Kognitywistyka: tworzenie pojęć i rozumowanie Inferencyjna Logika Pytań: pytania i rozumowania erotetyczne*

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Kognitywistyka: tworzenie pojęć i rozumowanie Inferencyjna Logika Pytań: pytania i rozumowania erotetyczne*"

Transkrypt

1 Kognitywistyka: tworzenie pojęć i rozumowanie Inferencyjna Logika Pytań: pytania i rozumowania erotetyczne* Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM * er tema (gr.) pytanie

2 Historia kryminalna D 1 Do bankomatu włamał się Jan lub Piotr. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 2 / 25

3 Historia kryminalna D 1 Do bankomatu włamał się Jan lub Piotr. Q 1 Czy Jan włamał się do bankomatu? kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 2 / 25

4 Historia kryminalna D 1 Do bankomatu włamał się Jan lub Piotr. Q 1 Czy Jan włamał się do bankomatu? D 2 Jan włamał się do bankomatu wtw gdy poszedł na zakupy. D 3 Jan poszedł na zakupy wtw gdy widziano go w centrum handlowym. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 2 / 25

5 Historia kryminalna D 1 Do bankomatu włamał się Jan lub Piotr. Q 1 Czy Jan włamał się do bankomatu? D 2 Jan włamał się do bankomatu wtw gdy poszedł na zakupy. D 3 Jan poszedł na zakupy wtw gdy widziano go w centrum handlowym. Q 2 Czy Jana widziano w centrum handlowym? kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 2 / 25

6 Plan Dzisiejsza opowieść bazuje na pracach Andrzeja Wiśniewskiego [1; 4 8]. 1 Pytania 2 Odpowiedzi 3 Inferencyjna Logika Pytań składnia semantyka związki inferencyjne kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 3 / 25

7 Czym są pytania? 1 Skrajny redukcjonizm: pytania nie są odrębnymi bytami językowymi, są identyfikowane np. ze zbiorami odpowiedzi, z funkcjami określonymi w zbiorach światów możliwych itd. (przy czym odróżnia się interrogatywy konstrukcje językowe, wyrażające pytania od pytań samych). 2 Umiarkowany redukcjonizm: każde pytanie może zostać trafnie sparafrazawane za pomocą wyrażeń innego rodzaju (funkcji zdaniowych, imperatywów itd.). 3 Antyredukcjonizm: pytania nie są redukowalne do wyrażeń innego rodzaju. Q: W których z tych trzech podejść logikę pytań traktuje się poważnie? kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 4 / 25

8 Czym są pytania? 1 Skrajny redukcjonizm: pytania nie są odrębnymi bytami językowymi, są identyfikowane np. ze zbiorami odpowiedzi, z funkcjami określonymi w zbiorach światów możliwych itd. (przy czym odróżnia się interrogatywy konstrukcje językowe, wyrażające pytania od pytań samych). 2 Umiarkowany redukcjonizm: każde pytanie może zostać trafnie sparafrazawane za pomocą wyrażeń innego rodzaju (funkcji zdaniowych, imperatywów itd.). 3 Antyredukcjonizm: pytania nie są redukowalne do wyrażeń innego rodzaju. Q: W których z tych trzech podejść logikę pytań traktuje się poważnie? A: W każdym, ale w każdym ma ona trochę inny status (czym innym jest logika pytań, czym innym logiczna teoria pytań). kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 4 / 25

9 Odpowiedzi ( ) Ile jest 2 2? (a) Ależ pada dzisiaj! (b) No na pewno nie 5. (c) 7. (d) 4. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 5 / 25

10 Odpowiedzi ( ) Ile jest 2 2? (a) Ależ pada dzisiaj! (b) No na pewno nie 5. (c) 7. (d) 4. Morał: czym innym jest odpowiedź na pytanie, czym innym odpowiedź bezpośrednia a jeszcze czym innym odpowiedź prawdziwa. Odpowiedź bezpośrednia na pytanie Q to odpowiedź, która dostarcza dokładnie tyle informacji, ile w pytaniu Q jest wymagane. W powyższym przykładzie odpowiedziami bezpośrednimi na ( ) są więc (c) i (d). kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 5 / 25

11 Odpowiedzi Inferencyjna Logika Pytań (ILP) 1 Odpowiedzi bezpośrednie są zdaniami (nie zawierają zmiennych wolnych). 2 Każde pytanie ma co najmniej dwie odpowiedzi bezpośrednie. 3 Każdy skończony i co najmniej dwuelementowy zbiór zdań jest zbiorem odpowiedzi bezpośrednich na pewne pytanie.* *Ze zbiorami nieskończonymi już nie jest tak prosto. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 6 / 25

12 Prosta charakterystyka logicznej struktury rozumowania: składnia; semantyka; konsekwencja logiczna / wynikanie logiczne / wyprowadzalność. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 7 / 25

13 Język Pytania (pewnego sformalizowanego języka J ) będziemy składać z: operatora? takiego wyrażenia (przedmiotowego!) języka J, że równokształtne z nim wyrażenie metajęzyka charakteryzuje zbiór odpowiedzi bezpośrednich na rozważane pytanie. Zajmiemy się tylko pytaniami, ktorych zbiory odpowiedzi bezpośrednich są skończone (pytaniami pierwszego rodzaju wedle [4]). kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 8 / 25

14 Język, c.d. Niech J będzie pewnym językiem sformalizowanym (rozważać będziemy język KRZ). Niech J będzie językiem powstałym z J przez wzbogacenie go o trzy symbole:?, {, }. Formułami deklaratywnymi (d-formułami) języka J są wszystkie i tylko formuły języka J. Formułami erotetycznymi (e-formułami) albo pytaniami języka J są wszystkie i tylko wyrażenia postaci:?{a 1,..., A n } gdzie: n 2 A 1,..., A n są różnymi d-formułami języka J. Zbiór formuł deklaratywnych języka J oznaczać będziemy sybolem D J, zbiór jego formuł erotetycznych symbolem E J. Zbiór odpowiedzi bezpośrednich na pytanie Q oznaczać będziemy symbolem dq. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 9 / 25

15 ILP a pytania języka naturalnego Pytania języka J nie są formalizacjami pytań języka naturalnego w takim sensie, w jakim formuły np. języka KRZ są formalizacjami zdań języka naturalnego (już choćby dlatego, że w przypadku niektórych pytań języka naturalnego decyzja co uznać za odpowiedzi bezpośrednie mocno zależy od kontekstu albo wręcz w ogóle trudno mówić o zbiorach odpowiedzi bezpośrednich dotyczy to np. pytań typu jak i dlaczego). Yet, we can still claim that questions of a formalized language in which the question-answer relationship is defined syntactically represent questions of a natural language. The relation of representation we have in mind can be characterized as follows: a question Q of a formalized language represents a question Q of a natural language construed in such a way that the possible and just-sufficient answers to Q have the logical form of direct answers to Q. If a natural-language question has many readings, it has many representations. The richer the underlying formalized language, the more we can represent within it [5]. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 10 / 25

16 ILP a pytania języka naturalnego, c.d. Jan poszedł do baru, do kina, czy został w domu? kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 11 / 25

17 ILP a pytania języka naturalnego, c.d. Jan poszedł do baru, do kina, czy został w domu??{p, q, r} kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 11 / 25

18 ILP a pytania języka naturalnego, c.d. Jan poszedł do baru, do kina, czy został w domu??{p, q, r} Czy Jaś kocha Małgosię? kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 11 / 25

19 ILP a pytania języka naturalnego, c.d. Jan poszedł do baru, do kina, czy został w domu??{p, q, r} Czy Jaś kocha Małgosię??{p, p} kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 11 / 25

20 ILP a pytania języka naturalnego, c.d. Jan poszedł do baru, do kina, czy został w domu??{p, q, r} Czy Jaś kocha Małgosię??{p, p} Czy Jaś kocha Małgosię i Zosię? kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 11 / 25

21 ILP a pytania języka naturalnego, c.d. Jan poszedł do baru, do kina, czy został w domu??{p, q, r} Czy Jaś kocha Małgosię??{p, p} Czy Jaś kocha Małgosię i Zosię??{p q, (p q)} kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 11 / 25

22 ILP a pytania języka naturalnego, c.d. Jan poszedł do baru, do kina, czy został w domu??{p, q, r} Czy Jaś kocha Małgosię??{p, p} Czy Jaś kocha Małgosię i Zosię??{p q, (p q)} Czy Jaś kocha Małgosię i czy Jaś kocha Zosię? kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 11 / 25

23 ILP a pytania języka naturalnego, c.d. Jan poszedł do baru, do kina, czy został w domu??{p, q, r} Czy Jaś kocha Małgosię??{p, p} Czy Jaś kocha Małgosię i Zosię??{p q, (p q)} Czy Jaś kocha Małgosię i czy Jaś kocha Zosię??{p q, p q, p q, p q} kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 11 / 25

24 Żeby było oszczędniej Proste pytania rozstrzygnięcia (Czy A?), na które odpowiedziami bezpośrednimi są zdania postaci A oraz nieprawda że A, reprezentować będziemy wyrażeniem?a. Binarne pytania koniunkcyjne (Czy A i czy B?), na które odpowiedziami bezpośrednimi są zdania A i B, A i nie B, nie A i B, nie A i nie B, reprezentować będziemy wyrażeniem? ± A, B.* * Ogólniej: pytania koniunkcyjne postaci Czy A 1 i czy A 2 i... i czy A n? reprezentować będziemy wyrażeniem? ± A 1, A 2..., A n. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 12 / 25

25 Semantyka? Przypisywanie pytaniom wartości logicznych jest ryzykowne. Nie zmienia to faktu, że z prawdziwościowego punktu widzenia pytania różnią się między sobą; porównajmy: 1 Czy obecny król Francji jest łysy? 2 Czy Warszawa jest stolicą Polski? kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 13 / 25

26 Semantyka? Przypisywanie pytaniom wartości logicznych jest ryzykowne. Nie zmienia to faktu, że z prawdziwościowego punktu widzenia pytania różnią się między sobą; porównajmy: 1 Czy obecny król Francji jest łysy? 2 Czy Warszawa jest stolicą Polski? Pytanie trafne to takie, na które istnieje prawdziwa odpowiedź bezpośrednia. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 13 / 25

27 Semantyka skromna, ale zawsze Załóżmy, że dysponujemy pojęciem prawdy zdefiniowanym dla d-formuł języka J (co nie jest szczególnie wymagającym założeniem). Jest oczywiste, że D J E J =. Partycją języka J nazywamy dwuelementową uporządkowaną partycję zbioru D J, czyli parę uporządkowaną < T, U >, taką że T i U są niepustymi i rozłącznymi podzbiorami zbioru D J, takimi że T U = D J. Partycją standardową języka J nazywamy taką jego partycję, że, ujmując rzecz intuicyjnie, T jest zbiorem prawdziwych a U jest zbiorem nieprawdziwych d-formuł języka J z uwagi na założoną semantykę (np. jeśli deklaratywną częścią języka J jest język KRZ, to partycję < T, U > nazywamy standardową wtw istnieje takie wartościowanie v, że dla każdej formuły A T : v(a) = 1). Pytanie Q jest trafne z uwagi na partycję < T, U > wtw dq T. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 14 / 25

28 Wynikanie, wynikanie wielownioskowe Ze zbioru X d-formuł wynika d-formuła A (X = A) wtw dla każdej partycji standardowej < T, U > spełniony jest warunek: jeśli X T, to A T. Ze zbioru X d-formuł wynika wielownioskowo zbiór d-formuł Y (X = Y ) wtw dla każdej partycji standardowej < T, U > spełniony jest warunek: jeśli X T, to Y T. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 15 / 25

29 Wynikanie, wynikanie wielownioskowe Ze zbioru X d-formuł wynika d-formuła A (X = A) wtw dla każdej partycji standardowej < T, U > spełniony jest warunek: jeśli X T, to A T. Ze zbioru X d-formuł wynika wielownioskowo zbiór d-formuł Y (X = Y ) wtw dla każdej partycji standardowej < T, U > spełniony jest warunek: jeśli X T, to Y T. X = A wtw X = {A} X = {A 1,..., A n } wtw X = A 1... A n kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 15 / 25

30 Wynikanie, wynikanie wielownioskowe Ze zbioru X d-formuł wynika d-formuła A (X = A) wtw dla każdej partycji standardowej < T, U > spełniony jest warunek: jeśli X T, to A T. Ze zbioru X d-formuł wynika wielownioskowo zbiór d-formuł Y (X = Y ) wtw dla każdej partycji standardowej < T, U > spełniony jest warunek: jeśli X T, to Y T. X = A wtw X = {A} X = {A 1,..., A n } wtw X = A 1... A n {p q} = {p, q} {p q} non = p {p q} non = q kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 15 / 25

31 Związki inferencyjne: ewokowanie 1 Jan kocha Małgorzatę i kocha Zofię. Czy Jan kocha Małgorzatę? 2 Jan kocha Małgorzatę lub kocha Zofię. Czy Jan kocha Małgorzatę? kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 16 / 25

32 Związki inferencyjne: ewokowanie 1 Jan kocha Małgorzatę i kocha Zofię. Czy Jan kocha Małgorzatę? % 2 Jan kocha Małgorzatę lub kocha Zofię. Czy Jan kocha Małgorzatę? " Kryteria: Jeśli wszystkie przesłanki deklaratywne są prawdziwe, pytanie będące wnioskiem musi być trafne. Żadna z odpowiedzi bezpośrednich na będące wnioskiem pytanie nie wynika z przesłanek deklaratywnych. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 16 / 25

33 Ewokowanie Zbiór d-formuł X = {A 1,..., A n,...} ewokuje pytanie Q (symbolicznie: A 1,... A n,... E Q 1 ) wtw 1 X = dq oraz 2 dla każdego A dq: X non = {A} kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 17 / 25

34 Ewokowanie Zbiór d-formuł X = {A 1,..., A n,...} ewokuje pytanie Q (symbolicznie: A 1,... A n,... E Q 1 ) wtw 1 X = dq oraz 2 dla każdego A dq: X non = {A} 1 A A E?A 2 A B E?A 3 A B E?{A, B} 4 A B E?{A B, A B, A B} 5 A B E?A 6 A B E?B kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 17 / 25

35 X E Q jak to działa? Odpowiednik znaku Zorro (P =< T, U > jest dowolną ale ustaloną partycją standardową rozważanego języka): X X T X T Q trafne w P trafne w P lub nietrafne w P Q trafne w P nietrafne w P X X T lub X T X T kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 18 / 25

36 Związki inferencyjne: implikowanie 1 Czy Jan wyjechał do Paryża, czy do Lyonu? Czy Jan wyjechał do Francji? 2 Czy Jan wyjechał do Paryża i czy zabrał swój ulubiony beret? Czy Jan wyjechał do Paryża? 3 Czy Jan kocha Małgorzatę lub Zofię? Jan nie kocha Zofii. Czy Jan kocha Małgorzatę? kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 19 / 25

37 Związki inferencyjne: implikowanie 1 Czy Jan wyjechał do Paryża, czy do Lyonu? Czy Jan wyjechał do Francji? % 2 Czy Jan wyjechał do Paryża i czy zabrał swój ulubiony beret? Czy Jan wyjechał do Paryża? " 3 Czy Jan kocha Małgorzatę lub Zofię? Jan nie kocha Zofii. Czy Jan kocha Małgorzatę? " Kryteria: Jeśli wyjściowe pytanie jest trafne i wszystkie przesłanki deklaratywne są prawdziwe, to pytanie będące wnioskiem musi być trafne. Każda z odpowiedzi bezpośrednich na pytanie będące wnioskiem ogranicza (w oparciu o zbiór przesłanek deklaratywnych) zbiór możliwych prawdziwych odpowiedzi bezpośrednich na pytanie wyjściowe. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 19 / 25

38 Implikowanie Pytanie Q implikuje pytanie Q 1 w oparciu o zbiór d-formuł X = {A 1,..., A n,...} (symbolicznie: Q, A 1,... A n,... Im Q 1 )wtw 1 dla każdego A dq: X {A} = dq 1 oraz 2 dla każdego B dq 1 istnieje niepusty podzbiór właściwy Y zbioru dq, taki że X {B} = Y Jeśli X =, piszemy: Q Im Q 1. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 20 / 25

39 Implikowanie przykłady 1?A Im? A 2?(A#B) Im? ± A, B (gdzie # jest dowolnym z,,, ) 3? ± A, B Im?A 4? ± A, B Im?B 5?{ A, A B, A B} Im?A 6?{A 1,..., A n }, A 1... A n Im?A i (gdzie 1 i n) 7?{A 1,..., A n }, A 1 B 1... A n B 1 Im?{B 1,..., B n } 8?{A 1,..., A n }, B A 1... A i, C A i+1... A n, B C Im?{B, C} kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 21 / 25

40 Q, X Im Q 1 jak to działa? Odpowiednik znaku Zorro, ale już nie tak dosłowny (P =< T, U > jest dowolną ale ustaloną partycją standardową rozważanego języka): Q X Q 1 trafne w P X T trafne w P nietrafne w P X T nietrafne w P trafne w P X T trafne w P lub nietrafne w P nietrafne w P X T trafne w P lub nietrafne w P Q 1 X Q trafne w P X T trafne w P nietrafne w P X T nietrafne w P trafne w P X T trafne w P lub nietrafne w P nietrafne w P X T trafne w P lub nietrafne w P kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 22 / 25

41 Implikowanie nieprzechodniość?(a B) Im? ± A, B? ± A, B Im?A ale:?(a B) Im?A kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 23 / 25

42 Implikowanie falsyfikacyjne [2] Pytanie Q implikuje falsyfikacyjnie pytanie Q 1 w oparciu o zbiór d-formuł X = {A 1,..., A n,...} (symbolicznie: Q, A 1,... A n,... Imf Q 1 )wtw 1 dla każdego A dq: X {A} = dq 1 oraz 2 istnieje takie B dq 1, że dla pewnego niepustego podzbioru właściwego Y = {C 1,..., C n } zbioru dq zachodzi: X {B} = { C 1,..., C n } kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 24 / 25

43 Źródła [1] [2] Grobler, A. [2006]. Metodologia nauk. Wyd. Aureus, Wyd. Znak, Kraków. [3] Kuipers, T. A. F., Wiśniewski, A. [1994]. An Erotetic Approach to Explanation by Specification. Erkenntnis, 3(40): [4] Wiśniewski, A. [1995]. The Posing of Questions: Logical Foundations of Erotetic Inferences. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Boston London. [5] Wiśniewski, A. [2001]. Questions and Inferences. Logique et Analyse, :5 43. [6] Wiśniewski, A. [2003]. Erotetic search scenarios. Synthese, 134(3): [7] Wiśniewski, A. [2004]. Erotetic search scenarios, problem-solving, and deduction. Logique et Analyse, : [8] Wiśniewski, A., Pogonowski, J. [w druku]. Interrogatives, Recursion, and Incompleteness. Journal of Logic and Computation. kognitywistyka, rok V (IP UAM) K:TPiR 25 / 25

Wprowadzenie do logiki Pytania i odpowiedzi. Wnioskowania erotetyczne*

Wprowadzenie do logiki Pytania i odpowiedzi. Wnioskowania erotetyczne* Wprowadzenie do logiki Pytania i odpowiedzi. Wnioskowania erotetyczne* Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl * erotema (gr.) pytanie Na początek Pytamy, gdy dążymy do zdobycia

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki Klasyczny Rachunek Zdań część 3

Wprowadzenie do logiki Klasyczny Rachunek Zdań część 3 Wprowadzenie do logiki Klasyczny Rachunek Zdań część 3 Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan gry: 1 Czym są zdania? 2 Język Klasycznego Rachunku Zdań syntaktyka 3 Język

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę

Bardziej szczegółowo

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć

Bardziej szczegółowo

Paradoks wszechwiedzy logicznej (logical omniscience paradox) i wybrane metody jego unikania

Paradoks wszechwiedzy logicznej (logical omniscience paradox) i wybrane metody jego unikania Logika w zastosowaniach kognitywistycznych Paradoks wszechwiedzy logicznej (logical omniscience paradox) i wybrane metody jego unikania (notatki do wykładów) Andrzej Wiśniewski Andrzej.Wisniewski@amu.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan na pytanie o odniesienie przedmiotowe zdań odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań 1 Struktury modelowe Przedstawimy teraz pewien

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań

Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań 1 Skróty: Język Klasycznego Rachunku Zdań zamiast Klasyczny Rachunek Zdań piszę

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 29 III 2 Plan wykładu: Wartościowanie w KRZ Tautologie KRZ Wartościowanie v, to funkcja, która posyła zbiór

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (1)

Logika Matematyczna (1) Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 4 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) 4 X 2007 1 / 18 Plan konwersatorium Dzisiaj:

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga

Bardziej szczegółowo

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego. Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były

Bardziej szczegółowo

Semantyka rachunku predykatów

Semantyka rachunku predykatów Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza 1 Wprowadzenie W logice trójwartościowej, obok tradycyjnych wartości logicznych,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości

Bardziej szczegółowo

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych

Bardziej szczegółowo

Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do

Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do testu z filozofii jest zaliczenie testu z logiki i zaliczenie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki epistemicznej. Przekonania i wiedza

Wprowadzenie do logiki epistemicznej. Przekonania i wiedza Logika w zastosowaniach kognitywistycznych Wprowadzenie do logiki epistemicznej. Przekonania i wiedza (notatki do wykładów) Andrzej Wiśniewski Andrzej.Wisniewski@amu.edu.pl wersja beta 1.1 (na podstawie:

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner.

Adam Meissner. Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (1)

Logika Matematyczna (1) Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) Wprowadzenie 1 / 20 Plan konwersatorium

Bardziej szczegółowo

Internet Semantyczny i Logika I

Internet Semantyczny i Logika I Internet Semantyczny i Logika I Warstwy Internetu Semantycznego Dowód Zaufanie Logika OWL, Ontologie Podpis cyfrowy RDF, schematy RDF XML, schematy XML przestrzenie nazw URI Po co nam logika? Potrzebujemy

Bardziej szczegółowo

Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.

Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa. Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 2 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 3 Logiczna

Bardziej szczegółowo

METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ

METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą

Bardziej szczegółowo

Kognitywistyka: tworzenie pojęć i rozumowanie Studium przypadku: rozumowania abdukcyjne

Kognitywistyka: tworzenie pojęć i rozumowanie Studium przypadku: rozumowania abdukcyjne Kognitywistyka: tworzenie pojęć i rozumowanie Studium przypadku: rozumowania abdukcyjne Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Wiatr i okno Pewnego dnia w wietrzne, jesienne

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią. Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki O czym to będzie?

Wprowadzenie do logiki O czym to będzie? Wprowadzenie do logiki O czym to będzie? Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Dwa fundamentalne pytania: Czym zajmuje się logika? Czym my się zajmować będziemy? I póki co

Bardziej szczegółowo

Logika dla socjologów

Logika dla socjologów Logika dla socjologów Część 6: Modele rozumowań. Pojęcie wynikania Rafał Gruszczyński Katedra Logiki Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011/2012 Spis treści 1 Modele rozumowań 2 Wynikanie 3 Rozumowania poprawne

Bardziej szczegółowo

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości

Bardziej szczegółowo

Kognitywistyka: tworzenie pojęć i rozumowanie Inferencyjna Logika Pytań: scenariusze erotetyczne*

Kognitywistyka: tworzenie pojęć i rozumowanie Inferencyjna Logika Pytań: scenariusze erotetyczne* Kognitywistyka: tworzenie pojęć i rozumowanie Inferencyjna Logika Pytań: scenariusze erotetyczne* Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl * er tema (gr.) pytanie Skąd to? Dzisiejsza

Bardziej szczegółowo

Klasyczny rachunek predykatów

Klasyczny rachunek predykatów Kultura logiczna Klasyczny rachunek predykatów Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka Alfabet klasycznego rachunku predykatów (KRP Do alfabetu

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007 Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne, 2007 I Rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Podajemy rozwiązania zadań egzaminacyjnych.

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Metoda tabel analitycznych dla Klasycznego Rachunku Zdań

Wykład 5. Metoda tabel analitycznych dla Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Metoda tabel analitycznych dla Klasycznego Rachunku Zdań 1 Wprowadzenie Na tym wykładzie przyjmuję terminologię i

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. I Wprowadzenie do Klasycznego Rachunku Zdań

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. I Wprowadzenie do Klasycznego Rachunku Zdań Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. I Wprowadzenie do Klasycznego Rachunku Zdań Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan gry: 1 Czym są zdania? Co znaczą i co oznaczają?

Bardziej szczegółowo

Schematy Piramid Logicznych

Schematy Piramid Logicznych Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:

Bardziej szczegółowo

Imię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY

Imię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY Egzamin: Logika Matematyczna, I rok JiNoI, 30 czerwca 2014 Imię i nazwisko:........................................... OBROŃCY PRAWDY Wybierz dokładnie cztery z poniższych pięciu zadań i spróbuj je rozwiazać.

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Rachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak RACHUNEK ZDAŃ Zdania Definicja Zdanie jest to stwierdzenie w języku naturalnym, któremu można przypisać wartość prawdy lub

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku

Bardziej szczegółowo

Filozofia z elementami logiki Język jako system znaków słownych część 2

Filozofia z elementami logiki Język jako system znaków słownych część 2 Filozofia z elementami logiki Język jako system znaków słownych część 2 Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Rozkład jazdy 1 Pojęcie znaku 2 Funkcje wypowiedzi językowych

Bardziej szczegółowo

Klasyczny rachunek zdań 1/2

Klasyczny rachunek zdań 1/2 Klasyczny rachunek zdań /2 Elementy logiki i metodologii nauk spotkanie VI Bartosz Gostkowski Poznań, 7 XI 9 Plan wykładu: Zdanie w sensie logicznym Klasyczny rachunek zdań reguły słownikowe reguły składniowe

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (2,3)

Logika Matematyczna (2,3) Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne

Logika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne Logika i teoria mnogości Wykład 14 1 Sformalizowane teorie matematyczne W początkowym okresie rozwoju teoria mnogości budowana była w oparciu na intuicyjnym pojęciu zbioru. Operowano swobodnie pojęciem

Bardziej szczegółowo

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (10)

Logika Matematyczna (10) Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan

Bardziej szczegółowo

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 1/2

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 1/2 Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań /2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 22 III 2 Plan wykładu: Zdanie w sensie logicznym Klasyczny rachunek zdań reguły słownikowe reguły składniowe

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 12 i 13. Metoda tabel analitycznych dla normalnych modalnych rachunków zdań

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 12 i 13. Metoda tabel analitycznych dla normalnych modalnych rachunków zdań Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Metoda tabel analitycznych dla normalnych modalnych rachunków zdań 1 Wprowadzenie Podobnie jak w przypadku

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki Język jako system znaków słownych

Wprowadzenie do logiki Język jako system znaków słownych Wprowadzenie do logiki Język jako system znaków słownych Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl język system znaków słownych skoro system, to musi być w tym jakiś porządek;

Bardziej szczegółowo

Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut

Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut Predykat Weźmy pod uwagę następujące wypowiedzi: (1) Afryka jest kontynentem. (2) 7 jest liczbą naturalną. (3) Europa jest mniejsza niż Afryka. (4) 153 jest podzielne przez 3. Są to zdania jednostkowe,

Bardziej szczegółowo

Logika intuicjonistyczna semantyka Kripke go

Logika intuicjonistyczna semantyka Kripke go Logika intuicjonistyczna semantyka Kripke go Definicja 1 Strukturą częściowo uporządkowaną (ang. partially ordered set, w skrócie poset) nazywamy układ (W, ), gdzie W to dowolny zbiór niepusty, zaś jest

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność 1 Modele Jak zwykle zakładam, że pojęcia wprowadzone

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Semiotyka cd.

Wstęp do logiki. Semiotyka cd. Wstęp do logiki Semiotyka cd. Semiotyka: język Ujęcia języka proponowane przez językoznawców i logików różnią się istotnie w wielu punktach. Z punktu widzenia logiki każdy język można scharakteryzować

Bardziej szczegółowo

Logika Temporalna i Automaty Czasowe

Logika Temporalna i Automaty Czasowe Modelowanie i Analiza Systemów Informatycznych Logika Temporalna i Automaty Czasowe (3) Logika CTL Paweł Głuchowski, Politechnika Wrocławska wersja 2.2 Treść wykładu Charakterystyka logiki CTL Czas w Computation

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna 16 17

Logika Matematyczna 16 17 Logika Matematyczna 16 17 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Semantyka KRP (3) Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 16 17 Semantyka KRP (3) 1 / 24

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 8. Modalności i intensjonalność

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 8. Modalności i intensjonalność Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 8. Modalności i intensjonalność 1 Coś na kształt ostrzeżenia Ta prezentacja jest nieco odmienna od poprzednich. To,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań III Przypomnijmy: Logika: = Teoria form (schematów, reguł) poprawnych wnioskowań. Wnioskowaniem nazywamy jakąkolwiek skończoną co najmniej dwuwyrazową sekwencję

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

Logika dla archeologów Część 5: Zaprzeczenie i negacja

Logika dla archeologów Część 5: Zaprzeczenie i negacja Logika dla archeologów Część 5: Zaprzeczenie i negacja Rafał Gruszczyński Katedra Logiki Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011/2012 Spis treści 1 Zaprzeczenie 2 Negacja 3 Negacja w logice Sprzeczne grupy

Bardziej szczegółowo

Kognitywistyka: tworzenie pojęć i rozumowanie Rozumowanie

Kognitywistyka: tworzenie pojęć i rozumowanie Rozumowanie Kognitywistyka: tworzenie pojęć i rozumowanie Rozumowanie Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE na teraz i zawsze Niniejszy plik nie zawiera wykładu z K:TPiR w

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki Klasyfikacja wnioskowań, cz. I

Wprowadzenie do logiki Klasyfikacja wnioskowań, cz. I Wprowadzenie do logiki Klasyfikacja wnioskowań, cz. I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan: definicja pojęcia wnioskowania wypowiedzi inferencyjne i wypowiedzi argumentacyjne

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące

Bardziej szczegółowo

Filozofia z elementami logiki O czym to będzie?

Filozofia z elementami logiki O czym to będzie? Filozofia z elementami logiki O czym to będzie? Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Filozofia z elementami logiki Dwa fundamentalne pytania: Czym zajmuje się logika? Czym

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca Imię i Nazwisko:...

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca Imię i Nazwisko:... JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca 2015 Imię i Nazwisko:............................................................... DZIARSKIE SKRZATY Wybierz

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki Wyrażenia jako ciągi słów. Automaty skończone

Wprowadzenie do logiki Wyrażenia jako ciągi słów. Automaty skończone Wprowadzenie do logiki Wyrażenia jako ciągi słów. Automaty skończone Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Dzisiejsza opowieść pochodzi z Wykładów z logiki Marka Tokarza. kognitywistyka,

Bardziej szczegółowo

Metoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.

Metoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa. Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Na początek: teoria dowodu, Hilbert, Gödel

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Na początek: teoria dowodu, Hilbert, Gödel Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Na początek: teoria dowodu, Hilbert, Gödel Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera

Bardziej szczegółowo

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie 3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa

Bardziej szczegółowo

Kultura logicznego myślenia

Kultura logicznego myślenia Kultura logicznego myślenia rok akademicki 2015/2016 semestr zimowy Temat 6: Rachunek predykatów jako logika pierwszego rzędu logika elementarna = logika pierwszego rzędu KRZ logika zerowego rzędu Język

Bardziej szczegółowo

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH 5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.

Bardziej szczegółowo

Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty

Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty Rachunek predykatów Wykład 4 Plan wykładu Relacje i predykaty Formuły rachunku predykatów Interpretacje Logiczna równoważność Metoda tabel Modele skończone i nieskończone Rozstrzygalność Relacje i predykaty

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań 1 Istnieje wiele systemów aksjomatycznych Klasycznego Rachunku

Bardziej szczegółowo

Wyuczalność w teorii modeli

Wyuczalność w teorii modeli Wyuczalność w teorii modeli Nina Gierasimczuk Instytut Filozofii UW & Institute for Logic, Language, and Computation UvA Forum Kognitywistyczne 26 IV 2008 Nina Gierasimczuk (IF UW, ILLC UvA) Wyuczalność

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 1 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW

Logika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW Logika Stosowana Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika

Bardziej szczegółowo

Metoda Tablic Semantycznych

Metoda Tablic Semantycznych Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki i teorii mnogości Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy

Bardziej szczegółowo

DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:

DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem: DODATEK 1: DOWODY NIEKTÓRYCH TWIERDZEŃ DOTYCZACYCH SEMANTYKI KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2.2. TWIERDZENIE O DEDUKCJI WPROST (wersja semantyczna). Dla dowolnych X F KRZ, α F KRZ, β F KRZ zachodzą następujące

Bardziej szczegółowo

WSTĘP ZAGADNIENIA WSTĘPNE

WSTĘP ZAGADNIENIA WSTĘPNE 27.09.2012 WSTĘP Logos (gr.) słowo, myśl ZAGADNIENIA WSTĘPNE Logika bada proces myślenia; jest to nauka o formach poprawnego myślenia a zarazem o języku (nie mylić z teorią komunikacji czy językoznawstwem).

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Predykatów I KRZ jest teorią stanowiącą wstępną część logiki formalnej, część zakładaną przez inne teorie. Przypomnijmy, jest on teorią związków logicznych między zdaniami

Bardziej szczegółowo

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j

Bardziej szczegółowo

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ). 6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j

Bardziej szczegółowo

Drzewa Semantyczne w KRZ

Drzewa Semantyczne w KRZ Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00

Bardziej szczegółowo

Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.

Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1. 3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy

Bardziej szczegółowo

Paradygmaty dowodzenia

Paradygmaty dowodzenia Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.

Bardziej szczegółowo

Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne

Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 25 IV 2010 Plan wykładu: Intuicje dotyczące poprawności wnioskowania Wnioskowanie dedukcyjne Reguły niezawodne a

Bardziej szczegółowo

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH WSTĘP Zbiór liczb całkowitych można definiować na różne sposoby. Jednym ze sposobów określania zbioru liczb całkowitych jest

Bardziej szczegółowo

Modelowanie interrogacyjnego rozwiązywania problemów w środowisku gry QuestGen *

Modelowanie interrogacyjnego rozwiązywania problemów w środowisku gry QuestGen * STUDIA METODOLOGICZNE NR 34 2015 PAWEŁ ŁUPKOWSKI OLIWIA IGNASZAK PATRYCJA WIETRZYCKA Modelowanie interrogacyjnego rozwiązywania problemów w środowisku gry QuestGen * Wprowadzenie W artykule tym koncentrujemy

Bardziej szczegółowo