ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY

Transkrypt

1 ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY w Szczecinie Z ACHODNIOPOM UNIWERSY T E T T E CH OR NO SKI LOGICZNY KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z metody elementów skończonych Ćwiczenie nr 5 Analiza dokładności modelowania w konwencji metody elementów skończonych na podstawie obliczeń w programie Nastran FX 2013 Dr inż. Rafał Grzejda Szczecin 2014

2 Wprowadzenie Podstawowym zadaniem, które należy rozwiązać na początku procesu projektowania konstrukcji mechanicznych jest znalezienie kompromisu pomiędzy poziomem założeń przyjętych dla modelu obliczeniowego a wymaganą dokładnością wyników obliczeń, które należy wykonać. Szczególnie ma to miejsce w przypadku układów złożonych, modelowanych za pomocą przybliżonych metod obliczeniowych, do których należy metoda elementów skończonych (MES). Dokładność modelowania w konwencji MES zależy między innymi od sposobu tworzenia siatki elementów skończonych. Aby wykazać taką zależność w przypadku danego układu, wyniki uzyskane na podstawie obliczeń w programie MES (wartości przybliżone) należy porównać z wynikami otrzymanymi za pomocą metody analitycznej (z wartościami dokładnymi). W niniejszym ćwiczeniu omawiany temat podjęto w odniesieniu do modelowania pręta o zmiennym przekroju. Celem ćwiczenia jest zbadanie wpływu sposobu podziału pręta na dokładność jego modelowania z wykorzystaniem programu MES Nastran FX Temat zadania Dla pręta utwierdzonego i obciążonego w sposób przedstawiony na rys. 1, wyznaczyć: - reakcję R x, - wykres przemieszczeń pręta u(x), - wykres naprężeń w materiale pręta (x), jeżeli: - obciążenie osiowe pręta F = 20 kn, - moduł Young'a materiału pręta E = MPa, - współczynnik Poisson'a = 0.3, - długość pręta L = 1 m, - przekrój pręta A zmienia się według zależności A( x) x (1) Rozwiązanie analityczne Obliczenie reakcji w miejscu utwierdzenia W przypadku rozpatrywanego układu (rys. 1) warunek równowagi statycznej [5] można zapisać w postaci i P 0 (2) xi W wyniku rozwiązania równania (2), otrzymuje się wartości reakcji R x 2

3 R x F 0 (3) R x F 20kN (4) 10 Y 10 L F X Rys. 1. Sposób utwierdzenia i obciążenia pręta (na podstawie [3]) Wyznaczenie przemieszczeń pręta Naprężenie rozciągające (x) w pręcie można wyznaczyć z warunku [4] F( x) ( x) (5) A( x) Ponieważ siła w pręcie jest stała na całej długości pręta F ( x) F 20kN const (6) równanie (5) można zapisać w postaci F ( x) (7) A( x) 3

4 Naprężenia w materiale pręta (x) oblicza się również korzystając z prawa Hooke'a dla jednoosiowego rozciągania [4] ( x) ( x) E (8) gdzie (x) jest wydłużeniem jednostkowym (względnym), które można zapisać w postaci [3] du ( x) (9) dx Przyrównując do siebie prawe strony równań (7) i (8) oraz uwzględniając zależność (9) otrzymuje się F du E A( x) dx Po rozdzieleniu zmiennych, równanie różniczkowe (10) można wyrazić w postaci F du dx A( x) E Natomiast po scałkowaniu równania (11) stronami, otrzymuje się (10) (11) x F dx u( x) E (12) A( x 0 ) Ponieważ przekrój pręta zmienia się według zależności (1), całkę (12) zapisuje się w postaci x F dx u( x) E (13) x 0 9 Na podstawie ogólnie znanej definicji pochodnej logarytmicznej [2] ln f ( x) f ( x) f ( x) całkę (13) oblicza się w sposób następujący x (14) F u( x) dx E 0.9 (15) x 0 F u ( x) ln x ln (16) 0.9 E F u ( x) ln x ln1000 (17) 0.9E Po podstawieniu do wzoru (17) danych wartości F i E, uzyskuje się równanie funkcji u(x) u ( x) ln x ln (18)

5 u(x), mm 20 u ( x) ln x ln (19) Graniczne wartości funkcji u(x) można wyznaczyć w następujący sposób 20 u ( x 0) ln ln (20) 20 u ( x 0) ln1000ln1000 0[mm] 27 (21) 20 u ( x 1000) ln ln (22) u ( x 1000) ln100ln1000 ln 1.706[mm] (23) Wykres funkcji u(x) pokazano na rys. 2. 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0, x, mm Rys. 2. Przebieg zmienności przemieszczeń pręta w funkcji jego długości Wyznaczenie naprężeń rozciągających Uwzględniając zależność (1), równanie (7) można zapisać w postaci F ( x) (24) x Po podstawieniu do równania (24) danej wartości F, uzyskuje się równanie funkcji (x) ( x) (25) x Graniczne wartości funkcji (x) można wyznaczyć w następujący sposób 5

6 (x), MPa ( x 0) 20[MPa] (26) ( x 1000) 200[MPa] (27) Wykres funkcji (x) przedstawiono na rys x, mm Rys. 3. Przebieg zmienności naprężeń w pręcie w funkcji jego długości Rozwiązanie za pomocą programu Nastran FX 2013 Budowa modelu fizycznego 1. Rozpoczynamy nowy projekt, naciskając ikonkę New znajdującą się na Pasku Szybkiego Dostępu W okienku Analysis Setting: - zaznaczamy typ modelu (3D), - wybieramy system jednostek (N, mm, J, sek.) 6

7 Wybór zatwierdzamy klikając na klawisz OK. 2. Projekt zapisujemy pod nazwą: Analiza dokladnosci.nfxn, korzystając z ikonki Save znajdującej się na Pasku Szybkiego Dostępu 3. Definiujemy rodzaj materiału. W tym celu w drzewku Model wybieramy Material, a następnie za pomocą prawego przycisku myszy (PPM) Add Isotropic... W okienku Material wpisujemy odpowiednie wartości modułu Young'a i współczynnika Poisson'a materiału pręta Wybór zatwierdzamy naciskając przycisk OK. 4. Definiujemy ogólne właściwości modelu. W tym celu w drzewku Model wybieramy: Property 2D, a następnie za pomocą PPM Add... W okienku Create/Modify 2D Property, w zakładce Plate: - wybieramy zdefiniowany wcześniej rodzaj materiału (1: Isotropic), - zaznaczamy układ współrzędnych, jako globalny kartezjański (Global Rectangular), - definiujemy jednorodną grubość płyty równą 10 mm 7

8 Wybór zatwierdzamy klikając na klawisz OK. 5. Tworzymy geometrię modelu pręta. Wybierając ikonkę Point na Wstążce: Geometry Point & Curve wywołujemy okienko Point, w którym definiujemy współrzędne wszystkich punktów geometrii modelu pręta (rys. 1) Zatwierdzenie współrzędnych danego punktu następuje przez naciśnięcie przycisku Apply. Proces tworzenia wszystkich punktów kończymy klikając na klawisz OK. Na rys. 4a pokazano widok ogólny utworzonych w podany sposób punktów geometrii modelu pręta oraz przyjęte ich nazewnictwo. Analogicznie tworzymy zarys zewnętrzny powierzchni pręta. Wybierając ikonkę Profile znajdującą się na Wstążce: Geometry Point & Curve 8

9 wywołujemy okienko Profile w którym definiujemy poszczególne linie przez określenie pary punktów. Tworząc linię nr 1 (rys. 4b) należy najpierw wskazać punkt 1, a następnie punkt 2. Tworząc linię nr 2 (rys. 4b) należy najpierw wskazać punkt 3, a następnie punkt 4. Pozostałe dwie linie tworzymy w sposób dowolny (wskazując w dowolnej kolejności odpowiednie punkty). Kończąc tworzenie danej linii każdorazowo naciskamy na PPM. Proces tworzenia linii kończymy klikając na klawisz OK. a) b) 1 3 Linia nr c) Linia nr 2 Rys. 4. Proces tworzenia modelu fizycznego pręta: a) punkty geometrii, b) linie łączące punkty geometrii, c) powierzchnia Na koniec, wskazując odpowiednie linie, budujemy powierzchnię pręta. Wykorzystujemy do tego celu ikonkę Make Face znajdującą się na Wstążce: Geometry Surface & Solid 9

10 W okienku Make Face wskazujemy utworzone wcześniej linie oraz naciskamy przycisk OK. Widok ogólny powierzchni pręta przedstawiono na rys. 4c. Budowa modelu dyskretnego Wykorzystując wiedzę zdobytą podczas wykonywania ćwiczenia nr 3 (Tworzenie siatki elementów skończonych w programie Nastran FX 2013 [1]), tworzymy kolejno 4 typy siatki elementów skończonych dla fizycznego modelu pręta: - I, II, III, w których pręt podzielono na elementy o równej długości (rys. 5a c), - IV, w którym zastosowano podział na osiem elementów zagęszczonych w stronę punktów 2 i 4 (rys. 4a) w stosunku 1:10 (rys. 5d). a) b) c) d) Rys. 5. Dyskretny model pręta typu: a) I, b) II, c) III, d) IV 10

11 Obliczenia i analiza wyników obliczeń Obliczenia przeprowadzamy osobno dla każdego typu modelu dyskretnego pręta, zaczynając od modelu typu I. Poniżej przedstawiono kolejne etapy, które należy wykonać po zbudowaniu danego modelu dyskretnego pręta. 1. Model pręta utwierdzamy zgodnie ze schematem podanym na rys. 1. W tym celu w drzewku LBC wybieramy Boundary Condition, a następnie za pomocą PPM Add Constraint Fixed... W okienku Constraint: - wpisujemy nazwę utwierdzenia (Name = BC1), - wybieramy miejsce utwierdzenia na krawędzi (Type = Edge) - definiujemy rodzaj utwierdzenia (wybieramy ikonkę Fixed) Wskazujemy odpowiednią krawędź i swój wybór zatwierdzamy naciskając przycisk OK. 2. Do modelu pręta dodajemy obciążenie zgodne ze schematem przedstawionym na rys. 1. W tym celu w drzewku LBC wybieramy Static Load, a następnie za pomocą PPM Pressure... W okienku Pressure: 11

12 - wpisujemy nazwę obciążenia (Name = L1), - wybieramy miejsce obciążenia na krawędzi (Type = 2D Element Edge) - definiujemy wartość obciążenia (wpisując P = N/mm) Wskazujemy odpowiednią krawędź i swój wybór zatwierdzamy klikając na klawisz OK. Widok modelu pręta typu I, utwierdzonego i obciążonego, pokazano na rys. 6. Rys. 6. Model pręta typu I 3. Określamy rodzaj analizy. Wykorzystujemy do tego celu ikonkę General znajdującą się na Wstążce: Analysis Analysis Case W okienku Add/Modify Analysis Case: - wpisujemy tytuł analizy (Title = Analiza dokladnosci), - określamy rodzaj analizy (Solution Type = Linear Static) 12

13 Wybór zatwierdzamy klikając na klawisz OK. 4. Rozpoczynamy obliczenia. W tym celu w drzewku Analysis & Results wybieramy zdefiniowany wcześniej tytuł analizy, a następnie za pomocą PPM Solve 5. Analizujemy interesujące nas wyniki obliczeń. Rozpoczynamy od określenia danych, które będziemy analizować. W tym celu w drzewku Analysis & Results wybieramy Linear Static (Required), a następnie za pomocą PPM Insert Analysis Results... W okienku Insert Analysis Result definiujemy objętość drzewka wyników przez wskazanie co najmniej: - przemieszczeń postępowych w osi X (T1 TRANSLATION) w zakładce Displacements, - reakcji w osi X (T1 SPC FORCE) w zakładce Reactions, - naprężeń zredukowanych (SHELL VON MISES TOP) w zakładce 2D Element Stresses 13

14 Wybór zatwierdzamy naciskając przycisk OK. Aby odczytać reakcje w utwierdzonych węzłach, w drzewku Analysis & Results wybieramy typ danych, dwukrotnie klikając na opcję T1 SPC FORCE za pomocą lewego przycisku myszy (LPM) Konkretne wartości reakcji odczytujemy wybierając ikonkę Probe znajdującą się na Wstążce: Results Advanced i wskazując odpowiednie węzły za pomocą LPM 14

15 Okienko Probe Results zamykamy naciskając przycisk Close. W celu utworzenia wykresów przemieszczeń i naprężeń w funkcji długości pręta, w pierwszym kroku określamy układ odniesienia, wybierając ikonkę On-Curve znajdującą się na Wstążce: Results Advanced W okienku On-Curve Diagram: - wpisujemy nazwę układu odniesienia (Name = Uklad 1), - definiujemy oś odciętych układu odniesienia przez podanie współrzędnych punktów (0, 0, 0) i (1000, 0, 0), - wybieramy kierunek osi rzędnych (jako dodatnią oś Z), - zadajemy podział wykresu na liczbę fragmentów równą liczbie elementów skończonych przyjętej dla danego modelu (w przypadku modelu pręta typu I Division = 2) Definiowanie układu odniesienia kończymy klikając na klawisz OK. W kolejnym kroku ustawiamy model pręta w widoku ZOX, za pomocą odpowiedniej ikony na Pasku narzędziowym Widok Żeby narysować wykres przemieszczeń, w drzewku Analysis & Results zaznaczamy zdefiniowany układ odniesienia i dwukrotnie naciskamy opcję T1 TRANSLATION za pomocą LPM 15

16 Żeby narysować wykres naprężeń, w drzewku Analysis & Results zaznaczamy zdefiniowany układ odniesienia i dwukrotnie naciskamy opcję SHELL VON MISES TOP za pomocą LPM a) b) c) d) a) Rys. 7. Wykresy przemieszczeń w przypadku modelu pręta typu: a) I, b) II, c) III, d) IV b) c) d) Rys. 8. Wykresy naprężeń w przypadku modelu pręta typu: a) I, b) II, c) III, d) IV 16

17 Utworzone w podany sposób wykresy pokazano odpowiednio na rys. 7a oraz 8a. 6. Kasujemy następujące (zdefiniowane wcześniej) dane modelu pręta: - w drzewku Analysis & Results wybieramy: Analysis Case Analiza dokladnosci, następnie za pomocą PPM Delete (aby usunąć zdefiniowany poprzednio przypadek analizy modelu pręta), - w drzewku LBC wybieramy: Static Load Load Set-1, następnie za pomocą PPM Delete (aby usunąć zadane obciążenie), - w drzewku Model wybieramy: Mesh Map-mesh (Area), następnie za pomocą PPM Delete i przycisk OK w okienku Delete Object (aby usunąć podział pręta na elementy skończone). Powtarzając etapy 2 6 należy przeprowadzić podobne obliczenia dla pręta zdyskretyzowanego według modelu typu II, III i IV. Wykresy przemieszczeń i naprężeń uzyskane dla tych modeli pokazano odpowiednio na rys. 7b d oraz na rys. 8b d. Ilościowej oceny wyników obliczeń można dokonać wprowadzając do rozważań wskaźniki W 1 oraz W 2 dane wzorami MES AN u u W 1 100% (28) AN u MES AN W2 100% AN (29) gdzie: u MES przemieszczenia pręta według obliczeń w programie Nastran FX 2013, u AN przemieszczenia pręta uzyskane analitycznie, MES naprężenia w pręcie według obliczeń w programie Nastran FX 2013, AN naprężenia w pręcie uzyskane analitycznie. Wartości wskaźników W 1 i W 2 otrzymane w przypadku granicznych górnych wartości przemieszczeń i naprężeń w pręcie podano w tab. 1, dla wszystkich przyjętych modeli pręta. Tab. 1. Wartości wskaźników W 1 i W 2 w funkcji przyjętego modelu pręta Typ modelu pręta W 1, % W 2, % I II III IV Na podstawie przeprowadzonych porównań można stwierdzić, że: a) dokładność modelowania w konwencji MES można znacząco polepszyć przez zdefiniowanie odpowiednio gęstej siatki elementów skończonych, 17

18 b) dzięki stosowaniu metody dodatkowego zagęszczania elementów (na przykład w miejscu przyłożenia siły obciążającej układ) uzyskuje się bardziej dokładne wyniki obliczeń. Szerszą analizę dokładności modelowania z wykorzystaniem programu MES Nastran FX 2013 pozostawia się studentowi. Literatura 1. Grzejda R.: Tworzenie siatki elementów skończonych w programie Nastran FX Szczecin: Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, 2014 (niepublikowane). 2. Leja F.: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, Müller G., Groth C.: FEM für Praktiker. Renningen Malmsheim: Expert Verlag, Niezgodziński M.E., Niezgodziński T.: Wytrzymałość materiałów. Warszawa: PWN, Ostwald M.: Podstawy wytrzymałości materiałów. Poznań: Politechnika Poznańska,