dz e1/z = 1/e. + ( 1)3 3! + ( 1)4 4! 1+z = 2πi., a > 1. dz z 2 2iaz 1. a (1/2i)(z 1/z) = 2

Transkrypt

1 ÆÇÌ ÌÃÁ Ç ÏÁ Æ ÄÁ ËÈÇÄÇÆ Â Ö ÈºÀº Ò ÓÛ Ç Ð ÞÝ Γ dz e/z +z Û Ø Ö ÓÒØÙÖ Γ Ø Ó Ö Ñ Ó ÖÓ Ù Û Þ ÖÞ ÔÖÓÑ Ò Ù Ö ÛÒÝÑ ¾ Ó Ò ÝÑ ÓÐÙ ÓÞÒ Þ Ø ØÓ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ Ñ Ò ØÝѵº ÊÓÞÛ Þ Ò ÙÒ ÔÓ ÓÛ fz Ñ ÙÒ ÔÖÓ ØÝ Ø º Ô ÖÛ Þ Ó ÖÞ Ùµ Û z = ÓÖ Þ ÔÙÒ Ø ØÓØÒ Ó Ó Ð ÛÝ Û z = º resfz z= = /e Ê ÙÙÑ Û z = Ò ØÛ ÞÒ Ð õ ÔÖÞ Þ Ò Ô ÛÝÔ Ù Ó ÔÓÛ Ò Þ Ö fz = e /z +z = +!z +!z + z 3!z + +z z ÏÝÑÒ Û Þ ÑÝ Û Ô ÞÝÒÒ ÔÖÞÝ /z Ø ÒÝ Þ Ö Ñ resfz z= =!! + 3! 4! + = + +!! + 3 3! Ø Ñ ÙÑ Ö Ù Û Û z = z = Ø Ö ÛÒ dz e/z +z = πi Γ + 4 4! + = e Ç Ð ÞÝ π dθ a sinθ a > ÊÓÞÛ Þ Ò Ï ÖÙÒ a > Þ Ô ÛÒ Ø Ó ÖÞ Ó Ö ÐÓÒ ¹ Ñ ÒÓÛÒ Ò Þ Ò Þ ÖÙ º Ø ÑÓ Ò Ó Ð ÞÝ ÓÒÛ Ò ÓÒ ÐÒ Ó ÞÖÓ ÑÝ Ð µ Ð ÑÓ Ò Ø ÔÖÞ Þ Ö Ù º Ï ØÝÑ ÐÙ ÔÓ Ø Û ÑÝ z = e iθ Ø ÞÑ ÒÒ z ÔÖÞ Ø Ö Þ Þ Ö Ð Þ Þ ÔÓÐÓÒÝ Ó ÑÓ ÙÐ Ö ÛÒÝÑ º Ï ÛÞ dz = ie iθ dθ = izdθ Û π dθ a sinθ = z = dz iz a /iz /z = ½ z = dz z iaz

2 ÁÑz i Ê z ÊÝ ÙÒ ½ ÃÓÒØÙÖ ÓÛ Ò Û Ô ÞÞÝõÒ ÞÑ ÒÒ Þ ÔÓÐÓÒ zº Ñ Ò ØÝ ÓÒØÙÖ ÓÛ Ò Ó Ö ÛÒ Ò Ù z = ÔÓ Þ ÒÝ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ½ Ø ØÙ Ó ÒÝ ÔÖÞ ÛÒ Ó ÖÙÒ Ù ÖÙ Ù Û Þ Û Þ Ö º Ë ÓÖÞÝ Ø Ð ÑÝ ØÙ Þ ÛÞÓÖÙ sinθ = i e iθ e iθ Å ÒÓÛÒ ÔÓ Ø ÛÙÑ Ò Ñ ÑÓ Ò Ó Þ Ô Û ÔÓ Ø z iaz = z z + z z Û Ø Ö z ± = i a± a ÛÓÑ Ô ÖÛ Ø Ñ Ö ÛÒ Ò z iaz = º ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ñ Þ Ø Ñ Û ÙÒÝ ÔÖÓ Ø Û z = z Û z = z + º ÈÖÞÝ Ñ ÑÝ Ò Ö Þ a > º Ï Ø Ñ ÔÖÞÝÔ Ù z + > Ð z Ð Ý Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ Ý z < º Ø Ñ Þ Ó Ò Þ ØÛ Ö Þ Ò Ñ Ó Ö Ù π dθ a sinθ = πi res z z + z z = 4πi = z z + π = a 4πi i a z=z Ð a < Ý ÛÝ ÓÛ Ø Ø Ó ÖÞ Ó Ö ÐÓÒ Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ z = ÞÒ Ð Þ Ý Ô ÖÛ Ø z + ÛÙÑ ÒÙ Ñ Ð Ý ÑÝ π dθ = πi res a sinθ z z + z z = 4πi = 4πi z + z i a = π a z=z+ ¾

3 Ø ÔÓÛ ÒÒÓ Ý Ý ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ø ÛØ Ý Ø Ð Ù ÑÒ º ÃÓÒÛ Ò ÓÒ ÐÒ Ó ÓÒ Ð Ý ÑÝ Û ÛÝ ÓÛ ÔÓ Ø Û Ò t = tg θ dt dθ = +t cosθ = t sinθ = +t +t Ó ÔÖÓÛ Þ Ó Ý Ó dt a t /at+ = dt a t /a +a /a = a dt a [ a t a a ] + [ = a arctg a t ] a a Ý θ ÔÖÞ Ó Ó π Û ÛÞ t = Ø θ/ Ó Ó + Ó Ý θ π Ó ØÖÓÒÝ Û ÖØÓ ÑÒ ÞÝ µ Ò ØÔÒ Ó Ý θ ÔÖÞ Ö Þ πµ Ó Ó Ó Ý θ = πº Ø Ñ Ý θ Ó Ó Þ Ó Þ Ö Ó π ÙÒ Iθ Iθ = θ dϕ a sinϕ a { arctg [ a a tg θ ] [ arctg a Ó Ó Þ Ð a > µ Ó Û ÖØÓ { [ ]} Iπ = arctg+ arctg a a { [ ]} π = a arctg a ]} a ÔÓ ÔÖÞ ÖÓÞ Ò Ù ÔÖÞ Þ ϕ Û ÖØÓ π Ý Ø θ/ Ò Ð Ô Ó µ Ò ÔÓÛ ÒÒ Ó Þ ÙÒ Ó ØÒ µ ÞÑ Ð º ÈÓ ÞÙ ØÓ ÔÓ ÖÙ ØÖÓÒ ÔÙÒ ØÙ θ = π Ò Ð Ý ÛÝ Ö Ø õ ÙÒ ÖØ Ò Ø Ö arctg = π +π Ò π/µº Æ Ø ÖÙ Þ Û ÖØÓ ÙÒ [ a arctg tg θ a ] a Ó ÔÓÛ θ = π Ø [ ] arctg +π a

4 Ø ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ½ Iπ π dθ a sinθ = π a Ø Ñ ØÓ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Ö Ù º ÈÓÛØ ÖÞ ÔÓÛÝ Þ Ò Ð Þ Ð a < ÓØÖÞݹ Ñ ÑÝ ÓÞÝÛ Ø Ò Ñ ÛÝÒ Þ ÔÖÞ ÛÒÝÑ ÞÒ Ñº Ç Ð ÞÝ ¾ π dθ a+cosθ a > ÊÓÞÛ Þ Ò Ï ÖÙÒ a > Þ Ô ÛÒ Ø Ó ÖÞ Ó Ö ÐÓÒ ¹ Ñ ÒÓÛÒ Ò Þ Ò Þ ÖÙ º Ó ÓÒÙ Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ ÔÖÞÝ Þ ÔÓ Ø Û Ò z = e iθ ÓÖÞÝ Ø Þ ÛÞÓÖÙ cosθ = e iθ +e iθ ÔÖÓÛ Þ ÑÝ Ó π dθ a+cosθ = i z = dz z +az + È ÖÛ Ø Ñ ÛÙÑ ÒÙ Û Ñ ÒÓÛÒ Ù ÔÓ Ø Ö Þ z + = a+ a z = a a Þ Þ Ó Ý a > ØÝÐ Ó z + Ð Ý Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ z = º Ø Ñ π dθ a+cosθ = i πi z + z = π a ½ Ý ÙÒ Ò ÞÑ Ò Ò Þ ÙÒ ÖØ ÑÓ Ò ÛÝ ÓÛ Þ Ô Ó ÙÑ Iπ = π dθ π a sinθ + π dθ π a sinθ = ÈÓ Ó ÓÒ Ò Ù ÔÓ Ø Û Ò Ø Ò Ö ÓÛ Ó ÓØÖÞÝÑ ÑÝ { [ a I = arctg tg θ a a ] π [ a +arctg a a dθ π a sinθ + tg θ + a dθ a+sinθ ] π } = π a ¾ ÇÞÝÛ ÑÙ ÓÒ ØÓ ÑÓ Ó ÔÓÔÖÞ Ò Ó Ó ÒÙ ÔÖÞÝ ÑÙ Ò Ó Ò Ù [π] Ø Ñ Û ÖØÓ Ó ÒÙ ØÝÐ Ó Ð ÔÖÞ ÙÒ ØÝ Û ÖØÓ Ø θ Ð Ñ Ö dθ Ø Ò ÞÑ ÒÒ Þ ÛÞ Ð Ñ ÔÖÞ ÙÒ º

5 Ð a < Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ z = Ð Ý Ô ÖÛ Ø z ÛÝÒ Ñ Ý Ó Ý π/ a ÛÝ ÓÛ ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ý Ý ÛØ Ý Ø Ð Ù ÑÒ µº Ç Ð ÞÝ π dθ b < +bcosθ ÊÓÞÛ Þ Ò Ï ÖÙÒ b < Þ Ô ÛÒ Ø Ó ÖÞ Ó Ö ÐÓÒ ¹ Ñ ÒÓÛÒ Ò Þ Ò Þ ÖÙ º Ó ÓÒÙ Ø Û ÔÓÔÖÞ Ò ÔÖÞÝ ÔÓ Ø Û Ò z = e iθ Ñ ÑÝ π dθ +bcosθ = z = = 4 ib dz iz z = [+b/z +/z] dzz [z +/bz +] ÈÓ Ó Ò ÔÓÔÖÞ Ò Ó Ñ ÒÓÛÒ ÑÓ Ò Þ Ô Û ÔÓ Ø [z z + z z ] Þ z ± = b ± b ÔÖÞÝ ÞÝÑ Ð < b < ØÝÐ Ó z + < Ø º Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ z = ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ñ Ò ÙÒ ÖÙ Ó ÖÞ Ù Û z = z + º Ç Ð Þ ÑÝ Ö ÙÙÑ fz Û ØÝÑ ÔÙÒ resfz z=z+ = d z dzz z = z=z+ z + z z + z + z 3 ËØ π = z + +z z + z 3 = b 4 b 3/ dθ +bcosθ = 4 ib πi b 4 b 3/ = π b 3/ Ì Ò Ñ ÛÝÒ ÑÓ ÑÓ Ò ÙÞÝ ÓÖÞÝ Ø Þ Ó Ð ÞÓÒ Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ Þ Ò Ù π dθ +bcosθ = b [ π a = b [ a = b b π a π b 3/ ] dθ a+cosθ ] a=/b a=/b = π b [ a ] a 3/ a=/b

6 Ø ÑÓ Ò ÓÞÝÛ Ó Ð ÞÝ ØÓ Ù ÓÒÛ Ò ÓÒ ÐÒ ÔÓ Ø Û Ò Ð Þ ÙÛ Ò ÖÙ ÔÓØ Û Ñ ÒÓÛÒ Ù Ø ØÓ ÞÒ ÞÒ Ö Þ ÓÑÔÐ ÓÛ Ò Þ ØÝÑ ÔÓ ¹ Ø Û Ò t = tgθ/ ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ Ñ ØÓ Ö Ù Û ØÓ Ù ØÝÐ Ó Ó Û Ö Ò Ó ¼ Ó πµº Å ØÓ Ö Ù Û Ó Ð ÞÝ I = ÈÓ Ø ÛÝÒ π dθ sin θ a+bcosθ < b < a π dθ sin θ +a acosθ ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓ Ø Û ÑÝ Ø Ò Ö ÓÛÓ z = e iθ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ I = dz z /z iz a+bz +/z = i z dz b z z +a/bz + z = ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ñ Ò ÙÒ ÖÙ Ó ÖÞ Ù Û z = ÓÖ Þ Û ÙÒÝ ÔÖÓ Ø Û z ± = a/b ± a/b Þ Ø ÖÝ Ð a/b > ØÝÐ Ó z + ÞÒ Ù Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ z Ýa/b < µº Â Ö Ù Ûz = z + ÓÖ Þ Ûz = z ÞÒ Ù ÑÝ Ø Ò Ö ÓÛÓ z = resfz z=z+ = z + /z + z + z = a/b resfz z=z = z /z z z + = a/b Ê ÙÙÑ Û z = ÙÒ ÖÙ Ó ÖÞ Ùµ Ò ØÛ ÞÒ Ð õ Ó ÓÒÙ ÖÓÞÛ Ò fz = z +z 4 a z b z z + = z a b z + Ì Û Þ Ó Ò Þ ØÛ Ö Þ Ò Ñ Ó Ö Ù ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ I = i b πi a a b ± b = π a a b b b Þ ÖÒÝ ÓÐÒݵ ÞÒ Ó ÒÓ Ó a/b > a/b < µº ÔÓÛÝ Þ Ó ÛÝÒ Ù ÔÓ Ø Û a +a b a ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ π sin { θ π/a dθ +a acosθ = gdy a > π gdy a < Ø Ó ØÝÔÙ ØÖ Û Ó Ð Þ Ò Û Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ º

7 Å ØÓ Ö Ù Û Ó Ð ÞÝ I = π dθ cos 3θ +a acosθ ÊÓÞÔ ØÖÞÝ ÔÖÞÝÔ a < ÓÖ Þ a > º ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓ Ø Û ÑÝ Ø Ò Ö ÓÛÓ z = e iθ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ I = i z 6 + dz 4a z = z 5 z 4 +a a z + ÙÒ Û z = Ø Ô Ø Ó ÖÞ Ù Ó Ö ÙÙÑ Ò ØÛ ÞÒ Ð õ Ñ ØÓ ÖÓÞÛ Ò { } fz = z6 + +a +a + z z + 4 z z 4 + z 5 a a { [ +a = } + +a z + ] z 4 + z 5 a a ÞÝÐ +a resfz z= = a ÈÓÞÓ Ø ÙÒÝ Û ÔÙÒ Ø Ý Ô ÖÛ Ø Ñ Ö ÛÒ Ò Û Ö ØÓÛ Ó Ø Ö ¹ ÑÓ Ò Ó Ö ÞÙ Ó ØÖÞ ¹ Ñ ÔÖÓ Ø ÔÓ Ø z 4 +a z + = z a z = a a Ø Ñ Ý a < ÙÒ fz Ñ Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ z = Û ÙÒÝ ÔÖÓ Ø Û z ± = a Ý Þ a > Û ÙÒÝ ÔÖÓ Ø Û z ± = /aº ÊÓÞÔ ØÖÞÑÝ Ò Ô ÖÛ ÔÖÞÝÔ < a < º Ç Ö Ù Û z = a ÓÖ Þ Û z = a Ø Ñ resfz z=± a = a3 + a a ÈÓ Ó Ò Ø Ñ Ö Ù Û z = i a Û z = i a Ý a < a < ÓÒ Ö ÛÒ Ý a /a = Ð a < º resfz z=±i a = a3 + a a /a a = a3 + a a

8 Ý a < Ñ ÑÝ Þ Ø Ñ Ð Ó Ù ÞÒ Û a { +a I = i } 4a πi + a3 + a a a = π { } +a +a 4 + +a3 +a a+a a 3 a+a Ó Ø Ø ÞÒ ÔÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ù Ý a < ÞÒ Ù ÑÝ π dθ cos 3θ +a acosθ = π a+a a Ý a > Þ Ö ÛÒÓ Ý a > Ý a < Ó Ø ÑÝ Ö Ù Û ÔÙÒ Ø z = /a Ö ÛÒ resfz z =±/a = a3 + a a ÛÓ Ø Ó I = π { } +a +a 4 +a3 +a a+a a 3 a+a ÈÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ù Ñ ÑÝ Û Ð a > ÛÞ Ö π dθ cos 3θ +a acosθ = π a+a a 3 a ÃÓÖÞÝ Ø Þ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ù Ó Ð ÞÝ Γ x x +a 3 ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓÒ Û ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ø Ô ÖÞÝ Ø ÖÓÞ ÑÝ Ò Ô ÖÛ Ó¹ Û Ò Ò Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø ÖÞ ÑÝ ÔÓ ÓÛ Ø Ó Ó ÛÝ Þ µº Æ ØÔÒ Ñ ØÓ Ö Ù Û Ó Ð Þ ÑÝ z dzfz = dz z +a 3 ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Γ ÔÓ Þ ÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ¾º Å ÑÝ Û Γ dzfz = R R Γ x x +a + dzfz = πi resfz 3 z=+i a K R

9 ÁÑz R R Ê z ÊÝ ÙÒ ¾ ÃÓÒØÙÖ Γ Ý Þ Ó Ò Ù Ó R Ð Ó ÝÑ ØÖÝÞÒ Ò Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø ÓÑ Ò Ø Ó Ù ÝÑ Ô ÓÐ Ñ Ó ÔÖÓÑ Ò ÙR Û ÖÒ Ô Ô ÞÞÝõÒ º Ó ÙÒ fz Ñ Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ Γ Ò ÙÒ ØÖÞ Ó ÖÞ Ù Û ÔÙÒ z = i a ÖÞ ÑÝ R > a µº ÔÓ Ô Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R Ò Ø ÖÝÑ z = Re iϕ ÞÒ Û Ö Ò Ý R dzfz K = π dϕire iϕ R e iϕ R R e iϕ +a 3 π dϕ R e iϕ π ireiϕ R e iϕ +a 3 = R 3 dϕ R e iϕ +a 3 Ï ØÝÑ Ñ Ù ÓÖÞÝ Ø ÑÝ Þ Ò Ö ÛÒÓ K R w ±w w w Ø Ö ÔÓÞÛ Ð Ó Ó ÞÝ Þ ÓÛ Ò Þ ØÔÙ ÑÝ R e iϕ +a Û Ñ ÒÓÛÒ Ù ÞÝÒÒ Ñ ÑÒ ÞÝÑ Ø º R e iϕ a µ π dzfz R 3 dϕ R a = πr 3 3 R a 3 ÈÓ ÞÙ ÓÒÓ Ý R ÔÓ Ô Ó Ö Ù ÞÒ /R 3 º ÌÖÞ ÞÞ Ó Ð ÞÝ Ö ÙÙÑ ÙÒ Û z = i a º Å ÑÝ resfz z=i a = d z! dz z +i a = [ ] d z 3! dz z +i a 3z 3 z +i a 4 = [ ] z +i a z 3 z +i a + z = i 4 z +i a 5 6 a 3 z=i a Ç ÛÞÓÖÝ Ó ÓÛ ÑÓ Ò ÔÖ Û Þ ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Å Ø Ñ Ø Ò Ð Ô Ð ÓÒ Ö ØÒÝ Û ÖØÓ Ô Ö Ñ ØÖÙ a Û Ó ÐÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ò Ñ Ó ÞÝØ ÐÒÝ ÛÝÒ º ÓÛ Ð ÓÛÓÐÒÝ ÛÙ Ð Þ Þ ÔÓÐÓÒÝ w w Þ Ó Þ Ò Ö ÛÒÓ w + w w + w º ÈÓ Ø Û ÑÝ w = ±w w Ó w w + w w º Ø Ñ ÓÛÓÐÒ Û Ð Þ Ý w w Ô Ò Ò Ö ÛÒÓ w w w w Ò Û Ø Ý w > w ÔÓÒ Û ÑÓ Ò Ó ÓÒ Þ Ñ ÒÝ w w Û ÔÖ Û ØÖÓÒ Ò Ö ÛÒÓ ÑÓ Ò Þ Ø Ô ÑÓ Ù Ñº

10 Ø Ñ x x +a = 3 πi i 6 a = π 3 6 a 3 Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ø ÑÓ Ð ÑÝ ÝÐ Ö ÛÒ Ó ÖÞ Þ Ñ Ò Ò Ý ÔÓ Ó ÖÞ ¹ ÞÝÛ Ø ÓÒØÙÖ ÓÛ Ò Ó Þ Ó Ô Ó Ö Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R Ð Ý Û ÓÐÒ Ô Ô ÞÞÝõÒ Þ Ñ Ø Ô Ó Ö Ù Ð Ó Û ÖÒ Ô Ô ÞÞÝõÒ µ ÔÓÒ Û Ø ÓÒØÙÖ Ý Ý Ó ÒÝ Þ Ó Ò Þ ÖÙÒ Ñ ÖÙ Ù Û Þ Û Þ Ö Ý Ý Ö ÛÒ πi Ö ÞÝ Ö ÙÙÑ Û ÔÙÒ z = i a d resfz z= i a = z! dz z i a = 3! = [ d dz [ z z i a 3z 3 z i a ] 4 z i a 3 z z i a 4 + z z i a 5 ÏÝÒ Ø ÓÞÝÛ Ø Ñ ÔÓÔÖÞ Ò Óº ÃÓÖÞÝ Ø Þ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ù Ó Ð ÞÝ x x+ x 4 +x +9 z= i a ] = +i 6 a 3 ÊÓÞÛ Þ Ò Ø Þ Ò Ó Ð x ÙÒ ÔÓ ÓÛ Þ ÓÛÙ /x º ÈÓÒ ØÓ Ø Ò Ñ ÒÓÛÒ ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ò Þ ÖÙ Ò Ý Ð ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Û ÖØÓ xº Ø ÑÓ Ò Ó Ð ÞÝ Ø ÔÓÔÖÞ Ò Ù ÙÒ fz = z z + z 4 +z +9 = z z + z +z +9 ÔÓ ÓÒØÙÖÞ ÔÓ Þ ÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ¾ ÐÙ ÔÓ Ó ÒÝÑ ÓÒØÙÖÞ ÝÑ Þ Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Ô Ó Ö Ù Û ÓÐÒ Ô Ô ÞÞÝõÒ º ÈÖÞÝ Ñ ÑÝ Ò ÓÒØÙÖ Γ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ¾º ÈÓ Ó Ò Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ Þ Ò Ù ÔÓ ÞÙ ÑÝ Ý R ÔÓ Ô Ó Ö Ù Ý Ó Þ Ö K R dzfz π π dϕ R R e iϕ Re iϕ + R 4 e 4iϕ +R e iϕ +9 dϕ RR +R+ R 4 R 9 R ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ñ ÞØ ÖÝ ÙÒÝ Ð z = z 34 = 9 Þ Þ Ó Û Û z = i ÓÖ Þ z 3 = 3i Ð Ð Ó Ø Ø ÞÒ Ù Ó Rµ Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ ÓÛ Ò º Ø Ñ Þ Ó Ò Þ ØÛ Ö Þ Ò Ñ Ó Ö Ù fz = πiresfz z=i + resfz z=3i Γ ½¼

11 Ç Ð Þ ÑÝ Ö Ù z z + resfz z=i = lim z i z +iz +9 = i 6i z z + resfz z=3i = lim z 3i z +z +3i = 7+3i 48i Ø Ñ Û Ö Ò Ý R ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ fz x x+ 3 3i x 4 +x +9 = πi 48i Γ Ç Ð ÞÝ + 7+3i = 5 48i π x 6 x 4 +a 4 ÊÓÞÛ Þ Ò ÌÙ Þ ØÓ Ù ÑÝ ÔÓ ÞÝÞÒ ÔÖÞ ÐÙ ÑÝ ÞÑ ÒÒ ÓÛ Ò Ý Ó Ö ÞÙ ÙÛ ÓÞÒ Þ Ð ÒÓ Ó a ÑÒ Ô º Å ÑÝ Û ÔÓ Ø Ò Ö ÓÛÝÑ ÛÝ Þ Ò Ù ÔÓ Ô Ó Ö Ù ÝÑ Þ Þ Ñ Ò Ø Ó ÓÒØÙÖÙ Γ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ¾ ÞÒ Û Ö Ò Ý R x 6 x 4 +a 4 = a Γ dz z 6 z 4 + = πi a Imz i > resfz z=zi ÞØ Ö Ô ÖÛ Ø Û ÞÛ ÖØ Ó ØÓÔÒ Þ Ð Þ Ý Ø Ö ÔÓ Ó Ò Ñ ÞØ Ö ÙÒ Û ÖÙ Ó ÖÞ Ù ÙÒ ÔÓ ÓÛ ÛÓÑ Ð ÝÑ Û ÖÒ Ô Ô ÞÞÝõÒ Û Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ z = e iπ 4 = +i oraz z = e i3π 4 = +i ÔÖÞÝ ÞÝÑ z = i z = iº Ï ÐÙ Ó Ð Þ Ò Ö Ù Û Û ØÝ ÙÒ ÛÝ Ó Ò Ø Þ Ô ÙÒ ÔÓ ÓÛ Û ÔÓ Ø fz = z 6 z z z z z +i z ÃÓÖÞÝ Ø ÑÝ Ò ØÔÒ Þ Ø Ò Ö ÓÛ Ó ÛÞÓÖÙ resfz z=z = d z 6 dz z z z +i z 6z 5 = z z z +i z z 6 z z 3 z +i z z 6 z +i z z z +i z 3 ½½ z=z

12 Ê ÙÑ Û z = z Ø Ò Ò ÐÓ ÞÒÝÑ ÛÞÓÖ Ñ Û Ø ÖÝÑ z z º ÈÓÒ Û z z = z 4 = z +i z = i z +i z = +i Ñ ÑÝ resfz z=z = resfz z=z = Imz i > 6z [ i] 6z [ +i] i [ i] iz +i [ i] 3 i [ +i] iz +i [ +i] 3 ËÙÑÙ Ó ÔÓÛ Ó ÛÝÖ ÞÝ Ô Ö Ñ ÙÛÞ Ð Ò ±i = ±i ÓÖ Þ z +z = i ÞÒ Ù ÑÝ resfz z=zi = i 8i 6 = i 3 6 Ø Ñ Ó ÔÓØÛ Ö Þ ÔÖÓ Ö Ñ Å Ø Ñ Ø µ x 6 x 4 +a 4 = πi i 3 a 6 = 3 π 6 a Ç Ð ÞÝ J = x +a x +b ÊÓÞÛ Þ Ò Â ÞÛÝ Ð ÖÓÞ ÑÝ ÓÛ Ò ÛÞ Ù Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Ò Ô Ó Ö Ó ÔÖÓÑ Ò ÙR ÓÑÝ Ý ÓÒØÙÖ ÓÛ Ò Û ÖÒ Ô Ô ÞÞÝõÒ Þ ÔÓÐÓÒ ÞÑ ÒÒ z Ó ÙÑÓ Ð Û Þ ØÓ ÓÛ Ò ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ù º ÙÒ ÔÓ ÓÛ fz = z +a z +b z +i a z i a z +i b z i b Ñ Û ÛÒ ØÖÞ Ø Ó ÓÒØÙÖÙ Ò ÙÒ ÔÖÓ ØÝ Û z = i a Ò ÙÒ ÖÙ Ó ÖÞ Ù Û z = i b º Ê Ù ØÝ ÙÒ Û ÞÒ Ù ÑÝ Ø Ò Ö ÓÛÓ resfz z=i a = i a b a resfz z=i b = d dz z +a z +i b z=i b [ z = z +a z +i b z +a z +i b 3 = i a b b i 4a b b 3 ½¾ z=i b

13 ÁÑz r=ε R b R Ê z ÊÝ ÙÒ ÃÓÒØÙÖ Γ ÓÑ Ý ÙÒ ÔÖÓ ØÝ Û z = bº Å ÑÝ Þ Ø Ñ { } i J = πi b a a + i a b b i 4a b b { } 3 i a b = πi a b a b i 4a b b { 3 } i b = πi 4a b a + b a b i a a + b 3 4a b a + b a b 3 = π Ø Ñ Ó Ø Ø ÞÒ b a a b a b a + b a b 3 = π b a b + a a b a + b a b 3 x +a x +b = π b + a a + b a b 3 Ç Ð ÞÝ x b4x +a Û Ø Ö a b Ð Þ Ñ ÖÞ ÞÝÛ ØÝÑ º ÊÓÞÛ Þ Ò Ñ Ó Ó Ð ÛÓ Û ÔÙÒ x = b ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ø Ò Ó ¹ ÞÓÒ µ Ø Ò Þ Ò Û Ù Ø Ò Ö ÓÛÝ ÖÝØ Ö Û Þ ÒÓ º ÅÓ Ò Ò Ò º Ç Ð Þ ÑÝ Û ØÝÑ ÐÙ Þ ÙÒ fz = z b4z +a ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Γ ÔÓ Þ ÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù Ø º ÔÓ Ó ÒÝÑ Ó ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò Ó Ù ÔÓÔÖÞ ¹ Ò Ó ÓÒØÙÖÙ Þ ÛÝ ÙÒ Ù ¾ Ð Ñ ÝÑ Ñ ÛÝÔÙÞ Ò Ò ÔÙÒ Ø Ñ x = bº Ï ÛÒ ØÖÞ ½

14 ÓÒØÙÖÙ ÙÒ Ñ ØÝÐ Ó Ò ÔÙÒ Ø Ó Ó Ð ÛÝ ÙÒ ÔÖÓ Øݵ Û ÔÙÒ z = i a / Û Ø ÖÝÑ Ö ÙÙÑ Ø Ö ÛÒ Þ Ø Ñ Γ resfz z=i a / = ib+i a / a a +4b πb dzfz = a a +4b iπ a +4b Â Û ÔÓÔÖÞ Ò ÔÖÞÝ ØÛÓ ÔÓ Þ Û Ö Ò Ý R ÔÓ Ù ÝÑ Ô Ó Ö Ù ÞÒ º Ï Ö Ò Ý Ø Ñ ÑÝ Û Ö ÛÒÓ b ε x b4x +a + + b+ε K ε x b4x +a πb dzfz = a a +4b iπ a +4b ÔÓ Ñ ÝÑ Ô Ó Ö Ù Ò ØÖÙ ÒÓ Ó Ð ÞÝ ÈÓÒ Û ÒØ Ö Ù Ò Ö Ò ε ÑÓ ÑÝ Û ÓØÓÞ Ò Ù ÔÙÒ ØÙ z = b ÖÓÞÛ Ò fz Û Þ Ö Ï ÛÖÞÙ Ø ÖÝ Ñ ÔÓ Ø fz = a z b +a +a z b+ ÔÓÒ Û ÙÒ fz Ñ Û ÔÙÒ z = b ÙÒ ÔÖÓ Øݺ Ê ÙÙÑ fz Û ØÝÑ ÔÙÒ ÞÝÐ Û Ô ÞÝÒÒ a Ø Ö ÛÒ resfz z=b = a +4b È Ö Ñ ØÖÝÞÙ Ø Ö Þ Ô Ó Ö z = b+εe iϕ Ù Þ Ö ÛÝÖ Þ ÔÓ ÛÝÖ Þ Þ ØÖÙ Ù ÞÒ Ù ÑÝ Û Ö Ò Ý ε ÔÓÞÓ Ø ØÝÐ Ó K ε dzfz = πia = πi a +4b Ó Ó Ö ÙÖÓ ÓÒ Þ ÔÓ ÝÑ ÓÒØÙÖÞ Γº Ø Ñ ÛÝ ÓÛ Þ Ò ÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÛÞ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ö Ò Ý ε ÞÝÐ Ó ØÞÛº Û ÖØÓ ÛÒ ÛÝÒÓ P x b4x +a = πb a a +4b ËÝÑ ÓÐ P ÓÞÒ Þ ØÙ Û Ò Û ÖØÓ ÛÒ Ò º ÈÖ Ò Ô Ð Î ÐÙ µº Æ ØÖÙ ÒÓ ÞÖÓÞÙ¹ Ñ ÓÓ Ö Ð Ò Ñ Û ÔÙÒ x Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Ó Ó Ð ÛÓ ØÝÔÙ ÙÒ ÈÝØ Ò ¹Ø Ø ÞÝ ÓØÖÞÝÑ Ð Ý ÑÝ Ø Ò Ñ ÛÝÒ Ý Ý ÑÝ ÖÓÞÔ ØÖÞÝÐ ÓÒØÙÖ Γ Ñ Ý ÛÝÔÙ¹ Þ Ò Û ØÞÒº Ý Ý Ô Ó Ö Ó ÔÖÓÑ Ò Ù ε Ó ÔÙÒ Ø z = b Ó Ó Ù ½

15 Ø ÑÓ Ð Û ÛØ Ý Ý Û ÖÓÞ Þ Ñ ÒÓÛÒ Ø Ò Ù Ñ ÔÖÓ Ø ÞÒ Û Ô ÞÝÒÒ Û ÞÝ Ø Û Þ Ô ÖÞÝ ØÝÑ Ó ÛÖÓØÒÝÑ ÔÓØ Ñ Ø º Û /x x n º Ï ÖØÓ Þ Ô Ñ Ø Ù ÓÛÓ Ò ÓÒ ØÙ ÔÖÞÝ Ó Þ Ó ÐÒ Ö Ù Ê Ù Â Ð ÙÒ fz Ñ Û z = z ÙÒ ÔÖÓ ØÝ Ø º Ô ÖÛ Þ Ó ÖÞ Ùµ Ó Ö ÙÙÑ a ØÓ ÔÓ ÓÔ ÖØÝÑ Ò ϕ Ö Ñ Ò Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ùε ÖÓ Ù Û z Û Ö Ò Ý ε ÛÝÒ ±ia ϕ ÞÒ + ÔÖÞÝ Ó Ù Þ Ó ÒÝÑ Þ ÖÙÒ Ñ ÖÙ Ù Û Þ Û Þ Ö ÔÖÞÝ ÔÖÞ ÛÒÝѵº Ê Ù Ø Ò ØÓ Ù Ð ÙÒ Ñ Û z ÙÒ ÛÝ Þ Ó ÖÞ Ù ÐÙ ÔÙÒ Ø ØÓØÒ Ó Ó Ð ÛÝ Ó ØÛÓ ÞÓ ÞÝ Ö Ò ε Ò Ó ÛØ Ý Ò ØÒ º ÏÝ Ø Ñ Ø ÔÙÒ Ø Ó Ó Ð ÛÝ ØÓØÒ Ó Ó Ð ÛÓ ÐÙ ÙÒ Ó ÞÓÒ Ó ÖÞ Ùµ Û Ø ÖÝÑ ÞÒ Û ÞÝ Ø Û Ô ÞÝÒÒ a n ÔÓ Ù Ù ÓÔ ÖØÝÑ Ò ϕ = π Ø ÛØ Ý Û Ö Ò Ý ε Ó ÖÞ Ó Ö ÐÓÒ ÛÝÒÓ ±πa º Æ ØÖÙ ÒÓ ÞÖÓÞÙÑ Ñ ØÓ ÞÛ Þ Þ ÑÓ Ð ÛÓ ÓÓ Ö Ð Ò Ñ Ý Ò Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Ó Ó Ð ÛÓ ØÝÔÙ /x x k + Þ ÔÓÑÓ Ö Ò Û ÖØÓ ÛÒ º º Ç Ð ÞÝ x+x + ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓ ØÔÙ ÑÝ Ø Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ ÔÖÞÝ Þ Ù ÑÝ ÙÒ fz = z +z + ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Γ Þ ÖÝ ÙÒ Ù º Resfz z=i = d dz z +z +i = 4i z=i Resfz z= = 5 ËØ P Ç Ð ÞÝ 4i = πi x+x + cosx x +a iπ 5 = 7π 5 ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓÒ Û Ó ÒÙ Ø ÙÒ Ô ÖÞÝ Ø ÑÓ ÑÝ Þ Ñ Ø ÔÓÛÝ Þ Ó Ð Þ cosx+isinx x +a = ½ e ix x +a

16 Ó Þ ÒÙ Þ ÖÓ Þ ÙÒ Ò Ô ÖÞÝ Ø Û ÝÑ ØÖÝÞÒÝ Ö Ò µº Ý Ó Ð ÞÝ Ø Ù ÑÝ ÙÒ K R π fz = eiz z +a ÔÓ Þ Ñ Ò ØÝÑ ÓÒØÙÖÞ Γ ÔÓ Þ ÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ¾º Æ Ô Ó Ö Ù z = Re iϕ dzfz = π dϕire iϕ eircosϕ e Rsinϕ R e iϕ +a R R e Rsinϕ dϕ R e iϕ +a R π/ dϕ e R/πϕ R a = π dϕ e Rsinϕ R a = R π R a e R π/ dϕ e Rsinϕ R a ÏÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ØÙ ÞÓ Ø Ò Ö ÛÒÓ sinϕ ϕ/π Ù ÞÒ Ð ϕ πº Ï Þ Ø Ñ ÔÓ ØÝÑ Ö Ñ Ò ÓÒØÙÖÙ Γ Ý Ó Þ Ö Û Ö Ò Ý R º ÙÛ ÑÝ Ø Û ÖÓÞÔ ØÖÝÛ ÒÝÑ ØÙ ÔÖÞÝÔ Ù ÔÓ Ô Ó Ö Ù ÓÑÝ ÝÑ ÓÒØÙÖ Û ÓÐÒ Ô Ô ÞÞÝõÒ Ò ÞÒ Ý Û Ø Ö Ò Ý Ó sinϕ < Ð π ϕ πµº Ð Ø Ó ÓÒØÙÖ ØÖÞ Ý Ó ÓÑ Ò Ô Ó Ö Ñ Û ÖÒ Ô Ô ÞÞÝõÒ º Ç ÐÒ ØÞÛº Ä Ñ Ø ÂÓÖ Ò ÓÖÞ Û ÔÖÞÝÔ Ù ÙÒ ÔÓ Ø fz = Rze iaz Þ Rz Ø ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ ÞÒ Ð z ÓÒ ÑÒ /z Ð Ê a > < Û Ö Ò Ý R ÞÒ ÔÓ Ô Ó Ö Ù Û ÖÒ ÓÐÒ µ Ô Ô ÞÞÝõÒ º ÈÓÒ Û Û Ö Ò Ý R ÔÓ ØÝÑ Ô Ó Ö Ù ÞÒ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Þ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ù ÞÛ Þ e ix x +a = πi resfz z=i a Ó Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ Γ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ¾ ÙÒ fz Ñ ØÝÐ Ó Ò ÔÙÒ Ø Ó Ó Ð ÛÝ Û z = i a º Ê ÙÑ ÙÒ fz Û ØÝÑ ÔÙÒ ÞÒ Ù ÑÝ Ø Ò Ö ÓÛÓ Ç Ø Ø ÞÒ Û resfz z=i a = e a i a cosx x +a = π a e a ½

17 Ç Ð ÞÝ cosx x +a 3 ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓ ØÔÙ ÑÝ Ø Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ Þ Ò Ù Ø º Ù ÑÝ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ¾ ÙÒ fz = e iz z +a 3 ÈÓÒ Û Þ Ó Ò Þ Ð Ñ Ø Ñ ÂÓÖ Ò ÔÓ Ô Ó Ö Ù ÞÒ Û Ö Ò Ý R Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ ÙÒ Ñ ØÝÐ Ó Ò ÔÙÒ Ø Ó Ó Ð ÛÝ Ûz = i a ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÞÛ Þ ÙÒ Û z = i a Ø ØÖÞ Ó ÖÞ Ù Û resfz z=i a = [ ] d e iz = dz z +i a 3 z=i a Ø Ñ Ç Ð ÞÝ = e a e ix x +a 3 = πi resfz z=i a [ d ie iz dz i a 3 6i i a 4 + i a 5 ] z +i a 3e iz 3 z +i a 4 = e a cosx x +a = π a +3 a +3 e a 3 8 a 5 cosx x +a x +b z=i a i 8 a 3 + 3i 8a 4 + 3i 8 a 5 ÇØÖÞÝÑ Ø ÛÝÒ Ð a = b º ÊÓÞÛ Þ Ò Ù ØÓ Ó ØÖÞ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ¾ ÞÒ Ù Ö Ù ÛÙ ÙÒ Û ÔÖÓ ØÝ ÔÓ Ó ÓÒÝ Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ð a b ÛÝÒ e a cosx x +a x +b = π b a a e b b ÏÝÒ Ð a = b Ò ØÛ ÓØÖÞÝÑ Þ ÙÛ π e a lim a b b + a b a a e b = π b a = π a ½ d d a + a e a a e a

18 Ø Ñ cosx x +a = π a + e a a Ç Ð ÞÝ xcosx x x+ xsinx x x+ ÊÓÞÛ Þ Ò Ç ÑÓ Ò ÓØÖÞÝÑ Ù ÙÒ fz = ze iz z z + = ze iz z z z z Þ z = +3i z = 3i ÛÓÑ Ô ÖÛ Ø Ñ Ö ÛÒ Ò Û Ö ØÓÛ Óz +z+ = ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ¾º Ó Ò Þ Ð Ñ Ø Ñ ÂÓÖ Ò ÔÓ Ô Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R ÞÒ Û Ö Ò Ý R ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ xe ix x x+ = πi resfz z=z = πi +3ie 3+i 6i ÊÓÞ ÔÖ Û ØÖÓÒ Ò Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÙÖÓ ÓÒ ÞÒ Ù ÑÝ xcosx x x+ = π 3e cos 3sin 3 xsinx x x+ = π 3e 3cos+sin 3 Ç Ð ÞÝ x sinx x +a ÊÓÞÛ Þ Ò ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ø Ô ÖÞÝ Ø Ó ÔÓÞÛ Ð ÖÓÞ Ò ÓÛ Ò Ò Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø ÔÓØ Ñ ÖÞ ÑÝ ÓÞÝÛ ÔÓ ÓÛ Ø Ó Ó ÛÝ Þ µº ÓÖ Ó ÓÒØÙÖ Γ Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø ÓÑ Ò Ø Ô Ó Ö Ñ Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R Û ÖÒ Ô Ô Þ¹ ÞÝõÒ Ô ØÖÞ ÖÝ º ¾µ Ô Þ ÑÝ Γ dz ze iz z +a = = i x cosx+ix sinx + dzfz x +a K R x sinx x +a + dzfz ½ K R

19 Þ Ó ÒÙ Ñ Þ ÖÓ Ó ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ø Ò Ô ÖÞÝ Ø ¹ Ø Ò Ñ ÛÒ Ó ÛÝÒ Ò Ø Þ Ø Ó Ò ÔÖÞ Þ Ö ÙÙÑ dzfz Þ ÞÝ ØÓ ÙÖÓ ÓÒ µº ÖÙ ØÖÓÒÝ ÔÓ Γ Ø Ö ÛÒ πi resfz z=i a Ï ÔÙÒ z = i a Ø ÙÒ ÖÙ Ó ÖÞ Ù Û resfz z=i a = d ze iz dzz +i a z=i a = e a i a a e a i a i a e a i a 3 = e a 4 a Ø Ñ i x sinx x +a + dzfz = πi e a K 4 a R ÌÖÞ ÔÓ Þ ÞÞ Û Ö Ò Ý R ÖÙ ÞÒ Ñ ÑÝ Ø Ñ z = Re iϕ dzfz = π dϕire iϕ Reiϕ expircosϕ Rsinϕ R e iϕ +a K R π R e Rsinϕ dϕ R e iϕ +a R π dϕ e Rsinϕ R a Û Ó Ø ØÒ Ñ ÖÓ Ù Ù ÝØ ÞÓ Ø Ò Ö ÛÒÓ z±w z w µº ÅÓ Ò Ø Ö Þ ÛÝ ÓÖÞݹ Ø Ù ÞÒ Ð ϕ π Ò Ö ÛÒÓ sinϕ ϕ/π Ò Ô R π dϕ e Rsinϕ R a R R a π dϕe Rϕ/π = R π e R R a R Ð R Ø Û Ø ÙÑ ÓÒ ÔÖÞ Þ ÞÝÒÒ /R 3 ÞÒ º Ç Ø Ø ÞÒ Û x sinx x +a = πe a 4 a ÈÓ Ö ÐÑÝ ÞÞ Ö Þ Û ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Ò ÑÓ Ò ÓÒØÙÖÙ Ó ÔÓ Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Ó¹ Ñ Ò Ô Ó Ö Ñ Û ÓÐÒ Ô Ô ÞÞÝõÒ ØÛÓ ÔÖ Û Þ Þ ÔÓÛÓ Ù ÛÝ Ø Ô Ò ÔÓÒ Ò ÐÒ ÖÓ Ò Ó ÞÝÒÒ e +Rsinϕ ÔÓ ØÝÑ Ô Ó Ö Ù Ò ÞÒ Ý R º Ç ÐÒ Ð Ñ Ø ÂÓÖ Ò µ ÓÒØÙÖÝ Û Ø ÖÝ ÛÝ ØÔÙ ÞÝÒÒ e i a z e i a z µ ØÖÞ ÓÑÝ Ô Ó Ö Ñ Û ÖÒ ÓÐÒ µ Ô Ô ÞÞÝõÒ Ý Ø Ñ Þ ÙÖÓ ÓÒ ÞÑ ÒÒ z Ø Ó ØÒ Ù ÑÒ µ Ó Û ÔÓ Þ Ò Ù Þ ÞÝÒÒ Ñ +i a i a µ Ø ÙÑ Ò Ð R º ½

20 Ç Ð ÞÝ sinax xx +b ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓÒ Û ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ø Ô ÖÞÝ Ø ÖÓÞ ÑÝ Ò Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø ÖÞ ÑÝ ÔÓ ÓÛ Ø Ó Ó ÛÝ Þ º ÑÝ ÔÓÒ ØÓ a > ÛÝÒ Ð a < Ø ÔÓ ÔÖÓ ØÙ Ñ ÒÙ ÛÝÒ Ñ Ð a > µº Å ÒÓÛÒ ÙÒ ÔÓ ÓÛ Þ ÖÙ Û ÔÙÒ x = Ø ØÓ Ò Ó Ó Ð ÛÓ ÔÓÞÓÖÒ Ý ÔÙÒ Ø Ø Ò Ø Þ Ö Þ Ñ Þ Ö Ñ Ð ÞÒ º Ã Ý Ò ÔÖÞ Ó Þ ÑÝ Ó ÓÛ Ò ÔÓ Þ Ñ Ò ØÝÑ ÓÒØÙÖÞ ÙÒ fz = e iaz zz +b Ó Ð Þ Ò Þ Ò ÔÖÞ Þ Þ ÙÖÓ ÓÒ Þ ÔÓÛÝ Þ ÙÒ ÔÓ Ó ÖÞ Þݹ Û Ø µ ÔÙÒ Ø z = Ø ÔÙÒ Ø Ñ Ó Ó Ð ÛÝÑ ØÖÞ Ó ÔÖÞÝ ÓÛ Ò Ù ÛÝ ÞÓÐÓÛ º Ð Ø Ó Ø Û ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Ù ÑÝ ÙÒ fz Ò ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ¾ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ ÔÓ Þ ÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ÖÞ ÑÝ Ö Ò ε º ÔÙÒ ØÙ Û Þ Ò ÔÓ Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Þ Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø fz ÔÖÓ ÙÖ Ø Ó ÔÓÛ ÓÓ Ö Ð Ò Ù Ò Û Û Þ Ó ÒÙ Ñ Û Ò Û ÖØÓ ÛÒ Ø º ÝÑ ØÖÝÞÒ ÑÙ Þ Ò Ù Þ Ð Û ÔÖ Û ØÖÓÒÝ Þ x Ó Þ Ö µº Å ÑÝ Þ Ø Ñ dzfz = ε R fx+ R ε fx+ K R dzfz+ K ε dzfz = πi resfz z=i b Å ÒÙ ÔÖÞÝ K ε ÔÖÞÝÔÓÑ Ò ÔÓ ØÝÑ Ô Ó Ö Ù Ø Ö Ò Û ÖÙÒ Ù Þ Ó ÒÝÑ Þ ÖÙ Ñ Û Þ Û Þ Ö ÞÝÐ Û ÖÙÒ Ù ÔÖÞ ÛÒÝÑ Ó Ø Ò Ö ÓÛ Óµº Ê ÙÙÑ ÙÒ fz Û ÙÒ ÔÖÓ ØÝÑ Ó Ð Þ ÑÝ Ø Ò Ö ÓÛÓ resfz z=i b = e a b i b i b = e a b b Ó Ò Þ Ð Ñ Ø Ñ ÂÓÖ Ò ÔÓ Ô Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R ÞÒ Û Ö Ò Ý R Ó Þ Ó ÝÐ ÑÝ a > µº ÓÐ Û Ö Ò Ý ε ÔÓ Ñ ÝÑ Ô Ó Ö Ù Ò Ø ÖÝÑ z = εe iϕ Ò ÞÒ Ø ØÓ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ö Ù ÓÖÑÙ ÓÛ Ò ÔÓ Þ Ò Ñ Û Ø ÖÝÑ Ó Ð Þ Ð ÑÝ Û ÖØÓ ÛÒ µ lim dzfz = ε K ε π dϕiεe iϕ ia ε eiϕ e εe iϕ ε e iϕ +b = i π b Þ ÛÝÒ ÞÒ Ù ÑÝ Û ÔÓ Û Ò Ö Ò Ý R ε e iax xx +b = iπ e ab πi b b ¾¼

21 ÁÑz R ε ε R Ê z ÊÝ ÙÒ ÃÓÒØÙÖ ÓÑ Ý ÙÒ ÔÖÓ ØÝ Û z = ÞÛ ÒÝ Ø ÓÒØÙÖ Ñ Ç Ë ÔÓ Ø ÖÓÔÓÐ Ù ÇÊ Ë ÔÓ ÓÖÝ ÓÛ Ò Ù Ô ÖÙ Ð Ñ ÒØ Û ÓÒØÙÖ Þ ÞÝÒ ÔÖÞÝÔÓÑ Ò Ô ÛÒ ÓÐ ÖÞÝÑ Þ ÓÒ ºººµº ÛÝØÐ Û Ø Ò ÞÛ Þ Û Þ Þ ÑÝ ÔÖÓ º º ÏÓ Ø Û ÞÓÛ º ËØ ÔÖÞÝÖ ÛÒÙ Ó Þ ÙÖÓ ÓÒ ÖÞ ÞÝÛ Ø Ó Ù ØÖÓÒ ÔÓÛÝ Þ Ö ÛÒÓ ÞÒ Ù ÑÝ sinax xx +b = P sinax xx +b = π e ab b cosax xx +b = P ÓÞÒ Þ ØÙ Û Ò Û ÖØÓ ÛÒ Ò Ò Ð ÓÑ ÞÝ ÔÖ Ò Ô Ð Ú ÐÙ ¹ Ø P µ Ø º ÓØÖÞÝÑÝÛ Ò Ý Ö Ò ÛÙ Þ Þ ÛÙ ØÖÓÒ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ó ÔÙÒ ØÙ Ó Ó Ð Û Ó ÙÒ ÔÓ ÓÛ º º Ç Ð ÞÝ sinx x ÊÓÞÛ Þ Ò Ø Ø Û ÖÙÒ ÓÛÓ Þ Ò º Â Û ÖØÓ ÑÓ Ò ÞÒ Ð õ Ø Ñ ØÓ¹ Ñ ÓÒÛ Ò ÓÒ ÐÒÝÑ Ð ÛÝÑ ØÓ Û Þ Ó Ò Ù ÔÖ Ý ÔÓÖ ÓÞÝ ÔÖÝØÙº ÃÓÖÞÝ Ø ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ù ÑÓ Ò ØÓ ÞÖÓ Ò ØÔÙ Óº Ç Ð Þ ÑÝ i Γ dz eiz z ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Γ ÔÓ Þ ÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù º Å ÑÝ ÛØ Ý ε R i dzfz + sinx icosx i x Γ R Ý Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ ÙÒ Ø ÓÐÓÑÓÖ ÞÒ º ε K ε dz eiz z i dz eiz K z = R È ØÖÞ ÒÔº º Ä Ê ÙÒ Ö Ò Þ ÓÛÝ ÓÛÝ ÈÏÆ Ï Ö Þ Û ½ ÛÝ º ÁÁµ º ¾ º ¾½

22 ËÔÖ Û Þ ÑÝ Ò Ô ÖÛ ÔÓ Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R π dz eiz z = dϕ ireiϕ eircosϕ+isinϕ Reiϕ K R ÞÒ Û Ö Ò Ý R º Ï ÖÞ ÞÝ Ñ π dz eiz z dϕe Rsinϕ = K R K ε π/ dϕe Rϕ/π = π R π/ dϕe Rsinϕ e R ÏÝ ÓÖÞÝ Ø Ð ÑÝ ØÙ Ø ÔÓÔÖÞ Ò Ó Ò Ö ÛÒÓ sinϕ ϕ/π Ù ÞÒ Ð ϕ πº Æ ØÔÒ Ó Ð Þ ÑÝ ÔÓ Ñ ÝÑ Ô Ó Ö Ù Ò Ø ÖÝÑ z = εe iϕ lim dz eiz ε z = lim i dϕe εsinϕ e iεcosϕ i dϕ = iπ ε Ï Ö Ò Ý R ε Ñ ÑÝ Þ Ø Ñ Ö ÛÒÓ ε lim ε + π ε sinx icosx x π = π ÈÓÒ Û cosx Ø ÙÒ Ô ÖÞÝ Ø Þ Ó ÒÙ Ñ Þ ÖÓ Ø ØÓ Þ ÙÒ Ò Ô ÖÞÝ Ø Û ÝÑ ØÖÝÞÒÝ Ö Ò µ Ó Þ Þ Þ ØÝÑ ÔÖ Û ØÖÓÒ Ø Ð Þ ÞÝ ØÓ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÔÓ Ð Û Þ Ó ÒÙ Ñ Ø ÞÝ ØÓ ÙÖÓ ÓÒ µº Þ ÒÙ Ñ Þ ÔÓ ÛÓ ÓÒ ÞÙ Ò º Ø Ñ Ç Ð ÞÝ sinx x = π sin x x ÊÓÞÛ Þ Ò Ò Ñ Ò Ó Ó Ð ÛÓ Ò Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Ø Û Ó Ö Ò Ò Ù Ó ÔÓÔÖÞ Ò Þ Ò ÞÛÞ Ð Ò µ Ð Ý Ó Ð ÞÝ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ù ØÖÞ ÔÖÞ ÔÖÞ Þ Þ Ó Ó Ð ÛÓ Ñ º È Þ ÑÝ sin x x = cosx = { ε lim + ε = { lim ε ε x ε ε + x ¾¾ ε ε + cosx x ε } cosx } x

23 Ý ÞÒ Ð õ ÖÙ ÖÓÞÔ ØÖÙ ÑÝ Ò ØÔÙ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Ç Ë Þ ÖÝ ÙÒ Ù ε dz eiz = eix z x + dz eiz z + dz eiz = z Γ + ε ÇÞÝÛ ÒØ Ö Ù Ò ØÝÐ Ó Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÔÓÛÝ Þ º ÈÓÒ Û Û Ö Ò Ý R ÔÓ Ô Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R ÞÒ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ø ε + eix ε x = dz eiz z Kε ÔÓ Ô Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù ε Ñ Ø Ö Þ Ó Û Û ÛÝÑ ÖÙÒ Ùµº Ý ε Ø ÑÓ Ò Ó Ð ÞÝ ÖÓÞÛ ÙÒ ÔÓ ÓÛ Û Þ Ö Ï ÛÖÞÙ ÛÓ z = dz eiz = dz z Kε z + i z + Kε π = dϕiεe iϕ i + + = i π dϕe iϕ π +Oε ε eiϕ εeiϕ ε = π ε e iϕ π +Oε = π +Oε ε ÏÝÒ Ø Ò Ð Ó ÓÞ Û Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø Þ sinx/x Û ÝÑ ØÖÝÞ¹ ÒÝ Ö Ò ÔÓÛ ÒÒ Ý Ö ÛÒ Þ ÖÙµ Ø ÓÒ Û Û ÖØÓ ÔÓØÖÞ Ò Ò Ñ Þ cosx/x º Ý ÓÖÞÝ ØÙ ÑÝ Ø Ò ÛÝÒ Û Þ ÑÝ ÛÝÖ ÞÝ Ó Ó Ð Û Ø º /εµ Ö ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ó Ø Ø ÞÒ K R sin x = π x Ó ÔÓØÛ Ö Þ ÔÖÓ Ö Ñ Å Ø Ñ Ø º ÙÛ ÑÝ Ø ØÓ ØÝÐ ÑÓ Ó Ó Ó + Þ ÙÒ sinx/x Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ Þ Ò Ù Þ Ø ÙÒ Ý Ó Ð ÞÓÒ Û Ö Ò Ó Ó Ó ÐÓ π/µº Æ ÔÓÛ ÒÒÓ ØÓ Þ Û ÛÔÖ Û Þ ÙÒ sinx/x Ñ Ð ÛÓÐÒ Þ ÛÞÖÓ Ø Ñ x Ò sin x/x Ð Þ ØÓ Ø Ö Þ Ó ØÒ Ö Þ Ù ÑÒ Û ÔÖÞÝÞÝÒ Ó Ö ÒÝ x¹ Û Þ ÓÛÓ Ù Ð Ø Ó ÛÝ Ó Þ ØÝÐ ÑÓ Ó Þ ÞÝ Ñ Ð Ð Þ ØÓ Þ Û Þ Ó ØÒ ÙÒ sin x/x º Ç Ð ÞÝ sin3 x x 3 ÊÓÞÛ Þ Ò ÃÓÖÞÝ Ø ÑÝ Þ ØÓ ÑÓ sin 3 x = 3sinx sin3x Ó Ð Þ ÑÝ 4 ε 4i lim + 3e ix e 3ix ε x 3 ε ¾ K ε

24 ÈÖÞÝ ÝÑ ØÖÝÞÒÝÑ ÓÛ Ò Ù Ó ÒÙ Ý ÔÓÛ Ø Þ e ix ÓÖ Þ e 3ix Þ Þ Ö i Ö ÞÝ ÒÙ Ý Þ ØÓ Ó ØÖÞ Ð Ø Ó Þ Ð ÑÝ ÛÝÒ ÔÖÞ Þ iµº ÈÓÒ Û ÙÒ fz 3e iz e 3iz /z 3 Ø ÓÐÓÑÓÖ ÞÒ Û Ó Þ ÖÞ Ó Ö Ò ÞÓÒÝÑ ÓÒØÙÖ Ñ Ç Ë Þ ÖÝ ÙÒ Ù Þ fz ÔÓ ØÝÑ ÓÒØÙÖÞ Þ ÖÓ Ó ÓÞÒ Þ ε lim ε + ε 3e ix e 3ix dz = lim x 3 ε K ε z 3 3eiz e 3iz dz = lim ε K ε z 3 +3z +  ÞÛÝ Ð Ô Ö Ñ ØÖÝÞÙ ÑÝ Ô ÙÞ Ó ÔÖÓÑ Ò Ù ε Ô Þ z = εe iϕ ÞÒ Ù ÑÝ dz π idϕ lim ε K ε z 3 +3z + = lim +3ε e iϕ + = 3iπ ε ε e iϕ ÌÙ ÙÖ Ø Þ /z Þ ÖÓ Ó Ø Ò Ø ÖÝÑ Ý ÓÔ ÖØÝ Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù ε Ý Ó¹ Ö ÛÒÝ π Ø ØÓ Û Ò Ò Þ ÞÞ ÐÒÝ ÔÖÞÝÔ Û Û ÔÓÑÒ ÒÝ ÔÖÞÝ Ö Ù ÔÓ Ò Ò ØÖÓÒ ½ ØÙ ÑÙ Ó ØÓ Ø ÛÝ Ó Ó Ð Þ Ò Þ ÙÒ sin 3 x/x 3 Ø Ó ÖÞ Ó Ö ÐÓÒ Ò Û Ø ÞÛÞ Ð Ò Þ Ò µº Ø Ñ sin3 x x 3 = 3 4 π Ç Ð ÞÝ Ö Ò Þ Ð Ø º Ö Ò Ð F S sinx F C cosx ÊÓÞÛ Þ Ò Ø Þ Ò Û ÖÙÒ ÓÛÓ Þ ÓÖ Þ ÞÝ ÞÝÑ Ý x Ó ÝÐ ÓÑ ÙÒ ÔÓ ÓÛÝ Ó Ó + ÔÖÞÝÞÝÒ ÛÒÓ ÞÓÒ Ó ÔÖÞ Þ Ù x¹ý Ù Ö Ò Ó Þ Ö º Ý Ó Ð ÞÝ Ù ÑÝ ÙÒ fz = e z ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Γ F ÔÓ Þ ÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù º ÈÓÒ Û Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ ÙÒ fz Ø ÓÐÓÑÓÖ ÞÒ Ñ ÑÝ Γ F dzfz = R e x + 8 K R dzfz+ skos dzfz = Ï Ö Ò Ý R ÔÓ Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R Ò Ø ÖÝÑ z = Reiϕ ÞÒ 8 π/4 π/4 dzfz = dϕire iϕ e R cosϕ e ir sinϕ R dϕe R cosϕ 8 K R ÓÖÞÝ Ø Þ Ò Ö ÛÒÓ cosϕ 4ϕ/π Ù ÞÒ Ð ϕ π/4µ Ñ ÑÝ π/4 dzfz dϕe Re R 4Rϕ/π = π e R 4R 8 K R ¾

25 ÁÑz π/4 R Ê z ÊÝ ÙÒ ÃÓÒØÙÖ ÓÛ Ò Γ F ØÞÛº ØÓÔ Ö µº Ð R lim R e x = e x = e x = π ÙÛÞ Ð Ò Û ÔÓ Ó z = re i 4 π dz = dre i 4 π ÓÖ Þ z = r e i π = ir Ñ ÑÝ ËØ i π +e 4 π dre ir = +i dr cosr i +i dr sinr = π ÔÖÞÝÖ ÛÒÙ Ó Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÙÖÓ ÓÒ ÔÓ Ð Û ÔÖ Û ØÖÓÒ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Û Ö ÛÒ Ò Ø ÖÝ ÖÓÞÛ Þ Ò dr cosr + dr sinr = π dr cosr dr sinr = ÈÓÒ Û ÝÛ Ø Ý Ó Ò Û Þ e x = F S = F C = π 8 e x dye y = dye x +y = π drre r = π R ¾

26 ÁÑz πi R R Ê z ÊÝ ÙÒ ÈÖÓ ØÓ ØÒÝ ÓÒØÙÖ ÓÛ Ò Û Ô ÞÞÝõÒ ÞÑ ÒÒ Þ ÔÓÐÓÒ zº ÈÓ Û ÖÙÒ Þ ÒÓ eax +e x Ó Ð ÞÝ Ñ ØÓ Ö Ù Ûº ÊÓÞÛ Þ Ò Ð x + ÙÒ ÔÓ ÓÛ Þ ÓÛÙ e a x Ð x e ax º ÏÝÒ Ø Ø Þ Ò ÞÛÞ Ð Ò µ Ð < a < º Ý ÞÒ Ð õ Ð Ø Û ÖØÓ a Ó Ð Þ ÑÝ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Γ ÔÓ Þ ÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù Þ ÙÒ fz = e az /+e z º ÙÒ Ø Ñ ÙÒÝ ÔÖÓ Ø Û ÔÙÒ Ø Û Ø ÖÝ e z = Ø º Û z n = iπ + nπ n Zº Ï ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ ÞÒ Ù Ò ØÝÐ Ó ÔÙÒ Ø z = iπº ÃÓÒØÙÖ Þ ÞØ Ö Ó Ò Û ÔÖÓ ØÝ Ò Ø ÖÝ Ó ÔÓÛ Ò Ó z = x z = R+iy z = x+πi ÛÖ Þ z = R+iyº Å ÑÝ Þ Ø Ñ R π dzfz = eax +e +i dy ear e iay x +e R e iy Γ + R R R eaπi e ax +e x +i π dy e ar e iay +e R e iy = πi resfz z=iπ ÃÓÒØÙÖ ÞÓ Ø Ø ÔÖÝØÒ Ó Ö ÒÝ Û Ñ ÒÓÛÒ Û ØÖÞ Ø Ø Ñ Û Ô ÖÛ Þ ÔÓ ÛÝ Þ Ò Ù ÔÖÞ Ò Ø Ó ÞÝÒÒ e aπi Ø ÓÒ Ö ÛÒ Þ Ñ ÒÙ Ñ Þ ÛÞ Ð Ù Ò ÔÖÞ ÛÒ ÓÖ ÒØ µ Ô ÖÛ Þ º  ÞÛÝ Ð ÑÙ ÑÝ ÔÓ Þ Û Ö Ò Ý R ÔÓ Ó ÔÖÓ ØÓ Ø ÞÒ º ËÞ Ù Ñݺ ÈÖ ÛÝ ÓÞ ÖÓ Ø Ò Ö ÓÛ µ π dy ear e iay π +e R e iy dy π e ar +e R e iy π Ó Þ Ó ÝÐ ÑÝ a < º Ä ÛÝ ÔÓ Ó Ò dy e ar e iay π +e R e iy e ar dy e R Ó Þ ÓÐ < aº ÞÝÐ Û Ö Ò Ý R Ñ ÑÝ e aπi eax dy +e x = πi resfz z=iπ ¾ e ar e R

27 Ç Ð Þ ÑÝ Ö ÙÙÑ À Ò ÞÒ Ñ Ö ÛÒÓ ÓÞÒ Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ö Ù Ý ËÞÔ Ø ÐÒ µ Ç Ø Ø ÞÒ Û resfz z=iπ = lim z iπ z iπe az +e z = e iaπ z iπ lim z iπ +e z =H = e iaπ e z eax +e x = πieiaπ e aπi = πi e iaπ e aπi = = e iaπ z=iπ π sinaπ Å ØÓ Ö Ù Û Ó Ð ÞÝ ÓÐÓ Û Ð ØÞÒº ØÝÔÓÛ ÛÝ ÙÑ Ò Þ ÔÓÛÓ Ù Ø Ó π µ Ø Ö Ò Ò ÓÐÓ Û x +π chx ÊÓÞÛ Þ Ò Ø ÑÓ Ò Ó Ð ÞÝ Ù ÙÒ fz = z iπchz ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù º Å ÑÝ ÓÛ Ñ R R dzfz = Rx iπchx + R x+πi iπchx+πi + = πi bokidzfz i resfz z=zi Þ z i ÔÙÒ Ø Ñ Ó Ó Ð ÛÝÑ ÙÒ fz ÞÒ Ù ÝÑ Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ Ó¹ Û Ò º Ï Ö Ò Ý R ÔÓ Ó ÓÒØÙÖÙ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ÞÒ º ÆÔº ÔÓ ÔÖ ÛÝÑ Ó Ù Ò Ø ÖÝÑ z = R+iy Þ Ù ÑÝ Ò ØÔÙ Ó π idy π R+iy iπchr+iy dy R+iy π e R e iy +e R e iy π dy R+iy π e R e R ÈÓÒ Û Ò chx+πi = chx ÔÓ Ó ÛÖ Ò Ù Ö Ò ÖÙ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Û Ö Ò Ý R ÞÛ Þ πi x +π chx = πi i resfz z=zi ÞÝ Ø Ò Ñ ÛÝÒ Ó Ø Ò ÑÝ ÓÖ ÖÒÝ Ó ÓÒØÙÖÙ Ò ÖÝ ÙÒ Ù Ò ÛÝ Ó Ó 4πi Ò ÛÝ Ó Ó πik Þ k Z + ÐÙ k Z Û Þ Ò Û ÙÑÓÛ Ò Ù Þ Ö Ù ÓÑ ØÖÝÞÒ Óºººµ ¾

28 ÙÒ fz Ñ ÙÒ ÔÖÓ ØÝ Û z = iπ resfz z=iπ = chiπ = cosπ = ÓÖ Þ ÙÒÝ ÔÖÓ Ø Û z n = iπ + nπ n Z Þ Þ Ó ØÝÐ Ó Ø Ó ÔÓÛ n = n = ÞÒ Ù Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ ÓÛ Ò º resfz z=i π resfz z=i 3π = lim z i π = lim z i 3π z i π z iπchz =H = z i 3π z iπchz =H = i π sh = i π π i π sh = i 3π π Þ Û ÞÝ Ø Ó ÞÒ Ù ÑÝ x +π chx = 4 π Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ô ºººµº Å ØÓ Ö Ù Û Ó Ð ÞÝ x n +x n Û Ø Ö n N Ø Þ Ò Ð n Ó Ð x ÙÒ ÔÓ ÓÛ Þ ÓÛÙ /x n µº Ç Ö Ò Þ ÑÝ ØÙ Ó Ò ØÙÖ ÐÒÝ n Ý ÙÒ Ò ÔÖÓ Ð ÑÙ Ò ÓÛ Ò z n Ð Ò ÓÛ ØÝ n Ø ÖÝÑ ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Þ Ñ ÑÝ Ð ÓÞÝÛ ÔÓÛÝ Þ Þ ÙÒ Ö ÞÝÛ Ø Ø Þ Ò Ð ÓÛÓÐÒÝ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ n > º ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓØÖÞ Ò ØÙ ÞØÙÞ Ø ÔÓ Ó Ò Ó Ø Þ ÔÓÔÖÞ Ò Ó Þ Ò Þ ØÝÑ ÓÒØÙÖ ØÖÞ Ø Ö Þ ÛÝ Ö Ø Ý ÒÝÑ Ó Ö Ñ ÒØ Ñ Ý Ó ØÒ Ô Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Ý Ò ÖÙ Ñ Ö Ñ Ò ÞÝÒÒ z n Û Ñ ÒÓÛÒ Ù Ý Ø Ö ÛÒÝ x n º Ì ÛÝÑ Ò Ô Ò ÔÓ Þ ÒÝ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ÓÒØÙÖ ØÝÔÙ Ð Ò º ÈÓ ØÝÑ ÓÒØÙÖÞ Ù ÑÝ ÙÒ fz = z n / + z n º Å ÓÒ ÙÒÝ ÔÖÓ Ø Û Ñ Þ ÖÓÛÝ Ñ ÒÓÛÒ Ø º Û ÔÙÒ Ø Ý Ô ÖÛ Ø Ñ n¹ø Ó ØÓÔÒ Þ i z k = /n = exp π +kπ k = n n Â Ò ØÖÙ ÒÓ Þ ÙÛ Ý Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ ÔÓ Þ Ò Ó Ò ÖÝ ÙÒ Ù ÞÒ Ù ØÝÐ Ó Ô ÖÛ Ø z º Å ÑÝ Þ Ø Ñ R π/n dzfz = fx+ dϕire iϕ f Re iϕ Γ + R dre iπ/n rn e iπ +r n = πi resfz z=z ¾

29 ÁÑz π/n R Ê z ÊÝ ÙÒ ÃÓÒØÙÖ ÓÛ Ò ØÝÔÙ Ð Ò ÐÙ Ù Ý ØÓÔ Ö µº Ï Ó Ø ØÒ ÔÓ ÖÒ Ö Û Þ Ð Ò ÔÓ Ø Û Ð ÑÝ z = re iπ/n ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ð ÑÝ ØÓ ÛØ Ý z n = r n º Æ ØÔÒ ÖÓ ÔÓÐ Ò Ø Ò Ö ÓÛÝÑ ÔÖ Û Þ Ò Ù Ð n > µ π/n dϕire iϕ f Re iϕ Ý R ÓÖ Þ Ò Þ ÙÛ Ò Ù R dre iπ/n rn e iπ = eiπ/n +rn Ó Û Ö Ò Ý R ÔÓÞÛ Ð Ò Ô R dr π/n dϕ Rn+ R n r n = eiπ/n +rn R +e iπ/n x n +x = πi resfz n z=z Ê ÙÙÑ Ò ØÖÙ ÒÓ Ó Ð ÞÝ ÙÒ ÔÖÓ Øݵ resfz z=z = lim z z z z z n z n + Ì Û = i lim z z z z z n + =H = x n +x n = πi ie iπ/n n+e iπ/n = π n i nz n cosπ/n x n +x n = i z=z n eiπ/n ÈÓ Û ÖÙÒ Þ ÒÓ I = Ó Ð ÞÝ Ñ ØÓ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Ö Ù º chpx chqx cosmx ¾

30 ÁÑz Γ iπ/q R R Ê z ÊÝ ÙÒ ÈÖÓ ØÓ ØÒÝ ÓÒØÙÖ ÓÛ Ò Û Ô ÞÞÝõÒ ÞÑ ÒÒ Þ ÔÓÐÓÒ zº ÊÓÞÛ Þ Ò Ø Þ Ò Ð q > pº Ý Ó Ð ÞÝ ÖÓÞÔ ØÖÙ ÑÝ dzfz dz epz+imz chqz Γ Γ ÔÓ Þ Ñ Ò ØÝÑ ÓÒØÙÖÞ Γ ÔÓ Þ ÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù º Ï Ö Ò Ý R Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÔÓ Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Þ ÙÒ fz ÔÓ¹ ÛÓ ÓÒ ÞÙ Ò epx+imx chqx = = = epx+imx e px imx chqx chqx + epx+imx chqx epx+imx chqx + chpx chqx cosmx+i shpx chqx sinmx Ï ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ ÔÓ Þ Ò Ó Ò ÖÝ ÙÒ Ù ÙÒ fz Ñ ØÝÐ Ó Ò ÙÒ ÔÖÓ ØÝ Û z = iπ/qº Â Ö ÙÙÑ Û ØÝÑ ÔÙÒ ÛÝÒÓ resfz z= iπ q = e p+imiπ q lim z iπ q = H = e p+imiπ q lim z iπ q z iπ/q chqz qshiπ/ = ep+im qi À Ò ÞÒ Ñ Ö ÛÒÓ ÓÞÒ Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ö Ù Ý ËÞÔ Ø ÐÒ µº ÔÓ ÖÒÝÑ Ó Ù ÓÒØÙÖÙ Þ ÖÝ ÙÒ Ù Ò Ø ÖÝÑ z = x+iπ Ø Ö ÛÒ ep+imx+iπ/q chqx+iπ = e p+imiπ q ep+imx chqx Ý chqx+iπ = chqxº Â Ð Û ØÝÐ Ó ÞÒ ÔÓ Ô ÓÒÓÛÝ Ó ÓÒØÙÖÙ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Þ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ù ÞÛ Þ iπ q ep+imx chqx = π q e p+imiπ q +e p+imiπ q = π q [ ] cos p+im π q ¼

31 Ø Ñ chpx chqx cosmx = π q shpx chqx sinmx = π q = π cos q cos cos cos pπ q pπ q pπ q pπ q cos ch mπ q sin ch mπ q ch ch pπ q pπ q mπ q mπ q mπ ch q +sin mπ sh q +sin +isin +sin pπ q pπ q pπ q pπ q sh sh mπ sh q mπ sh q mπ q ÈÓÞÓ Ø ØÝÐ Ó ÔÓ Þ ÞÒ ÔÓ Ó ÔÖÓ ØÓ Ø Þ ÖÝ ÙÒ Ù º Æ ØÝ Ó z = ±R+iy π/q dzfz e ±pr e my dy e ±qr e iqy +e qr e iqy bok Ï Û ÒÔº Ð ÔÖ Û Ó Ó Ù Ø º Ð z = R+iy Ý R π/q dzfz dy epr e my e qr e qr prawy bok Ð Ó Ø Ý Ó Û ÖÙÒ Ñ Þ ÒÓ ÛÝ ÓÛ q > pº ÈÖÞÝÔÓÑÒ Ò ÙÒ lnz Ò ÑÓ Ý Ó Ö ÐÓÒ Ò Ô ÞÞÝõÒ Þ ÔÓÐÓÒ ÞÑ ÒÒ zº Ð Û ÞÝ Ø k Z ÛÝÖ Ò re iϕ+πk Ö ÔÖ Þ ÒØÙ Ò Ø Ñ Ð Þ Þ ÔÓÐÓÒ z Ð Û ÖØÓ ÐÓ ÖÝØÑÙ z lnz = ln re iϕ+πk = lnr +iϕ+kπi Þ Ð Ý Ó ÛÝ ÓÖÙ k Zº ÈÖÞÝ Ó Ó Þ Ò Ù ÔÙÒ ØÙ z = Ý Þ Ö ÙÑ ÒØÙ ÙÒ ¹ lnz ÔÖÞÝÖ Ø Ý Ó π Û ÖØÓ ÙÒ ÐÓ ÖÝØÑ ÞÑ Ò Ý Ó πi Þ ÝÑ Ó Ñº Ø Ó ÔÓÛÓ Ù ÔÙÒ Ø z = Ø ÞÛ ÒÝ ÔÙÒ Ø Ñ ÖÓÞ Þ Ò ÙÒ lnzº Æ Ö Þ Ð Ò Ñ ÔÓ Ó Ñ Þ Ò ÓÛ Ò ÐÓ ÖÝØÑÙ Ó ÙÒ ÒÓÞÒ ÞÒ ØÓ Ø ÔÐ ÓÒ ÞÑ ÙÒ Ø Þ Ò ÒÓÞÒ ÞÒ µ Ø Ó Ö Ð Ò Ó Ò Ò ÞÛÝ Ô ÞÞÝõÒ Þ ÔÓÐÓÒ Ð Þ Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò Ê Ñ ÒÒ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ò Û ÛÓ ÔÙÒ ØÙ z = ÔÓÛ ÖÞ Ò ÔÖÞÝÔÓÑ Ò ÐÙÞÓÛÝ Ð Ñ ÒØ ¹ Ý ÑÓ Þ Ù ÔÖÞ ÔÓØÓÔÓÛÝ ¹ Ñ ÞÝÒ Ó Ñ µº ÔÖ ØÝÞÒ Ó ÔÙÒ ØÙ Û Þ Ò Ø º ½ mπ q

32 Ó Ó Ð Þ Ò Þ ÙÒ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Ñ ØÓ Ö Ù Ûµ ÛÝ Ø ÖÞÝ Ò Ó Ö Ð ÐÓ ÖÝØÑ Ò Ô ÞÞÝõÒ Þ ÔÓÐÓÒ Þ ÖÓÞ Ñ Ò ÝÑ Ó ÔÙÒ ØÙ ÖÓÞ Þ Ò z = Ó Ò Ó ÞÓÒÓ Ó ÙÑÓ Ð Û ÒÓÞÒ ÞÒ ÔÖÞÝÔ Ò ÞÝ Ò Ð Ò ÖÓÞ Ùµ Ð Þ Þ ÔÓÐÓÒ Ó Ò ÖÓÞ Ø Ô ÞÞÝõÒ Ó Ø Ó Ñ Ó z Ò ÑÓ Ò ÔÓÛÖ ÔÓ ÖÓ Þ ÓÛ Ö Þ ÐÙ Û Ö Þݵ ÛÓ ÔÙÒ ØÙ z = º Æ ÛÝ Ó Ò Ø ÔÖÞÝ ÖÓÞ Ó ÔÙÒ ØÙ z = Ó Ò Ó ÞÓÒÓ ÛÞ Ù Ó ØÒ Ô Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Þ Ò ÓÛ Þ z Ø Ý ÐÓ ÖÝØÑ Ó ØÒ Ð Þ Ý ÖÞ ÞÝÛ Ø Ý Ø Ñ ÐÓ ÖÝØÑ Ó Ö ÐÓÒÝ Ò R + º ÈÖÞÝ ÑÙ ÑÝ Þ Ø Ñ Ð Þ z = x+iδ Þ x > δ + Ø Ö Þ ÑÝ ÓÞÒ Þ x+iµ Ñ Þ ϕ = ÛÓ Ø Ó lnx + i = lnxµ Ð Þ z = x i Ø º z = x iδµ Ñ Þ π Ø lnx i = π+lnxµº ÙÛ ÑÝ Ø ÐÓ ÖÝØÑ Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø Ð Þ Ý Ù ÑÒ x = x Ø ÔÖÞÝ Ø Ò ÐÓ ÖÝØÑÙ Ó ÖÞ Ó Ö ÐÓÒ Ð Þ Þ ÔÓÐÓÒ ln x +iπº Ç Ð ÞÝ lnz dzfz dz z +a Γ Γ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ ÔÓ Þ ÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù º ÊÓÞÛ Þ Ò Ï ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ñ Û ÙÒÝ ÔÖÓ Ø Û ÔÙÒ ¹ Ø z ± = ±i a º Ø Ñ R dzfz dzfz+ fx+i Γ K ε + dzfz+ K R ε ε R fx i = πi resfz z=i a + resfz z= i a Æ ØÖÙ ÒÓ ÔÓ Þ ÔÓ Ñ ÝÑ Ó Ö Ù Ò Ø ÖÝÑ z = εe iϕ ÞÒ Û Ö Ò Ý ε º ÊÞ ÞÝÛ π δ dzfz dϕ ε lnεeiϕ Kε δ a +ε e iϕ π dϕ ε lnε π a +ε e iϕ + dϕ ε ϕ a +ε e iϕ Ý Û Ö Ò Ý Ø Ñ ÒÓÛÒ Û Ó Ù ÛÝÖ Þ Ý Ó Ø Ö ÛÒ a Ñ Ó ÞÓÒ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÐÒ Ó ÞÒ Ý ÞÝÒÒ Û ε lnε ÓÖ Þ εº Ê ÛÒ ÔÓ Ù ÝÑ Ó Ö Ù Ò Ø ÖÝÑ z = Re iϕ ÞÒ Û Ö Ò Ý R π dzfz dϕr lnr+iϕ π K R R e iϕ +a dϕr lnr+iϕ R a Ï ÔÓ Û Ò Ö Ò Ý ε R Ñ ÑÝ Þ Ø Ñ Ö ÛÒÓ fx+i+ fx i = πi resfz z=i a + resfz z= i a ¾

33 ÁÑz Ê z ÊÝ ÙÒ ÃÓÒØÙÖ Γ ÞÛ ÒÝ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ º Ð Ø Ð Ò ÛÞ Ù Ó ØÒ Ô Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø ÓÞÒ Þ ÖÓÞ Ø º Þ Ö Ð Þ Ò Ò Ð Ý Ó Þ Þ ÒÝ ÙÒ lnzº ÈÖÓÑ εñ Ó Ó Ö Ù Ó Óz = Ý Ó Þ Ö ÔÖÓÑ R Ù Ó Ó Ö Ù Ý Ó Ò Ó ÞÓÒÓ º Ê Ù ØÛÓ ÞÒ Ð õ resfz z=i a = ln a e iπ/ i a resfz z= i a = ln a e 3iπ/ i a Ø ÙÑ Ö Ù Û ÛÝÒÓ π/ a º ÈÓÒ Û fx i = lnxeπi x +a = lnx x +a +πi x +a ÛÝÖ ÞÝ Þ ÐÓ ÖÝØÑ Ñ Ö Ù Ù ÔÓ ÛÝÔÖÓ ØÓÛ Ò Ù Ö Ò ÖÙ µ ÙÞÝ Ù¹ ÑÝ Ö ÛÒÓ πi x +a = πi resfz z=i a + resfz z= i a = πi π a Ø Ö ÓÐÛ ÔÖ Û Þ Û Ñ Û Ó Ø Ñ Ó ÒØ Ö Ù ¹ Ø Ò Ñ ÛÝÒ Ø º Þ fx = /x + a ÑÓ Ò ÞÒ Ð õ ÔÖÓ º ÈÖÞÝ Ø Ò ÔÓ ÞÙ Ò Ò Ð Ý Ó Ó Þ Þ ÐÓ ÖÝØÑ Ñ º ØÛÓ Ø Ò ØÝÑ ÔÖÞÝ Þ ÔÖ Û Þ ÙÞÝ Û Ò ÛÝÒ Ò Þ Ð Ó ÛÝ ÓÖÙ Þ ÐÓ ÖÝØÑÙ Ø º ÓØÖÞÝÑ Ð Ý ÑÝ Ø Ò Ñ Ó ÓÛÝ ÞÛ ¹ Þ Ò Û Ø Ý Ý Þ Ò ÓÛ ÐÓ ÖÝØÑ Ø Ò ÖÒÝÑ ÖÞ Ù ÖÓÞ Ñ Ð Ý ÑÝ lnz = ln xe πki Ò ÓÐÒÝÑ ÛÓ Ø Ó lnz = ln xe πk+i º

34 Ó Û ÔÓÒ ÓÒ ØÙ ÔÓÖ ÑÓ Ò ÔÖÞ Ù Û Ù Ø º Û Ò ÖÞ Þ Ó Ó Ð Þ ¹ Ò Û Ö Ò Ó Ó Þ ÙÒ ÛÝÑ ÖÒÝ Rx Ø Ö Ò Ô ÖÞÝ Ø Ø º R x Rx ÑÓ Ñ Ó Ó Ð ÛÓ Ò Ù ÑÒ Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø µ Ø ÖÝ ØÓ Ò ÑÓ Ò Ó Ð Þ ÔÖÞ Þ ÖÓÞ ÓÛ Ò Ò Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø ÓÖÞÝ Ø Ò Þ ÓÒØÙÖÙ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ¾º ÁÐÙ ØÖÙ ØÓ Ò ØÔÙ º Ç Ð ÞÝ I = x x +x+ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÓÒØÙÖ ØÝÔÙ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù º ÊÓÞÛ Þ Ò Æ ÙÞ Ò Ó Û Þ Ò Ñ ÖÓÞÔ ØÖÙ ÑÝ zlnz dz z +z + Γ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù º ÈÓ Ø Ò Ö ÓÛÝÑ ÔÓ Þ Ò Ù ÔÓ Ó Ö Ó ÔÖÓÑ Ò ε R ÞÒ Û Ö Ò ε R ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ö ÛÒÓ xlnx x +x+ + xlnxe πi x +x+ = πi [ ] zlnz res z +z + z i =±i ÞÝÐ ÔÓ ÞÖ Ù ÓÛ Ò Ù Þ ÐÓ ÖÝÑ Ñ Ø Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ ÔÖÞÝ Þ xlnx x +x+ = [ ] zlnz res z +z + Ê Ù Ó Ð Þ ÑÝ Ø ÔÓÔÖÞ Ò Ó [ ] zlnz res z +z + [ ] zlnz res z +z + [ ] zlnz res z +z + ÇØÖÞÝÑÙ ÑÝ Þ Ø Ñ I = π 4 z=i z= i z= z i =±i π = iln e i i+i = i i π 4 iln e i3π = i i = +i i 3π 4 = ln e iπ = i π i+i i +3i +i = π 4 ÏÝÒ Ø Ò ÑÓ Ò ÓÞÝÛ ÔÖ Û Þ Ø Ò Ö ÓÛ Ñ ØÓ I = +x lim Λ Λ +x x +x z=z i z=z i

35 ÃÓÒ ÞÒ Ø ØÙ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ö ÙÐ ÖÝÞ Λ Ý ÖÓÞ Ò Ù Ñ ÔÖÓ Ø ÙÒ ¹ Þ Ø Ö Ý Þ Ò ÓØÖÞÝÑ Ð ÑÝ Ö Ò ÛÙ Þ Ó Ó Ò Ò Þ ÒÝ º ËØ I = π lim ln+x Λ Λ ln+x Λ + π = π 4 Ø ÛÝ º Ç Ð ÞÝ lnx x +a ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÓÒØÙÖ ØÝÔÙ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù º ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓÔÖÞ Ò ÔÖÞÝ ÔÓ ÞÙ ÓÛ Ò ÙÒ z + a lnz ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ Ò ÔÓ ÞÙ Û Ò ÞÓ ÞÝÑÝ Ð Ø ÑÓ Ò Ò ÓØÖÞÝÑ Ù ÙÒ z +a lnz ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Ç Ë ÔÓ Þ ÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù µº ËÔÖ Ù ÑÝ Û ÓÛ ÔÓ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ ÙÒ fz = lnz z +a Ï Ö Ò Ý ε R ÞÒ Ò Û Ø Ö Ò Ý ÔÓ Ó Ö Ñ ÝÑ Ù ÝÑ ÛÝ ÞÙ Ø ÑÓ ÔÓÔÖÞ Ò Óµ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ lnx x +a + Ç Ð Þ ÑÝ Ö Ù Á ÙÑ ÛÝÒÓ resfz = i a πi+lnx x +a resfz z=+i a = ln a e i resfz z=+i a = = πi resfz z=+i a + resfz z= i a i a π ln a e i3π i a {ln a +iπln a π 4 = iπln a +π i a } ln a +3iπln a 9π 4 ÊÓÞÔ Ù Û Ö Ø ÐÓ ÖÝØÑÙ Û ÖÙ Ó Ö Û Ò Ö Ò ÓÛ Ò ÞÒ Ù ÑÝ Þ ln x ÙÐ Ö Ù ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ö ÛÒÓ 4πi lnx x +a +4π x +a = πi π iπln a i a

36 Þ Ø Ö ÔÖÞÝÖ ÛÒÙ Ó Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÙÖÓ ÓÒ Ó Ù ØÖÓÒ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Û ÖÙ Þ Ò Ù ÓÞÝÛ ÞÒ Ñݵ Ç Ð ÞÝ lnx x +a = π a ln a lnx x +a x +a = π a ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÓÒØÙÖ Ç Ë Þ ÖÝ ÙÒ Ù º ÊÓÞÛ Þ Ò Ù ÑÝ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Ç Ë ÙÒ z +a lnz ÛÝ Ö Ø ÔÓÔÖÞ Ò Ó Ø º Ó z = Ó Ò Ó ÞÓÒÓ ÛÞ Ù Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø º ËØ Ò Ö ÓÛÓ ÔÓ ÞÙ ÑÝ ÔÓ Ñ ÝÑ Ô Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù ε ÓÖ Þ ÔÓ Ù ÝÑ Ô Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R ÞÒ Û Ö Ò Ý ε R º Ï Ø Ö Ò Ý Ñ ÑÝ Þ Ø Ñ ÞÝÐ ODS dzfz = iπ x +a + ln x eiπ x +a + ln x x +a + lnx x +a = πi resfz z=+i a lnx i x +a = πi π +ln a i a ÍÛÞ Ð Ò Ð ÑÝ ØÙ ØÓ Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ Ç Ë ÞÒ Ù ØÝÐ Ó ÙÒ ÔÖÓ ØÝ Û z = i a º Ó ÓÒÙ Û ÛÙ Ô ÖÛ ÞÝ Þ Ñ ÒÝ ÞÑ ÒÒÝ x x ÔÖÞÝÖ ÛÒÙ Ò ØÔÒ Ó Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÙÖÓ ÓÒ Ó Ù ØÖÓÒ Ö ÛÒÓ Ó Ø ÑÝ Ø Û ÞÒ Ò Ù µ ÛÝÒ lnx x +a = π a ln a Ó ÓÑÔÐ ØÙ Ó Ð ÞÑÝ ÞÞ Þ ÙÒ fz = ln z z +a x +a = π a ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Ç Ë Þ ÖÝ ÙÒ Ù º ÊÓÞÛ Þ Ò Â ÞÛÝ Ð ÔÓ Ñ ÝÑ Ô Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù ε ÓÖ Þ ÔÓ Ù ÝÑ Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R ÞÒ Û Ö Ò Ý ε R º Ï Ø Ö Ò Ý ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Û ODS dzfz = iπ +ln x x +a + ln x x +a = πi resfz z=+i a

37 Ê ÙÙÑ Ø ÙÒ Û z = i a Ý Ó Ù ÞÒ Ð Þ ÓÒ º ÊÓÞÔ Ù Ô ÖÛ Þ ÓØÖÞÝÑÙ¹ ÑÝ Û π x +a +πi ln x x +a + + ln x x +a ln x x +a = π a ln a +iπln a π 4 ÈÓ Ó ÓÒ Ò Ù Þ Ñ ÒÝ ÞÑ ÒÒÝ x x Û ØÖÞ Ô ÖÛ ÞÝ ÔÖÞÝÖ ÛÒ Ò Þ ÙÖÓ ÓÒÝ Ó Ù ØÖÓÒ ÞÒ Ò Ù Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø Þ Ö ÛÒÓ ln x x +a = π lnx x +a = π a ln a x +a + π a ln a π 4 ÈÓÒ Û ÞÒ ÑÝ Ù ØÓ ÔÓ ÔÖ Û ØÖÓÒ π/ a µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÒÓÛÝ ÛÝÒ ÔÓØÛ Ö Þ ÒÝ ÔÖÞ Þ ÔÖÓ Ö Ñ Å Ø Ñ Ø µ ln x x +a = π 8 a π +4ln a Ý Ò ÔÓÛ Ø Ó ÑÝÐÒ ÛÖ Ò Þ Û Þ Ø Ð Ô ÓÛ ÙÒ ÔÓ Ø ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ Ö ÞÝ ÐÓ ÖÝØÑ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Ç Ë Þ ÖÝ ÙÒ Ù ÔÖ Ù ÑÝ ÖÓÞÛ Þ Ò ØÔÙ Þ Ò º ÅÑ ØÓ Ö Ù Û Ó Ð ÞÝ xlnx x +a x +b Û Ø Ö a b Ð Þ Ñ ÖÞ ÞÝÛ ØÝÑ º ÊÓÞÛ Þ Ò Ó ÞÑÝ Ó ÛÝ Þ Ð Ù ÑÝ ÙÒ fz = zz +a z + b lnz ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Ç Ë ÖÝ ÙÒ µº ÅÓ Ò ÞÛÝ Ð ÔÓ Þ ÔÓ Ô ¹ Ó Ö Ñ ÝÑ Ù ÝÑ ÞÒ Û Ö Ò Ý ε R Þ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ù ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ö ÛÒÓ xln x e iπ x +a x +b + xlnx x +a x +b = πi resfz i a + resfz i b ÈÓÒ Û Ò ÑÒÓ ÐÓ ÖÝØÑ ÙÒ Ý Ò Ô ÖÞÝ Ø Û ÔÓÔÖÞ Ò ÔÖÞÝ ÙÒ Ø Ý Ý Ô ÖÞÝ Ø µ ÔÓ Ó ÓÒ Ò Ù Û Ô ÖÛ Þ ÔÓ Ø Û Ò x x Ó Ö Ò Ù Ö Ò ÓÛ Ò Þ ÐÓ ÖÝØÑ Ñ ÙÐ Ò Ö Ù ÓØÖÞÝÑ ÑÝ Ö ÛÒÓ x iπ x +a x +b = πi resfz z=i a + resfz z=i b

38 ÈÓ Ó Ð Þ Ò Ù Ö Ù Û resfz z=i a = i a ln a e i π i a b a = ln a e i π b a resfz z=i b = i b ln b e i π i b a b = ln b e i π a b ÞÒ Ù ÑÝ ÞÝÐ iπ x x +a x +b = πi ln a / b b a x x +a x +b = a ln a b b Æ Ø ØÓ Ò Ø Ø Ö Ð ÑÝ Ó Ð ÞÝ Ï Ø ÝØÙ Ò Ñ ÒÒ Ó ÛÝ Ò ÓÖÞÝ Ø Ò Þ ÓÒØÙÖÙ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ ÖÝ ÙÒ µ ÓÛ Ò ÔÓ Ò Ñ ÙÒ gz = zln z z +a z +b ÈÓ Ø Ò Ö ÓÛÝÑ ÔÓ Þ Ò Ù ÔÓ Ó Ù Ó Ö ÞÒ Û Ö Ò Ý ε R ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ö ÛÒÓ xln x x +a x +b + xπi+lnx x +a x +b = πi z =±i a ±i b resgz z=z ÈÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ù Þ Û Ö Ø Ñ ÐÓ ÖÝØÑ Û ÞÖ Ù Ù Ð ÞÓ Ø Ò ÔÓ Ò Þ ÐÓ ÖÝØÑ Ñº ÈÓ Ó Ð Þ Ò Ù Ö Ù Û ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ 4πi resgz z=i a = iπ/+ln a b a resgz z= i a = 3iπ/+ln a b a resgz z=i b = iπ/+ln b a b resgz z= i b = 3iπ/+ln b a b xlnx x +a x +b +4π = πi a b x x +a x +b [ 4πiln a b ln a ln b ]

39 Å ÑÝ Ø Ø Ñ Ó ÔÓÔÖÞ Ò Ó x x +a x +b = a ln a b b ÓÖ Þ Ø Ö Ð ÑÝ Ó Ð ÞÝ Ó ÛÝÒ ÔÓØÛ Ö Þ ÔÖÓ Ö Ñ Å Ø Ñ Ø µ xlnx x +a x +b = a b ln a ln b ÍÛ Þ ØÝ Ô ÝÒ Ò ØÔÙ Ò Ù Ð ÔÖ Ò ÑÝ Ñ ØÓ Ö Ù Û Ó Ð ÞÝ fx = Rxln n x Û Ø Ö Rx Ø ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ Þ ÑÝ Ø ÔÓÛÝ Þ Ø Þ Ò ÔÖÞÝ ÞÝÑ ÛÝ Ø ÖÞÝ Þ ÒÓ Û ÖÙÒ ÓÛ µ ØÓ Û Ó ÐÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ÑÙ ÑÝ Ó Ð Þ Ù ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ ÖÝ ÙÒ µ ÙÒ Rzln n+ zº ÓÒØÙÖÙ Ç Ë Þ ÖÝ ÙÒ Ù ÑÓ ÑÝ ÓÖÞÝ Ø Ù ÔÓ Ò Ñ ÙÒ Rzln n zµ ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý ÙÒ Rx Ø Ô ÖÞÝ Ø º Ç Ð ÞÝ lnx x +a ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓÒ Û ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ ÑÒÓ ÐÓ ÖÝØÑ Ø Ô ÖÞÝ Ø Ò Ð Ô ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Û ØÝÑ ÐÙ ÓÒØÙÖ Ç Ë ÖÝ ÙÒ µº ÈÓ Ø Ò Ö ÓÛÝÑ ÔÖ Û Þ Ò Ù ÔÓ Ó Ù Ô Ó Ö ÞÒ Û ÔÓ Û Ò Ö Ò Ý ε R Ñ ÑÝ Ö ÛÒÓ ln x eiπ x +a + lnx x +a = πi resfz z=i a Ê ÙÙÑ ÙÒ Û ÙÒ ÖÙ Ó ÖÞ Ù ÛÝÞÒ Þ ÑÝ Þ Ø Ò Ö ÓÛ Ó ÛÞÓÖÙ resfz z=i a = d lnz dz z +i a z=i a [ = zz +i a lnz ] z +i a 3 z=i a = i ln a i π 4 a 3 Ø Ñ iπ x +a + lnx x +a = πi i ln a i π 4 a 3

40 Ø Ó ÔÓØÛ Ö Þ ÔÖÓ Ö Ñ Å Ø Ñ Ø µ x +a = π 4 a 3 lnx x +a = π 4 a +ln a 3 ÇÞÝÛ Ø Ñ ÛÝÒ ÑÓ Ò Ø ÓØÖÞÝÑ Ö Ò Þ Ù Ó ÔÓÛ Ò Ó ÔÓ Ô Ö Ñ ØÖÞ ÙÞÝ Ò ÛÞ Ò Ù x +a = d da x +a = d π da Ç Ð ÞÝ lnx x +a = d da lnx x +a = d da lnx x a +b a π 4 a lna ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓÒ Û ÙÒ ÑÒÓ ÐÓ ÖÝØÑ Ò Ø Ô ÖÞÝ Ø Ù ÑÝ ÔÓ ÓÒ¹ ØÙÖÞ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ÙÒ fz = ln z z a +b = ln z z a i b z a+i b  ÞÛÝ Ð ÔÓ Ù ÝÑ Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R ÔÓ Ñ ÝÑ Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù ε ÞÒ Û Ö Ò Ý R ε ÔÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ù Ö Ò ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÞÛ Þ 4πi lnx x a +b +4π x a +b = πi resfz z=a+i b + resfz z=a i b Ê Ù ÙÒ Û ÔÙÒ Ø z ± = a±i b ÞÒ Ù ÑÝ Ø Ò Ö ÓÛÓ resfz z=a±i b = iϕ ± +ln a +b ±i b ϕ + ϕ ØÙ Þ Ñ ÔÙÒ Ø Û z + z ÛÝÞÒ Þ ÒÝÑ Þ Ó Ò Þ ÖÓÞ Ñ Ô ÞÞÝÞÒݵ Ø ÖÝ ÑÓ Ù Ý Ò ÓÛ z ± = a +b º ÈÓÒ Û πi resfz z=a+i b + resfz z=a i b = π { } iϕ+ ϕ ln z ± +ϕ b ϕ + ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÞÛ Þ lnx x a +b = 4 b ϕ ϕ + lna +b x a +b = 4π b ϕ ϕ + ¼

41 ÁÑz π/4 ε R Ê z ÊÝ ÙÒ ½¼ ÃÓÒØÙÖ ÓÛ Ò Γ Ò ÖÝÞ ÓÒÝ ØÓÔ Ö µº  Рa > ØÓ ϕ + = arctg b / a ϕ = π arctg b / a ϕ ϕ + = π arctg b / a º Â Ð Þ a < ØÓ ØÛÓ ÞÓÖ ÒØÓÛ ϕ ϕ + = arctg b /aº Ì Û ÔÓ Ó Ò ϕ ± = π arctg b /a lnx x a +b = π b lna +b x a +b = b { π arctg b / a gdy a > arctg b / a gdy a < { π arctg b / a gdy a > arctg b / a gdy a < ÇØÖÞÝÑ Û ÖÞ ÞÝÛ Ø Þ ÐÓ ÖÝØÑ Ñ Ó Ð Þ lnz dz z +a Γ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Γ ÔÓ Þ ÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ½¼ Û Ö Ò Ý ε R º ÊÓÞÛ Þ Ò Â ÞÛÝ Ð ÔÓ Ó Ù Ù ÞÒ Û ÔÓ Û Ò Ö Ò Ý ε R ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ö ÛÒÓ lnx x +a + dre iπ 4 lnr +iπ/4 ir +a = Ò Ó ÒÝÑ Ö Ñ Ò ÓÒØÙÖÙ z = r e iπ 4 µ Ó Û ÛÒ ØÖÞ ØÓÔ Ö ÓÛ Ò ÙÒ z + a lnz Ø ÓÐÓÑÓÖ ÞÒ Ñ ÓÒ ÙÒÝ Û z = ±i a ÞÝÐ ÔÓÞ ÓÒØÙÖ Ñµº ½

42 Å ÑÝ Þ Ø Ñ ÔÓ Ó ÔÓÛ Ò Ñ Ó Ö Ò Ù Ö Ò ÛÝ Ò Ù i Þ Ñ ÒÓÛÒ µ lnx π x +a +iei 4 lnr dr r ia ei π 4 π 4 dr r ia = È ÖÛ Þ Ù Ó Ð ÞÝÐ ÑÝ Û ÔÓÔÖÞ Ò Þ Ò ÛÝÒ π/ a ln a µº ÏÝ Ó¹ ÖÞÝ ØÙ ØÓ ÑÓ /x ia = x +ia /x 4 +a 4 ÑÓ ÑÝ Û Ò Ô ie iπ 4 x lnx π x 4 +a 4 ei = e iπ 4 4 a π 4 lnx x 4 +a 4 x x 4 +a 4 +iei π 4 π 4 a x 4 +a π 4 a ln a ÔÓ ÔÖ Û ØÖÓÒ ÑÓ Ò Ó Ð ÞÝ Ñ ØÓ Ö Ù Û ÖÓÞ Ò Ó ÖÞ ¹ ÞÝÛ Ø ÓÖ ÔÓ ÓÛ Ø Ó Ó ÛÝ Þ µ ÓÑÝ ÓÒØÙÖ Ô Ó Ö Ñ ÒÔº Û ÖÒ Ô Ô ÞÞÝõÒ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ¾º Ï ÛÒ ØÖÞ Ø Ó ÓÒØÙÖÙ Ñ ÑÝ ÛØ Ý ÔÓ Û ¹ ÙÒÝ Ô ÖÛ Þ Ó ÖÞ Ù Û z = + i a / ÓÖ Þ z = + i a / º ÏÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÖÓÞ z 4 + = z z z z z +i a z a ØÛÓ ÞÒ Ù ÑÝ z = ia z = ia µ res z 4 +a 4 = i= z=zi z res z 4 +a 4 = z=zi i= +i a 3 + i a 3 = i a 3 ia +i a 3 + ia i a 3 = i a Å ÑÝ Û ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ð ÑÝ Ô ÖÞÝ ØÓ ÙÒ ÔÓ Ñ ÔÓ ÔÖ Û ØÖÓÒ ÔÓÑÒÓ¹ ÝÐ ÑÝ Ó ØÖÓÒÝ ÔÖÞ Þ e iπ 4 = i/ µ i x lnx x 4 +a 4 a = π 8 = π 8 lnx x 4 +a 4 π a +i π 8 x x 4 +a 4 +i π 8 a π a π a x 4 +a π 4 a i ln a i ln a ÈÖÞÝÖ ÛÒÙ Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÙÖÓ ÓÒ Ó Ù ØÖÓÒ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ø Û ÛÝÒ ÔÖ Û¹ ÞÓÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Å Ø Ñ Ø µ x lnx x 4 +a = π +4πln a 4 8 a lnx x 4 +a 4 = π +4πln a 8 a 3 ¾

43 ÁÑz Ê z ÊÝ ÙÒ ½½ Ý ÑÓ Ý Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ ÓÒØÙÖ Γ ÓÑ Ý ÙÒ ÔÓ Ó ÓÒÝ Ò ÖÓÞ Ù ÓÞÒ ÞÓÒÝÑ Ð Ò Ð Ø µº ÈÖÓÑ Ò ε Ñ Ý Ó Ö Û Ó Ý z = z = Ó Þ Ö ÔÖÓÑ R Ù Ó Ó Ö Ù Ý Ó Ò Ó ÞÓÒÓ º Ï Þ Ð ÒÓ Ó Û ÖØÓ a ÑÓ Ý Ó ØÒ õ Ù ÑÒ º ÆÔº Ð a = ÖÙ Ø Ù ÑÒ Ý Û ÙØ ÐÒ Ó Ø ÙÑ Ò ÔÖÞ Þ Ñ ÒÓÛÒ Ý x ÓÑ ÒÙ Ý ÔÖÞÝÞÝÒ Ó Ò ÛÒÓ Ó Þ Ö x¹ Û Ð Ó Þ Ö Û Ø ÖÝÑ ØÓ Ó Þ ÖÞ ÐÓ ¹ ÖÝØÑ Ø Ù ÑÒݺ Ï Ô ÖÛ Þ Þ ÞÝÒÒ x Û Ð ÞÒ Ù ÔÓÛÓ Ù ÔÖÞÝÞÝÒ Ó Ø Ó Ó Þ ÖÙ Û Ó Þ Þ ÞÒ ÞÒ ÑÒ Þ Û Ø Ó ØÒ º Å ØÓ Ö Ù Û Ó Ð ÞÝ lnx x x + ÊÓÞÛ Þ Ò Å ÑÓ ÔÓÞÓÖÒ Ó Ó Ð ÛÓ Û x = Ø Ø Þ Ò ÞÛÞ Ð Ò Ý Û ØÝÑ ÑÝÑ ÔÙÒ Þ ÖÙ Ø ÐÓ ÖÝØѺ Æ ÑÒ ÔÖÞÝ Ó Ð Þ Ò Ù Ñ ØÓ Ö Ù Û ØÖÞ Ø ÔÓÞÓÖÒ Ó Ó Ð ÛÓ ÛÝ ÞÓÐÓÛ º Ï ÞÛ Þ Ù Þ ØÝÑ Þ Ø Ô ÑÝ ÓÒØÙÖ ØÝÔÙ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ÔÓÒ Û ÙÒ ÑÒÓ ÐÓ ÖÝØÑ Ò Ø Ô ÖÞÝ Ø Ò ÑÓ ÑÝ ÓÖÞÝ Ø Þ ÓÒØÙÖÙ ØÝÔÙ Ç Ëµ ÓÒØÙÖ Ñ Γ ÔÓ Þ ÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ½½ Ù ÑÝ ÔÓ Ò Ñ ÞÛÝ Ð ÙÒ fz = ln z z z +  ÞÛÝ Ð Û Ö Ò Ý R ÞÒ ÔÓ Ù ÝÑ Ó Ö Ù Ý ε ÞÒ Ø ÔÓ Ó Ö Ù Ó ÝÑ ÔÙÒ Ø z = ÔÓ ÞÙ ØÓ Ø ÑÓ Û ÔÓÔÖÞ Ò

44 ÔÖÞÝ µº ÈÓÞÓ Ø Þ Ø Ñ Þ ÔÓ Û Ô Ó Ö Ó Ý ÔÙÒ Ø z = º Æ ÖÒÝÑ z = +εe iϕ góra K ε dzfz = π dϕiεe iϕ ln +εe iϕ εe iϕ [++εe iϕ ] Ý ε º Æ ÓÐÒÝÑ Þ Þ Ó Ò Þ Ò ÐÓ ÖÝØÑÙ Ò Ô ÞÞÝõÒ Þ ÖÓÞ Ñ z = e πi +εe iϕ Û Ø Ñ Ö Ò Ý ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ½¼ dól K ε dzfz = π π dϕi [πi+ln+εeiϕ ] ++εe iϕ πi 4π Ï Ö Ò Ý ε R Þ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ù ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Þ Ø Ñ ÔÓ ÔÖÞ Ò Ò Ù Ò ÖÙ ØÖÓÒ ÔÖÞÝÞÝÒ Ù ÛÒÓ ÞÓÒ Ó ÔÖÞ Þ ÔÓ Ó Ö Ù Ó ÝÑ ÔÙÒ Ø z = µ Ö ÛÒÓ ln x x x + +P πi+lnx x x + = πi π + resfz z=e i π + resfz z=e i3π ÈÖÞ ÖÙ ÓÔ Ð ÑÝ ØÙ ÞÒ P ÓÞÒ Þ Ý Û Ò Û ÖØÓ ÛÒ Ý Þ Þ ÐÓ ÖÝØÑÙ Ø Ò Ø ÞÛÞ Ð Ò Þ Ò º Ê Ù Ó ÙÒÝ Ô ÖÛ Þ Ó ÖÞ Ùµ ÞÒ Ù ÑÝ Ø Ò Ö ÓÛÓ resfz z=e i π = ln e i π i i = π 6 i ln e i3π resfz z=e i 3π = i i = 9π 6 +i ÈÓ ÖÓÞÔ Ò Ù Ó Ö Ò Ù Ö Ò Þ ln x ÙÐ Ö Ù ÛÝÒ Þ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ù Ö ÛÒÓ ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø lnx 4πi x x + 4π P π x x + = πi + π 8 5+4i Þ Ø Ö ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Û ÖÞ ÞÝÛ Ø º È ÖÛ Þ Ø Ö ÞÙ Ð ÑÝ lnx x x + = 3 6 π ½¼ ÙÛ ÑÝ Û ÞÝ Ø Ó ØÓ Ø Þ Ó Ò Þ ÓÖÑÙ ÓÛ Ò ÛÞ Ò Ö Ù ÓØÝÞ ÔÓ Ö ¹ Ñ ÒØ Ù Û Ò Ò Ø ÞÝÑ ÐÒ ÒÓµ Ó Ý ÙÒ ÔÖÓ ØÝ ÙÒ fz Û Þ Ò Ó ÖÝ Ò Ñ Û z = ÙÒ ÞÝÐ Ö ÙÙÑ Ø Ñ ÞÒ µ Û Þ Ò Þ Ó Ó Ù Ñ ÙÒ Ó Ö ÙÙÑ Ö ÛÒÝÑ π º

45 ÔÓØÛ Ö Þ Ò ÔÖÞ Þ ÔÖÓ Ö Ñ Å Ø Ñ Ø µ ÓÖ Þ ÖÙ P x x + = π 4 Ø Ö ÑÓ ÑÝ ÔÖ Û Þ Ò Þ Ð Ò ÖÓÞ ÑÝ ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ò Í Å ÔÖÓ Ø Ô Þ ÑÝ P x x + = x x + = δ x + x Λ +δ x x + x Λ x + x x + x + ÊÓÞ ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ò Ù Ñ ÔÖÓ Ø ÔÓÛÓ ÓÛ Ó Ò Ø Ö Þ Ø Ý ÖÓÞ Ò Ð x Ý Ó Þ ØÝÑ ÔÓÖ Þ ÛÔÖÓÛ Þ Ð ÑÝ Ö ÙÐ ÖÝÞ Û ÙÐØÖ ÓÐ Û ÔÓ Ø Ó Λ Û Û ÒØÓÛ Ø ÓÖ ÔÓÐ Ø ÖÞ ÞÝ Ò ÔÓÖÞ Ù Þ ÒÒÝѵº ÈÓÒ Û ÛÝ ÓÛ Ý Þ Ò Ð x ÓÞ Ù ÑÝ ÛÝÒ Þ Ó ÞÓÒÝ Û Ö Ò Ý Λ º ÓÐ ÞÝÒÒ δ Ö ÙÐ ÖÝÞÙ ÖÓÞ Ò Û x = Þ Ó Ò Þ ÔÖÞ Ô Ñ Ò Ó Ð Þ Ò Û ÖØÓ ÛÒ Û Ò Þ Ð Ò ÛÒÝѵº Ð Ñ ÒØ ÖÒ P x x + = δ ln + Λ ln δ 4 ln Λ + π 4  ØÛÓ ÞÓ ÞÝ Þ Ð ÒÓ Ó δ ÛÝÔ Û Ö Ò Ý Λ Ö Ù Ù ÛÝÖ ÞÝ Þ lnλ ÔÓÞÓ Ø Ó ÞÒ ÓÒ ÑÒ /Λµ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ø Ò Ñ ÛÝÒ Ó Ñ ØÓ Ö Ù Ûº Ç Ð ÞÝ Ñ ØÓ Ö Ù Û x sh x ÔÖÓÛ Þ Ó Þ Û Ö Ø Ñ ÐÓ ÖÝØÑÙ Ù Ó ÔÓÛ Ò ÙÒ ÔÓ Ó ¹ ÔÓÛ Ò Ñ ÓÒØÙÖÞ º ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓ Ø Û y = e x ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ x sh x = x sh x = 4 dy ln y y Ø Ø Ó ÖÞ Ó Ö ÐÓÒ Ñ ÑÓ ÔÓÞÓÖÒ Ó ÔÓ Û Ò Ó Þ Ö Ñ ÒÓÛÒ Û y = Û ØÝÑ ÑÝÑ ÔÙÒ ÔÓ Û Ò Þ ÖÓ Ñ ÓÛ Ñ Ø Ð ÞÒ º ÈÓÒ Û ÙÒ ÑÒÓ ÐÓ ÖÝØÑ Ò Ø Ô ÖÞÝ Ø ØÖÞ ÔÓ Ù Ý ÓÒØÙÖ Ñ ØÝÔÙ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ ØÓ Þ

46 ÙÐ Ø Ñ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ½½ Ý ÓÒ ÞÒ Ø ÛÝ ÞÓÐÓÛ Ò ÔÓÞÓÖÒ Ó Ó Ð ÛÓ Ð Ò ÖÓÞ Ùº ÈÓ ÓÒØÙÖÞ ØÝÑ Ò ÙÞ Ò Ó Û Þ Ò Ñ Ù ÑÝ ÙÒ fz = ln3 z z Ï Ø Ò Ö ÓÛÝ ÔÓ ÔÓ ÞÙ ÑÝ Û Ö Ò Ý R ÞÒ ÔÓ Ù ÝÑ Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R Û Ö Ò Ý ε ÞÒ ÔÓ Ñ ÝÑ Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù εµ Ó ÝÑ ÔÙÒ Ø z = º Ñ ÝÑ Ó Ö Ñ ÞÓÐÙ ÝÑ ÔÙÒ Ø z = ØÖÞ Ò ÔÓ ØÔÓÛ Ó ØÖÓ Ò º Æ ØÖÙ ÒÓ ÔÖ Û Þ Û Ö Ò Ý ε ÞÒ Ø ÔÓ ÖÒ Þ Ø Ó Ó Ö Ùº Æ Ø Þ z = +εe iϕ góra K ε dzfz = = i π π dϕiεe iϕ ln3 +εe iϕ εe iϕ dϕe iϕ εe iϕ ε 3 εe iϕ + ÈÓÒ Û ÔÓÞ ÖÓÞ Ñ ÙÒ fz Ø ÓÐÓÑÓÖ ÞÒ Þ Ó Ò Þ Ö Ù ÔÖÞ Ù Ò ÐÓ ÖÝØÑÙ Ò ÓÐÒÝ ÖÞ ÖÓÞ Ô Þ ÑÝ ln3 x x + + +ε ε πi3 +3πi lnx+3πiln x+ln 3 x x πi3 +3πi lnx+3πiln x+ln 3 x x + dól K ε dzfz = ÈÓ Ó ÛÖ Ò Ù Ö Ò ÓÛ Ò ÑÓ Ò Û Û ÞÝ Ø Þ ØÖÞ ÖÙ ÔÓØ ÐÓ ÖÝØÑÙ ÔÓ Ó Ý ε = Þ ln 3 x ÙÐ ÛØ Ý Ö Ù ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ dól K ε ε dzfz πi 3 x πi3 3πi P lnx x 3πi x +ε ln x x = Ñ Ø ÛÙ Þ Ô ÖÛ Þ ÔÓØ ÐÓ ÖÝØÑÙ Ò Ó Ó ε ÖÙ Ó +ε Ó Ò Ô Ð ÑÝ ØÙ Ò ÓÔ ØÖÞÓÒ ÝÑ ÓÐ Ñ Û ÖØÓ ÛÒ Ø Ò Ø ÞÛÞ Ð Ò Þ Ò Ð ÔÖÓ ÙÖ ÓÑ Ò ÔÓ Ó ÓÒ Ó Ò ÖÓÞ Ù ÙÒ Û z = ÔÖÞ Þ ÖÓÞ Ò Û ÔÓÑÒ Ò Û ÔÓÛÓ Ù Ò Ð Ý ÖÓÞÙÑ Û ØÝÑ Û Ò Ò º ÓÐÒ Þ Ô Ó Ö Ù ÓØ Þ Ó z = Þ Ó Ò Þ ÔÖÓ ÙÖ ÔÖÞ Ù Ò ÐÓ ¹ ÖÝØÑÙ Ô Ö Ñ ØÖÝÞÙ ÑÝ Ò ØÔÙ Ó z = e πi +εe iϕ

47 ÔÓ ØÝÑ Ö Ñ Ò ÓÒØÙÖÙ ÛØ Ý dól K ε dzfz = i = i π π π π dϕε e iϕ[ πi+ln +εe iϕ] 3 [ dϕε e iϕ πi+εe iϕ + 3 εe iϕ +] = i π π ε πi3 dϕe iϕ +3iπi dϕ+oε π Þ Oε ÓÞÒ Þ ÛÝÖ ÞÝ ÞÒ Û Ö Ò Ý ε º Ç Ð Þ Û Ò ØÙ ÓÖ Þ ÔÓÞÓ Ø Û Ð Ñ ÒØ ÖÒ Û Ô ÖÛ Þ Ð Ò ÔÓÔÖÞ Ò Ö ÛÒÓ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÞÛ Þ i ε πi3 i e πi e πi 3iπi π +πi 3 3πi P x Ø Ö Ó Ô ÖÛ Þ Ð Ò ÔÓ ÛÞ Ù Ö Ò Ø Ö ÛÒ ε πi3 3iπi π +πi 3 +ε π lnx x 3πi ε + x = 4iπ 3 ε ln x x = Â Û Û ÞÝ Ø ÛÝÖ ÞÝ Ó Ó Ð Û Ý ε Ö Ý ÈÓÒ Û Þ Ô ÖÛ Þ ÔÓØ ÐÓ ÖÝØÑÙ Þ ÓÒ ÞÝ ØÓ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Ö ÞØ ÛÝÖ Þ Û Ø ÞÝ ØÓ ÙÖÓ ÓÒ ÛÒÓ ÑÝ Ø ÓÖ Þ P lnx x = ln x x = 3 π Ç ÛÝÒ ÔÓØÛ Ö Þ ÔÖÓ Ö Ñ Å Ø Ñ Ø º ½½ Ç Ø Ø ÞÒ Û Ó Ö ÛÒ ÔÓØÛ Ö Þ Å Ø Ñ Ø µº x sh x = π 6 ½½ ÇÞÝÛ Ô ÖÛ Þ ÑÓ Ò Ø Ó Ð ÞÝ ÔÖÞ Þ Þ Û Ö Ò Ó δ Ó ε Ó +ε Ó ÔÖ Û Þ ÞÒ Ò ÛÝ ÓÒÙ ÔÖÞ Ö Ò ÞÒ ε δ º

48 Ç Ð ÞÝ Ñ ØÓ Ö Ù Û ln+x +a x ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓÒ Û ÙÒ ÑÒÓ ÐÓ ÖÝØÑ Ø Ô ÖÞÝ Ø ÔÖ Ù ÑÝ ÛÝ ÓÖÞݹ Ø ÓÒØÙÖ Ò Ý ÔÓ Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø º Â Ò ÙÒ ln + z Ñ ¹ Ý Û ÔÙÒ ØÝ Ó Ó Ð Û ÔÙÒ ØÝ ÖÓÞ Þ Ò µ Û z = ±i Ø Ö ÛÝÑ Ý Ý ÖÓÞ Ô ÞÞÝÞÒÝ Þ ÔÓÐÓÒ ÞÑ ÒÒ zº ÅÓ Ò Ý Ó Ý ÖÓÞ Û Ñ Ð Ò Ñ Ò ÝÑ Ò Þ Ð Ò Ó Ó Þ ØÝ ÔÙÒ Ø Û Ó Ò Ó ÞÓÒÓ º ÌÓ Ò ÙÒ ÑÓ Ð Û Ó Ý ÓÑ Ò ÓÒØÙÖÙ Ó ÔÓ Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Ñ ÓÐÛ Ô Ó Ö Ñ Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R ÝÑ Ó Ò Ó ÞÓÒÓ º ÖÙ ØÖÓÒÝ ÖÓÞ Þ ÔÙÒ Ø z = i Þ ÔÙÒ Ø Ñ z = i ÙÒ ÑÓ Ð Û Ó Ý ÔÓÔÖÓÛ Þ Ò ÓÒØÙÖÙ ÔÓ Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø º ÌÖÞ Û Ù Ó Ó ÛÝ Ùº ËÔÖ Ù ÑÝ Þ Ø Ñ ÓÛ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ¾ ÙÒ gz = lnz +i +a z Ø Ö Ñ ØÝÐ Ó Ò ÔÙÒ Ø ÖÓÞ Þ Ò Û z = i Ó ÙÑÓ Ð Û ÔÓÔÖÓÛ Þ Ò ÖÓÞ¹ Ó Ø Ó ÔÙÒ ØÙ Ó Ò Ó ÞÓÒÓ ÒÔº ÛÞ Ù ÓÐÒ Þ Ó ÙÖÓ ÓÒ Ø º ÔÓÞ ÓÒØÙÖ Ñ ÓÛ Ò µº ÄÓ ÖÝØÑ ÑÓ Ò ÛØ Ý Þ Ò ÓÛ Ø Ý Ð z = x > Ý ÔÓ ÔÖÓ ØÙ ÞÛÝ ÝÑ ÐÓ ÖÝØÑ Ñº Ï ÔÓ Ø Ò Ö ÓÛÝ ÔÓ ÞÙ ÑÝ Ò ØÔÒ ÔÓ Ô Ó Ö Ù ÞÒ Û Ö Ò Ý R º ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ù Ñ ÑÝ Û Ö ÛÒÓ ln x e iπ +e i π + +a x ln x+e i π = πi resgz +a x z=i È ÖÛ Þ ÑÓ ÑÝ ÔÖÞ Ô Ò ØÔÙ ln x e iπ +e i π = iπ +ln x +e i π = +a x +a x iπ +lnx i +a x Ï ÖÙ Ñ ÖÓ Ù Ó ÓÒ Ð ÑÝ Þ Ñ ÒÝ ÞÑ ÒÒÝ x x Ó Ö Ð ÑÝ Ö Ò Ó¹ Û Ò º ÈÓ Þ Ò Ø Ö Þ Ó Ù ÙÖ Ø ÔÓ Ò ÙÒ ln+x º Ê ÙÙÑ ÙÒ gz ÞÒ Ð õ ØÛÓ lnz +i resgz z=i/ a = a z +i/ a = i z=i/ a a ln + e iπ = i a a ln + + π a 4 a Å ÑÝ Û ÞÛ Þ ln+a x +x +iπ +a x = πi i a ln + + π a 4 a

49 R ÁÑz R R R Ê z θ ÊÝ ÙÒ ½¾ Ò Ø ÔÓÑ ÞÝ Û ØÓÖ Ñ R R ÓÖ Þ ÓÒØÙÖ ÓÛ Ò ÙÒ fθ = ln R R º Ø ÖÝ Û ÖÞ ÞÝÛ Ø ÔÓØÛ Ö Þ Ò ÔÖÞ Þ ÔÖÓ Ö Ñ Å Ø Ñ Ø µ ln+a x = π +x a ln + a +a x = π a ÙÛ ÑÝ Ò ÓÒ Ý Ý Þ Ñ Øgz ÓÛ ÙÒ hz = +a z ln iz ØÓ Ó Ø Ð Ý ÑÝ ØÝÐ Ó Ô ÖÛ Þ Ó Ð Þ Ò Ý Ý Ý ØÖÓ Þ ÔÖÓ Ø Þ º Ç Ð ÞÝ I = π dθ ln R R Û Ø Ö θ Ø Ø Ñ ÔÓÑ ÞÝ Û ØÓÖ Ñ R R ÖÝ ÙÒ ½¾µº ÊÓÞÛ Þ Ò ÓÛ Ò ÙÒ ØÖÞ Þ Ô Û Ø ÔÓ Ý ÔÓ ÔÖÞ Ù Ó ÞÑ Ò¹ Ò Þ ÔÓÐÓÒ Ø ÓÒ ÙÒ ÓÐÓÑÓÖ ÞÒ Û Ô ÛÒÝÑ Ó Þ ÖÞ Ô ÞÞÝõÒÝ Þ ¹ ÔÓÐÓÒ ÞÑ ÒÒ zµº  ØÛÓ ÔÖ Û Þ ÐÓ ÖÝØÑÓÛ ÒÝ ÞÝÒÒ ÑÓ Ò Þ Ô Û ÔÓ Ø R R R +R R R cosθ = R e iθ R ÈÓÞÛ Ð ØÓ Þ Ô Ò ØÔÙ Ó I = Re π dθln R e iθ R Æ ØÙÖ ÐÒÝÑ ÖÓ Ñ Ø ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ò ØÔÒ ÞÑ ÒÒ z = R e iθ ÓÛ Ò ÔÓ Þ ¹ Ñ Ò ØÝÑ ÓÒØÙÖÞ ÝÑ Ó Ö Ñ Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R Ó ÝÑ ÔÙÒ Ø z = º ÌÖÞ Ò Þ Ò ÓÛ ÐÓ ÖÝØÑ ÔÓ Ø º ÖÓÞ Ô ÞÞÝÞÒÝ Þ ÔÓÐÓÒ ÞÑ ÒÒ zµ Ø Ý Ý ÓÒ ÒÓÞÒ ÞÒ ÙÒ z Û ÝÑ Ý Ù z R Ò Ó ÖÞ Ùµº  Ø

50 ØÓ ÑÓ Ð Û Ð R > R ÖÓÞ ÑÓ Ò ÛØ Ý ÔÓÔÖÓÛ Þ Ø Ò ÖÝ ÙÒ Ù ½¾º Å ÑÝ ÛØ Ý dz I = Re z =R iz lnz R ÙÒ Ø Ñ ÙÒ ÔÖÓ ØÝ Û z = º ÏÓ Ø Ó Þ Ó Ò Þ ØÛ Ö Þ Ò Ñ Ó Ö Ù I = Re πi res lnz R iz z= ÓÖ ÔÓ ÙÛ ÔÖÞÝ Ø ØÙ Ò ÐÓ ÖÝØÑÙ res lnz R iz = z= i limlnz R = z i ln R e iπ = i lnr +iπ  РR < R ØÓ Û ØÓÖÝ Þ Ñ Ò ÖÓÐ Ñ º Ï Ö ÞÙÐØ π { 4πlnR gdy R dθ ln R R = > R 4πlnR gdy R < R ÈÖÞÝÔÓÑÒ Ò ÙÒ ÔÓ Ø fz = z a α gz = b z β Ó ÛÝ α β / Z Ò ÑÓ Ý Ó Ö ÐÓÒ Ò Ô ÞÞÝõÒ Þ ÔÓÐÓÒ ÞÑ ÒÒ zº ÈÙÒ ØÝ z = a z = b ÔÙÒ Ø Ñ ÖÓÞ Þ Ò ØÝ ÙÒ º ÈÓ Ô ÖÛ Þ ÓÐÛ Ñ Ð Þ Ý Þ ÔÓÐÓÒ z a b z ÑÓ Ò ÔÖÞ Ø Û Û ÔÓ Ø z a = r a e iϕa+πna b z = r b e iϕ b+πn b Þ ÓÛÓÐÒÝÑ n a Z n b Z ØÓ Ø Ñ Ð Þ Ý Þ ÔÓÐÓÒ Ð ÓÛÓÐÒÝ n a n b µ ØÓ Û ÖØÓ fz gz Þ Ð Ó ÔÖÞÝ ØÝ Û ÖØÓ n a n b º ÈÓ ÖÙ Ò Û Ø Ð ÔÖÞÝ ÓÒ Ö ØÒ ÙÑÓÛ ÓØÝÞ ÛÝ ÓÖÙ Û ÖØÓ n a n b ØÓ Ø ÔÓ Ó Ù ÔÖÞ Þ Ö ÙÑ ÒØ z ÙÒ fz gz ÓÓ Ó ÔÙÒ ØÙ Ó ÔÓÛ Ò Ó z = a z = b ÞÝÐ ÔÓ ÔÓÛÖ Ò Ù Ö ÙÑ ÒØÙ ÙÒ fz Ó ÛÝ ÓÛ Û ÖØÓ µ ÞÝ ϕ a ϕ b ÞÑ Ò Ó π Û ÖØÓ ÙÒ fz gz Ö Ò Ý Ó Ô ÖÛÓØÒÝ Ó ÔÓÛ Ò Ó Ó ÞÝÒÒ e iπα e iπβ º Ì Û ÙÒ fz gz ÔÓ Ó Ò ÙÒ lnzµ Ò ÑÓ Ý ÓÐÓÑÓÖ ÞÒ ÞÝРѺ Òº µ Ò Ô ÞÞÝõÒ Þ ÔÓÐÓÒ ÞÑ ÒÒ zº  Рα βµ Ø Ð Þ ÛÝÑ ÖÒ ÔÓ Ø k/m ØÓ ÔÓm¹ ÖÓØÒÝÑ Ó Ù ÔÖÞ Þ z ÔÙÒ ØÙ z = a z = bµ ÙÒ fz gzµ ÛÖ Ó ÛÓ ÛÝ ÓÛ Û ÖØÓ ÙÒ Ø ÑÓ Ò Þ Ò ÓÛ Ó ÒÓÞÒ ÞÒ Ò m¹ ÖÓØÒ Ò Û ÛÓ ÔÙÒ ØÙ z = a z = bµ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ê Ñ ÒÒ Ó m Ô Ø º  Рα βµ Ò Ø Ð Þ ÛÝÑ ÖÒ ØÓ Ó ÔÓÛ Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò Ê Ñ ÒÒ Ñ Ò Ó Þ Ò Û Ð Ô Ø Û Ò Û Ý ÛÓ ÔÙÒ ØÙ ¼

51 z = a z = bµº Û Þ Ò Þ Ð Ò Ó Ø Ó ÞÝ Ð Þ α βµ Ø ÛÝÑ ÖÒ ÞÝ Ò ÑÓ Ò ÙÒ fz gzµ Þ Ò ÓÛ Ó ÒÓÞÒ ÞÒ ÔÓ ÔÖÞÝ Ù ÙÑÓÛÝ Ó Ó n a ÐÙ n b µ Ò Ô ÞÞÝõÒ Þ ÔÓÐÓÒ ÞÑ ÒÒ z Ñ ÖÓÞ Û ÓÛÓÐÒÝ ÔÓ Ýµ Ó z = a z = bµ Ó z = º Ý a Ø Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÞÛÝ Ð ÔÖÞÝ ÑÙ ÖÓÞ Ó z = a ÔÓ Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Û ÔÖ ÛÓ Ó z = Þ Ð Þ Ý Þ ÔÓÐÓÒ z Ó Ö Ð Û Ø Ò ÔÓ Ý ÞÝ Ð Þ ÔÓ Ø z = x+i Þ x > a Ý Ý Ö ÛÒ Þ ÖÙº Ç Ð ÞÝ Ñ ØÓ Ö Ù Û lnx xx+ ÊÓÞÛ Þ Ò Ø ÓÞÝÛ Þ Ò Û Ù Ø Ò Ö ÓÛÝ ÖÝØ Ö Ûµº ÈÓÒ ¹ Û Û ÔÙÒ z = Þ Ö ÛÒÓ ÐÓ ÖÝØÑ ÙÒ Ó ÑÒÓ Ô ÖÛ Ø µ Ñ ÔÙÒ Ø ÖÓÞ Þ Ò ÑÓ ÑÝ ÒÓÞÒ ÞÒ Ó Ö Ð ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ò Ô ÞÞÝõÒ Þ ÔÓÐÓÒ ÞÑ ÒÒ z Ñ ÖÓÞ Ó z = ÛÞ Ù Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Ó Ò Ó ÞÓÒÓ º ÅÓ ÑÝ ÛØ Ý ÔÖ ÓÛ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÓÒØÙÖ ØÝÔÙ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ÓÛ ÔÓ Ò Ñ ÙÒ ½¾ fz = lnz zz + Ï Ö Ò Ý ε R ÔÓ Ó Ù Ó Ö ÞÒ º Ï ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ ÙÒ Ñ ØÝÐ Ó Ò ÙÒ ÔÖÓ ØÝ Û z = º ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ù ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Þ Ø Ñ Ö ÛÒÓ lnx xx+ + ÞÝÐ ÔÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ù lnxe iπ xe iπ / x+ = π πie i ln e iπ lnx xx+ +πi = iπ xx+ ÈÓÒ Û ÔÖ Û ØÖÓÒ Ø ÞÝ ØÓ ÙÖÓ ÓÒ ÞÙ Ò ÛÝÒÓ Þ ÖÓº Æ Þ ÖÓÛ Ø Þ ØÓ Ó ÛÒ Ó ÔÓØÛ Ö Þ ÔÖÓ Ö Ñ Å Ø Ñ Ø µ ½ = π xx+ ½¾ ÙÛ ÑÝ Ø Ö Þ Ó Ø ÓÛ Þ ÞÝÒÒ z ÔÓÛÓ Ù Þ ÐÓ ÖÝØÑ Ñ ÔÓ ÓÐÒ Ö ¹ Û Þ ÖÓÞ Ò Ö Þ Ò ÐÓ ÞÒ ÔÓ ÖÒ Ö Û Þ Þ Ø ÑÙ Ò ÑÙ ÑÝ Ø Û ÔÖÞÝÔ Ù ÙÒ ÛÝÑ ÖÒÝ ÑÒÓ Ý ÐÓ ÖÝØÑ Ö ÛÝ Þ ÔÓØ ÐÓ ÖÝØÑÙº ½ Ò Ò ÞÙ Ò ÑÓ Ò Ø ÔÖÓ ØÓ ÛÝ Þ Ó ÓÒÙ Û Ò ÔÓ Ø Û Ò x = /t Û ÞÑ ÒÒ t ÛÝ Þ Ø Ñ ØÝÐ Ó Þ Ñ Ò٠ѵº ÇØÖÞÝÑ Ò Þ ÑÓ Ò ÓÞÝÛ Ó Ð ÞÝ ÞÔÓ Ö Ò Ó ÔÓ Ø Û t = xº ½

52 Ç Ð ÞÝ Ñ ØÓ Ö Ù Û ln x xx+ ÊÓÞÛ Þ Ò Ì Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ ÔÖÞÝ Þ ÑÓ ÑÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÓÒØÙÖ ØÝÔÙ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù º Ï Ö Ò Ý ε R ÔÓ Ó Ù Ó Ö ÞÒ º Ï ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ ÙÒ Ñ ØÝÐ Ó Ò ÙÒ ÔÖÓ ØÝ Û z = º ÈÓ Ó Ò ÛÝ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Þ Ø Ñ Ö ÛÒÓ ln x 4π +4πi xx+ xx+ lnx xx+ = πln e iπ ÈÓÒ Û Ø Ö Þ ÔÖ Û ØÖÓÒ Ø ÞÝ ØÓ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÔÓÒÓÛÒ ÓÛ Ù ÑÝ ØÖÞ ÔÓ Ð Û ØÖÓÒ Ø ÑÒÓ ÓÒ ÔÖÞ Þ 4πiµ ÞÒ º ÈÖÞ ÒÓ Þ Þ ÖÙ Ò ÔÖ Û ØÖÓÒ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÔÓÔÖÞ Ò Þ Ò ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÞÒ Û Þ Þ ØÓ Þ Ó ÔÓÛ Þ ÔÖÓ Ö ÑÙ Å Ø Ñ Ø µ ln x = π 3 +4π = π 3 +4π 3 = π 3 xx+ xx+ Ç Ð ÞÝ Ñ ØÓ Ö Ù Û lnx xx +a ÊÓÞÛ Þ Ò Â ÞÛÝ Ð Þ Ñ Ø Ó ØÝÔÙ Ù ÑÝ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ÙÒ fz = lnz zz +a ÔÓ Ù ÝÑ Ó Ö Ù ÞÒ Û Ö Ò Ý R Û Ö Ò Ý ε ÞÒ Ó εε / lnε µ ÔÓ Ñ ÝÑ Ó Ö Ù Ó ÝÑ ÔÙÒ Ø z = º Ï Ø ÔÓ Û Ò Ö Ò Ý Þ ØÛ Ö¹ Þ Ò Ó Ö Ù Ñ ÑÝ Þ Ø Ñ Ö ÛÒÓ lnx xx +a + lnxe πi e iπ xx +a = πi i resfz z=zi ÔÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ù lnx xx +a +πi xx +a = πi i resfz z=zi ¾

53 ÙÒ fz Ñ Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ Þ ÖÝ ÙÒ Ù Û ÙÒÝ ÖÙ Ó ÖÞ Ù Û z = ±i a º Ý ÞÒ Ð õ Ö Ù Ö Ò Þ Ù ÑÝ d dz fz = lnz z 3/ z ±i a + z 3/ z ±i a lnz z / z ±i a 3 Ð ÞÝÑÝ resfz z=i a = / a e iπ { ln a e i π a ii a + i a i a ln } a e i π i a 3 = { ln a e iπ 4 a 8i a + π 3 6 a 3 4i a + ln a 3 4i a + π } 3 8 a 3 = { 3ln a e iπ 4 a 8i a + 3π 3 6 a } 3 4i a 3 / ln a e i3π resfz z= i a = a e i3π a i i a + ln a e i3π i a i a i a 3 = i { e iπ 4 ln a a 8i a 3π 3 6 a + 3 4i a ln a 3 4i a 3π } 3 8 a 3 = i { e iπ 4 3ln a a 8i a 9π 3 6 a + } 3 4i a 3 Ö Ø ÛÝÒ Ñ ÑÝ i resfz z=zi = i a { 3ln a 8i a 3 + 3π 6 a 3 4i a 3 i [ 3ln a 8i a 9π 3 6 a + ]} 3 4i a 3 Þ ÐÓ ÖÝØÑ Ñ Ø Û Ö ÛÒ lnx xx +a = π { 3ln a a 8 a 3 4 a 9π 3 6 a + 3π 3 6 a + 3ln a 3 8 a } 3 4 a 3 π = { 34 a π + 3 } ln a 7/ Ó Ø ÓÛÓ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ø ÖÙ xx +a = { 3π a 6 a + 3ln a 3 8 a 3 4 a 3ln a 3 8 a a + 9π } 3 6 a 3 = 3π 4 a 7/ Ç ÛÝÒ ÑÓ Ò ÔÖ Û Þ ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Å Ø Ñ Ø º

54 ÈÓ Û ÖÙÒ Þ ÒÓ Ò Û Û xβ ax+b Ó Ð ÞÝ Ñ ØÓ Ö Ù Û ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÓÒØÙÖ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ ÖÝ ÙÒ µº ÊÓÞÔ ÖÞÝ Þ Ö ÛÒÓ ÔÖÞÝÔ ab > ab < º ÊÓÞÛ Þ Ò Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ý ab > Ø º Ý ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ò Ñ Ó Ó Ð ÛÓ Û ÔÖÞ Þ Ð [ Þ ÓÛÙ Ð x ÓÖ Þ x Ó ÔÓÛ Ò Ó x β oraz x β Ø Þ Ø Ñ Þ Ò Ð Ó Ð Þ ÑÝ < β < º ÈÓÒ Û ÙÒ z β Ñ Û z = ÔÙÒ Ø ÖÓÞ Þ Ò ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ò Ù ÑÝ Ò Ô ÞÞÝõÒ Þ ÔÓÐÓÒ ÞÑ ÒÒ z Ñ ÖÓÞ ÛÞ Ù Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Ó z = Ó Ø Ý x + i β = x β º Ý ÙÔÖÓ Ó ÔÖ Û Ó ÓÒÙ ÑÝ ÔÖÞ ÐÓÛ Ò ÞÑ ÒÒ ÓÛ Ò y = ax/bµ xβ ax+b = a β b dy yβ a +y Ù ÑÝ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù Ó ÝÑ ÖÓÞ ÙÒ fz = z β /z +º ËÞ Ù ÑÝ Ò ØÔÒ Û Ø Ò Ö ÓÛÝ ÔÓ ÔÓ Ó Ö π dzfz dϕε εβ ε Ó β > K ε π dzfz dϕr Rβ Rβ = π K R R R Ó β < º Ï ÔÓ Û Ò Ö Ò Ý ε R Ñ ÑÝ Þ Ø Ñ Ö ÛÒÓ dy yβ +y + dy yβ e πiβ +y = πi resfz z= Ó Ò Þ ÖÓÞ Ñ Ô ÞÞÝÞÒÝ ÔÖÞÝ Ø Ò ÞÝ z = e iπ º Ê ÙÙÑ Û z = Ø Û Ö ÛÒ e iπβ ÔÓ Ó Ö Ò Ù Ö Ò ÖÙ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ø Ñ e πiβ xβ +x = πi e πiβ eiπβ = dy yβ +y = πieiπβ π sin[π β] = π sinπβ

55 ÞÝÐ xβ ax+b = β b π gdy ab > a asinπβ Ý ab < Ò ØÒ Û Ò ÝÑ Ð ÑÓ Ò Ò Ò ÔÖÞ Þ ÔÖÞ Ö Ò ÞÒ ε P yβ y + yβ y ÔÓ Ó ÔÓÛ Ò Ñ ÔÖÞ ÐÓÛ Ò Ù ÞÑ ÒÒ ÓÛ Ò µº Â Ø ØÓ Û Ò Û ÖØÓ ÛÒ ÓÞÝÛ Û ÖÙÒ Þ ÒÓ Ò Ö ÔÖÞ Þ ÐÙ[ Ø º < β < ÔÓÞÓ Ø Û ÑÓݵº Ý Ó Ð ÞÝ Ù ÑÝ ÙÒ gz = z β /z ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ½½ ÓÑ ÝÑ ÔÙÒ Ø Ó Ó Ð ÛÝ ÔÓ Ó ÓÒÝ Ò ÖÓÞ Ùº Â Ó Ø Ö Þ Û Ó Þ ÖÞ ÓØÓÞÓÒÝÑ ÓÒØÙÖ Ñ Γ ÙÒ gz Ø ÓÐÓÑÓÖ ÞÒ Γ dzgz = Ï ÖÓÞ Ù ÔÓ Ð Û ØÖÓÒ ØÖÞ Ø Ö Þ Ò ÙÛÞ Ð Ò ÔÓ Ô Ó Ö Ó ÔÖÓÑ Ò εµ Ó Ý ÔÙÒ Ø z = ÔÓ Ó Ö Ù Ó ÝÑ ÔÙÒ Ø z = ÓÖ Þ ÔÓ Ù ÝÑ Ó Ö Ù ÞÒ Ø ÔÓÔÖÞ Ò Óµº Æ ÖÒÝÑ Ô Ó Ö Ù z = +εe iϕ +ε góra K ε a dzgz = Æ ÓÐÒÝÑ Þ z = e πi +εe iϕ π dϕiεe iϕ +εeiϕ β εe iϕ iπ dól K ε a dzgz = π π dϕiεe iϕ eπβ i +εe iϕ β εe iϕ iπe πβ i ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ù ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Þ Ø Ñ ÞÛ Þ e πiβ P dy yβ +y = iπ +e πiβ Ø º ÛÝÒ Ð Ó Ù ÞÒ Û ÐÓÞÝÒÙ ab ÔÓØÛ Ö Þ ÔÖÓ Ö Ñ Å Ø Ñ Ø µ P xβ ax+b = π b β a a ctgπβ gdy ab < ÈÓ Û ÖÙÒ Þ ÒÓ Ò Û Û xβ lnx ax+b

56 Ý ab > Ó Ð ÞÝ Ñ ØÓ Ö Ù Û ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÓÒØÙÖ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ ÖÝ ÙÒ µº ÊÓÞÛ Þ Ò Ï ÖÙÒ Þ ÒÓ Ø Ñ Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ Þ Ò Ù Ø º < β < Ý ÐÓ ÖÝØÑ Þ ÓÛÙ Þ ÖÓÛ ÔÓØ xº Ù ÑÝ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ÙÒ fz = zβ lnz az +b  ÞÛÝ Ð ÔÓ Ñ ÝÑ Ó Ö Ù Ó ÝÑ z = ÔÓ Ù ÝÑ Ó Ö Ù ÞÒ Û Ö Ò Ý ε R º ÈÖÞ Ù Ø Ò Ö ÓÛÓ fz Ò ÓÐÒÝ ÖÞ ÖÓÞ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Û Ø Ö Ò Ý ÞÛ Þ dzfz = xβ lnx Γ ax+b + eπβ i x β πi+lnx = πi resfz ax+b z= b/a Ê ÙÙÑ ÙÒ fz Û ÝÒÝÑ ÔÙÒ Ó Ó Ð ÛÝÑ ÞÒ Ù ÝÑ Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ Γ Ø Ö ÛÒ resfz z= b/a = β b e iπβ iπ +ln b a a a ÈÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ù Ö Ò ÔÖÞ Ò Ò Ù Þ ÐÓ ÖÝØÑÙ Ò ÖÙ ØÖÓÒ Ó Ø ÑÝ Þ Ø Ñ ÞÛ Þ e πβ i xβ lnx b+ax = πi a β b e iπβ iπ +ln b a a +πie πβ i xβ b+ax ÛÝ Ø ÔÙ Û ÖÙ Ð Ò ÞÓ Ø Ó Ð ÞÓÒ Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ Þ Ò Ùº Å ÑÝ Û xβ lnx b+ax = π β β b iπ +lnb/a + πieπβ i π b a a sinπβ e πβ i a a sinπβ ÔÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ù xβ lnx b+ax = π a β b lnb/a a sinπβ π a β b cosπβ a sin πβ ÙÛ ÑÝ Ò ÓÒ ÓÖÓ Ø ØÖÞ Ý Ó ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÛÝÒ Ó Ð ÞÓÒ Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ Þ Ò Ù ØÓ ÑÓ Ò ØÓ Ý Ó ÞÖÓ Ø Ò Þ Þ ÙÛ ÔÓ ÔÖÓ ØÙ xβ lnx b+ax = d dβ xβ b+ax = d dβ Ó ÔÖÓÛ Þ Ò ØÝ Ñ Ø Ó ÔÓÛÝ Þ Ó ÛÝÒ Ùº β b π a asinπβ