Analiza symulacyjna koła samochodu osobowego podczas działania bocznego obciążenia
|
|
- Czesław Wierzbicki
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 BŁAŻEJEWSKI Anrzej 1 Anliz symulyjn koł smohou osoowego pozs ziłni oznego oiążeni WSTĘP Z powou złego stniu niektóryh nwierzhni rogowyh, tkże w nieprzewizinyh wypkh, zrzją się sytuje, w któryh koło smohou oznje niesymetryznego oiążeni w zsie jzy. Może yć to spowoowne np. njehniem n nierówność rogi lu n przemiot znjująy się n niej. Tkie wymuszenie ziłjąe n ukł koł (felg-opon) wywołuje zzwyzj eformje orz towrzysząe im nprężeni pojwijąe się w felze. W pry zmiennie stosowne ęą określeni eformje i oksztłeni. W elu wyznzeni wymienionyh wrtośi nleży wyrć moel olizeniowy, który zpewni opowienią okłność orz możliwość symulji wielowrintowyh stnów tego ukłu. Spośró wielu znnyh moeli [1,2], jenym z njrziej ynmiznie rozwijnyh jest moel zuowny w opriu o metoę elementów skońzonyh. Nierówność nwierzhni rogi, to ziłjąe wymuszenie. Dlej stosowne zmiennie określenie wymuszenie i oiążenie onosić się ęzie o stnu ukłu, n który ziłją siły zewnętrzne. Jeżeli moment, w którym koło njehło n nierówność powierzhni rozptrywć ęziemy, jko pewien hwilowy stn ustlony, to zgnienie moelowć możn, jko prolem sttyzny. Dotkowo, wykorzystują symetrię punktową wzglęem śrok orotu koł rozptrywny może yć tylko wyrny jego frgment. Stn nprężeni i oksztłeni powtrzć ęzie się yklizne w pozostłej zęśi ukłu. Przy tyh złożenih, o olizeń i symulji, wykorzystno plikję Comsol Multiphysis orz ostępny moel felgi. W plikji zimplementown jest meto elementów skońzonyh. 1. MODELE MATEMATYCZNE Zmienną zleżną jest wrtość przemieszzeń u poszzególnyh punktów ukłu koł orz wrtość nprężeni s opisne równniem l ił o włśiwośih liniowo-sprężystyh w posti [3, 5]: s F V, (1) gzie: u to szukny wektor przemieszzeń, s tensor nprężeni, F V wektor wymuszeń zewnętrznyh, ρ to gęstość mteriłu, z którego zuowny jest ukł. W zkresie młyh wrtośi oksztłeń, relję nprężeni o oksztłeń, opisuje prwo Duhmel-Hook, sformułowne w posti nstępująej zleżnośi: s s C ( 0 ), (2) 0 gzie: C to tensor sztywnośi l elki, tensory s 0 i 0 to opowienio nprężeni i oksztłeni wstępne w mterile felgi i opony. Gy tensory nprężeni i przemieszzeni są symetryzne, możn przestwić nprężeni, jko ilozyn mierzy sztywnośi i oksztłeń. Przy zlineryzownyh przemieszzenih, relje mięzy oksztłenimi przemieszzenimi opisują zleżnośi Cuhy ego : 1. 2 u T u (3) 1 Politehnik Koszlińsk, Wyził Tehnologii i Eukji, Koszlin, ul. Śniekih 2. Tel: , Fx: , nrzej.lzejewski@tu.koszlin.pl 460
2 Wrunki rzegowe pierwszego rozju nłożono n powierzhnie przestwione n rysunku 1. Opowiją one miejsom moowń koł o zwieszeni smohou. Zpisujemy je w posti: u 0. (4) W zsie normlnej eksplotji, wymuszeniem zewnętrznym F V ziłjąym n felgę, jest oiążenie o położ przekzywne przez oponę (stopk opony) n powierzhnie S, pokzne n rysunku 1 (styk stopki opony z felgą). Siły n tyh powierzhnih zpisno w posti wrunku rzegowego rugiego rozju: n F (5) Oiążenie n powierzhnih pokznyh n rysunku 1, wywołne iśnieniem powierz w oponie (styk opony z felgą orz ł szerokość felgi), zefiniowno w posti wrunku: S S. n n p, (6) gzie: n oznz jenostkowy wektor normlny o wyspeyfikownej powierzhni, σ nprężeni główne n nej powierzhni, F S oiążenie o opony przypjąe n jenostkę powierzhni S, p iśnienie powietrz w oponie. S S Rys. 1. Powierzhnie felgi przenosząe oiążenie o opony poprzez: -oprie stopki opony, - iśnienie powietrz w oponie orz - moownie koł o zwieszeni Przyjęto, że sił F S w zleżnośi (5), zyli sił przekzywn o rogi poprzez oponę n felgę, jest sumryznym oiążeniem powstłym n styku opon-rog, przeniesionym i rozłożonym n owozie felgi n powierzhnih styku. Opowi on niskowi, w przyliżeniu zmoelownemu w posti funkji trygonometryznej osinus, jko formuł: 461
3 0 0 F os{3 ( )}, (7) S F G gzie: θ to kąt mierzony o punktu styku opony z rogą w ou przeiwnyh kierunkh, F G jest mksymlną wrtośią siły nisku n jenostkę powierzhni, wywołną przez iężr łkowity pojzu, przypjąy n koło. N rysunku 2 w powiększonej skli, pokzno eformje koł wywołne tego rozju oiążeniem. Rys. 2. Oiążenie wywołne iężrem pojzu (zerwone strzłki), oksztłenie orz nprężeni (skl kolorow): -wiok łego koł, - oszr styku koł z rogą Rys. 3. Wrtośi nprężeni [MP] w felze, wywołne oiążeniem pohoząym o pojzu w punkie styku opony z nwierzhnią: - n osi jenej ze szpryh, - po oroie koł o 0,1 π r, - po oroie koł o 0,2 π r orz - po oroie koł o 0,3 π r 462
4 W zsie eksplotji pojzu, gy smohó porusz się po równej nwierzhni rogi ruhem jenostjnym, ez przyspieszni orz hmowni lu n tzw. luzie, ez przenoszeni momentu orotowego n koło, rozwżni możn również uprośić o zgnień sttyznyh. Rozptrywne są wtey przypki w wyrnyh hwilh, opowijąyh różnym ustwieniom kątowym koł. Możn wnioskowć n postwie geometrii koł, w szzególnośi smej felgi, występownie różnego stnu oksztłeń orz nprężeń przy kolejnyh położenih kątowyh. Chrkterystyzn sytuj ęzie pojwił się ykliznie, pięiokrotnie n orót koł. Dl ruhu jenostjnego po równej nwierzhni stn nprężeń pokzno n rysunku 3. Wić, że eformj koł jest njwiększ n owozie felgi, w miejsu gzie nie występują szpryhy. Ntomist nprężeni konentrują się w szpryhh. Mksymlne wrtośi nprężeń występują w tylnej zęśi felgi, w miejsh zznzonyh intensywnym kolorem z górnej zęśi rwnej skli. Stn wiozny n rysunku 4. Rys. 4. Miejse występowni nprężeń mksymlnyh [MP] w felze, wywołne oiążeniem pohoząym o pojzu w punkie styku opony z nwierzhnią: - w osi jenej ze szpryh, - po oroie koł o 0,1 π r, - po oroie koł o 0,2 π r orz - po oroie koł o 0,3 π r W położeniu koł przestwionym n rysunku 4, gy miejse styku opony z nwierzhnią leży w osi jenej ze szpryh, nprężeni mksymlne rozkłją się n stosunkowo użej powierzhni w porównniu o położeń kolejnyh, pokznyh n rysunkh 4, 4, 4. Nstępuje wzrost wrtośi nprężeń orz ih konentrj n mniejszyh oszrh. Jest to zjwisko, które może się nsilć przy otkowym oiążeniu koł, szzególnie w przypku oiążeni oznego. Sytuj tk może mieć miejse, gy pojz niesymetryznie njezie kołem n znjująą się n roze przeszkoę lu uerzy w nią ozną powierzhnią opony. 2. RODZAJE OBCIĄŻENIA KOŁA STOSOWANE W SYMULACJACH Oiążenie ziłjąe n koło możn symulowć opowienio sformułownymi wrunkmi rzegowymi. Pierwszy ze sposoów to złożenie, że n wyrną powietrznię ziłją znne siły, 463
5 któryh ziłnie onoszone jest o jenostki powierzhni. W zleżnośi o wiezy onośnie symulownego zgnieni wykorzystuje się różne wymuszenie Sił ozn ziłją n koło N rysunku 5 przestwiono rozje oiążeni zstosowne w przypku symulji: ) njehnie kołem, krwęzią zewnętrzną opony n przeszkoę powouje wymuszenie w posti otkowej siły ziłjąej pionowo w stosunku o nwierzhni rogi (rysunek 5); ) uerzenie ozną powierzhnią koł wywołuje siłę normlną o tej powierzhni, ziłjąą równolegle o nwierzhni rogi (rysunek 5); ) njehnie n przeszkoę o ksztłie, który generuje siłę złożoną, wypkową ou wymuszeń. N rysunku 5 i 5 pokzno ziłnie oiążeni złożonego w wóh wyrnyh położenih koł. Rys. 5. Rozje oiążeń zstosownyh w symuljh: - pionowe, prostopłe o nwierzhni rogi w osi jenej ze szpryh, - poziome, równoległe o nwierzhni rogi, prostopłe o osi jenej ze szpryh, - złożone, po kątem o osi jenej ze szpryh orz - złożone, po oroie koł o 0,1 π r 3. WYNIKI SYMULACJI OBCIĄŻENIA KOŁA N rysunku 6 pokzno wrtośi nprężeni powstłego w felze, w wyniku oiążeni koł siłą przyłożoną n krwęzi opony, skierowną pionowo w górę, prostopłą o nwierzhni rogi. Symulowno ziłnie siły o wrtośih mksymlnyh N i rozkłzie jk pokzno n rysunku 5. Pomimo, że otkowe oiążenie ziłjąe n koło jest nieml pięiokrotnie większe niż oiążenie wynikjąe z symulownej normlnej eksplotji, to przyrost nprężeń jest niewielki. Porównują rzem rysunki 3, 4-przestwijąe normlny, eksplotyjny rozkł nprężeń orz rysunek 6 - koło po oiążeniem, wić poony rozkł nprężeń w ou przypkh. W pierwszym położeniu koł (rysunki 3, 4, 6), nprężeni mksymlne są nwet mniejsze niż l 464
6 koł nieoiążonego otkowo. Wynik to z miejs przyłożeni oiążeni, które generuje moment przeiwny o tego, jki powstje przy oiążeniu normlnym. Rys. 6. Wrtośi nprężeni [MP] w felze, w przypku oiążeni zewnętrznej krwęzi opony siłą pionową, prostopłą o nwierzhni rogi: - w osi jenej ze szpryh, - po oroie koł o 0,1 π r, - po oroie koł o 0,2 π r orz - po oroie koł o 0,3 π r N rysunku 7 pokzno wrtośi nprężeni powstłego w felze, w wyniku oiążeni koł siłą przyłożoną o zewnętrznej powierzhni opony, prostopłą o niej, równoległą o nwierzhni rogi. Symulowno ziłnie siły o wrtośih mksymlnyh N i rozkłzie jk pokzno n rysunku 5. W tym przypku otkowe oiążenie ziłjąe n koło jest porównywlne z oiążeniem wynikjąym z normlnej eksplotji. Zuwżlny jest znząy przyrost nprężeń. Porównują rysunki 3, 4 orz rysunek 7, wić njwiększy wzrost wrtośi w przypku pierwszego położeni koł (rysunki 3, 4, 7). Przyrost wrtośi nprężeń mksymlnyh jest rzęu 30%. Brwn skl rozkłu i wrtośi nprężeń ogrnizon zostł tk, y pokzywć nprężeni o wrtośih o 82 MP, tzn. njmniejszyh spośró mksymlnyh wrtośi, jkie otrzymno w wyniku symulji, w przypku normlnej eksplotji (rysunek 3 i 4). Okzuje się, że konentrj nprężeń w felze, ogrniz się o tyh smyh oszrów, w określonym położeniu koł, ez wzglęu n oiążenie otkowe. 465
7 Rys.7. Wrtośi nprężeni [MP] w felze, w przypku oiążeni zewnętrznej powierzhni opony siłą prostopłą o niej, równoległą o nwierzhni rogi: - w osi jenej ze szpryh, - po oroie koł o 0,1 π r, - po oroie koł o 0,2 π r orz - po oroie koł o 0,3 π r N rysunku 8 przestwino przykłowe wyniki symulji pokzująe wrtośi przemieszzeni kątowego, jkiemu powne są poszzególne elementy koł w stnie normlnej eksplotji orz po oiążeniem. Wyrno o prezentji przemieszzenie kątowe określne wzglęem osi X, któr przein oś orotu koł i przehozi przez śroek rzutu prostopłego koł n płszzyznę YZ (rysunek 8). Ze wzglęu n hrkter ziłjąyh n koło sił, oś t jest szzególnie istotn. W przypku oiążeni koł przez pojz, wrtośi i kierunki przemieszeni kątowego pokzne n rysunku 8 potwierzją hrkter eformji, jkim poleg koło w zsie jzy. Njwiększe wrtośi przemieszzeń pojwiją się w zęśi felgi, njliżej nwierzhni rogi. Z tego wzglęu w tej zęśi występują też njwiększe nprężeni. Z pokznyh n rysunku 8 wyników wić, że są to przee wszystkim nprężeni zginjąe. N uwgę zsługuje również fkt, że w zsie normlnej eksplotji opon oiskn jest o felgi, o zym świzą różne, o o kierunku przemieszzeni kątowe elementów opony i felgi w oszrze ih styku. Sytuj wiozn n rysunku 8. W wyniku oiążeni siłą ozną może nstąpić zerwnie kontktu opony z felgą. Szzególnie nieezpiezne są siły ziłjąe równolegle o nwierzhni rogi, wię prostopłe o powierzhni oznej opony. Z rysunku 8 wynik, że miej groźne są siły prostopłe o nwierzhni rogi. W tym przypku przemieszzeni kątowe elementów n styku opony i felgi mją ten sm kierunek, le o o wrtośi są jenkowe. Nieezpiezeństwo zerwni opony jest o wiele mniejsze niż w przypku pozostłyh rozptrywnyh oiążeń, które pokzno n rysunkh 8 i 8. W tym przypku wić wyrźną różnię wrtośi przemieszzeń felgi i opony. Nleży również zwróić uwgę n fkt, że symulowne oiążeni równoległe o nwierzhni yły pięiokrotnie mniejsze niż pionowe. 466
8 Rys.8. Wrtośi nprężeni [MP] w felze, w przypku oiążeni zewnętrznej powierzhni opony siłą złożoną: - w osi jenej ze szpryh, - po oroie koł o 0,1 π r, - po oroie koł o 0,2 π r orz - po oroie koł o 0,3 π r WNIOSKI W pry okonno nlizy symulyjnej przypku oiążeni koł smohou osoowego siłmi oznymi. Bno stn nprężeń i oksztłeń koł z felgą luminiową o hrkterystyznym ksztłie, skłjąą się z pięiu pr szpryh. Wykonno symulję stnu nprężeń i oksztłeń, wynikjąego z iężru pojzu orz trzy przypki oiążeni otkowego, które może pojwić się w zsie ruhu pojzu po roze. Symulje nprężeń wywołnyh oiążeniem w zsie normlnej eksplotji pokzują rysunki o 2 o 4. We wszystkih przypkh rozptrywno ztery położeni kątowe koł w opowienim jego wyinku (wyinek koł mięzy prmi szpryh). Ze wzglęu n uowę felgi otrzymne wyniki l wyrnego frgmentu, możn onieść o pozostłyh punktów, poniewż stn tki powtrz się ykliznie (pięiokrotnie), w zsie pełnego orotu koł. Z nlizy otrzymnyh rezulttów wynik, że nprężeni njmniejsze, o o wrtośi, występują w położeniu koł, w którym którś z pr szpryh ustwion jest pionowo o położ. Nprężeni o wrtośih mksymlnyh konentrują się w tylnej, górnej zęśi szpryh, liżej moowni o osi lu półosi pojzu (rysunek 4). Te oszry nleży uwżć z njrziej zgrożone po wzglęem wytrzymłośiowym. Jk pokzują wszystkie prezentowne rysunki, rozkł nprężeń w felze (po wzglęem miejs występowni), jest nieml tki sm l kżego rozju oiążeni. Oszr występowni njwiększyh nprężeń w miejsh wioznyh n rysunku 4, zmniejsz się wrz z orotem koł lizą o położeni, w którym punkt styku koł z nwierzhnią znjuje się w osi jenej z pr szpryh. Wrtośi nprężeń rosną zś, wrz z tym ruhem. T zleżność jest tk sm w przypku pojwieni się otkowego, oznego oiążeni. 467
9 Rys.9. Wrtośi przemieszzeni kątowego [eg] elementów koł, określnego wzglęem osi poziomej X, przehoząej przez śroek orotu przy oiążeniu: - pohoząym o pojzu, - zewnętrznej krwęzi opony siłą pionową, prostopłą o nwierzhni rogi, - zewnętrznej powierzhni opony siłą prostopłą o niej, równoległą o nwierzhni rogi, - zewnętrznej powierzhni opony siłą złożoną, w przypku styku opony z nwierzhnią w osi jenej ze szpryh Wyniki symulji pokzują, że efekt ziłni siły oznej zleży o kierunku jej ziłni. Nwet o wiele mniejsze, o o wrtośi, siły ziłjąe równolegle o nwierzhni i prostople o powierzhni oznej koł, wywołują efekt większy niż siły prostopłe (porównj rysunek 6 i 7). Jenozesne ziłnie ou rozjów sił pokzno n rysunku 8. Wynik wskzuje n eyująy wpływ oiążeni prostopłego o opony n rozkł nprężeń w kole. Osttni rozj nliz przestwiony n rysunku 9 wskzuje n ominująy wpływ momentów zginjąyh, powstłyh w wyniku, zrówno normlnyh oiążeń eksplotyjnyh, jk i sił otkowyh. W zkresie symulownyh wrtośi ziłjąyh sił, nprężeni mksymlne wynosiły 180MP. Nie powinny one przekrozyć wrtośi nprężeń opuszzlnyh stopów luminium, stosownyh w felgh smohoowyh. Jenkże mogą one zliżć się o olnej grniy wytrzymłośi niektóryh mteriłów. Streszzenie Koło smohou osoowego skł się z felgi orz opony. Opon przenosi oiążenie o pojzu n rogę. Rekj nwierzhni powouje eformje elementów koł i generuje nprężeni w ukłzie. Jeżeli rozptrywć ten ukł w wyrnyh momenth, to zgnienie ynmizne możn sprowzić o sttyznego. Wiezą, że felg m uowę, w której wyróżnić możn powtrzjąe się segmenty, otkowo możn ogrnizyć nlizę o wyrnego frgmentu koł. Przyprowzono symulje oiążeni koł w zsie normlnej eksplotji, jzy po równej nwierzhni orz trzy przypki oiążeni siłą ziłjąą n powierzhnię ozną opony. Rozptrzono przypki: oiążeni prostopłego o powierzhni opony i równoległego o nwierzhni rogi, siły ziłjąej styznie o powierzhni opony i prostople o 468
10 nwierzhni rogi orz oiążenie złożone ęąe sumą ou sił. Przestwiono wyniki symulji w posti rozkłów nprężeń orz skorelownyh z nimi eformji. Pokzno również eformje kątowe elementów koł wzglęem osi, przy której efekt oiążeń oznyh jest njwiększy. Wszystkie nlizy wykonno wykorzystują metoę elementów skońzonyh w plikji Comsol Muliphysis. The simultion nlysis of vehile wheel uring pplition lterl lo Astrt A vehile wheel onsists of rim n tire. The tire trnsfers fores from vehile to ro. The ro retion uses wheel s prts eformtions n genertes stresses in these prts. If the wheel is onsiere in hosen time points, the ynmi prolem n e reue to stti sitution. Bering in min tht the wheel is perioi struture tht the speifi elements re repete with the sme ngle, itionlly nlysis n e nrrowe own to properly hosen wheel setion. In this work, there re the simultion of the se when the vehile wheel is uner usul lo, the r is moving on flt ro n three ses when on the tire sie surfe of wheel itionl lo is impose. There is onsiere the se: when the itionl fore is impose perpeniulrly into tire sie surfe n prllel with ro, next se when the fore is tngent to tire sie surfe n perpeniulr into ro, eventully the se where impose fore is the sum of oth. The simultion results re presente in the form of stress istriution n orrelte eformtions. The ngulr isplements of the wheel elements out the speifie xis, whih rings on the iggest effet of the lo pplition, re presente s well. All nlyses re otine y using finite elements metho in Comsol Mutliphysis softwre. BIBLIOGRAFIA 1. Pel J., Przeglą moeli olizeniowyh opon pneumtyznyh. Journl of Theoretil n Applie Mehnis 1991 Vol 29, Fervers C.W., Improve FEM simultion moel for tire soil intertion. Journl of Terrmehnis 2004 Vol 41, Bower A., Liner Elstiity, Leture Notes. Division of Engineering Brown University. Spring Finh R. D., Introution to oustis. Person Eution Hll. Upper Sle River New Jersey Rkowski J., Teori sprężystośi. Almmter. Politehnik Poznńsk, 2003/
WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
ĆWICZENIE 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Opis kł pomirowego A) Wyzzie ogiskowej sozewki skpijąej z pomir oległośi przemiot i obrz o sozewki Szzególie proste, rówoześie
Minimalizacja automatu
Minimlizj utomtu Minimlizj utomtu to minimlizj lizy stnów. Jest to trnsformj utomtu o nej tliy przejśćwyjść n równowżny mu (po wzglęem przetwrzni sygnłów yfrowyh) utomt o mniejszej lizie stnów wewnętrznyh.
a a a ; ; ; (1.2) przez [ a ij ], czyli zbiór elementów w i-tym wierszu i w j-tej kolumnie. Wymiary ( n m) stanowią stopień macierzy.
. PODSWY LGEBY CIEZY.. Ukły równń liniowyh Ukł n równń o m niewiomyh x K x m m L L L L L x K x n nm m n możn zpisć w posti tli liz (mierzy): (.) x x x x x x x x x x zpisć w posti mierzowej. Wprowzją nstępująe
Semantyka i Weryfikacja Programów - Laboratorium 2 Działania na ułamkach, krotki i rekordy
Semntyk i Weryfikj Progrmów - Lortorium Dziłni n ułmkh, krotki i rekory Cz. I. Dziłni n ułmkh Prolem. Oprowć zestw funkji o ziłń rytmetyznyh n ułmkh zwykłyh posti q, gzie, są lizmi łkowitymi i 0. Rozwiąznie
Tensor liniowa jednorodna funkcja: wektor wektor b=f(a) a ( ˆ) [ˆ ( ˆ) ˆ ( ˆ) ˆ. Równanie b=f(a) można więc zapisać w postaci
ensor f liniow jenoron funkj: wektor wektor =f f f f W nm ukłie współręnh i,j,k - tensor jko mier f ˆ ˆ i j kˆ f ˆ i f ˆ j f kˆ le f iˆ [ˆ if ˆ i ˆjf ˆ i kf ˆ ˆ] i ˆ [ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ f j if j jf j kf ˆ] j f
FUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA.
Oprownie: Elżiet Mlnowsk FUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA. Określeni podstwowe: Jeżeli kżdej lizie x z pewnego zioru lizowego X przporządkown jest dokłdnie jedn liz, to mówim,
Przykład 6.2. Płaski stan naprężenia. Płaski stan odkształcenia.
Przkłd 6.. Płski stn nprężeni. Płski stn odksztłeni. ZADANIE. Dl dnego płskiego stnu nprężeni [MP] znleźć skłdowe stnu nprężeni w ukłdzie osi oróonh względem osi o kąt α0 orz nprężeni i kierunki główne.
1Coulomb 1Volt. Rys. 1. Schemat kondensatora płaskiego. Jednostką pojemności w układzie SI, jest Farad (F):
POJEMNOŚĆ ELEKTRYZNA Konenstor służy o mgzynowni energii potencjlnej w polu elektrycznym. Typowy konenstor płski, skł się z wóch równoległych, przewozących okłek o polu przekroju S umieszczonych w oległości
XI. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Całka podwójna Całka podwójna po prostokącie. Oznaczenia:
XI. Rhunek łkowy funkji wielu zmiennyh. 1. Cłk podwójn. 1.1. Cłk podwójn po prostokąie. Oznzeni: P = {(x, y) R 2 : x b, y d} = [, b] [, d] - prostokąt n płszzyźnie, f(x, y) - funkj określon i ogrnizon
Sprawozdanie z pomocy doraźnej i ratownictwa medycznego za 2010 r.
GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY, l. Niepoległośi 208, 00-925 Wrszw www.stt.gov.pl Nzw i res jenostki sprwozwzej Numer inentyfikyjny REGON ZD-4 Sprwoznie z pomoy orźnej i rtownitw z 200 r. Portl sprwozwzy GUS
P=2kN. ød=4cm. E= MPa, ν=0.3. l=1m
1 2 3 Z.1. o końc rury utwierzonej w przekroju przyspwno sztywne rmię w ceu wprowzeni siły. W czsie procesu obciążni rmię może oprzeć się n roce w przekroju. 1) Wyznczyć wrtość siły min, przy której rmię
Rys Wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych jednakowo dokładnych C. KRAKOWIANY
Rys. 9.. Wyrównnie spostrzeżeń zwrunkownyh jednkowo dokłdnyh C. KRAKOWIANY 9.9. Informje wstępne o krkowinh Krkowin jest zespołem liz rozmieszzonyh w prostokątnej teli o k kolumnh i w wierszh, dl którego
H. Dąbrowski, W. Rożek Próbna matura, grudzień 2014 r. CKE poziom rozszerzony 1. Zadanie 15 różne sposoby jego rozwiązania
H ąrowski, W Rożek Prón mtur, grudzień 014 r K poziom rozszerzony 1 Zdnie 15 różne sposoy jego rozwiązni Henryk ąrowski, Wldemr Rożek Zdnie 15 Punkt jest środkiem oku prostokąt, w którym Punkt leży n oku
RÓWNOWAGA CHEMICZNA. Reakcje chemiczne: nieodwracalne ( praktycznie nieodwracalne???) reakcje wybuchowe, np. wybuch nitrogliceryny: 2 C H 2
RÓWNOWG CHEMICZN N O 4 NO Rekje hemizne: nieowrlne ( rktyznie nieowrlne???) rekje wyuhowe, n. wyuh nitroglieryny: C 3 H 5 N 3 O 9 6 CO + 3 N + 5 H O + / O rekje rozu romieniotwórzego, n. roz urnu gy jeen
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. best in training PRE TEST
Projekt współfinnsowny przez Unię Europejską w rmh Europejskiego Funuszu Społeznego est in trining E-Pr@ownik ojrzłe kry społezeństw informyjnego n Mzowszu Numer Projektu: POKL.08.01.01-14-217/09 PRE TEST
5. Zadania tekstowe.
5. Zni tekstowe. Przykł. Kolrz połowę rogi pokonł ze śrenią prękością 0 km/, rugą połowę z prękością 50 km /. Wyzncz śrenią prękość kolrz n cłej trsie. nliz : pierwsz połow rogi rug połow rogi 0 km/ prękość
Całki oznaczone. wykład z MATEMATYKI
Cłki oznzone wkłd z MATEMATYKI Budownitwo, studi niestjonrne sem. I, rok k. 28/29 Ktedr Mtemtki Wdził Informtki Politehnik Biłostok 1 Podstwowe pojęi 1.1 Podził P przedziłu, Nieh f ędzie funkją ogrnizoną
G i m n a z j a l i s t ó w
Ko³o Mtemtyzne G i m n z j l i s t ó w 1. Lizy,, spełniją wrunki: (1) ++ = 0, 1 () + + 1 + + 1 + = 1 4. Olizyć wrtość wyrżeni w = + + Rozwiąznie Stowrzyszenie n rzez Edukji Mtemtyznej Zestw 7 szkie rozwizń
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A
1 Definicja całki podwójnej po prostokącie
1 efinij łki podwójnej po prostokąie efinij 1 Podziłem prostokąt = {(x, y) : x b, y d} (inzej: = [, b] [, d]) nzywmy zbiór P złożony z prostokątów 1, 2,..., n które łkowiie go wypełniją i mją prmi rozłązne
2. Funktory TTL cz.2
2. Funktory TTL z.2 1.2 Funktory z otwrtym kolektorem (O.. open olletor) ysunek poniżej przedstwi odnośny frgment płyty zołowej modelu. Shemt wewnętrzny pojedynzej rmki NAND z otwrtym kolektorem (O..)
Tydzień 1. Linie ugięcia belek cz.1. Zadanie 1. Wyznaczyć linię ugięcia metodą bezpośrednią wykorzystując równanie: EJy = -M g.
Studi dzienne, kierunek: Budownictwo, semestr IV Studi inżynierskie i mgisterskie (ilość godz. w2, ćw1, proj1) Wytrzymłość mteriłów. Ćwiczeni udytoryjne. Przykłdow treść ćwiczeń. Tydzień 1. Linie ugięci
Wprowadzenie do Sieci Neuronowych Łańcuchy Markowa
Projekt pn. Wzmonienie potenjłu dydktyznego UMK w Toruniu w dziedzinh mtemtyzno-przyrodnizyh relizowny w rmh Poddziłni 4.1.1 Progrmu Operyjnego Kpitł Ludzki Wprowdzenie do Siei Neuronowyh Łńuhy Mrkow Mj
Wprowadzenie do Sieci Neuronowych Łańcuchy Markowa
Wprowdzenie do Siei Neuronowyh Łńuhy Mrkow Mj Czoków, Jrosłw Piers 213-1-14 1 Przypomnienie Łńuh Mrkow jest proesem stohstyznym (iągiem zmiennyh losowyh), w którym rozkłd zmiennej w hwili t zleży wyłąznie
ω a, ω - prędkości kątowe członów czynnego a i biernego b przy
Prekłne Mechncne PRZEKŁADNIE MECHANICZNE Prekłne mechncne są wykle mechnmm kołowym prenconym o prenesen npęu o włu slnk wykonuącego ruch orotowy o cłonu npęowego msyny rooce, mechnmu wykonwcego lu wprost
Momenty bezwładności figur płaskich - definicje i wzory
Moment ezwłnośi figu płski - efinije i wzo Dn jest figu płsk o polu oz postokątn ukł współzęn Momentem ezwłnośi figu wzglęem osi jest Momentem ezwłnośi figu wzglęem osi jest Momentem ewijnm figu wzglęem
Co można zrobić za pomocą maszyny Turinga? Wszystko! Maszyna Turinga potrafi rozwiązać każdy efektywnie rozwiązywalny problem algorytmiczny!
TEZA CHURCHA-TURINGA Mzyn Turing: m końzenie wiele tnów zpiuje po jenym ymolu n liniowej tśmie Co możn zroić z pomoą mzyny Turing? Wzytko! Mzyn Turing potrfi rozwiązć kży efektywnie rozwiązywlny prolem
Analiza kinematyczna mechanizmów Metoda wektorowych równań konturowych
nliz kinemtyzn mehnizmów ne: j (t) = = = = y j (t) r + r - r - r = y y = os y = y = = = = ne: j (t) j(t) Szukne :, r + r - r - r = r + r - r - r = r y + r y - r y - r y = os j + os - - os = j + - =, os
GRANIASTOSŁUPY
.. GRANIASTOSŁUPY. Grnistosłupy H Postwy grnistosłup - w równoległe i przystjąe wielokąty Śin ozn - równoległook Grnistosłup prosty grnistosłup, w którym wszystkie krwęzie ozne są prostopłe o postw. W
UCHWAŁA Nr 2141/13 ZARZĄDU WOJEWÓDZTWA ŚWIĘTOKRZYSKIEGO Z DNIA 28 SIERPNIA 2013 ROKU
UCHWAŁA Nr 2141/13 ZARZĄDU WOJEWÓDZTWA ŚWIĘTOKRZYSKIEGO Z DNIA 28 SIERPNIA 2013 ROKU W SPRAWIE PRZYJĘCIA INFORMACJI O PRZEBIEGU WYKONANIA BUDŻETU WOJEWÓDZTWA ZA I PÓŁROCZE 2013 ROKU N postwie rt.266, ust.1,
Sprawdzanie i ocena osiągnięć szkolnych uczniów przykłady zadań kontrolnych obejmujących treści programowe każdego działu
76 Testy sprwzjąe 9 Sprwznie i oen osiągnięć szkolnyh uzniów przykły zń kontrolnyh oejmująyh treśi progrmowe kżego ziłu 9.1. Test sprwzjąy z ziłu: Oziływni ln i krtotek testu zs rozwiązywni: 40 minut Nr
Wykªad 8. Pochodna kierunkowa.
Wykªd jest prowdzony w opriu o podr znik Anliz mtemtyzn 2. enije, twierdzeni, wzory M. Gewert i Z. Skozyls. Wykªd 8. ohodn kierunkow. enij Nieh funkj f b dzie okre±lon przynjmniej n otozeniu punktu (x
ANALIZA WPŁYWU NIELINIOWOŚCI MODELU TERMICZNEGO TRANZYSTORA MOS MOCY NA CHARAKTERYSTYKI PRZETWORNICY BOOST
POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 8 Eletril Engineering 214 Jnusz ZARĘBSKI* Ktrzyn GÓRECKA* Krzysztof GÓRECKI* ANALIZA WPŁYWU NIELINIOWOŚCI MODELU TERMICZNEGO TRANZYSTORA MOS MOCY
Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
Całki podwójne i potrójne
Miej Grzesik Instytut Mtemtyki Politehniki Poznńskiej Cłki podwójne i potrójne 1. efinij łki podwójnej po prostokąie efinij 1. Podziłem prostokąt = {(x, y) : x b, y d} (inzej: = [, b] [, d]) nzywmy zbiór
WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:
YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą
Izba Rozliczeniowa. Fundusz Rozliczeniowy. projekt wersja 2.c r.
Izb Rozliczeniow Fnsz Rozliczeniowy projekt wersj 2.c 25-06-2009r. Spis treści Spis treści... 2 Wstęp... 3 1 Obliczeni ryzyk niepokrytego... 4 2 Obliczeni wrtości fnsz i wpłty... 5 2.1 Aktlizcj fnsz rozliczeniowego...
Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb.
Rchuek prwopoobieństw MA1181 Wyził T, MS, rok k. 2013/14, sem. zimowy Wykłowc: r hb. A. Jurlewicz Wykł 9: Róże rozje zbieżości ciągów zmieych losowych. rw wielkich liczb. Zbieżość z prwopoobieństwem 1:
Redukcja układów sił działających na bryły sztywne
1 Redukcj ukłdów sił dziłjących n bryły sztywne W zdnich tego rozdziłu wykorzystuje się zsdy redukcji ukłdów sił wykłdne w rmch mechniki ogólnej i powtórzone w tomie 1 podręcznik. Zdnie 1 Zredukowć ukłd
Roztwory rzeczywiste (1) Roztwory rzeczywiste (2) Funkcje nadmiarowe. Również w temp. 298,15K, ale dla CCl 4 (A) i CH 3 OH (B).
Roztwory rzezywiste (1) Również w tep. 98,15K, le dl CCl 4 () i CH 3 OH (). 15 Τ S 5 H,,4,6,8 1-5 - -15 G - Che. Fiz. TCH II/1 1 Roztwory rzezywiste () Ty rze dl (CH 3 ) CO () i CHCl 3 (). 15 5 Τ S -5,,4
Prawo Coulomba i pole elektryczne
Prwo Coulomb i pole elektryczne Mciej J. Mrowiński 4 pździernik 2010 Zdnie PE1 2R R Dwie młe kulki o msie m, posidjące ten sm łdunek, umieszczono w drewninym nczyniu, którego przekrój wygląd tk jk n rysunku
ZD-4 Sprawozdanie z pomocy doraźnej i ratownictwa medycznego za 2011 r.
GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY, l. Niepoległośi 208, 00-925 Wrszw Nzw i res jenostki sprwozwzej Numer inentyfikyjny REGON ZD-4 Sprwoznie z pomoy orźnej i rtownitw meyznego z 20 r. Portl sprwozwzy GUS www.stt.gov.pl
WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Z INFORMATYKI RAPORT
OKRĘGOWA KOMISJA EGZAMINACYJNA W POZNANIU WYNIKI EGZAMINU MATURALNEGO Z INFORMATYKI RAPORT WOJEWÓDZTWA LUBUSKIE*WIELKOPOLSKIE*ZACHODNIOPOMORSKIE 2 Egzmin mturlny z informtyki zostł przeprowdzony w łym
WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Projektas Standartizuotų mokinių pasiekimų vertinimo ir įsivertinimo įrankių bendrojo lavinimo mokykloms kūrimas, II etapas
Projekts Stnrtizuotų mokinių psiekimų vertinimo ir įsivertinimo įrnkių enrojo lvinimo mokykloms kūrims, II etps 2015 MOKSLAS EKONOMIKA SANGLAUDA EUROPOS SĄJUNGA EUROPOS SOCIALINIS FONDAS Kurime Lietuvos
Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Leczenie protetyczne z zastosowaniem ruchomych protez częściowych zagadnienia wybrane
14 ROZDZIAŁ Lezenie protetyzne z zstosowniem ruhomyh protez zęśiowyh zgdnieni wyrne 200 14.1. Cel lezeni i podził ruhomyh protez zęśiowyh orz prolem przenoszeni oiążeń okluzyjnyh Celem rekonstrukji i rehilitji
Macierzy rzadkie symetryczne
Mcierzy rzkie symetryczne Istnieje wielu problemów technicznych i nukowych, w których zstosownie formlizcji mtemtycznej oprowzi o ziłń n mcierzmi rzkimi symetrycznymi. To są zni mechniki, hyromechniki,
ŚCIĄGACZE I AKCESORIA
ŚIĄGZE I KESORI INSTRUKJ UŻYTKOWNI Rmion powinny yć zwsze mono umiejsowione wewnątrz korpusu. Śru musi yć zwsze wyśrokown i prostopł o elementu. W przypku użyi wystjąej śruy poz orys, uwżj y nie przekręić
2.3.1. Iloczyn skalarny
2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi
h a V. GEOMETRIA PŁASKA TRÓJKĄT :
pitgos..pl V. GEOMETRIA PŁASKA TRÓJKĄT : Wunek utwozeni tójkąt: sum ługośi wó kótszy oków musi yć większ o ługośi njłuższego oku. Śoek okęgu opisnego wyznzją symetlne oków. Śoek okęgu wpisnego wyznzją
ZD-4 Sprawozdanie z pomocy doraźnej i ratownictwa medycznego za 2013 r.
GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY, l. Niepoległośi 208, 00-925 Wrszw Nzw i res jenostki sprwozwzej Numer inentyfikyjny REGON ZD-4 Sprwoznie z pomoy orźnej i rtownitw meyznego z 203 r. Portl sprwozwzy GUS www.stt.gov.pl
2. Tensometria mechaniczna
. Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki
Identyfikacja parametrów modelu maszyny synchronicznej jawnobiegunowej
Akemi Górniczo-Hutnicz im. Stniłw Stzic w Krkowie Wyził Elektrotechniki, Automtyki, Inormtyki i Elektroniki KATEA MASZYN ELEKTYCZNYCH Stuenckie Koło Nukowe Mzyn Elektrycznych Ientyikcj prmetrów moelu mzyny
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc
Definicje. r r r r. Struktura kryształu. Sieć Bravais go. Baza
Definije Sieć Brvis'go - Nieskońzon sieć punktów przestrzeni tkih, że otozenie kżdego punktu jest identyzne Nieskońzon sieć punktów przestrzeni otrzymnyh wskutek przesunięi jednego punktu o wszystkie możliwe
Diagram fazowy ciecz-para (6a)
Digrm fzowy iez-pr (6) P=onst X B =onst tylko iez x B =X B Chem. Fiz. TCH II/09 1 Wrunki izoryzne mją większe znzenie prktyzne. Nsz tłok jest niewżki i porusz się ez tri, ztem we wnętrzu ylindr pnuje ły
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć
O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI
ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,
4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i
Instrukcje dla zawodników
Płok, 12 mr 2016 r. Instrukje l zwoników Arkusze otwiermy n wyrźne poleenie komisji. Wszystkie poniższe instrukje zostną ozytne i wyjśnione. 1. Arkusz skł się z 3 zń. 2. Kże znie skł się z wprowzeni orz
Adsorbery obrotowe. Urszula KANIK 1, Krzysztof KUPIEC 2. Wstęp. Budowa i zasada działania adsorberów obrotowych. Zastosowanie adsorberów obrotowych
Prosimy cytowć jko: Inż. Ap. Chem. 010, 49, 6, 14-18 str. 14 INŻYNIERIA I APARATURA CHEMICZNA Nr 6/010 Urszul KANIK 1, Krzysztof KUPIEC e-mil: knik@gh.eu.pl 1 Kter Chemii Węgl w Energetyce i Przemyśle,
Trapez. w trapezie przynamniej jedna para boków jest równoległa δ γ a, b podstawy trapezu. c h d c, d - ramiona trapezu α β h wysokość trapezu
9. 5. WŁASNOŚCI MIAROWE CZWOROKĄTÓW Trpez w trpezie przynmniej jen pr oków jest równoległ δ γ, postwy trpezu c h c, - rmion trpezu α β h wysokość trpezu + 80 α δ β + γ 80 x `Ocinek łączący śroki rmion
a) b) Rys. 6.1. Schemat ideowo-konstrukcyjny układu do przykładu 6.1 a) i jego schemat blokowy
04 6. Ztoownie metod hemtów lokowh do nliz włśiwośi ukłdów utomtki Shemt lokow ukłdu utomtki jet formą zpiu mtemtznego modelu dnego ukłdu, n podtwie której, wkorztują zd przedtwione rozdzile 3.7, możn
Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I
Mtemtyk finnsow.03.2014 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LXVI Egzmin dl Akturiuszy z mrc 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 0 minut 1 Mtemtyk
MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015) dr hab. inż. Małgorzata Sterna WIELOMIANY SZACHOWE
MAEMAYKA DYKENA (0/0) r h. iż. Młgorzt ter mlgorzt.ster@s.put.poz.pl www.s.put.poz.pl/mster/ WIELOMIANY ZACHOWE Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter B WIELOMIANY ZACHOWE Wielomiy szhowe opisują lizę możliwyh rozmieszzeń
MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO II
Egzmin mturlny z informtyki MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO II Numer zdni Numer punktu Etpy rozwiązni Z podnie poprwnego przedziłu dl firmy D1: [1 ; 3617,62] 2 punkty. W przypdku
Projektowanie żelbetowych kominów przemysłowych wieloprzewodowych
Budownitwo i Arhitektur 3 (2008) 71-80 Projektownie żelbetowyh kominów przemysłowyh wieloprzewodowyh Mrt Słowik 1, Młgorzt Dobrowolsk 2, Krzysztof Borzęki 2 1 Ktedr Konstrukji Budowlnyh, Wydził Inżynierii
ZASTOSOWANIE RÓWNANIA NASGRO DO OPISU KRZYWYCH PROPAGACYJI PĘKNIĘĆ ZMĘCZENIOWYCH
Sylwester KŁYSZ *, **, nn BIEŃ **, Pweł SZBRCKI ** ** Instytut Techniczny ojsk Lotniczych, rszw * Uniwersytet rmińsko-mzurski, Olsztyn ZSTOSONIE RÓNNI NSGRO DO OPISU KRZYYCH PROPGCYJI PĘKNIĘĆ ZMĘCZENIOYCH
Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Twierdzenie sinusów i cosinusów
Twierdzenie sinusów i osinusów Aldon Dutkiewiz Anet Sikorsk-Nowk Teori Twierdzenie 1 Twierdzenie sinusów (twierdzenie Snellius) W dowolnym trójkąie stosunek długośi dowolnego boku do sinus kąt leżąego
ROZWIĄZYWANIE MAŁYCH TRÓJKĄTÓW SFERYCZNYCH
Mteriły dydktyzne Geodezj geometryzn Mrin Ligs, Ktedr Geomtyki, Wydził Geodezji Górnizej i Inżynierii Środowisk OZWIĄZYWANIE MAŁYCH TÓJKĄTÓW SFEYCZNYCH rezentowne metody rozwiązywni młyh trójkątów sferyznyh
ROZPORZĄDZENIE MINISTRA INFRASTRUKTURY 1) z dnia 16 grudnia 2004 r.
Typ/orgn wydjący Rozporządzenie/Minister Infrstruktury Tytuł w sprwie szczegółowych wrunków i trybu wydwni zezwoleń n przejzdy pojzdów nienormtywnych Skrócony opis pojzdy nienormtywne Dt wydni 16 grudni
INSTRUKCJA MONTAŻU I OBSŁUGI
INSTRUKCJA MONTAŻU I OBSŁUGI KABINA NAWANNOWA SILIA www.kerr.pl INSTRUKCJA MONTAŻU I OBSŁUGI KABINA NAWANNOWA SILIA Dziękujemy Pństwu z zkup nszego produktu. Przed rozpozęiem montżu kiny prosimy o uwżne
Przykład 2.5. Figura z dwiema osiami symetrii
Przkłd 5 Figur z dwiem osimi smetrii Polecenie: Wznczć główne centrlne moment bezwłdności orz kierunki główne dl poniższej figur korzstjąc z metod nlitcznej i grficznej (konstrukcj koł Mohr) 5 5 5 5 Dl
PŁYTKI KOLCZASTE DMX
PŁYTKI KOLCZASTE DMX plytkikolzste.om CO NALEŻY WIEDZIEĆ O STOSOWANIU PŁYTEK KOLCZASTYCH DMX y 0 0 ι F E M E 5 γ F M,E α x A ef β 5 SCHEMAT OBCIĄŻEŃ Istotnym elementem przy olizniu połązeń z płytkmi kolzstymi
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
i na matematycznej wyspie materiały dla ucznia, pakiet 89, s. KARTA:... Z KLASY:...
A@ i J@ś n mtemtycznej wyspie mteriły l uczni, pkiet 89, s. Eolonistyczn p Etemtyczn Strżk m Zzncz znkiem n obrzku te elementy, w których nzwie występuje głosk w. own ychzyczne ie W fi uktyccjzn E pls
Analiza funkcjonalno-estetyczna w planowaniu leczenia implantoprotetycznego
temt miesią Lezenie implntoprotetyzne Anliz funkjonlno-estetyzn w plnowniu lezeni implntoprotetyznego Jn K. Pietruski 1 i Młgorzt D. Pietrusk 1, 2 Funtionl-estheti nlysis in plnning of implnt-prostheti
Przepisy Hokeja na Trawie Hala
Przepisy Hokej n Trwie Hl Stn n 1 listop 2014 Tłumzenie: Anrzej Busz, Szymon Dolt 2 Spis treśi I Słownizek... 3 II Gr... 5 1 Boisko... 5 2 Skł rużyn... 5 3 Kpitnowie... 8 4 Uiór i wyposżenie zwonik...
b c a 6b 16 b 17 c 10 d b d 42 b b d a 56 c 40 d 23 e O P T U b30 a b 28 a c b b Early model (wczesna wersja) Late model (póżna wersja) Wire (drut)
143 14 145 nt 102 3000 0 300 2500 500 20 30 003591 2000 10 40 0 1500 0 50 00148 km/h 4 0 6 O 8 10 80 40 0 120 PNZEJÄGE with 4,7 m Pk si set (Zestw postwowy) 1/35 sle upte for tleri - Zvez E 35 068 WWW.E.NET.P
Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera
Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie
KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
< f g = fg. f = e t f = e t. U nas: e t (α 1)t α 2 dt = 0 + (α 1)Γ(α 1)
Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,
WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH
Ochron przeciwwybuchow Michł Świerżewski WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH 1. Widomości ogólne Zgodnie z postnowienimi rozporządzeni Ministr Sprw Wewnętrznych
DARIUSZ KULMA. Jak zdać maturę. z matematyki. na poziomie rozszerzonym DLA BYSTRZAKÓW I NIE TYLKO! WYDAWNICTWO ELITMAT Mińsk Mazowiecki 2013
DARIUSZ KULMA Jk zć mturę z mtemtyki n poziomie rozszerzonym DLA BYSTRZAKÓW I NIE TYLKO!? WYDAWNICTWO ELITMAT Mińsk Mzowiecki 03 Autor: Driusz Kulm Oprcownie rekcyjne: Młgorzt Zkrzewsk Projekt grficzny
KO OF Szczecin:
XXXI OLIMPIADA FIZYCZNA (1981/198) Stopień III, zaanie teoretyczne T Źróło: Nazwa zaania: Działy: Słowa kluczowe: Komitet Główny Olimpiay Fizycznej; Anrzej Kotlicki; Anrzej Naolny: Fizyka w Szkole, nr
Zagadnienie brachistochrony jako przyk lad zastosowania rachunku wariacyjnego
Zgnienie brchistochrony jko przyk l zstosowni rchunku wricyjnego 1. Przestwienie problemu. Równni Euler-Lgrenge 3. Tożsmość Beltrmiego 4. Równnie cykloiy 5. Zs Fermt 1 Przestwienie problemu Brchistochron
Katalog produktów. Kuźnia Batory
Ktlog prouktów Ktlog prouktów Kuźni Btory Kuźni Btory wytwrz różnego rozju wyroby kute z pon 100 gtunków stli. łównymi obiorcmi są brnże: mszynow, energetyczn, motoryzcyjn i okrętow. N liście Klientów
III.3 Transformacja Lorentza prędkości i przyspieszenia. Efekt Dopplera
r. kd. 5/ 6 III.3 Trnsformj Lorentz prędkośi i przyspieszeni. Efekt Doppler Trnsformj prędkośi Trnsformj przyspieszeni Efekt Doppler Jn Królikowski Fizyk IBC r. kd. 5/ 6 Trnsformj prędkośi Bdmy ruh punktu
Materiały pomocnicze do ćwiczeń z przedmiotu: Ogrzewnictwo, wentylacja i klimatyzacja II. Klimatyzacja
Mteriły pomocnicze do ćwiczeń z przedmiotu: Orzewnictwo, wentylcj i klimtyzcj II. Klimtyzcj Rozdził 1 Podstwowe włsności powietrz jko nośnik ciepł mr inż. Anieszk Sdłowsk-Słę Mteriły pomocnicze do klimtyzcji.
N(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2
Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,
System gospodarczy Polski
Przykłowe testy z zkresu zęśi mteriłu otyząego postw ekonomii, systemów gosporzyh orz poŝy i popytu System gosporzy Polski Hsł i efinije Dopsuj kŝe określenie z kolumny A o opowieniej efiniji w kolumnie
Metoda sił jest sposobem rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych).
Metod sił jest sposoem rozwiązywni ukłdów sttycznie niewyznczlnych, czyli ukłdów o ndliczowych więzch (zewnętrznych i wewnętrznych). Sprowdz się on do rozwiązni ukłdu sttycznie wyznczlnego (ukłd potwowy
Połączenie (1) Optymalizacja poleceń SQL Część 3. Algorytm nested loops. Połączenie (2)
Połązenie () Optymlizj poleeń SQL zęść. Metody połązeń, metody sortowni, wskzówki Operj inrn zwsze udził iorą dwie tele, jedn zostje nzwn telą zewnętrzną, drug telą wewnętrzną. W przypdku poleeni łąząego