dz e1/z = 1/e. + ( 1)3 3! + ( 1)4 4! 1+z = 2πi., a > 1. dz z 2 2iaz 1. a (1/2i)(z 1/z) = 2

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "dz e1/z = 1/e. + ( 1)3 3! + ( 1)4 4! 1+z = 2πi., a > 1. dz z 2 2iaz 1. a (1/2i)(z 1/z) = 2"

Transkrypt

1 ÆÇÌ ÌÃÁ Ç ÏÁ Æ ÄÁ ËÈÇÄÇÆ Â Ö ÈºÀº Ò ÓÛ Ç Ð ÞÝ Γ dz e/z +z Û Ø Ö ÓÒØÙÖ Γ Ø Ó Ö Ñ Ó ÖÓ Ù Û Þ ÖÞ ÔÖÓÑ Ò Ù Ö ÛÒÝÑ ¾ Ó Ò ÝÑ ÓÐÙ ÓÞÒ Þ Ø ØÓ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ Ñ Ò ØÝѵº ÊÓÞÛ Þ Ò ÙÒ ÔÓ ÓÛ fz Ñ ÙÒ ÔÖÓ ØÝ Ø º Ô ÖÛ Þ Ó ÖÞ Ùµ Û z = ÓÖ Þ ÔÙÒ Ø ØÓØÒ Ó Ó Ð ÛÝ Û z = º resfz z= = /e Ê ÙÙÑ Û z = Ò ØÛ ÞÒ Ð õ ÔÖÞ Þ Ò Ô ÛÝÔ Ù Ó ÔÓÛ Ò Þ Ö fz = e /z +z = +!z +!z + z 3!z + +z z ÏÝÑÒ Û Þ ÑÝ Û Ô ÞÝÒÒ ÔÖÞÝ /z Ø ÒÝ Þ Ö Ñ resfz z= =!! + 3! 4! + = + +!! + 3 3! Ø Ñ ÙÑ Ö Ù Û Û z = z = Ø Ö ÛÒ dz e/z +z = πi Γ + 4 4! + = e Ç Ð ÞÝ π dθ a sinθ a > ÊÓÞÛ Þ Ò Ï ÖÙÒ a > Þ Ô ÛÒ Ø Ó ÖÞ Ó Ö ÐÓÒ ¹ Ñ ÒÓÛÒ Ò Þ Ò Þ ÖÙ º Ø ÑÓ Ò Ó Ð ÞÝ ÓÒÛ Ò ÓÒ ÐÒ Ó ÞÖÓ ÑÝ Ð µ Ð ÑÓ Ò Ø ÔÖÞ Þ Ö Ù º Ï ØÝÑ ÐÙ ÔÓ Ø Û ÑÝ z = e iθ Ø ÞÑ ÒÒ z ÔÖÞ Ø Ö Þ Þ Ö Ð Þ Þ ÔÓÐÓÒÝ Ó ÑÓ ÙÐ Ö ÛÒÝÑ º Ï ÛÞ dz = ie iθ dθ = izdθ Û π dθ a sinθ = z = dz iz a /iz /z = ½ z = dz z iaz

2 ÁÑz i Ê z ÊÝ ÙÒ ½ ÃÓÒØÙÖ ÓÛ Ò Û Ô ÞÞÝõÒ ÞÑ ÒÒ Þ ÔÓÐÓÒ zº Ñ Ò ØÝ ÓÒØÙÖ ÓÛ Ò Ó Ö ÛÒ Ò Ù z = ÔÓ Þ ÒÝ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ½ Ø ØÙ Ó ÒÝ ÔÖÞ ÛÒ Ó ÖÙÒ Ù ÖÙ Ù Û Þ Û Þ Ö º Ë ÓÖÞÝ Ø Ð ÑÝ ØÙ Þ ÛÞÓÖÙ sinθ = i e iθ e iθ Å ÒÓÛÒ ÔÓ Ø ÛÙÑ Ò Ñ ÑÓ Ò Ó Þ Ô Û ÔÓ Ø z iaz = z z + z z Û Ø Ö z ± = i a± a ÛÓÑ Ô ÖÛ Ø Ñ Ö ÛÒ Ò z iaz = º ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ñ Þ Ø Ñ Û ÙÒÝ ÔÖÓ Ø Û z = z Û z = z + º ÈÖÞÝ Ñ ÑÝ Ò Ö Þ a > º Ï Ø Ñ ÔÖÞÝÔ Ù z + > Ð z Ð Ý Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ Ý z < º Ø Ñ Þ Ó Ò Þ ØÛ Ö Þ Ò Ñ Ó Ö Ù π dθ a sinθ = πi res z z + z z = 4πi = z z + π = a 4πi i a z=z Ð a < Ý ÛÝ ÓÛ Ø Ø Ó ÖÞ Ó Ö ÐÓÒ Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ z = ÞÒ Ð Þ Ý Ô ÖÛ Ø z + ÛÙÑ ÒÙ Ñ Ð Ý ÑÝ π dθ = πi res a sinθ z z + z z = 4πi = 4πi z + z i a = π a z=z+ ¾

3 Ø ÔÓÛ ÒÒÓ Ý Ý ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ø ÛØ Ý Ø Ð Ù ÑÒ º ÃÓÒÛ Ò ÓÒ ÐÒ Ó ÓÒ Ð Ý ÑÝ Û ÛÝ ÓÛ ÔÓ Ø Û Ò t = tg θ dt dθ = +t cosθ = t sinθ = +t +t Ó ÔÖÓÛ Þ Ó Ý Ó dt a t /at+ = dt a t /a +a /a = a dt a [ a t a a ] + [ = a arctg a t ] a a Ý θ ÔÖÞ Ó Ó π Û ÛÞ t = Ø θ/ Ó Ó + Ó Ý θ π Ó ØÖÓÒÝ Û ÖØÓ ÑÒ ÞÝ µ Ò ØÔÒ Ó Ý θ ÔÖÞ Ö Þ πµ Ó Ó Ó Ý θ = πº Ø Ñ Ý θ Ó Ó Þ Ó Þ Ö Ó π ÙÒ Iθ Iθ = θ dϕ a sinϕ a { arctg [ a a tg θ ] [ arctg a Ó Ó Þ Ð a > µ Ó Û ÖØÓ { [ ]} Iπ = arctg+ arctg a a { [ ]} π = a arctg a ]} a ÔÓ ÔÖÞ ÖÓÞ Ò Ù ÔÖÞ Þ ϕ Û ÖØÓ π Ý Ø θ/ Ò Ð Ô Ó µ Ò ÔÓÛ ÒÒ Ó Þ ÙÒ Ó ØÒ µ ÞÑ Ð º ÈÓ ÞÙ ØÓ ÔÓ ÖÙ ØÖÓÒ ÔÙÒ ØÙ θ = π Ò Ð Ý ÛÝ Ö Ø õ ÙÒ ÖØ Ò Ø Ö arctg = π +π Ò π/µº Æ Ø ÖÙ Þ Û ÖØÓ ÙÒ [ a arctg tg θ a ] a Ó ÔÓÛ θ = π Ø [ ] arctg +π a

4 Ø ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ½ Iπ π dθ a sinθ = π a Ø Ñ ØÓ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Ö Ù º ÈÓÛØ ÖÞ ÔÓÛÝ Þ Ò Ð Þ Ð a < ÓØÖÞݹ Ñ ÑÝ ÓÞÝÛ Ø Ò Ñ ÛÝÒ Þ ÔÖÞ ÛÒÝÑ ÞÒ Ñº Ç Ð ÞÝ ¾ π dθ a+cosθ a > ÊÓÞÛ Þ Ò Ï ÖÙÒ a > Þ Ô ÛÒ Ø Ó ÖÞ Ó Ö ÐÓÒ ¹ Ñ ÒÓÛÒ Ò Þ Ò Þ ÖÙ º Ó ÓÒÙ Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ ÔÖÞÝ Þ ÔÓ Ø Û Ò z = e iθ ÓÖÞÝ Ø Þ ÛÞÓÖÙ cosθ = e iθ +e iθ ÔÖÓÛ Þ ÑÝ Ó π dθ a+cosθ = i z = dz z +az + È ÖÛ Ø Ñ ÛÙÑ ÒÙ Û Ñ ÒÓÛÒ Ù ÔÓ Ø Ö Þ z + = a+ a z = a a Þ Þ Ó Ý a > ØÝÐ Ó z + Ð Ý Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ z = º Ø Ñ π dθ a+cosθ = i πi z + z = π a ½ Ý ÙÒ Ò ÞÑ Ò Ò Þ ÙÒ ÖØ ÑÓ Ò ÛÝ ÓÛ Þ Ô Ó ÙÑ Iπ = π dθ π a sinθ + π dθ π a sinθ = ÈÓ Ó ÓÒ Ò Ù ÔÓ Ø Û Ò Ø Ò Ö ÓÛ Ó ÓØÖÞÝÑ ÑÝ { [ a I = arctg tg θ a a ] π [ a +arctg a a dθ π a sinθ + tg θ + a dθ a+sinθ ] π } = π a ¾ ÇÞÝÛ ÑÙ ÓÒ ØÓ ÑÓ Ó ÔÓÔÖÞ Ò Ó Ó ÒÙ ÔÖÞÝ ÑÙ Ò Ó Ò Ù [π] Ø Ñ Û ÖØÓ Ó ÒÙ ØÝÐ Ó Ð ÔÖÞ ÙÒ ØÝ Û ÖØÓ Ø θ Ð Ñ Ö dθ Ø Ò ÞÑ ÒÒ Þ ÛÞ Ð Ñ ÔÖÞ ÙÒ º

5 Ð a < Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ z = Ð Ý Ô ÖÛ Ø z ÛÝÒ Ñ Ý Ó Ý π/ a ÛÝ ÓÛ ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ý Ý ÛØ Ý Ø Ð Ù ÑÒ µº Ç Ð ÞÝ π dθ b < +bcosθ ÊÓÞÛ Þ Ò Ï ÖÙÒ b < Þ Ô ÛÒ Ø Ó ÖÞ Ó Ö ÐÓÒ ¹ Ñ ÒÓÛÒ Ò Þ Ò Þ ÖÙ º Ó ÓÒÙ Ø Û ÔÓÔÖÞ Ò ÔÖÞÝ ÔÓ Ø Û Ò z = e iθ Ñ ÑÝ π dθ +bcosθ = z = = 4 ib dz iz z = [+b/z +/z] dzz [z +/bz +] ÈÓ Ó Ò ÔÓÔÖÞ Ò Ó Ñ ÒÓÛÒ ÑÓ Ò Þ Ô Û ÔÓ Ø [z z + z z ] Þ z ± = b ± b ÔÖÞÝ ÞÝÑ Ð < b < ØÝÐ Ó z + < Ø º Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ z = ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ñ Ò ÙÒ ÖÙ Ó ÖÞ Ù Û z = z + º Ç Ð Þ ÑÝ Ö ÙÙÑ fz Û ØÝÑ ÔÙÒ resfz z=z+ = d z dzz z = z=z+ z + z z + z + z 3 ËØ π = z + +z z + z 3 = b 4 b 3/ dθ +bcosθ = 4 ib πi b 4 b 3/ = π b 3/ Ì Ò Ñ ÛÝÒ ÑÓ ÑÓ Ò ÙÞÝ ÓÖÞÝ Ø Þ Ó Ð ÞÓÒ Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ Þ Ò Ù π dθ +bcosθ = b [ π a = b [ a = b b π a π b 3/ ] dθ a+cosθ ] a=/b a=/b = π b [ a ] a 3/ a=/b

6 Ø ÑÓ Ò ÓÞÝÛ Ó Ð ÞÝ ØÓ Ù ÓÒÛ Ò ÓÒ ÐÒ ÔÓ Ø Û Ò Ð Þ ÙÛ Ò ÖÙ ÔÓØ Û Ñ ÒÓÛÒ Ù Ø ØÓ ÞÒ ÞÒ Ö Þ ÓÑÔÐ ÓÛ Ò Þ ØÝÑ ÔÓ ¹ Ø Û Ò t = tgθ/ ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ Ñ ØÓ Ö Ù Û ØÓ Ù ØÝÐ Ó Ó Û Ö Ò Ó ¼ Ó πµº Å ØÓ Ö Ù Û Ó Ð ÞÝ I = ÈÓ Ø ÛÝÒ π dθ sin θ a+bcosθ < b < a π dθ sin θ +a acosθ ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓ Ø Û ÑÝ Ø Ò Ö ÓÛÓ z = e iθ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ I = dz z /z iz a+bz +/z = i z dz b z z +a/bz + z = ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ñ Ò ÙÒ ÖÙ Ó ÖÞ Ù Û z = ÓÖ Þ Û ÙÒÝ ÔÖÓ Ø Û z ± = a/b ± a/b Þ Ø ÖÝ Ð a/b > ØÝÐ Ó z + ÞÒ Ù Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ z Ýa/b < µº Â Ö Ù Ûz = z + ÓÖ Þ Ûz = z ÞÒ Ù ÑÝ Ø Ò Ö ÓÛÓ z = resfz z=z+ = z + /z + z + z = a/b resfz z=z = z /z z z + = a/b Ê ÙÙÑ Û z = ÙÒ ÖÙ Ó ÖÞ Ùµ Ò ØÛ ÞÒ Ð õ Ó ÓÒÙ ÖÓÞÛ Ò fz = z +z 4 a z b z z + = z a b z + Ì Û Þ Ó Ò Þ ØÛ Ö Þ Ò Ñ Ó Ö Ù ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ I = i b πi a a b ± b = π a a b b b Þ ÖÒÝ ÓÐÒݵ ÞÒ Ó ÒÓ Ó a/b > a/b < µº ÔÓÛÝ Þ Ó ÛÝÒ Ù ÔÓ Ø Û a +a b a ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ π sin { θ π/a dθ +a acosθ = gdy a > π gdy a < Ø Ó ØÝÔÙ ØÖ Û Ó Ð Þ Ò Û Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ º

7 Å ØÓ Ö Ù Û Ó Ð ÞÝ I = π dθ cos 3θ +a acosθ ÊÓÞÔ ØÖÞÝ ÔÖÞÝÔ a < ÓÖ Þ a > º ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓ Ø Û ÑÝ Ø Ò Ö ÓÛÓ z = e iθ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ I = i z 6 + dz 4a z = z 5 z 4 +a a z + ÙÒ Û z = Ø Ô Ø Ó ÖÞ Ù Ó Ö ÙÙÑ Ò ØÛ ÞÒ Ð õ Ñ ØÓ ÖÓÞÛ Ò { } fz = z6 + +a +a + z z + 4 z z 4 + z 5 a a { [ +a = } + +a z + ] z 4 + z 5 a a ÞÝÐ +a resfz z= = a ÈÓÞÓ Ø ÙÒÝ Û ÔÙÒ Ø Ý Ô ÖÛ Ø Ñ Ö ÛÒ Ò Û Ö ØÓÛ Ó Ø Ö ¹ ÑÓ Ò Ó Ö ÞÙ Ó ØÖÞ ¹ Ñ ÔÖÓ Ø ÔÓ Ø z 4 +a z + = z a z = a a Ø Ñ Ý a < ÙÒ fz Ñ Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ z = Û ÙÒÝ ÔÖÓ Ø Û z ± = a Ý Þ a > Û ÙÒÝ ÔÖÓ Ø Û z ± = /aº ÊÓÞÔ ØÖÞÑÝ Ò Ô ÖÛ ÔÖÞÝÔ < a < º Ç Ö Ù Û z = a ÓÖ Þ Û z = a Ø Ñ resfz z=± a = a3 + a a ÈÓ Ó Ò Ø Ñ Ö Ù Û z = i a Û z = i a Ý a < a < ÓÒ Ö ÛÒ Ý a /a = Ð a < º resfz z=±i a = a3 + a a /a a = a3 + a a

8 Ý a < Ñ ÑÝ Þ Ø Ñ Ð Ó Ù ÞÒ Û a { +a I = i } 4a πi + a3 + a a a = π { } +a +a 4 + +a3 +a a+a a 3 a+a Ó Ø Ø ÞÒ ÔÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ù Ý a < ÞÒ Ù ÑÝ π dθ cos 3θ +a acosθ = π a+a a Ý a > Þ Ö ÛÒÓ Ý a > Ý a < Ó Ø ÑÝ Ö Ù Û ÔÙÒ Ø z = /a Ö ÛÒ resfz z =±/a = a3 + a a ÛÓ Ø Ó I = π { } +a +a 4 +a3 +a a+a a 3 a+a ÈÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ù Ñ ÑÝ Û Ð a > ÛÞ Ö π dθ cos 3θ +a acosθ = π a+a a 3 a ÃÓÖÞÝ Ø Þ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ù Ó Ð ÞÝ Γ x x +a 3 ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓÒ Û ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ø Ô ÖÞÝ Ø ÖÓÞ ÑÝ Ò Ô ÖÛ Ó¹ Û Ò Ò Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø ÖÞ ÑÝ ÔÓ ÓÛ Ø Ó Ó ÛÝ Þ µº Æ ØÔÒ Ñ ØÓ Ö Ù Û Ó Ð Þ ÑÝ z dzfz = dz z +a 3 ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Γ ÔÓ Þ ÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ¾º Å ÑÝ Û Γ dzfz = R R Γ x x +a + dzfz = πi resfz 3 z=+i a K R

9 ÁÑz R R Ê z ÊÝ ÙÒ ¾ ÃÓÒØÙÖ Γ Ý Þ Ó Ò Ù Ó R Ð Ó ÝÑ ØÖÝÞÒ Ò Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø ÓÑ Ò Ø Ó Ù ÝÑ Ô ÓÐ Ñ Ó ÔÖÓÑ Ò ÙR Û ÖÒ Ô Ô ÞÞÝõÒ º Ó ÙÒ fz Ñ Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ Γ Ò ÙÒ ØÖÞ Ó ÖÞ Ù Û ÔÙÒ z = i a ÖÞ ÑÝ R > a µº ÔÓ Ô Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R Ò Ø ÖÝÑ z = Re iϕ ÞÒ Û Ö Ò Ý R dzfz K = π dϕire iϕ R e iϕ R R e iϕ +a 3 π dϕ R e iϕ π ireiϕ R e iϕ +a 3 = R 3 dϕ R e iϕ +a 3 Ï ØÝÑ Ñ Ù ÓÖÞÝ Ø ÑÝ Þ Ò Ö ÛÒÓ K R w ±w w w Ø Ö ÔÓÞÛ Ð Ó Ó ÞÝ Þ ÓÛ Ò Þ ØÔÙ ÑÝ R e iϕ +a Û Ñ ÒÓÛÒ Ù ÞÝÒÒ Ñ ÑÒ ÞÝÑ Ø º R e iϕ a µ π dzfz R 3 dϕ R a = πr 3 3 R a 3 ÈÓ ÞÙ ÓÒÓ Ý R ÔÓ Ô Ó Ö Ù ÞÒ /R 3 º ÌÖÞ ÞÞ Ó Ð ÞÝ Ö ÙÙÑ ÙÒ Û z = i a º Å ÑÝ resfz z=i a = d z! dz z +i a = [ ] d z 3! dz z +i a 3z 3 z +i a 4 = [ ] z +i a z 3 z +i a + z = i 4 z +i a 5 6 a 3 z=i a Ç ÛÞÓÖÝ Ó ÓÛ ÑÓ Ò ÔÖ Û Þ ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Å Ø Ñ Ø Ò Ð Ô Ð ÓÒ Ö ØÒÝ Û ÖØÓ Ô Ö Ñ ØÖÙ a Û Ó ÐÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ò Ñ Ó ÞÝØ ÐÒÝ ÛÝÒ º ÓÛ Ð ÓÛÓÐÒÝ ÛÙ Ð Þ Þ ÔÓÐÓÒÝ w w Þ Ó Þ Ò Ö ÛÒÓ w + w w + w º ÈÓ Ø Û ÑÝ w = ±w w Ó w w + w w º Ø Ñ ÓÛÓÐÒ Û Ð Þ Ý w w Ô Ò Ò Ö ÛÒÓ w w w w Ò Û Ø Ý w > w ÔÓÒ Û ÑÓ Ò Ó ÓÒ Þ Ñ ÒÝ w w Û ÔÖ Û ØÖÓÒ Ò Ö ÛÒÓ ÑÓ Ò Þ Ø Ô ÑÓ Ù Ñº

10 Ø Ñ x x +a = 3 πi i 6 a = π 3 6 a 3 Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ø ÑÓ Ð ÑÝ ÝÐ Ö ÛÒ Ó ÖÞ Þ Ñ Ò Ò Ý ÔÓ Ó ÖÞ ¹ ÞÝÛ Ø ÓÒØÙÖ ÓÛ Ò Ó Þ Ó Ô Ó Ö Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R Ð Ý Û ÓÐÒ Ô Ô ÞÞÝõÒ Þ Ñ Ø Ô Ó Ö Ù Ð Ó Û ÖÒ Ô Ô ÞÞÝõÒ µ ÔÓÒ Û Ø ÓÒØÙÖ Ý Ý Ó ÒÝ Þ Ó Ò Þ ÖÙÒ Ñ ÖÙ Ù Û Þ Û Þ Ö Ý Ý Ö ÛÒ πi Ö ÞÝ Ö ÙÙÑ Û ÔÙÒ z = i a d resfz z= i a = z! dz z i a = 3! = [ d dz [ z z i a 3z 3 z i a ] 4 z i a 3 z z i a 4 + z z i a 5 ÏÝÒ Ø ÓÞÝÛ Ø Ñ ÔÓÔÖÞ Ò Óº ÃÓÖÞÝ Ø Þ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ù Ó Ð ÞÝ x x+ x 4 +x +9 z= i a ] = +i 6 a 3 ÊÓÞÛ Þ Ò Ø Þ Ò Ó Ð x ÙÒ ÔÓ ÓÛ Þ ÓÛÙ /x º ÈÓÒ ØÓ Ø Ò Ñ ÒÓÛÒ ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ò Þ ÖÙ Ò Ý Ð ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Û ÖØÓ xº Ø ÑÓ Ò Ó Ð ÞÝ Ø ÔÓÔÖÞ Ò Ù ÙÒ fz = z z + z 4 +z +9 = z z + z +z +9 ÔÓ ÓÒØÙÖÞ ÔÓ Þ ÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ¾ ÐÙ ÔÓ Ó ÒÝÑ ÓÒØÙÖÞ ÝÑ Þ Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Ô Ó Ö Ù Û ÓÐÒ Ô Ô ÞÞÝõÒ º ÈÖÞÝ Ñ ÑÝ Ò ÓÒØÙÖ Γ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ¾º ÈÓ Ó Ò Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ Þ Ò Ù ÔÓ ÞÙ ÑÝ Ý R ÔÓ Ô Ó Ö Ù Ý Ó Þ Ö K R dzfz π π dϕ R R e iϕ Re iϕ + R 4 e 4iϕ +R e iϕ +9 dϕ RR +R+ R 4 R 9 R ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ñ ÞØ ÖÝ ÙÒÝ Ð z = z 34 = 9 Þ Þ Ó Û Û z = i ÓÖ Þ z 3 = 3i Ð Ð Ó Ø Ø ÞÒ Ù Ó Rµ Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ ÓÛ Ò º Ø Ñ Þ Ó Ò Þ ØÛ Ö Þ Ò Ñ Ó Ö Ù fz = πiresfz z=i + resfz z=3i Γ ½¼

11 Ç Ð Þ ÑÝ Ö Ù z z + resfz z=i = lim z i z +iz +9 = i 6i z z + resfz z=3i = lim z 3i z +z +3i = 7+3i 48i Ø Ñ Û Ö Ò Ý R ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ fz x x+ 3 3i x 4 +x +9 = πi 48i Γ Ç Ð ÞÝ + 7+3i = 5 48i π x 6 x 4 +a 4 ÊÓÞÛ Þ Ò ÌÙ Þ ØÓ Ù ÑÝ ÔÓ ÞÝÞÒ ÔÖÞ ÐÙ ÑÝ ÞÑ ÒÒ ÓÛ Ò Ý Ó Ö ÞÙ ÙÛ ÓÞÒ Þ Ð ÒÓ Ó a ÑÒ Ô º Å ÑÝ Û ÔÓ Ø Ò Ö ÓÛÝÑ ÛÝ Þ Ò Ù ÔÓ Ô Ó Ö Ù ÝÑ Þ Þ Ñ Ò Ø Ó ÓÒØÙÖÙ Γ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ¾ ÞÒ Û Ö Ò Ý R x 6 x 4 +a 4 = a Γ dz z 6 z 4 + = πi a Imz i > resfz z=zi ÞØ Ö Ô ÖÛ Ø Û ÞÛ ÖØ Ó ØÓÔÒ Þ Ð Þ Ý Ø Ö ÔÓ Ó Ò Ñ ÞØ Ö ÙÒ Û ÖÙ Ó ÖÞ Ù ÙÒ ÔÓ ÓÛ ÛÓÑ Ð ÝÑ Û ÖÒ Ô Ô ÞÞÝõÒ Û Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ z = e iπ 4 = +i oraz z = e i3π 4 = +i ÔÖÞÝ ÞÝÑ z = i z = iº Ï ÐÙ Ó Ð Þ Ò Ö Ù Û Û ØÝ ÙÒ ÛÝ Ó Ò Ø Þ Ô ÙÒ ÔÓ ÓÛ Û ÔÓ Ø fz = z 6 z z z z z +i z ÃÓÖÞÝ Ø ÑÝ Ò ØÔÒ Þ Ø Ò Ö ÓÛ Ó ÛÞÓÖÙ resfz z=z = d z 6 dz z z z +i z 6z 5 = z z z +i z z 6 z z 3 z +i z z 6 z +i z z z +i z 3 ½½ z=z

12 Ê ÙÑ Û z = z Ø Ò Ò ÐÓ ÞÒÝÑ ÛÞÓÖ Ñ Û Ø ÖÝÑ z z º ÈÓÒ Û z z = z 4 = z +i z = i z +i z = +i Ñ ÑÝ resfz z=z = resfz z=z = Imz i > 6z [ i] 6z [ +i] i [ i] iz +i [ i] 3 i [ +i] iz +i [ +i] 3 ËÙÑÙ Ó ÔÓÛ Ó ÛÝÖ ÞÝ Ô Ö Ñ ÙÛÞ Ð Ò ±i = ±i ÓÖ Þ z +z = i ÞÒ Ù ÑÝ resfz z=zi = i 8i 6 = i 3 6 Ø Ñ Ó ÔÓØÛ Ö Þ ÔÖÓ Ö Ñ Å Ø Ñ Ø µ x 6 x 4 +a 4 = πi i 3 a 6 = 3 π 6 a Ç Ð ÞÝ J = x +a x +b ÊÓÞÛ Þ Ò Â ÞÛÝ Ð ÖÓÞ ÑÝ ÓÛ Ò ÛÞ Ù Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Ò Ô Ó Ö Ó ÔÖÓÑ Ò ÙR ÓÑÝ Ý ÓÒØÙÖ ÓÛ Ò Û ÖÒ Ô Ô ÞÞÝõÒ Þ ÔÓÐÓÒ ÞÑ ÒÒ z Ó ÙÑÓ Ð Û Þ ØÓ ÓÛ Ò ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ù º ÙÒ ÔÓ ÓÛ fz = z +a z +b z +i a z i a z +i b z i b Ñ Û ÛÒ ØÖÞ Ø Ó ÓÒØÙÖÙ Ò ÙÒ ÔÖÓ ØÝ Û z = i a Ò ÙÒ ÖÙ Ó ÖÞ Ù Û z = i b º Ê Ù ØÝ ÙÒ Û ÞÒ Ù ÑÝ Ø Ò Ö ÓÛÓ resfz z=i a = i a b a resfz z=i b = d dz z +a z +i b z=i b [ z = z +a z +i b z +a z +i b 3 = i a b b i 4a b b 3 ½¾ z=i b

13 ÁÑz r=ε R b R Ê z ÊÝ ÙÒ ÃÓÒØÙÖ Γ ÓÑ Ý ÙÒ ÔÖÓ ØÝ Û z = bº Å ÑÝ Þ Ø Ñ { } i J = πi b a a + i a b b i 4a b b { } 3 i a b = πi a b a b i 4a b b { 3 } i b = πi 4a b a + b a b i a a + b 3 4a b a + b a b 3 = π Ø Ñ Ó Ø Ø ÞÒ b a a b a b a + b a b 3 = π b a b + a a b a + b a b 3 x +a x +b = π b + a a + b a b 3 Ç Ð ÞÝ x b4x +a Û Ø Ö a b Ð Þ Ñ ÖÞ ÞÝÛ ØÝÑ º ÊÓÞÛ Þ Ò Ñ Ó Ó Ð ÛÓ Û ÔÙÒ x = b ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ø Ò Ó ¹ ÞÓÒ µ Ø Ò Þ Ò Û Ù Ø Ò Ö ÓÛÝ ÖÝØ Ö Û Þ ÒÓ º ÅÓ Ò Ò Ò º Ç Ð Þ ÑÝ Û ØÝÑ ÐÙ Þ ÙÒ fz = z b4z +a ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Γ ÔÓ Þ ÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù Ø º ÔÓ Ó ÒÝÑ Ó ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò Ó Ù ÔÓÔÖÞ ¹ Ò Ó ÓÒØÙÖÙ Þ ÛÝ ÙÒ Ù ¾ Ð Ñ ÝÑ Ñ ÛÝÔÙÞ Ò Ò ÔÙÒ Ø Ñ x = bº Ï ÛÒ ØÖÞ ½

14 ÓÒØÙÖÙ ÙÒ Ñ ØÝÐ Ó Ò ÔÙÒ Ø Ó Ó Ð ÛÝ ÙÒ ÔÖÓ ØÝµ Û ÔÙÒ z = i a / Û Ø ÖÝÑ Ö ÙÙÑ Ø Ö ÛÒ Þ Ø Ñ Γ resfz z=i a / = ib+i a / a a +4b πb dzfz = a a +4b iπ a +4b Â Û ÔÓÔÖÞ Ò ÔÖÞÝ ØÛÓ ÔÓ Þ Û Ö Ò Ý R ÔÓ Ù ÝÑ Ô Ó Ö Ù ÞÒ º Ï Ö Ò Ý Ø Ñ ÑÝ Û Ö ÛÒÓ b ε x b4x +a + + b+ε K ε x b4x +a πb dzfz = a a +4b iπ a +4b ÔÓ Ñ ÝÑ Ô Ó Ö Ù Ò ØÖÙ ÒÓ Ó Ð ÞÝ ÈÓÒ Û ÒØ Ö Ù Ò Ö Ò ε ÑÓ ÑÝ Û ÓØÓÞ Ò Ù ÔÙÒ ØÙ z = b ÖÓÞÛ Ò fz Û Þ Ö Ï ÛÖÞÙ Ø ÖÝ Ñ ÔÓ Ø fz = a z b +a +a z b+ ÔÓÒ Û ÙÒ fz Ñ Û ÔÙÒ z = b ÙÒ ÔÖÓ ØÝº Ê ÙÙÑ fz Û ØÝÑ ÔÙÒ ÞÝÐ Û Ô ÞÝÒÒ a Ø Ö ÛÒ resfz z=b = a +4b È Ö Ñ ØÖÝÞÙ Ø Ö Þ Ô Ó Ö z = b+εe iϕ Ù Þ Ö ÛÝÖ Þ ÔÓ ÛÝÖ Þ Þ ØÖÙ Ù ÞÒ Ù ÑÝ Û Ö Ò Ý ε ÔÓÞÓ Ø ØÝÐ Ó K ε dzfz = πia = πi a +4b Ó Ó Ö ÙÖÓ ÓÒ Þ ÔÓ ÝÑ ÓÒØÙÖÞ Γº Ø Ñ ÛÝ ÓÛ Þ Ò ÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÛÞ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ö Ò Ý ε ÞÝÐ Ó ØÞÛº Û ÖØÓ ÛÒ ÛÝÒÓ P x b4x +a = πb a a +4b ËÝÑ ÓÐ P ÓÞÒ Þ ØÙ Û Ò Û ÖØÓ ÛÒ Ò º ÈÖ Ò Ô Ð Î ÐÙ µº Æ ØÖÙ ÒÓ ÞÖÓÞÙ¹ Ñ ÓÓ Ö Ð Ò Ñ Û ÔÙÒ x Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Ó Ó Ð ÛÓ ØÝÔÙ ÙÒ ÈÝØ Ò ¹Ø Ø ÞÝ ÓØÖÞÝÑ Ð Ý ÑÝ Ø Ò Ñ ÛÝÒ Ý Ý ÑÝ ÖÓÞÔ ØÖÞÝÐ ÓÒØÙÖ Γ Ñ Ý ÛÝÔÙ¹ Þ Ò Û ØÞÒº Ý Ý Ô Ó Ö Ó ÔÖÓÑ Ò Ù ε Ó ÔÙÒ Ø z = b Ó Ó Ù ½

15 Ø ÑÓ Ð Û ÛØ Ý Ý Û ÖÓÞ Þ Ñ ÒÓÛÒ Ø Ò Ù Ñ ÔÖÓ Ø ÞÒ Û Ô ÞÝÒÒ Û ÞÝ Ø Û Þ Ô ÖÞÝ ØÝÑ Ó ÛÖÓØÒÝÑ ÔÓØ Ñ Ø º Û /x x n º Ï ÖØÓ Þ Ô Ñ Ø Ù ÓÛÓ Ò ÓÒ ØÙ ÔÖÞÝ Ó Þ Ó ÐÒ Ö Ù Ê Ù Â Ð ÙÒ fz Ñ Û z = z ÙÒ ÔÖÓ ØÝ Ø º Ô ÖÛ Þ Ó ÖÞ Ùµ Ó Ö ÙÙÑ a ØÓ ÔÓ ÓÔ ÖØÝÑ Ò ϕ Ö Ñ Ò Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ùε ÖÓ Ù Û z Û Ö Ò Ý ε ÛÝÒ ±ia ϕ ÞÒ + ÔÖÞÝ Ó Ù Þ Ó ÒÝÑ Þ ÖÙÒ Ñ ÖÙ Ù Û Þ Û Þ Ö ÔÖÞÝ ÔÖÞ ÛÒÝѵº Ê Ù Ø Ò ØÓ Ù Ð ÙÒ Ñ Û z ÙÒ ÛÝ Þ Ó ÖÞ Ù ÐÙ ÔÙÒ Ø ØÓØÒ Ó Ó Ð ÛÝ Ó ØÛÓ ÞÓ ÞÝ Ö Ò ε Ò Ó ÛØ Ý Ò ØÒ º ÏÝ Ø Ñ Ø ÔÙÒ Ø Ó Ó Ð ÛÝ ØÓØÒ Ó Ó Ð ÛÓ ÐÙ ÙÒ Ó ÞÓÒ Ó ÖÞ Ùµ Û Ø ÖÝÑ ÞÒ Û ÞÝ Ø Û Ô ÞÝÒÒ a n ÔÓ Ù Ù ÓÔ ÖØÝÑ Ò ϕ = π Ø ÛØ Ý Û Ö Ò Ý ε Ó ÖÞ Ó Ö ÐÓÒ ÛÝÒÓ ±πa º Æ ØÖÙ ÒÓ ÞÖÓÞÙÑ Ñ ØÓ ÞÛ Þ Þ ÑÓ Ð ÛÓ ÓÓ Ö Ð Ò Ñ Ý Ò Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Ó Ó Ð ÛÓ ØÝÔÙ /x x k + Þ ÔÓÑÓ Ö Ò Û ÖØÓ ÛÒ º º Ç Ð ÞÝ x+x + ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓ ØÔÙ ÑÝ Ø Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ ÔÖÞÝ Þ Ù ÑÝ ÙÒ fz = z +z + ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Γ Þ ÖÝ ÙÒ Ù º Resfz z=i = d dz z +z +i = 4i z=i Resfz z= = 5 ËØ P Ç Ð ÞÝ 4i = πi x+x + cosx x +a iπ 5 = 7π 5 ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓÒ Û Ó ÒÙ Ø ÙÒ Ô ÖÞÝ Ø ÑÓ ÑÝ Þ Ñ Ø ÔÓÛÝ Þ Ó Ð Þ cosx+isinx x +a = ½ e ix x +a

16 Ó Þ ÒÙ Þ ÖÓ Þ ÙÒ Ò Ô ÖÞÝ Ø Û ÝÑ ØÖÝÞÒÝ Ö Ò µº Ý Ó Ð ÞÝ Ø Ù ÑÝ ÙÒ K R π fz = eiz z +a ÔÓ Þ Ñ Ò ØÝÑ ÓÒØÙÖÞ Γ ÔÓ Þ ÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ¾º Æ Ô Ó Ö Ù z = Re iϕ dzfz = π dϕire iϕ eircosϕ e Rsinϕ R e iϕ +a R R e Rsinϕ dϕ R e iϕ +a R π/ dϕ e R/πϕ R a = π dϕ e Rsinϕ R a = R π R a e R π/ dϕ e Rsinϕ R a ÏÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ØÙ ÞÓ Ø Ò Ö ÛÒÓ sinϕ ϕ/π Ù ÞÒ Ð ϕ πº Ï Þ Ø Ñ ÔÓ ØÝÑ Ö Ñ Ò ÓÒØÙÖÙ Γ Ý Ó Þ Ö Û Ö Ò Ý R º ÙÛ ÑÝ Ø Û ÖÓÞÔ ØÖÝÛ ÒÝÑ ØÙ ÔÖÞÝÔ Ù ÔÓ Ô Ó Ö Ù ÓÑÝ ÝÑ ÓÒØÙÖ Û ÓÐÒ Ô Ô ÞÞÝõÒ Ò ÞÒ Ý Û Ø Ö Ò Ý Ó sinϕ < Ð π ϕ πµº Ð Ø Ó ÓÒØÙÖ ØÖÞ Ý Ó ÓÑ Ò Ô Ó Ö Ñ Û ÖÒ Ô Ô ÞÞÝõÒ º Ç ÐÒ ØÞÛº Ä Ñ Ø ÂÓÖ Ò ÓÖÞ Û ÔÖÞÝÔ Ù ÙÒ ÔÓ Ø fz = Rze iaz Þ Rz Ø ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ ÞÒ Ð z ÓÒ ÑÒ /z Ð Ê a > < Û Ö Ò Ý R ÞÒ ÔÓ Ô Ó Ö Ù Û ÖÒ ÓÐÒ µ Ô Ô ÞÞÝõÒ º ÈÓÒ Û Û Ö Ò Ý R ÔÓ ØÝÑ Ô Ó Ö Ù ÞÒ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Þ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ù ÞÛ Þ e ix x +a = πi resfz z=i a Ó Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ Γ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ¾ ÙÒ fz Ñ ØÝÐ Ó Ò ÔÙÒ Ø Ó Ó Ð ÛÝ Û z = i a º Ê ÙÑ ÙÒ fz Û ØÝÑ ÔÙÒ ÞÒ Ù ÑÝ Ø Ò Ö ÓÛÓ Ç Ø Ø ÞÒ Û resfz z=i a = e a i a cosx x +a = π a e a ½

17 Ç Ð ÞÝ cosx x +a 3 ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓ ØÔÙ ÑÝ Ø Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ Þ Ò Ù Ø º Ù ÑÝ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ¾ ÙÒ fz = e iz z +a 3 ÈÓÒ Û Þ Ó Ò Þ Ð Ñ Ø Ñ ÂÓÖ Ò ÔÓ Ô Ó Ö Ù ÞÒ Û Ö Ò Ý R Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ ÙÒ Ñ ØÝÐ Ó Ò ÔÙÒ Ø Ó Ó Ð ÛÝ Ûz = i a ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÞÛ Þ ÙÒ Û z = i a Ø ØÖÞ Ó ÖÞ Ù Û resfz z=i a = [ ] d e iz = dz z +i a 3 z=i a Ø Ñ Ç Ð ÞÝ = e a e ix x +a 3 = πi resfz z=i a [ d ie iz dz i a 3 6i i a 4 + i a 5 ] z +i a 3e iz 3 z +i a 4 = e a cosx x +a = π a +3 a +3 e a 3 8 a 5 cosx x +a x +b z=i a i 8 a 3 + 3i 8a 4 + 3i 8 a 5 ÇØÖÞÝÑ Ø ÛÝÒ Ð a = b º ÊÓÞÛ Þ Ò Ù ØÓ Ó ØÖÞ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ¾ ÞÒ Ù Ö Ù ÛÙ ÙÒ Û ÔÖÓ ØÝ ÔÓ Ó ÓÒÝ Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ð a b ÛÝÒ e a cosx x +a x +b = π b a a e b b ÏÝÒ Ð a = b Ò ØÛ ÓØÖÞÝÑ Þ ÙÛ π e a lim a b b + a b a a e b = π b a = π a ½ d d a + a e a a e a

18 Ø Ñ cosx x +a = π a + e a a Ç Ð ÞÝ xcosx x x+ xsinx x x+ ÊÓÞÛ Þ Ò Ç ÑÓ Ò ÓØÖÞÝÑ Ù ÙÒ fz = ze iz z z + = ze iz z z z z Þ z = +3i z = 3i ÛÓÑ Ô ÖÛ Ø Ñ Ö ÛÒ Ò Û Ö ØÓÛ Óz +z+ = ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ¾º Ó Ò Þ Ð Ñ Ø Ñ ÂÓÖ Ò ÔÓ Ô Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R ÞÒ Û Ö Ò Ý R ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ xe ix x x+ = πi resfz z=z = πi +3ie 3+i 6i ÊÓÞ ÔÖ Û ØÖÓÒ Ò Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÙÖÓ ÓÒ ÞÒ Ù ÑÝ xcosx x x+ = π 3e cos 3sin 3 xsinx x x+ = π 3e 3cos+sin 3 Ç Ð ÞÝ x sinx x +a ÊÓÞÛ Þ Ò ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ø Ô ÖÞÝ Ø Ó ÔÓÞÛ Ð ÖÓÞ Ò ÓÛ Ò Ò Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø ÔÓØ Ñ ÖÞ ÑÝ ÓÞÝÛ ÔÓ ÓÛ Ø Ó Ó ÛÝ Þ µº ÓÖ Ó ÓÒØÙÖ Γ Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø ÓÑ Ò Ø Ô Ó Ö Ñ Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R Û ÖÒ Ô Ô Þ¹ ÞÝõÒ Ô ØÖÞ ÖÝ º ¾µ Ô Þ ÑÝ Γ dz ze iz z +a = = i x cosx+ix sinx + dzfz x +a K R x sinx x +a + dzfz ½ K R

19 Þ Ó ÒÙ Ñ Þ ÖÓ Ó ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ø Ò Ô ÖÞÝ Ø ¹ Ø Ò Ñ ÛÒ Ó ÛÝÒ Ò Ø Þ Ø Ó Ò ÔÖÞ Þ Ö ÙÙÑ dzfz Þ ÞÝ ØÓ ÙÖÓ ÓÒ µº ÖÙ ØÖÓÒÝ ÔÓ Γ Ø Ö ÛÒ πi resfz z=i a Ï ÔÙÒ z = i a Ø ÙÒ ÖÙ Ó ÖÞ Ù Û resfz z=i a = d ze iz dzz +i a z=i a = e a i a a e a i a i a e a i a 3 = e a 4 a Ø Ñ i x sinx x +a + dzfz = πi e a K 4 a R ÌÖÞ ÔÓ Þ ÞÞ Û Ö Ò Ý R ÖÙ ÞÒ Ñ ÑÝ Ø Ñ z = Re iϕ dzfz = π dϕire iϕ Reiϕ expircosϕ Rsinϕ R e iϕ +a K R π R e Rsinϕ dϕ R e iϕ +a R π dϕ e Rsinϕ R a Û Ó Ø ØÒ Ñ ÖÓ Ù Ù ÝØ ÞÓ Ø Ò Ö ÛÒÓ z±w z w µº ÅÓ Ò Ø Ö Þ ÛÝ ÓÖÞݹ Ø Ù ÞÒ Ð ϕ π Ò Ö ÛÒÓ sinϕ ϕ/π Ò Ô R π dϕ e Rsinϕ R a R R a π dϕe Rϕ/π = R π e R R a R Ð R Ø Û Ø ÙÑ ÓÒ ÔÖÞ Þ ÞÝÒÒ /R 3 ÞÒ º Ç Ø Ø ÞÒ Û x sinx x +a = πe a 4 a ÈÓ Ö ÐÑÝ ÞÞ Ö Þ Û ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Ò ÑÓ Ò ÓÒØÙÖÙ Ó ÔÓ Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Ó¹ Ñ Ò Ô Ó Ö Ñ Û ÓÐÒ Ô Ô ÞÞÝõÒ ØÛÓ ÔÖ Û Þ Þ ÔÓÛÓ Ù ÛÝ Ø Ô Ò ÔÓÒ Ò ÐÒ ÖÓ Ò Ó ÞÝÒÒ e +Rsinϕ ÔÓ ØÝÑ Ô Ó Ö Ù Ò ÞÒ Ý R º Ç ÐÒ Ð Ñ Ø ÂÓÖ Ò µ ÓÒØÙÖÝ Û Ø ÖÝ ÛÝ ØÔÙ ÞÝÒÒ e i a z e i a z µ ØÖÞ ÓÑÝ Ô Ó Ö Ñ Û ÖÒ ÓÐÒ µ Ô Ô ÞÞÝõÒ Ý Ø Ñ Þ ÙÖÓ ÓÒ ÞÑ ÒÒ z Ø Ó ØÒ Ù ÑÒ µ Ó Û ÔÓ Þ Ò Ù Þ ÞÝÒÒ Ñ +i a i a µ Ø ÙÑ Ò Ð R º ½

20 Ç Ð ÞÝ sinax xx +b ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓÒ Û ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ø Ô ÖÞÝ Ø ÖÓÞ ÑÝ Ò Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø ÖÞ ÑÝ ÔÓ ÓÛ Ø Ó Ó ÛÝ Þ º ÑÝ ÔÓÒ ØÓ a > ÛÝÒ Ð a < Ø ÔÓ ÔÖÓ ØÙ Ñ ÒÙ ÛÝÒ Ñ Ð a > µº Å ÒÓÛÒ ÙÒ ÔÓ ÓÛ Þ ÖÙ Û ÔÙÒ x = Ø ØÓ Ò Ó Ó Ð ÛÓ ÔÓÞÓÖÒ Ý ÔÙÒ Ø Ø Ò Ø Þ Ö Þ Ñ Þ Ö Ñ Ð ÞÒ º Ã Ý Ò ÔÖÞ Ó Þ ÑÝ Ó ÓÛ Ò ÔÓ Þ Ñ Ò ØÝÑ ÓÒØÙÖÞ ÙÒ fz = e iaz zz +b Ó Ð Þ Ò Þ Ò ÔÖÞ Þ Þ ÙÖÓ ÓÒ Þ ÔÓÛÝ Þ ÙÒ ÔÓ Ó ÖÞ Þݹ Û Ø µ ÔÙÒ Ø z = Ø ÔÙÒ Ø Ñ Ó Ó Ð ÛÝÑ ØÖÞ Ó ÔÖÞÝ ÓÛ Ò Ù ÛÝ ÞÓÐÓÛ º Ð Ø Ó Ø Û ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Ù ÑÝ ÙÒ fz Ò ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ¾ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ ÔÓ Þ ÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ÖÞ ÑÝ Ö Ò ε º ÔÙÒ ØÙ Û Þ Ò ÔÓ Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Þ Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø fz ÔÖÓ ÙÖ Ø Ó ÔÓÛ ÓÓ Ö Ð Ò Ù Ò Û Û Þ Ó ÒÙ Ñ Û Ò Û ÖØÓ ÛÒ Ø º ÝÑ ØÖÝÞÒ ÑÙ Þ Ò Ù Þ Ð Û ÔÖ Û ØÖÓÒÝ Þ x Ó Þ Ö µº Å ÑÝ Þ Ø Ñ dzfz = ε R fx+ R ε fx+ K R dzfz+ K ε dzfz = πi resfz z=i b Å ÒÙ ÔÖÞÝ K ε ÔÖÞÝÔÓÑ Ò ÔÓ ØÝÑ Ô Ó Ö Ù Ø Ö Ò Û ÖÙÒ Ù Þ Ó ÒÝÑ Þ ÖÙ Ñ Û Þ Û Þ Ö ÞÝÐ Û ÖÙÒ Ù ÔÖÞ ÛÒÝÑ Ó Ø Ò Ö ÓÛ Óµº Ê ÙÙÑ ÙÒ fz Û ÙÒ ÔÖÓ ØÝÑ Ó Ð Þ ÑÝ Ø Ò Ö ÓÛÓ resfz z=i b = e a b i b i b = e a b b Ó Ò Þ Ð Ñ Ø Ñ ÂÓÖ Ò ÔÓ Ô Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R ÞÒ Û Ö Ò Ý R Ó Þ Ó ÝÐ ÑÝ a > µº ÓÐ Û Ö Ò Ý ε ÔÓ Ñ ÝÑ Ô Ó Ö Ù Ò Ø ÖÝÑ z = εe iϕ Ò ÞÒ Ø ØÓ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ö Ù ÓÖÑÙ ÓÛ Ò ÔÓ Þ Ò Ñ Û Ø ÖÝÑ Ó Ð Þ Ð ÑÝ Û ÖØÓ ÛÒ µ lim dzfz = ε K ε π dϕiεe iϕ ia ε eiϕ e εe iϕ ε e iϕ +b = i π b Þ ÛÝÒ ÞÒ Ù ÑÝ Û ÔÓ Û Ò Ö Ò Ý R ε e iax xx +b = iπ e ab πi b b ¾¼

21 ÁÑz R ε ε R Ê z ÊÝ ÙÒ ÃÓÒØÙÖ ÓÑ Ý ÙÒ ÔÖÓ ØÝ Û z = ÞÛ ÒÝ Ø ÓÒØÙÖ Ñ Ç Ë ÔÓ Ø ÖÓÔÓÐ Ù ÇÊ Ë ÔÓ ÓÖÝ ÓÛ Ò Ù Ô ÖÙ Ð Ñ ÒØ Û ÓÒØÙÖ Þ ÞÝÒ ÔÖÞÝÔÓÑ Ò Ô ÛÒ ÓÐ ÖÞÝÑ Þ ÓÒ ºººµº ÛÝØÐ Û Ø Ò ÞÛ Þ Û Þ Þ ÑÝ ÔÖÓ º º ÏÓ Ø Û ÞÓÛ º ËØ ÔÖÞÝÖ ÛÒÙ Ó Þ ÙÖÓ ÓÒ ÖÞ ÞÝÛ Ø Ó Ù ØÖÓÒ ÔÓÛÝ Þ Ö ÛÒÓ ÞÒ Ù ÑÝ sinax xx +b = P sinax xx +b = π e ab b cosax xx +b = P ÓÞÒ Þ ØÙ Û Ò Û ÖØÓ ÛÒ Ò Ò Ð ÓÑ ÞÝ ÔÖ Ò Ô Ð Ú ÐÙ ¹ Ø P µ Ø º ÓØÖÞÝÑÝÛ Ò Ý Ö Ò ÛÙ Þ Þ ÛÙ ØÖÓÒ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ó ÔÙÒ ØÙ Ó Ó Ð Û Ó ÙÒ ÔÓ ÓÛ º º Ç Ð ÞÝ sinx x ÊÓÞÛ Þ Ò Ø Ø Û ÖÙÒ ÓÛÓ Þ Ò º Â Û ÖØÓ ÑÓ Ò ÞÒ Ð õ Ø Ñ ØÓ¹ Ñ ÓÒÛ Ò ÓÒ ÐÒÝÑ Ð ÛÝÑ ØÓ Û Þ Ó Ò Ù ÔÖ Ý ÔÓÖ ÓÞÝ ÔÖÝØÙº ÃÓÖÞÝ Ø ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ù ÑÓ Ò ØÓ ÞÖÓ Ò ØÔÙ Óº Ç Ð Þ ÑÝ i Γ dz eiz z ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Γ ÔÓ Þ ÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù º Å ÑÝ ÛØ Ý ε R i dzfz + sinx icosx i x Γ R Ý Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ ÙÒ Ø ÓÐÓÑÓÖ ÞÒ º ε K ε dz eiz z i dz eiz K z = R È ØÖÞ ÒÔº º Ä Ê ÙÒ Ö Ò Þ ÓÛÝ ÓÛÝ ÈÏÆ Ï Ö Þ Û ½ ÛÝ º ÁÁµ º ¾ º ¾½

22 ËÔÖ Û Þ ÑÝ Ò Ô ÖÛ ÔÓ Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R π dz eiz z = dϕ ireiϕ eircosϕ+isinϕ Reiϕ K R ÞÒ Û Ö Ò Ý R º Ï ÖÞ ÞÝ Ñ π dz eiz z dϕe Rsinϕ = K R K ε π/ dϕe Rϕ/π = π R π/ dϕe Rsinϕ e R ÏÝ ÓÖÞÝ Ø Ð ÑÝ ØÙ Ø ÔÓÔÖÞ Ò Ó Ò Ö ÛÒÓ sinϕ ϕ/π Ù ÞÒ Ð ϕ πº Æ ØÔÒ Ó Ð Þ ÑÝ ÔÓ Ñ ÝÑ Ô Ó Ö Ù Ò Ø ÖÝÑ z = εe iϕ lim dz eiz ε z = lim i dϕe εsinϕ e iεcosϕ i dϕ = iπ ε Ï Ö Ò Ý R ε Ñ ÑÝ Þ Ø Ñ Ö ÛÒÓ ε lim ε + π ε sinx icosx x π = π ÈÓÒ Û cosx Ø ÙÒ Ô ÖÞÝ Ø Þ Ó ÒÙ Ñ Þ ÖÓ Ø ØÓ Þ ÙÒ Ò Ô ÖÞÝ Ø Û ÝÑ ØÖÝÞÒÝ Ö Ò µ Ó Þ Þ Þ ØÝÑ ÔÖ Û ØÖÓÒ Ø Ð Þ ÞÝ ØÓ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÔÓ Ð Û Þ Ó ÒÙ Ñ Ø ÞÝ ØÓ ÙÖÓ ÓÒ µº Þ ÒÙ Ñ Þ ÔÓ ÛÓ ÓÒ ÞÙ Ò º Ø Ñ Ç Ð ÞÝ sinx x = π sin x x ÊÓÞÛ Þ Ò Ò Ñ Ò Ó Ó Ð ÛÓ Ò Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Ø Û Ó Ö Ò Ò Ù Ó ÔÓÔÖÞ Ò Þ Ò ÞÛÞ Ð Ò µ Ð Ý Ó Ð ÞÝ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ù ØÖÞ ÔÖÞ ÔÖÞ Þ Þ Ó Ó Ð ÛÓ Ñ º È Þ ÑÝ sin x x = cosx = { ε lim + ε = { lim ε ε x ε ε + x ¾¾ ε ε + cosx x ε } cosx } x

23 Ý ÞÒ Ð õ ÖÙ ÖÓÞÔ ØÖÙ ÑÝ Ò ØÔÙ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Ç Ë Þ ÖÝ ÙÒ Ù ε dz eiz = eix z x + dz eiz z + dz eiz = z Γ + ε ÇÞÝÛ ÒØ Ö Ù Ò ØÝÐ Ó Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÔÓÛÝ Þ º ÈÓÒ Û Û Ö Ò Ý R ÔÓ Ô Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R ÞÒ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ø ε + eix ε x = dz eiz z Kε ÔÓ Ô Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù ε Ñ Ø Ö Þ Ó Û Û ÛÝÑ ÖÙÒ Ùµº Ý ε Ø ÑÓ Ò Ó Ð ÞÝ ÖÓÞÛ ÙÒ ÔÓ ÓÛ Û Þ Ö Ï ÛÖÞÙ ÛÓ z = dz eiz = dz z Kε z + i z + Kε π = dϕiεe iϕ i + + = i π dϕe iϕ π +Oε ε eiϕ εeiϕ ε = π ε e iϕ π +Oε = π +Oε ε ÏÝÒ Ø Ò Ð Ó ÓÞ Û Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø Þ sinx/x Û ÝÑ ØÖÝÞ¹ ÒÝ Ö Ò ÔÓÛ ÒÒ Ý Ö ÛÒ Þ ÖÙµ Ø ÓÒ Û Û ÖØÓ ÔÓØÖÞ Ò Ò Ñ Þ cosx/x º Ý ÓÖÞÝ ØÙ ÑÝ Ø Ò ÛÝÒ Û Þ ÑÝ ÛÝÖ ÞÝ Ó Ó Ð Û Ø º /εµ Ö ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ó Ø Ø ÞÒ K R sin x = π x Ó ÔÓØÛ Ö Þ ÔÖÓ Ö Ñ Å Ø Ñ Ø º ÙÛ ÑÝ Ø ØÓ ØÝÐ ÑÓ Ó Ó Ó + Þ ÙÒ sinx/x Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ Þ Ò Ù Þ Ø ÙÒ Ý Ó Ð ÞÓÒ Û Ö Ò Ó Ó Ó ÐÓ π/µº Æ ÔÓÛ ÒÒÓ ØÓ Þ Û ÛÔÖ Û Þ ÙÒ sinx/x Ñ Ð ÛÓÐÒ Þ ÛÞÖÓ Ø Ñ x Ò sin x/x Ð Þ ØÓ Ø Ö Þ Ó ØÒ Ö Þ Ù ÑÒ Û ÔÖÞÝÞÝÒ Ó Ö ÒÝ x¹ Û Þ ÓÛÓ Ù Ð Ø Ó ÛÝ Ó Þ ØÝÐ ÑÓ Ó Þ ÞÝ Ñ Ð Ð Þ ØÓ Þ Û Þ Ó ØÒ ÙÒ sin x/x º Ç Ð ÞÝ sin3 x x 3 ÊÓÞÛ Þ Ò ÃÓÖÞÝ Ø ÑÝ Þ ØÓ ÑÓ sin 3 x = 3sinx sin3x Ó Ð Þ ÑÝ 4 ε 4i lim + 3e ix e 3ix ε x 3 ε ¾ K ε

24 ÈÖÞÝ ÝÑ ØÖÝÞÒÝÑ ÓÛ Ò Ù Ó ÒÙ Ý ÔÓÛ Ø Þ e ix ÓÖ Þ e 3ix Þ Þ Ö i Ö ÞÝ ÒÙ Ý Þ ØÓ Ó ØÖÞ Ð Ø Ó Þ Ð ÑÝ ÛÝÒ ÔÖÞ Þ iµº ÈÓÒ Û ÙÒ fz 3e iz e 3iz /z 3 Ø ÓÐÓÑÓÖ ÞÒ Û Ó Þ ÖÞ Ó Ö Ò ÞÓÒÝÑ ÓÒØÙÖ Ñ Ç Ë Þ ÖÝ ÙÒ Ù Þ fz ÔÓ ØÝÑ ÓÒØÙÖÞ Þ ÖÓ Ó ÓÞÒ Þ ε lim ε + ε 3e ix e 3ix dz = lim x 3 ε K ε z 3 3eiz e 3iz dz = lim ε K ε z 3 +3z +  ÞÛÝ Ð Ô Ö Ñ ØÖÝÞÙ ÑÝ Ô ÙÞ Ó ÔÖÓÑ Ò Ù ε Ô Þ z = εe iϕ ÞÒ Ù ÑÝ dz π idϕ lim ε K ε z 3 +3z + = lim +3ε e iϕ + = 3iπ ε ε e iϕ ÌÙ ÙÖ Ø Þ /z Þ ÖÓ Ó Ø Ò Ø ÖÝÑ Ý ÓÔ ÖØÝ Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù ε Ý Ó¹ Ö ÛÒÝ π Ø ØÓ Û Ò Ò Þ ÞÞ ÐÒÝ ÔÖÞÝÔ Û Û ÔÓÑÒ ÒÝ ÔÖÞÝ Ö Ù ÔÓ Ò Ò ØÖÓÒ ½ ØÙ ÑÙ Ó ØÓ Ø ÛÝ Ó Ó Ð Þ Ò Þ ÙÒ sin 3 x/x 3 Ø Ó ÖÞ Ó Ö ÐÓÒ Ò Û Ø ÞÛÞ Ð Ò Þ Ò µº Ø Ñ sin3 x x 3 = 3 4 π Ç Ð ÞÝ Ö Ò Þ Ð Ø º Ö Ò Ð F S sinx F C cosx ÊÓÞÛ Þ Ò Ø Þ Ò Û ÖÙÒ ÓÛÓ Þ ÓÖ Þ ÞÝ ÞÝÑ Ý x Ó ÝÐ ÓÑ ÙÒ ÔÓ ÓÛÝ Ó Ó + ÔÖÞÝÞÝÒ ÛÒÓ ÞÓÒ Ó ÔÖÞ Þ Ù x¹ý Ù Ö Ò Ó Þ Ö º Ý Ó Ð ÞÝ Ù ÑÝ ÙÒ fz = e z ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Γ F ÔÓ Þ ÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù º ÈÓÒ Û Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ ÙÒ fz Ø ÓÐÓÑÓÖ ÞÒ Ñ ÑÝ Γ F dzfz = R e x + 8 K R dzfz+ skos dzfz = Ï Ö Ò Ý R ÔÓ Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R Ò Ø ÖÝÑ z = Reiϕ ÞÒ 8 π/4 π/4 dzfz = dϕire iϕ e R cosϕ e ir sinϕ R dϕe R cosϕ 8 K R ÓÖÞÝ Ø Þ Ò Ö ÛÒÓ cosϕ 4ϕ/π Ù ÞÒ Ð ϕ π/4µ Ñ ÑÝ π/4 dzfz dϕe Re R 4Rϕ/π = π e R 4R 8 K R ¾

25 ÁÑz π/4 R Ê z ÊÝ ÙÒ ÃÓÒØÙÖ ÓÛ Ò Γ F ØÞÛº ØÓÔ Ö µº Ð R lim R e x = e x = e x = π ÙÛÞ Ð Ò Û ÔÓ Ó z = re i 4 π dz = dre i 4 π ÓÖ Þ z = r e i π = ir Ñ ÑÝ ËØ i π +e 4 π dre ir = +i dr cosr i +i dr sinr = π ÔÖÞÝÖ ÛÒÙ Ó Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÙÖÓ ÓÒ ÔÓ Ð Û ÔÖ Û ØÖÓÒ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Û Ö ÛÒ Ò Ø ÖÝ ÖÓÞÛ Þ Ò dr cosr + dr sinr = π dr cosr dr sinr = ÈÓÒ Û ÝÛ Ø Ý Ó Ò Û Þ e x = F S = F C = π 8 e x dye y = dye x +y = π drre r = π R ¾

26 ÁÑz πi R R Ê z ÊÝ ÙÒ ÈÖÓ ØÓ ØÒÝ ÓÒØÙÖ ÓÛ Ò Û Ô ÞÞÝõÒ ÞÑ ÒÒ Þ ÔÓÐÓÒ zº ÈÓ Û ÖÙÒ Þ ÒÓ eax +e x Ó Ð ÞÝ Ñ ØÓ Ö Ù Ûº ÊÓÞÛ Þ Ò Ð x + ÙÒ ÔÓ ÓÛ Þ ÓÛÙ e a x Ð x e ax º ÏÝÒ Ø Ø Þ Ò ÞÛÞ Ð Ò µ Ð < a < º Ý ÞÒ Ð õ Ð Ø Û ÖØÓ a Ó Ð Þ ÑÝ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Γ ÔÓ Þ ÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù Þ ÙÒ fz = e az /+e z º ÙÒ Ø Ñ ÙÒÝ ÔÖÓ Ø Û ÔÙÒ Ø Û Ø ÖÝ e z = Ø º Û z n = iπ + nπ n Zº Ï ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ ÞÒ Ù Ò ØÝÐ Ó ÔÙÒ Ø z = iπº ÃÓÒØÙÖ Þ ÞØ Ö Ó Ò Û ÔÖÓ ØÝ Ò Ø ÖÝ Ó ÔÓÛ Ò Ó z = x z = R+iy z = x+πi ÛÖ Þ z = R+iyº Å ÑÝ Þ Ø Ñ R π dzfz = eax +e +i dy ear e iay x +e R e iy Γ + R R R eaπi e ax +e x +i π dy e ar e iay +e R e iy = πi resfz z=iπ ÃÓÒØÙÖ ÞÓ Ø Ø ÔÖÝØÒ Ó Ö ÒÝ Û Ñ ÒÓÛÒ Û ØÖÞ Ø Ø Ñ Û Ô ÖÛ Þ ÔÓ ÛÝ Þ Ò Ù ÔÖÞ Ò Ø Ó ÞÝÒÒ e aπi Ø ÓÒ Ö ÛÒ Þ Ñ ÒÙ Ñ Þ ÛÞ Ð Ù Ò ÔÖÞ ÛÒ ÓÖ ÒØ µ Ô ÖÛ Þ º  ÞÛÝ Ð ÑÙ ÑÝ ÔÓ Þ Û Ö Ò Ý R ÔÓ Ó ÔÖÓ ØÓ Ø ÞÒ º ËÞ Ù Ñݺ ÈÖ ÛÝ ÓÞ ÖÓ Ø Ò Ö ÓÛ µ π dy ear e iay π +e R e iy dy π e ar +e R e iy π Ó Þ Ó ÝÐ ÑÝ a < º Ä ÛÝ ÔÓ Ó Ò dy e ar e iay π +e R e iy e ar dy e R Ó Þ ÓÐ < aº ÞÝÐ Û Ö Ò Ý R Ñ ÑÝ e aπi eax dy +e x = πi resfz z=iπ ¾ e ar e R

27 Ç Ð Þ ÑÝ Ö ÙÙÑ À Ò ÞÒ Ñ Ö ÛÒÓ ÓÞÒ Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ö Ù Ý ËÞÔ Ø ÐÒ µ Ç Ø Ø ÞÒ Û resfz z=iπ = lim z iπ z iπe az +e z = e iaπ z iπ lim z iπ +e z =H = e iaπ e z eax +e x = πieiaπ e aπi = πi e iaπ e aπi = = e iaπ z=iπ π sinaπ Å ØÓ Ö Ù Û Ó Ð ÞÝ ÓÐÓ Û Ð ØÞÒº ØÝÔÓÛ ÛÝ ÙÑ Ò Þ ÔÓÛÓ Ù Ø Ó π µ Ø Ö Ò Ò ÓÐÓ Û x +π chx ÊÓÞÛ Þ Ò Ø ÑÓ Ò Ó Ð ÞÝ Ù ÙÒ fz = z iπchz ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù º Å ÑÝ ÓÛ Ñ R R dzfz = Rx iπchx + R x+πi iπchx+πi + = πi bokidzfz i resfz z=zi Þ z i ÔÙÒ Ø Ñ Ó Ó Ð ÛÝÑ ÙÒ fz ÞÒ Ù ÝÑ Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ Ó¹ Û Ò º Ï Ö Ò Ý R ÔÓ Ó ÓÒØÙÖÙ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ÞÒ º ÆÔº ÔÓ ÔÖ ÛÝÑ Ó Ù Ò Ø ÖÝÑ z = R+iy Þ Ù ÑÝ Ò ØÔÙ Ó π idy π R+iy iπchr+iy dy R+iy π e R e iy +e R e iy π dy R+iy π e R e R ÈÓÒ Û Ò chx+πi = chx ÔÓ Ó ÛÖ Ò Ù Ö Ò ÖÙ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Û Ö Ò Ý R ÞÛ Þ πi x +π chx = πi i resfz z=zi ÞÝ Ø Ò Ñ ÛÝÒ Ó Ø Ò ÑÝ ÓÖ ÖÒÝ Ó ÓÒØÙÖÙ Ò ÖÝ ÙÒ Ù Ò ÛÝ Ó Ó 4πi Ò ÛÝ Ó Ó πik Þ k Z + ÐÙ k Z Û Þ Ò Û ÙÑÓÛ Ò Ù Þ Ö Ù ÓÑ ØÖÝÞÒ Óºººµ ¾

28 ÙÒ fz Ñ ÙÒ ÔÖÓ ØÝ Û z = iπ resfz z=iπ = chiπ = cosπ = ÓÖ Þ ÙÒÝ ÔÖÓ Ø Û z n = iπ + nπ n Z Þ Þ Ó ØÝÐ Ó Ø Ó ÔÓÛ n = n = ÞÒ Ù Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ ÓÛ Ò º resfz z=i π resfz z=i 3π = lim z i π = lim z i 3π z i π z iπchz =H = z i 3π z iπchz =H = i π sh = i π π i π sh = i 3π π Þ Û ÞÝ Ø Ó ÞÒ Ù ÑÝ x +π chx = 4 π Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ô ºººµº Å ØÓ Ö Ù Û Ó Ð ÞÝ x n +x n Û Ø Ö n N Ø Þ Ò Ð n Ó Ð x ÙÒ ÔÓ ÓÛ Þ ÓÛÙ /x n µº Ç Ö Ò Þ ÑÝ ØÙ Ó Ò ØÙÖ ÐÒÝ n Ý ÙÒ Ò ÔÖÓ Ð ÑÙ Ò ÓÛ Ò z n Ð Ò ÓÛ ØÝ n Ø ÖÝÑ ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Þ Ñ ÑÝ Ð ÓÞÝÛ ÔÓÛÝ Þ Þ ÙÒ Ö ÞÝÛ Ø Ø Þ Ò Ð ÓÛÓÐÒÝ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ n > º ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓØÖÞ Ò ØÙ ÞØÙÞ Ø ÔÓ Ó Ò Ó Ø Þ ÔÓÔÖÞ Ò Ó Þ Ò Þ ØÝÑ ÓÒØÙÖ ØÖÞ Ø Ö Þ ÛÝ Ö Ø Ý ÒÝÑ Ó Ö Ñ ÒØ Ñ Ý Ó ØÒ Ô Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Ý Ò ÖÙ Ñ Ö Ñ Ò ÞÝÒÒ z n Û Ñ ÒÓÛÒ Ù Ý Ø Ö ÛÒÝ x n º Ì ÛÝÑ Ò Ô Ò ÔÓ Þ ÒÝ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ÓÒØÙÖ ØÝÔÙ Ð Ò º ÈÓ ØÝÑ ÓÒØÙÖÞ Ù ÑÝ ÙÒ fz = z n / + z n º Å ÓÒ ÙÒÝ ÔÖÓ Ø Û Ñ Þ ÖÓÛÝ Ñ ÒÓÛÒ Ø º Û ÔÙÒ Ø Ý Ô ÖÛ Ø Ñ n¹ø Ó ØÓÔÒ Þ i z k = /n = exp π +kπ k = n n Â Ò ØÖÙ ÒÓ Þ ÙÛ Ý Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ ÔÓ Þ Ò Ó Ò ÖÝ ÙÒ Ù ÞÒ Ù ØÝÐ Ó Ô ÖÛ Ø z º Å ÑÝ Þ Ø Ñ R π/n dzfz = fx+ dϕire iϕ f Re iϕ Γ + R dre iπ/n rn e iπ +r n = πi resfz z=z ¾

29 ÁÑz π/n R Ê z ÊÝ ÙÒ ÃÓÒØÙÖ ÓÛ Ò ØÝÔÙ Ð Ò ÐÙ Ù Ý ØÓÔ Ö µº Ï Ó Ø ØÒ ÔÓ ÖÒ Ö Û Þ Ð Ò ÔÓ Ø Û Ð ÑÝ z = re iπ/n ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ð ÑÝ ØÓ ÛØ Ý z n = r n º Æ ØÔÒ ÖÓ ÔÓÐ Ò Ø Ò Ö ÓÛÝÑ ÔÖ Û Þ Ò Ù Ð n > µ π/n dϕire iϕ f Re iϕ Ý R ÓÖ Þ Ò Þ ÙÛ Ò Ù R dre iπ/n rn e iπ = eiπ/n +rn Ó Û Ö Ò Ý R ÔÓÞÛ Ð Ò Ô R dr π/n dϕ Rn+ R n r n = eiπ/n +rn R +e iπ/n x n +x = πi resfz n z=z Ê ÙÙÑ Ò ØÖÙ ÒÓ Ó Ð ÞÝ ÙÒ ÔÖÓ ØÝµ resfz z=z = lim z z z z z n z n + Ì Û = i lim z z z z z n + =H = x n +x n = πi ie iπ/n n+e iπ/n = π n i nz n cosπ/n x n +x n = i z=z n eiπ/n ÈÓ Û ÖÙÒ Þ ÒÓ I = Ó Ð ÞÝ Ñ ØÓ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Ö Ù º chpx chqx cosmx ¾

30 ÁÑz Γ iπ/q R R Ê z ÊÝ ÙÒ ÈÖÓ ØÓ ØÒÝ ÓÒØÙÖ ÓÛ Ò Û Ô ÞÞÝõÒ ÞÑ ÒÒ Þ ÔÓÐÓÒ zº ÊÓÞÛ Þ Ò Ø Þ Ò Ð q > pº Ý Ó Ð ÞÝ ÖÓÞÔ ØÖÙ ÑÝ dzfz dz epz+imz chqz Γ Γ ÔÓ Þ Ñ Ò ØÝÑ ÓÒØÙÖÞ Γ ÔÓ Þ ÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù º Ï Ö Ò Ý R Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÔÓ Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Þ ÙÒ fz ÔÓ¹ ÛÓ ÓÒ ÞÙ Ò epx+imx chqx = = = epx+imx e px imx chqx chqx + epx+imx chqx epx+imx chqx + chpx chqx cosmx+i shpx chqx sinmx Ï ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ ÔÓ Þ Ò Ó Ò ÖÝ ÙÒ Ù ÙÒ fz Ñ ØÝÐ Ó Ò ÙÒ ÔÖÓ ØÝ Û z = iπ/qº Â Ö ÙÙÑ Û ØÝÑ ÔÙÒ ÛÝÒÓ resfz z= iπ q = e p+imiπ q lim z iπ q = H = e p+imiπ q lim z iπ q z iπ/q chqz qshiπ/ = ep+im qi À Ò ÞÒ Ñ Ö ÛÒÓ ÓÞÒ Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ö Ù Ý ËÞÔ Ø ÐÒ µº ÔÓ ÖÒÝÑ Ó Ù ÓÒØÙÖÙ Þ ÖÝ ÙÒ Ù Ò Ø ÖÝÑ z = x+iπ Ø Ö ÛÒ ep+imx+iπ/q chqx+iπ = e p+imiπ q ep+imx chqx Ý chqx+iπ = chqxº Â Ð Û ØÝÐ Ó ÞÒ ÔÓ Ô ÓÒÓÛÝ Ó ÓÒØÙÖÙ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Þ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ù ÞÛ Þ iπ q ep+imx chqx = π q e p+imiπ q +e p+imiπ q = π q [ ] cos p+im π q ¼

31 Ø Ñ chpx chqx cosmx = π q shpx chqx sinmx = π q = π cos q cos cos cos pπ q pπ q pπ q pπ q cos ch mπ q sin ch mπ q ch ch pπ q pπ q mπ q mπ q mπ ch q +sin mπ sh q +sin +isin +sin pπ q pπ q pπ q pπ q sh sh mπ sh q mπ sh q mπ q ÈÓÞÓ Ø ØÝÐ Ó ÔÓ Þ ÞÒ ÔÓ Ó ÔÖÓ ØÓ Ø Þ ÖÝ ÙÒ Ù º Æ ØÝ Ó z = ±R+iy π/q dzfz e ±pr e my dy e ±qr e iqy +e qr e iqy bok Ï Û ÒÔº Ð ÔÖ Û Ó Ó Ù Ø º Ð z = R+iy Ý R π/q dzfz dy epr e my e qr e qr prawy bok Ð Ó Ø Ý Ó Û ÖÙÒ Ñ Þ ÒÓ ÛÝ ÓÛ q > pº ÈÖÞÝÔÓÑÒ Ò ÙÒ lnz Ò ÑÓ Ý Ó Ö ÐÓÒ Ò Ô ÞÞÝõÒ Þ ÔÓÐÓÒ ÞÑ ÒÒ zº Ð Û ÞÝ Ø k Z ÛÝÖ Ò re iϕ+πk Ö ÔÖ Þ ÒØÙ Ò Ø Ñ Ð Þ Þ ÔÓÐÓÒ z Ð Û ÖØÓ ÐÓ ÖÝØÑÙ z lnz = ln re iϕ+πk = lnr +iϕ+kπi Þ Ð Ý Ó ÛÝ ÓÖÙ k Zº ÈÖÞÝ Ó Ó Þ Ò Ù ÔÙÒ ØÙ z = Ý Þ Ö ÙÑ ÒØÙ ÙÒ ¹ lnz ÔÖÞÝÖ Ø Ý Ó π Û ÖØÓ ÙÒ ÐÓ ÖÝØÑ ÞÑ Ò Ý Ó πi Þ ÝÑ Ó Ñº Ø Ó ÔÓÛÓ Ù ÔÙÒ Ø z = Ø ÞÛ ÒÝ ÔÙÒ Ø Ñ ÖÓÞ Þ Ò ÙÒ lnzº Æ Ö Þ Ð Ò Ñ ÔÓ Ó Ñ Þ Ò ÓÛ Ò ÐÓ ÖÝØÑÙ Ó ÙÒ ÒÓÞÒ ÞÒ ØÓ Ø ÔÐ ÓÒ ÞÑ ÙÒ Ø Þ Ò ÒÓÞÒ ÞÒ µ Ø Ó Ö Ð Ò Ó Ò Ò ÞÛÝ Ô ÞÞÝõÒ Þ ÔÓÐÓÒ Ð Þ Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò Ê Ñ ÒÒ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ò Û ÛÓ ÔÙÒ ØÙ z = ÔÓÛ ÖÞ Ò ÔÖÞÝÔÓÑ Ò ÐÙÞÓÛÝ Ð Ñ ÒØ ¹ Ý ÑÓ Þ Ù ÔÖÞ ÔÓØÓÔÓÛÝ ¹ Ñ ÞÝÒ Ó Ñ µº ÔÖ ØÝÞÒ Ó ÔÙÒ ØÙ Û Þ Ò Ø º ½ mπ q

32 Ó Ó Ð Þ Ò Þ ÙÒ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Ñ ØÓ Ö Ù Ûµ ÛÝ Ø ÖÞÝ Ò Ó Ö Ð ÐÓ ÖÝØÑ Ò Ô ÞÞÝõÒ Þ ÔÓÐÓÒ Þ ÖÓÞ Ñ Ò ÝÑ Ó ÔÙÒ ØÙ ÖÓÞ Þ Ò z = Ó Ò Ó ÞÓÒÓ Ó ÙÑÓ Ð Û ÒÓÞÒ ÞÒ ÔÖÞÝÔ Ò ÞÝ Ò Ð Ò ÖÓÞ Ùµ Ð Þ Þ ÔÓÐÓÒ Ó Ò ÖÓÞ Ø Ô ÞÞÝõÒ Ó Ø Ó Ñ Ó z Ò ÑÓ Ò ÔÓÛÖ ÔÓ ÖÓ Þ ÓÛ Ö Þ ÐÙ Û Ö Þݵ ÛÓ ÔÙÒ ØÙ z = º Æ ÛÝ Ó Ò Ø ÔÖÞÝ ÖÓÞ Ó ÔÙÒ ØÙ z = Ó Ò Ó ÞÓÒÓ ÛÞ Ù Ó ØÒ Ô Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Þ Ò ÓÛ Þ z Ø Ý ÐÓ ÖÝØÑ Ó ØÒ Ð Þ Ý ÖÞ ÞÝÛ Ø Ý Ø Ñ ÐÓ ÖÝØÑ Ó Ö ÐÓÒÝ Ò R + º ÈÖÞÝ ÑÙ ÑÝ Þ Ø Ñ Ð Þ z = x+iδ Þ x > δ + Ø Ö Þ ÑÝ ÓÞÒ Þ x+iµ Ñ Þ ϕ = ÛÓ Ø Ó lnx + i = lnxµ Ð Þ z = x i Ø º z = x iδµ Ñ Þ π Ø lnx i = π+lnxµº ÙÛ ÑÝ Ø ÐÓ ÖÝØÑ Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø Ð Þ Ý Ù ÑÒ x = x Ø ÔÖÞÝ Ø Ò ÐÓ ÖÝØÑÙ Ó ÖÞ Ó Ö ÐÓÒ Ð Þ Þ ÔÓÐÓÒ ln x +iπº Ç Ð ÞÝ lnz dzfz dz z +a Γ Γ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ ÔÓ Þ ÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù º ÊÓÞÛ Þ Ò Ï ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ñ Û ÙÒÝ ÔÖÓ Ø Û ÔÙÒ ¹ Ø z ± = ±i a º Ø Ñ R dzfz dzfz+ fx+i Γ K ε + dzfz+ K R ε ε R fx i = πi resfz z=i a + resfz z= i a Æ ØÖÙ ÒÓ ÔÓ Þ ÔÓ Ñ ÝÑ Ó Ö Ù Ò Ø ÖÝÑ z = εe iϕ ÞÒ Û Ö Ò Ý ε º ÊÞ ÞÝÛ π δ dzfz dϕ ε lnεeiϕ Kε δ a +ε e iϕ π dϕ ε lnε π a +ε e iϕ + dϕ ε ϕ a +ε e iϕ Ý Û Ö Ò Ý Ø Ñ ÒÓÛÒ Û Ó Ù ÛÝÖ Þ Ý Ó Ø Ö ÛÒ a Ñ Ó ÞÓÒ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÐÒ Ó ÞÒ Ý ÞÝÒÒ Û ε lnε ÓÖ Þ εº Ê ÛÒ ÔÓ Ù ÝÑ Ó Ö Ù Ò Ø ÖÝÑ z = Re iϕ ÞÒ Û Ö Ò Ý R π dzfz dϕr lnr+iϕ π K R R e iϕ +a dϕr lnr+iϕ R a Ï ÔÓ Û Ò Ö Ò Ý ε R Ñ ÑÝ Þ Ø Ñ Ö ÛÒÓ fx+i+ fx i = πi resfz z=i a + resfz z= i a ¾

33 ÁÑz Ê z ÊÝ ÙÒ ÃÓÒØÙÖ Γ ÞÛ ÒÝ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ º Ð Ø Ð Ò ÛÞ Ù Ó ØÒ Ô Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø ÓÞÒ Þ ÖÓÞ Ø º Þ Ö Ð Þ Ò Ò Ð Ý Ó Þ Þ ÒÝ ÙÒ lnzº ÈÖÓÑ εñ Ó Ó Ö Ù Ó Óz = Ý Ó Þ Ö ÔÖÓÑ R Ù Ó Ó Ö Ù Ý Ó Ò Ó ÞÓÒÓ º Ê Ù ØÛÓ ÞÒ Ð õ resfz z=i a = ln a e iπ/ i a resfz z= i a = ln a e 3iπ/ i a Ø ÙÑ Ö Ù Û ÛÝÒÓ π/ a º ÈÓÒ Û fx i = lnxeπi x +a = lnx x +a +πi x +a ÛÝÖ ÞÝ Þ ÐÓ ÖÝØÑ Ñ Ö Ù Ù ÔÓ ÛÝÔÖÓ ØÓÛ Ò Ù Ö Ò ÖÙ µ ÙÞÝ Ù¹ ÑÝ Ö ÛÒÓ πi x +a = πi resfz z=i a + resfz z= i a = πi π a Ø Ö ÓÐÛ ÔÖ Û Þ Û Ñ Û Ó Ø Ñ Ó ÒØ Ö Ù ¹ Ø Ò Ñ ÛÝÒ Ø º Þ fx = /x + a ÑÓ Ò ÞÒ Ð õ ÔÖÓ º ÈÖÞÝ Ø Ò ÔÓ ÞÙ Ò Ò Ð Ý Ó Ó Þ Þ ÐÓ ÖÝØÑ Ñ º ØÛÓ Ø Ò ØÝÑ ÔÖÞÝ Þ ÔÖ Û Þ ÙÞÝ Û Ò ÛÝÒ Ò Þ Ð Ó ÛÝ ÓÖÙ Þ ÐÓ ÖÝØÑÙ Ø º ÓØÖÞÝÑ Ð Ý ÑÝ Ø Ò Ñ Ó ÓÛÝ ÞÛ ¹ Þ Ò Û Ø Ý Ý Þ Ò ÓÛ ÐÓ ÖÝØÑ Ø Ò ÖÒÝÑ ÖÞ Ù ÖÓÞ Ñ Ð Ý ÑÝ lnz = ln xe πki Ò ÓÐÒÝÑ ÛÓ Ø Ó lnz = ln xe πk+i º

34 Ó Û ÔÓÒ ÓÒ ØÙ ÔÓÖ ÑÓ Ò ÔÖÞ Ù Û Ù Ø º Û Ò ÖÞ Þ Ó Ó Ð Þ ¹ Ò Û Ö Ò Ó Ó Þ ÙÒ ÛÝÑ ÖÒÝ Rx Ø Ö Ò Ô ÖÞÝ Ø Ø º R x Rx ÑÓ Ñ Ó Ó Ð ÛÓ Ò Ù ÑÒ Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø µ Ø ÖÝ ØÓ Ò ÑÓ Ò Ó Ð Þ ÔÖÞ Þ ÖÓÞ ÓÛ Ò Ò Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø ÓÖÞÝ Ø Ò Þ ÓÒØÙÖÙ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ¾º ÁÐÙ ØÖÙ ØÓ Ò ØÔÙ º Ç Ð ÞÝ I = x x +x+ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÓÒØÙÖ ØÝÔÙ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù º ÊÓÞÛ Þ Ò Æ ÙÞ Ò Ó Û Þ Ò Ñ ÖÓÞÔ ØÖÙ ÑÝ zlnz dz z +z + Γ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù º ÈÓ Ø Ò Ö ÓÛÝÑ ÔÓ Þ Ò Ù ÔÓ Ó Ö Ó ÔÖÓÑ Ò ε R ÞÒ Û Ö Ò ε R ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ö ÛÒÓ xlnx x +x+ + xlnxe πi x +x+ = πi [ ] zlnz res z +z + z i =±i ÞÝÐ ÔÓ ÞÖ Ù ÓÛ Ò Ù Þ ÐÓ ÖÝÑ Ñ Ø Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ ÔÖÞÝ Þ xlnx x +x+ = [ ] zlnz res z +z + Ê Ù Ó Ð Þ ÑÝ Ø ÔÓÔÖÞ Ò Ó [ ] zlnz res z +z + [ ] zlnz res z +z + [ ] zlnz res z +z + ÇØÖÞÝÑÙ ÑÝ Þ Ø Ñ I = π 4 z=i z= i z= z i =±i π = iln e i i+i = i i π 4 iln e i3π = i i = +i i 3π 4 = ln e iπ = i π i+i i +3i +i = π 4 ÏÝÒ Ø Ò ÑÓ Ò ÓÞÝÛ ÔÖ Û Þ Ø Ò Ö ÓÛ Ñ ØÓ I = +x lim Λ Λ +x x +x z=z i z=z i

35 ÃÓÒ ÞÒ Ø ØÙ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ö ÙÐ ÖÝÞ Λ Ý ÖÓÞ Ò Ù Ñ ÔÖÓ Ø ÙÒ ¹ Þ Ø Ö Ý Þ Ò ÓØÖÞÝÑ Ð ÑÝ Ö Ò ÛÙ Þ Ó Ó Ò Ò Þ ÒÝ º ËØ I = π lim ln+x Λ Λ ln+x Λ + π = π 4 Ø ÛÝ º Ç Ð ÞÝ lnx x +a ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÓÒØÙÖ ØÝÔÙ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù º ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓÔÖÞ Ò ÔÖÞÝ ÔÓ ÞÙ ÓÛ Ò ÙÒ z + a lnz ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ Ò ÔÓ ÞÙ Û Ò ÞÓ ÞÝÑÝ Ð Ø ÑÓ Ò Ò ÓØÖÞÝÑ Ù ÙÒ z +a lnz ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Ç Ë ÔÓ Þ ÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù µº ËÔÖ Ù ÑÝ Û ÓÛ ÔÓ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ ÙÒ fz = lnz z +a Ï Ö Ò Ý ε R ÞÒ Ò Û Ø Ö Ò Ý ÔÓ Ó Ö Ñ ÝÑ Ù ÝÑ ÛÝ ÞÙ Ø ÑÓ ÔÓÔÖÞ Ò Óµ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ lnx x +a + Ç Ð Þ ÑÝ Ö Ù Á ÙÑ ÛÝÒÓ resfz = i a πi+lnx x +a resfz z=+i a = ln a e i resfz z=+i a = = πi resfz z=+i a + resfz z= i a i a π ln a e i3π i a {ln a +iπln a π 4 = iπln a +π i a } ln a +3iπln a 9π 4 ÊÓÞÔ Ù Û Ö Ø ÐÓ ÖÝØÑÙ Û ÖÙ Ó Ö Û Ò Ö Ò ÓÛ Ò ÞÒ Ù ÑÝ Þ ln x ÙÐ Ö Ù ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ö ÛÒÓ 4πi lnx x +a +4π x +a = πi π iπln a i a

36 Þ Ø Ö ÔÖÞÝÖ ÛÒÙ Ó Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÙÖÓ ÓÒ Ó Ù ØÖÓÒ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Û ÖÙ Þ Ò Ù ÓÞÝÛ ÞÒ Ñݵ Ç Ð ÞÝ lnx x +a = π a ln a lnx x +a x +a = π a ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÓÒØÙÖ Ç Ë Þ ÖÝ ÙÒ Ù º ÊÓÞÛ Þ Ò Ù ÑÝ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Ç Ë ÙÒ z +a lnz ÛÝ Ö Ø ÔÓÔÖÞ Ò Ó Ø º Ó z = Ó Ò Ó ÞÓÒÓ ÛÞ Ù Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø º ËØ Ò Ö ÓÛÓ ÔÓ ÞÙ ÑÝ ÔÓ Ñ ÝÑ Ô Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù ε ÓÖ Þ ÔÓ Ù ÝÑ Ô Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R ÞÒ Û Ö Ò Ý ε R º Ï Ø Ö Ò Ý Ñ ÑÝ Þ Ø Ñ ÞÝÐ ODS dzfz = iπ x +a + ln x eiπ x +a + ln x x +a + lnx x +a = πi resfz z=+i a lnx i x +a = πi π +ln a i a ÍÛÞ Ð Ò Ð ÑÝ ØÙ ØÓ Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ Ç Ë ÞÒ Ù ØÝÐ Ó ÙÒ ÔÖÓ ØÝ Û z = i a º Ó ÓÒÙ Û ÛÙ Ô ÖÛ ÞÝ Þ Ñ ÒÝ ÞÑ ÒÒÝ x x ÔÖÞÝÖ ÛÒÙ Ò ØÔÒ Ó Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÙÖÓ ÓÒ Ó Ù ØÖÓÒ Ö ÛÒÓ Ó Ø ÑÝ Ø Û ÞÒ Ò Ù µ ÛÝÒ lnx x +a = π a ln a Ó ÓÑÔÐ ØÙ Ó Ð ÞÑÝ ÞÞ Þ ÙÒ fz = ln z z +a x +a = π a ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Ç Ë Þ ÖÝ ÙÒ Ù º ÊÓÞÛ Þ Ò Â ÞÛÝ Ð ÔÓ Ñ ÝÑ Ô Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù ε ÓÖ Þ ÔÓ Ù ÝÑ Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R ÞÒ Û Ö Ò Ý ε R º Ï Ø Ö Ò Ý ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Û ODS dzfz = iπ +ln x x +a + ln x x +a = πi resfz z=+i a

37 Ê ÙÙÑ Ø ÙÒ Û z = i a Ý Ó Ù ÞÒ Ð Þ ÓÒ º ÊÓÞÔ Ù Ô ÖÛ Þ ÓØÖÞÝÑÙ¹ ÑÝ Û π x +a +πi ln x x +a + + ln x x +a ln x x +a = π a ln a +iπln a π 4 ÈÓ Ó ÓÒ Ò Ù Þ Ñ ÒÝ ÞÑ ÒÒÝ x x Û ØÖÞ Ô ÖÛ ÞÝ ÔÖÞÝÖ ÛÒ Ò Þ ÙÖÓ ÓÒÝ Ó Ù ØÖÓÒ ÞÒ Ò Ù Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø Þ Ö ÛÒÓ ln x x +a = π lnx x +a = π a ln a x +a + π a ln a π 4 ÈÓÒ Û ÞÒ ÑÝ Ù ØÓ ÔÓ ÔÖ Û ØÖÓÒ π/ a µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÒÓÛÝ ÛÝÒ ÔÓØÛ Ö Þ ÒÝ ÔÖÞ Þ ÔÖÓ Ö Ñ Å Ø Ñ Ø µ ln x x +a = π 8 a π +4ln a Ý Ò ÔÓÛ Ø Ó ÑÝÐÒ ÛÖ Ò Þ Û Þ Ø Ð Ô ÓÛ ÙÒ ÔÓ Ø ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ Ö ÞÝ ÐÓ ÖÝØÑ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Ç Ë Þ ÖÝ ÙÒ Ù ÔÖ Ù ÑÝ ÖÓÞÛ Þ Ò ØÔÙ Þ Ò º ÅÑ ØÓ Ö Ù Û Ó Ð ÞÝ xlnx x +a x +b Û Ø Ö a b Ð Þ Ñ ÖÞ ÞÝÛ ØÝÑ º ÊÓÞÛ Þ Ò Ó ÞÑÝ Ó ÛÝ Þ Ð Ù ÑÝ ÙÒ fz = zz +a z + b lnz ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Ç Ë ÖÝ ÙÒ µº ÅÓ Ò ÞÛÝ Ð ÔÓ Þ ÔÓ Ô ¹ Ó Ö Ñ ÝÑ Ù ÝÑ ÞÒ Û Ö Ò Ý ε R Þ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ù ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ö ÛÒÓ xln x e iπ x +a x +b + xlnx x +a x +b = πi resfz i a + resfz i b ÈÓÒ Û Ò ÑÒÓ ÐÓ ÖÝØÑ ÙÒ Ý Ò Ô ÖÞÝ Ø Û ÔÓÔÖÞ Ò ÔÖÞÝ ÙÒ Ø Ý Ý Ô ÖÞÝ Ø µ ÔÓ Ó ÓÒ Ò Ù Û Ô ÖÛ Þ ÔÓ Ø Û Ò x x Ó Ö Ò Ù Ö Ò ÓÛ Ò Þ ÐÓ ÖÝØÑ Ñ ÙÐ Ò Ö Ù ÓØÖÞÝÑ ÑÝ Ö ÛÒÓ x iπ x +a x +b = πi resfz z=i a + resfz z=i b

38 ÈÓ Ó Ð Þ Ò Ù Ö Ù Û resfz z=i a = i a ln a e i π i a b a = ln a e i π b a resfz z=i b = i b ln b e i π i b a b = ln b e i π a b ÞÒ Ù ÑÝ ÞÝÐ iπ x x +a x +b = πi ln a / b b a x x +a x +b = a ln a b b Æ Ø ØÓ Ò Ø Ø Ö Ð ÑÝ Ó Ð ÞÝ Ï Ø ÝØÙ Ò Ñ ÒÒ Ó ÛÝ Ò ÓÖÞÝ Ø Ò Þ ÓÒØÙÖÙ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ ÖÝ ÙÒ µ ÓÛ Ò ÔÓ Ò Ñ ÙÒ gz = zln z z +a z +b ÈÓ Ø Ò Ö ÓÛÝÑ ÔÓ Þ Ò Ù ÔÓ Ó Ù Ó Ö ÞÒ Û Ö Ò Ý ε R ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ö ÛÒÓ xln x x +a x +b + xπi+lnx x +a x +b = πi z =±i a ±i b resgz z=z ÈÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ù Þ Û Ö Ø Ñ ÐÓ ÖÝØÑ Û ÞÖ Ù Ù Ð ÞÓ Ø Ò ÔÓ Ò Þ ÐÓ ÖÝØÑ Ñº ÈÓ Ó Ð Þ Ò Ù Ö Ù Û ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ 4πi resgz z=i a = iπ/+ln a b a resgz z= i a = 3iπ/+ln a b a resgz z=i b = iπ/+ln b a b resgz z= i b = 3iπ/+ln b a b xlnx x +a x +b +4π = πi a b x x +a x +b [ 4πiln a b ln a ln b ]

39 Å ÑÝ Ø Ø Ñ Ó ÔÓÔÖÞ Ò Ó x x +a x +b = a ln a b b ÓÖ Þ Ø Ö Ð ÑÝ Ó Ð ÞÝ Ó ÛÝÒ ÔÓØÛ Ö Þ ÔÖÓ Ö Ñ Å Ø Ñ Ø µ xlnx x +a x +b = a b ln a ln b ÍÛ Þ ØÝ Ô ÝÒ Ò ØÔÙ Ò Ù Ð ÔÖ Ò ÑÝ Ñ ØÓ Ö Ù Û Ó Ð ÞÝ fx = Rxln n x Û Ø Ö Rx Ø ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ Þ ÑÝ Ø ÔÓÛÝ Þ Ø Þ Ò ÔÖÞÝ ÞÝÑ ÛÝ Ø ÖÞÝ Þ ÒÓ Û ÖÙÒ ÓÛ µ ØÓ Û Ó ÐÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ÑÙ ÑÝ Ó Ð Þ Ù ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ ÖÝ ÙÒ µ ÙÒ Rzln n+ zº ÓÒØÙÖÙ Ç Ë Þ ÖÝ ÙÒ Ù ÑÓ ÑÝ ÓÖÞÝ Ø Ù ÔÓ Ò Ñ ÙÒ Rzln n zµ ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý ÙÒ Rx Ø Ô ÖÞÝ Ø º Ç Ð ÞÝ lnx x +a ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓÒ Û ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ ÑÒÓ ÐÓ ÖÝØÑ Ø Ô ÖÞÝ Ø Ò Ð Ô ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Û ØÝÑ ÐÙ ÓÒØÙÖ Ç Ë ÖÝ ÙÒ µº ÈÓ Ø Ò Ö ÓÛÝÑ ÔÖ Û Þ Ò Ù ÔÓ Ó Ù Ô Ó Ö ÞÒ Û ÔÓ Û Ò Ö Ò Ý ε R Ñ ÑÝ Ö ÛÒÓ ln x eiπ x +a + lnx x +a = πi resfz z=i a Ê ÙÙÑ ÙÒ Û ÙÒ ÖÙ Ó ÖÞ Ù ÛÝÞÒ Þ ÑÝ Þ Ø Ò Ö ÓÛ Ó ÛÞÓÖÙ resfz z=i a = d lnz dz z +i a z=i a [ = zz +i a lnz ] z +i a 3 z=i a = i ln a i π 4 a 3 Ø Ñ iπ x +a + lnx x +a = πi i ln a i π 4 a 3

40 Ø Ó ÔÓØÛ Ö Þ ÔÖÓ Ö Ñ Å Ø Ñ Ø µ x +a = π 4 a 3 lnx x +a = π 4 a +ln a 3 ÇÞÝÛ Ø Ñ ÛÝÒ ÑÓ Ò Ø ÓØÖÞÝÑ Ö Ò Þ Ù Ó ÔÓÛ Ò Ó ÔÓ Ô Ö Ñ ØÖÞ ÙÞÝ Ò ÛÞ Ò Ù x +a = d da x +a = d π da Ç Ð ÞÝ lnx x +a = d da lnx x +a = d da lnx x a +b a π 4 a lna ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓÒ Û ÙÒ ÑÒÓ ÐÓ ÖÝØÑ Ò Ø Ô ÖÞÝ Ø Ù ÑÝ ÔÓ ÓÒ¹ ØÙÖÞ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ÙÒ fz = ln z z a +b = ln z z a i b z a+i b  ÞÛÝ Ð ÔÓ Ù ÝÑ Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R ÔÓ Ñ ÝÑ Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù ε ÞÒ Û Ö Ò Ý R ε ÔÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ù Ö Ò ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÞÛ Þ 4πi lnx x a +b +4π x a +b = πi resfz z=a+i b + resfz z=a i b Ê Ù ÙÒ Û ÔÙÒ Ø z ± = a±i b ÞÒ Ù ÑÝ Ø Ò Ö ÓÛÓ resfz z=a±i b = iϕ ± +ln a +b ±i b ϕ + ϕ ØÙ Þ Ñ ÔÙÒ Ø Û z + z ÛÝÞÒ Þ ÒÝÑ Þ Ó Ò Þ ÖÓÞ Ñ Ô ÞÞÝÞÒݵ Ø ÖÝ ÑÓ Ù Ý Ò ÓÛ z ± = a +b º ÈÓÒ Û πi resfz z=a+i b + resfz z=a i b = π { } iϕ+ ϕ ln z ± +ϕ b ϕ + ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÞÛ Þ lnx x a +b = 4 b ϕ ϕ + lna +b x a +b = 4π b ϕ ϕ + ¼

41 ÁÑz π/4 ε R Ê z ÊÝ ÙÒ ½¼ ÃÓÒØÙÖ ÓÛ Ò Γ Ò ÖÝÞ ÓÒÝ ØÓÔ Ö µº  Рa > ØÓ ϕ + = arctg b / a ϕ = π arctg b / a ϕ ϕ + = π arctg b / a º Â Ð Þ a < ØÓ ØÛÓ ÞÓÖ ÒØÓÛ ϕ ϕ + = arctg b /aº Ì Û ÔÓ Ó Ò ϕ ± = π arctg b /a lnx x a +b = π b lna +b x a +b = b { π arctg b / a gdy a > arctg b / a gdy a < { π arctg b / a gdy a > arctg b / a gdy a < ÇØÖÞÝÑ Û ÖÞ ÞÝÛ Ø Þ ÐÓ ÖÝØÑ Ñ Ó Ð Þ lnz dz z +a Γ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Γ ÔÓ Þ ÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ½¼ Û Ö Ò Ý ε R º ÊÓÞÛ Þ Ò Â ÞÛÝ Ð ÔÓ Ó Ù Ù ÞÒ Û ÔÓ Û Ò Ö Ò Ý ε R ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ö ÛÒÓ lnx x +a + dre iπ 4 lnr +iπ/4 ir +a = Ò Ó ÒÝÑ Ö Ñ Ò ÓÒØÙÖÙ z = r e iπ 4 µ Ó Û ÛÒ ØÖÞ ØÓÔ Ö ÓÛ Ò ÙÒ z + a lnz Ø ÓÐÓÑÓÖ ÞÒ Ñ ÓÒ ÙÒÝ Û z = ±i a ÞÝÐ ÔÓÞ ÓÒØÙÖ Ñµº ½

42 Å ÑÝ Þ Ø Ñ ÔÓ Ó ÔÓÛ Ò Ñ Ó Ö Ò Ù Ö Ò ÛÝ Ò Ù i Þ Ñ ÒÓÛÒ µ lnx π x +a +iei 4 lnr dr r ia ei π 4 π 4 dr r ia = È ÖÛ Þ Ù Ó Ð ÞÝÐ ÑÝ Û ÔÓÔÖÞ Ò Þ Ò ÛÝÒ π/ a ln a µº ÏÝ Ó¹ ÖÞÝ ØÙ ØÓ ÑÓ /x ia = x +ia /x 4 +a 4 ÑÓ ÑÝ Û Ò Ô ie iπ 4 x lnx π x 4 +a 4 ei = e iπ 4 4 a π 4 lnx x 4 +a 4 x x 4 +a 4 +iei π 4 π 4 a x 4 +a π 4 a ln a ÔÓ ÔÖ Û ØÖÓÒ ÑÓ Ò Ó Ð ÞÝ Ñ ØÓ Ö Ù Û ÖÓÞ Ò Ó ÖÞ ¹ ÞÝÛ Ø ÓÖ ÔÓ ÓÛ Ø Ó Ó ÛÝ Þ µ ÓÑÝ ÓÒØÙÖ Ô Ó Ö Ñ ÒÔº Û ÖÒ Ô Ô ÞÞÝõÒ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ¾º Ï ÛÒ ØÖÞ Ø Ó ÓÒØÙÖÙ Ñ ÑÝ ÛØ Ý ÔÓ Û ¹ ÙÒÝ Ô ÖÛ Þ Ó ÖÞ Ù Û z = + i a / ÓÖ Þ z = + i a / º ÏÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÖÓÞ z 4 + = z z z z z +i a z a ØÛÓ ÞÒ Ù ÑÝ z = ia z = ia µ res z 4 +a 4 = i= z=zi z res z 4 +a 4 = z=zi i= +i a 3 + i a 3 = i a 3 ia +i a 3 + ia i a 3 = i a Å ÑÝ Û ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ð ÑÝ Ô ÖÞÝ ØÓ ÙÒ ÔÓ Ñ ÔÓ ÔÖ Û ØÖÓÒ ÔÓÑÒÓ¹ ÝÐ ÑÝ Ó ØÖÓÒÝ ÔÖÞ Þ e iπ 4 = i/ µ i x lnx x 4 +a 4 a = π 8 = π 8 lnx x 4 +a 4 π a +i π 8 x x 4 +a 4 +i π 8 a π a π a x 4 +a π 4 a i ln a i ln a ÈÖÞÝÖ ÛÒÙ Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÙÖÓ ÓÒ Ó Ù ØÖÓÒ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ø Û ÛÝÒ ÔÖ Û¹ ÞÓÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Å Ø Ñ Ø µ x lnx x 4 +a = π +4πln a 4 8 a lnx x 4 +a 4 = π +4πln a 8 a 3 ¾

43 ÁÑz Ê z ÊÝ ÙÒ ½½ Ý ÑÓ Ý Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ ÓÒØÙÖ Γ ÓÑ Ý ÙÒ ÔÓ Ó ÓÒÝ Ò ÖÓÞ Ù ÓÞÒ ÞÓÒÝÑ Ð Ò Ð Ø µº ÈÖÓÑ Ò ε Ñ Ý Ó Ö Û Ó Ý z = z = Ó Þ Ö ÔÖÓÑ R Ù Ó Ó Ö Ù Ý Ó Ò Ó ÞÓÒÓ º Ï Þ Ð ÒÓ Ó Û ÖØÓ a ÑÓ Ý Ó ØÒ õ Ù ÑÒ º ÆÔº Ð a = ÖÙ Ø Ù ÑÒ Ý Û ÙØ ÐÒ Ó Ø ÙÑ Ò ÔÖÞ Þ Ñ ÒÓÛÒ Ý x ÓÑ ÒÙ Ý ÔÖÞÝÞÝÒ Ó Ò ÛÒÓ Ó Þ Ö x¹ Û Ð Ó Þ Ö Û Ø ÖÝÑ ØÓ Ó Þ ÖÞ ÐÓ ¹ ÖÝØÑ Ø Ù ÑÒݺ Ï Ô ÖÛ Þ Þ ÞÝÒÒ x Û Ð ÞÒ Ù ÔÓÛÓ Ù ÔÖÞÝÞÝÒ Ó Ø Ó Ó Þ ÖÙ Û Ó Þ Þ ÞÒ ÞÒ ÑÒ Þ Û Ø Ó ØÒ º Å ØÓ Ö Ù Û Ó Ð ÞÝ lnx x x + ÊÓÞÛ Þ Ò Å ÑÓ ÔÓÞÓÖÒ Ó Ó Ð ÛÓ Û x = Ø Ø Þ Ò ÞÛÞ Ð Ò Ý Û ØÝÑ ÑÝÑ ÔÙÒ Þ ÖÙ Ø ÐÓ ÖÝØÑº Æ ÑÒ ÔÖÞÝ Ó Ð Þ Ò Ù Ñ ØÓ Ö Ù Û ØÖÞ Ø ÔÓÞÓÖÒ Ó Ó Ð ÛÓ ÛÝ ÞÓÐÓÛ º Ï ÞÛ Þ Ù Þ ØÝÑ Þ Ø Ô ÑÝ ÓÒØÙÖ ØÝÔÙ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ÔÓÒ Û ÙÒ ÑÒÓ ÐÓ ÖÝØÑ Ò Ø Ô ÖÞÝ Ø Ò ÑÓ ÑÝ ÓÖÞÝ Ø Þ ÓÒØÙÖÙ ØÝÔÙ Ç Ëµ ÓÒØÙÖ Ñ Γ ÔÓ Þ ÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ½½ Ù ÑÝ ÔÓ Ò Ñ ÞÛÝ Ð ÙÒ fz = ln z z z +  ÞÛÝ Ð Û Ö Ò Ý R ÞÒ ÔÓ Ù ÝÑ Ó Ö Ù Ý ε ÞÒ Ø ÔÓ Ó Ö Ù Ó ÝÑ ÔÙÒ Ø z = ÔÓ ÞÙ ØÓ Ø ÑÓ Û ÔÓÔÖÞ Ò

44 ÔÖÞÝ µº ÈÓÞÓ Ø Þ Ø Ñ Þ ÔÓ Û Ô Ó Ö Ó Ý ÔÙÒ Ø z = º Æ ÖÒÝÑ z = +εe iϕ góra K ε dzfz = π dϕiεe iϕ ln +εe iϕ εe iϕ [++εe iϕ ] Ý ε º Æ ÓÐÒÝÑ Þ Þ Ó Ò Þ Ò ÐÓ ÖÝØÑÙ Ò Ô ÞÞÝõÒ Þ ÖÓÞ Ñ z = e πi +εe iϕ Û Ø Ñ Ö Ò Ý ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ½¼ dól K ε dzfz = π π dϕi [πi+ln+εeiϕ ] ++εe iϕ πi 4π Ï Ö Ò Ý ε R Þ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ù ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Þ Ø Ñ ÔÓ ÔÖÞ Ò Ò Ù Ò ÖÙ ØÖÓÒ ÔÖÞÝÞÝÒ Ù ÛÒÓ ÞÓÒ Ó ÔÖÞ Þ ÔÓ Ó Ö Ù Ó ÝÑ ÔÙÒ Ø z = µ Ö ÛÒÓ ln x x x + +P πi+lnx x x + = πi π + resfz z=e i π + resfz z=e i3π ÈÖÞ ÖÙ ÓÔ Ð ÑÝ ØÙ ÞÒ P ÓÞÒ Þ Ý Û Ò Û ÖØÓ ÛÒ Ý Þ Þ ÐÓ ÖÝØÑÙ Ø Ò Ø ÞÛÞ Ð Ò Þ Ò º Ê Ù Ó ÙÒÝ Ô ÖÛ Þ Ó ÖÞ Ùµ ÞÒ Ù ÑÝ Ø Ò Ö ÓÛÓ resfz z=e i π = ln e i π i i = π 6 i ln e i3π resfz z=e i 3π = i i = 9π 6 +i ÈÓ ÖÓÞÔ Ò Ù Ó Ö Ò Ù Ö Ò Þ ln x ÙÐ Ö Ù ÛÝÒ Þ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ù Ö ÛÒÓ ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø lnx 4πi x x + 4π P π x x + = πi + π 8 5+4i Þ Ø Ö ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Û ÖÞ ÞÝÛ Ø º È ÖÛ Þ Ø Ö ÞÙ Ð ÑÝ lnx x x + = 3 6 π ½¼ ÙÛ ÑÝ Û ÞÝ Ø Ó ØÓ Ø Þ Ó Ò Þ ÓÖÑÙ ÓÛ Ò ÛÞ Ò Ö Ù ÓØÝÞ ÔÓ Ö ¹ Ñ ÒØ Ù Û Ò Ò Ø ÞÝÑ ÐÒ ÒÓµ Ó Ý ÙÒ ÔÖÓ ØÝ ÙÒ fz Û Þ Ò Ó ÖÝ Ò Ñ Û z = ÙÒ ÞÝÐ Ö ÙÙÑ Ø Ñ ÞÒ µ Û Þ Ò Þ Ó Ó Ù Ñ ÙÒ Ó Ö ÙÙÑ Ö ÛÒÝÑ π º

45 ÔÓØÛ Ö Þ Ò ÔÖÞ Þ ÔÖÓ Ö Ñ Å Ø Ñ Ø µ ÓÖ Þ ÖÙ P x x + = π 4 Ø Ö ÑÓ ÑÝ ÔÖ Û Þ Ò Þ Ð Ò ÖÓÞ ÑÝ ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ò Í Å ÔÖÓ Ø Ô Þ ÑÝ P x x + = x x + = δ x + x Λ +δ x x + x Λ x + x x + x + ÊÓÞ ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ò Ù Ñ ÔÖÓ Ø ÔÓÛÓ ÓÛ Ó Ò Ø Ö Þ Ø Ý ÖÓÞ Ò Ð x Ý Ó Þ ØÝÑ ÔÓÖ Þ ÛÔÖÓÛ Þ Ð ÑÝ Ö ÙÐ ÖÝÞ Û ÙÐØÖ ÓÐ Û ÔÓ Ø Ó Λ Û Û ÒØÓÛ Ø ÓÖ ÔÓÐ Ø ÖÞ ÞÝ Ò ÔÓÖÞ Ù Þ ÒÒÝѵº ÈÓÒ Û ÛÝ ÓÛ Ý Þ Ò Ð x ÓÞ Ù ÑÝ ÛÝÒ Þ Ó ÞÓÒÝ Û Ö Ò Ý Λ º ÓÐ ÞÝÒÒ δ Ö ÙÐ ÖÝÞÙ ÖÓÞ Ò Û x = Þ Ó Ò Þ ÔÖÞ Ô Ñ Ò Ó Ð Þ Ò Û ÖØÓ ÛÒ Û Ò Þ Ð Ò ÛÒÝѵº Ð Ñ ÒØ ÖÒ P x x + = δ ln + Λ ln δ 4 ln Λ + π 4  ØÛÓ ÞÓ ÞÝ Þ Ð ÒÓ Ó δ ÛÝÔ Û Ö Ò Ý Λ Ö Ù Ù ÛÝÖ ÞÝ Þ lnλ ÔÓÞÓ Ø Ó ÞÒ ÓÒ ÑÒ /Λµ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ø Ò Ñ ÛÝÒ Ó Ñ ØÓ Ö Ù Ûº Ç Ð ÞÝ Ñ ØÓ Ö Ù Û x sh x ÔÖÓÛ Þ Ó Þ Û Ö Ø Ñ ÐÓ ÖÝØÑÙ Ù Ó ÔÓÛ Ò ÙÒ ÔÓ Ó ¹ ÔÓÛ Ò Ñ ÓÒØÙÖÞ º ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓ Ø Û y = e x ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ x sh x = x sh x = 4 dy ln y y Ø Ø Ó ÖÞ Ó Ö ÐÓÒ Ñ ÑÓ ÔÓÞÓÖÒ Ó ÔÓ Û Ò Ó Þ Ö Ñ ÒÓÛÒ Û y = Û ØÝÑ ÑÝÑ ÔÙÒ ÔÓ Û Ò Þ ÖÓ Ñ ÓÛ Ñ Ø Ð ÞÒ º ÈÓÒ Û ÙÒ ÑÒÓ ÐÓ ÖÝØÑ Ò Ø Ô ÖÞÝ Ø ØÖÞ ÔÓ Ù Ý ÓÒØÙÖ Ñ ØÝÔÙ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ ØÓ Þ

46 ÙÐ Ø Ñ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ½½ Ý ÓÒ ÞÒ Ø ÛÝ ÞÓÐÓÛ Ò ÔÓÞÓÖÒ Ó Ó Ð ÛÓ Ð Ò ÖÓÞ Ùº ÈÓ ÓÒØÙÖÞ ØÝÑ Ò ÙÞ Ò Ó Û Þ Ò Ñ Ù ÑÝ ÙÒ fz = ln3 z z Ï Ø Ò Ö ÓÛÝ ÔÓ ÔÓ ÞÙ ÑÝ Û Ö Ò Ý R ÞÒ ÔÓ Ù ÝÑ Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R Û Ö Ò Ý ε ÞÒ ÔÓ Ñ ÝÑ Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù εµ Ó ÝÑ ÔÙÒ Ø z = º Ñ ÝÑ Ó Ö Ñ ÞÓÐÙ ÝÑ ÔÙÒ Ø z = ØÖÞ Ò ÔÓ ØÔÓÛ Ó ØÖÓ Ò º Æ ØÖÙ ÒÓ ÔÖ Û Þ Û Ö Ò Ý ε ÞÒ Ø ÔÓ ÖÒ Þ Ø Ó Ó Ö Ùº Æ Ø Þ z = +εe iϕ góra K ε dzfz = = i π π dϕiεe iϕ ln3 +εe iϕ εe iϕ dϕe iϕ εe iϕ ε 3 εe iϕ + ÈÓÒ Û ÔÓÞ ÖÓÞ Ñ ÙÒ fz Ø ÓÐÓÑÓÖ ÞÒ Þ Ó Ò Þ Ö Ù ÔÖÞ Ù Ò ÐÓ ÖÝØÑÙ Ò ÓÐÒÝ ÖÞ ÖÓÞ Ô Þ ÑÝ ln3 x x + + +ε ε πi3 +3πi lnx+3πiln x+ln 3 x x πi3 +3πi lnx+3πiln x+ln 3 x x + dól K ε dzfz = ÈÓ Ó ÛÖ Ò Ù Ö Ò ÓÛ Ò ÑÓ Ò Û Û ÞÝ Ø Þ ØÖÞ ÖÙ ÔÓØ ÐÓ ÖÝØÑÙ ÔÓ Ó Ý ε = Þ ln 3 x ÙÐ ÛØ Ý Ö Ù ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ dól K ε ε dzfz πi 3 x πi3 3πi P lnx x 3πi x +ε ln x x = Ñ Ø ÛÙ Þ Ô ÖÛ Þ ÔÓØ ÐÓ ÖÝØÑÙ Ò Ó Ó ε ÖÙ Ó +ε Ó Ò Ô Ð ÑÝ ØÙ Ò ÓÔ ØÖÞÓÒ ÝÑ ÓÐ Ñ Û ÖØÓ ÛÒ Ø Ò Ø ÞÛÞ Ð Ò Þ Ò Ð ÔÖÓ ÙÖ ÓÑ Ò ÔÓ Ó ÓÒ Ó Ò ÖÓÞ Ù ÙÒ Û z = ÔÖÞ Þ ÖÓÞ Ò Û ÔÓÑÒ Ò Û ÔÓÛÓ Ù Ò Ð Ý ÖÓÞÙÑ Û ØÝÑ Û Ò Ò º ÓÐÒ Þ Ô Ó Ö Ù ÓØ Þ Ó z = Þ Ó Ò Þ ÔÖÓ ÙÖ ÔÖÞ Ù Ò ÐÓ ¹ ÖÝØÑÙ Ô Ö Ñ ØÖÝÞÙ ÑÝ Ò ØÔÙ Ó z = e πi +εe iϕ

47 ÔÓ ØÝÑ Ö Ñ Ò ÓÒØÙÖÙ ÛØ Ý dól K ε dzfz = i = i π π π π dϕε e iϕ[ πi+ln +εe iϕ] 3 [ dϕε e iϕ πi+εe iϕ + 3 εe iϕ +] = i π π ε πi3 dϕe iϕ +3iπi dϕ+oε π Þ Oε ÓÞÒ Þ ÛÝÖ ÞÝ ÞÒ Û Ö Ò Ý ε º Ç Ð Þ Û Ò ØÙ ÓÖ Þ ÔÓÞÓ Ø Û Ð Ñ ÒØ ÖÒ Û Ô ÖÛ Þ Ð Ò ÔÓÔÖÞ Ò Ö ÛÒÓ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÞÛ Þ i ε πi3 i e πi e πi 3iπi π +πi 3 3πi P x Ø Ö Ó Ô ÖÛ Þ Ð Ò ÔÓ ÛÞ Ù Ö Ò Ø Ö ÛÒ ε πi3 3iπi π +πi 3 +ε π lnx x 3πi ε + x = 4iπ 3 ε ln x x = Â Û Û ÞÝ Ø ÛÝÖ ÞÝ Ó Ó Ð Û Ý ε Ö Ý ÈÓÒ Û Þ Ô ÖÛ Þ ÔÓØ ÐÓ ÖÝØÑÙ Þ ÓÒ ÞÝ ØÓ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Ö ÞØ ÛÝÖ Þ Û Ø ÞÝ ØÓ ÙÖÓ ÓÒ ÛÒÓ ÑÝ Ø ÓÖ Þ P lnx x = ln x x = 3 π Ç ÛÝÒ ÔÓØÛ Ö Þ ÔÖÓ Ö Ñ Å Ø Ñ Ø º ½½ Ç Ø Ø ÞÒ Û Ó Ö ÛÒ ÔÓØÛ Ö Þ Å Ø Ñ Ø µº x sh x = π 6 ½½ ÇÞÝÛ Ô ÖÛ Þ ÑÓ Ò Ø Ó Ð ÞÝ ÔÖÞ Þ Þ Û Ö Ò Ó δ Ó ε Ó +ε Ó ÔÖ Û Þ ÞÒ Ò ÛÝ ÓÒÙ ÔÖÞ Ö Ò ÞÒ ε δ º

48 Ç Ð ÞÝ Ñ ØÓ Ö Ù Û ln+x +a x ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓÒ Û ÙÒ ÑÒÓ ÐÓ ÖÝØÑ Ø Ô ÖÞÝ Ø ÔÖ Ù ÑÝ ÛÝ ÓÖÞݹ Ø ÓÒØÙÖ Ò Ý ÔÓ Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø º Â Ò ÙÒ ln + z Ñ ¹ Ý Û ÔÙÒ ØÝ Ó Ó Ð Û ÔÙÒ ØÝ ÖÓÞ Þ Ò µ Û z = ±i Ø Ö ÛÝÑ Ý Ý ÖÓÞ Ô ÞÞÝÞÒÝ Þ ÔÓÐÓÒ ÞÑ ÒÒ zº ÅÓ Ò Ý Ó Ý ÖÓÞ Û Ñ Ð Ò Ñ Ò ÝÑ Ò Þ Ð Ò Ó Ó Þ ØÝ ÔÙÒ Ø Û Ó Ò Ó ÞÓÒÓ º ÌÓ Ò ÙÒ ÑÓ Ð Û Ó Ý ÓÑ Ò ÓÒØÙÖÙ Ó ÔÓ Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Ñ ÓÐÛ Ô Ó Ö Ñ Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R ÝÑ Ó Ò Ó ÞÓÒÓ º ÖÙ ØÖÓÒÝ ÖÓÞ Þ ÔÙÒ Ø z = i Þ ÔÙÒ Ø Ñ z = i ÙÒ ÑÓ Ð Û Ó Ý ÔÓÔÖÓÛ Þ Ò ÓÒØÙÖÙ ÔÓ Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø º ÌÖÞ Û Ù Ó Ó ÛÝ Ùº ËÔÖ Ù ÑÝ Þ Ø Ñ ÓÛ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ¾ ÙÒ gz = lnz +i +a z Ø Ö Ñ ØÝÐ Ó Ò ÔÙÒ Ø ÖÓÞ Þ Ò Û z = i Ó ÙÑÓ Ð Û ÔÓÔÖÓÛ Þ Ò ÖÓÞ¹ Ó Ø Ó ÔÙÒ ØÙ Ó Ò Ó ÞÓÒÓ ÒÔº ÛÞ Ù ÓÐÒ Þ Ó ÙÖÓ ÓÒ Ø º ÔÓÞ ÓÒØÙÖ Ñ ÓÛ Ò µº ÄÓ ÖÝØÑ ÑÓ Ò ÛØ Ý Þ Ò ÓÛ Ø Ý Ð z = x > Ý ÔÓ ÔÖÓ ØÙ ÞÛÝ ÝÑ ÐÓ ÖÝØÑ Ñº Ï ÔÓ Ø Ò Ö ÓÛÝ ÔÓ ÞÙ ÑÝ Ò ØÔÒ ÔÓ Ô Ó Ö Ù ÞÒ Û Ö Ò Ý R º ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ù Ñ ÑÝ Û Ö ÛÒÓ ln x e iπ +e i π + +a x ln x+e i π = πi resgz +a x z=i È ÖÛ Þ ÑÓ ÑÝ ÔÖÞ Ô Ò ØÔÙ ln x e iπ +e i π = iπ +ln x +e i π = +a x +a x iπ +lnx i +a x Ï ÖÙ Ñ ÖÓ Ù Ó ÓÒ Ð ÑÝ Þ Ñ ÒÝ ÞÑ ÒÒÝ x x Ó Ö Ð ÑÝ Ö Ò Ó¹ Û Ò º ÈÓ Þ Ò Ø Ö Þ Ó Ù ÙÖ Ø ÔÓ Ò ÙÒ ln+x º Ê ÙÙÑ ÙÒ gz ÞÒ Ð õ ØÛÓ lnz +i resgz z=i/ a = a z +i/ a = i z=i/ a a ln + e iπ = i a a ln + + π a 4 a Å ÑÝ Û ÞÛ Þ ln+a x +x +iπ +a x = πi i a ln + + π a 4 a

49 R ÁÑz R R R Ê z θ ÊÝ ÙÒ ½¾ Ò Ø ÔÓÑ ÞÝ Û ØÓÖ Ñ R R ÓÖ Þ ÓÒØÙÖ ÓÛ Ò ÙÒ fθ = ln R R º Ø ÖÝ Û ÖÞ ÞÝÛ Ø ÔÓØÛ Ö Þ Ò ÔÖÞ Þ ÔÖÓ Ö Ñ Å Ø Ñ Ø µ ln+a x = π +x a ln + a +a x = π a ÙÛ ÑÝ Ò ÓÒ Ý Ý Þ Ñ Øgz ÓÛ ÙÒ hz = +a z ln iz ØÓ Ó Ø Ð Ý ÑÝ ØÝÐ Ó Ô ÖÛ Þ Ó Ð Þ Ò Ý Ý Ý ØÖÓ Þ ÔÖÓ Ø Þ º Ç Ð ÞÝ I = π dθ ln R R Û Ø Ö θ Ø Ø Ñ ÔÓÑ ÞÝ Û ØÓÖ Ñ R R ÖÝ ÙÒ ½¾µº ÊÓÞÛ Þ Ò ÓÛ Ò ÙÒ ØÖÞ Þ Ô Û Ø ÔÓ Ý ÔÓ ÔÖÞ Ù Ó ÞÑ Ò¹ Ò Þ ÔÓÐÓÒ Ø ÓÒ ÙÒ ÓÐÓÑÓÖ ÞÒ Û Ô ÛÒÝÑ Ó Þ ÖÞ Ô ÞÞÝõÒÝ Þ ¹ ÔÓÐÓÒ ÞÑ ÒÒ zµº  ØÛÓ ÔÖ Û Þ ÐÓ ÖÝØÑÓÛ ÒÝ ÞÝÒÒ ÑÓ Ò Þ Ô Û ÔÓ Ø R R R +R R R cosθ = R e iθ R ÈÓÞÛ Ð ØÓ Þ Ô Ò ØÔÙ Ó I = Re π dθln R e iθ R Æ ØÙÖ ÐÒÝÑ ÖÓ Ñ Ø ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ò ØÔÒ ÞÑ ÒÒ z = R e iθ ÓÛ Ò ÔÓ Þ ¹ Ñ Ò ØÝÑ ÓÒØÙÖÞ ÝÑ Ó Ö Ñ Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R Ó ÝÑ ÔÙÒ Ø z = º ÌÖÞ Ò Þ Ò ÓÛ ÐÓ ÖÝØÑ ÔÓ Ø º ÖÓÞ Ô ÞÞÝÞÒÝ Þ ÔÓÐÓÒ ÞÑ ÒÒ zµ Ø Ý Ý ÓÒ ÒÓÞÒ ÞÒ ÙÒ z Û ÝÑ Ý Ù z R Ò Ó ÖÞ Ùµº  Ø

50 ØÓ ÑÓ Ð Û Ð R > R ÖÓÞ ÑÓ Ò ÛØ Ý ÔÓÔÖÓÛ Þ Ø Ò ÖÝ ÙÒ Ù ½¾º Å ÑÝ ÛØ Ý dz I = Re z =R iz lnz R ÙÒ Ø Ñ ÙÒ ÔÖÓ ØÝ Û z = º ÏÓ Ø Ó Þ Ó Ò Þ ØÛ Ö Þ Ò Ñ Ó Ö Ù I = Re πi res lnz R iz z= ÓÖ ÔÓ ÙÛ ÔÖÞÝ Ø ØÙ Ò ÐÓ ÖÝØÑÙ res lnz R iz = z= i limlnz R = z i ln R e iπ = i lnr +iπ  РR < R ØÓ Û ØÓÖÝ Þ Ñ Ò ÖÓÐ Ñ º Ï Ö ÞÙÐØ π { 4πlnR gdy R dθ ln R R = > R 4πlnR gdy R < R ÈÖÞÝÔÓÑÒ Ò ÙÒ ÔÓ Ø fz = z a α gz = b z β Ó ÛÝ α β / Z Ò ÑÓ Ý Ó Ö ÐÓÒ Ò Ô ÞÞÝõÒ Þ ÔÓÐÓÒ ÞÑ ÒÒ zº ÈÙÒ ØÝ z = a z = b ÔÙÒ Ø Ñ ÖÓÞ Þ Ò ØÝ ÙÒ º ÈÓ Ô ÖÛ Þ ÓÐÛ Ñ Ð Þ Ý Þ ÔÓÐÓÒ z a b z ÑÓ Ò ÔÖÞ Ø Û Û ÔÓ Ø z a = r a e iϕa+πna b z = r b e iϕ b+πn b Þ ÓÛÓÐÒÝÑ n a Z n b Z ØÓ Ø Ñ Ð Þ Ý Þ ÔÓÐÓÒ Ð ÓÛÓÐÒÝ n a n b µ ØÓ Û ÖØÓ fz gz Þ Ð Ó ÔÖÞÝ ØÝ Û ÖØÓ n a n b º ÈÓ ÖÙ Ò Û Ø Ð ÔÖÞÝ ÓÒ Ö ØÒ ÙÑÓÛ ÓØÝÞ ÛÝ ÓÖÙ Û ÖØÓ n a n b ØÓ Ø ÔÓ Ó Ù ÔÖÞ Þ Ö ÙÑ ÒØ z ÙÒ fz gz ÓÓ Ó ÔÙÒ ØÙ Ó ÔÓÛ Ò Ó z = a z = b ÞÝÐ ÔÓ ÔÓÛÖ Ò Ù Ö ÙÑ ÒØÙ ÙÒ fz Ó ÛÝ ÓÛ Û ÖØÓ µ ÞÝ ϕ a ϕ b ÞÑ Ò Ó π Û ÖØÓ ÙÒ fz gz Ö Ò Ý Ó Ô ÖÛÓØÒÝ Ó ÔÓÛ Ò Ó Ó ÞÝÒÒ e iπα e iπβ º Ì Û ÙÒ fz gz ÔÓ Ó Ò ÙÒ lnzµ Ò ÑÓ Ý ÓÐÓÑÓÖ ÞÒ ÞÝРѺ Òº µ Ò Ô ÞÞÝõÒ Þ ÔÓÐÓÒ ÞÑ ÒÒ zº  Рα βµ Ø Ð Þ ÛÝÑ ÖÒ ÔÓ Ø k/m ØÓ ÔÓm¹ ÖÓØÒÝÑ Ó Ù ÔÖÞ Þ z ÔÙÒ ØÙ z = a z = bµ ÙÒ fz gzµ ÛÖ Ó ÛÓ ÛÝ ÓÛ Û ÖØÓ ÙÒ Ø ÑÓ Ò Þ Ò ÓÛ Ó ÒÓÞÒ ÞÒ Ò m¹ ÖÓØÒ Ò Û ÛÓ ÔÙÒ ØÙ z = a z = bµ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ê Ñ ÒÒ Ó m Ô Ø º  Рα βµ Ò Ø Ð Þ ÛÝÑ ÖÒ ØÓ Ó ÔÓÛ Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò Ê Ñ ÒÒ Ñ Ò Ó Þ Ò Û Ð Ô Ø Û Ò Û Ý ÛÓ ÔÙÒ ØÙ ¼

51 z = a z = bµº Û Þ Ò Þ Ð Ò Ó Ø Ó ÞÝ Ð Þ α βµ Ø ÛÝÑ ÖÒ ÞÝ Ò ÑÓ Ò ÙÒ fz gzµ Þ Ò ÓÛ Ó ÒÓÞÒ ÞÒ ÔÓ ÔÖÞÝ Ù ÙÑÓÛÝ Ó Ó n a ÐÙ n b µ Ò Ô ÞÞÝõÒ Þ ÔÓÐÓÒ ÞÑ ÒÒ z Ñ ÖÓÞ Û ÓÛÓÐÒÝ ÔÓ Ýµ Ó z = a z = bµ Ó z = º Ý a Ø Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÞÛÝ Ð ÔÖÞÝ ÑÙ ÖÓÞ Ó z = a ÔÓ Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Û ÔÖ ÛÓ Ó z = Þ Ð Þ Ý Þ ÔÓÐÓÒ z Ó Ö Ð Û Ø Ò ÔÓ Ý ÞÝ Ð Þ ÔÓ Ø z = x+i Þ x > a Ý Ý Ö ÛÒ Þ ÖÙº Ç Ð ÞÝ Ñ ØÓ Ö Ù Û lnx xx+ ÊÓÞÛ Þ Ò Ø ÓÞÝÛ Þ Ò Û Ù Ø Ò Ö ÓÛÝ ÖÝØ Ö Ûµº ÈÓÒ ¹ Û Û ÔÙÒ z = Þ Ö ÛÒÓ ÐÓ ÖÝØÑ ÙÒ Ó ÑÒÓ Ô ÖÛ Ø µ Ñ ÔÙÒ Ø ÖÓÞ Þ Ò ÑÓ ÑÝ ÒÓÞÒ ÞÒ Ó Ö Ð ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ò Ô ÞÞÝõÒ Þ ÔÓÐÓÒ ÞÑ ÒÒ z Ñ ÖÓÞ Ó z = ÛÞ Ù Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Ó Ò Ó ÞÓÒÓ º ÅÓ ÑÝ ÛØ Ý ÔÖ ÓÛ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÓÒØÙÖ ØÝÔÙ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ÓÛ ÔÓ Ò Ñ ÙÒ ½¾ fz = lnz zz + Ï Ö Ò Ý ε R ÔÓ Ó Ù Ó Ö ÞÒ º Ï ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ ÙÒ Ñ ØÝÐ Ó Ò ÙÒ ÔÖÓ ØÝ Û z = º ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ù ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Þ Ø Ñ Ö ÛÒÓ lnx xx+ + ÞÝÐ ÔÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ù lnxe iπ xe iπ / x+ = π πie i ln e iπ lnx xx+ +πi = iπ xx+ ÈÓÒ Û ÔÖ Û ØÖÓÒ Ø ÞÝ ØÓ ÙÖÓ ÓÒ ÞÙ Ò ÛÝÒÓ Þ ÖÓº Æ Þ ÖÓÛ Ø Þ ØÓ Ó ÛÒ Ó ÔÓØÛ Ö Þ ÔÖÓ Ö Ñ Å Ø Ñ Ø µ ½ = π xx+ ½¾ ÙÛ ÑÝ Ø Ö Þ Ó Ø ÓÛ Þ ÞÝÒÒ z ÔÓÛÓ Ù Þ ÐÓ ÖÝØÑ Ñ ÔÓ ÓÐÒ Ö ¹ Û Þ ÖÓÞ Ò Ö Þ Ò ÐÓ ÞÒ ÔÓ ÖÒ Ö Û Þ Þ Ø ÑÙ Ò ÑÙ ÑÝ Ø Û ÔÖÞÝÔ Ù ÙÒ ÛÝÑ ÖÒÝ ÑÒÓ Ý ÐÓ ÖÝØÑ Ö ÛÝ Þ ÔÓØ ÐÓ ÖÝØÑÙº ½ Ò Ò ÞÙ Ò ÑÓ Ò Ø ÔÖÓ ØÓ ÛÝ Þ Ó ÓÒÙ Û Ò ÔÓ Ø Û Ò x = /t Û ÞÑ ÒÒ t ÛÝ Þ Ø Ñ ØÝÐ Ó Þ Ñ Ò٠ѵº ÇØÖÞÝÑ Ò Þ ÑÓ Ò ÓÞÝÛ Ó Ð ÞÝ ÞÔÓ Ö Ò Ó ÔÓ Ø Û t = xº ½

52 Ç Ð ÞÝ Ñ ØÓ Ö Ù Û ln x xx+ ÊÓÞÛ Þ Ò Ì Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ ÔÖÞÝ Þ ÑÓ ÑÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÓÒØÙÖ ØÝÔÙ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù º Ï Ö Ò Ý ε R ÔÓ Ó Ù Ó Ö ÞÒ º Ï ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ ÙÒ Ñ ØÝÐ Ó Ò ÙÒ ÔÖÓ ØÝ Û z = º ÈÓ Ó Ò ÛÝ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Þ Ø Ñ Ö ÛÒÓ ln x 4π +4πi xx+ xx+ lnx xx+ = πln e iπ ÈÓÒ Û Ø Ö Þ ÔÖ Û ØÖÓÒ Ø ÞÝ ØÓ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÔÓÒÓÛÒ ÓÛ Ù ÑÝ ØÖÞ ÔÓ Ð Û ØÖÓÒ Ø ÑÒÓ ÓÒ ÔÖÞ Þ 4πiµ ÞÒ º ÈÖÞ ÒÓ Þ Þ ÖÙ Ò ÔÖ Û ØÖÓÒ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÔÓÔÖÞ Ò Þ Ò ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÞÒ Û Þ Þ ØÓ Þ Ó ÔÓÛ Þ ÔÖÓ Ö ÑÙ Å Ø Ñ Ø µ ln x = π 3 +4π = π 3 +4π 3 = π 3 xx+ xx+ Ç Ð ÞÝ Ñ ØÓ Ö Ù Û lnx xx +a ÊÓÞÛ Þ Ò Â ÞÛÝ Ð Þ Ñ Ø Ó ØÝÔÙ Ù ÑÝ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ÙÒ fz = lnz zz +a ÔÓ Ù ÝÑ Ó Ö Ù ÞÒ Û Ö Ò Ý R Û Ö Ò Ý ε ÞÒ Ó εε / lnε µ ÔÓ Ñ ÝÑ Ó Ö Ù Ó ÝÑ ÔÙÒ Ø z = º Ï Ø ÔÓ Û Ò Ö Ò Ý Þ ØÛ Ö¹ Þ Ò Ó Ö Ù Ñ ÑÝ Þ Ø Ñ Ö ÛÒÓ lnx xx +a + lnxe πi e iπ xx +a = πi i resfz z=zi ÔÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ù lnx xx +a +πi xx +a = πi i resfz z=zi ¾

53 ÙÒ fz Ñ Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ Þ ÖÝ ÙÒ Ù Û ÙÒÝ ÖÙ Ó ÖÞ Ù Û z = ±i a º Ý ÞÒ Ð õ Ö Ù Ö Ò Þ Ù ÑÝ d dz fz = lnz z 3/ z ±i a + z 3/ z ±i a lnz z / z ±i a 3 Ð ÞÝÑÝ resfz z=i a = / a e iπ { ln a e i π a ii a + i a i a ln } a e i π i a 3 = { ln a e iπ 4 a 8i a + π 3 6 a 3 4i a + ln a 3 4i a + π } 3 8 a 3 = { 3ln a e iπ 4 a 8i a + 3π 3 6 a } 3 4i a 3 / ln a e i3π resfz z= i a = a e i3π a i i a + ln a e i3π i a i a i a 3 = i { e iπ 4 ln a a 8i a 3π 3 6 a + 3 4i a ln a 3 4i a 3π } 3 8 a 3 = i { e iπ 4 3ln a a 8i a 9π 3 6 a + } 3 4i a 3 Ö Ø ÛÝÒ Ñ ÑÝ i resfz z=zi = i a { 3ln a 8i a 3 + 3π 6 a 3 4i a 3 i [ 3ln a 8i a 9π 3 6 a + ]} 3 4i a 3 Þ ÐÓ ÖÝØÑ Ñ Ø Û Ö ÛÒ lnx xx +a = π { 3ln a a 8 a 3 4 a 9π 3 6 a + 3π 3 6 a + 3ln a 3 8 a } 3 4 a 3 π = { 34 a π + 3 } ln a 7/ Ó Ø ÓÛÓ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ø ÖÙ xx +a = { 3π a 6 a + 3ln a 3 8 a 3 4 a 3ln a 3 8 a a + 9π } 3 6 a 3 = 3π 4 a 7/ Ç ÛÝÒ ÑÓ Ò ÔÖ Û Þ ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Å Ø Ñ Ø º

54 ÈÓ Û ÖÙÒ Þ ÒÓ Ò Û Û xβ ax+b Ó Ð ÞÝ Ñ ØÓ Ö Ù Û ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÓÒØÙÖ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ ÖÝ ÙÒ µº ÊÓÞÔ ÖÞÝ Þ Ö ÛÒÓ ÔÖÞÝÔ ab > ab < º ÊÓÞÛ Þ Ò Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ý ab > Ø º Ý ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ò Ñ Ó Ó Ð ÛÓ Û ÔÖÞ Þ Ð [ Þ ÓÛÙ Ð x ÓÖ Þ x Ó ÔÓÛ Ò Ó x β oraz x β Ø Þ Ø Ñ Þ Ò Ð Ó Ð Þ ÑÝ < β < º ÈÓÒ Û ÙÒ z β Ñ Û z = ÔÙÒ Ø ÖÓÞ Þ Ò ÙÒ ÔÓ ÓÛ Ò Ù ÑÝ Ò Ô ÞÞÝõÒ Þ ÔÓÐÓÒ ÞÑ ÒÒ z Ñ ÖÓÞ ÛÞ Ù Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Ó z = Ó Ø Ý x + i β = x β º Ý ÙÔÖÓ Ó ÔÖ Û Ó ÓÒÙ ÑÝ ÔÖÞ ÐÓÛ Ò ÞÑ ÒÒ ÓÛ Ò y = ax/bµ xβ ax+b = a β b dy yβ a +y Ù ÑÝ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù Ó ÝÑ ÖÓÞ ÙÒ fz = z β /z +º ËÞ Ù ÑÝ Ò ØÔÒ Û Ø Ò Ö ÓÛÝ ÔÓ ÔÓ Ó Ö π dzfz dϕε εβ ε Ó β > K ε π dzfz dϕr Rβ Rβ = π K R R R Ó β < º Ï ÔÓ Û Ò Ö Ò Ý ε R Ñ ÑÝ Þ Ø Ñ Ö ÛÒÓ dy yβ +y + dy yβ e πiβ +y = πi resfz z= Ó Ò Þ ÖÓÞ Ñ Ô ÞÞÝÞÒÝ ÔÖÞÝ Ø Ò ÞÝ z = e iπ º Ê ÙÙÑ Û z = Ø Û Ö ÛÒ e iπβ ÔÓ Ó Ö Ò Ù Ö Ò ÖÙ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ø Ñ e πiβ xβ +x = πi e πiβ eiπβ = dy yβ +y = πieiπβ π sin[π β] = π sinπβ

55 ÞÝÐ xβ ax+b = β b π gdy ab > a asinπβ Ý ab < Ò ØÒ Û Ò ÝÑ Ð ÑÓ Ò Ò Ò ÔÖÞ Þ ÔÖÞ Ö Ò ÞÒ ε P yβ y + yβ y ÔÓ Ó ÔÓÛ Ò Ñ ÔÖÞ ÐÓÛ Ò Ù ÞÑ ÒÒ ÓÛ Ò µº Â Ø ØÓ Û Ò Û ÖØÓ ÛÒ ÓÞÝÛ Û ÖÙÒ Þ ÒÓ Ò Ö ÔÖÞ Þ ÐÙ[ Ø º < β < ÔÓÞÓ Ø Û ÑÓݵº Ý Ó Ð ÞÝ Ù ÑÝ ÙÒ gz = z β /z ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ½½ ÓÑ ÝÑ ÔÙÒ Ø Ó Ó Ð ÛÝ ÔÓ Ó ÓÒÝ Ò ÖÓÞ Ùº Â Ó Ø Ö Þ Û Ó Þ ÖÞ ÓØÓÞÓÒÝÑ ÓÒØÙÖ Ñ Γ ÙÒ gz Ø ÓÐÓÑÓÖ ÞÒ Γ dzgz = Ï ÖÓÞ Ù ÔÓ Ð Û ØÖÓÒ ØÖÞ Ø Ö Þ Ò ÙÛÞ Ð Ò ÔÓ Ô Ó Ö Ó ÔÖÓÑ Ò εµ Ó Ý ÔÙÒ Ø z = ÔÓ Ó Ö Ù Ó ÝÑ ÔÙÒ Ø z = ÓÖ Þ ÔÓ Ù ÝÑ Ó Ö Ù ÞÒ Ø ÔÓÔÖÞ Ò Óµº Æ ÖÒÝÑ Ô Ó Ö Ù z = +εe iϕ +ε góra K ε a dzgz = Æ ÓÐÒÝÑ Þ z = e πi +εe iϕ π dϕiεe iϕ +εeiϕ β εe iϕ iπ dól K ε a dzgz = π π dϕiεe iϕ eπβ i +εe iϕ β εe iϕ iπe πβ i ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ù ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Þ Ø Ñ ÞÛ Þ e πiβ P dy yβ +y = iπ +e πiβ Ø º ÛÝÒ Ð Ó Ù ÞÒ Û ÐÓÞÝÒÙ ab ÔÓØÛ Ö Þ ÔÖÓ Ö Ñ Å Ø Ñ Ø µ P xβ ax+b = π b β a a ctgπβ gdy ab < ÈÓ Û ÖÙÒ Þ ÒÓ Ò Û Û xβ lnx ax+b

56 Ý ab > Ó Ð ÞÝ Ñ ØÓ Ö Ù Û ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÓÒØÙÖ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ ÖÝ ÙÒ µº ÊÓÞÛ Þ Ò Ï ÖÙÒ Þ ÒÓ Ø Ñ Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ Þ Ò Ù Ø º < β < Ý ÐÓ ÖÝØÑ Þ ÓÛÙ Þ ÖÓÛ ÔÓØ xº Ù ÑÝ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ ÙÖ Ó ÐÙÞ Þ ÖÝ ÙÒ Ù ÙÒ fz = zβ lnz az +b  ÞÛÝ Ð ÔÓ Ñ ÝÑ Ó Ö Ù Ó ÝÑ z = ÔÓ Ù ÝÑ Ó Ö Ù ÞÒ Û Ö Ò Ý ε R º ÈÖÞ Ù Ø Ò Ö ÓÛÓ fz Ò ÓÐÒÝ ÖÞ ÖÓÞ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Û Ø Ö Ò Ý ÞÛ Þ dzfz = xβ lnx Γ ax+b + eπβ i x β πi+lnx = πi resfz ax+b z= b/a Ê ÙÙÑ ÙÒ fz Û ÝÒÝÑ ÔÙÒ Ó Ó Ð ÛÝÑ ÞÒ Ù ÝÑ Û ÛÒ ØÖÞ ÓÒØÙÖÙ Γ Ø Ö ÛÒ resfz z= b/a = β b e iπβ iπ +ln b a a a ÈÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ù Ö Ò ÔÖÞ Ò Ò Ù Þ ÐÓ ÖÝØÑÙ Ò ÖÙ ØÖÓÒ Ó Ø ÑÝ Þ Ø Ñ ÞÛ Þ e πβ i xβ lnx b+ax = πi a β b e iπβ iπ +ln b a a +πie πβ i xβ b+ax ÛÝ Ø ÔÙ Û ÖÙ Ð Ò ÞÓ Ø Ó Ð ÞÓÒ Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ Þ Ò Ùº Å ÑÝ Û xβ lnx b+ax = π β β b iπ +lnb/a + πieπβ i π b a a sinπβ e πβ i a a sinπβ ÔÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ù xβ lnx b+ax = π a β b lnb/a a sinπβ π a β b cosπβ a sin πβ ÙÛ ÑÝ Ò ÓÒ ÓÖÓ Ø ØÖÞ Ý Ó ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÛÝÒ Ó Ð ÞÓÒ Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ Þ Ò Ù ØÓ ÑÓ Ò ØÓ Ý Ó ÞÖÓ Ø Ò Þ Þ ÙÛ ÔÓ ÔÖÓ ØÙ xβ lnx b+ax = d dβ xβ b+ax = d dβ Ó ÔÖÓÛ Þ Ò ØÝ Ñ Ø Ó ÔÓÛÝ Þ Ó ÛÝÒ Ùº β b π a asinπβ

ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Å ÔÓ ÞÙ Û Ò Ø ÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Ò Ð µ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÈÓ ÞÙ Û Ò Ó ÑÓ ÐÙ ÑÓ Þ ÑÝ ÔÓ

ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Å ÔÓ ÞÙ Û Ò Ø ÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Ò Ð µ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÈÓ ÞÙ Û Ò Ó ÑÓ ÐÙ ÑÓ Þ ÑÝ ÔÓ ÈÓð Ö Ò ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÔÓÑ ÖÝ ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ó Ø Ð Ø ÖÒ Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÎÁÁ æ ÊÅÁ æ È Å Ä æ Å˹¾ ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó

Bardziej szczegółowo

ØÖ Ò ÔÓÖØ Û ÖØÓ ÔÖÞ ÛÓ Ò ÐÙ ÔÖÞ ÒÓ Þ Ò Û ÖØÓ Ô Ò ÒÝ ÔÓÞ Ó Ö Ñ Ô Þ ÐÒ ºÓ ÒÓ Ø Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÔÖÞÝ Ø Ó Ó Ö Ð Ò Ð Ñ ØÙ ÔÖÞ ÓÛÝÛ ¹ ÒÝ ÐÙ ØÖ Ò ÔÓÖØÓÛ ÒÝ Û ÖØÓ

ØÖ Ò ÔÓÖØ Û ÖØÓ ÔÖÞ ÛÓ Ò ÐÙ ÔÖÞ ÒÓ Þ Ò Û ÖØÓ Ô Ò ÒÝ ÔÓÞ Ó Ö Ñ Ô Þ ÐÒ ºÓ ÒÓ Ø Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÔÖÞÝ Ø Ó Ó Ö Ð Ò Ð Ñ ØÙ ÔÖÞ ÓÛÝÛ ¹ ÒÝ ÐÙ ØÖ Ò ÔÓÖØÓÛ ÒÝ Û ÖØÓ ÁÒ ØÖÙ Ó ÔÓ Ö ÓÛ ½ ¹¼ ¹¾¼¼ ½ ÈÓ Ø ÒÓÛ Ò Ó ÐÒ ï½ ÁÒ ØÖÙ Ó Ö Ð Þ Ý Ó ÖÓÒÝ Û ÖØÓ Ô Ò ÒÝ ÔÖÓÛ Þ Ò Ó ÔÓ Ö ÓØ Û Û Ù Ó ÙÑ ÒØÓÛ Ò ÓÔ Ö ÓÛÝ ÈÖÞ Þ Ù ÝØ Û Ò ØÖÙ Ó Ö Ð Ò ÖÓÞÙÑ Ô Þ ÐÒ Ô Þ ÐÒ Ñ Þ Ò ÓÛ È ÓØÖÓÛÓ Þ ÖÞ

Bardziej szczegółowo

Ð ÓÖÝØÑÝ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý ÛÝ ÓÛ ËØÙ Þ ÓÞÒ ÈÂÏËÌÃ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÛÝ ÞÙ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓ

Ð ÓÖÝØÑÝ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý ÛÝ ÓÛ ËØÙ Þ ÓÞÒ ÈÂÏËÌÃ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÛÝ ÞÙ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÛÝ ÞÙ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û Ð ØÓÔ ¾¼¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð Ð ÓÖÝØÑ Û ÒÝ ÒÝ Ð ÓÖÝØÑ ØÙÖÒ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ¾¹ Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð

Bardziej szczegółowo

ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Å ÔÓ ÞÙ Û Ò Ø ÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Ò Ð µ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÈÓ ÞÙ Û Ò Ó ÑÓ ÐÙ ÑÓ Þ ÑÝ ÔÓ

ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Å ÔÓ ÞÙ Û Ò Ø ÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Ò Ð µ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÈÓ ÞÙ Û Ò Ó ÑÓ ÐÙ ÑÓ Þ ÑÝ ÔÓ ÈÓð Ö Ò ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÔÓÑ ÖÝ ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ó Ø Ð Ø ÖÒ Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÎÁÁ æ ÊÅÁ æ È Å Ä æ Å˹¾ ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó

Bardziej szczegółowo

½ ÏÝ Ï Þ ð Û Ø ÛÓÐÙ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ ÁÒ ØÝØÙØ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ½ ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ¾ Ñ ¾¼½ æ

½ ÏÝ Ï Þ ð Û Ø ÛÓÐÙ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ ÁÒ ØÝØÙØ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ½ ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ¾ Ñ ¾¼½ æ ½ ÏÝ Ï Þ ð Û Ø ÛÓÐÙ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ ÁÒ ØÝØÙØ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ½ ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ¾ Ñ ¾¼½ æ Ôº½»¾ Ï Þ ð Û Ø ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ö Û Ø Ç ÐÒ

Bardziej szczegółowo

Þ Á Ö Ø ØÙÖÝ ÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ À Ö Ö ÔÖÓØÓ Ó Û Ð Ù ØÛ Ò ÔÖÓ Ù ÔÖÓ ØÓÛ Ò Û Ô Þ ÒÝ ÓÑÔÙØ ÖÓ¹ ÛÝ ÔÖÞÝ ØÓ Þ Ó Ò ÓÒ ÔÓ Û Ñ Ö ÔÖÓ Ø ØÖÙ ØÙÖ ÐÓ ÞÒ º Ç Ø Ø ÞÒ Þ Ý ÓÛ ÒÓ ÓÑÔÙØ ÖÓÛ Þ ÞÓÖ Ò ÞÓ¹ ÊÝ ÙÒ ½ Ï Ö ØÛÓÛ ØÖÙ ØÙÖ

Bardziej szczegółowo

Number of included frames vs threshold effectiveness Threshold of effectiveness

Number of included frames vs threshold effectiveness Threshold of effectiveness Ò Ð Þ ÒÝ Þ ÒÓÛ Ô Ö ØÙÖÝ Ø Ý Ò È Ó Ø Ë Ý ËÞÝÑÓÒ Å Þ ÞÑ Þ Ñ ÐºÓÑ ØÝÞÒ ¾¼½¾ ËÔ ØÖ ½ Ï ØÔ ½ ¾ ÇÔ Ñ ØÓ Ý ½ ¾º½ Ç Ò Ò Ö ÒÝ ÔÓÑ Ö Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ Ç Ö Ð Ò ØÝÛÒÓ Ð

Bardziej szczegółowo

Ï ØÔ ÈÖÞÝ Ý Ç ÐÒ Û ÒÓ Ó Þ Ò À Ð ¹ÈÓ Ø ÓÒ Ð Ø ÖÑ Ò Ý Ó ÁÒ Ò Ø Ñ ÖÝ ÃÓÔÞÝ Ï Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ Û ØÒ ¾¼¼ ÖÝ ÃÓÔÞÝ À Ð ¹ÈÓ Ø ÓÒ Ð Ø ÖÑ Ò Ý Ó ÁÒ Ò Ø Ñ ½» ¼

Ï ØÔ ÈÖÞÝ Ý Ç ÐÒ Û ÒÓ Ó Þ Ò À Ð ¹ÈÓ Ø ÓÒ Ð Ø ÖÑ Ò Ý Ó ÁÒ Ò Ø Ñ ÖÝ ÃÓÔÞÝ Ï Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ Û ØÒ ¾¼¼ ÖÝ ÃÓÔÞÝ À Ð ¹ÈÓ Ø ÓÒ Ð Ø ÖÑ Ò Ý Ó ÁÒ Ò Ø Ñ ½» ¼ Ï Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ Û ØÒ ¾¼¼ ½» ¼ ÔÖÞÝ Ö Þ ÛÝÔ Ø Ö Ò Ö Ò Ó ÞÓÒÝ Ò ØÖ Ø ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò ¹ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò Ò ÛÝÒ ¹ ¹ ¾¼ ÑÝ ¹½ ¹½ ¹¾ ½¼ ¹¾ ¹½ ¹¾ ÓÒ ¹½ ¹ ¾» ¼ ÔÖÞÝ Ö Ô ÖÞÝ ØÓ Ö Ò Ó ÞÓÒÝ Ò ØÖ Ø ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò ¹ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò Ò ÛÝÒ

Bardziej szczegółowo

Ð ÓÖÝØÑÝ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý ÛÝ ÓÛ ËØÙ Þ ÓÞÒ ÈÂÏËÌÃ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ Ö

Ð ÓÖÝØÑÝ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý ÛÝ ÓÛ ËØÙ Þ ÓÞÒ ÈÂÏËÌÃ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ Ö Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û Ø

Bardziej szczegółowo

ÛÙÛÝÑ ÖÓÛÝ ÔÖ Ò ÂÓ ÒÒ ÀÓÖ ÂÓ ÒÒ ÀÓÖ ÛÙÛÝÑ ÖÓÛÝ ÔÖ Ò

ÛÙÛÝÑ ÖÓÛÝ ÔÖ Ò ÂÓ ÒÒ ÀÓÖ ÂÓ ÒÒ ÀÓÖ ÛÙÛÝÑ ÖÓÛÝ ÔÖ Ò ½º Ò ¾º ÈÖÞÝ º Ï ÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Þ ÒÓ Ù Ý Ó ÛÖ ÐÒ ÔÖÞ ÔÐ Ø Ò Ù ÐÒÓ µ º Ê Ó¹ Ð Û ÐÐ Þ º ÈÖ Ò Ð ÓÖÝØÑ Å º ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Û ÐÓÛÝÑ ÖÓÛ Ó ÔÖ Ò Ò Ù Ý Ó Ò ÖÓÛ Ò Þ Û ØÓÖ ÐÓ ÓÛ Ó (, ) Ó ÔÓÛ Ò ÔÖ Ý ( ½, ½ ),( ¾, ¾ ),...

Bardziej szczegółowo

ÁÒ ØÝØÙØ ÈÓ Ø Û ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù Ì ÑÔÓÖ ÐÒ Ô ØÝ ÔÐÓÖ ÒÝ Ñ ØÓ Ý Þ ÓÖ Û ÔÖÞÝ Ð ÓÒÝ ÊÇ ÈÊ Ï ÇÃÌÇÊËÃ ÙØÓÖ Ñ Ö È ÓØÖ ËÝÒ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÈÖÓ º Ö º Ò º Ò ÖÞ Ë ÓÛÖÓÒ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ Öº ËÔ ØÖ ½ Ï ØÔ ½º½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò º º

Bardziej szczegółowo

ÈÐ Ò ÛÝ Ø Ô Ò ½ ¾ ÃÐ ÝÞÒ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò ÅÓ Ð Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò Ë Ò ÙÖÓÒÓÛ ÏÒ Ó ÓÛ Ò Þ ÐÓ ÖÓÞÑÝØ Ð ÓÖÝØÑÝ ÛÓÐÙÝ Ò ÊÓÞÛ Þ Ò Ý ÖÝ ÓÛ ÝÒ Ñ

ÈÐ Ò ÛÝ Ø Ô Ò ½ ¾ ÃÐ ÝÞÒ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò ÅÓ Ð Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò Ë Ò ÙÖÓÒÓÛ ÏÒ Ó ÓÛ Ò Þ ÐÓ ÖÓÞÑÝØ Ð ÓÖÝØÑÝ ÛÓÐÙÝ Ò ÊÓÞÛ Þ Ò Ý ÖÝ ÓÛ ÝÒ Ñ Ç Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò Â ÖÓ Û Ö ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÁÒ ØÝØÙØ ËÝ Ø Ñ Û Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ Ï ÌÁ ÈÐ Ò ÛÝ Ø Ô Ò ½ ¾ ÃÐ ÝÞÒ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò ÅÓ Ð Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò Ë Ò ÙÖÓÒÓÛ ÏÒ Ó ÓÛ Ò Þ ÐÓ ÖÓÞÑÝØ Ð ÓÖÝØÑÝ

Bardziej szczegółowo

LVI Olimpiada Fizyczna zawody III stopnia

LVI Olimpiada Fizyczna zawody III stopnia LV Olimpiada Fizyczna zawody stopnia Zadanie 1 Piłka uderza w poziomą podłogę pod kątem α z prędkością v 0. Współczynnik tarcia piłki o podłogę jest równy µ. W jakiej odległości od miejsca pierwszego uderzenia

Bardziej szczegółowo

ÈÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ï Ð Ô ØÑÓ ÖÝÞÒ º º ÖÒ ÏÝ ½

ÈÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ï Ð Ô ØÑÓ ÖÝÞÒ º º ÖÒ ÏÝ ½ Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØ Í Ê ÈÖÓ Ø Â Å¹ ÍËÇ Ê ÓÛ Ø Ô Û ØÑÓ ÖÝÞÒÝ ÈÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ï Ð Ô ØÑÓ ÖÝÞÒ º º ÖÒ ÏÝ ½ ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Þ Ö Ò ÓÛ ÔÖÞ Þ Ð ØÖÓÒÝ Û Ö Þ Ò Ù ÔÖÓ

Bardziej szczegółowo

Þ Á Í Ù ÞÓÖ ÒØÓÛ Ò ÔÓ Þ Ò ÓÛÓ Ù Ù ÞÔÓ Þ Ò ÓÛ Ï Ö ØÛÝ ÑÓ Ó ÖÓÛ Û Ö ØÛÓÑ Ð ÝÑ Ó Ò ÔÓÞ ÓÑ ÛÝ Ù Ù ÞÔÓ Þ Ò ÓÛ Ù Ù ÛÝÑ ÔÓ Þ Ò º Ï Ù Ù ÓÛÝ ÞÓÖ ÒØÓÛ ÒÝ ÔÓ Þ Ò ÓÛÓ Ù ÝØ ÓÛÒ Ù Ù Ò Ô ÖÛ Ù Ø Ð ÔÓ Þ Ò ÔÓØ Ñ ÔÓ Þ Ò

Bardziej szczegółowo

e 2 = 8, 3 e 1 = 5, 1, e 2 = i 3 + i

e 2 = 8, 3 e 1 = 5, 1, e 2 = i 3 + i ÆÓØ Ø Ó Û Þ Þ Ò Ð ÞÝ Ð Öݺ Ä Ê Ò ½ ÞÝ Û ØÓÖ v ÑÓ Ò ÔÖÞ Ø Û Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ Û ØÓÖ Û e e 2 Þ i) v = 2, 4 e = 5, 7 e 2 = 8, 3 6 9 ÓÖ Þ ii) v = 2 3, e = Ç ÔÓÛ õ i) Ø v = 2e e 2 ii) Ò º, e 2 =, Ò ¾ ÞÝ Û ØÓÖÝ

Bardziej szczegółowo

Ð Ö Û Ø Ý Ò Û Ö ÞÓ Ò Û Ð Ñ ØÓÔÒ Ù ÔÓ Ð ÓÖ Û Ñ Ø Ö Â Ò Ð Ø Ó ÛÝ ÖÝ Ø Ø ØÖÙ Ò µ Ð Ö Û Ø Ý Ò Ï ÒÓð Ð Ö Û Ø Ý Ò Þ ÓÛÙ ÔÓ Ó Ò Ð Ð ØÖÓÑ Ò ØÝÞÒ ÔÓÖÙ Þ Þ Ø Ñ

Ð Ö Û Ø Ý Ò Û Ö ÞÓ Ò Û Ð Ñ ØÓÔÒ Ù ÔÓ Ð ÓÖ Û Ñ Ø Ö Â Ò Ð Ø Ó ÛÝ ÖÝ Ø Ø ØÖÙ Ò µ Ð Ö Û Ø Ý Ò Ï ÒÓð Ð Ö Û Ø Ý Ò Þ ÓÛÙ ÔÓ Ó Ò Ð Ð ØÖÓÑ Ò ØÝÞÒ ÔÓÖÙ Þ Þ Ø Ñ Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÎ ÈÓ ÞÙ Û Ò Ð Ö Û Ø Ý ÒÝ Ï½ ¼ ½ ÓÐ Ò ÔÖÞÝÔ È Ö Ô ØÝÛÝ ðò Ð Ö Û Ø Ý Ò Û Ö ÞÓ Ò Û Ð Ñ ØÓÔÒ Ù ÔÓ Ð ÓÖ Û Ñ Ø Ö Â Ò Ð Ø Ó ÛÝ ÖÝ Ø Ø ØÖÙ Ò µ Ð Ö Û

Bardziej szczegółowo

Þ ÑÒ ÑÒ Ñ Ø Ö Ö Å ØØ Ö ¹ ŵ ÓÐ À Å Ñ Å Þ Å Ñ Å Å Å ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø Ç Ò ÔÓÛ Þ Ò ÙÞÒ ÒÝÑ ÑÓ Ð Ñ ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø Ø ØÞÛº ÑÓ Ð Åº ÓÒ Ï Þ ð Û Ø ÛÝÔ Ò ãþûý ä Ñ

Þ ÑÒ ÑÒ Ñ Ø Ö Ö Å ØØ Ö ¹ ŵ ÓÐ À Å Ñ Å Þ Å Ñ Å Å Å ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø Ç Ò ÔÓÛ Þ Ò ÙÞÒ ÒÝÑ ÑÓ Ð Ñ ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø Ø ØÞÛº ÑÓ Ð Åº ÓÒ Ï Þ ð Û Ø ÛÝÔ Ò ãþûý ä Ñ Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÎ ÑÒ Ñ Ø Ö Û Ï Þ ð Û È ÖÛÓØÒ ÆÙ Ð Ó ÝÒØ Þ ÊÓØ Ð ØÝ ÓÖÑÓÛ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ç Ð ÙÔ ÖÒÓÛ ÖÓÑ ÈÓ ÙÐÐ Ø ÐÙ Ø Öµ Þ ÑÒ ÑÒ Ñ Ø Ö Ö Å ØØ Ö ¹ ŵ ÓÐ À Å Ñ Å Þ

Bardziej szczegółowo

ÃÓÑÔ Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ÈÓ ÖÞÒ ½º¼ ÏÝ Ò ÖÓÛ ÒÓ ÔÖÞ Þ ÓÜÝ Ò ½º º Ï ÂÙÒ ½½ ¼ ¾¼¼ ËÔ ØÖ ½ ÃÓÑÔ Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ½ ½º½ ÇÔ ÔÖÓ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ð Ñ ÒØÝ

Bardziej szczegółowo

ØÓ ÔÖ Ù Ð ØÖÝÞÒ Ó ÈÖ Ó ÙÒÓ Þ Ò Ó Ò ÓÖ ØÓ ÔÖ Ù Ø Û ØÓÖ Ñ Ø Ö Ó ÖÙÒ ÛÝÞÒ Þ ØÝÞÒ Ó ØÓÖÙ ÔÓÖÙ Þ Ó ÙÒ Ù Ó ØÒ Óº ÛÖÓØ Û ØÓÖ Ó Ö Ð ÙÑÓÛÒ Ó ÖÙÒ ÖÙ Ù ÙÒ Ù Ó ØÒ

ØÓ ÔÖ Ù Ð ØÖÝÞÒ Ó ÈÖ Ó ÙÒÓ Þ Ò Ó Ò ÓÖ ØÓ ÔÖ Ù Ø Û ØÓÖ Ñ Ø Ö Ó ÖÙÒ ÛÝÞÒ Þ ØÝÞÒ Ó ØÓÖÙ ÔÓÖÙ Þ Ó ÙÒ Ù Ó ØÒ Óº ÛÖÓØ Û ØÓÖ Ó Ö Ð ÙÑÓÛÒ Ó ÖÙÒ ÖÙ Ù ÙÒ Ù Ó ØÒ ÈÖ Ð ØÖÝÞÒÝ ÈÓÐ Ñ Ò ØÝÞÒ ½¼»½ Ò ÖÞ Ã Ô ÒÓÛ ØØÔ»»Ù Ö ºÙ º ÙºÔл Ù Ô ÒÓ» ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Â ÐÐÓ ÃÖ Û ¾¼½ ÈÖ Ð ØÖÝÞÒÝ Ø ØÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝ ÖÙ ÙÒ Û Ð ØÖÝÞÒÝ º ÊÙ ÙÒ Û ÑÓ Ñ Ñ Û ÔÖÞ ÛÓ Ò Û Ô ÛÒÝ Û ÖÙÒ Ö ÛÒ

Bardziej szczegółowo

Ð ÓÖÝØÑÝ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý ÛÝ ÓÛ ËØÙ Þ ÓÞÒ ÈÂÏËÌÃ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÎ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÒÝ ËØÖÙ ØÙÖÝ ÓÛÒ Ð ØÝ ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑ

Ð ÓÖÝØÑÝ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý ÛÝ ÓÛ ËØÙ Þ ÓÞÒ ÈÂÏËÌÃ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÎ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÒÝ ËØÖÙ ØÙÖÝ ÓÛÒ Ð ØÝ ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÎ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÒÝ ËØÖÙ ØÙÖÝ ÓÛÒ Ð ØÝ ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð ÓÔ Ö Ò Ð Ø Ð ÓÖÝØÑ Ë ÔÖÞ Ó Þ Ò Ö Ù Ð ÓÖÝØÑ Ë ÔÖÞ

Bardziej szczegółowo

ÈÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ Û ÈÓÛØ ÖÞ Ò áö Ò Óµ Þ Û Ò ÓÛ Ò Èʵ ÏÝ ¹ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò Óµ Þ Û Ò ÓÛ Ò Èʵ ½»

ÈÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ Û ÈÓÛØ ÖÞ Ò áö Ò Óµ Þ Û Ò ÓÛ Ò Èʵ ÏÝ ¹ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò Óµ Þ Û Ò ÓÛ Ò Èʵ ½» ÏÝ ¹ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» È Ò ÛÝ Ù Ó ÞÑ ÓÓ Ø Ö Ü ÓÓ Ø ÜÔÖ Ú ÓÓ Ø Ô Ö Ø ÈÖÞÝ ÓÛ Þ Ò Ò ÓÓ Û ÙÑ ¾» ÈÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ Û» ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ ÙÒ ÓÒÛ ÖØÙ Þ ³ ÍØÛÓÖÞ Ò Þ Ý Ò ÔÓ Ø Û Ò Ô Ù ÒÙ Ø ÒØ ØÓ ½¾

Bardziej szczegółowo

Ö Þ Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Â Ò ÃÖ Þ Û ÏÖÓ Û ¾¼¼ ½

Ö Þ Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Â Ò ÃÖ Þ Û ÏÖÓ Û ¾¼¼ ½ Ö Þ Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Â Ò ÃÖ Þ Û ÏÖÓ Û ¾¼¼ ½ ËÔ ØÖ ÈÖÞ ÑÓÛ ½ Ò ½ ¾ Ï Þ Û Ó Þ ½ Ç ÔÓÛ Þ Ó Þ ¾½ Ð Ó Ö ¼ ¾ ÈÖÞ ÑÓÛ Ï Þ ÓÖ Þ Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Þ Ò Þ ÞÛÝÞ Ø ÔÓ ÖÙÔÓÛ Ò Ý ÓØÝÞÝ Ý ÔÓ Þ ÔÓ ÞÞ ÐÒÝ Þ Û ÓÑ Û ÒÝ

Bardziej szczegółowo

ÈÖ ÔÖÞ Ð Ñ Ó Ó ÒÝ Ø ÈÓ Ô ÙØÓÖ ÔÖ Ý ÈÖ Ø ÓØÓÛ Ó Ó ÒÝ ÔÖÞ Þ Ö ÒÞ ÒØ Ø ÈÓ Ô ÖÙ Ó ÔÖ

ÈÖ ÔÖÞ Ð Ñ Ó Ó ÒÝ Ø ÈÓ Ô ÙØÓÖ ÔÖ Ý ÈÖ Ø ÓØÓÛ Ó Ó ÒÝ ÔÖÞ Þ Ö ÒÞ ÒØ Ø ÈÓ Ô ÖÙ Ó ÔÖ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Ð Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò È Û Ð Å Ð ÒÞÙ ÆÖ Ð ÙÑÙ ½ ½ Ò Ð Þ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ò ÛÝ ÞÝ ÓÛ ÙÒ Ý ÒÝ ÈÖ Ñ Ø Ö Ò ÖÙÒ Ù ÁÆ ÇÊÅ Ì Ã ÈÖ ÛÝ ÓÒ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ Ö Ð Ó Ë Ù ÖØ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Ð ÄÓ ËØÓ

Bardziej szczegółowo

f (n) lim n g (n) = a, f g

f (n) lim n g (n) = a, f g Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ Á Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã Ï ØÔ ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð ÛÝ Ù ÈÐ Ò ÒÓØ ÝÑÔØÓØÝÞÒ ÔÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Ó ÞØ Ð ÓÖÝØÑÙ Þ Ó ÓÒÓ

Bardziej szczegółowo

A(T)= A(0)=D(0)+E(0).

A(T)= A(0)=D(0)+E(0). 2 ÅÓ Ð ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ ÈÓ ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ ÓÔ ÖØ Ø Ò ÔÖ Ù ÓÛÝ ÑÓ ÐÙ ÛÝ Ò Ó Þ ÖÞ Ò Ò ÖÙØÛ Û ÔÓÛ Þ Ò Ù Þ Þ Û Ñ Þ Ó Þ ÝÑ Û Ó Ö ÖÓÞ¹ Û Ò ÖÑݺ Å Û Ò ÔÖÓ ÖÝÞÝ Ó Ö Ø ÖÞ Ö ÝØÓÛÝÑ ÛÝÒ Þ Ö Ù ÓØ Û Ò Ö ÙÐÓÛ Ò ÞÓ ÓÛ Þ º ÙÒ ÓÒÓÛ

Bardziej szczegółowo

Fizyka I (mechanika), rok akad. 2012/2013 Zadania kolokwialne 1

Fizyka I (mechanika), rok akad. 2012/2013 Zadania kolokwialne 1 ÞÝ Á ¾¼½¾»¾¼½ µ ÃÓÐÓ Û ÙÑ ½ º½½º¾¼½¾ Ò Ö ÙÒ ÓÛ ÖÙÔ ÍÛ Ã Þ Ò ÖÓÞÛ ÞÙ ÑÝ Ò Ó Ó Ò ÖØ º ÈÖ ÔÓÛ ÒÒÝ Ý ÞÝØ ÐÒ ÓÐ Ò ÖÓ ÓÔ ØÖÞÓÒ Ø Ñ ÓÑ ÒØ ÖÞ Ñ Ý ØÓ ÖÓÞÙÑÓÛ Ò Ý ÒÝ Ð ÔÖ Û Þ Óº ÊÓÞÛ ÞÙ Þ Ò ÛÝÔÖÓÛ õ ÛÞ Ö Ó ÓÛÝ ÔÖ

Bardziej szczegółowo

ÈÓÔÖ ÛÒ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÏÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ áö Ò ÓµÞ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û ÏÝ ¾ ¹ Ø Ó ÛÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò ÓµÞ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û ½»

ÈÓÔÖ ÛÒ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÏÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ áö Ò ÓµÞ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û ÏÝ ¾ ¹ Ø Ó ÛÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò ÓµÞ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û ½» ÏÝ ¾ ¹ Ø Ó ÛÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» ÈÒ ÛÝ Ù ÔÓ Ø ÛÓÛ ÔÓ Û ÔÓÛØ ÖÞ Ò µ Ø Ó ÞÝÞÒ Ó ÞÒ ÔÓÛØ ÖÞ Ò µ Ö Þ Þ Þ Ò ÔÓÛØ ÖÞ Ò µ ÛÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ Ò ØÓÒ ÔÖÓØÓØÝÔ ¾» Ö Ò Ö ¹ Ý Ò Þ Ô ÛÒ Ò ÞÛ Ó ÒÓ Ó Þ Ó ÜØ ÖÒ ÒØ Ü»»

Bardziej szczegółowo

ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò ËÔ Ý Û õò ÓÛÝ ØÖÙ ØÙÖ ÒÝ ÈÖ Ó ØÓÖ µ Å Ö Ò ÃÙ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö º Â Ò Å Ý ½ ØÝÞÒ ¾¼¼¼

ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò ËÔ Ý Û õò ÓÛÝ ØÖÙ ØÙÖ ÒÝ ÈÖ Ó ØÓÖ µ Å Ö Ò ÃÙ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö º Â Ò Å Ý ½ ØÝÞÒ ¾¼¼¼ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò ËÔ Ý Û õò ÓÛÝ ØÖÙ ØÙÖ ÒÝ ÈÖ Ó ØÓÖ µ Å Ö Ò ÃÙ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö º Â Ò Å Ý ½ ØÝÞÒ ¾¼¼¼ ËÔ ØÖ ½ Ï ØÔ ½º½ Ì Þ ÔÖ Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Bardziej szczegółowo

Þ ÈÖ ÛÓ ÀÙ Ð ÈÖÞ ÙÒ Ù Þ ÖÛ Ò Â ð Ð ðþö Ó ð Û Ø Ó Ð Ó Ä Ò Û Ð Û Û Ñ Û Þ Ö ÈÃË ½¾ ¾ ¼ ½ Ó ÖÛ ØÓÖ Ò Ø ÔÙ ÛÝ Ù Þ Ò Ð ½ ½ ¼ ½ Þµ ÔÖÞ ÙÒ Ù Þ ÖÛ Ò Ò º ãö Øäµ

Þ ÈÖ ÛÓ ÀÙ Ð ÈÖÞ ÙÒ Ù Þ ÖÛ Ò Â ð Ð ðþö Ó ð Û Ø Ó Ð Ó Ä Ò Û Ð Û Û Ñ Û Þ Ö ÈÃË ½¾ ¾ ¼ ½ Ó ÖÛ ØÓÖ Ò Ø ÔÙ ÛÝ Ù Þ Ò Ð ½ ½ ¼ ½ Þµ ÔÖÞ ÙÒ Ù Þ ÖÛ Ò Ò º ãö Øäµ Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÁÁ Ï Ð ÏÝ Ù ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ÈÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ø ÈÓÑ ÖÝ Ù ØÙ Å Þ ÈÖ ÛÓ ÀÙ Ð ÈÖÞ ÙÒ Ù Þ ÖÛ Ò Â ð Ð ðþö Ó ð Û Ø Ó Ð Ó Ä Ò Û Ð Û Û Ñ Û Þ Ö ÈÃË ½¾ ¾ ¼ ½

Bardziej szczegółowo

ρ h (x 0 ) = M h h 3 ρ(x 0 ) = lim ρ h (x 0 )

ρ h (x 0 ) = M h h 3 ρ(x 0 ) = lim ρ h (x 0 ) ÏÝ ½ ÈÓ Ø ÛÓÛ ÔÓ Ñ Ò Ó ÖÓ Ó ËÔ ØÖ ½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ø ÓÖ Ó ÖÓ Ó ½ ½º½ ÍÛ Ó ÔÓØ Þ Ó ÖÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ÈÓ ÖÙ Ù Û Ó ÖÓ Ù ÝÑ ¾ ¾º½ ÇÔ ÖÙ Ù Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ Û ÞÑ ÒÒÝ ÙÐ Ö º

Bardziej szczegółowo

ÏÝ Ö Ò ÖÙÒ Û ÛÓÐÙ Ö Ò ÓÛ Â ÖÓ Û Ö ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÁÒ ØÝØÙØ ËÝ Ø Ñ Û Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ¹Ñ Ð Ö Ð ºÔÛº ÙºÔÐ Ñ Ò Ö ÙÑ Ù ÁÒØ Ð ÒØÒÝ ËÝ Ø Ñ Û Ï ÔÓÑ Ò ÝÞ ÈÓÐ Ø Ò ÈÓ

ÏÝ Ö Ò ÖÙÒ Û ÛÓÐÙ Ö Ò ÓÛ Â ÖÓ Û Ö ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÁÒ ØÝØÙØ ËÝ Ø Ñ Û Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ¹Ñ Ð Ö Ð ºÔÛº ÙºÔÐ Ñ Ò Ö ÙÑ Ù ÁÒØ Ð ÒØÒÝ ËÝ Ø Ñ Û Ï ÔÓÑ Ò ÝÞ ÈÓÐ Ø Ò ÈÓ ÏÝ Ö Ò ÖÙÒ Û ÛÓÐÙ Ö Ò ÓÛ Â ÖÓ Û Ö ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÁÒ ØÝØÙØ ËÝ Ø Ñ Û Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ¹Ñ Ð Ö Ð ºÔÛº ÙºÔÐ Ñ Ò Ö ÙÑ Ù ÁÒØ Ð ÒØÒÝ ËÝ Ø Ñ Û Ï ÔÓÑ Ò ÝÞ ÈÓÐ Ø Ò ÈÓÞÒ ¾ º½½º¾¼½¼ ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ ½ ¾ Ð ÓÖÝØÑ ÛÓÐÙÝ ÒÝ Ó ÖÓÞ

Bardziej szczegółowo

ËÞ ÐÓÒÝ ¹ ÔÓÛØ ÖÞ Ò ÈÖÓ Ð ÑÝ ÔÖÞÝ ØÓ ÓÛ Ò Ù Þ ÐÓÒ Û áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¼ ¹ Þ ÐÓÒÝ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û È

ËÞ ÐÓÒÝ ¹ ÔÓÛØ ÖÞ Ò ÈÖÓ Ð ÑÝ ÔÖÞÝ ØÓ ÓÛ Ò Ù Þ ÐÓÒ Û áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¼ ¹ Þ ÐÓÒÝ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û È áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¼ ¹ Þ ÓÒÝ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» ÃÓ ÓÖÝØÑÝ ÈÓ Ò Þ Ò Ó ØÝÔÙ Ó ÒÔº ØÝµ ÓÖÝØÑÝ ÒÔº ÞÒ ÓÛ Ò Ò Û Þ Ó Ñ ÒØÙµ Å Ò ÞÑÝ Ñ ÒÙ Ö ÙÒ Ò Ó Ùº Û Ô Ò ÞÓÛ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Þ ÓÒ Û ¾» à ÞÓÛ ÒÙ

Bardziej szczegółowo

Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ¾ Ñ Ö ¾¼½ Ï Þ ð Û Ø µæ Ôº¾»

Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ¾ Ñ Ö ¾¼½ Ï Þ ð Û Ø µæ Ôº¾» ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØÝ Ï Ô Þ Ò Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ¾ Ñ Ö ¾¼½ æ Ôº½» Ï Þ ð Û Ø Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ

Bardziej szczegółowo

1. Waciki do czyszczenia optyki 2. Isopropanol 3. SLED 4. Laser diodowy 1550nm 5. Mikroskop 6. Urządzenie do czyszczenia końcówek światłowodów

1. Waciki do czyszczenia optyki 2. Isopropanol 3. SLED 4. Laser diodowy 1550nm 5. Mikroskop 6. Urządzenie do czyszczenia końcówek światłowodów ÁÁ ÈÖ ÓÛÒ ÞÝÞÒ Á Í Ǿ ½ Ǿ ¹ ÇÔØÝÞÒÝ ÛÞÑ Ò Þ Û Ø ÓÛÓ ÓÛÝ Ð Û Þ Ò Û Þ Ò Ø Ô ÖÝÑ ÒØ Ñ Þ Þ Þ ÒÝ ÓØÓÒ ÞÝ Ð Ö Û ÓØÝÞÝ Þ Ò ÓÖ Þ Û ÒÓ¹ Û ÒÓÛÝ Û Ø ÓÛÓ ÓÛÝ µ õö Û Ø º ÈÓ Ø ÛÓÛÝÑ Ð Ñ ÒØ Ñ Ù Ù Ó Û ¹ Þ ÐÒ Ó Ø Û ÒÓ»

Bardziej szczegółowo

Þ ð ãû Þ ÑÝä Ó Þ ÝÛ Ò Þ Ø Â Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ½ Ð ØÓÔ ¾¼½ Ï Þ ð Û Ø µæ Ôº¾»

Þ ð ãû Þ ÑÝä Ó Þ ÝÛ Ò Þ Ø Â Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ½ Ð ØÓÔ ¾¼½ Ï Þ ð Û Ø µæ Ôº¾» Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÙÑ Ò Ø Û Ð ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ½ Ð ØÓÔ ¾¼½ æ Ôº½» Ï Þ ð Û Ø Þ ð ãû Þ ÑÝä Ó Þ ÝÛ

Bardziej szczegółowo

Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼¾ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º Â ÞÙ ÞÛÝ Ý ÂÓ ÒÒ Ö ØÓÔ ÐÙÑ Ö

Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼¾ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º  ÞÙ ÞÛÝ Ý ÂÓ ÒÒ Ö ØÓÔ ÐÙÑ Ö Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼¾ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º  ÞÙ ÞÛÝ Ý ÂÓ ÒÒ Ö ØÓÔ ÐÙÑ Ö Ø Ô ÓÒ Ö Û Ð Ù ÓÛ ÔÖ ÙÖ ÓÖ ÔÓ Ù ÙÛ ÐÒ Ò ½ º¼ º½ ¼

Bardziej szczegółowo

ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØÝ Ï Ô Þ Ò Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ¾ Ñ Ö ¾

ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØÝ Ï Ô Þ Ò Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ¾ Ñ Ö ¾ ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØÝ Ï Ô Þ Ò Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ¾ Ñ Ö ¾¼½ æ Ôº½» Ï Þ ð Û Ø Þ ð ãû Þ ÑÝä Ó Þ ÝÛ Ò Þ Ø Â Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ¾ Ñ

Bardziej szczegółowo

pomiary teoria #pomiarow N

pomiary teoria #pomiarow N ÞÝ Á Å Ò ÔÖÓ º Ö º Ð Ò Ö Ð Ô ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ Á Ã Ò Ñ ØÝ ÈÓÑ ÖÝ ÞÝÞÒ Ù ÒÓ Ø ËÁ Ý ÔÓÑ ÖÓÛ Ã Ò Ñ ØÝ ÔÓ ÔÓ Ø ÛÓÛ µ ÔÙÒ Ø Ñ Ø Ö ÐÒÝ Ù Ó Ò Ò Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ µ ØÓÖ ÔÖ Óð ð ÔÖÞÝ Ô Þ Ò ÊÙ ÒÓ Ø ÒÝ

Bardziej szczegółowo

Â Ù Ä ÔÓÐÓÒÝ ÑÓ Ð ÒÙѹ ÓÖ ÓÒ ÑÓ Ð ÔÓ Ö ÛÒ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º À ÒÖÝ ÖÓ Þ ÃÖ Û Ñ ¾¼½¼

Â Ù Ä ÔÓÐÓÒÝ ÑÓ Ð ÒÙѹ ÓÖ ÓÒ ÑÓ Ð ÔÓ Ö ÛÒ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º À ÒÖÝ ÖÓ Þ ÃÖ Û Ñ ¾¼½¼ Â Ù Ä ÔÓÐÓÒÝ ÑÓ Ð ÒÙѹ ÓÖ ÓÒ ÑÓ Ð ÔÓ Ö ÛÒ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º À ÒÖÝ ÖÓ Þ ÃÖ Û Ñ ¾¼½¼ Ö ÞÓ Ö ÞÒ Þ Ù ÑÓ ÑÙ ÔÖÓÑÓØÓÖÓÛ ÔÖÓ ÓÖÓÛ À ÒÖÝ ÓÛ ÖÓ Þ ÓÛ Þ Þ Ñ ÔÓ Û ÓÒÝ Þ ÒÒ Ö Ý ÝÞÐ Û ÙÛ º Þ

Bardziej szczegółowo

x = x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3

x = x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3 ÏÝ ¼ ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ö ÙÒ Ù Û ØÓÖÓÛ Ó À ÒÖÝ ÃÙ Ð ËÔ ØÖ ½ ÈÖÞ ØÖÞ Ù Ð ÓÛ ¹ Û ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ½ ¾ Ì Ò ÓÖÝ ÖÞ Ù ÖÙ Ó ¾º½ Ê ÔÖ Þ ÒØ Ø Ò ÓÖ ÖÞ Ù ÖÙ Ó Û ÔÖÓ ØÓ ØÒÝÑ Ù Þ ÖØ Þ Ñ ¾º¾ ÈÖÞÝ Ý Ø Ò ÓÖ Û ÖÞ Ù ÖÙ Ó º º º º º

Bardziej szczegółowo

¾ Å ÑÞ ÈÖ Þ Ó ÓÒÓ Û Ý Ø Ñ Ä Ì º

¾ Å ÑÞ ÈÖ Þ Ó ÓÒÓ Û Ý Ø Ñ Ä Ì º Ç ÖÛ ØÓÖ ÙÑ ØÖÓÒÓÑ ÞÒ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº Ñ Å Û Þ Û ÈÓÞÒ Ò Ù ÇÔØÝÑ Ð Þ Ñ ØÓ Ö Ù Ó ÖÛ ÓØÓÑ ØÖÝÞÒÝ ÈÖ Ñ Ø Ö Å ÑÞ Ã ÖÓÛÒ ÔÖ Ý ÔÖÓ º Ö º Ì Ù Þ Å ÓÛ ÇÔ ÙÒ ÔÖ Ý Ö ÌÓÑ Þ ÃÛ Ø ÓÛ ÈÓÞÒ ½ ¾ Å ÑÞ ÈÖ Þ Ó ÓÒÓ Û Ý Ø Ñ Ä

Bardziej szczegółowo

ÈÖÓÑ Ò ÓØÛ ÖÞÓð ð ÔÖÞ Þ Àº ÕÙ Ö Ð Û ÖÓ Ù ½ º Ç ÖÝØ Æ ÙØÖ Ò ÙÖ ÒÙ Ñ ØÓÛ Ý ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ø Ö Þ ÑÒ Ó Ô ÝØ ÓØÓ Ö ÞÒ º ËÓÐ ¹ Ò ÖÓ ÆÓ Ð ÛÖ Þ Þ ÅºË Ó ÓÛ Èº ÙÖ

ÈÖÓÑ Ò ÓØÛ ÖÞÓð ð ÔÖÞ Þ Àº ÕÙ Ö Ð Û ÖÓ Ù ½ º Ç ÖÝØ Æ ÙØÖ Ò ÙÖ ÒÙ Ñ ØÓÛ Ý ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ø Ö Þ ÑÒ Ó Ô ÝØ ÓØÓ Ö ÞÒ º ËÓÐ ¹ Ò ÖÓ ÆÓ Ð ÛÖ Þ Þ ÅºË Ó ÓÛ Èº ÙÖ ð Ö Ò ÙØÖ Ò Æ ÙØÖ Ò ÔÖÓ º Ö º Ð Ò Ö Ð Ô ÖÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÏÝ ½¾ Æ ÙØÖ Ò Û ÒÓð ÈÓÑ ÖÝ Ò ÙØÖ Ò Ç ÝÐ Ò ÙØÖ Ò ÈÖÓÑ Ò ÓØÛ ÖÞÓð ð ÔÖÞ Þ Àº ÕÙ Ö Ð Û ÖÓ Ù ½ º Ç ÖÝØ Æ ÙØÖ Ò ÙÖ ÒÙ Ñ ØÓÛ Ý ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò

Bardziej szczegółowo

ÈÓÞÝØÝÛÒ ÔÖÝÑÓÛ Ò Ñ ÒØÝÞÒ Ó Ò ÖÞ Þ ÓÔØÝÑ Ð Þ ÙØÓÑ ØÝÞÒÝ Ý Ø Ñ Û ÙØÓÖÝÞ Ù ÝØ ÓÛÒ Ê ÈÇÊÌ Ö Å Ö Ù Þ ÍÖ ÄÓ ÃÓ Ò ØÝÛ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ È Ý ÓÐÓ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº º Å

ÈÓÞÝØÝÛÒ ÔÖÝÑÓÛ Ò Ñ ÒØÝÞÒ Ó Ò ÖÞ Þ ÓÔØÝÑ Ð Þ ÙØÓÑ ØÝÞÒÝ Ý Ø Ñ Û ÙØÓÖÝÞ Ù ÝØ ÓÛÒ Ê ÈÇÊÌ Ö Å Ö Ù Þ ÍÖ ÄÓ ÃÓ Ò ØÝÛ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ È Ý ÓÐÓ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº º Å ÈÓÞÝØÝÛÒ ÔÖÝÑÓÛ Ò Ñ ÒØÝÞÒ Ó Ò ÖÞ Þ ÓÔØÝÑ Ð Þ ÙØÓÑ ØÝÞÒÝ Ý Ø Ñ Û ÙØÓÖÝÞ Ù ÝØ ÓÛÒ Ê ÈÇÊÌ Ö Å Ö Ù Þ ÍÖ ÄÓ ÃÓ Ò ØÝÛ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ È Ý ÓÐÓ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº º Å Û Þ Å Ö È Û ÙÔ ÓÛ ÄÓ ÃÓ Ò ØÝÛ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ È Ý ÓÐÓ

Bardziej szczegółowo

LVI OLIMPIADA FIZYCZNA ZADANIA ZAWODÓW I STOPNIA

LVI OLIMPIADA FIZYCZNA ZADANIA ZAWODÓW I STOPNIA http://www.kgof.edu.pl 1 LVI OLIMPIADA FIZYCZNA ZADANIA ZAWODÓW I STOPNIA Rozwiązania zadań I stopnia należy przesyłać do Okręgowych Komitetów Olimpiady Fizycznej w terminach: część I do 5 października

Bardziej szczegółowo

ÊÇ ÆÁÃ ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÙÞ ÅÍ Ã Â ÃÇ Æ Ê Á ÃË Ì ÌÇÏ ÆÁ Å áä ÆÁ Å Ì Å Ì Æ Ç Ï ÍÃ ÂÁ Á Ã Ï Û ØÐ Û Ô Þ ÒÝ ÓÒ Ô Ô Ó ÞÒÝ ÛÝ ÓÛ Ò Ø ØÝÞÒ Ñ Ò ÐÙ Û Þ

ÊÇ ÆÁÃ ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÙÞ ÅÍ Ã Â ÃÇ Æ Ê Á ÃË Ì ÌÇÏ ÆÁ Å áä ÆÁ Å Ì Å Ì Æ Ç Ï ÍÃ ÂÁ Á Ã Ï Û ØÐ Û Ô Þ ÒÝ ÓÒ Ô Ô Ó ÞÒÝ ÛÝ ÓÛ Ò Ø ØÝÞÒ Ñ Ò ÐÙ Û Þ ÊÇ ÆÁÃ ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÙÞ ÅÍ Ã Â ÃÇ Æ Ê Á ÃË Ì ÌÇÏ ÆÁ Å áä ÆÁ Å Ì Å Ì Æ Ç Ï ÍÃ ÂÁ Á Ã Ï Û ØÐ Û Ô Þ ÒÝ ÓÒ Ô Ô Ó ÞÒÝ ÛÝ ÓÛ Ò Ø ØÝÞÒ Ñ Ò ÐÙ Û Þ ØÖÓÒÒ ÓÖÑÓÛ Ò Ó Ó ÓÛÓ Þ ÓÛ º Â Ó ÒØ Ö ÐÒ Þ Ø ÛÝ ÓÛ

Bardziej szczegółowo

Reguly. Wind = Weak Temp > 20 Outlook Rain PlayTennis = Y es

Reguly. Wind = Weak Temp > 20 Outlook Rain PlayTennis = Y es ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ½ Ï ÖÙÒ Ð ØÓÖ Û Ý Ð ØÓÖ Ö ÔÖ Þ ÒØÙ Ø Ø Û ÖØÓ ÃÓÒ ÙÒ ØÖÝ ÙØÙ Û ÖÙÒ Ó ÔÓÛ Ó ØÓÑ Ô Ò ÝÑ ÔÓ ÝÒÞ Ó Ð ØÓÖÝ Û ÞÝ Ø ÝÞ Ö Ù ÞÛ Þ Ò Ø Þ Ò ÝÞ Ã Reguly ÔÖÞÝÔ ÝÛ Ò Ó ØÓÑ Ô Ò ÝÑ Û ÖÙÒ Ö Ù

Bardziej szczegółowo

Agnieszka Pr egowska

Agnieszka Pr egowska Á Ò Ø Ý Ø Ù Ø È Ó Ø Û Ó Û Ý È Ö Ó Ð Ñ Û Ì Ò È Ó Ð Ñ Æ Ù Agnieszka Pręgowska È ØÝÛÒ Ø ÖÓÛ Ò Ù Ñ Ñ Ò ÞÒÝÑ Ö ÝÑ ÖØÒ ÖÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÓÑÓØÓÖ Ö º Ò º ÌÓÑ Þ ËÞÓÐ ÔÖÓ º ÁÈÈÌ Ï Ö Þ Û ¾¼½ ËÔ ØÖ ½º Ï ØÔ ½ ¾º Ð Ø

Bardziej szczegółowo

ÈÓ Þ ÓÛ Ò Æ Ò Þ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÛ Ø Ý Ò ÔÓ Ø Û ÒÓØ Ø Ó ÔÖÓÛ ÞÓÒÝ ÔÖÞ Þ ÑÒ Ò ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ð Ù Ð Ø ÛÝ Û Þ Ø ÓÖ ÞÝ Û ÙØÓÑ Ø Û ÓÖ Þ Ù ÓÛÝ ÓÑÔ Ð ØÓÖ Ûº ÝÑ ÓÖ Ó ÔÓ Þ

ÈÓ Þ ÓÛ Ò Æ Ò Þ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÛ Ø Ý Ò ÔÓ Ø Û ÒÓØ Ø Ó ÔÖÓÛ ÞÓÒÝ ÔÖÞ Þ ÑÒ Ò ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ð Ù Ð Ø ÛÝ Û Þ Ø ÓÖ ÞÝ Û ÙØÓÑ Ø Û ÓÖ Þ Ù ÓÛÝ ÓÑÔ Ð ØÓÖ Ûº ÝÑ ÓÖ Ó ÔÓ Þ ÂÞÝ ÓÖÑ ÐÒ ÙØÓÑ ØÝ Â Å Ö Ò ÃÙ ¹Ñ Ð Ù Ñ ÑÙÛº ÙºÔÐ ¾¼¼ Æ Ò Þ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÛ ÒÒÝ Ý Ô ÖÛ ÞÝÑ õö Ñ Ò ÓÖÑ ÓØÝÞ Ý ÔÖÞ ¹ Ñ ÓØÙ ÂÞÝ ÓÖÑ ÐÒ ÙØÓÑ ØÝ  µº ÞÝØ ÐÒ ÓÑ Ø ÖÞÝ ÓÔÖ Þ Ð ØÙÖÝ ØÝ ÒÓØ ¹ Ø Ð Ý Ò Ó ÔÓ ÖÞÒ ÔÓÐ Ñ

Bardziej szczegółowo

ËÔ ØÖ ½ Ò Ó Ó ÓÛ ½º½ ÁÑ Ò ÞÛ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÈÓ Ò ÝÔÐÓÑÝ ØÓÔÒ Ò Ù ÓÛ º º º º º º º º º º º º º º ½º ÁÒ ÓÖÑ Ó

ËÔ ØÖ ½ Ò Ó Ó ÓÛ ½º½ ÁÑ Ò ÞÛ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÈÓ Ò ÝÔÐÓÑÝ ØÓÔÒ Ò Ù ÓÛ º º º º º º º º º º º º º º ½º ÁÒ ÓÖÑ Ó ÙØÓÖ Ö Ø ÁÒÒÓÛ Ý Ò Ñ ØÓ Ý Ò Ð ÞÝ Ò Ð Ò ÓÛÝ ÓÖ Ð ÖÞÝ ÓÛÝ Û Ù Þ Ó ÓÒÝ Ö Â ÒÙ Þ Å Û Þ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø ÏÖÓ Û ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Ì ÓÖ ØÝÞÒ ÏÖÓ Û ¾¼½ ËÔ ØÖ ½ Ò Ó Ó ÓÛ ½º½ ÁÑ Ò ÞÛ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Bardziej szczegółowo

System ALVINN. 30 Output. Units. 4 Hidden. Units. 30x32 Sensor Input Retina. Straight Ahead. Sharp Right. Sharp Left

System ALVINN. 30 Output. Units. 4 Hidden. Units. 30x32 Sensor Input Retina. Straight Ahead. Sharp Right. Sharp Left ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ½ System ALVINN ÄÎÁÆÆ ÔÖÓÛ Þ ÑÓ ÔÓ ÙØÓ ØÖ Þ Þ ÞÝ Ó ¼ Ñ Ð Ò Ó Þ Ò Sharp Left Straight Ahead Sharp Right 30 Output Units 4 Hidden Units 30x32 Sensor Input Retina ¾ www.wisewire.com,

Bardziej szczegółowo

f(a) F (b)=f(b)º f(x)dx, (sinx) =cosx

f(a) F (b)=f(b)º f(x)dx, (sinx) =cosx ½ Ò ÓÞÒ ÞÓÒ ÓÛ Ò Ó ÓÔ Ö ÔÖ ¹ Û µ Ó ÛÖÓØÒ Ó Ö Ò Þ ÓÛ Ò ½º½ ÈÓ Ø ÛÓÛ Ò º ÙÒ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ ÙÒ f Ó Ö ÐÓÒ Û ÔÖÞ Þ Ð ÓØÛ ÖØÝÑ P Ó ÞÓÒÝÑ ÐÙ Ò Ó ÞÓÒÝѵ Ð F (x)=f(x) Ð Óx Pº ÈÖÞÝ Ýº ÙÒ sinx Ø ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ ÙÒ

Bardziej szczegółowo

Ø Ò Þ È ØÖ Û Þ ËÈ ÃÌÊÇËÃÇÈÁ ÊÇÌ ÂÆ Ï Ê Æ À ËÌ Ã Á ÃÇÅÈÄ ÃË Ï ÅÁ ËÌ ÃÇÏ À Ï Æ éïá ÃÇÏ Â ÏÁ ÅÇÄ ÃÍÄ ÊÆ Â ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò Û ÁÒ ØÝØÙ ÞÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù ÔÓ Ö

Ø Ò Þ È ØÖ Û Þ ËÈ ÃÌÊÇËÃÇÈÁ ÊÇÌ ÂÆ Ï Ê Æ À ËÌ Ã Á ÃÇÅÈÄ ÃË Ï ÅÁ ËÌ ÃÇÏ À Ï Æ éïá ÃÇÏ Â ÏÁ ÅÇÄ ÃÍÄ ÊÆ Â ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò Û ÁÒ ØÝØÙ ÞÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù ÔÓ Ö Ø Ò Þ È ØÖ Û Þ ËÈ ÃÌÊÇËÃÇÈÁ ÊÇÌ ÂÆ Ï Ê Æ À ËÌ Ã Á ÃÇÅÈÄ ÃË Ï ÅÁ ËÌ ÃÇÏ À Ï Æ éïá ÃÇÏ Â ÏÁ ÅÇÄ ÃÍÄ ÊÆ Â ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò Û ÁÒ ØÝØÙ ÞÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù ÔÓ ÖÙÒ Ñ Óº Ö º Ò Û Ã Ð Ï Ö Þ Û Ñ ¾¼¼ ÅÓ ÑÙ Ñ ÓÛ ÂÙÖ ÓÛ

Bardziej szczegółowo

Ã Ø ÖÞÝÒ Â ÑÖÓÞ ÊÇ ÆÁà ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÏÈÁË ÆÁ Ï ÃÊ ÂÇ Ê Æ ÍÃÇÏ Á ÄÇÆÇ ÊËÃÁ ËÌÍ Á Á ÄÁÇÌ ÃÇ Æ Ï À ØÓÖ ÏÓ Û Þ Å Ð ÓØ ÈÙ Ð ÞÒ Ï Å Èµ Ѻ ݹ ÔÖ Ò Æ

Ã Ø ÖÞÝÒ Â ÑÖÓÞ ÊÇ ÆÁà ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÏÈÁË ÆÁ Ï ÃÊ ÂÇ Ê Æ ÍÃÇÏ Á ÄÇÆÇ ÊËÃÁ ËÌÍ Á Á ÄÁÇÌ ÃÇ Æ Ï À ØÓÖ ÏÓ Û Þ Å Ð ÓØ ÈÙ Ð ÞÒ Ï Å Èµ Ѻ ݹ ÔÖ Ò Æ Ã Ø ÖÞÝÒ Â ÑÖÓÞ ÊÇ ÆÁà ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÏÈÁË ÆÁ Ï ÃÊ ÂÇ Ê Æ ÍÃÇÏ Á ÄÇÆÇ ÊËÃÁ ËÌÍ Á Á ÄÁÇÌ ÃÇ Æ Ï À ØÓÖ ÏÓ Û Þ Å Ð ÓØ ÈÙ Ð ÞÒ Ï Å Èµ Ѻ ݹ ÔÖ Ò ÆÓÖÛ Û ÐÓÒ ÖÞ ½ Öº Ý Û Ñ ÓØÛ ÖØÓ Ô ÖÛ Þ ÔÙ Ð ÞÒ ÛÝÔÓ

Bardziej szczegółowo

ÁÆËÌ ÌÍÌ Á ÃÁ ÈÇÄËÃÁ Â Ã ÅÁÁ Æ ÍÃ ÊÍÈ Á ÃÁ ÁÇÄÇ Á Æ Â Ë ÅÇÆ ÆÁ ÏÁ Ê ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÝÒ Ñ ÞÑ Ò ÓÒ ÓÖÑ Ý ÒÝ Æ Û ÑÓ Ð ÖÙ ÓÞ ÖÒ ØÝ ÈÊÇÅÇÌÇÊ ÈÖÓ º Ö º Å Ö ÔÐ Ï ÊË Ï ¾¼¼ Ä Ø ÔÙ Ð Æ Ò Þ ÔÖ ÔÓÛ Ø Ò ÔÓ Ø Û ÛÝÒ Û

Bardziej szczegółowo

Ë Ñ Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ Ò Ð ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖ Ý ÔÖÓ º Öº º Ò º ÊÝ Þ Ö ÓÖ Þ ÔÓÑÓ ÑÓØÝÛ Ó Ô Ò Ò Ò Þ ÖÓÞÔÖ ÛÝ ¾

Ë Ñ Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ Ò Ð ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖ Ý ÔÖÓ º Öº º Ò º ÊÝ Þ Ö ÓÖ Þ ÔÓÑÓ ÑÓØÝÛ Ó Ô Ò Ò Ò Þ ÖÓÞÔÖ ÛÝ ¾ ÍÆÁÏ ÊË Ì Ì Ì ÀÆÇÄÇ Á ÆÇ ¹ ÈÊ ÊÇ ÆÁ Ѻ ºº áò Û Ý Ó ÞÞÝ Ï Á Ì Ä ÃÇÅÍÆÁà ÂÁ ÁÆ ÇÊÅ Ì ÃÁ Á Ä ÃÌÊÇÌ ÀÆÁÃÁ Ñ Ö Ò º Å ÖÓ Û Å ÁÒØ Ð ÒØÒÝ ËÝ Ø Ñ ÊÓÞÔÓÞÒ Û Ò ÃÐ Ý ÈÖÞ Ý ÈÓÞØÓÛÝ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö

Bardziej szczegółowo

ÈÓ Þ ÓÛ Ò ÈÖ Ò Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ È ÒÙ Ö º Ò ÛÓÛ ÃÓÞ Þ ÒÒ ÙÛ ÞÖÓÞÙÑ Ò ÝÞÐ ÛÓ Û ØÖ Ô Ò ÔÖ Ý È ÒÙ Ñ Ö Å ÓÛ Å ØÝ Þ Ð ÞÒ Û Þ Û ÓÑ ÒØ ÖÞ Ø ÖÝÑ Ò Ò Þ ÔÖ Þ Û Þ Þ Ø

ÈÓ Þ ÓÛ Ò ÈÖ Ò Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ È ÒÙ Ö º Ò ÛÓÛ ÃÓÞ Þ ÒÒ ÙÛ ÞÖÓÞÙÑ Ò ÝÞÐ ÛÓ Û ØÖ Ô Ò ÔÖ Ý È ÒÙ Ñ Ö Å ÓÛ Å ØÝ Þ Ð ÞÒ Û Þ Û ÓÑ ÒØ ÖÞ Ø ÖÝÑ Ò Ò Þ ÔÖ Þ Û Þ Þ Ø ÍÒ Û Ö ÝØ Ø ÏÖÓ Û ÏÝ Þ ÞÝ Á ØÖÓÒÓÑ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Ì ÓÖ ØÝÞÒ Ë Ø Ò ËÞÞ Ò Ï ÒÓ Ý ÖÓ ÝÒ Ñ ÞÒ ÑÓ ÐÙ ÞÙ ÓÛ Ó ÀȹÁÁÁ ÀÝ ÖÓ ÝÒ Ñ Ó Ø ÀȹÁÁÁ Ð ØØ ÙØÓÑ Ø ÇÔ ÙÒ Ö º º ÃÓÞ ÏÖÓ Û ¾¼¼ ÈÓ Þ ÓÛ Ò ÈÖ Ò Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ È ÒÙ

Bardziej szczegółowo

t = pn T = pi ρ dv i dt = ρf i + p , i = 1, 2, 3 µ x i ρ( v i t + v v i div v = 0 ρ v + (v )v = ρf p = 0 j = ρf i p, i = 1, 2, 3 µ

t = pn T = pi ρ dv i dt = ρf i + p , i = 1, 2, 3 µ x i ρ( v i t + v v i div v = 0 ρ v + (v )v = ρf p = 0 j = ρf i p, i = 1, 2, 3 µ ÏÝ Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÞÝ Ò Ð Ô À ÒÖÝ ÃÙ Ð ËÔ ØÖ ½ Ê ÛÒ Ò ÙÐ Ö ÖÙ Ù ÞÝ Ò Ð Ô ½ ½º½ Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÞÝ Ò ÐÔ Û ÓÖÑ ÖÓÑ ¹Ä Ñ º º º º º º º º º ½º¾ Ê ÛÒ Ò À ÐÑ ÓÐÞ ØÖ Ò ÔÓÖØÙ Û ÖÓÛÓ Ð Ô ÝÒÙ Ò Ð Ô Ó º º º º º º ½º ÓÑÔÓÞÝ

Bardziej szczegółowo

Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼½ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÓÖ Þ Ð ÐÙ Á ÞÒ Ò Ó Ù ÝÙ Ò Û

Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼½ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÓÖ Þ Ð ÐÙ Á ÞÒ Ò Ó Ù ÝÙ Ò Û Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼½ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÓÖ Þ Ð ÐÙ Á ÞÒ Ò Ó Ù ÝÙ Ò Û Þ Ò Þ Ñ Ð ÞÖ ÒÝ Ò ÖÓ Û Ý Þ ÙÞÝ ÑÓ¹ ÖÞ Ð º º º Ý ØÓ

Bardziej szczegółowo

S V. ω = yzdx+(xz +z 2 )dy +yzdz, (T, S) (p,v) = 1. = a V, = 3bT2. k T 1 V. α p 1 V V,N U,N U,V V,N S,N S,V

S V. ω = yzdx+(xz +z 2 )dy +yzdz, (T, S) (p,v) = 1. = a V, = 3bT2. k T 1 V. α p 1 V V,N U,N U,V V,N S,N S,V Ì ÊÅÇ Æ ÅÁà Á Á à ËÌ Ì ËÌ Æ ÈÖÓ Ð ÑÝ Ó ÓÑÙ Ò ÓÐÓ Û Þ Ñ Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¼ ÈÓ Þ Ð ÔÓ Ó Ò ÒØÖÓÔ S = S(U,V,N Ö ÛÒ ( S = 1 ( S U T, = p ( S V T, N V,N U,N U,V = µ T, ØÓ ÔÓ Ó ÒÝÑ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ U = U(S,V,N ( ( U U

Bardziej szczegółowo

Spis treści. 1 Wstęp 3

Spis treści. 1 Wstęp 3 Ê ÛÒÓÛ Æ Û Ö ÝÒ Ñ ÞÒÝ ØÒ Ò ÔÖÓ ÝÑ Ù Þ Ð Ù ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º Ö º Ò ÖÞ ÆÓÛ ÈÓÐ Ø Ò ÏÖÓ Û ÁÒ ØÝØÙØ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÏÖÓ Û ¾¼¼ ½ pis treści 1 Wstęp 3 2 Gry stochastyczne wielogeneracyjne

Bardziej szczegółowo

ÊÓÞÔÓÞÒ Û Ò Ð ØÖÓÒ Û Ñ ÞÓÒ Û π 0 ÔÖÞÝ Ò Ù Ó Þ ÝÛ Ò ÙØÖ Ò Û Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù Ó Ø ØÓÖ Û Ó¹ Ö ÓÒÓÛÝ ÓÖ Þ Ð Ó Ø ØÓÖ Ô ÖÝÑ ÒØÙ Ì¾Ã ÌÓÑ Þ Ï ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Â ÖÓÛ Ñº

ÊÓÞÔÓÞÒ Û Ò Ð ØÖÓÒ Û Ñ ÞÓÒ Û π 0 ÔÖÞÝ Ò Ù Ó Þ ÝÛ Ò ÙØÖ Ò Û Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù Ó Ø ØÓÖ Û Ó¹ Ö ÓÒÓÛÝ ÓÖ Þ Ð Ó Ø ØÓÖ Ô ÖÝÑ ÒØÙ Ì¾Ã ÌÓÑ Þ Ï ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Â ÖÓÛ Ñº ÊÓÞÔÓÞÒ Û Ò Ð ØÖÓÒ Û Ñ ÞÓÒ Û π ÔÖÞÝ Ò Ù Ó Þ ÝÛ Ò ÙØÖ Ò Û Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù Ó Ø ØÓÖ Û Ó¹ Ö ÓÒÓÛÝ ÓÖ Þ Ð Ó Ø ØÓÖ Ô ÖÝÑ ÒØÙ Ì¾Ã ÌÓÑ Þ Ï ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Â ÖÓÛ Ñº À ÒÖÝ Æ ÛÓ Ò Þ Ó ÈÓÐ Ñ Æ Ù ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò

Bardziej szczegółowo

Ñ ÒÒ Û È ÖÐÙ Ñ ÒÒ ÌÝÔ Ò ÈÖÞÝ Ò Þ Ò Ë Ð Ö Ð ÈÓ ÝÒÞ Û ÖØÓ Ð Þ ÐÙ Ò Ô µ Ì Ð Ø Ð Ä Ø Û ÖØÓ Ò ÓÛ Ò Ð Þ Ñ À Þ ± ±Þ ÓÖ ÖÙÔ Û ÖØÓ Ò ÓÛ Ò Ò Ô Ñ ÈÖÓ ÙÖ ² ²ÞÖÓ Ö

Ñ ÒÒ Û È ÖÐÙ Ñ ÒÒ ÌÝÔ Ò ÈÖÞÝ Ò Þ Ò Ë Ð Ö Ð ÈÓ ÝÒÞ Û ÖØÓ Ð Þ ÐÙ Ò Ô µ Ì Ð Ø Ð Ä Ø Û ÖØÓ Ò ÓÛ Ò Ð Þ Ñ À Þ ± ±Þ ÓÖ ÖÙÔ Û ÖØÓ Ò ÓÛ Ò Ò Ô Ñ ÈÖÓ ÙÖ ² ²ÞÖÓ Ö È ÊÄ ¹ ÞÝ Ó Ô Ò È ÖÐ ØÓ Ö Ò Ø ÙÑ Þݺ Ð ØÝ Ø ÖÞÝ Ó Þ Ð Û ÐÙ È ÖÐ Ø ÈÖ ØÝÞÒÝÑ ÂÞÝ Ñ Ó ÏÝ Û Ê ÔÓÖØ Û Ò º ÈÖ Ø Ð ÜØÖ Ø ÓÒ Ò Ê ÔÓÖØ Ä Ò Ù µº Â Ò Ð ÔÖ Û Þ ÛÝ Ñ Ó Ò Û È ÖÐ ØÓ È ØÓÐÓ ÞÒ Ð ØÝÞÒ ÊÓ Ø Ä Ò Û ØÝÞÒ

Bardziej szczegółowo

Ë Ñ Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ Ò È ÒÙ ÈÖÓ ÓÖÓÛ ÊÝ Þ Ö ÓÛ È ÖÞÝ ÑÙ Þ Ó Þ Ò ÝÞÐ ÛÓ ÓÖ Þ Û Þ Û Ù Þ ÐÓÒ Ñ ÔÓ Þ Ô Ò ÔÖ Ý

Ë Ñ Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ Ò È ÒÙ ÈÖÓ ÓÖÓÛ ÊÝ Þ Ö ÓÛ È ÖÞÝ ÑÙ Þ Ó Þ Ò ÝÞÐ ÛÓ ÓÖ Þ Û Þ Û Ù Þ ÐÓÒ Ñ ÔÓ Þ Ô Ò ÔÖ Ý ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº Ñ Å Û Þ Û ÈÓÞÒ Ò Ù ÏÝ Þ ÞÝ Å Ö ÒØ Ê ÞÓÒ Ò Û ÐÓ ÓØÓÒÓÛÝ Û Ù ØÖ ÔÓÞ ÓÑÓÛÝ ÈÖ Ó ØÓÖ Ò Ô Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º Öº º ÊÝ Þ Ö È ÖÞÝ Ó ÈÓÞÒ ¾¼½¾ Ë Ñ Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ Ò È ÒÙ ÈÖÓ ÓÖÓÛ ÊÝ Þ Ö ÓÛ È ÖÞÝ ÑÙ Þ

Bardziej szczegółowo

ÉÙ ÕÙ ÔÖÙ ÒØ Ö Ø Ö Ô Ò Ñ ÇÛ Ù Þ ½ ½ Ó ÓÐÛ ÖÓ Þ Ö ÖÓÞØÖÓÔÒ Ô ØÖÞ Ó

ÉÙ ÕÙ ÔÖÙ ÒØ Ö Ø Ö Ô Ò Ñ ÇÛ Ù Þ ½ ½ Ó ÓÐÛ ÖÓ Þ Ö ÖÓÞØÖÓÔÒ Ô ØÖÞ Ó ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Ð ØÖÓÒ Ì Ò ÁÒ ÓÖÑ Ý ÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÙØÓÑ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ËØÓ ÓÛ Ò È ÓØÖ Ë ÓÛ Þ ÒÙÑ Ö Ð ÙÑÙ ½ ¾ ¼ ÈÖ ÝÔÐÓÑÓÛ Ò ÝÒ Ö ÙØÓÑ ØÝÞÒ Ð Ö Ý Ø ÑÙ ÖÓ ÓØ¹ Ñ Ö ÇÔ ÙÒ ÔÖ Ý ÔÖÓ º ÒÞÛº Ö º Ò º Þ ÖÝ Ð Ï Ö

Bardziej szczegółowo

S V. ω = yzdx+(xz +z 2 )dy +yzdz, (T, S) (p,v) = 1. = a V, = 3bT2. k T 1 V p. α V 1 V V,N U,N U,V V,N S,N S,V

S V. ω = yzdx+(xz +z 2 )dy +yzdz, (T, S) (p,v) = 1. = a V, = 3bT2. k T 1 V p. α V 1 V V,N U,N U,V V,N S,N S,V Ì ÊÅÇ Æ ÅÁà Á Á à ËÌ Ì ËÌ Æ ÈÖÓ Ð ÑÝ Ó ÓÑÙ Ò ÓÐÓ Û Þ Ñ Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¼ ÈÓ Þ Ð ÔÓ Ó Ò ÒØÖÓÔ S = S(U,V,N Ö ÛÒ ( S = 1 ( S U, = p ( S V, N V,N U,N U,V = µ, ØÓ ÔÓ Ó ÒÝÑ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ U = U(S,V,N ( ( U U =, =

Bardziej szczegółowo

faza nadkrytyczna ciecz cia³o sta³e punkt krytyczny gaz punkt potrójny

faza nadkrytyczna ciecz cia³o sta³e punkt krytyczny gaz punkt potrójny Á à ËÃÇÆ ÆËÇÏ Æ Â Ñ Ø Ö Ý Ó ÛÝ Ù Ì Ù Þ Ð ÖÞ Ì Ù Þ Ð ÖÞ ¹Ñ Ð Ø Ð ÖÞ ÙÒ ºÐÓ ÞºÔÐ ØØÔ»»ÛÛÛºÛ ºÙÒ ºÐÓ ÞºÔл»ÞØ»Ì È»Ì º ØÑ Ã Ø Ö ÞÝ ËØ Ó ÏÝ Þ ÞÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ËØÓ ÓÛ Ò ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Þ Ê Ø Ò ÞÒ Ó ÖÞÝ õ ¾¼½½ ËÈÁË ÌÊ

Bardziej szczegółowo

N + R C. A T A 1 A 2 I I n. [a;b] (a;b] [a;b) m,n m,n = {m,m + 1,...,n 1,n}

N + R C. A T A 1 A 2 I I n. [a;b] (a;b] [a;b) m,n m,n = {m,m + 1,...,n 1,n} ÏÝ Þ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÓРӹ ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ ØÓ ÓÛ Ò Ý Ö ØÒ Ó ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ Û ÓÑÔÖ Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖ Û Ó Ö Þ Û ÑÓÒÓ ÖÓÑ ØÝÞÒÝ Ñ Ö Ö Ù Þ Â Þ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º

Bardziej szczegółowo

ÈÖ ÔÖÞ Ñ Ó Ó ÒÝ Ø ÈÓ Ô ÙØÓÖ ÔÖ Ý ÈÖ Ø ÓØÓÛ Ó Ó ÒÝ ÔÖÞ Þ Ö ÒÞ ÒØ Ø ÈÓ Ô ÖÙ Ó ÔÖ

ÈÖ ÔÖÞ Ñ Ó Ó ÒÝ Ø ÈÓ Ô ÙØÓÖ ÔÖ Ý ÈÖ Ø ÓØÓÛ Ó Ó ÒÝ ÔÖÞ Þ Ö ÒÞ ÒØ Ø ÈÓ Ô ÖÙ Ó ÔÖ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò Ñ Ã ÙÒ ÆÖ ÙÑÙ ½ ½ Ê ØÓÖÝÞ ÔÖÓ Ö Ñ Û Û ÞÝ Ù Â Ú ÈÖ Ñ Ø Ö Ò ÖÙÒ Ù ÁÆ ÇÊÅ Ì Ã ÈÖ ÛÝ ÓÒ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ Ö Â Ò ÒÝ Å Ò Ö Þ Û Þ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Ä Ô ¾¼¼½ ÈÖ ÔÖÞ Ñ

Bardziej szczegółowo

ËÔ ØÖ ½ Ð Þ Ö ÔÖ Ý ¾ ËÝ Ø ÑÝ ÔÐ Û Ý Ø ÑÝ ÓÔ Ö Ý Ò ¾º½ ÊÓÐ Ý Ø Ñ Û ÔÐ Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ê ÒÓÖÓ ÒÓ Ý Ø Ñ Û ÔÐ Û º º º º

ËÔ ØÖ ½ Ð Þ Ö ÔÖ Ý ¾ ËÝ Ø ÑÝ ÔÐ Û Ý Ø ÑÝ ÓÔ Ö Ý Ò ¾º½ ÊÓÐ Ý Ø Ñ Û ÔÐ Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ê ÒÓÖÓ ÒÓ Ý Ø Ñ Û ÔÐ Û º º º º ÊÓÞÛ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ý Ø Ñ Û ÔÐ Û ÈÓÐ Ø Ò áð ÙØÓÖ Ò ÖÞ Ö ÞÓÛ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö º Ò º Ò ÖÞ ÖÞÝÛ ÃÓÒ ÙÐØ ÒØ Ñ Ö Ò º È ÓØÖ Ã ÔÖÞÝ Ð ØÓÔ ¾¼¼½ ÖÓ Ù ËÔ ØÖ ½ Ð Þ Ö ÔÖ Ý ¾ ËÝ Ø ÑÝ ÔÐ Û Ý Ø ÑÝ ÓÔ Ö Ý Ò ¾º½ ÊÓÐ Ý Ø Ñ Û

Bardziej szczegółowo

ð Ö ½¼¼ Å Î ¹ Ì Î ½¼ ½ ØÑÓ ÖÝÞÒ Ñ ¾ Ð Ö ØÓÖÓÛ ÖÞ Ù Î ½¼ ¾¼ Æ ÙØÖ Ò ÌÝÔ Ô Ò Ö ËØÖÙÑ ðò ½ Å Î ½¼ ½¼ ½ Ë ÓÒ ÞÒ Ñ ¾ Ò Ñ µ ÔÓÛÝ Þ ½¼ Šε ÖÞ Ù Å Î ½¼ ½ Ê Ø

ð Ö ½¼¼ Å Î ¹ Ì Î ½¼ ½ ØÑÓ ÖÝÞÒ Ñ ¾ Ð Ö ØÓÖÓÛ ÖÞ Ù Î ½¼ ¾¼ Æ ÙØÖ Ò ÌÝÔ Ô Ò Ö ËØÖÙÑ ðò ½ Å Î ½¼ ½¼ ½ Ë ÓÒ ÞÒ Ñ ¾ Ò Ñ µ ÔÓÛÝ Þ ½¼ Šε ÖÞ Ù Å Î ½¼ ½ Ê Ø Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÁ ØÖÓÒÓÑ Ò ÙØÖ Ò µ Ô ÖÝÑ ÒØ Á Ù ÛÓÐÙ Û Þ ð Ö ½¼¼ Å Î ¹ Ì Î ½¼ ½ ØÑÓ ÖÝÞÒ Ñ ¾ Ð Ö ØÓÖÓÛ ÖÞ Ù Î ½¼ ¾¼ Æ ÙØÖ Ò ÌÝÔ Ô Ò Ö ËØÖÙÑ ðò ½ Å Î ½¼ ½¼ ½

Bardziej szczegółowo

¾

¾ ÞÝ Û ÓÒÓÑ Ñ ØÓ Ý ÑÓ Ð ÃÖÞÝ ÞØÓ ÓÑ ÒÓ ÈÓÐ Ø Ò áð  ÖÞÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø áð à ØÓÛ ¾¼½ ¾ ËÔ ØÖ ½ ÈÖÓÐÓ ¾ Å ØÓ Ý ÔÖ ØÝÞÒ ¾º½ Ï ØÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ Ä Ø Ö ØÙÖ º

Bardziej szczegółowo

Sieci neuronowe: pomysl

Sieci neuronowe: pomysl ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ½ ØÓ Þ ÞÙÑ ÓÒ Ó õ ØÖ ÒÙ ÔÓÞ ÓÑ ÔÓØ Ò Ù Ð ØÖÝÞÒ Ó ËÝ Ò Ý ÓÑ Ö Sieci neuronowe: pomysl Æ Ð ÓÛ Ò Ñ Þ Ù Þ Ó Ó ÓÑ Ö Ò ÙÖÓÒÓÛÝ Axonal arborization Synapse Axon from another cell Dendrite

Bardziej szczegółowo

ÊÇ ÆÁÃ ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÑÖ ÈÊ ÃÊÇ Ê ÆÁ ÅÇÆËÌÊÍÅ Ê ÆÃ ÆËÌ ÁÆ ÈÇÏÁ á Á Å Ê ÏÇÄÄËÌÇÆ Ê Ì ËÀ ÄÄ ÊÙ Þ º... ÌÓ Ý ½ ÙÒØ ÔÖÞ Û Ó Æ ØÙÖÞ Â ÒÝÑ Þ Ó Û Þ

ÊÇ ÆÁà ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÑÖ ÈÊ ÃÊÇ Ê ÆÁ ÅÇÆËÌÊÍÅ Ê ÆÃ ÆËÌ ÁÆ ÈÇÏÁ á Á Å Ê ÏÇÄÄËÌÇÆ Ê Ì ËÀ ÄÄ ÊÙ Þ º... ÌÓ Ý ½ ÙÒØ ÔÖÞ Û Ó Æ ØÙÖÞ Â ÒÝÑ Þ Ó Û Þ ÊÇ ÆÁà ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÑÖ ÈÊ ÃÊÇ Ê ÆÁ ÅÇÆËÌÊÍÅ Ê ÆÃ ÆËÌ ÁÆ ÈÇÏÁ á Á Å Ê ÏÇÄÄËÌÇÆ Ê Ì ËÀ ÄÄ ÊÙ Þ º... ÌÓ Ý ½ ÙÒØ ÔÖÞ Û Ó Æ ØÙÖÞ Â ÒÝÑ Þ Ó Û ÞÒÝ ÔÖ Ò Þ ÓÛ Ø ÙÛÓÐÒ Ò Ó Ý Ø ØÙ Ò ØÙÖݺ ÏÝÖ ÓÒÓ Ò Ö

Bardziej szczegółowo

x a lim (x n) 2 = lim x n sgn(x) =

x a lim (x n) 2 = lim x n sgn(x) = ½ ÙÒ Ö Ò Ý Ó Ö Ö ÙÑ ÒØ Û Þ Ö Û ÖØÓ ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒÓ ÙÒ Ó ÛÖÓØÒ ÙÒ Ð ¹ Ò ÓÛ Û Ö ØÓÛ Û ÐÓÑ ÒÝ ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒ Ó ¹ ÛÖÓØÒÓ ÙÒ ÛÝ Ò Þ ÐÓ ÖÝØÑ ÞÒ º ½º½ ½º½º½ ÙÒ ÛÝ Ò Þ Ð ÓÔÓÛ Þ Ï ÖØÓ ÙÒ ÛÝ Ò Þ Ð Ö ÙÑ

Bardziej szczegółowo

ÈÓ Þ ÓÛ Ò ÈÖ Ò Þ Ó Ý Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ Ò Û ÞÝ Ø Ñ Ó Ó ÓÑ Ø Ö ÛÓ Ñ ÒÒÝÑ ÙÛ Ñ ÔÖÞÝÞÝÒ Ý Ó Ö Ð Þ Ò Ò Þ ÖÓÞÔÖ Ûݺ ËÞÞ ÐÒ ÔÖ Ò ÔÓ¹ Þ ÓÛ ÔÖÓÑÓØÓÖÓÛ ÔÖÓ º Ï ØÓÐ Ó

ÈÓ Þ ÓÛ Ò ÈÖ Ò Þ Ó Ý Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ Ò Û ÞÝ Ø Ñ Ó Ó ÓÑ Ø Ö ÛÓ Ñ ÒÒÝÑ ÙÛ Ñ ÔÖÞÝÞÝÒ Ý Ó Ö Ð Þ Ò Ò Þ ÖÓÞÔÖ Ûݺ ËÞÞ ÐÒ ÔÖ Ò ÔÓ¹ Þ ÓÛ ÔÖÓÑÓØÓÖÓÛ ÔÖÓ º Ï ØÓÐ Ó ÁÒ ØÝØÙØ ÈÓ Ø ÛÓÛÝ ÈÖÓ Ð Ñ Û Ì Ò ÈÓÐ Ñ Æ Ù ÃÐ Ý Ò ØÖÙÑ ÒØ Û ØÖÙÒÓÛÝ Û ÑÙÐØ Ñ ÐÒÝ Þ ÒÝ Þ ÞÞ ÐÒÝÑ ÙÛÞ Ð Ò Ò Ñ ÖØÝ ÙÐ Ô ÞÞ ØÓ Ñ Ö ÃÖÞÝ ÞØÓ ÌÝ ÙÖ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º Öº º Ï ØÓÐ ÃÓ Ó Ï Ö Þ Û

Bardziej szczegółowo

Ç ÐÒ ÒÖ ¾½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÅÓ Ð ØÛÝ Û Ø Û ÒÒ Þ Þ ÈÓÐ Ç

Ç ÐÒ ÒÖ ¾½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÅÓ Ð ØÛÝ Û Ø Û ÒÒ Þ Þ ÈÓÐ Ç Ç ÐÒ ÒÖ ¾½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÅÓ Ð ØÛÝ Û Ø Û ÒÒ Þ Þ ÈÓÐ Ç ÓÛ Þ Ñ Ó Þ ÓÛ Û ÖÞ Ó Ø ÑÓ Ð ØÛ Û Ò¹ Ø Ò Ö Ù ÐÙ Þ Ø

Bardziej szczegółowo

ÃÓÒØ Ò ÖÝ Þ ÓÓ Ø ÓÓ Ø Ö Ô Ä Ö ÖÝ ÈÓÛØ ÖÞ Ò áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¾ ¹ ÓÒØ Ò ÖÝ Þ ÓÓ Ø ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û È

ÃÓÒØ Ò ÖÝ Þ ÓÓ Ø ÓÓ Ø Ö Ô Ä Ö ÖÝ ÈÓÛØ ÖÞ Ò áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¾ ¹ ÓÒØ Ò ÖÝ Þ ÓÓ Ø ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û È áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¾ ¹ ÓÒØ Ò ÖÝ Þ ÓÓ Ø ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» ½ ËÌÄ ¹ Ø Ò Ö ÓÛ Ð ÓØ Þ ÐÓÒ Û ÓÒØ Ò ÖÝ Ø Ö ØÓÖÝ Ð ÓÖÝØÑÝ ÙÒ ØÓÖÝ Ó º ÙÒ Ý Ò µ ÔØ ÖÝ ÌÛÓÖÞ Ò ÙÒ ØÓÖ Û ÖÞÒ Ò ÔÓ Ø Û ØÒ Ý ÙÒ Ñ

Bardziej szczegółowo

arxiv: v1 [hep-th] 13 Dec 2007

arxiv: v1 [hep-th] 13 Dec 2007 ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ ÞÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Ì ÓÖ ØÝÞÒ Ô ÓØÖ Ù ÓÛ arxiv:0712.2173v1 [hep-th] 13 Dec 2007 Ð ¹Ý Ù ÖÝ Ø Ð Ò ØÓÔÓÐÓ Ð ØÖ Ò Ø ÓÖÝ ÖÝ ÞØ Ý Ð ¹Ý Ù Û ØÓÔÓÐÓ ÞÒ Ø ÓÖ ØÖÙÒ ÖÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ º

Bardziej szczegółowo

Survival Probability /E. (km/mev)

Survival Probability /E. (km/mev) Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÁ ØÖÓÒÓÑ Ò ÙØÖ Ò µ Ô ÖÝÑ ÒØ Á Ù ÛÓÐÙ Û Þ ð Ö ½¼¼ Å Î ¹ Ì Î ½¼ ½ ØÑÓ ÖÝÞÒ Ñ ¾ Ð Ö ØÓÖÓÛ ÖÞ Ù Î ½¼ ¾¼ Æ ÙØÖ Ò ÌÝÔ Ô Ò Ö ËØÖÙÑ ðò ½ Å Î ½¼ ½¼ ½

Bardziej szczegółowo

ËÔ ØÖ ½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò ½º½ Ù ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÈÖÓ Ö Ñ ÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

ËÔ ØÖ ½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò ½º½ Ù ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÈÖÓ Ö Ñ ÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ï ØÔ Ó Ó Ù ÓÑÔÙØ Ö Û ÊÓ ÖØ ÆÓÛ Å Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ Ó Ï Ö ÞØ Ø Û ÁÒ ÓÖÑ ØÝÞÒÝ Û Ö Ñ Å Ó Þ ÓÛ Ñ ÍÑ ØÒÓ ÖÙÔ ½ ¹¾ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ ËÔ ØÖ ½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò ½º½ Ù ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Bardziej szczegółowo

ÓÑ ØÖÓÐÓ ¹ Ñ Ø Ö Ý Ó ÛÝ Ù ÇÔÖ ÓÛ ÈÖÞ ÑÝ Û ÓÖÝ ÖÙ Ò ¾¼½

ÓÑ ØÖÓÐÓ ¹ Ñ Ø Ö Ý Ó ÛÝ Ù ÇÔÖ ÓÛ ÈÖÞ ÑÝ Û ÓÖÝ ÖÙ Ò ¾¼½ ÓÑ ØÖÓÐÓ ¹ Ñ Ø Ö Ý Ó ÛÝ Ù ÇÔÖ ÓÛ ÈÖÞ ÑÝ Û ÓÖÝ ÖÙ Ò ¾¼½ ¾ ËÔ ØÖ ½ ÈÓÑ ÖÝ ÞÝÞÒ ½º½ ÊÓ Þ ÔÓÑ ÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ Ý Ò Ô ÛÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Bardziej szczegółowo

p q p= q p q p q p q p q (p q) p q ( p) ( q)

p q p= q p q p q p q p q (p q) p q ( p) ( q) Ï ØÔ ½ ÄÓ ÖÝØÑ ØÝ Þ ÓÖ Û ½º½ ÄÓ Â Ø ØÓ Þ Ò ÞÓ ÔÓÛØ Ö Þ Þ º Ö Ò Ý ÑÓ Þ Ò Ø ÖÝÑ ÖÞ Þ Ñ ÒÓÛÝÑ º ÍÛ Þ ØÓ ÓÛÙ ÐÓ Ò Þ Ö Þ ÞÒ Þ Ò Ò Ø ÑÙ Ó ÞÝÑ Þ ÔÓÒ ÒÔº Ñ Û ÐÓ ÞÒ ÑÝ Ð Ò Û Ò ÛÝ Ò ÛÒ Ó Û ØÔº ÌÙ ÓÛÓ ÐÓ ÓÞÒ Þ ÓÖÑ

Bardziej szczegółowo

Ã Þ Ñ ÖÞ Åº ÓÖ ÓÛ Ê ÓÛ ÒØ Ö ÖÓÑ ØÖ Û Ð Ó ÞÓÛ ÎÄ Áµ ÌÓÖÙ ½

Ã Þ Ñ ÖÞ Åº ÓÖ ÓÛ Ê ÓÛ ÒØ Ö ÖÓÑ ØÖ Û Ð Ó ÞÓÛ ÎÄ Áµ ÌÓÖÙ ½ Ã Þ Ñ ÖÞ Åº ÓÖ ÓÛ Ê ÓÛ ÒØ Ö ÖÓÑ ØÖ Û Ð Ó ÞÓÛ ÎÄ Áµ ÌÓÖÙ ½ ÍÆÁÏ ÊË Ì Ì ÅÁÃÇ Â ÃÇÈ ÊÆÁÃ Ã Þ Ñ ÖÞ Åº ÓÖ ÓÛ Ê ÓÛ ÒØ Ö ÖÓÑ ØÖ Û Ð Ó ÞÓÛ ÎÄ Áµ ÌÓÖÙ ½ Ê ÒÞ Ò ÈÖÓ º Ö º Ò ÖÞ ÃÙ ÈÖÓ º Ö º Â Þ Å ÓÛ ÓÔÝÖ Ø Ý ÏÝ ÛÒ

Bardziej szczegółowo

ÃÓ Ý ÀÙ Ñ Ð ÓÖÝØÑÝ Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÝ Þ Ò º º Ð ÓÖÝØÑ Ñ ¹Ñ Ü ÖÝ ØÝÔÙ ÛÝ Ö»ÔÖÞ Ö ÖÞ Û Æ ¹ÇÊ ÏÝ ÞÙ Û ÛÞÓÖ Û Ð ÓÖÝØÑ ÃÒÙØ ¹ÅÓÖÖ ¹ÈÖ ØØ ÈÖÞ ÞÙ Û Ö Û ÈÖÓ ÙÖÝ Ù Ó

ÃÓ Ý ÀÙ Ñ Ð ÓÖÝØÑÝ Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÝ Þ Ò º º Ð ÓÖÝØÑ Ñ ¹Ñ Ü ÖÝ ØÝÔÙ ÛÝ Ö»ÔÖÞ Ö ÖÞ Û Æ ¹ÇÊ ÏÝ ÞÙ Û ÛÞÓÖ Û Ð ÓÖÝØÑ ÃÒÙØ ¹ÅÓÖÖ ¹ÈÖ ØØ ÈÖÞ ÞÙ Û Ö Û ÈÖÓ ÙÖÝ Ù Ó Ï ØÔ Ó ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Å ØÓ Ý ÔÖÓ Ö ÑÓÛ ÔÓØÓ ÙÒ Ýݵ Å Ö ÃÙ ¾¼¼»¾¼½¼ ËÔ ØÖ Ï ØÔ ÈÓ Ø ÛÝ ÞÝ ÔÖÓ Ö ÑÓÛ ½ ÓÑÔÓÞÝ ÔÖÓ Ð ÑÙ Û ÖÝ ÖÓÞÛ Þ ¾ ËØÖÙ ØÙÖÝ Ý Ù ÓÛ ØÖ Þ ÔÓÑÓ Ý ÈÖÓ ÙÖÝ ÛÝ ÞÝ ÖÞ Û Ó ØÖ ÓÒ ØÖÙ ÔÖÓ Ö Ñ ØÝÞÒÝ ÅÓ

Bardziej szczegółowo

Notka biograficzna Streszczenie

Notka biograficzna Streszczenie Notka biograficzna Mgr inż. Rafał Muniak -absolwent kierunku Ekonomia w Szkole Głównej Gospodarstwa Wiejskiego. Przed podjęciem pracy na PJWSTK pracował w firmie konsultingowej na stanowisku analityka

Bardziej szczegółowo

Å Ø Ù Þ Ë ÓÖ ËØ ÐÒÓ Ñ Ò ÞÒ Ö ØÝ ÙÒ ÓÒ Ð ÞÓÛ ÒÝ Ò ÒÓÞ Ø Û ÑÓ Ð ÖÙ ÓÞ ÖÒ ØÝ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÈÖÓ º Ö º Å Ö ÔÐ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÛÝ ÓÒ Ò Û áöó ÓÛ ÓÛÝÑ Ä ÓÖ ØÓÖ ÙÑ ÞÝ ÓÐÓ ÞÒ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ È Æ Ï Ö Þ Û ½ Ñ ¾¼½¾ ÈÓ Þ ÓÛ Ò

Bardziej szczegółowo

ÒØÝ ÖÝ Ø ÖÝ ÖÝ Æ ØÞ

ÒØÝ ÖÝ Ø ÖÝ ÖÝ Æ ØÞ ÒØÝ ÖÝ Ø ÖÝ ÖÝ Æ ØÞ Ö Ö Ïº Æ ØÞ ÒØÝ ÖÝ Ø ÌÝØº ÓÖÝ º Ö ÒØ Ö Ø ÔÖÞ Ó Ý Ä ÓÔÓÐ ËØ ÇÔÖ ÓÛ Ò Ö ÞÒ ½ ÓÖ Ø Â ÖÓ Û È Ø ÖÞÝ ¹Ñ Ð Ô Ø ÖÛÔº Ù Ö Ö Ï Ð ÐÑ Æ ØÞ ½ ÓÑÔ Ð Ý Ä Ì ¾ε ÈÖÞ ÑÓÛ Ã Ø ÔÖÞ ÞÒ ÞÓÒ Ø Ð Ò ÑÒ Ð ÞÒÝ

Bardziej szczegółowo

Janusz Przewocki. Zeroth Milnor-Thurston homology for the Warsaw Circle. Instytut Matematyczny PAN. Praca semestralna nr 3 (semestr zimowy 2010/11)

Janusz Przewocki. Zeroth Milnor-Thurston homology for the Warsaw Circle. Instytut Matematyczny PAN. Praca semestralna nr 3 (semestr zimowy 2010/11) Janusz Przewocki Instytut Matematyczny PAN Zeroth Milnor-Thurston homology for the Warsaw Circle Praca semestralna nr 3 (semestr zimowy 2010/11) Opiekun pracy: Andreas Zastrow ÖÓØ Å ÐÒÓÖ¹Ì ÙÖ ØÓÒ ÓÑÓÐÓ

Bardziej szczegółowo

Notka biograficzna Streszczenie

Notka biograficzna Streszczenie Notka biograficzna Dr Mariusz Maciejczak -doktor ekonomii, wykładowca na polskich i zagranicznych uczelniach, uczestnik projektów badawczych i aplikacyjnych, doradca i ekspert organizacji biznesowych,

Bardziej szczegółowo

Ç Û Þ Ò ÙØÓÖ ÖÓÞÔÖ ÛÝ Ç Û Þ Ñ Ò Ò Þ ÖÓÞÔÖ Û ÞÓ Ø Ò Ô Ò ÔÖÞ Þ ÑÒ ÑÓ Þ ÐÒ º Ø ÈÓ Ô ÙØÓÖ ÖÓÞÔÖ ÛÝ Ç Û Þ Ò ÔÖÓÑÓØÓÖ ÖÓÞÔÖ ÛÝ Æ Ò ÞÝÑ Ó Û Þ Ñ ÖÓÞÔÖ Û Ø ÓØÓ

Ç Û Þ Ò ÙØÓÖ ÖÓÞÔÖ ÛÝ Ç Û Þ Ñ Ò Ò Þ ÖÓÞÔÖ Û ÞÓ Ø Ò Ô Ò ÔÖÞ Þ ÑÒ ÑÓ Þ ÐÒ º Ø ÈÓ Ô ÙØÓÖ ÖÓÞÔÖ ÛÝ Ç Û Þ Ò ÔÖÓÑÓØÓÖ ÖÓÞÔÖ ÛÝ Æ Ò ÞÝÑ Ó Û Þ Ñ ÖÓÞÔÖ Û Ø ÓØÓ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò Ø Â ÒÓÛ Ò ÖÓÛ Ò ÙØÓÑ Ø Û Þ ÓÛÝ Ð Ý Ø Ñ Û Þ Ù ÖÞ ÞÝÛ Ø Ó ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÖÓÞÔÖ ÛÝ Óº Ö º ÏÓ È ÒÞ ÁÒ ØÝØÙØ ÈÓ Ø Û ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù Ñ ¾¼¼ Ç Û Þ Ò

Bardziej szczegółowo

ËÔ ØÖ Ï ØÔ Ú Á ÈÓ Ø ÛÝ ÞÝÞÒ ½ ½ ÅÓ Ð Ù ÓÛÝ ØÓÑÙ ¾ ½º½ ÅÓ Ð ØÓÑÙ Ó Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ï ÑÓ ØÓÑÙ ÛÓ ÓÖÙ Û

ËÔ ØÖ Ï ØÔ Ú Á ÈÓ Ø ÛÝ ÞÝÞÒ ½ ½ ÅÓ Ð Ù ÓÛÝ ØÓÑÙ ¾ ½º½ ÅÓ Ð ØÓÑÙ Ó Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ï ÑÓ ØÓÑÙ ÛÓ ÓÖÙ Û ËÃÊ ÈÌ Ç ÈÊ ÅÁÇÌÍ ËÔ ØÖÓ ÓÔ ÓÔØÝÞÒ Û Ñ ÝÝÒ ÌÓÑ Þ Â ÖÓ Û Ï ÓÛ Þ ¾¼½¾ ÈÖÓ Ø ÈÖÞÝ ÓØÓÛ Ò Ö Ð Þ ÖÙÒ Ù Ò ÝÒ Ö ÓÑ ÝÞÒ ØÙ Ñ ÞÝÛÝ Þ ÓÛ Û Ô Ò Ò ÓÛ ÒÝ Þ ÖÓ Û ÍÒ ÙÖÓÔ Û Ö Ñ ÙÖÓÔ Ó ÙÒ Ù ÞÙ ËÔÓ ÞÒ Óº ËÔ ØÖ Ï ØÔ Ú Á

Bardziej szczegółowo

M(N) = Homeo(N, N)/Homeo 0 (N, N). M(S) = Homeo + (S, S)/Homeo 0 (S, S).

M(N) = Homeo(N, N)/Homeo 0 (N, N). M(S) = Homeo + (S, S)/Homeo 0 (S, S). ÍÌÇÊ Ê Ì ½º ÈÓ Ø ÛÓÛ Ò ÓÖÑ ½º½º ÁÑ ÓÒ Ò ÞÛ Ó Â Ù ËÞ Ô ØÓÛ ½º¾º ÈÓ Ò ÝÔÐÓÑÝ ØÓÔÒ Ò Ù ÓÛ ÝÔÐÓÑ Ñ ØÖ Ñ Ø Ñ ØÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÞÝ ¾¼¼¾ ØÓÔ Ó ØÓÖ Ñ Ø Ñ ØÝ Ò ÔÓ Ø Û ÖÓÞÔÖ ÛÝ Ò Ö ØÓÖÝ Ö Ð Û ÖÙÔ Ð Ó

Bardziej szczegółowo

ÈÖÓ Ö ÑÓÛ Ò ÔÐ ÓÛÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Å Ö ÙÖ ¹Ë Ó ÓÛ ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÞÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÖÓ Ö ÑÓÛ Ò ÔÐ ÓÛÝ Â ÖÓ Û ÝÐ Ò Å ÓÖÞ Ø Ù Ò Å ÃÐ ÓÛ ÄÙ Ð Ò ¾¼½¾ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÍÅ Ë ÄÙ Ð Ò ¾¼½¾  ÖÓ Û ÝÐ

Bardziej szczegółowo

Strategie heurystyczne

Strategie heurystyczne ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ø Ò Û Ð ÓÖÝØÑÝ ÈÖÞ ÞÙ Û Ò ÙÖÝ ØÝÞÒ ½ ÙÖÝ ØÝÞÒ ÓÖÞÝ Ø Þ Ó Ø ÓÛ ÙÖÝ ØÝÞÒ ÙÒ Ó ÒÝ ËØÖ Ø ÒÔº Þ Ù Ó ÞØ ÖÓÞÛ Þ Ò Ó Ó Ø ÒÙ Ó ÐÙµ Ø ÒÙ Strategie heurystyczne ÈÖÞ ÞÙ Û Ò Ô

Bardziej szczegółowo

ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ ½ ¾ Ò ÔÖÞÝ Þ µº ÇÔ Ó ÔÐÙ Û Ò Û ÔÐ Ó ØÓÛ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò Ó Ó ÔÐÙ Û Ò Ø Ï Ê µº Æ ÖÞ Þ Ó ÛÝ ÖÝÛ Ò ÛÝ Û Ô Ñ Û ÔÖÓ Ö Ñ Ó ÔÖÓ ÐÓÛ Ò Ó Ùº ÝÑÓÓÔ ÍÅĺ

ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ ½ ¾ Ò ÔÖÞÝ Þ µº ÇÔ Ó ÔÐÙ Û Ò Û ÔÐ Ó ØÓÛ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò Ó Ó ÔÐÙ Û Ò Ø Ï Ê µº Æ ÖÞ Þ Ó ÛÝ ÖÝÛ Ò ÛÝ Û Ô Ñ Û ÔÖÓ Ö Ñ Ó ÔÖÓ ÐÓÛ Ò Ó Ùº ÝÑÓÓÔ ÍÅĺ È ÓØÖ ÙÞ Å Ð Ò Ù Ð Ñ Å Û ØÝÞ ¾¼¼ ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ ½ ¾ Ò ÔÖÞÝ Þ µº ÇÔ Ó ÔÐÙ Û Ò Û ÔÐ Ó ØÓÛ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò Ó Ó ÔÐÙ Û Ò Ø Ï Ê µº Æ ÖÞ Þ Ó ÛÝ ÖÝÛ Ò ÛÝ Û Ô Ñ Û ÔÖÓ Ö Ñ Ó ÔÖÓ ÐÓÛ Ò Ó Ùº ÝÑÓÓÔ ÍÅĺ Ã Ï Ò µº ÈÓ Ø ÛÝ

Bardziej szczegółowo

Notka biograficzna Streszczenie

Notka biograficzna Streszczenie Notka biograficzna Dr Mariusz Maciejczak -doktor ekonomii, wykładowca na polskich i zagranicznych uczelniach, uczestnik projektów badawczych i aplikacyjnych, doradca i ekspert organizacji biznesowych,

Bardziej szczegółowo

ÔÓÑÓÒ Þ Ó ÛÝ Ù Å Ø Ö Ý ÔÓ Ø ÛÝ Ø Ò ÔÐÒ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÔÖÓ Ö Ñ Û ÔÓÔÖ Û Ó ÞØ Ò ÓÖ Þ ÓØÛ Ö ÍÒÓÛÓÞ Ò Ò Ô ÐÒÓ Ó ÞÝ Ò ÖÙÒ Ù ÞÝ Û ÍÒ Û Ö ÝØ ÐÓÒÓ Ö Ñ ÒÓÛ ¼ º¼½º¼

ÔÓÑÓÒ Þ Ó ÛÝ Ù Å Ø Ö Ý ÔÓ Ø ÛÝ Ø Ò ÔÐÒ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÔÖÓ Ö Ñ Û ÔÓÔÖ Û Ó ÞØ Ò ÓÖ Þ ÓØÛ Ö ÍÒÓÛÓÞ Ò Ò Ô ÐÒÓ Ó ÞÝ Ò ÖÙÒ Ù ÞÝ Û ÍÒ Û Ö ÝØ ÐÓÒÓ Ö Ñ ÒÓÛ ¼ º¼½º¼ ÔÓÑÓÒ Þ Ó ÛÝ Ù Å Ø Ö Ý ÔÓ Ø ÛÝ Ø Ò ÔÐÒ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÔÖÓ Ö Ñ Û ÔÓÔÖ Û Ó ÞØ Ò ÓÖ Þ ÓØÛ Ö ÍÒÓÛÓÞ Ò Ò Ô ÐÒÓ Ó ÞÝ Ò ÖÙÒ Ù ÞÝ Û ÍÒ Û Ö ÝØ ÐÓÒÓ Ö Ñ ÒÓÛ ¼ º¼½º¼½¹¼¼¹¼ ½»¼ ¹¼¼ ÈÇÃÄ ÇÔ Ö Ý ÒÝ Ã Ô Ø ÄÙ Þ ÈÖÓ Ö Ñ ÏÞÑÓÒ

Bardziej szczegółowo

Lech Banachowski. Rola Uczelni oraz metod i technik e-edukacji w uczeniu się przez całe życie

Lech Banachowski. Rola Uczelni oraz metod i technik e-edukacji w uczeniu się przez całe życie Lech Banachowski Rola Uczelni oraz metod i technik e-edukacji w uczeniu się przez całe życie Notka biograficzna Prof. Lech Banachowski jest kierownikiem Katedry Baz Danych i kierownikiem Studiów Internetowych

Bardziej szczegółowo

ÍÆÁÏ ÊË Ì Ì Ï ÊË ÏËÃÁ Ï Á Á ÃÁ  ËÞÞÝØ Ó È ÈÊ ÏÇ ÆÁÃÁ È Å Æ Ì Æ ÁÁÁ¹Î Å Æ Æ Å ÈÖ Ó ØÓÖ ÛÝ ÓÒ Ò Û ÁÒ ØÝØÙ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Ò ÏÝ Þ Ð ÞÝ ÍÒ Û Ö ÝØ ØÙ Ï Ö Þ Û

ÍÆÁÏ ÊË Ì Ì Ï ÊË ÏËÃÁ Ï Á Á ÃÁ  ËÞÞÝØ Ó È ÈÊ ÏÇ ÆÁÃÁ È Å Æ Ì Æ ÁÁÁ¹Î Å Æ Æ Å ÈÖ Ó ØÓÖ ÛÝ ÓÒ Ò Û ÁÒ ØÝØÙ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Ò ÏÝ Þ Ð ÞÝ ÍÒ Û Ö ÝØ ØÙ Ï Ö Þ Û ÍÆÁÏ ÊË Ì Ì Ï ÊË ÏËÃÁ Ï Á Á ÃÁ  ËÞÞÝØ Ó È ÈÊ ÏÇ ÆÁÃÁ È Å Æ Ì Æ ÁÁÁ¹Î Å Æ Æ Å ÈÖ Ó ØÓÖ ÛÝ ÓÒ Ò Û ÁÒ ØÝØÙ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Ò ÏÝ Þ Ð ÞÝ ÍÒ Û Ö ÝØ ØÙ Ï Ö Þ Û Ó ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º Ö º Ò ÖÞ ÌÛ Ö ÓÛ Ó Ï ÊË Ï Ð Ô ¾¼¼½

Bardziej szczegółowo