SŁAWOMIR WIAK (redakcja)

Transkrypt

1

2 SŁAWOMIR WIAK (redakcja) Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT

3 Recenzenci: Prof. Janusz Turowski Politechnika Łódzka Prof. Ewa Napieralska Juszczak University Lille Nord de France, LSEE, UA, Francja Autorzy rozdziałów: Prof. Sławomir Wiak (rozdz. 1,, 10) Dr inż. Krzysztof Smółka (rozdz. 1,, 10) Mgr inż. Anna Firych-Nowacka (rozdz. ) Prof. Zbigniew Kołaciński (rozdz. 3, 5, 6, 13) Mgr inż. Andrzej Kubiak (rozdz. 4) Prof. Zbigniew Lisik (rozdz. 4) Dr hab. inż. Jacek Gołębiowski, prof. PŁ (rozdz. 7) Dr inż. Michał Szermer (rozdz. 8, 9) Dr inż. Przemysław Sękalski (rozdz. 8, 9) Prof. Andrzej Napieralski (rozdz. 8, 9) Dr hab. inż. Zbigniew Gmyrek (rozdz. 11) Dr hab. inż. Paweł Witczak, prof. PŁ (rozdz. 1) Podręcznik akademicki przygotowany w ramach projektu "Innowacyjna dydaktyka bez ograniczeń - zintegrowany rozwój Politechniki Łódzkiej - zarządzanie Uczelnią, nowoczesna oferta edukacyjna i wzmacniania zdolności do zatrudniania, także osób niepełnosprawnych", współfinansowanego przez Unię Europejską w ramach europejskiego Funduszu Społecznego - Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki "Priorytet IV, poddziałanie Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni". Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych, w tym również nie może być umieszczany ani rozpowszechniany w postaci cyfrowej zarówno w Internecie, jak i w sieciach lokalnych bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich. ISBN Copyright by EXIT, Politechnika Łódzka Łódź 009

4 Michał Szermer Przemysław Sękalski Andrzej Napieralski 9. Modelowanie mikrosystemów 9.1. Wstęp Przedmiot modelowanie mikrosystemów krzemowych jest ważnym uzupełnieniem wiedzy na temat współcześnie projektowanych i wytwarzanych mikrosystemów krzemowych. Różnorodność mikrosystemów powoduje konieczność poznania podstawowych zjawisk, jakie zachodzą w mikrosystemach. Są to najczęściej zjawiska występujące w normalnej skali, przeniesione do skali mikro, gdyż mechanizm ich powstawania pozostaje bez zmian. Autorzy niniejszego opracowania skoncentrowali się na opisaniu zjawisk dotyczących elementów mechanicznych oraz powszechnie stosowanej w mechanice metody elementów skończonych, gdyż modelowanie współczesnych mikrosystemów polega nie tylko na opisywaniu układów elektrycznych ale również mechanicznych. Stąd konieczność poznania zjawisk zachodzących w mechanice i próba przedstawienia ich w maksymalnie przystępny sposób [3]-[4],[1],[14]-[16]. Autorzy opracowania przedstawią w kilku kolejnych punktach podstawy mechaniki, opiszą dostępne symulatory, wykorzystywane przy modelowaniu mikrosystemów oraz skoncentrują się na wiodącym obecnie pakiecie ANSYS, który jest wykorzystywany coraz powszechniej przy modelowaniu mikrosystemów i mikro-maszyn [1],[11],[13],[0],[]. 85

5 9.. Podstawowe elementy mechaniczne Modele mechaniczne opisują w uproszczony sposób ruch i odkształcenia rzeczywistych przyrządów posiadających części ruchome. Zastosowanie tych modeli może być bardzo pomocne również przy projektowaniu przyrządów mikromaszynowych, w tym czujników przyspieszenia [18]-[19]. W literaturze przyjęto następujący ogólny podział modeli: Modele analityczne, mające postać wzorów matematycznych i opierające się w całości na teorii modelowanych zjawisk fizycznych, Wielowymiarowe modele fizyczne, wynikające bezpośrednio z kształtu modelowanego przyrządu i właściwości materiałów wykorzystanych w jego konstrukcji i będące przedmiotem komputerowej symulacji numerycznej z wykorzystaniem odpowiedniego oprogramowania symulacyjnego, Modele empiryczne lub zredukowane, czyli modele o postaci takiej samej jak modele analityczne, ale ze współczynnikami określonymi nie na drodze teoretycznej, lecz wyznaczonymi (optymalizowanymi) przez dopasowanie odpowiedzi modelu do wyników symulacji wielowymiarowych modeli fizycznych. W celu prawidłowego modelowania elementów mechanicznych konieczne jest wprowadzenie opisu podstawowych zjawisk z jakimi można się spotkać: wydłużanie, uginanie, skręcanie. Te trzy właściwości, jakim jest poddany element mechaniczny zostaną opisane na podstawie belki, membrany oraz elementu o przekroju okrągłym w kolejnych punktach niniejszego opracowania [4] Belka Pierwszym elementem jaki należy rozpatrzyć jest belka czy też wysięgnik. Jest on poddawany siłom wydłużającym. Jego schemat 86

6 został przedstawiony na rysunku 9.1. Poddana siłom wydłużającym, takim jak na rysunku 9.1 ulegnie ona wydłużeniu zgodnie ze wzorem: ΔL = F L E A (9.1) gdzie: F - siła wydłużająca, L - długość belki, A - przekrój poprzeczny belki, E - moduł Younga. Rys. 9.1 Belka poddana siłom wydłużającym ulegnie wydłużeniu W celu poprawnego zrozumienia zagadnienia wydłużania konieczne jest wprowadzenie definicji modułu Younga. Jest niezwykle istotny współczynnik informujący o właściwościach materiału. Zgodnie z definicją moduł Younga można przedstawić za pomocą wzoru: E = ε σ (9.) gdzie: ε - odkształcenie liniowe materiału, σ - naprężenie dla odkształceń sprężystych. Moduł Younga określa sprężystość materiału. Moduł Younga jest hipotetycznym naprężeniem, które wystąpiłoby przy dwukrotnym wydłużeniu próbki materiału, przy założeniu, że jej przekrój nie ulegnie zmianie (założenie to spełnione jest dla hipotetycznego materiału o współczynniku Poissona ν = 0). Kolejnym ważnym współczynnikiem jaki jest niezbędny w mechanice konstrukcji jest współczynnik Poissona. Współczynnik Poissona jest 87

7 stosunkiem odkształcenia poprzecznego do odkształcenia podłużnego przy osiowym stanie naprężenia. Współczynnik Poissona jest wielkością bezwymiarową i nie określa sprężystości materiału, a jedynie sposób w jaki się on odkształca. Definiujemy go za pomocą następującego wzoru: ε n ν = ε m (9.3) gdzie: ε n - odkształcenie w kierunku n, ε m - odkształcenie w kierunku m, dowolnym, prostopadłym do kierunku n. Znając te dwa niezwykle ważne współczynniki można przystąpić do opisu elementów mechanicznym poddanym różnym siłom Wyboczenie belki (ang. Buckling) Na belkę mogą działać również siły powodujące jej osiowe odkształcenie czyli inaczej mówiąc powodujące wyboczenie belki. Ma to miejsce wówczas jeśli obciążenie belki P przekroczy pewną krytyczną wartość. Belka może ulegać wyboczeniu w różny sposób, zależny od jej mocowania. Trzy najczęstsze przypadki spotykane w mikromechanice są przedstawione na rysunku 9.. Rys. 9. Różne wyboczenia belki zależne od sposobu jej mocowania Dla wyboczenia sprężystego można wyznaczyć siłę krytyczną z następującej zależności: π E I P kr = μ l gdzie: E - moduł Younga, I - moment bezwładności belki, l - długość belki, (9.4) 88

8 μ - współczynnik zależny od sposobu mocowania belki na jej końcach. Dla trzech przypadków pokazanych na rysunku 9., współczynnik m wynosi kolejno od lewej: 1, ½,. Zatem wzór na siłę krytyczną np. dla drugiego przypadku przyjmie postać: E I P (9.5) kr = 4 π l Dla belki o przekroju prostokątnym, podpartej z jednej strony i poddanej działaniu siły z drugiej można sformułować następujące równania, użyteczne przy wyznaczaniu krytycznego obciążenia: w t I = 1 3 (9.6) oraz 3 E I k = 3 l (9.7) gdzie: w - szerokość belki, k - współczynnik sztywności belki. Strzałkę ugięcia belki dla powyższego przypadku można przedstawić w postaci: F F l F l 1 F l f = = = = 4 3 k 3 E I 3 E w t E w t gdzie: F - siła działająca na belkę. 3 (9.8) 9... Membrana Kolejnym ważnym elementem mikromechanicznym jest membrana. Jest to element, za pomocą którego można zamodelować uginanie konstrukcji mechanicznych. Membrana, przedstawiona poglądowo na rysunku 9.3 jest poddana działaniu ciśnienia o wartości p. 89

9 Rys. 9.3 Poglądowy widok membrany o przekroju okrągłym Maksymalne ugięcie membrany (w tym wypadku na środku) poddanej na całym swym obszarze jednakowemu ciśnieniu p można wyrazić za pomocą wzoru: y 3 p R 16 E t max = 1 3 ( ν ) (9.9) gdzie: R - promień membrany, t - grubość membrany. Maksymalne naprężenie zarówno w kierunku pionowym oraz poziomym dla membrany można przedstawić za pomocą wzorów: r max 3 p R = 4 t 3 p R 4 t σ σ = ( 1 ν ) t max (9.10) Element o przekroju okrągłym Ostatnim zjawiskiem, z jakim mamy do czynienia w mikromechanizmach jest skręcanie. Siły skręcające możemy zamodelować za pomocą elementów o przekroju okrągłym, np. pręta, walca, bądź rurki. Na rysunku 9.4 przedstawiono poglądowy widok takiego elementu. Jak można zauważyć element taki może być w pełni wypełniony materiałem, wówczas mamy do czynienia z prętem o promieniu R. Może też być elementem z pustym wnętrzem, wówczas mamy do czynienia z rurką o średnicach odpowiednio: wewnętrznej d, oraz zewnętrznej D. Rys. 9.4 Poglądowy widok na element o przekroju okrągłym 90

10 Wzory dla momentów bezwładności przyjmą odpowiednio postać: 4 D 4 4 I D d walec I (9.11) 3 rurka = π 3 Trzy zjawiska, jakie zostały opisane powyżej są niezbędne do prawidłowego modelowania elementów mikromechanicznych, stosowanych w mikrosystemach krzemowych. Znając ich opis, możliwe jest zamodelowanie podstawowych elementów mikromechanicznych, takich jak wysięgnik czy most, które są podstawą np. przy czujnikach przyspieszenia. Dzięki temu możliwe jest obliczenie teoretycznej wartości wytrzymałości belki, która z powodzeniem jest stosowana w akcelerometrach montowanych w samochodach, które są odpowiedzialne za otwieranie poduszki powietrznej. Jest to niezwykle istotne zagadnienie gdyż wspomniany sensor decyduje o zdrowiu i życiu człowieka, a więc należy go modelować ze szczególną uwagą. = π ( ) 9.3. Zarys teorii przepływu płynów Spośród szerokiej gamy mikrosystemów można wyróżnić dość liczną podgrupę mikrosystemów wykorzystujących przepływ płynów (ang. Fluidic Microsystems). Znajdują one coraz większe zastosowania w różnych dziedzinach, takich, jak przemysł komputerowy, chemiczny czy medycyna [5]. Największy rozwój mikrosystemów wykorzystujących przepływ płynów jest obserwowany w medycynie, chemii i biotechnologii. Mikrosystemy mogą być tutaj podzielone na trzy podstawowe grupy: Proste systemy znane pod nazwą MEFS (ang. Micro-Electro- Fluidic Systems) zaimplementowane najczęściej na pojedynczych kościach (ang. Chip) rozmiarów rzędu milimetrów do kilku centymetrów kwadratowych, które przenoszą bardzo małe ilości cieczy mniej niż pojedyncze piko litry, stosowane do separacji różnych płynów; Tzw. Laboratoria na jednej kości (ang. Lab-on-a-Chip) - urządzenia, które integrują kilka funkcji jakie są wykorzystywane w laboratoriach chemicznych w jednym miniaturowym układzie; Układy znane pod nazwą μtas (ang. Micro Total Analysis Systems) są najbardziej zaawansowanymi technologicznie sys- 91

11 temami przepływowymi, zawierającymi zaawansowane funkcje laboratoriów chemicznych, umożliwiających zaawansowaną analizę próbek chemicznych. W celu lepszego zrozumienia zjawisk zachodzących w mikrokanałach, głównych częściach składowych mikrosystemów przepływowych konieczne jest wprowadzenie kilku ważnych pojęć. Wyobraźmy sobie rurkę o średnicy D, w której znajduje się płyn. Poglądowy schemat tego układu możemy zobaczyć na rysunku 9.5. kierunek przepływu cieczy 9 Rys. 9.5 Przepływ płynu w rurce o przekroju okrągłym Otóż płyn czy też ciecz przepływająca przez tą rurkę porusza się w określony sposób. Najszybciej przemieszczają się cząsteczki cieczy znajdujące się w samym środku rurki, natomiast im dalej od środka tym mniejsza prędkość przemieszczania się cząsteczek cieczy. Przy miejscach styku cieczy z krawędzią rurki praktycznie prędkość przepływu jest równa zero. W każdym punkcie cieczy linie przepływu wywierają na siebie nacisk. Jest on siłą ścinającą wyrażaną w N na m daną wzorem: du F = μ (9.1) dy gdzie: μ - lepkość cieczy, u - prędkość przepływu cieczy, y - odległość przepływu cieczy. Gradient prędkości jest często znany pod pojęciem szybkości odkształcania (ang. Strain Rate). W celu lepszej charakteryzacji właściwości płynów wprowadzono parametr nazywany liczbą Reynoldsa. Zgodnie z definicją liczba ta jest równa: Re = ρ vd μ gdzie: ν - główna prędkość przepływu cieczy, ρ - gęstość cieczy, D - średnica kanału. (9.13)

12 Wzór jest słuszny dla kanałów o przekroju okrągłym (rury). Liczba Reynoldsa jest ważnym parametrem mówiącym o rodzaju przepływu cieczy. Przyjmuje się dwa podstawowe rodzaje przepływu płynów: laminarny i turbulentny. Pierwszy z nich charakteryzuje się tym, że powierzchnie płynu podczas przepływu są gładkie i nie przenikają się wzajemnie. Ruch jest łagodny i płynny. Ten rodzaj przepływu występuje dla cieczy o liczbie Reynoldsa Re < 000. Drugi rodzaj przepływu to przepływ turbulentny, charakteryzujący się tym, że powierzchnie przepływu wzajemnie się przenikają i mamy do czynienia z lokalnymi zawirowaniami. Ten rodzaj przepływu występuje dla liczby Reynoldsa Re > 300. W przedziale 000 < Re < 300 mamy do czynienia z przepływem mieszanym, trudnym do jednoznacznego zdefiniowania. Poglądowe rodzaje przepływu płynów pokazano na rysunkach 9.6 i 9.7. Przy niskim współczynniku przepływu cieczy jej ruch jest zdominowany przez siły lepkości. Ruch jest płynny i płaszczyzny przesuwają się równomiernie. Gdy współczynnik przepływu cieczy jest wysoki wówczas przepływ jest zdominowany przez siły inercyjne. Rys. 9.6 Przepływ laminarny Rys. 9.7 Przepływ turbulentny W układach scalonych, ze względu na anizotropowe trawienie krzemu mamy do czynienia najczęściej z kanałem o przekroju trapezowym, tak, jak to pokazano na rysunku 9.8. Warto tutaj dodać, że kształt kanału ma bardzo niewielki wpływ na liczbę Reynoldsa dla określonej cieczy, przez niego przepływającej co za tym idzie rozważania dla kanałów okrągłych mogą być z dość dobrym przybliżeniem przeniesione bezpośrednio na kanał trapezoidalny. Rys. 9.8 Mikrokanał najczęściej stosowany w układach scalonych 93

13 W mikrosystemach przepływowych mamy do czynienia z bardzo długimi i wąskimi kanałami. Są one dobrze poznane i opisane jako kapilary w chemii analitycznej. W celu dokładniejszego poznania zjawisk zachodzących w tego typu systemach konieczne jest poznanie mechanizmów transportu cieczy przez mikrokanał. Są to dwa podstawowe zjawiska: elektroforeza i elektroosmoza. Ich definicje są następujące: Elektroforeza - technika analityczna stosowana w chemii i biologii molekularnej, zwłaszcza w genetyce. Jej istotą jest rozdzielenie mieszaniny związków chemicznych na możliwie jednorodne frakcje przez wymuszanie wędrówki ich cząsteczek w polu elektrycznym; Elektroosmoza - osmoza, która zachodzi pod wpływem przyłożonej różnicy potencjałów. Zjawisko to zachodzi w sposób zależny od kształtu i rodzaju ośrodka, a także rodzaju cząstek rozpuszczonych. Polega na ruchu całego ośrodka, czyli fazy rozpraszającej układu koloidowego, w stosunku do fazy rozproszonej. Elektroosmoza - oddziałuje na cała objętość płynu w kanale. Elektroforeza - oddziałuje jedynie na cząsteczki obdarzone ładunkiem. Powyższe zjawiska są wykorzystywane przy separacji związków chemicznych, przepuszczanych przez specjalnie skonstruowane kapilary. Symbolicznie wpływ tych zjawisk na cząsteczki płynu znajdującego się w kanale można przedstawić w sposób przedstawiony na rysunku 9.9. Na kolejnym rysunku jest przedstawiona najprostsza kapilara stosowana w układach Lab-on-a-Chip. Rys. 9.9 Ruch cząsteczek w kapilarze na skutek zjawisk elektroforezy i elektroosmozy 94

14 Wejście Kanał doprowadzający Badaną mieszaninę Wejście 1 Wyjście 1 Wyjście Kanał separacyjny Rys Kapilara stosowana w układach scalonych Doprowadzając ciecz do wejścia i przykładając potencjały do obu wejść i wyjść uzyskuje się ruch cieczy pod wpływem opisanych zjawisk. Odpowiednia długość kanału separacyjnego zapewnia prawidłową separację związków zawartych w badanej mieszaninie, gdyż każdy z nich ma inną prędkość poruszania się. Wynika z tego fakt, im dłuższy kanał tym lepsza separacja. Niestety w układzie scalonym jest ograniczona możliwość wykonania odpowiednio długich kanałów. W związku z tym kanał separacyjny jest odpowiednio zaginany aby maksymalnie wykorzystać powierzchnię układu. W związku z tym pojawiają się nowe problemy, związane bezpośrednio z przepływem płynów w miejscach zagięć ale ich analiza nie będzie rozpatrywana ze względu na ograniczoną objętość niniejszego opracowania Podstawy metody elementów skończonych Metoda elementów skończonych jest podstawowym narzędziem pracy inżyniera zajmującego się obliczeniami wytrzymałościowymi konstrukcji. Jest ona pierwotnie dedykowana do obliczania wytrzymałości takich konstrukcji mechanicznych jak mosty, maszty, budynki. Niemniej można ją z powodzeniem stosować do obliczania wytrzymałości różnych konstrukcji mikromaszynowych, takich jak wysięgniki, belki, membrany, i inne podobne konstrukcje. Jedyna różnica polega na skali sił i obciążeń jakie występują w tego typu urządzeniach. Ponadto dane materiałowe będą dotyczyć związków stosowanych do produkcji układów MEMS [],[10]-[11],[13]. 95

15 Procedura metody elementów skończonych W celu stosowania metody elementów skończonych potrzebna jest podstawowa wiedza, jaką można znaleźć w różnego rodzaju podręcznikach i opracowaniach. W tym punkcie podano jedynie ogólne wprowadzenie do metody, mające na celu poprawne stosowanie systemów MES (Metoda Elementów Skończonych). Ponadto zostanie opisane wprowadzenie do programu ANSYS jako jednego z wiodących pakietów, wykorzystujących metodę elementów skończonych przy obliczaniu zagadnień wytrzymałościowych. Pakiet Multiphysics dostępny dla Uczelni umożliwia przeprowadzanie obliczeń nie tylko wytrzymałościowych, ale także termicznych czy elektrycznych. Dodatkowo możliwe jest przeprowadzanie analiz sprzężonych, w których obliczenia dotyczą kilku dziedzin nauki, co jest niezbędne przy kompleksowej analizie układów MEMS. Zatem przejdźmy do metody elementów skończonych. Metoda ta polega na zastąpieniu jednolitej konstrukcji mechanicznej modelem dyskretnym. Zastosowany podział nazywamy dyskretyzacją. Dyskretyzacji podlegają: wnętrze konstrukcji, obciążenia ciągłe oraz warunki brzegowe. Jednolitą konstrukcję dzieli się na model składający się ze skończonej liczby elementów. Elementy są połączone ze sobą w węzłach. Z tego względu oddziaływanie pomiędzy poszczególnymi elementami następuje jedynie w węzłach co zmniejsza sztywność konstrukcji w stosunku do rzeczywistości. Zastosowanie skończonej liczby niewielkich elementów posłużyło jako nazwa metody. Metoda ta, jak każda inna ma swoje zalety i wady. Do zalet można zaliczyć: uniwersalność, zastosowanie do zagadnień liniowych i nieliniowych, stosowanie macierzy pasmowej w obliczeniach. Do wad metody natomiast: aproksymacja przemieszczeń wielomianami niskiego rzędu, konieczność lokalnego zagęszczania siatki dyskretyzacji, w zagadnieniach przestrzennych duża liczba skomplikowanych obliczeń. W metodzie tej istnieje określona kolejność wykonywania operacji: 96

16 1. wprowadzenie geometrii modelu,. dyskretyzacja, 3. dobór typów elementów, 4. zdefiniowanie równania problemu na poziomie elementu, 5. transformacja macierzy sztywności elementu do układu globalnego, 6. utworzenie na podstawie macierzy sztywności elementów globalnej macierzy sztywności dla całej struktury, 7. zdefiniowanie warunków brzegowych, 8. rozwiązanie układu równań liniowych i wyznaczenie niewiadomych. Każdy element skończony posiada w węzłach określone stopnie swobody. W przypadku dotyczącym wytrzymałości konstrukcji może być 6 stopni swobody. Będą to odpowiednio 3 stopnie przesuwne oraz 3 stopnie obrotowe. Pierwsze z nich przenoszą siły węzłowe natomiast drugie momenty węzłowe. Załóżmy, że mamy do czynienia z klasycznym ujęciem metody MES. Wówczas niewiadomymi są przemieszczenia węzłowe. Ich dokładną wartość otrzymamy w węzłach natomiast pomiędzy węzłami w obszarze elementu stosuje się metodę interpolacji przemieszczeń za pomocą funkcji kształtu. Funkcja kształtu ma postać liniową bądź wielomianową. System MES dla zagadnień liniowych oblicza sztywności elementów w poszczególnych elementach. Kolejnym krokiem jest ich sumowanie dla węzłów i utworzenie w ten sposób układu równań liniowych postaci: K u = F (9.14) gdzie: K - macierz sztywności konstrukcji, u - wektor niewiadomych przemieszczeń węzłowych, F - wektor sił węzłowych. W zagadnieniach nieliniowych geometrycznie macierz sztywności K zawiera następujące podmacierze: 97

17 K + K T = Ko + Kσ L (9.15) gdzie: K T - macierz sztywności stycznej, K o - macierz sztywności dla małych przemieszczeń, K σ - macierz sztywności naprężeń początkowych, K L - macierz sztywności dla dużych przemieszczeń i obrotów. Z kolei z zagadnieniach dotyczących dynamiki rozwiązuje się równanie równowagi dynamicznej: M u&& + C u& + K u = F (9.16) gdzie: M - macierz mas, C - macierz tłumienia, K - macierz sztywności konstrukcji. W celu zredukowania liczby równań konieczne jest wprowadzenie warunków brzegowych w węzłach. Całkowita liczba stopni swobody jest równa: S = n C S W (9.17) gdzie: S W - liczba stopni swobody w węźle, n - liczba węzłów. Macierz K układu równań jest zazwyczaj macierzą pasmową symetryczną. Maksymalna szerokość półpasma decyduje o tzw. Szerokości frontu. Jego szerokość zależy od wielkości zadania i kolejności numeracji elementów. Program ANSYS rozwiązuje układ równań metodą frontalną automatycznie optymalizując szerokość frontu. Jedną z pierwszych metod rozwiązywania macierzy pasmowych była metoda eliminacji Gaussa. Kolejnymi metodami były metody Choleskiego oraz Crouta. Natomiast w metodach iteracyjnych mamy do czynienia z metodami Gaussa-Seidela oraz gradientu sprzężonego Jacobiego. Zadania nieliniowe rozwiązuje się iteracyjnie metodami Newtona-Raphsona lub gradientu sprzężonego. 98

18 Zagadnienia nieliniowe można podzielić na następujące: nieliniowo geometrycznie, nieliniowo materiałowo. W celu przeprowadzenia obliczeń należy stopniowo zwiększać całkowite obciążenie i przeprowadzić rozwiązanie metodą iteracyjną. Czasami lepiej jest sterować procesem obciążania przez przemieszczenia niż przez siły, gdyż to prowadzi do lepszej stabilności numerycznej. W zakresie dynamiki program ANSYS przeprowadza następujące analizy: harmoniczną, spektralną, modalną, stanów nieustalonych. Rozpatrując macierz sztywności konstrukcji mamy do czynienia z trzema przypadkami: macierzą dobrze uwarunkowaną, macierzą źle uwarunkowaną, macierzą osobliwą. Uwarunkowanie to zależy od ilorazu maksymalnej wartości elementu do minimalnej wartości elementu znajdującego się na diagonali macierzy sztywności K. Elementy te nazywają się PIVOTS i są wyświetlane podczas obliczeń przez program ANSYS. Można zatem napisać wzór na wskaźnik uwarunkowania: PIVOT max C (9.18) COND = Log abs PIVOTmin gdzie: PIVOT max - największy wyraz na głównej przekątnej macierzy sztywności, PIVOT min - najmniejszy wyraz na głównej przekątnej macierzy sztywności. 99

19 W przypadku gdy wskaźnik uwarunkowania jest większy od 13 to układ jest źle uwarunkowany lub prawie osobliwy i wyniki obliczeń mogą być błędne. Jeśli PIVOT min jest ujemny bądź zerowy wówczas mamy do czynienia z osobliwością układu równań i problem pozostaje nierozwiązany. Osobliwość układu może być spowodowana następującymi czynnikami: zerowe dane elementowe lub materiałowe, nieprawidłowe warunki brzegowe, brak sklejenia węzłów siatki dyskretyzacji. Złe uwarunkowanie może wystąpić gdy występuje: zbyt duża smukłość konstrukcji, duży iloraz powierzchni elementu minimalnego do maksymalnego, bardzo duża liczba stopni swobody (szerokie pasmo macierzy). W metodzie elementów skończonych, jak w każdej innej można wyróżnić różnego rodzaju błędy. Dzielimy je na: błędy modelowe, błędy numeryczne, błędy aproksymacji, błędy merytoryczne. Błędy modelowe są związane z typem przyjętego elementu skończonego. Błędy numeryczne powstają na skutek zaokrągleń wyników podczas obliczeń. Z kolei błędy aproksymacji powstają, gdy siatka elementów skończonych jest zbyt rzadka i obliczenia nie są zbyt dokładne. Natomiast błędy merytoryczne są najczęściej związane z błędnymi danymi wprowadzonymi przez użytkownika, takie, jak: złe dane materiałowe, złe warunki brzegowe, nieprawidłowy układ jednostek czy wymiary modelu. Istotnym zagadnieniem jest też zbieżność modelu. Mamy tutaj do czynienia ze zbieżnością monotoniczną lub naprzemienną. Zależy ona od typu elementu użytego do modelowania konstrukcji. Można tutaj wyróżnić kilka szybkości zbieżności, w zależności od poszukiwanych wielkości: 300

20 najszybsza zbieżność jest osiągana dla przemieszczeń, wolniejsza dla naprężeń normalnych, najwolniejsza dla wytężenia oraz naprężeń stycznych Zasady prawidłowej dyskretyzacji Podczas opracowywania modelu z wykorzystaniem MES należy przestrzegać kilku podstawowych zasad: elementy prostokątne są dokładniejsze od elementów trójkątnych, elementy o kształtach regularnych są dokładniejsze od elementów nieregularnych, elementy kwadratowe izoparametryczne wyższego rzędu (zawierające węzły pośrednie) są dokładniejsze od elementów liniowych przy tej samej liczbie węzłów. Siatka dyskretyzacji modelu powinna być lokalnie zagęszczana w następujących przypadkach: w załomach zarysu konstrukcji, na brzegach konstrukcji, w miejscach przyłożenia obciążenia skupionego. Bardzo ważny jest dobór typu elementów w danym zagadnieniu. Elementy prętowe LINK i belkowe BEAM dają prawidłowe wyniki odnośnie do przemieszczeń i naprężeń między węzłami. Zagadnienia koncentracji naprężeń w węzłach najlepiej rozwiązywać z użyciem elementów bryłowych SOLID lub powłokowych SHELL. Możliwe jest też łączenie różnych typów elementów w celu wykonania np. analizy sprzężonej. Możliwe jest łączenie elementów o liniowych funkcjach kształtu z elementami o kwadratowej funkcji kształtu. W celu poprawnego modelowania z wykorzystaniem MES niezbędne jest stosowanie uproszczeń np.: pominięcie zaokrągleń bądź małych otworów w miejscach gdzie nie ma koncentracji naprężeń. Ułatwia to znacznie analizę modelu i przyspiesza obliczenia. Obliczenia tej samej konstrukcji można realizować na 3 poziomach przybliżenia za pomocą modelów: 301

21 belkowego, powłokowego, bryłowego. Często stosowane jest najpierw tzw. modelowanie zgrubne, a dopiero jego wyniki są przekazywane do modelu dokładnego celem znalezienia jak najszybciej prawidłowych wartości niewiadomych. Jest to tzw. submodeling. Na rysunkach 9.11 i 9.1 są przedstawione modele oraz rozwiązania dla przetwornika elektrotermicznego. Z lewej strony przedstawiony jest model z podziałem na elementy dyskretne, natomiast z prawej rozwiązanie przedstawiające rozkład temperatur w przetworniku. Jest to typowa struktura mikromaszynowa, wykorzystująca termopary położone na moście bądź wysięgniku celem dokładnego pomiaru temperatury. 1 ELEMENTS ANSYS 11.0 JAN NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 TEMP (AVG) RSYS=0 SMN =7 SMX = MX ANSYS 11.0 JAN MN MEMS Przetwornik termoelektryczny - 3D MEMS Przetwornik termoelektryczny - 3D Rys Model dyskretny przetwornika elektrotermicznego Rys. 9.1 Rozkład temperatury w modelu przetwornika elektrotermicznego 9.6. Analiza statyczna Podstawową operacją w metodzie elementów skończonych, niezależnie od rodzaju rozwiązywanego problemu jest utworzenie macierzy struktury K. Możemy to symbolicznie zapisać jako: K = e= 1 gdzie: K e - macierze elementów. m K e (9.19) 30

22 Oraz rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych: K q = f (9.0) Jak już wcześniej wspomniano macierz K charakteryzuje się następującymi cechami: symetrią względem głównej przekątnej, dodatnią określonością, pasmowością, wysokim stopniem rozrzedzenia. Do rozwiązania małych zadań (setki niewiadomych) stosuje się najprostsze metody. Przy rozwiązywaniu zadań średnich (tysiące niewiadomych) stosuje się metody bezpośrednie np. metoda frontalna. Przy zagadnieniu złożonym (dziesiątki tysięcy niewiadomych) stosuje się metody iteracyjne, które są efektywniejsze od metod bezpośrednich. Metody bezpośrednie pozwalają uzyskać rozwiązanie przy skończonej liczbie operacji. Metody iteracyjne pozwalają uzyskać rozwiązanie przybliżone z pewną dokładnością. Liczba operacji jest zależna od przebiegu procesu iteracyjnego. Metody bezpośrednie stosowane najczęściej to: metoda frontalna, metoda faktoryzacji. Z kolei metody iteracyjne to: metoda Gaussa-Seidela, metoda gradientów sprzężonych. Poniżej przedstawiono opis metody frontalnej, podstawowej metody stosowanej przy rozwiązywaniu problemów związanych z modelowaniem układów typu MEMS Metoda frontalna W metodzie Gaussa kwadratową macierz K o wymiarze n n przekształca się w górną macierz trójkątną G, a wektor prawych stron f, w wektor y. 303

23 G q = y (9.1) Kolejność wykonywania przekształceń jest dla macierzy pełnych następująca: i-te równanie mnoży się przez współczynnik (k ji ) i-1 /(k ii ) i-1 i odejmuje od j-tego równania. Indeks j przyjmuje wartości i+1, i+,..., n a indeks i-1 oznacza, że współczynnik obliczany jest na podstawie wartości występujących w równaniu poprzednio przekształconym. Obliczanie niewiadomych q następuje za pomocą odwrotnego procesu Gaussa, co można zapisać: q = G 1 y (9.) W niektórych zagadnieniach statyki występuje więcej niż jeden wektor prawych stron równania Kq = f,np. kilka wariantów obciążenia rozpatrywanej konstrukcji. Podobnie w zagadnieniach niestacjonarnych gdy wektory q i f zależą od czasu t. () t f () t K q = (9.3) Powyższe równanie rozwiązuje sie rekurencyjnie po czasie t. W każdym kroku macierz K jest stała a zmienia się prawa strona równania. Przy uwzględnieniu cech macierzy układu oraz faktu, że macierz układu jest sumą macierzy elementów, praktyczna realizacja metody frontalnej polega na kilku etapach. 1. Redukcja równań, odpowiadających znanym wartościom wyrazów wektora q a. W macierzach poszczególnych elementów K e rugowane są wiersze i kolumny odpowiadające stopniom swobody, dla których poszukiwana funkcja jest znana na podstawie warunków brzegowych. Wyrugowane wyrazy są zapamiętywane a rząd macierzy K e jest redukowany. 304

24 . Obliczanie macierzy trójkątnej a. Macierz K jest pasmowa i symetryczna względem głównej przekątnej. Do wykonania eliminacji Gaussa wystarczy znać wyrazy półpasma o szerokości m. Jeżeli w procesie składania wyrazy i-tego wiersza są już w pełni utworzone to wiersz ten może być eliminowany. Przekształcenia dotyczące i-tego wiersza wykonane są na wyrazach macierzy zawierających się w obszarze zaznaczonym na zielono (rysunek poniżej) b. Zielona strefa trójkątna przesuwa się w trakcie obliczeń wzdłuż głównej przekątnej i dlatego nazywana jest frontem a metoda metodą frontalną. Najważniejszym parametrem jest szerokość półpasma. 3. Przekształcenie prawych stron a. Założenie: prawe strony równania Kq = f są określone na podstawie obciążeń zewnętrznych i znanych na brzegu wartości funkcji, odpowiednio przemnożonych przez redukowane w etapie pierwszym wyrazy macierzy. Następnie dokonuje się przekształceń prawych stron równania zgodnie z procedurą Gaussa. 4. Obliczanie niewiadomych a. Wykonując proces odwrotny procedury Gaussa obliczamy niewiadome według równania q = G 1 y (9.4) 5. Obliczanie reakcji a. W węzłach, w których dane były na podstawie warunków brzegowych wartości składowych przemieszczeń, obliczamy odpowiadające im składowe reakcji. W tym celu wykorzystuje się równania wyrugowane w etapie pierwszym. 305

25 Do najistotniejszych operacji powodujących powstawanie błędów rozwiązania należy zaliczyć: stosowane uproszczenia modelu fizycznego dotyczące geometrii obszaru, własności fizycznych, pominięcie mniej znaczących oddziaływań w procesie dyskretyzacji, aproksymację poszukiwanej funkcji wewnątrz elementów na podstawie parametrów węzłowych, zaokrąglanie liczb rzeczywistych w procesie obliczeniowym (wybór metody rozwiązania) Analiza dynamiczna Równanie ruchu modelu dyskretnego konstrukcji ma postać M q&& + C q& + K q = f (9.5) gdzie: M - macierz bezwładności, C - macierz tłumienia, K - macierz sztywności struktury, q - wektor uogólnionych przemieszczeń węzłów modelu obliczeniowego, f - wektor sił zredukowanych do węzłów modelu. Macierze M, K oraz wektor f są określone w węzłowych układach współrzędnych poprzez sumowanie macierzy elementów. Podstawiając C = 0 oraz f = 0 do poprzedniego równania otrzymamy równanie drgań swobodnych bez tłumienia. M q& + K q = 0 (9.6) Rozwiązanie tego równania przewidujemy w postaci q = ˆ φ sin ω ( ( t t )) 0 (9.7) gdzie: φˆ - n-wymiarowy wektor określający amplitudy drgań, 306

26 ω - częstość drgań własnych. Wstawiając rozwiązanie do równania ruchu otrzymamy równanie opisujące uogólnione zagadnienie własne. K ˆ φ = ω M ˆ φ (9.8) Jego rozwiązaniem jest układ n-wartości własnych i n-wektorów własnych, ortonormalnych względem macierzy M czyli spełniających warunki: φˆ φˆ T i M j 1dlai = j = 0dlai j (9.9) ˆT dlai = j K ˆ ωi φi φ j = 0dlai j (9.30) Definiując następujące macierze: φ = [ ˆ φ, ˆ φ,..., ˆ ] 1 φ n Ω ω1 = 0 ω... 0 ω n (9.31) Można napisać równanie macierzowe: Przy czym: Kφ = MφΩ T φ Mφ = I φ T Kφ = Ω 0 ω1 ω... ωn (9.3) (9.33) Powyższe równanie można rozwiązać jedną z wielu metod bezpośrednich bądź iteracyjnych jakie można znaleźć w literaturze. 307

27 9.8. Oprogramowanie W modelowaniu układów mikromechanicznych wykorzystuje się różne programy komputerowe, które korzystają z metody elementów skończonych. Przykładem są tutaj takie programy jak ANSYS czy COVENTOR. Istnieją także inne programy, które modelują układy MEMS za pomocą równań opisujących strukturę. Do takich programów należą między innymi SUGAR, SPICE, czy programy korzystające ze standardu VHDL-AMS. W niniejszy punkcie zostaną przedstawione pokrótce opisy najpopularniejszych z nich [1],[6]-[9],[17],[0],[1],[3],[5] Pakiet obliczeniowy ANSYS Każde zadanie rozwiązywane w tym symulatorze składa się z trzech zasadniczych części: zdefiniowanie problemu w bloku preprocesora /PREP7, przeprowadzenie obliczeń w bloku /SOLUTION, analiza rozwiązania i opracowanie wyników w bloku /POST1 lub /POST6. Warto tutaj nadmienić, że program ANSYS umożliwia rozwiązanie problemu w dwojaki sposób. Pierwszym jest tryb okienkowy (GUI), gdzie za pomocą odpowiednich pozycji menu wprowadzamy model, warunki brzegowe, rodzaj analizy i rozwiązujemy zadanie. Drugim jest tzw. tryb wsadowy (BATCH), gdzie za pomocą odpowiednich komend przygotowujemy plik z zadaniem, wczytujemy go do programu ANSYS i czekamy na automatyczne rozwiązanie problemu. Każda pozycja menu, jaką wprowadzimy w trybie okienkowym ma swój odpowiednik w trybie wsadowym. Zatem omówienie najważniejszych pozycji w menu będzie polegało na przedstawieniu odpowiadających im instrukcji. Każdy etap zawiera ciąg poleceń opisujących zadanie. Polecenia ANSYS a dzielimy na 4 grupy, które działają: tylko w preprocesorze /PREP7, tylko w bloku /SOLUTION, 308

28 tylko w postprocesorze /POST1 lub /POST6, we wszystkich blokach o Polecenia typu /, o Polecenia typu *, o Polecenia selekcji, o Polecenia graficzne. Po nazwie polecenia umieszczamy argumenty oddzielone przecinkami np.: ET,1,SOLID45 lub ET,1,45 - definicja elementu bryłowego. Komentarze: /COM - komentarz dynamiczny; tekst jest drukowany w zbiorze wynikowym! - komentarz statyczny Opis zaczniemy od bloku /PREP7 zawierającego instrukcje opisujące model. Pierwszym etapem jest zdefiniowanie modelu mechanicznego. Należy tutaj podać: typy elementów, własności materiału, geometrię modelu, siatkę węzłów i elementów. Generowanie danych można uzyskać za pomocą: trybu bezpośredniego (podając numery węzłów i elementów), trybu pośredniego (podając punkty bazowe). Za pomocą punktów bazowych można zdefiniować: linie, obszary, objętości. W celu ułatwienia definicji modelu możliwe jest wprowadzenie wymiarów za pomocą parametrów. Zalety to: 309

29 łatwa modyfikacja geometrii, zagęszczanie siatki, optymalizowanie konstrukcji. Po zdefiniowaniu geometrii należy podać właściwości materiałów, jakie są wykorzystywane przy badanej konstrukcji. Po zdefiniowaniu wszystkich niezbędnych danych ostatnim etapem jest generacja siatki elementów dyskretnych za pomocą poleceń xmesh, gdzie x może być równy K, L, A, V. Kolejnym blokiem jest blok /SOLUTION, w którym definiujemy rodzaj analizy, warunki brzegowe oraz rozwiązujemy zadanie. Zawiera on polecenia określające między innymi: typ analizy, obciążenia, warunki brzegowe. W ostatnim bloku /POST1 lub /POST6 są zawarte instrukcje odpowiedzialne za prezentacje wyników obliczeń. Mogą to być np.: wyświetlenie rozwiązania dla węzłów konstrukcji (NODAL SOLUTION), dla elementów (ELEMENT SOLUTION). Można także zdefiniować różnego rodzaju wykresy, prezentujące zmiany np. w zwierciadle krzemowym, zależność wychylenia od przyłożonego napięcia. W bardzo dużym skrócie zostało tutaj przedstawione zagadnienie rozwiązania problemu przy pomocy programu ANSYS. Dokładniejszy opis programu i jego komend można znaleźć w tutorialu bądź innych opracowaniach zamieszczonych w źródłach niniejszego opracowania Pakiet obliczeniowy SUGAR Innym rodzajem programu, służącego do modelowania układów MEMS jest program SUGAR [17]. Jest to tzw. nakładka do programu MATLAB, w którym to są głównie przeprowadzane obliczenia. W bardzo dużym skrócie program umożliwia symulację układów mikromechanicznych za pomocą elementów bibliotecznych: 310

30 Anchor, Beam,. Jego składnia podobna jest do składni SPICE a. Umożliwia on przeprowadzenie następujących analiz: statycznej, czasowej, modalnej. Zadanie polega na napisaniu pliku zawierającego listę połączeń (netlist) opisujących konstrukcje MEMS. Podstawowe cechy net listy to: możliwość stosowania wyrażeń logicznych i arytmetycznych, stosowanie rotacji w celu poprawnego modelowania 3D, instrukcje: o use, o addpath, o node, o element, o material, o subnet. zmienne, tablice, warunki. Prosty przykład pliku zawierającego listę połączeń wygląda następująco: use( mumps.net ) use( std.lib ) anchor {node substrate ; material=p1, l=10u, w=10u, oz=180} 311

31 beam3d {node substrate, node A ; material=p1, l=100u, w=10u} beam3d {node A, node B ; material=p1, l=50u, w=5u, oz=45} beam3d {node A, node C ; material=p1, l=50u, w=5u, oz=- 45} beam3d {node C, node D ; material=p1, l=50u, w=5u, oz=- 45} f3d {node D ; M=1n} Plik uruchomieniowy w mat labie będzie zawierał natomiast ciąg instrukcji umożliwiających przeprowadzenie analizy problemu: net = cho_load( multibeam.net ); dq = cho_dc(net); figure(1); cho_display(net); figure(); cho_display(net,dq); Dokładny opis programu zawiera dokument SUGAR User s Guide Podsumowanie W niniejszym opracowaniu autorzy starali się zawrzeć najważniejsze wiadomości, jakie są niezbędne przy modelowaniu układów mikromaszynowych. Przedstawiono pokrótce najważniejsze zagadnienia związane z mechaniką konstrukcji, z przepływem płynów. Opisano też najważniejsze zagadnienia dotyczące metody elementów skończonych, która jest podstawową metodą wykorzystywaną przy obliczaniu wytrzymałości konstrukcji. Ze względu na rozmiar opracowania autorzy zachęcają do pogłębienia wiedzy poprzez uważna lekturę wybranych pozycji znajdujących się w źródłach do niniejszego opracowania. 31

32 9.10. Literatura [1] ANSYS Tutorial [] Dacko M., Borkowski W., Dobrociński S., Niezgoda T., Wieczorek M.: Metoda Elementów Skończonych w mechanice konstrukcji, Arkady, Warszawa 1994 [3] Dziuban J.A.: Technologia i zastosowanie mikromechanicznych struktur krzemowych i krzemowo-szklanych w technice mikrosystemów, Wydawnictwa Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 00 [4] Esteve D.: Basic Research for Microsystems Integration - BARMINT, Final Report, Toulouse, France 1998 [5] Gad-el-Hak M.: The MEMS Handbook, CRC Press, USA 00 [6] IEEE VHDL Analog and Mixed-Signal [7] IEEE VHDL-AMS Standard Packages (stdpkgs) [8] IEEE VHDL Math Package (math) [9] IEEE 1164 VHDL Multivalue Logic (std_logic_1164) Packages [10] Leyko J.: Mechanika ogólna, tom 1, PWN, Warszawa 1969 [11] Łaczek S.: Wprowadzenie do systemu elementów skończonych ANSYS (Ver. 5.0 i 5-ED), Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków 1999 [1] Maluf N., Williams K.: An Introduction to Microelectromechanical Systems Engineering, Artech House Inc., 004 [13] Moaveni S.: Finite Element Analysis - Theory and Application with ANSYS, Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River, New Jersey, USA 1999 [14] Napieralski A., Daniel M., Szermer M., Ślusarczyk K.: Mikromaszyny i czujniki półprzewodnikowe, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, LODART, Łódź 001 [15] Napieralski A.: Mikrosystemy zintegrowane w technologiach krzemowych, Elektronika Nr 4, 001, pp [16] Results of the IST Project SEWING: System for European Water Monitoring, Warsaw, Poland 004 [17] SUGAR User s Guide [18] Szaniawski K.: Mikromaszynowe czujniki przyspieszenia, rozprawa doktorska, PŁ, Łódź 005 [19] Sze S.M.: Semiconductor Devices - Physics and Technology, Second Edition, Wiley, USA 00 [0] [1] 313

33 [] [3] [4] [5] 314