f (n) lim n g (n) = a, f g
|
|
|
- Bożena Chmielewska
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ Á Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã Ï ØÔ ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
2 ÛÝ Ù ÈÐ Ò ÒÓØ ÝÑÔØÓØÝÞÒ ÔÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Ó ÞØ Ð ÓÖÝØÑÙ Þ Ó ÓÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÔØÝÑ ÐÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ÔÓ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ ÔÓÔÖ ÛÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
3 Ò ÔÓ Ø ÛÓÛ Ò ÔÓ Ø ÛÓÛ º ÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÞ Û Ò ÖÒÝ Ñ ØÓ Ý ÔÖÞ Ó Þ Ò ÖÞ Û Ò ÖÒÝ ÛÝ Ù º º ÈÐ Ò Ö Ý ÖÞ Û ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Û ÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÞ Û n¹ ÖÒÝ Ö ÙÖ Ò Ò ÖÓÛ Ò Ô ÖÑÙØ Ò Ð Þ Þ Ó ÓÒÓ Ð ÓÖÝØÑ Û Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ ÙÓ ÐÒ Ò º ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
4 ÆÓØ ÝÑÔØÓØÝÞÒ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
5 ÆÓØ ÝÑÔØÓØÝÞÒ ÖÞ Ý ÙÒ Æ f : N R + {0} g : N R + ÙÒ Ñ Ø Ñ {0} f (n) lim n g (n) = a, a R + {0}º Â Ð Þ a 0 ØÓ Ñ Û ÑÝ ÖÞ ÙÒ = Ø Ð ÑÒ ÞÝ Ò ÖÞ ÙÒ f ÓÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ Þ g f g a > 0 ØÓ Ñ Û ÑÝ ÖÞ ÙÒ f Ø Ö ÛÒÝ ÖÞ ÓÛ ÙÒ g ÐÙ ÙÒ f g Ø Ó Ñ Ó ÖÞ Ùµ ÓÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ Þ f g a = ØÓ Ñ Û ÑÝ ÖÞ ÙÒ f Ø Ð Û ÞÝ Ò ÖÞ ÙÒ g ÓÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ Þ f gº Â Ð Ð Ô ÛÒ ÙÒ f ÞÒ Þ ÑÝ ÙÒ g Ø f g ÓÖ Þ ÏÒ Ó º g (n) = Þ c, c Ø Ô ÛÒ Ø ØÓ 0 Ø ÙÒ Ø f g (n) = log c n, Þ c > 0 Ø Ô ÛÒ Ø n 1 ØÓ f Ø ÙÒ ÐÓ ÖÝØÑ ÞÒ Ð ÙÒ log 2 n ÛÔÖÓÛ Þ ÑÝ ÓÞÒ Þ Ò lg nµ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
6 ÝÑÔØÓØÝÞÒ ÖÞ Ý ÙÒ ÆÓØ g (n) = n 1 c Þ, c > Ø Ô ÛÒ Ø ØÓ 1 Ø ÙÒ Ô ÖÛ Ø ÓÛ ÐÙ f ÔÓ Û ÐÓÑ ÒÓÛ µ g (n) = n c, Þ c 1 Ø Ô ÛÒ Ø ØÓ f Ø ÙÒ Û ÐÓÑ ÒÓÛ ÞÞ ÐÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ñ ÙÒ Û ÐÓÑ ÒÓÛ Ø ÙÒ Ð Ò ÓÛ µ g (n) = c n, Þ c > 1 Ø Ô ÛÒ Ø ØÓ f Ø ÙÒ ÛÝ Ò Þ g (n) = n n, ØÓ f Ø ÙÒ ÔÓÒ ÛÝ Ò Þ º ÈÝØ Ò º Â Ø ÖÞ ÙÒ f (n) = n! ÛÞ Ð Ñ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ ÖÞ Û ÙÒ ÈÝØ Ò º Â Ø ÖÞ ÙÒ f (n) = lg n! ÛÞ Ð Ñ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ ÖÞ Û ÙÒ Â Ð c > 1 Ø Ô ÛÒ Ø ØÓ ÏÒ Ó º c log c n n 1 c n nlg n n c c n n! n n, Ð Û ÞÝ Ø Ó Ø Ø ÞÒ Ù Ý nº ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
7 µº ÏÝÞÒ Þ ÑÓ Ð Û Ó Ò ÙÒ Ó ÛÖÓØÒ Ó ÙÒ f (n) = lg n! Û Ò R + \ (0,1)º Þ Þ Ò ÆÓØ ÝÑÔØÓØÝÞÒ Ó ÙÒ lg n! Ò Ó Ó Ò Ç Ö Ò Þ Ò Þ ÖÝ n n lg n! = lg i lg n = lg n n = n lg n, i=1 i=1 ÞÝÐ lg n! nlg nº Ç Ö Ò Þ Ò Þ Ó Ù lg n! = lg = n i = i=1 ( xln x x ln 2 n lg i i=1 ) n 1 n 1 c nln n ln 2 lg xdx = n 1 = c nlg n, ln x ln2 dx Þ c 1 Ø Ô ÛÒ Ó ØÒ Ø ÞÝÐ lg n! c nlg nº ÏÒ Ó º ÈÓÒ Û lg n! nlg n lg n! c nlg n Ð 0 < c 1 ØÓ lg n! nlg nº ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
8 ÆÓØ ÝÑÔØÓØÝÞÒ Ó Ö Ò Þ Ò Þ Ó Ù Æ f : N R + {0} g : N R + {0} ÙÒ Ñ º Â Ð f g Ð Ó f g ØÓ Ñ Û ÑÝ ÖÞ ÙÒ f Ø Ö ÛÒÝ Ó Ò ÑÒ ÖÞ ÓÛ ÙÒ g ÐÙ ÙÒ g Ó Ö Ò Þ Þ Ó Ù ÙÒ fµ ÓÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ Þ f = Ω(g)º Æ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝÑ ÖÝ ÙÒ Ù f = Ω(g) Þ c > 0 Ø Ô ÛÒ Ø º ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
9 ÆÓØ ÝÑÔØÓØÝÞÒ Ó Ö Ò Þ Ò Þ ÖÝ Æ f : N R + {0} g : N R + {0} ÙÒ Ñ º Â Ð f g Ð Ó f g ØÓ Ñ Û ÑÝ ÖÞ ÙÒ f Ø Ö ÛÒÝ Ó Ò ÛÝ ÖÞ ÓÛ ÙÒ g ÐÙ ÙÒ g Ó Ö Ò Þ Þ ÖÝ ÙÒ fµ ÓÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ Þ f = O (g)º Æ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝÑ ÖÝ ÙÒ Ù f = O (g) Þ c > 0 Ø Ô ÛÒ Ø º ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
10 Æ f : N R + {0} g : N R + {0} ÙÒ Ñ º Â Ð f g ØÓ ÙÒ g Ó Ö Ò Þ Þ Ó Ù Þ ÖÝ ÙÒ f ÓÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ Þ f = Θ(g)º Ñ Û ÑÝ ÆÓØ ÝÑÔØÓØÝÞÒ Ó Ö Ò Þ Ò Þ Ó Ù Þ ÖÝ Æ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝÑ ÖÝ ÙÒ Ù f = Θ(g) Þ c 1, c 2 > 0 Ô ÛÒÝÑ Ø ÝÑ º ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½¼ È Û Ê Ñ Ð
11 ÈÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½½ È Û Ê Ñ Ð
12 Ð Ò Ò ÓÖÑ ØÝ º Ð ÓÖÝØÑ ØÓ Ñ ØÓ ÔÓ ØÔÓÛ Ò Ø Ö ÔÖÓÛ Þ Ó ÖÓÞÛ Þ Ò Á ÔÖÓ Ð ÑÙº ÔÓ Ø Û ÓÒ Ó ÈÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Å ØÓ ÔÖ Ò Û ÔÖ Ð ÙØÓÑ ØÝÞÒ ÈÖÞÝ º Û Þ ÔÖ Ð Þ Ù Ù Ö Ò Ò ÝÔ ÔÖÓ Þ Ð Ù Ö Ò Ö ÞÓ ÖÙ Ò ØÓ Ò Ø Û ÔÖÓ Ö Ñ Þ Þ Ö Ù ÎÁÁ¹ ÁÁ Û ÔÖÞ ÛÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Ò Ø Û ÔÖÓ Ö Ñ Þ Þ Ö Ù Á¹ÎÁ Ó Ö Þ Û Ö ÓÔÖÓÛ Þ Ý ÛÓ Ó ÔÖ Ð Ò Ò ÔÖÞÝ ËÌ ÊÌ ÓÔ Ò Þ Û ÓÒØÖÓÐ ÃÇÆÁ Ò ÔÖÞ Þ Þ ÔÖ Ð Û ÔÖ Ý Þ Ö Þ Û Ö ÓÔÖÓÛ Þ Ý ÛÓ Ó ÔÖ Ð ÛÝ Ñ Ù Ö Ò ÛÝ Þ ÔÖ Ð º ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½¾ È Û Ê Ñ Ð
13 Ð Ò ÓÖÑ ØÝ º Ð ÓÖÝØÑ ØÓ Ó ÞÓÒÝ Ø Ô Û Ø Ö ÔÓÞÛ Ð ÔÖÞ ÞØ Ò Á Û ÓÛ Ò Û ÓÛ µ Û Ò ÓÖÑ ÛÝ ÓÛ Ò ÛÝ ÓÛ µº Ò ÓÖÑ ÞÛ Þ i Ó Ò ÈÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ó Ð Þ Ò ÐÒ Ð Þ Ý Ò ØÙÖ ÐÒ n ÈÖÞÝ º Ò ÔÓ Ø Û Ò Ò s ÔÓ Ø Û Þ ÖÓ i ÓÔ i < n ÛÝ ÓÒ Ò s ÔÓ Ø Û ÛÝÒ ÐÓÞÝÒÙ s i ÛÝÒ Ñ Ø s = n!º ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
14 Ð Ò Ò ÓÖÑ ØÝ º ÂÞÝ Ò ØÙÖ ÐÒÝ Ø ÖÝ Ò Ø ØÝ Û Û ÐÙ ÔÖÞÝÔ Ø ÊÓÞÛ Þ Ò Ó ÔÓÛÓ Ù ÓÒ ØÖÙ ÛÝÖ ÓÒ Û ØÝÑ ÞÝ Ù Ø Ò ÒÓÞÒ ÞÒ º Ò ÒÓÞÒ ÞÒÝ Ý ÛÞ Ø Ò ÓÖÑ ÓØÝÞ ÞÒ Ð Þ Û ÓÔ ÓØ ÐÓÛ Ø º ÈÖÞÝ º Ó ÓÖÙ ÞÒ Û Þ Ð ÒÓ Ó Û Ù Þ Ñ ØÓ ÈÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Þ Ô ÝÛ Ð ÓÖÝØÑÝ Ð ØÛÓ Þ Ó Ñ ÑÒ Ò ½¼ Ð Ø ØÓ Ð ØÛÓ Þ Ó Ñ Û Ò Ð Ø ØÓ ÞÒ ¼± Û ÔÖÞ ÛÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ÔÖÞÝ Ù Ù ÞÒ ½¼¼± Û ÝÑ ÔÖÞÝ Ù Ù ÒÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ÔÖÞÝ Ù Ù ÞÒ ¼±º ÈÝØ Ò º  ÞÒ ÔÖÞÝ Ù Ù Þ Ù Û Û Ù Ð Ø ÈÝØ Ò º  ÞÒ ÔÖÞÝ Ù Ù Þ Ù Û Û Ù Ð Ø ÈÝØ Ò º  ÞÒ ÔÖÞÝ Ù Ù Þ Ù Û Û Ù ½¾ Ð Ø ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
15 Ð Ò ÓÖÑ ØÝ º ÂÞÝ ÐÙ Ô Ù Ó ÞÝ µ ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Ó ÒÓÞÒ ÞÒ Ò ÊÓÞÛ Þ Ò Ñ ÒØÝ º Ï Ð Þ Þ ÛÝ Ù Þ ÑÝ ØÓ ÓÛ Ð Ô Ù Ó ÞÝ ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Ó Ò ÍÛ Þ Ð ÓÒ Ó ÞÝ Û Â Ú º Ñ ÒØÝ ÈÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Þ Ô ÝÛ Ð ÓÖÝØÑÝ ÈÖÞÝ º Ð ÓÖÝØÑ Ó Ð Þ Ò ÐÒ Ð Þ Ý Ò ØÙÖ ÐÒ n ÒØ Ë ÐÒ ÒØ Òµ ß ÒØ ½ ¼ Û Ð Òµ ß ½ Ð Ö ØÙÖÒ Ð ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
16 ÃÓ ÞØ Ð ÓÖÝØÑÙ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
17 ÇÔ Ö ÓÑ ÒÙ Û Ð ÓÖÝØÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ø Ò Ó Ð Ñ ÒØ Ø Ö Ó ÛÝ ÓÒ Ò Á º Þ Ò Ö Þ ÐÙÞÓÛ Þ ÔÙÒ ØÙ Û Þ Ò ÒÔº ÑÔÐ Ñ ÒØ ÙÖÙ ÓÑ Ò Ò ÒÝÑ ÙÛ ÑÝ ÃØ Ö Þ ÓÔ Ö Û Ð ÓÖÝØÑ Ë ÐÒ ÔÓÛ ÒÒ ÑÝ ÙÞÒ Þ ÓÑ ÒÙ Ð Ð ÓÖÝØÑ ÈÝØ Ò º ÙÖÙ Ñ ÑÝ Ò Ø Ò Ö ÓÛÝÑ ÓÑÔÙØ ÖÞ Ð Ý È ÑÔÐ Ñ ÒØÙ ÑÝ Æ Alg Þ Ð ÓÖÝØÑ Ñ ÓÖ Þ d Ù Ø ÐÓÒÝÑ ÒÝÑ Û ÓÛÝÑ Ð Ø Ó ÃÓ ÞØ Þ ÓÛÝ ÛÝ ÓÒ Ò Ð ÓÖÝØÑ Alg Ð ÒÝ Û ÓÛÝ d Ø ØÓ Ð Þ Ð ÓÖÝØÑÙº ÓÑ ÒÙ Ý ÛÝ ÓÒÙ ÖÓÞÛ ÒÝ Ð ÓÖÝØÑ Ò ÖÓÞÛ ÒÝ ÒÝ Û ÓÛÝ º ÓÔ Ö Þ ÓÛÝ ÓÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ Þ t(alg, d)º ÃÓ ÞØ Æ Alg Þ Ð ÓÖÝØÑ Ñ ÓÖ Þ d Ù Ø ÐÓÒÝÑ ÒÝÑ Û ÓÛÝÑ Ð Ø Ó ÃÓ ÞØ Ô Ñ ÓÛÝ ÛÝ ÓÒ Ò Ð ÓÖÝØÑ Alg Ð ÒÝ Û ÓÛÝ d Ø ØÓ Ð Þ Ð ÓÖÝØÑÙº ÒÓ Ø Ô Ñ Ò Þ Ò Ó ÛÝ ÓÒ Ò ÖÓÞÛ Ò Ó Ð ÓÖÝØÑÙ Ò Ó Ø ÓÛÝ ÒÝ Û ÓÛÝ º ÃÓ ÞØ Ô Ñ ÓÛÝ ÓÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ Þ s(alg, d)º ÖÓÞÛ ÒÝ ÃÓ ÞØ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÑÔÙØ ÖÞ º ÈÝØ Ò º Â Ø Ó ÞØ Þ ÓÛÝ Ð ÓÖÝØÑÙ Ë ÐÒ Ð Ö ÙÑ ÒØÙ Û ÓÛ Ó n = 10 ÈÝØ Ò º Â Ø Ó ÞØ Ô Ñ ÓÛÝ Ð ÓÖÝØÑÙ Ë ÐÒ Ð Ö ÙÑ ÒØÙ Û ÓÛ Ó n = 10 ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
18 Ó ÓÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
19 Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Alg ØÓ Ð Þ ÓÔ Ö ÓÑ ÒÙ Ý ÛÝ ÓÒÙ Ð ÓÖÝØÑ Ò ÒÝ Û ÓÛÝ ÖÓÞÑ ÖÙ n ÛÝÖ ÓÒ Ó ÙÒ ÖÓÞÑ ÖÙ ØÝ ÖÓÞÛ ÒÝ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Alg ØÓ Ð Þ Ó Ø ÓÛÝ ÒÓ Ø Ô Ñ Ò Þ Ò Ó ÛÝ ÓÒ Ò ÖÓÞÛ Ò Ó Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ÒÝ Û ÓÛÝ ÖÓÞÑ ÖÙ n ÛÝÖ ÓÒ Ó ÓÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ÒÝ º Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ ÓÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ Þ T (Alg, n)º ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ë ÐÒ ÈÝØ Ò º Â Ø Ó Ö Ò Þ Ò ÓÐÒ Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ë ÐÒ Ó ÙÒ ÖÓÞÑ ÖÙ ØÝ ÒÝ º Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ ÓÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ Þ S (Alg, n)º ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ë ÐÒ ÈÝØ Ò º Â Ø Ó Ö Ò Þ Ò ÖÒ Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ë ÐÒ ÍÛ Ï Ð Þ Þ ÛÝ Ù Þ ÑÝ Ù ÝÛ Ð Ö ÓÒ ÒÓØ Þ Ó ÓÒÓ T (n) S (n) Ð Þ ØÓ ÒÓÞÒ ÞÒ º ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
20 ÞÝ Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÑÓ Ò Þ Û Þ ÔÓ Û ÔÓ Ó ÒÝ ººº Ò Ø ØÝ ÈÖÓ Ð Ñº Ð Ò Ø ÖÝ Ð ÓÖÝØÑ Û Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ø ÙÒ Ò ØÝÐ Ó ÖÓÞÑ ÖÙ ÒÝ Ò Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÄÓ ÓÛ ÅÒÓ Ò Ð ÓÔ Ö ÓÑ ÒÙ ÈÝØ Ò º Þ Ò ÑÒÓ Ò Ø Ó ÓÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Û ÓÛÝ Ð ÔÓ Ø º ÈÖÞÝ º Ð ÓÖÝØÑ ÐÓ ÓÛ Ó ÑÒÓ Ò º ÚÓ ÄÓ ÓÛ ÅÒÓ Ò ÓÓÐ Ò ÒØ Òµ ß ÒØ ¾ ÓÖ ¼ Ò µ Ð µ ¾ Ö ØÙÖÒ Ð ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾¼ È Û Ê Ñ Ð
21 È ÝÑ ØÝÞÒ Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Alg ÓÞÒ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ W (Alg, n) Ø Ö ÛÒ D Þ n Þ ÓÖ Ñ Û ÞÝ Ø ÒÝ Û ÓÛÝ ÖÓÞÑ ÖÙ n Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ø ÖÝ ÖÓÞÛ ÞÙ Ø Algº Ð ÓÖÝØÑ D Þ n Þ ÓÖ Ñ Û ÞÝ Ø ÒÝ Û ÓÛÝ ÖÓÞÑ ÖÙ n Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ø ÖÝ ÖÓÞÛ ÞÙ Ø Alg p(d) Ø ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ñ ÛÝ Ø Ô Ò ÒÝ dº Ð ÓÖÝØÑ Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÄÓ ÓÛ ÅÒÓ Ò Ð ÓÔ Ö ÓÑ ÒÙ ÈÝØ Ò º Þ Ò ÑÒÓ Ò Ø Ó ÓÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ W (Alg, n) = max {t(alg,d) : d D n }, áö Ò Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Alg ÓÞÒ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ ÓÞ Û Ò µ n) Ø Ö ÛÒ A (Alg, A(Alg, n) = p(d) t (Alg, d), d D n Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÈÝØ Ò º Â Ø Ö Ò Ô ÝÑ ØÝÞÒ Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ë ÐÒ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾½ È Û Ê Ñ Ð
22 Ð ÓÖÝØÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ ØÝÛÒÝÑ Ð Ó Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ô Ñ ÓÛ Ø Ó Á º Û ÐÓÑ ÒÓÛ ÛÞ Ð Ñ ÖÓÞÑ ÖÙ ÒÝ Û ÓÛÝ º Ò ÛÝ Ó ÓÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Ð ÓÖÝØÑÝ ØÝÛÒ ÊÓÞÛ ÑÝ ØÖÞÝ Ð ÓÖÝØÑÝ Alg 1 Alg ÈÖÞÝ º 2 Alg 3 Ø Ò Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Þ ÖÓÞÛ ÞÙ T (Alg 1, n) = lg n, T (Alg 2, n) = n 2, T (Alg 3, n) = 2 n. Ö ÛÒÓÐ Ð ÖÓÞÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ð ÒØÝÞÒÝ ÒÝ Û ÓÛÝ d ÖÓÞÑ ÖÙ n ÍÖÙ Ñ ÑÝ ØÖÞ Ò ÓÛÝ ÓÑÔÙØ Ö Ø Ö Ð ÙÔÖÓ ÞÞ Ò ÛÝ ÓÒÙ Ò ÓÔ Ö ÓÑ ÒÙ Ò ÙÒ º Â Ù Ó Þ ÑÝ ÓÞ Û Ð Ò ÛÝÒ Ó Ð Þ Ò Ð n 8 = t (Alg 1, d) = º 3 t(alg 2, d) = º 64 t(alg 3, d) = º 256 Ð n = 16 t(alg 1, d) = 4 º t(alg 2, d) = 256 º t(alg 3, d) 18,2 Ó Þº Ð n = 32 t(alg 1, d) = 5 º t(alg 2, d) 17, 1 Ñ Òº t(alg 3, d) 136, 2 Ð Ø ÈÝØ Ò º ÁÐ Ð Ø Þ Ñ ÛÝ ÓÒ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ Alg 3 Ð ÒÝ d ÖÓÞÑ ÖÙ 64 ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾¾ È Û Ê Ñ Ð
23 ÇÔØÝÑ ÐÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
24 Æ T (n) Þ ÙÒ Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Alg ÖÓÞÛ ÞÙ Ó Ô Û Ò P Ð ÒÝ Û ÓÛÝ ÖÓÞÑ ÖÙ nº Ð ÓÖÝØÑ Alg Ò ÞÝÛ ÑÝ ÓÔØÝÑ ÐÒÝÑ Û Ò ÔÖÓ Ð Ñ Þ ÓÛ µ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ ÔÖÓ Ð ÑÙ P Ð Ò ØÒ Ð ÓÖÝØÑ Alg Ó Ô ÝÑ ØÝÞÒ Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ W (Alg, n) ÖÓÞÛ ÞÙ Ý ÔÖÓ Ð Ñ P Ø W (Alg, n) T (n)º Þ Ó ÓÒÓ Ã Ý Ð ÓÖÝØÑ ÓÔØÝÑ ÐÒÝ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ Ø Ð ÓÖÝØÑ Ñ ÓÔØÝÑ ÐÒÝÑ ÏÒ Ó º Þ Ò Ð Ý ÔÖÓ Ð Ñ Û Ð Ò Ý Ð ÓÖÝØÑ ÓÔØÝÑ ÐÒÝ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ Ø Ð ÇÔØÝÑ ÐÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Æ T (n) Þ ÙÒ Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ ÓÔØÝÑ ÐÒ Ó Ð ÓÖÝØÑÙ Alg Ô Û Ò ÔÖÓ Ð Ñ P Ð ÒÝ Û ÓÛÝ ÖÓÞÑ ÖÙ nº Ð ÓÖÝØÑ Alg Ò ÞÝÛ ÑÝ ÖÓÞÛ ÞÙ Ó Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ ÔÖÓ Ð ÑÙ P Ð A(Alg, n) T (n)º ÓÔØÝÑ ÐÒÝÑ Æ T (n) Þ ÙÒ Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ ÓÔØÝÑ ÐÒ Ó Ð ÓÖÝØÑÙ Alg Ô Û Ò ÔÖÓ Ð Ñ P Ð ÒÝ Û ÓÛÝ ÖÓÞÑ ÖÙ nº Ð ÓÖÝØÑ Alg ÖÓÞÛ ÞÙ Ó ÓÔØÝÑ ÐÒÝÑ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ ÔÖÓ Ð ÑÙ P Ð Ò ÞÝÛ ÑÝ W (Alg, n) (n)º T Ð ÓÖÝØÑ Ñ ÓÔØÝÑ ÐÒÝÑ Ð Þ Ò Ð Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ûº ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
25 ÈÓ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
26 ËØÖÙ ØÙÖ ÒÝ ØÓ ÖÓ ÓÛ Ó Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÙº Ì Ò Ñ Ð ÓÖÝØÑ Û ÖÓ ÒÝ Á º ÑÓ ÖÓÞÛ ÞÝÛ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñݺ ÖÓ ÓÛ ÙÒ Û Ö ÙÑ U Ó Ö Ð ÑÓ Ð Û Û ÖØÓ ÞÑ ÒÒÝ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÔ Ö o Ø Ö Ó 1, o 2,..., o k r Ö Ð 1, r 2,..., r n Ò ÖÞ Þ Ó Ö Ð Þ Ð ÓÖÝØÑÙº Ó Ø ÖÞ ÊÓÞÛ ÑÝ Ð ÓÖÝØÑ Ë ÐÒ º ÓÑÝ ÐÒ Þ Ó ÝÐ ÑÝ ØÖÙ ØÙÖ ÒÝ Ø Û ØÝÑ ÈÖÞÝ º Ò ØÔÙ Ý Ý Ø Ñ Ð Ö ÞÒÝ ÔÖÞÝÔ Ù Â ÔÖÓ Ð Ñ ÖÓÞÛ ÞÙ Ð ÓÖÝØÑ Ë ÐÒ Ð Þ Ó ÝÑÝ ØÖÙ ØÙÖ ÒÝ Ø ÈÝØ Ò º Ð Ö ÞÒÝ Ý Ø Ñ ÈÓ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ ËØÖÙ ØÙÖ ÒÝ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ý Ø Ñ Ð Ö ÞÒÝ S = U, o 1, o 2,..., o k, r 1, r 2,..., r n, S = N,+,, <. ÈÝØ Ò º Â Ø ÔÓ Ø ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ð Ð ÓÖÝØÑÙ ÄÓ ÓÛ ÅÒÓ Ò S = N,+,, <, Þ a b = def a + b ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
27 ÈÓÔÖ ÛÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
28 ÈÓÔÖ ÛÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Á º Ð ÓÖÝØÑ Ø ÔÓÔÖ ÛÒÝ Ð Ø Þ Ó ÒÝ Þ Ñ ÖÞ Ò Ñ º ÈÖÓ Ð Ñº  ÓÖÑ ÐÒ ÓÔ Ò Þ Þ Ñ ÖÞ Ò ËÔ Ý Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ô Ö wp, wk, Þ wp Ø Û ÖÙÒ Ñ ÔÓÞ Ø ÓÛÝÑ wk Ø Û ÖÙÒ Ñ Ó ÓÛÝÑ Ð ÓÖÝØÑÙº ÈÖÞÝ º ÊÓÞÛ ÑÝ Ð ÓÖÝØÑ Ë ÐÒ Ó Ô Ý Ø Ò ØÔÙ ÒØ Ë ÐÒ ÒØ Òµ ß»» Û ÖÙÒ ÔÓÞ Ø ÓÛÝ n N ÒØ ½ ¼ Û Ð Òµ ß ½ Ð Ö ØÙÖÒ»» Û ÖÙÒ Ó ÓÛÝ s = n! Ð ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
29 Ð ÓÖÝØÑ Alg Þ Ý Û ØÖÙ ØÙÖÞ ÒÝ S Ø Þ ÓÛÓ ÔÓÔÖ ÛÒÝ Þ ÛÞ Ð Ù Ô Ý wp, wk ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý Ð Û ÞÝ Ø ÒÝ Û ÓÛÝ Ø Ö Ò Û ÖÙÒ ÔÓÞ Ø ÓÛÝ wp Ð Ð ÓÖÝØÑ Alg Þ ØÖÞÝÑ ØÓ ÙÞÝ Ò Ò ÛÝ ÓÛ Ô Ò Û ÖÙÒ Ó ÓÛÝ wkº Ô Ò Ð ÓÖÝØÑ Alg Þ Ý Û ØÖÙ ØÙÖÞ ÒÝ S Ø ÓÛ ÔÓÔÖ ÛÒÝ ÔÓÔÖ ÛÒݵ ÛÞ Ð Ù Ò Ô Ý wp, wk ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý Ð Û ÞÝ Ø ÒÝ Û ÓÛÝ Þ Ô Ò Û ÖÙÒ ÔÓÞ Ø ÓÛÝ wp Ð ÓÖÝØÑ Alg Þ ØÖÞÝÑ ÙÞÝ Ò Ò ÛÝ ÓÛ Ø Ö Û ÖÙÒ Ó ÓÛÝ wkº Ô Ò Ã Ý Ð ÓÖÝØÑ Ø ÖÝ Ø ÓÛ ÔÓÔÖ ÛÒÝ Ø Ø Þ ÓÛÓ ÔÓÔÖ ÛÒÝ Ð Ò ÏÒ Ó º Ð ÓÖÝØÑ Ø ÖÝ Ø Þ ÓÛÓ ÔÓÔÖ ÛÒÝ Ø Ø ÓÛ ÔÓÔÖ ÛÒݺ Ý ÈÓÔÖ ÛÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ÈÝØ Ò º ÞÝ Ð ÓÖÝØÑ Ë ÐÒ Ø Þ ÓÛÓ ÔÓÔÖ ÛÒÝ Û ØÖÙ ØÙÖÞ ÒÝ S = N, +,, < ÈÝØ Ò º ÞÝ Ð ÓÖÝØÑ Ë ÐÒ Ø ÓÛ ÔÓÔÖ ÛÒÝ Û ØÖÙ ØÙÖÞ ÒÝ S = N, +,, < ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
30 ÈÓÔÖ ÛÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ÔÖÞÝ ÊÓÞÛ ÑÝ Ð ÓÖÝØÑ Ö Ð ÞÙ Ý Ò ØÔÙ Ý ÓÔ Ö ÈÖÞÝ º ÓÐÐ ØÞ ÒØ Òµ ß»» Û ÖÙÒ ÔÓÞ Ø ÓÛÝ n N + ÓÓÐ ÒØ Ò Û Ð ½µ ÑÓ ¾ ¼µ»¾ Ð ½ Ö ØÙÖÒ ÌÊÍ»» Û ÖÙÒ Ó ÓÛÝ i = 1 Ð À ÔÓØ Þ ÓÐÐ ØÞ º Ð ÓÛÓÐÒ Ð Þ Ý Ò ØÙÖ ÐÒ Ó ØÒ n ÔÖ Û Ø Collatz (n) trueº ÑÝ ÔÓØ Þ ÓÐÐ ØÞ Ø ÞÝÛ ÛØ Ý ÏÒ Ó º Ð ÓÖÝØÑ ÓÐÐ ØÞ Ø Þ ÓÛÓ ÔÓÔÖ ÛÒÝ Ð ÓÖÝØÑ ÓÐÐ ØÞ Ò Ø ÓÛ ÔÓÔÖ ÛÒݺ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¼ È Û Ê Ñ Ð
31 Æ ÞÑ ÒÒ Ñ ÔØÐ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÓÖÑÙ Ø Ö Ð Ø ÔÖ Û Þ Û Ò ÔÓÞ Ø Ù ØÖ ÔØÐ ØÓ Ø Ø ÔÖ Û Þ Û Ò Ó Ù ÛÝ ÓÒ Ò ØÖ º ÛÝ ÓÒ Ò ÃØ Ö Þ ÓÖÑÙ true s = n! Ø Ò ÞÑ ÒÒ Ñ ÔØÐ Ð ÓÖÝØÑÙ Ë ÐÒ Ø Ö ÔÓÞÛ Ð ÈÝØ Ò º ÔÓÔÖ ÛÒÓ Û ÖÙÒ Ù Ó ÓÛ Ó s = n! ÓÛ ÈÓÔÖ ÛÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ÔÓÔÖ ÛÒÓ Ð ÓÖÝØÑ Û Ø Ö Ý ÒÝ Â Ð ÓÖÑÙ Ø ÔÖ Û Þ Û ÔÖÞ ÛÝ ÓÒ Ò Ñ ÔØÐ Ø º ÔÖÞ Û Ñ Ó ÔØÐ µ ÌÛ Ö Þ Ò º Ø ÓÒ Ò ÞÑ ÒÒ Ñ ÔØÐ ØÓ Ø Ø ÔÖ Û Þ Û ÔÓ ÛÝ ÓÒ Ò ÔØÐ Ø º ÔÓ ÛÝ Ù Þ ÔØÐ µº ÈÖÞÝ º ÊÓÞÛ ÑÝ Ð ÓÖÝØÑ Ë ÐÒ ÓÖÑÙ s = i! ÒØ Ë ÐÒ ÒØ Òµ ß»» Û ÖÙÒ ÔÓÞ Ø ÓÛÝ n N ÒØ ½ ¼»» 1 = def 0! s = i! Û Ð Òµ ß»» s = i!»» s = (i 1)! ½ = (i 1)! s = i!»» s i Ð s = i! (i < n) s = i! i n Ð i Ø Ò Ö Ñ ÒØÓÛ Ò Ó ½»» ÞÝÐ s = i! i = n s = n!»» Ö ØÙÖÒ»» Û ÖÙÒ Ó ÓÛÝ s = n! Ð ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
32 Ö Ý Ò ÔÓ Ø ÛÓÛ µ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
33 V Ò ÞÝÛ ÑÝ Û ÖÞ Ó Ñ ÛÞ Ñ µ Ö Ù Ð Ñ ÒØÝ Þ ÓÖÙ E Ò ÞÝÛ ÑÝ Ö Û Þ Ñ Þ ÓÖÙ Ö Ùº Ö Ñ Ò ÞÓÖ ÒØÓÛ ÒÝÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ö G = (V, E) Ø Ð ÓÛÓÐÒÝ Û u, v V Þ Ó Þ (u, v) E ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý (v, u) Eº Û ÖÞ Ó Û µº ÁÐ Ö ÒÝ Ö Û Û ÓÒÝ ÑÓ Ò ÙØÛÓÖÞÝ Û Þ ÓÖÞ n Û ÖÞ Ó Û Ð Ò Û Ö Û Þ Ø ÔÓ Ø f : E {1,2, 3} ÙÒ Ö Ý Ò ÔÓ Ø ÛÓÛ Ö Ñ Ö Ñ ÞÓÖ ÒØÓÛ ÒÝѵ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ô Ö ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò G = (V, E) Þ V Ò ÔÙ ØÝÑ Þ ÓÖ Ñ E ÓÛÓÐÒÝÑ ÔÓ Þ ÓÖ Ñ ÔÖÓ Ù ØÙ ÖØ Þ Ó V V º Ð Ñ ÒØÝ Ø ÈÝØ Ò º ÁÐ ÖÓ ÒÝ Ö Û ÑÓ Ò ÙØÛÓÖÞÝ Û Þ ÓÖÞ n Û ÖÞ Ó Û ÈÝØ Ò º ÁÐ ÖÓ ÒÝ Ö Û Ò ÞÓÖ ÒØÓÛ ÒÝ ÑÓ Ò ÙØÛÓÖÞÝ Û Þ ÓÖÞ n Û ÖÞ Ó Û Ö Ñ Þ Û Ñ Ò ÞÝÛ ÑÝ ØÖ G = (V, E, f) Þ Ô Ö (V, E) Ø Ö Ñ f : E N + ÙÒ Û Ö Û Þ º Ø ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
34 Æ G = (V, E) Þ Ö Ñº Û ÖÓ Ò Û ÖÞ Ó u, v V Ò ÞÝÛ ÑÝ ÒÝ ÒØÒÝÑ µ ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý (u, v) Eº Ò Ñ Ö Ñ Ô ÒÝÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ö Ø ÓÛÓÐÒ Û Û ÖÞ Ó Ö Ù ÔÓ ÞÓÒ ÖÓ º Æ v 1, v 2,..., v n ÖÓ Û Ö º  Рv Þ 1 = v n ÖÓ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÖÓ ØÓ Þ Ñ Ò Ø º Ö Ý Ò ÔÓ Ø ÛÓÛ Ö Ñ Ô ÒÝÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ö Ø ÓÛÓÐÒ Û Û ÖÞ Ó Ö Ù Ò º ÈÝØ Ò º ÁÐ Ö Û Þ Þ Û Ö Ô ÒÝ Ö Ò ÖÓÛ ÒÝ Ó n¹û ÖÞ Ó º ÖÓ Û Ö Ò ÞÝÛ ÑÝ Û ÖÞ Ó Û v 1, v 2,..., v n Û Û ÖÞ Ó Ø v i, v i+1 Ò Ð i = 1, 2,..., n 1º Ù Ó ÖÓ ØÓ Ð Þ Ö Û Þ ØÛÓÖÞ Ý Û ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù n 1µº Æ v 1, v 2,..., v n ÖÓ Þ Ñ Ò Ø Û Ö º  Рv Þ i v Ð j i, j = 2,3,..., n 1 ØÓ ÖÓ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ý Ð Ñº ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
35 Ö Ý ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ûµ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
36 º Æ G = (V, E) Þ Ö Ñº Å ÖÞ ÞØÛ M Ö Ù G Ò ÞÝÛ ÑÝ Ñ ÖÞ Ò ÖÓÞÑ ÖÙ V V Ø Ö Û Ö Þ ÓÐÙÑÒÝ ÒÙÑ ÖÓÛ Ò Û Ù Ø ÐÓÒÝÑ ÔÓÖÞ Ù Û Ö ØÓÛ ÔÓÖÞ Ù ØÝ Ø Ñ Û ÖÞ Ó Û Ö Ù Ø M [u, v] = f ((u, v)) ÛØ Ý ØÝÐ Ó Ù Ø ÐÓÒÝÑ Ý (u, v) E ÓÖ Þ M [u, v] = 0 Û ÔÖÞ ÛÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ùº ÛØ Ý Æ M Þ Ñ ÖÞ ÞØÛ n¹û ÖÞ Ó ÓÛ Ó Ö Ù G = (V, E)º Â Ø ÈÝØ Ò º ÔÓÒ ÞÝ ÓÔ Ö Ò Ö G ÛÝÖ ÓÒÝ Ð Þ ÓÔ Ö Ó Ò Ó ÔÓ ÝÒÞ Ó Ó ÞØ Ö Ý ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Û Û ÖÞ Ó Û Ö Ù Ø M [u, v] = 1 ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý (u, v) E ÓÖ Þ ØÝ Ø Ñ M [u, v] = Û ÔÖÞ ÛÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ùº 0 Æ G = (V, E, f) Þ Ö Ñ Þ Û Ñ º Å ÖÞ ÞØÛ M Ö Ù G Ñ ÖÞ Û Ö ØÓÛ ÖÓÞÑ ÖÙ V V Ø Ö Û Ö Þ ÓÐÙÑÒÝ ÒÙÑ ÖÓÛ Ò Û Ò ÞÝÛ ÑÝ Ñ ÖÞÝ M Ð Ñ ÒØÙ ÔÖ Û Þ Ò ÞÝ Û Û ÖÞ Ó Ò Û Ø Û Ò Ö Û Þ Ó Ö Ù Ù ÙÒ Ö Û Þ Û Ö ÛÝÞÒ Þ Ò ØÓÔÒ Û ÖÞ Ó ØÓÔ Û ÖÞ Ó ØÓ Ð Þ Û ÖÞ Ó Û Þ Ò Ñ Ò µ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
37 Æ G = (V, E) Þ Ö Ñº Ì Ð Ð Ø ÒÝ Ò T Ö Ù G Ò ÞÝÛ ÑÝ Û ØÓÖ Û ÖÞ Ó Û ÖÓÞÑ ÖÙ V Ø Ö Ó Ð Ñ ÒØÝ ÒÙÑ ÖÓÛ Ò Û Ù Ø ÐÓÒÝÑ ÔÓÖÞ Ù Ð Ø Æ T Þ Ø Ð Ð Ø ÒÝ Ò n¹û ÖÞ Ó ÓÛ Ó Ö Ù G = (V, E)º Â Ø ÈÝØ Ò º ÔÓÒ ÞÝ ÓÔ Ö Ò Ö G ÛÝÖ ÓÒÝ Ð Þ ÓÔ Ö ÔÖÞ Ó Þ Ò Ð Ñ ÒØ Û Ð Ø Ó ÞØ Ö Ý ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Û ØÝ Ø Ñ Û ÖÞ Ó Û Ö Ù Ø v T [u] ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý (u, v) Eº Æ G = (V, E, f) Þ Ö Ñ Þ Û Ñ º Ì Ð Ð Ø ÒÝ Ò T Ö Ù G Û ØÓÖ Ð Ø Ô Ö (v, c) Þ v V c N + ÖÓÞÑ ÖÙ V Ø Ö Ó Ð Ñ ÒØÝ Ò ÞÝÛ ÑÝ Û Ù Ø ÐÓÒÝÑ ÔÓÖÞ Ù ØÝ Ø Ñ Û ÖÞ Ó Û Ö Ù Ø (v, c) T [u] ÒÙÑ ÖÓÛ Ò ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý (u, v) E c = f ((u, v))º Ø Ð Ý T ÓÛÝ ÔÖ Û Þ Ò ÞÝ Û Û ÖÞ Ó Ò Û Ø Û Ò Ö Û Þ Ó Ö Ù Ù ÙÒ Ö Û Þ Û Ö ÛÝÞÒ Þ Ò ØÓÔÒ Û ÖÞ Ó ØÓÔ Û ÖÞ Ó ØÓ Ð Þ Û ÖÞ Ó Û Þ Ò Ñ Ò µ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
38 ÖÞ Û Ò ÔÓ Ø ÛÓÛ µ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
39 Ö Ò ÞÓÖ ÒØÓÛ ÒÝ G = (V, E) Ò ÞÝÛ ÑÝ ÖÞ Û Ñ ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý Ö Ô ÒÝ Ý Ð ÞÒÝ Ø º Û Ö Ò ØÒ Ý Ðµº Â Ð Ó Ø ÓÛÓ Û Ö ÛÝÖ Ò ÑÝ Ø Û ÖÞ Ó v V Ò ÞÝÛ ÒÝ ÓÖÞ Ò Ñ ØÓ ÖÞ ÛÓ Ø Ò ÞÝÛ ÑÝ ÖÞ Û Ñ Þ Ù Ø ÐÓÒÝÑ Ô Û Ò ÓÖÞ Ò Ñº Ï Ð Þ Þ ÛÝ Ù Þ ÑÝ Þ ÑÓÛ Ð ÝÒ ÖÞ Û Ñ Þ Ù Ø ÐÓÒÝÑ ÍÛ Ð ÔÖÓ ØÓØÝ Þ ÑÝ Ò ÞÝÛ Ð ÖÞ Û Ñ º ÓÖÞ Ò Ñ Ï ÖÞ Ó v Ò ÞÝÛ ÑÝ Ò ØÔÒ Ñ Û ÖÞ Ó u ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý u Ø ÔÓÔÖÞ Ò Ñ Û ÖÞ Ó vº Û ÖÞ Ó Ï ÖÞ Ó Ñ Û ÛÒØÖÞÒÝÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ Û ÖÞ Ó ÖÞ Û Ø ÖÝ Ñ Ó Ò ÑÒ Ò ØÔÒ º Ò Ï ÖÞ Ó Ñ Þ ÛÒØÖÞÒÝÑ Ð Ñµ Ò ÞÝÛ ÑÝ Û ÖÞ Ó ÖÞ Û Ø ÖÝ Ò Ñ Ò ØÔÒ º ÖÞ Û Ò ÔÓ Ø ÛÓÛ Æ r Þ ÓÖÞ Ò Ñ ÖÞ Û G = (V, E)º Ï ÖÞ Ó u Ò ÞÝÛ ÑÝ Û ÖÞ Ó v ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý Û Ö G ØÒ ÖÓ Þ Û ÖÞ Ó r ÔÓÔÖÞ Ò Ñ Ó Û ÖÞ Ó v Ò Ø Ö Û ÖÞ Ó u ÛÝ ØÔÙ ØÙ ÔÖÞ Û ÖÞ Ó Ñ vº ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
40 ÖÞ Û Ñ Ö ÙÐ ÖÒÝÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÖÞ ÛÓ n¹ ÖÒ Û Ø ÖÝÑ Ý Û ÖÞ Ó Ñ n Ò ØÔÒ Ûº Û ÛÒØÖÞÒÝ ÖÞ Û Ñ Ó ÓÒ ÝÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÖÞ ÛÓ Ö ÙÐ ÖÒ n¹ ÖÒ Û Ø ÖÝÑ Û ÞÝ Ø Þ ÛÒØÖÞÒ ÞÒ Ù Ò ÒÝÑ Ù Ø ÐÓÒÝÑ ÔÓÞ ÓÑ º Û ÖÞ Ó ÖÞ Û Ñ Ò ÖÒÝÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÖÞ ÛÓ Ø Ý Û ÖÞ Ó ÖÞ Û Ñ Ó Û Ò ØÔÒ Ûº Ò ÛÝ ÏÝ Ó Ó ÖÞ Û Ò ÞÝÛ ÑÝ Ù Ó Ò Ù Þ ÖÓ Û ÖÞ Û Ó ÓÖÞ Ò Ó Þ Û ÖÞ Ó Ûº ÓÛÓÐÒ Ó ÈÓÞ ÓÑ Ñ Û ÖÞ Ó Û ÖÞ Û Ò ÞÝÛ ÑÝ Ù Ó ÖÓ Ó ÓÖÞ Ò ÖÞ Û Ó Û ÖÞ Ó º Ø Ó ÖÞ Û Ò ÔÓ Ø ÛÓÛ ÈÝØ Ò º ÁÐ Ø Ó Ò ÑÒ Û ÖÞ Ó Û Û ÖÞ Û Ò ÖÒÝÑ n¹ ÖÒÝÑ Ó ÛÝ Ó Ó h ÈÝØ Ò º ÁÐ Ø Ó Ò ÛÝ Û ÖÞ Ó Û Û ÖÞ Û Ò ÖÒÝÑ n¹ ÖÒÝÑ Ó ÛÝ Ó Ó h ÈÝØ Ò º ÁÐ Ø Ó Ò ÑÒ Û ÖÞ Ó Û Û ÖÞ Û Ò ÖÒÝÑ n¹ ÖÒÝÑ Ò k¹øýñ ÔÓÞ ÓÑ ÈÝØ Ò º ÁÐ Ø Ó Ò ÛÝ Û ÖÞ Ó Û Û ÖÞ Û Ò ÖÒÝÑ n¹ ÖÒÝÑ Ò k¹øýñ ÔÓÞ ÓÑ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¼ È Û Ê Ñ Ð
41 ÖÞ Û ÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÞ Ûµ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
42 Ø Ø ÞÑ ÒÒ ØÝÔÙ ØÝÔ Ö ÔÖ Þ ÒØÙ ØÝ Ø Û ÖÞ Ó ÖÞ Û Ð Ø Ö Ø ØÓ Þ ÓÛ Þ Ò Ó Ð Û Ó ÔÖ Û Ó Ò ØÔÒ Ò Ó Û ÖÞ Ó º ÓÐ ÒÓ Ï Ð Þ Þ ÛÝ Ù Ñ Û Ó ÓÛ Þ Ò Ù Ó Û ÖÞ Ó ÖÞ Û Ò ÖÒ Ó ÍÛ ÓÑÝ ÐÒ ÔÖÞÝ ÑÓÛ Ð ÔÖÞ Ø Û ÓÒ ÔÓÛÝ ÑÔÐ Ñ ÒØ º Þ ÑÝ Æ ÞÑ ÒÒ root Ö ÔÖ Þ ÒØÙ ÓÖÞ ÖÞ Û Ò ÖÒ Óº ÈÓ Ð ÓÖÝØÑ Ø ÖÝ Ò º Ù Ó ÖÓ Ó ÓÖÞ Ò Ø Ó ÖÞ Û Ó Ö Ò Ð Û Ó Û ÖÞ Ó º ÛÝÞÒ ÞÝ ÖÞ Û ÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÞ Û Ò ÖÒÝ Ï ÖÞ Ó ÖÞ Û Ò ÖÒ Ó Ò Ù ÑÝ Ó Ó Ø Ð Ý ÌÖ ÆÓ ÔÓ Ø Ð ÌÖ ÆÓ ß ØÝÔ Ø ÌÖ ÆÓ Ð Ø Ö Ø Ð Æ ÙØÛÓÖÞÓÒÝ Ó Ø Ð Ý ÌÖ ÆÓ Ø º ÆÍÄÄ µ Ö ÔÖ Þ ÒØÙ ÔÙ Ø ÖÞ ÛÓ Ò ÖÒ º ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
43 Ø Ø ÞÑ ÒÒ ØÝÔÙ ØÝÔ Ö ÔÖ Þ ÒØÙ ØÝ Ø Û ÖÞ Ó ÖÞ Û Ù ÓÖ Ò Ø Þ n ÓÛ Þ Ó Ò ØÔÒ Û Ò Ó Û ÖÞ Ó º Ø Ð Ï Ð Þ Þ ÛÝ Ù Ñ Û Ó ÓÛ Þ Ò Ù Ó Û ÖÞ Ó ÖÞ Û n¹ ÖÒ Ó ÍÛ ÓÑÝ ÐÒ ÔÖÞÝ ÑÓÛ Ð ÔÖÞ Ø Û ÓÒ ÔÓÛÝ ÑÔÐ Ñ ÒØ º Þ ÑÝ ÖÞ Û ÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÞ Û n¹ ÖÒÝ Ï ÖÞ Ó ÖÞ Û n¹ ÖÒ Ó Ò Ù ÑÝ Ó Ó Ø Ð Ý ÆÌÖ ÆÓ ÔÓ Ø Ð ÆÌÖ ÆÓ ß ØÝÔ Ø ÌÖ ÆÓ Ù ÓÖ Ò Ð Æ ÙØÛÓÖÞÓÒÝ Ó Ø Ð Ý ÆÌÖ ÆÓ Ø º ÆÍÄĵ Ö ÔÖ Þ ÒØÙ ÔÙ Ø ÖÞ ÛÓ n¹ ÖÒ º ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
44 Ê ÙÖ Ò Ñ ØÓ Ý ÔÖÞ Ó Þ Ò ÖÞ Û Ò ÖÒÝ µ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
45 Æ root Þ ÓÛ Þ Ò Ñ Ó ÓÖÞ Ò Ô ÛÒ Ó ÖÞ Û Ò ÖÒ Óº ÈÓ Ò º Ø ÖÝ ÛÝÔ Þ Û ÞÝ Ø Û ÖÞ Ó Ø Ó ÖÞ Û Û Þ Ð Ò ÓÛÝÑ ÛÞ Ð Ñ Ð ÓÖÝØÑ Ê ÙÖ Ò Ñ ØÓ Ý ÔÖÞ Ó Þ Ò ÖÞ Û Ò ÖÒÝ Ñ ØÓ ÈÖ ÇÖ Ö Ð Þ Ý Þ ÓÔ Ö ÓÑ ÒÙ Ø ÞÝÒÒÓ ÔÖÞ Ó Þ Ò ÔÖÞ Þ Û ÖÞ Ó ÖÞ Û º ÊÓÞÛ Þ Ò º ÚÓ ÈÖ ÇÖ Ö Ú ÌÖ ÆÓ µ ß Ú ÆÍÄĵ Ö ØÙÖÒ ÏÝÔ Þ Úµ»» ÛÝÔ Ù ÑÝ Û ÖÞ Ó Ú ÈÖ ÇÖ Ö ÚºÐ Øµ»» Ó Û Þ ÑÝ Ð Û ÔÓ ÖÞ ÛÓ ÈÖ ÇÖ Ö ÚºÖ Øµ»» Ó Û Þ ÑÝ ÔÖ Û ÔÓ ÖÞ ÛÓ Ð ÈÖ ÇÖ Ö ÖÓÓص»» ÛÝÔ Ù ÑÝ Û ÞÝ Ø Û ÖÞ Ó ÖÞ Û ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
46 Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙº Æ T (v) Þ Ð Þ ÞÝÒÒÓ ÔÖÞ Ó Þ Ò ÔÖÞ Þ Ó ÓÒÓ ÖÞ Û Ò ÖÒ Ó Ó ÓÖÞ Ò Ù Û Û ÖÞ Ó Ù v Ð ÙÒ ÈÖ ÇÖ Ö ÛØ Ý Û ÖÞ Ó Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙº Æ S (v, n) Þ Ð Þ Ó Ø ÓÛÝ ÒÓ Ø Ô Ñ Ó ÓÒÓ Ó ÛÝ ÓÒ Ò ÙÒ ÈÖ ÇÖ Ö Þ v Ø ÓÛ Þ Ò Ñ Ó ÓÖÞ Ò ÖÞ Û Ò Þ Ò Â Ø Ó ÒÝ Ó ÞØ Ô Ñ ÓÛÝ ÛÝ ÓÒ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ ÈÖ ÇÖ Ö Ð v Ø ÈÝØ Ò º Ó ÓÖÞ Ò Ó ÓÒ Ó ÖÞ Û Ò ÖÒ Ó Ó n Û ÖÞ Ó ÓÛ Þ Ò Ñ Ê ÙÖ Ò Ñ Ø Ý ÔÖÞ Ó Þ Ò ÖÞ Û Ò ÖÒÝ Ñ ØÓ ÈÖ ÇÖ Ö T (v, n) = 0 Ð v = NULL T (v.left, n) + T (v.righ, n) + Ð 3 v NULL. ËØ T (v, n) = 3n = Θ (n)º Ó n Û ÖÞ Ó ÛØ Ý Ò ÖÒ Ó Ó ÞØ Ô Ñ ÓÛÝ ÞÛ Þ ÒÝ Þ ÛÝÛÓ Ò Ñ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝÑ ÖÓÞÛ Ò ÙÒ Ø Ö ÛÒÝ Ó Ó Ø ÛÝ Ó Ó ÖÞ Û ÛÝÛÓ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ ÞÝÐ O (n) Ó ÞØ Ô Ñ ÓÛÝ ÞÛ Þ ÒÝ Þ Ù Ý Ñ ÞÑ ÒÒÝ ÔÓÑÓÒ ÞÝ Ø Ø Ý Ø S (v, n) = O (n) + O (1) = O (n)º ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
47 Ê ÙÖ Ò Ñ ØÓ Ý ÔÖÞ Ó Þ Ò ÖÞ Û Ò ÖÒÝ Ñ ØÓ Ý ÁÒÇÖ Ö ÈÓ ØÇÖ Ö ÚÓ ÁÒÇÖ Ö Ú ÌÖ ÆÓ µ ß Ú ÆÍÄĵ Ö ØÙÖÒ ÁÒÇÖ Ö ÚºÐ Øµ»» Ó Û Þ ÑÝ Ð Û ÔÓ ÖÞ ÛÓ ÏÝÔ Þ Úµ Úµ»» Ó Û Þ ÑÝ Û ÖÞ Ó ÁÒÇÖ Ö ÚºÖ Øµ»» Ó Û Þ ÑÝ ÔÖ Û ÔÓ ÖÞ ÛÓ Ð ÚÓ ÈÓ ØÇÖ Ö Ú ÌÖ ÆÓ µ ß Ú ÆÍÄĵ Ö ØÙÖÒ ÈÓ ØÇÖ Ö ÚºÐ Øµ»» Ó Û Þ ÑÝ Ð Û ÔÓ ÖÞ ÛÓ ÈÓ ØÇÖ Ö ÚºÖ Øµ»» Ó Û Þ ÑÝ ÔÖ Û ÔÓ ÖÞ ÛÓ ÏÝÔ Þ Úµ»» Ó Û Þ ÑÝ Û ÖÞ Ó Ð ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
48 Ê ÙÖ Ò Ò ÖÓÛ Ò Ô ÖÑÙØ µ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
49 Æ A Þ Ò ÔÙ Ø Ø Ð n Ö ÒÝ Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ º ÈÓ Ð ÓÖÝØÑ Ø ÖÝ Ò º Û ÞÝ Ø Ô ÖÑÙØ Ð Ñ ÒØ Û Ø Ð Ý Aº ÛÝÔ Þ Ê ÙÖ Ò Ò ÖÓÛ Ò Ô ÖÑÙØ ÊÓÞÛ Þ Ò º ÚÓ È ÖÑÙØ ÒØ Ò ÒØ ÌÑÔ Ò ÒØ Òµ ß ÒØ Ò ¼µ ÏÝÔ Þ ÌÑÔµ»» Ø Ð ÌÑÔ Ö ÔÖ Þ ÒØÙ Ò Þ Ô ÖÑÙØ Ð ÓÖ ¼ Ò µ ß ÌÑÔ Ò¹½ È ÖÑÙØ ÌÑÔ Ò¹½µ»» ÛÝÔ Ù ÑÝ Û ÞÝ Ø Ô ÖÑÙØ Û Ø ÖÝ Ð Ñ ÒØ ÞÒ Ù Ò ÔÓÞÝ Ò¹Ø Ð Ð ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
50 Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙº Æ T (n) Þ Ð Þ ÛÝÛÓ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ ÙÒ Ó ÓÒÓ ÛØ Ý È ÖÑÙØ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙº Æ S (n) Þ Ð Þ Ó Ø ÓÛÝ ÒÓ Ø Ô Ñ Ó ÓÒÓ Ó ÛÝ ÓÒ Ò ÙÒ È ÖÑÙØ ÛØ Ý Ò Þ Ò Ê ÙÖ Ò Ò ÖÓÛ Ò Ô ÖÑÙØ T (n) = 0 Ð n = 0 1 Ð n = 1 nt (n 1) Ð n > 1 = 0 Ð n = 0 n! Ð n 1 = Θ(n!). Ó ÞØ Ô Ñ ÓÛÝ ÞÛ Þ ÒÝ Þ ÛÝÛÓ Ò Ñ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝÑ ÖÓÞÛ Ò ÙÒ Ø Ö ÛÒÝ Ó Ó Ø ÛÝ Ó Ó ÖÞ Û ÛÝÛÓ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ ÞÝÐ Θ (n) Ó ÞØ Ô Ñ ÓÛÝ ÞÛ Þ ÒÝ Þ Ù Ý Ñ Ø Ð Ý ÔÓÑÓÒ Þ Tmp Ø Ö ÛÒÝ n Ø S (n) = Θ(n) + n = Θ(n)º ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¼ È Û Ê Ñ Ð
51 Þ Ó ÓÒÓ Ð ÓÖÝØÑ Û Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ò Ð Þ ÙÓ ÐÒ Ò ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
52 Ò Ð Þ Þ Ó ÓÒÓ Ð ÓÖÝØÑ Û Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ ÙÓ ÐÒ Ò ÌÛ Ö Þ Ò Ó Ö ÙÖ Ò ÙÒ Û Ö ÐÒ µº Æ a 1 b > 1 Ø ÝÑ f : N R + {0} ÙÒ Ò T Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝÑ Þ Ó ÓÒÓ Ô ÛÒ Ó Ð ÓÖÝØÑÙ ÔÓ Ø Ô ÛÒ (n) Ö ÛÒ Ò Ñ ( n ) T (n) = at + f (n), b Þ n b ØÖ ØÙ ÑÝ Ó ØÓ n b Ð Ó n b ÛØ Ý Ð f (n) = O ( n log b a ɛ) Ð Ô ÛÒ Ø ɛ > 0 ØÓ T (n) = Θ ( n log b a), Ð f (n) = Θ ( n log b a) ØÓ T (n) = Θ ( ) n log b a lg n, Ð f (n) = Ω ( n log b a+ɛ) Ð Ô ÛÒ Ø ɛ > 0 ØÓ T (n) = Θ(f (n)), Û ÖÙÒ Ñ af ( ) n b ÔÓ cf (n) Ø Ð Ô ÛÒ c < 1 Ó Ø Ø ÞÒ Û ÞÝ Ø Ù Ý nº ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
Ð ÓÖÝØÑÝ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý ÛÝ ÓÛ ËØÙ Þ ÓÞÒ ÈÂÏËÌÃ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ Ö
Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û Ø
Ð ÓÖÝØÑÝ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý ÛÝ ÓÛ ËØÙ Þ ÓÞÒ ÈÂÏËÌÃ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÛÝ ÞÙ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓ
Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÛÝ ÞÙ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û Ð ØÓÔ ¾¼¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð Ð ÓÖÝØÑ Û ÒÝ ÒÝ Ð ÓÖÝØÑ ØÙÖÒ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ¾¹ Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð
Ð ÓÖÝØÑÝ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý ÛÝ ÓÛ ËØÙ Þ ÓÞÒ ÈÂÏËÌÃ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÎ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÒÝ ËØÖÙ ØÙÖÝ ÓÛÒ Ð ØÝ ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑ
Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÎ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÒÝ ËØÖÙ ØÙÖÝ ÓÛÒ Ð ØÝ ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð ÓÔ Ö Ò Ð Ø Ð ÓÖÝØÑ Ë ÔÖÞ Ó Þ Ò Ö Ù Ð ÓÖÝØÑ Ë ÔÖÞ
ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Å ÔÓ ÞÙ Û Ò Ø ÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Ò Ð µ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÈÓ ÞÙ Û Ò Ó ÑÓ ÐÙ ÑÓ Þ ÑÝ ÔÓ
ÈÓð Ö Ò ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÔÓÑ ÖÝ ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ó Ø Ð Ø ÖÒ Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÎÁÁ æ ÊÅÁ æ È Å Ä æ Å˹¾ ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó
Ï ØÔ ÈÖÞÝ Ý Ç ÐÒ Û ÒÓ Ó Þ Ò À Ð ¹ÈÓ Ø ÓÒ Ð Ø ÖÑ Ò Ý Ó ÁÒ Ò Ø Ñ ÖÝ ÃÓÔÞÝ Ï Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ Û ØÒ ¾¼¼ ÖÝ ÃÓÔÞÝ À Ð ¹ÈÓ Ø ÓÒ Ð Ø ÖÑ Ò Ý Ó ÁÒ Ò Ø Ñ ½» ¼
Ï Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ Û ØÒ ¾¼¼ ½» ¼ ÔÖÞÝ Ö Þ ÛÝÔ Ø Ö Ò Ö Ò Ó ÞÓÒÝ Ò ØÖ Ø ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò ¹ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò Ò ÛÝÒ ¹ ¹ ¾¼ ÑÝ ¹½ ¹½ ¹¾ ½¼ ¹¾ ¹½ ¹¾ ÓÒ ¹½ ¹ ¾» ¼ ÔÖÞÝ Ö Ô ÖÞÝ ØÓ Ö Ò Ó ÞÓÒÝ Ò ØÖ Ø ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò ¹ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò Ò ÛÝÒ
½ ÏÝ Ï Þ ð Û Ø ÛÓÐÙ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ ÁÒ ØÝØÙØ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ½ ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ¾ Ñ ¾¼½ æ
½ ÏÝ Ï Þ ð Û Ø ÛÓÐÙ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ ÁÒ ØÝØÙØ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ½ ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ¾ Ñ ¾¼½ æ Ôº½»¾ Ï Þ ð Û Ø ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ö Û Ø Ç ÐÒ
ÈÐ Ò ÛÝ Ø Ô Ò ½ ¾ ÃÐ ÝÞÒ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò ÅÓ Ð Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò Ë Ò ÙÖÓÒÓÛ ÏÒ Ó ÓÛ Ò Þ ÐÓ ÖÓÞÑÝØ Ð ÓÖÝØÑÝ ÛÓÐÙÝ Ò ÊÓÞÛ Þ Ò Ý ÖÝ ÓÛ ÝÒ Ñ
Ç Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò Â ÖÓ Û Ö ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÁÒ ØÝØÙØ ËÝ Ø Ñ Û Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ Ï ÌÁ ÈÐ Ò ÛÝ Ø Ô Ò ½ ¾ ÃÐ ÝÞÒ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò ÅÓ Ð Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò Ë Ò ÙÖÓÒÓÛ ÏÒ Ó ÓÛ Ò Þ ÐÓ ÖÓÞÑÝØ Ð ÓÖÝØÑÝ
ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Å ÔÓ ÞÙ Û Ò Ø ÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Ò Ð µ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÈÓ ÞÙ Û Ò Ó ÑÓ ÐÙ ÑÓ Þ ÑÝ ÔÓ
ÈÓð Ö Ò ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÔÓÑ ÖÝ ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ó Ø Ð Ø ÖÒ Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÎÁÁ æ ÊÅÁ æ È Å Ä æ Å˹¾ ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó
ØÖ Ò ÔÓÖØ Û ÖØÓ ÔÖÞ ÛÓ Ò ÐÙ ÔÖÞ ÒÓ Þ Ò Û ÖØÓ Ô Ò ÒÝ ÔÓÞ Ó Ö Ñ Ô Þ ÐÒ ºÓ ÒÓ Ø Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÔÖÞÝ Ø Ó Ó Ö Ð Ò Ð Ñ ØÙ ÔÖÞ ÓÛÝÛ ¹ ÒÝ ÐÙ ØÖ Ò ÔÓÖØÓÛ ÒÝ Û ÖØÓ
ÁÒ ØÖÙ Ó ÔÓ Ö ÓÛ ½ ¹¼ ¹¾¼¼ ½ ÈÓ Ø ÒÓÛ Ò Ó ÐÒ ï½ ÁÒ ØÖÙ Ó Ö Ð Þ Ý Ó ÖÓÒÝ Û ÖØÓ Ô Ò ÒÝ ÔÖÓÛ Þ Ò Ó ÔÓ Ö ÓØ Û Û Ù Ó ÙÑ ÒØÓÛ Ò ÓÔ Ö ÓÛÝ ÈÖÞ Þ Ù ÝØ Û Ò ØÖÙ Ó Ö Ð Ò ÖÓÞÙÑ Ô Þ ÐÒ Ô Þ ÐÒ Ñ Þ Ò ÓÛ È ÓØÖÓÛÓ Þ ÖÞ
Þ Á Ö Ø ØÙÖÝ ÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ À Ö Ö ÔÖÓØÓ Ó Û Ð Ù ØÛ Ò ÔÖÓ Ù ÔÖÓ ØÓÛ Ò Û Ô Þ ÒÝ ÓÑÔÙØ ÖÓ¹ ÛÝ ÔÖÞÝ ØÓ Þ Ó Ò ÓÒ ÔÓ Û Ñ Ö ÔÖÓ Ø ØÖÙ ØÙÖ ÐÓ ÞÒ º Ç Ø Ø ÞÒ Þ Ý ÓÛ ÒÓ ÓÑÔÙØ ÖÓÛ Þ ÞÓÖ Ò ÞÓ¹ ÊÝ ÙÒ ½ Ï Ö ØÛÓÛ ØÖÙ ØÙÖ
ÛÙÛÝÑ ÖÓÛÝ ÔÖ Ò ÂÓ ÒÒ ÀÓÖ ÂÓ ÒÒ ÀÓÖ ÛÙÛÝÑ ÖÓÛÝ ÔÖ Ò
½º Ò ¾º ÈÖÞÝ º Ï ÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Þ ÒÓ Ù Ý Ó ÛÖ ÐÒ ÔÖÞ ÔÐ Ø Ò Ù ÐÒÓ µ º Ê Ó¹ Ð Û ÐÐ Þ º ÈÖ Ò Ð ÓÖÝØÑ Å º ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Û ÐÓÛÝÑ ÖÓÛ Ó ÔÖ Ò Ò Ù Ý Ó Ò ÖÓÛ Ò Þ Û ØÓÖ ÐÓ ÓÛ Ó (, ) Ó ÔÓÛ Ò ÔÖ Ý ( ½, ½ ),( ¾, ¾ ),...
ÈÓÔÖ ÛÒ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÏÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ áö Ò ÓµÞ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û ÏÝ ¾ ¹ Ø Ó ÛÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò ÓµÞ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û ½»
ÏÝ ¾ ¹ Ø Ó ÛÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» ÈÒ ÛÝ Ù ÔÓ Ø ÛÓÛ ÔÓ Û ÔÓÛØ ÖÞ Ò µ Ø Ó ÞÝÞÒ Ó ÞÒ ÔÓÛØ ÖÞ Ò µ Ö Þ Þ Þ Ò ÔÓÛØ ÖÞ Ò µ ÛÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ Ò ØÓÒ ÔÖÓØÓØÝÔ ¾» Ö Ò Ö ¹ Ý Ò Þ Ô ÛÒ Ò ÞÛ Ó ÒÓ Ó Þ Ó ÜØ ÖÒ ÒØ Ü»»
Number of included frames vs threshold effectiveness Threshold of effectiveness
Ò Ð Þ ÒÝ Þ ÒÓÛ Ô Ö ØÙÖÝ Ø Ý Ò È Ó Ø Ë Ý ËÞÝÑÓÒ Å Þ ÞÑ Þ Ñ ÐºÓÑ ØÝÞÒ ¾¼½¾ ËÔ ØÖ ½ Ï ØÔ ½ ¾ ÇÔ Ñ ØÓ Ý ½ ¾º½ Ç Ò Ò Ö ÒÝ ÔÓÑ Ö Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ Ç Ö Ð Ò ØÝÛÒÓ Ð
ÃÓÑÔ Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ÈÓ ÖÞÒ ½º¼ ÏÝ Ò ÖÓÛ ÒÓ ÔÖÞ Þ ÓÜÝ Ò ½º º Ï ÂÙÒ ½½ ¼ ¾¼¼ ËÔ ØÖ ½ ÃÓÑÔ Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ½ ½º½ ÇÔ ÔÖÓ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ð Ñ ÒØÝ
ÈÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ Û ÈÓÛØ ÖÞ Ò áö Ò Óµ Þ Û Ò ÓÛ Ò Èʵ ÏÝ ¹ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò Óµ Þ Û Ò ÓÛ Ò Èʵ ½»
ÏÝ ¹ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» È Ò ÛÝ Ù Ó ÞÑ ÓÓ Ø Ö Ü ÓÓ Ø ÜÔÖ Ú ÓÓ Ø Ô Ö Ø ÈÖÞÝ ÓÛ Þ Ò Ò ÓÓ Û ÙÑ ¾» ÈÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ Û» ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ ÙÒ ÓÒÛ ÖØÙ Þ ³ ÍØÛÓÖÞ Ò Þ Ý Ò ÔÓ Ø Û Ò Ô Ù ÒÙ Ø ÒØ ØÓ ½¾
ÏÝ Ö Ò ÖÙÒ Û ÛÓÐÙ Ö Ò ÓÛ Â ÖÓ Û Ö ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÁÒ ØÝØÙØ ËÝ Ø Ñ Û Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ¹Ñ Ð Ö Ð ºÔÛº ÙºÔÐ Ñ Ò Ö ÙÑ Ù ÁÒØ Ð ÒØÒÝ ËÝ Ø Ñ Û Ï ÔÓÑ Ò ÝÞ ÈÓÐ Ø Ò ÈÓ
ÏÝ Ö Ò ÖÙÒ Û ÛÓÐÙ Ö Ò ÓÛ Â ÖÓ Û Ö ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÁÒ ØÝØÙØ ËÝ Ø Ñ Û Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ¹Ñ Ð Ö Ð ºÔÛº ÙºÔÐ Ñ Ò Ö ÙÑ Ù ÁÒØ Ð ÒØÒÝ ËÝ Ø Ñ Û Ï ÔÓÑ Ò ÝÞ ÈÓÐ Ø Ò ÈÓÞÒ ¾ º½½º¾¼½¼ ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ ½ ¾ Ð ÓÖÝØÑ ÛÓÐÙÝ ÒÝ Ó ÖÓÞ
ÁÒ ØÝØÙØ ÈÓ Ø Û ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù Ì ÑÔÓÖ ÐÒ Ô ØÝ ÔÐÓÖ ÒÝ Ñ ØÓ Ý Þ ÓÖ Û ÔÖÞÝ Ð ÓÒÝ ÊÇ ÈÊ Ï ÇÃÌÇÊËà ÙØÓÖ Ñ Ö È ÓØÖ ËÝÒ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÈÖÓ º Ö º Ò º Ò ÖÞ Ë ÓÛÖÓÒ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ Öº ËÔ ØÖ ½ Ï ØÔ ½º½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò º º
Ð Ö Û Ø Ý Ò Û Ö ÞÓ Ò Û Ð Ñ ØÓÔÒ Ù ÔÓ Ð ÓÖ Û Ñ Ø Ö Â Ò Ð Ø Ó ÛÝ ÖÝ Ø Ø ØÖÙ Ò µ Ð Ö Û Ø Ý Ò Ï ÒÓð Ð Ö Û Ø Ý Ò Þ ÓÛÙ ÔÓ Ó Ò Ð Ð ØÖÓÑ Ò ØÝÞÒ ÔÓÖÙ Þ Þ Ø Ñ
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÎ ÈÓ ÞÙ Û Ò Ð Ö Û Ø Ý ÒÝ Ï½ ¼ ½ ÓÐ Ò ÔÖÞÝÔ È Ö Ô ØÝÛÝ ðò Ð Ö Û Ø Ý Ò Û Ö ÞÓ Ò Û Ð Ñ ØÓÔÒ Ù ÔÓ Ð ÓÖ Û Ñ Ø Ö Â Ò Ð Ø Ó ÛÝ ÖÝ Ø Ø ØÖÙ Ò µ Ð Ö Û
ËÞ ÐÓÒÝ ¹ ÔÓÛØ ÖÞ Ò ÈÖÓ Ð ÑÝ ÔÖÞÝ ØÓ ÓÛ Ò Ù Þ ÐÓÒ Û áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¼ ¹ Þ ÐÓÒÝ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û È
áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¼ ¹ Þ ÓÒÝ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» ÃÓ ÓÖÝØÑÝ ÈÓ Ò Þ Ò Ó ØÝÔÙ Ó ÒÔº Øݵ ÓÖÝØÑÝ ÒÔº ÞÒ ÓÛ Ò Ò Û Þ Ó Ñ ÒØÙµ Å Ò ÞÑÝ Ñ ÒÙ Ö ÙÒ Ò Ó Ùº Û Ô Ò ÞÓÛ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Þ ÓÒ Û ¾» à ÞÓÛ ÒÙ
Þ Á Í Ù ÞÓÖ ÒØÓÛ Ò ÔÓ Þ Ò ÓÛÓ Ù Ù ÞÔÓ Þ Ò ÓÛ Ï Ö ØÛÝ ÑÓ Ó ÖÓÛ Û Ö ØÛÓÑ Ð ÝÑ Ó Ò ÔÓÞ ÓÑ ÛÝ Ù Ù ÞÔÓ Þ Ò ÓÛ Ù Ù ÛÝÑ ÔÓ Þ Ò º Ï Ù Ù ÓÛÝ ÞÓÖ ÒØÓÛ ÒÝ ÔÓ Þ Ò ÓÛÓ Ù ÝØ ÓÛÒ Ù Ù Ò Ô ÖÛ Ù Ø Ð ÔÓ Þ Ò ÔÓØ Ñ ÔÓ Þ Ò
Þ ÑÒ ÑÒ Ñ Ø Ö Ö Å ØØ Ö ¹ ŵ ÓÐ À Å Ñ Å Þ Å Ñ Å Å Å ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø Ç Ò ÔÓÛ Þ Ò ÙÞÒ ÒÝÑ ÑÓ Ð Ñ ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø Ø ØÞÛº ÑÓ Ð Åº ÓÒ Ï Þ ð Û Ø ÛÝÔ Ò ãþûý ä Ñ
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÎ ÑÒ Ñ Ø Ö Û Ï Þ ð Û È ÖÛÓØÒ ÆÙ Ð Ó ÝÒØ Þ ÊÓØ Ð ØÝ ÓÖÑÓÛ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ç Ð ÙÔ ÖÒÓÛ ÖÓÑ ÈÓ ÙÐÐ Ø ÐÙ Ø Öµ Þ ÑÒ ÑÒ Ñ Ø Ö Ö Å ØØ Ö ¹ ŵ ÓÐ À Å Ñ Å Þ
ÈÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ï Ð Ô ØÑÓ ÖÝÞÒ º º ÖÒ ÏÝ ½
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØ Í Ê ÈÖÓ Ø Â Å¹ ÍËÇ Ê ÓÛ Ø Ô Û ØÑÓ ÖÝÞÒÝ ÈÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ï Ð Ô ØÑÓ ÖÝÞÒ º º ÖÒ ÏÝ ½ ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Þ Ö Ò ÓÛ ÔÖÞ Þ Ð ØÖÓÒÝ Û Ö Þ Ò Ù ÔÖÓ
ØÓ ÔÖ Ù Ð ØÖÝÞÒ Ó ÈÖ Ó ÙÒÓ Þ Ò Ó Ò ÓÖ ØÓ ÔÖ Ù Ø Û ØÓÖ Ñ Ø Ö Ó ÖÙÒ ÛÝÞÒ Þ ØÝÞÒ Ó ØÓÖÙ ÔÓÖÙ Þ Ó ÙÒ Ù Ó ØÒ Óº ÛÖÓØ Û ØÓÖ Ó Ö Ð ÙÑÓÛÒ Ó ÖÙÒ ÖÙ Ù ÙÒ Ù Ó ØÒ
ÈÖ Ð ØÖÝÞÒÝ ÈÓÐ Ñ Ò ØÝÞÒ ½¼»½ Ò ÖÞ Ã Ô ÒÓÛ ØØÔ»»Ù Ö ºÙ º ÙºÔл Ù Ô ÒÓ» ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Â ÐÐÓ ÃÖ Û ¾¼½ ÈÖ Ð ØÖÝÞÒÝ Ø ØÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝ ÖÙ ÙÒ Û Ð ØÖÝÞÒÝ º ÊÙ ÙÒ Û ÑÓ Ñ Ñ Û ÔÖÞ ÛÓ Ò Û Ô ÛÒÝ Û ÖÙÒ Ö ÛÒ
Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ¾ Ñ Ö ¾¼½ Ï Þ ð Û Ø µæ Ôº¾»
ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØÝ Ï Ô Þ Ò Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ¾ Ñ Ö ¾¼½ æ Ôº½» Ï Þ ð Û Ø Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ
Þ ÈÖ ÛÓ ÀÙ Ð ÈÖÞ ÙÒ Ù Þ ÖÛ Ò Â ð Ð ðþö Ó ð Û Ø Ó Ð Ó Ä Ò Û Ð Û Û Ñ Û Þ Ö ÈÃË ½¾ ¾ ¼ ½ Ó ÖÛ ØÓÖ Ò Ø ÔÙ ÛÝ Ù Þ Ò Ð ½ ½ ¼ ½ Þµ ÔÖÞ ÙÒ Ù Þ ÖÛ Ò Ò º ãö Øäµ
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÁÁ Ï Ð ÏÝ Ù ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ÈÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ø ÈÓÑ ÖÝ Ù ØÙ Å Þ ÈÖ ÛÓ ÀÙ Ð ÈÖÞ ÙÒ Ù Þ ÖÛ Ò Â ð Ð ðþö Ó ð Û Ø Ó Ð Ó Ä Ò Û Ð Û Û Ñ Û Þ Ö ÈÃË ½¾ ¾ ¼ ½
ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØÝ Ï Ô Þ Ò Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ¾ Ñ Ö ¾
ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØÝ Ï Ô Þ Ò Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ¾ Ñ Ö ¾¼½ æ Ôº½» Ï Þ ð Û Ø Þ ð ãû Þ ÑÝä Ó Þ ÝÛ Ò Þ Ø Â Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ¾ Ñ
System ALVINN. 30 Output. Units. 4 Hidden. Units. 30x32 Sensor Input Retina. Straight Ahead. Sharp Right. Sharp Left
ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ½ System ALVINN ÄÎÁÆÆ ÔÖÓÛ Þ ÑÓ ÔÓ ÙØÓ ØÖ Þ Þ ÞÝ Ó ¼ Ñ Ð Ò Ó Þ Ò Sharp Left Straight Ahead Sharp Right 30 Output Units 4 Hidden Units 30x32 Sensor Input Retina ¾ www.wisewire.com,
ÈÖ ÔÖÞ Ð Ñ Ó Ó ÒÝ Ø ÈÓ Ô ÙØÓÖ ÔÖ Ý ÈÖ Ø ÓØÓÛ Ó Ó ÒÝ ÔÖÞ Þ Ö ÒÞ ÒØ Ø ÈÓ Ô ÖÙ Ó ÔÖ
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Ð Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò È Û Ð Å Ð ÒÞÙ ÆÖ Ð ÙÑÙ ½ ½ Ò Ð Þ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ò ÛÝ ÞÝ ÓÛ ÙÒ Ý ÒÝ ÈÖ Ñ Ø Ö Ò ÖÙÒ Ù ÁÆ ÇÊÅ Ì Ã ÈÖ ÛÝ ÓÒ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ Ö Ð Ó Ë Ù ÖØ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Ð ÄÓ ËØÓ
Þ ð ãû Þ ÑÝä Ó Þ ÝÛ Ò Þ Ø Â Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ½ Ð ØÓÔ ¾¼½ Ï Þ ð Û Ø µæ Ôº¾»
Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÙÑ Ò Ø Û Ð ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ½ Ð ØÓÔ ¾¼½ æ Ôº½» Ï Þ ð Û Ø Þ ð ãû Þ ÑÝä Ó Þ ÝÛ
pomiary teoria #pomiarow N
ÞÝ Á Å Ò ÔÖÓ º Ö º Ð Ò Ö Ð Ô ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ Á Ã Ò Ñ ØÝ ÈÓÑ ÖÝ ÞÝÞÒ Ù ÒÓ Ø ËÁ Ý ÔÓÑ ÖÓÛ Ã Ò Ñ ØÝ ÔÓ ÔÓ Ø ÛÓÛ µ ÔÙÒ Ø Ñ Ø Ö ÐÒÝ Ù Ó Ò Ò Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ µ ØÓÖ ÔÖ Óð ð ÔÖÞÝ Ô Þ Ò ÊÙ ÒÓ Ø ÒÝ
Strategie heurystyczne
ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ø Ò Û Ð ÓÖÝØÑÝ ÈÖÞ ÞÙ Û Ò ÙÖÝ ØÝÞÒ ½ ÙÖÝ ØÝÞÒ ÓÖÞÝ Ø Þ Ó Ø ÓÛ ÙÖÝ ØÝÞÒ ÙÒ Ó ÒÝ ËØÖ Ø ÒÔº Þ Ù Ó ÞØ ÖÓÞÛ Þ Ò Ó Ó Ø ÒÙ Ó ÐÙµ Ø ÒÙ Strategie heurystyczne ÈÖÞ ÞÙ Û Ò Ô
Reguly. Wind = Weak Temp > 20 Outlook Rain PlayTennis = Y es
ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ½ Ï ÖÙÒ Ð ØÓÖ Û Ý Ð ØÓÖ Ö ÔÖ Þ ÒØÙ Ø Ø Û ÖØÓ ÃÓÒ ÙÒ ØÖÝ ÙØÙ Û ÖÙÒ Ó ÔÓÛ Ó ØÓÑ Ô Ò ÝÑ ÔÓ ÝÒÞ Ó Ð ØÓÖÝ Û ÞÝ Ø ÝÞ Ö Ù ÞÛ Þ Ò Ø Þ Ò ÝÞ Ã Reguly ÔÖÞÝÔ ÝÛ Ò Ó ØÓÑ Ô Ò ÝÑ Û ÖÙÒ Ö Ù
LVI Olimpiada Fizyczna zawody III stopnia
LV Olimpiada Fizyczna zawody stopnia Zadanie 1 Piłka uderza w poziomą podłogę pod kątem α z prędkością v 0. Współczynnik tarcia piłki o podłogę jest równy µ. W jakiej odległości od miejsca pierwszego uderzenia
ÃÓÒØ Ò ÖÝ Þ ÓÓ Ø ÓÓ Ø Ö Ô Ä Ö ÖÝ ÈÓÛØ ÖÞ Ò áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¾ ¹ ÓÒØ Ò ÖÝ Þ ÓÓ Ø ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û È
áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¾ ¹ ÓÒØ Ò ÖÝ Þ ÓÓ Ø ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» ½ ËÌÄ ¹ Ø Ò Ö ÓÛ Ð ÓØ Þ ÐÓÒ Û ÓÒØ Ò ÖÝ Ø Ö ØÓÖÝ Ð ÓÖÝØÑÝ ÙÒ ØÓÖÝ Ó º ÙÒ Ý Ò µ ÔØ ÖÝ ÌÛÓÖÞ Ò ÙÒ ØÓÖ Û ÖÞÒ Ò ÔÓ Ø Û ØÒ Ý ÙÒ Ñ
Fizyka I (mechanika), rok akad. 2012/2013 Zadania kolokwialne 1
ÞÝ Á ¾¼½¾»¾¼½ µ ÃÓÐÓ Û ÙÑ ½ º½½º¾¼½¾ Ò Ö ÙÒ ÓÛ ÖÙÔ ÍÛ Ã Þ Ò ÖÓÞÛ ÞÙ ÑÝ Ò Ó Ó Ò ÖØ º ÈÖ ÔÓÛ ÒÒÝ Ý ÞÝØ ÐÒ ÓÐ Ò ÖÓ ÓÔ ØÖÞÓÒ Ø Ñ ÓÑ ÒØ ÖÞ Ñ Ý ØÓ ÖÓÞÙÑÓÛ Ò Ý ÒÝ Ð ÔÖ Û Þ Óº ÊÓÞÛ ÞÙ Þ Ò ÛÝÔÖÓÛ õ ÛÞ Ö Ó ÓÛÝ ÔÖ
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò ËÔ Ý Û õò ÓÛÝ ØÖÙ ØÙÖ ÒÝ ÈÖ Ó ØÓÖ µ Å Ö Ò ÃÙ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö º Â Ò Å Ý ½ ØÝÞÒ ¾¼¼¼
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò ËÔ Ý Û õò ÓÛÝ ØÖÙ ØÙÖ ÒÝ ÈÖ Ó ØÓÖ µ Å Ö Ò ÃÙ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö º Â Ò Å Ý ½ ØÝÞÒ ¾¼¼¼ ËÔ ØÖ ½ Ï ØÔ ½º½ Ì Þ ÔÖ Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ËÔ ØÖ ½ Ð Þ Ö ÔÖ Ý ¾ ËÝ Ø ÑÝ ÔÐ Û Ý Ø ÑÝ ÓÔ Ö Ý Ò ¾º½ ÊÓÐ Ý Ø Ñ Û ÔÐ Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ê ÒÓÖÓ ÒÓ Ý Ø Ñ Û ÔÐ Û º º º º
ÊÓÞÛ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ý Ø Ñ Û ÔÐ Û ÈÓÐ Ø Ò áð ÙØÓÖ Ò ÖÞ Ö ÞÓÛ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö º Ò º Ò ÖÞ ÖÞÝÛ ÃÓÒ ÙÐØ ÒØ Ñ Ö Ò º È ÓØÖ Ã ÔÖÞÝ Ð ØÓÔ ¾¼¼½ ÖÓ Ù ËÔ ØÖ ½ Ð Þ Ö ÔÖ Ý ¾ ËÝ Ø ÑÝ ÔÐ Û Ý Ø ÑÝ ÓÔ Ö Ý Ò ¾º½ ÊÓÐ Ý Ø Ñ Û
Sieci neuronowe: pomysl
ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ½ ØÓ Þ ÞÙÑ ÓÒ Ó õ ØÖ ÒÙ ÔÓÞ ÓÑ ÔÓØ Ò Ù Ð ØÖÝÞÒ Ó ËÝ Ò Ý ÓÑ Ö Sieci neuronowe: pomysl Æ Ð ÓÛ Ò Ñ Þ Ù Þ Ó Ó ÓÑ Ö Ò ÙÖÓÒÓÛÝ Axonal arborization Synapse Axon from another cell Dendrite
ÈÖ ÔÖÞ Ñ Ó Ó ÒÝ Ø ÈÓ Ô ÙØÓÖ ÔÖ Ý ÈÖ Ø ÓØÓÛ Ó Ó ÒÝ ÔÖÞ Þ Ö ÒÞ ÒØ Ø ÈÓ Ô ÖÙ Ó ÔÖ
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò Ñ Ã ÙÒ ÆÖ ÙÑÙ ½ ½ Ê ØÓÖÝÞ ÔÖÓ Ö Ñ Û Û ÞÝ Ù Â Ú ÈÖ Ñ Ø Ö Ò ÖÙÒ Ù ÁÆ ÇÊÅ Ì Ã ÈÖ ÛÝ ÓÒ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ Ö Â Ò ÒÝ Å Ò Ö Þ Û Þ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Ä Ô ¾¼¼½ ÈÖ ÔÖÞ Ñ
ËÔ ØÖ ½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò ½º½ Ù ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÈÖÓ Ö Ñ ÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ï ØÔ Ó Ó Ù ÓÑÔÙØ Ö Û ÊÓ ÖØ ÆÓÛ Å Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ Ó Ï Ö ÞØ Ø Û ÁÒ ÓÖÑ ØÝÞÒÝ Û Ö Ñ Å Ó Þ ÓÛ Ñ ÍÑ ØÒÓ ÖÙÔ ½ ¹¾ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ ËÔ ØÖ ½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò ½º½ Ù ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÃÓ Ý ÀÙ Ñ Ð ÓÖÝØÑÝ Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÝ Þ Ò º º Ð ÓÖÝØÑ Ñ ¹Ñ Ü ÖÝ ØÝÔÙ ÛÝ Ö»ÔÖÞ Ö ÖÞ Û Æ ¹ÇÊ ÏÝ ÞÙ Û ÛÞÓÖ Û Ð ÓÖÝØÑ ÃÒÙØ ¹ÅÓÖÖ ¹ÈÖ ØØ ÈÖÞ ÞÙ Û Ö Û ÈÖÓ ÙÖÝ Ù Ó
Ï ØÔ Ó ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Å ØÓ Ý ÔÖÓ Ö ÑÓÛ ÔÓØÓ ÙÒ Ýݵ Å Ö ÃÙ ¾¼¼»¾¼½¼ ËÔ ØÖ Ï ØÔ ÈÓ Ø ÛÝ ÞÝ ÔÖÓ Ö ÑÓÛ ½ ÓÑÔÓÞÝ ÔÖÓ Ð ÑÙ Û ÖÝ ÖÓÞÛ Þ ¾ ËØÖÙ ØÙÖÝ Ý Ù ÓÛ ØÖ Þ ÔÓÑÓ Ý ÈÖÓ ÙÖÝ ÛÝ ÞÝ ÖÞ Û Ó ØÖ ÓÒ ØÖÙ ÔÖÓ Ö Ñ ØÝÞÒÝ ÅÓ
Ñ ÒÒ Û È ÖÐÙ Ñ ÒÒ ÌÝÔ Ò ÈÖÞÝ Ò Þ Ò Ë Ð Ö Ð ÈÓ ÝÒÞ Û ÖØÓ Ð Þ ÐÙ Ò Ô µ Ì Ð Ø Ð Ä Ø Û ÖØÓ Ò ÓÛ Ò Ð Þ Ñ À Þ ± ±Þ ÓÖ ÖÙÔ Û ÖØÓ Ò ÓÛ Ò Ò Ô Ñ ÈÖÓ ÙÖ ² ²ÞÖÓ Ö
È ÊÄ ¹ ÞÝ Ó Ô Ò È ÖÐ ØÓ Ö Ò Ø ÙÑ Þݺ Ð ØÝ Ø ÖÞÝ Ó Þ Ð Û ÐÙ È ÖÐ Ø ÈÖ ØÝÞÒÝÑ ÂÞÝ Ñ Ó ÏÝ Û Ê ÔÓÖØ Û Ò º ÈÖ Ø Ð ÜØÖ Ø ÓÒ Ò Ê ÔÓÖØ Ä Ò Ù µº Â Ò Ð ÔÖ Û Þ ÛÝ Ñ Ó Ò Û È ÖÐ ØÓ È ØÓÐÓ ÞÒ Ð ØÝÞÒ ÊÓ Ø Ä Ò Û ØÝÞÒ
e 2 = 8, 3 e 1 = 5, 1, e 2 = i 3 + i
ÆÓØ Ø Ó Û Þ Þ Ò Ð ÞÝ Ð Öݺ Ä Ê Ò ½ ÞÝ Û ØÓÖ v ÑÓ Ò ÔÖÞ Ø Û Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ Û ØÓÖ Û e e 2 Þ i) v = 2, 4 e = 5, 7 e 2 = 8, 3 6 9 ÓÖ Þ ii) v = 2 3, e = Ç ÔÓÛ õ i) Ø v = 2e e 2 ii) Ò º, e 2 =, Ò ¾ ÞÝ Û ØÓÖÝ
ÉÙ ÕÙ ÔÖÙ ÒØ Ö Ø Ö Ô Ò Ñ ÇÛ Ù Þ ½ ½ Ó ÓÐÛ ÖÓ Þ Ö ÖÓÞØÖÓÔÒ Ô ØÖÞ Ó
ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Ð ØÖÓÒ Ì Ò ÁÒ ÓÖÑ Ý ÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÙØÓÑ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ËØÓ ÓÛ Ò È ÓØÖ Ë ÓÛ Þ ÒÙÑ Ö Ð ÙÑÙ ½ ¾ ¼ ÈÖ ÝÔÐÓÑÓÛ Ò ÝÒ Ö ÙØÓÑ ØÝÞÒ Ð Ö Ý Ø ÑÙ ÖÓ Óع Ñ Ö ÇÔ ÙÒ ÔÖ Ý ÔÖÓ º ÒÞÛº Ö º Ò º Þ ÖÝ Ð Ï Ö
1. Waciki do czyszczenia optyki 2. Isopropanol 3. SLED 4. Laser diodowy 1550nm 5. Mikroskop 6. Urządzenie do czyszczenia końcówek światłowodów
ÁÁ ÈÖ ÓÛÒ ÞÝÞÒ Á Í Ǿ ½ Ǿ ¹ ÇÔØÝÞÒÝ ÛÞÑ Ò Þ Û Ø ÓÛÓ ÓÛÝ Ð Û Þ Ò Û Þ Ò Ø Ô ÖÝÑ ÒØ Ñ Þ Þ Þ ÒÝ ÓØÓÒ ÞÝ Ð Ö Û ÓØÝÞÝ Þ Ò ÓÖ Þ Û ÒÓ¹ Û ÒÓÛÝ Û Ø ÓÛÓ ÓÛÝ µ õö Û Ø º ÈÓ Ø ÛÓÛÝÑ Ð Ñ ÒØ Ñ Ù Ù Ó Û ¹ Þ ÐÒ Ó Ø Û ÒÓ»
ÈÖÓÑ Ò ÓØÛ ÖÞÓð ð ÔÖÞ Þ Àº ÕÙ Ö Ð Û ÖÓ Ù ½ º Ç ÖÝØ Æ ÙØÖ Ò ÙÖ ÒÙ Ñ ØÓÛ Ý ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ø Ö Þ ÑÒ Ó Ô ÝØ ÓØÓ Ö ÞÒ º ËÓÐ ¹ Ò ÖÓ ÆÓ Ð ÛÖ Þ Þ ÅºË Ó ÓÛ Èº ÙÖ
ð Ö Ò ÙØÖ Ò Æ ÙØÖ Ò ÔÖÓ º Ö º Ð Ò Ö Ð Ô ÖÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÏÝ ½¾ Æ ÙØÖ Ò Û ÒÓð ÈÓÑ ÖÝ Ò ÙØÖ Ò Ç ÝÐ Ò ÙØÖ Ò ÈÖÓÑ Ò ÓØÛ ÖÞÓð ð ÔÖÞ Þ Àº ÕÙ Ö Ð Û ÖÓ Ù ½ º Ç ÖÝØ Æ ÙØÖ Ò ÙÖ ÒÙ Ñ ØÓÛ Ý ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò
ð Ö ½¼¼ Å Î ¹ Ì Î ½¼ ½ ØÑÓ ÖÝÞÒ Ñ ¾ Ð Ö ØÓÖÓÛ ÖÞ Ù Î ½¼ ¾¼ Æ ÙØÖ Ò ÌÝÔ Ô Ò Ö ËØÖÙÑ ðò ½ Å Î ½¼ ½¼ ½ Ë ÓÒ ÞÒ Ñ ¾ Ò Ñ µ ÔÓÛÝ Þ ½¼ Šε ÖÞ Ù Å Î ½¼ ½ Ê Ø
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÁ ØÖÓÒÓÑ Ò ÙØÖ Ò µ Ô ÖÝÑ ÒØ Á Ù ÛÓÐÙ Û Þ ð Ö ½¼¼ Å Î ¹ Ì Î ½¼ ½ ØÑÓ ÖÝÞÒ Ñ ¾ Ð Ö ØÓÖÓÛ ÖÞ Ù Î ½¼ ¾¼ Æ ÙØÖ Ò ÌÝÔ Ô Ò Ö ËØÖÙÑ ðò ½ Å Î ½¼ ½¼ ½
Agnieszka Pr egowska
Á Ò Ø Ý Ø Ù Ø È Ó Ø Û Ó Û Ý È Ö Ó Ð Ñ Û Ì Ò È Ó Ð Ñ Æ Ù Agnieszka Pręgowska È ØÝÛÒ Ø ÖÓÛ Ò Ù Ñ Ñ Ò ÞÒÝÑ Ö ÝÑ ÖØÒ ÖÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÓÑÓØÓÖ Ö º Ò º ÌÓÑ Þ ËÞÓÐ ÔÖÓ º ÁÈÈÌ Ï Ö Þ Û ¾¼½ ËÔ ØÖ ½º Ï ØÔ ½ ¾º Ð Ø
ÈÓÞÝØÝÛÒ ÔÖÝÑÓÛ Ò Ñ ÒØÝÞÒ Ó Ò ÖÞ Þ ÓÔØÝÑ Ð Þ ÙØÓÑ ØÝÞÒÝ Ý Ø Ñ Û ÙØÓÖÝÞ Ù ÝØ ÓÛÒ Ê ÈÇÊÌ Ö Å Ö Ù Þ ÍÖ ÄÓ ÃÓ Ò ØÝÛ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ È Ý ÓÐÓ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº º Å
ÈÓÞÝØÝÛÒ ÔÖÝÑÓÛ Ò Ñ ÒØÝÞÒ Ó Ò ÖÞ Þ ÓÔØÝÑ Ð Þ ÙØÓÑ ØÝÞÒÝ Ý Ø Ñ Û ÙØÓÖÝÞ Ù ÝØ ÓÛÒ Ê ÈÇÊÌ Ö Å Ö Ù Þ ÍÖ ÄÓ ÃÓ Ò ØÝÛ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ È Ý ÓÐÓ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº º Å Û Þ Å Ö È Û ÙÔ ÓÛ ÄÓ ÃÓ Ò ØÝÛ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ È Ý ÓÐÓ
A(T)= A(0)=D(0)+E(0).
2 ÅÓ Ð ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ ÈÓ ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ ÓÔ ÖØ Ø Ò ÔÖ Ù ÓÛÝ ÑÓ ÐÙ ÛÝ Ò Ó Þ ÖÞ Ò Ò ÖÙØÛ Û ÔÓÛ Þ Ò Ù Þ Þ Û Ñ Þ Ó Þ ÝÑ Û Ó Ö ÖÓÞ¹ Û Ò ÖÑݺ Å Û Ò ÔÖÓ ÖÝÞÝ Ó Ö Ø ÖÞ Ö ÝØÓÛÝÑ ÛÝÒ Þ Ö Ù ÓØ Û Ò Ö ÙÐÓÛ Ò ÞÓ ÓÛ Þ º ÙÒ ÓÒÓÛ
ÊÇ ÆÁÃ ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÙÞ ÅÍ Ã Â ÃÇ Æ Ê Á ÃË Ì ÌÇÏ ÆÁ Å áä ÆÁ Å Ì Å Ì Æ Ç Ï ÍÃ ÂÁ Á Ã Ï Û ØÐ Û Ô Þ ÒÝ ÓÒ Ô Ô Ó ÞÒÝ ÛÝ ÓÛ Ò Ø ØÝÞÒ Ñ Ò ÐÙ Û Þ
ÊÇ ÆÁÃ ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÙÞ ÅÍ Ã Â ÃÇ Æ Ê Á ÃË Ì ÌÇÏ ÆÁ Å áä ÆÁ Å Ì Å Ì Æ Ç Ï ÍÃ ÂÁ Á Ã Ï Û ØÐ Û Ô Þ ÒÝ ÓÒ Ô Ô Ó ÞÒÝ ÛÝ ÓÛ Ò Ø ØÝÞÒ Ñ Ò ÐÙ Û Þ ØÖÓÒÒ ÓÖÑÓÛ Ò Ó Ó ÓÛÓ Þ ÓÛ º Â Ó ÒØ Ö ÐÒ Þ Ø ÛÝ ÓÛ
Ö Þ Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Â Ò ÃÖ Þ Û ÏÖÓ Û ¾¼¼ ½
Ö Þ Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Â Ò ÃÖ Þ Û ÏÖÓ Û ¾¼¼ ½ ËÔ ØÖ ÈÖÞ ÑÓÛ ½ Ò ½ ¾ Ï Þ Û Ó Þ ½ Ç ÔÓÛ Þ Ó Þ ¾½ Ð Ó Ö ¼ ¾ ÈÖÞ ÑÓÛ Ï Þ ÓÖ Þ Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Þ Ò Þ ÞÛÝÞ Ø ÔÓ ÖÙÔÓÛ Ò Ý ÓØÝÞÝ Ý ÔÓ Þ ÔÓ ÞÞ ÐÒÝ Þ Û ÓÑ Û ÒÝ
¾ Å ÑÞ ÈÖ Þ Ó ÓÒÓ Û Ý Ø Ñ Ä Ì º
Ç ÖÛ ØÓÖ ÙÑ ØÖÓÒÓÑ ÞÒ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº Ñ Å Û Þ Û ÈÓÞÒ Ò Ù ÇÔØÝÑ Ð Þ Ñ ØÓ Ö Ù Ó ÖÛ ÓØÓÑ ØÖÝÞÒÝ ÈÖ Ñ Ø Ö Å ÑÞ Ã ÖÓÛÒ ÔÖ Ý ÔÖÓ º Ö º Ì Ù Þ Å ÓÛ ÇÔ ÙÒ ÔÖ Ý Ö ÌÓÑ Þ ÃÛ Ø ÓÛ ÈÓÞÒ ½ ¾ Å ÑÞ ÈÖ Þ Ó ÓÒÓ Û Ý Ø Ñ Ä
Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼¾ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º Â ÞÙ ÞÛÝ Ý ÂÓ ÒÒ Ö ØÓÔ ÐÙÑ Ö
Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼¾ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º  ÞÙ ÞÛÝ Ý ÂÓ ÒÒ Ö ØÓÔ ÐÙÑ Ö Ø Ô ÓÒ Ö Û Ð Ù ÓÛ ÔÖ ÙÖ ÓÖ ÔÓ Ù ÙÛ ÐÒ Ò ½ º¼ º½ ¼
ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ ½ ¾ Ò ÔÖÞÝ Þ µº ÇÔ Ó ÔÐÙ Û Ò Û ÔÐ Ó ØÓÛ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò Ó Ó ÔÐÙ Û Ò Ø Ï Ê µº Æ ÖÞ Þ Ó ÛÝ ÖÝÛ Ò ÛÝ Û Ô Ñ Û ÔÖÓ Ö Ñ Ó ÔÖÓ ÐÓÛ Ò Ó Ùº ÝÑÓÓÔ ÍÅĺ
È ÓØÖ ÙÞ Å Ð Ò Ù Ð Ñ Å Û ØÝÞ ¾¼¼ ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ ½ ¾ Ò ÔÖÞÝ Þ µº ÇÔ Ó ÔÐÙ Û Ò Û ÔÐ Ó ØÓÛ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò Ó Ó ÔÐÙ Û Ò Ø Ï Ê µº Æ ÖÞ Þ Ó ÛÝ ÖÝÛ Ò ÛÝ Û Ô Ñ Û ÔÖÓ Ö Ñ Ó ÔÖÓ ÐÓÛ Ò Ó Ùº ÝÑÓÓÔ ÍÅĺ Ã Ï Ò µº ÈÓ Ø ÛÝ
ρ h (x 0 ) = M h h 3 ρ(x 0 ) = lim ρ h (x 0 )
ÏÝ ½ ÈÓ Ø ÛÓÛ ÔÓ Ñ Ò Ó ÖÓ Ó ËÔ ØÖ ½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ø ÓÖ Ó ÖÓ Ó ½ ½º½ ÍÛ Ó ÔÓØ Þ Ó ÖÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ÈÓ ÖÙ Ù Û Ó ÖÓ Ù ÝÑ ¾ ¾º½ ÇÔ ÖÙ Ù Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ Û ÞÑ ÒÒÝ ÙÐ Ö º
ÈÓ Þ ÓÛ Ò Æ Ò Þ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÛ Ø Ý Ò ÔÓ Ø Û ÒÓØ Ø Ó ÔÖÓÛ ÞÓÒÝ ÔÖÞ Þ ÑÒ Ò ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ð Ù Ð Ø ÛÝ Û Þ Ø ÓÖ ÞÝ Û ÙØÓÑ Ø Û ÓÖ Þ Ù ÓÛÝ ÓÑÔ Ð ØÓÖ Ûº ÝÑ ÓÖ Ó ÔÓ Þ
ÂÞÝ ÓÖÑ ÐÒ ÙØÓÑ ØÝ Â Å Ö Ò ÃÙ ¹Ñ Ð Ù Ñ ÑÙÛº ÙºÔÐ ¾¼¼ Æ Ò Þ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÛ ÒÒÝ Ý Ô ÖÛ ÞÝÑ õö Ñ Ò ÓÖÑ ÓØÝÞ Ý ÔÖÞ ¹ Ñ ÓØÙ ÂÞÝ ÓÖÑ ÐÒ ÙØÓÑ ØÝ Â µº ÞÝØ ÐÒ ÓÑ Ø ÖÞÝ ÓÔÖ Þ Ð ØÙÖÝ ØÝ ÒÓØ ¹ Ø Ð Ý Ò Ó ÔÓ ÖÞÒ ÔÓÐ Ñ
Ã Ø ÖÞÝÒ Â ÑÖÓÞ ÊÇ ÆÁà ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÏÈÁË ÆÁ Ï ÃÊ ÂÇ Ê Æ ÍÃÇÏ Á ÄÇÆÇ ÊËÃÁ ËÌÍ Á Á ÄÁÇÌ ÃÇ Æ Ï À ØÓÖ ÏÓ Û Þ Å Ð ÓØ ÈÙ Ð ÞÒ Ï Å Èµ Ѻ ݹ ÔÖ Ò Æ
Ã Ø ÖÞÝÒ Â ÑÖÓÞ ÊÇ ÆÁà ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÏÈÁË ÆÁ Ï ÃÊ ÂÇ Ê Æ ÍÃÇÏ Á ÄÇÆÇ ÊËÃÁ ËÌÍ Á Á ÄÁÇÌ ÃÇ Æ Ï À ØÓÖ ÏÓ Û Þ Å Ð ÓØ ÈÙ Ð ÞÒ Ï Å Èµ Ѻ ݹ ÔÖ Ò ÆÓÖÛ Û ÐÓÒ ÖÞ ½ Öº Ý Û Ñ ÓØÛ ÖØÓ Ô ÖÛ Þ ÔÙ Ð ÞÒ ÛÝÔÓ
Survival Probability /E. (km/mev)
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÁ ØÖÓÒÓÑ Ò ÙØÖ Ò µ Ô ÖÝÑ ÒØ Á Ù ÛÓÐÙ Û Þ ð Ö ½¼¼ Å Î ¹ Ì Î ½¼ ½ ØÑÓ ÖÝÞÒ Ñ ¾ Ð Ö ØÓÖÓÛ ÖÞ Ù Î ½¼ ¾¼ Æ ÙØÖ Ò ÌÝÔ Ô Ò Ö ËØÖÙÑ ðò ½ Å Î ½¼ ½¼ ½
arxiv: v1 [hep-th] 13 Dec 2007
![arxiv: v1 [hep-th] 13 Dec 2007](/thumbs/102/154154138.jpg "arxiv: v1 [hep-th] 13 Dec 2007")
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ ÞÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Ì ÓÖ ØÝÞÒ Ô ÓØÖ Ù ÓÛ arxiv:0712.2173v1 [hep-th] 13 Dec 2007 Ð ¹Ý Ù ÖÝ Ø Ð Ò ØÓÔÓÐÓ Ð ØÖ Ò Ø ÓÖÝ ÖÝ ÞØ Ý Ð ¹Ý Ù Û ØÓÔÓÐÓ ÞÒ Ø ÓÖ ØÖÙÒ ÖÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ º
ÈÖÓ Ö ÑÓÛ Ò ÔÐ ÓÛÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Å Ö ÙÖ ¹Ë Ó ÓÛ ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÞÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÖÓ Ö ÑÓÛ Ò ÔÐ ÓÛÝ Â ÖÓ Û ÝÐ Ò Å ÓÖÞ Ø Ù Ò Å ÃÐ ÓÛ ÄÙ Ð Ò ¾¼½¾ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÍÅ Ë ÄÙ Ð Ò ¾¼½¾  ÖÓ Û ÝÐ
Ë Ñ Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ Ò Ð ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖ Ý ÔÖÓ º Öº º Ò º ÊÝ Þ Ö ÓÖ Þ ÔÓÑÓ ÑÓØÝÛ Ó Ô Ò Ò Ò Þ ÖÓÞÔÖ ÛÝ ¾
ÍÆÁÏ ÊË Ì Ì Ì ÀÆÇÄÇ Á ÆÇ ¹ ÈÊ ÊÇ ÆÁ Ѻ ºº áò Û Ý Ó ÞÞÝ Ï Á Ì Ä ÃÇÅÍÆÁà ÂÁ ÁÆ ÇÊÅ Ì ÃÁ Á Ä ÃÌÊÇÌ ÀÆÁÃÁ Ñ Ö Ò º Å ÖÓ Û Å ÁÒØ Ð ÒØÒÝ ËÝ Ø Ñ ÊÓÞÔÓÞÒ Û Ò ÃÐ Ý ÈÖÞ Ý ÈÓÞØÓÛÝ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö
LVI OLIMPIADA FIZYCZNA ZADANIA ZAWODÓW I STOPNIA
http://www.kgof.edu.pl 1 LVI OLIMPIADA FIZYCZNA ZADANIA ZAWODÓW I STOPNIA Rozwiązania zadań I stopnia należy przesyłać do Okręgowych Komitetów Olimpiady Fizycznej w terminach: część I do 5 października
Janusz Przewocki. Zeroth Milnor-Thurston homology for the Warsaw Circle. Instytut Matematyczny PAN. Praca semestralna nr 3 (semestr zimowy 2010/11)
Janusz Przewocki Instytut Matematyczny PAN Zeroth Milnor-Thurston homology for the Warsaw Circle Praca semestralna nr 3 (semestr zimowy 2010/11) Opiekun pracy: Andreas Zastrow ÖÓØ Å ÐÒÓÖ¹Ì ÙÖ ØÓÒ ÓÑÓÐÓ
ÈÓ Þ ÓÛ Ò ÈÖ Ò Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ È ÒÙ Ö º Ò ÛÓÛ ÃÓÞ Þ ÒÒ ÙÛ ÞÖÓÞÙÑ Ò ÝÞÐ ÛÓ Û ØÖ Ô Ò ÔÖ Ý È ÒÙ Ñ Ö Å ÓÛ Å ØÝ Þ Ð ÞÒ Û Þ Û ÓÑ ÒØ ÖÞ Ø ÖÝÑ Ò Ò Þ ÔÖ Þ Û Þ Þ Ø
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø ÏÖÓ Û ÏÝ Þ ÞÝ Á ØÖÓÒÓÑ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Ì ÓÖ ØÝÞÒ Ë Ø Ò ËÞÞ Ò Ï ÒÓ Ý ÖÓ ÝÒ Ñ ÞÒ ÑÓ ÐÙ ÞÙ ÓÛ Ó ÀȹÁÁÁ ÀÝ ÖÓ ÝÒ Ñ Ó Ø ÀȹÁÁÁ Ð ØØ ÙØÓÑ Ø ÇÔ ÙÒ Ö º º ÃÓÞ ÏÖÓ Û ¾¼¼ ÈÓ Þ ÓÛ Ò ÈÖ Ò Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ È ÒÙ
Notki biograficzne Streszczenie
9 788363 103095 Notki biograficzne Wojciech Borczyk (mgr inż.), absolwent kierunku Informatyka na Politechnice Śląskiej. Napisał doktorat z zakresu syntezy fotorealistycznych obrazów z wykorzystaniem modelu
Notka biograficzna Streszczenie
Notka biograficzna Dr Mariusz Maciejczak -doktor ekonomii, wykładowca na polskich i zagranicznych uczelniach, uczestnik projektów badawczych i aplikacyjnych, doradca i ekspert organizacji biznesowych,
Lech Banachowski. Rola Uczelni oraz metod i technik e-edukacji w uczeniu się przez całe życie
Lech Banachowski Rola Uczelni oraz metod i technik e-edukacji w uczeniu się przez całe życie Notka biograficzna Prof. Lech Banachowski jest kierownikiem Katedry Baz Danych i kierownikiem Studiów Internetowych
Â Ù Ä ÔÓÐÓÒÝ ÑÓ Ð ÒÙѹ ÓÖ ÓÒ ÑÓ Ð ÔÓ Ö ÛÒ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º À ÒÖÝ ÖÓ Þ ÃÖ Û Ñ ¾¼½¼
Â Ù Ä ÔÓÐÓÒÝ ÑÓ Ð ÒÙѹ ÓÖ ÓÒ ÑÓ Ð ÔÓ Ö ÛÒ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º À ÒÖÝ ÖÓ Þ ÃÖ Û Ñ ¾¼½¼ Ö ÞÓ Ö ÞÒ Þ Ù ÑÓ ÑÙ ÔÖÓÑÓØÓÖÓÛ ÔÖÓ ÓÖÓÛ À ÒÖÝ ÓÛ ÖÓ Þ ÓÛ Þ Þ Ñ ÔÓ Û ÓÒÝ Þ ÒÒ Ö Ý ÝÞÐ Û ÙÛ º Þ
ÈÇÄÁÌ ÀÆÁà ÏÊÇ ÏËÃ Ï Á Ä ÃÌÊÇÆÁÃÁ à ÖÙÒ ËÔ ÐÒÓ ÙØÓÑ ØÝ ÊÓ ÓØÝ ÊÓ ÓØÝ ÈÊ ÈÄÇÅÇÏ Å ÁËÌ ÊËà ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Þ ÓÛ Û Ø ÖÓÛÒ Ù Ñ Ó ÖÓ ÓØ ÑÓ ÐÒ Ó ÁÑÔÐ Ñ Ø Ø ÓÒ Ó Ú ÓÖ ÓÒ Ñ ÐÐ ÑÓ Ð ÖÓ Óس ÓÒØÖÓÐ Ö ÙØÓÖ Ö Ù Þ Å Ø Ö ÈÖÓÛ
ËÔ ØÖ ½ Ò Ó Ó ÓÛ ½º½ ÁÑ Ò ÞÛ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÈÓ Ò ÝÔÐÓÑÝ ØÓÔÒ Ò Ù ÓÛ º º º º º º º º º º º º º º ½º ÁÒ ÓÖÑ Ó
ÙØÓÖ Ö Ø ÁÒÒÓÛ Ý Ò Ñ ØÓ Ý Ò Ð ÞÝ Ò Ð Ò ÓÛÝ ÓÖ Ð ÖÞÝ ÓÛÝ Û Ù Þ Ó ÓÒÝ Ö Â ÒÙ Þ Å Û Þ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø ÏÖÓ Û ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Ì ÓÖ ØÝÞÒ ÏÖÓ Û ¾¼½ ËÔ ØÖ ½ Ò Ó Ó ÓÛ ½º½ ÁÑ Ò ÞÛ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÊÇ ÆÁÃ ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÑÖ ÈÊ ÃÊÇ Ê ÆÁ ÅÇÆËÌÊÍÅ Ê ÆÃ ÆËÌ ÁÆ ÈÇÏÁ á Á Å Ê ÏÇÄÄËÌÇÆ Ê Ì ËÀ ÄÄ ÊÙ Þ º... ÌÓ Ý ½ ÙÒØ ÔÖÞ Û Ó Æ ØÙÖÞ Â ÒÝÑ Þ Ó Û Þ
ÊÇ ÆÁà ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÑÖ ÈÊ ÃÊÇ Ê ÆÁ ÅÇÆËÌÊÍÅ Ê Æà ÆËÌ ÁÆ ÈÇÏÁ á Á Å Ê ÏÇÄÄËÌÇÆ Ê Ì ËÀ ÄÄ ÊÙ Þ º... ÌÓ Ý ½ ÙÒØ ÔÖÞ Û Ó Æ ØÙÖÞ Â ÒÝÑ Þ Ó Û ÞÒÝ ÔÖ Ò Þ ÓÛ Ø ÙÛÓÐÒ Ò Ó Ý Ø ØÙ Ò ØÙÖݺ ÏÝÖ ÓÒÓ Ò Ö
N + R C. A T A 1 A 2 I I n. [a;b] (a;b] [a;b) m,n m,n = {m,m + 1,...,n 1,n}
![N + R C. A T A 1 A 2 I I n. [a;b] (a;b] [a;b) m,n m,n = {m,m + 1,...,n 1,n}](/thumbs/94/120142288.jpg "N + R C. A T A 1 A 2 I I n. [a;b] (a;b] [a;b) m,n m,n = {m,m + 1,...,n 1,n}")
ÏÝ Þ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÓРӹ ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ ØÓ ÓÛ Ò Ý Ö ØÒ Ó ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ Û ÓÑÔÖ Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖ Û Ó Ö Þ Û ÑÓÒÓ ÖÓÑ ØÝÞÒÝ Ñ Ö Ö Ù Þ Â Þ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º
Å Ø Ù Þ Ë ÓÖ ËØ ÐÒÓ Ñ Ò ÞÒ Ö ØÝ ÙÒ ÓÒ Ð ÞÓÛ ÒÝ Ò ÒÓÞ Ø Û ÑÓ Ð ÖÙ ÓÞ ÖÒ ØÝ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÈÖÓ º Ö º Å Ö ÔÐ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÛÝ ÓÒ Ò Û áöó ÓÛ ÓÛÝÑ Ä ÓÖ ØÓÖ ÙÑ ÞÝ ÓÐÓ ÞÒ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ È Æ Ï Ö Þ Û ½ Ñ ¾¼½¾ ÈÓ Þ ÓÛ Ò
Talk to Parrot. Buy a Dog. Go To Class. Buy Tuna Fish. Buy Arugula. Buy Milk. Sit Some More. Read A Book
Þ Ò ÞÒ Ð Þ Ò ÔÐ ÒÙ ÑÓ Ò Ø ÓÖ ØÝÞÒ ÖÓÞÛ ¹ Ã ÔÓ Ù Ù Ò Þ Ñ ØÓ ÔÖÞ ÞÙ Û Ò ÔÖÞ ØÖÞ Ò Þ Â Ø ØÓ Ò Þ ØÓ Ò ÛÝ ÓÒ ÐÒ Û ÔÖ ØÝ Þ Ø Ò Ûº Ò ÓÑÔÐ ÓÛ ÒÝ ÓÔ Ø Ò Û ÛÝ Ó Û Ô ÞÝÒÒ ÛÞ Ð Ù ÈÐ ÒÓÛ Ò ÖÓÞ Þ Ò º ½ ÈÖÞÝ ÔÐ Ò Û Ö
Notka biograficzna Streszczenie
Notka biograficzna Dr Mariusz Maciejczak -doktor ekonomii, wykładowca na polskich i zagranicznych uczelniach, uczestnik projektów badawczych i aplikacyjnych, doradca i ekspert organizacji biznesowych,
Ø Ò Þ È ØÖ Û Þ ËÈ ÃÌÊÇËÃÇÈÁ ÊÇÌ ÂÆ Ï Ê Æ À ËÌ Ã Á ÃÇÅÈÄ ÃË Ï ÅÁ ËÌ ÃÇÏ À Ï Æ éïá ÃÇÏ Â ÏÁ ÅÇÄ ÃÍÄ ÊÆ Â ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò Û ÁÒ ØÝØÙ ÞÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù ÔÓ Ö
Ø Ò Þ È ØÖ Û Þ ËÈ ÃÌÊÇËÃÇÈÁ ÊÇÌ ÂÆ Ï Ê Æ À ËÌ Ã Á ÃÇÅÈÄ ÃË Ï ÅÁ ËÌ ÃÇÏ À Ï Æ éïá ÃÇÏ Â ÏÁ ÅÇÄ ÃÍÄ ÊÆ Â ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò Û ÁÒ ØÝØÙ ÞÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù ÔÓ ÖÙÒ Ñ Óº Ö º Ò Û Ã Ð Ï Ö Þ Û Ñ ¾¼¼ ÅÓ ÑÙ Ñ ÓÛ ÂÙÖ ÓÛ
x = x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3
ÏÝ ¼ ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ö ÙÒ Ù Û ØÓÖÓÛ Ó À ÒÖÝ ÃÙ Ð ËÔ ØÖ ½ ÈÖÞ ØÖÞ Ù Ð ÓÛ ¹ Û ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ½ ¾ Ì Ò ÓÖÝ ÖÞ Ù ÖÙ Ó ¾º½ Ê ÔÖ Þ ÒØ Ø Ò ÓÖ ÖÞ Ù ÖÙ Ó Û ÔÖÓ ØÓ ØÒÝÑ Ù Þ ÖØ Þ Ñ ¾º¾ ÈÖÞÝ Ý Ø Ò ÓÖ Û ÖÞ Ù ÖÙ Ó º º º º º
Spis treści. 1 Wstęp 3
Ê ÛÒÓÛ Æ Û Ö ÝÒ Ñ ÞÒÝ ØÒ Ò ÔÖÓ ÝÑ Ù Þ Ð Ù ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º Ö º Ò ÖÞ ÆÓÛ ÈÓÐ Ø Ò ÏÖÓ Û ÁÒ ØÝØÙØ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÏÖÓ Û ¾¼¼ ½ pis treści 1 Wstęp 3 2 Gry stochastyczne wielogeneracyjne
Ç Û Þ Ò ÙØÓÖ ÖÓÞÔÖ ÛÝ Ç Û Þ Ñ Ò Ò Þ ÖÓÞÔÖ Û ÞÓ Ø Ò Ô Ò ÔÖÞ Þ ÑÒ ÑÓ Þ ÐÒ º Ø ÈÓ Ô ÙØÓÖ ÖÓÞÔÖ ÛÝ Ç Û Þ Ò ÔÖÓÑÓØÓÖ ÖÓÞÔÖ ÛÝ Æ Ò ÞÝÑ Ó Û Þ Ñ ÖÓÞÔÖ Û Ø ÓØÓ
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò Ø Â ÒÓÛ Ò ÖÓÛ Ò ÙØÓÑ Ø Û Þ ÓÛÝ Ð Ý Ø Ñ Û Þ Ù ÖÞ ÞÝÛ Ø Ó ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÖÓÞÔÖ ÛÝ Óº Ö º ÏÓ È ÒÞ ÁÒ ØÝØÙØ ÈÓ Ø Û ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù Ñ ¾¼¼ Ç Û Þ Ò
Ã Þ Ñ ÖÞ Åº ÓÖ ÓÛ Ê ÓÛ ÒØ Ö ÖÓÑ ØÖ Û Ð Ó ÞÓÛ ÎÄ Áµ ÌÓÖÙ ½
Ã Þ Ñ ÖÞ Åº ÓÖ ÓÛ Ê ÓÛ ÒØ Ö ÖÓÑ ØÖ Û Ð Ó ÞÓÛ ÎÄ Áµ ÌÓÖÙ ½ ÍÆÁÏ ÊË Ì Ì ÅÁÃÇ Â ÃÇÈ ÊÆÁÃ Ã Þ Ñ ÖÞ Åº ÓÖ ÓÛ Ê ÓÛ ÒØ Ö ÖÓÑ ØÖ Û Ð Ó ÞÓÛ ÎÄ Áµ ÌÓÖÙ ½ Ê ÒÞ Ò ÈÖÓ º Ö º Ò ÖÞ ÃÙ ÈÖÓ º Ö º Â Þ Å ÓÛ ÓÔÝÖ Ø Ý ÏÝ ÛÒ
Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼½ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÓÖ Þ Ð ÐÙ Á ÞÒ Ò Ó Ù ÝÙ Ò Û
Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼½ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÓÖ Þ Ð ÐÙ Á ÞÒ Ò Ó Ù ÝÙ Ò Û Þ Ò Þ Ñ Ð ÞÖ ÒÝ Ò ÖÓ Û Ý Þ ÙÞÝ ÑÓ¹ ÖÞ Ð º º º Ý ØÓ
ÁÆËÌ ÌÍÌ Á ÃÁ ÈÇÄËÃÁ Â Ã ÅÁÁ Æ ÍÃ ÊÍÈ Á ÃÁ ÁÇÄÇ Á Æ Â Ë ÅÇÆ ÆÁ ÏÁ Ê ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÝÒ Ñ ÞÑ Ò ÓÒ ÓÖÑ Ý ÒÝ Æ Û ÑÓ Ð ÖÙ ÓÞ ÖÒ ØÝ ÈÊÇÅÇÌÇÊ ÈÖÓ º Ö º Å Ö ÔÐ Ï ÊË Ï ¾¼¼ Ä Ø ÔÙ Ð Æ Ò Þ ÔÖ ÔÓÛ Ø Ò ÔÓ Ø Û ÛÝÒ Û
t = pn T = pi ρ dv i dt = ρf i + p , i = 1, 2, 3 µ x i ρ( v i t + v v i div v = 0 ρ v + (v )v = ρf p = 0 j = ρf i p, i = 1, 2, 3 µ
ÏÝ Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÞÝ Ò Ð Ô À ÒÖÝ ÃÙ Ð ËÔ ØÖ ½ Ê ÛÒ Ò ÙÐ Ö ÖÙ Ù ÞÝ Ò Ð Ô ½ ½º½ Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÞÝ Ò ÐÔ Û ÓÖÑ ÖÓÑ ¹Ä Ñ º º º º º º º º º ½º¾ Ê ÛÒ Ò À ÐÑ ÓÐÞ ØÖ Ò ÔÓÖØÙ Û ÖÓÛÓ Ð Ô ÝÒÙ Ò Ð Ô Ó º º º º º º ½º ÓÑÔÓÞÝ
µ(p q) ( q p) µa B B c A c
Ä Ø ¼ Û ØÔ Ó ÑØÑØÝ ½ ¼º½º ËÔÖÛõ ÞÝ Ò ØÔÙ ÞÒ ÐÓÞÒ ØÙØÓÐÓÑ (p q) ( p q) (p q) ( p q) (p q) ( q p) [(p q) p] qº ¼º¾º ÍÞ Ò ÙÒØÓÖÝ ÐØÖÒØÝÛÝ ÓÒÙÒ Ñ Û ÒÓ ÞÒÓ ÓÖÞ ÔÖÞÑÒÒÓº ÞÝ Ø Ø Û ÔÖÞÝÔÙ ÙÒØÓÖ ÑÔÐ ¼º º ÈÖÞÝ ÔÓÑÓÝ
ÏÔÖÓÛ Þ Ò ÇÔ ÑÓ ÐÙ ÏÝÒ ÝÑÙÐ ÈÓ ÙÑÓÛ Ò Ä Ø Ö ØÙÖ Ë ÙØ ÔÖÞÝ Ø Ô Ò ÈÓÐ Ó ËØÖ Ý ÙÖÓ ÏÝÒ ÝÑÙÐ Ò ÔÓ Ø Û ÝÒ Ñ ÞÒ Ó ÑÓ ÐÙ ÌÓÑ Þ Ö Â Ò À Ñ Ö Æ ÖÓ ÓÛÝ Ò ÈÓÐ Ö À
Ò ÔÓ Ø Û ÝÒ Ñ ÞÒ Ó ÑÓ ÐÙ ÌÓÑ Þ Ö Â Ò À Ñ Ö Æ ÖÓ ÓÛÝ Ò ÈÓÐ ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ ½ ¾ Ð ÔÖ Ý ÈÖÞ Ð Ð Ø Ö ØÙÖÝ ÈÓ Ø ÛÓÛ Ý ÑÓ ÐÙ Þ ÒÝ ÅÓ Ð ÞÓÛÝ ÊÓÞ Þ ÖÞ Ò ÑÓ ÐÙ ÞÓÛ Ó Ó Ò ÝÑÙÐ Ò Ð Þ ÛÖ Ð ÛÓ ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ Ð ÔÖ Ý ÈÖÞ
¾
ÞÝ Û ÓÒÓÑ Ñ ØÓ Ý ÑÓ Ð ÃÖÞÝ ÞØÓ ÓÑ ÒÓ ÈÓÐ Ø Ò áð  ÖÞÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø áð à ØÓÛ ¾¼½ ¾ ËÔ ØÖ ½ ÈÖÓÐÓ ¾ Å ØÓ Ý ÔÖ ØÝÞÒ ¾º½ Ï ØÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ Ä Ø Ö ØÙÖ º
ÈÓ Þ ÓÛ Ò ÈÖ Ò Þ Ó Ý Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ Ò Û ÞÝ Ø Ñ Ó Ó ÓÑ Ø Ö ÛÓ Ñ ÒÒÝÑ ÙÛ Ñ ÔÖÞÝÞÝÒ Ý Ó Ö Ð Þ Ò Ò Þ ÖÓÞÔÖ Ûݺ ËÞÞ ÐÒ ÔÖ Ò ÔÓ¹ Þ ÓÛ ÔÖÓÑÓØÓÖÓÛ ÔÖÓ º Ï ØÓÐ Ó
ÁÒ ØÝØÙØ ÈÓ Ø ÛÓÛÝ ÈÖÓ Ð Ñ Û Ì Ò ÈÓÐ Ñ Æ Ù ÃÐ Ý Ò ØÖÙÑ ÒØ Û ØÖÙÒÓÛÝ Û ÑÙÐØ Ñ ÐÒÝ Þ ÒÝ Þ ÞÞ ÐÒÝÑ ÙÛÞ Ð Ò Ò Ñ ÖØÝ ÙÐ Ô ÞÞ ØÓ Ñ Ö ÃÖÞÝ ÞØÓ ÌÝ ÙÖ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º Öº º Ï ØÓÐ ÃÓ Ó Ï Ö Þ Û
Notka biograficzna Streszczenie
Notka biograficzna Mgr inż. Rafał Muniak -absolwent kierunku Ekonomia w Szkole Głównej Gospodarstwa Wiejskiego. Przed podjęciem pracy na PJWSTK pracował w firmie konsultingowej na stanowisku analityka
ÑÒ Ñ Ø Ö Ò Ð Å ÈÓ ÞÙ Û Ò Ý Ò Û Ò Ð Å Û Û ÞÝ Ø ÑÓ ÞÐ ÛÝ Ò ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò ÑÑ ÔÓÞÝØÓÒÝ ÒØÝÔÖÓØÓÒÝ ººº µ ÑÓ Þ ÑÝ Ø Þ ÞÙ ð Ò ÙØÖ Ò º º ÖÒ ÏÝ ÁÁ ½
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÁ Æ ÙØÖ Ò Û ÒÓð ËÙÔ Ö Ã Ñ Ó Ò Á Ù ÑÒ Ñ Ø Ö Ò Ð Å ÈÓ ÞÙ Û Ò Ý Ò Û Ò Ð Å Û Û ÞÝ Ø ÑÓ ÞÐ ÛÝ Ò ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò ÑÑ ÔÓÞÝØÓÒÝ ÒØÝÔÖÓØÓÒÝ ººº µ ÑÓ Þ ÑÝ Ø
N j=1 (η M η j ) Û Ö η 1... η N Ö
Ù ÔØ Ð ØÝ ÌÓÔÓÐÓ Ð ØÛ Ø Ñ ÖÑ ÓÒ ÖÓÑ Ù Ò Ô ØÖ Ð ÔÖÓ ØÓÖ Ý ÃÖÞÝ ÞØÓ Ë ÙØ Ò ÖÑ ÒÝ ÆÁ Ñ Å Û Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÓÞÒ ÈÓÐ Ò ÓÐÐ ÓÖ Ø ÓÒ Û Ø Ò Ö Ê ÑÓ Ð Ò Ã ÖÐ Â Ò Ò Ä ÌÌÁ ¾¼½ ½» ¾ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÌÓÔÓÐÓ Ð ÒÓØ Ö Ð Ò Ò Ø
Ç ÐÒ ÒÖ ¾½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÅÓ Ð ØÛÝ Û Ø Û ÒÒ Þ Þ ÈÓÐ Ç
Ç ÐÒ ÒÖ ¾½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÅÓ Ð ØÛÝ Û Ø Û ÒÒ Þ Þ ÈÓÐ Ç ÓÛ Þ Ñ Ó Þ ÓÛ Û ÖÞ Ó Ø ÑÓ Ð ØÛ Û Ò¹ Ø Ò Ö Ù ÐÙ Þ Ø
Ë Ñ Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ Ò È ÒÙ ÈÖÓ ÓÖÓÛ ÊÝ Þ Ö ÓÛ È ÖÞÝ ÑÙ Þ Ó Þ Ò ÝÞÐ ÛÓ ÓÖ Þ Û Þ Û Ù Þ ÐÓÒ Ñ ÔÓ Þ Ô Ò ÔÖ Ý
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº Ñ Å Û Þ Û ÈÓÞÒ Ò Ù ÏÝ Þ ÞÝ Å Ö ÒØ Ê ÞÓÒ Ò Û ÐÓ ÓØÓÒÓÛÝ Û Ù ØÖ ÔÓÞ ÓÑÓÛÝ ÈÖ Ó ØÓÖ Ò Ô Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º Öº º ÊÝ Þ Ö È ÖÞÝ Ó ÈÓÞÒ ¾¼½¾ Ë Ñ Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ Ò È ÒÙ ÈÖÓ ÓÖÓÛ ÊÝ Þ Ö ÓÛ È ÖÞÝ ÑÙ Þ
ÊÓÞÔÓÞÒ Û Ò Ð ØÖÓÒ Û Ñ ÞÓÒ Û π 0 ÔÖÞÝ Ò Ù Ó Þ ÝÛ Ò ÙØÖ Ò Û Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù Ó Ø ØÓÖ Û Ó¹ Ö ÓÒÓÛÝ ÓÖ Þ Ð Ó Ø ØÓÖ Ô ÖÝÑ ÒØ٠̾à ÌÓÑ Þ Ï ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Â ÖÓÛ Ñº
ÊÓÞÔÓÞÒ Û Ò Ð ØÖÓÒ Û Ñ ÞÓÒ Û π ÔÖÞÝ Ò Ù Ó Þ ÝÛ Ò ÙØÖ Ò Û Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù Ó Ø ØÓÖ Û Ó¹ Ö ÓÒÓÛÝ ÓÖ Þ Ð Ó Ø ØÓÖ Ô ÖÝÑ ÒØ٠̾à ÌÓÑ Þ Ï ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Â ÖÓÛ Ñº À ÒÖÝ Æ ÛÓ Ò Þ Ó ÈÓÐ Ñ Æ Ù ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò
ÔÓÑÓÒ Þ Ó ÛÝ Ù Å Ø Ö Ý ÔÓ Ø ÛÝ Ø Ò ÔÐÒ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÔÖÓ Ö Ñ Û ÔÓÔÖ Û Ó ÞØ Ò ÓÖ Þ ÓØÛ Ö ÍÒÓÛÓÞ Ò Ò Ô ÐÒÓ Ó ÞÝ Ò ÖÙÒ Ù ÞÝ Û ÍÒ Û Ö ÝØ ÐÓÒÓ Ö Ñ ÒÓÛ ¼ º¼½º¼
ÔÓÑÓÒ Þ Ó ÛÝ Ù Å Ø Ö Ý ÔÓ Ø ÛÝ Ø Ò ÔÐÒ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÔÖÓ Ö Ñ Û ÔÓÔÖ Û Ó ÞØ Ò ÓÖ Þ ÓØÛ Ö ÍÒÓÛÓÞ Ò Ò Ô ÐÒÓ Ó ÞÝ Ò ÖÙÒ Ù ÞÝ Û ÍÒ Û Ö ÝØ ÐÓÒÓ Ö Ñ ÒÓÛ ¼ º¼½º¼½¹¼¼¹¼ ½»¼ ¹¼¼ ÈÇÃÄ ÇÔ Ö Ý ÒÝ Ã Ô Ø ÄÙ Þ ÈÖÓ Ö Ñ ÏÞÑÓÒ
KAPITAŁ LUDZKI NARODOWA STRATEGIA SPÓJNOŚCI UNIA EUROPEJSKA EUROPEJSKI FUNDUSZ SPOŁECZNY
KAPITAŁ LUDZKI NARODOWA STRATEGIA SPÓJNOŚCI UNIA EUROPEJSKA EUROPEJSKI FUNDUSZ SPOŁECZNY ÈÖÓ Ø ÔÒº ÏÞÑÓÒ Ò ÔÓØ Ò Ù Ý ØÝÞÒ Ó ÍÅÃ Û ÌÓÖÙÒ Ù Û Þ Þ Ò Ñ Ø Ñ ØÝÞÒÓ¹ÔÖÞÝÖÓ Ò ÞÝ Ö Ð ÞÓÛ ÒÝ Û Ö Ñ ÈÓ Þ Ò º½º½ ÈÖÓ
Å Ø Ñ Ø Ø ÓÓÐ ØÓ Ý Ò ØÓÑÓÖÖÓÛ Ð Ë ÔØ Ñ Ö ½½ ¹ ½ ¾¼¼ Ø Ø È Ó Ð ÙÐØÝ Ó Ø ÓÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò ÊÙöÓÑ ÖÓ ÓÔÝÖ Ø Ý Ø È Ó Ð ÙÐØÝ Ó Ø ÓÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò ÊÙöÓÑ ÖÓ ¾¼¼ Þ
à ÌÇÄ Ã ÍÆÁÎ Ê ÁÌ Î ÊÍêÇÅ ÊÃÍ È Ç Á Ãý ÃÍÄÌ º ÖÓ Ò ÃÇÆ Ê Æ Á ÓÖ Ò ÞÓÚ Ò ÔÓ ÔÓÖÓÙ ÙÖ Ô Ó Ó ÐÒ Ó ÓÒ Ù Å Ø Ñ Ø Ú ÓÐ Ò Þ ØÖ ÓÖÒ ÔÖ Ô Ú ÓÚ ÊÙöÓÑ ÖÓ ½½º ¹ ½ º ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ Å Ø Ñ Ø Ø ÓÓÐ ØÓ Ý Ò ØÓÑÓÖÖÓÛ Ð Ë ÔØ
ROCZNIK LUBUSKI Tom 35, część 2
ROCZNIK LUBUSKI LUBUSKIE TOWARZYSTWO NAUKOWE ROCZNIK LUBUSKI Tom 35, część 2 WSPÓŁCZESNA WIZJA MIASTA W TEORII I PRAKTYCE SPOŁECZNEJ Pod redakcją Żywii Leszkowicz-Baczyńskiej Justyny Nyćkowiak Zielona
Rysunek 1: Informacja kontaktowa
ËÝ Ø ÑÝ ØÝÔ Û Ð ÞÝ Û ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Ö Ñ ÒØÝ ÖÝÔØÙ ÈÖÓ º Ò Ö Û Åº È ØØ ÌÝÔ ÈÖÞ Ø ÙÑ ÞÝ È Û Ìº ÏÓ ÓÛ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ½ ¾ ½ ÏËÌ È Rysunek 1: Informacja kontaktowa dr inż. Paweł T. Wojciechowski Instytut Informatyki,
ÍÆÁÏ ÊË Ì Ì Ï ÊË ÏËÃÁ Ï Á Á ÃÁ  ËÞÞÝØ Ó È ÈÊ ÏÇ ÆÁÃÁ È Å Æ Ì Æ ÁÁÁ¹Î Å Æ Æ Å ÈÖ Ó ØÓÖ ÛÝ ÓÒ Ò Û ÁÒ ØÝØÙ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Ò ÏÝ Þ Ð ÞÝ ÍÒ Û Ö ÝØ ØÙ Ï Ö Þ Û
ÍÆÁÏ ÊË Ì Ì Ï ÊË ÏËÃÁ Ï Á Á ÃÁ  ËÞÞÝØ Ó È ÈÊ ÏÇ ÆÁÃÁ È Å Æ Ì Æ ÁÁÁ¹Î Å Æ Æ Å ÈÖ Ó ØÓÖ ÛÝ ÓÒ Ò Û ÁÒ ØÝØÙ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Ò ÏÝ Þ Ð ÞÝ ÍÒ Û Ö ÝØ ØÙ Ï Ö Þ Û Ó ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º Ö º Ò ÖÞ ÌÛ Ö ÓÛ Ó Ï ÊË Ï Ð Ô ¾¼¼½