Dystrybuanta i funkcja gęstości

Transkrypt

1 Dystrybuanta i funkcja gęstości Dziedziną dystrybuanty zmiennej losowej jest zawsze: Zbiór liczb nieujemnych Zbiór liczb dodatnich Przedział (0,1) Zbiór liczb rzeczywistych Zbiorem wartości dystrybuanty zmiennej losowej może być: Zbiór liczb nieujemnych Zbiór liczb dodatnich Przedział (0,1) Zbiór liczb rzeczywistych Ciągła zmienna losowa przyjmuje wartości z przedziału <0,10>. Wobec tego: Dziedziną dystrybuanty jest cały zbiór liczb rzeczywistych Dystrybuanta tej zmiennej przyjmuje w punkcie 20 wartość 0 Funkcja gęstości prawdopodobieństwa tej zmiennej w punkcie 20 przyjmuje wartość 0 Dystrybuanta tej zmiennej w punkcie 5 może przyjmować wartość 3. Ciągła zmienna losowa przyjmuje wartości z domkniętego przedziału <-1,1>. Zbiorem wartości jej dystrybuanty jest: Zbiór liczb nieujemnych Zbiór liczb dodatnich Domknięty przedział <0,1> Zbiór liczb rzeczywistych Ciągła zmienna losowa przyjmuje wartości z domkniętego przedziału <-1,1>. Zbiorem wartości jej dystrybuanty jest: Dziedziną dystrybuanty tej zmiennej jest domknięty przedział <-1,1> Dziedziną dystrybuanty tej zmiennej jest zbiór liczb dodatnich Dziedziną funkcji gęstości prawdopodobieństwa tej zmiennej jest domknięty przedział <-1,1> Dziedziną funkcji gęstości prawdopodobieństwa tej zmiennej jest zbiór liczb rzeczywistych

2 Zmienna losowa X przyjmuje wartości z przedziału <0; 0,5> z jednostajnym prawdopodobieństwem, nie przyjmuje natomiast żadnych wartości spoza tego przedziału. Zatem: Dystrybuanta X w punkcie 2 wynosi 0 Dystrybuanta X w punkcie 0,25 wynosi 0,5 Funkcja gęstości prawdopodobieństwa X w punkcie 0,4 ma większa wartość niż w punkcie 0,3 Funkcja gęstości prawdopodobieństwa X w punkcie -2 nie jest określona Funkcja gęstości prawdopodobieństwa X w punkcie 0,25 może mieć wartość większą niż 1 (dla ambitnych) Co jest dziedziną funkcji gęstości prawdopodobieństwa tej zmiennej X? Zmienna losowa X przyjmuje wartości z przedziału <0; 0,5> z jednostajnym prawdopodobieństwem, nie przyjmuje natomiast żadnych wartości spoza tego przedziału. Zatem: Dystrybuanta X w punkcie -2 w ogóle nie jest określona (-2 nie należy do dziedziny dystrybuanty X) Dystrybuanta X w punkcie 0,25 wynosi 0,5 Dystrybuanta X w punkcie -1 wynosi 0 Funkcja gęstości prawdopodobieństwa X w punkcie 2 może wynosić 1 Funkcja gęstości prawdopodobieństwa X w punkcie 0,25 może mieć wartość większą niż 1 (dla ambitnych) Co jest dziedziną funkcji gęstości prawdopodobieństwa tej zmiennej X? Zmienna W ma rozkład normalny o parametrach N(3,2). Prawdopodobieństwo, że zmienna przyjmie wartość równą co najwyżej 2, jest określone przez: Pole pod funkcją gęstości nad przedziałem (- ;2> Wartość dystrybuanty w punkcie 2 Wartość dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego w punkcie 2 Wartość dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego w punkcie 0,5 Wartość jej funkcji gęstości w punkcie 2 Wartość jej funkcji gęstości w punkcie 0,5 Pole pod dystrybuantą nad przedziałem (- ;2> Zmienna Z jest zmienną ciągłą. Czy wynika z tego, że: Zmienna przyjmuje nieskończenie wiele wartości Zmienna ma rozkład normalny Prawdopodobieństwo, że zmienna przyjmie określoną wartość z i jest równe 0 Rozkład tej zmiennej jest symetryczny

3 Zmienna X ma rozkład normalny. Zaznacz zdania prawdziwe: Prawdopodobieństwo, że funkcja przyjmie wartość równą co najwyżej 1,28 jest dane przez: Wartość jej funkcji gęstości w punkcie 1,28 Pole pod funkcją gęstości nad przedziałem (-niesk.; 1,28) Wartość dystrybuanty w punkcie 1,28 Pole pod dystrybuantą nad przedziałem (-niesk.; 1,28) Zmienna W ma rozkład normalny. Czy prawdziwe są zdania: Prawdopodobieńśtwo, że zmienna W przyjmie wartość równą co najwyżej 12 jest dane przez: Wartość jej funkcji gęstości w punkcie 12 Pole pod funkcją gęstości nad przedziałem ( ; 12> Pole pod dystrybuantą nad przedziałem ( ; 12> Wartość dystrybuanty w punkcie 12 ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA Na poziomie ufności równym 0,9 oszacowano średni czas płacenia składek przez pracowników zapisanych do pewnego funduszu emerytalnego jako liczbę z przedziału (12.1;13.1). Czy wynika z tego, że Prawdopodobieństwo, że średni czas płacenia składek przez wszystkich pracowników należących do tego funduszu należy do przedziału (12.1;13.1) jest równe 0,9 90% pracowników płaciło składki przez okres od 12.1 do 13.1 lat Przy zastosowanej procedurze wyznaczania przedziału ufności prawdopodobieństwo wylosowania takiej próby, która umożliwi poprawną estymację było równe 0,9 Gdybyśmy posłużyli się liczniejszą próbą i uzyskali w niej taką samą średnią wariancję czasu płacenia składek, to przedział byłby węższy Na poziomie ufności równym 0,9 oszacowano średni czas płacenia składek przez pracowników zapisanych do pewnego funduszu emerytalnego jako liczbę z przedziału (12.1;13.1). Czy wynika z tego, że Prawdopodobieństwo, że średnia w populacji przyjmie wartość z przedziału ufności jest równe 0,9 Do oszacowania przedziału, w którym znajduje się średnia w populacji użyto metody, która daje poprawny wynik przeciętnie 90 razy na 100 Gdyby badanie przeprowadził ktoś inny, uzyskałby taki sam wynik z prawdopodobieństwem 0,9 Gdybyśmy wybrali wyższy poziom ufności, to przedział byłby węższy Dokładność estymacji przedziałowej średniej zmiennej X w populacji na podstawie n-elementowej próby w koncepcji Neymana jest tym większa: Im liczniejsza jest próba Im większa jest średnia z próby Im większy jest poziom ufności Im mniejsza jest wariancja zmiennej średnia X z n-elementowej próby

4 Przeprowadzamy estymację średniej zmiennej X na poziomie ufności 0,99. W tym celu losujemy 400 elementową próbę. Ile wynosi prawdopodobieństwo wylosowania takiej próby, że wyznaczony na jej podstawie przedział ufności nie edzie zawierał średniej w populacji? Gdyby próba liczyła 800 osób prawdopodobieństwo to byłoby dwa razy mniejsze Gdyby próba liczyła 1600 osób prawdopodobieństwo to byłoby dwa razy mniejsze Niezależnie od wielkości próby prawdopodobieństwo to jest takie samo Badacz postanowił zweryfikować na poziomie istotności 0,005 hipotezę zerową głoszącą, że w populacji taksówkarzy kolor oczu ma rozkład równomierny. W ty mcelu postanowił wylosować próbę losową 1000 taksówkarzy. Jeżeli hipoteza zerowa jest prawdziwa, to jakie będzie prawdopodobieństwo, że nie zostanie ona w wyniku badania próby odrzucona? Gdyby próba liczyła 2000 taksówkarzy, to prawdopodobieństwo to byłoby dwa razy mniejsze Gdyby próba liczyła 500 taksówkarzy, to prawdopodobieństwo to byłoby dwa razy większe Gdyby próba liczyła 999 taksówkarzy, to prawdopodobieństwo to byłoby takie same Na poziomie ufności równym 0.95 i przy użyciu prostej niezależnej próby oszacowano procent zwolenników Jana Kowalskiego jako należący do przedziału od 28% do 32%. Czy szerokość przedziału powiększyłaby się, gdyby (przy pozostałych wielkościach niezmienionych): Liczebność populacji była większa Liczebność próby była większa Jan Kowalski dostał głosy połowy próby Poziom ufności został obniżony do 0.90 Przeprowadzono estymację przedziałową średniej długości okresu pobierania zasiłku przez osoby, które w ubiegłym roku znalazły pracę. Przyjmując poziom ufności równy 0.95 uzyskano informację, wedle której średnia ta należy do przedziału od 12 do 15 tygodni. Czy z tej informacji wynika, że 95% populacji pobierało zasiłek od 12 do 15 tygodni Posłużono się metodą, która prowadzi do błędnego wniosku z prawdopodobieńśtwem 0.05 Prawdopodobieństwo wylosowania takiej próby, która pozwala na poprawne oszacowanie średniej wynosiło 0.95 Prawdopodobieństwo tego, że średnia w populacji ma wartość należącą do przedziału od 12 do 15 tygodni wynosi 0.95 Na podstawie badania na próbie liczącej 1000 elementów, na poziomie ufności 0,95 oszacowano przedziałowo średnią zmiennej X. Czy, gdyby nie zaszły żadne inne zmiany i gdyby......próba była dwukrotnie liczniejsza, to poziom ufności byłby wyższy?...wariancja w próbie była mniejsza, to przedział ufności byłby szerszy?...wariancja w próbie była dwa razy mniejsza, to prawdopodobieństwo wyznaczenia takiego przedziału ufności, które nie zawierałby średniej w populacji byłoby mniejsze?

5 Przedział ufności dla średniej, obliczony na poziomie ufności 0.95 wynosi [100,102]. Czy wynika z tego, że: Z prawdopodobieństwem 0.95 wartość średnia w populacji leży w przedziale [100,102] Jeśli z tej samej populacji losować będziemy następną próbę to prawdopodobieństwo, że średnia z tej próby będzie leżała w przedziale [100,102] jest równe 0.95 Wartość średnia w populacji na pewno nie odchyla się od wartości średniej w próbie więcej niż o 5% Wartość średnia w populacji z prawdopodobieństwem 0.95 jest równa średniej w próbie Wartość średnia w zbadanej próbie wynosi 101 Na poziomie ufności równym 0.95 w badaniu reprezentatywnym oszacowano średni staż pracowników pewnego koncernu jako liczbę z przedziału od 9.1 do Wariancja zmiennej w populacji była znaza. CZyistotności równym 0.05 odrzucono hipotezę zerową, wedle której zadowoleni z pracy stanowią połowę zbiorowości. Hipoteza konkurencyjna głosiła, że jest inaczej. Czy Prawdopodobieństwo, że ktoś inny w analogicznym badaniu uzyska ten sam przedział jest równe 0.95 Prawdopodobieństwo, że średnia stażu w populacji należy do przedziału od 9.1 do 10.1 jest równe 0.95 Gdybyśmy posłużyli się liczniejszą próbą, to przy tym samym poziomie ufności przedział byłby węższy Do oszacowania średniej użyto metody, która daje poprawny wynik przeciętnie 95 razy na 100 Gdybyśmy wybrali wyższy poziom ufności, to przedział byłby węższy Na poziomie ufności równym 0.95 w badaniu reprezentatywnym oszacowano średni staż pracowników pewnego koncernu jako liczbę z przedziału od 9.1 do Wariancja zmiennej w populacji była znaza. CZyistotności równym 0.05 odrzucono hipotezę zerową, wedle której zadowoleni z pracy stanowią połowę zbiorowości. Hipoteza konkurencyjna głosiła, że jest inaczej. Czy Prawdopodobieństwo, że ktoś inny w analogicznym badaniu uzyska ten sam przedział jest równe 0.95 Gdybyśmy posłużyli się liczniejszą próbą, to przy tej samej szerokości przedziału poziom ufności mógłby być wyższy Gdybyśmy wybrali wyższy poziom ufności, to przedział byłby węższy 95% pracowników w populacji ma staż od 9.1 do 10.1 lat Jeżeli zadowolonych jest 50%, to prawdopodobieństwo, że tę hipotezę odrzucimy przy pomocy analogicznego badania jest równe 0.05 Na podstawie próby wyznaczono przedział ufności średniej zmiennej X jako przedział <A;B> na poziomie ufności równym 0,95. Czy wynika z tego, że: X-A = X-B gdzie X oznacza średnią z badanej próby m-a = m-b gdzie m oznacza średnią zmiennej X w badanej populacji Prawdopodobieństwo, że średnia w populacji ma wartość należącą do przedziału od A do B jest równe 0,95 Procedura, którą stosujemy, z prawdopodobieństwem 95% pozwala na wyznaczenie przedziału ufności, którego granice obejmą średnią w populacji

6 Czy jest prawdą, że: E(s 2 ) = D 2 (X) Średnia z próby jest nieobciążonym estymatorem średniej w populacji Efektywny estymator średniej z próby to taki, który ma największą wariancję E(s 2 ) / D 2 (X) = (n-1)/n N T N T HIPOTEZY Na poziomie istotności równym 0.01 nie odrzucono hipotezy zerowej, wedle której zadowoleni ze swojej kasy chorych stanowią połowę zbiorowości. Hipoteza konkurencyjna głosiła, że jest inaczej. Czy prawdziwe są następujące zdania: Być może popełniono błąd II-go rodzaju Jeżeli zadowolonych jest 50%, to zastosowana procedura prowadzi z prawdopodobieństwem 0.01 do odrzucenia hipotezy zerowej Poziom istotności zależy od tego, jak bardzo hipoteza zerowa różni się od prawdziwego stanu rzeczy Poziom istotności zależy od wyniku eksperymentu Na poziomie istotności równym 0.01 nie odrzucono hipotezy zerowej, wedle której zadowoleni ze swojej kasy chorych stanowią połowę zbiorowości. Hipoteza konkurencyjna głosiła, że jest inaczej. Czy prawdziwe są następujące zdania: Być może popełniono błąd I-go rodzaju Prawdopodobieństwo tego, że zadowolonych jest 50% jest równe 0.99 Poziom istotności to prawdopodobieństwo popełnienia jakiegokolwiek błędu przy weryfikacji hipotez Poziom istotności zależy od badacza Jeżeli zadowolonych jest 50%, to prawdopodobieństwo, że tę hipotezę odrzucimy przy pomocy analogicznego badania jest równe 0.05 Badacz postanowił zweryfikować na poziomie istotności 0,05 hipotezę głoszącą, ze w populacji taksówkarzy kolor oczu jest niezależny stochastycznie od kolor karoserii taksówki. W tym celu postanowił wylosować próbę losową 2500 taksówkarzy. Jeżeli hipoteza zerowa jest prawdziwa, to jakie będzie prawdopodobieństwo, że zostanie ona w wyniku badania na próbie odrzucona? Gdyby próba liczyła 4000 taksówkarzy, to prawdopodobieństwo to byłoby mniejsze Gdyby próba liczyła 4000 taksówkarzy, to prawdopodobieństwo to byłoby większe Gdyby próba liczyła 4000 taksówkarzy, to prawdopodobieństwo to byłoby takie samo

7 Badacz na poziomie α=0,01 odrzucił hipotezę zerową, głoszącą, że E(X)=50, na rzecz hipotezy konkurencyjnej głoszącej, że E(X)=55. Czy badacz odrzuciłby tę hipotezę także wtedy gdyby: (dostępne odpowiedzi: TAK, NIE, NIE WIADOMO) Hipoteza konkurencyjna głosiła, że E(X) = 40 Hipoteza konkurencyjna głosiła, że E(X) = 51 Badacz przyjął α=0,05 Średnia w próbie była większa, przy niezmienionych innych warunkach zadania. Wariancja w próbie (której używamy do oceny wariancji w populacji) była większa przy niezmienionyh innych warunkach zadania. Badacz użył dwukrotnie większej próby (uzyskując w niej taką samą średnią i wariancję) Badacz użył dwukrotnie większej próby, w której uzyskałby taką samą średnią i dwa razy mniejszą wariancję (a wariancja ta byłaby wykorzystywana do oceny wariancji w populacji) Badacz przeprowadził badanie 500 osobowej próby. Przy poziomie istotności α=0,01 nie odrzucił hipotezy zerowej, głoszącej, że średnia zmiennej X w populacji jest równa 110, na rzecz hipotezy, że średnia ta w populacji jest równa 100. Czy odrzuciłby ją gdyby: (dostępne odpowiedzi: TAK, NIE, NIE WIADOMO) Hipoteza konkurencyjna głosiła, że E(X) = 120 Hipoteza konkurencyjna głosiła, że E(X) = 90 Hipoteza konkurencyjna głosiła, że E(X) ¹ 100 Badacz przyjął α=0,05 Badacz przyjął α=0,001 Próba liczyła 600 osób (a średnia i wariancja w próbie były takie same jak poprzednio) Średnia w populacji wynosiła w rzeczywistości 100. Wariancja w próbie była dwa razy mniejsza, a próba liczyła 300 osób (a śednia w próbie była taka sama jak przedtem) Badacz po przeprowadzeniu badania na 500 osobowej próbie odrzucił przy poziomie istotności α=0,01 hipotezę głoszącą, że średnia zmiennej X w populacji jest równa 100, na rzecz hipotezy, że średnia ta w populacji jest równa 110. Czy odrzuciłby ją również, gdyby: (dostępne odpowiedzi: TAK, NIE, NIE WIADOMO) Hipoteza konkurencyjna głosiła, że E(X) = 120 Hipoteza konkurencyjna głosiła, że E(X) = 90 Hipoteza konkurencyjna głosiła, że E(X) ¹ 100 Badacz przyjął α=0,05 Badacz przyjął α=0,001 Próba liczyła 1000 osób (a wyniki w próbie były takie same) Średnia w populacji wynosiła w rzeczywistości 110. Wariancja w próbie była dwa razy większa, a próba liczyła 1200 osób (a śednia w próbie była taka sama, jak przedtem)

8 Na poziomie istotności 0.05 nie odrzucono hipotezy zerowej, wedle której średnia jest równa 100. Hipoteza konkurencyjna głosiła, że średnia wynosi 110. Czy wniosek na pewno byłby taki sam, gdyby (przy pozostałych warunkach niezmienionych) Średnia w próbie była większa Liczebność próby była mniejsza Liczebność próby była większa Średnia w próbie była mniejsza Hipotezy, że średnia zarobków w populacji jest równa 2100zł. nie odrzucono na poziomie istotności 0.01 Czy wynika z tego, że: Gdybyśmy zlecili to badanie innemu równiez rzetelnemu wykonawcy, jego rezultat byłby identyczny Jezeli rezultat ten jest poprawny, to prawdopodobieństwo, ze inny ośrodek powtarzając tę samą procedurę odrzuci hipotezę jest równe 0.01 Średnia zarobków w populacji rzeczywiście jest równa 2100zł. Nie możemy być pewni wniosku, bo gdy hipoteza jest fałszywa, czasem nie możemy jej odrzucić i popełniamy błąd Badacz odrzucił hipotezę zerową, że średnia w populacji jma wartość m 0 na rzecz hipotezy konkurencynej, że średnia w populacji jest większa. Test przeprowadzono na poziomie istotności 0,05. W tej sytuacji: Zmniejszenie poziomu istotności może spowodować zmianę tej decyzji Zwiększenie poziomu istotności może spowodować zmianę tej decyzji Zmiana hipotezy konkurencyjnej na taką, zgodnie z którą średnia w populacji jest różna od m 0, to może spowodować zmianę tej decyzji Gdyby liczebność próby była większa przy nie zmienionych pozostałych parametrach, to decyzja nie ulegnie zmianie Gdyby liczebność próby była mniejsza przy nie zmienionych pozostałych parametrach, to decyzja nie ulegnie zmianie Z prawdopodobieństwem 0,95 wartość średnia w populacji leży w przedziale [m , m ] Badacz nie odrzucił hipotezy zerowej głoszącej, że średnia w populacji wynosi 5 na rzecz hipotezy konkurencyjnej, że ta średnia jest różna od 5 na poziomie istotności równym 0,05. Czy: Możliwe jest, że podjąłby inną decyzję gdyby taką samą średnią z próby uzyskał z próby o większej liczebności Możliwe jest, że podjąłby inną decyzję, gdyby przyjął poziom istotności równy 0,03 Można określić prawdopodobieństwo beta Poziom istotności zawsze określa bezwarunkowe prawdopodobieństwo popełnienia błędu I-go rodzaju

9 Koncepcja Neymana-Pearsona Jeżeli przyjmiemy poziom istotności równy 0, to: nigdy nie odrzucimy hipotezy zerowej Nigdy nie popełnimy blędu I rodzaju Nigdy nie popełnimy blędu II rodzaju Prawdopodobieństwo (bezwarunkowe) popełnienia błędu II rodzaju wyniesie 1. Reguła decyzyjna według Neymana-Pearsona: Minimalizuje warunkowe prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju przy ustalonej wartości warunkowego prawdopodobieństwa popełnienia błędu I rodzaju Minimalizuje sumę obydwu błędów Gwarantuje podjęcie prawidłowej decyzji z prawdopodobieństwem 1-α, gdzie α, to warunkowe prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju Gwarantuje, że prawdopodobieństwo warunkowe popełnienia błędu I rodzaju jest mniejsze niż prawdopodobieństwo warunkowe popełnienia błędu II rodzaju Rozważmy funkcję decyzyjną, dla której wartość parametru β jest równa 0. Używając tej funkcji.....nigdy nie odrzucimy hipotezy zerowej...nigdy nie popełnimy blędu I rodzaju...nigdy nie popełnimy blędu II rodzaju...prawdopodobieństwo (bezwarunkowe) popełnienia błędu I rodzaju wyniesie 1. Oceń prawdziwość poniższych zdań odnoszących się do wyboru funkcji decyzyjnej zgodnie z koncepcją Neymana- Pearsona Optymalna funkcja decyzyjna charakteryzuje się zawsze mniejszą wartością α niż β Symbol α oznacza prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju pod warunkiem, ze prawdziwa jest hipoteza konkurencyjna Przy stosowaniu optymalnej funkcji decyzyjnej prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju wynosi 0 Przy stosowaniu optymalnej funkcji decyzyjnej prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju wynosi 0 Dla pewnej funkcji decyzyjnej używanej do weryfikacji hipotez statystycznych α=0,05, a β=0,15. Czy w tym przypadku: Prawdopodobieństwo warunkowe popełnienia błędu II rodzaju pod warunkiem prawdziwości hipotezy zerowej jest równe 0,15 Prawdopodobieństwo warunkowe popełnienia błędu I rodzaju pod warunkiem prawdziwości hipotezy zerowej jest równe 0,05 Prawdopodobieństwo warunkowe popełnienia błędu I rodzaju pod warunkiem prawdziwości hipotezy konkurencyjnej wynosi 0. Prawdopodobieństwo popełnienia błędu pierwszego rodzaju może wynosić w tym przypadku mniej niż 0,00001.

10 Dla pewnej funkcji decyzyjnej używanej do weryfikacji hipotez statystycznych α=0,05, a β=0,10. Czy w tym przypadku: Prawdopodobieństwo warunkowe popełnienia błędu II rodzaju pod warunkiem prawdziwości hipotezy zerowej jest równe 0,10 Prawdopodobieństwo warunkowe popełnienia błędu II rodzaju pod warunkiem prawdziwości hipotezy zerowej jest równe 0,05 Prawdopodobieństwo warunkowe popełnienia błędu I rodzaju pod warunkiem prawdziwości hipotezy zerowej jest równe 0,05 Prawdopodobieństwo warunkowe popełnienia błędu I rodzaju pod warunkiem prawdziwości hipotezy konkurencyjnej wynosi 0. Prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju może wynosić w tym przypadku mniej niż 0, Poniższe zdania dotyczą optymalnej funkcji decyzyjnej wybranej zgodnie z regułą Neymana-Pearsona. Czy prawdą jest, że: Spośród wszystkich możliwych funkcji decyzyjnych charakteryzuje się ona najmniejszą wartością parametru α Spośród wszystkich możliwych funkcji decyzyjnych charakteryzuje się ona najmniejszą wartością parametru β Ma wartość parametru α nie większą niż α* Ma wartość parametru α mniejszą niż β W jaki sposób należy formułować hipotezy statystyczne? Hipoteza zerowa musi być hipotezą prostą Hipotezy należy konstruować w ten sposób, by się wzajemnie dopełniały tzn. zawsze jedna z nich zerowa lub konkurencyjna była słuszna Hipotezy należy konstruować w ten sposób, by się wzajemnie wykluczały tzn. zawsze tylko jedna z nich zerowa lub konkurencyjna mogła być prawdziwa Hipoteza konkurencyjna może być złożona, ale wtedy nie możemy określić poziomu istotności testu Jak należy formułować hipotezy statystyczne? Hipoteza zerowa musi być hipotezą prostą Hipoteza konkurencyjna musi być hipotezą prostą Hipoteza zerowa może być hipotezą złożoną, ale wtedy nie możemy określić poziomu istotności testu Hipoteza zerowa może być hipotezą złożoną, ale wtedy nie możemy określić wartości β Tak, aby zawsze można było określić sumę α+β

11 Poziom istotności (α) Określa ryzyko popełnienia błędu II-go rodzaju w sytuacji, gdy prawdziwa jest h 1 Jest prawdopodobieństwem tego, ze rzeczywistość nie jest zgodna z h 0 Jest warunkowym prawdopodobieństwem wylosowania takiej próby, która zmusi nas do odrzucenia h 0 w sytuacji, gdy prawdziwa jest h 0 Jest prawdopodobieństwem odrzucenia hipotezy zerowej w sytuacji, gdy jest to błędem W koncepcji Neymana-Pearsona optymalna funkcja decyzyjna Minimalizuje prawdopodobieństwo popełnienia jakiegokolwiek błędu Minimalizuje przeciętny koszt błędów Ogranicza warunkowe prawdopodobieństwo popełnienia jednego rodzaju błędu do pewnego (wybranego) poziomu Maksymalizuje prawdopodobieństwo podjęcia poprawnej decyzji Aby zweryfikować dwie proste hipotezy statystyczne dotyczące średniej wzrostu Pigmeja wybrano optymalną funkcję decyzyjną. Posługiwano się metodą Neymana-Pearsona. Doświadczenie będzie polegało na wyznaczeniu średniej w 400-osobowej prostej losowej próbie mieszkańców wiosek pigmejskich. Oceń, czy możliwe było zaistnienie poszczególnych sytuacji opisanych poniżej: Za względu na zbyt niski wzrost badanych odrzucono obie hipotezy Prawdopodobieństwa popełnienia błędu I i II rodzaju udało się zniwelować równocześnie do 0 Prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju przy użyciu tej optymalnej funkcji decyzyjnej obniżono poniżej maksymalnego akceptowalnego poziomu ryzyka popełnienia błędu pierwszego rodzaju o 0,01 Ze względu na bardzo niski wzrost badanych poziom istotności okazał się wyższy niż prawdopodobieństwo popełnienia błędy I rodzaju przy użyciu ten funkcji decyzyjnej Prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju przy użyciu tej funkcji decyzyjnej było większe od prawdopodobieństwa popełnienia błędu II rodzaju Aby zweryfikować dwie proste hipotezy statystyczne dotyczące średniej wzrostu Pigmeja wybrano optymalną funkcję decyzyjną. Posługiwano się metodą Neymana-Pearsona. Doświadczenie będzie polegało na wyznaczeniu średniej w 400-osobowej prostej losowej próbie mieszkańców wiosek pigmejskich. Oceń, czy możliwe było zaistnienie poszczególnych sytuacji opisanych poniżej: Przyjęto obie hipotezy Prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju przy użyciu tej funkcji decyzyjnej było mniejsze od prawdopodobieństwa popełnienia błędu II rodzaju Prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju przy użyciu tej optymalnej funkcji decyzyjnej udało się obniżyć poniżej poziomu istotności o zaledwie 0,0001 Prawdopodobieństwa popełnienia błędu I i II rodzaju były równocześnie równe 1 Wybrano taki obszar krytyczny, że prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju okazało się równe 0.

12 Z populacji, w której prawdziwa jest H 0 zostanie wylosowana próba po czymprzeprowadzona procedura weryfikacji H 0 przeciwko pewnej hipotezie H 1. Funkcja decyzyjna optymalna w sensie reguły Neymana-Pearsona charakteryzuje się wartościami α=0,05, a β=0,10. Prawdopodobieństwo, że zostanie popełniony błąd II rodzaju wynosi 0,10 Z treści zadania wynika, że H 0 jest hipotezą złożoną Prawdopodobieństwo, że w wyniku tej procedury H 0 nie zostanie odrzucone wynosi 0,05 Nie było takiej funkcji decyzyjnej, dla której α=0,05, a β=0,07 Wśród możliwych funkcji decyzyjnych nie było takiej, dla której α<0,05 Z populacji, w której prawdziwa jest H 0 zostanie wylosowana próba po czymprzeprowadzona procedura weryfikacji H 0 przeciwko pewnej hipotezie H 1. Funkcja decyzyjna optymalna w sensie reguły Neymana-Pearsona charakteryzuje się wartościami α=0,05, a β=0,10. Prawdopodobieństwo, że zostanie popełniony błąd II rodzaju wynosi 0 Nie było takiej funkcji decyzyjnej, dla której α=0,05, a β=0,07 Prawdopodobieństwo, że w wyniku tej procedury H 0 nie zostanie odrzucone wynosi 0,05 Z treści zadania wynika, że H 0 jest hipotezą prostą Wśród możliwych funkcji decyzyjnych nie było takiej, dla której α<0,05 Chi kwadrat Przy użyciu testu c 2 na poziomie istotności 0.05 nie odrzucono hipotezy o niezależności stochastycznej dwu zmiennych trójwartościowych. Wartość statystyki c 2 była różna od zera. Czy wynika z tego, że: Liczba stopni swobody była równa 9 Gdyby łączny rozkład częstości w próbie był taki sam lecz próba była liczniejsza, to hipoteza mogłaby zostać odrzucona Gdyby wybrano mniejszy od 0.05 poziom istotności, to hipoteza mogłaby zostać odrzucona Gdyby wybrano większy od 0.05 poziom istotności, to hipoteza mogłaby zostać odrzucona Przy pomocy testy niezależności chi 2 badacz odrzucił na poziomie istotności 0.05 hipotezę zerową zgodnie z którą zmienne X i Y są niezależne. Czy wynika z tego, że: W populacji zmienne te są zależne W populacji zmienne te są niezależne Odrzucając hipotezę o niezależności Xi Y badacz przyjmie hipotezę konkurencyjną zgodnie z którą Xi Y są w badanej populacji zależne stochastycznie, przy czym jest możliwe, że decyzja ta jest błędna Prawdopodobieństwo, że regresja średnich X względem Y jest funkcją stałą, wynosi 0.05 Gdyby wszystkie liczebności empiryczne w próbie były równe połowie dotychczasowych, to decyzja badacza byłaby taka sama Gdyby wszystkie liczebności empiryczne w próbie były 4 razy większe od dotychczasowych, to decyzja badacza byłaby taka sama

13 Próba losowa i inne O próbie losowej można powiedzieć, że: Prawdopodobieństwo wylosowania każdego elementu z populacji jest znane Prawdopodobieństwo wylosowania każdego elementu jest takie samo Element populacji w1, może zostać wylosowany do danej próby tylko raz Średnia zmiennej z próby nie różni się znacząco od średniej z populacji Dođwiadczenie polega na zwrotnym losowaniu z jednakowymi prawdopodobieństwami 16-to elementowej próby. Czy dla takiego losowania i dowolnej zmiennej określonej w populacji: Wartość oczekiwana średniej z próby równa się średniej w populacji Wartość oczekiwana wariancji z próby równa się wariancji w populacji Wariancja średniej z próby równa się wariancji w populacji Wartość oczekiwana wariancji z próby jest mniejsza od wariancji w populacji Zmienna Z jest zmienną ciągłą. Czy wynika z tego, że: Zmienna przyjmuje nieskończenie wiele wartości Zmienna ma rozkład normalny Prawdopodobieństwo, że zmienna przyjmie określoną wartość z i jest równe 0. Rozkład tej zmiennej jest symetryczny Populacja liczy 4 elementy. Połowa z nich ma zerową wartość zmiennej X, a pozostałe mają wartość 1. Losujemy zwrotnie czteroelementową próbę. Zmienna losowa "Średnia zmiennej X z próby" ma dla tego doświadczenia Wartość oczekiwaną równą ½ Wariancję równą ¼ Wariancję równą ½ Odchylenie standardowe równe ¼ Zmienna "średnia wzrostu z dwuelementowej próby krasnoludków" ma rozkład normalny o średniej 20 cm i odchyleniu standardowym 2 cm. Oznacza to, że Zmienna "średnia wzrostu z dwuelementowej próby krasnoludków" ma rozkład normalny Zmienna "średnia wzrostu z próby liczącej 100 krasnoludków" ma średnią 20 cm i odchylenie standardowe 0.02 cm 75% krasnoludków ma mniej niż 21 cm wzrostu 50% krasnoludków ma więcej niż 20 cm wzrostu W każdej próbie liczącej więcej niż 30 krasnali będa krasnoludki wyższe niż 21 cm

14 Zmienna losowa ma rozkład normalny. Czy wynika z tego, że: Zmienna dotyczy średniej X z n-elementowej próby Rozkład tej zmiennej jest jednomodalny Rozkład tej zmiennej jest symetryczny Wartość oczekiwana zmiennej jest równa 0, a jej odchylenie standardowe równe jest 1 N T T N Zmienna "wzrost krasnoludka w cm" ma w populacji krasnoludków rozkład normalny o średniej 20 cm i odchyleniu standardowym 2 cm. Wynika z tego, że Zmienna "średnia wzrostu z dwuelementowej próby krasnoludków" ma rozkład normalny Zmienna "średnia wzrostu z próby liczącej 100 krasnoludków" ma średnią 20 cm i odchylenie standardowe 0.02 cm 25% wszystkich krasnoludków ma mniej niż 18 cm wzrostu 50% wszystkich krasnoludków ma więcej niż 20 cm wzrostu W każdej próbie liczącej więcej niż 30 krasnali będa krasnoludki niższe niż 18 cm Próba losowa dla badania reprezentacyjnego, to tylko taka próba......która jest wylosowana z jednakowymi dla wszystkich jednostek w populacji prawdopodobieństwami...w której rozkłady podstawowych zmiennych są takie jak w całej populacji...która jest dobrana w taki sposób, by były w niej reprezentwoane wszystkie rodzaje jednostek w populacji...która pozwala bezbłędnie wnioskować o cechach populacji...która jest wylosowana ze znanymi dla wszystkich jednostek w populacji i niezerowymi prawdopodobieństwami Próba losowa dla badania reprezentacyjnego, to tylko taka próba......która jest wylosowana z jednakowymi prawdopodobieństwami dla wszystkich jednostek w populacji...w której średnia interesującej nas zmiennej X jest taka sama jak średnia w populacji...która pozwala bezbłędnie weryfikować hipotezy statystyczne...która jest wylosowana ze znanymi dla wszystkich elementów populacji prawdopodobieństwami wylosowania...której liczebność jest większa niż 100 elementów Czy może się zdarzyć, że: Średnia z próby znajdzie się poza przedziałem ufności Średnia z próby będzie stanowiła jedną z granic przedziału ufności Średnia w populacji znajdzie się poza przedziałem ufności Odrzucimy hipotezę zerową, a jednocześnie nie będziemy mieli podstaw do przyjęcia hipotezy konkurencyjnej Nie odrzucimy hipotezy zerowej mimo, że jest ona fałszywa

15 Zmienna X przyjmuje w populacji wartość 1 z częstością 0,8 oraz wartość 0 z częstością 0,2. Zatem: Średnia zmiennej "średnia X z dwuelementowej próby" wynosi 0,8 Zmienna "średnia X z dwuelementowej próby" ma rozkład normalny Wariancji zmiennej "średnia X z dwuelementowej próby" nie da się określić, gdyż jest to zbyt mała próba, aby stosować do niej centralne twierdzenie graniczne Wariancja zmiennej "średnia X z dwuelementowej próby" wynosi 0,08 W 25% dwuelementowych prostych, zwrotnych i niezależnych prób losowych zmiennej X średnia w próbie jest mniejsza niż 0,00001 Zmienna X przyjmuje w populacji wartość 1 z częstością 0,8 oraz wartość 0 z częstością 0,2. Zatem: Średnia zmiennej "średnia X z dwuelementowej próby" wynosi 0,8 Zmienna "średnia X z dwuelementowej próby" ma rozkład normalny Średnia zmiennej "wariancja zmiennej X z dwuelementowej próby" wynosi 0,16 W 25% dwuelementowych prostych, zwrotnych i niezależnych prób losowych zmiennej X średnia w próbie jest większa niż 0,77 Średnia zmiennej "średnia X z dwuelementowej próby" nie da się określić, gdyż jest to zbyt mała próba, aby stosować do niej centralne twierdzenie graniczne Doświadczenie polega na losowaniu z populacji 400-elementowej próby w sposób zwrotny i z jednakowymi dla wszystkich prawdopodobieństwami wylosowania. W populacji określona jest zmienna statystyczna wiek. Jej średnia w populacji jest równa Wariancja wieku w próbie byłaby mniejsza, gdyby próba była większa Wariancja zmiennej "średnia wieku z próby" byłaby większa, gdybyśmy losowali większe próby Średnie wieku w dwu kolejno wylosowanych próbach lsowanych w ten sposób muszą być takie same Prawdopodobieństwo wylosowania próby, w której średnia wieku będzie większa od 43,2 jest równe 0.5 Średnia zmiennej "średnia wieku z próby" zależy od liczebności próby Czy poniższe zdania są zawsze prawdziwe? Istnieje funkcja decyzyjna, która chroni przed popełnieniem błędy I-go rodzaju Wybierając funkcję decyzyjną staramy się zminimalizować ryzyko popełnienia jakiegokolwiek błędu Średnia z próby, na podstawie której oszacowaliśmy przedział ufności dla średniej w populacji, sama należy do tego przedziału Odrzucona hipoteza zerowa jest fałszywa Wyniki dwu poprawnie przeprowadzonych badań reprezentacyjnych są zawsze takie same

16 Czy poniższe zdania są zawsze prawdziwe? Wyniki dwu poprawnie przeprowadzonych badań reprezentacyjnych są zawsze takie same Średnia w populacji należy do przedziału ufności, który dla niej wyznaczyliśmy Odrzucona hipoteza zerowa jest hipotezą fałszywą Wybierając funkcję decyzyjną niejednakowo traktujemy oba rodzaje błędów... funkcja decyzyjna, która chroni przed popełnieniem błędu I-go rodzaju W populacji jeleni określono dwie zmienne: W waga (która w populacji ma rozkład normalny o średniej 400 kg i wariancji kg 2 ) oraz zmieną V posiadanie rogów, przyjmującą wartość 1 gdy jeleń posiada, a gdy nie posiada rogów (40% jeleni posiada robi, 60% nie posiada) Czy poniższe zdania są prawdziwe? Zmienna "średnia zmiennej W z 4 elementowej próby" ma rozkład normalny" Zmienna "średnia zmiennej V z 4 elementowej próby" ma rozkład normalny" Wpisz w okienko odpowiednią wartość Średnia zmiennej "średnia zmiennej V z 4 elementowej próby" wynosi: Wariancja zmiennej "średnia zmiennej V z 4 elementowej próby" wynosi: Prawdopodobieństwo, że losowo wybrany jeleń waży mniej niż 300kg wynosi: Prawdopodobieństwo, że średnia zmiennej V z 3 elementowej próby będzie mniejsza niż 0,3 wynosi: Prawdopodobieństwo, że średnia zmiennej W z 4 elementowej próby będzie mniejsza niż 30 kg wynosi: Mamy zmienną Z średnia zmiennej X z n-elementowej próby dobranej w sposób prosty, niezależny. Czy jest prawdą, że E(X)-E(Z)=0 D 2 (X) = D 2 (Z) Zmienna ta ma rozkład normalny P( Z-E(X) >a) D 2 (X) / (na 2 )