Þ Ø
ÊÓÞÔÓÞÒ Û Ò Ð ØÖÓÒ Û Ñ ÞÓÒ Û π 0 ÔÖÞÝ Ò Ù Ó Þ ÝÛ Ò ÙØÖ Ò Û Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù Ó Ø ØÓÖ Û Ó¹ Ö ÓÒÓÛÝ ÓÖ Þ Ð Ó Ø ØÓÖ Ô ÖÝÑ ÒØ٠̾à ÌÓÑ Þ Ï ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Â ÖÓÛ Ñº
ÊÓÞÔÓÞÒ Û Ò Ð ØÖÓÒ Û Ñ ÞÓÒ Û π ÔÖÞÝ Ò Ù Ó Þ ÝÛ Ò ÙØÖ Ò Û Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù Ó Ø ØÓÖ Û Ó¹ Ö ÓÒÓÛÝ ÓÖ Þ Ð Ó Ø ØÓÖ Ô ÖÝÑ ÒØ٠̾à ÌÓÑ Þ Ï ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Â ÖÓÛ Ñº À ÒÖÝ Æ ÛÓ Ò Þ Ó ÈÓÐ Ñ Æ Ù ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò
M(N) = Homeo(N, N)/Homeo 0 (N, N). M(S) = Homeo + (S, S)/Homeo 0 (S, S).
ÍÌÇÊ Ê Ì ½º ÈÓ Ø ÛÓÛ Ò ÓÖÑ ½º½º ÁÑ ÓÒ Ò ÞÛ Ó Â Ù ËÞ Ô ØÓÛ ½º¾º ÈÓ Ò ÝÔÐÓÑÝ ØÓÔÒ Ò Ù ÓÛ ÝÔÐÓÑ Ñ ØÖ Ñ Ø Ñ ØÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÞÝ ¾¼¼¾ ØÓÔ Ó ØÓÖ Ñ Ø Ñ ØÝ Ò ÔÓ Ø Û ÖÓÞÔÖ ÛÝ Ò Ö ØÓÖÝ Ö Ð Û ÖÙÔ Ð Ó
S V. ω = yzdx+(xz +z 2 )dy +yzdz, (T, S) (p,v) = 1. = a V, = 3bT2. k T 1 V p. α V 1 V V,N U,N U,V V,N S,N S,V
Ì ÊÅÇ Æ ÅÁà Á Á à ËÌ Ì ËÌ Æ ÈÖÓ Ð ÑÝ Ó ÓÑÙ Ò ÓÐÓ Û Þ Ñ Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¼ ÈÓ Þ Ð ÔÓ Ó Ò ÒØÖÓÔ S = S(U,V,N Ö ÛÒ ( S = 1 ( S U, = p ( S V, N V,N U,N U,V = µ, ØÓ ÔÓ Ó ÒÝÑ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ U = U(S,V,N ( ( U U =, =
Lech Banachowski. Rola Uczelni oraz metod i technik e-edukacji w uczeniu się przez całe życie
Lech Banachowski Rola Uczelni oraz metod i technik e-edukacji w uczeniu się przez całe życie Notka biograficzna Prof. Lech Banachowski jest kierownikiem Katedry Baz Danych i kierownikiem Studiów Internetowych
Notka biograficzna Streszczenie
Notka biograficzna Dr Mariusz Maciejczak -doktor ekonomii, wykładowca na polskich i zagranicznych uczelniach, uczestnik projektów badawczych i aplikacyjnych, doradca i ekspert organizacji biznesowych,
ÓÑ ØÖÓÐÓ ¹ Ñ Ø Ö Ý Ó ÛÝ Ù ÇÔÖ ÓÛ ÈÖÞ ÑÝ Û ÓÖÝ ÖÙ Ò ¾¼½
ÓÑ ØÖÓÐÓ ¹ Ñ Ø Ö Ý Ó ÛÝ Ù ÇÔÖ ÓÛ ÈÖÞ ÑÝ Û ÓÖÝ ÖÙ Ò ¾¼½ ¾ ËÔ ØÖ ½ ÈÓÑ ÖÝ ÞÝÞÒ ½º½ ÊÓ Þ ÔÓÑ ÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ Ý Ò Ô ÛÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
S V. ω = yzdx+(xz +z 2 )dy +yzdz, (T, S) (p,v) = 1. = a V, = 3bT2. k T 1 V. α p 1 V V,N U,N U,V V,N S,N S,V
Ì ÊÅÇ Æ ÅÁà Á Á à ËÌ Ì ËÌ Æ ÈÖÓ Ð ÑÝ Ó ÓÑÙ Ò ÓÐÓ Û Þ Ñ Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¼ ÈÓ Þ Ð ÔÓ Ó Ò ÒØÖÓÔ S = S(U,V,N Ö ÛÒ ( S = 1 ( S U T, = p ( S V T, N V,N U,N U,V = µ T, ØÓ ÔÓ Ó ÒÝÑ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ U = U(S,V,N ( ( U U
ÒØÝ ÖÝ Ø ÖÝ ÖÝ Æ ØÞ
ÒØÝ ÖÝ Ø ÖÝ ÖÝ Æ ØÞ Ö Ö Ïº Æ ØÞ ÒØÝ ÖÝ Ø ÌÝغ ÓÖÝ º Ö ÒØ Ö Ø ÔÖÞ Ó Ý Ä ÓÔÓÐ ËØ ÇÔÖ ÓÛ Ò Ö ÞÒ ½ ÓÖ Ø Â ÖÓ Û È Ø ÖÞÝ ¹Ñ Ð Ô Ø ÖÛÔº Ù Ö Ö Ï Ð ÐÑ Æ ØÞ ½ ÓÑÔ Ð Ý Ä Ì ¾ε ÈÖÞ ÑÓÛ Ã Ø ÔÖÞ ÞÒ ÞÓÒ Ø Ð Ò ÑÒ Ð ÞÒÝ
x a lim (x n) 2 = lim x n sgn(x) =
½ ÙÒ Ö Ò Ý Ó Ö Ö ÙÑ ÒØ Û Þ Ö Û ÖØÓ ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒÓ ÙÒ Ó ÛÖÓØÒ ÙÒ Ð ¹ Ò ÓÛ Û Ö ØÓÛ Û ÐÓÑ ÒÝ ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒ Ó ¹ ÛÖÓØÒÓ ÙÒ ÛÝ Ò Þ ÐÓ ÖÝØÑ ÞÒ º ½º½ ½º½º½ ÙÒ ÛÝ Ò Þ Ð ÓÔÓÛ Þ Ï ÖØÓ ÙÒ ÛÝ Ò Þ Ð Ö ÙÑ
ÑÒ Ñ Ø Ö Ò Ð Å ÈÓ ÞÙ Û Ò Ý Ò Û Ò Ð Å Û Û ÞÝ Ø ÑÓ ÞÐ ÛÝ Ò ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò ÑÑ ÔÓÞÝØÓÒÝ ÒØÝÔÖÓØÓÒÝ ººº µ ÑÓ Þ ÑÝ Ø Þ ÞÙ ð Ò ÙØÖ Ò º º ÖÒ ÏÝ ÁÁ ½
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÁ Æ ÙØÖ Ò Û ÒÓð ËÙÔ Ö Ã Ñ Ó Ò Á Ù ÑÒ Ñ Ø Ö Ò Ð Å ÈÓ ÞÙ Û Ò Ý Ò Û Ò Ð Å Û Û ÞÝ Ø ÑÓ ÞÐ ÛÝ Ò ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò ÑÑ ÔÓÞÝØÓÒÝ ÒØÝÔÖÓØÓÒÝ ººº µ ÑÓ Þ ÑÝ Ø
ÍÆÁÏ ÊË Ì Ì Ï ÊË ÏËÃÁ Ï Á Á ÃÁ  ËÞÞÝØ Ó È ÈÊ ÏÇ ÆÁÃÁ È Å Æ Ì Æ ÁÁÁ¹Î Å Æ Æ Å ÈÖ Ó ØÓÖ ÛÝ ÓÒ Ò Û ÁÒ ØÝØÙ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Ò ÏÝ Þ Ð ÞÝ ÍÒ Û Ö ÝØ ØÙ Ï Ö Þ Û
ÍÆÁÏ ÊË Ì Ì Ï ÊË ÏËÃÁ Ï Á Á ÃÁ  ËÞÞÝØ Ó È ÈÊ ÏÇ ÆÁÃÁ È Å Æ Ì Æ ÁÁÁ¹Î Å Æ Æ Å ÈÖ Ó ØÓÖ ÛÝ ÓÒ Ò Û ÁÒ ØÝØÙ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Ò ÏÝ Þ Ð ÞÝ ÍÒ Û Ö ÝØ ØÙ Ï Ö Þ Û Ó ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º Ö º Ò ÖÞ ÌÛ Ö ÓÛ Ó Ï ÊË Ï Ð Ô ¾¼¼½
Janusz Przewocki. Zeroth Milnor-Thurston homology for the Warsaw Circle. Instytut Matematyczny PAN. Praca semestralna nr 3 (semestr zimowy 2010/11)
Janusz Przewocki Instytut Matematyczny PAN Zeroth Milnor-Thurston homology for the Warsaw Circle Praca semestralna nr 3 (semestr zimowy 2010/11) Opiekun pracy: Andreas Zastrow ÖÓØ Å ÐÒÓÖ¹Ì ÙÖ ØÓÒ ÓÑÓÐÓ
ËÔ ØÖ Ï ØÔ Ú Á ÈÓ Ø ÛÝ ÞÝÞÒ ½ ½ ÅÓ Ð Ù ÓÛÝ ØÓÑÙ ¾ ½º½ ÅÓ Ð ØÓÑÙ Ó Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ï ÑÓ ØÓÑÙ ÛÓ ÓÖÙ Û
ËÃÊ ÈÌ Ç ÈÊ ÅÁÇÌÍ ËÔ ØÖÓ ÓÔ ÓÔØÝÞÒ Û Ñ ÝÝÒ ÌÓÑ Þ Â ÖÓ Û Ï ÓÛ Þ ¾¼½¾ ÈÖÓ Ø ÈÖÞÝ ÓØÓÛ Ò Ö Ð Þ ÖÙÒ Ù Ò ÝÒ Ö ÓÑ ÝÞÒ ØÙ Ñ ÞÝÛÝ Þ ÓÛ Û Ô Ò Ò ÓÛ ÒÝ Þ ÖÓ Û ÍÒ ÙÖÓÔ Û Ö Ñ ÙÖÓÔ Ó ÙÒ Ù ÞÙ ËÔÓ ÞÒ Óº ËÔ ØÖ Ï ØÔ Ú Á