Diagnostyka procesów o parametrach rozłożonych z zastosowaniem sieci sensorów mobilnych

Transkrypt

1 Diagnostyka procesów o parametrach rozłożonych z zastosowaniem sieci sensorów mobilnych Michał Zaąc *, Dariusz Uciński *, Andreas Paczyński ** * Wydział Elektrotechniki, Informatyki i elekomunikaci Uniwersytet Zielonogórski, ul. Podgórna 5, Zielona Góra M.Zaac@weit.uz.zgora.pl, D.Uciński@issi.uz.zgora.pl ** echnik Management, Hochschule Ravensburg-Weingarten Weingarten, Postfach 6, 884 Weingarten, Niemcy paczynski@hs-weingarten.de Streszczenie. Niniesza praca przedstawia zagadnienia związane z wykorzystaniem technik sterowania optymalnego w optymalizaci traektorii ruchu czuników mobilnych w kontekście detekci uszkodzeń danego układu o parametrach rozłożonych. Proces optymalizaci przebiega tak, by maksymalizować moc testu weryfikuącego hipotezę parametryczną dotyczącą nominalnych wartości parametrów, które charakteryzuą normalny stan pracy układu. Zadanie optymalizaci traektorii ruchu czuników przedstawione est w formie problemu sterowania optymalnego i rozwiązane z użyciem narzędzi numerycznych dostępnych w środowisku MALAB. Słowa kluczowe: czuniki mobilne, detekca uszkodzeń, sterowanie optymalne, systemy o parametrach rozłożonych.. Wstęp Proektowanie systemu diagnostycznego est z reguły problemem złożonym, zwłaszcza w przypadku realnych obiektów o skomplikowane strukturze akimi są na pewno układy o parametrach rozłożonych. Pomimo istnienia efektywnych metod służących wykrywaniu i lokalizaci uszkodzeń dla systemów dynamicznych (Korbicz i in., 5), dla układów o parametrach rozłożonych, edne z ważnieszych i ogólnych grup systemów używanych w modelowaniu procesów inżynierskich, zostało stworzonych niewiele efektywnych technik służących temu celowi (Uciński, 5). W szczególności, problemem, któremu należy się dokładnie przyrzeć, est zagadnienie optymalizaci procesu zbierania danych pomiarowych, a zwłaszcza lokalizaci poszczególnych czuników. Powstałe metody dotyczą z reguły czuników staconarnych, natomiast stosunkowo niewiele się mówi o rozwiązaniach dla sensorów mobilnych (które można potraktować ako uogólnienie sensorów staconarnych). Z uwagi na możliwość przemieszczania się i przebywania w obszarze, w którym przeprowadzenie pomiarów est nakorzystniesze w dane

2 8 M. Zaąc et al. chwili, dzięki ruchomym czunikom możliwe est znaczne zwiększenie stopnia optymalności otrzymywanych wyników (Uciński, 5; Rafałowicz, 986). Niniesza praca proponue pewną metodę diagnostyki procesów o parametrach rozłożonych, stanowiącą kontynuacą podeścia zaproponowanego i rozwiniętego w pracach (Uciński, ; Uciński, ; Patan, 4; Patan i Patan, 5; Patan i in., 5). W oparciu o edną z istotnieszych analitycznych technik detekci uszkodzeń, czyli identyfikacę parametryczną, przeprowadzana est optymalizaca traektorii ruchu czuników pomiarowych. Zagadnienie sformułowane w postaci problemu sterowania optymalnego est rozwiązywane tak, by maksymalizować wiarygodność wskazań systemu detekci. Przyętą miarą akości traektorii ze względu na informatywność pomiarów est kryterium D s -optymalności (Atkinson i Donev, 99) wyznaczane w oparciu o informacyną macierz Fishera związaną z parametrami układu. Dodatkowo rozpatrywanym kryterium optymalizaci est czas wykonywania pomiarów. W rzeczywistych zastosowaniach, minimalizaca tego czasu może odpowiadać optymalnemu wykorzystaniu ograniczonego czasu funkconowania mobilnych czuników wykorzystywanych w procesie diagnostycznym, np. ze względu na ograniczoną poemność baterii. Zadanie określenia czasowooptymalnych traektorii czuników przy gwarantowane D s -efektywności rozwiązano z zastosowaniem efektywnych algorytmów numerycznych dostępnych w środowisku Matlab w postaci przybornika RIOS_95 (Schwartz, 996).. Detekca uszkodzeń w oparciu o identyfikacę parametryczną Przy pomocy metod identyfikaci parametryczne można wykryć uszkodzenia systemu zarówno w przypadku, gdy nieprawidłowe działanie układu obawia się zmianami sygnałów weściowych i wyściowych, ak i parametrów modelu. Zakładaąc, że parametry te posiadaą swoą interpretacę fizyczną, na podstawie porównania ich estymat z wartościami nominalnymi można stwierdzić wystąpienie uszkodzenia układu. Dla chwili t horyzontu czasowego [α,β], punktu x obszaru przestrzennego Ω R d oraz wektora θ * oznaczaącego nieznany zestaw stałych parametrów układu, oznaczmy skalarny stan rozważanego układu z czasoprzestrzenną dynamiką przez y y( θ * ). Z użyciem N sensorów ruchomych, które poruszaą się po traektoriach przestrzennych x (,..., x N ( w ciągłym czasie w przedziale [t,t +] [α,β], dokonue się obserwaci stanu układu w celu wyznaczenia oceny wektora θ *. Równanie obserwaci można przedstawić następuąco: * z ( y( x (, θ ) + ε ( () gdzie ε ( ) to biały szum pomiarowy, który est realizacą procesu gaussowskiego o parametrach: E[ε (] oraz var(ε ()σ. Estymaca wektora θ * metodą namniesze sumy kwadratów błędów polega na minimalizaci kryterium (dla θ Θ dop, gdzie Θ dop to zbiór parametrów dopuszczalnych):

3 Diagnostyka procesów 9 N t + J ( θ ) [ z ( yˆ( x ( ), θ )] dt () t gdzie: y ˆ( θ ) rozwiązanie równania stanu dla danego wektora θ. W praktyce, naczęście tylko część informaci zawarte w ocenie wektora parametrów est używana w procesie diagnostyki. Bez utraty ogólności rozważań, można więc przyąć następuącą dekompozycę: θ + () [ θ... θ s θ s... θ m ] [ α β ] gdzie: α podwektor parametrów istotnych dla detekci uszkodzeń, β podwektor nieistotny dla detekci, lecz mogący służyć innemu celowi, np. lokalizaci. Przeprowadzone pomiary stanowią podstawę do weryfikaci hipotezy parametryczne H : αα *, gdzie α * est nominalną wartością α, która odpowiada normalne pracy systemu. Można skonstruować test weryfikuący hipotezę H (Uciński, ; Patan i in., 5; Patan i Patan, 5). Odrzucenie hipotezy H wskazue na wystąpienie uszkodzenia, ze względu na duże odchylenie wektora α od ego wartości nominalne.. Sformułowanie optymalne detekci w kategoriach zadania sterowania optymalnego.. Wyznaczenie traektorii D s -optymalnych Dla ustalonego poziomu istotności, moc testu dla hipotezy alternatywne H :α α * można podwyższyć poprzez zwiększenie wartości kryterium D s -optymalności (Uciński, ; Patan i Patan, 5): Ψ [ M ] det M M M M (4) gdzie M R m m to informacyna macierz Fishera związana z wektorem parametrów układu θ (Uciński, 5; Rafałowicz, 5). Macierz tę dekomponue się na następuące bloki: gdzie: M αα R s s, M R s (m-s), M ββ R (m-s) (m-s). Wprowadzaąc oznaczenie αα ββ M αα M M (5) M M ββ s ( x (, x (,..., x N ( ), t [ t, t + ] (6) ( informacyna macierz Fishera przymue postać

4 4 M. Zaąc et al. N t + M g( x (, g ( x (, dt (7) t gdzie g( θy(t,θ) θθo oznacza wektor tzw. współczynników wrażliwościowych, a θ est wstępną oceną wektora θ. Maksymalizaca kryterium D s -optymalności est równoważna zadaniu minimalizaci wyznacznika oszacowania macierzy kowarianci podwektora α... raektorie o minimalnym czasie z gwarantowaną efektywnością Przyęto, że sensory są przewożone za pomocą poazdów, których ruch est opisany za pomocą równania: ds dt ( f ( s(, u( w przedziale czasowym [ t s, t + ], s() gdzie dana funkca f: R n R r R n musi być ciągle różniczkowalna, a s R n definiue początkową konfiguracę sensorów, a u: [t, t +] R r est mierzalną funkcą sterowania, która spełnia warunek (8) u l u( u u w przedziale czasowym [ t, t + ] (9) dla pewnych wektorów stałych u l oraz u u. Zakłada się, że czuniki powinny pozostawać w pewnym dopuszczalnym obszarze Ω dop, który może być zdefiniowany w następuący sposób gdzie b i to dane funkce, maące ciągłe pochodne. Muszą być także spełnione następuące warunki gdzie i I oraz i N. h Ω { x Ω : b ( x), i,..., I} dop i i ( s( ) bi ( x ( ), t [ t, t + W celu wyznaczenia traektorii czuników w optymalnym czasie skorzystano z miary D s -efektywności (Uciński i Chen, 5), którą można zdefiniować następuąco: ] () () ED s det M det M M M αα ββ αα (ˆ) s M (ˆ) s M ββ M (ˆ) s M (ˆ) s / m () gdzie ŝ oznacza D s -optymalną traektorię otrzymaną dla obserwaci przeprowadzonych w całym dostępnym przedziale czasowym [α,β]. Wartość wyrażenia z mianownika można wyznaczyć wcześnie, a obieraąc rozsądną dodatnią wartość progu η <, można wprowadzić ograniczenie w postaci: E D (s) η ()

5 Diagnostyka procesów 4 co, dae w wyniku przekształceń równoważną postać ograniczenia Ψ[ M ] Ψ[ M ( sˆ)] m log( η) (4) Definiuąc zestaw czwórek postaci (dla wykonalnego przedziału czasu [α, β]) N P {( s, u, t, ) s Ω,[ t, t + ] [ α, β ], u :[ t, t + ] R r est mierzalna, u u u l u w [ t, t + ]} (5) można sformułować problem optymalizaci pomiarów w minimalnym czasie: Problem : Znaleźć czwórkę postaci (s, u, t, ) P, która minimalizue J s, u, t, ) ( (6) Istnienie wielu ograniczeń bardzo komplikue proces rozwiązywania tak postawionego zadania. Jednakże można rozważyć przedstawienie problemu (6) w kategoriach sterowania optymalnego w postaci kanoniczne (np. Mayera), gdzie kryterium akości est zdefiniowane edynie za pomocą końcowych wartości wektora stanu. Szczegóły zawiera praca (Uciński i Chen, 5). Sformułowany w ten sposób problem może być łatwo rozwiązany przy użyciu dostępnych środowisk przetwarzania numerycznego (np. Matlaba z przybornikiem RIOS_95). 4. Przykład numeryczny W celu zilustrowania przedstawione metody, rozpatrzmy dwuwymiarowe równanie dyfuzi w postaci: y (κ y) + F (7) t dla x Ω(,) oraz t [α,β][,], gdzie κ to współczynnik dyfuzi określony następuąco: κ ( x) θ + θ x + θ x (8) o stałych współczynnikach θ, θ, θ, a F est dane wzorem: F(exp(-5(x - ). Równanie (7) uzupełnia się zerowymi warunkami początkowymi oraz zerowymi brzegowymi warunkami Dirichleta. Wartości θ., θ -.5, θ. są nominalnymi wartościami parametrów dla bezawarynego stanu procesu. Przyęto, że nadmierne odstępstwa parametrów θ oraz θ od ich wartości nominalnych są oznaką uszkodzenia. Pomiary przeprowadzono z użyciem trzech czuników mobilnych. Aby wyznaczyć macierz informacyną, należy znać współczynniki wrażliwościowe

6 4 M. Zaąc et al. y( θ ) g (, θ y( θ ) g (, θ y( θ ) g ( (9) θ wyznaczone dla wartości nominalnych współczynników θ, θ, θ. W tym celu należy rozwiązać następuący układ równań różniczkowych cząstkowych: y ( κ y) + F, t g y + ( κ g ), t g ( x y) + ( κ g ), t g ( x y) + ( κ g ), t () Dokonać tego można z zastosowaniem metod numerycznych przy użyciu przybornika Partial Differential Equation z pakietu Matlab. Przy rozwiązywaniu zdefiniowanego powyże problemu sterowania optymalnego niezbędna est znaomość wartości g wzdłuż traektorii ruchu czuników. Ponieważ nie możliwe est przechowanie w pamięci wartości we wszystkich punktach, przechowywana est edynie ich niewielka liczba i na ich podstawie przeprowadzana est odpowiednia interpolaca z użyciem funkci skleanych (sześciennych, w przypadku przestrzeni oraz liniowych, w przypadku czasu). Liczba podziałów prostokątne siatki równomierne, na które rozwiązano problem, wynosi punktów. Przy użyciu przybornika RIOS_95 można wyznaczyć optymalne traektorie ruchu. W tym celu został zastosowany prosty model a także następuące ograniczenia na u: ds ( u(, s( t ) s () dt u i (.7, t [ t, t + ], i,...,6 () Obliczenia przeprowadzono dla dwóch przypadków: w pierwszym przypadku bez optymalizaci czasu pomiaru, z wykorzystaniem kryterium D s -optymalności (rys. a), a w drugim przypadku, z uwzględnieniem czasu ako kryterium optymalizacynego, i z gwarantowaną D s -efektywnością na poziomie.8 (rys. b). Aby uniknąć utknięcia w lokalnym minimum, dla każdego z przypadków przeprowadzono symulace z użyciem kilku różnych punktów początkowych. W wyniku otrzymano optymalne wartości t *.458 oraz *.547. Obliczenia te zostały wykonane z użyciem komputera PC (Intel Pentium M.7 GHz, 5 MB RAM, Windows XP) w środowisku Matlab 7., a rozwiązania zostały znalezione w czasie od 5 do minut.

7 Diagnostyka procesów x.6.4 x x x Rys. Optymalne traektorie ruchu czuników (a) dla kryterium D s -optymalności bez optymalizaci czasu (po lewe) oraz (b) w czasie optymalnym (po prawe), ze współczynnikiem D s -efektywności na poziomie Wnioski W pracy przedstawiono sposób wykorzystania metod sterowania optymalnego do optymalizaci traektorii ruchu czuników mobilnych w zadaniu detekci uszkodzeń w układach o parametrach rozłożonych. Sformułowany został problem optymalnego przeprowadzenia pomiarów w celu maksymalizaci wiarygodności decyzi systemu diagnostyki, z ednoczesnym uwzględnieniem minimalnego czasu prowadzenia obserwaci. Pokazano, że problem można sprowadzić do pewnego zadania sterowania optymalnego, które dae się przedstawić postaci kanoniczne, co pozwala na ego efektywne rozwiązanie z użyciem narzędzi numerycznych dostępnych w środowisku Matlab (przyborniki PDE oraz RIOS_95). Diagnostics of distributed-parameter systems using mobile sensor networks Abstract. his work presents an application of optimal control techniques to optimization of mobile sensors traectories in the context of technical diagnostics for distributed-parameter systems. he optimization process is performed so as to minimize the time of observations while guaranteeing satisfactory values of the power of a test which verifies a parametric hypothesis connected with the nominal values of the parameters characterizing the normal functioning of the system. he task of sensor traectory design is formulated as an optimal control problem which is then solved with the use of numerical tools accessible in the MALAB environment.

8 44 M. Zaąc et al. Literatura Atkinson, A.C. i Donev, A.N. (99). Optimum Experimental Designs. Clarendon Press, Oxford. Korbicz, J., Kościelny, J.M., Kowalczuk, Z. i Cholewa, W. (4). Fault Diagnosis: Models, Artificial Intelligence, Applications. Springer-Verlag, Berlin. Patan, M. (4): Optimal Observation Strategies for Parameter Estimation of Distributed Systems. echnical University Press, Zielona Góra. Patan, M. i Patan K. (5): Optimal observation strategies for model-based fault detection in distributed systems. International Journal of Control, Vol.78, No.8, pp Patan, M., Uciński, D. i Baranowski, P. (5): Optymalne strategie obserwaci w detekci uszkodzeń układów o parametrach rozłożonych. PAK 9bis/5: 7-7. Rafałowicz, E. (5): Optymalizaca eksperymentu z zastosowaniami w monitorowaniu akości produkci. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskie, Wrocław. Rafałowicz, E. (986): Optimum choice of moving sensor traectories for distributed parameter system identification. International Journal of Control, Vol. 4, No.5, pp Schwartz, A.L. (996): heory and Implementation of Numerical Methods Based on Runge-Kutta Integration for Solving Optimal Control Problems. Ph.D hesis, Unversity of California, Berkeley. Uciński, D. (): Optimal Selection of Measurement Locations for Parameter Estimation in Distributed Processes. International Journal of Applied Mathematics and Computer Science, Vol., Nr. Uciński, D. (): O optymalnym planowaniu eksperymentu w diagnostyce procesów. Konferenca N- Diagnostyka Procesów Przemysłowych, DPP', Władysławowo, pp. 7-. Uciński, D. i Chen, Y.Q. (5): ime-optimal path planning of moving sensors for parameter estimation of distributed systems, Proc. 44 th IEEE Conference on Decision and Control, and the European Control Conference 5, Seville, Spain, December -5, pp Uciński, D. (5): Optimal Measurement Methods for Distributed-Parameter System Identification. CRC Press, Boca Raton, FL.