Zbiór zadań przygotowujących do kuratoryjnego konkursu matematycznego. Szkoły podstawowe Wzorcowe rozwiązania zadań

Transkrypt

1 Zbiór zadań przygotowujących do kuratoryjnego konkursu matematycznego Szkoły podstawowe Wzorcowe rozwiązania zadań 1

2 Wzorcowe rozwiązania zadań Zadanie nr 1 Arek ma pomalować płot u siebie i u swojego wujka. Obydwa płoty są identyczne, gdyż Rodzice Arka i wujek mieszkają w bliźniaku.. Arek własny płot malował w piątek od 1:00 do 1:00. W sobotę Arek również zaczął malowanie o 1:00. Po dwóch godzinach samotnej pracy dołączył do niego wujek, który nie szedł tego dnia do pracy. Odtąd wujek i Arek i malowali razem. O której godzinie w sobotę Arek i wujek skończyli pracę, jeśli wiadomo, że wujek maluje płot trzy razy szybciej od Arka? Dzielimy cały płot na części. Jedną część Arek maluje w godzinę (całość od 1:00 do 1:00). W sobotę, do momentu przyjścia wujka Arek pomaluje dwie części płotu z sześciu. Z pozostałych czterech wujek pomaluje trzy zaś Arek jedną, gdyż wujek maluje trzy razy szybciej. Zatem zajmie im to godzinę, gdyż Arek maluje jedną część z sześciu w godzinę. Ponieważ wujek przyszedł o godzinie

3 15,: więc Arek z wujkiem skończą malowanie o 1:00 Odpowiedź: Arek i wujek skończyli pracę w sobotę o 1:00. Zadanie nr Kazik zawsze w sobotę obiera ziemniaki dla całej rodziny. Jednak robi to bardzo wolno i cała praca zajmuje mu prawie godzinę, a dokładnie 51 minut. W ostatnią sobotę zlitowała się nad nim siostra Lusia, która obiera ziemniaki cztery razy szybciej od Kazika. Lusia widząc brata obierającego ziemniaki, wzięła nóż i także przystąpiła do obierania. W ten sposób, od chwili gdy Kazik wziął pierwszy ziemniak, do zakończenia obierania ziemniaków przez obydwoje rodzeństwa minęło tylko 11 minut! Po ilu minutach samotnego obierania ziemniaków przez Kazika, Lusia przystąpiła do pracy? Obliczam ile czasu Lusia zaoszczędziła Kazikowi: 51 minut 11 minut = 40 minut

4 Od chwili gdy Lusia zaczęła pomagać Kazikowi, Kazik obrał x ziemniaków, zaś Lusia obrała 4x ziemniaków. Gdyby nie Lusia, to Kazik by obierał 4x ziemniaków przez 40 minut czyli Kazik obiera x ziemniaków w 10 minut. Zatem w ciągu 11 minut Kazik obierał ziemniaki: 10 minut z Lusią 1 minutę sam Odpowiedź: Lusia przystąpiła do pracy po 1 minucie samotnej pracy Kazika. Zadanie nr Trójka dzieci: Adrian, Basia i Cyprian bawiła się w grę o następujących zasadach: 1. Najpierw dziecko pisze na kartce dowolna liczbę. Kartki oddaje się do sędziego. Następnie sędzia losuje kolejność dzieci 4. Na tablicy, pierwsze wylosowane dziecko wypisuje wielokrotności liczby którą zapisało na kartce w zakresie od 1 do Kolejne dzieci (według losowania) dopisują na tablicy wielokrotności liczb zapisanych przez siebie na kartce w przedziale od 1 do 00 według następujących zasad: Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje i 4 to mamy siedem następujących możliwych ustawień pozostałych ubrań: GZCC G ZGZZ GZCC G ZZGZ GZCC G ZZZG ZGCC G ZGZZ ZGCC G ZZGZ ZGCC G ZZZG ZZCC G ZGAG Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje i 7 to mamy sytuację symetryczną jak dla pozycji czerwonych spódnic i 4 czyli siedem możliwych ustawień pozostałych ubrań. Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje 7 i 8 to mamy sytuację symetryczną jak dla pozycji czerwonych spódnic i czyli cztery możliwe ustawienia pozostałych ubrań. Powyższe 4 sytuacje zawierają wszystkie możliwe pozycje czerwonych spódnic na wieszaku: Zatem liczba możliwości powieszenia ubrań to suma możliwości rozpatrywanych przypadków: = = Odpowiedź: Zosia może powiesić swoje ubrania na sposoby. 4 5

5 Zadanie nr Zosia przechowuje na odpowiednio długim wieszaku w szafie następujące ubrania: cztery takie same zielone bluzki trzy takie same granatowe swetry dwie takie same czerwone spódnice Zosia nigdy nie wiesza swoich ubrań byle jak ma określone zasady: czerwone spódnice muszą zawsze wisieć razem jedna obok drugiej przy czym żadna czerwona spódnica nie może wisieć z brzegu grantowe swetry nigdy, ze sobą nie sąsiadują przy czym na środkowej pozycji (piątej od lewej) zawsze wisi granatowy sweter Na ile sposobów Zosia może powiesić swoje ubrania w szafie? Z zielona bluzka G granatowy sweter C czerwona spódnica Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje i to mamy cztery następujące możliwe ustawienia pozostałych ubrań: GCCZ G ZGZZ GCCZ G ZZGZ GCCZ G ZZZG ZCCZ G ZGAG a. Jeśli danej wielokrotności nie było na tablicy, to ta liczba jest dopisywana. b. Jeśli dana wielokrotność już jest na tablicy (powtarza się z wielokrotnością któregoś poprzedniego dziecka) to nie jest dopisywana. Wygrywa ta osoba która wypisze najwięcej liczb na tablicy. Na kartkach dzieci zapisały następujące liczby: Basia: 15 Adrian: 5 Cyprian: 10 Sędzia wylosował następującą kolejność wypisywania liczb na tablicy: 1. Adrian. Basia. Cyprian Które z dzieci wygrało grę? Jaka jest strategię powinno obrać dziecko by wygrać tę grę? Ilość liczb wypisanych przez Adriana 00 : 5 = 8 Liczby dopisane przez Basię 5

6 Ilość wielokrotności 15: 00 : 15 = 1 reszty 5 Liczby których Basia nie dopisała to liczby podzielne przez 15 i 5: NWW(15,5) = * 5 * 5 = * 5 = 75 Ilość wielokrotności : 75 = reszty 50 Ilość liczb dopisanych przez Basię: 1 = 11 żołnierzy analogicznie jak powyżej. Zatem wszystkich ustawień żołnierzy jest * 10 = 0. Odpowiedź: Mateusz może ustawić swoich żołnierzy na 0 sposobów. Liczby dopisane przez Cypriana Ilość wielokrotności 10: 00 : 10 = 0 Liczby których Cyprian nie dopisał gdyż wypisał je Adrian to liczby podzielne przez 10 i 5: NWW(10,5) = * 5 * 5 = * 5 = 50 Ilość wielokrotności 50: 00 : 50 = 4 Liczby których Cyprian nie dopisał gdyż wypisała je Basia to liczby podzielne przez 10 i 15: NWW(10,15) = * 5 * = * 15 = 0

7 Zadanie nr 8 Mateusz robi musztrę swoim żołnierzykom ustawiając ich jeden za drugim. Na ile sposobów Mateusz może ustawić swoich żołnierzy, jeśli żołnierzy można rozróżnić tylko kolorami: jeden żołnierz ma kolor czerwony dwóch żołnierzy ma kolor granatowy trzech żołnierzy ma kolor zielony Gdy czerwony żołnierz ma pozycję numer 1 to na pozostałych pozycjach możemy ustawić granatowych i zielonych żołnierzy na = = 10 sposobów: CNNZZZ CNZNZZ CNZZNZ CNZZZN CZNNZZ CZNZNZ CZNZZN CZZNNZ CZZNZN CZZZNN Ilość wielokrotności 0: 00 : 0 = reszty 0 Liczby policzone dwukrotnie jako niedopisane przez Cypriana jako wypisane przez Adriana i wypisane przez Basię: NWW(10,15,5) = * 5 * * 5 = 10 * 15 = 150 Ilość wielokrotności 150 (policzone podwójnie jako wypisane przez Adriana i wypisane przez Basię): 00 : 150 = 1 reszty 50 Ilość liczb wypisanych przez Cypriana: = = = 11 Otrzymujemy, że: Adrian wypisał 8 liczb. Basia dopisała 11 liczb. Cyprian dopisał 11 liczb. Odpowiedź: Grę wygrali jednocześnie Basia i Cyprian. Optymalna strategia polega na wypisaniu na kartce jedynki która ma najwięcej wielokrotności w dowolnym przedziale Czerwony żołnierz może być na pozycjach od 1 do. Każda z nich daje 10 ustawień pozostałych 7

8 Zadanie nr 4 1. Nauczyciel wypisał na tablicy zielona kredą liczby podzielne przez w zakresie Następnie dopisał dodatkowo czerwonym kolorem liczby podzielne przez 10 w zakresie pisząc tylko te liczby których nie ma jeszcze na tablicy.. Na koniec, granatową kredą dopisał liczby podzielne przez 8 w zakresie Również i w tym przypadku nie wypisywał liczb jeśli były już na tablicy. Ile liczb każdego koloru wypisał nauczyciel? Obliczam ilość zielonych liczb podzielnych przez w zakresie 1 do : : = 1 reszty 4 Zielonych liczb jest 1. Odpowiedź: Długości boków kwadratów i całego prostokąta: Ilość czerwonych liczb. Obliczam ilość liczb podzielnych przez 10 w zakresie 1 do : : 10 = Obliczam ilość liczb podzielnych przez 10 i w zakresie od 1 do : NWW(,10) = : 0 = reszty

9 Teraz obliczamy długości boków prostokąta: Długość: = + 18 = 57 Wysokość: = 0 + = 4 Liczb podzielnych przez 0 w zakresie od 1 do jest. Liczb podzielnych przez 10 a niepodzielnych przez w zakresie od 1 do jest = 7 Czerwonych liczb nauczyciel dopisał 7 Ilość granatowych liczb. Obliczam ilość liczb podzielnych przez 8 w zakresie 1 do : : 8 = 5 Obliczam ilość liczb podzielnych przez i 8 w zakresie od 1 do : NWW(,8) = : = 41 reszty 1 Liczb podzielnych przez w zakresie od 1 do jest 41. Obliczam ilość liczb podzielnych przez 8 i 10 w zakresie od 1 do : NWW(8,10) = : 40 = 50 Liczb podzielnych przez 40 w zakresie od 1 do jest 50. Obliczam ilość liczb podzielnych przez, 8 i 10 w zakresie od 1 do : NWW(,8,10) = : 0 = 8 reszty 40 Liczb podzielnych przez 0 w zakresie od 1 do jest 8. 0

10 Granatowych liczb nauczyciel dopisał: = = = 7. Odpowiedź: Nauczyciel wypisał: 1 zielonych liczb 7 czerwonych liczb 7 granatowych liczb Zadanie nr 5 Składając jednakowe małe prostopadłościany możemy uzyskać sześcian o polu powierzchni 84 cm. Jakie pole powierzchni uzyskamy składając małe prostopadłościany w jeden duży prostopadłościan nie będący sześcianem? 1 Rysunek x x x x x x x x 10 1

11 x x x x x x Obliczam pole powierzchni sześcianu Pole powierzchni pojedynczej ściany: P s = x x = x Pole powierzchni całego sześcianu: Pp = Ps = x = 54x Obliczam x. P p = 54x = 84cm 54x = 84cm : x = cm 54 4 x = cm 7 48 x = cm x = 1cm 18 11

12 x = 4cm lub x = 4cm Odrzucam, długość boku liczbą dodatnią Zatem x = 4 cm. Obliczam pole powierzchni dużego prostopadłościanu Pole ściany x na x: P 1 = x x = 7x Pole ściany x na x: P = x x = x Pole ściany x na x: P = x x = x Pole powierzchni dużego prostopadłościanu: P d = P1 + P + P = 7x + x + x = 54x + 18x + x = 7x + x = 78x Podstawiam x = 4 cm: P d = 78x = 78 (4cm) = 78 1cm = 18cm Odpowiedź: Pole powierzchni dużego prostopadłościanu wynosi 18 cm. = Ponieważ pole kwadracika wynosi, więc bok kwadracika wynosi. Z przystawania kwadratów, wynika, że boki wszystkich poniższych kwadracików wynoszą : Z sumy odcinków i przystawania kwadratów wnioskujemy w kolejnych krokach następujące długości boków: 17

13 Zatem pole niebieskiego kwadratu to: 11 * 11 = 1 Odpowiedź: Duży niebieski kwadrat składa się ze 1 kwadracików. Zadanie nr Z ilu najmniejszych kwadracików (dwa z nich zaznaczono na różowo) składa się duży kwadrat o niebieskim obwodzie? Zadanie nr 7 Wiedząc, że wszystkie figury składające się na duży prostokąt są kwadratami, oraz, że pole różowego kwadracika wynosi, oblicz długości boków każdego kwadratu jak również długości boków dużego prostokąta. Poniższe kwadraciki są przystające (każde dwa mają wspólny bok) zatem maja równe pola: 1 1

14 Bok pogrubionego kwadratu składa się z kwadracików: Poniższe pogrubione kwadraty mają boki złożone z dwóch szarych kwadracików, zaś ich pole składa się z 4 kwadracików: Bok niebieskiego kwadratu to 11 kwadracików: