POLITECHNIKA WARSZAWSKA. Wydzia! Elektroniki i Technik Informacyjnych ROZPRAWA DOKTORSKA. mgr in!. Pawe" #ozi$ski

Transkrypt

1 POLITECHNIKA WARSZAWSKA Wydzia! Elektroniki i Technik Informacyjnych ROZPRAWA DOKTORSKA mgr in!. Pawe" #ozi$ski Wnioskowanie w logikach argumentacyjnych zale"ne od kontekstu Promotor prof. dr hab. Mieczys"aw Muraszkiewicz Warszawa, 2011

2

3 Streszczenie W niniejszej rozprawie konstruowana jest logika oparta na formalnym modelu argumentacji, będącym produktem badań w dziedzinie teorii argumentacji. Wnioskowanie w tak skonstruowanej logice jest niemonotoniczne i zależne od kontekstu. Kontekstowość wnioskowania opiera się na pojęciu standardu dowodu, które jest zaczerpnięte z teorii argumentacji. Przeanalizowane zostają podstawowe właściwości tej logiki. Zaprojektowany i zaimplementowany zostaje algorytm wnioskowania. Przedstawione zostaje zastosowanie tego algorytmu. Całość jest poprzedzona analizą stanu wiedzy w dziedzinach logiki i teorii argumentacji, których niniejsze badania dotyczą. Słowa kluczowe: teoria argumentacji, logika, wnioskowanie niemonotoniczne, wnioskowanie zależne od kontekstu. *** Context dependant reasoning in argumentative logics Abstract In this thesis a logic based on a formal model of argumentation is constructed. The model is a product of research in the field of argumentation theory. Reasoning in this logic is nonmonotonic and dependent on context. This dependency is based on the concept of proof standard, which is derived from the argumentation theory. Analyzed are the basic properties of this logic. Designed and implemented is an inference algorithm. The application of this is presented algorithm. The whole is preceded by an analysis of state of knowledge in the areas of logic and argumentation theory, which this research concerns. Key words: argumentation theory, logic, nonmonotonic reasoning, context-based reasoning.

4 4

5 Spis treści Wstęp... 9 Teza pracy Wnioskowanie zależne od kontekstu stan badań Teoria argumentacji Logika nieformalna tło historyczne Argumentacja Argument Argumentacja w dialogu Fazy dialogu Domniemanie i obowiązek uzasadnienia Zobowiązania Formalne modele argumentacji P. M. Dunga Argumentation Framework G. Vreeswijka Abstract Argumentation System Podstawowe pojęcia Zgodność Teoria zasadności T. Gordona Carneades Argumentation Framework Struktura argumentów Ewaluacja argumentów Przykłady Analiza modelu CAF Teoria argumentacji podsumowanie

6 3. Logika oparta na argumentacji Opis logik Programowanie w logice a argumentacja stan badań DeLP Argument-based extended logic programming with defeasible priorities Argumentation Semantics for Extended Logic Programming Podejście Dunga Argue tuprolog Programowanie w logice a argumentacja podsumowanie i możliwy rozwój Regułowa wersja Carneades Argumentation Framework Definicja logiki RCAF Język Semantyka Mechanizm inferencyjny Podstawowe właściwości logiki RCAF Zasadność istnienia trzech rodzajów przesłanek Domniemanie a wyjątek Wyjątek a przesłanka zwykła Przesłanka zwykła a domniemanie Prawo wyłączonego środka Niemonotoniczność wnioskowania Wnioskowanie zależne od kontekstu Otwartość na zastosowanie w środowisku wieloagentowym Akceptowalność a wartość logiczna Logika oparta na argumentacji podsumowanie Wnioskowanie w RCAF Reprezentacja problemu Przeszukiwana przestrzeń Zadanie wyszukiwania Metody rozwiązania problemu Kompresja wywodów

7 Przykładowy algorytm wyszukiwania Implementacja Ocena wyników Zastosowanie Podsumowanie Spis rysunków Spis tabel Bibliografia A. Opis techniczny implementacji A.1. Uniwersalna biblioteka algorytmów wyszukiwania A.2. Implementacja regułowej bazy wiedzy opartej na Carneadesie A.3. Implementacja podstawowych konstrukcji logicznych A.4. Implementacja algorytmu wnioskowania

8

9 Wstęp Sztuczna inteligencja narodziła się wpołowie XX wieku jako dziedzina badań stawiająca sobie wyjątkowo ambitny cel zamodelowania, a następnie zaimplementowania w komputerze ludzkiej inteligencji lub przynajmniej niektórych jej aspektów. Dzisiaj cel ten wydaje się nieosiągalny lub przynajmniej dużo ambitniejszy i odleglejszy, niż to zakładali jej twórcy, jednak wyniki badań w dziedzinie sztucznej inteligencji znajdują bardzo owocne zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i techniki. Niniejsza praca ma na celu rozwinięcie możliwości narzędzi oferowanych przez sztuczną inteligencję dzięki wykorzystaniu teorii argumentacji. Od początku istnienia sztucznej inteligencji jako dziedziny, nauki istotnym obszarem badań jest wnioskowanie, czyli konstruowanie i badanie systemów automatycznego odkrywania nowej wiedzy za pomocą wiedzy już posiadanej, reprezentowanej w postaci zbiorów faktów i reguł wnioskowania. Mechanizm ten w zamierzeniach ma być wzorowany na procesach ludzkiego rozumowania. Rozwój tego obszaru badań stał się możliwy dzięki temu, że człowiek co najmniej od czasu starożytnej Grecji interesował się poznaniem swoich własnych sposobów rozumowania i praw, które nim rządzą. Wysiłki w tym kierunku z czasem przerodziły się w naukę zwaną logiką. Dzięki temu twórcy i badacze sztucznej inteligencji zastali w drugiej połowie XX wieku logikę matematyczną, czyli mocno rozwinięty i dobrze zbadany formalny system będący jednym z najbardziej godnych podziwu rezultatów rozwoju logiki. Naturalnym krokiem, który zapoczątkował badania nad tzw. systemami informacyjnymi opartymi na logice (logicbased information systems) było zaczerpnięcie wyników badań nad logiką matematyczną i wykorzystanie ich do implementowania automatycznego wnioskowania. Powstałe w ten sposób systemy automatycznego wnioskowania znajdują swoje zastosowanie w praktyce, a jednym z motorów ich rozwoju stałasię konieczność zwiększania ich siły ekspresji, tj. zwiększania możliwości zapisywania i przetwarzania w nich ludzkiej wiedzy, która jest tworem na tyle złożonym, że nie daje się zamknąć w formalnych modelach. 9

10 Ponieważ teoria argumentacji zajmuje się również ludzkim rozumowaniem, niniejsza praca stanowi próbę powtórzenia (na stosownie mniejszą skalę) opisanego powyżej schematu rozwoju. Skoro zastosowanie formalnych modeli które są produktem badań w dziedzinie logiki okazało się tak owocne w tworzeniu systemów wnioskujących, należy spróbować w tym samym celu wykorzystać formalne modele powstałe w ramach teorii argumentacji i sprawdzić, czy jest to opłacalne, w szczególności, czy zwiększa siłę wyrazu tych systemów. Rozdział pierwszy stanowi przegląd podejść do modelowania wnioskowania zależnego od kontekstu. Jest to jeden z głównych problemów utrudniających stosowanie systemów wnioskowania w praktyce (por. [38], [51], [50]). Rozdział drugi zawiera zwięzły opis badań w dziedzinie argumentacji i dialogu, tj. opis problemu usystematyzowania różnych nurtów zajmujących się tymi badaniami (pojęcia teorii argumentacji, logiki nieformalnej, pragma-dialektyki i krytycznego myślenia), szkic tła historycznego, wyjaśnienie pojęć i opis podstawowych zagadnień. Wiedza zgromadzona na tym etapie jest wystarczająca do sformułowania (w podsumowaniu rozdziału) tezy rozprawy. W trzecim rozdziale następuje przejście od referowania aktualnego stanu wiedzy do wkładu własnego autora. Rozdział ten zawiera przegląd istniejących zastosowań teorii argumentacji do programowania w logice oraz propozycję nowego zastosowania polegającego na skonstruowaniu logiki opartej na wybranym modelu argumentacji. Z tego względu proponowaną logikę można nazwać logiką argumentacyjną. Rozdział kończy analiza właściwości zdefiniowanej logiki. Analiza ta pokazuje w szczególności, w jaki sposób zastosowanie wybranego modelu prowadzi do nowej metody automatycznego wnioskowania kontekstowego. Czwarty rozdział zawiera propozycję podejścia do konstruowania algorytmów wnioskowania w logice zdefiniowanej w rozdziale trzecim, projekt przykładowego algorytmu wnioskowania oraz analizę właściwości tego algorytmu. Rozdział piąty opisuje zastosowanie zaprojektowanego algorytmu. Całość rozprawy kończy podsumowanie zawierające krytyczną ocenę rezultatów pracy. Teza pracy Teza Przy pomocy modelu argumentacji Carneades można skonstruować logikę wprowadzającą wnioskowanie zależne od kontekstu, które ułatwia modelowanie natu- 10

11 ralnych mechanizmów wnioskowania. Metoda przyjęta do udowodnienia tezy polega na zbudowaniu logiki opartej na modelu argumentacji Carneades, opisanego w podrozdziale Jak zostanie wykazane, taka logika modeluje zarówno zjawisko zawodności wnioskowania (przez wprowadzenie domniemań oraz względnej siły argumentów), jak również nietrywialną koncepcję kontekstu, w którym wnioskowanie się odbywa. Obecna w tym modelu argumentacji koncepcja kontekstu przeniesiona na grunt logiki znacząco odbiega od istniejących metod modelowania kontekstu opisanych w rozdziale 1. Jednym z elementów weryfikujących głównie teorytyczną pracę jest element empiryczny zaprojektowany i zaimplementowany zostanł algorytm wnioskowania w zdefiniowanej logice. Teza zostanie powtórzona pod koniec rozdziału 2, po wyjaśnieniu pojęć i zreferowaniu stanu badań, do których teza się odwołuje. 11

12

13 Rozdział 1 Wnioskowanie zależne od kontekstu stan badań W często cytowanej pozycji poświęconej logicznym, filozoficznym i obliczeniowym fundamentom metod reprezentacji wiedzy ([51]) za pierwsze formalne podejście do reprezentowania kontekstu uznawana jest praca C. S. Peirce a: Reasoning and the Logic of Things z 1898 roku. Podstawową funkcją kontekstu u Pierce a jest właśnie odseparowanie dwóch poziomów wypowiadanych zdań. W ujęciu później rozwiniętej logiki matematycznej są to po prostu zdania pierwszego i drugiego rzędu. W artykule [39] John McCarthy stawia tezę, że modelowanie kontekstu jest jednym z najistotniejszych problemów stojących na drodze do praktycznego stosowania systemów wnioskujących. Jego sugestie co do metod formalizowania kontekstu znalazły się w artykule [38]. Główną koncepcją jest zdefiniowanie relacji ist(c, p), która ma mieć znaczenie: p jest prawdą w kontekście c. Pomysł ten był rozwijany przez Ramanathana Guha ego jako praca doktorska pod kierownictwiem McCarthy ego ([27]). Kontynuacją tych prac jest kontekstowa logika zdań Propositional Logic of Context (PLC) definiowana w artykule [12] i rozwinięta do logiki predykatów w [11]. W artykule [40] można znaleźć dalsze rozwinięcie tego sposobu modelowania kontekstu. Polega ono na skonstruowaniu logiki, która pozwala kontekstowi zdania p przybierać nie tylko formę obiektu logiki pierwszego rzędu, jak to jest w przypadku relacji ist(c, p), ale również formę zdań ( p jest prawdą w kontekście opisanym przez q ). Równolegle do prac McCarthy ego i Guha ego, w artykule [19] prezentowane jest podejście do formalizowania kontekstu podyktowane tzw. problemem lokalności. Lokalność oznacza, 13

14 że w procesie wnioskowania wykorzystywany jest zawsze tylko podzbiór wiedzy posiadanej przez wnioskującego agenta. Podzbiory wiedzy agenta nie sumują się w prosty sposób, ponieważ mogą stanowić wiedzę opisującą dany problem np. z różnych perspektyw, dlatego można mówić o tzw. problemie kompatybilności kontekstów. Systemy Local Models Semantics/MultiContext Systems (LMS/MCS) mające na celu modelowanie takiego spojrzenia na kontekst definiowane są w pracach [20] i[18]. Według [50] systemy PLC i LMS/MCS stanowią dwa główne, najbardziej dojrzałe nurty formalizowania kontekstu. W artykule przedstawiona i udowodniona zostaje relacja pomiędzy PLC i LMS/MCS. W[21] znajdujemy odmienne podejście do modelowania kontekstu. Tutaj wprowadzenie pojęcia kontekstu ma na celu dekompozycję wiedzy agenta. Np. dla agenta, który ma być modelem pilota samolotu jadącego do pracy autor wyróżnia kontekst jazda samochodem i kontekst lot samolotem. Dekompozycja, nazwana Context-Based Reasoning (w skrócie CxBR) pozwala również na wprowadzenie hierarchiczności kontekstu: przykładowo jazda samochodem rozbija się na jazdę po mieście i jazdę po autostradzie. CxBR dopuszcza stosowanie różnych metod wnioskowania w ramach pojedynczego kontekstu, jak systemy regułowe, sieci neuronowe, wnioskowanie precedensowe itd. W tym podejściu kontekst nie stanowi w ogóle elementu automatycznego systemu wnioskującego, jest raczej elementem architektury agenta. Szczegółowa analiza podejść do formalizowania kontekstu wnioskowania znajduje się np. w pracach [2] i[51]. Na podstawie dokonanego przeglądu tych podejść można stwierdzić, że do chwili obecnej nie straciło swej aktualności stwierdzenie obecne w [51, str. 297], że istniejące metody uwzględniania kontekstu wnioskowania modelują go jako zbiór wyróżnionych faktów lub dopełnienie dla istniejących faktów. Nie są zatem znane podejścia do modelowania kontekstowości samego wnioskowania. Niniejsza rozprawa ma na celu stworzenie takiego podejścia przez zastosowanie wiedzy z dziedziny teorii argumentacji. 14

15 Rozdział 2 Teoria argumentacji Niniejszy rozdział przedstawia krótki opis informacji na temat współczesnych badań nad argumentacją i dialogiem. Jest to oczywiście rozległy obszar wiedzy humanistycznej czerpiący z filozofii, lingwistyki, psychologii i logiki. Zamieszczone tutaj streszczenie ma na celu wyłącznie przybliżenie tych pojęć i wyników badań, które mogą zostać wykorzystane do tworzenia formalnych logik opartych na argumentacji, ze szczególnym uwzględnieniem problemu modelowania kontekstu wnioskowania. Referując stan badań nad argumentacją i dialogiem napotyka się pewną niejednoznaczność w nazewnictwie. Badania te występują pod czterema głównymi szyldami: logika nieformalna, pragma-dialektyka, teoria argumentacji i krytyczne myślenie. Ścisłe definicje tych pojęć, oraz określenie relacji pomiędzy nimi są przedmiotem dyskusji w środowisku naukowym. Pojęciem najogólniejszym, opisującym ogół badań nad argumentacją i dialogiem, wydaje się być teoria argumentacji, choć trudno znaleźć szersze potwierdzenie tej hipotezy w literaturze. Takie podejście prezentowane jest w [14], gdzie podawana jest relacja pomiędzy teorią argumentacji jako terminem nadrzędnym, logiką nieformalną opisaną poniżej i pragma-dialektyką (por. [54]). Niniejszy rodział opisuje wiedzę o argumentacji i dialogu zdobytą na podstawie przeglądu literaturowego rozpoczynającego się od logiki nieformalnej. Nie jest natomiast wykluczone, że część tej wiedzy należałoby również zaklasyfikować do pozostałych wymienionych nurtów. 15

16 2.1. Logika nieformalna tło historyczne Logika nieformalna jest stosunkowo młodą dyscypliną. Wśród prac uznawanych za jej fundamenty najczęściej cytowane są [53], [29] i[28]. Nieformalność obecna w nazwie odnosi się do przedmiotu badań, jakim jest nieformalne wnioskowanie, tj. wnioskowanie obecne np. w debatach politycznych, procedurach prawnych, środkach masowego przekazu. Nie odnosi się natomiast do samych narzędzi badawczych, którymi pozostają formalne metody analizy (por. [1]). Ustanowienie logiki nieformalnej jako niezależnego obszaru badawczego jest przypisywane pracom Ralpha H. Johnsona i J. Anthony ego Blaira z lat siedemdziesiątych dwudziestego wieku. W ich książce [30] logika nieformalna definiowana jest następująco: Reasoning that doesn t feature certainty (e.g. analogy); it s based on the content of the statements being made. Powyższa definicja oparta jest na negacji, co wydaje się być nieprzypadkowe. Jak wiadomo, logika narodziła się w starożytnej Grecji jako obszar badań nad ludzkim wnioskowaniem. Fundamenty pod nią położył Arystoteles, który w swoich pracach, zgromadzonych pod wspólnym tytułem Organon, definiuje wnioskowanie jako cel swoich dociekań (por. [5, 24a], [6, 100b], wstęp do [36]) oraz realizuje ten cel rozpoczynając od zdefiniowania sławnego pojęcia sylogizmu jako podstawowego elementu wnioskowania. Jedną z definicji tego terminu można znaleźć w[5, 24a] i [5, 100b]: (... ) discourse in which, certain things being stated, something other than what is stated follows of necessity from their being so. Być może jest to czysty zbieg okoliczności, jednak zarówno w powyższym cytacie, jak wgłównym nurcie badań nad logiką w XIX i XX wieku występuje założenie, że we wnioskowaniu występuje konieczność wynikania pewnej konkluzji z pewnych przesłanek. Stephen Toulmin postrzega to założenie jako zbyt silne, stwierdzając w pracy [53]: (... ) logicians of the 19-th and 20-th century still focus on infallibility as defining feature of proper reasoning. Toulmin wykazuje, że nadmierne przykładanie wagi do niezawodności wnioskowania nieuchronnie prowadzi do tego, że jako poprawne można przyjąć tylko takie wnioskowanie, 16

17 które jest prawdziwe niezależnie od tego, o czym się wnioskuje. Widać to wyraźnie kiedy przyjrzymy się klasycznym regułom wnioskowania współczesniej logiki formalnej (np. modus ponendo ponens czy Robinsona rezolucja), które są dedukcyjne i zupełnie niezależne od przedmiotu wnioskowania. Konkluzje wyciągnięte z prawdziwych przesłanek są niezawodnie prawdziwe, bez względu na to, czego dotyczą. Podobne zasady leżą u podstaw idei Kartezjusza stwierdzającej, że w celu zdobycia prawdziwej wiedzy potrzebna jest naukowa metoda, która zapewnia jej nieomylność (por. [52, str. 47], [53, ]). Rezultatem przyjęcia tak ostrych wymagań jest łatwo dostrzegalny rozdźwięk pomiędzy ludzkim wnioskowaniem obserwowanym w życiu codziennym i wnioskowaniem definiowanym w logice formalnej. Jak stwierdzono w [60], logika nieformalna powstała jako opozycja do zastanego podejścia do logiki. Jej twórcy powołują się na prostą obserwację, że ludzie pozbawieni pewności potrafią skutecznie wnioskować o otaczającym ich świecie. Jesteśmy skazani na możliwość pomyłki w naszych konkluzjach (np. na temat polityki, ekonomii czy choćby spraw życia codziennego) i potrafimy sobie z tym faktem radzić. W celu badania natury ludzkiego wnioskowania powinno się zatem bacznie obserwować jak ono faktycznie wygląda, bez niepotrzebnego przywiązywania się do ideału nieomylności i zgadzając się na fakt, że osąd poprawności wnioskowania może w jakiś sposób zależeć od jego przedmiotu (it s based on the content of the statements being made). Przypuszczalnie, właśnie ten opozycyjny charakter logiki nieformalnej sprawił, że Johnsonowi i Blairowi najławiej było ją definiować przez zaprzeczenie. Warto zaznaczyć, że zastąpienie wnioskowania dedukcyjnego statystycznym nie jest satysfakcjonującym rozwiązaniem. Pomimo iż we wnioskowaniu statystycznym rozluźniamy wymaganie niezawodności i zastępujemy je statystyczną istotnością, to jednak przywiązujemy się do specyficznego sposobu wnioskowania, w którym z pewnej części zwanej próbą wyciągamy wnioski na temat pewnej całości zwanej populacją. Przykład wnioskowania przez analogię podany w przytaczanej definicji logiki nieformalnej wskazuje natychmiast, że ten obszar badań nie ogranicza się tylko do tego typu wnioskowania Argumentacja Głównym elementem wyróżniającym logikę nieformalną jest jej mechanizm inferencyjny, którego podstawowym elementem jest argument, natomiast dowodzenie twierdzeń polega na dialogu, czyli na wymianie i krytycznej ocenie argumentów za/przeciw dowodzonemu 17

18 twierdzeniu. W tym sensie logika nieformalna jest podobna do opisywanej przez P. Lorenzena logiki dialogowej (por. [31]) Argument Podstawowe pytanie zadawane w kontekście badań na argumentacją dotyczy wewnętrznej struktury argumentu. Historycznie pierwszym powszechnie znanym modelem argumentu jest model Toulmina zaproponowany w [53]. Od pojawienia się tego modelu na pytanie o wewnętrzną strukturę argumentu stanowi przedmiot naukowej debaty. Najbardziej szczegółowe odpowiedzi formalne modele argumentacji zostaną opisane poniżej, wszystkie modele natomiast mają swoje cechy wspólne: wyróżnia się konkluzję argumentu oraz pewną liczbę jego przesłanek. Zawsze również pojedynczy argument traktowany jest jako narzędzie zawodne konkluzja wyciągnięta na podstawie prawdziwych przesłanek nie musi być prawdziwa. Zawodność wnioskowania jest dwojakiego typu: (a) konkluzja może nie być prawdziwa, ponieważ istnieją kontrargumenty silniejsze od danego argumentu, (b) dany argument może być błędnie zastosowany. Przyjmuje się, że argumenty stosowane w rzeczywistych dialogach (od debat publicznych po codzienne dyskusje) najlepiej dają się opisywać za pomocą pojęcia schematu argumentacji. Według definicji zaczerpniętej z [62], schematy argumentacji są stereotypicznymi formami wnioskowania od przesłanek do konkluzji używanymi w argumentach wykorzystywanych w codziennej dyskusji, w której jedna strona stara się przekonać drugą do zaakceptowania stwierdzenia stanowiącego przedmiot tej dyskusji. W pewnych przypadkach schematy argumentacji reprezentują schematy dedukcyjnego bądź indukcyjnego wnioskowania. W innych reprezentują zawodne wnioskowanie, będące przydatną heurystyką służącą do dojścia do wiarygodnej hipotezy w obliczu niepewności i braku wiedzy. Typowymi przykładami schematów argumentacji są argument przez analogię, argument ze związku przyczynowo-skutkowego czy argument z opinii eksperta. Istnieją próby stworzenia klasyfikacji schematów argumentacji, główną pozycją w tej dziedzinie jest [57]. Sposób opisywania schematu argumentacji pokazany zostanie na przykładzie argumentu przez analogię: Argument przez analogię Przesłanki: 1. Generalnie, przypadek C 1 jest podobny do przypadku C 2. 18

19 2. A jest prawdziwe (fałszywe) w przypadku C 1. Konkluzja: A jest prawdziwe (fałszywe) w przypadku C 2. Krytyczne pytania: 1. Czy C 1 i C 2 są podobne w przytaczanym aspekcie? 2. Czy A jest prawdziwe (fałszywe) w przypadku C 2? 3. Czy istnieją różnice pomiędzy C 1 i C 2, które mogłyby poddawać wwątpliwość występowanie przytaczanego podobieństwa? 4. Czy istnieje przypadek C 3, który również jest podobny do C 1, ale w nim A jest fałszywe (prawdziwe)? Każdy schemat składa się z nazwy, kilku ogólnie sformułowanych przesłanek, ogólnie sformułowanej konkluzji i zestawu tzw. krytycznych pytań (ang. critical questions). Krytyczne pytania stanowią narzędzie do weryfikacji, czy dany schemat argumentacji został poprawnie wykorzystany. Jeżeli odpowiedź na dane pytanie jest negatywna (kwestionuje sposób użycia schematu), to argument zostaje podważony, w każdym innym przypadku (jeżeli odpowiedź jest pozytywna lub udzielenie jej nie jest możliwe) argument pozostaje w mocy. Konkretny, zastosowany w dyskusji argument, będący instancją pewnego schematu argumentacji, nie musi jawnie zawierać wszystkich wymienionych w schemacie przesłanek. Taki argument posiadający ukryte przesłanki nazywa się entymemem. Do wykrywania entymemów w argumentacji (np. w celu wykazania, że ukryta przesłanka jest fałszywa) służą również krytyczne pytania. Listy krytycznych pytań nie są uważane za wyczerpujące, ale za wystarczające dla wykrycia większości błędnych sposobów użycia danego schematu argumentacji. Metoda weryfikacji poprawności zastosowania schematu argumentacji przez listę krytycznych pytań została zaproponowana w pracy [29]. Jak już wspomniano, wyróżnia się pojęcie siły argumentu na podstawie analizy rzeczywistych dyskusji łatwo zauważyć, że jedne argumenty są silniejsze od drugich i dlatego znoszą działanie tych słabszych. Jest to zjawisko trudne do naukowego opracowania na obecnym etapie, przyjmuje się jednak, że siła argumentu jest związana ze stosowanym w nim schematem argumentacji. Jest również zależna od kontekstu, tzn. względna siła schematów argumentacji może się różnić np. w dyskusjach o pogodzie i w dyskusjach politycznych. 19

20 Pojedyncze argumenty mogą być składane w konstelacje argumentów, przesłanki danego argumentu mogą być ustalonymi faktami lub konkluzjami innych argumentów. Składanie odbywa się również na poziomie pojedynczej konkluzji. Jeżeli za daną konkluzją przemawia kilka argumentów, relacja pomiędzy nimi może być dwojaka (por. [59, str ]): (a) konwergentność, która oznacza, że każdy z argumentów niezależnie wspiera konkluzję, (b) połączenie, ktore oznacza, że tylko cały zbiór wspiera konkluzję, każdy jego podzbiór właściwy jest niewystarczający Argumentacja w dialogu Kontekstem, w którym argumenty są przedkładane i poddawane ocenie jest dialog. W logice nieformalnej stanowi on odpowiednik dowodu logiki matematycznej. Wynik dialogu stanowi odpowiedź na pytanie, czy zdanie będące jego przedmiotem jest prawdziwe czy fałszywe. Tak rozumiany dialog nazywany jest dialogiem perswazyjnym i jest jednym z kilku wyróżnianych typów dialogu (innymi są: badawczy, negocjacyjny, poszukiwania informacji, deliberacyjny i erystyczny, por. [58]) Fazy dialogu Każdy dialog perswazyjny można podzielić na cztery fazy (por. [56, 1.2 Components of argumentative dialogue]). 1. Faza wstępna (ang. opening stage) w tej fazie uczestnicy powinni uzgodnić typ prowadzonego dialogu, jak również ustalić reguły prowadzenia dialogu. Czasami reguły tesą jawnie wymienione lub skodyfikowane (np. w procesach sądowych) lub jest to po prostu intuicyjnie rozumiana Zasada Kooperacji Grice a (por. [26]). Wyróżnia się cztery rodzaje reguł rządzących dialogiem: (i) reguły lokucji (ang. locution rules) definiujące dozwolone w dialogu typy aktów mowy (por. [7]), (ii) reguły prowadzenia dialogu (ang. dialogue rules) określające w jakiej kolejności rozmówcy powinni zabierać głos, (iii) reguły zobowiązań (ang. commitment rules) precyzujące jak poszczególne wypowiedzi implikują stwierdzenia, które rozmówcy uważają za prawdziwe, (iv) reguły wyniku (ang. strategic (win-loss) rules) definiujące, w jaki sposób rozmówcy mogą osiągnąć cel dialogu. 2. Faza konfrontacji (ang. confrontation stage) na tym etapie precyzowany jest temat 20

21 dialogu, tzn. stwierdzenie, co do którego rozmówcy się nie zgadzają. 3. Faza argumentacji (ang. argumentation stage) jest to faza, w której uczestnicy dialogu starają się osiągnąć jego cel przy użyciu odpowiednich metod. Każdy z uczestników zobowiązany jest do podjęcia wysiłku na rzecz osiągnięcia swojego celu (wynik dialogu nie jest mu obojętny), a równocześnie zobowiązany jest umożliwić swojemu rozmówcy realizowanie jego własnych zobowiązań. 4. Faza końcowa (ang. closing stage) jest momentem, w którym cel dialogu został osiągnięty, a jego uczestnicy zgadzają się na jego zakończenie. W tej fazie następuje ustalenie wyniku dialogu. Nie wszystkie z wymienionych powyżej faz muszą jawnie występować w dialogu, jedyną wyraźnie widoczną jest faza argumentacji Domniemanie i obowiązek uzasadnienia Domniemanie (ang. presumption) iobowiązek uzasadnienia (ang. burden of proof ) są pojęciami regulującymi kwestie, na którym z uczestników rozmowy spoczywa ciężar uzasadnienia swojego wyjściowego stanowiska. Jest to konieczne, aby uniknąć sytuacji, w której faza argumentacji odwlekana jest przez uczestników wzywających się wzajemnie do uzasadnienia swojego stanowiska. Domniemanie wyraża domyślny stan rzeczy. Jest to stwierdzenie, które byłoby w mocy, gdyby dyskusja w ogóle nie zaistniała. Przykładowo, w rozprawie karnej sądowej, która jest przykładem dobrze ustrukturalizowanego dialogu, obowiązuje domniemanie niewinności oskarżonego. Obowiązek uzasadnienia jest przeciwieństwiem domniemania. Jeżeli dwie osoby prezentują odmienne stanowiska na dany temat przy czym domniemanie leży po jednej ze stron to druga strona ma obowiązek uzasadnienia swojego stanowiska. W zależności od kontekstu, inna siła argumentów jest wymagana, aby podważyć domniemanie i tym samym uczynić pogląd sprzeczny z domniemaniem na tyle wiarygodnym, aby konieczne było przeprowadzenie dyskusji. Domniemanie pomimo, iż może być podważone pozostaje niezmienne, a co za tym idzie, obowiązek uzasadnienia również spoczywa na tej samej osobie przez cały czas trwania dyskusji. Po skończonej wymianie argumentów należy ocenić, czy te argumenty, które pozostały niezbite, w wystarczającym stopniu podważają domniemanie, aby można było powiedzieć, że stwierdzenie z nim sprzeczne zostało udowodnione. 21

22 Uczestnik posiadający domniemanie ma uprzywilejowaną pozycję w dyskusji, jednak na wszystkich uczestnikach dialogu spoczywają następujące obowiązki: 1. Obowiązek uzasadnienia stwierdzenia (ang. burden of proving assertions) występuje w momencie, gdy rozmówca zarząda uzasadnienia danego stwierdzenia. Obowiązkiem jest zaprezentowanie argumentu, którego konkluzją jest kwestionowane stwierdzenie. 2. Obowiązek riposty (ang. burden of rejoinder lub burden of going forward) występuje w momencie, gdy jeden z rozmówców przedstawi argument, który nie jest w oczywisty sposób błędny. Wówczas drugi z rozmówców musi odnieść się w jakiś sposób do tego argumentu, aby dyskusja mogła być kontynuowana Zobowiązania Zobowiązaniem nazywamy stwierdzenie, którego uczestnik dialogu użył w swojej argumentacji. W związku z tym jest zobowiązany bronić tego stwierdzenia. Należy podkreślić różnicę pomiędzy zobowiązaniami, a przekonaniami rozmówcy (ang. beliefs), czyli stwierdzeniami, które rozmówca faktycznie uważa za prawdziwe. Zbiory przekonań i zobowiązań rozmówcy nie muszą się pokrywać. Przykładami zobowiązań są przesłanki argumentu, którego uczestnik użył dla uzasadnienia swojego stanowiska. Omówione wyżej reguły zobowiązań pozwalają ustalić w jaki sposób zobowiązania są przez uczestników podejmowane i tracone. Bardziej szczegółowy opis tego zagadnienia można znaleźć w[61]. Podobnie jak w przypadku argumentów, podejmowane są próby formalnego modelowania opisanych wyżej elementów dialogu. Warte wspomnienia formalne systemy tego typu definiowane są w[42, 43], przeglądową pracą w tej dziedzinie jest [63] Formalne modele argumentacji Jednym z wysiłków podejmowanych w ramach badań nad argumentacją jest tworzenie jej formalnych modeli. Wziąwszy pod uwagę opisane powyżej trudności ze zdefiniowaniem, czym dokładnie jest argumentacja, sensowność tych wysiłki może być poddawana w wątpliwość. Jednak stworzenie formalnego modelu argumentacji pozwala z jednej strony precyzyjnie opisać pewną teorię na temat wewnętrznej struktury argumentów i relacji występujących 22

23 pomiędzy nimi, z drugiej zaś strony pozwala zastanawiać się nad tym, czego dana teoria jeszcze nie opisuje, jakie są jej ograniczenia. Formalne modelowanie jest więc istotnym krokiem w rozwoju badań nad argumentacją. Istnieje cały szereg modeli argumentacji różniących się między sobą poziomem abstrakcji oraz stopniem sformalizowania. Wyczerpujący ich przegląd można znaleźć w pracach [55] oraz [45]. W niniejszym podrozdziale opisane zostaną dwa wybrane modele Dunga i Vreeswijka, które znalazły już zastosowanie w programowaniu w logice oraz najnowszy opublikowany model argumentacji, Carneades, który w dalszej części pracy zostanie wykorzystany do konstrukcji nowej logiki opartej na argumentacji P. M. Dunga Argumentation Framework W[13] Phan Minh Dung przedstawia sposób formalizowania argumentów i relacji pomiędzy nimi jako grafu skierowanego, abstrahując od wewnętrznej struktury argumentu. Zaznacza na wstępie, że celem jego artykułu jest przeanalizowanie fundamentalnych mechanizmów rządzących ludzką argumentacją i szukanie sposobów zaimplementowania tych mechanizmów w komputerach. Podstawowym pojęciem definiowanym przez Dunga jest akceptowalność argumentów (ang. acceptability). Zakłada on, że ideą rozumowania argumentacyjnego jest pogląd, że można wierzyć danemu stwierdzeniu, jeżeli można je skutecznie obronić przed wszystkimi kontrargumentami. Zatem przekonania racjonalnego agenta są charakteryzowane relacją pomiędzy wewnętrznymi argumentami broniącymi jego poglądów i zewnętrznymi argumentami wspierającymi przeciwne poglądy. Zatem, w pewnym sensie, wnioskowanie argumentacyjne jest oparte na zewnętrznej stabilności zaakceptowanych przez danego agenta argumentów. Zbiór argumentów, jakie posiada dany agent, określany jest przez Dunga mianem semantyki zbiór stanowi opis rzeczywistości, jaki dany agent posiada, a zatem jest pewną definicją relacji pomiędzy językiem, którym ta osoba się posługuje, a światem, o którym się wypowiada. Poniżej zostanie przedstawiony zarys zdefiniowanego przez Dunga modelu wraz z propozycją tłumaczenia na język polski pojawiających się w nim terminów i komentarzem. Definicja 2.1 (Dunga model argumentacji) 23

24 Dunga modelem argumentacji jest para DAF =(AR, attacks), gdzie AR jest zbiorem argumentów, a attacks jest binarną relacją zdefiniowaną na AR. Definicja 2.2 (Bezkonfliktowość) Zbiór argumentów S nazywamy bezkonfliktowym (ang. conflict-free), jeżeli nie ma w nim takich argumentów A i B, że A attacks B. Dung stawia tezę, że dla racjonalnego agenta argument A jest akceptowalny, jeżeli jest on w stanie bronić A przed wszystkimi atakami na A. Oznacza to, że zbiór wszystkich argumentów zaakceptowanych przez racjonalnego agenta jest zbiorem, który potrafi się bronić przed wszystkimi atakami na niego. To prowadzi do poniższej definicji dopuszczalnego (ang. admissible) zbioru argumentów. Definicja 2.3 (Dopuszczalność) 1. Argument A AR jest akceptowalny ze względu na zbiór argumentów S wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego argumentu B AR: jeżeli B atakuje A, to S atakuje B. 2. Bezkonfliktowy zbiór argumentów S jest dopuszczalny wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór S jest akceptowalny ze względu na S. Przykład 2.1 Niech DAF =(AR, attacks) będzie modelem argumentacji Dunga zdefiniowanym następująco: AR = {i 1,i 2,a} oraz attacks = {(i 1,a),(a, i 1 ), (i 2,a)}. Wówczas następujące zbiory są dopuszczalne:, {i 1 }, {i 2 }, {i 1,i 2 }. Po zdefiniowaniu pojęcia modelu argumentacji Dung przechodzi do definiowania tzw. rozszerzeń (ang. extensions). Są to podzbiory zbioru argumentów AR konstruowane na podstawie pewnego zbioru A AR w określony sposób. Termin rozszerzenie należy rozumieć w sensie rozszerzenia argumentacji danego agenta o nowe argumenty, spełniające odpowiednie kryteria. Dwa podstawowe rozszerzenia noszą nazwę preferowanego i stabilnego. Każde definiowane rozszerzenie utożsamiane jest z pewną semantyką. Definicja 2.4 (Preferowane rozszerzenie) Preferowanym rozszerzeniem w modelu argumentacji AF nazywamy maksymalny (względem 24

25 inkluzji zbiorów) dopuszczalny zbiór. Definicja 2.5 (Stabilne rozszerzenie) Bezkonfliktowy zbiór argumentów S nazywamy stabilnym rozszerzeniem wtedy i tylko wtedy, gdy S atakuje każdy argument nie należący do S. Każde stabilne rozszerzenie jest również preferowane, ale odwrotna zależność nie zachodzi (por. [13, str. 8]). Zanim przejdziemy do definiowania pozostałych rozszerzeń konieczne jest wprowadzienie pojęcia funkcji charakterystycznej : Definicja 2.6 (Funkcja charakterystyczna F AF ) Funkcję charakterystyczną F AF szablonu argumentacji definiujmy jako funkcję: F AF :2 AR 2 AR, daną wzorem: F AF (S) ={A AR : A jest akceptowalny ze wzg. na S} (przez 2 X oznaczamy zbiór podzbiorów zbioru X). Przykład 2.2 Kontynuując poprzedni przykład, możemy wypisać wartości funkcji charakterystycznej dla zdefiniowanego tam modelu argumentacji: F AF ( ) ={i 2 }; F AF ({a}) ={i 2 }; F AF ({i 1 })= {i 1,i 2 }; F AF ({i 2 })={i 1,i 2 }; F AF ({a, i 1 })={i 1,i 2 }; F AF ({a, i 2 })={i 1,i 2 }; F AF ({i 1,i 2 })= {i 1,i 2 }; F AF ({a, i 1,i 2 })={i 1,i 2 }. Przy pomocy pojęcia funkcji charakterystycznej możemy definiować kolejne rozszerzenia: Definicja 2.7 (Ugruntowane rozszerzenie) Ugruntowanym rozszerzeniem 1 w modelu argumentacji AF, oznaczanym przez GE AF najmniejszy (względem inkluzji zbiorów) taki zbiór S, że F AF (S) =S. jest Przykład 2.3 Kontynuując poprzedni przyklad: F AF ( ) = {i 2 }, F 2 AF ( ) = {i 1,i 2 }, F 3 AF ( ) = F 2 AF ( ), zatem GE AF = {i 1,i 2 }. Definicja 2.8 (Kompletne rozszerzenie) 1 Oryginalny termin: grounded extension. 25

26 Dopuszczalny zbiór argumentów S nazywamy kompletnym rozszerzeniem wtedy i tylko wtedy, gdy każdy argument akceptowalny ze względu na S należy do S. 10]): Dung udowadnia następujący lemat dotyczący kompletnego rozszerzenia (por. [13, str. Lemat 2.1 Bezkonfliktowy zbiór argumentów E jest kompletnym rozszerzeniem wtedy i tylko wtedy, gdy E = F AF (E), czyli gdy składa się wyłącznie z wszystkich akceptowalnych przez siebie argumentów. Zachodzą następujące zależność pomiędzy preferowanymi, ugruntowanymi i kompletnymi rozszerzeniami: 1. Każde preferowane rozszerzenie jest kompletnym rozszerzeniem, odwrotna zależność nie zachodzi. 2. Ugruntowane rozszerzenie jest najmniejszym (ze względu na inkluzję) kompletnym rozszerzeniem. Każde preferowane rozszerzenie stanowi naiwną semantykę, natomiast każde ugruntowane rozszerzenie stanowi sceptyczną semantykę. Pojęcia te są pewną próbą zamodelowania dwóch różnych strategii akceptowania przekonań, gdy dany agent stoi przed problemem zaakceptowania argumentu ze zbioru argumentów, które wzajemnie się atakują. Taką sytuację ilustruje poniższy przykład: Przykład 2.4 Weźmy pod uwagę dwa argumenty: a 1 : Można emitować w telewizji reklamy piwa po godzinie 20:00, ponieważ jest to normalny produkt, który z uwagi na niską zawartość alkoholu nie zalicza się w powszechnej opinii do szkodliwych napojów.. a 2 : Nie powinno się emitować w telewizji reklam piwa, ponieważ jest to pierwszy napój alkoholowy, po który sięgają dzieci i reklamowanie go będzie powodować wzrost spożycia alkoholu przez osoby nieletnie. 26

27 Odpowiada im następujący model argumentacji: AR = {a 1,a 2 }, attacks = {(a 1,a 2 ), (a 2,a 1 )}. Posiada on jedno ugruntowane rozszerzenie ( ) i dwa preferowane rozszerzenia ({a 1 }, {a 2 }). Przyjmujemy uproszczone założenie, że ten model zawiera wszystkie argumenty pojawiające się w debacie nad emisją reklam alkoholu. Zbiór poglądów agenta sceptycznie nastawionego powinnien być równy ugruntowanemu rozszerzeniu (każdy z argumentów jest podejrzany, więc wszystkie są odrzucane). Natomiast naiwny agent przyjmie (bez widocznego racjonalnego uzasadnienia) jeden z dostępnych argumentów. Jego zbiór poglądów będzie zatem odpowiadał jednemu z preferowanych rozszerzeń. Semantyki sceptyczne i naiwne odpowiadają sceptycznemu i naiwnemu wnioskowaniu omawianemu w punkcie W[13] pokazana jest relacja tego modelu argumentacji z innymi formalnymi systemami, np. z logiką domniemań Reitera (por. [47]), w której również występuje pojęcie rozszerzeń. Relacje te nie są jednak przemiotem zainteresowania w niniejszej rozprawie G. Vreeswijka Abstract Argumentation System W pracy [55] definiowany jest tzw. Abstract Argumentation System. Zgodnie z przyjętą w tej pracy terminologią, podobnie jak w przypadku Dunga, propozycję Vreeswijka będziemy nazywać Vreeswijka modelem argumentacji Podstawowe pojęcia Definicja 2.9 (Vreeswijka model argumentacji) Vreeswijka model argumentacji jest trójką uporządkowaną: A =(L, R, ) (2.1) gdzie L jest językiem, R jest zbiorem reguł inferencyjnych, a jest zwrotnym i przechodnim porządkiem nad zbiorem argumentów. Definicja 2.10 Językiem nazywamy zbiór L zawierający wyróżniony element. 27

28 Na język nie są nakładane żadne dodatkowe wymagania, elementy języka nazywane są stwierdzeniami. Definicja 2.11 Niech L będzie językiem takim, że L {, } =. 1. niezawodną regułą inferencyjną jest formuła postaci φ 1,...,φ n φ, gdzie φ 1,...,φ n jest skończoną (być może pustą) sekwencją stwierdzeń z L, aφ należy do L, 2. zawodną regułą inferencyjną jest formuła postaci φ 1,...,φ n φ, gdzie φ 1,...,φ n jest skończoną (być może pustą) sekwencją stwierdzeń z L, aφ należy do L. Regułą inferencyjną nazywamy niezawodną lub zawodną regułę inferencyjną. Reguły inferencyjne są elementami metajęzyka, same nie należą do L. Dzięki temu rozróżnieniu nielegalne jest zagnieżdżanie reguł (traktowanie reguły jako jednego ze stwierdzeń w innej regule). Argument Reguły inferencjne można łączyć w struktury drzewiaste wykorzystując następniki jednych reguł jako poprzedniki kolejnych w ten sposób otrzymujemy argumenty. Na rysunku 2.1 przedstawiono przykładowy argument składający się z dwóch zawodnych reguł i jednej niezawodnej. Poniżej znajduje się uproszczona definicja argumentu zawierająca tylko główne p = q s = r p q oznaczenia i pojęcia. Rysunek 2.1: Przykładowy argument a modelu Vreeswijka Definicja 2.12 (Argument, definicja uproszczona) Niech L będzie językiem a R będzie zbiorem reguł. Argument posiada przesłanki, konkluzję oraz podargumenty. Argumentem σ możebyć: 1. element języka L (wówczas zbiory przesłanek i podargumentów są równe {σ}, a konkluzją jest σ); 28

29 2. formuła postaci σ 1,...,σ n φ taka, że: σ 1,...,σ n jest skończoną (być może pustą) sekwencją argumentów o konkluzjach odpowiednio φ 1,...,φ n, istnieje w R reguła φ 1,...,φ n φ, φ nie występuje w argumentach σ 1,...,σ n (wówczas zbiór przesłanek jest sumą zbiorów przesłanek argumentów σ 1,...,σ n, konkluzją jest φ, a zbiór podargumentów jest sumą zbioru {σ} i zbiorów podargumentów σ 1,...,σ n ); 3. formuła postaci σ 1,...,σ n φ taka, że: σ 1,...,σ n jest skończoną (być może pustą) sekwencją argumentów o konkluzjach odpowiednio φ 1,...,φ n, istnieje w R reguła φ 1,...,φ n φ, φ nie występuje w argumentach σ 1,...,σ n (wówczas zbiór przesłanek, konkluzja i zbiór podargumentów defniowane są tak jak w punkcie 2.). Zgodnie z powyższą definicją argument, w którego drzewie to samo stwierdzenie występuje wielokrotnie w jednej gałęzi, jest błędny. Definicja 2.13 Argument σ jest niezawodny jeżeli σ L lub istnieje argument σ 1,...,σ n σ 1,...,σ n są argumentami niezawodnymi. σ taki, że Definicja 2.14 Niech L będzie językiem i niech P będzie podzbiorem L. 1. Argument jest oparty na P, jeżeli wszystkie jego przesłanki należą do P, zbiór argumentów jest oparty na P,jeżeli wszystkie jego elementy są oparte na P. 2. Zbiór wszystkich argumentów opartych na P oznaczamy przez arguments(p ); zbiór wszystkich niezawodnych argumentów opartych na P oznaczamy strict(p ); zbiór wszystkich zawodnych argumentów opartych na P oznaczamy def easible(p ). 29

30 3. Element L jest oparty na P, jeżeli jest konkluzją argumentu opartego na P ; element L jest niezawodnie lub zawodnie oparty na P, jeżeli jest konkluzją odpowiednio niezawodnego lub zawodnego argumentu opartego na P. Siła przekonywania Trzecim i ostatnim elementem abstrakcyjnego systemu argumentacji jest porządek. Definicja 2.15 (Porządek siły przekonywania) Niech σ i τ będą argumentami. Jeżeli σ τ, toτ jest niesłabszy niż σ, a jeżeli σ < τ, toτ jest silniejszy niż σ. Porządek siły przekonywania, oprócz zwrotności i przechodniości, musi być dodatkowo: 1. dobrze uformowany nie istnieją nieskończone ciągi σ 1 < σ 2 <...<σ n <..., 2. monotonicznie nierosnący dla każdego σ i τ, jeżeli σ jest podargumentem τ, toτ σ, 3. zachowywany przez reguły niezawodne jeżeli σ 1,..., σ n σ, to σ i σ, dla jakiegoś i =1,...,n. Reguła 2. wymusza, aby argument był co najwyżej tak silny jak jego podargumenty. Reguła 3. oznacza, że siła przekonywania argumentu niezawodnego nie może zanikać, jeżeli zatem opieramy nasz argument na argumencie niezawodnym, to jest on co najmniej tak samo silny. Tak zdefiniowany porządek siły przekonywania jest porządkiem częściowym. Powyższy dobór własności, jakie musi posiadać siła przekonywania, ma na celu uzyskanie nietrywialnych zasad działania operatora zbijania jednych argumentów przez drugie. W [55, 2. Basic concepts Conclusive force] podano kilka przykładów porządków siły przekonywania. Podważanie Mówimy, że argument podważa zbiór argumentów, jeżeli jest silniejszy od przynajmniej jednego elementu tego zbioru. Jeżeli zbiór argumentów jest podważany przez jakiś argument, to nie jest w stanie utrzymać wszystkich swoich elementów w wypadku konfliktu. Pojęcie podważania stanowi jeden z dwóch fundamentów teorii Vreeswijka (drugim jest pojęcie niezgodności). Definicja

31 Argument τ podważa zbiór argumentów Σ, jeżeli σ < τ dla jakiegoś σ Σ. W takim przypadku zbiór Σ jest podważany przez τ Zgodność Definicja 2.17 (Sprzeczność) Argument σ jest sprzeczny, jeżeli jego konkluzją jest. Definicja 2.18 (Zgodność 2 ) Zbiór P, będący podzbiorem L, jest niezgodny jeżeli istnieje niezawodny argument sprzeczny oparty na P. Podzbiór L jest zgodny, jeżeli nie jest niezgodny. Niezgodny podzbiór L jest minimalnie niezgodny, jeżeli wszystkie jego właściwe podzbiory są zgodne. Pojęcie zgodność w sposób naturalny rozszerza się na zbiory argumentów. Zbiór argumentów Σ jest zgodny, jeżeli zbiór konkluzji jego elementów jest zgodny. Poniższy przykład został zaczerpnięty z [55, 3. Compatibility]. Przykład 2.5 Niech L = {p, q, r, s} { } i niech R = {p r; p, q s; r, s }. Wówczas wszystkie podzbiory {p, q, s}, {p, r} i {q, r} są zgodne, podczas gdy wszystkie podzbiory {p, q, r} i {r, s} są niezgodne. Ponadto {p, q, r} i {r, s} są minimalnie niezgodne Teoria zasadności Teoria zasadności (oryginalny termin: theory of warrant) obejmuje ustalanie, który argument jest w danym przypadku niepodważalny 3 i które stwierdzenia są zasadne, czyli stanowią konkluzje niepodważalnych argumentów. Zbiór bazowy. Podważenie danego argumentu lub uzasadnienie konkluzji odbywa się w odniesieniu do niezawodnego zbioru informacji. Taki zbiór Vreeswijk nazywa zbiorem bazowym (ang. base set). Dla uniknięcia konfliktów pomiędzy argumentami niezawodnymi wymaga się, aby zbiór bazowy był zgodny. 2 Oryginalny termin: compatibility. 3 Vreeswijk używa terminu in force. 31

32 Definicja 2.19 Zbiorem bazowym nazywamy skończony, zgodny podzbiór L. Zbijanie jako najbardziej podstawowa relacja pomiędzy argumentami, wykorzystująca zarówno pojęcie zgodności, jak i siły przekonywania, jest elementarnym pojęciem w problematyce uzasadniania stwierdzeń w tym modelu. Definicja 2.20 Niech P będzie zbiorem bazowym i niech σ będzie argumentem. Zbiór argumentów Σ zbija argument σ, jeżeli jest z nim niezgodny i nie jest przez niego podważany, mówimy wówczas, że σ jest zbijany przez Σ. Zbiór Σ minimalnie zbija σ, jeżeli wszystkie jego właściwe podzbiory nie zbijają σ. Dopuszczalność (ang. enablement). Argument σ jest dopuszalny przez zbiór Σ wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie podargumenty σ (włącznie z σ) nie są zbijane przez Σ: Definicja 2.21 Niech P będzie zbiorem bazowym i niech Σ będzie zbiorem argumentów. Argument σ jest dopuszczalny przez Σ na podstawie P (co zapisujemy P Σ σ), jeżeli zachodzi jeden z trzech warunków: 1. zbiór P zawiera σ, 2. dla jakichś argumentów σ 1,...,σ n zachodzi P Σ σ 1,...,σ n i σ 1,...,σ n σ, 3. dla jakichś argumentów σ 1,...,σ n zachodzi P Σ σ 1,...,σ n i σ 1,...,σ n σ, oraz Σ nie zawiera zbiorów zbijających σ. (Przez P Σ σ 1,...,σ n oznaczamy: P Σ σ 1 i...,ip Σ σ n.) Definicja 2.22 (Operator dopuszczania) Niech P będzie zbiorem bazowym, a Σ zbiorem argumentów. Przez enable P (Σ) oznaczamy zbiór argumentów {σ : P Σ σ}. Przy pomocy poniższego przykładu Vreeswijk obrazuje jak działa operator dopuszczania: 32

33 Przykład 2.6 Rozważmy abstrakcyjny system argumentacji A zjęzykiem L = {p, q, r, s} { }, regułami R = {p q, q r, p s} {q, s } (2.2) oraz trywialnym porządkiem zdefiniowanym tak, że σ τ wtedy i tylko wtedy, gdy σ jest zawodny lub τ jest niezawodny. Przy P = {p} mamy: enable P (p) ={p, p q, p q r, p s}, enable P (p, p q) ={p, p q, p q r}, enable P (p, p s) ={p, p s}, enable P (p, p q, p s) ={p}, enable P (p, p q, p q r) ={p, p q, p q r}, enable P (p, p q, p q r, p s) ={p}. Vreeswijk pokazuje relacje pomiędzy operatorem dopuszczania a Dunga pojęciem akceptowalności argumentu: F AF enable 2 P,tj.pojęcie akceptowalności Dung a otrzymuje się przez podwójne zastosowanie operatora dopuszczania. Zasadność. Dane stwierdzenie jest zasadne, jeżeli jest konkluzją argumentu, który jest niepodważalny. To, czy dany argument jest niepodważalny, określa się rekursywnie. Poniższa definicja wprowadza relację zawodnego wynikania 4 (ozn. ). Jest to relacja pomiędzy zbiorem P i argumentami opartymi na P. Jeżeli P σ, to mówimy, że σ jest niepodważalny na podstawie P. Podobnie, jeżeli Σ jest zbiorem argumentów takim, że P σ dla każdego σ Σ, to piszemy P Σ i mówimy, że Σ jest niepodważalny na podstawie P. Definicja 2.23 Niech P będzie zbiorem bazowym. Relacja pomiędzy P jest relacją zawodnego wynikania, jeżeli dla każdego argumentu σ opartego na P mamy P σ wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest jeden z warunków: 1. zbiór P zawiera σ, 2. dla jakichś argumentów σ 1,...,σ m zachodzi P σ 1,...,σ m i σ 1,...,σ m σ, 3. dla jakichś argumentów σ 1,...,σ m zachodzi P σ 1,...,σ m i σ 1,...,σ m σ oraz żaden zbiór argumentów Σ, który jest niepodważalny na podstawie P nie zbija σ. 4 Ang. defeasible entailment relation. 33

34 W ostatnim punkcie definicji pojawia się rekurencja. Zbadanie, czy argument σ jest niepodważalny może wymagać uprzedniego sprawdzenia, czy jakiś zbiór Σ jest niepodważalny, co z kolei może wymagać sprawdzania innych zbiorów. To rekursywne zagłębianie może się kończyć lub trwać w nieskonczoność. Jeżeli się zakończy, wówczas nie ma wątpliwości, co do tego, które argumenty są niepodważalne na podstawie danego zbioru. Są dwa powody, dla których rekurencja może trwać w nieskończoność: (1) istnieje cykliczna zależność pomiędzy zbijającymi się argumentami, wówczas pytanie o bycie niepodważalnym wraca cyklicznie do początkowego argumentu σ po skończonej liczbie kroków, (2) wywołanie przez początkowe pytanie o σ nieskończonej liczby pytań, które dotyczą nieskończonej liczby zbijających się argumentów. Rozszerzenia. Vreeswijk definiuje pojęcie rozszerzenia (ang. extension) nieco inaczej niż ma to miejsce w przypadku Dunga wiąże ono wprowadzone wcześniej pojęcia dopuszczania i uzasadnienia. Pozwala również na pokazanie, w jakim kierunku Gerard Vreeswijk rozwija swoją koncepcję, bez prezentowania jej w całości, co jest zbyteczne w niniejszej rozprawie. Definicja 2.24 Zbiór Σ jest rozszerzeniem zbioru P, jeżeli istnieje relacja zawodnego wynikania taka, że Σ = {σ : P σ}. Zbiór {σ : P σ} jest rozszerzeniem generowanym przez i oznaczanym przez info (P ). Liczba różnych rozszerzeń zbioru P stanowi stopień P, co oznaczamy deg(p ). Jeżeli deg(p ) = 1 piszemy dla uproszczenia info(p ). Związek pomiędzy uzasadnieniem a dopuszczaniem wygląda następująco: Twierdzenie 2.1 Niech P będzie zbiorem bazowym. Zbiór Σ jest rozszerzeniem P wtedy i tylko wtedy, gdy enable P (Σ) =Σ. Po dowód tego twierdzenia, jak również innych stwierdzeń i konkluzji zaczerpniętych z prezentacji Vreeswijka modelu argumentacji, można znaleźć w artykule [55]. Ciąg dalszy. Rozwijając swoją koncepcję, Vreeswijk definiuje konstruktywne procedury wyznaczania zbiorów zasadnych stwierdzeń. W ogólnym przypadku, dla jednego zbioru bazowego może być ich wiele. Zależy to od tego, jak dobrze zdefiniowany porządek siły 34

35 przekonywania porządkuje zbiór argumentów. Zachodzi następujące twierdzenie: Twierdzenie 2.2 Niech A 1 = (L, R, 1 )ia 2 = (L, R, 2 )będą abstrakcyjnymi systemami argumentacji takimi, że 1 jest ulepszeniem 2 (tj. σ 1 τ kiedykolwiek σ 2 τ). Wówczas dla każdego zbioru bazowego P zachodzi: deg 1 (P ) deg 2 (P ). Z powyższego twierdzenia wynika, że im porządek jest lepszy, tym mniej istnieje rozszerzeń danego zbioru, a co za tym idzie liczba różnych zbiorów zasadnych stwierdzeń opartych na tym zbiorze jest mniejsza T. Gordona Carneades Argumentation Framework Najnowszym w momencie pisania tej rozprawy i najbardziej rozbudowanym modelem argumentacji jest Carneades Argumentaion Framework (CAF) zdefiniowany w [24], a następnie udoskonalony w [25]. Ponieważ model ten jest wykorzystywany w projekcie badawczym opisywanym w niniejszej rozprawie, zostanie zaprezentowany bardziej szczegółowo niż poprzednie modele. Niniejszy podrozdział zawiera definicję tego modelu z wprowadzonymi własnymi oznaczeniami pojawiających się w niej terminów Struktura argumentów Model Carneades abstrahuje od wewnętrznej struktury zdań, nie wykorzystuje również pełnego rachunku zdań. Wymagana jest jedynie możliwość stwierdzenia, że dane dwa zdania są równoważne oraz, że jedno zdanie jest logicznym dopełnieniem drugiego. Stąd następująca definicja: Definicja 2.25 (Zdania) Niech (L, =, complement) będzie trójką, w której L oznacza zbiór deklaratywnych zdań w pewnym języku, = jest relacją równoważności modelowaną jako funkcja typu L L {prawda, f alsz}, acomplement : L L jest funkcją przypisującą zdaniom ich logiczne dopełnienia. Jeżeli s jest zdaniem, to jego dopełnienie oznaczamy przez s. W tym modelu wyróżnia się trzy rodzaje przesłanek, które mogą wchodzić w skład argumentów. 35

36 Definicja 2.26 (Przesłanka) Niech P L oznacza zbiór przesłanek. Istnieją trzy rodzaje przesłanek: 1. Jeżeli s L, to s jest przesłanką. Są to zwykłe przesłanki. Dla uproszczenia notacji będziemy używać samego s dla oznaczenia premise(s), jeżeli z kontekstu wynika, że stwierdzenie jest używane jako przesłanka. 2. Jeżeli s L, to s, zwane domniemaniem, jest przesłanką. 3. Jeżeli s L, to s, zwane wyjątkiem, jest przesłanką. 4. Nic innego nie jest przesłanką. Definicja 2.27 (Argument) Argument jest trójką uporządkowaną (c, d, P ), gdzie c L jest konkluzją argumentu, d {pro, con} jest kierunkiem argumentu, a P P L jest zbiorem przesłanek argumentu. Jeżeli a jest argumentem (c, d, P ), to conclusion(a) = c, direction(a) = d, natomiast premises(a) = P. Kierunek pro oznacza, że argument świadczy za stwierdzeniem będącym konkluzją argumentu, natomiast kierunek con oznacza, że argument świadczy przeciw stwierdzeniu będącemu konkluzją argumentu. Argumenty za będą oznaczane przez P pro c, a argumenty przeciw będą oznaczane P con c. Oznaczenie Przez A oznaczamy zbiór wszystkich argumentów możliwych do skonstruowania na zbiorze L. Głównym elementem modelu jest pojęcie grafu argumentów. Graf argumentów odgrywa rolę podobną do roli zbioru formuł w logice. Podczas gdy w logice prawdziwość formuły jest definiowana za pomocą relacji konsekwencji pomiędzy formułami, tutaj definiowane jest pojęcie akceptowalności 5 stwierdzenia w grafie argumentów. W grafie argumentów istnieją dwa rodzaje wierzchołków: wierzchołki-zdania i wierzchołkiargumenty. Krawędzie grafu łączą argument z jego przesłankami i konkluzją. Każde stwierdzenie jest reprezentowane przez co najwyżej jeden wierzchołek w grafie, dodatkowo wymagane jest, aby w grafie nie istniało równocześnie zdanie s oraz jego zaprzeczenie s (wówczas 5 Ang. acceptability. 36

37 wszystkie argumenty za s, musiałyby być potwórzone jako przeciw s i vice versa). W związku z powyższym ograniczeniem, na potrzeby reprezentacji grafowej wprowadzane jest pojęcie przesłanki zanegowanej. Jeżeli zdanie s reprezentowane jest w grafie, to przesłanka wykorzystująca zdanie s nazywana jest przesłanką zanegowaną. Przesłanki wszystkich typów mogą być zanegowane, co oznaczamy: s, s, s. Definicja 2.28 (Graf argumentów) Graf argumentów jest etykietowanym, skończonym, skierowanym, acyklicznym dwudzielnym grafem składającym się z wierzchołków-argumentów i wierzchołków-zdań. Wierzchołki-zdania są elementemi ze zbioru L. Krawędzie łączą wierzchołki-argumenty z wierzchołkami-zdaniami reprezentującymi przesłanki i konkluzje każdego argumentu. Dla każdej pary zdań (s, s) co najwyżej jedno z nich może być reprezentowane w grafie. Oznaczenie Zbiór wszystkich grafów argumentów, jakie można zdefiniować na zbiorze L będzie oznaczany przez G. W teorii argumentacji wyróżnia się dwa rodzaje argumentów: konwergentne i połączone (por ). Argumenty konwergentne modelowane są w tym modelu jako wiele argumentów za tą samą konkluzją, natomiast argumenty połączone modelowane są jako jeden argument mający więcej niż jedną przesłankę Ewaluacja argumentów Ewaluacja argumentów służy określeniu, czy dane stwierdzenie jest akceptowalne w danym grafie, czy też nie. W tym celu definiowane jest pojęcie kontekstu argumentacji, który zawiera pewne dodatkowe informacje potrzebne do dokonania ewaluacji. Definicja 2.29 (Kontekst argumentacji) Niech C, kontekst argumentacji będzie trójką uporządkowaną (status, ps, >), gdzie status : L {stated, questioned, accepted, rejected}, ps : L PS, > jest ostrym porządkiem częściowym określonym na zbiorze argumentów. Dla każdego zdania s i jego dopełnienia s, standard dowodu przypisany s jest dopełnieniem standardu dowodu przypisanego s i dodatkowo: 37

38 jeżeli status(s) = stated, to status(s) = stated, jeżeli status(s) = questioned, to status(s) = questioned, jeżeli status(s) = accepted, to status(s) = rejected, jeżeli status(s) = rejected, to status(s) = accepted. Intuicyjnie, każde stwierdzenie ma na początku status stated. Potem, w czasie dialogu, może stać się ono przedmiotem sporu (questioned), natomiast po wymianie wszystkich argumentów za i przeciw może przyjąć stan accepted lub rejected. Szczegóły tego procesu nie są w tym modelu rozpatrywane, jako że autorzy skupiają się wyłącznie na modelowaniu argumentów i relacji pomiędzy nimi, a nie na specyfikacji protokołu dialogu. Funkcja ps przypisuje każdemu stwierdzeniu standard dowodu, pojęcie to będzie zdefiniowane poniżej. Porządek > określa, który z danych dwóch argumentów jest silniejszy (jest to porządek częściowy, więc nie każde dwa argumenty są porównywalne). Wreszcie przechodzimy do definicji pojęcia akceptowalność stwierdzeń. W tej definicji i poniższych zakładany jest pewien kontekst argumentacji. Definicja 2.30 (Akceptowalność stwierdzeń) Niech acceptable : L G {prawda, f alsz}. Stwierdzenie jest akceptowalne w danym grafie argumentów wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia swój standard dowodu w tym grafie: acceptable(s, G) =satisf ies(s, ps(s), G). Definicja 2.31 (Spełnianie standardu dowodu) Standard dowodu jest funkcją typu L G {prawda, falsz}. Zdanie s spełnia standard dowodu f w grafie argumentow G wtedy i tylko wtedy, gdy f(s, G) jest prawdą. W[25] definiowane są trzy standardy dowodu z zaznaczeniem, że nie jest to lista zamknięta, możliwe jest definiowanie innych standardów. SE (Scintilla of Evidence). Stwierdzenie spełnia ten standard wtedy i tylko wtedy, gdy jest wsparte przynajmniej jednym broniącym się argumentem za. BA (Best Argument). Stwierdzenie spełnia ten standard wtedy i tylko wtedy, gdy jest wsparte przynajmniej jednym broniącym się argumentem za, który jest silniejszy od wszystkich broniących się argumentów przeciw. 38

39 DV (Dialectical Validity). Stwierdzenie spełnia ten standard wtedy i tylko wtedy, gdy jest wsparte przynajmniej jednym broniącym się argumentem za i nie istnieją broniące się argumenty przeciw. Niektóre z powyższych standardów dowodzenia (np. SE) zostały zaczerpnięte z anglosaskiego sądownictwa. Bardziej szczegółówy opis prawniczego kontekstu powyższych standardów można znaleźć w[24]. Dodatkowo standard dowodu może zostać wyprowadzony z innego poprzez zamianę ról argumentów za i przeciw : Definicja 2.32 (Dopełnienie standardu dowodu) Dopełnienie standardu dowodu σ oznaczane przez σ, jest standardem powstałym przez zamianę ról argumentów za i przeciw w definicji σ. Na przykład dopełnienie standardu dowodu BA, oznaczane przez BA, jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy stwierdzenie posiada broniący się argument przeciw silniejszym niż wszystkie broniące się argumenty za. W ogólności dane zdanie może spełniać zarówno dany standard dowodu, jak i jego dopełnienie, co podkreśla różnicę pomiędzy pojęciem akceptowalności i prawdy w sensie logicznym. Wszystkie standardy dowodzenia definiowane są w oparciu o pojęcie bronienia się argumentu, które definiowane jest poniżej. Definicja 2.33 (Bronienie się argumentu) Niech defensible : A G {prawda, falsz}. Argument a broni się w grafie G wtedy i tylko wtedy, gdy p premises(a) holds(p, G) (wszystkie przesłanki ze zbioru premises(a) trzymają w grafie G). Wreszcie przechodzimy do ostatniej definicji potrzebnej do ewaluacji argumentów, która precyzuje, co to znaczy, że przesłanka p trzyma w grafie G. Odbywa się to przez wprowadzenie funkcji holds. W tym miejscu następuje rekursywne zapętlenie definicji pojęć występujących w modelu CAF: to, czy przesłanka trzyma może zależeć od akceptowalności stwierdzenia, które wchodzi w jej skład, które z kolei zależy od bronienia się argumentów za i przeciw temu stwierdzeniu, a to czy dany argument się broni zależy oczywiście od tego, czy jego przesłanki trzymają. 39

40 Definicja 2.34 (Trzymanie przesłanki) Niech holds będzie funkcją typu P L G {prawda, falsz}. Niech σ = status(s). To czy przesłanka trzyma w danym grafie zależy od jej typu (zwykła, domniemanie lub wyjątek), stąd mamy trzy przypadki: Jeżeli p jest zwykłą przesłanką, s, to prawda holds(p, G) = f alsz acceptable(s, G) Jeżeli p jest domniemaniem, s, to prawda holds(p, G) = f alsz acceptable(s, G) Na koniec, jeżeli p jest wyjątkiem, s, to prawda holds(p, G) = f alsz acceptable(s, G) jeżeli σ = accepted jeżeli σ = rejected jeżeli σ = questioned σ = stated. jeżeli σ = accepted σ = stated jeżeli σ = rejected jeżeli σ = questioned. jeżeli σ = rejected jeżeli σ = accepted jeżeli σ = questioned σ = stated, czyli po prostu holds( s, G) = holds(s, G) Przykłady Poniżej podano dwa przykłady instancji modelu CAF. Grafy argumentów zostały zilustrowane za pomocą rysunków. Legenda dla obydwu ilustracji wygląda następująco: Prostokątne wierzchołki reprezentują stwierdzenia. Ciągi postaci S... S są identyfikatorami (konkretne treści stwierdzeń są tu nieistotne). Dla każdego stwierdzenia podano w nawiasach skrót nazwy przypisanego mu standardu dowodu. Status stwierdzenia oznaczono kolorami: (a) szary status stated, (b) żółty status questioned, (c) zielony status accepted, (d) czerwony status rejected. Okrągłe wierzchołki reprezentują argumenty. Pogrubioną czcionką oznaczono stwierdzenia akceptowalne (acceptable(s, G) = prawda) i argumenty broniące się (def ensible(a, G) = prawda) w danym grafie. 40

41 Kierunek argumentu wyrażony jest za pomocą znacznika kierunku krawędzi prowadzącej od argumentu do stwierdzenia (będącego jego konkluzją). Czarna strzałka oznacza, że argument jest za, biała oznacza, że jest przeciw. Typ przesłanki wyrażony jest za pomocą znacznika kierunku krawędzi prowadzącej od stwierdzenia do argumentu (dla którego dane stwierdzenie jest przesłanką). Brak znacznika kierunku oznacza zwykłą przesłankę, czarne kółko oznacza domniemanie, a białe kółko wyjątek. Zanegowane przesłanki oznaczone są kreseczką prostopadłą do krawędzi grafu. Dla uproszczenia rysunków, częściowy porządek siły argumentów nie jest ilustrowany. Przykład 2.7 L = {S3e8S, Sbb8S, S0S,...}, P L = {Sbb8S, S7d0S, 1f40, S1f40,..., G = patrz rysunek 2.2. Wartości funkcji przypisującej standard dowodzenia: ps(s3e8s) =DV, ps(s1770s) =SE,... Na przykładzie 2.7 widać (poza funkcjonowaniem podstawowych pojęć), że jedno stwierdzenie np. (S1770S) może być wykorzystane w wielu przesłankach ( S1770S, S1770S). Co więcej, definicja zbioru P L i definicja argumentu wskazują na to, że pojedyncza przesłanka może być wykorzystana w wielu argumentach (stoi to w pewnej sprzeczności z grafową reprezentacją CAF, do czego wrócimy przy analizie tego modelu). Przykład 2.8 L = {S1b5cS, S7d4S, S138cS,...}, P L = {S7d4S, S138cS, S4S,...}, G = patrz rysunek 2.3. Wartości funkcji przypisującej standard dowodzenia: ps(s7d4s) =DV, ps(s138cs) =SE,... 41

42 Rysunek 2.2: Przykład grafu argumentów 1 Na przykładzie 2.8 widać działanie standardu dowodu dialectical validity (DV): zdanie S7d4S ma broniący się argument za, ale ma również broniący się argumentu przeciw, standard DV nie jest zatem spełniony, czyli zdanie S7d4S nie jest akceptowalne. Widać tutaj również, że status i akceptowalność są wartościami nieskorelowanymi, a wyższy priorytet ma status: przesłanka S7d4S trzyma 6, pomimo iż S7d4S nie jest akceptowalne. Ten sam mechanizm widać w przypadku zdania S55f 5S: przesłanka S55f 5S powinna nie trzymać, ponieważ to zdanie jest akceptowalne, ale ratuje ją status rejected. Na tym przykładzie widać również działanie dopełnienia standardu dowodu: zdanie S4a3dS spełnia standard dowodu SE, dzięki czemu przesłanka S4a3dS trzyma Analiza modelu CAF Z formalnego punktu widzenia definicja przedstawiona w pracach [24] i[25] zawiera kilka niedopowiedzeń i nieścisłości jak: (a) brak jawnej definicji samego modelu Carneades jako całości, (b) pojęcie przesłanki wykorzystywane jest na przemian w rozumieniu definicji 2.26 i w rozumieniu stwierdzenia wchodzącego w skład przesłanki, (c) funkcja satisf ies nie posiada jawnej definicji i wydaje się nadmiarowa (w definicji 2.30 można napisać od razu 6 Pomimo tego argument za S1b5cS się nie broni, ponieważ przesłanka S4S nie trzyma. 42

43 Rysunek 2.3: Przykład grafu argumentów 2 acceptable(s, G) = f(s, G)), (d) definicja 2.28 nie definiuje jednoznacznie zbioru wierzchołków i zbioru krawędzi grafu. Ta ostatnia nieścisłość może wręcz prowadzić do sprzeczności: w definicji 2.26 mamy zbiór przesłanek, co oznacza na przykład, że dla danego s L istnieje co najwyżej jeden element s P L (zbiór z definicji nie zawiera powtórzeń). Model w żadnym miejscu nie zabrania wykorzystania jednej przesłanki w wielu argumentach, możemy mieć zatem parę argumentów (a 1,a 2 ) taką, że a 1 = a 2, s premises(a 1 )i s premises(a 2 ). Ponieważ jednak definicja 2.28 sugeruje, że przesłanki są reprezentowane przez krawędzie w grafie argumentów, w opisanym tutaj przypadku krawędź s musiałaby prowadzić jednocześnie od s do a 1 iods do a 2. Jest to sprzeczne z klasyczną definicją grafu. Wymienione formalne niedociągnięcia nie pozostawiają jednak żadnych istotnych luk pojęciowych w modelu, a ich usunięcie jest tylko kwestią doprecyzowania kilku definicji. Co najważniejsze, autorzy artykułu jasno przekazują intuicję modelu Carneades, który w bardzo prosty sposób formalizuje teorię argumentacji zaprezentowaną w rozdziale 2. Łatwo zauważyć, że model ten opiera się w dużo większym stopniu na pojęciach obecnych w tej teorii niż modele wcześniej opisane. Przede wszystkim jest pierwszym i do tej pory jedynym modelem argumentacji, który 43

44 wprowadza w sposób nietrywialny pojęcie kontekstu argumentacji, uzależniając akceptowalność stwierdzenia w grafie od jego standardu dowodu. Sprawia to, że Carneades jest szczególnie interesujący z punktu widzenia badań nad wnioskowaniem zależnym od kontekstu i z tego względu zostanie wykorzystany w rozdziale 3 przy definiowaniu logiki argumentacyjnej, w której takie wnioskowanie jest możliwe Teoria argumentacji podsumowanie Niniejszy rozdział zawiera skróconą informację na temat współczesnych badań nad argumentacją i dialogiem. Badania te występują pod czterema szyldami: logika nieformalna, teoria argumentacji, pragma-dialektyka i krytyczne myślenie. Ścisłe definicje tych pojeć, jak również rozgraniczenia pomiędzy nimi są w dalszym ciągu przedmiotem dyskusji w środowisku naukowym. W rozdziale opisany został wynik kwerendy bibliograficznej wykonanej od strony logiki nieformalnej. Na potrzeby zastosowań w systemach informacyjnych najbardziej interesującym produktem opisanych tu badań są formalne modele argumentacji i dialogu, ponieważ mogą stanowić źródło inspiracji dla konstrukcji takich systemów lub, w przypadku kompletnych formalizmów, mogą zostać bezpośrednio zastosowane w takich systemach. W dalszych pracach nie będą bezpośrednio wykorzystywane badania nad dialogiem. Wynika to z faktu, że dialog zawsze występuje pomiędzy pewną liczbą uczestników, więc, na gruncie informatyki, należy do badań nad systemami wieloagentowymi, które nie są bezpośrednim przedmiotem zainteresowania tej rozprawy. W zamyśle autora, logika tworzona w tej pracy jest raczej logiką pojedynczego agenta, która w przyszłości mogłaby zostać wykorzystana do tworzenia agenta będącego w stanie prowadzić wnioskowanie w kontekście dialogu i w tym dialogu konfrontować wyniki tego wnioskowania z innymi agentami. Na takim, wieloagentowym poziomie można mówić o formalnej logice dialogowej imitującej czy też modelującej samą logikę nieformalną. Bardziej szczegółowy opis tej koncepcji można znaleźć w[34] oraz [64]. Celem niniejszej rozprawy jest stworzenie oryginalnego podejścia do wnioskowania zależnego od kontekstu, a środkiem do tego celu ma być wiedza zdobyta w studiach nad teorią argumentacji. Oryginalność rozwiązania polega na uzależnieniu od kontekstu samego wnioskowania, nie zaś na dodawaniu kontekstu w postaci pewnej, szczególnie traktowanej, 44

45 wiedzy faktograficznej. Szczególnie obiecującym narzędziem do zrealizowania celu jest opisany w podrozdziale model argumentacji Carneades, ponieważ w nim pojęcie kontekstu jawnie występuje. Na tym etapie można przypomnieć podaną we wstępie tezę rozprawy, która zostanie udowodniona w kolejnych rozdziałach: Teza Przy pomocy modelu argumentacji Carneades można skonstruować logikę wprowadzającą wnioskowanie zależne od kontekstu, które ułatwia modelowanie naturalnych mechanizmów wnioskowania. Przez wprowadzanie rozumie się tutaj zdefiniowanie takiego wnioskowania kontekstowego, którego nie da się sprowadzić do już istniejących rozwiązań w tej dziedzinie opisanych w 1. rozdziale. 45

46

47 Rozdział 3 Logika oparta na argumentacji W niniejszym rozdziale podjęte zostaje zagadnienie zastosowania wiedzy zaprezentowanej w poprzednim rozdziale do tworzenia logik oraz maszyn wnioskujących opartych na tych logikach. Spodziewaną korzyścią płynącą z tego zabiegu jest przeniesienie do systemu informatycznego interesujących właściwości argumentacji widzianej jako proces dochodzenia do nowych wniosków na podstawie już posiadanej wiedzy. Jak wspomniano w poprzednim rozdziale, interesującymi właściwościami tzw. logiki nieformalnej jest wnioskowanie przy użyciu niepełnej wiedzy (wnioskowanie zawodne) i uzależnienie wnioskowania od kontekstu, w którym ono zachodzi. Niniejsza praca skupia się przede wszystkim na kontekstowości wnioskowania. Rozdział rozpoczyna się propozycją opisu logik za pomocą listy różnic, jakie zachodzą pomiędzy daną logiką a klasyczną logiką pierwszego rzędu. Taki opis zostaje następnie wykorzystywany do analizy istniejących podejść do wnioskowania opartego na argumentacji i dalej do sformułowania nowej logiki, posiadającej właściwość wnioskowania zależnego od kontekstu Opis logik Każda z opisywanych i porównywanych w tym rozdziale logik jest pewną wariacją klasycznej logiki pierwszego rzędu. Należy zatem systematycznie opisać różnice, jakie mogą występować pomiędzy tymi logikami. Analiza porównawcza zostanie oparta na opisanej w [51, 1.3 Varieties of Logic] klasyfikacji zmian, jakie są typowo dokonywane w klasycznej wersji logiki pierwszego rzędu. Według [51], zmiany te zachodzą w sześciu możliwych wymiarach: 47

48 1. Składnia. Najbardziej oczywistym sposóbem, w jaki logiki mogą się między sobą różnić, jest notacja, np. zastąpienie symbolu Peirce a symbolem Peano. 2. Podzbiory. Bardziej istotną modyfikacją jest wprowadzenie ograniczeń na możliwe operatory lub kombinacje operatorów. Przykładami mogą być tutaj Prolog z regułami wnioskowania ograniczonymi do klauzul Horna czy logiki opisowe. 3. Teoria dowodzenia. Zamiast ograniczania możliwych kombinacji operatorów niektóre wersje logiki ograniczają lub rozszerzają zbiór dozwolonych dowodów twierdzeń. Przykładowo logika intuicjonistyczna nie dopuszcza dowodów na istnienie danego obiektu matematycznego przez wyjście z założenia, że dany obiekt nie istnieje i doprowadzenie do sprzeczności. Logiki niemonotoniczne natomiast, jak np. logika domniemań, pozwalają na dokonywanie domyślnych założeń, o ile nie są one sprzeczne z aktualnym stanem wiedzy. 4. Teoria modeli. Wariacje klasycznej logiki mogą również manipulować pojęciem prawdziwości zdań w odniesieniu do jakiegoś modelu świata. Klasyczna logika pierwszego rzędu jest oczywiście logiką dwuwartościową, z wartościami prawda i fałsz. Możliwe są jednak logiki trójwartościowe wprowadzające np. wartość logiczną nieznany. Jedną z najpopularniejszych logik wielowartościowych jest logika rozmyta ze współczynnikiem pewności zdań należącym do przedziału [0, 1]. 5. Ontologia. Niezinterpretowana logika nie posiada żadnych predefiniowanych predykatów, jej jedynymi symbolami są kwantyfikatory, operatory logiczne i zmienne. Aby zapewnić podstawowe elementy dla definiowania obiektów specyficznych dla danej dziedziny, niektóre logiki zapewniają ontologię wbudowanych predykatów i aksjomatów. Podstawowym przykładem jest tutaj ontologia teorii mnogości. 6. Metajęzyki. Klasyczna logika pierwszego rzędu może być użyta jako metajęzyk definiujący, zmieniający lub rozszerzający dowolną wersję logiki, włącznie z samą logiką pierwszego rzędu. Przykładowo gramatyka bezkontekstowa jest wersją logiki klauzul Horna używaną jako metajęzyk do definiowania składni języków formalnych. Logiki występujące w dalszej części rozdziału opisywane są przez podanie cech wyróżniających daną logikę w tych sześciu wymiarach. 48

49 3.2. Programowanie w logice a argumentacja stan badań Podejście do programowania w logice oparte na teorii argumentacji nie jest pomysłem nowym, jednak jego potencjał do tej pory nie został wpełni wykorzystany. Jest tak m.in. dlatego, że sama teoria argumentacji cały czas się rozwija, dostarczając coraz to nowych źródeł inspiracji dla twórców programów logicznych. W niniejszym podrozdziale prezentowana jest analiza rozwiązań istniejących w tej dziedzinie stworzona na podstawie przeglądowych prac [16] oraz [9]. We wszystkich opisywanych przypadkach pojęcie prawdziwości zdania zostaje zastąpione pojęciem akceptowalności, aby podkreślić, że dane zdanie jest nie tyle uważane za prawdziwe, co możliwe do zaakceptowania na podstawie posiadanych argumentów DeLP W pracy [17] definiowany jest formalny system Defeasible Logic Programming (DeLP), który łączy programowanie w logice z argumentacją. Wiedza w DeLP jest reprezentowana za pomocą faktów i reguł. Obecna w nazwie zawodność wnioskowania uzyskiwana jest przez wprowadzenie do wnioskowania zawodnych reguł. Pojedynczy program w DeLP składa się z faktów i reguł niezawodnych oraz zawodnych zdefiniowanych następująco: Fakty to formuły atomowe będące predykatem lub negacją predykatu (np. chicken(little)). Reguły niezawodne, oznaczane L 0 L 1,...,L n reprezentują niezawodną informację. Następnik reguły, L 0 jest formułą atomową, a poprzednik {L i } i>0 jest niepustym zbiorem formuł atomowych. Reguły zawodne, oznaczane przez L 0 L 1,...,L n, reprezentują niepewną informację. Podobnie jak w przypadku reguł niezawodnych, L 0,...,L n są formułami atomowymi, a poprzednik reguły musi być zbiorem niepustym. Program DeLP to para (Π, ), gdzie Π jest bazą wiedzy niezawodnej (fakty i reguły niezawodne) natomiast to zbiór reguł zawodnych. Do bazy wiedzy Π wymaga się niesprzeczności. Dla zapytań kierowanych do programu konstruowane są klasyczne dowody logiczne wykorzystujące oba typy reguł. Dowodem niezawodnym nazywamy dowód, w którym nie została zastosowana żadna zawodna reguła wnioskowania. Dowody zawodne (wykorzystujące 49

50 zawodne reguły wnioskowania) nazywa się strukturami argumentacyjnymi (ang. argument structure). Sprzeczność pomiędzy strukturami argumentacyjnymi istnieje wtedy, gdy wykorzystują one sprzeczne ze sobą formuły atomowe. Struktura argumentacyjna sprzeczna do danej nazywana jest kontrargumentem. DeLP korzysta z ogólnego pojęcia kryterium porównywania argumentów w celu rozstrzygnięcia, czy dany kontrargument pokonuje daną strukturę argumentacyjną, czy też nie. W pracy [17] wprowadzane są w tym celu priorytety reguł, jednak nie jest to jedyne możliwe kryterium, np. w [15] definiowane jest kryterium oparte na priorytetach poszczególnych formuł atomowych. Uogólniając, roztrzyganie o prawdziwości zapytania, dla którego istnieją sprzeczne struktury argumentacyjne odbywa się przez konstruowanie ciągów struktura argumentacyjna kontrargument struktura argumentacyjna... oraz sprawdzanie, czy wyjściowa struktura udowadniająca zapytania pozostaje niepokonana, tj. czy atakujące ją kontrargumenty są pokonywane przez inne, niepokonane struktury argumentacyjne. Defeasible Logic Programming jest więc systemem programowania w logice opartym wyraźnie na modelu argumentacji Dunga zaprezentowanym w podrozdziale Logika DeLP operuje na podzbiorze języka klasycznej logiki pierwszego rzędu, ograniczając się do formuł atomowych oraz formuł złożonych z dwoma rodzajami implikacji: H B (dla reguł niezawodnych) oraz H B (dla reguł zawodnych), gdzie H jest formułą atomową, ab jest koniunkcją formuł atomowych. Zmiana w teorii modeli polega na wprowadzeniu trzeciej wartości logicznej UNKNOWN zwracanej przez program DeLP, gdy nie jest możliwe ustalenie akceptowalności bądź nieakceptowalności zdania podanego w zapytaniu do programu. Dowodzenie zdań jest dwuetapowe. Przy użyciu faktów i reguł konstruowane są struktury argumentacyjne, czyli drzewa wywodu danego zdania analogiczne do klasycznego dowodu. Następnie za pomocą tzw. procedury dialektycznej ustalane jest, które struktury pokonują które, a co za tym idzie czy zdanie zadane w zapytaniu jest akceptowalne czy nie. 50

51 Argument-based extended logic programming with defeasible priorities W pracy [44] przedstawiony zostaje, inspirowany wnioskowaniem prawniczym, system rozszerzonego programowania w logice z zawodnymi priorytetami. Wykorzystywany tutaj formalny język wyposażony jest w klasyczną isłabą negację (ang. negation as failure). Słabe zdanie to takie zdanie języka, które zawiera słabą negację. Reguły wnioskowania mają klasyczną, dedukcyjną postać. Wyróżniamy reguły zawodne i niezawodne, przy czym reguły zawodne to te, które zawierają przynajmniej jedno słabe zdanie. Argumentem nazywana jest tutaj skończona sekwencja reguł taka, że: 1. dla każdej reguły r i ikażdego silnego zdania L 1 j w poprzedniku r i istnieje reguła r k, której L j jest następnikiem, 2. żadne dwie różne reguły nie mają tego samego następnika. Zawodność wnioskowania modelowana jest przez słabą negację. Dowód zdania przybiera formę dialogu pomiędzy proponentem i oponentem. Zdanie zostaje udowodnione, jeżeli proponentowi uda się sformułować argument udowadniający zdanie i obronić go przed wszystkimi atakami oponenta. Argument atakuje drugi, jeżeli jest z nim w konflikcie. Ogólnie mówiąc, argumenty A 1 i A 2 są w konflikcie, jeżeli można z nich wyprowadzić sprzeczne zdania przy użyciu wyłącznie niezawodnych reguł. Podobnie jak w przypadku DeLP, relacja pokonywania argumentów (mówiąca czy dany argument znosi drugi argument będący z nim w konflikcie) zależy od priorytetów reguł użytych w argumentach. Ważnym elementem systemu zdefiniowanego w [44] są priorytety przypisane regułom wnioskowania. Ciekawą ich właściwością jest to, że nie są one na stałe przypisane do reguł, lecz są zawodne, tzn. proponent i oponent mogą przeprowadzić dialog mający na celu ustalenie tych priorytetów. Podobnie jak w przypadku DeLP podejście Prakkena i Sartora oparte jest na Dunga modelu argumentacji, ponieważ argumenty przedstawiane przez proponenta i oponenta związane są odpowiednio definiowaną relacją atakowania i w oparciu o tę relację definiowany jest dialog stanowiący dowód zdania. Elementem odbiegającym od modelu Dunga są dynamiczne priorytety reguł. Również analogicznie do DeLP zmiany w stosunku do klasycznej logiki 1 Silne zdanie to takie, które nie zawiera słabej negacji 51

52 pierwszego rzędu obejmują wprowadzenie dwóch rodzajów reguł wnioskowania, priorytetów reguł i dialektycznej metody roztrzygania o akceptowalności zdania, przy czym tutaj metoda ta przybiera jawnie formę dwustronnego dialogu Argumentation Semantics for Extended Logic Programming Schweimeier i Schroeder definiują w pracy [49] system analogiczny do powyższego z tą różnicą, że nie występują w nim reguły niezawodne ani priorytety reguł. W oparciu o pojęcie konfliktu pomiędzy argumentami definiują oni rozmaite pojęcia ataków dla rozszerzonego programowania w logice. Wyróżniają pojęcia: ataku argumentu, pokonywania argumentu, silnego ataku argumentu, silnego podcinania argumentu. Tutaj odstępstwa od logiki pierwszego rzędu są takie same jak w przypadku [44], z różnicą w teorii dowodzenia, ponieważ wzbogacona zostaje relacja atakowania pomiędzy argumentami Podejście Dunga W cytowanym już artykule [13] Dung pokazuje, że za pomocą stworzonego przez niego modelu argumentacji możliwe jest modelowanie wielu znanych problemów informatycznych, w tym programowania w logice. Np. przytaczane jest sformułowanie programu logicznego zwłasnością słabej negacji (ang. negation as failure) pary (AR, attacks). Dung pokazuje również, jak klasyczne programowanie w logice może być zastosowane do obliczeń w jego modelu argumentacji Argue tuprolog Argue tuprolog (w skrócie AtuP) prezentowany w [10] jest prototypową implementacją maszyny wnioskującej opartej na modelu Vreewijka opisanym w podrozdziale AtuP przyjmuje na wejście formuły w rozszerzonej logice pierwszego rzędu i zwraca informację o akceptowalności zapytania w oparciu o naiwnie preferowane zbiory argumentów (por. opis 52

53 naiwnych i sceptycznych rozszerzeń w podrozdziale 2.3.1). Język AtuP może być postrzegany jako rozszerzenie języka Prolog wzbogaconego o liczbowo wyrażoną siłę reguł i stopnie przekonań. Podobnie jak przypadkach opisanych wyżej, logika stanowiąca podstawę AtuP różni się od klasycznej zawodnymi i niezawodnymi regułami wnioskowania oraz porządkiem siły zdefiniowanym na zbiorze reguł zawodnych. Dowodzenie zdań polega na sprawdzaniu ich zasadności rozumianej w sposób zaprezentowany w Programowanie w logice a argumentacja podsumowanie i możliwy rozwój Jak widać z powyższego zestawienia, teoria argumentacji stosowana jest w programowaniu w logice przede wszystkim w celu zamodelowania niepewności wnioskowania. Chodzi przede wszystkim o to, aby system wnioskujący uwzględniał fakt, że w praktycznych zastosowaniach często możliwe jest wyciąganie różnych, sprzecznych ze sobą wniosków w oparciu o posiadaną wiedzę. Kluczem do osiągnięcia konkluzji jest uwzględnienie faktu, że wnioski wyciągnięte w jeden sposób mogą być bardziej wiarygodne od wniosków wyciągniętych w inny sposób, co prowadzi do koncepcji priorytetów wnioskowania. Modelowane jest również wnioskowanie w oparciu o wiedzę niepewną (domniemania w logice [44]). Kontekstowość wnioskowania możliwa jest do zamodelowania tylko w systemie Prakkena i Sartora, gdzie możliwe jest ustalanie priorytetów reguł na podstawie dialogu, który mógłby wyglądać różnie dla różnych zdań w zależności od pewnego kontekstu wnioskowania. Wszystkie opisane powyżej podejścia do programowania w logice opartego na argumentacji korzystają w sposób jawny lub niejawny z Dunga modelu argumentacji (opisanego w podrozdziale 2.3.1) lub z modelu Vreeswijka (por ). W niniejszej pracy tworzona jest logika oparta na modelu argumentacji Carneades, opisanego w podrozdziale Jak zostanie wykazane, taka logika modeluje zarówno zjawisko zawodności wnioskowania (przez wprowadzenie domniemań oraz względnej siły argumentów), jak również nietrywialną koncepcję kontekstu, w którym wnioskowanie się odbywa. Obecna w tym modelu argumentacji koncepcja kontekstu przeniesiona na grunt logiki znacząco odbiega od istniejących metod modelowania kontekstu opisanych w rozdziale 1. 53

54 3.3. Regułowa wersja Carneades Argumentation Framework Zastosowanie modelu Carneades w logice wymaga pewnego dostosowania go do potrzeb automatycznego, regułowego wnioskowania. Najogólniej mówiąc, należy przekształcić model ze statycznego grafu argumentów do postaci, w której graf tworzony jest dynamicznie z argumentów i stwierdzeń istniejących w bazie wiedzy. Najpierw zostaną wymienione główne kroki adaptacyjne wpisujące model Carneades w kontekst wnioskowania w logice. Następnie opisane zostaną odstępstwa, jakie tworzona logika będzie mieć w stosunku do klasycznej logiki pierwszego rzędu, co pozwoli w ostatnim kroku w sposób precyzyjny zdefiniować żądaną logikę argumentacyjną i opisać jej właściwości. Aby dostosować wykorzystywaną terminologię do kanonu obowiązującego w badaniach nad logiką, termin stwierdzenie (ang. statement) występujący w modelu Carneades zostanie zastąpiony terminem zdanie. W modelu Carneades argument występuje jako wierzchołek grafu, który jest połączony krawędziami z wierzchołkami reprezentującymi zdania, które stanowią konkluzję oraz przesłanki tego argumentu. Na taki podgraf możemy spojrzeć jak na instancję reguły wnioskowania. Przykładowo, na argument widoczny na rysunku 3.1 możemy spojrzeć jako na Rysunek 3.1: Przykładowy argument w modelu Carneades. regułę wnioskowania zastosowaną do zdań p, q, r i s: p, q, r pro s, gdzie oznacza zwykłą przesłankę. Zdanie w modelu CAF posiada swój status, który stanowi element kontekstu C (por ). Na gruncie logiki, to pojęcie odpowiada wartości logicznej zdania. 54

55 Pojęcie akceptowalności zdania jest odpowiednikiem prawdziwości w logice klasycznej. Procedura stwierdzania akceptowalności zdania jest bardziej złożona od klasycznej procedury poszukiwania dowodu znanej z logiki, ponieważ znalezienie jednego ciągu przekształceń logicznych prowadzącego od aksjomatów do dowodzonego twierdzenia nie jest wystarczające. Jeżeli pojedynczy taki ciąg nazwać wywodem, to dowód zdania (stwierdzenie akceptowalności) może wymagać znalezienia i porównania więcej niż jednego wywodu (zgodnie ze standardem dowodu dowodzonego zdania). Pomimo iż model Carneades jest statyczny, tzn. każdorazowo rozpatrujemy pewien ustalony graf argumentów, to jednak jest skonstruowany z myślą o co najmniej dwóch osobach prowadzących ze sobą dialog (stąd pojawiają się takie terminy jak zaakceptowany czy odrzucony chodzi o wspólne zaakceptowanie lub odrzucenie danego stwierdzenia przez osoby prowadzące dialog). Stąd też niniejsza logika, pomimo iż nie zawiera wprost wyrażonego elementu dialogu, zawiera pojęcia odnoszące się do pewnej pary lub grupy osób/agentów będących w dialogu 2. W przypadku logiki opartej na modelu argumentacji Carneades, modyfikacje klasycznej logiki pierwszego rzędu zachodzą w trzech wymiarach: (a) Podzbiory. Wnioskowanie zostaje ograniczone do klauzul Horna, choć są one tutaj odpowiednio wzbogacone. (b) Teoria dowodzenia. Zdefiniowana logika jest logiką domniemań, ponieważ w zbiorze przesłanek reguł wnioskowania mogą występować dwa rodzaje domniemań: (i) zwykłe domniemanie, którego prawdziwość można założyć, o ile nie jest to sprzeczne z bazą wiedzy, (ii) wyjątek, którego fałszywość można założyć, o ile nie jest to sprzeczne z bazą wiedzy. W procesie dowodzenia kluczowy jest standard dowodu danego zdania, który w ogólności może wymagać znalezienia więcej niż jednego wywodu (czyli dowodu w klasycznym sensie) dla danego zdania, a następnie analizy relacji pomiędzy znalezionymi wywodami. Ostatnią modyfikacją w teorii dowodzenia jest wprowadzenie reguł wnioskowania za i przeciw konkluzji danej reguł (c) Teoria modeli. Zdania w logice opartej na modelu Carneades mogą mieć cztery wartości 2 por. np. definicja

56 logiczne: accepted (najbardziej odpowiadające klasycznej wartości prawda), rejected (najbardziej odpowiadające klasycznej wartości fałsz), stated i questioned. Jak widać, odstępstwa od klasycznej logiki pierwszego rzędu są tutaj dość znaczne. Ponieważ jest to pierwsze znane podejście do pełnego zdefiniowania logiki opartej na modelu Carneades, więc dla uproszczenia zostanie wprowadzone również ograniczenie na konstrukcję termów wyłącznie do stałych i zmiennych indywiduowych (z wyłączeniem funkcji). Nie jest to ograniczenie wynikające bezpośrednio z zastosowania modelu Carneades, ale ułatwi ono kompletne zdefiniowanie logiki oraz algorytmów wnioskowania w niej. Rezultat będzie mógł być, na dalszym etapie badań, rozszerzony porzez zniesienie tego ogrniczenia. Gdu znana jest pełna definicja klasycznej logiki pierwszego rzędu i lista zmian, jakie w niej zachodzą w wyniku zastosowania modelu Carneades, możliwe jest pełne zdefiniowane logiki argumentacyjnej (będzie ona oznaczana przez RCAF) Definicja logiki RCAF Logika będzie definiowana metodą zstępującą (poczynając od pojęć najbardziej ogólnych do najbardziej szczegółowych). Definicja 3.1 (RCAF) Logiką argumentacyjną RCAF jest trójka uporządkowana: RCAF =(L, S, IM), gdzie L jest uproszczonym językiem logiki pierwszego rzędu, S jest zmodyfikowaną semantyką logiki pierwszego rzędu, a IM jest mechanizmem wnioskowania specyficznym dla tej logiki Język Definicja 3.2 (Język) Jako język L zostaje przyjęty uproszczony język klasycznego rachunku predykatów 3, składający się z: 1. stałych indywiduowych c, c 1,c 2,..., 3 Por. np. [37]. 56

57 2. zmiennych indywiduowych v, v 1,v 2,..., 3. predykatów (symboli relacyjnych) P, Q, R, P 1,Q 1,R 1,..., 4. spójnika logicznego negacji, 5. kwantyfikatora szczegółowego. Zostają przyjęte standardowe definicje termów i formuł. Zdaniem jest formuła pozbawiona zmiennych wolnych. Zmienna zdaniowa to formuła posiadającą przynajmniej jedną zmienną wolną Semantyka Definicja 3.3 (Semantyka) Semantyka S jest standardową semantyką logiki pierwszego rzędu, z tą różnicą, że zbiorem wartości logicznych zdań języka L jest zbiór {accepted, rejected, stated, questioned}. Wartości te posiadają następujące znaczenie (zaczerpnięte bezpośrednio z modelu Carneades): accepted oznacza, że prawdziwość zdania jest zaakceptowana przez pewnych, hipotetycznych uczestników dialogu, rejected oznacza, że zdanie jest odrzucone (uznane za fałszywe), stated oznacza, że zdanie istnieje w dialogu, ale uczestnicy jeszcze się do niego nie ustosunkowali, questioned oznacza, że co najmniej jeden z uczestników kwestionuje prawdziwość danego zdania. Analogicznie do modelu Carneades, wartość logiczna zdania s jest oznaczana przez status(s). W zależności do wartości logicznej zdania s, zdanie s ma wartość: rejected, jeżeli status(s) = accepted, accepted, jeżeli status(s) = rejected, questioned, jeżeli status(s) = questioned, stated, jeżeli status(s) = stated. 57

58 Mechanizm inferencyjny Definicja 3.4 (Mechanizm inferencyjny) Mechanizm inferencyjny IM składa się z trzech elementów: Przyporządkowania ps : L PS, które każdemu zdaniu języka L przypisuje jeden standardu dowodu. Zbioru R dozwolonych reguł wnioskowania. Relacji > R R definiującej ostry porządek częściowy siły reguł wnioskowania; zapis r 1 >r 2 oznacza, że reguła r 1 jest silniejsza od r 2. Definicja 3.5 (Standard dowodu) Standard dowodu, zwany również standardem dowodzenia jest funkcją typu L {prawda, f alsz}, która dla danego zdania s zwraca wartość prawda wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie s spełnia ten standard. Oznaczenie Przez PS oznaczamy zbiór zdefiniowanych w logice standardów dowodzenia. Każde zdanie języka L ma przypisaną jedną funkcję ze zbioru PS. Pojęcie spełniania standardu dowodu przez zdanie s jest związane z regułami wnioskowania, których konkluzją jest s. Dlatego przed zdefiniowaniem tego pojęcia zdefiniowane zostaną reguły wnioskowania, wraz z ich elementami składowymi. Definicja 3.6 (Reguła wnioskowania) Reguła wnioskowania jest strukturą postaci p 1,p 2,...,p n pro con c lub p 1,p 2,...,p n c, gdzie p 1,...,p n to przesłanki, a c L to zdanie lub zmienna zdaniowa nazywana konkluzją lub następnikiem reguły. Reguły pierwszej postaci to reguły typu za, natomiast reguły drugiej postaci to reguły typu przeciw. Zdanie s jest konkluzją/następnikiem reguły, jeżeli s powstaje z c przez podstawienie zmiennych wolnych w c. Oznaczenie Typ reguły r jest oznaczony przez T (r). Przez oznacza się regułę dowolnego typu. 58

59 Definicja 3.7 (Przesłanka) Przesłanka p jest parą (x, s), gdzie x {,, } jest typem przesłanki, a s L jest zdaniem lub zmienną zdaniową. Przesłankę typu nazywa się przesłanką zwykłą, przesłankę typu nazywamy domniemaniem, a przesłankę typu nazywa się wyjątkiem. Oznaczenie Dla uproszczenia zapisu, pary (, s), (, s), (, s) są oznaczane odpowiednio przez s, s i s. Typ przesłanki p jest oznaczany przez T (p). Zdanie przesłanki p jest oznaczane również przez p, o ile nie prowadzi to do niejednoznaczności. Definicja 3.8 (Trzymanie przesłanki) Przysłanka p trzyma, jeżeli p jest zdaniem i holds(p) = prawda. Funkcja holds : L {prawda, f alsz} dana jest wzorem: Jeżeli T (p) =, to prawda, holds(s) = f alsz, ps(p)(p), Jeżeli T (p) =, to prawda, holds(p) = f alsz, ps(p)(p), Na koniec, jeżeli T (p) =, to prawda, holds(p) = f alsz, ps(p)(p), jeżeli status(s) = accepted jeżeli status(s) = rejected jeżeli status(s) = stated status(s) = questioned. jeżeli status(s) = accepted status(s) = stated jeżeli status(s) = rejected jeżeli status(s) = questioned. jeżeli status(s) = rejected jeżeli status(s) = accepted jeżeli status(s) = stated status(s) = questioned. Przesłanka p wymaga udowodnienia, jeżeli wartość holds(p) zależy od wartości ps(p)(p). Definicja 3.9 (Wspieranie zdania przez regułę) Reguła r (po podstawieniu znajdujących się w niej zmiennych indywiduowych) wspiera zdanie s, jeżeli s jest konkluzją reguły r i wszystkie przesłanki reguły r trzymają. 59

60 Nie jest istotne czy reguła jest za czy przeciw s. W obydwu przypadkach mówi się o wspieraniu zdania s. Definicja 3.10 (Spełnianie standardu dowodu) Spełnianie standardu dowodu jest pojęciem zależnym od konkretnej realizacji funkcji, o której mowa w definicji 3.5. Definiowane są następujące funkcje pełniące rolę standardów dowodzenia: 1. Ślad dowodu (ang. Scintilla of Evidence): funkcja SE(s) = prawda wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje reguła za wspierająca s. 2. Najlepszy argument (ang. Best Argument): funkcja BA(s) = prawda wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje reguła za r za wspierająca s taka, że r za >r przeciw dla każdej reguły przeciw r przeciw wspierającej s. 3. Zasadność dialektyczna (ang. Dialectical Validity): funkcja DV (s) = prawda wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje reguła za wspierająca s i nie istnieje reguła przeciw wspierająca s. Podobnie jak w punkcie , należy tu zaznaczyć, że powyższe standardy dowodzenia nie są jedynymi możliwymi, są jednak dobrym punktem wyjścia w pierwszym podejściu do definiowania logiki opartej na modelu Carneades. Dla każdego, standardu dowodu istnieje jego dopełnienie, powstałe poprzez zamianę typów reguł za i przeciw : Definicja 3.11 (Dopełnienie standardu dowodu) Dopełnienie standardu dowodu σ oznaczane przez σ, jest standardem dowodzenia powstałym przez zamianę typów reguł za na przeciw i vice versa oraz zanegowanie argumentu funkcji w definicji σ. Przykład 3.1 Dla standardu dowodu SE, funkcja SE(s) =prawda wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje reguła przeciw wspierająca s. Zgodnie z definicjami 3.5 i 3.11, zbiór PS = SE, BA, DV, SE,BA, DV. 60

61 Własność 3.1 Funkcja ps podana w definicji 3.4 musi mieć następującą własność: s L (ps(s) =σ ps( s) =σ). Przykład 3.2 Jeżeli w powyższym przykładzie s = Kot jest czarny, to udowodnienie tego zdania wymaga wskazania jednej reguły za tym zdaniem, natomiast udowodnienie zdania s = Kot nie jest czarny wymaga wskazania jednej reguły przeciw zdaniu s, czyli jednej reguły przeciw s. Wnioskowanie w tak zdefiniowanej logice (podobnie jak w logice klasycznej) polega na dobieraniu wartościowania zmiennych obecnych w regułach, w taki sposób, aby wspierały one dowodzone zdanie oraz zdania obecne w przesłankach już wykorzystanych reguł. Inny jest natomiast cel wnioskowania, nie chodzi o skonstruowanie dedukcyjnego dowodu na prawdziwość zdania, ale ustalenie jego akceptowalności (zdanie jest akceptowalne, jeżeli spełnia swój standard dowodu). Oznaczenie Dla jawnego oznaczania akceptowalności zdania s L zostaje wprowadzony zapis acceptable(s) ps(s)(s). Podstawowe własności tak zdefiniowanej logiki omówione zostają w następnym podrozdziale. Teraz przedstawiony zostanie przykład wnioskowania w RCAF. Przykład 3.3 Niech będzie dana następująca baza faktów: s 1 = King(John) status(s 1 )=accepted ps(s 1 )=BA, s 2 = Greedy(John) status(s 2 )=questioned ps(s 2 )=DV, s 3 = Courageous(John) status(s 3 )=stated ps(s 3 )=SE, oraz następujący zbiór reguł: r 1 : King(y), Courageous(y) pro Good(y), r 2 : Greedy(z) con Good(z). 61

62 Niech relacja siły pomiędzy tymi regułami wygląda następująco: r 2 >r 1. Powyższ zapis należy rozumieć następująco: Reguła r 1 mówi, że jeżeli x jest królem i jest odważny (a w przypadku króla zakładamy, że jest), to jest dobry. Natomiast reguła r 2 stwierdza, że jeżeli ktoś jest chciwy, to nie jest dobry. Zdanie s 1 stwierdza, że Jan jest królem i wszyscy rozmówcy się co do tego zgadzają. Zdanie s 2 mówi, że Jan jest chciwy, ale nie ma zgody co do tego. s 3 stwiedza, że nieprawdą jest, że Jan jest odważny. Zdanie to padło w dialogu, ale nie było do tej pory przedmiotem rozważań. Każde zdanie ma przypisany jeden z podanych w definicji 3.10 standardów dowodzenia. Do tak zdefiniowanego systemu wnioskującego przekazane zostaje zapytanie: q = Good(John)? ps(q) =BA. Stosując wnioskowanie wstecz (por. np. [48]) można stwierdzić, że q unifikuje się z konkluzjami reguł r 1 i r 2 przez podstawienie odpowiednio {y/john} i {z/john}. Należy sprawdzić, czy dla takich podstawień wszystkie przesłanki r 1 i r 2 trzymają, co sprowadza się do spełnienia następujących warunków (por. definicja 3.8): dla reguły r 1 w 1 : w 2 : status(king(john)) = accepted (status(king(john)) = stated status(king(john)) = questioned) acceptable(king(john)), status(courageous(john)) = accepted status(courageous(john)) = stated status(courageous(john)) = questioned acceptable(courageous(john)), dla reguły r 2 w 3 : status(greedy(john)) = accepted (status(greedy(john)) = stated status(greedy(john)) = questioned) acceptable(greedy(john)). Bezpośrednio ze zbioru faktów wiadomo, że status(king(john)) = accepted, więc w 1 jest spełniony. Również ze zbioru faktów wiadomo, że status( Courageous(John)) = stated, 62

63 korzystając z definicji 3.3 wiadomo, że status(courageous(john)) = stated, więc warunek w 2 jest spełniony. Ponieważ spełnione są w 1 i w 2 wiadomo, że przy podstawieniu {y/john} reguła r 1 wspiera q. Ze zbioru faktów wiadomo, że status(greedy(john)) = questioned, więc musimy ustalić czy zachodzi acceptable(greedy(john)). Ze zbioru faktów wiadomo, że ps(greedy(john)) = DV, zatem należy sprawdzić, czy zachodzi DV (Greedy(John)). Korzystając z definicji 3.10 łatwo ustalić, że DV (Greedy(John)) = f alsz, ponieważ nie istnieje reguła za wspierająca to zdanie. Jeżeli tak, to warunek w 3 nie jest spełniony, więc reguła r 2 nie wspiera zapytania q. Teraz już możliwe jest udzielenie odpowiedzi na zapytanie. Ponieważ ps(q) = BA, na podstawie definicji 3.10, wymagamy aby istniała reguły za wspierająca q, oraz aby była silniejsza od każdej reguły przeciw wspierającej q. Jest tylko jedna reguła za (r 1 ), która wspiera q i tylko jedna reguła przeciw, która nie wspiera q, zatem standard dowodu tego zdania jest spełniony, a co za tym idzie q jest akceptowalne. Gdyby zmienić status(s 2 ) na accepted, wówczas reguła r 2 r 2 >r 1, to zdanie q przestałoby być akceptowalne. wspierałaby q, a ponieważ 3.5. Podstawowe właściwości logiki RCAF Zasadność istnienia trzech rodzajów przesłanek Domniemanie a wyjątek Spojrzenie na model Carneades od strony logiki rodzi od razu pytanie o to, czy nie da się uprościć logiki opartej na tym modelu, na przykład przez wyeliminowanie jednego z dwóch pojęć: domniemania lub wyjątku, które zdają się być swoimi przeciwnościami. Takie uproszczenie mogłoby się odbyć przez zanegowanie zdania lub zmiennej zdaniowej wchodzącej w skład przesłanki. Aby udowodnić, że nie jest to możliwe należy wykazać następujące twierdzenie: Twierdzenie 3.1 Dla dowolnego s L, przesłanki s i s nie mogą być stosowane zamiennie bez wpływu na proces wnioskowania. 63

64 Dowód Niech s L, wówczas s i s są przesłankami. Na podstawie definicji 3.8 wiadomo, że dwie przesłanki mogą być stosowane zamiennie, jeżeli mają równe wartości funckji holds. Porównanie wartości holds( s) iholds( s) zostało przedstawione w tabeli 3.1. Równość Lp. status(s) status( s) holds( s) holds( s) 1. accepted rejected f alsz f alsz 2. rejected accepted prawda prawda 3. stated stated ps(s)(s) prawda 4. questioned questioned ps(s)(s) ps( s)( s) Tabela 3.1: Porównanie domniemania i wyjątku status( s) = holds( s) dla wiersza 3. nie zachodzi dla dowolnego s L, zatem przesłanki s i s nie mogą być stosowane zamiennie. Przez podstawienie t = s otrzymuje się analogiczne twierdzenie i dowód dla pary holds( t) iholds( t). Widać, że definicja funkcji holds nie jest symetryczna względem podziału na domniemania i wyjątki. Zatem zastąpienie jednego z tych typów przesłanek za pomocą drugiego nie jest możliwe Wyjątek a przesłanka zwykła Taka symetria zachodzi jednak w przypadku podziału na przesłanki zwykłe i wyjątki, co ilustruje tabela 3.2. Z własności 3.1 otrzymujemy, że ps(s) = σ ps( s) = σ. Zatem Lp. status(s) status( s) holds( s) holds( s) 1. accepted rejected f alsz f alsz 2. rejected accepted prawda prawda 3. stated stated ps(s)(s) ps( s)( s) 4. questioned questioned ps(s)(s) ps( s)( s) Tabela 3.2: Porównanie przesłanki zwykłej i wyjątku 64

65 (podstawiając ps(s) = σ do wyrażeń w tabelce), jeżeli dla dowolnego standardu dowodu σ zachodzi równość σ(s) = σ( s), to trzecia i czwarta kolumna tabeli są sobie równe. Jeżeli tak, to dla każdej wartości logicznej zdania s zachodzi równość holds( s) = holds( s), a co za tym idzie możliwe jest zastąpienie pojęcia wyjątku za pomocą przesłanki zwykłej lub odwrotnie. Twierdzenie 3.2 Istnieje taki standard dowodu σ i takie zdanie s L, że równość σ(s) =σ( s) (3.1) nie zachodzi. Dowód Nie będzie dana następująca baza wiedzy: s 1 = King(John) s 2 = Greedy(John) r 1 : King(x) pro Good(x), r 2 : Greedy(y) con Good(y) status(s 1 )=accepted, status(s 2 )=accepted, oraz zapytanie q = Good(John), ps(q) = SE. Możliwe jest przeprowadzenie następującego rozumowania: 1. SE(q) =prawda, ponieważ r 1 wspiera q. Zatem SE(q) =falsz. 2. SE( q) = SE( Good(John)) = prawda wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje reguła przeciw wspierająca Good(John), czyli reguła przeciw wspierająca Good(John). 3. Regułą przeciw wspierającą Good(John) jest r 2,więc SE( q) =prawda. Z 1. oraz 3. widać, że równość 3.1 nie zachodzi dla rozpatrywanego przypadku, co kończy dowód twierdzenia. Tym samym dowiedzione zostało, że nie jest możliwe zastąpienie wyjątku za pomocą przesłanki zwykłej ani przesłanki zwykłej za pomocą wyjątku Przesłanka zwykła a domniemanie Pozostaje jeszcze zastanowić się czy jest możliwe uproszczenie logiki RCAF przez wyeliminowanie domniemania za pomocą przesłanki zwykłej lub vice versa. Analogiczne porównanie 65

66 wartości funkcji holds dla tego przypadku znajduje się w tabeli 3.3. Wartości funkcji holds są Lp. status(s) status( s) holds( s) holds( s) 1. accepted rejected prawda f alsz 2. rejected accepted f alsz prawda 3. stated stated prawda ps( s)( s) 4. questioned questioned ps(s)(s) ps( s)( s) Tabela 3.3: Porównanie przesłanki zwykłej i domniemania w tym przypadku nie do uzgodnienia, bardziej sensowne mogłoby się wydawać porównywanie wartości holds( s) i holds(s), są one jednak różne z definicji. Zostało w ten sposób wykazane, że zbiór trzech typów przesłanek jest nieredukowalny Prawo wyłączonego środka Przy okazji analizy typów przesłanek występujących w logice RCAF zostało udowodnione twierdzenie 3.2, które dotyczy bezpośrednio tzw. prawa wyłączonego środka mówiącego, że dla każdego zdania p albo ono samo, albo jego zaprzeczenie jest prawdziwe. W przypadku logik wielowartościowych prawo to zwykle nie jest zachowane, podobnie jest w przypadku logiki RCAF, której zbiór wartości logicznych jest czteroelementowy. Jednak można by wymagać, aby prawo wyłączonego środka było zachowane w przypadku pytania o akceptowalność zdania (czyli spełniania standardu dowodu). Zgodnie z twierdzeniem 3.2, jest możliwe, aby zachodziła równość σ(s) =σ( s) (3.2) W dowodzie twierdzenia wykazano, że obydwie strony równania 3.2 mogą być prawdą. Oczywiście obie strony równania mogą być również fałszem, wystarczy dla przykładu podanego w dowodzie zmienić status zdań s 1 i s 2 na rejected, wówczas nie istnieje żadna reguła wspierająca q, zatem SE(q) = SE( q) = f alsz. W przypadku gdy obie strony równania 3.2 są fałszem, mamy do czynienia ze zdaniem, którego akceptowalności nie można ani wykazać, ani wykluczyć. Jest to zatem logika spełniająca tzw. założenie otwartego świata (Open World Assumption). 66

67 Gdy obie strony równania 3.2 są prawdą, zarówno zdanie, jak i jego zaprzeczenie jest akceptowalne. Prawo wyłączonego środka, w ogólnym przypadku, nie obowiązuje. Jest to podstawowa cecha odróżniająca pojęcie akceptowalności zdań od klasycznego pojęcia prawdziwości logicznej. Spełnianie założenia OWA może być pożądaną cechą logiki z uwagi na jej zastosowania (praktyka pokazuje, że założenie Close World Assumption jest w praktycznych zastosowaniach systemów informacyjnych zbyt rygorystyczne). Natomiast występowanie sytuacji w której zarówno zdanie p jak i p jest akceptowalne może być uciążliwe (jest to sprzeczność w sensie logiki RCAF), więc należałoby mieć możliwość jego wyeliminowania. Jeżeli tak, to należy sobie odpowiedzieć na pytanie, od czego zależy, czy standard dowodu generuje taką sprzeczność, czy też nie. Bardziej ogólnie, należy sprawdzić, jakie warunki musi spełniać logika RCAF, aby nie dochodziło w niej do sprzeczności. Model Carneades, a w następstwie także logika RCAF, definiuje standard dowodu w sposób bardzo ogólny, jednak konkretne przykłady standardów dowodzenia zawarte w [25] wskazują, że funkcja realizująca dany standard dowodu zdania s korzysta z poniższych informacji: 1. zbiór R s za wspierających s reguł za, 2. zbiór R s przeciw wspierających s reguł przeciw, 3. relacja > zawężona do produktu (R s za R s przeciw) (R s przeciw R s za). Natomiast sama definicja tej funkcji składa się z co najwyżej trzech warunków: 1. warunku w za, jaki musi spełniać zbiór R s za, 2. warunku w przeciw, jaki musi spełniać zbiór R s przeciw, 3. warunku w za przeciw, jaki musi spełniać zwężona relacja >. Standardy dowodu podane w definicji 3.5 można, z pomocą powyższych warunków, wyrazić tabelką 3.4. Jeżeli brak warunku utożsami się ze stałą wartością prawda, to definicja każdego standardu dowodu sprowadza się do zdania (klasycznej logiki) w za w przeciw w za przeciw. Jeżeli dodatkowo zbiory reguł poda się do powyższych warunków jako zmienne, otrzymuje się uogólniony zestaw warunków, podany w tabeli 3.5. Każdy z podanych w tej tabeli standardów dowodu może być utożsamiany z funkcją zdaniową w 1 (R z ) w 2 (R p ) w 3 (R z,r p ) (gdzie R z R, R p R). Dzięki temu można skonstruować definicję standardu dowodu, która jest co prawda zawężona w stosunku do definicji 3.5, jednak umożliwia pewną analizę właściwości tego pojęcia. 67

68 Standard dowodu w za w przeciw w za przeciw SE R s za 1 BA R s za = rza R s za r R s przeciw r za >r DV R s za = R s przeciw = Tabela 3.4: Usystematyzowana definicja standardów dowodu Standard dowodu w 1 (R) w 2 (R) w 3 (R 1,R 2 ) SE R 1 prawda prawda BA R = prawda ra R1 rb R 2 r a >r b DV R = R = prawda Tabela 3.5: Uogólniony zestaw warunków dla standardów dowodu Definicja 3.12 (Kanoniczny standard dowodu) Standard dowodu jest nazwany kanonicznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest dany wzorem σ(s) =w 1 (R s za) w 2 (R s przeciw) w 3 (R s za, R s przeciw), (3.3) gdzie s L jest zdaniem, R s za jest zbiorem reguł za wspierających s, R s przeciw jest zbiorem reguł przeciw wspierających s, w 1 i w 2 są funkcjami postaci R {prawda, falsz}, aw 3 jest funkcją postaci R R {prawda, falsz}. Funkcje w 1, w 2 i w 3 są charakterystyczne dla danego standardu dowodu i nazywamy je warunkami. Dopełnienie kanonicznego standardu dowodu jest również kanonicznym standardem dowodu. Dla klasy standardów dowodów wyznaczonej przez powyższą definicję 4 można zdefiniować pojęcie słabości standardu, które okaże się przydatne przy odpowiedzi na pytanie o warunki, jakie musi spełniać logika argumentacyjna oparta na modelu Carneades, żeby zachowywać prawo wyłączonego środka. Definicja 3.13 (Słabość standardu dowodu) Kanoniczny standard dowodu σ jest słaby, jeżeli dla odpowiadających mu warunków w 1, w 2 i w 3 istnieje taka para rozłącznych zbiorów (R z,r p ), że zdanie w 1 (R z ) w 2 (R p ) w 3 (R z,r p ) w 1 (R p ) w 2 (R z ) w 3 (R p,r z ) (3.4) 4 Jak wynika z tabel 3.4 i 3.5, do klasy tej należą wszystkie standardy zdefiniowane w RCAF. 68

69 jest prawdziwe. Kanoniczny standard dowodu jest silny jeżeli nie jest słaby. Jak pokazano w dowodzie twierdzenia 3.2, standard dowodu SE jest słaby. Pozostałe dwa standardy (BA i DV ) są silne. W przypadku BA wynika to z własności ostrego porządku częściowego >. W przypadku DV wynika to z faktu, że warunki w 1 (R) iw 2 (R) są ze sobą sprzeczne, zatem ten sam zbiór nigdy nie spełnia ich obydwu. Twierdzenie 3.3 Niech s L i σ = ps(s) jest kanoniczny. Jeżeli dla zdania s równanie 3.2 ma po obu stronach wartość prawda, to standard dowodu σ jest słaby. Dowód Dopełnienie kanonicznego standardu dowodu dane jest wzorem po podstawieniu p = s: σ(p) =w 1 (R p przeciw) w 2 (R p za) w 3 (R p przeciw, R p za), σ( s) =w 1 (R s przeciw) w 2 (R s za) w 3 (R s przeciw, R s za). Podstawiając σ(s) i σ( s) do zdania 3.4 z definicji pojęcia słabości otrzymuje się: σ(s) σ( s) w 1 (R s za) w 2 (R s przeciw) w 3 (R s za, R s przeciw) w 1 (R s przeciw) w 2 (R s za) w 3 (R s przeciw, R s za). Wiadomo, że dla zdania s zachodzi σ(s) = prawda i σ( s) = prawda, zatem powyższe zdanie jest prawdziwe. Istnieje zatem dla standardu dowodu σ para zbiorów, dla której zdanie 3.4 jest prawdziwe jest to para (R s za, R s przeciw). Zbiory te są rozłączne z definicji reguł wnioskowania (reguła typu za i reguła typu przeciw to zawsze dwie różne reguły, więc zbiory R s za i R s przeciw nie zawierają elementów wspólnych). Stąd σ jest słaby. Z powyższego dowodu widać również, że jeżeli dany standard dowodu jest słaby, to jego dopełnienie również jest słabe. Twierdzenie 3.4 Jeżeli wszystkie standardy dowodu w zbiorze PS są kanoniczne i silne, to nie jest możliwe, aby zdania s i s były jednocześnie akceptowalne. 69

70 Dowód To twierdzenie jest konsekwencją twierdzenia 3.3. Zdanie jest akceptowalne, jeżeli jego standard dowodu zwraca wartość prawda, więc zdania s i s są akceptowalne wtedy i tylko wtedy, gdy σ(s) = prawda i σ( s) = prawda. Jeżeli żaden standard dowodu w zbiorze PS nie jest słaby, to dla każdego zdania s L teza twierdzenia 3.3 jest fałszem, więc założenie również musi być fałszem. Założenie to stwierdza, że σ(s) =prawda σ( s) =prawda, co jest fałszem. Zatem s i s nie mogą być jednocześnie akceptowalne. Twierdzenie 3.4 dostarcza watunku wystarczającego dla wyeliminowania sprzeczności z logiki argumentacyjnej opartej na modelu Carneades. Wiąże się on co prawda z ograniczeniem standardów dowodzenia do klasy standardów kanonicznych, jednak klasa ta jest duża i dość intuicyjna (dowodzenie zdania raczej powinno zależeć od reguł za i przeciw i relacji pomiędzy nimi, a nie od innych czynników). Logika RCAF, w której zbiór standardów dowodu PS jest zaczerpnięty bezpośrednio z modelu Carneades, nie spełnia podanego warunku wystarczającego, ponieważ standard dowodu SE jest słaby. Usunięcie tego standardu dowodu powoduje wyeliminowanie możliwości pojawienia się sprzeczności w RCAF Niemonotoniczność wnioskowania Logika RCAF umożliwia elastyczne modelowanie niepewności prowadzącej do niemonotonicznego czyli zawodnego wnioskowania. Pierwszym sposobem jej modelowania jest mechanizm domniemań i wyjątków, analogiczny do rozwiązania znanego z logiki domniemań Reitera (por. [47]), choć bardziej rozbudowany. Drugim sposobem jest oczywiście wprowadzenie siły reguł oraz standardów dowodzenia, które sprawiają, że twierdzenie w danej chwili uznawane za prawdziwe może, w obliczu nowych informacji, zostać sfalsyfikowane, ponieważ np. pojawi się reguła przeciw o sile wystarczającej dla niespełnienia standardu dowodu tego twierdzenia Wnioskowanie zależne od kontekstu Istniejące podejścia do kontekstowego wnioskowania, opisane w 1. rozdziale, skupiają się na modelowaniu kontekstu w dziedzinie faktów. W przypadku logiki PLC i jej rozwinięć 70

71 kontekst jest obiektem lub zdaniem, powiązanym z innymi zdaniami relacją ist. W systemach LMS/MCS kontekst jest pewnym podzbiorem faktograficzej wiedzy powiązanym z innymi kontekstami tzw. regułami przejścia (ang. transotion rules). W przypadku logiki RCAF kontekstem wnioskowania są standardy dowodów przypisane zdaniom oraz porządek częściowy siły reguł 5. W podejściu zaproponowanym w modelu Carneades i przeniesionym do logiki kontekst, w którym odbywa się wnioskowanie przekłada się na wymagania stawiane sile dowodu danego zdania oraz na względną siłę reguł wnioskowania. Przykładowo, jeżeli za obszar rozważań przyjmiemy domenę prawną, to można w niej wyróżnić takie konteksty jak postępowanie prokuratorskie, rozprawa pojednawcza czy rozprawa sądowa cywilna bądź karna. Dowiedzenie zdania X popełnił przestępstwo Y ma inny wymagany ciężar dowodowy np. w kontekście postępowania prokuratorskiego (wystarczy tzw. domniemanie popełnienia przestępstwa), a inny w kontekście rozprawy sądowej (należy udowodnić winę X przy domniemaniu niewinności). Podobnie siła argumentu (czyli reguły w RCAF) opartego na zeznaniu świadka w stosunku do argumentu z opinii biegłego może być inna w przypadku sprawy w sądzie cywilnym niż wsądzie karnym. Są to przykłady, w których widać opisaną w 2. rozdziale zależność samego wnioskowania od kontekstu. Tą właśnie zależność modeluje Carneades, a co za tym idzie, również właśnie zdefiniowana logika RCAF. Oczywiście nie można powiedzieć, aby to podejście do modelowania kontekstu było lepsze lub gorsze niż istniejące podejścia. Modelowanie kontekstowości wiedzy faktograficznej i modelowanie kontekstowości samego wnioskowania raczej uzupełniają się wzajemnie. Za słabość logiki RCAF w porównaniu z PLC można uznać fakt, że elementy kontekstu (np. przypisanie standardu dowodu do zdania) nie mogą być same przedmiotem wnioskowania, jak to ma miejsce w przypadku PLC, gdzie zdanie p = ist(c, q) może samo zostać uzależnione od kontekstu: r = ist(d, p). Tego typu wnioskowanie mające na celu ustalenie standardu dowodu danego zdania lub ustalenie wzajemnej siły reguł wnioskowania 6 może być celem dalszego rozwoju logik opartych na modelu Carneades. 5 Carneades zalicza do kontekstu również statusy zdań, które w przypadku RCAF stają się wartościami logicznymi. 6 Takie wnioskowanie obecne jest np. w systemie [44] opisanym w następnym rozdziale. 71

72 Otwartość na zastosowanie w środowisku wieloagentowym Model argumentacji Carneades został zaprojektowany z myślą o zastosowaniu w dialogu (por. [25, p. 876]). Autorzy tego modelu widzą dialog jako bogate, naturalne środowisko występowania argumentów, które nie może być pominięte przy ich modelowaniu, jak to się dzieje np. w opisanych wyżej modelach Dunga i Vreeswijka. Podobne stanowisko należałoby zająć przy przenoszeniu argumentacji na grunt sztucznej inteligencji. Możliwości konfrontowania ze sobą wiedzy posiadanej przez różnych agentów, jakie zapewnia środowisko wieloagentowe, wydaje się nie do pominięcia jeżeli za cel stawiamy sobie konstruowanie systemów wnioskujących o możliwie największych środkach wyrazu. Maszyna wnioskująca oparta na klasycznej logice jest systemem zamkniętym w tym sensie, że na żadnym etapie konstrukcji takiego systemu nie jest przewidziana możliwość wymiany wiedzy z innymi systemami. Zastosowanie takiej maszyny wnioskującej w systemie wieloagentowym wymaga w pierwszej kolejności nietrywialnej integracji z pewnym mechanizmem wymiany wiedzy. Logika RCAF dziedziczy otwartość na dialog z modelu, na którym jest oparta: wartości logiczne zdań mówią o zaakceptowaniu/odrzuceniu/kwestionowaniu przez uczestników pewnego dialogu. Pojedyncze zapytanie do bazy wiedzy opartej na RCAF zwraca informację o tym, czy dane zdanie jest akceptowalne. Informacja ta jednak nie zostaje w bazie wiedzy (zdanie to nie bierze udziału w dalszym wnioskowaniu ze statusem accepted chyba, że już wcześniej miało ten status). Byłoby to nadużyciem, ponieważ wykazanie akceptowalności jest z założenia zawodnym mechanizmem wnioskowania, np. nie musi obowiązywać w nim prawo wyłączonego środka. Wykazanie akceptowalności jest raczej informacją do wykorzystania w dialogu i dopiero jego reguły i jego wynik (por ) mogą spowodować na agencie posługującym się daną bazą wiedzy zmianę wartości logicznej zdania Akceptowalność a wartość logiczna Zastosowanie modelu Carneades pozwala na rozróżnienie pomiędzy tym, jaka jest ustalona opinia uczestników dialogu na temat prawdziwości danego zdania, a tym czy ma ono swoje logiczne uzasadnienie. Przykładowo, dla bazy wiedzy składającej się z pojedynczego zdania: KB = {s = Red(T able), status(s) =accepted, ps(s) =SE} zdanie s, choć jest zaakceptowane przez uczestników dialogu, nie jest akceptowalne, ponieważ standard dowodu 72

73 SE nie jest spełniony. To pozwala na wprowadzenie do systemu informatycznego rozróżnienia pomiędzy wiedzą arbitralnie uznawaną za prawdziwą/fałszywą a wiedzą, którą można logicznie wywnioskować z przyjętych założeń Logika oparta na argumentacji podsumowanie W niniejszym rozdziale zdefiniowana została logika RCAF oparta na modelu argumentacji Carneades. Pokazano, że jest ona znacząco odmienna od istniejących podejść do wnioskowania opartego na modelach argumentacji, opisanych w podrozdziale 3.2. Pokazano również, że zdefiniowana logika jest niemonotoniczna (podrozdział 3.5.3) oraz, że wprowadza wnioskowanie zależne od kontekstu (podrozdział 3.5.4), które jest zasadniczo różne od istniejących podejść opisanych w rodziale 1. Różnica ta polega na wprowadzeniu możliwości uzależnienia od kontekstu wymogów stawianych uzasadnieniom dowodzonych twierdzeń. Pokazano ponadto, że logika RCAF posiada potencjał do wykorzystania w systemach wieloagentowych jako formalny system, który z jednej strony pozwala modelować umysł pojedynczego agenta, z drugiej uwzględnia w sobie możliwość interakcji tego umysłu z innymi agentami. O takiej wizji logiki argumentacyjnej była mowa w podsumowaniu 2. rozdziału. Problemem, który rodzi się wraz ze zdefiniowanianiem logiki jest oczywiście problem skutecznego, automatycznego wnioskowania w niej. Jest on przedmiotem następnego rozdziału. 73

74

75 Rozdział 4 Wnioskowanie w RCAF Podstawowym problemem przy konstruowaniu algorytmu wnioskowania w logice RCAF jest fakt, że znalezienie pojedynczego wywodu (czyli odpowiednika dowodu w logice klasycznej, por. 3.3) nie przesądza o zakończeniu wnioskowania. W zależności od standardu dowodzonego zdania i standardów dowodów zdań pośrednich może okazać się konieczne znalezienie więcej niż jednego wywodu. Co więcej, może się okazać, że właśnie znaleziony wywód sprawia, że standard dowodzonego zdania nie może już być spełniony (np. znaleziono wywód przez maksymalną względem relcji > regułę przeciw zdaniu o standardzie Best Argument). To sprawia, że stadardowe algorytmy regułowego wnioskowania nie znajdują tu zastosowania. Nie jest jasne w jaki sposób można, po znalezieniu przy ich pomocy pierwszego wywodu, kontynuować w sposób systematyczny dowodzenie do momentu, w którym standard dowodu danego zdania będzie spełniony lub wyczerpie się dostępna wiedza. Systematyczne podejście do skonstruowania algorytmu wnioskowania w RCAF powinno się zacząć od wyboru reprezentacji problemu wnioskowania w tej logice. Przy ogólnym opisie tego procesu mówimy o znajdowaniu kolejnych wywodów, co nasuwa opisywaną w literaturze (por. [4]) reprezentację zadania wnioskowania jako zadania wyszukiwania w przestrzeni. Skonstruowanie algorytmu wnioskowania będzie się składać z trzech kroków: (1) podania definicji przeszukiwanej przestrzeni, (2) sformułowania zadania wyszukiwania i cech jego poprawnego rozwiązania oraz (3) podania algorytmu znajdującego to rozwiązanie. Jednak zanim te kroki będzie można wykonać, należy doprecyzować kilka szczegółów, które nie są wprawdzie związane z ideą logiki RCAF, ale wymagają ustalenia, aby było możliwe pełne zdefiniowanie algorytmu: 75

76 Interpretacja zmiennych. Występującym w zapytaniu zmiennym należy nadać odpowiednią interpretację. Żeby nie komplikować problemu wnioskowania o elementy niezwiązane z zastosowaniem modelu Carneades, przyjmuje się wariant najprostszy: zmienna występująca w zapytaniu do bazy wiedzy jest zawsze związana kwantyfikatorem szczegółowym (np. zapytanie q = King(x) oznacza zdanie x King(x)). Dowodzenie zdania ze zmienną x związaną kwantyfikatorem szczegółowym polega na znalezieniu odpowiedniego podstawienia za x stałych. Wartości domyślne. Zakłada się, że zdania występujące w bazie wiedzy mają nadany status i standard dowodu, jednak wartości te nie są z góry ustalone dla pośrednich wyników wnioskowania, które w bazie nie występują. Problem ten zostanie rozwiązany przez wprowadzenie wartości domyślnych. Domyślnym statusem zdania powinna być wartość stated. Wracając do modelowanej tu sytuacji dialogu argumentacyjnego. Wynik pośredni wnioskowania, który nie istnieje w bazie wiedzy, odpowiada zdaniu wypowiedzianemu przez interlokutora w trakcie prezentowania swojej argumentacji. Jest to więc zdanie wypowiedziane, do którego inni uczestnicy dialogu jeszcze się nie odnieśli, co odpowiada definicji statusu stated. Dobór standardu dowodu dla zdania, może odbywać się według różnych kryteriów, np. typu dialogu w jakim zachodzi wnioskowanie. Tutaj przyjmujemy, że zdanie otrzymuje standard dowodu takiego zdania z bazy wiedzy, z którym się unifikuje. Jeżeli w bazie wiedzy brakuje takiego zdania, to przydzielany jest arbitralnie wybrany, domyślny standard BA. Priorytet domniemań iwyjątków. Należy rozstrzygnąć, w jaki sposób algorytm wnioskowania będzie traktował sytuację, w której z jednej strony mechanizm domniemań pozwala na założenie (nie)akceptowalności zdania, z drugiej strony baza wiedzy pozwala na wnioskowanie o jego akceptowalności. Narzucającym się rozwiązaniem jest rozpatrywanie domniemań w ostatniej kolejności: dopóki wiedza zgromadzona w bazie pozwala na wnioskowanie, informacja o domniemaniach nie jest brana pod uwagę. Oznaczenie Aby móc pomijać kwantyfikatory w zapisie, x P (x) oznaczamy po prostu przez P (x). 76

77 4.1. Reprezentacja problemu Przeszukiwana przestrzeń Niech RCAF =(L, S, IM) będzie logiką argumentacyjną spełniającą definicję 3.1, KB będzie bazą wiedzy zdefiniowaną w tej logice, a q L będzie zapytaniem zadanym do tej bazy. Zapytanie otrzymuje wartość questioned i jest interpretowane jako zwykła przesłanka pewnej domniemanej reguły q pro. Trzymanie tej reguły jest równoznacznie z udowodnieniem q. Definicja 4.1 (Wywód) Wywodem zdania q nazywa się graf skierowany W =(V W,E W ), gdzie V W jest zbiorem wierzchołków będących przesłankami bez zmiennych wolnych. W zbiorze E W istnieje krawędź (p 1,p 2 ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w KB reguła wnioskowania r, której jedną z przesłanek jest p 1, a konkluzją p 2 (przy odpowiednim podstawieniu zmiennych w r). Podcelem wywodu W nazywa się przesłankę q V W taką, że deg in (q ) = 0, oraz q wymaga udowodnienia. Wywód nazywa się kompletnym wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma podceli, w przeciwnym wypadku wywód jest niekompletny. Jedynym wierzchołkiem W, który nie posiada krawędzi wychodzących jest q (deg out (q) = 0). Oznaczenie Liczbę podceli wywodu W oznaczamy przez δ(w ). Definicja 4.2 (Przestrzeń wywodów) Przestrzeń wywodów W q jest zbiorem wywodów. Mówimy, że dwa wywody W 1 =(V W 1,E W 1) i W 2 =(V W 2,E W 2)sąsąsiednie w tej przestrzeni, gdy W 2 powstaje z W 1 za pomocą jednego kroku inferencyjnego wykonanego na podcelu q 1 V W 1. Definicja 4.3 (Krok inferencyjny) Oznaczmy V W 1 = V {q 1,...,q m },E W 1 = E E, gdzie E = {(q i,p i ):i =1,...,m}, q i to podcele wywodu W 1,ap i to pewne przesłanki tego wywodu, incydentne z podcelami. Zbiory V,E,E mogą być puste. Wyróżniamy trzy rodzaje kroków inferencyjnych: Przez fakt, czyli przez dopasowanie q 1 do faktu s KB. Wówczas podmienia się q 1 na 77

78 nową przesłankę q1 =(T (q 1 ),s ), zatem wywód W 2 wygląda następująco: V W 2 = V {q1,...,q m}, (4.1) E W 2 = E {(qi,p i ):i =1,...,m}, (4.2) Przez domniemanie/wyjątek, czyli przez założenie, że q 1 jest prawdą (jeżeli T (q 1 )= ) lub fałszem (jeżeli T (q 1 )= ). Wówczas W 2 różni się od W 1 wyłącznie wartością logiczną q 1. Przez regułę, czyli przez dopasowanie q 1 do następnika reguły r KB, gdzie r = r 1,...,r n c. Wówczas podmienia się q 1 na nową przesłankę q1 =(T (q 1 ),c ), zatem wywód W 2 wygląda następująco: V W 2 = V {q1,...,q m} {r1,...,r n}, (4.3) E W 2 = E {(qi,p i ):i =1,...,m} {(ri,q 1):i =1,...,n}. (4.4) Zdania s,c,r1,...,r n,q 1,...,q m oznaczają odpowiednio zdanie s, elementy reguły r i podcele W 1 z podstawionymi termami. W przypadku kroku przez regułę r krawędzie ze zbioru {(ri,q 1) : i = 1,...,n} mają etykietę r. Wywód W 1 nazywa się poprzednim dla W 2 lub jego poprzednikiem, natomiast wywód W 2 nazywa się następnym dla W 1 lub jego następnikiem. Oczywiście, dla niektórych i {1,...,m} może zachodzić q i = qi, jeżeli podstawienie nie objęło termów w q i. Nie wszystkie z tych (tj. primowanych ) wierzchołków muszą być podcelami w W 2, niektóre mogły zostać udowodnione przy okazji kroku inferencyjnego wykonanego na q 1. Przykład 4.1 Wywodami sąsiednim dla W 0 =({P (x)}, ) przy bazie wiedzy są: KB = {P (A) :accepted, R(B) :accepted} {[Q(y, z), R(z)] pro P (z)} W 1 = ({P (A)}, ), W 2 = {P (x), R(x), Q(y, x)}, {(Q(y, x), P (x)), ( R(x), P (x))}. Wywodem sąsiednim dla W 2 jest: W 3 = {P (x), R(B), Q(y, B)}, {(Q(y, B), P (x)), ( R(B), P (x))}. 78

79 W tym przykładzie przestrzeń przeszukiwań, która w reprezentacji garfowej (graf nieskierowany) wygląda następująco: W q =({W 0,W 1,W 2,W 3 }, {{W 0,W 1 }, {W 0,W 2 }, {W 2,W 3 }}). W 1 jest wywodem kompletnym, W 2 ma dwa podcele: Q(y, x) ir(x), W 3 ma jeden podcel: Q(y, B) (co oznacza: y Q(y, B)). Jak widać w powyższym przykładzie, przestrzeń W q można w prosty sposób reprezentować za pomocą grafu, którego wierzchołkami są wywody, a krawędzie reprezentują sąsiedztwo wywodów. Krawędziom można nadać kierunek, np. od poprzedniego do następnego wywodu. Twierdzenie 4.1 Jeżeli graf W q reprezentujący przestrzeń wywodów zawiera cykl skierowany, to wierzchołki (wywody) składowe tego cyklu są izomorficzne. Dowód Niech W =(W k,...,w l ), gdzie k<l,będzie ścieżką w W q, przy czym kierunek krawędzi ścieżki jest taki, że W i jest wywodem poprzednim dla W i+1 (i = k,..., l 1). Aby ścieżka W mogła stać się cyklem skierowanym, wywód W l musi być poprzedni dla W k. Z definicji 4.3, wywód W poprzedni dla W ma liczbę wierzchołków i krawędzi zawsze niewiększą niż W, zatem V (W k ) V (W l ) oraz E(W k ) E(W l ). Wynika stąd, że aby wywód W l mógł być poprzedni dla W k musi zachodzić: V (W k )=V (W l ), (4.5) E(W k )=E(W l ). (4.6) Również z definicji 4.3 wiemy, że dla kroku inferencyjnego z W do W wykonanego przez dopasowanie reguły liczba wierzchołków W jest zawsze większa od V (W ). Stąd, aby równania 4.5 i 4.6 mogły być spełnione, W nie może zawierać żadnych kroków inferencyjnych przez dopasowanie reguły, zatem wszystkie krawędzie W odpowiadają wnioskowaniu przez dopasowanie zdania. Każde dwa sąsiednie wywodów różnią się więcwyłącznie podstawieniem w swoich podcelach (są izomorficzne z dokładnością do podstawianych termów). Niech v będzie zmienną związaną kwantyfikatorem sczegółowym, a c stałą. W krokach inferencyjnych przez dopasowanie zdania legalne jest następujące podstawienia: v c. 79

80 Reasumując, ścieżka W może być zamknięta w cykl wtedy i tylko wtedy, gdy W l jest poprzednie dla W k, co jest możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie kroki inferencyjne w W są przez dopasowanie zdania, jednak w takim przypadku w każdym kroku zastępujemy co najmniej jedną zmienną przez stałą. Zastąpienie stałej z powrotem przez zmienną jest niemożliwe. Graf W q może zawierać różnorodne cykle nieskierowane: Przykład 4.2 Niech q = P (x) przy bazie wiedzy KB = {R(A) :accepted, Q(B,A) :accepted} {[Q(y, z), R(z)] pro P (z)}. Występują następujące wywody: W 0 = ({P (x)}, ), W 1 = P (x), R(x), Q(y, x), Q(y, x), P (x), R(x), P (x), W 2 = P (x), R(A), Q(y, A), R(A), Q(y, A), P (x), R(A), P (x), W 3 = P (x), R(A), Q(B,A), Q(B,A), P (x), R(A), P (x). Przestrzeń W q wygląda następująco: W q = W 0,...,W 3, (W 0,W 1 ), (W 1,W 2 ), (W 1,W 3 ), (W 2,W 3 ), występuje więc cykl nieskierowany (W 1,W 2,W 3,W 1 ). Dla wywodów W i i W j leżących na tej samej ścieżce skierowanej można wprowadzić pojęcie odległości, która jest równa liczbie krawędzi w ścieżce od W i do W j i oznacza liczbę kroków inferencyjnych jakie należy wykonać, aby przejść od jednego wywodu do drugiego. Tak rozumiana odległość nie jest jednak metryką w W q, gdyż nie można sensownie rozszerzyć jej definicji na całą przestrzeń (wywody leżące na różnych ścieżkach skierowanych reprezentują niezależne sposoby dowodzenia zdania q, więc trudno jest mówić o tak rozumianej odległości pomiędzy nimi). 80

81 Zadanie wyszukiwania Jak wspomniano powyżej, celem wyszukiwania nie jest znalezienie pojedynczego punktu docelowego W t odpowiadającego kompletnemu wywodowi zdania q, lecz znalezienie zbioru kompletnych wywodów W t = {W t 1,...,W t n}, które razem spełniają standard dowodu ps(q). Co więcej, zbiór W t musi być maksymalny, tzn. nie może istnieć w przestrzeni przeszukiwań taki kompletny wywód W t, że zbiór W t W t nie będzie już spełniał ps(q). Znalezienie zbioru W t polega na sukcesywnym wyszukiwaniu jego elementów w przestrzeni W q. Kolejne znajdowane wywody muszą być ze sobą niesprzeczne, stąd po znalezieniu kompletnego wywodu W t k zdania q należy zapisać podstawienie θ t zmiennych w tym wywodzie, które pozwoliło wykazać W t k q. Następnie należy kontynuować wyszukiwanie traktując θ t jako ograniczenie: podstawienie θ wykorzystywane w przeszukiwanych wywodach nie może być sprzeczne z θ t. W przypadku znalezienia kolejnego kompletnego dowodu W t l q podstawienia można zsumować: θ t := θ t θ t l. Zadanie wyszukiwania kończy się w momencie zaistnienia jednej z dwóch sytuacji: 1. znaleziono taki zbiór W t, który spełnia standard dowodu ps(q), 2. stwierdzono, że powyższy zbiór nie jest podzbiorem W q. W przypadku, gdy konstruowany zbiór kompletnych wywodów W t = {W t 1,...,W t n} nie może spełnić ps(q) (np. udowodniono W t n con q, przy ps(q) = DV ), należy zapisać podstawienie θ f := θ t, opróżnić W t i θ t, a następnie rozpocząć wyszukiwanie od początku traktując θ f jako ograniczenie: podstawienie θ wykorzystywane w przeszukiwanych wywodach musi być sprzeczne z θ f. W przypadku natrafiania na kolejne fałszywe ścieżki dowodzenia należy kolejne zabronione podstawienia zapisywać: Θ f = {θ f, θ f 1,...}. Podstawienie θ wykorzystywane w przeszukiwanych wywodach musi być sprzeczne z każdym elementem Θ f. Reasumując, przy podanej reprezentacji problemu, zadanie dowodzenia w logice RCAF sprowadza się do wyszukiwania z dwoma rodzajami ograniczeń: 1. wymaganej niesprzeczności z dotychczas znalezionymi wywodami, 2. wymaganej sprzeczności z wywodami prowadzącymi do obalenia q. 81

82 4.2. Metody rozwiązania problemu Ponieważ problem wnioskowania w RCAF został sformułowany w postaci uniwersalnego zadania wyszukiwania z ograniczeniami, można do jego rozwiązania stosować całą gamę metod, poczynając od najprostszych algorytmów dokładnych typu DFS czy BFS, przez bardziej wysublimowane wersje przeszukiwania dokładnego jak DFID (por. [32] i[33]) po metody stochastycznego, heurystycznego wyszukiwania jak algorytmy ewolucyjne (por. [3]) czy roje (por. [8]). Aby wykazać, że zadanie to jest wykonalne, przedstawiony zostanie przykładowy algorytm kompletnego i dokładnego wnioskowania Kompresja wywodów Algorytmy przeszukiwania będą przechowywać w pamięci pewną ilość punktów przestrzeni. Ponieważ przestrzeń W q ma naturalny punkt startu wyszukiwania ({q}, ), a każdy sąsiedni punkt różni się od danego jednym krokiem inferencyjnym, warto przeanalizować możliwość kompresji danych przechowywanych w węzłach W q. Jak widać w definicji 4.3, sąsiednie wywody mają pewien wspólny podgraf. Jeżeli W p jest poprzedni dla W n, to graf W n \ W p zawiera: podcele wywodu W p, które zostały zmienione podstawieniem, ale pozostają podcelami w W n (ozn. Q), zdania udowodnione w kroku inferencyjnym W p W n (ozn. S), krawędzie incydentne z wierzchołkami z Q i S. Zatem do reprezentowania wywodu W n można wykorzystać: W p, zbiór krawędzi E Q incydentnych z Q oraz zbiór E S krawędzi incydentnych z S. Przy przechodzeniu od wywodu W n do następnych wywodów potrzebne są podcele Q oraz te podcele W p, które pozostały niezmienione, a zatem nie znalazły się w zbiorach Q lub S (oznaczmy ten zbiór przez Q p ). Zatem wywód W n można reprezentować przez trójkę W n =(E S,E Q,W p ), gdzie W p jest wskaźnikiem do analogicznej trójki dla wywodu W p. Przy takiej reprezentacji Q p można uzyskać z analizy W p.e Q, E S i E Q. 82

83 Uwaga 4.1 Taka metoda kompresji ułatwia przechowywanie w pamięci całej przestrzeni W q (jej rozmiar jest zbliżony do rozmiaru kolekcji kompletnych wywodów najbardziej odległych od punktu startowego w danym momencie wyszukiwania). Stosując taką kompresję należy jednak liczyć się z pewnymi ograniczeniami, które dobrze ilustruje przykład 4.2, np. mając tylko wywód W 1 oraz wierzchołek reprezentujący skompresowany wywód W 3 możemy nie być w stanie odtworzyć wywodu W 3 (jeżeli został on utworzony za pomocą wierzchołka W 2 ) Przykładowy algorytm wyszukiwania Przestrzeń W q ma naturalny punkt startu wyszukiwania ({q}, ) oraz zawiera pewne informacje pozwalające domyślać się, w którym kierunku należy szukać rozwiązania (liczba podceli wywodu, standardy dowodów podceli). Z tych względów naturalnym kandydatem na algorytm wyszukujący jest A (por. np. [41]). W swojej podstawowej wersji, algorytm A wybiera spośród możliwych punktów eksploracji punkt n o minimalnej wartości funkcji f i dokonuje eksploracji. Dla każdego nowego punktu n sąsiedniego do n obliczana jest wartość f(n )=g(n )+h(n ). Przy czym g(n )=g(n)+c(n, n ) jest kosztem poniesionym na dojście do punktu n,ah(n ) jest szacowanym kosztem dojścia z tego punktu do celu. Przy wykorzystaniu tego algorytmu można zastosować metodę kompresji przestrzeni W q opisaną w podrozdziale Przy wnioskowaniu w RCAF funkcja wyboru eksplorowanego punktu przestrzeni musi realizować dwa zadania: Zadanie 1. Podobnie jak w klasycznym przypadku, powinna ona szacować wielkość wywodu. Zadanie 2. Powinna zwracać takie wartości, aby algorytm mógł możliwie jak najszybciej weryfikować czy konstruowany zbiór W t spełni ps(q). Realizowanie zadania 1. pozwala na przyspieszenie znalezienia kompletnego dowodu w pojedynczym wyszukiwaniu. Realizowanie zadania 2. pozwala zminimalizować liczbę wyszukiwań, polega to na sprawdzaniu w pierwszej kolejności tych wywodów, które mogą zapewnić/uniemożliwić spełnienie standardu dowodzonego zdania. Ponieważ zadanie 2. wybiega poza klasyczne zastosowaniu algorytmu A, funkcja f : 83

84 W q będzie odpowiadać tylko za realizację zadania 1. Dla wywodu W przyjmujemy: f(w )=g(w )+h(w ), (4.7) g(w )= V (W ), (4.8) h(w )=δ(w ), (4.9) gdzie δ(w ) to liczba podceli wywodu W. Korzystam się tu z heurystycznego założenia, że szacowany przyszły koszt jest równy ilości podceli wywodu. Tak zdefiniowana funkcja h nie jest heurystyką dopuszczalną (por. [41]), ponieważ, w optymistycznym przypadku, podstawienie termów w jednym kroku inferencyjnym może udowodnić nawet wszystkie podcele. Do realizacji zadania 2. zdefiniowana zostaje osobna funkcja p : W q mówiąca o priorytecie danego wywodu. Modyfikacja algorytmu A polega na tym, że w pierwszej kolejności wybierany jest punkt o największej wartości funkcji p, a jeżeli istnieje wiele takich punktów, to spośród nich wybierany jest ten o najmniejszej wartości funkcji f. Definicja 4.4 (Algorytm PA ) Niech N oznacza zbiór punktów eksploracji przestrzeni przeszukiwań. Algorytm PA (od priorytetowy A ) jest modyfikacją algorytmu A, w której wybór punktu do eksploracji zawęrzony zostaje do zbioru {n N : m N p(n) p(m)}, gdzie p : W q jest funkcją nadającą priorytety punktom eksploracji. Aby skonstruować funkcję p, należy bliżej przyjrzeć się różnicom pomiędzy następnikami danego wywodu, które układają się w następującą hierarchię: 1. następniki mogą stanowić rozwinięcia różnych podceli, 2. dla tego samego podcelu q, następniki mogą różnić się typem kroku inferencyjnego (przez zdanie lub przez regułę), 3. dla tego samego typu kroku, następniki mogą różnić się wykorzystanym elementem bazy wiedzy (wnioskowanie przez dwie różne reguły lub dwa różne zdania). Zaczynając od najwyższego poziomu tej hierarchii, dla realizacji zadania 2. nie są istotne różnice pomiędzy samymi podcelami, ostatecznie i tak wszystkie muszą zostać udowodnione, aby znaleźć kompletny wywód. Jest natomiast istotny typ kroku inferencyjnego w oczywisty sposób podstawienie zdania istniejącego w bazie wiedzy jest szybszą metodą dowodzenia niż 84

85 stosowanie reguł wnioskowania. Z tego względu funkcja p powinna preferować inferencje przez dopasowanie do zdania. Na najniższym poziomie hierarchii: (a) spośród różnych zdań preferowane powinny być te, które kończą dowód (mają status accepted lub rejected, w przypadku domniemania, jeżeli może być wykorzystane, również stated), (b) wśród różnych reguł można wyróżnić cztery poziomy priorytetów: reguły, których wsparcie jest warunkiem wystarczającym dla nietrzymania przesłanki q (poziom 4.), reguły, których wsparcie jest warunkiem wystarczającym dla trzymania przesłanki q (poziom 3.), reguły, których wsparcie jest warunkiem koniecznym dla trzymania bądź nietrzymania q (poziom 2.), pozostałe reguły (poziom 1.). Reguły, które definitywnie uniemożliwiają trzymanie podcelu mają najwyższy priorytet, ponieważ wystąpienie takiej reguły dla któregokolwiek z podceli oznacza porażkę całego konstruowanego wywodu. W zależności od standardu dowodu, przydział priorytetu poszczególnym regułom wygląda następująco: SE: reguły za : poziom 3., reguły przeciw : poziom 1., BA: maksymalne ze względu na relację > reguły przeciw : poziom 4., maksymalne ze względu na relację > reguły za : poziom 2., pozostałe reguły: poziom 1. DV: reguły przeciw : poziom 4., reguły za : poziom 2. Dla komplementarnych standardów dowodu w wymienionym wyżej przyporządkowaniu należy zamienić typy reguł. W przypadku gdy T (q )=, powyższe przypisanie poziomów 3 i 4 dla konkretnych standardów dowodu powinno być zamienione, ponieważ wyjątek trzyma jeżeli jego standard dowodu nie jest spełniony. Oczywiście możliwe jest różnicowanie priorytetów reguł również według innych kryteriów (np. ilości przesłanek), są to już jednak dalsze kroki optymalizacyjne, nieistotne z punktu widzenia idei działania algorytmu. Mając tak określone poziomy priorytetów, możemy przejść do podania wzoru funkcji p. Niech W będzie wywodem, który powstał z wywodu W przez dopasowanie podcelu q W do 85

86 (i) faktu, (ii) domniemania/wyjątku, (iii) następnika reguły r. Wówczas funkcja p dana jest więc wzorem: p(w ) + 5 w przypadku (i), p(w )= p(w ) + 0 w przypadku (ii), (4.10) p(w )+prir(q W, r) w przypadku (iii). Dla wywodu W 0 =({q}, ), czyli punktu startowego, zachodzi p(w 0 ) = 0. Funkcja pomocnicza prir : L R dana jest wzorem (R q W max oznacza zbiór maksymalnych względem > reguł wspierających q W ): Jeżeli ps(q W )=SE, to 4, jeżeli T (q W )= T(r) =pro, prir(q W, r) = 3, jeżeli T (q W ) = T (r) =pro, 1 wpp. Jeżeli ps(q W )=BA, to 4, jeżeli T (q W ) = T (r) =con r R q W max, Jeżeli ps(q W )=DV, to 3, jeżeli T (q W )= T(r) =con r R q W prir(q W, r) = 2, jeżeli T (r) =pro r R q W max, 1 wpp. 4, jeżeli T (q W ) = T (r) =con, prir(q W, r) = 3, jeżeli T (q W )= T(r) =con, 2 wpp. Proponowanym algorytmem wnioskowania w logice RCAF jest RP A : max, Definicja 4.5 (Algorytm RP A ) Algorytm RP A jest wielokrotnie wykonywanym algorytmem PA z funkcją p daną wzorem 4.10 i funkcją f daną wzorem 4.7. Do kolejki opened (por. np. [41]) określającej możliwe punkty eksploracji trafiają wyłącznie punkty spełniające ograniczenia podane w podrozdziale

87 Kolejki opened i closed nie są opróżniane pomiędzy kolejnymi wykonaniami algorytmu PA, co zapobiega wielokrotnemu wyszukiwaniu tego samego wywodu. Wykonywanie algorytmu PA kończy się w momencie spełnienia warunku stopu podanego w podrozdziale Implementacja Implementacja algorytmu RP A została wykonana w języku Java, z wykorzystaniem biblioteki Java Universal Network/Graph Framework 1 do przetwarzania i wizualizacji grafów. Aplikację można pobrać z adresu rcaf-demo.jar. Program wykorzystuje kompresję przestrzeni wywodów opisaną w podrozdziale i został wyposażony w graficzny interfejs użytkownika, który wspiera (a) edytowanie bazy wiedzy w formie tekstowej, (b) ładowanie bazy wiedzy do maszyny wnioskującej, (c) zadawanie zapytań z podanym standardem dowodu. Program pokazuje również wizualizację zbioru W t znalezionego na zapytanie q wyświetlając wszystkie jego elementy jako podgrafy drzewa skierowanego o korzeniu w q. Kolory wierzchołków wykorzystują metaforę świateł drogowych: kolor zielony reprezentuje status accepted, żółty questioned, czerwony rejected, dodatkowo kolorem szarym oznaczony jest status stated. Kolor zielony wykorzystywany jest również do oznaczenia reguł za, reguły przeciw oznaczone są kolorem czerwonym. Na rysunku 4.1 widać graficzny interfejs programu z przykładową bazą wiedzy. Predykaty i stałe rozpoczynają się wielką literą, zmienne małą. Każde zdanie wprowadzane jest w odrębnej linii, z dwoma opcjonalnymi parametrami: s służącym do przypisania statusu (wartości logicznej) zdania oraz p służącym do przypisania zdaniu standardu dowodu. Domyślnymi wartościami są s=stated i p=dv. Reguły mogą posiadać etykietę, którą następnie można wykorzystać do definiowania porządku siły reguł. Reguły za oznaczane są przez ->, reguły przeciw przez -<. Domniemania oznaczane są za pomocą +, wyjątki za pomocą -, natomiast negacja:!. Na rysunku 4.1 widać również przykład wnioskowania: do systemu zostało zadane zapytanie x King(x) ze standardem dowodu BA. Zbiór W t zawiera dwa elementy: wywód przez regułę r1 i wywód przez regułę r2, obydwa widoczne są w oknie wizualizacji. Standard BA jest spełniony ponieważ reguła r1 jest silniejsza od r2. 1 Strona domowa projektu: 87

88 Rysunek 4.1: Program implementujący algorytm wnioskowania w RCAF 4.3. Ocena wyników W niniejszym rozdziale sformułowano problem wnioskowania w logice RCAF jako problem wielokrotnego wyszukiwania w przestrzeni (podrodział 4.1). Sformułowanie to spełnia kryteria dobrze zdefiniowanego problemu podane w [48, str. 62nn] ponieważ definiuje stan początkowy, funkcję przechodzenia od stanu do stanu, przestrzeń stanów, kryterium osiągnięcia celu oraz koszty wykonywanych kroków. Dzięki temu możliwe są badania nad konstruowaniem efektywnych algorytmów wnioskowania w tej logice. W podrozdziale 4.2 podano przykładowy algorytm wnioskowania: RP A, udowadniając tym samym, że zdefiniowany problem wyszukiwania jest rozwiązywalny. Jakość tego rozwiązania można częściowo ocenić na podstawie kryteriów podanych w [48, str. 72nn]. Jako prosta modyfikacja algorytmu A algorytm RP A pozostaje kompletny. Nie jest to algorytm optymalny, ponieważ zaproponowana funkcja szacowania kosztów 4.7 nie jest dopuszczalna, co, zgodnie z kryterium podanym w [41] nie gwarantuje optymalności znalezionego wnioskowania. Trudna do oszacowania jest złożoność pamięciowa i obliczeniowa algorytmu z uwagi na 88

89 bardzo silną zależność od kształtu bazy wiedzy i zapytania podanych na wejście algorytmu. Możliwe są empiryczne testy tej złożoności, należy się w tym przypadku spodziewać występującego w programowaniu w logice problemu z zajętością pamięci przy odpowiednio dużych danych. Antycypując ten problem, w podrozdziale zaproponowana została metoda kompresji przestrzeni przeszukiwań. Poprawność algorytmu RP A została zweryfikowana za pomocą implementacji w postaci programu komputerowego opisanego w podrozdziale Program jest dostępny pod adresem 89

90

91 Rozdział 5 Zastosowanie Jednym z głównych zastosowań modelu Carneades jest analiza argumentacji prawnej. Twórcy modelu stawiają sobie za cel stworzenie narzędzia, które umożliwia konstrukcję, wizualizację i analizę argumentów generowanych z wielu źrodeł. W modleu Carneades można wyrazić argumenty z ontologii, reguł prawnych, zwykłych reguł wnioskowania, kazusów prawnych czy zeznań świadków. Od końca 2010 dostępna jest implementacja tego modelu wykonana w instytucie Fraunhofera ( która ma możliwość generowania argumentów z wielu źródeł. Wyszukiwanie argumentów z podanych źródeł odbywa się przez określaną przez użytkownika liczbę kroków wyszukiwawczych. Następnie wynik wyszukiwania prezentowany jest użytkownikowi jako graf argumentów zawierający informację o akceptowalności stwierdzeń w grafie oraz akceptowalności ich dopełnień. Takie podejście pozwala zaprezentować użytkownikowi możliwie pełną wiedzę o przypadku argumentacji, który analizuje. Niestety, okazuje się, że ilość informacji udostępniana w ten sposób użytkownikowi dość szybko staje się niemożliwa do objęcia umysłem i efektywnej analizy. Najnowsze zastosowanie tego systemu opisywane jest w raporcie [22]. Carneades jest tam stosowany do analizy sytuacji prawnej autora oprogramowania korzystającego z bibliotek i innych narzędzi programistycznych wydawanych na różnych licencjach. Podstawowe pytanie dotyczy tego, na jakiej licencji autor może wydać swoje oprogramowanie. Do modelowania wiedzy dziedzinowej wykorzystywana jest ontologia zapisana w OWL. Reguły prawne modelowane są w specjalnie zaprojektowanym w tym celu formacie LKIF ([23]). Zaimplementowany system wykorzystuje te dwa zasoby jako źródła argumentów za/przeciw wydawaniu 91

92 oprogramowania na danej licencji. Graf argumentów prezentowany użytkownikowi w tym zastosowaniu przekracza rozmiarem 100 węzłów. Ponieważ generowanie go wymaga wykonawania zapytań do maszyny wnioskującej w OWL, jest to również czasochłonne. Opisany w tej rozprawie algorytm RP A minimalizuje liczbę kroków wyszukiwawczych jakie należy wykonać w celu znalezienia odpowiedź na pytanie o akceptowalność danego zdania. Zaletą takiego podejścia jest właśnie to, że wynikowy graf argumentów może być mniejszy, a czas jego generowania krótszy. Wadą jest oczywiście to, że użytkownik nie ma jednoczesnego dostępu do całej dostępnej w systemie wiedzy dotyczącej danego przypadku argumentacji. Wiedzę tę może jednak odkrywać w sposób przyrostowy, zadając do systemu zapytania dotyczące zdań obecnych w już odkrytym grafie argumentacji. To zastosowanie zostało opisane w artykule [35]. Przykład 5.1 Niech będzie dany zbiór reguł, zapisany w języku opisanym w podrozdziale 4.2.3: r1: B(x) -> A(x) r2: D(x), E(x, y) -> B(x) r3: I(x) -< B(x) r4: D(x), F(x, y) -> I(x) r5: C(x) -< A(x) r6: G(x), E(x, y) -> C(x) B(X) p=se D(X) s=accepted E(X, Y) s=accepted F(X, Y) s=accepted Jego odpowiednik w systemie Fraunhoferowskim wygląda następująco: (def abstract-rb (rulebase (rule r1 (if (B?x) (A?x))) (rule r2 (if (and (D?x) (E?x?y)) (B?x))) 92

93 (rule r3 (if (I?x) (not (B?x)))) (rule r4 (if (and (D?x) (F?x?y)) (I?x))) (rule r5 (if (C?x) (not (A?x)))) (rule r6 (if (and (G?x) (E?x?y)) (C?x))) )) Dla zapytania o akceptowalność stwierdzenia A(X) ze standardem dowodu DV system Fraunhoferowski zwraca pełną informację pokazaną na rysunku 5.1. Rysunek 5.1: Wynik działania systemu Fraunhoferowskiego System opisany w tej rozprawie zwraca minimalny graf argumentów pozwalający stwierdzić, że zdanie A(X) przy standardzie DV jest akceptowalne. Rysunek 5.2: Wynik działania systemu opisanego w rozprawie 93