Regionalne Koło Matematyczne
|
|
- Bronisław Dobrowolski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki Lista rozwiązań zadań nr 2, grupa zaawansowana ( ) Analogie i różnice miedzy trójkątem i czworościanem 1. Opisać własności elementów czworościanu analogicznych do następujących elementów trójkąta: a. symetralnych boków, b. dwusiecznych katów, c. środkowych, d. wysokości. Rozwiązanie. (a) Symetralną odcinka definiujemy analogicznie jak na płaszczyźnie, tzn. symetralna odcinka AB to zbiór punktów równoodległych od punktów A i B. Symetralna odcinka AB jest płaszczyzną prostopadłą do odcinka AB i przechodzącą przez jego środek. Analogicznie jak w przypadku symetralnych boków trójkąta na płaszczyźnie pokazujemy, że symetralne krawędzi czworościanu przecinają się w jednym punkcie. Dokładniej, mając dany czworościan ABCD prowadzimy symetralne krawędzi AB, AC i AD. Symetralne te przecinają się w jednym punkcie. Bezpośrednio z definicji pokazujemy, że punkt ten leży również na pozostałych symetralnych. (b) Dwusieczną kątą dwuściennego w przestrzeni definiujemy jako zbiór punktów leżących wewnątrz tego kąta, które są równoodległe od ścian kąta. Podobnie jak w przypadku symetralnych dowód faktu, że dwusieczne kątów dwuściennych w czworościanie przecinają się w jednym punkcie jest podobny do dowodu analogicznego faktu w przypadku dwusiecznych kątów wewnętrznych kątów trójkąta na płaszczyźnie. (c) Ustalmy czworościan ABCD. Środkową czworościanu poprowadzoną z wierzchołka A nazywamy prostą przechodzącą przez wierzchołek A oraz środek ciężkości trójkąta BCD. Analogicznie definiujemy środkowe poprowadzone z wierzchołkówb,c id. Pokażemy, że środkowe w czworościanieabcd przecinają się w jednym punkcie, który będziemy nazywać środkiem ciężkości czworościanu ABCD. 1
2 Najpierw uzasadnimy, że środkowa poprowadzona z wierzchołka A składa się z punktówp, dla których istnieje liczbaλtaka, że AP=λ AB+λ AC+λ AD. Oczywiście analogiczne charakteryzacje mamy dla środkowych poprowadzonych z pozostałych wierzchołków czworościanu. Dla dowodu powyższego faktu wystarczy pokazać, że AA = 1 1 AB+ 1 AC+ AD, gdziea jest środkiem ciężkości trójkątabcd. Wiemy jednak, że BA = 3 1 BC+ 1 BD. 3 PonieważAA = AB+ BA, AB+ BC= AC iab+ BD= AD, więc korzystając z powyższego wzoru, otrzymujemy żądaną równość. Ustalmy teraz punktgtaki, że AG= 4 1 AB+ 1 1 AC+ AD. 4 4 Pokażemy, że punkt G leży na wszystkich środkowych czworościanu ABCD. Oczywiście punkt G leży na środkowej opuszczonej z wierzchołka A. Ponadto BG= BA+ AG = 1 1 BA+ 4 4 ( BA+ AB)+ 4 ( 1 BA+ AC)+ 1 4 ( BA+ AD) = 1 1 BA+ 1 BC+ BD, a więc punkt G leży na środkowej opuszczonej z wierzchołka B. Analogicznie dowodzimy, że punkt G leży na środkowych opuszczonych z wierzchołków C i D. (d) Wysokości w czworościanie nie muszą przecinać się w jednym punkcie (patrz zadania 6 i 7). 2. Dany jest czworościan. Ile istnieje sfer stycznych do wszystkich płaszczyzn zawierających jego ściany? Rozwiązanie. Ustalmy czworościan ABCD. Wprowadzimy najpierw przydatną notację. SymbolemA + będziemy oznaczać półprzestrzeń wyznaczoną przez płaszczyznę BCD zawierającą punkt A, natomiast symbolema oznaczamy drugą z półprzestrzeni wyznaczonych przez płaszczyznę BCD. Analogicznie definiujemy półprzestrzenieb +,B,C +,C,D + id, tzn. jeślip {A,B,C,D} i{x,y,z}={a,b,c,d}\{p}, to symbolemp + oznaczamy półprzestrzeń wyznaczoną przez płaszczyznę XY Z zawierającą punkt P, natomiast symbolemp oznaczać będziemy drugą z półprzestrzeni wyznaczonych przez płaszczyznęxyz. Płaszczyzny ABC, ABD, ACD i BCD dzielą przestrzeń na 15 części, które możemy podzielić na cztery grupy: (1) przekrój czterech półprzestrzeni dodatnich :A + B + C + D +, 2
3 (2) przekroje trzech półprzestrzeni dodatnich i jednej półprzestrzeni ujemnej : A + B + C + D,A + B + C D +,A + B C + D + ia B + C + D +, (3) przekroje dwóch półprzestrzeni dodatnich i dwóch półprzestrzeni ujemnych :A + B + C D,A + B C + D,A + B C D +,A B + C + D, A B + C D + ia B C + D +, (4) przekroje jednej półprzestrzeni dodatniej i trzech półprzestrzeni ujemnych : A + B C D,A B + C D,A B C + D ia B C D +. Znajdowanie sfer stycznych do płaszczyzn ABC, ABD, ACD i BCD jest równoważne znajdowaniu punktów równoodległych od wszystkich tych płaszczyzn. Pokażemy, że w każdej z powyżej opisanych części przestrzeni istnieje co najwyżej jeden taki punkt. Ponadto udowodnimy także następujące fakty: (a) W każdej części z pierwszej i drugiej grupy istnieje dokładnie jeden poszukiwany punkt. (b) Łączna ilość poszukiwanych punktów w częściach z grupy trzeciej może być dowolną liczbą całkowitą pomiędzy 0 i 3. (c) W częściach z grupy czwartej nie istnieją poszukiwane punkty. Z powyższych faktów wynika w szczególności, że ilość kul stycznych do wszystkich płaszczyzn zawierających ściany czworościanu może być jedną z liczb 5, 6, 7 lub 8. Przeanalizujemy teraz poszczególne przypadki. Niech V oznacza objętość czworościanuabcd. Ponadto przezs 1,S 2,S 3 is 4 oznaczmy pola trójkątówabc,abd, ACD i BCD, odpowiednio. Ad. (1). Zauważmy, że przekrója + B + C + D + to czworościanabcd. Pokażemy najpierw, że w czworościanie ABCD istnieje co najwyżej jeden punkt równoodległy od wszystkich płaszczyzn zawierających jego ściany. Niech O będzie takim punktem i niech r będzie wspólną odległością punktu O od płaszczyzn zawierających ściany czworościanu. Zauważmy, że czworościan ABCD jest sumą czworościanów ABCO, ABDO, ACDO i BCDO. W każdym z tych czworościanów wysokość poprowadzona z wierzchołkao ma długośćr, zatem stosując wzór na objętość czworościanu otrzymujemy, że skąd wynika, że V= 1 3 r S r S r S r S 4, r= S 1 +S 2 +S 3 +S 4, zatem odległość r i, w konsekwencji, punkt O są wyznaczone jednoznacznie. Uzasadnimy teraz istnienie takiego punktu. Niech r:= S 1 +S 2 +S 3 +S 4 ( ) i niechobędzie punktem leżący w części wspólnej podprzestrzenid +,C + ib +, którego odległość od płaszczyzn ABC, ABD i ACD jest równa r. Dla zakończenia 3
4 dowodu musimy pokazać, żeo A + i że odległośćdpunktuo od płaszczyznybcd jest równa r. Przypuśćmy najpierw, żeo A. Rozważmy wielościanabcdo. Zauważmy, że możemy przedstawić go na dwa sposoby jako sumę czworościanów. Z jednej strony wielościan ABCDO jest sumą czworościanów ABCD i BCDO, z drugiej strony jest on sumą czworościanów ABCO, ABDO i ACDO. W efekcie otrzymujemy, że V+ 1 3 d S 1= 1 3 r S r S r S 4, zatem, korzystając ze wzoru( ), otrzymujemy, że d= <0, S 1 +S 2 +S 3 +S 4 co jest niemożliwe. Wiemy już więc, żeo A +. Korzystając z faktu, że w tej sytuacji czworościanabcd jest sumą czworościanów ABCO, ABDO, ACDO i BCDO otrzymujemy, podobnie jak poprzednio, że d= =r, S 1 +S 2 +S 3 +S 4 co kończy rozważania w tej części. Ad. (2) Skoncentrujemy się w tej części na przekrojua + B + C + D. Rozważania w pozostałych przypadkach są analogiczne. Pokażemy najpierw, że w przekrojua + B + C + D istnieje co najwyżej jeden punkt równoodległy od wszystkich płaszczyzn zawierających ściany czworościanu ABCD. Niech O będzie takim punktem i niech r będzie wspólną odległością punktu O od płaszczyzn zawierających ściany czworościanu. Zauważmy, że wielościan ABCDO jest sumą czworościanów ABCD i ABCO. Jednocześnie, wielościan ABCDO jest sumą czworościanów ABCO, ABDO i ACDO. Stąd V+ 1 3 r S 1= 1 3 r S r S r S 4, zatem r=, S 2 +S 3 +S 4 S 1 co dowodzi jednoznaczności punktu O. Pozostaje teraz udowodnić, że w przekrojua + B + C + D istnieje punkt równoodległy od płaszczyzn ABC, ABD, ACD i BCD. Zauważmy, że S 2 +S 3 +S 4 >S 1. Istotnie, niechd będzie rzutem prostopadłym punktudna płaszczyznęabc. Wtedy, S 1 S 2 +S 3 +S 4 <S 2+S 3 +S 4, gdzies 2,S 3 is 4 są polami trójkątówabd,acd ibcd, odpowiednio (pierwsza z nierówności jest ostra, jeśli punktd leży na zewnątrz trójkątaabc). Powtarzając argumenty z części (1) uzasadniamy teraz istnienie punktu O należącego do przekrojua + B + C + D, którego odległość od płaszczyzn zawierających ściany czworościanu ABCD wynosi S 2 +S 3 +S 4 S 1, co kończy rozważania w tej części. 4
5 Ad. (3) Przypuśćmy na początek, że istnieje punkto A + B + C D równoodległy od wszystkich płaszczyzn zawierających ściany czworościanuabcd. Niech r będzie tą odległością. Rozważmy wielościan ABCDO. Z jednej strony jest on sumą czworościanów ACDO i BCDO, z drugiej możemy go przedstawić jako sumę czworościanów ABCD, ABCO i ABDO. W efekcie otrzymujemy, że r= S 3 +S 4 S 1 S 2. Wykorzystując powyższą równość oraz rozumowanie analogiczne do tych przedstawionych w punktach (1) i (2) otrzymujemy następujący fakt: Istnieje punkt należący do przekrojua + B + C D równoodległy od wszystkich płaszczyzn zawierających ściany czworościanu ABCD wtedy i tylko wtedy, gdy S 3 +S 4 S 1 S 2 >0. Ponadto, punkt ten (jeśli istnieje) jest wyznaczony jednoznacznie. Analogiczne kryteria otrzymujemy dla pozostałych przekrojów trzeciego typu. W szczególności, jeśli istnieje stosowny punkt należący do przekrojua + B + C D (a więcs 3 +S 4 S 1 S 2 >0), to nie istnieje taki punkt w przekrojua B C + D + (gdyż wtedys 1 +S 2 S 3 S 4 <0). Ponadto, możliwe jest, że odpowiedni punkt nie istnieje ani w przekrojua + B + C D ani w przekrojua B C + D + (jeślis 1 +S 2 =S 3 +S 4 ). W efekcie, ilość poszukiwanych punktów w przekrojach trzeciego typu jest liczbą całkowitą z przedziału[0, 3]. Zauważmy jeszcze, że dla każdej z liczb całkowitych z przedziału[0, 3] łatwo wskazać przykład czworościanu, dla którego ilość poszukiwanych punktów w przekrojach trzeciego typu jest równa tej liczbie. Ad. (4) Skoncentrujemy się w tej części na przekrojua + B C D. Rozważania w pozostałych przypadkach są analogiczne. Zauważmy, że A + B C D =B C D. Więcej, płaszczyznabcd nie ma punktów wspólnych z przekrojemb C D. To natychmiast implikuje, że nie istnieje punkto B C D równoodległy od wszystkich płaszczyzn zawierających ściany czworościanu ABCD. Fakt ten można też udowodnić prowadząc rozumowanie analogiczne do tych przedstawionych w punktach (1), (2) i (3): prowadziłoby on w tym przypadku do wniosku, że odległość poszukiwanego punktu od płaszczyzn zawierających ściany czworościanu ABCD musi być liczbą ujemną, co jest oczywiście niemożliwe. W rozwiązaniach zadań 3 i 4 kluczową rolę odgrywa następujący fakt. Niech G będzie środkiem ciężkości czworościanu ABCD, punkt E leży na prostej AB i punktf leży na prostejcd. Jeśli punktye,f igleżą na jednej prostej, to punkte jest środkiem odcinkaab i punktf jest środkiem odcinkacd. Dowód. Przypomnijmy, że mamy równość AG= 1 1 AB+ 1 AC+ AD ( ) 5
6 Ponieważ punkte leży na prostejab, więc istnieje liczbaλtaka, żeae=λ AB. Analogicznie, CF=µ CD dla pewnej liczbyµ. Wreszcie, warunek współliniowości punktówe,f igoznacza, żeeg=k EF dla pewnej liczbyk. Zauważmy, że AF= AC+ CF= AC+µ CD = AC+µ ( AD AC)=(1 µ) AC+µ AD. W efekcie uzyskujemy ciąg równości AG= AE+ EG= AE+k EF= AE+k ( AF AE) =(1 k) AE+k AF =(λ λ k) AB+(k µ k) AC+µ k AD. Porównując powyższy wzór ze wzorem( ) otrzymujemy warunki λ λ k= 1 4, k µ k=1 4 i µ k= 1 4, które natychmiast prowadzą do równości co kończy dowód. λ= 1 2 =µ, 3. Udowodnić, że jeśli prosta przechodząca przez środek ciężkości czworościanu ABCD i przez środek O sfery opisanej na tym czworościanie przecina krawędzie AB icd, to AC = BD i AD = BC. Rozwiązanie. Oznaczmy przezlprostą łączącą środki bokówab icd. Z założeń i powyższego faktu wynika, żeo l. To oznacza, że prostaljest symetralną odcinka AB w płaszczyźnieabo. W szczególności, punktb jest obrazem punktuawsymetrii osiowej względem prostej l. Z tych samych powodów punkt D jest obrazem punktu C w symetrii osiowej względem prostej l. Stąd odcinek BD jest obrazem w symetrii osiowej względem prostej l odcinka AC oraz odcinek BC jest obrazem w symetrii osiowej względem prostej l odcinka AD. Te dwa fakty natychmiast implikują tezę zadania. 5. Czy z faktu, że środki sfer wpisanej i opisanej pokrywają się, wynika, że czworościan jest foremny? Rozwiązanie. Odpowiedź na pytanie postawione w zadaniu brzmi nie. Aby to uzasadnić, udowodnimy następujący fakt. Fakt. Dany jest czworościanabcd. Jeśli AB = CD, AC = BD i AD = BC, to środki sfer wpisanej i opisanej na czworościanie ABCD pokrywają się. Dowód. Niech O będzie środkiem sfery wpisanej. Aby uzasadnić, że punkt O jest środkiem sfery opisanej na czworościanie ABCD pokażemy, że AO = BO = CO = DO. 6
7 NiechA,B,C id będą rzutami prostopadłymi punktuona płaszczyznybcd, ACD, ABD i ABC, odpowiednio. Ponieważ punkt O jest środkiem sfery wpisanej w czworościan ABCD, więc AB = AC = AD, BA = BC = BD, CA = CB = CD i DA = DB = DC. Oznaczmy powyższe odległości przez a, b, c i d, odpowiednio. Odległości punktud od wierzchołkówa,bic wynosząa,bic, odpowiednio. Analogicznie, odległości punktuc od wierzchołkówa,b idwynosząa,bid, odpowiednio. Ponieważ trójkąty ABC i ABD są przystające, więc wnioskujemy stąd, żec=d. Postępując analogicznie dowodzimy, żea=b=c=d. Ponieważ i AO 2 =a 2 +r 2, BO 2 =b 2 +r 2, CO 2 =c 2 +r 2 DO 2 =c 2 +r 2, gdzie r jest środkiem sfery wpisanej w czworościan ABCD, więc otrzymujemy zapowiedzianą tezę. W rozwiązaniu zadań 6 i 7 kluczową rolę odgrywał będzie odgrywał następujący fakt. Fakt. Czworościan ABCD jest ortocentryczny wtedy i tylko wtedy, gdy AB AC= AB AD= AC AD. Dowód. Przypuśćmy najpierw, że czworościan ABCD jest ortocentryczny. Niech H będzie punktem przecięcia wysokości czworościanuabcd. WtedyAH BC= 0 (gdyż te dwa wektory są wzajemnie prostopadłe). PonieważAH = AD+ DH idh BC =0, więc otrzymujemy stąd, żead BC = 0. Wykorzystując teraz równośćbc= AC AB wnioskujemy, żead AC= AD AB. W analogiczny sposób dowodzimy pozostałych równości. Załóżmy teraz, że AB AC= AB AD= AC AD. Oznaczmy tę wspólną wartość przez λ. Naszym celem jest udowodnienie, że w takiej sytuacji istnieje punkt H taki, że Oczywiście AH BC=0= AH BD, BH AC=0= BH AD, CH AB=0= CH AD i AH=x AB+y AC+z AD DH AB=0= DH AC. dla pewnych liczb x, y i z. Powyższe warunki prowadzą do następującego układu równań (z niewiadomymix,y iz) (λ a) x + (b λ) y = 0, (λ a) x + (c λ) z = 0, a x + λ y + λ z = λ, λ x + b y + λ z = λ, λ x + λ y + c z = λ, 7
8 gdziea:= AB 2,b:= AC 2 ic:= AD 2. Zauważmy, że równania 1 i 2 są konsekwencją pozostałych równań. Rozwiązując układ równań utworzony przez równania 3, 4 i 5 otrzymujemy, że posiada on rozwiązanie, jeśliw 0, gdzie Wykorzystując wzory i W:=a b c+2 λ 3 λ 2 a λ 2 b λ 2 c. λ= a b cosα, λ= a c cosβ λ= b c cosγ, gdzieα,β iγ są miarami kątówbac,bad icad, odpowiednio, otrzymujemy, że W=a b c (1+2 cosα cosβ cosγ cos 2 α cos 2 β cos 2 γ), zatemw 0 wtedy i tylko wtedy, gdy Traktując warunek 1+2 cosα cosβ cosγ cos 2 α cos 2 β cos 2 γ cosα cosβ cosγ cos 2 α cos 2 β cos 2 γ=0 jako równanie kwadratowe z niewiadomącosγ, otrzymujemy, żecosγ=cos(α±β), skądγ=α+β,γ=360 α β lubγ= α β. Dla zakończenia dowodu wystarczy zauważyć, że żadna z tych możliwości nie może zachodzić dla kątów płaskich przy ustalonym wierzchołku w czworościanie. 6. Uzasadnić, że czworościan ABCD jest ortocentryczny wtedy i tylko wtedy, gdy każde dwie krawędzie skośne są wzajemnie prostopadłe. Rozwiązanie. I sposób (korzystający z powyższego faktu): Zgodnie z powyższym faktem czworościan ABCD jest ortocentryczny wtedy i tylko wtedy, gdy Ponieważ CD= AD AC, więc równość AB AC= AB AD= AC AD. AB AC= AB AD jest równoważna warunkowi AB CD. Analogicznie, równości AB AC= AC AD i AB AD= AC AD są równoważne warunkomac BD iad BC, odpowiednio, co kończy dowód. Zauważmy przy okazji, że powyższe rozumowanie pokazuje, że prostopadłość dwóch par krawędzi skośnych implikuje, że krawędzie tworzące trzecią parę są również wzajemnie prostopadłe. 8
9 II sposób (niekorzystający z powyższego faktu): Przypuśćmy najpierw, że czworościan ABCD jest ortocentryczny. Oznaczmy przez H punkt przecięcia wysokości czworościanu ABCD. Ponieważ wysokości czworościanu ABCD opuszczone z wierzchołków C i D są zawarte w płaszczyźnie CDH, więc płaszczyzna CDH jest prostopadła do prostej AB. W szczególności krawędzie AB i CD są prostopadłe. Analogicznie dowodzimy pozostałych warunków. Załóżmy teraz, że AB CD, AC BD i AD BC. Pierwszy warunek oznacza, że istnieje płaszczyzna zawierająca krawędź CD i prostopadła do krawędzi AB. W szczególności, płaszczyzna ta zawiera wysokości opuszczone z wierzchołków C i D, a więc wysokości te przecinają się. Analogiczne uzasadniamy, że przecinają się pozostałe pary wysokości. Zauważmy jednak, że jeśli dane cztery proste przecinają się parami, to albo leżą w jednej płaszczyźnie albo przecinają się w jednym punkcie. Pierwsza możliwość nie może mieć jednak miejsca dla wysokości w czworościanie, co kończy dowód. 7. Uzasadnić, że czworościan ABCD jest ortocentryczny wtedy i tylko wtedy, gdy AB 2 + CD 2 = AC 2 + BD 2 = AD 2 + BC 2. Rozwiązanie. Zauważmy, że Analogicznie AB 2 + CD 2 = AB 2 + CD CD = AB 2 +( AD AC) ( AD AC) = AB 2 + AC 2 + AD 2 2 AC AD. AC 2 + BD 2 = AB 2 + AC 2 + AD 2 2 AB AD i AD 2 + BC 2 = AB 2 + AC 2 + AD 2 2 AB AC, zatem teza wynika natychmiast z faktu udowodnionego przed zadaniem 6. 9
Regionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 2 (14-19.10.2009) nalogie i różnice miedzy trójkątem
Bardziej szczegółowoCzworościany ortocentryczne zadania
Czworościany ortocentryczne zadania 1. Wykazać, że nastepujące warunki są równoważne: a) istnieje przecięcie wysokości czworościanu, b) przeciwległe krawędzie są prostopadłe, c) sumy kwadratów długości
Bardziej szczegółowoRegionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 16 (27.02.2010) Twierdzenia evy i Menelaosa 1.
Bardziej szczegółowoMetoda objętości zadania
Metoda objętości zadania Płaszczyzny i dzielą graniastosłup trójkątny na cztery bryły Znaleźć stosunki objętości tych brył 2 any jest równoległościan o objętości V Wyznaczyć objętość części wspólnej czworościanów
Bardziej szczegółowoV Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej Rozwiązania - klasy drugie 1. Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych (x, y) spełniające nierówności x + 1 + y 4 x + y 4 5 x 4 + y 1 > 4. Ważne jest zauważenie,
Bardziej szczegółowoLXIII Olimpiada Matematyczna
1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a
Bardziej szczegółowoVIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (18 października 01 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Miary α, β, γ kątów pewnego trójkąta spełniają warunek
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoSTEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Bardziej szczegółowoInwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny zadania
Inwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny zadania Rozważmy sferę S o środku O i promieniu R. Inwersją względem sfery S nazywamy przekształcenie, które przekształca punkt A na punkt A leżący na półprostej
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści
Bardziej szczegółowoIX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;
Bardziej szczegółowoRegionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 15 (20.02.2010) Zbiory wypukłe Definicja. Zbiór
Bardziej szczegółowoLI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x
Bardziej szczegółowoStereo. (a miejscami nawet surround) 30 stycznia 2014
Stereo (a miejscami nawet surround) 30 stycznia 2014 To kółko wiele zawdzięcza niezrównanym artykułom Michała Kiezy z Kącika Przestrzennego Delty. Oprócz tego zadania pochodzą z OMów oraz prezentacji Adama
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 2
Renata Nowak MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 2 Wróćmy do twierdzenia Pitagorasa, które dobrze znamy. Mówi ono o związkach między bokami w trójkącie prostokątnym. Może w jego
Bardziej szczegółowoMETODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA. WYKŁAD 1 Czas: 45
METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA WYKŁAD 1 Czas: 45 TWIERDZENIE PONCELETA-STEINERA W roku 1833, Szwajcarski matematyk Jakob Steiner udowodnił, że wszystkie klasyczne konstrukcje (za pomocą cyrkla i linijki)
Bardziej szczegółowoZbiór zadań z geometrii przestrzennej. Michał Kieza
Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Wydawca: Netina Sp. z o.o. ISN 978-83-7521-522-9 c 2015, Wszelkie Prawa Zastrzeżone Zabrania się modyfikowania
Bardziej szczegółowoLXI Olimpiada Matematyczna
1 Zadanie 1. LXI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 21 kwietnia 2010 r. (pierwszy dzień zawodów) Dana jest liczba całkowita n > 1 i zbiór S {0,1,2,...,n 1}
Bardziej szczegółowoV Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a
Bardziej szczegółowoLVIII Olimpiada Matematyczna
LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. W trójkącie ostrokątnym A punkt O jest środkiem okręgu opisanego,
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMJ
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMJ Poziom OM 2017 rok SZCZYRK 2017 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana
Bardziej szczegółowoV Międzyszkolny Konkurs Matematyczny
V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie
Bardziej szczegółowoZadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory
Bardziej szczegółowoOstrosłupy ( ) Zad. 4: Jedna z krawędzi ostrosłupa trójkątnego ma długość 2, a pozostałe 4. Znajdź objętość tego ostrosłupa. Odp.: V =
Ostrosłupy Zad 1: W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kwadrat długości krawędzi podstawy, kwadrat długości wysokości ostrosłupa i kwadrat długości krawędzi bocznej są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego
Bardziej szczegółowoRysunek 1. Udowodnij, że AB CD = BC DA. Rysunek 2. Po inwersji o środku w punkcie E. Rysunek 3. Po inwersji o środku w punkcie A
g H e D c H' E g' h e' O d A C' d' C A' F' f' I' G' B' G I F f INWERSJA Inwersją o środku O i promieniu r nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny (bez punktu O), które każdemu punktowi X O przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoVII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o
Bardziej szczegółowoElżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki
Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Zadanie Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego
Bardziej szczegółowoLXI Olimpiada Matematyczna
1 Zadanie 1. LXI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 19 lutego 2010 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych x, y, z układ równań x 2 (y
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2016 rok SZCZYRK 2016 Pierwsze zawody indywidualne Treści
Bardziej szczegółowoLVII Olimpiada Matematyczna
Zadanie 1. LVII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 5 kwietnia 2006 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d, e układ równań
Bardziej szczegółowoKolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów
Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej
Bardziej szczegółowoRegionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 3 (2-26.0.2009) Omówienie zadań I serii zawodów
Bardziej szczegółowoTemat: PRZEKROJE PROSTOPADŁOŚCIANÓW. Cel lekcji: kształcenie wyobraźni przestrzennej
Temat: PRZEKROJE PROSTOPADŁOŚCIANÓW Cel lekcji: kształcenie wyobraźni przestrzennej Przypomnienie podstawowych wiadomości potrzebnych do rozwiązywania zadań z przekrojami prostopadłościanów. 1. Prostopadłościan
Bardziej szczegółowoRegionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 0, grupa zaawansowana (7.03.010) krąg dziewięciu
Bardziej szczegółowoX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Kolokwium nr 3: 27.01.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Kolokwium nr 4: 3.02.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Ćwiczenia 13,15,20,22.01.2015 (wtorki, czwartki) 266.
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY PRZED MATURĄ MAJ 2015 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 22 strony ( zadania 1 19). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2015 rok SZCZYRK 2015 Treści zadań Pierwsze zawody indywidualne
Bardziej szczegółowoXII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.
Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ELEMENTARNA
Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowoXI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a
Bardziej szczegółowoKONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 11 Zadania planimetria
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60 o jest równa: A. 6 3 B. 6 C. 3 3 D. 3 2. (1p) W trójkącie równoramiennym długość ramienia wynosi 10 a podstawa 16. Wysokość opuszczona
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1
Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia
Bardziej szczegółowo1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH
R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie
Bardziej szczegółowoTrójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.
C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym
Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel
Bardziej szczegółowoPraca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015
Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej
Bardziej szczegółowoLXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów)
LXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów) 1. Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, w którym AB < AC. Dwusieczna kąta
Bardziej szczegółowo11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa VII Planimetria Teoria
Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria 1. Rodzaje kątów: a) Kąty wierzchołkowe; tworzą je dwie przecinające się proste, mają takie same miary. b) Kąty przyległe; mają wspólne jedno ramię, ich suma
Bardziej szczegółowoTO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,
Bardziej szczegółowoXIII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (8 września 017 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W każdym z trzech lat 018, 019 i 00 pensja pana Antoniego będzie o 5% większa
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
Bardziej szczegółowoVII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (29 września 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje taki graniastosłup, którego liczba krawędzi
Bardziej szczegółowoRównania prostych i krzywych; współrzędne punktu
Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej
Bardziej szczegółowoMetoda siatek zadania
Metoda siatek zadania 1. (Leningrad 1984) Wykazać, że jeżeli suma kątów płaskich przy wierzchołku S ostrosłupa SA 1 A 2... A n (n 3) jest większa niż 180, to każda z krawędzi bocznych jest mniejsza od
Bardziej szczegółowoLVIII Olimpiada Matematyczna
LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 23 lutego 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie. Wielomian P (x) ma współczynniki całkowite. Udowodnić, że jeżeli
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy III a,b liceum (poziom podstawowy) rok szkolny 2018/2019
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy III a,b liceum (poziom podstawowy) rok szkolny 2018/2019 Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające,
Bardziej szczegółowoPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 10 MARCA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 4 7 8 25 0, 5
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI
KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,,
Bardziej szczegółowoZadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. bc(b 3 + c 3 ) + c4 + a 4. ca(c 3 + a 3 ) 1. c + ca + cab 1 ( 1
Zadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. (57-II-3) Liczby dodatnie a, b, c spełniają warunek ab + bc + ca = abc. Dowieść, że a 4 + b 4 ab(a 3 + b 3 ) + b4 + c 4 bc(b 3 +
Bardziej szczegółowoZadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie Zadanie 1. Na bokach trójkąta równobocznego ABC tak wybrano punkty E, F oraz D, że AE = BF = CD = 1 AB (rysunek obok). a) Udowodnij, że trójkąt EFD jest
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowoPlanimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów
Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych, c) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje
Bardziej szczegółowoZadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10
Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10, ACE = 60, ADB = 40 i BEC = 20. Oblicz miarę kąta CAD. B C A D E Typ szkoły: LO LP T Czy jesteś w klasie z rozszerzonym
Bardziej szczegółowoUZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 22 sierpnia
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2003/2004
Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.
1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc 1, Ciągi zna definicję ciągu (ciągu liczbowego); potrafi wyznaczyć dowolny wyraz ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym;
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )
Bardziej szczegółowoMatematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy klasa 3. Zakres podstawowy
Plan wynikowy klasa 3 Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające. RACHUNE PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Bardziej szczegółowoFIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE
Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ 19 MARCA 2011 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Wskaż nierówność, która
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu.
Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz Teoria Definicja 1. Klasyfikacja czworokątów (wypukłych): Trapez jest czworokątem, w którym
Bardziej szczegółowoAgnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej.
Agnieszka amińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające;
Bardziej szczegółowoGeometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na
Bardziej szczegółowoAgnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Plan wynikowy. Zakres podstawowy
Agnieszka amińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Plan wynikowy Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność
Bardziej szczegółowoXV Olimpiada Matematyczna Juniorów
XV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (26 września 209 r.) Rozwiązania zadań testowych. odatnia liczba a jest mniejsza od. Wynika z tego, że a) a 2 > a; b) a > a; c)
Bardziej szczegółowoWielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1.
Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąt wypukły miara każdego kąt wewnętrznego jest mniejsza od 180 o. Liczba przekątnych: n*(n-2) Suma kątów wewnętrznych wielokąta
Bardziej szczegółowoAlgebra abstrakcyjna
Algebra abstrakcyjna Przykłady 1. Sama liczba 0 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe dodawanie, również liczba 1 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe mnożenie.. Liczby 1 i 1 stanowią grupą
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 1 KWIETNIA 017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Suma sześciu kolejnych
Bardziej szczegółowoXIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2018 r. 15 października 2018 r.)
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 0 r. października 0 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczbę naturalną n pomnożono przez, otrzymując
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 202/203 Seria VI (grudzień 202) rozwiązania zadań 26. Udowodnij, że istnieje 0 00 kolejnych liczb całkowitych dodatnich nie większych
Bardziej szczegółowoI. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza.
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza. dobrą, bardzo - oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych; - zna
Bardziej szczegółowoXIV Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (27 września 2018 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W sklepie U Bronka cena spodni była równa cenie sukienki. Cenę spodni najpierw
Bardziej szczegółowo