ROZKŁAD CZASU TRWANIA CZYNNOŚCI A TERMIN ZAKOŃCZENIA PRZEDSIĘWZIĘCIA Z UWZGLĘDNIENIEM ELEMENTÓW ANALIZY RYZYKA
|
|
- Jerzy Świątek
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Dane bibliograficzne o artykule: ROZKŁAD CZASU TRWANIA CZYNNOŚCI A TERMIN ZAKOŃCZENIA PRZEDSIĘWZIĘCIA Z UWZGĘDNIENIEM EEMENTÓW ANAIZY RYZYKA Mieczysław Połoński 1 Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie Streszczenie. W pracy przeanalizowano na prostym przykładzie wpływ rozkładu czasu trwania pojedynczej czynności na termin zakończenia całego przedsięwzięcia. Rozpatrzono dwa typy rozkładów: rozkład trójkątny i beta. Obliczenia wykonano deterministyczną metodą CPM z uwzględnieniem różnego sposobu szacowania czasu czynności, klasyczną metodą PERT oraz metodą symulacyjną Monte Carlo przy użyciu programu Pertmaster Professional +Risk firmy Pertmaster. Zwrócono uwagę, że sposób szacowania czasu pojedynczej czynności na podstawie znanego typu jego rozkładu ma wyraźny wpływ na termin zakończenia przedsięwzięcia uzyskany w metodzie CPM. Wykazano, że w przypadku trójkątnego rozkładu czasu czynności nie powinno się używać mody jako deterministycznej oceny czasu czynności. Obliczenia przeprowadzone metodą PERT i metodą symulacyjną doprowadziły do porównywalnych terminów zakończenia przedsięwzięcia, jednak w obu przypadkach wynik w dużej mierze był uzależniony od przyjętego typu rozkładu czasu pojedynczej czynności. Słowa kluczowe: harmonogram sieciowy, czas czynności, analiza ryzyka, Pertmaster, zarządzanie projektami WSTĘP Planowanie realizacji obiektów inżynierskich oraz sporządzanie harmonogramu jego wykonania zawsze obarczone jest pewną dozą niepewności. Wynika to z faktu, że każdy proces planowania zawiera w sobie element wybiegania w przyszłość a to zawsze związane jest z brakiem pewności, co do rzeczywistego przebiegu nadchodzących zdarzeń. Wśród kadry inżynierskiej odpowiedzialnej za zarządzanie realizacją inwestycji od dawna istnieje świadomość konieczności ujmowania tego elementu niepewności w harmonogramach 1 Adres do korespondencji Corresponding autor Mieczysław Połoński Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego, Katedra Geoinżynierii, ul Nowoursynowska 159, Warszawa, mieczyslaw_polonski@sggw.pl W literaturze można spotkać wiele definicji pojęcia niepewności i ryzyka [Cooke 1991, Roland, Moriarty 1990, Karczmarek 005]. Najogólniej można przyjąć, że o ryzyku mówimy w sytuacji, kiedy jesteśmy w stanie określić istniejące zagrożenia i oszacować prawdopodobieństwa ich wystąpienia natomiast pojęcie niepewności łączy się z przypadkowością i często używa się go jako synonimu zawodności oraz wątpliwości co do przyszłego przebiegu zdarzeń [Karczmarek 005] 1
2 budowlanych [Połoński 1979], jednak zagadnienie to jest trudne do ujęcia ilościowego. W pierwszych harmonogramach, zarówno liniowych jak i następnie sieciowych, czasy trwania czynności szacowano jako wartości pewne, deterministyczne. Brak uwzględnienia rozkładu prawdopodobieństwa czasu trwania pojedynczej czynności w metodzie CPM nie pozwalał określić prawdopodobieństwa dotrzymania terminu końcowego całego przedsięwzięcia. Dopiero metoda PERT wprowadziła możliwość traktowania czasu trwania czynności jako zmiennej losowej o znanym rozkładzie prawdopodobieństwa [Jaworski 1999]. Taki sposób podejścia do szacowania czasu wykonania poszczególnych czynności w połączeniu z pokazaniem powiązań w kolejności realizacji czynności w harmonogramie w postaci sieci zależności pozwolił określić prawdopodobieństwa dotrzymania terminów wykonania poszczególnych czynności i/lub całego przedsięwzięcia. Z czasem podejmowano kolejne próby udoskonalenia harmonogramów budowlanych [Pr. zbiorowa pod red. Michnowskiego 1985, Połoński 1995]. Dotyczyły one miedzy innymi sposobu budowania sieci zależności (opracowanie metody jednopunktowej, w której strzałki reprezentują połączenia między czynnościami, rozszerzenie sposobu definiowania połączenia dwóch czynności czy wprowadzenie czynności cyklicznych aż do konstrukcji sieci stochastycznych z możliwością wyboru alternatywnych wariantów przebiegu wykonania przedsięwzięcia), algorytmów rozdziału swobodnego zapasu czasu czynności, określania niezawodności wykonania całego harmonogramu sieciowego i poszczególnych ciągów czynności, wprowadzenia powiązania terminów wykonania czynności z dostępnymi zasobami, stosowania buforów czasu i rezerw zasobów. METODA OBICZANIA TERMINU ZAKOŃCZENIA ROBÓT Ostatnio w analizie harmonogramów sieciowych coraz częściej stosowane są elementy analizy ryzyka, zwłaszcza w odniesieniu do jego dwóch podstawowych parametrów: czasu trwania i kosztu wykonania. W odniesieniu do terminów dotyczą one głównie określenia prawdopodobieństwa dotrzymania obliczonej w harmonogramie daty zakończenia robót lub inaczej mówiąc określenia daty zakończenia robót jako zmiennej losowej o znanym przebiegu, pozwalającym ustalić daty zakończenia na z góry założonym poziomie prawdopodobieństwa. Takie podejście pozwala ograniczyć lub całkowicie wyeliminować przyjęcie zbyt krótkiego czasu wykonania budowy o niskim prawdopodobieństwie dotrzymania a tym samym ograniczyć jego ujemne skutki [Stumpf 001]. Jednym z bardziej znanych programów komputerowych umożliwiających wykonanie obliczeń analizy ryzyka w harmonogramie sieciowym jest Pertmaster Professional
3 +Risk firmy Pertmaster [ Wiatr 004]. W przeciwieństwie do tradycyjnego sposobu analizy harmonogramu sieciowego program ten wykorzystuje technikę symulacyjną Monte Carlo [Fishman 1981] do określenia rozkładu parametrów poddanych analizie ryzyka. Wygodny sposób edycji danych do obliczeń wbudowany w program umożliwia szybkie wykonanie wielowariantowych analiz i śledzenie wpływu wartości parametrów obliczeniowych na ostateczny wynik. Z drugiej strony odmienna metodyka prowadzenia obliczeń w stosunku do metody PERT umożliwia porównanie wyników obliczeń uzyskanych tymi metodami. Jednak niezależnie od zastosowanej metodyki kluczowe znaczenie dla końcowego wyniku obliczeń ma sposób szacowania czasu pojedynczej czynności zastosowany w harmonogramie. W metodzie PERT zastosowano rozkład beta [Benjamin, Cornell 1977], przy czym w praktyce przyjęto uproszczony sposób szacowania czasu oczekiwanego jako średniej ważonej z trzech ocen czasu: optymistycznej, najbardziej prawdopodobnej i pesymistycznej [Jaworski 1999, Połoński 001]. Pomimo, że rozkład beta dopuszcza niesymetryczny rozkład wag zdecydowanie najczęściej wykorzystuje się rozkład symetryczny odpowiednio z wagami 1, 4, 1. Warto zauważyć, że brak precyzji w sposobie zdefiniowania pojęć czasu optymistycznego, pesymistycznego i najbardziej prawdopodobnego oraz zaproponowany sposób szacowania rozkładu czasu czynności nie posiada odpowiedniego uzasadnienia teoretycznego, co było podnoszone w literaturze [Wiatr 004]. Z drugiej strony brak uzasadnienia teoretycznego nie przeszkodził w praktyce w stosowaniu z dobrym skutkiem zaproponowanych rozwiązań. Jako miarę rozrzutu szacowanych czasów trwania czynności w metodzie PERT stosuje się wariancję, którą w tym wypadku oblicza się ze wzoru [Jaworski 1999, Połoński 001]: T B T A 6 gdzie T A i T B to czas optymistyczny i pesymistyczny czynności Znając wariancję czasu trwania każdej czynności można dla terminu obliczonego w analizie czasu określonej czynności czy zdarzenia (np końcowego całego przedsięwzięcia) obliczyć tzw. zmienną standaryzowaną [Jaworski 1999, Połoński 001] a następnie z dystrybuanty rozkładu normalnego N(0,1) odczytać wartość prawdopodobieństwa dotrzymania tego terminu. 3
4 W programie Pertmaster Professional +Risk znacznie rozszerzono możliwość definiowania rozkładu czasu każdej czynności. Użytkownik ma do wyboru aż jedenaście rozkładów (między innymi rozkład normalny, beta, lognormalny, trójkątny) przy pomocy których, może określić rozkład każdej czynności oddzielnie. Oczywiście, w zależności od zastosowanego typu rozkładu do określenia czasu trwania czynności wymagane są odpowiednie parametry tego rozkładu. Po zdefiniowaniu przez użytkownika typów rozkładu i ich parametrów dla wszystkich czynności program analizuje w procesie symulacji zadane dane i na ich podstawie określa rozkład poszukiwanej wartości np terminu zakończenia całego przedsięwzięcia. OBICZENIA TERMINÓW ZAKOŃCZENIA ROBÓT I ICH PRAWDOPODOBIEŃSTWA W literaturze można spotkać szereg artykułów omawiających sposób zastosowania modułu analizy ryzyka w programie Pertmaster Professional +Risk oraz korzyści wynikające z prowadzenia tego rodzaju analizy. Stosunkowo często cytowanym omówieniem tego zagadnienia jest publikacja Huletta dostępna na stronie internetowej firmy Pertmaster. Zawarto w niej bardzo prosty, poglądowy przykład obliczeniowy, który na pierwszy rzut oka wykazuje w dobitny sposób przewagę prowadzenia analizy ryzyka w stosunku do deterministycznej metody CPM. W przykładzie przedstawiono dwuczynnościową sieć zależności (rys. 1). A101 A10 F Rys. 1 Sieć zależności z dwoma czynnościami Fig. 1. The project network with two tasks Czynności A101 i A10 wykonywane są sekwencyjnie, jedna po drugiej. W analizie CPM czasy trwania czynności przyjęto odpowiednio jako 50 i 80 dni, co łącznie daje 130 dni jako termin zakończenia przedsięwzięcia. W przykładzie operowano datami: termin rozpoczęcia ustalono 1.X.001, a więc po uwzględnieniu dni wolnych termin zakończenia wypadł.iv.00. W dalszej kolejności w przykładzie włączono do obliczeń wyniki analizy ryzyka. W tym celu zdefiniowano rozkłady czasu trwania czynności i dla obu czynności przyjęto rozkład trójkątny uzasadniając to prostą estymacją parametrów oraz brakiem znajomości przesłanek, które wskazałyby na inny typ rozkładu. W przypadku rozkładu 4
5 trójkątnego, podobnie jak w rozkładzie beta, wystarczy podać trzy oceny czasu: dwie skrajne tzn. najkrótszą i najdłuższą oraz najbardziej prawdopodobną. W przykładzie przyjęto odpowiednio: dla czynności A101 (40,50,100) a dla czynności A10 (70,80,100). Z przyjętych czasów wynika, że do analizy CPM przyjęto wartości modalne. Następnie harmonogram poddano symulacji o liczbie iteracji równej 500. W wyniku obliczeń uzyskano rozkład prawdopodobieństwa dotrzymania terminu końcowego przedsięwzięcia, przedstawiony na rys. w postaci histogramu i dystrybuanty tego rozkładu. Na lewej osi rzędnych podano planowany czas trwania przedsięwzięcia w dniach kalendarzowych a na prawej osi rzędnych podano daty zakończenia przedsięwzięcia oraz prawdopodobieństwa ich dotrzymania. Uzyskane wyniki obliczeń są zgodne z wynikami przytaczanymi przez Hulett a. Rys.. Wyniki analizy ryzyka w programie Pertmaster w przypadku trójkątnego rozkładu prawdopodobieństwa czynności Fig.. The Pertmaster risk analysis results for the triangular task durations distributions Z wykresu dystrybuanty i legendy można odczytać, że prawdopodobieństwo dotrzymania terminu ustalonego metodą CPM wynosi tylko około 13%! Jak wskazuje histogram, konkretną datą zakończenia o największym prawdopodobieństwie wystąpienia (około 33%) jest termin 14.IV.0 (138 dni rob.), a aby uzyskać 50% prawdopodobieństwo dotrzymania terminu przedsięwzięcie należy założyć datę ukończenia jako 3.IV.00 (145 dni rob.). Chcąc uzyskać np 80% pewności dotrzymania zaplanowanego terminu przedsięwzięcie powinno założyć się datę ukończenia jako 14.V.00 (160 dni rob.), tzn. około 6 tygodni kalendarzowych później niż wynika to z terminu deterministycznego co 5
6 oznacza wydłużenie przedsięwzięcia o blisko 5%. Przewaga obliczeń wykonanych z zastosowaniem analizy ryzyka wydaje się oczywista. Jak już zauważono, do analizy CPM przyjęto wartości modalne, o największym prawdopodobieństwie wystąpienia. Jednak znając rozkłady czasu trwania czynności przyjęte do obliczeń w analizie ryzyka można rozważyć, czy oszacowanie czasu czynności przyjęte w metodzie CPM, do której porównuje się wyniki obliczeń z uwzględnieniem analizy ryzyka, zostało wykonane prawidłowo. Skłania to również do postawienia dwóch ogólniejszych pytań: jak należy określać czas trwania czynności w deterministycznej metodzie CPM na podstawie trójkątnego rozkładu prawdopodobieństwa i jaki to ma wpływ na wyniki analizy czasu? jaki wpływ na wyniki analizy ryzyka ma przyjęty do obliczeń typ rozkładu czasu pojedynczej czynności? W celu odpowiedzi na pierwsze pytanie przeanalizowano wyniki obliczeń zakładając, że czas czynności będzie ustalony jako: Moda, Średnia arytmetyczna, Mediana, Średnia ważona z wagami 1,4,1 (jak w klasycznej metodzie PERT), Średnia ważona z wagami 1,3, ze względu na prawo-asymetryczny rozkład czasu obu czynności. Uzyskany rozkład prawdopodobieństwa dotrzymania terminu końcowego (rys. ) użyto do odczytania prawdopodobieństwa dotrzymania terminów uzyskanych w metodzie CPM, przy różnych sposobach szacowania czasu pojedynczej czynności. Wyniki obliczeń zestawiono w tabeli 1. 6
7 Tabela 1. Terminy zakończenia przedsięwzięcia w metodzie deterministycznej i ich prawdopodobieństwo Table 1. The project completion dates for the CPM method and their probability Szacowanie/ Estimations T A101/ Dur. T A10/ Dur. Termin zakończenia przedsięwzięcia w metodzie CPM/ Project completion date for the CPM method Data zakończenia/ Project completion date for the CPM method Prawdopodob. dotrzymania terminu końcowego wg Pertmastera/ Probability of project completion date Moda/Mode IV.0 13% Średnia IV.0 5% arytmetyczna/ Arithmetic mean Mediana/Median IV.0 45% Średnia ważona 1:4:1/ Weightedaverage 1:4:1 Średnia ważona 1:3:/ Weightedaverage 1:3: IV.0 35% % Porównując otrzymane wyniki łatwo zauważyć, że przyjęty do obliczeń przez Huletta czas czynności jako moda daje zdecydowanie najkrótszy czas trwania czynności a tym samym najmniejsze prawdopodobieństwo dotrzymania terminu końcowego. Znając rozkłady czasu czynności oraz korzystając z metodyki PERT można obliczyć termin zakończenia przedsięwzięcia zakładając określony poziom prawdopodobieństwa. Zmienną standaryzowaną oblicza się ze wzoru [Jaworski 1999, Połoński 001]: U NPZ ( ) W NWZ ( ) P gdzie: NPZ NWZ - różnica terminów najpóźniejszych i najwcześniejszych w analizowanym zdarzeniu (luz czasu zdarzenia), ( W ) ( ) P występujących na danym zdarzeniu. - pierwiastek z sumy wariancji ze ścieżki, która zdecydowała o terminach Oczytując z dystrybuanty rozkładu normalnego N(0,1) wartość zmiennej standaryzowanej U można z przytoczonego wzoru obliczyć licznik, czyli luz czasu, o jaki należy przedłużyć termin końcowy przedsięwzięcia, aby uzyskać prawdopodobieństwo dotrzymania terminu końcowego na założonym poziomie. Dla poziomu prawdopodobieństwa 80% zmienna standaryzowana odczytana z tablic dystrybuanty rozkładu N(0,1) wynosi około 7
8 0,84. Wystarczy wymnożyć tę wartość przez pierwiastek z sumy wariancji obu czynności, aby uzyskać poszukiwany luz czasu. Jednak, aby dokonać niezbędnych obliczeń w pierwszej kolejności należy policzyć wariancję czasu trwania każdej czynności. W przypadku rozkładu trójkątnego można tego dokonać albo na podstawie wzorów uproszczonych, albo dokładnie poprzez całkowanie. A: x Wykorzystano dwie formuły przybliżone na obliczenie wariancji: = (T B T A ) /4 [Zieliński] B: x = ((T B T A ) + (T M T A )(T M T B ))/18 [Wasilewski] gdzie T A, T M, T B to optymistyczny, najbardziej prawdopodobny i pesymistyczny czas trwania czynności. W celu porównania wyników obliczeń wykorzystano również formułę stosowaną w metodzie PERT dla rozkładu beta tzn.: C: x = ( (T B T A )/6) Było to możliwe ze względu na bardzo podobny sposób szacowania parametrów rozkładu beta i trójkątnego (na podstawie trzech ocen czasu). Wartość dokładną wariancji policzono wg wzoru [Beniamin, Cornell]: D: x = x mx f x dx x gdzie x jest wartością czasu trwania czynności a m x jego wartością średnią. Wyniki obliczeń wariancji różnymi formułami oraz wartości luzu czasu, o które należy wydłużyć przedsięwzięcie, aby uzyskać 80% pewności dotrzymania terminu końcowego zestawiono w tabeli. Tabela. Wariancja czynności i luz czasu zdarzenia końcowego Table. The task variance and slack of time for the end of project Czynność/ Task Wariancja/ Variance A B C D A A Suma uz zd. końcowego/ Slack of time for the end of project 11,8 1,5 9,6 1,5 Jak wynika z przytoczonych obliczeń, sposób szacowania wariancji nie ma istotnego znaczenia dla wartości, o jaką należy przedłużyć przedsięwzięcie. Ponieważ stosunkowo 8
9 prosto i dokładnie wyznacza się wariancję formułą przybliżoną B do dalszych analiz przyjęto wynik uzyskany z tego wariantu tzn. 1,5 a po zaokrągleniu 13 dni roboczych. Znając czas, o jaki należy wydłużyć realizację przedsięwzięcia można wyznaczyć termin zakończenia przedsięwzięcia na 80% poziomie prawdopodobieństwa uzależniony od sposobu szacowania czasu trwania czynności. Wyniki obliczeń zestawiono w tabeli 3. Przypomnijmy, że wg programu Pertmaster termin zakończenia przedsięwzięcia na poziomie prawdopodobieństwa 80% wypadał 14.V.0 (160 dni rob.). To znaczy, że wyniki obliczeń wg metody PERT i Pertmaster, oprócz mody, różnią się maksymalnie o około 10 dni roboczych w zależności od sposobu szacowania czasu pojedynczej czynności. Widać również, że i w tym wypadku przyjęcie mody jako oceny czasu deterministycznego daje najgorsze wyniki. Tabela 3. Terminy zakończenia przedsięwzięcia w metodzie PERT i ich prawdopodobieństwo Table 3. The project completion dates for the PERT method and their probability Szacowanie/ Estimations T A101/ Dur. T A10/ Dur. Termin zakończenia przedsięwzięcia w metodzie CPM/ Project completion date for the CPM method uz czasu/ Slack of time Termin zakończenia wg metody PERT/ Project duration for the PERT method Data zakończenia/ Project completion date Moda/Mode IV.0 48% Średnia arytmetyczna/ Arithmetic mean Mediana/Medi an Średnia ważona 1:4:1/ Weightedaverage 1:4:1 Średnia ważona 1:3:/ Weightedaverage 1:3: V.0 79% V.0 75% IV.0 67% V.0 87% Prawdopo. dotrzymania terminu końcowego wg Pertmastera/ Prrobability of project completion date Na zakończenie prowadzonych analiz sprawdzono, jaki wpływ na wyniki analizy ryzyka ma przyjęty do obliczeń typ rozkładu czasu pojedynczej czynności. Rozważono dwa zbliżone typy rozkładów: trójkątny i beta. Jak już wspomniano podyktowane to zostało możliwością definiowania parametrów rozkładów na podstawie trzech ocen czasu. Obliczenia wykonano w programie Pertmaster. Wyniki obliczeń zestawiono w tabeli 4. 9
10 Rys.3. Wyniki analizy ryzyka w programie Pertmaster przy rozkładzie prawdopodobieństwa czynności beta Fig. 3. The Pertmaster risk analysis results for the beta type distributions of task durations Tabela 4. Terminy zakończenia przedsięwzięcia o różnym poziomie prawdopodobieństwa obliczone w programie Pertmaster przy rozkładach prawdopodobieństwa czasu czynności trójkątnym i beta Table 4. The project completion dates for different probability level calculated by the Pertmaster program for triangular and beta distributions task durations Termin zakończenia przedsięwzięcia/ Completion date Najbardziej prawdopodobny / For the highest probability O prawdopodobieństwie 50%/ For the 50% probability O prawdopodobieństwie 80%/ For the 80% probability Rozkład trójkątny/ Rozkład beta/ Beta Triangular distributions distributions Data / Date 14.IV.0 3.IV.0 14.V.0 Dni robocze/ Duration Data/ Date Dni robocze/ Duration IV IV IV Analizując zestawione wyniki obliczeń można wyraźnie zauważyć, że typ rozkładu czasu czynności miał w tym wypadku wpływ na uzyskane dane. Wynik ten uzyskano pomimo bardzo zbliżonego typu zastosowanych rozkładów. Założenie rozkładu trójkątnego powoduje, że uzyskane terminy zakończenia przedsięwzięcia, i to dla wszystkich rozpatrywanych poziomów prawdopodobieństwa, są późniejsze w stosunku do rozkładu beta. Dodatkowo 10
11 potwierdza to uzyskane prawdopodobieństwo dotrzymania terminu dyrektywnego na poziomie 9% przy rozkładach beta, w stosunku do 13% uzyskanych przy rozkładach trójkątnych. W celu pełniejszej weryfikacji tego wniosku należałoby w przyszłości przeanalizować wpływ kształtu rozkładu trójkątnego na termin zakończenia przedsięwzięcia i jego prawdopodobieństwo. Warto również zauważyć, że termin zakończenia przedsięwzięcia na poziomie prawdopodobieństwa 80% uzyskany z obliczeń wg metody PERT wypadł 30.IV.0 (150 dni rob.), to znaczy odbiega od wyniku uzyskanego z programu Pertmaster przy rozkładzie beta tylko o 3 dni robocze. PODSUMOWANIE Uzyskane wyniki obliczeń wyraźnie wykazały, że w metodzie deterministycznej sposób szacowania czasu trwania czynności ma decydujące znaczenie dla ostatecznego wyniku obliczeń. Zakładając trójkątny rozkład czasu trwania czynności w deterministycznej ocenie czasu moda daje wyniki odbiegające w stosunku do wszystkich innych rozpatrywanych sposobów szacowania. Wydaje się, że w tym wypadku należy operować średnią ważoną wg założeń metody PERT. Na ostateczny wynik obliczeń nie ma istotnego wpływu sposób szacowania wariancji czasu czynności i można zastosować uproszczoną formułę x = ((T B T A ) + (T M T A )(T M T B ))/18. Obliczenie terminu zakończenia przedsięwzięcia na założonym poziomie prawdopodobieństwa wg klasycznej metody PERT prowadzi do zbliżonych wyników jak analiza ryzyka prowadzona w programie Pertmaster przy założeniu rozkładu beta czasu trwania czynności. Program Pertmaster Professional +Risk umożliwia jednak przeprowadzenie tych obliczeń sprawniej, w znacznie szerszym zakresie i z możliwością wykonania wielu wariantów obliczeniowych. Przeprowadzone obliczenia wykazały, że w przypadku małej sieci zależności, liczącej zaledwie kilka czynności na ostateczny termin zakończenia przedsięwzięcia na określonym poziomie prawdopodobieństwa ma wpływ typ rozkładu czasu czynności założony dla poszczególnych czynności. Ma to szczególne znaczenie, biorąc pod uwagę fakt, że często w praktyce inżynierskiej nie ma jasnych przesłanek, który typ rozkładu należy przyjąć do obliczeń. W takich przypadkach ostatecznym argumentem jest prostota szacowania parametrów takiego rozkładu, co głównie wskazuje na rozkłady beta i trójkątny. Jednak jak wykazano w obliczeniach, nawet pomiędzy wynikami uzyskanymi na podstawie tych dwóch 11
12 rozkładów, pomimo praktycznie identycznego sposobu szacowania parametrów tych rozkładów mogą istnieć spore rozbieżności. Warto mieć tego świadomość i dokonywać symulacji obliczeniowych z uwzględnieniem różnych typów rozkładu, szczególnie, jeśli stosowany program obliczeniowy to w prosty sposób umożliwia. Trudno jest oszacować, czy przedstawiony wniosek ma zastosowanie do dużych sieci zależności, złożonych z kilkudziesięciu czy kilkuset czynności. Jak wiadomo z centralnego twierdzenia granicznego w takim wypadku rozkład dla zdarzenia końcowego będzie dążył do rozkładu normalnego. Jaki to będzie miało wpływ na wyniki obliczeń należało by zweryfikować odrębnymi eksperymentami numerycznymi, które autor zamierza podjąć w najbliższej przyszłości. PIŚMIENNICTWO Benjamin J.R., Cornell C.A. 1977: Rachunek prawdopodobieństwa, statystyka matematyczna i teoria decyzji dla inżynierów. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne. Warszawa. Cooke R.M., 1991: Experts in uncertainty. Oxford University Press. Fishman G.S. 1981: Symulacja komputerowa. PWE Hulett D.T. 1996: Schedule risk analysiss simplified. Jaworski K.M. 1999: Metodologia projektowania realizacji budowy. PWN Karczmarek T. T. 005: Ryzyko i zarządzanie ryzykiem. Difin. Warszawa. Podstawy organizacji zarządzania i technologii w budownictwie. Praca zbiorowa pod redakcją Z. Michnowskiego, Arkady. Warszawa Połoński M., Element ryzyka w harmonogramach sieciowych. Gospodarka wodna, Połoński M., Planowanie realizacji inwestycji melioracyjnych w funkcji czasu i środków na podstawie harmonogramów sieciowych. Wydawnictwo SGGW Warszawa. Połoński M., 001: Harmonogramy sieciowe w robotach inżynierskich. Wydawnictwo SGGW Warszawa. Roland H. E., Moriarty B., 1990: System safety engineering and management. A Wileey- Interscience Publication John Wiley & Sons, Inc. New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapure. Stumpf G.R., 001: Schedule delay analysis. Cost Engineering Vol. 4 Wasilewski A.: Struktura przedsiebiorstwa Wiatr T., 004: Symulacja ryzyka przedsięwzięć na tle klasycznej metody PERT. Materiały konferencyjne Ryzyko 004. Ciechocinek. Wydawnictwo TNOiK Bydgoszcz. 1
13 Zieliński W.: Rozkłady prawdopodobieństwa THE PROBABIITY DISTRIBUTIONS OF TASK DURATIONS AND PROJECT COMPETION DATE WITH RISK ANAYSIS EEMENTS Abstract. The impact of applying two different types of distribution of task durations on the project completion date has been analyzed in a simple case study. The distributions are triangular and beta. Calculations were based on three methods: CPM including different way of estimating the task durations, PERT and Monte Carlo using a computer program Pertmaster Professional +Risk. Essential relations between the task durations distributions of each activity and project completion date obtained by CPM method were underlined. It was also indicated that mode is a bad estimator for time duration. Calculations that were carried out by PERT and Pertmaster simulations methods brought to comparable project completion dates, although in both cases the result largely depended on task duration s distributions for each activity. Key words: network schedule, task duration, risk analysis, Pertmaster, project management 13
WPŁYW TYPU ROZKŁADU CZASU TRWANIA CZYNNOŚCI NA WYNIKI ANALIZY RYZYKA W PLANOWANIU REALIZACJI PRZEDSIĘWZIĘĆ
Dane bibliograficzne o artykule: http://mieczyslaw_polonski.users.sggw.pl/mppublikacje mgr inż. Wojciech Bogusz dr hab. inż. Mieczysław Połoński, prof. SGGW mgr inż. Kamil Pruszyński Szkoła Główna Gospodarstwa
METODA PERT. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski
METODA PERT Maciej Patan Programowanie sieciowe. Metoda PERT 1 WPROWADZENIE PERT (ang. Program Evaluation and Review Technique) Metoda należy do sieci o strukturze logicznej zdeterminowanej Parametry opisujace
1 Obliczanie modeli sieciowych w funkcji środków
1 Obliczanie modeli sieciowych w funkcji środków Przykład zaczerpnięty z mojego podręcznika Harmonogramy sieciowe w robotach inżynierskich. Wydawnictwo SGGW 001 str. 77. 1.1 Założenia analizy środków oraz
Rozdział 7 ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 7 ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI 7.2. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 7.1 Wykorzystując
Zarządzanie czasem projektu
Zarządzanie czasem projektu Narzędzia i techniki szacowania czasu zadań Opinia ekspertów Szacowanie przez analogię (top-down estimating) stopień wiarygodności = f(podobieństwo zadań), = f(dostęp do wszystkich
Zastosowanie symulacji Monte Carlo do zarządzania ryzykiem przedsięwzięcia z wykorzystaniem metod sieciowych PERT i CPM
SZKOŁA GŁÓWNA HANDLOWA w Warszawie STUDIUM MAGISTERSKIE Kierunek: Metody ilościowe w ekonomii i systemy informacyjne Karol Walędzik Nr albumu: 26353 Zastosowanie symulacji Monte Carlo do zarządzania ryzykiem
SYMULACJA RYZYKA CZASOWO-KOSZTOWEGO PRZEDSIĘWZIĘĆ NA TLE METODY PERT/COST
Dr inż. Tomasz WIATR Politechnika Poznańska SYMULACJA RYZYKA CZASOWO-KOSZTOWEGO PRZEDSIĘWZIĘĆ NA TLE METODY PERT/COST Słowa kluczowe: PERT/cost, symulacja Monte Carlo, Pertmaster Streszczenie Referat stanowi
Zasady sporządzania modelu sieciowego (Wykład 1)
Zasady sporządzania modelu sieciowego (Wykład 1) Metody planowania sieciowego są stosowane w budownictwie do planowania i kontroli dużych przedsięwzięć, w których z powodu wielu zależności istnieje konieczność
Planowanie przedsięwzięć
K.Pieńkosz Badania Operacyjne Planowanie przedsięwzięć 1 Planowanie przedsięwzięć Model przedsięwzięcia lista operacji relacje poprzedzania operacji modele operacji funkcja celu planowania K.Pieńkosz Badania
Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015
Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki Karta przedmiotu Wydział Inżynierii Środowiska obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015 Kierunek studiów: Inżynieria Środowiska
WYZNACZANIE WIELKOŚCI BUFORÓW CZASU I TERMINU ZAKOŃCZENIA PRZEDSIĘWZIĘCIA W HARMONOGRAMACH BUDOWLANYCH
Dane bibliograficzne o artykule: http://mieczyslaw_polonski.users.sggw.pl/mppublikacje Mieczysław POŁOŃSKI* Kamil PRUSZYŃSKI * harmonogramy budowlane, metoda łańcucha krytycznego, metoda CCPM, bufor czasu
Inżynieria oprogramowania. Część 8: Metoda szacowania ryzyka - PERT
UNIWERSYTET RZESZOWSKI KATEDRA INFORMATYKI Opracował: mgr inż. Przemysław Pardel v1.01 2010 Inżynieria oprogramowania Część 8: Metoda szacowania ryzyka - PERT ZAGADNIENIA DO ZREALIZOWANIA (3H) PERT...
STATYSTYCZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW KONTROLI JAKOŚCI ROBÓT ZIEMNYCH
Dane bibliograiczne o artykule: http://mieczyslaw_polonski.users.sggw.pl/mppublikacje STATYSTYCZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW KONTROLI JAKOŚCI ROBÓT ZIEMNYCH Mieczysław Połoński 1 1. Metodyka statystycznego opracowania
Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów
Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa Diagnostyka i niezawodność robotów Laboratorium nr 6 Model matematyczny elementu naprawialnego Prowadzący: mgr inż. Marcel Luzar Cele ćwiczenia:
Rys Wykres kosztów skrócenia pojedynczej czynności. k 2. Δk 2. k 1 pp. Δk 1 T M T B T A
Ostatnim elementem przykładu jest określenie związku pomiędzy czasem trwania robót na planowanym obiekcie a kosztem jego wykonania. Związek ten określa wzrost kosztów wykonania realizacji całego przedsięwzięcia
Szacowanie ryzyka z wykorzystaniem zmiennej losowej o pramatkach rozmytych w oparciu o język BPFPRAL
Szacowanie ryzyka z wykorzystaniem zmiennej losowej o pramatkach rozmytych w oparciu o język BPFPRAL Mgr inż. Michał Bętkowski, dr inż. Andrzej Pownuk Wydział Budownictwa Politechnika Śląska w Gliwicach
Harmonogramowanie przedsięwzięć
Harmonogramowanie przedsięwzięć Mariusz Kaleta Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechnika Warszawska luty 2014, Warszawa Politechnika Warszawska Harmonogramowanie przedsięwzięć 1 / 25 Wstęp
BADANIA OPERACYJNE. dr Adam Sojda Pokój A405
BADANIA OPERACYJNE dr Adam Sojda adam.sojda@polsl.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.aspx Pokój A405 Przedsięwzięcie - zorganizowanie działanie ludzkie zmierzające do osiągnięcia określonego
Harmonogramowanie robót budowlanych z wykorzystaniem metody CCPM Construction schedule using CCPM method
Kamil PRUSZYŃSKI Katedra Geoinżynierii SGGW w Warszawie Department of Geotechnical Engineering WULS SGGW Harmonogramowanie robót budowlanych z wykorzystaniem metody CCPM Construction schedule using CCPM
Przykład: budowa placu zabaw (metoda ścieżki krytycznej)
Przykład: budowa placu zabaw (metoda ścieżki krytycznej) Firma budowlana Z&Z podjęła się zadania wystawienia placu zabaw dla dzieci w terminie nie przekraczającym 20 dni. Listę czynności do wykonania zawiera
Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne
Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy
Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3
Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji
Statystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje
STOCHASTYCZNY MODEL BEZPIECZEŃSTWA OBIEKTU W PROCESIE EKSPLOATACJI
1-2011 PROBLEMY EKSPLOATACJI 89 Franciszek GRABSKI Akademia Marynarki Wojennej, Gdynia STOCHASTYCZNY MODEL BEZPIECZEŃSTWA OBIEKTU W PROCESIE EKSPLOATACJI Słowa kluczowe Bezpieczeństwo, procesy semimarkowskie,
Statystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )
Statystyka Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez Wykład III (04.01.2016) Rozkład t-studenta Rozkład T jest rozkładem pomocniczym we wnioskowaniu statystycznym; stosuje się go wyznaczenia przedziału
WYZNACZANIE WARTOŚCI WYPRACOWANEJ W INWESTYCJACH REALIZOWANYCH PRZEZ PODWYKONAWCÓW
CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXIII, z. 63 (1/I/16), styczeń-marzec 2016, s. 205-212 Anna STARCZYK 1 Tadeusz
PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA DOKŁADNEGO NIEPARAMETRYCZNEGO PRZEDZIAŁU UFNOŚCI DLA VaR. Wojciech Zieliński
PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA DOKŁADNEGO NIEPARAMETRYCZNEGO PRZEDZIAŁU UFNOŚCI DLA VaR Wojciech Zieliński Katedra Ekonometrii i Statystyki SGGW Nowoursynowska 159, PL-02-767 Warszawa wojtek.zielinski@statystyka.info
t i L i T i
Planowanie oparte na budowaniu modelu struktury przedsięwzięcia za pomocą grafu nazywa sie planowaniem sieciowym. Stosuje się do planowania i kontroli realizacji założonych przedsięwzięć gospodarczych,
Wykorzystanie testu Levene a i testu Browna-Forsythe a w badaniach jednorodności wariancji
Wydawnictwo UR 2016 ISSN 2080-9069 ISSN 2450-9221 online Edukacja Technika Informatyka nr 4/18/2016 www.eti.rzeszow.pl DOI: 10.15584/eti.2016.4.48 WIESŁAWA MALSKA Wykorzystanie testu Levene a i testu Browna-Forsythe
Risk-Aware Project Scheduling. SimpleUCT
Risk-Aware Project Scheduling SimpleUCT DEFINICJA ZAGADNIENIA Resource-Constrained Project Scheduling (RCPS) Risk-Aware Project Scheduling (RAPS) 1 tryb wykonywania działań Czas trwania zadań jako zmienna
Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Rozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
ALGORYTM OPTYMALNEGO WYRÓWNANIA WYKRESU ZATRUDNIENIA METODĄ GRAFICZNĄ
ALGORYTM OPTYMALNEGO WYRÓWNANIA WYKRESU ZATRUDNIENIA METODĄ GRAFICZNĄ Mieczysław POŁOŃSKI Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska, Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego, Warszawa, ul. Nowoursynowska
Generowanie ciągów pseudolosowych o zadanych rozkładach przykładowy raport
Generowanie ciągów pseudolosowych o zadanych rozkładach przykładowy raport Michał Krzemiński Streszczenie Projekt dotyczy metod generowania oraz badania własności statystycznych ciągów liczb pseudolosowych.
PROGRAMOWANIE SIECIOWE. METODY CPM i PERT
PROGRAMOWANIE SIECIOWE. METODY CPM i PERT Maciej Patan Programowanie sieciowe. 1 WPROWADZENIE Metody programowania sieciowego wprowadzono pod koniec lat pięćdziesiatych Ze względu na strukturę logiczna
Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym
Wiesława MALSKA Politechnika Rzeszowska, Polska Anna KOZIOROWSKA Uniwersytet Rzeszowski, Polska Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym Wstęp Wnioskowanie statystyczne
STATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.
Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.
Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to
Próba wyznaczenia wielkości buforów czasu przy deterministycznej ocenie czasu zadań
Pełne dane bibliograficzne artykułu: http://mieczyslaw_polonski.users.sggw.pl/mppublikacje.html Próba wyznaczenia wielkości buforów czasu przy deterministycznej ocenie czasu zadań Mieczysław Połoński 1
Optymalizacja harmonogramów budowlanych - szeregowanie zadań. Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Optymalizacja harmonogramów budowlanych - szeregowanie zadań Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Opis zagadnienia Zadania dotyczące szeregowania zadań należą do szerokiej
Zarządzanie projektami
Dr Adam Kucharski Spis treści Podstawowe pojęcia Metoda CPM 3 3 Przykład analizy metodą CPM 5 Podstawowe pojęcia Przedsięwzięcia złożone z wielu czynności spotykane są na każdym kroku. Jako przykład może
Właściwości testu Jarque-Bera gdy w danych występuje obserwacja nietypowa.
Właściwości testu Jarque-Bera gdy w danych występuje obserwacja nietypowa. Paweł Strawiński Uniwersytet Warszawski Wydział Nauk Ekonomicznych 16 stycznia 2006 Streszczenie W artykule analizowane są właściwości
Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji.
Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Centralne Twierdzenie Graniczne 1.1 Twierdzenie Lindeberga Levy'ego 1.2 Dowód 1.2.1 funkcja tworząca sumy zmiennych niezależnych 1.2.2 pochodna funkcji
Weryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Optymalizacja harmonogramów budowlanych - problem szeregowania zadań
Mieczysław POŁOŃSKI Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowisa, Szoła Główna Gospodarstwa Wiejsiego, Warszawa, ul. Nowoursynowsa 159 e-mail: mieczyslaw_polonsi@sggw.pl Założenia Optymalizacja harmonogramów
HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =
HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Rozkład Gaussa i test χ2
Rozkład Gaussa jest scharakteryzowany dwoma parametramiwartością oczekiwaną rozkładu μ oraz dyspersją σ: METODA 2 (dokładna) polega na zmianie zmiennych i na obliczeniu pk jako różnicy całek ze standaryzowanego
Testy nieparametryczne
Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów
Statystyczna analiza awarii pojazdów samochodowych. Failure analysis of cars
Wydawnictwo UR 2016 ISSN 2080-9069 ISSN 2450-9221 online Edukacja Technika Informatyka nr 1/15/2016 www.eti.rzeszow.pl DOI: 10.15584/eti.2016.1.1 ROMAN RUMIANOWSKI Statystyczna analiza awarii pojazdów
Rachunek prawdopodobieństwa WZ-ST1-AG--16/17Z-RACH. Liczba godzin stacjonarne: Wykłady: 15 Ćwiczenia: 30. niestacjonarne: Wykłady: 9 Ćwiczenia: 18
Karta przedmiotu Wydział: Wydział Zarządzania Kierunek: Analityka gospodarcza I. Informacje podstawowe Nazwa przedmiotu Rachunek prawdopodobieństwa Nazwa przedmiotu w j. ang. Język prowadzenia przedmiotu
BADANIA SYMULACYJNE PROCESU HAMOWANIA SAMOCHODU OSOBOWEGO W PROGRAMIE PC-CRASH
BADANIA SYMULACYJNE PROCESU HAMOWANIA SAMOCHODU OSOBOWEGO W PROGRAMIE PC-CRASH Dr inż. Artur JAWORSKI, Dr inż. Hubert KUSZEWSKI, Dr inż. Adam USTRZYCKI W artykule przedstawiono wyniki analizy symulacyjnej
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący
W2. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wnioskowanie statystyczne.
W2. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wnioskowanie statystyczne. dr hab. Jerzy Nakielski Katedra Biofizyki i Morfogenezy Roślin Plan wykładu: 1. Etapy wnioskowania statystycznego 2. Hipotezy statystyczne,
FORECASTING THE DISTRIBUTION OF AMOUNT OF UNEMPLOYED BY THE REGIONS
FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Folia Univ. Agric. Stetin. 007, Oeconomica 54 (47), 73 80 Mateusz GOC PROGNOZOWANIE ROZKŁADÓW LICZBY BEZROBOTNYCH WEDŁUG MIAST I POWIATÓW FORECASTING THE DISTRIBUTION
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
RISK-AWARE PROJECT SCHEDULING
RISK-AWARE PROJECT SCHEDULING METODA GRASP KAROL WALĘDZIK DEFINICJA ZAGADNIENIA RESOURCE-CONSTRAINED PROJECT SCHEDULING (RCPS) Karol Walędzik - RAPS 3 RISK-AWARE PROJECT SCHEDULING (RAPS) 1 tryb wykonywania
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi
Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska D syst D śr m 1 3 5 2 4 6 śr j D 1
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Zarządzanie projektami. Zarządzanie ryzykiem projektu
Zarządzanie projektami Zarządzanie ryzykiem projektu Warunki podejmowania decyzji Pewność Niepewność Ryzyko 2 Jak można zdefiniować ryzyko? Autor S.T. Regan A.H. Willet Definicja Prawdopodobieństwo straty
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Ćwiczenia laboratoryjne - 4. Projektowanie i harmonogramowanie produkcji metoda CPM-COST. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. 4
Ćwiczenia laboratoryjne - 4 Projektowanie i harmonogramowanie produkcji metoda CPM-COST Ćw. L. 4 Metody analizy sieciowej 1) Deterministyczne czasy trwania czynności są określane jednoznacznie (jedna liczba)
Zarządzanie projektami. Zarządzanie czasem w projekcie
Zarządzanie projektami Zarządzanie czasem w projekcie Zarządzanie czasem w projekcie PROJECT TIME MANAGEMENT Zarządzanie czasem - elementy 1. Zarządzanie harmonogramem 2. Określanie działań (określanie
Monte Carlo, bootstrap, jacknife
Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy w ramach treści kierunkowych, moduł kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA
I. 1 Nazwa modułu kształcenia Organizacja produkcji budowlanej 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Zakład Budownictwa KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA 3 Kod modułu 4 Grupa treści kształcenia kierunkowych 6 Poziom
Wykład 9 Wnioskowanie o średnich
Wykład 9 Wnioskowanie o średnich Rozkład t (Studenta) Wnioskowanie dla jednej populacji: Test i przedziały ufności dla jednej próby Test i przedziały ufności dla par Porównanie dwóch populacji: Test i
Porównywanie populacji
3 Porównywanie populacji 2 Porównywanie populacji Tendencja centralna Jednostki (w grupie) według pewnej zmiennej porównuje się w ten sposób, że dokonuje się komparacji ich wartości, osiągniętych w tej
Ocena ryzyka czasu i kosztów w planowaniu produkcji budowlanej
Ocena ryzyka czasu i kosztów w planowaniu produkcji budowlanej Dr hab. inż. Roman Marcinkowski, mgr inż. Artur Koper, Wydział Budownictwa, Mechaniki i Petrochemii, Politechnika Warszawska, Płock 70 1.
Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne)
Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Przygotował: Dr inż. Wojciech Artichowicz Katedra Hydrotechniki PG Zima 2014/15 1 TABLICE ROZKŁADÓW... 3 ROZKŁAD
1 n. s x x x x. Podstawowe miary rozproszenia: Wariancja z populacji: Czasem stosuje się też inny wzór na wariancję z próby, tak policzy Excel:
Wariancja z populacji: Podstawowe miary rozproszenia: 1 1 s x x x x k 2 2 k 2 2 i i n i1 n i1 Czasem stosuje się też inny wzór na wariancję z próby, tak policzy Excel: 1 k 2 s xi x n 1 i1 2 Przykład 38,
Analiza autokorelacji
Analiza autokorelacji Oblicza się wartości współczynników korelacji między y t oraz y t-i (dla i=1,2,...,k), czyli współczynniki autokorelacji różnych rzędów. Bada się statystyczną istotność tych współczynników.
... prognozowanie nie jest celem samym w sobie a jedynie narzędziem do celu...
4 Prognozowanie historyczne Prognozowanie - przewidywanie przyszłych zdarzeń w oparciu dane - podstawowy element w podejmowaniu decyzji... prognozowanie nie jest celem samym w sobie a jedynie narzędziem
Analiza niepewności pomiarów
Teoria pomiarów Analiza niepewności pomiarów Zagadnienia statystyki matematycznej Dr hab. inż. Paweł Majda www.pmajda.zut.edu.pl Podstawy statystyki matematycznej Histogram oraz wielobok liczebności zmiennej
Słowa kluczowe: zarządzanie wartością, analiza scenariuszy, przepływy pieniężne.
Zarządzanie wartością i ryzykiem w organizacjach: non-profit, instytucji finansowej działającej w sektorze spółdzielczym oraz przedsiębiorstwa produkcyjnego z branży budowniczej. K. Śledź, O. Troska, A.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Wykład 2. Statystyka opisowa - Miary rozkładu: Miary położenia
Wykład 2 Statystyka opisowa - Miary rozkładu: Miary położenia Podział miar Miary położenia (measures of location): 1. Miary tendencji centralnej (measures of central tendency, averages): Średnia arytmetyczna
Statystyka opisowa- cd.
12.03.2017 Wydział Inżynierii Produkcji I Logistyki Statystyka opisowa- cd. Wykład 4 Dr inż. Adam Deptuła HISTOGRAM UNORMOWANY Pole słupka = wysokość słupka x długość przedziału Pole słupka = n i n h h,
Zachowania odbiorców. Grupa taryfowa G
Zachowania odbiorców. Grupa taryfowa G Autor: Jarosław Tomczykowski Biuro PTPiREE ( Energia elektryczna luty 2013) Jednym z założeń wprowadzania smart meteringu jest optymalizacja zużycia energii elektrycznej,
Statystyka opisowa. Literatura STATYSTYKA OPISOWA. Wprowadzenie. Wprowadzenie. Wprowadzenie. Plan. Tomasz Łukaszewski
Literatura STATYSTYKA OPISOWA A. Aczel, Statystyka w Zarządzaniu, PWN, 2000 A. Obecny, Statystyka opisowa w Excelu dla szkół. Ćwiczenia praktyczne, Helion, 2002. A. Obecny, Statystyka matematyczna w Excelu
Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Statystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa
Wykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne
Wykład 4 Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym 2. Rozkłady próbkowe 3. Centralne twierdzenie graniczne Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym Niech Y ma rozkład
Jednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Algorytm hybrydowy dla alokacji portfela inwestycyjnego przy ograniczonych zasobach
Adam Stawowy Algorytm hybrydowy dla alokacji portfela inwestycyjnego przy ograniczonych zasobach Summary: We present a meta-heuristic to combine Monte Carlo simulation with genetic algorithm for Capital
Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl
Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący
WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE
STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących
Mikroekonometria 6. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mikroekonometria 6 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Metody symulacyjne Monte Carlo Metoda Monte-Carlo Wykorzystanie mocy obliczeniowej komputerów, aby poznać charakterystyki zmiennych losowych poprzez
Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Metody numeryczne. dr hab inż. Tomasz Chwiej. Syllabus:
Metody numeryczne dr hab inż. Tomasz Chwiej Syllabus: https://syllabuskrk.agh.edu.pl/pl Plan wykładu 1. Arytmetyka komputerowa, błędy numeryczne 2. Rozwiązywanie układów algebraicznych równań liniowych
7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej
7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach
Analiza możliwości szacowania parametrów mieszanin rozkładów prawdopodobieństwa za pomocą sztucznych sieci neuronowych 4
Wojciech Sikora 1 AGH w Krakowie Grzegorz Wiązania 2 AGH w Krakowie Maksymilian Smolnik 3 AGH w Krakowie Analiza możliwości szacowania parametrów mieszanin rozkładów prawdopodobieństwa za pomocą sztucznych
PROGRAMOWANIE SIECIOWE. METODA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ
PROGRAMOWANIE SIECIOWE. METODA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE Metody programowania sieciowego wprowadzono pod koniec lat pięćdziesiatych Ze względu na strukturę
Oszacowanie i rozkład t
Oszacowanie i rozkład t Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Oszacowanie i rozkład t 1 / 31 Oszacowanie 1 Na podstawie danych z próby szacuje się wiele wartości w populacji, np.: jakie jest poparcie
Matematyka - Statystyka matematyczna Mathematical statistics 2, 2, 0, 0, 0
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka - Statystyka matematyczna Mathematical statistics Inżynieria materiałowa Materials Engineering Rodzaj przedmiotu: Poziom studiów: forma studiów: obowiązkowy studia
Weryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1
Weryfikacja hipotez statystycznych KG (CC) Statystyka 26 V 2009 1 / 1 Sformułowanie problemu Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugą (po estymacji) metodą uogólniania wyników uzyskanych w próbie