Regresja - zadania i przykłady.

Transkrypt

1 Regresja - zadania i przykłady. W5 e0 Zadanie 1. Poniżej zamieszczono fragmenty wydruków dotyczących dopasowania modelu regresji do zmiennej ozone w oparciu o promieniowanie (radiation), oraz w oparciu o promieniowanie i temperaturę (temperature). Zbiór zawiera 111 obserwacji. (a) Podaj przybliżoną liczbę wartości resztowych w pierwszym modelu większych od 0,5895. (b) Podaj procent zmienności dodatkowo wyjaśniony przez wprowadzenie zmiennej temperature do modelu ozone radiation. (c) Na podstawie wyniku przeprowadzonego testu stwierdź, czy wprowadzenie zmiennej temperature jest wskazane. Uzasadnij. (d) Oblicz brakującą wartość na wydruku (miejsce zaznaczone kropkami... ) i wytłumacz, jak otrzymano odpowiadającą p-wartość 0,0007. W5 e Model 1. Call: lm(formula = ozone ~ radiation, data = ozonedata) (Intercept) < 2e-16 radiation e-06 Residual standard error: on 109 degrees of freedom Multiple R-Squared: , F-statistic: on 1 and 109 DF, p-value: 3.964e Model 2. Call: lm(formula = ozone ~ temperature + radiation) Value Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) temperature radiation Residual standard error: on 108 degrees of freedom Multiple R-Squared: F-statistic: on 2 and 108 degrees of freedom, the p-value is 0 W5 e2

2 Zadanie 2. Zbiór cheese zawiera dane dotyczące smaku sera (zmienna Taste, miara subiektywna) oraz zmiennych Acetic logarytm zawartości kwasu octowego; H2S logarytm zawartości siarkowodoru; Lactic zawartość kwasu mlekowego. Rozpatrzono dwa modele regresji dla zmiennej objaśnianej Taste. W pierwszym zmienną objaśniającą jest jedynie zmienna Acetic, w drugim dodatkowo zmienne H2S i Lactic. Na podstawie załączonego wydruku odpowiedz na następujące pytania: (a) Wnioski dla zmiennej Acetic są inne w pierwszym i drugim modelu. Sprecyzuj na czym polega różnica i wytłumacz czym jest spowodowana. (b) Oblicz brakującą wartość dla zmiennej H2S w drugim modelu. (c) O ile wzrósł procent wyjaśnionej zmienności zmiennej Taste po dodaniu do pierwszego modelu zmiennych Lactic i H2S? Model 1: lm(formula = Taste ~ Acetic, data = cheese) (Intercept) Acetic Residual standard error: on 28 degrees of freedom Multiple R-Squared: 0.302, Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 28 DF, p-value: W5 e Model 2: lm(formula = Taste ~ Acetic + H2S + Lactic, data = cheese) (Intercept) Acetic H2S Lactic Residual standard error: on 26 degrees of freedom Multiple R-Squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 3 and 26 DF, p-value: 3.81e-06 W5e4

3 Zadanie 3. Poniżej zamieszczona jest część wydruku dotycząca dopasowania modelu regresji do danych dotyczących liczby gatunków żółwi (zmienna zależna Species) na 30 wyspach archipelagu Galapagos. Rozpatrzono następujące zmienne niezależne: Area - powierzchnia wyspy (km 2 ), Elevation- wysokość najwyższego punktu (m), Nearest - odległość do najbliższej wyspy (km), Scruz - odległość do wyspy Santa Cruz, Adjacent - powierzchnia najbliższej sąsiedniej wyspy. W5 e5 Species Endemics Area Elevation Nearest Scruz Adjacent Baltra Bartolome Caldwell Champion Coamano Daphne.Major Daphne.Minor Darwin Eden Enderby Espanola Fernandina Gardner Gardner Genovesa Isabela Marchena Onslow Pinta Pinzon Las.Plazas Rabida SanCristobal SanSalvador SantaCruz SantaFe SantaMaria Seymour Tortuga Wolf W5 e6 > summary(lm(species~area+elevation+nearest+scruz+adjacent)) Call: lm(formula = Species ~ Area + Elevation + Nearest + Scruz + Adjacent) (Intercept) Area Elevation e-06 Nearest Scruz Adjacent Residual standard error: on 24 degrees of freedom Multiple R-Squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: 15.7 on 5 and 24 DF, p-value: 6.838e-007 (a) (1p.) Podaj procent zmienności liczby gatunków niewyjaśnionej przez zaproponowany model. (b) (2p.) Sformułuj hipotezę zerową i alternatywną, której odpowiada liczba Jaką decyzję podejmiesz w tym przypadku? W5 e7

4 (c) (3p.) Sformułuj hipotezę zerową i alternatywną, której odpowiada liczba w prostszym modelu poniżej. Jaką decyzję podejmiesz w tym przypadku? Porównaj z (b) i skomentuj ewentualne różnice. > summary(lm(species~area)) Call: lm(formula = Species ~ Area) (Intercept) ** Area *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 28 degrees of freedom Multiple R-Squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 28 DF, p-value: (a) 1-76,6% = 23,4 %. (b) Rozwiązanie zadania H 0 : β A =0, H 1 : β A 0, gdzie β A oznacza współczynnik regresyjny odpowiadający zmiennej Area oznacza prawdopodobieństwo otrzymania wartości statystyki t większej co do wartości bezwzględnej od wartości 1,068 przy spełnionym H 0. Nie odrzucamy H 0. (c) H 0 : β 1 =0, H 1 : β oznacza prawdopodobieństwo P ( t 4,158 przy prawdziwymh 0 ). H 0 odrzucamy. Różnica między b) i c) spowodowana jest występowaniem dodatkowych zmiennych w większym modelu, które lepiej niż Area tłumaczą zmienność liczby gatunków żółwi. W5 e8

5 Zadanie 4. Na podstawie danych fish dotyczących 159 ryb złowionych w jeziorze Laengelmavesi koło Tampere starano się znaleźć zależność między ich wagą (Weight) a wysokością (Height), szerokością (Width) i długościami L1, L2, L3 (patrz rys. 2). W pierwszym modelu uwzględniono wszystkie zmienne niezależne, w drugim usunięto zmienną Height. Przyjęto α =0,05. (a) (1 p.) Które ze zmiennych w pierwszym modelu są istotne? Uzasadnij, sformułuj odpowiednie hipotezy zerowe dla zmiennych istotnych. (b)(2p.) CzyzmiennaL3 jest istotna w obu modelach? Dlaczego tak się dzieje? (c) (1 p.) Co oznacza liczba 0,9907 dla trzeciego modelu i jakiej zmiennej dotyczy? (d) (2 p.) Na podstawie załączonych rysunków oceń dopasowanie modelu pierwszego i trzeciego. lm(formula = Weight ~ L1 + L2 + L3 + Height + Width, data = fish) (Intercept) < 2e-16 L L L Height Width Residual standard error: on 142 degrees of freedom Multiple R-Squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: 232 on 5 and 142 DF, p-value: < 2.2e-16 lm(formula = Weight ~ L1 + L2 + L3 + Width, data = fish) ///// / \ /\ \_ / / Height (Intercept) < 2e-16 < ) ) \ L \/_\\ / \ \ _ L L L Width e L L Residual standard error: on 143 degrees of freedom Multiple R-Squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 4 and 143 DF, p-value: < 2.2e-16 W5 e9 W5 e10 > fish3.lm <- lm(weight^0.3 ~ L1 + L2 + L3 + Height + Width, data=fish) > print(summary(fish3.lm)) lm(formula = Weight^0.3 ~ L1 + L2 + L3 + Height + Width, data = fish) (Intercept) < 2e-16 L L L Height e-15 Width < 2e-16 Residual standard error: on 142 degrees of freedom Multiple R-Squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: 3022 on 5 and 142 DF, p-value: < 2.2e-16 W5 e11