Załącznik 2 Autoreferat

Transkrypt

1 Politechnika Śląska Autoreferat przedstawiający opis dorobku i osiągnięć naukowych, w szczególności określonych w art. 16 ust. 2 ustawy o stopniach naukowych i tytule naukowym oraz o stopniach i tytule w zakresie sztuki Wydział Automatyki, Elektroniki i Informatyki Instytut Automatyki Zakład Sterowania i Robotyki 22 lutego 2016

2 Spis treści 1 Imię i Nazwisko 2 2 Posiadane dyplomy, stopnie naukowe 2 3 Informacje o dotychczasowym zatrudnieniu w jednostkach naukowych 2 4 Opis osiągnięcia naukowego Tytuł osiągnięcia naukowego Omówienie celu naukowego prac i osiągniętych wyników wraz z ich ewentualnym wykorzystaniem Wprowadzenie Obserwowalność praca [AB1] Sterowalność prace [AB2], [AB4] i [AB5] Wykładniki Bohla praca [AB3] Dalsze prace Podsumowanie Omówienie pozostałych osiągnięć naukowo badawczych Omówienie dorobku Omówienie działalności dydaktycznej

3 1 Imię i Nazwisko 2 Posiadane dyplomy, stopnie naukowe 2006 Doktor nauk technicznych w dyscyplinie naukowej automatyka i robotyka, Wydział Automatyki, Elektroniki i Informatyki Politechniki Śląskiej Temat pracy doktorskiej: Planowanie trajektorii manipulatorów z zastosowaniem krzywych B sklejanych, (promotor: Prof. dr hab. inż. Jerzy Klamka), 2002 Magister inżynier na kierunku Automatyka i Robotyka, Wydział Automatyki, Elektroniki i Informatyki Politechniki Śląskiej, 1997 Technik mechanik, Techniczne Zakłady Naukowe w Dąbrowie Górniczej. 3 Informacjeodotychczasowymzatrudnieniuwjednostkach naukowych obecnie Wyższa Szkoła Biznesu w Dąbrowie Górniczej na stanowisku wykładowca. Zatrudnienie na podstawie umowy o dzieło obecnie Instytut Automatyki, Politechnika Śląska w Gliwicach na stanowisku adiunkt. Zatrudnienie na podstawie mianowania Doktorant, Instytut Automatyki, Politechnika Śląska. 2

4 4 Opis osiągnięcia naukowego 4.1 Tytuł osiągnięcia naukowego Wybrane własności dynamiczne układów sterowania Osiągnięcie habilitacyjne stanowi cykl połączonych tematycznie prac przedstawionych poniżej: [AB1] Babiarz, A., Bieda, R., Jaskot, K., and Klamka, J., The dynamics of the human arm with an observer for the capture of body motion parameters. Bulletin of the Polish Academy of Sciences: Technical Sciences, 61(4), pp , /IF=1.0, 25 pkt. MNiSW/ [AB2] Babiarz, A., Czornik, A., Klamka, J., and Niezabitowski, M., The selected problems of controllability of discrete-time switched linear systems with constrained switching rule. Bulletin of the Polish Academy of Sciences: Technical Sciences, 63(3), p , /IF=0.914, 25 pkt. MNiSW/ [AB3] Babiarz, A., Czornik, A., and Niezabitowski, M., On the number of upper Bohl exponents for diagonal discrete time-varying linear system. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 429(1), pp , /IF=1.12, 40 pkt. MNiSW/ [AB4] Babiarz, A., Czornik, A., and Niezabitowski, M., Output controllability of the discrete-time linear switched systems. Nonlinear Analysis: Hybrid Systems 21, pp. 1 10, /IF=2.375, 35 pkt. MNiSW/ [AB5] Babiarz, A., Klamka, J., and Niezabitowski, M., Schauder s fixed-point the- 3

5 orem in approximate controllability problems. International Journal of Applied Mathematics and Computer Science, 26(2), /IF=1,227, 25 pkt. MNiSW/ 4.2 Omówienie celu naukowego prac i osiągniętych wyników wraz z ich ewentualnym wykorzystaniem Wprowadzenie Przedstawione osiągnięcie habilitacyjne składa się z cyklu pięciu publikacji powiązanych tematycznie, opublikowanych w czasopismach uwzględnianych w bazie Journal Citation Reports. Na dzień wysłania wniosku habilitacyjnego 3 pozycje są indeksowane w bazie Web of Science TM Core Collection. Sumaryczny impact factor wymienionych prac wynosi 6, 636, aliczbapunktówministerialnych Zgodnie z oświadczeniami współautorów dołączonymi do wniosku, jestem głównym autorem wszystkich publikacji. Cykl publikacji dotyczy wybranych własności dynamicznych układów sterowania Obserwowalność praca [AB1] Praca [AB1] dotyczyła badania obserwowalności oraz skupiała się na porównaniu dwóch obserwatorów w postaci filtru Kalmana [1], [2] i filtru cząsteczkowego [3], [4]. Wybór filtrów zastosowanych w badaniach wynikał ze sposobu pomiaru i zastosowanych czujników pomiarowych. Ponadto praca była realizowana w ramach projektu Kostium do akwizycji ruchu człowieka oparty na sensorach IMU z oprogramowaniem gromadzenia, wizualizacji oraz analizy danych, któregojednymzcelów było opracowanie metodyki pomiarów z wykorzystaniem wspomnianych filtrów. Celem tego projektu było również pozyskiwanie informacji na temat parametrów 1 Zaakceptowany do druku, rocznik i numer potwierdzony przez Redaktora Naczelnego. 2 Sumaryczny imapct factor i liczba punktów są zgodne z dniem publikacji artykułów. 4

6 ruchu ciała człowieka. W pracy [AB1] skupiłem się na jednym ramieniu, które było rozpatrywane podczas ruchu w płaszczyźnie pionowej oraz poziomej. W modelu tym uwzględniono dwa stopnie swobody, co było wystarczające do przeprowadzenia badań dotyczących porównania wybranych filtrów oraz analizy obserwowalności. Dodatkowym celem pracy było opracowanie modelu matematycznego ramienia ludzkiego w postaci równania stanu i wyjścia. Rysunek 1: Model ramienia w płaszczyźnie poziomej Rysunek 2: Model ramienia w płaszczyźnie pionowej Model dynamiki w postaci równań stanu i wyjścia wyprowadzono wykorzystując równanie: M(q) q + C(q, q) q + g(q) =u, (1) gdzie: M(q) jest macierzą bezwładności, C(q, q) jest macierzą sił Coriolisa i odśrodkowych, g(q) jest wektorem sił przyciągania ziemskiego, u jest wektorem sterowania, q jest przesunięciem kątowym. 5

7 Wybierając jako stan wektor q T, q T T postaci: " d q dt q # = " powyższe równanie może być przepisane w q M(q) 1 [u C(q, q) q G(q)] #. (2) W wyniku linearyzacji i odpowiednich podstawień otrzymano końcowy model dynamiki bez zakłóceń: ẋ = Ax + Bu, (3) y = Cx + Du, (4) gdzie: 2 x = 6 4 q 1 q 2 q 1 3 " 7 5, y = q1 q 2 #, u = " u1 u 2 #. (5) q 2 Dla tak wyprowadzonego modelu matematycznego przeprowadzono badania pozyskiwania parametrów ruchu ramienia z wykorzystaniem filtru Kalmana i filtru cząsteczkowego. W pracy [AB1] opisano również wyniki symulacji, które przeprowadzono w środowisku LabView i Matlab. Do najważniejszych osiągnięć pracy można zaliczyć: porównanie dwóch popularnych filtrów; uzyskanie wyników, które pokazały dokładniejsze działanie jednego z nich filtru Kalmana; uzyskanie wyników, które pokazały, że model obiektu przedstawionego na Rysunku 1 jest nieobserwowalny. W konsekwencji pojawia się problem z pozyskaniem parametrów ruchu w trakcie wykonywania ruchu w tej płaszczyźnie; biorąc pod uwagę praktyczne zastosowania, można stwierdzić, że wykorzystując filtr Kalmana można określić wszystkie parametry ruchu dla przypadku z Rysunku 2 mając tylko pomiary z akcelerometru. 6

8 Mój wkład w powstanie tej pracy polegał na postawieniu problemu badawczego, opracowaniu nieliniowego modelu dynamiki ramienia ludzkiego, linearyzacji tego modelu, przeprowadzeniu symulacji i ich analizie, analizie obserwowalności poprzez kryterium obserwowalności. Dodatkowo, brałem udział w przygotowaniu końcowej wersji artykułu oraz wykonaniu poprawek zaproponowanych przez recenzentów Sterowalność prace [AB2], [AB4] i [AB5] Kolejną pracą wchodzącą w skład osiągnięcia habilitacyjnego jest artykuł [AB2]. W tym artykule badano problemy sterowalności układów liniowych z przełączeniami przy ograniczeniach na przełączenia. Geneza powstania tej pracy i podjęcia badań nad sterowalnością wynikają z dogłębnej analizy modelu matematycznego ramienia ludzkiego przedstawionego w pierwszej omawianej pracy [AB1]. Okazuje się, że w wyniku przeprowadzenia dokładnej analizy ruchów kończyny ludzkiej oraz uwzględniając wyniki badań zamieszczone w [AB1], [5], [6], [7] można zauważyć, że mięśnie zmieniają swój kształt wskutek skurczów i rozkurczów, co ma wpływ na momenty bezwładności występujące w trakcie ruchu. Zmienność w czasie momentów bezwładności ludzkich kończyn może być opisana skokowymi zmianami parametrów modelu co sugeruje możliwość zastosowania układów z przełączeniami, będących klasą układów hybrydowych, do modelowania rozpatrywanego obiektu. Układ taki w ogólnym przypadku jest opisany liniowymi równaniami: ẋ(t) =A(r(t))x(t)+B(r(t))u(t), y(t) =C(r(t))x(t)+D(r(t))u(t), (6) gdzie: x(t) jest wektorem stanu, u(t) jest wektorem sterowania, r(t) jest funkcją przełączającą, 7

9 A( ), B( ), C( ) i D( ) są macierzami odpowiedniego rozmiaru. Z punktu widzenia proponowanego podejścia do modelowania matematycznego ramienia ludzkiego bardzo ważna jest, oprócz pracy [7], również praca [8]. Autorzy [8] dokładnie opisują zewnętrzny kształt, szczególnie górnej kończyny, w trakcie ruchu. Z dużą dokładnością prezentują kształt ręki w postaci chmury punktów, co niewątpliwie wpływa na precyzyjne określenie konfiguracji ręki, dla których występują zmiany momentów bezwładności. Dodatkowo uwzględniając fakt, że nie wszystkie zmiany są możliwe, postawiono problem badawczy dotyczący sterowalności układów z przełączeniami w przypadku, gdy przełączenia nie są dowolne, ale możliwe są tylko niektóre sekwencje przełączeń. W pracy [AB2] rozpatrywano układ liniowy dyskretny z przełączeniami opisany równaniem: x (k +1)=A (r(k)) x (k)+b(r(k)) u (k) (7) dla k 0, gdzie: x(k) 2 R n jest wektorem stanu; r(k) 2{1, 2,...,s} =: S jest sygnałem przełączającym; u(k) 2 R m jest wektorem sterowania, k =0, 1,.... Ponadto, dla r(k) =i, A i := A(i) i B i := B(i) są stałymi macierzami o odpowiednich rozmiarach. Przez x (k, x 0,,u) zostało oznaczone rozwiązanie równania (7) w chwili k, dlasterowaniau oraz z warunkiem początkowym x 0 w chwili k =0i sygnałem przełączającym spełniającym warunek r(0) =. Dla sterowania u =(u(0),u(1),...) zostało założone, że u(k) =f k (r (0),r(1),...,r(k)). Oznaczato, żesygnał sterującyu(k) w chwili k zależytylkoodwartościr(0),r(1),...,r(k) w chwilach 0, 1,...,k.Takiesterowanienazwanosterowaniemdopuszczalnym. Na potrzeby analizy sterowalności wprowadzono oznaczenia S (N) = {(,i 1,...,i N 1 ):,i 1,...,i N 1 2 S}. (8) 8

10 Uporządkujmy elementy S (N) wleksykograficznymporządku,toznaczy (, 1, 1,...,1, 1), (, 1, 1,...,1, 2),...,(, 1, 1,...,1,s), (, 1, 1,...,2, 1), (, 1, 1,...,2, 2),...,(, 1, 1,...,2,s),... (,s,s,...,s,1), (,s,s,...,s,2),...,(,s,s,...,s,s). W pracy skupiono się na problemie, gdy niektóre przełączenia nie są możliwe. Modelujemy to poprzez zbiór par (i, j) 2 S S taki, że niemożliwe jest r(k) =i, r(k +1)=j dla k =0, 1,... Następnie wykreślmy z S (N) wszystkie elementy (,i 1,...,i N 1 ) takie, że Oznaczmy przez S (N) (i l,i l+1 ) 2 dla pewnego l =0, 1,...,N 1. zbiór uzyskany właśnie w ten sposób. Zbiór S (N) może być interpretowany jako zbiór wszystkich możliwych przełączeń o długości N. Przez s (N) oznaczmy liczbę elementów zbioru S (N). Ustalmy liczbę N>0 isekwencję (,i 1,...,i N 1 ) elementów zbioru S. Rozważmy macierz blokową kolumnową numerowaną kolejnymi sekwencjami: Blok, S (2),...,S (N). (,i 1,...,i k ) dla k =0, 1,..,N 1 jest równy F (N,k +1,i N 1,...,i k+1 )B ik. Natomiast pozostałe są równe 0. F (k, l, i k tranzycji daną wzorem 1,...,i l ) jest n n wymiarową macierzą F (k, l, i k 1,...,i l )=A (i k 1 ) A (i k 2 )...A (i l ). (9) 9

11 Oznaczmy otrzymaną w ten sposób macierz przez: C (,i 1,...,i N 1 ). WartykulezaproponowanomacierzsterowalnościG( ) zawierającą wszystkie: C(,i 1,...,i N 1 ) jako bloki wierszowe numerowane S (N) dla Ponadto, przez (,i 1,...,i N 1 ) 2 S (N). H( ) 2 R ns(n) i m 0 oznaczmy blokową macierz wierszy numerowaną sekwencją S (N).Blokznumerem (,i 1,...,i N 1 ) jest dany przez F (N,0,i N 1,i N 2,..., ). Na koniec, oznaczmy przez f (k) 1,n,f (k) 2,n,...,f (k) n,n 2 R nk wektor zdefiniowany jako 2 39 f (k) l,n = 6 4 e l e l. e l >= k razy e l, 7 5 >; l =1, 2,...,n, gdzie: {e 1,e 2,...,e n } jest standardową bazą przestrzeni R n. W celu zilustrowania stosowanych oznaczeń przeanalizujmy przykład, dla S = {1, 2, 3}, N =3, =1i ={(1, 2), (3, 2)}, mamy 10

12 2 3 C(1, 1, 1) G( )=G(1) = C(1, 1, 3) 6 4C(1, 3, 1) 7 5 = C(1, 3, 3) 2 = 6 4 (1) (1, 1) (1, 3) (1, 1, 1) (1, 1, 3) (1, 3, 1) (1, 3, 3) A 2 (1)B(1) A(1)B(1) 0 B(1) A(3)A(1)B(1) A(3)B(1) 0 0 B(3) 0 0 A(1)A(3)B(1) 0 A(1)B(3) 0 0 B(1) 0 A 2 (3)B(1) 0 A(3)B(3) B(3) oraz otrzymujemy macierz 2 H( )=H(1) = 6 4 A 3 (1) A(3)A 2 (1) A(1)A(3)A(1) A 2 (3)A(1) Wpracyrozważanonastępującedefinicjesterowalności. Definicja 1 Układ dynamiczny (7) jest sterowalny w czasie N, jeżelidlawszystkich x 0,x 1 2 R n istnieje dopuszczalne sterowanie u takie, że x (N,x 0,,u)=x 1. (10) Analogicznie, powiemy, że układ (7) jest sterowalny w czasie N do zera (z zera), jeżeli dla wszystkich x 0 2 R n (x 1 2 R n )istniejedopuszczalnesterowanieu takie, że x (N,x 0,,u)=0 (x (N,0,,u)=x 1 ). (11) Jeżeli układ (7) jest sterowalny w czasie N ( sterowalny w czasie N do zera, sterowalna w czasie N zzera)dlawszystkich 2 S wówczas powiemy, że układ (7) jest sterowalny w czasie N (sterowalny w czasie N do zera, sterowalny w czasie N zzera). 11

13 W pracy wykazano, że sterowalność każdego układu niestacjonarnego odpowiadającego kolejności przełączeń długości N jest tylko warunkiem koniecznym, a nie wystarczającym dla sterowalności układu (7) w czasie N. Poniższy główny wynik pracy zawiera wystarczające i konieczne warunki dla sterowalności w czasie N jak również zera. Twierdzenie 1 Układ dynamiczny (7) jest itylkowtedy,gdy dla wszystkich l =1, 2,...,n. apple rankg( )=rank G( ). f sterowalności w czasie N zzeraorazdo sterowalny w czasie N zzerawtedy s (N) l (12) Układ dynamiczny (7) jest gdy sterowalny w czasie N do zera wtedy i tylko wtedy, ImH ( ) ImG( ) (13) oraz jest sterowalny w czasie N wtedy i tylko wtedy, gdy apple rankg( )=rank G( ). f s (N) l (14) dla wszystkich l =1, 2,...,n,i ImH ( ) ImG( ). (15) Dowód Twierdzenia 1 jest umieszczony w artykule [AB2]. W pracy wykorzystano zlinearyzowany model ramienia ludzkiego opisany w pracy [AB1] jako przykład układu dynamicznego z sekwencją przełączeń, w której występują przełączenia niedopuszczalne i korzystając z powyższego twierdzenia sprawdzono jego sterowalność. Do najważniejszych osiągnięć pracy można zaliczyć: 12

14 podanie warunków koniecznych i wystarczających sterowalności do zera; podanie warunków koniecznych i wystarczających sterowalności z zera; sformułowanie warunków koniecznych i wystarczających sterowalności; przedstawienie rzeczywistego przykładu ilustrującego rozpatrywany przypadek układu dynamicznego. Mój wkład polegał na postawieniu problemu badawczego, sformułowaniu Twierdzenia 1 oraz przygotowaniu tekstu manuskryptu. Praca [AB4] jest rozszerzeniem przedstawionego powyżej artykułu. W [AB4] rozpatrywany był układ dynamiczny opisany równaniami: ( x (k +1)=A (r(k)) x (k)+b (r(k)) u (k) dla k y(k) =C (r(k)) x (k) (16) 0, gdziex(k) 2 R n jest wektorem stanu, u(k) 2 R m jest wektorem sterowania, y(k) 2 R p jest wektorem wyjścia i r : N! S, S = {1, 2,...,s} jest sygnałem przełączającym. Ponadto, dla r(k) =i, macierzea i := A(i), B i := B(i) i C i := C(i) są stałe i mają odpowiednie wymiary. Oznaczmy przez x (k, x 0,,u) rozwiązanie równania (16) w chwili k dla sterowania u z warunkami początkowymi x 0 w chwili k =0i sygnałem przełączającym r spełniającym warunek r(0) =.Wyjścieodpowiadające temu rozwiązaniu będzie oznaczane przez y (k, x 0,,u). Mając już sformułowane warunki konieczne i wystarczające sterowalności z pracy [AB2] w pracy [AB4] zostały podane warunki konieczne i wystarczające sterowalności wyjściowej. Postawiony problem badawczy polegał na podaniu warunków koniecznych i wystarczających dla sterowalności wyjściowej z ograniczeniami rozumianej jak w poniższej definicji. Definicja 2 Układ opisany równaniem (16) jest wyjściowo sterowalny w czasie N jeżeli dla wszystkich x 0 2 R n i y 1 2 R p istnieje dopuszczalne sterowanie u takie, że y (N,x 0,,u)=y 1. (17) 13

15 Powiemy, że układ (16) jest wyjściowo sterowalny w czasie N do zera ( wyjściowo sterowalny w czasie N zzera),jeżelidlawszystkichx 0 2 R n (y 1 2 R p ) istnieje sterowanie u takie, że y (N,x 0,,u)=0 (y (N,0,,u)=y 1 ). (18) Algorytm budowy macierzy sterowalności jest modyfikacją sposobu z pracy [AB2]. Ustalmy liczbę N>0 isekwencje (,i 1,...,i N 1 ) elementów zbioru S. Rozważmy macierz blokową kolumnową numerowaną kolejnymi sekwencjami:, S (2),...,S (N). Blok (,i 1,...,i k ) dla k =0, 1,..,N 1 jest dany F (N,k +1,i N 1,...,i k+1 )B ik. Natomiast pozostałe są równe 0. Otrzymanąwtensposóbmacierzbędziemyozna- czać przez D (,i 1,...,i N 1 ), aprzezg( ) - macierz składającą się z wszystkich C in D(,i 1,...,i N 1 ) jako bloków wierszowych numerowanych przez S (N) dla (,i 1,...,i N ) 2 S (N+1). Przez H( ) oznaczmy macierz blokową wierszową numerowaną przez sekwencje S (N+1).Blokznumerem (,i 1,...,i N ) 14

16 jest dany wyrażeniem C in F (N,0,i N 1,i N 2,..., ). Twierdzenie 2 zawiera konieczne i wystarczające warunki wyjściowej sterowalności w czasie N z zera i do zera i są one głównymi wynikami tej pracy. Twierdzenie 2 Układ opisany równaniem (16) jest czasie N zzerawtedyitylkowtedy,gdy apple rankg( )=rank G( ) dla wszystkich l =1, 2,...,p. Układ opisany równaniem(16) jest wtedy i tylko wtedy, gdy Twierdzenie 3 Układ opisany równaniem (16) jest s (N) wyjściowo sterowalny w fl,p (19) wyjściowo sterowalny w czasie N do zera ImH ( ) ImG( ). (20) wyjściowo sterowalny w czasie N wtedy i tylko wtedy, gdy warunki (19) i (20) są jednocześnie spełnione. W pracy zamieszczono dowody Twierdzeń 2 i 3 oraz przykłady. Najważniejsze osiągnięcia zaprezentowane w pracy [AB4], to: podanie warunków koniecznych i wystarczających dla sterowalności wyjściowej zzera, podanie warunków koniecznych i wystarczających dla sterowalności wyjściowej do zera, podanie warunków koniecznych i wystarczających dla sterowalności wyjściowej dla układów dyskretnych z przełączeniami. Mój wkład polegał na zaproponowaniu Definicji 2, sformułowaniu i udowodnieniu Twierdzenia 2 oraz konstrukcji Przykładu 5. 15

17 Praca [AB5] stanowi przegląd wyników badań dotyczących sterowalności aproksymacyjnej układów semiliniowych. Opracowanie [AB5] przedstawia zbiór prac poświęconych badaniu problemu sterowalności z zastosowaniem twierdzenia Schaudera o punkcie stałym. Wybór prac wykorzystujących to twierdzenie, wynika z faktu, że twierdzenie Schaudera nie wymaga żadnych dodatkowych założeń (tak jest np. w twierdzeniu Banacha o punkcie stałym). Z drugiej strony twierdzenie Schaudera nie daje nam pewności co do jednoznaczności istnienia punktu stałego. Można zatem zaobserwować, że dopóki nie wymagamy jednoznaczności istnienia punktu stałego, to twierdzenie Schaudera może być praktycznie i efektywnie stosowane do rozwiązywania problemu sterowalności dla bardzo szerokiego spektrum nieliniowych układów dynamicznych. Na podstawie przeprowadzonego studium literaturowego najogólniejszy opis modeli rozważanych w pracach zawartych w przeglądzie ma postać: 9 d [x (t) h (t, x (t))] = A [x (t) h (t, x (t))] dt + Bu(t) dt+ f (t, x (t)) dt + g (t, x (t)) dw (t), >=, (21) x (t i )=x t + i x t i, i =1, 2,...,m, x (0) + µ (x) =x 0, x 2 X, t 2 J =[0,b], t 6= t i, >; gdzie: x ( ) jest stanem mającym wartości z ośrodkowej przestrzeni Hilberta X z iloczynem skalarnym (, ) oraz normą k k; u ( ) jest funkcją sterowania mającą wartości z przestrzeni Banach L 2 (J, U) będącą przestrzenią dopuszczalnych funkcji sterowań określonych na J owartościach w ośrodkowej przestrzeni Hilberta U; A = A (t, x) jest generatorem infinitezymalnym półgrupy C 0 wprzestrzenix; U(t, s) jest systemem ewolucyjnym generowanym przez A [9]; B jest ograniczonym liniowym operatorem z U do X; f, g, h : J X! X są ciągłymi, mierzalnymi i zwartymi funkcjami; 16

18 PC(J, X) jest przestrzenią funkcji ciągłych określonych na J o wartościach w X, ciągłych w punktach t 6= t i, i =0, 1,...,m 1 oraz lewostronnie ciągłych wpunkciet m [10]; µ : PC(J, X)! X jest ciągłą funkcją; chwile t i, i =0, 1,...,m spełniają zależność 0=t 0 <t 1 <t 2 <...<t m <b; x t + i oraz x t i jest odpowiednio prawo oraz lewostronną granicą x(t) w chwili t = t i ; x (t i )=x t + i x t i reprezentuje skok w przestrzeni stanu X w chwili t i. Do sformułowania twierdzenia o sterowalności przydatna jest definicja zbioru osiągalnego: Definicja 3 [9]. Niech x b (x 0 ; u) będzie stanem systemu dynamicznego (21) w chwili czasu b odpowiadającym sterowaniu u zwarunkiempoczątkowymx 0 2 X. Wówczas, zbiór R(b, x 0 )={x b (x 0 ; u)(0) : u( ) 2 L 2 (J, U)} będzie nazywany zbiorem osiągalnym wczasieb, ajegodomknięciewx jest oznaczane przez R(b, x 0 ). Definicja 4 [9]. Jeżeli R (b, x 0 ) = X, wówczas system dynamiczny (21) będzie nazywany aproksymacyjnie sterowalnym na przedziale J. Jednym z problemów występujących podczas badania sterowalności aproksymacyjnej układów (21) jest poszukiwanie sterowania, które gwarantuje przeprowadzenie układu z zadanego stanu początkowego w pobliże zadanego stanu końcowego. W tym celu stosuje się operator zdefiniowany jako: b 0 = Z b 0 U (b, s) BB U (b, s) ds, W wyniku przeprowadzonych analiz w trakcie przygotowywania pracy [AB5] zaobserwowano pewną metodykę badawczą, która jest stosowana do rozwiązywania problemu sterowalności, nie tylko aproksymacyjnej lecz również dokładnej. Poniżej jest przedstawiona ta metodyka wynikająca z dogłębnej analizy prac z zakresu sterowalności układów nieliniowych: 17

19 a) podanie modelu matematycznego układu dynamicznego, b) przedstawienie założeń dotyczących rozpatrywanego modelu matematycznego układu dynamicznego, c) udowodnienie istnienia rozwiązania równania stanu stosując twierdzenie Schaudera lub ogólnie technikę punktów stałych, d) zaproponowanie postaci sterowania gwarantującego przeprowadzenie układu z zadanego stanu początkowego do otoczenia zadanego stanu końcowego. e) sformułowanie twierdzenia o warunkach wystarczających sterowalności, f) podanie dowodu twierdzenia o sterowalności. Praca ma charakter przeglądowy, a jej głównym wynikiem jest: usystematyzowanie wiedzy na temat wykorzystania twierdzenia Schaudera o punkcie stałym do badania sterowalności układów dynamicznych. Mój wkład w powstanie tej pracy polegał na przeglądzie literatury, opracowaniu Rozdziałów 2 i 3 oraz częściowym przygotowaniu przykładu i tekstu artykułu Wykładniki Bohla praca [AB3] Wiele własności układów dynamicznych może być z powodzeniem scharakteryzowanych przez pewne wielkości liczbowe nazywane charakterystykami liczbowymi lub wykładnikami charakterystycznymi. Należą do nich między innymi: wykładniki Lapunowa, Perrona, Bohla, Izobowa, Grobmana oraz uogólnione promienie spektralne. Liczby te opisują różne typy stabilności, tempo wzrostu lub malenia trajektorii układu czy wrażliwość własności dynamicznych układu na zakłócenia parametryczne. Jednej z wyżej wymienionym charakterystyk liczbowych, a dokładnie mówiąc wykładnikom Bohla jest poświęcona ostatnia pozycja wchodzącą w skład cyklu publikacji stanowiącego osiągnięcie habilitacyjne. W pracy [AB3] skupiono się 18

20 na badaniu liczby wykładników Bohla dla układu diagonalnego w czasie dyskretnym określonego wzorem: x(n +1)=A(n)x(n), n 0 (22) gdzie: A =(A(n)) n2n jest ograniczonym ciągiem macierzy odwracalnych wymiaru s-na-s takich, że (A 1 (n)) n2n jest również ograniczony. Przez k k oznaczono normę Euklidesową w przestrzeni R s,anormak k 1 jest dana wzorem: [x 1,...,x s ] T 1 = max i=1,...,s x i. Niech a > 1 będzie wspólnym ograniczeniem dla (ka(n)k) n2n i (ka 1 (n)k) n2n. Wówczas dla układu (22) macierz tranzycji ma postać: oraz (n, m) =A(n 1)...A(m) dla n>m (n, n) =I, gdziei jest macierzą jednostkową. Dla warunku początkowego x 0 2 R s rozwiązanie (22) jest oznaczone przez x(n, x 0 ),wówczas: x(n, x 0 )= (n, 0) x 0. Dla x 0 2 R s,x 0 6= 0 górny wykładnik Bohla niezerowego rozwiązania (22) jest zdefiniowany przez poniższą formułę: 1/(n m) kx(n, x0 )k (x 0 )= limsup, (23) m, n m!1 kx(m, x 0 )k a dolny wykładnik Bohla niezerowego rozwiązania (22) jest wyrażony formułą: 1/(n m) kx(n, x0 )k (x 0 )= liminf. (24) m, n m!1 kx(m, x 0 )k Z wykładnikami charakterystycznymi Bohla wiąże się pojęcie stabilności jednostajnej, której definicja jest poniżej: Definicja 5 Układ (22) nazywamy jednostajnie stabilnym jeżeli dla każdego ">0 istnieje takie k 0 2 N, żedlawszystkichk, l 2 N, k k (k, l)k apple". l>k 0 mamy 19

21 Z założenia, że (A(n)) n2n zawiera macierze odwracalne wynika, że kx (m, x 0 )k6=0 dla wszystkich x 0 6=0oraz m 2 N i wówczas definicje są prawidłowe. Ponadto ograniczoność (A(n)) n2n oraz (A(n) 1 ) n2n pociąga za sobą, że (x 0 ) i (x 0 ) są skończone. Liczba różnych górnych wykładników Bohla rozwiązania układu diagonalnego jest podana w kolejnych dwóch twierdzeniach, które są głównymi wynikami pracy [AB3]. Twierdzenie 4 Istnieje nie więcej niż 2 s 1 rozwiązań układu diagonalnego x (n +1)=diag [a 1 (n),...,a s (n)] x (n) (25) zróżnymigórnymiwykładnikamibohla. Twierdzenie 5 Dla dowolnej liczby naturalnej s oraz q apple 2 s 1 istnieje s-wymiarowy liniowy diagonalny układ (25) z ograniczonymi współczynnikami posiadający dokładnie q różnych górnych wykładników Bohla. Do najważniejszego osiągnięcia przedstawionego w pracy [AB3] należy wykazanie, że: liczba wykładników Bohla układu diagonalnego jest nie większa niż 2 s 1, dla każdej liczby q apple 2 s 1, istnieje dynamiczny układ diagonalny o wymiarze s z dokładnie q górnymi wykładnikami Bohla. Mój wkład polegał na sformułowaniu i udowodnieniu Twierdzenia 4 oraz Lematu 1 zamieszczonego w pracy [AB3] Dalsze prace Za pomocą wykładników charakterystycznych można badać różnie rozumiane typy stabilizowalności układu opisanego równaniem: x(n +1)=A(n)x(n)+B(n)u(n), (26) 20

22 Problem stabilizowalności można rozumieć, jako problem poszukiwania istnienia sterowania u postaci: u(n) =L(n)x(n) gdzie: L =(L(n)) n2n jest ciągiem macierzy, takiego że układ zamknięty: x(n +1) = A(n)+B(n)L(n) x(k) jest stabilny. Wiadomo również, że dla układów stacjonarnych pewne typy sterowalności gwarantują możliwość dowolnego lokowania pewnych charakterystyk liczbowych [11]. Dla układów niestacjonarnych możemy rozpatrywać różne typy sterowalności, np. następujące: Definicja 6 Definicja 6: Układ (26) nazywamy dokładnie sterowalnym (z zera, do zera) jeżeli istnieje takie N 2 N, żedlakażdychx 0,x 1 2 R s (x 1 2 R s, x 0 2 R s ) istnieje ciąg sterowań u(k), k = 0, 1,...,N 1 taki, że x(n,u,x 0 )=x 1 (x(n,u,0) = x 1,x(N,u,x 0 )=0). Tematem przyszłych badań będzie zbadanie, które ze zdefiniowanych powyżej typów sterowalności gwarantują możliwość lokowania, poprzez sprzężenie zwrotne, pewnych charakterystyk liczbowych np. wykładników Bohla. 4.3 Podsumowanie Przedstawiony cykl publikacji obejmuje 5 prac dotyczących różnych własności dynamicznych układów sterowania. Część wspólna przedstawionego cyklu dotyczy zagadnień bardzo ważnych z punktu widzenia nowoczesnej teorii sterowania, tj. sterowalności, stabilności, obserwowalności oraz stabilizowalności. W nowoczesnej teorii sterowania badane przeze mnie pojęcia sterowalności i obserwowalności mają fundamentalne znaczenie. Sterowalność i obserwowalność może być interpretować jako konieczne i wystarczające (w niektórych przypadkach) warunki istnienia rozwiązania badanych problemów sterowania. Zagadnienie sterowalności występuje między 21

23 innymi przy syntezie sterowania o kwadratowych wskaźnikach jakości, przy lokowaniu biegunów, a także przy strukturalnej dekompozycji układów dynamicznych [12]. Analizując sterowalność i obserwowalność można uzasadnić nieskuteczność prób stabilizacji układów niestabilnych z wykorzystaniem szeregowych członów korekcyjnych, których transmitancje mają zera w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej. Wówczas badane układy są niesterowalne i nieobserwowalne oraz są również niestabilne. Niestabilności tej nie można, w takim przypadku, wykryć za pomocą metod badania stabilności opartych na znajomości transmitancji układu [13]. Wyniki badań związanych z pracą [AB3] mają charakter badań wstępnych, ale wykorzystanie wykładników charakterystycznych do badania własności układów dynamicznych jest ciekawym problemem badawczym. Zaprezentowane prace obejmują bardzo szerokie spektrum układów dynamicznych. Potencjał tych prac tkwi w fakcie, że w przyszłości otrzymane wyniki badań mogą być z jednej strony zawężone np. do układów dodatnich, a z drugiej strony rozszerzone np. na układy ułamkowego rzędu. Można w tym miejscu wspomnieć, że metodyka badań przedstawiona w pracy [AB1] jest obecnie przeze mnie stosowana z sukcesem do modeli matematycznych kończyn ludzkich z wykorzystaniem układów ułamkowego rzędu. Najważniejsze oryginalne wyniki, które zaproponowałem w ramach przedstawionego osiągnięcia habilitacyjnego, to: 1. analiza porównawcza działania filtrów Kalmana i cząsteczkowego, jako obserwatorów stosowanych do modeli matematycznych opisujących ruch bryły sztywnej, 2. stwierdzenie faktu, że wykorzystując filtr Kalmana można określić wszystkie parametry ruchu obiektu mając tylko pomiary z akcelerometru, 3. sformułowanie warunków koniecznych i wystarczających sterowalności dyskretnych układów z przełączeniami z uwzględnieniem ograniczeń na sygnał przełączający; 4. sformułowanie warunków koniecznych i wystarczających sterowalności wyjściowej 22

24 dyskretnych układów z przełączeniami z uwzględnieniem ograniczeń na sygnał przełączający; 5. analiza metodyki badawczej rozwiązywania problemu sterowalności z wykorzystaniem twierdzenia Schaudera o punkcie stałym, 6. wykazanie, że dla każdej liczby q apple 2 s 1, istnieje dynamiczny układ diagonalny o wymiarze s z dokładnie q górnymi wykładnikami Bohla. 5 Omówienie pozostałych osiągnięć naukowo badawczych 5.1 Omówienie dorobku Po uzyskaniu tytułu doktora nauk technicznych jestem autorem lub współautorem 53 publikacji. Na początku swojej kariery naukowej moje zainteresowania skupiały się na problemach modelowania kinematyki robotów przemysłowych oraz problemach związanych z planowaniem bezkolizyjnych trajektorii dla różnego typu robotów. Wynikiem zainteresowania tym obszarem nauki jest szereg publikacji, które oprócz wyników teoretycznych, dotyczyły również rzeczywistych realizacji i weryfikacji powstałych rozwiązań technicznych i algorytmów sterowania. Ostatnie pięć lat pracy naukowej poświęciłem na zgłębianiu wiedzy dotyczącej szeroko rozumianej teorii sterowania, czego efektem są liczne publikacje dotyczące głównie problemów sterowalności, obserwowalności oraz stabilności. Poruszane problemy dotyczyły układów liniowych w czasie ciągłym jak i dyskretnym oraz układów ułamkowego rzędu. Część tego dorobku naukowego została właśnie przedstawiona jako cykl prac będących podstawą ubiegania się o stopień doktora habilitowanego. Dane bibliometryczne dotyczące mojego dorobku naukowego po uzyskaniu tytułu doktora nauk technicznych są przedstawione w Tabeli 1. Poniżej przedstawiam ważniejsze prace nieuwzględnione w cyklu prac przedstawionym jako osiągnięcie habilitacyjne: 23

25 Liczba pkt. Sumaryczny IF Liczba cytowań Indeks H MNiSW 5-letni roczny WoS Scopus GSch WoS Scopus GSch Tablica 1: Dane bibliometryczne. WoS Web of Science TM Core Collection, GSch GoogleScholar. i. Klamka, J., Babiarz, A., and Niezabitowski, M., Banach fixed-point theorem in semilinear controllability problems a survey. Bulletin of the Polish Academy of Sciences: Technical Sciences, 64(1). ii. Babiarz, A., Czornik, A., Niezabitowski, M., and Zawiski, R., Modelling of the human s leg as a switched linear system. Applied Mechanics and Materials, , pp iii. Babiarz, A., Klamka, J., Niezabitowski, M., and Zawiski, R., Simulationbased analysis of a linear switched system based on human arm s dynamics. Applied Mechanics and Materials, , pp iv. Babiarz, A., Czornik, A., and Niezabitowski, M., Freezing method approach to an asymptotic stability of the discrete-time oscillator equation. Proceedings of the 12th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics. pp v. Babiarz, A., An approach to stability problem of the second order difference equation. Proceedings of the 20th International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR), pp vi. Babiarz, A., and Klamka, J., Local controllability of semilinear fractional order systems with variable coefficients. Proceedings of the 20th International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR), pp vii. Babiarz, A., On control of human arm switched dynamics. Man-Machine Interactions 4, A. Gruca, A. Brachman, S. Kozielski, and T. Czachórski, eds., 24

26 vol. 391 of Advances in Intelligent Systems and Computing. Springer International Publishing, pp viii. Babiarz, A., Czornik, A., Klamka, J., and Niezabitowski, M., Dynamics modeling of 3D human arm using switched linear systems. Intelligent Information and Database Systems, N. T. Nguyen, B. Trawiński, and R. Kosala, eds., vol of Lecture Notes in Computer Science. Springer International Publishing, pp ix. Babiarz, A., Czornik, A., Klamka, J., and Niezabitowski, M., Controllability of discrete-time linear switched systems with constrains on switching signal. Intelligent Information and Database Systems, N. T. Nguyen, B. Trawiński, and R. Kosala, eds., vol of Lecture Notes in Computer Science. Springer International Publishing, pp x. Babiarz, A., Czornik, A., Zawiski, R., and Niezabitowski, M., Mathematical model of a human leg - the switched linear system approach. Proceedings of the 5th International Conference on Pervasive and Embedded Computing and Communication Systems, SCITEPRESS, pp pt. xi. Babiarz, A., Klamka, J., Zawiski, R., and Niezabitowski, M., An approach to observability analysis and estimation of human arm model. Proceedings of the 11th IEEE International Conference on Control and Automation, IEEE, pp xii. Klamka, J., Czornik, A., Niezabitowski, M., and Babiarz, A., Controllability and minimum energy control of linear fractional discrete-time infinitedimensional systems. Proceedings of the 11th IEEE International Conference on Control and Automation, IEEE, pp xiii. Babiarz, A., On mathematical modelling of the human arm using switched linear system. AIP Conference Proceedings, 10th International Conference on Mathematical Problems in Engineering, Aerospace and Sciences (ICNPAA), vol. 1637, pp

27 xiv. Babiarz, A., Czornik, A., Klamka, J., Niezabitowski, M., and Zawiski, R., The mathematical model of the human arm as a switched linear system. Proceedings of the 19th International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR), pp xv. Chwila, S., Zawiski, R., and Babiarz, A., Developing and implementation of the walking robot control system. Man-Machine Interactions 3, D. A. Gruca, T. Czachórski, and S. Kozielski, eds., vol. 242 of Advances in Intelligent Systems and Computing. Springer International Publishing, pp xvi. Palenta, K., and Babiarz, A., KUKA robot motion planning using the 1742 NI smart camera. Man-Machine Interactions 3, D. A. Gruca, T. Czachórski, and S. Kozielski, eds., vol. 242 of Advances in Intelligent Systems and Computing. Springer International Publishing, pp xvii. Babiarz, A., Bieda, R., and Jaskot, K., A distributed control group of mobile robots in a limited area with a vision system. Vision Based Systemsfor UAV Applications, A. Nawrat and Z. Kuś, eds., vol. 481 of Studies in Computational Intelligence. Springer International Publishing, pp xviii. Jaskot, K., Babiarz, A., Sroka, M., and Ściegienka, P., Prototyp bezzałogowego pojazdu podwodnego konstrukcja mechaniczna, panel operatora. Przegląd Elektrotechniczny, 89(8), pp xix. Sroka, M., Ściegienka, P., Babiarz, A., and Jaskot, K., Prototyp bezzałogowego pojazdu podwodnego układ stabilizacji i utrzymania zadanego kursu. Przegląd Elektrotechniczny, 89(9), pp xx. Babiarz, A., and Jaskot, K., The concept of collision-free path planning of uav objects. Advanced Technologies for Intelligent Systems of National Border Security, A. Nawrat, K. Simek, and A. Świerniak, eds., vol. 440 of Studies in Computational Intelligence. Springer Berlin Heidelberg, pp xxi. Babiarz, A., Jaskot, K., and Koralewicz, P., The control system for autonomous mobile platform. Advanced Technologies for Intelligent Systems 26

28 of National Border Security, A. Nawrat, K. Simek, and A. Świerniak, eds., vol. 440 of Studies in Computational Intelligence. Springer Berlin Heidelberg, pp xxii. Babiarz, A., Bieda, R., and Jaskot, K., Vision system for group of mobile robots. Vision Based Systemsfor UAV Applications, A. Nawrat and Z. Kuś, eds., vol. 481 of Studies in Computational Intelligence. Springer International Publishing, pp xxiii. Babiarz, A., and Jaskot, K., Collision-free path planning for laboratory robot. Proceedings of the 11th International Carpathian Control Conference (ICCC), pp xxiv. Jaskot, K., and Babiarz, A., Układ inercyjny do pomiaru orientacji obiektów. Przegląd Elektrotechniczny, 86(11a), pp xxv. Babiarz, A., Jaskot, K., and Szejka, W., The kinematics and design of biped robot. Proceedings of the 10th International Carpathian Control Conference (ICCC), pp xxvi. Babiarz, A., and Jaskot, K., Experimental construction of walking robot. Mechanics AGH University of Science and Technology, 27(3), pp xxvii. Babiarz, A., and Jaskot, K., Experimental construction of six legs walking robot. Proceedings of the 9th International Carpathian Control Conference (ICCC), pp Warto również nadmienić, że brałem czynny udział, jako wykonawca i główny wykonawca w 7 projektach Narodowego Centrum Badań i Rozwoju oraz jestem wykonawcą w 1 projekcie finansowanym przez Narodowe Centrum Nauki. Ponadto byłem kierownikiem i wykonawcą w 2 wewnętrznych projektach oraz 8 projektach rozwojowo-badawczych Instytutu Automatyki Politechniki Śląskiej. Oprócz wspomnianych powyżej osiągnięć, biorę czynny udział w działalności Seminarium Instytutu Automatyki oraz Zakładu Sterowania i Robotyki, czego wynikiem są liczne referaty wygłoszone na tych seminariach. 27

29 Jestem lub byłem recenzentem artykułów zgłoszonych do publikacji w czasopismach i materiałach konferencyjnych: Sensors, Przegląd Elektrotechniczny, Bulletin of the Polish Academy of Sciences: Technical Sciences, Robotics and Computer Integrated Manufacturing, IEEE International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics MMAR, International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics ICNAAM, Międzynarodowa Konferencja Naukowa "Internet w Społeczeństwie Informacyjnym"IWSI, IEEE-RAS International Conference on Humanoid Robots, World Congress on Intelligent Control and Automation WCICA. Ponadto jestem Redaktorem Działowym w czasopiśmie Biuletyn Polskiej Akademii Nauk: Sekcja Techniczna i członkiem Komitetu Organizacyjnego konferencji międzynarodowej: RRNR th Conference on Non-integer Order Calculus and its Applications. 5.2 Omówienie działalności dydaktycznej W ramach działalności dydaktycznej jestem autorem programów nauczania przedmiotów prowadzonych na kierunku Automatyka i Robotyka w Instytucie Automatyki Politechniki Śląskiej: Podstawy Automatyki, Podstawy Sterowania Robotów, Planowanie Ruchu Robotów, Podstawy Robotyki oraz przedmiotów prowadzonych na kierunku Informatyki Wyższej Szkoły Biznesu w Dąbrowie Górniczej: Metody Numeryczne, Grafika Inżynierska, Systemy Grafiki Wektorowej, Grafika Komputerowa imultimedia,podstawyprojektowaniainżynierskiego. Programy nauczania dotyczą zarówno prowadzonych wykładów, jak również ćwiczeń tablicowych i zajęć laboratoryjnych. Brałem również czynny udział w organizacji Laboratorium Robotyki. Ponadto byłem opiekunem kilkudziesięciu prac inżynierskich i magisterskich. Oprócz działalności związanej z prowadzeniem zajęć dydaktycznych, brałem czynny udział w promocji Instytutu Automatyki na Targach Edukacyjnych, Dniach Otwartych Politechniki Śląskiej oraz Nocy Naukowców w Gliwicach. Szczegółowe dane dotyczące całego mojego dorobku są zawarte w Załączniku 4. 28

30 Literatura [1] Rigatos, G.G.; A Derivative-Free Kalman Filtering Approach to State Estimation-Based Control of Nonlinear Systems, IEEE Transactions on Industrial Electronics, vol. 59, no. 10, pp , [2] Simon, D.; Kalman filtering with state constraints: a survey of linear and nonlinear algorithms, Control Theory & Applications, IET, vol. 4, no. 8, pp , [3] Saha, S.; Gustafsson, F.; Particle Filtering With Dependent Noise Processes, IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 60, no. 9, pp , [4] Blom, H.A.P.; Bloem, E.A.; Exact Bayesian and particle filtering of stochastic hybrid systems, IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, vol. 43, no.1, pp.55 70, [5] Burdet E., Tee K. P., Mareels I., Milner T. E., Chew C. M., Franklin D. W., Osu R., Kawato M.; Stability and motor adaptation in human arm movements, Biological Cybernetics, vol. 94, no. 1, pp , [6] Chen K.; Modeling of equilibrium point trajectory control in human arm movements. PhD Thesis, New Jersey Institute of Technology, [7] Lee D. et al.; A survey of modeling and simulation of skeletal muscle. ACM Transactions on Graphics, vol. 28, no. 4, [8] Neumann T., Varanasi K., Hasler N., Wacker M., Magnor M., Theobalt C.; Capture and Statistical Modeling of Arm-Muscle Deformations, Computer Graphics Forum, vol. 32, no. 2pt3, pp , [9] Narayanamoorthy, S. and Sowmiya, S.; Approximate controllability result for nonlinear impulsive neutral fuzzy stochastic differential equations with nonlocal conditions, Advances in Difference Equations, no. 1, pp. 1 16,

31