Wykład z okazji dnia liczby π

Transkrypt

1 Wykład z okazji dnia liczby π O regresji symbolicznej Andrzej Odrzywołek Zakład Teorii Względności i Astrofizyki, Instytut Fizyki UJ 3.14

2 Czy potrafisz rozpoznać liczby?

3 Zadanie wydaje się łatwe... π e ln e 1/e ?

4 Historia liczby Rozwiąż równanie: = 0.

5 Historia liczby Rozwiąż równanie: = 0.

6 Historia liczby Rozwiąż równanie: = 0.

7 Historia liczby Rozwiąż równanie: = 0.

8 Historia liczby Rozwiąż równanie: = 0. 1 Przy użyciu kalkulatora można było w kilka minut ustalić, że rozwiązaniem równania jest: domyślając się, że powyższe równanie 4 stopnia zawiera ukryte r. kwadratowe spodziewany się wyniku postaci: = a b 3 wstawiamy po kolei: a = 1, b = 1, a = 1, b = 2,... b=1 b=2 b=3 b=4 b=5 b=6 b=7 b=8 a= a= a= a= a= a= a= a=

9 Historia liczby Rozwiąż równanie: = = z własności r. kwadratowych = 1 ± 7 6 ( 1 7)( 1 7) = dzielimy wielomiany: końcowy wynik 1 = 1 7, 2 = 1 7: = = ( 2 2 6)( 2 7) = ( 1 7)( 1 7)( 2 7)

10 Przykłady szukania rozwiązań metodą systematycznego przeszukiwania Plan wykładu 1 liczby naturalne (trywialny przykład) 2 liczby wymierne (rozwiązany nietrywialny przykład) 3 przybliżanie i rozpoznawanie rozpoznawanie stałych przestępnych (działający trudny przykład)

11 Liczby naturalne/całkowite Zadanie (trywialne) Dla jakiego naturalnego n otrzymamy najlepsze przybliżenie liczby:? π Oczywista metoda to wstawianie po kolei: 0,1,2,3,4,... UWAGA! Gdyby chodziło o rozwiązania całkowite, wstawiamy po kolei: 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3... Idiotyczny błąd, formalnie możliwy do popełnienie, to wstawianie najpierw liczb dodatnich, potem ujemnych, lub wstawianie w kolejności, która pomija pewne liczby, np: ( 1) k 1 ( 1) k (2k 1) k zamiast. 4 O ile dla liczb całkowitych tego typu pomyłka byłaby absurdalna, w przypadku np: funkcji elementarnych podobny błąd łatwo popełnić i przeoczyć.

12 Liczby wymierne Zadanie Dla jakiego wymiernego r otrzymamy najlepsze przybliżenie liczby π:? r = n m π Cantor podał metodę wyliczania liczb wymiernych n o rosnących n, m. Liczby m powtarzają się (np: 2 4 = 1 ), ale redundancja jest niewielka, asymptotycznie dąży do 2 złotego podziału. Jak generować liczby wymierne bez powtórzeń? Już od połowy XIX w. znane są lepsze sposoby wyliczania liczb wymiernych: 1 drzewo Sterna-Brocota (przeszukiwanie binarne przedziału [0, ] ) 2 ciąg Fareya 3 ułamki łańcuchowe 4 składanie funkcji Najciekawsze okazuje się podejście funkcyjne.

13 Funkcyjne generowanie liczb wymiernych Jak wypisać wszystkie liczby wymierne po kolei bez powtórzeń? Istnieje funkcja, której składanie generuje po kolei wszystkie liczby wymierne bez powtórzeń. Jest ona złożeniem dwóch funkcji odwrotnych do samych siebie: inv(r) = 1 r, lad(r) = F loor[] 1 F ractionalp art[]

14 Wykres funkcji lad(r) lad() = F loor[] 1 F ractionalp art[]

15 Generowanie ułamków poprzez składanie funkcji Okazuje się, że składając wielokrotnie funkcję: 1 f() = F loor[] 1 F ractionalp art[] otrzymujemy wszystkie liczby wymierne (w tym naturalne), w określonej kolejności, bez powtórzeń! 0, 1, 1 2, 2, 1 3, 3 2, 2 3, 3, 1 4, 4 3, 3 5, 5 2, 2 5, 5 3, 3 4, 4, 1 5, 5 4, 4 7, 7 3, 3 8, 8 5, 5 7, 7 2, 2 7, 7 5, 5 8, 8 3, 3 7, 7 4, 4 5, 5,... Można w ten sposób wygenerować wszystkie możliwe przybliżenia wymierne π: Wartość Złożoność Przybliżenie Błąd bezwzględny numeryczna Kołmogorowa 3/ / / / (6) / / / / / / / / (14) / /

16 Własności kolejnych przybliżeń wymiernych π Przybliżenie zerowe : Przybliżenie pierwsze : 13 4 Przybliżenie drugie: π 3 1 plus 3 najlepsze przybliżenie zerowe: π 22 7 = plus 8 najlepsze przybliżenie poprzednie: π =

17 Jak wyjść poza przybliżenia ułamkowe? Jak szukać kolejnych przybliżeń zawierających np:? π 2 3, π , π Lub logarytm naturalny ln? π 1 1 ln 2 ln 2, π ( 1 ) 11 log 8 A może liczbę e... π 2e 3

18 Sposób generacji dowolnych wyrażeń matematycznych

19 Elementarna algebra wg. Tarskiego Oryginalnie, minimalny (startowy) zbiór symboli Tarskiego to: Zero i 1 są redundantne: 1, 0, 1, y, y,, y, z,... 1 = ( 1) ( 1), 0 = 1 1 Wygenerowanie wszystkich możliwych wyrażeń elementarnej algebry, polega na rekurencyjnym stosowaniu symboli i operacji bazowych. Tradycyjne symbole matematyczne traktujemy jako skróty myślowe np: 5 = , 2 1 = ( 1) ( 1), = 2, ( 1) = 1, ( 1)( 1) = 2, = 2, ( 1) =, ( 1) ( 1) = 1 Lista pierwszych wyrażeń:, 1, 2, 1, 2, 2,, 1, 3, 2 1, 4, 2 1, 2, 3 1, 2( 1), 2, 3, 2( 1), 3,

20 Elementarna algebra wg. Tarskiego

21 Zagadnienie zepsutego kalkulatora Broken calculator problem Czy jeżeli w kalkulatorze zostały nam tylko klawisze, EXP, LN możemy nadal mnożyć i potęgować? Praktyka pokazuje, że klawiszy nie można wyrywać w zupełnie dowolny sposób. Jest to główne źródło niepowodzeń i kiepskiej/losowej skuteczności istniejących metod regresji symbolicznej. Przykłady zadań: czy dysponując klawiszami, ep, log,, 1 możemy obliczyć π? czy dysponując symbolami,,, ln, e możemy uzyskać 1? Konieczne jest wydzielenie spośród zbioru wszystkich symboli tych, których nie wolno usunąć, pod groźbą ostatecnego zepsucia naszego kalkulatora.

22 Przykłady minimalnego zbioru funkcji/operatorów Zbiór minimalny botton-up 1 dodawanie, y 2 f. wykładnicza ep, e 3 logarytm naturalny ln, ln 4 odwrotność (brak symbolu) 1 Zbiór minimalny up-bottom 1 potęgowanie, y 2 logarytm dwuargumentowy (o dowolnej podstawie) log y 3 liczba E (podstawa logarytmu naturalnego) lub π Dla porównania: Mathematica 1 potęgowanie Power, mnożenie Times, dodawanie Plus (wieloargumentowe!) 2 logarytm naturalny Log 3 liczba -1 oraz spory zestaw redundantnych stałych przestępnych (E, Pi,... ) 4 liczby całkowite Integer, wymierne Rational, zespolone Comple, algebraiczne Root 5 skróty typu Sin, ArcTan, LegendereP... rozwijane przez FunctionEpand, TrigToEp,... Powyższe pozwala generować liczby. Aby generować funkcje, trzeba dodać zmienne i parametry, y, z,... a, b, c.... Ewentualnie dodać stałe, np: π, 2, 2, ln 2,....

23 Minimalne zbiory funkcji i operatorów podstawowych Mathematica y -1 log (y) e y y ln e 1 up-bottom bottom-up

24 Pierwsze przybliżenia π w bazie, ln, ep, 1/, 1 Minimalny (zepsuty) kalkulator I Jedyne klawisze jakimi dysponujemy to: LN EXP INV (czyli 1/) 1 Pierwsze przybliżenia π e 5 2 1,EXP ,1,,1, 3. 1 e ,EXP,INV,1,EXP, e 1 e e e ,1,,EXP,INV,EXP,EXP Reprezentacja operacji arytmetycznych ( y = e ln ln y, y ln yln ln = ep e )

25 Pierwsze przybliżenia w bazie y, log y, e Minimalny (zepsuty) kalkulator II Jedyne klawisze jakimi dysponujemy to: E (liczba e, podstawa logarytmu naturalnego) LOG (dwurgumentowy logarytm, czyli o dowolnej podstawie) POW (potęgowanie) Pierwsze przybliżenia π e 0 1 E E,E,E,E,POW,POW,POW,E,LOG,E,LOG e e e E,E,E,E,POW,POW,LOG,E,POW,E,POW e 2 log(e e ln 2) ln (e e ln (e ln 2e)) e e ln ( e e 1 ln(ln(e 1)) )

26 Reprezentacja operacji arytmetycznych y = log (( ) y ), y = Liczba π wyliczona dokładnie z liczby e π = log[ ( ) ] [ log[ln (e log (loge e e) e e e ) e ] [e] log e] (loge e e)

27

28

29 π = log e i ( 1), i = 1 π = log e i ( 1) = ln 1 ln e i = iπ i ln e = π

30 Hierarchia operatorów: top-bottom czy bottom-up? Pokazano, że zbiór symboli startowych i operacji jest w zasadzie dowolny, jeżeli zawiera zbiór minimalny. 1 bramka logiczna NAND 2 zeracja (sukcesor) = n 3 dodawanie/odejmowanie... = n 4 mnożenie/dzielenie... = n 5 potęgowanie/logarytm = n 6 tetracja/superlogarytm/superpierwiastek Dla teoretyka informatyki cyfrowej operacje logiczne i dodawanie są pierwotne, dla fizyka czy cybernetyka: potęgowanie i logarytmy. Operatory wyższe niż potęgowanie są nadal słabo zbadane Nie ma zgody co do kontynuacji analitycznej na płaszczyźnie liczb zespolonych Nie wiadomo np: czy 4 π jest liczbą naturalną! Potencjał generowania π, e,... lub/i funkcji specjalnych, liczb algebraicznych itp?

31 Rozpoznawanie stałych: praktyka Najpopularniejszym aktualnie zastosowaniem regresji symbolicznej jest dopasowanie wzoru analitycznego do zadanej liczby zmiennoprzecinkowej. 1 Maple ( identify ) 2 Mathematica (FindFormula, FindSequenceFunction, RootApproimant), WolframAlpha 3 Inverse Symbolic Calculator ( PSLQ 4 RIES ( ) 5 nsimplify (SymPy) 6 A.O.

32 Test WolframAlpha Maple/identify ISC RIES Google Symbolic Regression log 2 ( 1) = log 4 7 TAK? sqrt(7) -1-7 (1/2) =sqrt(7) π sin π (11*sqrt(7))/1 = 2 log

33 Podsumowanie: zastosowania regresji symbolicznej matematyka rekreacyjna generowanie losowych zadań matematycznych testowanie oprogramowania matematycznego szukanie rozwiązań specjalnych równań różniczkowych, funkcyjnych, całek, itp. przemysłowe generowanie modeli matematycznych i teorii sztuczna inteligencja programowanie genetyczne