Algorytmy grafowe. Wykład 2 Przeszukiwanie grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Save this PDF as:

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Algorytmy grafowe. Wykład 2 Przeszukiwanie grafów. Tomasz Tyksiński CDV"

Transkrypt

1 Algorytmy grafowe Wykład 2 Przeszukiwanie grafów Tomasz Tyksiński CDV

2 Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów 3. Spójność grafu, lasy, drzewa, drzewa rozpinające 4. Najkrótsze ścieżki w grafie, algorytm Dijkstry 5. Algorytm Kruskala 6. Cykle Hamiltona w grafach 7. Kolorowanie grafów 8. Skojarzenia w grafach

3 Przeszukiwanie grafów Pierwszym przedstawionym algorytmem działającym na strukturze grafu będzie algorytm przeglądający wszystkie elementy tej struktury Algorytm ten w różnych odmianach ma wiele zastosowań, od wypisywania wszystkich elementów grafu, przez poszukiwanie czy dany element znajduje się w grafie, po poszukiwanie najkrótszej drogi w grafie lub znajdowanie drzew rozpinających graf

4 Przeszukiwanie grafów Algorytm zawsze zaczyna się w jednym z wierzchołków v Następnie przeszukujemy wszystkie krawędzie incydentne do tego wierzchołka i poruszamy się do pewnego wierzchołka przyległego w W nowym wierzchołku w przeszukujemy wszystkie krawędzie incydentne do w i przechodzimy do kolejnego wierzchołka Powtarzamy powyższe kroki, aż przeszukamy wszystkie wierzchołki w grafie Ten sposób przeszukiwania wierzchołków grafu nazywamy przeszukiwaniem wszerz (ang. breadth-first search, BFS)

5 Przykład

6 Przykład

7 Przeszukiwanie grafów Inną metodą przeszukiwania jest sposób w którym, zamiast przeszukiwania każdej krawędzi incydentnej do wierzchołka v, będziemy poruszać się do pewnego wierzchołka przyległego w (wcześniej jeszcze nie odwiedzonego) W tym wypadku być może zostawiamy wierzchołek v z jakimiś niezbadanymi krawędziami incydentnymi Przeglądamy zatem w grafie ścieżkę (czyli ciąg wierzchołków połączonych krawędziami) przechodząc do nowego wierzchołka, gdy tylko to jest możliwe Taka metoda przeszukiwania grafu, nazywa się przeszukiwaniem w głąb (ang. depth-first search, DFS) lub metodą powrotu po tej samej ścieżce na grafie

8 Przykład

9 Algorytm BFS Zapiszmy teraz precyzyjniej algorytm przeszukiwania grafu wszerz (BFS) Oznaczmy przez G = (V, E) - graf nieskierowany zapisany w postaci listy wierzchołków sąsiednich x - ustalony wierzchołek od którego rozpoczynamy przeszukiwanie grafu I v - tablica zawierająca wierzchołki incydentne z v NI v - liczba elementów w tablicy I v

10 Algorytm BFS Precyzyjniejszy opis algorytmu 1. Ustaw: Numer(x) = 1, Drzewo =, Pozostałe = ; dopisz x do Kolejki 2. Jeżeli Kolejka jest pusta to STOP 3. Pobierz element z Kolejki i zapisz go jako v 4. Dla każdego wierzchołka w incydentnego do v wykonaj: 4.1 Jeżeli Numer(w) == 0, tzn. wierzchołek w odwiedzamy po raz pierwszy, to nadaj wierzchołkowi w kolejny numer, dopisz w do Kolejki, a krawędź {v,w} dodaj do Drzewo 4.2 Jeżeli Numer(w)!= 0, tzn. wierzchołek w już był odwiedzany, to jeżeli krawędź {v,w} nie należy już do Drzewa, to dodaj ją do zbioru Pozostałe 5. Wróć do kroku 2.

11 Algorytm BFS Zapis algorytmu w pseudokodzie BFS(G, x) // zmienne globalne Numer, Drzewo, Pozostałe Numer[x] = 1; Ponumerowano = 1; NKolejka = 1; Kolejka[NKolejka] = x; while (NKolejka > 0) { v = Kolejka[1]; NKolejka = NKolejka 1; for (i=1; i<=nkolejka; i++) Kolejka[i] = Kolejka[i+1]; for (i=1; i<=niv; i++) { w = Iv[i]; if (Numer[w] == 0){ Ponumerowano = Ponumerowano + 1; Numer[w] = Ponumerowano; Drzewo = Drzewo + {v,w}; NKolejka = Nkolejka + 1; Kolejka[NKolejka] = w; } else if ({v,w} not in Drzewo) Pozostałe = Pozostałe + {v,w}; } } return Numer, Drzewo, Pozostałe

12 Algorytm BFS Przykład działania algorytmu Inicjowanie parametrów Numer[a] = 1; Ponumerowano = 1; NKolejka = 1; Kolejka = a;

13 Algorytm BFS Przykład działania algorytmu Kroki algorytmu dla a v = a; NKolejka = 0; Kolejka = NULL; w = b; Ponumerowano = 2; Numer[b] = 2; Drzewo = {ab}; NKolejka = 1; Kolejka = [b]; w = c; Ponumerowano = 3; Numer[c] = 3; Drzewo = {ab, ac}; NKolejka = 2; Kolejka = [b, c];

14 Algorytm BFS Przykład działania algorytmu Kroki algorytmu dla b v = b; NKolejka = 1; Kolejka = [c]; w = a; w = c; w = d; Ponumerowano = 4; Numer[d] = 4; Drzewo = {ab, ac, bd}; NKolejka = 2; Kolejka = [c, d]; w = e; Ponumerowano = 5; Numer[e] = 5; Drzewo = {ab, ac, bd, be}; NKolejka = 3; Kolejka = [c, d, e]; w = f; Ponumerowano = 6; Numer[f] = 6; Drzewo = {ab, ac, bd, be, bf} NKolejka = 4; Kolejka = [c, d, e, f];

15 Algorytm BFS Przykład działania algorytmu Kroki algorytmu dla c v = c; NKolejka = 3; Kolejka = [d, e, f]; w = a; w = b; w = f; w = g; Ponumerowano = 7; Numer[g] = 7; Drzewo = {ab, ac, bd, be, bf, cg} NKolejka = 4; Kolejka = [d, e, f, g];

16 Algorytm BFS Przykład działania algorytmu Kroki algorytmu dla d v = d; NKolejka = 3; Kolejka = [e, f, g]; w = b; w = e;

17 Algorytm BFS Przykład działania algorytmu Kroki algorytmu dla e v = e; NKolejka = 2; Kolejka = [f, g]; w = b; w = d; w = f;

18 Algorytm BFS Przykład działania algorytmu Kroki algorytmu dla f v = f; NKolejka = 1; Kolejka = [g]; w = b; w = c; w = g;

19 Algorytm BFS Przykład działania algorytmu Kroki algorytmu dla g v = g; NKolejka = 0; Kolejka = NULL; w = c; w = f;

20 Algorytm BFS W przypadku grafów skierowanych możemy oczywiście przesuwać się wyłącznie wzdłuż krawędzi wychodzących z odwiedzanego wierzchołka Być może zostaną wówczas na końcu nie odwiedzone wierzchołki Należy wtedy powtórzyć algorytm od kolejnego nie odwiedzonego jeszcze wierzchołka kontynuując numerację i budowę drzewa, które teraz przyjmie formę lasu

21 Algorytm DFS Opiszemy teraz dokładniej algorytm przeszukiwania grafu w głąb (DFS) Oznaczmy przez G = (V, E) - graf nieskierowany zapisany w postaci listy wierzchołków sąsiednich x - ustalony wierzchołek od którego rozpoczynamy przeszukiwanie grafu I v - tablica zawierająca wierzchołki incydentne z v NI v - liczba elementów w tablicy I v Stos - tablica przechowująca ciąg wierzchołków umożliwiająca powroty algorytmu, NStos - liczba wierzchołków w tablicy Stos

22 Algorytm DFS Opis słowny algorytmu 1. Ustaw v = x, i = 0, Drzewo =, Pozostałe = 2. Ustaw i = i + 1 oraz Numer(v) = i 3. Poszukaj krawędzi incydentnej do wierzchołka v, która nie została jeszcze odwiedzona. Jeżeli nie ma takiej krawędzi (tzn. po każdej krawędzi incydentnej do v już przeszliśmy), to przejdź do kroku 5. Wybierz pierwszą krawędź incydentną do wierzchołka v, która nie została jeszcze odwiedzona, przykładowo {v,w} i przejdź po niej 4. Jesteśmy w wierzchołku w Jeżeli w jest wierzchołkiem, w którym jeszcze nie byliśmy podczas tego szukania (tzn. Numer(w) jest nieokreślony), to dodaj krawędź {v,w} do zbioru Drzewo. Ustaw v = w i przejdź do kroku 2. Jeżeli w jest wierzchołkiem, w którym już wcześniej byliśmy (tzn. Numer(w) < Numer(v)), to dodaj krawędź {v,w} do zbioru Pozostałe. Przejdź do kroku 3. Jesteśmy więc z powrotem w wierzchołku v 5. Sprawdź, czy istnieje jakaś odwiedzona krawędź {u,v} w zbiorze Drzewo z wartością Numer(u) < Numer(v) 6. Jeżeli jest taka krawędź, to wróć do wierzchołka u. (Zauważmy, że u jest wierzchołkiem, z którego osiągnięto v po raz pierwszy). Ustaw v = u i przejdź do kroku Jeżeli nie ma takiej krawędzi, to zatrzymaj algorytm (jesteśmy z powrotem w korzeniu x po przejściu każdej krawędzi i odwiedzeniu każdego wierzchołka połączonego z x).

23 Algorytm DFS Zapis algorytmu w pseudokodzie DFS(G, x) // zmienne globalne Numer, Drzewo, Pozostałe Numer[x] = 1; Ponumerowano = 1; NStos = 1; Stos[NStos] = x; while (NStos > 0) { v = Stos[NStos] if (NIv == 0) NStos = NStos 1; else { w = Iv[1]; NIv = NIv 1; for (i = 1; i<=niv; i++) Iv[i] = Iv[i+1]; if (Numer[w] == 0) { Ponumerowano = Ponumerowano + 1; Numer[w] = Ponumerowano; Drzewo = Drzewo + {vw}; NStos = NStos + 1; Stos[NStos] = w; } else if (numer[w]<numer[v]) Pozostałe = Pozostałe + {vw}; } } return Numer, Drzewo, Pozostałe

24 Algorytm DFS Przykład działania algorytmu Inicjowanie parametrów Numer[a] = 1; Ponumerowano = 1; NStos = 1; Stos[1] = [a];

25 Algorytm DFS Przykład działania algorytmu Kroki algorytmu dla a v = a; w = b; Ponumerowano = 2; Numer[b] = 2; Drzewo = {ab}; NStos = 2; Stos = [a, b];

26 Algorytm DFS Przykład działania algorytmu Kroki algorytmu dla b v = b; w = a; w = c; Ponumerowano = 3; Numer[c] = 3; Drzewo = {ab, bc}; NStos = 3; Stos = [a, b, c];

27 Algorytm DFS Przykład działania algorytmu Kroki algorytmu dla c v = c; w = a; w = b; w = f; Ponumerowano = 4; Numer[f] = 4; Drzewo = {ab, bc, cf}; NStos = 4; Stos = [a, b, c, f];

28 Algorytm DFS Przykład działania algorytmu Kroki algorytmu dla f v = f; w = b; w = c; w = g; Ponumerowano = 5; Numer[g] = 5; Drzewo = {ab, bc, cf, fg}; NStos = 5; Stos = [a, b, c, f, g] Wycofanie z wierzchołka g v = g; w = c; w = f; NStos = 4; Stos = [a, b, c, f]

29 Algorytm DFS Przykład działania algorytmu Wycofanie z wierzchołka f v = f; w = b; w = c; w = g; NStos = 3; Stos = [a, b, c] Wycofanie z wierzchołka c v = c; w = a; w = b; w = f; w = g; NStos = 2; Stos = [a, b]

30 Algorytm DFS Przykład działania algorytmu Kroki algorytmu dla b v = b; w = a; w = d; Ponumerowano = 6; Numer[d] = 6; Drzewo = {ab, bc, cf, fg, bd}; NStos = 3; Stos = [a, b, d]

31 Algorytm DFS Przykład działania algorytmu Kroki algorytmu dla d v = d; w = b; w = e; Ponumerowano = 7; Numer[e] = 7; Drzewo = {ab, bc, cf, fg, bd, de}; NStos = 4; Stos = [a, b, d, e]; Wycofanie z wierzchołka e v = e; w = b; w = d; NStos = 3; Stos = [a, b, d];

32 Algorytm DFS Przykład działania algorytmu Wycofanie z wierzchołka d v = d; w = b; w = e; NStos = 2; Stos = [a, b]; Wycofanie z wierzchołka b v = b; w = a; w=c; w=d; w=e; w=f; NStos = 1; Stos = [a]

33 Algorytm DFS Przykład działania algorytmu Wycofanie z wierzchołka a v = a; w = b; w = c; NStos = 0; Stos = NULL;

34 Algorytm DFS Algorytm DFS można zapisać w prostszej rekurencyjnej wersji, zamiast stosowania struktury stosu DFS(G, x) // zmienne globalne Numer, Drzewo, Pozostałe v = x; Numer[v] = 1; Ponumerowano = 1; for each w in N(v) { // N(v) wierzchołki incydentne z v if (Numer[w] == 0) { Ponumerowano = Ponumerowano + 1; Numer[w] = Ponumerowano; Drzewo = Drzewo + {vw}; DFS(G,w); } else if (Numer[w] < Numer[v]) Pozostałe = Pozostałe + {vw}; } return Numer, Drzewo, Pozostałe // REKURENCJA

35 Algorytm DFS Rozpatrując listową reprezentację grafu (tablica wierzchołków z dołączonymi listami sąsiadów) można zapisać powyższy algorytm rekurencyjny w jeszcze prostszy sposób Przez odwiedzony[v] oznaczmy tablicę flag oznaczających czy dany wierzchołek v był już odwiedzony, na początku zawiera ona wartości false Przez aktualny[v] oznaczmy tablicę wskaźników na pierwsze elementy list wierzchołków L[v] DFS(G, v) odwiedzone[v] = true; while (aktualny[v]!= NULL){ w = wierzchołek na liście L[v] wskazywany przez aktualny[v]; if (odwiedzony[w] == false) DFS(G, w); aktualny[v] = wskaźnik do następnego wierzchołka na liście L[v]; }

36 Algorytm DFS Złożoność algorytmu DFS oraz wielu jego pochodnych, wykorzystujących DFS, jest rzędu O( V + E ), czyli O(m + n)

37 Zastosowanie Algorytm DFS można wykorzystać do napisania wielu innych algorytmów Przykładowo do algorytmu numerującego wszystkie wierzchołki grafu NumerujWierzchołki(G) for each v in V Numer[v] = 0; Drzewo = ; Pozostałe = ; for each v in V if (Numer[v] == 0) DFS(G,v);

38 Zastosowanie Za pomocą odpowiedniej klasyfikacji krawędzi podczas działania algorytmu DFS możemy wykonać sortowanie topologiczne skierowanego grafu acyklicznego Polega ono na ułożeniu wierzchołków grafu na linii prostej w takiej kolejności, że wszystkie łuki prowadzą w prawą stronę Zapis taki może ilustrować kolejność wykonywania różnych zależnych od siebie procesów

39 Zastosowanie Przykładowo jeżeli wiemy jakie części garderoby mamy zakładać po sobie, to jak ustawić je w kolejności ubierania

40 Zastosowanie W wyniku sortowania topologicznego powyższego grafu otrzymujemy następującą strukturę Opisuje ona przykładową bezkolizyjną kolejność zakładania części garderoby: 1. skarpetki, 2. slipki, 3. spodnie, 4. buty, 5. zegarek, 6. koszula, 7. pasek, 8. krawat, 9. marynarka

41 Podwójne numerowanie Zanim opiszemy algorytm sortowania topologicznego zauważmy pewne własności poszukiwania DFS Po wykonaniu algorytmu dostajemy las przeszukiwań w głąb lub w szczególności drzewo gdy graf jest spójny Możemy dodatkowo oznaczyć wierzchołek odwiedzony jako odwiedzony po raz pierwszy podczas przeszukiwania wierzchołek przetworzony, czyli taki którego lista sąsiedztwa została już całkowicie przeanalizowana

42 Podwójne numerowanie Wprowadzamy etykiety czasowe dla każdego wierzchołka, jako dwie liczby całkowite z przedziału 1, 2, 3, 2 V jedna opisująca czas odwiedzin (wierzchołek odwiedzony) druga czas przetworzenia (wierzchołek przetworzony) Zapis etykiet można wprowadzić poprzez prostą modyfikację algorytmu DFS, dodającego numer czasu przetworzenia dla wierzchołka v gdy odwiedzimy wszystkich jego sąsiadów (za pętlą for each)

43 Przykład

44 Podwójne numerowanie W przypadku grafów skierowanych, jak w sortowaniu topologicznym, oznaczając graf skierowany spójny nie musimy otrzymać struktury drzewa Kierunki łuków mogą spowodować, że od pewnego wierzchołka nie będzie można kontynuować poszukiwań, należy wówczas wybrać kolejny nie odwiedzony wierzchołek Otrzymamy wówczas zamiast drzewa strukturę lasu (nawet gdy graf jest spójny)

45 Przykład

46 Algorytm sortowania TopologicalSort(G) 1. Wykonaj DFS(G) obliczając czasy przetworzenia wszystkich wierzchołków 2. Wstaw wierzchołek v na początek listy, kiedy tylko zostanie on przetworzony 3. return lista wierzchołków

47 Przykład Posortujmy graf opisujący ubieranie strojów Skarpetki Slipki Spodnie Buty Zegarek Koszula Pasek Krawat Marynarka

48 Zadanie Przeprowadź obliczenia Przeszukiwania wszerz (BFS) Przeszukiwania w głąb (DFS) Sortowania topologicznego dla powyższego grafu skierowanego Wypisz kolejność odwiedzania wierzchołków w obu przeszukiwaniach, startując od wybranego przez siebie miejsca w grafie

49 Następny wykład Spójność grafu Drzewa rozpinające

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy

Bardziej szczegółowo

Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:

Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Wykład 4 grafy Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, E zbiór krawędzi, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Formalnie, w grafach skierowanych E jest podzbiorem

Bardziej szczegółowo

Ogólne wiadomości o grafach

Ogólne wiadomości o grafach Ogólne wiadomości o grafach Algorytmy i struktury danych Wykład 5. Rok akademicki: / Pojęcie grafu Graf zbiór wierzchołków połączonych za pomocą krawędzi. Podstawowe rodzaje grafów: grafy nieskierowane,

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą

Bardziej szczegółowo

Temat: Struktury danych do reprezentacji grafów. Wybrane algorytmy grafowe.

Temat: Struktury danych do reprezentacji grafów. Wybrane algorytmy grafowe. Temat: Struktury danych do reprezentacji grafów. Wybrane algorytmy grafowe. Oznaczenia G = V, E - graf bez wag, gdzie V - zbiór wierzchołków, E- zbiór krawdzi V = n - liczba wierzchołków grafu G E = m

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów

Bardziej szczegółowo

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34 Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)

Bardziej szczegółowo

Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki

Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek między wierzchołkami grafu. Instytut Informatyki 22 listopada 2015 Algorytm DFS w głąb Algorytm przejścia/przeszukiwania w głąb (ang. Depth First

Bardziej szczegółowo

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych. Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf

Bardziej szczegółowo

1. Algorytmy przeszukiwania. Przeszukiwanie wszerz i w głąb.

1. Algorytmy przeszukiwania. Przeszukiwanie wszerz i w głąb. 1. Algorytmy przeszukiwania. Przeszukiwanie wszerz i w głąb. Algorytmy przeszukiwania w głąb i wszerz są najczęściej stosowanymi algorytmami przeszukiwania. Wykorzystuje się je do zbadania istnienia połączenie

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 20

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Programowania potok funkcyjny

Wstęp do Programowania potok funkcyjny Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2010/2011 Outline 1 Podstawowe pojęcia Definition Graf = wierzchołki + krawędzie. Krawędzie muszą mieć różne końce. Między dwoma wierzchołkami może

Bardziej szczegółowo

Graf. Definicja marca / 1

Graf. Definicja marca / 1 Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych

Bardziej szczegółowo

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)

Bardziej szczegółowo

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Używane struktury danych: V - zbiór wierzchołków grafu, V = {1,2,3...,n} E - zbiór krawędzi grafu, E = {(i,j),...}, gdzie i, j Î V i istnieje

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.

Bardziej szczegółowo

Zofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1

Zofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1 Wykład Algorytmy grafowe metoda zachłanna. Właściwości algorytmu zachłannego:. W przeciwieństwie do metody programowania dynamicznego nie występuje etap dzielenia na mniejsze realizacje z wykorzystaniem

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Programowania potok funkcyjny

Wstęp do Programowania potok funkcyjny Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2010/2011 Outline 1 BFS DFS Algorytm Dijkstry Algorytm Floyda-Warshalla Podstawowe pojęcia Definition Graf = wierzchołki + krawędzie. Krawędzie muszą

Bardziej szczegółowo

Digraf o V wierzchołkach posiada V 2 krawędzi, zatem liczba różnych digrafów o V wierzchołkach wynosi 2 VxV

Digraf o V wierzchołkach posiada V 2 krawędzi, zatem liczba różnych digrafów o V wierzchołkach wynosi 2 VxV Graf skierowany (digraf) zbiór wierzchołków i zbiór krawędzi skierowanych łączących (co najwyżej jeden raz) uporządkowane pary wierzchołków. Mówimy wtedy, że krawędź łączy pierwszy wierzchołek z drugim

Bardziej szczegółowo

Wykład 7. Algorytmy grafowe

Wykład 7. Algorytmy grafowe Wykład Algorytmy grafowe Algorytmy grafowe i podstawowe algorytmy przeszukiwania Problem Definicje i własności Reprezentacja Przeszukiwanie wszerz (Breadthirst Search) Przeszukiwanie w głąb (Depthirst

Bardziej szczegółowo

7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie

7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie 7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. wteoria Krakowie) drzew - spinanie i przeszukiwanie

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Grafy, algorytmy grafowe

Wykład 10 Grafy, algorytmy grafowe . Typy złożoności obliczeniowej Wykład Grafy, algorytmy grafowe Typ złożoności oznaczenie n Jedna operacja trwa µs 5 logarytmiczna lgn. s. s.7 s liniowa n. s.5 s. s Logarytmicznoliniowa nlgn. s.8 s.4 s

Bardziej szczegółowo

Digraf. 13 maja 2017

Digraf. 13 maja 2017 Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,

Bardziej szczegółowo

Grafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz

Grafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz Grafy (3): drzewa Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków UTP Bydgoszcz 13 (Wykłady z matematyki dyskretnej) Grafy (3): drzewa 13 1 / 107 Drzewo Definicja. Drzewo to graf acykliczny

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa Matematyka dyskretna - 7.Drzewa W tym rozdziale zajmiemy się drzewami: specjalnym przypadkiem grafów. Są one szczególnie przydatne do przechowywania informacji, umożliwiającego szybki dostęp do nich. Definicja

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie wyjścia z labiryntu

Znajdowanie wyjścia z labiryntu Znajdowanie wyjścia z labiryntu Zadanie to wraz z problemem pakowania najcenniejszego plecaka należy do problemów optymalizacji, które dotyczą znajdowania najlepszego rozwiązania wśród wielu możliwych

Bardziej szczegółowo

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący

Bardziej szczegółowo

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) Wykład 8 Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) 1 Minimalne drzewo rozpinające - przegląd Definicja problemu Własności minimalnych drzew rozpinających Algorytm Kruskala Algorytm Prima Literatura Cormen,

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie problemów metodą przeszukiwania

Rozwiązywanie problemów metodą przeszukiwania Rozwiązywanie problemów metodą przeszukiwania Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej W4/K9 Politechnika Wrocławska Reprezentacja problemu w przestrzeni stanów Jedną z ważniejszych metod sztucznej

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe (AGR 320)

Algorytmy grafowe (AGR 320) Algorytmy grafowe (AGR 320) semestr letni 2004/2005 Michał Karoński Wydział Matematyki i Informatyki UAM Algorytmy grafowe (AGR 320) p. 1/9 1. Rodzaje grafów grafy proste multigrafy grafy skierowane (digrafy)

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/ kuszner/arir/ 2005/06

Bardziej szczegółowo

. Podstawy Programowania 2. Algorytmy dfs i bfs. Arkadiusz Chrobot. 2 czerwca 2019

. Podstawy Programowania 2. Algorytmy dfs i bfs. Arkadiusz Chrobot. 2 czerwca 2019 Podstawy Programowania Algorytmy dfs i bfs Arkadiusz Chrobot Zakład Informatyki czerwca 09 / 70 Plan Wstęp Algorytm BFS Podsumowanie / 70 Wstęp Wstęp Istnieje wiele algorytmów związanych z grafami, które

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych

Algorytmy i Struktury Danych Algorytmy i Struktury Danych Drzewa poszukiwań binarnych dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 12 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych

Bardziej szczegółowo

Algorytm DFS Wprowadzenie teoretyczne. Algorytm DFS Wprowadzenie teoretyczne. Algorytm DFS Animacja. Algorytm DFS Animacja. Notatki. Notatki.

Algorytm DFS Wprowadzenie teoretyczne. Algorytm DFS Wprowadzenie teoretyczne. Algorytm DFS Animacja. Algorytm DFS Animacja. Notatki. Notatki. Podstawy Programowania Algorytmy dfs i bfs Arkadiusz Chrobot Zakład Informatyki czerwca 09 / 70 Plan Wstęp Podsumowanie / 70 Wstęp Istnieje wiele algorytmów związanych z grafami, które w skrócie nazywane

Bardziej szczegółowo

Minimalne drzewa rozpinające

Minimalne drzewa rozpinające KNM UŚ 26-28 listopada 2010 Ostrzeżenie Wprowadzenie Motywacja Definicje Niektóre pojęcia pojawiające się podczas tego referatu są naszymi autorskimi tłumaczeniami z języka angielskiego. Nie udało nam

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew

EGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew 1. ( pkt) Dany jest algorytm, który dla dowolnej liczby naturalnej n, powinien wyznaczyd sumę kolejnych liczb naturalnych mniejszych od n. Wynik algorytmu jest zapisany w zmiennej suma. Algorytm i=1; suma=0;

Bardziej szczegółowo

Sprawozdanie do zadania numer 2

Sprawozdanie do zadania numer 2 Sprawozdanie do zadania numer 2 Michał Pawlik 29836 Temat: Badanie efektywności algorytmów grafowych w zależności od rozmiaru instancji oraz sposobu reprezentacji grafu w pamięci komputera 1 WSTĘP W ramach

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów II Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Graf planarny Graf planarny Graf, który może być narysowany tak, by uniknąć przecinania się krawędzi, nazywamy grafem

Bardziej szczegółowo

Programowanie obiektowe

Programowanie obiektowe Programowanie obiektowe Sieci powiązań Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2015 P. Daniluk (Wydział Fizyki) PO w. IX Jesień 2015 1 / 21 Sieci powiązań Można (bardzo zgrubnie) wyróżnić dwa rodzaje powiązań

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 1: Przeszukiwanie grafów cz. 1 strategie ślepe

ĆWICZENIE 1: Przeszukiwanie grafów cz. 1 strategie ślepe Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny, Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl METODY HEURYSTYCZNE ĆWICZENIE 1: Przeszukiwanie grafów cz. 1 strategie ślepe opracował:

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Grafowe. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. UJD. Wykład 1,2,3. Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie

Algorytmy Grafowe. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. UJD. Wykład 1,2,3. Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie Algorytmy Grafowe dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. UJD Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie b.wozna@ujd.edu.pl Wykład 1,2,3 B. Woźna-Szcześniak (UJD) Algorytmy

Bardziej szczegółowo

Programowanie obiektowe

Programowanie obiektowe Programowanie obiektowe Sieci powiązań Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2014 P. Daniluk (Wydział Fizyki) PO w. IX Jesień 2014 1 / 24 Sieci powiązań Można (bardzo zgrubnie) wyróżnić dwa rodzaje powiązań

Bardziej szczegółowo

Wykład 3. Złożoność i realizowalność algorytmów Elementarne struktury danych: stosy, kolejki, listy

Wykład 3. Złożoność i realizowalność algorytmów Elementarne struktury danych: stosy, kolejki, listy Wykład 3 Złożoność i realizowalność algorytmów Elementarne struktury danych: stosy, kolejki, listy Dynamiczne struktury danych Lista jest to liniowo uporządkowany zbiór elementów, z których dowolny element

Bardziej szczegółowo

Przypomnij sobie krótki wstęp do teorii grafów przedstawiony na początku semestru.

Przypomnij sobie krótki wstęp do teorii grafów przedstawiony na początku semestru. Spis treści 1 Drzewa 1.1 Drzewa binarne 1.1.1 Zadanie 1.1.2 Drzewo BST (Binary Search Tree) 1.1.2.1 Zadanie 1 1.1.2.2 Zadanie 2 1.1.2.3 Zadanie 3 1.1.2.4 Usuwanie węzła w drzewie BST 1.1.2.5 Zadanie 4

Bardziej szczegółowo

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa

Bardziej szczegółowo

Metody Programowania

Metody Programowania POLITECHNIKA KRAKOWSKA - WIEiK KATEDRA AUTOMATYKI i TECHNIK INFORMACYJNYCH Metody Programowania www.pk.edu.pl/~zk/mp_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew Kokosiński zk@pk.edu.pl Wykład 8: Wyszukiwanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i str ruktury danych. Metody algorytmiczne. Bartman Jacek

Algorytmy i str ruktury danych. Metody algorytmiczne. Bartman Jacek Algorytmy i str ruktury danych Metody algorytmiczne Bartman Jacek jbartman@univ.rzeszow.pl Metody algorytmiczne - wprowadzenia Znamy strukturę algorytmów Trudność tkwi natomiast w podaniu metod służących

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania

Wstęp do programowania Wstęp do programowania Stosy, kolejki, drzewa Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. VII Jesień 2013 1 / 25 Listy Lista jest uporządkowanym zbiorem elementów. W Pythonie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania. Zastosowania stosów i kolejek. Piotr Chrząstowski-Wachtel

Wstęp do programowania. Zastosowania stosów i kolejek. Piotr Chrząstowski-Wachtel Wstęp do programowania Zastosowania stosów i kolejek Piotr Chrząstowski-Wachtel FIFO - LIFO Kolejki i stosy służą do przechowywania wartości zbiorów dynamicznych, czyli takich, które powstają przez dodawanie

Bardziej szczegółowo

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem

Bardziej szczegółowo

prowadzący dr ADRIAN HORZYK /~horzyk e-mail: horzyk@agh tel.: 012-617 Konsultacje paw. D-13/325

prowadzący dr ADRIAN HORZYK /~horzyk e-mail: horzyk@agh tel.: 012-617 Konsultacje paw. D-13/325 PODSTAWY INFORMATYKI WYKŁAD 8. prowadzący dr ADRIAN HORZYK http://home home.agh.edu.pl/~ /~horzyk e-mail: horzyk@agh agh.edu.pl tel.: 012-617 617-4319 Konsultacje paw. D-13/325 DRZEWA Drzewa to rodzaj

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych

Algorytmy i Struktury Danych Algorytmy i Struktury Danych Drzewa poszukiwań binarnych dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak Jan Długosz University, Poland Wykład 8 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych Wykład 8 1 /

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Matematyki Dyskretnej

Wykłady z Matematyki Dyskretnej Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Grafy

Bardziej szczegółowo

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 8 2 Modele danych: grafy Podstawowe pojęcia Grafy wywołań Grafy skierowane i nieskierowane Grafy planarne,

Bardziej szczegółowo

Egzaminy i inne zadania. Semestr II.

Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Poniższe zadania są wyborem zadań ze Wstępu do Informatyki z egzaminów jakie przeprowadziłem w ciągu ostatnich lat. Ponadto dołączyłem szereg zadań, które pojawiały

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego

Bardziej szczegółowo

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 8 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 8 1 / 39 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Zielonogórski Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych

Uniwersytet Zielonogórski Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych ELEMENTY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI Laboratorium nr 9 PRZESZUKIWANIE GRAFÓW Z

Bardziej szczegółowo

Segmentacja obrazów cyfrowych z zastosowaniem teorii grafów - wstęp. autor: Łukasz Chlebda

Segmentacja obrazów cyfrowych z zastosowaniem teorii grafów - wstęp. autor: Łukasz Chlebda Segmentacja obrazów cyfrowych Segmentacja obrazów cyfrowych z zastosowaniem teorii grafów - wstęp autor: Łukasz Chlebda 1 Segmentacja obrazów cyfrowych - temat pracy Temat pracy: Aplikacja do segmentacji

Bardziej szczegółowo

Algorytmy z powracaniem

Algorytmy z powracaniem Algorytmy z powracaniem Materiały Grafem nazywamy zbiór G = (V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków (ang. vertex) E jest zbiorem krawędzi (E można też określić jako podzbiór zbioru nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Podstawy programowania 2. Temat: Drzewa binarne. Przygotował: mgr inż. Tomasz Michno

Podstawy programowania 2. Temat: Drzewa binarne. Przygotował: mgr inż. Tomasz Michno Instrukcja laboratoryjna 5 Podstawy programowania 2 Temat: Drzewa binarne Przygotował: mgr inż. Tomasz Michno 1 Wstęp teoretyczny Drzewa są jedną z częściej wykorzystywanych struktur danych. Reprezentują

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Grafowe. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. UJD. Wykład 5 i 6. Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie

Algorytmy Grafowe. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. UJD. Wykład 5 i 6. Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie Algorytmy Grafowe dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. UJD Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie b.wozna@ujd.edu.pl Wykład 5 i 6 B. Woźna-Szcześniak (UJD) Algorytmy

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych. Drzewa: BST, kopce. Letnie Warsztaty Matematyczno-Informatyczne

Algorytmy i struktury danych. Drzewa: BST, kopce. Letnie Warsztaty Matematyczno-Informatyczne Algorytmy i struktury danych Drzewa: BST, kopce Letnie Warsztaty Matematyczno-Informatyczne Drzewa: BST, kopce Definicja drzewa Drzewo (ang. tree) to nieskierowany, acykliczny, spójny graf. Drzewo może

Bardziej szczegółowo

Algorytmy równoległe. Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka 2010

Algorytmy równoległe. Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka 2010 Algorytmy równoległe Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka Znajdowanie maksimum w zbiorze n liczb węzły - maksimum liczb głębokość = 3 praca = 4++ = 7 (operacji) n - liczność

Bardziej szczegółowo

Wysokość drzewa Głębokość węzła

Wysokość drzewa Głębokość węzła Drzewa Drzewa Drzewo (ang. tree) zbiór węzłów powiązanych wskaźnikami, spójny i bez cykli. Drzewo posiada wyróżniony węzeł początkowy nazywany korzeniem (ang. root). Drzewo ukorzenione jest strukturą hierarchiczną.

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych

Algorytmy i Struktury Danych Algorytmy i Struktury Danych Kopce Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 11 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych Wykład 11 1 / 69 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Planowanie przedsięwzięć

Planowanie przedsięwzięć K.Pieńkosz Badania Operacyjne Planowanie przedsięwzięć 1 Planowanie przedsięwzięć Model przedsięwzięcia lista operacji relacje poprzedzania operacji modele operacji funkcja celu planowania K.Pieńkosz Badania

Bardziej szczegółowo

UNIWERSYTET GDAŃSKI MATERIAŁY DYDAKTYCZNE DO PRZEDMIOTU MATEMATYKA DYSKRETNA. pod redakcją: Hanna Furmańczyk Karol Horodecki Paweł Żyliński

UNIWERSYTET GDAŃSKI MATERIAŁY DYDAKTYCZNE DO PRZEDMIOTU MATEMATYKA DYSKRETNA. pod redakcją: Hanna Furmańczyk Karol Horodecki Paweł Żyliński UNIWERSYTET GDAŃSKI MATERIAŁY DYDAKTYCZNE DO PRZEDMIOTU MATEMATYKA DYSKRETNA pod redakcją: Hanna Furmańczyk Karol Horodecki Paweł Żyliński kierunek: Informatyka GDAŃSK 2019 Niniejsze materiały powstały

Bardziej szczegółowo

Heurystyczne metody przeszukiwania

Heurystyczne metody przeszukiwania Heurystyczne metody przeszukiwania Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej W4/K9 Politechnika Wrocławska Pojęcie heurystyki Metody heurystyczne są jednym z ważniejszych narzędzi sztucznej inteligencji.

Bardziej szczegółowo

Wykład X. Programowanie. dr inż. Janusz Słupik. Gliwice, Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej. c Copyright 2016 Janusz Słupik

Wykład X. Programowanie. dr inż. Janusz Słupik. Gliwice, Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej. c Copyright 2016 Janusz Słupik Wykład X Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej Gliwice, 2016 c Copyright 2016 Janusz Słupik Drzewa binarne Drzewa binarne Drzewo binarne - to drzewo (graf spójny bez cykli) z korzeniem (wyróżnionym

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych

Algorytmy i struktury danych POLITECHNIKA KRAKOWSKA - WIEiK KATEDRA AUTOMATYKI i TECHNIK INFORMACYJNYCH Algorytmy i struktury danych www.pk.edu.pl/~zk/aisd_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew Kokosiński zk@pk.edu.pl Wykład 5: Algorytmy

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO INFORMATYKI. Grafy i struktury grafowe

WSTĘP DO INFORMATYKI. Grafy i struktury grafowe Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej WTĘP DO INFORMATYKI Adrian Horzyk Grafy i struktury grafowe www.agh.edu.pl DEFINICJA GRAFU Graf to

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr : Grafy Berge a dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 6-83-95-0, p.5/00 Zakład Badań Operacyjnych i

Bardziej szczegółowo

Grafy i sieci w informatyce - opis przedmiotu

Grafy i sieci w informatyce - opis przedmiotu Grafy i sieci w informatyce - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Grafy i sieci w informatyce Kod przedmiotu 11.9-WI-INFD-GiSwI Wydział Kierunek Wydział Informatyki, Elektrotechniki i Automatyki

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Drzewa poszukiwań binarnych. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 10 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych.

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel

Wstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel Wstęp do programowania Drzewa Piotr Chrząstowski-Wachtel Drzewa Drzewa definiują matematycy, jako spójne nieskierowane grafy bez cykli. Równoważne określenia: Spójne grafy o n wierzchołkach i n-1 krawędziach

Bardziej szczegółowo

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki. SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką

Bardziej szczegółowo

Sztuczna Inteligencja i Systemy Doradcze

Sztuczna Inteligencja i Systemy Doradcze Sztuczna Inteligencja i Systemy Doradcze Przeszukiwanie przestrzeni stanów algorytmy ślepe Przeszukiwanie przestrzeni stanów algorytmy ślepe 1 Strategie slepe Strategie ślepe korzystają z informacji dostępnej

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa 2010-12-21 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu

Bardziej szczegółowo

Drzewa poszukiwań binarnych

Drzewa poszukiwań binarnych 1 Cel ćwiczenia Algorytmy i struktury danych Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet ielonogórski Drzewa poszukiwań binarnych Ćwiczenie

Bardziej szczegółowo

Grafy podstawowe pojęcia

Grafy podstawowe pojęcia 71 Grafy podstawowe pojęcia Graf jest najbardziej złożoną strukturą dynamiczną. W przeciwieństwie do drzewa i listy, które są szczególnymi przypadkami grafów, nie nakładamy tu żadnych ograniczeń, jeśli

Bardziej szczegółowo

Opracowanie prof. J. Domsta 1

Opracowanie prof. J. Domsta 1 Opracowanie prof. J. Domsta 1 Algorytm FLEURY'ego: Twierdzenie 6.5 G-graf eulerowski. Wtedy cykl Eulera otrzymujemy nastepująco: a) Start w dowolnym wierzchołku b) Krawędzie w dowolnej kolejności po przebyciu

Bardziej szczegółowo

Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania

Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany

Bardziej szczegółowo

Literatura. 1) Pojęcia: złożoność czasowa, rząd funkcji. Aby wyznaczyć pesymistyczną złożoność czasową algorytmu należy:

Literatura. 1) Pojęcia: złożoność czasowa, rząd funkcji. Aby wyznaczyć pesymistyczną złożoność czasową algorytmu należy: Temat: Powtórzenie wiadomości z PODSTAW INFORMATYKI I: Pojęcia: złożoność czasowa algorytmu, rząd funkcji kosztu. Algorytmy. Metody programistyczne. Struktury danych. Literatura. A. V. Aho, J.E. Hopcroft,

Bardziej szczegółowo

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa

Bardziej szczegółowo

PRZESZUKIWANIE W GŁĄB ALGORYTM PRZYKŁAD - C.D. PRZYKŁAD PRZESZUKIWANIE W GŁĄB (DFS) PROJEKTOWANIE ALGORYTMÓW I METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI

PRZESZUKIWANIE W GŁĄB ALGORYTM PRZYKŁAD - C.D. PRZYKŁAD PRZESZUKIWANIE W GŁĄB (DFS) PROJEKTOWANIE ALGORYTMÓW I METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI PROJKTOWNI LGORYTMÓW I MTOY SZTUZNJ INTLIGNJI GRY.. PRZSZUKIWNI W GŁĄ Wykład 1 dr inż. Łukasz Jeleń Na podstawie wykładów dr. T. evensa PRZSZUKIWNI W GŁĄ (S) LGORYTM S jest techniką trawersowania grafów

Bardziej szczegółowo

6. Wstępne pojęcia teorii grafów

6. Wstępne pojęcia teorii grafów 6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład Informatyka Studia InŜynierskie Przeszukiwanie przestrzeni stanów Przestrzeń stanów jest to czwórka uporządkowana [N,, S, GD], gdzie: N jest zbiorem wierzchołków

Bardziej szczegółowo

dr inż. Paweł Myszkowski Wykład nr 11 ( )

dr inż. Paweł Myszkowski Wykład nr 11 ( ) dr inż. Paweł Myszkowski Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Elektronika i Telekomunikacja, semestr II, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 2015/2016 Wykład nr 11 (11.05.2016) Plan prezentacji:

Bardziej szczegółowo