Ocena jakości systemu pomiarowego w przypadku dwóch automatycznych przyrządów pomiarowych
|
|
- Błażej Antczak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Potencjał Wiedzy Jak zredukować koszty zmienności Łódź, 9 30 maja 017 Ocena jakości systemu pomiarowego w przypadku dwóch automatycznych przyrządów pomiarowych Michał Szymczak, Uniwersytet Łódzki Aktualna godzina 0:5:4
2 O autorze Michał Szymczak (doktorant) Katedra Metod Statystycznych Wydział Ekonomiczno-Socjologiczny Uniwersytet Łódzki Inżynier niezawodności BSH Sprzęt Gospodarstwa Domowego Potencjał Wiedzy Jak zredukować koszty zmienności
3 Plan prezentacji Wstęp 5 min Główny temat referatu 15 min Podsumowanie, wnioski 5 min Pytania 5-10 min Potencjał Wiedzy Jak zredukować koszty zmienności 3
4 Cel referatu Prezentacja korzyści z zastosowania modelu regresji liniowej jako metody oceny jakości systemów pomiarowych wysokiej precyzji na przykładzie badania empirycznego. Rys. 1. Karta kontrolna wartości indywidualnych długość bębna pralki Źródło: Dane BSH.
5 Badanie empiryczne opis problemu Badanie dotyczy sytuacji, w której do oceny tego samego procesu produkcyjnego wykorzystywane są dwie maszyny współrzędnościowe z których żadna nie może z góry zostać uznana za lepszą. Rys. 3. Bęben pralki Rys. 4. Krzyżak Odnosimy się pomiaru krytycznej cechy krzyżaka (część składowa bębna pralki) mającej wpływ na jakość całego układu oscylacyjnego.
6 Zmienność obserwowana w procesie produkcyjnym Zmienność obserwowana w procesie produkcyjnym calk Gdzie proces proces syst. pomiarowy syst. pomiarowy wariancja wynikająca z procesu produkcyjnego wariancja systemu pomiarowego. Dobry system pomiarowy to taki, którego udział wariancji systemu pomiarowego w całkowitej wariancji obserwowanej jest jak najmniejszy. Minimalizujemy zatem wyrażenie syst. pomiarowy calk.
7 Źródła zmienności obserwowane w pomiarach procesu produkcyjnego Rys.. Źródła zmienności obserwowane w pomiarach procesu produkcyjnego Zmienność całkowita Zmienność procesu Zmienność systemu pomiarowego Przyczyny specjalne Losowość Przyrządy Metoda Operatorzy Powtarzalność Dokładność Stabilność Liniowość Precyzja Odtwarzalność
8 Badanie empiryczne warunki pomiaru Dwie maszyny pomiarowe różnych producentów, Pomiar bez udziału człowieka (automatyczny). Praktyczne problemy w badaniu jakości systemu pomiarowego: Ograniczenia kosztów badania, Mała próba (od kilku do kilkunastu mierzonych detali), Presja czasowa związana z uzyskaniem wyniku.
9 Klasyczna metoda analizy systemu pomiarowego dwuczynnikowa ANOVA Powtarzalność wariancja wyników pomiarów danego detalu przez maszynę. Odtwarzalność wariancja wyników pomiarów danego detalu przez różne maszyny. Tab. 1. Tablica ANOVA Źródło zmienności Maszyna Część Interakcja Powtarzalność Całkowita Stopnie swobody k k 1 SS n r x x A Sumy kwadratów Średnie kwadraty Wart, stat. F j1 n n 1 SS k r x x n 1 k 1 SS P AP i1 TSS A. j.... A 1 i.. SS P... SS n k r nkr 1 SS x x R i1 j1 m1 ijm A ij. n k r nkr1 TSS x ijm x i1 j1 m1 SS R P AP R k SS SSP n 1 SS AP n 1k 1 SSR nk r 1 Gdzie n jest liczbą części, k jest liczbą maszyn, a jest liczbą powtórzeń pomiaru Źródło: Automotive Industry Action Group (AIAG). Measurement Systems Analysis Reference Manual, 4 th edition. Chrysler, Ford, General Motors Supplier Quality Requirements Task Force, 010. r... A AP P AP AP R
10 Klasyczna metoda analizy systemu pomiarowego dwuczynnikowa ANOVA Tab.. Estymatory wariancji Powtarzalność (EV Equipment Variation/Repeatability) R Interakcja (INT- Interaction) AP r R Odtwarzalność (AV - Appraiser Variation/ Reproducibility) Wariancja części (PV- Part Variation) nr A kr P AP AP Źródło: Automotive Industry Action Group (AIAG). Measurement Systems Analysis Reference Manual, 4 th edition. Chrysler, Ford, General Motors Supplier Quality Requirements Task Force, 010.
11 Kryteria oceny systemu pomiarowego Kryteria oceny jakości systemu pomiarowego do podejmowania decyzji związanych z mierzoną cechą związane są z wielkością GRR pomiarowego, a, gdzie jest oszacowaniem wariancji systemu całkowitą wariancją obserwowaną. System pomiarowy akceptowalny GRR 10% System pomiarowy warunkowo akceptowalny 10% GRR 30% System pomiarowy nieakceptowalny GRR 30% Źródło: Automotive Industry Action Group (AIAG). Measurement Systems Analysis Reference Manual, 4 th edition. Chrysler, Ford, General Motors Supplier Quality Requirements Task Force, 010.
12 Analiza systemu pomiarowego na przykładzie pomiaru krzyżaka (ANOVA) Tab. 3. Analiza wariancji systemu pomiarowego krzyżaka Two-Way ANOVA Table With Interaction Source DF SS F P Part 9 0,636 0, ,389 0,000 Machine 1 0, , ,588 0,00 Interaction 9 0, , ,77 0,000 Repeatability 0 0, ,00000 Total 39 0,73100 Gage R&R %Contribution Source VarComp (of VarComp) Total Gage R&R 0, ,36 Repeatability 0, ,03 Reproducibility 0, ,33 Machine 0, ,05 Interaction 0, ,9 Part-To-Part 0, ,64 Total Variation 0, ,00 Warunki badania: maszyny pomiarowe, 1 operator, 10 detali, powtórzenia każdego pomiaru. Mamy zatem łącznie 40 wyników pomiarów. Wnioski: System pomiarowy warunkowo akceptowalny, Study Var %Study Var Source StdDev (SD) (6 * SD) (%SV) Total Gage R&R 0, ,1398 5, Repeatability 0, , ,68 Reproducibility 0, , ,17 Machine 0, , ,1 Interaction 0, , ,1 Part-To-Part 0, , ,77 Total Variation 0, , ,00 Główna przyczyna zmienności to odtwarzalność, Większość zmienności obserwowanej w pomiarach wynika ze zmienności części.
13 Istota pomiaru maszyną współrzędnościową Bardzo wysokie koszty zakupu systemu pomiarowego, Stosunkowo długi czas pomiaru, Bardzo wysoka dokładność (średni błąd pomiaru rzędu kilku mikrometrów), Wymaga napisania programu pomiarowego przez specjalistę znającego dany język oprogramowania.
14 System pomiarowy Y Model regresji liniowej jako wynik analizy systemu pomiarowego Jaki wynik uzyskamy używając danego systemu pomiarowego pod warunkiem, że otrzymaliśmy pewien rezultat innym systemem? yi axi b i, i 1,..., n Rys. 5. Idealna liniowa relacja dwóch systemów pomiarowych 101, ,5 100 Niech model opisuje liniową relację dwóch systemów pomiarowych. Jeżeli spełnione są warunki a 1, b 0 to taką relację nazywamy stanem idealnym. 99, , , ,5 System pomiarowy X
15 Analiza systemu pomiarowego na przykładzie pomiaru krzyżaka (model regresji liniowej) Na losowo wybranych 10 detalach przeprowadzono pomiary na jednej maszynie pomiarowej, a następnie na drugiej. Mamy zatem łącznie 0 wyników pomiarów. Tab. 4. Oszacowania parametrów równania regresji Regression Equation Stawiamy hipotezy: Y = -, ,03046 X Coefficients H H a 0 a 1 : a 1, : a 1 H H b 0 b 1 : b 0, : b 0 Term Coef SE Coef T P 95% CI Constant -, , ,573 0,61 (-1,9431; 8,1531) X 1, , ,6975 0,000 ( 0,896; 1,16473) Summary of Model S = 0, R-Sq = 97,51% R-Sq(adj) = 97,0%
16 Analiza systemu pomiarowego na przykładzie pomiaru krzyżaka (model regresji liniowej) Rys. 6. Relacja badanych systemów pomiarowych Rys. 7. Histogram reszt modelu 78,7 78,6 3,0,5 Mean -1,56319E-14 StDev 0,01431 N 10 Measurement system Y 78,5 78,4 Frequency,0 1,5 1,0 0,5 78,3 78,3 78,4 78,5 Measurement system X 78,6 78,7 0,0-0,03-0,0-0,01 0,00 0,01 Residual 0,0 0,03 a 1 Na poziomie istotności 0,05 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, że. Na tym samym poziomie istotności nie daje również podstaw do odrzucenia hipotezy, że b 0. Test Shapiro-Wilka nie daje podstaw do odrzucenia hipotezy o normalnym rozkładzie reszt.
17 Warunki stosowania modelu regresji do oceny jakości systemów pomiarowych Pomiar nie może być pomiarem niszczącym, Pomiar nie może zmieniać rzeczywistej wartości mierzonej charakterystyki, Mierzona charakterystyka nie może zmieniać się w czasie, Systemy pomiarowe powinny charakteryzować się zbliżoną precyzją.
18 Proponowane kryteria oceny systemu pomiarowego W przypadku analizy zautomatyzowanych systemów pomiarowych wysokiej precyzji można podjąć zatem decyzję o akceptacji systemów, gdy spełnione są następujące warunki. Nie mamy podstaw do odrzucenia hipotez, że oszacowania parametrów modelu y ax b wynoszą a 1, b 0. i i i Drugim kryterium może być oszacowanie stosunku odchylenia standardowego reszt modelu do odchylenia standardowego obserwowanego w procesie, czyli SE, gdzie SE jest odchyleniem standardowym reszt modelu. Odnosząc się do kryteriów przemysłu motoryzacyjnego można przyjąć wartość graniczną 30%.
19 Proponowane kryteria oceny systemu pomiarowego W rozpatrywanym przykładzie mamy zatem do czynienia z następującymi wnioskami: Na poziomach istotności że a 1, b 0. 0,05 nie mamy podstaw do odrzucenia hipotez, ˆ 0, ,17 17%. 0, Co oznacza, że taki system pomiarowy powinien zostać zaakceptowany jako wiarygodny.
20 Wnioski Analiza systemu pomiarowego z wykorzystaniem regresji liniowej pozwala zredukować o połowę liczbę wykonanych pomiarów, W przypadku zautomatyzowanych systemów wysokiej precyzji powtarzanie pomiaru tego samego detalu daną maszyną jedynie potwierdza niewielki błąd maszyny, Poprawę wiarygodności badania systemu lepiej jest uzyskać zwiększając próbę, niż powtarzać pomiar tego samego detalu.
21 Literatura Altman D. G., Bland J. M., Measurement in Medicine: the Analysis of Method Comparison Studies, The Statistician, Nr 3, 1983, s Automotive Industry Action Group (AIAG). Measurement Systems Analysis Reference Manual, 4 th edition. Chrysler, Ford, General Motors Supplier Quality Requirements Task Force, 010. Chambers D., Wheeler D., Understanding Statistical Process Control, Kenoxville 010. Charles Y. T., B. Iglewicz, Measurement Methods Comparison and Linear Statistical Relationship, Technometrics, T. 41, Nr 3, 1993, s Dietrich E., Schulze A, Metody statystyczne w kwalifikacji środków pomiarowych maszyn i procesów produkcyjnych, Warszawa 000. Kończak G., Metody statystyczne w sterowaniu jakością produkcji, Katowice 007. Linnet K., Evaluation of Regression Procedures for Methods Comparison Studies, Clin Chem, T39, Nr 3, 1993, s Minitab, Inc., Minitab Statistical Software, Release 16 for Windows, State College, Pennsylvania. Minitab is a registered trademark of Minitab, Inc., 009. Moatari A. K., Design and Analysis of Gauge R&R Studies: Making Decisions Based on ANOVA Method, Engineering and Technology 009 Kowal, K., Szymczak, M. Methods of Measurement System Quality Assessment in Case of Two Devices. Journal of Basic & Applied Sciences, 10, 475, 014 Wheeler D., Zrozumieć zmienność. Klucz do zarządzania chaosem, Wrocław 008.
ANALIZA SYSTEMU POMIAROWEGO (MSA)
StatSoft Polska, tel. 1 484300, 601 414151, info@statsoft.pl, www.statsoft.pl ANALIZA SYSTEMU POMIAROWEGO (MSA) dr inż. Tomasz Greber, Politechnika Wrocławska, Instytut Organizacji i Zarządzania Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoMetrologia: powtarzalność i odtwarzalność pomiarów. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: powtarzalność i odtwarzalność pomiarów dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Definicje: Pojęciami związanymi z metodami diagnozowania procesów i oceny ich bezpieczeństwa oraz
Bardziej szczegółowoMatematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW
Było: Testowanie hipotez (ogólnie): stawiamy hipotezę, wybieramy funkcję testową f (test statystyczny), przyjmujemy poziom istotności α; tym samym wyznaczamy obszar krytyczny testu (wartość krytyczną funkcji
Bardziej szczegółowo1. Jednoczynnikowa analiza wariancji 2. Porównania szczegółowe
Zjazd 7. SGGW, dn. 28.11.10 r. Matematyka i statystyka matematyczna Tematy 1. Jednoczynnikowa analiza wariancji 2. Porównania szczegółowe nna Rajfura 1 Zagadnienia Przykład porównania wielu obiektów w
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 9
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 9 1 1. Dodatkowe założenie KMRL 2. Testowanie hipotez prostych Rozkład estymatora b Testowanie hipotez prostych przy użyciu statystyki t 3. Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM METROLOGII
AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE Centrum Inżynierii Ruchu Morskiego LABORATORIUM METROLOGII Ćwiczenie 4 Analiza powtarzalności i odtwarzalności pomiarów na przykładzie pomiarów radarowych Szczecin, 2010 Zespół
Bardziej szczegółowoRozdział 8. Regresja. Definiowanie modelu
Rozdział 8 Regresja Definiowanie modelu Analizę korelacji można traktować jako wstęp do analizy regresji. Jeżeli wykresy rozrzutu oraz wartości współczynników korelacji wskazują na istniejąca współzmienność
Bardziej szczegółowoAnaliza systemów pomiarowych (Measurement System Analysis MSA)
Analiza systemów pomiarowych (Measurement System Analysis MSA) 3.1 Charakterystyka Rosnące znaczenie pomiarów prowadzonych w organizacji, których wyniki coraz częściej mogą być wykorzystywane do kontrolowania
Bardziej szczegółowoKALIBRACJA LINIOWA W ZAGADNIENIU WALIDACJI METOD POMIAROWYCH
KALIBRACJA LINIOWA W ZAGADNIENIU WALIDACJI METOD POMIAROWYCH Michał Iwaniec, StatSoft Polska Sp. z o.o. Wstęp Badanie stopnia zanieczyszczenia środowiska, analiza jakości produkowanych wyrobów czy też
Bardziej szczegółowoMETODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII
METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII 1. Wykład wstępny 2. Populacje i próby danych 3. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 4. Planowanie eksperymentów biologicznych 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne
Bardziej szczegółowoKOMPUTEROWE WSPOMAGANIE BIEŻĄCEJ OCENY PRZYDATNOŚCI SYSTEMU POMIAROWEGO STOSOWANEGO W PROCESIE WYTWARZANIA
KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE BIEŻĄCEJ OCENY PRZYDATNOŚCI SYSTEMU POMIAROWEGO STOSOWANEGO W PROCESIE WYTWARZANIA Magdalena DIERING, Edward PAJĄK Streszczenie: W artykule opisano autorską metodę bieżącej oceny
Bardziej szczegółowoWykład 3 Hipotezy statystyczne
Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza
Bardziej szczegółowoAnalizy wariancji ANOVA (analysis of variance)
ANOVA Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance) jest to metoda równoczesnego badania istotności różnic między wieloma średnimi z prób pochodzących z wielu populacji (grup). Model jednoczynnikowy analiza
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 10
Stanisław Cichoci Natalia Nehrebeca Wyład 10 1 1. Testowanie hipotez prostych Rozład estymatora b Testowanie hipotez prostych przy użyciu statystyi t Przedziały ufności Badamy czy hipotezy teoretyczne
Bardziej szczegółowoStatystyka i Analiza Danych
Warsztaty Statystyka i Analiza Danych Gdańsk, 20-22 lutego 2014 Zastosowania analizy wariancji w opracowywaniu wyników badań empirycznych Janusz Wątroba StatSoft Polska Centrum Zastosowań Matematyki -
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoWDROŻENIE, FUNKCJONOWANIE I KORZYŚCI Z SPC I MSA W FIRMIE PRODUKCYJNEJ
WDROŻENIE, FUNKCJONOWANIE I KORZYŚCI Z SPC I MSA W FIRMIE PRODUKCYJNEJ Jakub Wawrzyniak i Łukasz Parusiński, "CORRECT" - K.BŁASZCZYK i WSPÓLNICY Sp. K. SPC, czyli Statistical Proces Control (Statystyczne
Bardziej szczegółowoEstymacja punktowa i przedziałowa
Temat: Estymacja punktowa i przedziałowa Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia 1. Statystyczny opis próby. Idea estymacji punktowej pojęcie estymatora
Bardziej szczegółowoAnaliza niepewności pomiarów
Teoria pomiarów Analiza niepewności pomiarów Zagadnienia statystyki matematycznej Dr hab. inż. Paweł Majda www.pmajda.zut.edu.pl Podstawy statystyki matematycznej Histogram oraz wielobok liczebności zmiennej
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza danych (molekularnych) analiza wariancji ANOVA
Statystyczna analiza danych (molekularnych) analiza wariancji ANOVA Anna Gambin 19 maja 2013 Spis treści 1 Przykład: Model liniowy dla ekspresji genów 1 2 Jednoczynnikowa analiza wariancji 3 2.1 Testy
Bardziej szczegółowoKORELACJE I REGRESJA LINIOWA
KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 12
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 12 1 1.Problemy z danymi Zmienne pominięte Zmienne nieistotne 2. Autokorelacja o Testowanie autokorelacji 1.Problemy z danymi Zmienne pominięte Zmienne nieistotne
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.
Bardziej szczegółowoMatematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 11 DOŚWIADCZENIE JEDNOCZYNNIKOWE W UKŁADZIE CAŁKOWICIE LOSOWYM PORÓWNANIA SZCZEGÓŁOWE
WYKŁAD 11 DOŚWIADCZENIE JEDNOCZYNNIKOWE W UKŁADZIE CAŁKOWICIE LOSOWYM PORÓWNANIA SZCZEGÓŁOWE Było: Przykład. W doświadczeniu polowym załoŝonym w układzie całkowicie losowym w czterech powtórzeniach porównano
Bardziej szczegółowoAnaliza wariancji. dr Janusz Górczyński
Analiza wariancji dr Janusz Górczyński Wprowadzenie Powiedzmy, że badamy pewną populację π, w której cecha Y ma rozkład N o średniej m i odchyleniu standardowym σ. Powiedzmy dalej, że istnieje pewien czynnik
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE
STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE 1 W trakcie badania obliczono wartości średniej (15,4), mediany (13,6) oraz dominanty (10,0). Określ typ asymetrii rozkładu. 2 Wymień 3 cechy rozkładu Gauss
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.
Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ
Bardziej szczegółowoTeoria błędów. Wszystkie wartości wielkości fizycznych obarczone są pewnym błędem.
Teoria błędów Wskutek niedoskonałości przyrządów, jak również niedoskonałości organów zmysłów wszystkie pomiary są dokonywane z określonym stopniem dokładności. Nie otrzymujemy prawidłowych wartości mierzonej
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 5
STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 5 Jednoczynnikowa analiza wariancji i porównania wielokrotne (układ losowanych bloków randomized block design RBD) Układ losowanych bloków Stosujemy, gdy podejrzewamy,
Bardziej szczegółowoPDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych
Bardziej szczegółowoZadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.
tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1
Bardziej szczegółowoBADANIE ZALEśNOŚCI CECHY Y OD CECHY X - ANALIZA REGRESJI PROSTEJ
WYKŁAD 3 BADANIE ZALEśNOŚCI CECHY Y OD CECHY X - ANALIZA REGRESJI PROSTEJ Było: Przykład. Z dziesięciu poletek doświadczalnych zerano plony ulw ziemniaczanych (cecha X) i oznaczono w nich procentową zawartość
Bardziej szczegółowoBłędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie
Bardziej szczegółowoCopyright by Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa 2000, 2008
Redaktor: Alicja Zagrodzka Korekta: Krystyna Chludzińska Projekt okładki: Katarzyna Juras Copyright by Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa 2000, 2008 ISBN 978-83-7383-296-1 Wydawnictwo Naukowe Scholar
Bardziej szczegółowoZadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych
Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012
Bardziej szczegółowoANALIZA ZDOLNOŚCI PROCESU O ZALEŻNYCH CHARAKTERYSTYKACH
Małgorzata Szerszunowicz Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach ANALIZA ZDOLNOŚCI PROCESU O ZALEŻNYCH CHARAKTERYSTYKACH Wprowadzenie Statystyczna kontrola jakości ma na celu doskonalenie procesu produkcyjnego
Bardziej szczegółowoWykład 4 Wybór najlepszej procedury. Estymacja parametrów re
Wykład 4 Wybór najlepszej procedury. Estymacja parametrów regresji z wykorzystaniem metody bootstrap. Wrocław, 22.03.2017r Wybór najlepszej procedury - podsumowanie Co nas interesuje przed przeprowadzeniem
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej
Bardziej szczegółowo, a ilość poziomów czynnika A., b ilość poziomów czynnika B. gdzie
Test Scheffego, gdzie (1) n to ilość powtórzeń (pomiarów) w jednej grupie (zabiegu) Test NIR Istnieje wiele testów dla porównań wielokrotnych opartych o najmniejszą istotna różnicę między średnimi (NIR).
Bardziej szczegółowoMODELE LINIOWE. Dr Wioleta Drobik
MODELE LINIOWE Dr Wioleta Drobik MODELE LINIOWE Jedna z najstarszych i najpopularniejszych metod modelowania Zależność między zbiorem zmiennych objaśniających, a zmienną ilościową nazywaną zmienną objaśnianą
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA OPOLSKA
POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Inżynierii Jakości Ćwiczenie nr 4 Temat: Analiza korelacji i regresji dwóch zmiennych
Bardziej szczegółowo( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:
ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość
Bardziej szczegółowoWYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH
Scientific Bulletin of Che lm Section of Technical Sciences No. 1/2008 WYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH WE WSPÓŁRZĘDNOŚCIOWEJ TECHNICE POMIAROWEJ MAREK MAGDZIAK Katedra Technik Wytwarzania i Automatyzacji, Politechnika
Bardziej szczegółowoEkonometria dla IiE i MSEMat Z7
Ekonometria dla IiE i MSEMat Z7 Rafał Woźniak Faculty of Economic Sciences, University of Warsaw Warszawa, 21-11-2016 Na podstawie zbioru danych cps_small.dat z książki Principles of Econometrics oszacowany
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Agenda Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 2 stycznia 2012 Agenda Agenda 1 Wprowadzenie Agenda 2 Hipoteza oraz błędy I i II rodzaju Hipoteza alternatywna Statystyka testowa Zbiór krytyczny Poziom
Bardziej szczegółowoODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW
ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski
Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład ) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych
Bardziej szczegółowoRÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH
RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych
Bardziej szczegółowoJEDNOCZYNNIKOWA ANALIZA WARIANCJI, ANOVA
JEDNOCZYNNIKOWA ANALIZA WARIANCJI, ANOVA 1 Obserwowana (badana) cecha Y Czynnik wpływający na Y (badany) A A i i ty poziom czynnika A a liczba poziomów (j=1..a), n i liczba powtórzeń w i tej populacji
Bardziej szczegółowo2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona
Sprawdzanie założeń przyjętych o modelu (etap IIIC przyjętego schematu modelowania regresyjnego) 1. Szum 2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona
Bardziej szczegółowoparametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających,
诲 瞴瞶 瞶 ƭ0 ƭ 瞰 parametrów strukturalnych modelu Y zmienna objaśniana, = + + + + + X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, α 0, α 1, α 2,,α k parametry strukturalne modelu, k+1 parametrów
Bardziej szczegółowoStatystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski
Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Bardziej szczegółowoJAK WYZNACZA SIĘ PARAMETRY WALIDACYJNE
1 JAK WYZNACZA SIĘ PARAMETRY WALIDACYJNE Precyzja Dr hab. inż. Piotr KONIECZKA Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska ul. G. Narutowicza 11/1 80-95 GDAŃSK e-mail: kaczor@chem.pg.gda.pl
Bardziej szczegółowoALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH
1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Regresja liniowa Korelacja Modelowanie Analiza modelu Wnioskowanie Korelacja 3 Korelacja R: charakteryzuje
Bardziej szczegółowoOdchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi
Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska D syst D śr m 1 3 5 2 4 6 śr j D 1
Bardziej szczegółowoDiagnostyka w Pakiecie Stata
Karol Kuhl Zgodnie z twierdzeniem Gaussa-Markowa, estymator MNK w KMRL jest liniowym estymatorem efektywnym i nieobciążonym, co po angielsku opisuje się za pomocą wyrażenia BLUE Best Linear Unbiased Estimator.
Bardziej szczegółowoMetody Ilościowe w Socjologii
Metody Ilościowe w Socjologii wykład 2 i 3 EKONOMETRIA dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Ekonometria podstawowe definicje II. Etapy budowy modelu ekonometrycznego III. Wybrane metody doboru zmiennych do modelu
Bardziej szczegółowoMonte Carlo, bootstrap, jacknife
Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział
Bardziej szczegółowoAnaliza wariancji w analizie regresji - weryfikacja prawdziwości przyjętego układu ograniczeń Problem Przykłady
Analiza wariancji w analizie regresji - weryfikacja prawdziwości przyjętego układu ograniczeń 1. Problem ozwaŝamy zjawisko (model): Y = β 1 X 1 X +...+ β k X k +Z Ηβ = w r Hipoteza alternatywna: Ηβ w r
Bardziej szczegółowoNIEPEWNOŚĆ POMIARÓW POZIOMU MOCY AKUSTYCZNEJ WEDŁUG ZNOWELIZOWANEJ SERII NORM PN-EN ISO 3740
PRACE INSTYTUTU TECHNIKI BUDOWLANEJ - KWARTALNIK BUILDING RESEARCH INSTITUTE - QUARTERLY 2 (162) 2012 ARTYKUŁY - REPORTS Anna Iżewska* NIEPEWNOŚĆ POMIARÓW POZIOMU MOCY AKUSTYCZNEJ WEDŁUG ZNOWELIZOWANEJ
Bardziej szczegółowoJednoczynnikowa analiza wariancji. Wnioskowanie dla jednoczynnikowej ANOV-y. Porównywanie poszczególnych średnich
(Wykład 13) Jednoczynnikowa analiza wariancji Wnioskowanie dla jednoczynnikowej ANOV-y Format danych Hipotezy i model ANOVA Tabela ANOVA i test F Porównywanie poszczególnych średnich Jednoczynnikowa ANOVA
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OD PODSTAW Z SYSTEMEM SAS. wersja 9.2 i 9.3. Szkoła Główna Handlowa w Warszawie
STATYSTYKA OD PODSTAW Z SYSTEMEM SAS wersja 9.2 i 9.3 Szkoła Główna Handlowa w Warszawie Spis treści Wprowadzenie... 6 1. Podstawowe informacje o systemie SAS... 9 1.1. Informacje ogólne... 9 1.2. Analityka...
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 4
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 4 1 1. Własności hiperpłaszczyzny regresji 2. Dobroć dopasowania równania regresji. Współczynnik determinacji R 2 Dekompozycja wariancji zmiennej zależnej Współczynnik
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez. Statystyka
Wnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez Statystyka Co nazywamy hipotezą Każde stwierdzenie o parametrach rozkładu lub rozkładzie zmiennej losowej w populacji nazywać będziemy hipotezą statystyczną
Bardziej szczegółowoWykład 5 Teoria eksperymentu
Wykład 5 Teoria eksperymentu Wrocław, 22.03.2017r Co to jest teoria eksperymentu? eksperyment - badanie jakiegoś zjawiska polegające na celowym wywołaniu tego zjawiska lub jego zmian oraz obserwacji i
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE METODY R&R DO ANALIZY WYBRANYCH SYSTEMÓW POMIAROWYCH
ZASTOSOWANIE METODY R&R DO ANALIZY WYBRANYCH SYSTEMÓW POMIAROWYCH Katarzyna ANTOSZ Kontrolowanie jakości wytwarzanych wyrobów jest świadomym oraz celowym działaniem producentów. Przeprowadzenie poprawnej
Bardziej szczegółowoStatystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów
Statystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów dla studentów Ochrony Środowiska Teresa Jaworska-Gołąb 2017/18 Co czytać [1] H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa 1999. [2] A. Zięba, Analiza
Bardziej szczegółowo5. WNIOSKOWANIE PSYCHOMETRYCZNE
5. WNIOSKOWANIE PSYCHOMETRYCZNE Model klasyczny Gulliksena Wynik otrzymany i prawdziwy Błąd pomiaru Rzetelność pomiaru testem Standardowy błąd pomiaru Błąd estymacji wyniku prawdziwego Teoria Odpowiadania
Bardziej szczegółowoLISTA 4. 7.Przy sporządzaniu skali magnetometru dokonano 10 niezależnych pomiarów
LISTA 4 1.Na pewnym obszarze dokonano 40 pomiarów grubości warstwy piasku otrzymując w m.: 54, 58, 64, 69, 61, 56, 41, 48, 56, 61, 70, 55, 46, 57, 70, 55, 47, 62, 55, 60, 54,57,65,60,53,54, 49,58,62,59,55,50,58,
Bardziej szczegółowoWalidacja metod badawczych i szacowanie niepewności pomiaru. Wojciech Hyk
Walidacja metod badawczych i szacowanie niepewności pomiaru Wojciech Hyk wojhyk@chem.uw.edu.pl Plan Zagadnienia poruszane na szkoleniu Wstęp do analizy statystycznej Walidacja metody badawczej / pomiarowej
Bardziej szczegółowoPrzykład 1. (A. Łomnicki)
Plan wykładu: 1. Wariancje wewnątrz grup i między grupami do czego prowadzi ich ocena 2. Rozkład F 3. Analiza wariancji jako metoda badań założenia, etapy postępowania 4. Dwie klasyfikacje a dwa modele
Bardziej szczegółowoStreszczenie 1. WSTĘP
*Politechnika Krakowska **Politechnika Krakowska dokładność pomiarowa, zarządzanie jakością, systemy pomiarowe, Marek RĄCZKA* Jan REWILAK** ZAPEWNIENIE DOKŁADNOŚCI POMIAROWEJ W SYSTEMIE ZARZĄDZANIA JAKOŚCIĄ
Bardziej szczegółowoSpis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Bardziej szczegółowoSzczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
Bardziej szczegółowoStatystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl
Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący
Bardziej szczegółowoWSKAZÓWKI DO WYKONANIA SPRAWOZDANIA Z WYRÓWNAWCZYCH ZAJĘĆ LABORATORYJNYCH
WSKAZÓWKI DO WYKONANIA SPRAWOZDANIA Z WYRÓWNAWCZYCH ZAJĘĆ LABORATORYJNYCH Dobrze przygotowane sprawozdanie powinno zawierać następujące elementy: 1. Krótki wstęp - maksymalnie pół strony. W krótki i zwięzły
Bardziej szczegółowoDiagnostyka w Pakiecie Stata
Karol Kuhl Zgodnie z twierdzeniem Gaussa-Markowa, estymator MNK w KMRL jest liniowym estymatorem efektywnym i nieobciążonym, co po angielsku opisuje się za pomocą wyrażenia BLUE Best Linear Unbiased Estimator.
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do teorii ekonometrii. Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe
Wprowadzenie do teorii ekonometrii Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe Zajęcia Wykład Laboratorium komputerowe 2 Zaliczenie EGZAMIN (50%) Na egzaminie obowiązują wszystkie informacje
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 3. Jeśli p α, to hipotezę zerową odrzucamy Jeśli p > α, to nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej
LABORATORIUM 3 Przygotowanie pliku (nazwy zmiennych, export plików.xlsx, selekcja przypadków); Graficzna prezentacja danych: Histogramy (skategoryzowane) i 3-wymiarowe; Wykresy ramka wąsy; Wykresy powierzchniowe;
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA, LISTA 3
STATYSTYKA MATEMATYCZNA, LISTA 3 1. Aby zweryfikować hipotezę o symetryczności monety; H: p = 0.5 przeciwko K: p 0.5 wykonano nią n = 100 rzutów. Wyznaczyć obszar krytyczny i zweryfikować hipotezę H gdy
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoEkonometria egzamin 07/03/2018
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 07/03/2018 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.
Bardziej szczegółowoWstęp do teorii niepewności pomiaru. Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński
Wstęp do teorii niepewności pomiaru Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński Podstawowe informacje: Strona Politechniki Śląskiej: www.polsl.pl Instytut Fizyki / strona własna Instytutu / Dydaktyka / I Pracownia
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład V. Parametryczne testy istotności
Statystyka matematyczna. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich w dwóch populacjach 2 3 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich
Bardziej szczegółowoTesty post-hoc. Wrocław, 6 czerwca 2016
Testy post-hoc Wrocław, 6 czerwca 2016 Testy post-hoc 1 metoda LSD 2 metoda Duncana 3 metoda Dunneta 4 metoda kontrastów 5 matoda Newman-Keuls 6 metoda Tukeya Metoda LSD Metoda Least Significant Difference
Bardziej szczegółowoWspółczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ
Współczynnik korelacji Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Własności współczynnika korelacji 1. Współczynnik korelacji jest liczbą niemianowaną 2. ϱ 1,
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez dla dwóch zmiennych zależnych. Moc testu. Minimalna liczność próby; Regresja prosta; Korelacja Pearsona;
LABORATORIUM 4 Testowanie hipotez dla dwóch zmiennych zależnych. Moc testu. Minimalna liczność próby; Regresja prosta; Korelacja Pearsona; dwie zmienne zależne mierzalne małe próby duże próby rozkład normalny
Bardziej szczegółowoWykład 5 Problem dwóch prób - testowanie hipotez dla równości średnich
Wykład 5 Problem dwóch prób - testowanie hipotez dla równości średnich Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.03.2017r Problem Behrensa Fishera Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) oznacza próbę z rozkładu normalnego
Bardziej szczegółowoPorównanie modeli statystycznych. Monika Wawrzyniak Katarzyna Kociałkowska
Porównanie modeli statystycznych Monika Wawrzyniak Katarzyna Kociałkowska Jaka jest miara podobieństwa? Aby porównywać rozkłady prawdopodobieństwa dwóch modeli statystycznych możemy użyć: metryki dywergencji
Bardziej szczegółowoHipotezy statystyczne
Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej
Bardziej szczegółowoZadania ze statystyki cz.8. Zadanie 1.
Zadania ze statystyki cz.8. Zadanie 1. Wykonano pewien eksperyment skuteczności działania pewnej reklamy na zmianę postawy. Wylosowano 10 osobową próbę studentów, których poproszono o ocenę pewnego produktu,
Bardziej szczegółowoK wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.
Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.
Bardziej szczegółowoHipotezy statystyczne
Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej próbki losowej. Hipotezy
Bardziej szczegółowoTadeusz SAŁACIŃSKI 1 ANALIZA ZDOLNOŚCI NARZĘDZI I SYSTEMÓW POMIAROWYCH 1. WPROWADZENIE
InŜynieria Maszyn, R. 7, z. 2, 202 system pomiarowy, niepewność pomiarów, wskaźniki zdolności Tadeusz SAŁACIŃSKI ANALIZA ZDOLNOŚCI NARZĘDZI I SYSTEMÓW POMIAROWYCH W artykule zdefiniowane zostały wskaźniki
Bardziej szczegółowoWspomaganie analizy systemów pomiarowych (MSA)
ARCHIVES of FOUNDRY ENGINEERING Published quarterly as the organ of the Foundry Commission of the Polish Academy of Sciences ISSN (1897-3310) Volume 10 Special Issue 3/2010 169 174 33/3 Wspomaganie analizy
Bardziej szczegółowoZawartość. Zawartość
Opr. dr inż. Grzegorz Biesok. Wer. 2.05 2011 Zawartość Zawartość 1. Rozkład normalny... 3 2. Rozkład normalny standardowy... 5 3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów w modelu normalnym
Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia
Bardziej szczegółowoEkonometria egzamin 02/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 02/02/2011 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.
Bardziej szczegółowo