Samouczek przygotowujący do Kuratoryjnego Konkursu Matematycznego (na podstawie zadań z roku 2009) Szkoły podstawowe Wzorcowe rozwiązania

Transkrypt

1 Samouczek przygotowujący do Kuratoryjnego Konkursu Matematycznego (na podstawie zadań z roku 00) Szkoły podstawowe Wzorcowe rozwiązania

2 Wzorcowe rozwiązania zadań Zestaw I Zadanie nr Arek ma pomalować płot u siebie i u swojego wujka. Obydwa płoty są identyczne, gdyż Rodzice Arka i wujek mieszkają w bliźniaku.. Arek własny płot malował w piątek od :00 do :00. W sobotę Arek również zaczął malowanie o :00. Po dwóch godzinach samotnej pracy dołączył do niego wujek, który nie szedł tego dnia do pracy. Odtąd wujek i Arek i malowali razem. O której godzinie w sobotę Arek i wujek skończyli pracę, jeśli wiadomo, że wujek maluje płot trzy razy szybciej od Arka? Dzielimy cały płot na części. Jedną część Arek maluje w godzinę (całość od :00 do :00). W sobotę, do momentu przyjścia wujka Arek pomaluje dwie części płotu z sześciu. Z pozostałych czterech wujek pomaluje trzy zaś Arek jedną, gdyż wujek maluje trzy razy szybciej. Zatem zajmie im

3 to godzinę, gdyż Arek maluje jedną część z sześciu w godzinę. Ponieważ wujek przyszedł o godzinie 5,: więc Arek z wujkiem skończą malowanie o :00 Odpowiedź: Arek i wujek skończyli pracę w sobotę o :00. Zadanie nr Kazik zawsze w sobotę obiera ziemniaki dla całej rodziny. Jednak robi to bardzo wolno i cała praca zajmuje mu prawie godzinę, a dokładnie 5 minut. W ostatnią sobotę zlitowała się nad nim siostra Lusia, która obiera ziemniaki cztery razy szybciej od Kazika. Lusia widząc brata obierającego ziemniaki, wzięła nóż i także przystąpiła do obierania. W ten sposób, od chwili gdy Kazik wziął pierwszy ziemniak, do zakończenia obierania ziemniaków przez obydwoje rodzeństwa minęło tylko minut! Po ilu minutach samotnego obierania ziemniaków przez Kazika, Lusia przystąpiła do pracy? Obliczam ile czasu Lusia zaoszczędziła Kazikowi: 5 minut minut = 40 minut

4 Od chwili gdy Lusia zaczęła pomagać Kazikowi, Kazik obrał x ziemniaków, zaś Lusia obrała 4x ziemniaków. Gdyby nie Lusia, to Kazik by obierał 4x ziemniaków przez 40 minut czyli Kazik obiera x ziemniaków w 0 minut. Zatem w ciągu minut Kazik obierał ziemniaki: 0 minut z Lusią minutę sam Odpowiedź: Lusia przystąpiła do pracy po minucie samotnej pracy Kazika. Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Działkowicz miał do przekopania działkę. Pracę rozpoczął o godzinie :00 rano. Gdyby pracował bez przerwy w równym tempie, pracę mógłby zakończyć dopiero o godzinie :0. W trakcie pracy działkowiczowi przyszedł z pomocą młodszy kolega i od pewnej godziny do zakończenia pracy o godzinie :00 pracowali razem. Działkowicz i młodszy kolega pracowali cały czas równomiernie, a tempo pracy młodszego kolegi było dwukrotnie większe. Do której godziny od :00 działkowicz pracował sam? Odpowiedź uzasadnij. Skład ma 8 elementów. Pierwszy element składu to lokomotywa. Drugi i ósmy element składu to wagon klasy. Możliwe składy pociągu: Wagon Wars na pozycji: LW LW LW Wagon Wars na 7 pozycji: L W L W L W Wagon Wars na 4 pozycji: LW LW LW LW Wagon Wars na 4 pozycji: L W L W L W L W Wagon Wars na 5 pozycji: L W L W L W L W 4 7

5 Powyższe 4 sytuacje zawierają wszystkie możliwe pozycje czerwonych spódnic na wieszaku: Zatem liczba możliwości powieszenia ubrań to suma możliwości rozpatrywanych przypadków: = + = Odpowiedź: Zosia może powiesić swoje ubrania na sposoby. Zadanie nr 4 zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Grzesio zanotował skład przejeżdżającego pociągu w postaci kodu LW, gdzie kolejne znaki oznaczają L - lokomotywę, W - wagon z "Warsem", - wagon z miejscami klasy "", - wagon z miejscami klasy "". Podaj w postaci kodów, zaczynających się od litery L, wszystkie możliwe składy tego pociągu, zakładając, że wagon z "Warsem" musi być bezpośrednio połączony z wagonem klasy "" z jednej strony oraz z wagonem klasy "" z drugiej strony, w dowolnej kolejności. Liczba poszczególnych rodzajów wagonów w składzie musi być zachowana, każdy skład wagonów musi rozpoczynać i kończyć wagon klasy "" Od momentu rozpoczęcia pracy przez młodszego kolegę działkowicz wykonał pracę x, zaś młodszy kolega x. Gdyby nie młodszy kolega to działkowicz musiałby wykonać pracę x między :00 a :0, czyli w ciągu h 0min (50 minut). Skoro pracę x działkowicz wykonuje w 50 minut to pracę x wykonuje w 75 minut czyli h 5minut. Otrzymujemy, że od momentu rozpoczęcia pracy przez młodszego kolegę do zakończenia pracy przez nich obydwu, działkowicz wykonał pracę x w ciągu h 5minut. Ponieważ pracę zakończyli o godzinie :00, więc młodszy kolega przyszedł o: :00 h 5min = :45 Odpowiedź: Młodszy kolega przyszedł z pomocą działkowiczowi o godzinie :45. 5

6 Zestaw II Zadanie nr 4 Trójka dzieci: Adrian, Basia i Cyprian bawiła się w grę o następujących zasadach:. Najpierw dziecko pisze na kartce dowolna liczbę. Kartki oddaje się do sędziego. Następnie sędzia losuje kolejność dzieci 4. Na tablicy, pierwsze wylosowane dziecko wypisuje wielokrotności liczby którą zapisało na kartce w zakresie od do Kolejne dzieci (według losowania) dopisują na tablicy wielokrotności liczb zapisanych przez siebie na kartce w przedziale od do 00 według następujących zasad: a. Jeśli danej wielokrotności nie było na tablicy, to ta liczba jest dopisywana. b. Jeśli dana wielokrotność już jest na tablicy (powtarza się z wielokrotnością któregoś poprzedniego dziecka) to nie jest dopisywana. Wygrywa ta osoba która wypisze najwięcej liczb na tablicy. Na kartkach dzieci zapisały następujące liczby: Basia: 5 G granatowy sweter C czerwona spódnica Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje i to mamy cztery następujące możliwe ustawienia pozostałych ubrań: GCCZ G ZGZZ GCCZ G ZZGZ GCCZ G ZZZG ZCCZ G ZGAG Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje i 4 to mamy siedem następujących możliwych ustawień pozostałych ubrań: GZCC G ZGZZ GZCC G ZZGZ GZCC G ZZZG ZGCC G ZGZZ ZGCC G ZZGZ ZGCC G ZZZG ZZCC G ZGAG Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje i 7 to mamy sytuację symetryczną jak dla pozycji czerwonych spódnic i 4 czyli siedem możliwych ustawień pozostałych ubrań. Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje 7 i 8 to mamy sytuację symetryczną jak dla pozycji czerwonych spódnic i czyli cztery możliwe ustawienia pozostałych ubrań. 5

7 Czerwony żołnierz może być na pozycjach od do. Każda z nich daje 0 ustawień pozostałych żołnierzy analogicznie jak powyżej. Zatem wszystkich ustawień żołnierzy jest * 0 = 0. Odpowiedź: Mateusz może ustawić swoich żołnierzy na 0 sposobów. Zadanie nr Zosia przechowuje na odpowiednio długim wieszaku w szafie następujące ubrania: cztery takie same zielone bluzki trzy takie same granatowe swetry dwie takie same czerwone spódnice Zosia nigdy nie wiesza swoich ubrań byle jak ma określone zasady: czerwone spódnice muszą zawsze wisieć razem jedna obok drugiej przy czym żadna czerwona spódnica nie może wisieć z brzegu grantowe swetry nigdy, ze sobą nie sąsiadują przy czym na środkowej pozycji (piątej od lewej) zawsze wisi granatowy sweter Na ile sposobów Zosia może powiesić swoje ubrania w szafie? Z zielona bluzka Adrian: 5 Cyprian: 0 Sędzia wylosował następującą kolejność wypisywania liczb na tablicy:. Adrian. Basia. Cyprian Które z dzieci wygrało grę? Jaka jest strategię powinno obrać dziecko by wygrać tę grę? Ilość liczb wypisanych przez Adriana 00 : 5 = 8 Liczby dopisane przez Basię Ilość wielokrotności 5: 00 : 5 = reszty 5 Liczby których Basia nie dopisała to liczby podzielne przez 5 i 5: NWW(5,5) = * 5 * 5 = * 5 = 75 Ilość wielokrotności : 75 = reszty 50 Ilość liczb dopisanych przez Basię: = Liczby dopisane przez Cypriana 4 7

8 Ilość wielokrotności 0: 00 : 0 = 0 Liczby których Cyprian nie dopisał gdyż wypisał je Adrian to liczby podzielne przez 0 i 5: NWW(0,5) = * 5 * 5 = * 5 = 50 Ilość wielokrotności 50: 00 : 50 = 4 Liczby których Cyprian nie dopisał gdyż wypisała je Basia to liczby podzielne przez 0 i 5: NWW(0,5) = * 5 * = * 5 = 0 Ilość wielokrotności 0: 00 : 0 = reszty 0 Liczby policzone dwukrotnie jako niedopisane przez Cypriana jako wypisane przez Adriana i wypisane przez Basię: NWW(0,5,5) = * 5 * * 5 = 0 * 5 = 50 Ilość wielokrotności 50 (policzone podwójnie jako wypisane przez Adriana i wypisane przez Basię): 00 : 50 = reszty 50 Ilość liczb wypisanych przez Cypriana: Zestaw V Zadanie nr Mateusz robi musztrę swoim żołnierzykom ustawiając ich jeden za drugim. Na ile sposobów Mateusz może ustawić swoich żołnierzy, jeśli żołnierzy można rozróżnić tylko kolorami: jeden żołnierz ma kolor czerwony dwóch żołnierzy ma kolor granatowy trzech żołnierzy ma kolor zielony Gdy czerwony żołnierz ma pozycję numer to na pozostałych pozycjach możemy ustawić granatowych i zielonych żołnierzy na = = 0 sposobów: CNNZZZ CNZNZZ CNZZNZ CNZZZN CZNNZZ CZNZNZ CZNZZN CZZNNZ CZZNZN CZZZNN 8

9 Wymiary prostokąta obliczamy jako: Szerokość: = Wysokość: 5 + = Pole prostokąta: P = * = = = 0 + = Otrzymujemy, że: Adrian wypisał 8 liczb. Basia dopisała liczb. Cyprian dopisał liczb. Odpowiedź: Grę wygrali jednocześnie Basia i Cyprian. Optymalna strategia polega na wypisaniu na kartce jedynki która ma najwięcej wielokrotności w dowolnym przedziale Odpowiedź: Kwadraty z których złożony jest prostokąt mają boki o długościach:, 4, 5 oraz. Pole prostokąta wynosi.

10 Zadanie nr 5. Nauczyciel wypisał na tablicy zielona kredą liczby podzielne przez w zakresie Następnie dopisał dodatkowo czerwonym kolorem liczby podzielne przez 0 w zakresie pisząc tylko te liczby których nie ma jeszcze na tablicy.. Na koniec, granatową kredą dopisał liczby podzielne przez 8 w zakresie Również i w tym przypadku nie wypisywał liczb jeśli były już na tablicy. Ile liczb każdego koloru wypisał nauczyciel? Obliczam ilość zielonych liczb podzielnych przez w zakresie do 0 000: : = reszty 4 Zielonych liczb jest. Ilość czerwonych liczb. Obliczam ilość liczb podzielnych przez 0 w zakresie do 0 000: : 0 = 0 00 Obliczam ilość liczb podzielnych przez 0 i w zakresie od do 0 000: NWW(,0) = : 0 = reszty 0. Liczb podzielnych przez 0 w zakresie od do jest. Bok lewego górnego kwadratu to 4+ = 5:

11 Z sumy długości boków małych kwadratów jednostkowych otrzymujemy długości boków kwadratów: lewego dolnego i prawego górnego Liczb podzielnych przez 0 a niepodzielnych przez w zakresie od do jest 000 = 7 Czerwonych liczb nauczyciel dopisał 7 Ilość granatowych liczb. Obliczam ilość liczb podzielnych przez 8 w zakresie do 0 000: : 8 = 5 Obliczam ilość liczb podzielnych przez i 8 w zakresie od do 0 000: NWW(,8) = : 4 = 4 reszty Liczb podzielnych przez 4 w zakresie od do jest 4. Obliczam ilość liczb podzielnych przez 8 i 0 w zakresie od do 0 000: NWW(8,0) = : 40 = 50 Liczb podzielnych przez 40 w zakresie od do jest 50. Obliczam ilość liczb podzielnych przez, 8 i 0 w zakresie od do 0 000: NWW(,8,0) = : 0 = 8 reszty 40 Liczb podzielnych przez 0 w zakresie od do jest 8. Granatowych liczb nauczyciel dopisał: = = = 7. Odpowiedź: Nauczyciel wypisał zielonych liczb, 7 czerwonych liczb, 7 granatowych liczb 0

12 Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Na tablicy zostały wypisane wszystkie liczby naturalne od do 0 włącznie. Potem Ania, Wojtek i Antek skreślali niektóre z tych liczb według następującej zasady. Jako pierwsza skreśliła Ania wszystkie liczby podzielne przez 5, drugi w kolejności Wojtek skreślił spośród pozostałych nieskreślonych wszystkie liczby podzielne przez 4, ostatni Antek skreślił spośród pozostałych nieskreślonych wszystkie liczby podzielne przez. Ile liczb pozostało na tablicy nieskreślonych. Ile liczb skreśliła Ania, ile Wojtek a ile Antek? Przedstaw sposób rozwiązania bez przeprowadzania całego procesu skreślania kolejnych liczb. Obliczam ilość liczb które skreśliła Ania: 0 : 5 = 4 Obliczam ilość liczb które, skreślił Wojtek: 0 : 4 = 0 Od wyniku odejmuję liczby skreślone przez Anię: NWW(4,5) = 0 0 : 0 = Czyli Wojtek skreślił następującą ilość liczb: 0 = 4 Ponieważ pole czarnego kwadratu wynosi więc bok tego kwadratu również wynosi, gdyż: * = Wszystkie małe kwadraciki zaznaczone na szaro poniżej są przystające gdyż mają przynajmniej jeden bok wspólny. Zatem ich boki mają również długość.

13 Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Prostokąt został podzielony na kwadraty różnej wielkości, jak pokazano schematycznie na rysunku obok. Pole najmniejszego zaznaczonego ciemnym kolorem kwadratu wynosi. Oblicz długości boków wszystkich kwadratów ukazanych na rysunku oraz podaj pole całego prostokąta. Przedstaw sposób rozwiązania, wykorzystując rozpoznane z rysunku zależności pomiędzy długościami boków przylegających kwadratów. Obliczam ilość liczb które, skreślił Antek: 0 : = 40 Obliczam ilość liczb które miał skreślić Antek, ale już skreśliła Ania: NWW(,5) = 5 0 : 5 = 8 Obliczam ilość liczb które miał skreślić Antek, ale już skreśliła Wojtek: NWW(,4) = 0 : = 0 Obliczam ilość liczb które policzyłem dwukrotnie jako skreślone przez Anię i Wojtka: NWW(,4,5) = 0 0 : 0 = Ilość liczb skreślonych przez Antka: = = + = 4 Obliczam ile liczb pozostało na tablicy: = 4 4 = 7 4 = 48 Odpowiedź: Ania skreśliła 4 liczby, Wojtek skreślił 4 liczb, Antek skreślił 4 liczby. Pozostało 48 nieokreślonych liczb. 8

14 Zestaw III Zadanie nr 7 Składając jednakowe małe prostopadłościany możemy uzyskać sześcian o polu powierzchni 84 cm. Jakie pole powierzchni uzyskamy składając małe prostopadłościany w jeden duży prostopadłościan nie będący sześcianem? Rysunek Odpowiedź: Długości boków kwadratów i całego prostokąta: x x x x x x x x x x x x x x 4 7

15 Teraz obliczamy długości boków prostokąta: Długość: = + 8 = 57 Wysokość: = 0 + = 4 4 Obliczam pole powierzchni sześcianu Pole powierzchni pojedynczej ściany: P s = x x = x Pole powierzchni całego sześcianu: Pp = Ps = x = 54x Obliczam x. P p = 54x = 84cm 54x = 84cm : x = cm 54 4 x = cm 7 48 x = cm x = cm x = 4cm lub x = 4cm Odrzucam, długość boku liczbą dodatnią Zatem x = 4 cm. Obliczam pole powierzchni dużego prostopadłościanu Pole ściany x na x: P = x x = 7x 5

16 Pole ściany x na x: P = x x = x Pole ściany x na x: P = x x = x Pole powierzchni dużego prostopadłościanu: P d = P + P + P = 7x + x + x = 54x + 8x + x = 7x + x = 78x = Podstawiam x = 4 cm: P d = 78x = 78 (4cm) = 78 cm = 48cm Odpowiedź: Pole powierzchni dużego prostopadłościanu wynosi 48 cm

17 Zadanie nr 8 zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Sklejając dwa identyczne prostopadłościany, można otrzymać prostopadłościan o polu powierzchni całkowitej 5 lub sześcian. Jaka jest objętość sześcianu? Przedstaw sposób rozwiązania. Rysunek x x x x x Obliczam pole powierzchni ( P d ) prostopadłościanu: Pole ściany 4x na x: P = 4x x = 8x Pole ściany 4x na x: P = 4x x = 4x Pole ściany x na x: P = x x = x x x 4x x x x x x dużego 4 7

18 Pole powierzchni dużego prostopadłościanu: P d = P + P + P = 8x + 4x + + x = x + 8x + 4x = 4x + 4x = = 8x P d = 8x = 5 8x = 5 : 8 5 x = 8 x = 7 x = x = lub x = Odrzucam, długość boku liczbą dodatnią Zatem x =. Objętość sześcianu: V = ( x) = x = 8x Ponieważ x = więc otrzymujemy: V = 8x = 8 = 8 7 = Ponieważ pole kwadracika wynosi, więc bok kwadracika wynosi. Z przystawania kwadratów, wynika, że boki wszystkich poniższych kwadracików wynoszą : Z sumy odcinków i przystawania kwadratów wnioskujemy w kolejnych krokach następujące długości boków: Odpowiedź: Objętość sześcianu wynosi. 8

19 Zatem pole niebieskiego kwadratu to: * = Odpowiedź: Duży niebieski kwadrat składa się ze kwadracików. Zestaw IV Zadanie nr Z ilu najmniejszych kwadracików (dwa z nich zaznaczono na różowo) składa się duży kwadrat o niebieskim obwodzie? Zadanie nr 0 Wiedząc, że wszystkie figury składające się na duży prostokąt są kwadratami, oraz, że pole różowego kwadracika wynosi, oblicz długości boków każdego kwadratu jak również długości boków dużego prostokąta. Poniższe kwadraciki są przystające (każde dwa mają wspólny bok) zatem maja równe pola:

20 Bok pogrubionego kwadratu składa się z kwadracików: Poniższe pogrubione kwadraty mają boki złożone z dwóch szarych kwadracików, zaś ich pole składa się z 4 kwadracików: Bok niebieskiego kwadratu to kwadracików: 0