Zbiór zadań przygotowujących do kuratoryjnego konkursu matematycznego. Szkoły podstawowe Całość materiału

Transkrypt

1 Zbiór zadań przygotowujących do kuratoryjnego konkursu matematycznego Szkoły podstawowe Całość materiału

2 Treści zadań Zadanie nr Arek ma pomalować płot u siebie i u swojego wujka. Obydwa płoty są identyczne, gdyż Rodzice Arka i wujek mieszkają w bliźniaku.. Arek własny płot malował w piątek od :00 do :00. W sobotę Arek również zaczął malowanie o :00. Po dwóch godzinach samotnej pracy dołączył do niego wujek, który nie szedł tego dnia do pracy. Odtąd wujek i Arek i malowali razem. O której godzinie w sobotę Arek i wujek skończyli pracę, jeśli wiadomo, że wujek maluje płot trzy razy szybciej od Arka? Podsumowanie Sytuacja A możliwości powieszenia ubrań Sytuacja B 7 możliwości powieszenia ubrań Zadanie nr Kazik zawsze w sobotę obiera ziemniaki dla całej rodziny. Jednak robi to bardzo wolno i cała praca zajmuje mu prawie godzinę, a dokładnie minut. W ostatnią sobotę zlitowała się nad nim siostra Lusia, która obiera ziemniaki cztery razy szybciej od Kazika. Lusia widząc brata obierającego ziemniaki, wzięła nóż i także przystąpiła do obierania. W ten sposób, od chwili gdy Kazik wziął pierwszy ziemniak, do zakończenia obierania ziemniaków przez obydwoje rodzeństwa minęło tylko minut! Po ilu minutach samotnego obierania ziemniaków przez Kazika, Lusia przystąpiła do pracy? Ile możliwości powieszenia ubrań w szafie? Jak stwierdziliśmy na początku, z uwagi na symetrię, ilość ustawień ubrań w szafie to suma możliwości ustawień ubrań dla przypadków A oraz B, pomnożona przez : ( + 7) * = * = Odpowiedź: Zosia może powiesić swoje ubrania na sposoby. 7

3 7 8 Sytuacja B liczba możliwości powieszenia ubrań Przypadki od B do B zawierają wszystkie możliwe ustawienia granatowych swetrów i zielonych bluzek gdy czerwone spódnice zajmują pozycje nr i. Zatem ilość ustawień ubrań dla przypadku B (czerwone spódnice zajmują pozycje nr i ) to suma możliwych ustawień ubrań od B do B: + + = 7 Zadanie nr Trójka dzieci: Adrian, Basia i Cyprian bawiła się w grę o następujących zasadach:. Najpierw dziecko pisze na kartce dowolna liczbę. Kartki oddaje się do sędziego. Następnie sędzia losuje kolejność dzieci. Na tablicy, pierwsze wylosowane dziecko wypisuje wielokrotności liczby którą zapisało na kartce w zakresie od do 00. Kolejne dzieci (według losowania) dopisują na tablicy wielokrotności liczb zapisanych przez siebie na kartce w przedziale od do 00 według następujących zasad: a. Jeśli danej wielokrotności nie było na tablicy, to ta liczba jest dopisywana. b. Jeśli dana wielokrotność już jest na tablicy (powtarza się z wielokrotnością któregoś poprzedniego dziecka) to nie jest dopisywana. Wygrywa ta osoba która wypisze najwięcej liczb na tablicy. Na kartkach dzieci zapisały następujące liczby: Basia: Adrian: Cyprian: 0

4 Sędzia wylosował następującą kolejność wypisywania liczb na tablicy:. Adrian. Basia. Cyprian Które z dzieci wygrało grę? Jaka jest strategię powinno obrać dziecko by wygrać tę grę? Zadanie nr. Nauczyciel wypisał na tablicy zielona kredą liczby podzielne przez w zakresie Następnie dopisał dodatkowo czerwonym kolorem liczby podzielne przez 0 w zakresie pisząc tylko te liczby których nie ma jeszcze na tablicy.. Na koniec, granatową kredą dopisał liczby podzielne przez 8 w zakresie Również i w tym przypadku nie wypisywał liczb jeśli były już na tablicy. Ile liczb każdego koloru wypisał nauczyciel? Zadanie nr Składając jednakowe małe prostopadłościany możemy uzyskać sześcian o polu powierzchni 8 cm. Jakie pole powierzchni uzyskamy składając małe prostopadłościany w jeden duży prostopadłościan nie będący sześcianem? Sytuacja B drugi granatowy najbardziej na lewo na siódmej pozycji Mamy cztery miejsca ustalone: 7 8 pozycja numer i to pozycje czerwonych spódnic zgodnie z naszym założeniem dla wszystkich sytuacji B pozycja numer to pierwszy granatowy sweter zgodnie z warunkami zadania pozycja numer 7 to najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra o nie może znajdować się na pozycji gdyż sąsiadowałby z ustaloną pozycją pierwszego granatowego swetra. o pozycje numer i już rozpatrzyliśmy Wówczas na wolnych dwóch pozycjach mamy tylko jedną możliwość powieszenia ostatniego (trzeciego) granatowego swetra i czterech zielonych bluzek, analogicznie jak w sytuacji A:

5 Zadanie nr Z ilu najmniejszych kwadracików (dwa z nich zaznaczono na różowo) składa się duży kwadrat o niebieskim obwodzie?

6 Zadanie nr 7 Wiedząc, że wszystkie figury składające się na duży prostokąt są kwadratami, oraz, że pole różowego kwadracika wynosi, oblicz długości boków każdego kwadratu jak również długości boków dużego prostokąta. zajmując kolejno trzy pozycje: od siódmej do dziewiątej. Zatem dla sytuacji B (czerwone spódnice na trzeciej i czwartej pozycji, najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra wynosi jeden) mamy różne ustawienia. Sytuacja B drugi granatowy najbardziej na lewo na drugiej pozycji Mamy cztery miejsca ustalone: Zadanie nr 8 Mateusz robi musztrę swoim żołnierzykom ustawiając ich jeden za drugim. Na ile sposobów Mateusz może ustawić swoich żołnierzy, jeśli żołnierzy można rozróżnić tylko kolorami: jeden żołnierz ma kolor czerwony dwóch żołnierzy ma kolor granatowy trzech żołnierzy ma kolor zielony 7 8 pozycja numer i to pozycje czerwonych spódnic zgodnie z naszym założeniem dla wszystkich sytuacji B pozycja numer to pierwszy granatowy sweter zgodnie z warunkami zadania pozycja numer to najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra zgodnie z naszym założeniem dla sytuacji B Wówczas również mamy możliwości ustawienia ostatniego (trzeciego) granatowego swetra i czterech zielonych bluzek, podobnie jak w sytuacji B.

7 Zadanie nr Zosia przechowuje na odpowiednio długim wieszaku w szafie następujące ubrania: cztery takie same zielone bluzki trzy takie same granatowe swetry dwie takie same czerwone spódnice Zosia nigdy nie wiesza swoich ubrań byle jak ma określone zasady: czerwone spódnice muszą zawsze wisieć razem jedna obok drugiej przy czym żadna czerwona spódnica nie może wisieć z brzegu grantowe swetry nigdy, ze sobą nie sąsiadują przy czym na środkowej pozycji (piątej od lewej) zawsze wisi granatowy sweter Na ile sposobów Zosia może powiesić swoje ubrania w szafie? 7 8 Identycznie jak w sytuacji A, ostatni, trzeci granatowy sweter musi zajmować pozycje od 7 do gdyż nie może sąsiadować z innymi granatowymi swetrami. Wędruje wśród zielonych bluzek 7

8 Odpowiedzi Zadanie nr Treść zadania Arek ma pomalować płot u siebie i u swojego wujka. Obydwa płoty są identyczne, gdyż Rodzice Arka i wujek mieszkają w bliźniaku.. Arek własny płot malował w piątek od :00 do :00. W sobotę Arek również zaczął malowanie o :00. Po dwóch godzinach samotnej pracy dołączył do niego wujek, który nie szedł tego dnia do pracy. Odtąd wujek i Arek i malowali razem. O której godzinie w sobotę Arek i wujek skończyli pracę, jeśli wiadomo, że wujek maluje płot trzy razy szybciej od Arka? Odpowiedź: Arek i wujek skończyli pracę w sobotę o :00. Zadanie nr Treść zadania Kazik zawsze w sobotę obiera ziemniaki dla całej rodziny. Jednak robi to bardzo wolno i cała praca zajmuje mu prawie godzinę, a dokładnie minut. W ostatnią sobotę zlitowała się nad nim siostra Lusia, która obiera ziemniaki cztery razy szybciej od Kazika. Lusia widząc brata obierającego ziemniaki, wzięła nóż i także przystąpiła do obierania. W ten sposób, Sytuacja B drugi granatowy najbardziej na lewo na pierwszej pozycji Mamy cztery miejsca ustalone: 7 8 pozycja numer i to pozycje czerwonych spódnic zgodnie z naszym założeniem dla wszystkich sytuacji B pozycja numer to pierwszy granatowy sweter zgodnie z warunkami zadania pozycja numer to najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra zgodnie z naszym założeniem dla sytuacji B Wówczas na wolnych pięciu pozycjach mamy następujące możliwości powieszenia ostatniego (trzeciego) granatowego swetra i czterech zielonych bluzek: 8

9 Zatem ilość ustawień ubrań dla przypadku A (czerwone spódnice zajmują pozycje nr i ) to suma możliwych ustawień ubrań od A do A: + = Sytuacja B czerwone spódnice na i pozycji Gdy czerwone spódnice znajdują się na i pozycji to mamy ustalone następujące miejsca ubrań: 7 8 pozycja numer i to czerwone spódnice zgodnie z naszym założeniem. Rozpatrujemy ich kolejne położenie przesuwając je w prawą stronę pozycja numer to granatowy sweter zgodnie z warunkami zadania Ilość możliwości powieszenia pozostałych ubrań dla takiej sytuacji rozpatrzymy ponownie w zależności od miejsca gdzie wisi najbardziej skrajnie lewy, drugi granatowy sweter. od chwili gdy Kazik wziął pierwszy ziemniak, do zakończenia obierania ziemniaków przez obydwoje rodzeństwa minęło tylko minut! Po ilu minutach samotnego obierania ziemniaków przez Kazika, Lusia przystąpiła do pracy? Odpowiedź: Lusia przystąpiła do pracy po minucie samotnej pracy Kazika. Zadanie nr Treść zadania Trójka dzieci: Adrian, Basia i Cyprian bawiła się w grę o następujących zasadach:. Najpierw dziecko pisze na kartce dowolna liczbę. Kartki oddaje się do sędziego. Następnie sędzia losuje kolejność dzieci. Na tablicy, pierwsze wylosowane dziecko wypisuje wielokrotności liczby którą zapisało na kartce w zakresie od do 00. Kolejne dzieci (według losowania) dopisują na tablicy wielokrotności liczb zapisanych przez siebie na kartce w przedziale od do 00 według następujących zasad: a. Jeśli danej wielokrotności nie było na tablicy, to ta liczba jest dopisywana. b. Jeśli dana wielokrotność już jest na tablicy (powtarza się z 0

10 wielokrotnością któregoś poprzedniego dziecka) to nie jest dopisywana. Wygrywa ta osoba która wypisze najwięcej liczb na tablicy. Na kartkach dzieci zapisały następujące liczby: Basia: Adrian: Cyprian: 0 Sędzia wylosował następującą kolejność wypisywania liczb na tablicy:. Adrian. Basia. Cyprian Które z dzieci wygrało grę? Jaka jest strategię powinno obrać dziecko by wygrać tę grę? Odpowiedź: Grę wygrali jednocześnie Basia i Cyprian. Optymalna strategia polega na wypisaniu na kartce jedynki która ma najwięcej wielokrotności w dowolnym przedziale o pozycję numer już rozpatrzyliśmy Wówczas na wolnych dwóch pozycjach mamy tylko jedną możliwość powieszenia ostatniego (trzeciego) granatowego swetra i czterech zielonych bluzek: 7 8 Ostatni, trzeci granatowy sweter musi zajmować pozycje gdyż nie może sąsiadować z innymi granatowymi swetrami. Zatem dla sytuacji A (czerwone spódnice na drugiej i trzeciej pozycji, najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra wynosi siedem) mamy ustawienie. Sytuacja A liczba możliwości powieszenia ubrań Drugi granatowy sweter nie może znajdować się najbardziej na lewo na pozycji nr 8, gdyż wówczas ostatni granatowy sweter miałby pozycję numer i obydwa granatowe swetry sąsiadowałyby ze sobą co jest sprzeczne z warunkami zadania. Zatem przypadki A oraz A zawierają wszystkie możliwe ustawienia granatowych swetrów i zielonych bluzek gdy czerwone spódnice zajmują pozycje nr i. 0

11 Ostatni, trzeci granatowy sweter musi zajmować pozycje od 7 do gdyż nie może sąsiadować z innymi granatowymi swetrami. Wędruje wśród zielonych bluzek zajmując kolejno trzy pozycje: od siódmej do dziewiątej. Zatem dla sytuacji A (czerwone spódnice na drugiej i trzeciej pozycji, najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra wynosi jeden) mamy różne ustawienia. Sytuacja A drugi granatowy najbardziej na lewo na siódmej pozycji Mamy cztery miejsca ustalone: 7 8 pozycja numer i to pozycje czerwonych spódnic zgodnie z naszym założeniem dla wszystkich sytuacji A pozycja numer to pierwszy granatowy sweter zgodnie z warunkami zadania pozycja numer 7 to najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra o nie może znajdować się na pozycjach i gdyż sąsiadowałby z ustaloną pozycją pierwszego granatowego swetra. Zadanie nr Treść zadania. Nauczyciel wypisał na tablicy zielona kredą liczby podzielne przez w zakresie Następnie dopisał dodatkowo czerwonym kolorem liczby podzielne przez 0 w zakresie pisząc tylko te liczby których nie ma jeszcze na tablicy.. Na koniec, granatową kredą dopisał liczby podzielne przez 8 w zakresie Również i w tym przypadku nie wypisywał liczb jeśli były już na tablicy. Ile liczb każdego koloru wypisał nauczyciel? Odpowiedź: Nauczyciel wypisał: zielonych liczb 7 czerwonych liczb 7 granatowych liczb 8

12 Zadanie nr Treść zadania Składając jednakowe małe prostopadłościany możemy uzyskać sześcian o polu powierzchni 8 cm. Jakie pole powierzchni uzyskamy składając małe prostopadłościany w jeden duży prostopadłościan nie będący sześcianem? Odpowiedź: Pole powierzchni dużego prostopadłościanu wynosi 8 cm. pozycja numer to pierwszy granatowy sweter zgodnie z warunkami zadania pozycja numer to najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra zgodnie z naszym założeniem dla sytuacji A Wówczas na wolnych pięciu pozycjach mamy następujące możliwości powieszenia ostatniego (trzeciego) granatowego swetra i czterech zielonych bluzek:

13 pozycja numer i to zgodnie z naszym założeniem skrajnie lewe pozycje czerwonych spódnic, gdyż muszą znajdować się obok siebie (jeden podwójny element) a jednocześnie nie mogą być na początku pozycja numer to granatowy sweter zgodnie z warunkami zadania Ilość możliwości powieszenia pozostałych ubrań dla takiej sytuacji rozpatrzymy w zależności od miejsca gdzie wisi najbardziej skrajnie lewy, drugi granatowy sweter. Pierwszy granatowy sweter ma ustaloną pozycję numer zgodnie z warunkami zadania. Granatowych swetrów jest mniej niż zielonych spódnic i łatwiej jest usystematyzować (podzielić na przypadki) możliwe powieszenia ubrań w zależności od pozycji granatowych swetrów. Sytuacja A drugi granatowy najbardziej na lewo na pierwszej pozycji Mamy cztery miejsca ustalone: Zadanie nr Treść zadania Z ilu najmniejszych kwadracików (dwa z nich zaznaczono na różowo) składa się duży kwadrat o niebieskim obwodzie? Odpowiedź: Duży niebieski kwadrat składa się ze kwadracików. 7 8 pozycja numer i to pozycje czerwonych spódnic zgodnie z naszym założeniem dla wszystkich sytuacji A

14 Zadanie nr 7 Treść zadania Wiedząc, że wszystkie figury składające się na duży prostokąt są kwadratami, oraz, że pole różowego kwadracika wynosi, oblicz długości boków każdego kwadratu jak również długości boków dużego prostokąta. Z symetrii wynika, że gdy czerwone spódnice są na pozycji jaki w przypadku (C) to ilość ustawień pozostałych ubrań jest jak w przypadku (A). Podobnie, gdy czerwone spódnice są na pozycji jaki w przypadku (D) to ilość ustawień pozostałych ubrań jest jak w przypadku (B). (A) (C) (B) (D) Odpowiedź: Długości boków kwadratów i całego prostokąta: Dlatego wystarczy rozpatrzyć tylko ilość ustawień ubrań dla przypadków (A) i (B) a następnie sumę tych przypadków pomnożyć przez, by mieć ilość ustawień ubrań zgodnie z zasadami Zosi.. Sytuacja A czerwone spódnice najbardziej na lewo: na drugiej i trzeciej pozycji Gdy czerwone spódnice znajdują się najbardziej na lewo to mamy ustalone następujące miejsca ubrań: 7 8

15 Dzielimy na przypadki wobec najrzadziej występującego elementu Ponieważ czerwonych spódnic jest najmniej (właściwie jeden, podwójny element), więc najłatwiej ustawienia ubrań podzielić na przypadki względem położenia czerwonych spódnic, a następnie zsumować ilość ustawień z każdego przypadku. 8 8 Symetria Przyglądając się chwilę wieszakowi, widzimy, że możliwe ustawienia ubrań są w pełni symetryczne względem środkowej pozycji nr, na której obowiązkowo znajduje się granatowy sweter. Dlatego wystarczy rozpatrzeć liczbę ustawień ubrań dla następujących przypadków (A) i (B) położenia czerwonych spódnic: 7 8 (A) (B) Zadanie nr 8 Treść zadania Mateusz robi musztrę swoim żołnierzykom ustawiając ich jeden za drugim. Na ile sposobów Mateusz może ustawić swoich żołnierzy, jeśli żołnierzy można rozróżnić tylko kolorami: jeden żołnierz ma kolor czerwony dwóch żołnierzy ma kolor granatowy trzech żołnierzy ma kolor zielony Odpowiedź: Mateusz może ustawić swoich żołnierzy na 0 sposobów

16 Zadanie nr Treść zadania Zosia przechowuje na odpowiednio długim wieszaku w szafie następujące ubrania: cztery takie same zielone bluzki trzy takie same granatowe swetry dwie takie same czerwone spódnice Zosia nigdy nie wiesza swoich ubrań byle jak ma określone zasady: czerwone spódnice muszą zawsze wisieć razem jedna obok drugiej przy czym żadna czerwona spódnica nie może wisieć z brzegu grantowe swetry nigdy, ze sobą nie sąsiadują przy czym na środkowej pozycji (piątej od lewej) zawsze wisi granatowy sweter Na ile sposobów Zosia może powiesić swoje ubrania w szafie? Odpowiedź: Zosia może powiesić swoje ubrania na sposoby. ilość ustawień dla przypadków B oraz C jest taka sama. Dlatego rozpatrzymy tylko ilość ustawień granatowych swetrów i zielonych bluzek dla przypadków A oraz B. Suma ilości ustawień ubrań dla przypadków A oraz B pomnożona przez da nam ilość ustawień wszystkich ubrań. Szczegółowe rozwiązanie zadania Przykładowy układ ubrań na wieszaku 7 8 Czerwone spódnice Zwróćmy uwagę, że dwie czerwone spódnice możemy potraktować jako jeden element, gdyż muszą znajdować się obok siebie nie można ich rozdzielić. Również czerwone spódnice nie mogą zajmować pozycji numer oraz (skrajnych pozycji).

17 Zadanie nr Treść zadania Zosia przechowuje na odpowiednio długim wieszaku w szafie następujące ubrania: cztery takie same zielone bluzki trzy takie same granatowe swetry dwie takie same czerwone spódnice Zosia nigdy nie wiesza swoich ubrań byle jak ma określone zasady: czerwone spódnice muszą zawsze wisieć razem jedna obok drugiej przy czym żadna czerwona spódnica nie może wisieć z brzegu grantowe swetry nigdy, ze sobą nie sąsiadują przy czym na środkowej pozycji (piątej od lewej) zawsze wisi granatowy sweter Na ile sposobów Zosia może powiesić swoje ubrania w szafie? Sposób rozwiązania zadania Dwie czerwone spódnice potraktujemy jako całość gdyż nie można ich rozdzielać. Mogą one zajmować pozycje: A. i B. i C. i 7 D. 7 i 8 Z uwagi na symetrię ilość ustawień ubrań dla przypadków A oraz D jest taka sama. Podobnie Wzorcowe rozwiązania zadań Zadanie nr Treść zadania Arek ma pomalować płot u siebie i u swojego wujka. Obydwa płoty są identyczne, gdyż Rodzice Arka i wujek mieszkają w bliźniaku.. Arek własny płot malował w piątek od :00 do :00. W sobotę Arek również zaczął malowanie o :00. Po dwóch godzinach samotnej pracy dołączył do niego wujek, który nie szedł tego dnia do pracy. Odtąd wujek i Arek i malowali razem. O której godzinie w sobotę Arek i wujek skończyli pracę, jeśli wiadomo, że wujek maluje płot trzy razy szybciej od Arka? Wzorcowe rozwiązanie zadania Dzielimy cały płot na części. Jedną część Arek maluje w godzinę (całość od :00 do :00). W sobotę, do momentu przyjścia wujka Arek pomaluje dwie części płotu z sześciu. Z pozostałych czterech wujek pomaluje trzy zaś Arek jedną, gdyż wujek maluje trzy razy szybciej. Zatem zajmie im to godzinę, gdyż Arek maluje jedną część z sześciu w godzinę. Ponieważ wujek przyszedł o godzinie 7

18 ,: więc Arek z wujkiem skończą malowanie o :00 Odpowiedź: Arek i wujek skończyli pracę w sobotę o :00. Ile pozycji czerwonego żołnierza? Zauważmy, że mamy pozycji czerwonego żołnierza: A () Zadanie nr Treść zadania Kazik zawsze w sobotę obiera ziemniaki dla całej rodziny. Jednak robi to bardzo wolno i cała praca zajmuje mu prawie godzinę, a dokładnie minut. W ostatnią sobotę zlitowała się nad nim siostra Lusia, która obiera ziemniaki cztery razy szybciej od Kazika. Lusia widząc brata obierającego ziemniaki, wzięła nóż i także przystąpiła do obierania. W ten sposób, od chwili gdy Kazik wziął pierwszy ziemniak, do zakończenia obierania ziemniaków przez obydwoje rodzeństwa minęło tylko minut! Po ilu minutach samotnego obierania ziemniaków przez Kazika, Lusia przystąpiła do pracy? Wzorcowe rozwiązanie zadania Obliczam ile czasu Lusia zaoszczędziła Kazikowi: minut minut = 0 minut B () C () D () E () F () Ile możliwości ustawień żołnierzy? Każda z powyższych pozycji czerwonego żołnierza daje nam 0 ustawień pozostałych żołnierzy. Zatem liczba wszystkich ustawień żołnierzy w szeregu to * 0 = 0. Odpowiedź: Mateusz może ustawić swoich żołnierzy na 0 sposobów. 8

19 B pierwszy granatowy żołnierz może mieć najbardziej lewą pozycję: nr (sytuacja B) wówczas drugi granatowy żołnierz ma możliwe pozycje (jak w przypadku A) nr (sytuacja B) wówczas drugi granatowy żołnierz ma możliwe pozycje (jak w przypadku A) nr (sytuacja B) wówczas drugi granatowy żołnierz ma możliwe pozycje (jak w przypadku A) nr (sytuacja B) wówczas drugi granatowy żołnierz ma możliwą pozycję (jak w przypadku A) Zatem dla sytuacji B (czerwony żołnierz na drugiej pozycji) mamy 0 możliwych ustawień żołnierzy (jak dla sytuacji A). Od chwili gdy Lusia zaczęła pomagać Kazikowi, Kazik obrał x ziemniaków, zaś Lusia obrała x ziemniaków. Gdyby nie Lusia, to Kazik by obierał x ziemniaków przez 0 minut czyli Kazik obiera x ziemniaków w 0 minut. Zatem w ciągu minut Kazik obierał ziemniaki: 0 minut z Lusią minutę sam Odpowiedź: Lusia przystąpiła do pracy po minucie samotnej pracy Kazika. Zadanie nr Treść zadania Trójka dzieci: Adrian, Basia i Cyprian bawiła się w grę o następujących zasadach:. Najpierw dziecko pisze na kartce dowolna liczbę. Kartki oddaje się do sędziego. Następnie sędzia losuje kolejność dzieci. Na tablicy, pierwsze wylosowane dziecko wypisuje wielokrotności liczby którą zapisało na kartce w zakresie od do 00. Kolejne dzieci (według losowania) dopisują na tablicy wielokrotności liczb zapisanych przez siebie na kartce w przedziale od do 00 według następujących zasad: 0

20 a. Jeśli danej wielokrotności nie było na tablicy, to ta liczba jest dopisywana. b. Jeśli dana wielokrotność już jest na tablicy (powtarza się z wielokrotnością któregoś poprzedniego dziecka) to nie jest dopisywana. Wygrywa ta osoba która wypisze najwięcej liczb na tablicy. Sytuacja B czerwony żołnierz na drugiej pozycji Łatwo zauważymy, że gdy czerwony żołnierz znajduje się na drugiej pozycji, to również mamy dokładnie cztery sytuacje od B do B odpowiadające sytuacjom A do A: A B Na kartkach dzieci zapisały następujące liczby: Basia: Adrian: Cyprian: 0 Sędzia wylosował następującą kolejność wypisywania liczb na tablicy:. Adrian. Basia. Cyprian A B Które z dzieci wygrało grę? Jaka jest strategię powinno obrać dziecko by wygrać tę grę? A B Wzorcowe rozwiązanie zadania Ilość liczb wypisanych przez Adriana 00 : = 8 Liczby dopisane przez Basię A Oprócz faktu, że czerwony żołnierz zajmuje pierwszą kolumnę w sytuacji A, zaś drugą kolumnę w sytuacji B to nic się nie zmienia. Dla przypadku B 0

21 Sytuacja A liczba ustawień żołnierzy Przypadki od A do A zawierają wszystkie możliwe ustawienia granatowych i zielonych żołnierzy gdy czerwony żołnierz ma pozycję numer. Zatem ilość ustawień żołnierzy dla przypadku A (pierwszy czerwony żołnierz) to suma możliwych ustawień żołnierzy od A do A: = + = 0 Ilość wielokrotności : 00 : = reszty Liczby których Basia nie dopisała to liczby podzielne przez i : NWW(,) = * * = * = 7 Ilość wielokrotności 7 00 : 7 = reszty 0 Ilość liczb dopisanych przez Basię: = Liczby dopisane przez Cypriana Ilość wielokrotności 0: 00 : 0 = 0 Liczby których Cyprian nie dopisał gdyż wypisał je Adrian to liczby podzielne przez 0 i : 0 NWW(0,) = * * = * = 0 Ilość wielokrotności 0: 00 : 0 = Liczby których Cyprian nie dopisał gdyż wypisała je Basia to liczby podzielne przez 0 i : 0 NWW(0,) = * * = * = 0 8

22 Ilość wielokrotności 0: 00 : 0 = reszty 0 Liczby policzone dwukrotnie jako niedopisane przez Cypriana jako wypisane przez Adriana i wypisane przez Basię: 0 NWW(0,,) = * * * = 0 * = 0 Ilość wielokrotności 0 (policzone podwójnie jako wypisane przez Adriana i wypisane przez Basię): 00 : 0 = reszty 0 Ilość liczb wypisanych przez Cypriana: 0 + = = 0 + = Otrzymujemy, że: Adrian wypisał 8 liczb. Basia dopisała liczb. Cyprian dopisał liczb. Odpowiedź: Grę wygrali jednocześnie Basia i Cyprian. Optymalna strategia polega na wypisaniu na kartce jedynki która ma najwięcej wielokrotności w dowolnym przedziale Drugi granatowy żołnierz wędrując wśród zielonych żołnierzy, zajmuje dwie pozycje: od piątej do szóstej. Zatem dla sytuacji A (pierwszy czerwony żołnierz, drugi zielony żołnierz, trzeci zielony żołnierz, czwarty granatowy żołnierz) mamy różne ustawienia. Sytuacja A najbardziej na lewo granatowy żołnierz na piątej pozycji Mamy pięć ustalonych pozycji: pozycja numer czerwony żołnierz pozycja numer musi być zielony żołnierz, gdyż założyliśmy, że granatowi żołnierze mają pozycję numer lub większą. pozycja numer musi być zielony żołnierz, gdyż założyliśmy, że granatowi żołnierze mają pozycję numer lub większą. pozycja numer musi być zielony żołnierz, gdyż założyliśmy, że granatowi żołnierze mają pozycję numer lub większą. pozycja numer pierwszy granatowy żołnierz zgodnie z założeniem Wówczas na pozycjach od piątej do szóstej mamy granatowych żołnierzy, czyli jedną możliwość ustawienia pozostałych dwóch granatowych żołnierzy: 7

23 Drugi granatowy żołnierz znów wędruje wśród zielonych żołnierzy, ale tym razem zajmuje trzy pozycje: od czwartej do szóstej. Zatem dla sytuacji A (pierwszy czerwony żołnierz, drugi zielony żołnierz, trzeci granatowy żołnierz) mamy różne ustawienia. Sytuacja A najbardziej na lewo granatowy żołnierz na czwartej pozycji Mamy cztery ustalone pozycje: pozycja numer czerwony żołnierz pozycja numer musi być zielony żołnierz, gdyż założyliśmy, że granatowi żołnierze mają pozycję numer lub większą. pozycja numer musi być zielony żołnierz, gdyż założyliśmy, że granatowi żołnierze mają pozycję numer lub większą. pozycja numer pierwszy granatowy żołnierz zgodnie z założeniem Wówczas na pozycjach od piątej do szóstej mamy następujące możliwości ustawienia pozostałych dwóch granatowych i jednego zielonego żołnierza: Zadanie nr Treść zadania. Nauczyciel wypisał na tablicy zielona kredą liczby podzielne przez w zakresie Następnie dopisał dodatkowo czerwonym kolorem liczby podzielne przez 0 w zakresie pisząc tylko te liczby których nie ma jeszcze na tablicy.. Na koniec, granatową kredą dopisał liczby podzielne przez 8 w zakresie Również i w tym przypadku nie wypisywał liczb jeśli były już na tablicy. Ile liczb każdego koloru wypisał nauczyciel? Wzorcowe rozwiązanie zadania Obliczam ilość zielonych liczb podzielnych przez w zakresie do 0 000: : = reszty Zielonych liczb jest. Ilość czerwonych liczb. Obliczam ilość liczb podzielnych przez 0 w zakresie do 0 000: : 0 = 0 00 Obliczam ilość liczb podzielnych przez 0 i w zakresie od do 0 000: NWW(,0) = : 0 = reszty 0.

24 Liczb podzielnych przez 0 w zakresie od do jest. Liczb podzielnych przez 0 a niepodzielnych przez w zakresie od do jest 000 = 7 Czerwonych liczb nauczyciel dopisał 7 Ilość granatowych liczb. Obliczam ilość liczb podzielnych przez 8 w zakresie do 0 000: : 8 = Obliczam ilość liczb podzielnych przez i 8 w zakresie od do 0 000: NWW(,8) = : = reszty Liczb podzielnych przez w zakresie od do jest. Obliczam ilość liczb podzielnych przez 8 i 0 w zakresie od do 0 000: NWW(8,0) = : 0 = 0 Liczb podzielnych przez 0 w zakresie od do jest 0. Obliczam ilość liczb podzielnych przez, 8 i 0 w zakresie od do 0 000: NWW(,8,0) = : 0 = 8 reszty 0 Liczb podzielnych przez 0 w zakresie od do jest 8. Drugi granatowy żołnierz niejako wędruje wśród zielonych żołnierzy zajmując kolejno cztery pozycje: od trzeciej do szóstej. Zatem dla sytuacji A (pierwszy czerwony żołnierz, drugi granatowy żołnierz) mamy różne ustawienia. Sytuacja A najbardziej na lewo granatowy żołnierz na trzeciej pozycji Mamy trzy ustalone pozycje: pozycja numer czerwony żołnierz pozycja numer musi być zielony żołnierz, gdyż założyliśmy, że granatowi żołnierze mają pozycję numer lub większą. pozycja numer pierwszy granatowy żołnierz zgodnie z założeniem Wówczas na pozycjach od czwartej do szóstej mamy następujące możliwości ustawienia pozostałych dwóch granatowych i dwóch zielonych żołnierzy:

25 zostaje nam pozycji (od drugiej do szóstej) gdzie możemy wstawić dwóch grantowych i trzech zielonych żołnierzy. Sytuacja A najbardziej na lewo granatowy żołnierz na drugiej pozycji Mamy dwie ustalone pozycje: pozycja numer czerwony żołnierz pozycja numer granatowy żołnierz Wówczas na pozycjach od trzeciej do szóstej mamy następujące możliwości ustawienia pozostałych dwóch granatowych i trzech zielonych żołnierzy: Granatowych liczb nauczyciel dopisał: = = = 7. Odpowiedź: Nauczyciel wypisał: zielonych liczb 7 czerwonych liczb 7 granatowych liczb Zadanie nr Treść zadania Składając jednakowe małe prostopadłościany możemy uzyskać sześcian o polu powierzchni 8 cm. Jakie pole powierzchni uzyskamy składając małe prostopadłościany w jeden duży prostopadłościan nie będący sześcianem? Wzorcowe rozwiązanie zadania Rysunek x x x x x x x x

26 x x x x x Obliczam pole powierzchni sześcianu Pole powierzchni pojedynczej ściany: P s = x x = x Pole powierzchni całego sześcianu: Pp = Ps = x = x x Obliczam x. P p = x = 8cm x = 8cm 8 x = cm x = cm 7 8 x = cm x = cm : Zadanie nr 8 Treść zadania Mateusz robi musztrę swoim żołnierzykom ustawiając ich jeden za drugim. Na ile sposobów Mateusz może ustawić swoich żołnierzy, jeśli żołnierzy można rozróżnić tylko kolorami: jeden żołnierz ma kolor czerwony dwóch żołnierzy ma kolor granatowy trzech żołnierzy ma kolor zielony Sposób rozwiązania zadania Zauważymy, że mamy sześć przypadków ustawienia czerwonego żołnierza. Dla każdego z tych przypadków będzie 0 możliwych równoważnych ustawień granatowych i zielonych żołnierzy. Zatem wszystkich ustawień żołnierzy otrzymamy * 0 czyli 0. Szczegółowe rozwiązanie zadania Sytuacja A czerwony żołnierz na pierwszej pozycji Gdy czerwony żołnierz okupuje pozycję numer

27 W ten sposób otrzymujemy odpowiedź: Duży prostokąt z zaznaczonymi długościami boków własnych i długościami boków wszystkich jego kwadratów: x = cm lub x = cm Odrzucam, długość boku liczbą dodatnią Zatem x = cm Obliczam pole powierzchni dużego prostopadłościanu Pole ściany x na x: P = x x = 7x Pole ściany x na x: P = x x = x Pole ściany x na x: P = x x = x Pole powierzchni dużego prostopadłościanu: P d = P + P + P = 7x + x + x = x + 8x + x = 7x + x = 78x = Podstawiam x = cm: P d = 78x = 78 (cm) = 78 cm = 8cm Odpowiedź: Pole powierzchni dużego prostopadłościanu wynosi 8 cm. 7

28 Zadanie nr Treść zadania Z ilu najmniejszych kwadracików (dwa z nich zaznaczono na różowo) składa się duży kwadrat o niebieskim obwodzie? Długości boków prostokąta Teraz możemy obliczyć długości boków prostokąta Wzorcowe rozwiązanie zadania Poniższe kwadraciki są przystające (każde dwa mają wspólny bok) zatem maja równe pola: 7 Długość zielonego boku: = + 8 = 7 Długość czerwonego boku: = 0 + = 8

29 Etap V Na poniższym rysunku długość lewego boku czerwonego kwadratu wynosi 8, gdyż jest różnicą boku o długości i boku o długości. Długość lewego boku zielonego kwadratu wynosi również 8, gdyż kwadrat ten jest przystający do czerwonego kwadratu mają jeden bok wspólny Poniższe pogrubione kwadraty mają boki złożone z dwóch szarych kwadracików, zaś ich pole składa się z kwadracików: 8 8 0

30 Bok pogrubionego kwadratu składa się z kwadracików: Etap IV Na poniższym rysunku długość górnego boku czerwonego kwadratu wynosi, gdyż jest sumą boków o długościach i : Bok niebieskiego kwadratu to kwadracików: Oznaczamy długości wszystkich boków czerwonego kwadratu: 0

31 Oznaczamy długości wszystkich boków czerwonego i zielonego kwadratu: Zatem pole niebieskiego kwadratu to: * = Odpowiedź: Duży niebieski kwadrat składa się ze kwadracików. Zadanie nr 7 Treść zadania Wiedząc, że wszystkie figury składające się na duży prostokąt są kwadratami, oraz, że pole różowego kwadracika wynosi, oblicz długości boków każdego kwadratu jak również długości boków dużego prostokąta. 8

32 Wzorcowe rozwiązanie zadania Ponieważ pole kwadracika wynosi, więc bok kwadracika wynosi. Z przystawania kwadratów, wynika, że boki wszystkich poniższych kwadracików wynoszą : Oznaczamy długości wszystkich boków czerwonego, fioletowego, zielonego i niebieskiego kwadratu: Z sumy odcinków i przystawania kwadratów wnioskujemy w kolejnych krokach następujące długości boków: Etap III Na poniższym rysunku:. Długość prawego boku czerwonego kwadratu wynosi, gdyż kwadrat ten jest przystający do różowego kwadratu (obydwa kwadraty mają jeden bok wspólny). Długość prawego boku zielonego kwadratu wynosi, gdyż jest sumą boków o długościach, i 7

33 Etap II Na poniższym rysunku:. Długość prawego boku czerwonego kwadratu wynosi, gdyż jest sumą boków o długościach i. Długość lewego boku fioletowego kwadratu wynosi, gdyż jest sumą boków o długościach,, i. Długość boku ciemnozielonego kwadratu wynosi gdyż kwadrat ten jest przystający do jasnozielonego kwadratu o boku (obydwa kwadraty mają jeden bok wspólny). Długość boku niebieskiego kwadratu wynosi gdyż kwadrat ten jest przystający do jasnoniebieskiego kwadratu o boku (obydwa kwadraty mają jeden bok wspólny)

34 Oznaczamy długości wszystkich boków zielonego, niebieskiego, fioletowego i czerwonego kwadratu:

35 Rozumując analogicznie otrzymujemy, że wszystkie poniższe różowe kwadraciki są przystające i maja długości boków równe : Etap I Zwróćmy uwagę, że na poniższym rysunku:. Długość górnego boku niebieskiego kwadratu wynosi, gdyż jest równa trzem długościom boku kwadracika o boku.. Długość dolnego boku zielonego kwadratu wynosi, gdyż jest równa dwóm długościom boku kwadracika o boku.. Długość górnego boku fioletowego kwadratu wynosi, gdyż jest równa dwóm długościom boku kwadracika o boku.. Długość lewego boku czerwonego kwadratu wynosi, gdyż jest równa trzem długościom boku kwadracika o boku. Teraz obliczamy długości boków prostokąta: Długość: = + 8 = 7 Wysokość: = 0 + =

36 Odpowiedź: Długości boków kwadratów i całego prostokąta: Podobnie poniżej żółty kwadracik jest przystający do różowego z uwagi na wspólny ciemnoczerwony bok te kwadraciki również mają równe długości boków:

37 Zadanie nr 8 Treść zadania Mateusz robi musztrę swoim żołnierzykom ustawiając ich jeden za drugim. Na ile sposobów Mateusz może ustawić swoich żołnierzy, jeśli żołnierzy można rozróżnić tylko kolorami: jeden żołnierz ma kolor czerwony dwóch żołnierzy ma kolor granatowy trzech żołnierzy ma kolor zielony Kwadraty przystające do jednostkowych kwadratów W naszym w zadaniu wszystkie figury na rysunku są kwadratami. Ponieważ różowy i żółty kwadracik poniżej mając wspólny ciemnoczerwony bok więc są to kwadraty przystające czyli mają wszystkie boki o długości : Wzorcowe rozwiązanie zadania Gdy czerwony żołnierz ma pozycję numer to na pozostałych pozycjach możemy ustawić granatowych i zielonych żołnierzy na = + = 0 sposobów: CNNZZZ CNZNZZ CNZZNZ CNZZZN CZNNZZ CZNZNZ CZNZZN CZZNNZ CZZNZN CZZZNN Czerwony żołnierz może być na pozycjach od do. Każda z nich daje 0 ustawień pozostałych 7

38 żołnierzy analogicznie jak powyżej. Zatem wszystkich ustawień żołnierzy jest * 0 = 0. Odpowiedź: Mateusz może ustawić swoich żołnierzy na 0 sposobów.. zależności między bokami należącymi do różnych kwadratów obliczmy boki wszystkich kwadratów i prostokątów. Szczegółowe rozwiązanie zadania Długości boków różowego kwadratu Ponieważ pole różowego kwadratu wynosi więc bok tego kwadratu ma długość : gdyż pole kwadratu to bok * bok, czyli otrzymujemy, że * =. Zatem wszystkie różowe kwadraty które są dane w zadaniu mają boki o długościach : 8

39 Zadanie nr 7 Treść zadania Wiedząc, że wszystkie figury składające się na duży prostokąt są kwadratami, oraz, że pole różowego kwadracika wynosi, oblicz długości boków każdego kwadratu jak również długości boków dużego prostokąta. Sposób rozwiązania zadania Najpierw obliczymy, ż długość boku różowego kwadracika to. Następnie korzystając z. przystawania kwadratów (wszystkie elementy poza dużym prostokątem są kwadratami) Zadanie nr Treść zadania Zosia przechowuje na odpowiednio długim wieszaku w szafie następujące ubrania: cztery takie same zielone bluzki trzy takie same granatowe swetry dwie takie same czerwone spódnice Zosia nigdy nie wiesza swoich ubrań byle jak ma określone zasady: czerwone spódnice muszą zawsze wisieć razem jedna obok drugiej przy czym żadna czerwona spódnica nie może wisieć z brzegu grantowe swetry nigdy, ze sobą nie sąsiadują przy czym na środkowej pozycji (piątej od lewej) zawsze wisi granatowy sweter Na ile sposobów Zosia może powiesić swoje ubrania w szafie? Wzorcowe rozwiązanie zadania Z zielona bluzka G granatowy sweter C czerwona spódnica Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje i to mamy cztery następujące możliwe ustawienia pozostałych ubrań: GCCZ G ZGZZ GCCZ G ZZGZ GCCZ G ZZZG ZCCZ G ZGAG 0

40 Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje i to mamy siedem następujących możliwych ustawień pozostałych ubrań: GZCC G ZGZZ GZCC G ZZGZ GZCC G ZZZG ZGCC G ZGZZ ZGCC G ZZGZ ZGCC G ZZZG ZZCC G ZGAG Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje i 7 to mamy sytuację symetryczną jak dla pozycji czerwonych spódnic i czyli siedem możliwych ustawień pozostałych ubrań. Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje 7 i 8 to mamy sytuację symetryczną jak dla pozycji czerwonych spódnic i czyli cztery możliwe ustawienia pozostałych ubrań. Powyższe sytuacje zawierają wszystkie możliwe pozycje czerwonych spódnic na wieszaku: Zatem liczba możliwości powieszenia ubrań to suma możliwości rozpatrywanych przypadków: = + = Pole dużego niebieskiego kwadratu Zatem wszystkich kwadracików będzie: kwadracików w wierszu * wierszy w pionie = kwadracików w niebieskim kwadracie wierszy w pionie kwadratów w wierszu Odpowiedź: Duży niebieski kwadrat składa się ze kwadracików. Odpowiedź: Zosia może powiesić swoje ubrania na sposoby. 0 0

41 Bok dużego niebieskiego kwadratu Teraz wiemy, z ilu kwadracików składa się bok dużego niebieskiego kwadratu wystarczy policzyć, że jest ich : Ponieważ kwadrat ma wszystkie boki równe, więc każdy bok niebieskiego kwadratu jest zbudowany z kwadracików: Szczegółowe rozwiązania zadań Zadanie nr Treść zadania Arek ma pomalować płot u siebie i u swojego wujka. Obydwa płoty są identyczne, gdyż Rodzice Arka i wujek mieszkają w bliźniaku.. Arek własny płot malował w piątek od :00 do :00. W sobotę Arek również zaczął malowanie o :00. Po dwóch godzinach samotnej pracy dołączył do niego wujek, który nie szedł tego dnia do pracy. Odtąd wujek i Arek i malowali razem. O której godzinie w sobotę Arek i wujek skończyli pracę, jeśli wiadomo, że wujek maluje płot trzy razy szybciej od Arka? Sposób rozwiązania zadania Ponieważ Arek malował płot samodzielnie przez godzin, więc podzielimy płot na części otrzymując, że tempo pracy Arka to jedna część na godzinę. W sobotę, do momentu przyjścia wujka, Arek pomaluje dwie z tych sześciu części (wujek przyszedł po dwóch godzinach pracy Arka). Z pozostałych części Arek pomaluje jedną, zaś wujek trzy, gdyż jest trzy razy szybszy. Ponieważ 08

42 Arek maluje jedną część w godzinę więc pomalowanie pozostałych po przyjściu wujka czterech części zajmie im właśnie tę godzinę. Zatem skończą całą pracę w godzinę po przyjściu wujka o :00. Szczegółowe rozwiązanie zadania Zrozumieć treść zadania i znaleźć istotne informacje Najważniejszym elementem zadania jest zrozumienie jego treści. Oto powinniśmy zrozumie, z treści zadania:. Mamy dwa takie same płoty: jeden malowany w piątek, drugi w sobotę. Ponieważ w piątek Arek malował płot od :00 do :00 więc samodzielne pomalowanie płotu zajmuje Arkowi godzin. W sobotę Arek maluje sam od :00 do :00. O :00 przychodzi wujek, który płot maluje trzy razy szybciej od Arka i maluję razem. Musimy obliczyć o której skończą. Kwadrat w lewym dolnym rogu Zauważamy, że bok ciemnoczerwonego kwadratu poniżej składa się z kwadracików: Czyli wszystkie boki ciemnoczerwonego kwadratu zbudowanego są z kwadracików i możemy ciemnoczerwony kwadrat wypełnić kwadracikami: Jak malował Kazik w piątek? W piątek Arek malował płot przez godzin. Zatem jeśli podzielimy płot na części to każdą z otrzymanych części Arek malował godzinę jak na rysunku poniżej: 07

43 :00 :00 :00 :00 7:00 8:00 :00 Ile części pomalował Kazik samodzielnie w sobotę? W sobotę o :00 dołączył do niego wujek. Do tego momentu, czyli pomiędzy :00 a :00 Arek pomalował dwie części płotu z sześciu: Kawałki płotu pomalowane tylko przez Arka Kawałki płotu, które Arek i wujek pomalują razem Zatem są przystające i składają się z tej samej liczby kwadracików: :00 :00 :00 Zatem w momencie przyjścia wujka (:00) zostały do pomalowania cztery kawałki płotu zaznaczone na czarno powyżej. Jak podzielą się pozostałą pracą Arek z wujkiem? Ponieważ wujek pracuje trzy razy szybciej od Arka to z pozostałych czterech kawałków Arek pomaluje jeden kawałek, zaś wujek trzy kawałki: 0

44 Kawałki płotu, które Arek i wujek pomalują razem Podobnie rozumując otrzymujemy, że ciemnoczerwony kwadrat na dole ma boki długości dwóch kwadracików, gdyż górny bok jest zbudowany z kwadracików. Zatem ten cały kwadrat jest wypełniony jest czterema kwadracikami: Tą część pomaluje Arek Te części pomaluje wujek Arka Ile czasu Arek z wujkiem będą malować swoje części? Pamiętamy, że Arek maluje jeden kawałek w godzinę. Czyli właśnie godzinę zajmie. Arkowi pomalowanie jednego kawałka z pozostałych czterech. wujkowi pomalowanie trzech kawałów z pozostałych czterech (trzy razy szybszy od Arka) Ciemnoczerwone kwadraty poniżej mają wspólny zielony bok: 0

45 Kawałki płotu, które Arek i wujek pomalują razem Możemy więc ciemnoczerwony kwadrat wypełnić kwadracikami: Tą część pomaluje Arek Zajmie mu to godzinę Te części pomaluje wujek Arka Zajmie mu to godzinę 0

46 O której godzinie Arek z wujkiem skończą malowanie? Czyli otrzymujemy, że pozostałą pracę od chwili dołączenia się wujka (pomalowanie czterech pozostałych kawałków), Arek i wujek wykonają w godzinę. Ponieważ wujek dołączył do Arka o :00 więc całą pracę ukończą :00: Kawałki płotu pomalowane tylko przez Arka Kawałki płotu, które Arek i wujek pomalują razem. Przystawaniem (kwadraty mające jeden bok tej samej długości są przystające). Istniejącymi na rysunku zależnościami Jest to żmudna metoda ale jedyna prawidłowa. Kwadraty o boku Zauważmy, że dolny bok ciemnoczerwonego kwadratu poniżej (z treści zadania wynika, że wszystkie figury są kwadratami) składa się dwóch kwadracików: :00 :00 :00 :00 Tą część pomaluje Arek Zajmie mu to godzinę Te części pomaluje wujek Arka Zajmie mu to godzinę Odpowiedź: Arek i wujek skończyli pracę w sobotę o :00. Zatem wszystkie boki ciemnoczerwonego kwadratu składają się z kwadracików: 0

47 Niestety, nie możemy w ten sposób zgadywać liczby kwadracików w pustych miejscach. Takie rozwiązanie na oko jest niedopuszczalne. Podobnie tyczy się boków innych kwadratów. Nie możemy ręcznie dorysowywać kwadracików by obliczyć z ilu kwadracików zbudowany jest bok większego kwadratu. Za każdym razem musimy obliczyć z ilu kwadracików składa się bok większego kwadratu. Tak jak zrobimy to w dalszej części rozwiązania zadania. Jak w takim razie rozwiązać zadanie? By stwierdzić z ilu kwadracików składa się na jakiś analizowany większy kwadrat, możemy (wręcz musimy) posługiwać się:. Własnościami kwadratu (wszystkie boki kwadratu mają tą samą długość) Zadanie nr Treść zadania Kazik zawsze w sobotę obiera ziemniaki dla całej rodziny. Jednak robi to bardzo wolno i cała praca zajmuje mu prawie godzinę, a dokładnie minut. W ostatnią sobotę zlitowała się nad nim siostra Lusia, która obiera ziemniaki cztery razy szybciej od Kazika. Lusia widząc brata obierającego ziemniaki, wzięła nóż i także przystąpiła do obierania. W ten sposób, od chwili gdy Kazik wziął pierwszy ziemniak, do zakończenia obierania ziemniaków przez obydwoje rodzeństwa minęło tylko minut! Po ilu minutach samotnego obierania ziemniaków przez Kazika, Lusia przystąpiła do pracy? Rozwiązanie sposób I Uwagi i szkic rozwiązania Liczy się pomysł Ten sposób rozwiązania zadania wymaga wytężenia umysłu i chwili zastanowienia się. Opiera się na pomyśle, który musi przyjść nam do głowy w trakcie konkursu. Jeśli wpadniemy na pomysł, to zadanie rozwiązuje się w minuty. Prawdopodobnie autorowi zadania chodziło, by rozwiązać problem właśnie w poniższy sposób. 0 7

48 Obrane ziemniaki przez Lusię kluczem do rozwiązania zadania Gdy Lusia zaczyna pomagać Kazikowi to mają do obrania pewną liczbę ziemniaków. Kazik obierze pewną część (x), zaś Lusia cztery razy więcej (x). Jednak gdyby nie Lusia to Kazik obierałby te x ziemniaków przez minut minut czyli przez 0 minut. Zatem x ziemniaków Kazik obiera w 0 minut. Ponieważ w czasie wspólnego obierania Kazik obrał właśnie x ziemniaków, więc Kazik i Lusia obierali razem ziemniaki przez 0 minut. Ponieważ od Kazik zajmował się obieraniem ziemniaków minut więc Lusia przyszła mu do pomocy po minut 0 minut = minucie. Szczegółowe rozwiązanie zadania Jak pracuje Kazik sam? Gdy Kazik pracuje sam to mamy sytuację jak na rysunku poniżej: minut Czy możemy zgadywać? Na pierwszy rzut oka chciałoby się napisać, że poniższy ciemnoczerwony kwadrat ma bok złożony z czterech kwadracików: gdyż optycznie ( na oko ) widzimy, że poniżej jest miejsce tylko na jeden kwadracik zaznaczony ciemnoczerwonym kolorem: a Kazik zaczyna obieranie z Koniec pracy gdy Kazik cały czas obiera sam 8 0

49 Rozumując analogicznie otrzymujemy, że wszystkie poniższe różowe kwadraciki są przystające czyli mają równie pola: Co zmienia Lusia? W pewnym momencie do pracy przychodzi Lusia, co możemy pokazać na rysunku następująco: minut a Kazik zaczyna obieranie b Lusia przychodzi Kazikowi z pomocą pozostała praca z Koniec pracy gdy Kazik cały czas obiera sam Gdy Lusia zaczyna pracować, to została im do wykonania pewna praca. Jak podzielą się to pracą Lusia i Kazik? Lusia wykonuje razy więcej pracy od Kazika w tym samym czasie. Zatem całą pracę musimy podzielić na części. Lusia wykona części z tej pracy (x), zaś Kazik tylko jedną część (x). Co z czasem? Z powyższego wynika następujący diagram: 00

50 minut a Kazik zaczyna obieranie minut 0 minut x b Lusia przychodzi Kazikowi z pomocą c Koniec pracy Lusi i Kazika x z Koniec pracy gdy Kazik cały czas obiera sam Od chwili b (gdy Lusia przychodzi Kazikowi z pomocą) do chwili c (końca ich wspólnej pracy) Kazik wykona swoją część całej pracy: x. Co z pozostałą pracą x? Jak powiedzieliśmy wykona ją Lusia. Ale pamiętajmy jest to czterokrotność pracy Kazika od b do c. Gdyby nie Lusia, to Kazik przez 0 minut (zaoszczędzone mu przez Lusię) musiałby wykonać cztery razy tyle co wykonał od b do c. Czyli otrzymujemy, że czterokrotność pracy Kazika to 0 minut. Zatem od b do c Kazik pracował tylko 0 minut. Podobnie poniżej czerwone kwadraciki są przystające do różowego z uwagi na wspólne ciemnoczerwone boki również mają równe pola: Uzupełniamy diagram Teraz możemy już uzupełnić diagram: 0

51 Sposób rozwiązania zadania Powielając małe kwadraciki wśród większych kwadratów, obliczymy, że lewy bok dużego niebieskiego kwadratu składa się z różowych kwadracików. Zatem każdy bok dużego, niebieskiego kwadratu składa się z kwadracików. Czyli liczba różowych kwadracików w niebieskim kwadracie to: kwadracików w wierszu * wierszy w pionie czyli różowych kwadracików. Szczegółowe rozwiązanie zadania Kwadraty przystające do jednostkowych kwadratów W naszym w zadaniu wszystkie figury na rysunku są kwadratami. Ponieważ różowy i czerwony kwadracik poniżej mając wspólny ciemnoczerwony bok więc są to kwadraty przystające czyli mają równe pola. a Kazik zaczyna obieranie minut minut 0 minut minuta 0 minut 0 minut b Lusia przychodzi Kazikowi z pomocą c Koniec pracy Lusi i Kazika z Koniec pracy gdy Kazik cały czas obiera sam Widzimy więc, że Lusia przyszła Kazikowi z pomocą już po minucie! Znaczy się kochana siostra. Odpowiedź: Lusia przystąpiła do pracy po minucie samotnego obierania ziemniaków przez Kazika. Rozwiązanie sposób II Uwagi i szkic rozwiązania Brutalne rozwiązanie Jest to rozwiązanie siłowe, pozbawione jakiegokolwiek pomysłu. Układamy równanie i musi nam wyjść prawidłowy wynik. Jednak takie podejście wymaga następujących umiejętności:. Musimy bardzo dobrze operować na wyrażeniach algebraicznych. Zachęcamy do odwiedzenia stron: 8

52 a_algebraiczne/ algebraiczne/ gdzie znajdziesz wiele przykładów z rozwiązaniami. Musimy bardzo dobrze operować równaniami. Zachęcamy do odwiedzenia strony: gdzie znajdziesz wiele przykładów z rozwiązaniami. Musimy uważać na jednostki. Na przykład, jeśli Kazik obiera całość sobotnich ziemniaków (oznaczmy jako z ) przez minut ( m ) to prędkość jego obierania z wynosi m. Słowo przez jest odpowiednikiem kreski ułamkowej. Dlatego z jest w liczniku, zaś m w mianowniku. Nieprawidłowe są następujące zapisy: z a. - oznacza, że obieramy pięć m zestawów sobotnich ziemniaków w ciągu godziny m b. - zapis w ogóle nie oznacza z prędkości obierania ziemniaków. a a W matematyce zamiast takie same, mówimy, że kwadraty są przystające. Czyli powyższe kwadraty są przystające. Powyższe kwadraty są przystające, gdyż jak zaznaczono kolorem ciemnoczerwonym mają jeden bok tej samej długości a. Kwadraty przystające (potocznie takie same) mają równe długości boków, przekątnych no i oczywiście równe miary kątów, gdyż wszystkie kąty w kwadracie są proste. Kwadraty przystające mają również równe pola. Poniżej tym samym kolorem zaznaczono odpowiadające sobie elementy w dwóch przystających kwadratach. a a 7

53 Zadanie nr Treść zadania Z ilu najmniejszych kwadracików (dwa z nich zaznaczono na różowo) składa się duży kwadrat o niebieskim obwodzie? Teoria przystawanie kwadratów Jeśli dwa kwadraty mają choć jeden bok tej samej długości to możemy powiedzieć, że są takie same, tak jak poniższe kwadraty: Prędkość i równanie Najpierw stwierdzimy, że prędkość obierania z ziemniaków Kazika to, zaś prędkość m z obierania ziemniaków Lusi to. Zatem przez m z m minut Kazik obierze = z sobotnich m ziemniaków Lusia pomaga w czasie t w którym z t obierze sobotnich ziemniaków. Razem obiorą m wszystkie sobotnie ziemniaki (czyli z ) co daje nam równanie: z m z t + = d m m z którego obliczamy, że Lusia pomagała Kazikowi 0 minut, czyli przyszła z pomocą po minucie. Szczegółowe rozwiązanie zadania Oznaczenia z - całość ziemniaków obieranych każdej soboty. Każdej soboty jest dokładnie taka sama ilość ziemniaków do obrania m - jedna minuta v K - prędkość obierania ziemniaków przez Kazika v L - prędkość obierania ziemniaków przez Lusię

54 Prędkość obierania ziemniaków przez Kazika Kazik obiera sobotnią porcję ziemniaków przez minut. Zatem jego prędkość obierania ziemniaków v K wynosi: z v K = m Możemy to interpretować, że Kazik obiera sobotni zestaw ziemniaków w ciągu minut. Prędkość obierania ziemniaków przez Lusię Lusia obiera ziemniaki cztery razy szybciej od Kazika, więc jej prędkość obierania ziemniaków v L wynosi: z z vl = vk = = m m Możemy to interpretować, że Lusia obierze cztery zestawy sobotnich ziemniaków przez minut. Ile porcji sobotnich ziemniaków obierze każde z nich przez określony czas? Co oznaczają obliczone powyżej prędkości obierania sobotniego zestawu ziemniaków? Jeśli mamy dany czas to możemy obliczyć jaką część sobotniego zestawu ziemniaków obierze Kazik przez ten dany czas. Jeśli Kazik obiera sobotni zestaw ziemniaków prze 7 minut to w tym czasie obierze: Pole powierzchni dużego prostopadłościanu Duży prostopadłościan ma trzy rodzaje ścian: A. Żółte ściany o wymiarach x na x Pole powierzchni ( P ) jednej takiej ściany to: P = x x = 7x Takie ściany są dwie. B. Różowe ściany o wymiarach x na x Pole powierzchni ( P ) jednej takiej ściany to: P = x x = x Takie ściany są dwie. C. Błękitne ściany o wymiarach x na x Pole powierzchni ( P ) jednej takiej ściany to: P = x x = x Takie ściany są dwie. Teraz już łatwo obliczyć pole powierzchni ( P d ) dużego prostopadłościanu: P d = P + P + P = 7x + x + x = x + 8x + x = 7x + x = 78x Ponieważ x = cm więc otrzymujemy: P d = 78x = 78 (cm) = 78 cm = 8cm Odpowiedź: Pole powierzchni dużego prostopadłościanu wynosi 8 cm. =

55 z z 7m z 7 v K 7m = 7m = = = m m z = = z Otrzymujemy, że w ciągu 7 minut Kazik obierze x x x x x x Liczmy na literkach (w zależności x) Możemy od razu podstawić x = cm i policzyć pole powierzchni dużego prostopadłościanu, gdyż otrzymamy krawędzie o długościach cm, cm oraz cm. Jednak bardziej elegancko jest policzyć ogólnie pole powierzchni dużego prostopadłościanu w zależności od x. Pozwoli nam to również poćwiczyć działania algebraiczne, które są bardzo potrzebne w zadaniach konkursowych jak również w życiu codziennym. I co najważniejsze zmniejszają prawdopodobieństwo popełnienia błędu w zadaniach. części sobotniego zestawu ziemniaków. Jeśli Kazik obiera sobotni zestaw ziemniaków przez 0 minuty (h minuty) to w tym czasie obierze: z z 0m z 0 v K 0m = 0m = = = m m z = = z Otrzymujemy, że w ciągu 0 minut (h minuty) Kazik obierze dwa zestawy sobotnich ziemniaków. Wydaje się to rozsądne, gdyż w ciągu minut obiera jeden taki zestaw. Podobnie możemy obliczać jaką część sobotniego zestawu ziemniaków obierze Lusia w określonym czasie. Jeśli Lusia obiera ziemniaki przez minuty to w tym czasie obierze: z z m z z v L m = m = = = = m m 7 z = = z 7 7