Samouczek przygotowujący do Kuratoryjnego Konkursu Matematycznego (na podstawie zadań z roku 2009) Szkoły podstawowe Szczegółowe rozwiązania zadań

Transkrypt

1 Samouczek przygotowujący do Kuratoryjnego Konkursu Matematycznego (na podstawie zadań z roku 00) Szkoły podstawowe Szczegółowe rozwiązania zadań

2 Szczegółowe rozwiązania zadań Zestaw I Zadanie nr Treść zadania Arek ma pomalować płot u siebie i u swojego wujka. Obydwa płoty są identyczne, gdyż Rodzice Arka i wujek mieszkają w bliźniaku.. Arek własny płot malował w piątek od :00 do :00. W sobotę Arek również zaczął malowanie o :00. Po dwóch godzinach samotnej pracy dołączył do niego wujek, który nie szedł tego dnia do pracy. Odtąd wujek i Arek i malowali razem. O której godzinie w sobotę Arek i wujek skończyli pracę, jeśli wiadomo, że wujek maluje płot trzy razy szybciej od Arka? Sposób rozwiązania zadania Ponieważ Arek malował płot samodzielnie przez godzin, więc podzielimy płot na części otrzymując, że tempo pracy Arka to jedna część na godzinę. W sobotę, do momentu przyjścia wujka, Arek pomaluje dwie z tych sześciu części (wujek przyszedł po dwóch godzinach pracy Arka). L W L W Przypadek E: L W L W L W L W Odpowiedź: Możliwe składy pociągu: LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW

3 Możemy to zapisać następująco w konwencji stosowanej w zadaniu (spacje i kolory podobnie jak poprzednio użyłem dla lepszej czytelności zapisu): L W L W L W L W Możliwe składy pociągu Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe pozycje wagonu Wars w pociągu. Zatem aby wypisywać wszystkie możliwe składy pociągu, trzeba wypisać wszystkie przypadki od A do E (spacje i kolory są dla lepszej czytelności tekstu): Przypadek A: LW LW LW Przypadek B: L W L W L W Przypadek C: LW LW LW LW Przypadek D: L W L W Z pozostałych części Arek pomaluje jedną, zaś wujek trzy, gdyż jest trzy razy szybszy. Ponieważ Arek maluje jedną część w godzinę więc pomalowanie pozostałych po przyjściu wujka czterech części zajmie im właśnie tę godzinę. Zatem skończą całą pracę w godzinę po przyjściu wujka o :00. Szczegółowe rozwiązanie zadania Zrozumieć treść zadania i znaleźć istotne informacje Najważniejszym elementem zadania jest zrozumienie jego treści. Oto powinniśmy zrozumie, z treści zadania:. Mamy dwa takie same płoty: jeden malowany w piątek, drugi w sobotę. Ponieważ w piątek Arek malował płot od :00 do :00 więc samodzielne pomalowanie płotu zajmuje Arkowi godzin. W sobotę Arek maluje sam od :00 do :00. O :00 przychodzi wujek, który płot maluje trzy razy szybciej od Arka i maluję razem. Musimy obliczyć o której skończą. Jak malował Kazik w piątek? W piątek Arek malował płot przez godzin. Zatem jeśli podzielimy płot na części to każdą z otrzymanych części Arek malował godzinę jak na rysunku poniżej:

4 :00 :00 :00 :00 7:00 8:00 :00 Ile części pomalował Kazik samodzielnie w sobotę? W sobotę o :00 dołączył do niego wujek. Do tego momentu, czyli pomiędzy :00 a :00 Arek pomalował dwie części płotu z sześciu: Kawałki płotu pomalowane tylko przez Arka :00 :00 :00 Kawałki płotu, które Arek i wujek pomalują razem Zatem w momencie przyjścia wujka (:00) zostały do pomalowania cztery kawałki płotu zaznaczone na czarno powyżej. Jak podzielą się pozostałą pracą Arek z wujkiem? Ponieważ wujek pracuje trzy razy szybciej od Arka to z pozostałych czterech kawałków Arek pomaluje jeden kawałek, zaś wujek trzy kawałki: W ten sposób otrzymujemy następujące możliwe układy wagonów: L L W W Otrzymujemy, że jeśli wagon Warsu jest na piątej pozycji to mamy następujące możliwe składy pociągów: L W L W L W L W Sytuacja E wagon Wars ma numer L W 7 8 Sytuacja analogiczna do sytuacji C i D. Otrzymujemy możliwości składu pociągu jak poniżej: L L W W

5 Sytuacja C możliwe składy pociągu Otrzymujemy, że jeśli wagon Warsu jest na czwartej pozycji to mamy następujące możliwe składy pociągów: LW LW LW LW Sytuacja D wagon Wars ma numer L W 7 8 Zwróćmy uwagę, że jeśli wagon Wars ma pozycję numer, to jest to sytuacja analogiczna do sytuacji C. Mamy dwa wagony klasy i dwa wagony klasy do obsadzenia czterech pozycji (,, oraz 7), przy czym: a. są dwie możliwości otoczenia Warsu: o (z lewej klasa, z prawej klasa ) o (z lewej klasa, z prawej klasa ) b. dla każdej z możliwości otoczenia Warsu mamy dwie możliwości wstawienia pozostałych dwóch wagonów (klasa i klasa ) na pozycje i 7 Tą część pomaluje Arek Kawałki płotu, które Arek i wujek pomalują razem Te części pomaluje wujek Arka Ile czasu Arek z wujkiem będą malować swoje części? Pamiętamy, że Arek maluje jeden kawałek w godzinę. Czyli właśnie godzinę zajmie. Arkowi pomalowanie jednego kawałka z pozostałych czterech. wujkowi pomalowanie trzech kawałów z pozostałych czterech (trzy razy szybszy od Arka)

6 Tą część pomaluje Arek Zajmie mu to godzinę Kawałki płotu, które Arek i wujek pomalują razem Te części pomaluje wujek Arka Zajmie mu to godzinę O której godzinie Arek z wujkiem skończą malowanie? Czyli otrzymujemy, że pozostałą pracę od chwili dołączenia się wujka (pomalowanie czterech pozostałych kawałków), Arek i wujek wykonają w godzinę. Ponieważ wujek dołączył do Arka o :00 więc całą pracę ukończą :00: Zauważmy, że Wars musi mieć sąsiedztwo zarówno wagonu klasy jak i klasy co daje nam dwie sytuacje C i C otoczenia Warsu. Sytuacja C W sytuacji C, Wars znajdujący się na pozycji, jest otoczony wagonem klasy z lewej i wagonem klasy z prawej jak pokazano poniżej: L W 7 8 Wówczas zostają nam dwa wagony (jeden klasy i jeden klasy ) do ustawienia na pozycjach 7 i 8, co daje nam dwie możliwości składu pociągu dla sytuacji C: L W 7 8 Sytuacja C W sytuacji C, Wars znajdujący się na pozycji, jest otoczony wagonem klasy z lewej i wagonem klasy z prawej jak pokazano poniżej: L W 7 8 Zostają nam dwa wagony (jeden klasy i jeden klasy ) do ustawienia na pozycjach 7 i 8, co daje nam dwie możliwości składu pociągu dla sytuacji C: L W 7 8

7 Podobnie jak poprzednio mamy dowolność w ustawieniu tylko trzech wagonów, tym razem na pozycjach, oraz. Podobnie jak poprzednio, na tych pozycjach możemy umieścić w dowolnej kolejność pozostałe wagony: jeden wagon klasy i dwa wagony klasy, jak pokazano poniżej:. L W 7 8 Zatem jeśli wagon Warsu jest na pozycji 7, to mamy następujące możliwości składu pociągu: L W L W L W Sytuacja C wagon Wars ma numer W sytuacji gdy wagon Warsu znajduje się pozycji numer to mamy ustalone następujące pozycje: L W 7 8 A. Lokomotywa to pozycja numer B. Pozycja numer i pozycja numer 8 to wagony klasy gdyż wagony klasy muszą rozpocząć i zakończyć skład wagonów. C. Pozycja numer to Wars (tak założyliśmy) Pozostały nam do zagospodarowanie cztery wagony: dwa wagony klasy i dwa wagony klasy do wstawienia na pozycje,, oraz 7. Kawałki płotu pomalowane tylko przez Arka Kawałki płotu, które Arek i wujek pomalują razem :00 :00 :00 :00 Tą część pomaluje Arek Zajmie mu to godzinę Te części pomaluje wujek Arka Zajmie mu to godzinę Odpowiedź: Arek i wujek skończyli pracę w sobotę o :

8 Zadanie nr Treść zadania Kazik zawsze w sobotę obiera ziemniaki dla całej rodziny. Jednak robi to bardzo wolno i cała praca zajmuje mu prawie godzinę, a dokładnie minut. W ostatnią sobotę zlitowała się nad nim siostra Lusia, która obiera ziemniaki cztery razy szybciej od Kazika. Lusia widząc brata obierającego ziemniaki, wzięła nóż i także przystąpiła do obierania. W ten sposób, od chwili gdy Kazik wziął pierwszy ziemniak, do zakończenia obierania ziemniaków przez obydwoje rodzeństwa minęło tylko minut! Po ilu minutach samotnego obierania ziemniaków przez Kazika, Lusia przystąpiła do pracy? Rozwiązanie sposób I Uwagi i szkic rozwiązania Liczy się pomysł Ten sposób rozwiązania zadania wymaga wytężenia umysłu i chwili zastanowienia się. Opiera się na pomyśle, który musi przyjść nam do głowy w trakcie konkursu. Jeśli wpadniemy na pomysł, to zadanie rozwiązuje się w minuty. Prawdopodobnie autorowi zadania chodziło, by rozwiązać problem właśnie w poniższy sposób. jeden wagon klasy i dwa wagony klasy, jak pokazano poniżej:. L W 7 8 Zapisując w konwencji stosowanej w treści zadania, otrzymujemy, że jeśli wagon Warsu jest na pozycji, to mamy następujące możliwości składu pociągu (spacje i kolory wstawiłem dla lepszej czytelności zapisu): LW LW LW Sytuacja B wagon Wars ma numer 7 Z kolej najbardziej prawa pozycja dla Warsu to pozycja numer 7 jak poniżej: L W 7 8 Otrzymujemy: A. Lokomotywa to pozycja numer B. Pozycja numer i pozycja numer 8 to wagony klasy gdyż wagony klasy muszą rozpocząć i zakończyć skład wagonów. C. Pozycja numer 7 to najbardziej prawa pozycja Warsu D. Na pozycji numer musi być wagon klasy gdyż Wars musi graniczyć także z wagonem klasy. 8

9 L W 7 8 Elementy pociągu numerujemy od do 8 jak powyżej zaznaczono liczbami w granatowych kółkach. Przyjmując, że wagon Wars jest maksymalnie z lewej strony to wówczas wiemy na pewno, że: A. Pierwsza pozycja to lokomotywa. B. Na drugiej pozycji nie może być Wars. Na drugiej pozycji musi być wagon klasy zgodnie z warunkami zadania. C. Tak więc dopiero trzeci wagon to najwcześniejszy numer jaki może mieć Wars. D. Jeśli Wars ma pozycję to czwarty wagon musi być klasy, gdyż wagon Wars musi sąsiadować zarówno z wagonem klasy jak z wagonem klasy. Ponieważ z lewej strony Wars ma już obowiązkowe sąsiedztwo wagonu klasy, to z prawej strony Warsu, jako wagon numer musi być wagon klasy. E. Ostatni wagon numer 8 musi być wagonem klasy gdyż skład wagonów musi zaczynać się i kończyć wagonem klasy. Tak więc jeśli wagon Warsu ma numer to dowolność mamy tylko w ustawieniu wagonów na pozycjach, oraz 7. Na tych pozycjach możemy umieścić w dowolnej kolejność pozostałe wagony: Obrane ziemniaki przez Lusię kluczem do rozwiązania zadania Gdy Lusia zaczyna pomagać Kazikowi to mają do obrania pewną liczbę ziemniaków. Kazik obierze pewną część (x), zaś Lusia cztery razy więcej (x). Jednak gdyby nie Lusia to Kazik obierałby te x ziemniaków przez minut minut czyli przez 0 minut. Zatem x ziemniaków Kazik obiera w 0 minut. Ponieważ w czasie wspólnego obierania Kazik obrał właśnie x ziemniaków, więc Kazik i Lusia obierali razem ziemniaki przez 0 minut. Ponieważ od Kazik zajmował się obieraniem ziemniaków minut więc Lusia przyszła mu do pomocy po minut 0 minut = minucie. Szczegółowe rozwiązanie zadania Jak pracuje Kazik sam? Gdy Kazik pracuje sam to mamy sytuację jak na rysunku poniżej: a Kazik zaczyna obieranie minut z Koniec pracy gdy Kazik cały czas obiera sam 8

10 Co zmienia Lusia? W pewnym momencie do pracy przychodzi Lusia, co możemy pokazać na rysunku następująco: a Kazik zaczyna obieranie b Lusia przychodzi Kazikowi z pomocą minut pozostała praca z Koniec pracy gdy Kazik cały czas obiera sam Gdy Lusia zaczyna pracować, to została im do wykonania pewna praca. Jak podzielą się to pracą Lusia i Kazik? Lusia wykonuje razy więcej pracy od Kazika w tym samym czasie. Zatem całą pracę musimy podzielić na części. Lusia wykona części z tej pracy (x), zaś Kazik tylko jedną część (x). Co z czasem? Z powyższego wynika następujący diagram:. Drugim i ostatnim elementem składu są wagony klasy, gdyż każdy skład wagonów musi rozpoczynać i kończyć wagon klasy ". Wagon Wars musi mieć sąsiedztwo zarówno wagonu klasy jak i wagonu klasy.. Naszym zadaniem jest wypisać wszystkie możliwe składy zgodne z powyższymi warunkami. Nie musimy nic obliczać tylko wypisać możliwe składy. Sposób rozwiązania zadania Najpierw zauważymy, że trzy pozycje w pociągu są już obsadzone: Pozycja lokomotywa Pozycja wagon klasy drugiej Pozycja 8 wagon klasy drugiej Kluczowe dla rozwiązania zadania jest ustawienie wagonu Wars. Może się on znajdować na pozycjach od do 7. Dla każdej pozycji Warsu wypiszemy możliwe ustawienia wagonów zauważając przy okazji, że analogiczne są sytuacje gdy Wars ma pozycje: i 7, oraz Szczegółowe rozwiązanie zadania Sytuacja A wagon Wars ma numer Budujemy takie ułożenie wagonów w pociągu, by Wars był jak najbardziej z lewej strony. 0 7

11 Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Grzesio zanotował skład przejeżdżającego pociągu w postaci kodu LW, gdzie kolejne znaki oznaczają L - lokomotywę, W - wagon z "Warsem", - wagon z miejscami klasy "", - wagon z miejscami klasy "". Podaj w postaci kodów, zaczynających się od litery L, wszystkie możliwe składy tego pociągu, zakładając, że wagon z "Warsem" musi być bezpośrednio połączony z wagonem klasy "" z jednej strony oraz z wagonem klasy "" z drugiej strony, w dowolnej kolejności. Liczba poszczególnych rodzajów wagonów w składzie musi być zachowana, każdy skład wagonów musi rozpoczynać i kończyć wagon klasy "" O co chodzi w zadaniu Czytając uważnie treść zadania możemy wyciągnąć następujące wnioski:. Skład pociągu ma dokładnie 8 elementów: a. Jedną lokomotywę b. Jeden wagon Wars c. Dwa wagony klasy d. Cztery wagony klasy. Pierwszym elementem składu jest lokomotywa a Kazik zaczyna obieranie minut minut 0 minut x b Lusia przychodzi Kazikowi z pomocą c Koniec pracy Lusi i Kazika z Koniec pracy gdy Kazik cały czas obiera sam Od chwili b (gdy Lusia przychodzi Kazikowi z pomocą) do chwili c (końca ich wspólnej pracy) Kazik wykona swoją część całej pracy: x. Co z pozostałą pracą x? Jak powiedzieliśmy wykona ją Lusia. Ale pamiętajmy jest to czterokrotność pracy Kazika od b do c. Gdyby nie Lusia, to Kazik przez 0 minut (zaoszczędzone mu przez Lusię) musiałby wykonać cztery razy tyle co wykonał od b do c. Czyli otrzymujemy, że czterokrotność pracy Kazika to 0 minut. Zatem od b do c Kazik pracował tylko 0 minut. x Uzupełniamy diagram Teraz możemy już uzupełnić diagram:

12 a Kazik zaczyna obieranie minut minut 0 minut minuta 0 minut 0 minut b Lusia przychodzi Kazikowi z pomocą c Koniec pracy Lusi i Kazika z Koniec pracy gdy Kazik cały czas obiera sam Widzimy więc, że Lusia przyszła Kazikowi z pomocą już po minucie! Znaczy się kochana siostra. Odpowiedź: Lusia przystąpiła do pracy po minucie samotnego obierania ziemniaków przez Kazika. Rozwiązanie sposób II Uwagi i szkic rozwiązania Brutalne rozwiązanie Jest to rozwiązanie siłowe, pozbawione jakiegokolwiek pomysłu. Układamy równanie i musi nam wyjść prawidłowy wynik. Jednak takie podejście wymaga następujących umiejętności:. Musimy bardzo dobrze operować na wyrażeniach algebraicznych. Zachęcamy do odwiedzenia stron: Podsumowanie Sytuacja A możliwości powieszenia ubrań Sytuacja B 7 możliwości powieszenia ubrań Ile możliwości powieszenia ubrań w szafie? Jak stwierdziliśmy na początku, z uwagi na symetrię, ilość ustawień ubrań w szafie to suma możliwości ustawień ubrań dla przypadków A oraz B, pomnożona przez : ( + 7) * = * = Odpowiedź: Zosia może powiesić swoje ubrania na sposoby.

13 7 8 Sytuacja B liczba możliwości powieszenia ubrań Przypadki od B do B zawierają wszystkie możliwe ustawienia granatowych swetrów i zielonych bluzek gdy czerwone spódnice zajmują pozycje nr i. Zatem ilość ustawień ubrań dla przypadku B (czerwone spódnice zajmują pozycje nr i ) to suma możliwych ustawień ubrań od B do B: + + = 7 a_algebraiczne/ algebraiczne/ gdzie znajdziesz wiele przykładów z rozwiązaniami. Musimy bardzo dobrze operować równaniami. Zachęcamy do odwiedzenia strony: gdzie znajdziesz wiele przykładów z rozwiązaniami. Musimy uważać na jednostki. Na przykład, jeśli Kazik obiera całość sobotnich ziemniaków (oznaczmy jako z ) przez minut ( m ) to prędkość jego obierania z wynosi m. Słowo przez jest odpowiednikiem kreski ułamkowej. Dlatego z jest w liczniku, zaś m w mianowniku. Nieprawidłowe są następujące zapisy: z a. - oznacza, że obieramy pięć m zestawów sobotnich ziemniaków w ciągu godziny m b. - zapis w ogóle nie oznacza z prędkości obierania ziemniaków.

14 Prędkość i równanie Najpierw stwierdzimy, że prędkość obierania z ziemniaków Kazika to, zaś prędkość m z obierania ziemniaków Lusi to. Zatem przez m z m minut Kazik obierze = z sobotnich m ziemniaków Lusia pomaga w czasie t w którym z t obierze sobotnich ziemniaków. Razem obiorą m wszystkie sobotnie ziemniaki (czyli z ) co daje nam równanie: z m z t + = d m m z którego obliczamy, że Lusia pomagała Kazikowi 0 minut, czyli przyszła z pomocą po minucie. Szczegółowe rozwiązanie zadania Oznaczenia z - całość ziemniaków obieranych każdej soboty. Każdej soboty jest dokładnie taka sama ilość ziemniaków do obrania m - jedna minuta v K - prędkość obierania ziemniaków przez Kazika v L - prędkość obierania ziemniaków przez Lusię Sytuacja B drugi granatowy najbardziej na lewo na siódmej pozycji Mamy cztery miejsca ustalone: 7 8 pozycja numer i to pozycje czerwonych spódnic zgodnie z naszym założeniem dla wszystkich sytuacji B pozycja numer to pierwszy granatowy sweter zgodnie z warunkami zadania pozycja numer 7 to najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra o nie może znajdować się na pozycji gdyż sąsiadowałby z ustaloną pozycją pierwszego granatowego swetra. o pozycje numer i już rozpatrzyliśmy Wówczas na wolnych dwóch pozycjach mamy tylko jedną możliwość powieszenia ostatniego (trzeciego) granatowego swetra i czterech zielonych bluzek, analogicznie jak w sytuacji A:

15 Prędkość obierania ziemniaków przez Kazika Kazik obiera sobotnią porcję ziemniaków przez minut. Zatem jego prędkość obierania ziemniaków v K wynosi: z v K = m Możemy to interpretować, że Kazik obiera sobotni zestaw ziemniaków w ciągu minut. Prędkość obierania ziemniaków przez Lusię Lusia obiera ziemniaki cztery razy szybciej od Kazika, więc jej prędkość obierania ziemniaków v L wynosi: z z vl = vk = = m m Możemy to interpretować, że Lusia obierze cztery zestawy sobotnich ziemniaków przez minut. 7 8 Ile porcji sobotnich ziemniaków obierze każde z nich przez określony czas? Co oznaczają obliczone powyżej prędkości obierania sobotniego zestawu ziemniaków? Jeśli mamy dany czas to możemy obliczyć jaką część sobotniego zestawu ziemniaków obierze Kazik przez ten dany czas. Jeśli Kazik obiera sobotni zestaw ziemniaków prze 7 minut to w tym czasie obierze:

16 z z 7m z 7 v K 7m = 7m = = = m m z = = z Otrzymujemy, że w ciągu 7 minut Kazik obierze części sobotniego zestawu ziemniaków. Jeśli Kazik obiera sobotni zestaw ziemniaków przez 0 minuty (h minuty) to w tym czasie obierze: z z 0m z 0 v K 0m = 0m = = = m m z = = z Otrzymujemy, że w ciągu 0 minut (h minuty) Kazik obierze dwa zestawy sobotnich ziemniaków. Wydaje się to rozsądne, gdyż w ciągu minut obiera jeden taki zestaw. Podobnie możemy obliczać jaką część sobotniego zestawu ziemniaków obierze Lusia w określonym czasie. Jeśli Lusia obiera ziemniaki przez minuty to w tym czasie obierze: z z m z z v L m = m = = = = m m 7 z = = z 7 7 zajmując kolejno trzy pozycje: od siódmej do dziewiątej. Zatem dla sytuacji B (czerwone spódnice na trzeciej i czwartej pozycji, najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra wynosi jeden) mamy różne ustawienia. Sytuacja B drugi granatowy najbardziej na lewo na drugiej pozycji Mamy cztery miejsca ustalone: 7 8 pozycja numer i to pozycje czerwonych spódnic zgodnie z naszym założeniem dla wszystkich sytuacji B pozycja numer to pierwszy granatowy sweter zgodnie z warunkami zadania pozycja numer to najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra zgodnie z naszym założeniem dla sytuacji B Wówczas również mamy możliwości ustawienia ostatniego (trzeciego) granatowego swetra i czterech zielonych bluzek, podobnie jak w sytuacji B.

17 Otrzymujemy, że w ciągu minut Lusia obierze 7 sobotniego zestawu ziemniaków. 7 8 Podział pracy gdy Lusia przyszła z pomocą Część sobotnich ziemniaków obrana przez Kazika: p K = v K*m Część sobotnich ziemniaków obrana przez Lusię: p = v *t L L 7 8 Identycznie jak w sytuacji A, ostatni, trzeci granatowy sweter musi zajmować pozycje od 7 do gdyż nie może sąsiadować z innymi granatowymi swetrami. Wędruje wśród zielonych bluzek 7 8 minuta 0 Kazik zaczyna obieranie minuta x Lusia przychodzi Kazikowi z pomocą t minuta Koniec pracy Lusi i Kazika Ile sobotnich ziemniaków obrał Kazik? W naszej sytuacji (gdy Lusia przychodzi z pomocą po x minutach) Kazik pracował minut. W tym czasie Kazik obrał pewną część sobotnich ziemniaków. Możemy ją obliczyć jak poniżej ( p K - obrana przez Kazika część sobotnich ziemniaków w ciągu minut): z z m pk = vk m = m = m m () Celowo nie skracamy miana minut, gdyż później będziemy musieli mieć w mianowniku m by 0 7

18 dodać ułamki (ziemniaki obrane przez Kazika i Lusię). z m Otrzymujemy, że Kazik obrał = z m sobotnich ziemniaków w ciągu minut. Ile sobotnich ziemniaków obrała Lusia? Lusia nie pracowała cały czas. Oznaczmy czas pracy Lusi jako t. W tym czasie Lusia obrała pewną część sobotnich ziemniaków, którą możemy obliczyć jak poniżej ( p L - obrana przez Lusię część sobotnich ziemniaków w czasie t ): z z t pl = vl t = t = m m () z t Otrzymujemy, że Lusia obrała części m sobotnich ziemniaków w czasie w którym pomagała Kazikowi (t ). Układamy równanie W efekcie, Kazik i Lusia obrali całość sobotnich ziemniaków. Oznacza to, że suma części sobotnich ziemniaków: p K (część obrana przez Kazika) oraz p L (część obrana przez Lusię) daje całość sobotnich ziemniaków (czyli z ). Możemy to zapisać jak poniżej: pk + pl = z Sytuacja B drugi granatowy najbardziej na lewo na pierwszej pozycji Mamy cztery miejsca ustalone: 7 8 pozycja numer i to pozycje czerwonych spódnic zgodnie z naszym założeniem dla wszystkich sytuacji B pozycja numer to pierwszy granatowy sweter zgodnie z warunkami zadania pozycja numer to najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra zgodnie z naszym założeniem dla sytuacji B Wówczas na wolnych pięciu pozycjach mamy następujące możliwości powieszenia ostatniego (trzeciego) granatowego swetra i czterech zielonych bluzek: 8

19 Zatem ilość ustawień ubrań dla przypadku A (czerwone spódnice zajmują pozycje nr i ) to suma możliwych ustawień ubrań od A do A: + = Sytuacja B czerwone spódnice na i pozycji Gdy czerwone spódnice znajdują się na i pozycji to mamy ustalone następujące miejsca ubrań: Wystarczy podstawić obliczone powyżej () i () wartości p K oraz p L by otrzymać równanie: z m z t + = d m m zm + zt = z m m zm + zt = zm zt = zm zm zt = 0zm : z ( mozemy dzielic przez z, gdyz z nie jest 7 8 pozycja numer i to czerwone spódnice zgodnie z naszym założeniem. Rozpatrujemy ich kolejne położenie przesuwając je w prawą stronę pozycja numer to granatowy sweter zgodnie z warunkami zadania Ilość możliwości powieszenia pozostałych ubrań dla takiej sytuacji rozpatrzymy ponownie w zależności od miejsca gdzie wisi najbardziej skrajnie lewy, drugi granatowy sweter. t = 0m t = 0m : zerem jako calosc ziemniakow) Otrzymujemy, że Lusia pomagała Kazikowi przez 0 minut. O której godzinie Lusia przyszła z pomocą? minuta 0 Kazik zaczyna obieranie minuta Lusia przychodzi Kazikowi z pomocą m t = 0m minuta Koniec pracy Lusi i Kazika 8

20 Ponieważ Kazik całość pracy Kazika to minut, Lusia pomagała 0 minut, więc Lusia przyszła z pomocą Kazikowi po minucie. Odpowiedź: Lusia przystąpiła do pracy po minucie samotnego obierania ziemniaków przez Kazika. Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Działkowicz miał do przekopania działkę. Pracę rozpoczął o godzinie :00 rano. Gdyby pracował bez przerwy w równym tempie, pracę mógłby zakończyć dopiero o godzinie :0. W trakcie pracy działkowiczowi przyszedł z pomocą młodszy kolega i od pewnej godziny do zakończenia pracy o godzinie :00 pracowali razem. Działkowicz i młodszy kolega pracowali cały czas równomiernie, a tempo pracy młodszego kolegi było dwukrotnie większe. Do której godziny od :00 działkowicz pracował sam? Odpowiedź uzasadnij. o pozycję numer już rozpatrzyliśmy Wówczas na wolnych dwóch pozycjach mamy tylko jedną możliwość powieszenia ostatniego (trzeciego) granatowego swetra i czterech zielonych bluzek: 7 8 Ostatni, trzeci granatowy sweter musi zajmować pozycje gdyż nie może sąsiadować z innymi granatowymi swetrami. Zatem dla sytuacji A (czerwone spódnice na drugiej i trzeciej pozycji, najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra wynosi siedem) mamy ustawienie. Sytuacja A liczba możliwości powieszenia ubrań Drugi granatowy sweter nie może znajdować się najbardziej na lewo na pozycji nr 8, gdyż wówczas ostatni granatowy sweter miałby pozycję numer i obydwa granatowe swetry sąsiadowałyby ze sobą co jest sprzeczne z warunkami zadania. Zatem przypadki A oraz A zawierają wszystkie możliwe ustawienia granatowych swetrów i zielonych bluzek gdy czerwone spódnice zajmują pozycje nr i. 0 7

21 Ostatni, trzeci granatowy sweter musi zajmować pozycje od 7 do gdyż nie może sąsiadować z innymi granatowymi swetrami. Wędruje wśród zielonych bluzek zajmując kolejno trzy pozycje: od siódmej do dziewiątej. Zatem dla sytuacji A (czerwone spódnice na drugiej i trzeciej pozycji, najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra wynosi jeden) mamy różne ustawienia. Sytuacja A drugi granatowy najbardziej na lewo na siódmej pozycji Mamy cztery miejsca ustalone: 7 8 pozycja numer i to pozycje czerwonych spódnic zgodnie z naszym założeniem dla wszystkich sytuacji A pozycja numer to pierwszy granatowy sweter zgodnie z warunkami zadania pozycja numer 7 to najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra o nie może znajdować się na pozycjach i gdyż sąsiadowałby z ustaloną pozycją pierwszego granatowego swetra. Rozwiązanie sposób I Uwagi i szkic rozwiązania Liczy się pomysł Ten sposób rozwiązania zadania wymaga wytężenia umysłu i chwili zastanowienia się. Opiera się na pomyśle, który musi przyjść nam do głowy w trakcie konkursu. Jeśli wpadniemy na pomysł, to zadanie rozwiązuje się w minuty. Prawdopodobnie autorowi zadania chodziło, by rozwiązać problem właśnie w poniższy sposób. Praca młodszego kolegi krotnością pracy działkowicza wykonana w h 0min Najpierw zauważymy, ze od chwili przyjścia młodszego kolegi działkowicz wykonał pozostałej pracy, zaś młodszy kolega pozostałej pracy. Gdyby nie młodszy kolega to działkowicz te pozostałej pracy musiałby wykonać sam pomiędzy :00 a :0 czyli w ciągu 0 minut. Otrzymujemy, że pozostałej pracy działkowicz wykonuje w ciągu 7 minut ( godzina i minut). To znaczy, że od przyjścia kolegi do :00 minęła właśnie godzina i minut czyli młodszy kolega przyszedł o :.

22 Szczegółowe rozwiązanie zadania Działkowicz pracuje samodzielnie Sytuacja gdy działkowicz pracuje samodzielnie przedstawia rysunek poniżej: :00 Działkowicz zaczyna pracę 7h 0min :0 Działkowicz kończy pracę gdy kopie całą działkę samodzielnie pozycja numer to pierwszy granatowy sweter zgodnie z warunkami zadania pozycja numer to najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra zgodnie z naszym założeniem dla sytuacji A Wówczas na wolnych pięciu pozycjach mamy następujące możliwości powieszenia ostatniego (trzeciego) granatowego swetra i czterech zielonych bluzek: Pracując samodzielnie działkowicz rozpoczyna pracę o :00 rano i kończy :0, czyli pracuje 7 godzin i 0 minut. 7 8 W trakcie pracy przychodzi z pomocą młodszy kolega O pewnej godzinie p z pomocą działkowiczowi przychodzi młodszy kolega co możemy zaznaczyć następująco: 7h 0min 7 8 pozostała praca :00 Działkowicz zaczyna pracę Godzina p Młodszy kolega rozpoczyna pracę pomagając działkowiczowi :0 Działkowicz kończy pracę gdy kopie całą działkę samodzielnie 7 8

23 pozycja numer i to zgodnie z naszym założeniem skrajnie lewe pozycje czerwonych spódnic, gdyż muszą znajdować się obok siebie (jeden podwójny element) a jednocześnie nie mogą być na początku pozycja numer to granatowy sweter zgodnie z warunkami zadania Ilość możliwości powieszenia pozostałych ubrań dla takiej sytuacji rozpatrzymy w zależności od miejsca gdzie wisi najbardziej skrajnie lewy, drugi granatowy sweter. Pierwszy granatowy sweter ma ustaloną pozycję numer zgodnie z warunkami zadania. Granatowych swetrów jest mniej niż zielonych spódnic i łatwiej jest usystematyzować (podzielić na przypadki) możliwe powieszenia ubrań w zależności od pozycji granatowych swetrów. Sytuacja A drugi granatowy najbardziej na lewo na pierwszej pozycji Mamy cztery miejsca ustalone: 7 8 pozycja numer i to pozycje czerwonych spódnic zgodnie z naszym założeniem dla wszystkich sytuacji A Po przyjściu młodszego kolegi, działkowicz i młodszy kolega muszą między siebie podzielić pozostałą pracę. Jak działkowicz i młodszy kolega podzielą między siebie pozostałą pracę? Treść zadania mówi, że młodszy kolega posiada dwa razy większe tempo pracy. Inaczej mówiąc, młodszy kolega wykona dwa razy więcej pozostałej pracy. Oznacza to, że jeśli działkę, która została do skopania po godzinie p, podzielimy na części to działkowicz przekopie jedną część (oznaczmy jako x), zaś młodszy kolega przekopie dwie części (oznaczmy jako x) wszystko między godziną p a godziną :00. Obrazuje to poniższy rysunek: :00 Działkowicz zaczyna pracę Godzina p Młodszy kolega rozpoczyna pracę pomagając działkowiczowi 7h 0min Działkowicz wykonuje pracę x Młodszy kolega wykonuje pracę x :00 Działkowicz i młodszy kolega kończą pracę :0 Działkowicz kończy pracę gdy kopie całą działkę samodzielnie Między godziną p a godziną :00, działkowicz wykona pracę x, zaś młodszy kolega wykona dwukrotnie większą pracę x.

24 Ile czasu działkowicz kopie x działki? Spójrzmy na uzyskany przed chwilą wynik inaczej. Gdyby nie młodszy kolega to nasz działkowicz musiałby między godziną :00 a :0 przekopać x działki. Dlaczego? Wiem, że działkowicz między godziną p a :00 przekopuje x działki, czyli od godziny :00 do :0 zostaje mu do przekopania x działki (gdy z młodszym kolegą kończą pracę o :00 to przekopanie tego kawałka x załatwia mu właśnie młodszy kolega). :00 Działkowicz zaczyna pracę Godzina p Młodszy kolega rozpoczyna pracę pomagając działkowiczowi 7h 0min Działkowicz wykonuje pracę x Młodszy kolega wykonuje pracę x :00 Działkowicz i młodszy kolega kończą pracę h 0min Działkowicz wykonuje pracę x gdy nie ma młdoszego kolegi :0 Działkowicz kończy pracę gdy kopie całą działkę samodzielnie Skoro między godziną :00 a :0 działkowicz przekopuje x działki, to możemy obliczyć ile czasu działkowicz przekopuje x działki. Między godziną :00 a :0 jest godziny i 0 minut czyli: 0 minut + 0 minut + 0 minut = 0 minut + 0 minut = 0 minut Skoro działkowicz przekopuje x działki przez 0 minut to x działki przekopie przez: 0 minut / = 7 minut = godzina minut Z symetrii wynika, że gdy czerwone spódnice są na pozycji jaki w przypadku (C) to ilość ustawień pozostałych ubrań jest jak w przypadku (A). Podobnie, gdy czerwone spódnice są na pozycji jaki w przypadku (D) to ilość ustawień pozostałych ubrań jest jak w przypadku (B). (A) (B) (C) (D) Dlatego wystarczy rozpatrzyć tylko ilość ustawień ubrań dla przypadków (A) i (B) a następnie sumę tych przypadków pomnożyć przez, by mieć ilość ustawień ubrań zgodnie z zasadami Zosi.. Sytuacja A czerwone spódnice najbardziej na lewo: na drugiej i trzeciej pozycji Gdy czerwone spódnice znajdują się najbardziej na lewo to mamy ustalone następujące miejsca ubrań: 7 8

25 Dzielimy na przypadki wobec najrzadziej występującego elementu Ponieważ czerwonych spódnic jest najmniej (właściwie jeden, podwójny element), więc najłatwiej ustawienia ubrań podzielić na przypadki względem położenia czerwonych spódnic, a następnie zsumować ilość ustawień z każdego przypadku. Symetria Przyglądając się chwilę wieszakowi, widzimy, że możliwe ustawienia ubrań są w pełni symetryczne względem środkowej pozycji nr, na której obowiązkowo znajduje się granatowy sweter. Dlatego wystarczy rozpatrzeć liczbę ustawień ubrań dla następujących przypadków (A) i (B) położenia czerwonych spódnic: 7 8 (A) Ile czasu kopie działkowicz od godziny p do :00? Wracając do poprzedniego rysunku, widzimy, że między godziną p a godziną :00 działkowicz przekopał x działki. Ale przecież wiemy, że na przekopanie x działki działkowicz potrzebuje godziny i minut: :00 Działkowicz zaczyna pracę Godzina p Młodszy kolega rozpoczyna pracę pomagając działkowiczowi 7h 0min Działkowicz wykonuje pracę x Młodszy kolega wykonuje pracę x :00 Działkowicz i młodszy kolega kończą pracę h 0min Działkowicz wykonuje pracę x gdy nie ma młdoszego kolegi :0 Działkowicz kończy pracę gdy kopie całą działkę samodzielnie O której godzinie młodszy kolega przyszedł z pomocą? Teraz łatwo obliczymy godzinę p o której młodszy kolega przyszedł z pomocą działkowiczowi: :00 godzina minut = : (B) 7 8

26 :00 Działkowicz zaczyna pracę Godzina p : Młodszy kolega rozpoczyna pracę pomagając działkowiczowi 7h 0min h min Działkowicz wykonuje pracę x :00 Działkowicz i młodszy kolega kończą pracę Odpowiedź: Młodszy kolega przyszedł z pomocą działkowiczowi o godzinie :. :0 Działkowicz kończy pracę gdy kopie całą działkę samodzielnie Rozwiązanie sposób II Uwagi i szkic rozwiązania Brutalne rozwiązanie Jest to rozwiązanie siłowe, pozbawione jakiegokolwiek pomysłu. Układamy równanie i musi nam wyjść prawidłowy wynik. Jednak takie podejście wymaga następujących umiejętności:. Musimy bardzo dobrze operować na wyrażeniach algebraicznych. Zachęcamy do odwiedzenia stron: a_algebraiczne/ algebraiczne/ ilość ustawień dla przypadków B oraz C jest taka sama. Dlatego rozpatrzymy tylko ilość ustawień granatowych swetrów i zielonych bluzek dla przypadków A oraz B. Suma ilości ustawień ubrań dla przypadków A oraz B pomnożona przez da nam ilość ustawień wszystkich ubrań. Szczegółowe rozwiązanie zadania Przykładowy układ ubrań na wieszaku 7 8 Czerwone spódnice Zwróćmy uwagę, że dwie czerwone spódnice możemy potraktować jako jeden element, gdyż muszą znajdować się obok siebie nie można ich rozdzielić. Również czerwone spódnice nie mogą zajmować pozycji numer oraz (skrajnych pozycji).

27 Zadanie nr Treść zadania Zosia przechowuje na odpowiednio długim wieszaku w szafie następujące ubrania: cztery takie same zielone bluzki trzy takie same granatowe swetry dwie takie same czerwone spódnice Zosia nigdy nie wiesza swoich ubrań byle jak ma określone zasady: czerwone spódnice muszą zawsze wisieć razem jedna obok drugiej przy czym żadna czerwona spódnica nie może wisieć z brzegu grantowe swetry nigdy, ze sobą nie sąsiadują przy czym na środkowej pozycji (piątej od lewej) zawsze wisi granatowy sweter Na ile sposobów Zosia może powiesić swoje ubrania w szafie? Sposób rozwiązania zadania Dwie czerwone spódnice potraktujemy jako całość gdyż nie można ich rozdzielać. Mogą one zajmować pozycje: A. i B. i C. i 7 D. 7 i 8 Z uwagi na symetrię ilość ustawień ubrań dla przypadków A oraz D jest taka sama. Podobnie gdzie znajdziesz wiele przykładów z rozwiązaniami. Musimy bardzo dobrze operować równaniami. Zachęcamy do odwiedzenia strony: gdzie znajdziesz wiele przykładów z rozwiązaniami. Musimy uważać na jednostki. Na przykład, jeśli działkę kopiemy przez dwie godziny to d prędkość naszego kopania wynosi ( d h to działka zaś h godzina). Słowo przez jest odpowiednikiem kreski ułamkowej czyli d (jedna działka) jest w liczniku, zaś h (dwie godziny) w mianowniku. Nieprawidłowe są następujące zapisy: a. b. d - oznacza, że kopiemy działki h w ciągu godziny h - zapis w ogóle nie oznacza d prędkości kopania. Prędkość i równanie Najpierw stwierdzimy, że prędkość kopania d działkowicza to (gdzie d to cała działka), 7,h 0 7

28 d zaś prędkość kopania młodszego kolegi to. 7,h Zatem przez godzin kopania działkowicz d h przekopie = d działki. Młodszy kolega 7,h 7, d t pomaga w czasie t w którym przekopie 7,h działki. Razem przekopią całą działkę (czyli d ) co daje nam równanie: h d d t + = d 7,h 7,h z którego obliczamy, że młodszy działkowicz pomagał h min, czyli przyszedł z pomocą o :. Szczegółowe rozwiązanie zadania Oznaczenia d - cała działka h - jedna godzina v d - prędkość pracy działkowicza v m - prędkość pracy młodszego kolegi Prędkość pracy działkowicza Od godziny :00 rano do :0 mija 7,h. W takim czasie działkowicz przekopuje całą działkę samodzielnie czyli prędkość jego kopania v d wynosi: Ile pozycji czerwonego żołnierza? Zauważmy, że mamy pozycji czerwonego żołnierza: A () B () C () D () E () F () Ile możliwości ustawień żołnierzy? Każda z powyższych pozycji czerwonego żołnierza daje nam 0 ustawień pozostałych żołnierzy. Zatem liczba wszystkich ustawień żołnierzy w szeregu to * 0 = 0. Odpowiedź: Mateusz może ustawić swoich żołnierzy na 0 sposobów. 8

29 B pierwszy granatowy żołnierz może mieć najbardziej lewą pozycję: nr (sytuacja B) wówczas drugi granatowy żołnierz ma możliwe pozycje (jak w przypadku A) nr (sytuacja B) wówczas drugi granatowy żołnierz ma możliwe pozycje (jak w przypadku A) nr (sytuacja B) wówczas drugi granatowy żołnierz ma możliwe pozycje (jak w przypadku A) nr (sytuacja B) wówczas drugi granatowy żołnierz ma możliwą pozycję (jak w przypadku A) Zatem dla sytuacji B (czerwony żołnierz na drugiej pozycji) mamy 0 możliwych ustawień żołnierzy (jak dla sytuacji A). d v d = 7, h Możemy to interpretować, że działkowicz przekopuje całą działkę przez 7,h. Prędkość pracy młodszego kolegi Młodszy kolega jest dwa razy szybszy od działkowicza (przekopuje działkę dwa razy szybciej), więc jego prędkość kopania v m wynosi: d d vm = vd = = 7,h 7,h Możemy to interpretować, że młodszy kolega przekopuje dwie działki przez 7,h. Ile działki przekuje każdy z nich przez określony czas? Co oznaczają obliczone powyżej prędkości kopania? Jeśli mamy dany czas to możemy obliczyć jaką część działki przekopie działkowicz przez ten dany czas. Jeśli działkowicz kopie godziny to w tym czasie przekopie: d d h d d v d h = h = = = = d 7,h 7,h 7,,, Otrzymujemy, że w ciągu godzin działkowicz przekopie części działki., 8

30 Jeśli działkowicz kopie godzin to w tym czasie przekopie: d d h d h d v d h = h = = = = d 7,h 7,h 7, Otrzymujemy, że w ciągu godzin działkowicz przekopie działki. Wydaje się to rozsądne, gdyż w ciągu 7, godziny przekopuje całą działkę. Podobnie możemy obliczać jaki kawałek działki przekopie młodszy kolega w określonym czasie. Jeśli młodszy kolega kopie, godziny to w tym czasie przekopie: Sytuacja B czerwony żołnierz na drugiej pozycji Łatwo zauważymy, że gdy czerwony żołnierz znajduje się na drugiej pozycji, to również mamy dokładnie cztery sytuacje od B do B odpowiadające sytuacjom A do A: A B v d d.h d, d m,h =,h = = = = d 7,h 7,h 7, A B Otrzymujemy, że w ciągu, godziny młodszy kolega przekopie działki. A B A B Oprócz faktu, że czerwony żołnierz zajmuje pierwszą kolumnę w sytuacji A, zaś drugą kolumnę w sytuacji B to nic się nie zmienia. Dla przypadku 0 7

31 Sytuacja A liczba ustawień żołnierzy Przypadki od A do A zawierają wszystkie możliwe ustawienia granatowych i zielonych żołnierzy gdy czerwony żołnierz ma pozycję numer. Zatem ilość ustawień żołnierzy dla przypadku A (pierwszy czerwony żołnierz) to suma możliwych ustawień żołnierzy od A do A: = + = 0 Podział pracy gdy młodszy kolega przyszedł z pomocą :00 Działkowicz zaczyna pracę Działkowicz wykonuje pracę p d = v d*h Godzina p Młodszy kolega rozpoczyna pracę pomagając działkowiczowi Młodszy kolega wykonuje pracę p m = v m*t t :00 Działkowicz i młodszy kolega kończą pracę Ile przekopał działkowicz? W naszej sytuacji działkowicz pracował godzin: od :00 do :00. W tym czasie działkowicz przekopał pewną część działki którą możemy obliczyć jak poniżej ( p d - przekopana przez działkowicza część działki przez h): d d h pd = vd h = h = 7,h 7,h () Celowo nie skracamy miana godzin, gdyż później będziemy musieli mieć w mianowniku 7,h by dodać ułamki (pracę działkowicza i młodszego kolegi).

32 Otrzymujemy, że działkowicz przekopał d h = d działki od :00 do :00. 7,h 7, Ile przekopał młodszy kolega? Młodszy kolega nie pracował cały czas. Oznaczmy czas pracy młodszego kolegi jako t. W tym czasie młodszy kolega przekopał pewną część działki którą możemy obliczyć jak poniżej ( p m - przekopana przez młodszego kolegę część działki przez czas t ): d d t pm = vd t = t = 7,h 7,h () d t Otrzymujemy, że młodszy kolega przekopał 7,h działki w czasie w którym pomagał działkowiczowi (t ). Układamy równanie W efekcie, działkowicz i młodszy kolega przekopali całą działkę. Oznacza to, że suma części działek: p d (część działki przekopana przez działkowicza) oraz p m (część działki przekopana przez młodszego kolegę) daje całą działkę (czyli d ). Możemy to zapisać jak poniżej: pd + pm = d Drugi granatowy żołnierz wędrując wśród zielonych żołnierzy, zajmuje dwie pozycje: od piątej do szóstej. Zatem dla sytuacji A (pierwszy czerwony żołnierz, drugi zielony żołnierz, trzeci zielony żołnierz, czwarty granatowy żołnierz) mamy różne ustawienia. Sytuacja A najbardziej na lewo granatowy żołnierz na piątej pozycji Mamy pięć ustalonych pozycji: pozycja numer czerwony żołnierz pozycja numer musi być zielony żołnierz, gdyż założyliśmy, że granatowi żołnierze mają pozycję numer lub większą. pozycja numer musi być zielony żołnierz, gdyż założyliśmy, że granatowi żołnierze mają pozycję numer lub większą. pozycja numer musi być zielony żołnierz, gdyż założyliśmy, że granatowi żołnierze mają pozycję numer lub większą. pozycja numer pierwszy granatowy żołnierz zgodnie z założeniem Wówczas na pozycjach od piątej do szóstej mamy granatowych żołnierzy, czyli jedną możliwość ustawienia pozostałych dwóch granatowych żołnierzy:

33 Drugi granatowy żołnierz znów wędruje wśród zielonych żołnierzy, ale tym razem zajmuje trzy pozycje: od czwartej do szóstej. Zatem dla sytuacji A (pierwszy czerwony żołnierz, drugi zielony żołnierz, trzeci granatowy żołnierz) mamy różne ustawienia. Sytuacja A najbardziej na lewo granatowy żołnierz na czwartej pozycji Mamy cztery ustalone pozycje: pozycja numer czerwony żołnierz pozycja numer musi być zielony żołnierz, gdyż założyliśmy, że granatowi żołnierze mają pozycję numer lub większą. pozycja numer musi być zielony żołnierz, gdyż założyliśmy, że granatowi żołnierze mają pozycję numer lub większą. pozycja numer pierwszy granatowy żołnierz zgodnie z założeniem Wówczas na pozycjach od piątej do szóstej mamy następujące możliwości ustawienia pozostałych dwóch granatowych i jednego zielonego żołnierza: Wystarczy podstawić obliczone powyżej () i () wartości p d oraz p m by otrzymać równanie: d h d t + = d 7,h 7,h dh + dt = d 7,h 7,h dh + dt = 7,dh dt = 7,dh dh dt =,dh t =,h : : d ( mozemy gdyz dzialka) d 0 dzielic jako przez cala d, t =,h Otrzymujemy, że młodszy kolega pomagał działkowiczowi przez,h. Ile to jest,h? 0, godziny to 0, z 0 minut: 0, 0min = 0min = min Czyli,h to godzina i minut.

34 O której godzinie młodszy kolega przyszedł z pomocą? :00 Działkowicz zaczyna pracę Godzina p Młodszy kolega rozpoczyna pracę pomagając działkowiczowi t = h min :00 Działkowicz i młodszy kolega kończą pracę Ponieważ działkowicz i młodszy kolega skończyli pracę o :00, zaś młodszy kolega pracował h min, więc młodszy kolega przyszedł do pomocy o: :00 h min = 0:00 min = : Odpowiedź: Młodszy kolega przyszedł z pomocą działkowiczowi o godzinie :. Drugi granatowy żołnierz niejako wędruje wśród zielonych żołnierzy zajmując kolejno cztery pozycje: od trzeciej do szóstej. Zatem dla sytuacji A (pierwszy czerwony żołnierz, drugi granatowy żołnierz) mamy różne ustawienia. Sytuacja A najbardziej na lewo granatowy żołnierz na trzeciej pozycji Mamy trzy ustalone pozycje: pozycja numer czerwony żołnierz pozycja numer musi być zielony żołnierz, gdyż założyliśmy, że granatowi żołnierze mają pozycję numer lub większą. pozycja numer pierwszy granatowy żołnierz zgodnie z założeniem Wówczas na pozycjach od czwartej do szóstej mamy następujące możliwości ustawienia pozostałych dwóch granatowych i dwóch zielonych żołnierzy:

35 zostaje nam pozycji (od drugiej do szóstej) gdzie możemy wstawić dwóch grantowych i trzech zielonych żołnierzy. Sytuacja A najbardziej na lewo granatowy żołnierz na drugiej pozycji Mamy dwie ustalone pozycje: pozycja numer czerwony żołnierz pozycja numer granatowy żołnierz Wówczas na pozycjach od trzeciej do szóstej mamy następujące możliwości ustawienia pozostałych dwóch granatowych i trzech zielonych żołnierzy: Zestaw II Zadanie nr Treść zadania Trójka dzieci: Adrian, Basia i Cyprian bawiła się w grę o następujących zasadach:. Najpierw dziecko pisze na kartce dowolna liczbę. Kartki oddaje się do sędziego. Następnie sędzia losuje kolejność dzieci. Na tablicy, pierwsze wylosowane dziecko wypisuje wielokrotności liczby którą zapisało na kartce w zakresie od do 00. Kolejne dzieci (według losowania) dopisują na tablicy wielokrotności liczb zapisanych przez siebie na kartce w przedziale od do 00 według następujących zasad: a. Jeśli danej wielokrotności nie było na tablicy, to ta liczba jest dopisywana. b. Jeśli dana wielokrotność już jest na tablicy (powtarza się z wielokrotnością któregoś poprzedniego dziecka) to nie jest dopisywana. Wygrywa ta osoba która wypisze najwięcej liczb na tablicy. Na kartkach dzieci zapisały następujące liczby:

36 Basia: Adrian: Cyprian: 0 Sędzia wylosował następującą kolejność wypisywania liczb na tablicy:. Adrian. Basia. Cyprian Które z dzieci wygrało grę? Jaka jest strategię powinno obrać dziecko by wygrać tę grę? Wytłumaczenie treści zadania Zrozumieć treść zadania! Zadanie posiada dość złożoną treść, za którą kryje się proste polecenie. Tym bardziej nam to uwypukla konieczność:. Znajomości treści zadania. Zrozumienia treści zadania Wydaje się to oczywiste, ale jest to jeden z najczęstszych błędów na konkursach:. Uczniowie nie rozwiązują zadania bo go nie rozumieją. Często trzeba przeczytać zadanie kilkukrotnie by zrozumieć jego treść.. Uczniowie źle, niedbale, niedokładnie przeczytali treść zadania i rozwiązują inne zadanie niż jest na kartce. Zestaw V Zadanie nr Treść zadania Mateusz robi musztrę swoim żołnierzykom ustawiając ich jeden za drugim. Na ile sposobów Mateusz może ustawić swoich żołnierzy, jeśli żołnierzy można rozróżnić tylko kolorami: jeden żołnierz ma kolor czerwony dwóch żołnierzy ma kolor granatowy trzech żołnierzy ma kolor zielony Sposób rozwiązania zadania Zauważymy, że mamy sześć przypadków ustawienia czerwonego żołnierza. Dla każdego z tych przypadków będzie 0 możliwych równoważnych ustawień granatowych i zielonych żołnierzy. Zatem wszystkich ustawień żołnierzy otrzymamy * 0 czyli 0. Szczegółowe rozwiązanie zadania Sytuacja A czerwony żołnierz na pierwszej pozycji Gdy czerwony żołnierz okupuje pozycję numer

37 Pole prostokąta to iloczyn długości boków: P = * = Odpowiedź: Kwadraty z których złożony jest prostokąt mają boki o długościach:,, oraz. Pole prostokąta wynosi. Za rozwiązanie innego zadania nie ma niestety punktów. Dlatego proponujemy zawsze sprawdzać, czy rozwiązanie zgadza się z treścią zadania z tą treścią która jest na kartce! Nie można się zniechęcać jeśli po jednokrotnym przeczytaniu zadania nie rozumiemy jego treści! O co chodzi w zadaniu? Zgodnie z kolejnością jaką wylosował sędzia dzieci będą wypisywać na tablicy:. Adrian wpisuje dzielniki liczby w zakresie od do 00.. Basia dopisuje dzielniki liczby w zakresie od do 00. Jeśli dzielnik liczby znajduje się już na tablicy (jest również dzielnikiem liczby ) to Basia go nie dopisze. I tak na przykład: a. Basia dopisze liczbę 0 (dzieli się przez ) b. Basia nie dopisze liczby 0 (dzieli się przez i przez ). Cyprian dopisuje dzielniki liczby 0 w zakresie od do 00. Jeśli dzielnik liczby 0 znajduje się już na tablicy (jest również dzielnikiem liczby lub ) to Cyprian go nie dopisze. I tak na przykład: a. Cyprian dopisze liczbę 0 (dzieli się przez 0) b. Cyprian nie dopisze liczby 0 (dzieli się przez 0 i przez ) 0 7

38 c. Cyprian nie dopisze liczby 00 (dzieli się przez 0 i przez ) Naszym zadaniem jest obliczyć ilość liczb wypisanych przez każde dziecko i określić kto ich najwięcej napisał (kto jest zwycięzcą). Dodatkowo powinniśmy zastanowić się nad strategią, to znaczy jaką liczbę powinno wypisać na kartce dziecko by mieć największą szansę na zwycięstwo wypisywanie jak największej ilości liczb. Sposób rozwiązania zadania Adrian wypisał wielokrotności liczby w za kresie od do 00, czyli wypisał 8 liczb. Basia miała dopisać wielokrotności liczby w zakresie od do 00. Jednak nie mogła dopisać wszystkich liczb. Basia nie dopisywała liczb które już są na tablicy wypisane wcześniej przez Adriana, czyli nie dopisywała liczb podzielnych przez i. Liczby podzielne przez i to liczby podzielne przez 7 ponieważ NWW(,)=7, W zakresie od do 00 jest liczb podzielnych przez liczby podzielnych przez 7 Zatem Basia dopisała - czyli liczb. Cyprian miał dopisać wielokrotności liczby 0 w zakresie od do 00. Tych liczb jest 0. Jednak Cyprian nie dopisywał liczb które już są na tablicy wypisane wcześniej przez Adriana i Basię, czyli nie dopisywał: Pole całego prostokąta Wymiary prostokąta obliczamy jako:. Szerokość: suma fioletowego i czerwonego boku: + =. Wysokość: suma fioletowego i zielonego boku: + = 8

39 Długości boków dużych kwadratów Teraz możemy obliczyć długości boków czerwonego i zielonego kwadratu poniżej jako sumę długości boków małych kwadratów jednostkowych. Pole fioletowego kwadratu poniżej wynosi, co możemy stwierdzić na dwa sposoby :. Bok fioletowego kwadratu jest sumą czerwonego boku długości i boku jednostkowego. Bok fioletowego kwadratu jest różnicą zielonego boku długości i boku jednostkowego Liczb podzielnych przez 0 i (wypisane wcześniej przez Adriana). Liczby podzielne przez 0 i to wielokrotności 0 gdyż NWW(0,) = 0. Są takie liczby w zakresie -00. Liczb podzielnych przez 0 i (wypisane wcześniej przez Basię). Liczby podzielne przez 0 i to wielokrotności 0 gdyż NWW(0,) = 0. Jest takich liczb w zakresie -00. Czyli Cyprian wypisał Liczby podzielne przez 0 minus Liczby podzielne przez 0 i minus Liczby podzielne przez 0 i plus Liczby podzielne jednocześnie przez 0, i (gdyż te liczby odejmujemy dwukrotnie, raz jako niedopisane gdyż podzielne przez i drugi raz jako niedopisane gdyż podzielne przez ) Liczb podzielne jednocześnie przez 0, i to wielokrotności 0, gdyż NWW(0,,) = 0. Jest jedna taka liczba w zakresie -00. Otrzymujemy, zgodnie z powyższą zasadą, że Cyprian dopisał 0 + = liczb. 8

40 Mamy, że poszczególne dzieci wypisały następując ilość liczb: Adrian 8 Basia Cyprian Zatem w turnieju zwyciężyli jednocześnie Basia i Cyprian. Optymalna strategia to zapisanie na karteczce jak najmniejszej liczby (czyli jedynki) gdyż ma ona najwięcej wielokrotności. Szczegółowe rozwiązanie zadania Ile liczb wypisał Adrian? Rozwiązanie na piechotę wypisujemy wszystkie liczby Adrian miał wypisać na tablicy wielokrotności w za kresie od do 00, czyli wypisał 8 liczb jak pokazano poniżej: Ile liczb wypisał Adrian obliczamy zamiast pisać Żeby policzyć ile jest liczb będących wielokrotnością w za kresie od do 00 nie musimy ich wszystkich wypisywać na kartce tak jak zrobiliśmy to powyżej. Wystarczy pogłówkować. Przyda nam się to w trudniejszych zadaniach gdy nie da się wypisać wszystkich liczb o danej własności. Dlatego poniżej pokazuję jak obliczyć bez wypisywania ile liczb wypisał Adrian. Podobnie rozumując otrzymujemy, że długości wszystkich brązowych kwadratów mają boki długości : 0 7

41 Jednocześnie zauważamy, że brązowy kwadrat i czarny kwadrat mają wspólny zielony bok. Zatem kwadraty te są przystające i mają boki tej samej długości co zaznaczamy poniżej: Zauważmy, że wielokrotności powtarzają się co : liczb liczb liczb liczb liczb liczb liczb liczb Wystarczy więc, że podzielimy 00 przez by obliczyć ile jest wielokrotności liczby w zakresie od do 00: 00 : = 8 Otrzymujemy, że jest 8 wielokrotności w zakresie od do 00. Patrząc na powyższy rysunek wszystko się zgadza. Otrzymujemy niejako 8 odcinków liczbowych: Odcinek nr : od do Odcinek nr : od do 0 Odcinek nr : od do 7 Odcinek nr : od 7 do 00 Odcinek nr : od 0 do Odcinek nr : od do 0 Odcinek nr : od do 7 Odcinek nr : od 7 do

42 Podsumowując Chcąc obliczyć ile liczb wypisał Adrian (wielokrotności w zakresie od do 00) wystarczy 00 podzielić przez. Otrzymujemy, że Adrian wypisał 8 liczb. Ile liczb dopisała Basia? Basia tylko dopisuje Zauważmy, że Basia na tablicy nie wypisuje wszystkich dzielników liczby w zakresie od do 00. Basia na tablicy dopisuje dzielniki liczby w zakresie od do 00, których nie ma jeszcze na tablicy. Liczby Basi rozwiązanie na piechotę Poniżej zielonym kolorem zaznaczono wielokrotności liczby które Basia dopisała na tablicy, zaś na czerwono te wielokrotności liczby których Basia nie dopisała gdyż już były na tablicy: Liczb 7 i 0 Basia dopisała pomimo, że są wielokrotnością, gdyż wypisał je Adrian.. Liczby 0 Basia nie dopisała gdyż jest poza zakresem 00. Widzimy, że liczb podzielnych przez w zakresie od do 00 jest. Jednak Basia dopisała tylko

43 Sposób rozwiązania zadania Najpierw obliczymy, że boki czarnego kwadratu wynoszą. Następnie stwierdzimy, że małe kwadraciki są przystające do czarnego więc również maja boki długości. Teraz będziemy mogli obliczyć boki większych kwadratów składając ich boki z odcinków o znanej długości. Szczegółowe rozwiązanie zadania Długości boków czarnego kwadratu Ponieważ pole czarnego kwadratu wynosi więc bok tego kwadratu ma długość : gdyż pole kwadratu to bok * bok, i otrzymujemy, że * =. Kwadraty mające boki długości Zaznaczamy obliczone długości boków czarnego kwadratu i wpisuje otrzymane wielkości na rysunku: liczb, gdyż dwie liczby (konkretnie 7 i 0) były już wypisane przez Adriana. Trzeba obliczyć Nie damy rady w każdym tego typu zadaniu napisać wszystkich liczb dopisanych przez dziecko. Dlatego musimy umieć obliczyć ile liczb dopisała na tablicy Basia bez pisania ich wszystkich jak zrobiłem to powyżej. Poniżej pokazuję jak policzyć ilość liczb dopisanych przez Basię. Liczby podzielne przez w zakresie -00 Ilość liczb podzielnych przez w zakresie od do 00 obliczamy dzieląc 00 przez : 00 : = reszty Których dzielników liczby Basia nie dopisała? Czyli otrzymujemy, że liczb podzielnych przez w zakresie od do 00 jest. Wiemy, że Basia ich wszystkich nie dopisała na tablicy. Nie dopisała tych liczb, które oprócz tego, że dzielą się przez (Basia miała je dopisać), to dzielą się przez (były już na tablicy zapisane przez Adriana). Liczby podzielne jednocześnie przez i Jakie to liczby które dzielą się przez i? Najmniejszą liczbę która dzieli się jednocześnie przez i pozwoli nam znaleźć Najmniejszą Wspólna Wielokrotność (NWW). Szczegółowe wytłumaczenie czym jest Najmniejsza Wspólna Wielokrotność znajdziesz na stronie:

44 Przykłady obliczania NWW z rozwiązaniami znajdziesz na stronie: Poniżej zakładam, że umiesz posługiwać się NWW. Szukamy NWW liczb i Rozkład na czynniki pierwsze liczb i : Otrzymujemy, że: = * = * Teraz możemy znaleźć NWW liczb i. Czynniki zielone ( i ) występują jednokrotnie między liczbami i więc bierzemy te czynniki do NWW. Czynnik czerwony () występują w rozkładzie na czynniki pierwsze zarówno jak bierzemy go tylko raz: NWW(,) = * * = * = 7 Liczby podzielne przez 7 tych liczb Basia nie dopisywała Otrzymujemy, że Basia nie dopisywała liczb podzielnych przez 7 i ich wielokrotności. Co prawda liczby podzielne 7 również dzielą się przez (czyli powinny być dopisane przez Basię), ale Teoria przystawanie kwadratów Jeśli dwa kwadraty mają choć jeden bok tej samej długości to możemy powiedzieć, że są takie same, tak jak poniższe kwadraty: a a W matematyce zamiast takie same, mówimy, że kwadraty są przystające. Czyli powyższe kwadraty są przystające. Powyższe kwadraty są przystające, gdyż jak zaznaczono kolorem ciemnoczerwonym mają jeden bok tej samej długości a. Kwadraty przystające (potocznie takie same) mają równe długości boków, przekątnych no i oczywiście równe miary kątów, gdyż wszystkie kąty w kwadracie są proste. Kwadraty przystające mają również równe pola. Poniżej tym samym kolorem zaznaczono odpowiadające sobie elementy w dwóch przystających kwadratach. a a

45 Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Prostokąt został podzielony na kwadraty różnej wielkości, jak pokazano schematycznie na rysunku obok. Pole najmniejszego zaznaczonego ciemnym kolorem kwadratu wynosi. Oblicz długości boków wszystkich kwadratów ukazanych na rysunku oraz podaj pole całego prostokąta. Przedstaw sposób rozwiązania, wykorzystując rozpoznane z rysunku zależności pomiędzy długościami boków przylegających kwadratów. dzielą się również przez czyli znajdują się już na tablicy gdyż wypisał je Adrian. Ile jest liczb podzielnych przez 7 w zakresie - 00? Ilość liczb podzielnych przez 7 w zakresie od do 00 obliczamy dzieląc 00 na 7: 00 : 7 = reszty 0 Czyli są dwie liczby podzielne przez których Basia nie dopisała. Ile liczb dopisała Basia? Chcąc zatem obliczyć ile liczb w zakresie od do 00 dopisała Basia musimy: Od wszystkich liczb podzielnych przez (te które powinna dopisać Basia) Tych liczb jest ich odjąć Liczby podzielne przez 7 (podzielne przez ale też przez i już znajdujące się tablicy wypisane przez Adriana) Są takie liczby Otrzymujemy, że Basia dopisała czyli liczb. Ile liczb dopisał Cyprian? Adrian również tylko dopisuje Cyprian również tylko dopisuje liczby są to dzielniki liczby 0 w zakresie od do 00. Jeśli liczba jest podzielna przez 0, ale znajduje się już na tablicy to Cyprian jej nie dopisuje.

46 Liczby Cypriana rozwiązanie na piechotę Poniżej w zakresie -00:. fioletowym kolorem zaznaczono wielokrotności liczby 0 które Cyprian dopisał na tablicy. na czerwono wielokrotności liczby 0 których Cyprian nie dopisał gdyż były wypisane przez Adriana (są również wielokrotnościami ). na zielono wielokrotności liczby 0 których Cyprian nie dopisał gdyż były wypisane przez Basię (są również wielokrotnościami ) Otrzymujemy, że Cyprian dopisał liczb. 00 Trzeba obliczyć Podobnie jak poprzednio poniżej pokażę jak obliczyć ilość liczb dopisanych przez Cypriana bez ich wypisywania. Jak to zrobimy? Od liczb podzielnych przez 0 (powinien je dopisać Cyprian) odejmiemy liczby podzielne 0 i (wypisał je Adrian) i liczby podzielne przez 0 i (wypisała je Basia) i dodamy liczby podzielne przez 0, i (były odjęte dwukrotnie). Liczby podzielne przez 0 w zakresie -00 W ten sposób otrzymujemy odpowiedź: Duży prostokąt z zaznaczonymi długościami boków własnych i długościami boków wszystkich jego kwadratów:

47 Długości boków prostokąta Teraz możemy obliczyć długości boków prostokąta Długość zielonego boku: = + 8 = 7 Długość czerwonego boku: = 0 + = 8 8 Ilość liczb podzielnych przez 0 w zakresie od do 00 obliczamy dzieląc 00 przez 0: 00 : 0 = 0 Czyli gdyby nie Adrian i Basia to Cyprian dopisałby 0 liczb Jakich liczb nie dopisał Cyprian gdyż były na tablicy wypisane przez Adriana? Część liczb Cyprian nie dopisał gdyż były już na tablicy wypisane przez Adriana. Są to liczby podzielne przez 0 (powinien wypisać je Cyprian) i jednocześnie podzielne przez (były już na tablicy wypisane przez Adriana). Na powyższym rysunku zaznaczone są czerwonym kolorem. Są to cztery liczby: 0, 00, 0 i 00. NWW liczb 0 i My ilość liczb podzielnych przez 0 i obliczymy korzystając z Najmniejszej Wspólnej Wielokrotności (NWW). Zauważmy, że najmniejsza liczba podzielna jednocześnie przez 0 i to NWW liczb 0 i. Znajdujemy NWW(0,): Rozkładamy na czynniki pierwsze liczby 0 i : 0 0 = * = * 0 7

48 NWW(0,) znajdujemy wykreślając mające swoje odpowiedniki czynniki między liczbami 0 i : 0 Czynnik zaznaczony na czerwono powtarza się między liczbami 0 i dlatego jeden z nich wykreślamy. Nieskreślone czynniki bierzemy do obliczenia NWW: NWW(0,) = * * = 0 * = 0 Liczby podzielne przez 0 i Otrzymujemy, że najmniejszą liczbą podzielną jednocześnie przez 0 i jest 0. Zatem Cyprian nie dopisał liczb podzielnych przez 0 (przy ręcznym rozwiązaniu zaznaczyłem je na czerwono). Co prawda liczby podzielne przez 0 dzielą się przez 0 (Cyprian powinien takie liczby dopisać), ale dzielą się również przez (były na tablicy wypisane przez Adriana). W zakresie -00 liczb podzielnych przez 0 jest gdyż 00 : 0 =. Ile liczb nie dopisał Cyprian gdyż były na tablicy wypisane przez Adriana? Otrzymujemy, że spośród dwudziestu liczb jakie Cyprian powinien dopisać (gdyż dzielą się przez 0 w przedziale -00) Adrian na pewno nie dopisał czterech podzielnych przez 0, gdyż dodatkowo dzielą się przez i były już na tablicy wypisane przez Adriana. Etap V Na poniższym rysunku długość lewego boku czerwonego kwadratu wynosi 8, gdyż jest różnicą boku o długości i boku o długości. Długość lewego boku zielonego kwadratu wynosi również 8, gdyż kwadrat ten jest przystający do czerwonego kwadratu mają jeden bok wspólny

49 Etap IV Na poniższym rysunku długość górnego boku czerwonego kwadratu wynosi, gdyż jest sumą boków o długościach i : Oznaczamy długości wszystkich boków czerwonego kwadratu: Jakich liczb nie dopisał Cyprian gdyż były na tablicy wypisane przez Basię? Również część liczb Cyprian nie dopisał gdyż były już na tablicy wypisane przez Basię. Są to liczby podzielne przez 0 (powinien wypisać je Cyprian) i jednocześnie podzielne przez (były już na tablicy wypisane przez Basię). Na powyższym rysunku zaznaczone są czerwonym kolorem. Jest to sześć liczb: 0, 0, 0, 0, 0 i 80. NWW liczb 0 i My ilość liczb podzielnych przez 0 i obliczymy korzystając z Najmniejszej Wspólnej Wielokrotności (NWW). Zauważmy, że najmniejsza liczba podzielna jednocześnie przez 0 i to NWW liczb 0 i. Znajdujemy NWW(0,). Rozkładamy na czynniki pierwsze liczby 0 i : 0 0 = * = * NWW(0,) znajdujemy wykreślając czynniki, które mają swoje odpowiedniki między liczbami 0 i : 0 08

50 Czynnik zaznaczony na czerwono powtarza się między liczbami 0 i dlatego jeden z nich wykreślamy. Nieskreślone czynniki bierzemy do obliczenia NWW: NWW(0,) = * * = * = 0 Liczby podzielne przez 0 i Otrzymujemy, że najmniejszą liczbą podzielną jednocześnie przez 0 i jest 0. Zatem Cyprian nie dopisał liczb podzielnych przez 0 (przy ręcznym rozwiązaniu zaznaczyłem je na zielono). Co prawda liczby podzielne przez 0 dzielą się przez 0 (Cyprian powinien takie liczby dopisać), ale dzielą się również przez (były na tablicy wypisane przez Basię). W zakresie -00 liczb podzielnych przez 0 jest gdyż: 00 : 0 = reszty 0. Ile liczb nie dopisał Cyprian gdyż były na tablicy wypisane przez Basię? Otrzymujemy, że spośród dwudziestu liczb jakie Cyprian powinien dopisać (gdyż dzielą się przez 0 w przedziale -00) Adrian na pewno nie dopisał sześciu podzielnych przez 0, gdyż dodatkowo dzielą się przez i były już na tablicy wypisane przez Basię Co dalej? Wydaje się, że teraz wystarczy dla przedziału - 00, Oznaczamy długości wszystkich boków czerwonego i zielonego kwadratu: 0 07

51 Oznaczamy długości wszystkich boków czerwonego, fioletowego, zielonego i niebieskiego kwadratu: Etap III Na poniższym rysunku:. Długość prawego boku czerwonego kwadratu wynosi, gdyż kwadrat ten jest przystający do różowego kwadratu (obydwa kwadraty mają jeden bok wspólny). Długość prawego boku zielonego kwadratu wynosi, gdyż jest sumą boków o długościach, i od wszystkich liczb podzielnych przez 0 (jest ich 0 i miał je dopisać Cyprian) odjąć liczby podzielne przez 0 (jest ich, są podzielne przez 0 ale zostały wcześniej wypisane przez Adriana) oraz także odjąć liczby podzielne przez 0 (jest ich, są podzielne przez 0 ale zostały wcześniej wypisane przez Basię) i będziemy mieli liczby które dopisał rzeczywiście Cyprian. Czyli wydaje się, że Cyprian dopisał 0 = 0 0 = 0 () liczb. 0 liczymy podwójnie Jednak jest to nieprawidłowe rozumowanie. Przekonuje nas o tym rysunek na którym widzimy, że Cyprian dopisał w rzeczywistości liczb. Gdzie jest błąd? Otóż w powyższym rozumowaniu, liczbę 0 liczymy dwukrotnie jako znajdującą się już na tablicy. Policzyliśmy ją wśród czterech liczb które były już na rysunku wypisane przez Adriana (0 podzielna przez 0) jak i wśród sześciu liczb wypisanych przez Basię (0 podzielna przez 0). Czyli w działaniu () liczby podzielne jednocześnie przez 0, i (podzielne przez 0) odjęliśmy dwukrotnie, jako niedopisane przez Cypriana. 0

52 Dlatego musimy poprawić działanie () dodając ilość liczb podzielnych przez 0. Wówczas liczby podzielne przez 0 będą odejmowane jednokrotnie.. Jak zrobić to porządnie? Ponieważ chcemy umieć rozwiązywać podobne zadania dla dużych liczb, gdzie wypisywanie wszystkiego nie jest już możliwe, więc nie możemy się opierać na rysunku gdzie widać, że 0 występuje w zakresie -00 dokładnie raz. Musimy wszystko policzyć rachunkowo. Zatem musimy policzyć NWW(0,,)=0 jako najmniejszą liczbę podzielną jednocześnie przez 0,,. Wielokrotności 0 w zakresie -00 to liczby które odejmujemy dwukrotnie od ilości liczb które Adrian powinien wypisać (raz jako liczby będące na tablicy wypisane przez Adriana, raz jako liczby będące na tablicy wypisane przez Basię). Dlatego ilość wielokrotności 0 w zakresie -00 musimy dodatkowo dodać do działania () by zniwelować podwójne odejmowanie wielokrotności 0. NWW liczb 0,, Ilość liczb podzielnych przez 0,, obliczymy korzystając z Najmniejszej Wspólnej Wielokrotności (NWW). Zauważmy, że najmniejsza liczba podzielna jednocześnie przez 0, oraz to NWW liczb 0, oraz. Znajdujemy NWW(0,,): Etap II Na poniższym rysunku:. Długość prawego boku czerwonego kwadratu wynosi, gdyż jest sumą boków o długościach i. Długość lewego boku fioletowego kwadratu wynosi, gdyż jest sumą boków o długościach,, i. Długość boku ciemnozielonego kwadratu wynosi gdyż kwadrat ten jest przystający do jasnozielonego kwadratu o boku (obydwa kwadraty mają jeden bok wspólny). Długość boku niebieskiego kwadratu wynosi gdyż kwadrat ten jest przystający do jasnoniebieskiego kwadratu o boku (obydwa kwadraty mają jeden bok wspólny) 0

53 Oznaczamy długości wszystkich boków zielonego, niebieskiego, fioletowego i czerwonego kwadratu: Rozkładamy na czynniki pierwsze liczby 0,, : 0 0 = * = * = * NWW(0,,) znajdujemy wykreślając mające swoje odpowiedniki czynniki między liczbami 0, i : 0 Czynnik zaznaczony na czerwono powtarza się między wszystkimi liczbami (0,, ) dlatego liczymy go jednokrotnie a pozostałe występowania wykreślamy. Nieskreślone czynniki bierzemy do obliczenia NWW: NWW(0,,) = * * * = 0 * = 0 Liczby podzielne przez 0, i Otrzymujemy, że najmniejszą liczbą podzielną jednocześnie przez 0, i jest 0. Jest jedna liczba podzielna przez 0 w zakresie - 00 gdyż: 00 : 0 = reszty 0. 0

54 Poprawne rozumowanie Poprawne rozumowanie powinno być następujące: od wszystkich liczb podzielnych przez 0 (jest ich 0 i miał je dopisać Cyprian) odejmujemy liczby podzielne przez 0 (jest ich, są podzielne przez 0 ale zostały wcześniej wypisane przez Adriana jako również podzielne przez ) oraz także odejmujemy liczby podzielne przez 0 (jest ich, są podzielne przez 0 ale zostały wcześniej wypisane przez Basię jako również podzielne przez ) dodajemy liczby podzielne przez 0 (jest jedna taka liczba), gdyż odjęliśmy je powyżej dwukrotnie jako wypisane wcześniej przez Adriana (dzielą się przez 0 i ) wypisane wcześniej przez Basię (dzielą się przez 0 i ) i mamy liczby które dopisał rzeczywiście Cyprian. Czyli Cyprian dopisał: 0 + = = 0 + = liczb. Rozumując analogicznie otrzymujemy, że wszystkie poniższe różowe kwadraciki są przystające i maja długości boków równe : Etap I Zwróćmy uwagę, że na poniższym rysunku:. Długość górnego boku niebieskiego kwadratu wynosi, gdyż jest równa trzem długościom boku kwadracika o boku.. Długość dolnego boku zielonego kwadratu wynosi, gdyż jest równa dwóm długościom boku kwadracika o boku.. Długość górnego boku fioletowego kwadratu wynosi, gdyż jest równa dwóm długościom boku kwadracika o boku.. Długość lewego boku czerwonego kwadratu wynosi, gdyż jest równa trzem długościom boku kwadracika o boku. 0

55 Podobnie poniżej żółty kwadracik jest przystający do różowego z uwagi na wspólny ciemnoczerwony bok te kwadraciki również mają równe długości boków: Kto wygrał? Otrzymujemy, że: Adrian wypisał 8 liczb. Basia dopisała liczb. Cyprian dopisał liczb. Czyli zwyciężyli w grze jednocześnie Basia i Cyprian. Jak jest strategia wygrywająca? Zadanie wymaga od nas by wypisywać jak najwięcej liczb. Najwięcej liczb będziemy wypisywać gdy wybierzemy liczbę która ma najwięcej wielokrotności. Najwięcej wielokrotności w dowolnym przedziale ma liczba. Dlatego chcąc wygrać dziecko powinno napisać na kartce liczbę i oddać ją sędziemu. Oczywiście będzie kłopot, jeśli wszyscy wypiszą na karteczkach liczbę. Wówczas tylko pierwsze dziecko wypisze na tablicy swoje wielokrotności (wszystkie liczby w danym przedziale), zaś reszta dzieci już nic nie napisze. Ale ten sam los może spotkać kolejne dzieci gdy wypiszą jakąkolwiek inną liczbę na karteczce. Jeśli pierwsze dziecko wypisze wielokrotności to kolejne dzieci również nic nie wypiszą. Dlatego dziecko chcąc wygrać zawody powinno wypisać na karteczce i mieć nadzieję, że będzie pierwsze lub inne dzieci nie wypiszą na karteczce jedynki. Dlatego gra nie ma raczej praktycznego sensu. Do powyższego rozumowania dzieci dochodzą całkiem szybko. 0

56 Zadanie nr Treść zadania. Nauczyciel wypisał na tablicy zielona kredą liczby podzielne przez w zakresie Następnie dopisał dodatkowo czerwonym kolorem liczby podzielne przez 0 w zakresie pisząc tylko te liczby których nie ma jeszcze na tablicy.. Na koniec, granatową kredą dopisał liczby podzielne przez 8 w zakresie Również i w tym przypadku nie wypisywał liczb jeśli były już na tablicy. Ile liczb każdego koloru wypisał nauczyciel? Sposób rozwiązania zadania Zielonych liczb jako podzielnych przez w zakresie od do nauczyciel wypisał. Normalnie czerwonych liczb podzielnych przez 0 w zakresie od do jest 000. Jednak z tego 000 nauczyciel nie wypisał liczb podzielnych przez 0 gdyż dzielą się również przez i już znajdując się na tablicy wypisane zieloną kredą. Zatem czerwonych liczb nauczyciel dopisał 000 = 7. Mając pustą tablicę grantowych liczb podzielnych przez 8 w zakresie od do jest 0. Jednak Kwadraty przystające do jednostkowych kwadratów W naszym w zadaniu wszystkie figury na rysunku są kwadratami. Ponieważ różowy i żółty kwadracik poniżej mając wspólny ciemnoczerwony bok więc są to kwadraty przystające czyli mają wszystkie boki o długości : 0

57 . zależności między bokami należącymi do różnych kwadratów obliczmy boki wszystkich kwadratów i prostokątów. Szczegółowe rozwiązanie zadania Długości boków różowego kwadratu Ponieważ pole różowego kwadratu wynosi więc bok tego kwadratu ma długość : gdyż pole kwadratu to bok * bok, czyli otrzymujemy, że * =. Zatem wszystkie różowe kwadraty które są dane w zadaniu mają boki o długościach : liczb dzieli się przez 8 i w zakresie od do liczb dzieli się przez 8 i 0 w zakresie od do liczby dzielą się przez 8, i 0 w zakresie od do Dlatego, spośród 0 liczb podzielnych przez 8 nauczyciel nie wypisał = 8 = 8 liczb. Zatem nauczyciel wypisał 0 8 = 7 granatowe liczby. Szczegółowe rozwiązanie zadania Ile zielonych liczb wypisał nauczyciel? Zielone liczby to takie które są z zakresu od do i dodatkowo są podzielne przez. Zauważmy, że: : = reszty Zatem zielonych liczb (podzielnych przez z zakresu od do 0 000) jest. Ile czerwonych liczb dopisał nauczyciel? Czerwone liczby to liczby podzielne przez 0 z zakresu od do Zauważmy, że: : 0 = 000 Zatem liczb podzielnych przez 0 z zakresu od do jest

58 Zauważmy, że w treści zadania występuje zwrot: dopisał liczby podzielne przez 0 nie zaś: wypisał liczby podzielne przez 0 Dlatego nauczyciel nie wypisał wszystkich tysiąca liczb podzielnych przez 0 z zakresu od do Cześć z liczb podzielnych przez 0 liczb była już wypisana, gdyż oprócz tego, że dzieli się przez 0 to dzieli się przez i była na tablicy wypisana kolorem zielonym. Liczby które dzielą się jednocześnie przez i 0 to NWW (,0) Najmniejsza Wspólna Wielokrotność liczb i 0. NWW(,0) = 0. Zatem nauczyciel nie dopisał czerwonym kolorem następujących liczb podzielnych przez 0: 0, 0, 0,.. gdyż te liczby były już zapisane na tablicy kolorem zielonym jako podzielne przez.. Obliczamy, że: : 0 = reszty 0. Otrzymujemy, że liczb podzielnych przez 0 z zakresu od do jest. Podsumujmy:. Nauczyciel powinien dopisać 000 liczb podzielnych 0 w zakresie od do Spośród tych 000 liczb nie zostały dopisane gdyż już były na tablicy jako podzielne przez Otrzymujemy, że nauczyciel dopisał 000 = 7 liczb podzielnych przez 0 w zakresi od do Zadanie nr 0 Treść zadania Wiedząc, że wszystkie figury składające się na duży prostokąt są kwadratami, oraz, że pole różowego kwadracika wynosi, oblicz długości boków każdego kwadratu jak również długości boków dużego prostokąta. Sposób rozwiązania zadania Najpierw obliczymy, ż długość boku różowego kwadracika to. Następnie korzystając z. przystawania kwadratów (wszystkie elementy poza dużym prostokątem są kwadratami) 8

59 Pole dużego niebieskiego kwadratu Zatem wszystkich kwadracików będzie: kwadracików w wierszu * wierszy w pionie = kwadracików w niebieskim kwadracie wierszy w pionie kwadratów w wierszu Odpowiedź: Duży niebieski kwadrat składa się ze kwadracików. Ile granatowych liczb dopisał nauczyciel? Granatowe liczby to takie które są z zakresu od do i dodatkowo są podzielne przez 8. Ponieważ: : 8 = 0 Zatem liczb podzielnych przez 8 z zakresu od do jest 0. Ponownie musimy zwrócić uwagę, że nauczyciel dopisywał a nie wypisywał liczby podzielne przez 8. Dlatego nauczyciel nie wypisał wszystkich 0 liczb podzielnych przez 8 z zakresu od do Cześć z liczb podzielnych przez 8 liczb była już wypisana, gdyż oprócz tego, że dzieli się przez 8 to dzieli się przez lub przez 0 i była na tablica wypisana kolorem zielonym lub czerwonym. Liczby które dzielą się jednocześnie przez i 8 to NWW (,8) Najmniejsza Wspólna Wielokrotność liczb i 8. NWW(,8) =. Zatem nauczyciel nie dopisał następujących liczb:, 8, 7,.. gdyż te liczby były już zapisane na tablicy kolorem zielonym jako podzielne przez.. Obliczamy, że: : = reszty Otrzymujemy, że liczb podzielnych przez z zakresu od do jest. 8

60 Liczby które dzielą się jednocześnie przez 8 i 0 to NWW (8,0) Najmniejsza Wspólna Wielokrotność liczb 8 i 0. NWW(8,0) = 0. Zatem nauczyciel nie dopisał następujących liczb: 0, 80, 0,.. gdyż te liczby były już zapisane na tablicy kolorem czerwonym jako podzielne przez 0.. Obliczamy, że: : 0 = 0 Otrzymujemy, że liczb podzielnych przez 0 z zakresu od do jest 0. Podsumujmy:. Nauczyciel powinien dopisać 0 liczb podzielnych 8. Spośród tych 0 liczb a. znajduje się na tablicy jako podzielne przez b. 0 znajduje się na tablicy jako podzielne przez 0 Wynika z tego, że spośród liczb podzielnych przez 8 na tablicy już znajduje się już: + 0 = liczb podzielnych przez i 0. Jednak nie jest to prawda. Zauważmy, że spośród liczb podzielnych przez 8, liczby podzielne zarówno przez jak i przez 0 liczyliśmy dwukrotnie. Bok dużego niebieskiego kwadratu Teraz wiemy, z ilu kwadracików składa się bok dużego niebieskiego kwadratu wystarczy policzyć, że jest ich : Ponieważ kwadrat ma wszystkie boki równe, więc każdy bok niebieskiego kwadratu jest zbudowany z kwadracików: 0 7

61 Kwadrat w lewym dolnym rogu Zauważamy, że bok ciemnoczerwonego kwadratu poniżej składa się z kwadracików: Czyli wszystkie boki ciemnoczerwonego kwadratu zbudowanego są z kwadracików i możemy ciemnoczerwony kwadrat wypełnić kwadracikami: Dlatego musimy znaleźć NWW(,8,0) i od 0 odjąć liczby które dzielą się jednocześnie przez, 8 i 0. Te liczby występują w 0 dwukrotnie. NWW(,8,0) = 0 Oznacza to, że liczby: 0, 0, 80, uwzględniliśmy dwukrotnie: są na tablicy jako podzielne przez jak również, że są na tablicy gdyż są podzielne jest 0. Obliczamy, że: : 0 = 8 reszty 0 Otrzymujemy, że liczb podzielnych przez 0 z zakresu od do jest 8. Czyli zanim nauczyciel zaczął wypisywać granatowe liczby podzielne przez 8, na tablicy było już 8 = 8 liczb które są podzielne przez 8. Podsumujmy ponownie:. Nauczyciel powinien dopisać 0 liczb podzielnych 8. Spośród tych 0 liczb 8 nie będzie dopisane gdyż już są na tablicy jako podzielne przez lub podzielne przez 0 (lub przez i 0 jednocześnie). Otrzymujemy, że nauczyciel dopisał 0 8 = 7 granatowych liczb podzielnych przez 8. Odpowiedź: Nauczyciel wypisał: zielonych liczb 7 czerwonych liczb 7 granatowe liczby

62 Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Na tablicy zostały wypisane wszystkie liczby naturalne od do 0 włącznie. Potem Ania, Wojtek i Antek skreślali niektóre z tych liczb według następującej zasady. Jako pierwsza skreśliła Ania wszystkie liczby podzielne przez, drugi w kolejności Wojtek skreślił spośród pozostałych nieskreślonych wszystkie liczby podzielne przez, ostatni Antek skreślił spośród pozostałych nieskreślonych wszystkie liczby podzielne przez. Ile liczb pozostało na tablicy nieskreślonych. Ile liczb skreśliła Ania, ile Wojtek a ile Antek? Przedstaw sposób rozwiązania bez przeprowadzania całego procesu skreślania kolejnych liczb. Ciemnoczerwone kwadraty poniżej mają wspólny zielony bok: Zatem są przystające i składają się z tej samej liczby kwadracików: Sposób rozwiązania zadania Ania skreśliła liczby podzielne przez w zakresie od do 0. Wojtek miał skreślić liczby podzielne przez w zakresie od do 0. Takich liczb jest 0. Jednak spośród liczb podzielnych przez, liczby podzielne przez zostały już skreślone przez Anię. Zatem Wojtek nie skreślił liczb podzielnych jednocześnie przez i czyli podzielnych przez 0. Liczb podzielnych przez 0 jest w zakresie od do 0. Zatem Wojtek skreślił

63 Możemy więc ciemnoczerwony kwadrat wypełnić kwadracikami: Podobnie rozumując otrzymujemy, że ciemnoczerwony kwadrat na dole ma boki długości dwóch kwadracików, gdyż górny bok jest zbudowany z kwadracików. Zatem ten cały kwadrat jest wypełniony jest czterema kwadracikami: 0 = liczby w zakresie od do 0. Antek miał skreślić liczby podzielne przez w zakresie od do 0. Takich liczb jest 0. Jednak:. Antek nie skreślił liczb podzielnych przez (podzielnych i ) gdyż by już skreślone przez Anię. Takich liczb jest 0 : = 8. Antek nie skreślił liczb podzielnych przez (podzielnych i ) gdyż by już skreślone przez Wojtka. Takich liczb jest 0 : = 0 Wydaje się, że Antek skreślił = 0 8 = liczby. Jednak w powyższym odejmowaniu, dwukrotnie odjęliśmy liczby podzielne przez podzielne przez, i czyli podzielne przez 0:. Raz wśród 8 liczb jako skreślone przez Anie (bo podzielne i ).. Drugi wśród 0 liczb raz jako skreślone przez Wojtka (bo podzielne i ). Zatem do różnicy musimy dodać liczby wielokrotności 0 w zakresie od do 0. Takich wielokrotności jest: 0 : 0 = Czyli Antek skreślił = = + = liczby.

64 Na tablicy pozostało: 0 = 8 liczb. Szczegółowe rozwiązanie zadania Ile liczb skreśliła Ania? Ania skreśliła liczby podzielne przez. Takich liczb w zakresie od do 0 jest: 0 : = Zatem Ania skreśliła liczby. Ile liczb skreślił Wojtek? Liczby podzielne przez Wojtek skreślał liczby podzielne przez. Liczb podzielnych przez z zakresu od do 0 jest: 0 : = 0 Czy Wojtek skreślił wszystkie 0 liczb podzielnych przez? Zatem wydaje się, że Wojtek skreślił 0 liczb. Nie jest to prawda. Zauważmy, że Wojtek nie skreślił liczb podzielnych przez które zostały już skreślone przez Anię. Są to liczby które są podzielne przez ale również podzielne przez. Najmniejszą liczbę podzielną jednocześnie przez i przez znajdujemy obliczając Najmniejszą Wspólną Wielokrotność (NWW) liczb i. Zatem wszystkie boki ciemnoczerwonego kwadratu składają się z kwadracików:

65 Niestety, nie możemy w ten sposób zgadywać liczby kwadracików w pustych miejscach. Takie rozwiązanie na oko jest niedopuszczalne. Podobnie tyczy się boków innych kwadratów. Nie możemy ręcznie dorysowywać kwadracików by obliczyć z ilu kwadracików zbudowany jest bok większego kwadratu. Za każdym razem musimy obliczyć z ilu kwadracików składa się bok większego kwadratu. Tak jak zrobimy to w dalszej części rozwiązania zadania. Jak w takim razie rozwiązać zadanie? By stwierdzić z ilu kwadracików składa się na jakiś analizowany większy kwadrat, możemy (wręcz musimy) posługiwać się:. Własnościami kwadratu (wszystkie boki kwadratu mają tą samą długość). Przystawaniem (kwadraty mające jeden bok tej samej długości są przystające). Istniejącymi na rysunku zależnościami Jest to żmudna metoda ale jedyna prawidłowa. Kwadraty o boku Zauważmy, że dolny bok ciemnoczerwonego kwadratu poniżej (z treści zadania wynika, że wszystkie figury są kwadratami) składa się dwóch kwadracików: Szukamy NWW liczb i Szczegółowe wytłumaczenie czym jest Najmniejsza Wspólna Wielokrotność znajdziesz na stronie: Przykłady obliczania NWW z rozwiązaniami znajdziesz na stronie: Poniżej zakładam, że umiesz posługiwać się NWW. Rozkład na czynniki pierwsze liczb i : Otrzymujemy, że: = = * Ponieważ nie ma czynników powtarzających się w rozkładzie liczb i więc wszystkie czynniki bierzemy do obliczenia Najmniejszej Wspólnej Wielokrotności (NWW) liczb i : NWW(,) = * * = * = 0 Wojtek nie skreślał liczb podzielnych przez 0 Czyli Wojtek nie skreślał liczb podzielnych przez 0 choć dzielą się one przez, gdyż wcześniej te liczby zostały skreślone przez Anię. Liczb podzielnych przez 0 w zakresie od do 0 jest: 0 : 0 =

66 Ile liczb skreślił Wojtek? Czyli Wojtek skreślił następującą ilość liczb: 0 = Dlaczego? Od wszystkich liczb podzielnych przez (tych które miłą skreślić Wojtek) odejmujemy liczby podzielne przez 0 (dzielą się przez ale również przez i były skreślone przez Anię). Otrzymujemy, że Wojtek skreślił liczby. Ile liczb skreślił Antek? Liczby podzielne przez Antek skreślał liczby podzielne przez. Liczb podzielnych przez z zakresu od do 0 jest: 0 : = 0 Jednak nie wszystkie 0 liczb Antek skreślił. Część z tych 0 liczb była skreślona przez Anię lub Wojtka. Ile liczb skreśliła Ania za Antka? Antek nie skreślił tych liczb podzielnych przez które zostały już skreślone przez Anię. Są to liczby które dzielą się przez ale również dzielą się przez. Najmniejszą liczbę podzielną jednocześnie przez i przez znajdujemy obliczając Najmniejszą Wspólną Wielokrotność liczb i : NWW(,) = Czyli Antek nie skreślał liczb podzielnych przez choć dzielą się one przez, gdyż wcześniej te liczby zostały skreślone przez Anię. Liczb podzielnych przez w zakresie od do 0 jest: Czy możemy zgadywać? Na pierwszy rzut oka chciałoby się napisać, że poniższy ciemnoczerwony kwadrat ma bok złożony z czterech kwadracików: gdyż optycznie ( na oko ) widzimy, że poniżej jest miejsce tylko na jeden kwadracik zaznaczony ciemnoczerwonym kolorem:

67 Podobnie poniżej czerwone kwadraciki są przystające do różowego z uwagi na wspólne ciemnoczerwone boki również mają równe pola: Rozumując analogicznie otrzymujemy, że wszystkie poniższe różowe kwadraciki są przystające czyli mają równie pola: 0 : = 8 Czyli Antek nie skreślił 8 liczb, gdyż choć są podzielne przez to są również podzielne przez i wcześniej zostały skreślone przez Anię. Ile liczb skreślił Wojtek za Antka? Również zauważamy, że Antek nie skreślił tych liczb podzielnych przez które zostały już skreślone przez Wojtka. Są to liczby które dzielą się przez ale również dzielą się przez. Najmniejszą liczbę podzielną jednocześnie przez i przez znajdujemy obliczając Najmniejszą Wspólną Wielokrotność liczb i : NWW(,) = Czyli Antek nie skreślał liczb podzielnych przez choć dzielą się one przez, gdyż wcześniej te liczby zostały skreślone przez Wojtka. Liczb podzielnych przez w zakresie od do 0 jest: 0 : = 0 Czyli Antek nie skreślił 0 liczb, gdyż choć są one podzielne przez to również są podzielne przez i wcześniej zostały skreślone przez Wojtka. Jak to będzie z całością liczb skreślonych przez Antka? Wydaje się, że ilość liczb jakie skreślił Antek możemy obliczyć następującą: To znaczy od wszystkich liczb podzielnych przez (które miał skreślić Antek) odejmujemy te które są podzielne przez i (skreślone przez Anię) oraz 0 7

68 odejmujemy te które są podzielne przez i (skreślone przez Wojtka). Jest to złe rozumowanie. Zauważmy, że część liczb odejmujemy dwukrotnie jako już skreślone. Są to liczby które dzielą się jednocześnie przez, i, czyli dzielą się przez 0:. Raz odjęliśmy je od liczb skreślonych przez Antka gdyż skreśliła je Ania (liczby podzielne przez 0 dzielą się przez ). Drugi raz odjęliśmy je od liczb skreślonych przez Antka gdyż skreślił je Wojtek (liczby podzielne przez 0 dzielą się przez ) Czyli liczby podzielne przez 0 odjęliśmy dwukrotnie. Musimy zatem jeszcze do wyniku dodać liczby podzielne przez 0. Ile jest liczb podzielnych jednocześnie przez, i? Najmniejszą liczbę podzielną jednocześnie przez, i znajdujemy obliczając Najmniejszą Wspólną Wielokrotność,,. Jak już wcześniej zauważyliśmy: NWW(,,) = 0 Liczb podzielnych przez 0 w zakresie od do 0 jest: 0 : 0 = Ile liczb skreślił Antek? Teraz możemy policzyć ile liczb naprawdę skreślił Antek: = = + = Sposób rozwiązania zadania Powielając małe kwadraciki wśród większych kwadratów, obliczymy, że lewy bok dużego niebieskiego kwadratu składa się z różowych kwadracików. Zatem każdy bok dużego, niebieskiego kwadratu składa się z kwadracików. Czyli liczba różowych kwadracików w niebieskim kwadracie to: kwadracików w wierszu * wierszy w pionie czyli różowych kwadracików. Szczegółowe rozwiązanie zadania Kwadraty przystające do jednostkowych kwadratów W naszym w zadaniu wszystkie figury na rysunku są kwadratami. Ponieważ różowy i czerwony kwadracik poniżej mając wspólny ciemnoczerwony bok więc są to kwadraty przystające czyli mają równe pola. 8 8

69 a a W matematyce zamiast takie same, mówimy, że kwadraty są przystające. Czyli powyższe kwadraty są przystające. Powyższe kwadraty są przystające, gdyż jak zaznaczono kolorem ciemnoczerwonym mają jeden bok tej samej długości a. Kwadraty przystające (potocznie takie same) mają równe długości boków, przekątnych no i oczywiście równe miary kątów, gdyż wszystkie kąty w kwadracie są proste. Kwadraty przystające mają również równe pola. Poniżej tym samym kolorem zaznaczono odpowiadające sobie elementy w dwóch przystających kwadratach. a a To znaczy Antek skreślił 0 liczb podzielnych przez minus 8 liczb które już były skreślone przez Anię (podzielne przez ) minus 0 liczb które już były skreślone przez Wojtka (podzielne przez ) plus liczby które dwukrotnie Antkowi zabraliśmy jako skreślone raz przez Anię i drugi raz przez Wojtka.( (podzielne przez 0) Otrzymujemy, że Antek skreślił liczby. Ile liczb pozostało na tablicy? Czytając uważnie treść zadania widzimy, że oprócz stwierdzenia ile liczb skreśliło każde z dzieci, musimy również określić ile liczb pozostało na tablicy. Mając już uzyskane wyniki to ostatnie polecenie jest bardzo proste. Wystarczy od wszystkich liczb na tablicy odjąć liczby skreślone przez każde z dzieci: 0 = = 7 = 8 Otrzymujemy, że na tablicy pozostało 8 liczb. Odpowiedź: Ania skreśliła liczby, Wojtek skreślił liczb, Antek skreślił liczby. Pozostało 8 nieokreślonych liczb. 88

70 Zestaw III Zadanie nr 7 Treść zadania Składając jednakowe małe prostopadłościany możemy uzyskać sześcian o polu powierzchni 8 cm. Jakie pole powierzchni uzyskamy składając małe prostopadłościany w jeden duży prostopadłościan nie będący sześcianem? Sposób rozwiązania zadania. Najpierw określimy sobie jakie proporcje musi mieć pojedynczy mały prostopadłościan by spełniał warunki zadania. Wymiary pojedynczego małego prostopadłościanu to: x, x, x.. Wiedząc, że pole powierzchni sześcianu zbudowanego z małych prostopadłościanów wynosi 8 cm, obliczymy, że x = cm.. Ponieważ duży prostopadłościan zbudowany z małych prostopadłościanów ma wymiary x, x, x, więc obliczymy, że pole powierzchni dużego prostopadłościanu wynosi 8 cm. Zestaw IV Zadanie nr Treść zadania Z ilu najmniejszych kwadracików (dwa z nich zaznaczono na różowo) składa się duży kwadrat o niebieskim obwodzie? Teoria przystawanie kwadratów Jeśli dwa kwadraty mają choć jeden bok tej samej długości to możemy powiedzieć, że są takie same, tak jak poniższe kwadraty: 70 87

71 Objętość sześcianu Objętość sześcianu liczymy podnosząc długość boku do trzeciej potęgi: V = ( x) = x = 8x Ponieważ x = więc otrzymujemy: V = 8x = 8 = 8 7 = Odpowiedź: Objętość sześcianu wynosi. Szczegółowe rozwiązanie zadania Zrozumieć treść zadania! Żeby rozwiązać zadanie trzeba zrozumieć jego treść. W naszym przypadku oznacza to, że powinniśmy zastanowić się jakie wymiary musi mieć mały prostopadłościan by:. przy jednym sposobie złożenia dał nam sześcian. przy innym sposobie złożenia dał duży prostopadłościan nie będący sześcianem Po chwili rysowania i małego kombinowania okazuje się, że mały prostopadłościan musi mieć wymiary jak poniżej: x x x Prostopadłościan ten ma dwie krawędzie identycznej długości (zaznaczone kolorem czerwonym o długości x), zaś ostatnia krawędź jest trzykrotnie krótsza od dwóch pozostałych (zaznaczona kolorem zielonym o długości x). 8 7

72 Czy powyższy mały prostopadłościan spełnia warunki zadania? Powyższy mały prostopadłościan o wymiarach x, x, x można złożyć wzdłuż jednej z krawędzi. Otrzymujemy w ten sposób różne sytuacje pokazane poniżej. Przypadek : Składamy mały prostopadłościan wzdłuż pierwszej krawędzi x = Są dwie liczby: oraz -, które podniesione do kwadratu dają. Ponieważ x to długość odcinka więc musi być dodatnia. Otrzymujemy, że: x = Obliczamy objętość sześcianu x x x x x x x x x x Sześcian ma wszystkie krawędzie długości x. Liczmy na literkach (w zależności x) Możemy od razu podstawić x = i policzyć objętość sześcianu o krawędzi. Jednak bardziej elegancko jest policzyć ogólnie objętość sześcianu w zależności od x. Pozwoli nam to również poćwiczyć działania algebraiczne, które są bardzo potrzebne w zadaniach konkursowych jak również w życiu codziennym. I co najważniejsze zmniejszają prawdopodobieństwo popełnienia błędu w zadaniach. x 7 8

73 Takie ściany są dwie. E. Różowe ściany o wymiarach x na x Pole powierzchni ( P ) jednej takiej ściany to: P = x x = x Takie ściany są dwie. F. Błękitne ściany o wymiarach x na x Pole powierzchni ( P ) jednej takiej ściany to: P = x x = x Takie ściany są dwie. Teraz już łatwo obliczyć pole powierzchni ( P d ) dużego prostopadłościanu: P d = P + P + P = 8x + x + x = x + 8x + x = x + x = 8x Obliczamy x Z treści zadania wiemy, że pole powierzchni dużego prostopadłościanu wynosi. Prowadzi nas to do równości P d = 8x = 8x = x = x = 8 7 : 8 = Przypadek : Składamy mały prostopadłościan wzdłuż drugiej krawędzi x x x x x x Przypadek : Składamy mały prostopadłościan wzdłuż trzeciej krawędzi x x x x x x 8 7

74 Wszystko się zgadza z treścią zadania Zauważmy, że. Przypadek i Przypadek dają nam ten sam prostopadłościan o wymiarach x, x, x tylko inaczej ułożony. Jest to duży prostopadłościan nie będący sześcianem określony w warunkach zadania. Przypadek daje nam sześcian o boku x. Jest to sześcian określony w warunkach zadania. Tak więc mały prostopadłościan o wymiarach x, x, x jest właśnie tym prostopadłościanem o którym mówi treść zadania: Zrozumienie treści zadania Teraz rozwiązanie zadania będzie banalne. Zobaczmy jak ważne jest zrozumienie treści zadania. Obliczamy x korzystając z pola powierzchni sześcianu Obliczymy w zależności od x pole powierzchni sześcianu utworzonego z małych prostopadłościanów. Następnie porównamy uzyskaną wielkość z polem powierzchni sześcianu danym w zadaniu, czyli liczbą 8 cm. W ten sposób obliczymy x. Sześcian zbudowany z małych prostopadłościanów wygląda następująco. Obliczamy x korzystając z pola powierzchni dużego prostopadłościanu Ponieważ duży prostopadłościan dla przypadku i przypadku jest taki sam (tylko leży na innym boku) więc nie ma znaczenia który z nich wybierzemy do obliczenia pola powierzchni. Niech będzie to poniższy prostopadłościan: x x x x x Obliczymy w zależności od x pole powierzchni dużego prostopadłościanu złożonego z dwóch małych prostopadłościanów. Następnie porównamy uzyskaną wielkość z polem powierzchni dużego prostopadłościanu danym w zadaniu, czyli liczbą. W ten sposób obliczymy x. Pole powierzchni dużego prostopadłościanu w zależności od x Duży prostopadłościan ma trzy rodzaje ścian: D. Żółte ściany o wymiarach x na x Pole powierzchni ( P ) jednej takiej ściany to: P = x x = 8x 7 8

75 Przypadek : Składamy mały prostopadłościan wzdłuż trzeciej krawędzi x x x x x Wszystko się zgadza z treścią zadania Zauważmy, że. Przypadek i Przypadek dają nam ten sam prostopadłościan o wymiarach x, x, x tylko inaczej ułożony. Jest to właśnie duży prostopadłościan określony w warunkach zadania. Przypadek daje nam sześcian o boku x. Jest to sześcian określony w warunkach zadania. Tak więc mały prostopadłościan o wymiarach x, x, x jest właśnie tym prostopadłościanem o którym mówi treść zadania: Zrozumienie treści zadania Teraz rozwiązanie zadania będzie banalne. Zobaczmy jak ważne jest zrozumienie treści zadania. x x x x x x Pole powierzchni pojedynczej ściany ( P s ) wynosi: P s = x x = x Pole powierzchni całego sześcianu ( P p ) to powierzchni jednej ściany: Pp = Ps = x = x Z treści zadania wiemy, że pole powierzchni tego sześcianu wynosi 8 cm. Prowadzi nas to do równości P p = x = 8cm x = 8cm 8 x = cm : 8 7

76 x = cm 7 8 x = cm x = cm Są dwie liczby: oraz -, które podniesione do kwadratu dają. Ponieważ x to długość odcinka więc musi być dodatnia. Otrzymujemy, że: x = cm Obliczamy pole powierzchni dużego prostopadłościanu Ponieważ duży prostopadłościan dla przypadku i przypadku jest taki sam (tylko leży na innym boku) więc nie ma znaczenia który z nich wybierzemy do obliczenia pola powierzchni. Niech będzie to poniższy prostopadłościan: Powyższy mały prostopadłościan o wymiarach x, x, x można złożyć wzdłuż jednej z krawędzi. Otrzymujemy w ten sposób różne sytuacje pokazane poniżej. Przypadek : Składamy mały prostopadłościan wzdłuż pierwszej krawędzi x x x x x Przypadek : Składamy mały prostopadłościan wzdłuż drugiej krawędzi x x x x x x x x x x x 7 8