Spójrzmy i zobaczmy w jaki sposób teoria gier znajduje swoją użyteczność w odzwierciedleniu i modelowaniu prostych systemów socjobiologicznych.
|
|
- Tomasz Kowalczyk
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Ciekawa teoria gier Teoria gier jest działem matematyki zajmującej się badaniem optymalnego zachowania jednostek, organizacji lub różnego rodzaju grup społecznych w przypadku konfliktu interesów. Wywodzi się z badań gier hazardowych. Stąd też posiada charakterystyczne dla niej słownictwo. Współcześnie w największej mierze zastosowanie znajduje w biologii (jej gałęzi zwanej socjobiologią), samej socjologii, ekonomii oraz informatyce. Teoria gier bada jak gracze (ludzie, firmy, gatunki) powinni racjonalnie rozgrywać gry aby osiągnąć w nich najwięcej korzyści. Nowoczesna teoria gier powstała w 1944 r., kiedy to von Neumann i Morgenstern wydali książkę "Teoria gier i zachowania w gospodarce". Obejmuje ona szeroki zarys problematyki dotyczącej sposobów modelowania sytuacji konfliktu lub kooperacji. Z takimi sytuacjami najczęściej mamy do czynienia na przykład na rynku ekonomicznym czy scenie politycznej. Jeżeli dwie konkurujące ze sobą firmy zamierzają wprowadzić na rynek jakiś nowy produkt, potrzebna jest im znajomość rynku, przyszłej koniunktury, zamierzeń konkurencji i wielu jeszcze innych pobocznych czynników. Każda z firm posługiwać się może inną strategią, w ten sposób - aby znając mocne i słabe strony konkurencji, osiągnąć jak największy zysk. Teoria gier cieszy się wyjątkowym uznaniem wśród naukowców jako dziedzina rokująca przyszłe znaczące odkrycia. Szczególnie jeśli chodzi o strategiczne nauki ekonomiczne i socjologiczne, które ze względu na istniejący od zarania dziejów konflikt interesów wynikający z podziału dóbr społecznych (rodzących nieczęsto bunty i rewolucje), od zawsze budziły najwięcej kontrowersji. Wielu jej badaczy i prekursorów zostało uhonorowanych prestiżową Nagrodą Nobla. Najbardziej znanym naukowcem (ze względu na produkcję kinową reżysera Rona Howarda Piękny umysł ) był John Nash. W ubiegłym roku 2005 dziedzina ta znowu doczekała się uznania przez komitet noblowski, Przyznał on kolejną w dziedzinie ekonomii prestiżową nagrodę. Naukowcami, którzy zostali wyróżnieni byli: Thomas C. Schelling i Robert J. Aumann. Thomas Schelling stosował teorię gier do analizy negocjacji międzynarodowych w okresie "zimnej wojny". Analizował zagadnienia dotyczące polityki wzajemnych ustępstw. Taką analizę można również stosować do negocjacji prowadzonych przez firmy. Robert Aumann zajmował się matematyczną analizą gier powtarzanych dotyczących różnych aspektów spotykanych w optymalnym zarządzaniu finansami. Jako ciekawostkę można wspomnieć, że samemu będąc głęboko religijnym Żydem, zbudował matematyczny model istotnego talmudycznego problemu podziału majątku oraz zobowiązań płatniczych po zmarłym (w przypadku kiedy majątek zmarłego-bankruta nie wystarcza na pokrycie jego zobowiązań). Jest to ciekawy problem uwzględniający również aspekty etyczne - jak powinien zostać podzielony majątek - czy na przykład proporcjonalnie nie uwzględniając w ogóle czynników etycznych czy też dać więcej tym których przyszłość jest w znaczący sposób uzależniona od zwrotu długu? Teoria gier nie zawsze rozpatruje sytuacje, w których wszyscy gracze są osobami czy instytucjami. Rozpatruje też sytuacje, w których jedna ze stron sytuacji konfliktowej jest bezosobowa i nie jest zainteresowana wygraną w grze, a tym samym osiągnięciem optimum swojej korzyści. Są to tzw. gry przeciwko naturze. Mamy z nimi do czynienie kiedy musimy się zmagać z nieprzewidywalnymi siłami przyrody, do jakich można zaliczyć: warunki klimatyczne odpowiadające za osiągniecie odpowiednich poziomów plonów rolnych czy też ogólną światową koniunkturę gospodarczą uzależnioną od nieprzewidywalnych konfliktów zbrojnych w strategicznych ekonomicznie obszarach świata. Grą przeciwko naturze jest na przykład sytuacja kształcenia przyszłych pracowników względem przydatności dostosowania ich szkoleń do określonego przyszłego niszu zawodowego na rynku pracy. Nigdy w chwili obecnej nie jest się w stanie przewidzieć czy przyszły rynek będzie odpowiadał tym umiejętnościom, które obecnie zdobywają szkolący się bezrobotni. Natomiast z pewnym prawdopodobieństwem można tylko przewidzieć przyszłe trendy i dlatego gracz (Urząd Pracy, Ministerstwo Pracy) powinien tak umiejętnie i najbardziej optymalnie przeznaczyć środki na obecne szkolenia, aby w grze z rynkiem bezrobocia w przyszłości, zyskać jak najwięcej. Teoria gier w przyrodzie - strategie ewolucyjnie stabilne Spójrzmy i zobaczmy w jaki sposób teoria gier znajduje swoją użyteczność w odzwierciedleniu i modelowaniu prostych systemów socjobiologicznych. 1
2 W pewnym lesie żyją ptaki i węże. Ptaki żywią się owocami drzew, węże niestety ptakami a że ciężko jest wężowi złapać ptaka, pozostaje im szukanie gniazd i polowanie na ich pisklęta. Wyobraźmy sobie ptaka broniącego gniazda z pisklętami przed wężem. Ma on do wyboru dwie opcje: wytrwale bronić gniazda licząc się z tym, że sam może przy tym zginąć (lub zostać poważnie okaleczonym) lub po prostu uciec zostawiając swoje pisklęta na pożarcie. Stosując drugą będzie mógł założyć gdzie indziej nowe gniazdo z nadzieją na to, że tam uda mu się już bezproblemowo odchować pisklęta. Strategia węża jest podobna. Może atakować broniącego ptaka licząc się z tym, że może mimo iż jest znacznie silniejszy, zostać w walce znacznie okaleczony (np. spaść z drzewa, stracić oczy itp.). W takim przypadku w przyszłości miałby znaczne problemy z dalszym sprawnym zdobywaniem pożywienia. Drugą strategię jaką może się kierować (w przypadku wyjątkowo odważnego i zdeterminowanego ptaka), to ustąpić, wycofać się i poszukać innej łatwiejszej zdobyczy - licząc na to, że jego kolejna ofiara po prostu szybko ucieknie, poprzez co nie będzie się on narażał na obrażenia jakie niesie ze sobą ewentualna walka. Może też oczywiście poszukać innej, mniej kalorycznej zdobycz, co będzie strategią bezpieczną, ale mało wydajną energetycznie. Będzie po prostu m usiał włożyć więcej energii w kosztowniejsze polowania na małą zdobycz. Ilość ptaków w lesie oraz węży jest ze sobą nawzajem połączona w łańcuchu pokarmowym. Jakie powinni być strategie postępowania węży i ptaków - tak, żeby były ewolucyjnie stabilne, gwarantujące tym samym trwanie ich wzajemnych populacji na pewnym stabilnym i niezmiennym poziomie? Poniższa tabela zawiera wypłaty i straty dla węży i ptaków w przypadku podjęcia przez nich określonych strategii zachowań. Wartości liczbowe (ustalane przez socjobiologów) wyrażają w sposób symboliczny, zależne od całego ekosystemu punkty określające zysk lub stratę w ewolucyjnej grze o przetrwanie. Jak można interpretować te liczby? Z tabeli widać, że najgorszą strategią dla węża i ptaka jednocześnie jest, gdy oba będą zdeterminowanie, żeby walczyć. W takim przypadku ich uszczerbek na zdrowiu wyniesie odpowiednio -30 punktów co jest strategią wyjątkowo niekorzystną. Jeżeli wąż przyjmie strategię nie ustępowania, a ptak ucieczki - wąż zyska łatwy posiłek bez uszczerbku na zdrowiu (50 punktów), a zysk ewolucyjny ptaka wyniesie 0 ze względu na to, że nie dochowa się potomstwa. Jeżeli wąż w przypadku aktywnej obrony gniazda przez ptaka, wybierze strategię ustąp, nic nie zyska (nie będzie posiłku) natomiast ptak zyskuje bardzo dużo - udało mu się obronić pisklęta (100 punktów). Jeżeli zarówno wąż i ptak już tylko na swój widok zdecydują się na ucieczkę - z ewolucyjnego punktu widzenia oboje nieznacznie zyskają. Ptak dlatego, że przy każdym niebezpieczeństwie uciekając (jeżeli tylko spostrzeże węża) i zostawiając swoje potomstwo, ma jednak szansę je wychować (licząc na przykład na to, że wąż nie zauważy jego gniazda) - ale strategia pozostawiania piskląt na pastę losu i liczenia na łut szczęścia jest dość ryzykowna. Strategię ustępowania węża (nawet przy pozorach ptaka, że będzie on zdeterminowany bronić piskląt) należy raczej rozważyć jako przypadek jego rezygnacji z kalorycznego posiłku względem poświęcenia czasu na polowanie na mniejszą zdobyczy, samemu jednak przy tym nie narażając się na żaden uszczerbek na zdrowiu. Wąż/Ptak broń gniazda Wybór z prawdopodobieństwem q uciekaj Wybór z prawdopodobieństwem (1-q) nie ustępuj Wybór z prawdopodobieństwem p -30/-30 50/0 ustąp Wybór z prawdopodobieństwem (1-p) 0/100 10/20 Z jakimi prawdopodobieństwami wąż i ptak powinny wybierać swoje strategie aby ich ewolucyjna gra o przetrwanie była stabilna? 2
3 Rozważmy problem wyboru ptaka. Jaka strategię ma się on kierować? Jeżeli ptak gra strategią broń gniazda, to jego zysk zależy od rodzaju strategii węża i wynosi odpowiednio p*(-30) (gdy wąż gra nie ustępuj z prawdopodobieństwem p) plus (1-p)*(100) (gdy wąż gra ustąp z prawdopodobieństwem 1-p). Jeżeli natomiast ptak gra strategią uciekaj, to jego zysk wynosi p*(0) (wybór strategii węża nie ustępuj ) plus (1-p)*(20) (wybór strategii węża ustąp ). Przyrównując oba wyrażenia: p*(-30)+(1- p)*(100)=p*(0)+(1-p)*(20), otrzymujemy wartość równania p=8/11. Analogiczne rozumowanie i kalkulacje możemy przeprowadzić dla strategii węża. Otrzymujemy wartość prawdopodobieństwa q=4/7. Strategią ewolucyjnie stabilną jest więc sytuacja, gdy ptak gra strategią broń gniazda z prawdopodobieństwem q=4/7, a z prawdopodobieństwem 1-(4/7)=3/7 strategią uciekaj. Wybór strategii węża to nie ustępuj z prawdopodobieństwem p=8/11 i ustępuj z prawdopodobieństwem 3/11. Przy stosowaniu takich strategii oba gatunki zapewniają sobie maksymalny zysk, jaki mogą odnieść w grze przeciwko sobie. Jeżeli ptak i wąż zastosują te strategie, to żaden z nich już nic więcej nie może zyskać na zmianie strategii. John Nash udowodnił, że każda gra dwuosobowa o sumie niezerowej (jak ta powyżej) ma co najmniej jedną taką równowagę (równowagę Nasha). Ogólnie wniosek jest z tego taki, że ptaki (jako ofiary drapieżników) zawdzięczają swoje przetrwanie (w pewnej stałej liczbie osobników) nieznacznej większości osobników, którzy potrafią odważnie bronić swojego potomstwa. Równowaga Nasha Równowaga Nasha jest podstawowym pojęciem w teorii gier. Opisuje ona racjonalne zachowania graczy, których strategia gry (każdego z nich) jest optymalna uwzględniając określone ustalone wybory jego oponentów. Innymi słowy określa taki plan postępowania uzależniony od wszystkich możliwych sytuacji, gdy żaden gracz działając samodzielnie, nie może - niezależnie od innych - polepszyć swojej sytuacji. W takim przypadku osiągnięta dla graczy równowaga staje się stabilna i żaden z nich nie ma powodów od niej odstępować. Istotnym jest fakt, że równowaga Nasha najczęściej nie jest efektywna w sensie tzw. Optimum Pareta, to znaczy istnieją inne możliwe rozwiązanie w grze, których zastosowanie jest w stanie polepszyć sytuacje określonych jednostek, ale odbędzie się to niestety kosztem pogorszenia sytuacji pozostałych. Ukaże to poniższy przykład grupy ludzi łączących się w pary na samotnej wyspie. Klasycznym przykładem nieefektywności Pareta jest pochodzący od wybitnego matematyka A.W. Tucker paradoks znany jako Dylemat Więźnia Dylemat Więźnia Jest to jednym z najważniejszych teoretycznych problemów teorii gier. Wyobraź sobie, ze Ty i Twój wspólnik zostaliście złapani na przestępstwie. Policja chce Wam zaproponować współpracę. Od waszych zeznań zależeć będzie, ile lat spędzicie w więzieniu. Problemem jest jednak to, ze nie możecie się porozumiewać, a tym samym ustalić korzystnej dla Was wspólnej wersji zeznań. Macie do wyboru dwie opcje, współpracować z organami władzy ( sypać ) lub nie ( siedzieć cicho ). A) Jeżeli oboje będziecie sypać - oboje dostaniecie po 10 lat, B) Jeżeli oboje będziecie siedzieć cicho - dostaniecie po 5 lat, C) Jeżeli tylko jeden z Was pójdzie na współpracę i będzie sypał dostanie niską karę jednego roku, a drugi, który będzie siedział cicho dostanie aż 20 lat. Jak byś postąpił? Na pierwszy rzut oka wydaje się, że opłaca się zeznawać, ale podobnie może myśleć Twój wspólnik. W przypadku gdybyście obaj nie sypali, wynik byłby o wiele lepszy dla Was obu. Zatem, podobnie jak w codziennym rzeczywistym życiu, wybór podyktowany interesem osobistym nie zawsze jest najlepszy. Tabela wypłat w Twojej grze pt. Dylemat Więźnia. Twój wybór / wybór Twojego wspólnika Sypię Siedzę cicho Sypie 10 / / 1 Siedzi cicho 1 / 20 5 / 5 3
4 Jednym z rzeczywiście obserwowanych u więźniów popularnych rozwiązań jest dobrowolne przyjęcie na siebie kary i powstrzymanie się od sypania. Tak działają różne systemy honorowe, w tym również te w świecie przestępczym. Jeżeli obie strony uczestniczą w tego typu systemie honorowym i są świadome tego u wspólników, mogą zaryzykować odmowę współpracy z Policją, na czym obie zyskają. Dlatego charakterystyczne jest to, że więźniowie którzy łamią ten system honorowy i współpracują z Policją najczęściej spotykają się w więzieniu z różnego rodzaju prześladowaniami oraz poniżaniem. Genialny John Nash John Nash dokonał w teorii gier dwóch przełomowych odkryć, wprowadzając do tej dziedziny nauki dwóch znaczących pojęć znanych powszechnie jako równowaga Nasha (ang. Nash Equilibrium) oraz rozwiązanie przetargowe Nasha (ang. Nash Bargaining Solution). Przeszkodą w dalszych odkryciach w jego teoretycznych badaniach tej ciekawej dziedziny była jego choroba. Żył w odosobnieniu cierpiąc na schizofrenię paranoidalną, której sam źródeł upatrywał we własnym wysiłku umysłowym. Sam Nash pracował na uniwersytecie w Princeton, do dzisiaj krążą tam opowieści o jego geniuszu oraz dziwactwie wynikłym z choroby psychicznej. Chorobę tą jednak zdołał w długiej walce pokonać. Ukoronowaniem jego odkryć była przyznana w 1994 roku nagroda Nobla z ekonomii (wspólnie z pochodzącym z Węgier amerykańskim ekonomistą Johnem Harsanyim oraz niemieckim matematykiem Reinhardem Seltenem). O ile jego matematyczne teorie dla laika mogą być trudne do zrozumienie, to poniższy zabawny przykład z pewnością ukaże doniosłość ich znaczenia, nie tylko w poważnej dziedzinie nauki jaką jest ekonomia, ale także w planowaniu optymalnej metody podrywania. Jak optymalnie poderwać Kto oglądał film Piękny umysł z pewnością pamięta scenę, jak John Nash wpadł na swoją genialną teorię. Kilku mężczyzn w barze chciało poderwać grupę dziewczyn. W grupie tej wyróżniała się urodą pewna blondynka. Kadr z filmu z wypowiedzią Johna Nasha, olśnionego nagłą ideą swojego odkrycia, wygląda następująco: (John Nash):Nazywamy to lekcją Adama Smitha. Ojca współczesnej ekonomii. We współzawodnictwie, indywidualne ambicje służą wspólnemu dobru.... Każdy odpowiada za siebie. I odkładamy na bok przyjaźnie.... (kolega Nasha): Jeżeli nie weźmiesz się za blondynę, nikt się nie zabawi.... (John Nash): Adam Smith się mylił.... Tu chodzi o blondynkę. Najpierw wszyscy spróbują z nią... ale dostaną kopa... później pójdą po koleżanki... ale też się nie uda, bo nie chcą być tymi drugimi. A co jeżeli nikt nie ruszy na blondynkę? Nikt nie wejdzie sobie w drogę... i nie obrazimy pozostałych dziewczyn. I wszyscy wygrywają. To jedyny sposób, żeby się udało. Adam Smith powiedział, że każdy w grupie... powinien robić to co dla niego najlepsze. Tak powiedział... ale to nie jest pełne.... Trzeba wziąć poprawkę na grupę.... Każdy robi to co dla niego i dla grupy najlepsze - równocześnie. Sytuacja ta doprowadziła Johna Nahsa do sformułowania doniosłej i znaczącej w teorii gier koncepcji - zwanej na cześć odkrywcy równowagą Nasha. Postaram się jej użyteczność czytelnikom trochę przybliżyć w zagadnieniu (przynajmniej jak to zostało ukazane w filmie) jakim ją widział sam jej twórca. Sama teoria gier jest bardzo skomplikowaną dziedziną, ale na nasz użytek dotyczący podrywania, rozważmy hipotetyczną sytuację grupki ludzi na bezludnej wyspie. Taki zabawny przykład pozwoli nam zrozumieć jej główną ideę. Na samotnej wyspie znalazło się 8 osób. Cztery kobiety (Anna, Barbara, Celestyna, Dorota) i czterech mężczyzn (Edward, Filip, Grzegorz, Henryk). Każda z nich ma swoje osobiste preferencje, z którą osobą chciałaby przeżyć romans lub stworzyć związek. Oznacza to liczba w tabelce, tj. numer kandydata na swojej liście preferencji. Weźmy pierwszy wiersz z tabelki mężczyzn. Edward preferuje kolejno: Annę, Barbarę, Celestynę i na końcu Dorotę. Filip kolejno: Annę, Barbarę, Dorotę i Celestynę. I tak dla każdej osoby. Podobnie z kobietami. Anna preferuje na pierwszym miejscu Henryka, na drugim 4
5 Edward, potem Filipa i na końcu Grzegorza. Preferencje Celestyny i Doroty są takie same. Najbardziej podoba im się kolejno Filip, Edward, Henryk, Grzegorz. Ogólnie z tabeli widać następującą prawidłowość. Prawie wszystkim mężczyznom najbardziej podoba się Anna, ale może ją zdobyć tylko jeden z nich. Podobnie wszystkim kobietom najbardziej podoba się Filip, ale jest on tylko jeden i uszczęśliwić może tylko jedną z nich. Grzegorz z kolei nie podoba się żadnej z kobiet i najprawdopodobniej, gdyby to nie była samotna wyspa, zostałby starym kawalerem. Przedstawiają to poniższe tabele: Tabela preferencji mężczyzn Anna Barbara Celestyna Dorota Edward Filip Grzegorz Henryk Tabela preferencji kobiet Edward Filip Grzegorz Henryk Anna Barbara Celestyna Dorota Zobaczmy jak będzie wyglądało naturalne łączenie się w pary prowadzące do osiągnięcia sytuacji zwanej równowagą Nasha. Skoncentrujmy się na omówieniu tylko zalotów mężczyzn, gdyż w naszej zachodniej kulturze, to właśnie od nich wymagana jest inicjatywa w kontaktach męsko-damskich. (Poza tym autor artykułu jest mężczyzną, więc proszę mu na rzecz nauki wybaczyć to, że przedstawia męską perspektywę matematycznego sposobu zalotów). Zaznaczmy, że mężczyźni nie znają teorii gier względem tego, jak mogliby połączyć się w sposób najbardziej optymalny dla nich wszystkich. A szkoda!!!. Zaczynają swoje zaloty. Edward, Filip i Grzegorz starają się o względy Anny, Henryk o względy Barbary. Anna wybiera Edwarda, bo jest on najwyżej jej listy preferencji. Najbardziej podoba się jej jednak Henrykiem. Henryk jak to bywa w relacjach męsko-damskich, niestety (dla Anny) preferuje Barbarę. Barbara z powodu braku innych zalotników chwilowo akceptuje zaloty Henryka, choć sama byłaby szczęśliwa, gdyby mogła się związać z Filipem. Filip i Grzegorz, odrzuceni przez Annę, biorą się za następne dziewczyny na ich listach preferencji. Filip za Barbarę, Grzegorz za Celestynę. Kobieta zmienną jest więc Barbara, która do tej pory była z Henrykiem, zostawia go dla Filipa (jest on na jej liście preferencji wyżej niż Henryk). Natomiast Celestyna, którą do tej pory nikt się nie zainteresował, żeby nie zostać stara panną, akceptuje zaloty Grzegorza. Jest on ostatni na jej liście preferencji, ale zawsze lepsze to niż zostać samotną. Henryk rzucony przez Barbarę postanawia zdobyć serce drugiej na jego liście preferencji czyli serce Celestyny. Celestyna, która do tej pory jest z Grzegorzem, nieznacznie ale bardziej preferuje od niego Henryka, bezwzględnie zostawia więc dla niego Grzegorza. Grzegorz niestety zostaje sam. Do wzięcia pozostaje tylko osamotniona Dorota. Wszyscy oprócz ich dwójki znaleźli już sobie partnerów, więc tej dwójce pozostaje konieczność zadowolenia się nawzajem sobą. Niestety życie w tym względzie jest brutalne i dość często dzieje się tak, że nie każdy uklada sobie życie ze swoim ideałem. Na tym koniec. Proces ustalania wzajemnej relacji partnerów osiągnął stan stabilnej równowagi (w słownictwie teorii gier właśnie równowagi Nasha). Każdy odnalazł swoją drugą połowę: Edward związał się Anną, Filip z Barbarą, Henryk z Celestyną, a Grzegorz z Dorotą. Można zaryzykować stwierdzenia, że każdy jest już raczej ogólnie zadowolony. 5
6 Proces łączenia w pary dział się naturalnie, mężczyźnie nie znali teorii gier i pojęcia równowagi Nasha. Jeżeli by znali to czy mogliby wspólnie ustalić lepszą strategię podrywania tak, aby osiągnąć większe zadowolenie ze swoich partnerek? Oceńmy zadowolenie grupy mężczyzn z takiego rozwiązania i zobaczymy czy jest to sytuacja dla nich optymalna. Jak ocenić poziom satysfakcji całej grupy? Dodajmy liczby charakteryzujące poziom zadowolenia z odpowiednich partnerów z jakimi osoby te się związały. Im poziom ten jest niższy, tym oczywiście lepiej. Po prostu każdy musiał robić mniej ustępstw zadowalając się kolejnymi partnerami znajdującymi się na dalszych miejscach swoich listy preferencji. Dla mężczyzn (rozpatrywanych jako grupa) poziom satysfakcji wynosi 8, dla kobiet 10. Przy pomocy teorii gier możemy odkryć ze gdyby Anna związała się z Edwardem, Barbara z Henrykiem, Celestyna z Grzegorzem oraz Dorota z Filipem, poziom satysfakcji zarówno mężczyzn i kobiet, byłby większy i wynosił odpowiednio 7 i 9. Satysfakcja ludzi w grupie byłaby większa (Edwarda i Anny taka sama, bo matematyczne optimum znowu łączy ich w parę) oprócz indywidualnych satysfakcji Filip i Barbary. Związek tych osób powoduje mniejszą, korzystną dla ogółu wartość satysfakcji grupy zarówno tej męskiej jak i żeńskiej. Gdyby byli zdolni do altruizmu i potrafili poświęcić się dla innych, to 4 osoby (oprócz niezmiennej sytuacji Edwarda i Anny) czułyby się w swoich związkach lepiej kosztem właśnie tych dwóch osób. Jest to bardzo ciekawy przykład działania dla dobra wspólnego całej grupy, kosztem rezygnacji z własnych preferencji. Rozważmy jeszcze raz tą sytuację z uwzględnieniem, że teraz kobiety starają się w swoich zalotach o mężczyzn. Końcowa sytuacja wyglądałaby następująco: Anna związałaby się z Henrykiem, Celestyna z Edwardem oraz ponownie Barbara z Filipem i Dorota z Grzegorzem. Oceniając w takim przypadku satysfakcję grupy kobiet i mężczyzn jako całości, otrzymujemy odpowiednio 8 oraz 11. Co to oznacza? Kobiety, które przejęły inicjatywę w zalotach, jako cała grupa skończyły znacznie lepiej bardziej zadowolone, niż jakby pozostały bierne i pozwoliły, aby to mężczyźni się o nie starali. Jest to bardzo istotny przykład, gdyż mówi coś bardzo ważnego. Każdy kto pierwszy podejmuje inicjatywę w relacjach męsko-damskich zawsze wychodzi na tym znacznie lepiej niż jak przyjmuje postawę bierną. Warto o tym wiedzieć nie jest to tylko oczywisty truizm (który z pewnością każdy wie intuicyjnie), ale ma on swoje precyzyjne matematyczne uzasadnienie. Wszystkie powyższe zależności stosowane w dużej skali (większa liczba osób niż nasze przykładowe 8), mają sens tylko w przypadku, gdy w grupie nie wyróżnia się żadna charakterystyczna osoba, której wyjątkowa atrakcyjności zaburzałaby możliwości wypracowania odpowiedniego stanu satysfakcji wszystkich pozostałych. Jeżeli na przykład byłby na wyspie jakiś przystojny i znany aktor, obniżyłby w kobiecych oczach atrakcyjność pozostałych mężczyzn, a że mogłaby go zdobyć tylko jedna kobieta, poziom zadowolenia pozostałych przedstawicielek płci pięknej ze swoich partnerów byłby bardzo niski. Dlatego kreowanie przez mass-media pożądanych kobiecych ideałów (i odwrotnie, męskich idolek), z socjologicznego punktu widzenia, powoduje obniżenie satysfakcji ze swoich realnych partnerów, co ma w kulturach zachodnich przełożenie na większe skłonności do rozwodów. A jakie jest wyjście z tej sytuacji w przypadku, gdy osoba nad wyjątkowo atrakcyjna negatywnie wpływa na potencjalne zadowolenie całej grupy? Zachować się zgodnie z kadrem z filmu Piękny umysł. W filmie blondynka wyróżniająca się uroda i podobająca się wszystkim mężczyznom została matematycznie optymalnie zignorowana, co spowodowało, że pozostali mężczyźni zaczęli dobrze się bawić w towarzystwie jej koleżanek. I taka jest właśnie racjonalność matematyki, potrafi zrezygnować z piękna aby znaleźć takie rozwiązanie, które zadowoli jak największą liczbę osób. Powyższy sposób przedstawienia zagadnienia użyteczności teorii gier i związanej z nią równowagi Nasha w łączeniu ludzi w pary jest dość przesadzony, ale proszę zobaczyć jego użyteczność w przypadku organizowania przyjęcia. Znając listy preferencji poszczególnych osób, można wszystkich idealnie połączyć w pary, tak aby byli najbardziej zadowoleni i tym samym mogli się na nim dobrze bawić. W końcu przecież o to chodzi dla organizatora przyjęcia. Zapewnić jak największy komfort jego uczestnikom. Oczywiście uwzględniając fakt ogólnej nieznajomości teorii gier przez jego uczestników (choć ten artykuł powinien to zmienić) powinien on pamiętać o tym, żeby nie zapraszać wyjątkowo atrakcyjnych osób. 6
Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami
Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
TEORIA GIER W EKONOMII dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Informacje Ogólne Wykład: Sobota/Niedziela Ćwiczenia: Sobota/Niedziela Dyżur: Czwartek 14.00-16.00
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
TEORIA GIER W EKONOMII dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Informacje Ogólne (dr Robert Kowalczyk) Wykład: Poniedziałek 16.15-.15.48 (sala A428) Ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoTeoria gier. Łukasz Balbus Anna Jaśkiewicz
Teoria gier Łukasz Balbus Anna Jaśkiewicz Teoria gier opisuje sytuacje w których zachodzi konflikt interesów. Znajduje zastosowanie w takich dziedzinach jak: Ekonomia Socjologia Politologia Psychologia
Bardziej szczegółowoMateriał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych. Mikroekonomia. w zadaniach. Gry strategiczne. mgr Piotr Urbaniak
Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych Mikroekonomia w zadaniach Gry strategiczne mgr Piotr Urbaniak Teoria gier Dział matematyki zajmujący się badaniem optymalnego zachowania w
Bardziej szczegółowoTeoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami
Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria
Bardziej szczegółowoTemat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe
Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ
TEORI GIER W EKONOMII WYKŁD 5: GRY DWUOSOOWE KOOPERCYJNE O SUMIE NIESTŁEJ dr Robert Kowalczyk Katedra nalizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwumacierzowe Skończoną grę dwuosobową o
Bardziej szczegółowoa) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek...
Egzamin z przedmiotu: Wstęp do Teorii Gier Zadanie 1 Prowadzący: dr Michał Lewandowski gnieszka Radwańska gra w tenisa z Karoliną Woźniacki. gnieszka może zaserwować na backhand lub na forehand Woźniacki.
Bardziej szczegółowoPropedeutyka teorii gier
Propedeutyka teorii gier AUTORZY: KAROLINA STOLARCZYK, WIKTOR SZOPIŃSKI, KONRAD TOMASZEK, MATEUSZ ZAKRZEWSKI WYDZIAŁ MINI POLITECHNIKA WARSZAWSKA ROK AKADEMICKI 2016/2017, SEMESTR LETNI KRÓTKI KURS HISTORII
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona
Bardziej szczegółowoTeoria Gier - wojna, rybołówstwo i sprawiedliwość w polityce.
Liceum Ogólnokształcące nr XIV we Wrocławiu 5 maja 2009 1 2 Podobieństwa i różnice do gier o sumie zerowej Równowaga Nasha I co teraz zrobimy? 3 Idee 1 Grać będą dwie osoby. U nas nazywają się: pan Wiersz
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/
Bardziej szczegółowo10. Wstęp do Teorii Gier
10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej
Bardziej szczegółowoGry o sumie niezerowej
Gry o sumie niezerowej Równowagi Nasha 2011-12-06 Zdzisław Dzedzej 1 Pytanie Czy profile równowagi Nasha są dobrym rozwiązaniem gry o dowolnej sumie? Zaleta: zawsze istnieją (w grach dwumacierzowych, a
Bardziej szczegółowoHistoria ekonomii. Mgr Robert Mróz. Leon Walras
Historia ekonomii Mgr Robert Mróz Leon Walras 06.12.2016 Leon Walras (1834 1910) Jeden z dwóch ojców neoklasycznej mikroekonomii (drugim Marshall) Nie był tak dobrym matematykiem jak niektórzy inni ekonomiści
Bardziej szczegółowo2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol
2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol Oligopol Monopol jedna firma na rynku. Duopol dwie firmy na rynku. Oligopol kilka firm na rynku. W szczególności decyzje każdej firmy co do ceny lub ilości produktu
Bardziej szczegółowoNASH I JEGO HISTORIA
NASH I JEGO HISTORIA Anna Krymska, Michał Sawicki, Mateusz Tkaczyk, Agnieszka Zięba Krótki Kurs Historii Matematyki Politechnika Warszawska, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Semestr letni rok akademickiego
Bardziej szczegółowoMateusz Topolewski. Świecie, 8 grudnia 2014
woland@mat.umk.pl Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Świecie, 8 grudnia 2014 Plan działania Przykład 1. Negocjacje Właściciele dwóch domów negocjują w którym miejscu
Bardziej szczegółowour. 28 Czerwca 1928 w Bluefield w Wirginii, matematyk i ekonomista, profesor Uniwersytetu Princeton
ur. 28 Czerwca 1928 w Bluefield w Wirginii, matematyk i ekonomista, profesor Uniwersytetu Princeton Przygotowali Ostrowski Damian Ryciak Norbert Ryciuk Wiktor Seliga Marcin Lata młodości ojciec John Forbes
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą
TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą Przypomnienie Gry w postaci macierzowej i ekstensywnej Gry o sumie zerowej i gry o sumie niezerowej Kryterium dominacji
Bardziej szczegółowoOPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) dla przedmiotu Teoria gier na kierunku Zarządzanie
Poznań, 1.10.2016 r. Dr Grzegorz Paluszak OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) dla przedmiotu Teoria gier na kierunku Zarządzanie I. Informacje ogólne 1. Nazwa modułu : Teoria gier 2. Kod modułu : 1 TGw
Bardziej szczegółowoKonkurencja i współpraca w procesie podejmowania decyzji
Konkurencja i współpraca w procesie podejmowania woland@mat.umk.pl Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Dzień liczby π, Toruń, 12 marca 2015 Plan działania Przykład
Bardziej szczegółowoAutostopem przez galaiktykę: Intuicyjne omówienie zagadnień. Tom I: Optymalizacja. Nie panikuj!
Autostopem przez galaiktykę: Intuicyjne omówienie zagadnień Tom I: Optymalizacja Nie panikuj! Autorzy: Iwo Błądek Konrad Miazga Oświadczamy, że w trakcie produkcji tego tutoriala nie zginęły żadne zwierzęta,
Bardziej szczegółowoTeoria gier w ekonomii - opis przedmiotu
Teoria gier w ekonomii - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Teoria gier w ekonomii Kod przedmiotu 11.9-WZ-EkoP-TGE-S16 Wydział Kierunek Wydział Ekonomii i Zarządzania Ekonomia Profil ogólnoakademicki
Bardziej szczegółowo11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane
11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane W grze z doskonałą informacją, gracz nie powinien wybrać akcję w sposób losowy (o ile wypłaty z różnych decyzji nie są sobie równe). Z drugiej strony, gdy
Bardziej szczegółowoEgzamin z Wstępu do Teorii Gier. 19 styczeń 2016, sala A9, g Wykładowca: dr Michał Lewandowski. Instrukcje
Egzamin z Wstępu do Teorii Gier 19 styczeń 2016, sala A9, g. 11.40-13.10 Wykładowca: dr Michał Lewandowski Instrukcje 1) Egzamin trwa 90 minut. 2) Proszę wyraźnie zapisać swoje imię, nazwisko oraz numer
Bardziej szczegółowoKatarzyna Niemczewska Paweł Pieskowski Tomasz Próchniak Radosław Socha Jakub Woźniakowski Grzegorz Żarłok. Opis eksperymentu z mikroekonomii III
Katarzyna Niemczewska Paweł Pieskowski Tomasz Próchniak Radosław Socha Jakub Woźniakowski Grzegorz Żarłok Opis eksperymentu z mikroekonomii III Warszawa 07.06.001 Wstęp Przeprowadzony przez naszą grupę
Bardziej szczegółowoMikroekonomia. O czym dzisiaj?
Mikroekonomia Joanna Tyrowicz jtyrowicz@wne.uw.edu.pl http://www.wne.uw.edu.pl/~jtyrowicz 1.12.2007r. Mikroekonomia WNE UW 1 O czym dzisiaj? Macierze wypłat, czyli ile trzeba mieć w razie się straci...
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwuosobowe z kooperacją Przedstawimy
Bardziej szczegółowoZADANIE 1/GRY. Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
ZADANIE 1/GRY Zadanie: Dwaj producenci pewnego wyrobu sprzedają swe wyroby na rynku, którego wielkość jest stała. Aby zwiększyć swój udział w rynku (przejąć część klientów konkurencyjnego przedsiębiorstwa),
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 12 Teoria gier II Spis treści Wstęp Oligopol, cła oraz zbrodnia i kara Strategie mieszane Analiza zachowań w warunkach dynamicznych Indukcja wsteczna Gry powtarzane
Bardziej szczegółowoTeoria Gier. Piotr Kuszewski 2018L
Teoria Gier Piotr Kuszewski 2018L Tematyka wykładów plan akcji Wykład I John von Neumann Trochę historii Czym jest gra i strategia Użyteczność Jak wyeliminować niektóre strategie Wykład II John Nash Równowaga
Bardziej szczegółowoLEKCJA 1. Diagram 1. Diagram 3
Diagram 1 LEKCJA 1 - zaawansowanie czarnych zdecydowanie lepsze, - szansa dojścia czarnych do damki, - przynajmniej jeden kamień białych ginie, ale od czego jest ostatnia deska ratunku - KOMBINACJA! Ale
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoZnajdź swoje mocne strony! Organizator: Partner główny: Partnerzy merytoryczni: Partner warsztatów:
Znajdź swoje mocne strony! Młodzi na rynku pracy Projekt: Praca to akcja społeczna Gazety Wyborczej, której celem jest diagnoza i poprawa sytuacji młodych ludzi na rynku pracy. W ubiegłym roku w naszych
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER. Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier. Rok 1994: Nagroda Nobla z dziedziny ekonomii
TEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier Monografia: John von Neumann, Oskar Morgenstern Theory of Games and Economic Behavior (Teoria gier i postępowanie
Bardziej szczegółowoTeoria gier. Strategie stabilne ewolucyjnie Zdzisław Dzedzej 1
Teoria gier Strategie stabilne ewolucyjnie 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 1 John Maynard Smith (1920-2004) 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 2 Hawk- Dove Game Przedstawimy uproszczony model konfliktu omówiony w
Bardziej szczegółowo-Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji
1 -Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji 2 Teoria gier bada,w jaki sposób gracze powinnirozgrywać grę, a każdy dąży do takiego wyniku gry, który daje mu jak największą
Bardziej szczegółowo1 S t r o n a. Teoria Gier Praca domowa 1 - rozwiązania
1 S t r o n a Teoria Gier Praca domowa 1 - rozwiązania Zadanie 1 Gdy korzystamy z toalet publicznych dominującą strategią jest: nie sprzątać po sobie. Skorzystanie z toalety przynosi dodatnią wypłatę,
Bardziej szczegółowoZasada racjonalnego gospodarowania RACJONALNE GOSPODAROWANIE. Zasada racjonalnego gospodarowania. Zasada racjonalnego gospodarowania
HOMO OECONOMICUS Człowiek jest z natury próżny, dumny, leniwy, chciwy, samolubny, niemoralny, kieruje się własnym interesem i chce osiągnąć maksimum zysku przy minimum wysiłku Każdy człowiek w sposób wrodzony
Bardziej szczegółowo3 największe błędy inwestorów, które uniemożliwiają osiągnięcie sukcesu na giełdzie
3 największe błędy inwestorów, które uniemożliwiają osiągnięcie sukcesu na giełdzie Autor: Robert Kajzer Spis treści Wstęp... 3 Panuj nad własnymi emocjami... 4 Jak jednak nauczyć się panowania nad emocjami?...
Bardziej szczegółowoDwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
Bardziej szczegółowoV Międzynarodowy Wieczorek Popularno-Naukowy Teoria gier 9 maja 2009
V Międzynarodowy Wieczorek Popularno-Naukowy Teoria gier 9 maja 2009 Na naszej uczcie uraczymy się tym razem teorią gier. Na początek powiedzmy czym jest w ogóle teoria gier. Jest to dziedzina matematyki
Bardziej szczegółowoModelowanie Preferencji a Ryzyko. Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo?
Modelowanie Preferencji a Ryzyko Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo? Marek Szopa U n iwe r s y t e t Ś l ą s k i INSTYTUT FIZYKI im. Augusta Chełkowskiego Zakład Fizyki Teoretycznej Klasyczny
Bardziej szczegółowoOptymalizacja decyzji
Optymalizacja decyzji Dr hab. inż Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć będa dostępne na stronie www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER WPROWADZENIE. Czesław Mesjasz
TEORIA GIER WPROWADZENIE Czesław Mesjasz 2010 1 GENEZA TEORII GIER Próby budowy matematycznych modeli konfliktów i negocjacji podejmowane były już przez A. Cournota, F. Edgewortha i F. Zeuthena. Koncepcje
Bardziej szczegółowoJAK POMÓC DZIECKU KORZYSTAĆ Z KSIĄŻKI
JAK POMÓC DZIECKU KORZYSTAĆ Z KSIĄŻKI ŻEBY WYNIOSŁO Z NIEJ JAK NAJWIĘCEJ KORZYŚCI www.sportowywojownik.pl KORZYŚCI - DLA DZIECI: Korzyści, jakie książka Sportowy Wojownik zapewnia dzieciom, można zawrzeć
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warszawski Teoria gier dr Olga Kiuila LEKCJA 3
LEKCJA 3 Wybór strategii mieszanej nie jest wyborem określonych decyzji, lecz pozornie sztuczną procedurą która wymaga losowych lub innych wyborów. Gracze mieszają nie dlatego że jest im obojętna strategia,
Bardziej szczegółowoEKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER.
Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER. 1. OLIGOPOL Oligopol - rynek, na którym działa niewiele przedsiębiorstw (od do 10) Cecha charakterystyczna
Bardziej szczegółowoCzym jest użyteczność?
Czym jest użyteczność? W teorii gier: Ilość korzyści (czy też dobrobytu ), którą gracz osiąga dla danego wyniku gry. W ekonomii: Zdolność dobra do zaspokajania potrzeb. Określa subiektywną przyjemność,
Bardziej szczegółowoZAPIS STENOGRAFICZNY. Posiedzenie Komisji Budżetu i Finansów Publicznych (103.) w dniu 8 sierpnia 2013 r. VIII kadencja
ZAPIS STENOGRAFICZNY Posiedzenie Komisji Budżetu i Finansów Publicznych (103.) w dniu 8 sierpnia 2013 r. VIII kadencja Porządek obrad: 1. Rozpatrzenie wniosków zgłoszonych na 38. posiedzeniu Senatu do
Bardziej szczegółowoAukcje groszowe. Podejście teoriogrowe
Aukcje groszowe Podejście teoriogrowe Plan działania Aukcje groszowe Budowa teorii Sprawdzenie teorii Bibliografia: B. Platt, J. Price, H. Tappen, Pay-to-Bid Auctions [online]. 9 lipca 2009 [dostęp 3.02.2011].
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne.
TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne. Przypomnienie Gra o sumie zerowej Kryterium dominacji Kryterium wartości oczekiwanej Diagram przesunięć Równowaga Can a Round
Bardziej szczegółowoZasada średniego potencjału w grach ewolucyjnych. Paweł Nałęcz-Jawecki
Zasada średniego potencjału w grach ewolucyjnych Paweł Nałęcz-Jawecki O czym będzie ten komunikat O czym będzie ten komunikat Jak powiązać procesy błądzenia losowego na dyskretnym grafie ze (stochastycznymi
Bardziej szczegółowoSzkoła Podstawowa w Górkach Szczukowskich Rok szkolny 2016/2017 Ankieta dla uczniów kl. IV- VI Bezpieczny Internet w szkole i w domu
Szkoła Podstawowa w Górkach Szczukowskich Rok szkolny 216/217 Ankieta dla uczniów kl. IV- VI Bezpieczny Internet w szkole i w domu Chcielibyśmy poznać Twoją opinię dotyczącą korzyści i zagrożeń, jakie
Bardziej szczegółowoWyniki monitorowania karier absolwentów Wydziału Podstaw Techniki w 2014
Wyniki monitorowania karier absolwentów Wydziału Podstaw Techniki w 2014 Badania w roku 2014 objęły 218 studentów Wydziału Podstaw Techniki. W tej grupie znalazło się 87 kobiet oraz 131 mężczyzn. Struktura
Bardziej szczegółowoMiłość, seks i matematyka
Miłość, seks i matematyka Autor: Piotr Wołowik e-mail: pwolowik@o2.pl Okres długiej zimy przejawia się niskimi temperaturami oraz krótkimi dniami. Krótkie dni wiążą się z niedoborem światła słonecznego
Bardziej szczegółowoGra EGZAMIN. Damian Wróbel, student III roku Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej AGH
FOTON 140, Wiosna 2018 41 Gra EGZAMIN Damian Wróbel, student III roku Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej AGH Każdy na pewno zadawał sobie pytanie czy warto się uczyć?. Po znalezieniu setek powodów,
Bardziej szczegółowoTeoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 4 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.
Bardziej szczegółowoPsychologia gracza giełdowego
Psychologia gracza giełdowego Grzegorz Zalewski DM BOŚ S.A. Hipoteza rynku efektywnego 2 Ceny papierów wartościowych w pełni odzwierciedlają wszystkie dostępne informacje. Hipoteza rynku efektywnego (2)
Bardziej szczegółowoModelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony.
GRY (część 1) Zastosowanie: Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. Najbardziej znane modele: - wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy
Bardziej szczegółowoEkonomia menedżerska William F. Samuelson, Stephen G. Marks
Ekonomia menedżerska William F. Samuelson, Stephen G. Marks Ekonomia menedżerska to doskonale opracowany podręcznik, w którym przedstawiono najważniejsze problemy decyzyjne, przed jakimi stają współcześni
Bardziej szczegółowoPrzedsiębiorcy o podatkach
Przedsiębiorcy o podatkach Raport z badania ilościowego przeprowadzonego na zlecenie Związku Przedsiębiorców i Pracodawców Warszawa, 17.05.2017 Spis treści 2 OPIS BADANIA 3 PODSUMOWANIE 6 WYNIKI ANEKS
Bardziej szczegółowo3.2 TWORZENIE WŁASNEGO WEBQUESTU KROK 4. Opracowanie kryteriów oceny i podsumowania
3.2 TWORZENIE WŁASNEGO WEBQUESTU KROK 4 Opracowanie kryteriów i podsumowania Jeśli poważnie i krytycznie podszedłeś do swojej pracy, większą część WebQuestu masz już przygotowaną. Kolej na Kryteria ocen
Bardziej szczegółowoFUNDAMENTALNY WKŁAD JOHNA NASHA W ROZWÓJ TEORII GIER
DECYZJE nr 2 grudzień 2004 115 FUNDAMENTALNY WKŁAD JOHNA NASHA W ROZWÓJ TEORII GIER Jaideep Roy * Wyższa Szkoła Przedsiębiorczości i Zarządzania im. Leona Koźmińskiego Wstęp W 1948 roku profesor R.J. Duffin
Bardziej szczegółowoWPROWADZENIE DO KOMUNIKACJI NEGOCJACJE
WPROWADZENIE DO KOMUNIKACJI NEGOCJACJE DLA ZAINTERESOWANYCH NEGOCJACJE http://www.uwm.edu.pl/pa/fileadmin/pliki_do_pobrania/przewodnik_negocjacje.pdf Zbigniew Nęcki Negocjacje w biznesie Fisher, Ury, Patton
Bardziej szczegółowoPodstawy teorii finansów
Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy Życie gospodarcze Psychologia inwestora Grzegorz Kowerda Uniwersytet w Białymstoku 7 listopada 2013 r. EKONOMICZNY UNIWERSYTET DZIECIĘCY WWW.UNIWERSYTET-DZIECIECY.PL Podstawy
Bardziej szczegółowoPROJEKT FIRMY BUDOWLANEJ
PROJEKT FIRMY BUDOWLANEJ Grupa osób zastanawia się czy otworzenie spółdzielni socjalnej w ich mieście jest dobrym pomysłem na prowadzenie interesu. Spółdzielnia A chciałaby się zająć pracami remontowo
Bardziej szczegółowoTeoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1
Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,
Bardziej szczegółowoOdzyskajcie kontrolę nad swoim losem
Odzyskajcie kontrolę nad swoim losem Mocno wierzę w szczęście i stwierdzam, że im bardziej nad nim pracuję, tym więcej go mam. Thomas Jefferson Czy zadaliście już sobie pytanie, jaki jest pierwszy warunek
Bardziej szczegółowoUszereguj dla obydwu firm powyższe sytuacje od najkorzystniejszej do najgorszej. Uszereguj powyższe sytuacje z punktu widzenia konsumentów.
Strategie konkurencji w oligopolu: modele Bertranda, Stackelberga i lidera cenowego. Wojna cenowa. Kartele i inne zachowania strategiczne zadania wraz z rozwiązaniami Zadanie 1 Na rynku działają dwie firmy.
Bardziej szczegółowoGRAŻYNA KOWALCZYK. Zadanie finansowane ze środków Narodowego Programu Zdrowia na lata
GRAŻYNA KOWALCZYK SĄ TYLKO DWA SPOSOBY NA ŻYCIE. JEDEN TO ŻYCIE TAK, JAKBY NIC NIE BYŁO CUDEM. DRUGI TO ŻYCIE TAK, JAKBY WSZYSTKO BYŁO CUDEM (Albert Einstein) Wykaz rzeczy niszczących i zagrażających życiu
Bardziej szczegółowoGry hazardowe, gry ewolucyjne, ekspresja genów, tak czy owak łańcuchy Markowa
Kampus Ochota 18 kwietnia 2015 Gry hazardowe, gry ewolucyjne, ekspresja genów, tak czy owak łańcuchy Markowa Jacek Miękisz Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Andrey (Andrei)
Bardziej szczegółowoTeoria gier. mgr Przemysław Juszczuk. Wykład 5 - Równowagi w grach n-osobowych. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 5 - Równowagi w grach n-osobowych Figure: Podział gier Definicje Formalnie, jednoetapowa gra w postaci strategicznej dla n graczy definiowana jest jako:
Bardziej szczegółowoProgramowanie w Baltie klasa VII
Programowanie w Baltie klasa VII Zadania z podręcznika strona 127 i 128 Zadanie 1/127 Zadanie 2/127 Zadanie 3/127 Zadanie 4/127 Zadanie 5/127 Zadanie 6/127 Ten sposób pisania programu nie ma sensu!!!.
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,
Bardziej szczegółowoOpracował: Rafał Górniak Gra symulacyjna Budujemy wiatraki
Gra symulacyjna Budujemy wiatraki Cele gry - poznanie interesów różnych grup społecznych, których dotyczy budowa farmy wiatrowej - poznanie/ lepsze zrozumienie zalet i wad elektrowni wiatrowych - rozwój
Bardziej szczegółowoRaport Specjalny: 3 Największe Mity. Skutecznej Komunikacji w Języku Obcym
Raport Specjalny: 3 Największe Mity Skutecznej Komunikacji w Języku Obcym Raport dostarczyli: Więcej na stronie: http://www.intelektualnie.pl Intelektualnie.pl Centrum Szkoleniowe W ciągu swojej działalności
Bardziej szczegółowoa) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek.
Egzamin z przedmiotu: Wstęp do Teorii Gier Zadanie 1 Prowadzący: dr Michał Lewandowski Agnieszka Radwańska gra w tenisa z Karoliną Woźniacki. Agnieszka może zaserwować na backhand lub na forehand Woźniacki.
Bardziej szczegółowoWładza i Wpływ cz.3. Mapa władzy i wpływu Jak określić skuteczność tych relacji, od których zależy nasz sukces i powodzenie zawodowe.
. Pełna jakość Biznesu, Pracy, Życia.. Dajemy klientom wsparcie na każdym etapie ich drogi do wartościowych sukcesów... 1 Narzędzie: Biznesowa Wartość Relacji Władza i Wpływ cz.3. Mapa władzy i wpływu
Bardziej szczegółowoĆWICZENIA ŻYWIOŁ ZIEMI ŻYWIOŁ ZIEMI. Cz. III
Strona1 ŻYWIOŁ ZIEMI Cz. III Aby uzyskać namacalny efekt oddziaływania energii Żywiołu Ziemi w Twoim życiu - jednocześnie korzystaj i z przygotowanych tu ćwiczeń i z opisu procesów nagranych w części I.
Bardziej szczegółowoCo to jest niewiadoma? Co to są liczby ujemne?
Co to jest niewiadoma? Co to są liczby ujemne? Można to łatwo wyjaśnić przy pomocy Edukrążków! Witold Szwajkowski Copyright: Edutronika Sp. z o.o. www.edutronika.pl 1 Jak wyjaśnić, co to jest niewiadoma?
Bardziej szczegółowo13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej
13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej Najpierw, rozważamy model monopolu. Zakładamy że monopol wybiera ile ma produkować w danym okresie. Jednostkowy koszt produkcji wynosi k. Cena wynikająca
Bardziej szczegółowoIle waży arbuz? Copyright Łukasz Sławiński
Ile waży arbuz? Arbuz ważył7kg z czego 99 % stanowiła woda. Po tygodniu wysechł i woda stanowi 98 %. Nieważne jak zmierzono te %% oblicz ile waży arbuz teraz? Zanim zaczniemy, spróbuj ocenić to na wyczucie...
Bardziej szczegółowoPostawy wobec ryzyka
Postawy wobec ryzyka Wskaźnik Sharpe a przykład zintegrowanej miary rentowności i ryzyka Konstrukcja wskaźnika odwołuje się do klasycznej teorii portfelowej Markowitza, której elementem jest mapa ryzyko
Bardziej szczegółowoGry w postaci normalnej
Gry w postaci normalnej Rozgrzewka Przykład 1. (Dylemat więźnia) Dwóch przestępców, którzy zorganizowali napad na bank, zostało tymczasowo aresztowanych i czeka ich rozprawa. Jeżeli obaj będa zeznawać
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Definicja gry o sumie zerowej Powiemy, że jest grą o
Bardziej szczegółowoEinstein na półmetku. Projekt współfinansowany jest ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Einstein na półmetku Przy pisaniu kolejnego artykułu o projekcie postanowiliśmy wykorzystać opinie uczestników, czyli uczniów szkół Powiatu Lubańskiego. Oto co sądzą o Einsteinie: Na zajęciach byliśmy
Bardziej szczegółowoTeoria gier. Teoria gier. Odróżniać losowość od wiedzy graczy o stanie!
Gry dzielimy ze względu na: liczbę graczy: 1-osobowe, bez przeciwników(np. pasjanse, 15-tka, gra w życie, itp.), 2-osobowe(np. szachy, warcaby, go, itp.), wieloosobowe(np. brydż, giełda, itp.); wygraną/przegraną:
Bardziej szczegółowoGłosowanie strategiczne.
Głosowanie strategiczne. Autorzy: Filip Berdowski, Piotr Koziński, Zbigniew Węgliński Wydział Nauk Ekonomicznych Uniwersytetu Warszawskiego 2000 Praca na podstawie Agendas and Strategic Voting C. A. Holt
Bardziej szczegółowoKULTURA JAKO ZMIENNA WEWNĘTRZNA. związek efektywności i kultury organizacyjnej
KULTURA JAKO ZMIENNA NIEZALEŻNA - narodowe style zarządzania - podobieństwa i różnice w sposobie zarządzania w różnych krajach związek efektywności i kultury narodowej Oprac. na podst. Smircich (1983).
Bardziej szczegółowoEkonomiczny Uniwersytet Dziecięcy
Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy Kreatywny dialog -czy istnieje potrzeba negocjacji? Beata Skarżyńska Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 25 października 2010 r. Negocjacje w rodzinie. Rodzina jest terenem
Bardziej szczegółowoZmienność. Co z niej wynika?
Zmienność. Co z niej wynika? Dla inwestora bardzo ważnym aspektem systemu inwestycyjnego jest moment wejścia na rynek (moment dokonania transakcji) oraz moment wyjścia z rynku (moment zamknięcia pozycji).
Bardziej szczegółowoWyznaczanie kierunku. Krzysztof Markowski
Wyznaczanie kierunku Krzysztof Markowski Umiejętność kierowania sobą 1. Zdolność wyznaczania kierunku działań Wyznaczanie kierunku działań (1) a) Świadomość własnej misji b) Wyznaczenie sobie celów Wyznaczanie
Bardziej szczegółowoJohn Forbes Nash. Marlena Bielat Anna Gozdowska Sebastian Gargas Y3
John Forbes Nash Marlena Bielat Anna Gozdowska Sebastian Gargas Y3 Krótki Kurs Historii Matematyki Politechnika Warszawska 2012/2013 John Nash, Cambridge, Massachusetts, początek lat pięćdziesiątych Nie
Bardziej szczegółowoPUBLIKACJA PODSUMOWUJACA ZAJĘCIA DODATKOWE Z MATEMATYKI. realizowane w ramach projektu Stąd do przyszłości. nr. POKL.09.01.
Mołodiatycze, 22.06.2012 PUBLIKACJA PODSUMOWUJACA ZAJĘCIA DODATKOWE Z MATEMATYKI realizowane w ramach projektu Stąd do przyszłości nr. POKL.09.01.02-06-090/11 Opracował: Zygmunt Krawiec 1 W ramach projektu
Bardziej szczegółowoSpojrzenie teoretyczne. Szymon Wierciński Katedra Strategii, Zakład Negocjacji
Spojrzenie teoretyczne 1 Spojrzenie teoretyczne 1. Tworzenie wartości powiększanie tortu. 2. Podejście Wspólnych Korzyści (Mutual Gains Approach) 3. Szanse i zagrożenia związane celami 2 Tworzenie wartości
Bardziej szczegółowoScenariusz nr 10. Autor scenariusza: Małgorzata Marzycka. Blok tematyczny: Jesień z pełnym koszem.
Autor scenariusza: Małgorzata Marzycka Blok tematyczny: Jesień z pełnym koszem. Scenariusz nr 10 I. Tytuł scenariusza zajęć : Sposoby poznawania przyrody " II. Czas realizacji: 2 jednostki lekcyjne. III.
Bardziej szczegółowo