f(a) F (b)=f(b)º f(x)dx, (sinx) =cosx

Transkrypt

1 ½ Ò ÓÞÒ ÞÓÒ ÓÛ Ò Ó ÓÔ Ö ÔÖ ¹ Û µ Ó ÛÖÓØÒ Ó Ö Ò Þ ÓÛ Ò ½º½ ÈÓ Ø ÛÓÛ Ò º ÙÒ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ ÙÒ f Ó Ö ÐÓÒ Û ÔÖÞ Þ Ð ÓØÛ ÖØÝÑ P Ó ÞÓÒÝÑ ÐÙ Ò Ó ÞÓÒÝÑµ Ð F (x)=f(x) Ð Óx Pº ÈÖÞÝ Ýº ÙÒ sinx Ø ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ ÙÒ cosx Ó(sinx) =cosxº Ê Û¹ Ò ÙÒ sinx+c Þ C Ø ÓÛÓÐÒ Ø Ø ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ ÙÒ cosxº ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ Ð e x Ø Ø Ñ ÙÒ e x º Â Ð ÙÒ f Ø Ó Ö ÐÓÒ Û ÔÖÞ Þ Ð ÓÑ Ò ØÝÑa x b ØÓ ÙÒ F Ò ÞÝÛ ÑÝ ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ Ð F (x)=f(x) Ð a<x<bóö Þ Þ Ó Þ F + (a)= f(a) F (b)=f(b)º ÌÛº Â Ð Û ÙÒ F G ÙÒ Ñ Ô ÖÛÓØÒÝÑ ÙÒ f Û ÔÖÞ Þ Ð P ÓØÛ ÖØÝÑ ÐÙ ÓÑ Ò ØÝÑµ ØÓ Ø Û ÙÒ Ö Ò Ñ ÞÝ Ó Ó Ø º ÓÛº ÈÓÒ Û Þ Ó Þ F (x)=g (x) ØÓ Ò ÑÓÝ ØÛ Ö Þ Ò Ø Ö Ý Ó ÔÖÞÝ ÔÓ Ó ÒÝ ÛÒ Ó Þ ÛÞº Ä Ö Ò ³ Ó Û ÖØº Ö Ò µ ÙÒ Ø Ö Ò Ó Ø F(x)=G(x)+Cº Á Ó ÛÖÓØÒ ÙÒ Ø Ö ÔÓÛ Ø ÔÖÞ Þ Ó Ò Ø Ó ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ ÙÒ f Ø Ø ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ ÙÒ fº Ì Û ÛÝÖ Ò F(x)+C Ø Ó ÐÒ ÔÓ Ø ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ ÙÒ fº ÌÓ Ó Ø ØÒ ÛÝÖ Ò ÓÞÒ Þ ÑÝ ÝÑ ÓÐ Ñ f(x), Ç ÞÝØ ÑÝ f(x) ÔÓ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ò ÓÞÒ ÞÓÒ ÙÒ fº Å ÑÝ Û f(x)=f(x)+c, Þ F (x)=f(x), ½µ d f(x)=f(x), ¾µ df(x) =F(x)+c. µ Ò ÓÛ Ò Ò ÓÞÒ ÞÓÒ Ò ÙÒ f ÐÙ ÒÒÝÑ ÓÛÝ ÞÒ ÓÛ Ò ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ ÙÒ f Ò ÞÝÛ ÑÝ ÓÛ Ò Ñ ÙÒ fº ÓÛ Ò Ø Û ÔÖÓ Ñ ÔÖ Û µ Ó ÛÖÓØÒÝÑ ½ Ó Ö Ò Þ ÓÛ Ò º ½º¾ ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ ÙÒ Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Â ÛÝÒ Þ Ñ Ò Ò ÓÞÒ ÞÓÒ Ý ÛÞ Ö Ò ÔÓ Ó Ò ÙÒ ÙØÓÑ ØÝÞÒ ÛÞ Ö Ò ÙÒ ÓØÖÞÝÑ Ò ÔÓ ÞÖ Ò Þ ÓÛ Ò Ùº Å ÑÝ ÒÔº ÛÞÓÖÙ (sinx) =cosx ½ Ð Þ Ó ÔÖ Û ÇØ Ð Û õñ ÑÝ ÙÒ f Ù ÑÝ Ò ØÔÒ ÞÖ Ò Þ Ù ÑÝ ØÓ ÓØÖÞÝÑ ÑÝ Ø Ñ ÙÒ fº Æ ØÓÑ Ø Ð Ò Ô ÖÛ ÙÒ f ÞÖ Ò Þ Ù ÑÝ ÔÓØ Ñ Ù ÑÝ ØÓ ÓØÖÞÝÑ ÑÝ ÙÒ f ÔÐÙ ÓÛÓÐÒ Ø Û Ó Ö ÞÓ ÔÓ Ó Ò Ó Ð Ò Ò ØÓ ÑÓº ½

2 ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ cosx=sinx+c. ÞÒ ÒÝ ÛÞÓÖ Û Ò ÔÓ Ó Ò ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ò ØÔÙ ÛÞÓÖÝ Ò ÙÒ Ô ÖÛÓØ¹ Ò 0=C, µ a=ax+c, x n = 1 n+1 xn+1 +C, n N, µ cosx=sinx+c, µ sinx= cosx+c, 1 cos 2 x =tgx+c; 1 sin 2 x = ctgx+c, e x =e x +C µ µ µ ½¼µ ½½µ x =ln x +C, 1 x 2 =arcsinx+c, ½¾µ ½ µ 1+x2=arctgx+C, ½ µ x a = 1 a+1 xa+1 +C, a R, a 1 ½ µ ½º Ç ÐÒ ÛÞÓÖÝ Ò ÓÛ Ò ÑÝ ÙÒ f g º Ó Þ Û ÛÞ Ò ØÔÙ ÛÞÓÖÝº ÌÛº (f(x)+g(x))= f(x)+ g(x). ÓÛº Å ÑÝ ÓÛ Ñ ( d f(x)+ ) g(x) =f(x)+g(x). ÌÛº af(x)=a f(x), Þ a Ø. Ç ÓÛº ( d a ) f(x) =a d f(x)=af(x). ¾

3 ÌÛº ÏÞ Ö Ò ÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Þ µ Ð f,g Ø f,g Þ Ó Þ f(x)g (x)=f(x)g(x) f (x)g(x) ÓÛº Ö Þ Þ Ù ÑÝ Ó ØÖÓÒÝ ÔÓÛÝ Þ Ö ÛÒÓ º Å ÑÝ f(x)g (x)=f (x)g(x)+f(x)g (x) f (x)g(x). Ç ÈÖÞÝ º xe x = x(e x ) =xe x x e x =xe x e x =xe x e x. ÈÖÞÝ º lnx= x lnx=xlnx x (lnx) =xlnx x x 1 x =xlnx x+c. ÌÛº ÛÞ Ö Ò ÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÔÓ Ø Û Ò ÐÙ Ò Þ Ñ Ò ÞÑ ÒÒÝ Û µ g(f(x)) df(x) = g(y)dy y=f(x) ÍÛ º ÃÖ Ø Ò ÛÞ Ö ÑÓ ÑÝ Þ Ô ÓÞÒ Þ y=f(x) z=g(y)º ÏØ Ý Ñ ÑÝ z dy = ÓÛº ÓÛ ÓÔ Ö Ò Ó ÛÖ Ò Ù ÛÞÓÖÙ Ò Ö Ò Þ ÓÛ Ò ÙÒ Þ Ó ÓÒ º ÇÞÒ Þ¹ ÑÝG(y)= g(y)dyº Å ÑÝ zdy. [G(f(x))] =G (f(x)) f (x)=g(f(x)) f (x); ÓÖ Ø Ö Þ ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ Ó Ó Ù ØÖÓÒ Ñ ÑÝ g(f(x)) f (x)= [G(f(x))] =G(f(x))=G(y) y=f(x) = g(y)dy y=f(x) Ç ÈÖÞÝ º g(ax)= 1 a g(y)dy, Þ y=ax. ÈÖÞÝ º f(x+a)= f(y)dy, Þ y=x+a. ÈÖÞÝ º Ç Ð ÞÑÝ x 1+x 2. ÖÓ ÑÝ ØÓ Þ ÔÓÑÓ ÔÓ Ø Û Ò y=x 2 º Å ÑÝ x,x= 1 1+x dy =1 2= y=x2 2 2 dy 1+y =1 2 ln(1+y)=1 2 ln(1+x2 ).

4 ÈÖÞÝ º Ï Ò ØÔÙ ÔÓ Ø Û ÑÝx=sint Þ t [ π 2,π] 2 1 x2 = x=sint,=costdt = cos 2 tdt; Ø Ð ÞÝÑÝ Ù ÔÖÞ Þ Þ cos 2 tdt= (sint) costdt=sintcost sint(cost) dt=sintcost+ sin 2 tdt Ñ ÑÝ 1 x2 = =sintcost+ dt cos 2 tdt, cos 2 tdt= 1 2 (sintcost+t)=1 2 (x 1 x 2 +arcsinx). ÍÛ º ÈÓÔÖ ÛÒÓ ÓÛ Ò ÑÓ ÑÝ ÔÖ Û Þ Ö Ò Þ Ù ÛÝÒ ÔÓ ÞÖÓ Ò Ù Ø Ó ÔÓÛ ÒÒ ÑÝ ÓØÖÞÝÑ ÙÒ ÔÓ ÓÛ º ÍÛ º ÙÒ Ð Ñ ÒØ ÖÒ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒ ÛÝ¹ Ò Þ ÐÙ Ò Þ Ó ÛÖÓØÒÓ ØÝ º ÊÓÞÔ ØÖÞÑÝ Ø Ö Þ Þ Ö ÙÒ ÔÓÛ Ø Ý Þ Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÔÖÞ Þ Ö Ò ÙÑÝ ÐÓÞÝÒÙ ÐÓÖ ÞÙ Þ Ó Ò Ð Ó ÓÑ Ò ØÝ º ÈÓ Ó Ò Þ ØÝ ÙÒ ÑÓ Ò ÞÒ Ð õ ÔÓ Ù Ù ÛÞÓÖ Ñ Ò ÔÓ Ó Ò Ù¹ ÑÝ ÐÓÞÝÒÙ ÐÓÖ ÞÙ õ Þ Ó Ò ÙÒ º Ñ Ø Ò Þ Ý ÑÙ ÑÝ ÞÒ Ð õ ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ ÙÒ Þ ÔÓÛÝ Þ Ð Ý ØÓ Ø ÔÓ Ó Ò ÑÓ Ù Ò ÛÝ¹ Ö Þ ÔÖÞ Þ ÙÒ Ð Ñ ÒØ ÖÒ º Ì Ø ÒÔº Þ Ñ e x2 ÞÝ 1+k2 sin 2 x k 2 1º ÈÓ Ö ÐÑÝ Ó Ø ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ ØÒ Þ Ó Ò Þ ÔÓÛÝ ÞÝÑ ØÛ Ö Þ Ò Ñ ÙÒ ÔÓ ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ º ÈÓÛÝ Þ ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ ØÒ ØÝÐ Ò ÛÝÖ ÔÖÞ Þ ÙÒ Ð Ñ ÒØ ÖÒ È ÖÛ Þ ØÓ ØÞÛº ÙÒ Ù ÖÙ ØÓ Ð ÔØÝÞÒ º Ì Û Ò Ð ÙÒ ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ ÛÝÖ Þ ÔÖÞ Þ ÙÒ Ð Ñ Ò¹ Ø ÖÒ º Ï ÔÓÞÓ Ø Þ Ø Ó ÖÓÞ Þ Ù Þ ÑÝ ÖÓÞÛ Ø Ð Ý ÙÒ Ð Ø ÖÝ ØÓ ÞÖÓ º ½º Ê ÙÖ ÒÝ Ò Ñ ØÓ Ý Ó Ð Þ Ò ÑÝ Ñ ÑÝ ÙÒ {f n }(x) ÑÝ Ó Ð ÞÝ I n = f n (x) Å ØÓ Ö ÙÖ ÒÝ Ò ÔÓÐ Ò Ó Ð Þ Ò Ù Ð n=1 ÐÙ n=0µ Ò ÙÑ ØÒÓ ÔÖÓÛ Þ Ò Ð Þ Ò n Ø Ó Ó ÒÙÑ ÖÞ n 1 ÐÙ ÛÞ Ò Þ µº ÌÓ Ý Ó ÐÒÝ Ø Ó ÐÒÝ Ó ÐÒ ÓÛÝµ ÔÖÞ Ô ÔÖÞÝ ÖÞÝ ÑÝ ØÓ ÔÖÞ Ò ÔÖ ØÝ º ÈÖÞÝ º Ç Ð ÞÝ I n = e x x n. Ï ÛÞÓÖÞ Ò I n ÛÝ ÓÒ ÑÝ ÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Þ Û Ò ØÔÙ Ý ÔÓ I n = e x x n = ( )(e x ) x n = e x x n ( ) e x nx n 1 = e x x n +ni n 1 ; Ý Ò Ð ÞÓÛ Ð Þ Ò ÔÓØÖÞ Ù ÑÝ ÞÞ ÛÝÖ Ò Ò I 0 I 0 = e x = e x.

5 Ç Ø Ø ÞÒ Û I n = e x x n +ni n 1 = e x x n ne x x n 1 n(n 1)I n 2 =... ( ) = e x [x n +nx n 1 +n(n 1)x n 2 + +n!x]+i 0 = n!e x 1+x+ x2 2! + +xn +C. n! ÈÖÞÝ º Ï õñý Ø Ö Þ Å ÑÝ Ì Ö Þ ÔÓÐ ÞÑÝ I n = x x (1+x 2 ) n= (1+x 2 ) n I n = I 1 = (1+x 2 ) n. 1+x 2=arctgx. ( ) 1 x = (1+x 2 ) n x (1+x 2 ) n ( n) 2x x (1+x 2 ) n+1 Ñ ÑÝ = x (1+x 2 ) n+2n x (1+x 2 ) n+1= x (1+x 2 ) n+2ni n 2nI n+1, I n+1 = 2n 1 2n I n+ 1 2n x (1+x 2 ) n. ½ µ ½º Þ ÙÒ ÛÝÑ ÖÒÝ Æ ÞÝÛ ÑÝ Û Ø Ò ÔÓ Þ ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ø ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ f(x)= P(x) Q(x) Þ P(x),Q(x) Û ÐÓÑ ÒÝº Ä Þ Ò ÛÝ ÓÒÙ ÑÝ Û Ð Ù ÖÓ º Þ ÑÝ Þ ØÓÔ Ð ÞÒ Ø Ò ÞÝ Ó ØÓÔÒ Ñ ÒÓÛÒ º Ý Ý Ø Ò Ý Ó ØÓ Áº ÛÝ ÓÒÙ ÑÝ Þ Ð Ò Û ÐÓÑ Ò Û Þ Ö ÞØ µ ÑÓ ÑÝ Þ Ô P(x)=w(x) Q(x)+r(x), Þ w(x) ÛÝÒ Þ Ð Ò r(x) Ö ÞØ ÔÖÞÝ ÞÝÑdegr<degQº Å ÑÝ Û Ø Ò ÔÓ P(x) Q(x) =w(x)+r(x) Q(x), Þ w(x) Ø Û ÐÓÑ Ò Ñ Ø ÖÝ ÙÑ ÑÝ ÓÛ Þ Û r(x) ØÓÔ Ð ÞÒ Q(x) Ø ÑÒ ÞÝ Ó ØÓÔÒ Ñ ÒÓÛÒ Ø Ð ÔÓØÖÞ º

6 ÁÁº ÊÓÞ ÑÝ Ñ ÒÓÛÒ Ò ÞÝÒÒ º Æ Ù Ó ÔÓÞÒ ÑÝ ØÛ Ö Þ Ò Þ Ð ÖÝ Ø Ö Ñ Û ÌÛº ÓÛÓÐÒÝ Û ÐÓÑ Ò Ó Û Ô ÞÝÒÒ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ ÖÓÞ Ò ÞÝÒÒ ØÓÔÒ Ó Ò ÛÝ ÖÙ Ó ØÞÒº ÔÓ Ø x a ÞÝÒÒ Ð Ò ÓÛ µ ÓÖ Þx 2 +bx+c Û Ö ØÓÛ µ Ð Ø ÖÝ <0º ÍÛ º Ä Þ aþþýòò Ð Ò ÓÛ Ó Ø Ô ÖÛ Ø Ñ Û ÐÓÑ ÒÙ Þ ØÛº ÞÓÙØ Ñ ÑÝ Ð a Ø Ô ÖÛ Ø Ñ Û ÐÓÑ ÒÙQ(x) ØÓ Û ÐÓÑ ÒQ(x) Þ Ð ÔÖÞ Þx a Þ Ö ÞØÝ ØÞÒº ÑÓ Ò Þ Ô Q(x)= Q(x)(x a) Þ Q(x) Ø Û ÐÓÑ Ò Ñ ØÓÔÒ Ó ½ Ò Þ Ó Ò Q(x)º ÇÖ Þ Ó Ò Â Ð a Øk ÖÓØÒÝÑ Ô ÖÛ Ø Ñ Û ÐÓÑ ÒÙQ(x) ØÓ Û ÐÓÑ ÒQ(x) Þ Ð ÔÖÞ Þ(x a) k Þ Ö ÞØÝ ØÞÒº ÑÓ Ò Þ Ô Q(x)= Q(x)(x a) k Þ Q(x) Ø Û ÐÓÑ Ò Ñ ØÓÔÒ Ók Ò Þ Ó Ò Q(x)º Ð ØÖ Ñ Ò Û Û Ö ØÓÛÝ Ò ÖÓÞ ÐÒÝ Ø ÔÓ Ó Ò Ð Þ Ò Û Ø Ñ Ø ÛÝÑ ÞÒ ÓÑÓ Ð Þ Þ ÔÓÐÓÒÝ Û Ó ÑÝ ØÓ Ó Þ Ù Ý Þ Ò Ñ Þ ÞÒ ÓÑ ÑÝº ÁÁÁº ÌÖÞ Ñ ÖÓ Ñ Ø ÖÓÞ Ò Ù Ñ ÔÖÓ Ø º º Í Ñ Ñ ÔÖÓ ØÝÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÛÝÖ Ò ÔÓ Ø Þ A,a;C,D,α,β Rº A (x a) k ÐÙ Cx+D ((x α) 2 +β 2 ) m, ÍÛ Ï Ñ ÒÓÛÒ Ù Ó Ø ØÒ Ó ÛÝÖ Ò ÛÝ ØÔÙ ÔÓ Ø ÒÓÒ ÞÒ ØÖ Ñ Ò Û Ö ØÓÛ Ó Ø ÖÝ Ò Ñ Ô ÖÛ Ø Û ÖÞ ÞÝÛ ØÝ º Á Ø Ö Þ ÁÎº ÌÛº ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ P(x)/Q(x) Ø ÙÑ Ù Ñ Û ÔÖÓ ØÝ Ø ÖÝ Ñ ÒÓÛ¹ Ò ÞÝÒÒ Ñ Û ÐÓÑ ÒÙQ(x)º ÌÛº Ó ÖÓÞ Þ Ò Ù Ñ ÔÖÓ Ø µ Ã ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ P(x) Q(x) Þ degp< degq Þ Ô Ó ÙÑ Ù Ñ Û ÔÖÓ ØÝ Ø ÖÝ Ñ ÒÓÛÒ ÞÝÒÒ Ñ Û ÐÓÑ ÒÙQ(x)º Ó Ò Â Ð Û ÖÓÞ Þ Q(x) Ò ÞÝÒÒ ÔÓ Û ÛÝÖ Ò (x a) k ØÓ Û Ö Ù Ñ Û ÔÖÓ ØÝ ÞÒ Ù ÛÝÖ ÞÝ A 1 x a, A 2 (x a) 2,..., A m (x a) k; Ð Þ Û ÖÓÞ Þ Q(x) Ò ÞÝÒÒ ÔÓ Û ((x α) 2 +β 2 ) m ØÓ Û Ö Ù Ñ Û ÔÖÓ ØÝ ÞÒ ÛÝÖ ÞÝ C 1 x+d 1 (x α) 2 +β 2, C 2 x+d 2 ((x α) 2 +β 2 ) 2,... C m x+d m ((x α) 2 +β 2 ) m. ÏÝÞÒ Þ Ò ÓÒ Ö ØÒÝ Û ÖØÓ Û Ô ÞÝÒÒ Û ØÓ Ý ÔÖÞÝ Ù Ñ ÔÖÓ ØÝ Ó ÝÛ ÔÖÞ Þ ÔÓÖ ÛÒ Ò Ó Ù ÔÓ Ø ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ ÈÓ Ø ÛÝ ÓÛ f(x)= ÓÖ Þ ÓØÖÞÝÑ Ò Þ ÖÓÞ Ù Ò Ù Ñ ÔÖÓ Ø º¾ P(x) Q(x) ¾ Ý Û ÞÝ Ø Ù Ñ ÔÖÓ Ø Ó ÛÖÓØÒÓ Ñ Û ÐÓÑ Ò Û Ô ÖÛ Þ Ó ØÓÔÒ ØÓ Û Ô ÞÝÒÒ ÑÓ Ò ÛÝÞÒ ÞÝ ÞÒ ÞÒ ÔÖÓ º

7 Â ØÓ Þ ÞÓ ÞÑÝ Ò ÔÖÞÝ º ÈÖÞÝ º ÊÓÞ ÑÝ Ò Ù Ñ ÔÖÓ Ø ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ f(x)= x 1 (x 2) 2 (x 3) Ó Ò Þ ÔÓÛÝ ÞÝÑ ØÛ Ö Þ Ò Ñ ÖÓÞ Ò Ù Ñ ÔÖÓ Ø Þ Ñ ÔÓ Ø x 1 (x 2) 2 (x 3) = A x 2 + B C (x 2) 2+ x 3. Ï Ô ÞÝÒÒ A,B,C ÛÝÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÓÛ Þ ÔÖ Û ØÖÓÒ Ó Û Ô ÐÒ Ó Ñ ÒÓÛÒ º Å ÑÝ Ó Ö ÛÒ Ò ÊÓÞÛ Þ Ò Ø Ó Ù Ù Ö ÛÒ x 1 (x 2) 2 (x 3) =A(x 2)(x 3)+B(x 3)+C(x 2)2 (x 2) 2 (x 3) = (B+C)x2 +(5A+B 4C)x+6A 3B+4C (x 2) 2, (x 3) A+C=0; 5A+B 4C=1; 6A 3B+4C= 1. A= 2, B= 1, C=2. ÈÖÞÝ º Ï õñý Ø Ö Þ f(x)= 2x2 +2x+13 (x 2)(x 2 +1) 2 º ÊÓÞ Ò Ù Ñ ÔÖÓ Ø Ñ ÔÓ Ø f(x)= 2x2 +2x+13 A (x 2)(x 2 +1) 2= x 2 +Bx+C x Dx+E (x 2 +1) 2. ½ µ Ï Ô ÞÝÒÒ A,B,C,D,E ÛÝÞÒ Þ ÑÝ Þ ÔÓÖ ÛÒ Ò Ó Ù ØÖÓÒ ÔÓ ÔÖÓÛ Þ Ò Ù ÔÖ Û Ó Û Ô ÐÒ Ó Ñ ÒÓÛÒ Ó 2x 2 +2x+13=A(x 2 +1) 2 +(Bx+C)(x 2)(x 2 +1)+(Dx+E)(x 2) ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ù Ö ÛÒ Ò Û Ô ÞÝÒÒ Û Ôº ÔÖÞÝ Û Ôº ÔÖÞÝ Û Ôº ÔÖÞÝ ÊÓÞÛ ÞÙ Ø Ò Ù Ö ÛÒ Ó Ø ÑÝ Ó ÖÓÞ Ò Ù Ñ ÔÖÓ Ø Û Ôº ÔÖÞÝ Û Ôº ÔÖÞÝ x 4 : A+B=0 x 3 : 2B+C=0 x 2 : 2A+B 2C+D=2 x 1 : 2B+C 2D+E=2 x 0 : A 2C 2E=13. A=1,B= 1,C= 2,D= 3,E= 4 ½ µ f(x)= 2x2 +2x+13 1 (x 2)(x 2 +1) 2= x 2 x+2 x x+4 (x 2 +1) 2. ½ µ ÌÛ Ö Þ Ò Ó ÖÓÞ Þ Ò Ù Ñ ÔÖÓ Ø ÔÖÓÛ Þ ÓÛ Ò ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ Ó ÓÛ Ò Ù Ñ Û ÔÖÓ ØÝ º Ó ÞÝÑÝ Þ Ö Þ Ó Ð Þ ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ Þ Ø Ù Ñ Û ÔÖÓ ØÝ º ½º ÞÒ ÑÝ Ó Ù Ñ Û ÔÖÓ ØÝ ÔÓ Ø A (x a) k º ÈÓ Ø Û y=x a Ñ ÑÝ A dy (x a) k=a y k= { Aln(x a) Ð k=1, k>1. A 1 1 k Ð (x a) k 1

8 ¾º Ý Ñ ÑÝ Ù Ñ ÔÖÓ ØÝ Cx+D ((x α) 2 +β 2 ) m ØÓ Ò ÓÞÒ ÞÓÒ Þ Ø Ó ÛÝÖ Ò ÔÖÓÛ Þ Ó Ó Ð Þ Ò Û ((x α) 2 +β 2 ) m ÓÖ Þ (x α) ((x α) 2 +β 2 ) m. ¾º½º ÈÖÞÝ Ô ÖÛ Þ ÔÓ Ø Û ÑÝy=x α ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ dy (y 2 +β 2 ) m Û Ø Ö Þ ÓÐ ÔÓ Ø Û ÑÝy=βz ÔÓ ØÝÑ ÔÓ Ø Û Ò Ù Ó Ø ÑÝ dz (z 2 +1) m º Ð m=1 ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ Øarctgz Þ Ð m>1ûýôöóû ¹ Þ Ð ÑÝ Ù Ò Ø ÛÞ Ö Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ ½ µº ¾º¾º ÈÖÞÝ ÖÙ Ó ØÝÔÙ ÔÓ Ø Û ÑÝ y=(x α) 2 º Å ÑÝ dy=2(x α) ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ (x α) ((x α) 2 +β 2 ) m=1 2 dy (y+β 2 ) m= { 1 2 ln((x α)2 +β 2 ) Ð m=1, 2(k 1) 1 1 Ð k>1. ((x α) 2 +β 2 ) k 1 ÌÝÑ ØÓ ÔÓ Ó Ñ Þ Û Þ ÑÓ ÑÝ Ó Ð ÞÝ Þ ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ º ÇÞÝÛ Ð ÞÒ ÑÝ Ô ÖÛ Ø Ñ ÒÓÛÒ Q(x)µº Ç Ð ÞÑÝ Ø Ö Þ Ð Ò ÔÖÞÝ Ù Þ º ÛÝÑ ÖÒÝ ½ µ ½ µº ÈÖÞÝ º ½ µ ÈÖÞÝ º ½ µ = x 1 (x 2) 2 (x 3) = x 2 2 (x 2) 2+2 = ln x 2 +ln x x 2 +C. 2x 2 +2x+13 (x 2)(x 2 +1) 2= x 2 x x (x+2) x 2 x 2 +1 x =ln x ln(x2 +1) 2arctgx+ 3 2 x (x 2 +1) 2 4 x 3 (3x+4) (x 2 +1) 2 (x 2 +1) 2 1 x (x 2 +1) 2. Ç Ø ØÒ Ð ÞÝÑÝ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÛÞ Ö Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ ½ µ Ð n=2 Ñ ÑÝ x I 2 = (1+x 2 ) 2=1 2 1+x I 1= 1 x 2 1+x arctgx. Ç Ø Ø ÞÒ 2x 2 +2x+13 (x 2)(x 2 +1) 2=12 3 4x x ln(x 2)2 x arctgx+C. ÍÛ º Ò Ð ÞÙ Ñ ØÓ ÓÛ Ò ÙÒ ÛÝÑ ÖÒÝ Û Þ ÑÝ Þ ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ Ø ÔÓ Ø R(x)+AlnU(x)+BarctgV(x), Þ A,B Ø Þ R(x),U(x),V(x) ÙÒ Ñ ÛÝÑ ÖÒÝÑ º

9 ½º Þ ÙÒ ÛÝÑ ÖÒÝ Ó ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒÝ Æ R(u,v) ÓÞÒ Þ ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒ Û ÞÑ ÒÒÝ u,vº ÊÓÞÛ ÑÝ R(sinx,cosx). Ç ÞÙ Ø Ó ØÝÔÙ ÑÓ Ò ÔÖÓÛ Þ Ó Þ ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ ÔÓÔÖÞ Þ ÔÓ Ø Û Ò ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒ º ÈÓ Ø Û Ò Ñ Ø Ö Þ Þ Û Þ Þ ÓÐÛ Þ ØÓ Ò Ø ÔÓ Ó Ñ ÓÔØÝÑ ÐÒÝÑ Þ ÛÞ Ð Ù Ò ÐÓ Ö ÙÒ Ûµ Ø ÔÓ Ø Û Ò ÙÒ Û Ö ÐÒ t=tg x º ÅÙ ÑÝ ÛÝÖ Þ 2 sinx,cosx, ÔÖÞ Þtº Å ÑÝ Å ÑÝ Ð ÈÓÒ ØÓ Ó sin 2x 2 +cos2x 2 =1, tg2x 2 +1= 1 cos 2 x ÏÖ Þ Þ Ö ÛÒÓ x=2arctgt Ñ ÑÝ cosx=2cos 2x 2 1= 2 1+t 2 1=1 t2 1+t 2. sin 2x 2 =1 cos2x 2 = t2 1+t 2, sinx=2sin x 2 cosx 2 = 2t 1+t 2. 2, Ó cos 2x 2 = 1 1+t 2 dt = 2 1+t 2. Ç Ø Ø ÞÒ Ñ ÑÝ Û ÞÝ Ø Ó Ó Ø ÔÓØÖÞ Ò Ó ÔÓ Ø Û Ò ÈÖÞÝ º I= sinx= 2t 2 cosx=1 t2 1+t2, 1+t2, = 1+t 2dt. 1+t 2 sinx = 2 dt 2t 1+t 2dt= t =ln t =ln tg x 2 ÍÛ º ÈÓÛÝ Þ ÔÓ Ø Û Ò ÙÒ Û Ö ÐÒ Þ Þ Û Þ º ÈÖÓÛ Þ Ò Þ ØÓ Ó ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ Ó Ù Ý ØÓÔÒ Ð ÞÒ Ñ ÒÓÛÒ º Ø Ó ÛÞ Ð Ù Ò Ð Ý ØÓ ÓÛ ØÝÐ Ó Û Ó Ø Ø ÞÒÓ Ð ÒÒ ÔÓ Ø Û Ò ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒ Ò Þ Þ ØÓ ÓÛ º Ì ÒÒ ÔÓ Ø Û Ò ØÓ t=sinx, t=cosx t=tgx. Á ØÒ ÔÖÞ Ô Ý Ý Ø ÔÓ Ø Û Ò ØÓ ÓÛ º Æ Þ ÑÝ ØÙ ÛÝÔ ÝÛ Þ ¹ ÒØ Ö ÓÛ ÒÝ ÞÝØ ÐÒ ÞÒ Þ ÒÔº Û Ø Ò ÓÐÞ Øº ÁÁµº ½º Þ ÛÝÖ ØÝÔÙR(x, n αx+β γx+δ ) ÊÓÞÔ ØÖÞÑÝ Ø Ö Þ ÔÓ Ø. R(x, n αx+β γx+δ ),

10 Þ ÑÝ ØÙ αx+β γx+δ const Ó Ò Þ ÔÖÓ Ð Ñ Ý Ý ØÖÝÛ ÐÒÝµ Þ R(u,v) Ø ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ ÛÓ Ö ÙÑ ÒØ Ûº Ç ÞÙ Ø ÑÓ Ò ÔÖÓÛ Þ Ó Þ ÙÒ ÛÝÑ ÖÒÝ º Ê Ð ÞÙ ØÓ Þ ÔÓÑÓ Ò ØÔÙ Ó ÔÓ Ø Û Ò t= n αx+β γx+δ. ØÞÒº tn = αx+β γx+δ, Ó ÞÒ ÞÝ xûýö ÛÝÑ ÖÒ ÔÖÞ Þt ÛØ Ò ÔÓ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Û ÞÑ ÒÒ t Þ ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ Ø Ö Ð ÞÝÑÝ ÞÒ ÒÝÑ Ò Ñ Ù Ñ ØÓ Ñ º ÃÓÒ Ö ØÒ Ñ ÑÝ ØÙØ x= β δtn γt n α, =n(αδ βγ) t n 1 (γt n α) 2dt ÈÖÞÝ º I= 3 (x 1)(x+1) 2= 3 x+1 x 1 x+1. Ó Ò Þ ÔÓÛÝ ÞÝÑ ÔÖÞ Ô Ñ ÔÓ Ø Û ÑÝ t= 3 x+1 x 1, x=t3 +1 t 3 1, = 6t2 dt (t 3 1) 2 Ò Þ ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø 3dt I= t 3 1. ÈÓÛÝ Þ ÔÓ Ø Û Ò ÔÖÓÛ Þ Ó Û Ó ÛÝÑ ÖÒ º Ñ ÞÝØ ÐÒ Ý ÔÓÛÝ Þ ÔÓÐ ÞÝ Ð º ÏÝÒ Ø Ò ØÔÙ Ý ½º I= 1 2 lnt2 +t+1 (t 1) 2 + 3arctg 2t 1 3 +C. Þ ÛÝÖ ØÝÔÙR(x, ax 2 +bx+c) ÔÓ Ø Û Ò ÙÐ Ö Ç Ø ØÒ Þ ÓÑ Û ÒÝ Ø Ö Þ Ð R(x, ax 2 +bx+c), Þ R(u,v) Ø ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ º ÔÓÛÝ Þ Ó ÖÓ Þ Ù Ø ÛÝÖ ÔÖÞ Þ ÙÒ Ð Ñ ÒØ ÖÒ º Á ØÒ Ð ÔÓ Ó Û Ó Ð Þ Ò ¾¼µ ÑÝ ÓÑ Û ÑÝ ØÙ ÔÓ ¹ Ø Û Ò ÙÐ Ö º Ç ÒÓ Ò ØÖ Ñ ÒÙ Û Ö ØÓÛ Óax 2 +bx+c Þ ÑÝ Ò Ø ÓÒ Ô ÒÝÑ Û Ö Ø Ñ Ý Û ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ÑÓ Ð Ý ÑÝ ÛÝ Ò Þ Ô ÖÛ Ø Ñ ÛÝÑ ÖÒ º ½º È ÖÛ Þ ÔÓ Ø Û Ò ÙÐ Ö ÑÓ Ò ØÓ ÓÛ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ýa>0º ÈÓ Ø Û ¹ ÑÝ Û ÛÞ ax2 +bx+c=t ax ¾½µ ¾¼µ ½¼

11 ÐÙ ÝtÛÝ ØÔÓÛ Ó ØÝÐ Ó ÔÓ Ò ØÖÓÒ Ö ÛÒÓ t= ax 2 +bx+c+ axº ÈÓ ÔÓ Ò Ò Ù Ó Û Ö ØÙ Ö ÛÒÓ ¾½µ ÛÝÖ Þax 2 Ù ÔÓ Ó Ù ØÖÓÒ ÞÓ Ø Ò bx+c=t 2 2 axt Ñ ÑÝ x= t2 c b+2 at, at 2 +bt+c a ax2 +bx+c= 2, at+b at 2 +bt+c a =2 (b+2 dt. at) 2 Ï ÔÖÞÝ ØÝÑ ÔÓ Ø Û Ò Ù Þ Ö ÛÒÓx ÓÖ Þ ÓÞÝÛ ax 2 +bx+c ÛÝÖ ÛÝÑ ÖÒ ÔÖÞ Þt Û Ø Ò ÔÓ ÓÔÖÓÛ Þ Ð ÑÝ ¾¼µ Ó Þ ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ º ¾º ÖÙ ÔÓ Ø Û Ò ÙÐ Ö ÑÓ Ò ØÓ ÓÛ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ýc>0º Ï ÛÞ ÖÞ ÑÝ ax2 +bx+c=xt+ c. ¾¾µ Â Ð ÔÓ Ò ÑÝ Ó ØÖÓÒÝ Ö ÛÒÓ ¾¾µ Ó Û Ö ØÙ Ó Ñ ÑÝ ÔÓ Ó Ù ØÖÓ¹ Ò c ÔÓ Þ Ð ÑÝ ÔÖÞ Þx ØÓ ÓØÖÞÝÑ ÑÝ Ñ ÑÝ ax+b=xt 2 +2 ct x= 2 ct b ct, ax2 +bx+c= 2 bt+ ca, a t 2 a t 2 ct 2 bt+ ca =2 dt. (a t 2 ) 2 Ò Û Û x ÓÖ Þ ax 2 +bx+c ÛÝÖ ÛÝÑ ÖÒ ÔÖÞ Þt Û Ø Ò ÔÓ ÞÒÓÛÙ ÓÔÖÓÛ Þ Ð ÑÝ ¾¼µ Ó Þ ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ º º ÏÖ Þ ØÖÞ ÔÓ Ø Û Ò ÙÐ Ö ÑÓ Ò ØÓ ÓÛ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ý ØÖ Ñ Ò Û Ö ØÓÛÝax 2 +bx+c Ñ Û Ö Ò Ô ÖÛ Ø ÖÞ ÞÝÛ Ø ÓÞÒ ÞÑÝ λóö Þ µº Ï ÑÝ Û Ø Ñ ÔÖÞÝÔ Ù ØÖ Ñ Ò Ø Ò ÖÓÞ Ò ÞÝÒÒ Ð Ò ÓÛ ax 2 +bx+c=a(x λ)(x µ). ¾ µ ÏØ Ý ÔÓ Ø Û ÑÝ ax2 +bx+c=t(x λ). ¾ µ ÈÓ ÒÓ Þ Ö ÛÒÓ ¾ µ Ó Û Ö ØÙ ÓÖÞÝ Ø Þ ¾ µ Ö ÑÝ ÔÖÞ Þ Û Ô ÐÒÝ ÞÝÒÒ (x λ) ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÞÒ Û Ö ÛÒ Ò Ô ÖÛ Þ Ó ØÓÔÒ Ò x Ó Ø ÑÝ a(x µ)=t 2 (x λ) x= λt2 aµ t 2 a, ax2 +bx+c= a(λ µ)t t 2 a, = 2ta(µ λ) (t 2 a) 2 dt ½½

12 ÍÛ º ÅÓ Þ ÖÞÝ Ó ÑÓ Ò Þ ØÓ ÓÛ Û Ò ÒÓ ÔÓ Ø ¹ Û Ò ÙÐ Ö ÈÓ ÑÝ Ø Ö Þ Û ÓÛÓÐÒ ÔÓ Ø ¾¼µ ÑÓ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ø Ö Þ ÔÓ Ø Û ÙÐ Ö ÓÒ Ö ØÒ Ô ÖÛ Þ ÐÙ ØÖÞ µº ÇØ Ð ØÖ Ñ Ò Û Ö ØÓÛÝax 2 +bx+c Ñ Ô ÖÛ Ø ÖÞ ÞÝÛ Ø ØÓ ÑÓ Ò Þ Û Þ Þ ØÓ ÓÛ ÔÓ Ø Û Ò ØÖÞ º Â Ð Ò ØÓÑ Ø ØÖ Ñ Ò Ò Ñ Ô ÖÛ Ø Û ÖÞ ÞÝÛ ØÝ ØÞÒºb 2 4ac<0 ØÓ ÈÖÞÝ º Áº Ç Ð ÞÑÝ I I = x x 2 +4x 4 Þ ÔÓÑÓ Ô ÖÛ Þ Ó ÔÓ Ø Û Ò ÙÐ Ö º Ó Ò Þ ¾½µ Ñ ÑÝ x2 +4x 4=t x, ÛÝÐ Þ ÑÝ x= t2 +4 2t+4, =2t2 +8t 8 (2t+4) 2 dt, Û Ø Û Ó ÛÝ ÓÛ Ñ ÑÝ I I =2 x2 +4x 4=t x= t2 +4t 4 2t+4 dt t Ì Ù ØÛÓ ÔÓÐ ÞÝ Ó Ø Þ Ñ ÞÝØ ÐÒ Ý ÙÞÙÔ Ò Ø Ö ÙÒ µ I I =arctg[2(x+ x 2 +4x 4)]+C. ÈÖÞÝ º ÁÁº Ç Ð ÞÑÝ I II = x x 2 x+1 Þ ÔÓÑÓ ÖÙ Ó ÔÓ Ø Û Ò ÙÐ Ö º Ó Ò Þ ¾¾µ Ñ ÑÝ x2 x+1=xt+1; Û ÞÑ ÒÒ t ÔÖÞÝ Ö ÔÓ Ø x= 2t+1 1 t 2, =2(t2 +t+1) (t 2 1) 2 dt, I II = 2(t 2 +t+1) t t 2 dt x2 x+1= t2 +t+1 1 t 2, Û ÓØÖÞÝÑ Ð ÑÝ ØÖÞ Þ ÛÝÖ Ò ÛÝÑ ÖÒ Óº ÞÝØ ÐÒ Þ Ñ Ó Ó Ó Þ Ò ÔÖ Û Þ Ò Ö ÙÒ Ùº ÈÖÞÝ º ÁÁÁº ÈÖÞ Ø ØÙ ÑÝ ÛÖ Þ ØÖÞ ÔÓ Ø Û Ò ÙÐ Ö Ò Ó Ò Þ ¾ µ ÖÞ ÑÝ ÛÝÐ Þ ÑÝ I III = (2x 3) 4x x 2. 4x x2 =xt, x= 4 t 2 +1, = 8 tdt (t 2 +1) 2, 4x x2 =xt= 4t t 2 +1, 2x 3=5 3t2 t 2 +1 Û ÞÑ ÒÒ t ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø I III =2 dt 3t 2 5 Û ÞÒ Û Û ÔÓ Ø ÛÝÑ ÖÒ Ø ÔÓÛ ÒÒÓ Ý º Ò Û ÛÝ ÓÛ Þ ÞÝØ ÐÒ Ó Ó Ó ¹ Þ Ò ÔÖ Û Þ Ò Ö ÙÒ Ûº ½¾

13 ¾ Ê Ñ ÒÒ ½