Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 1 1/13 ĆWICZENIE 1. Sygnały i systemy dyskretne

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 1 1/13 ĆWICZENIE 1. Sygnały i systemy dyskretne"

Transkrypt

1 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie /3. Cel ćwiczenia ĆWICZENIE Sygnały i systemy dyskretne Współcześnie do przenoszenia i przetwarzania informacji używa się głównie sygnałów dyskretnych gdyż przetwarzanie sygnałów dyskretnych (z użyciem komputerów a zwłaszcza wyspecjalizowanych komputerów jakimi są procesory sygnałowe) jest bardziej efektywne niż bezpośrednia obróbka sygnałów analogowych. Systemy w których są przetwarzane sygnały dyskretne nazywają się systemami dyskretnymi. Niniejsze ćwiczenie jest poświęcone badaniu podstawowych parametrów sygnałów dyskretnych oraz systemów dyskretnych DLS (dyskretnych liniowych stałych w czasie tj. opisywanych równaniami różnicowymi liniowymi o stałych w czasie współczynnikach). 2. Wprowadzenie Sygnał dyskretny jest zdefiniowany jako ciąg liczb - próbek { [ n] } { L x x L} x x =. Badając systemy dyskretne posługujemy się następującymi testowymi sygnałami dyskretnymi: - impuls jednostkowy (delta Kroneckera) δ [] n = - skok jednostkowy dla n = dla n () dla n u [] n = (2) dla n < - funkcja rampy r [] n = n u[] n (3) - impuls prostokątny n dla n M rect = (4) 2M dla n > M - impuls trójkątny n n dla n M tri = M (5) M dla n > M

2 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 2/3 Program MATLAB daje bardzo duże możliwości modelowania sygnałów. Sygnał można przedstawić jako tablicę MATLABa lub funkcję złożoną z funkcji wbudowanych do MATLABa na przykład: a) Ciąg czterech impulsów prostokątnych trwających po trzy próbki zapiszemy jako tablicę MATLABa: { x[] n } = [ ] L = K =. b) Skok u[n]: *u. c) Sinus corporal: sinc (.2* n). d) Sinusoida rzeczywista: 3 cos( 2 pi. n + pi / 3) ; przyczynowa: 3 cos(2 pi. n + pi / 3). * u. e) Sinusoida zespolona: 2 exp( j (2 pi.5 n + pi / 6) ). f) Pseudoprzypadkowy szum gaussowski o zerowej wartości oczekiwanej i jednostkowej wariancji: randn ( 2 L + ). g) Sygnał świergotowy (ang. chirp) z liniowo zmieniającą się częstotliwością jest następującą 2 funkcją: cos( 2π f t + πµ t ). Wykres tej funkcji jest kosinusoidą o stałej amplitudzie ale kosinusoidą coraz gęstszą na osi czasu w miarę jak w funkcji czasu rośnie liniowo częstotliwość chwilowa f () t = f + µ t. W przypadku sygnału świergotowego dyskretnego o przykładowo częstotliwości chwilowej f [ n] = n będzie to następująca funkcja MATLABa: cos( 2 pi. 5 n + pi.5 n. n). Wykres tego sygnału świergotowego pokazano na rys.. Z wykresu można oszacować częstotliwość chwilową. Na przykład w chwili czasu t = częstotliwość chwilowa powinna mieć wartość.5 = 2. I rzeczywiście na wykresie jeden okres przebiegu wokół zera wynosi około 2. Rys.. Sygnał świergotowy [ ] ( ) h) Sygnał z modulacją amplitudy AM ma postać następującej funkcji A+ ms() t cos 2πf t. Jest to kosinusoidalna fala nośna o częstotliwości z obwiednią zmieniającą się wokół amplitudy A w takt sygnału modulującego s t na głębokość równą współczynnikowi głębokości modulacji < m (często wyrażanemu w procentach). Oglądając wykres sygnału AM łatwo można określić wartość współczynnika głębokości f ( )

3 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 3/3 modulacji m dzieląc różnicę maksimum i minimum obwiedni przez 2A. Sygnał AM jest demodulowany synchronicznie poprzez pomnożenie przez falę nośną A A π 2 (6) 2 [ + ms() t ] cos( 2 f ) cos( 2πf ) = [ + ms() t + ms() t cos( 2π 2 f ) + cos( 2π f )] i odfiltrowanie składowej.5ams() t. Przykładem sygnału dyskretnego AM jest następujący sygnał przedstawiony jako funkcja MATLABa: ( +.75 cos(. n )). cos(. 5 n). Sygnałem modulującym jest kosinusoida o częstotliwości znacznie mniejszej niż częstotliwość fali nośnej a głębokość modulacji wynosi 75 %. Na rys. 2 pokazano sygnał z modulacją AM i postać sygnału w demodulatorze synchronicznym. Rys. 2. Modulacja AM: a) sygnał z modulacją AM; b) sygnał w demodulatorze h) Sygnał z modulacją częstotliwości FM ma postać następującej funkcji cos[ 2πf t + 2π f s() t dt]. Jest to kosinusoida o stałej amplitudzie i częstotliwości chwilowej () t f + f s() t f = zmieniającej się wokół częstotliwości fali nośnej f z dewiacją częstotliwości f w takt sygnału modulującego s ( t). Jeżeli sygnał modulujący jest kosinusoidalny s () t = cos( 2πf m t) z f m << f to sygnał FM ma postać następującą cos[ 2πf t + β sin( 2πf m t) ] gdzie parametr β = f f m nazywa się indeksem modulacji FM. Sygnał FM jest demodulowany poprzez różniczkowanie (dla sygnału dyskretnego odpowiednikiem różniczkowania będzie różnica wsteczna) d dt [ 2πf t 2π f s() t dt] = 2πf () t sin 2πf t + 2π f s() t [ ] cos + dt (7)

4 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 4/3 które doprowadza do powstania sygnału AM-FM z obwiednią zmieniającą się w takt sygnału modulującego f t f + f s t. Z tego sygnału AM-FM można odzyskać sygnał s( t) () () = modulujący w taki sam sposób jak to miało miejsce powyżej dla sygnału AM. Przykładem sygnału dyskretnego FM jest następujący sygnał przedstawiony jako funkcja MATLABa: cos(.4 n + 2 *sin(. * n))). Sygnałem modulującym jest kosinusoida cos(.* n ) a indeks modulacji ma wartość β = 2. Wykres sygnału FM i sygnału AM-FM w demodulatorze pokazano na rys. 3 (zamiast funkcji diff bierzemy w interfejsie graficznym różnicę wsteczną). Rys. 3. Modulacja FM: a) sygnał FM; b) sygnał AM-FM w demodulatorze Sygnały dyskretne będziemy badali posługując się interfejsem graficznym sygndys. Okno tego interfejsu pokazano na rys. 4. Badany sygnał dyskretny wybieramy z zagłębionego (rozwijanego) menu gdzie mamy do wyboru takie sygnały jak: delta Kroneckera skok jednostkowy rampa prostokąt trójkąt MATLAB. W przypadku wybrania sygnału MATLAB automatycznie otwiera się pole edycyjne. W polu edycyjnym można wpisać tablicę MATLABa lub funkcję MATLABa w której może wystąpić nazwa n (zmienna n = L :: L ) nazwa L (zakres zmienności) nazwa u (skok jednostkowy u [] n ). Dla zaakceptowanego przyciskiem Enter sygnału są obliczane takie jego parametry jak: suma suma bezwzględna energia. Długość sygnału można regulować zmieniając suwakiem zmienną L = lub wpisując wartość L w polu edycyjnym obok suwaka. Można dokonać zawinięcia i (lub) sprzężenia sygnału. Na sześciu wykresach zostają wykreślone: sygnał x n (część rzeczywista sygnału to niebieskie o a część urojona to czerwone x ) []

5 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 5/3 część parzysta sygnału x e [] n część nieparzysta sygnału [ n] akumulata n autokorelacja l. S [] [] r xx x o różnica wsteczna [ n] D Rys. 4. Okno interfejsu graficznego sygndys Przykład. Informatycy mają najczęściej do czynienia z gotowymi sygnałami dyskretnymi (taką postać mają dane w dziedzinie ekonomii bankowości statystyki). Dla informatyka sygnał jest wektorem lub macierzą. Z takim sygnałem będziemy mieli do czynienia w tym przykładzie. Zamodelujemy przepływ towaru w sztukach przez magazyn w ciągu 6 dni. Przy zerowym stanie początkowym do magazynu wpłynęło na początek sztuk w następnych dwóch dniach ubyło 28 sztuk i 32 sztuki w następnym dniu wpłynęło sztuk w następnych dwóch dniach ubyło 53 sztuki i 7 sztuk. Informacja o przepływie towaru jest []} n = { } =23 zawarta w sygnale { x n 4 5 który w interfejsie graficznym sygndys zostanie wpisany jako tablica MATLABa: ; L = 5 (tak jak to pokazano na rys. 4). Stan końcowy magazynu to suma próbek równa 8. Liczba sztuk towaru która przeszła przez magazyn świadczy o wielkości obciążenia pracą personelu i równa się sumie bezwzględnej próbek wynoszącej tutaj 32. Zmiany stanu magazynu w kolejnych dniach oddaje wykres akumulaty { S n } = { a szybkość zmian stanu magazynu oddaje wykres [] } n= 2345 { [ n] } = { } różnicy wstecznej D 28 n=. Akumulata nie może tutaj przyjąć wartości ujemnej gdyż oznaczałoby to pobranie z magazynu towaru którego tam nie było. Ostatnia próbka akumulaty ma wartość równą sumie próbek sygnału.

6 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 6/3 Składowa parzysta i nieparzysta sygnału x[ n] = x [ n] x [ n] oraz autokorelacja [ l] to odpowiednio: e + o r xx { xe[] n } = { } { xo [] n } = { } { r [] l } = { } xx Te wyniki nie mają jednak swojej praktycznej interpretacji w tym przykładzie. Podobnie nie ma w tym przykładzie interpretacji energia sygnału równa tutaj E x = chociaż warto zauważyć że zgodnie z teorią równa się ona wartości funkcji autokorelacji w zerze E =. Obliczając ręcznie autokorelację najwygodniej jest posłużyć się mnożeniem w x r xx [] słupku współczynników x i i współczynników x i zapisanych w odwrotnej kolejności. Przykład 2. Zbadamy właściwości dyskretnego sygnału sinusoidalnego x [] n = sin( 2 * pi *.5* n). Przy długości L = 3 wyniki obliczeń uzyskane przy pomocy interfejsu graficznego sygndys są takie jak na rys. 5. Rys. 5. Wyniki obliczeń dla sygnału sinusoidalnego Wartość średnia sygnału równa się sumie wartości próbek podzielonej przez liczbę próbek. Dla sinusoidy powinna to być wartość. W tym przykładzie uzyskano wartość e 7 8. Wartość średnią obliczono dla wycinka sinusoidy składającego się z

7 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7/3 trzech okresów ale pozostaje ona słuszna dla pełnej sinusoidy gdyż pełna sinusoida powstaje poprzez okresowe powtarzanie wycinka sinusoidy. Energia sygnału podzielona przez czas trwania sygnału (liczba próbek minus jeden) 2 daje wartość skuteczną sinusoidy podniesioną do kwadratu 3 6 = ( 2). Wartość skuteczną obliczono dla wycinka sinusoidy wybranego tak że pełna sinusoida powstaje poprzez okresowe powtarzanie wycinka sinusoidy (najkrótszy wycinek sinusoidy jaki można było tutaj wybrać to pół okresu sinusoidy). Sinusoida jest funkcją nieparzystą a więc jej część parzysta oczywiście równa się zeru (rozkład sygnału parzystego lub nieparzystego na część parzystą i nieparzystą nie ma sensu). Pierwsza pochodna sygnału sinusoidalnego jest kosinusoidą d[ sin( 2π.5n) ] dn =.π cos(2π.5n) i taką właśnie postać ma różnica wsteczna D [ n] pokazana na rys. 5. Całka sygnału sinusoidalnego równa się kosinusoidzie wziętej ze znakiem minus sin( 2π.5n ) dn = cos( 2π. 5n) + C i taką właśnie postać ma akumulata S[] n (ze.π stałą C = ). Funkcja autokorelacji ma w zerze wartość równą energii sygnału E r [] = 3. r xx [] l [ ] Autokorelacja jest miarą podobieństwa sygnału x n do siebie samego przy przesunięciu o l. Oczywiście najbardziej są podobne do siebie sygnał i sygnał przesunięty przy zerowym przesunięciu l = (są wtedy identyczne) i parzysta funkcja autokorelacji osiąga w zerze maksimum. Jeżeli jednak sygnał x n jest okresowy z okresem T to maksima funkcji autokorelacji będą się także powtarzały z okresem T. W naszym przykładzie sinusoida ma okres T = f = 2 i z takim też okresem powtarzają się maksima funkcji autokorelacji. Maksima mają malejące wartości gdyż nie jest badana pełna sinusoida ale sinusoida obcięta do trzech okresów. Sygnały dyskretne są przetwarzane w systemach dyskretnych. Najłatwiej jest opisać system dyskretny podając jego równanie różnicowe. System dyskretny liniowy stały w czasie (DLS) z sygnałem wejściowym x [ n] i sygnałem wyjściowym y[] n ma równanie różnicowe liniowe ze stałymi współczynnikami o następującej postaci (opartej na różnicach wstecznych) [] n + a y[ n ] + K + a y[ n N] = b x[ n] + b x[ n ] + K + b x[ n M ] a y a (8) N Równanie to rozwiązuje się przy zadanych warunkach początkowych y[ ] y[ 2] K y[ N ] np. metodą rekurencyjną dla n = 2 K. Parametr N jest rzędem równania różnicowego. Metoda rekurencyjna rozwiązania równania różnicowego (8) polega y n z poniższej zależności na rekurencyjnym wyznaczaniu kolejnych wartości próbek [ ] y a a N M [] n = y[ n ] + y[ n N ] + x[] n + x[ n ] + K + x[ n M ] [ ] M x = xx K a b b b a a a a n = 2 K (9)

8 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 8/3 W trakcie obliczeń indeksy rosną od w górę czyli n = 2 K gdyż z założenia system jest systemem przyczynowym. W przypadku systemu nieprzyczynowego należałoby jeszcze wykonać obliczenia dla indeksów ujemnych w porządku malejącym n = 2 K. W badaniach systemów DLS wykorzystamy interfejs graficzny systdys. Wygląd okna tego interfejsu pokazano na rys. 6. Przyczynowe pobudzenie x[ n] wybieramy z zagłębionego menu: delta skok rampa prostokąt trójkąt MATLAB. Po wybraniu opcji MATLAB pojawia się pole edycyjne w którym można wpisać tablicę MATLABa lub funkcję MATLABa w której może wystąpić nazwa zmiennej n ( N n L ) nazwa L ( L ) nazwa u (skok jednostkowy u [ n] ). Długość sygnału jest zmieniana suwakiem w zakresie L = lub wpisywana w pole edycyjne. System opisujemy wpisując w trzech polach edycyjnych odpowiednio: współczynniki a a K równania różnicowego (współczynnik musi być różny od zera) współczynniki b b równania a an [ ] [ ] [ ] K różnicowego warunki początkowe y y 2 L y N (jeżeli wpisano zbyt mało warunków początkowych to zostaną one automatycznie uzupełnione zerami a jeżeli wpisano zbyt dużo warunków początkowych to nadmiarowe zostaną odrzucone). Na czterech wykresach zostają wykreślone kolejno: pobudzenie x [ n] (część rzeczywista sygnału jest wykreślona niebieskimi symbolami o a część urojona sygnału jest wykreślona czerwonymi y n y n + n y w n symbolami x ) odpowiedź całkowita [ ] = w[ ] y s [ ] odpowiedź wymuszona [ ] y s [] n h[] n odpowiedź swobodna. Aby otrzymać odpowiedź impulsową należy zadać pobudzenie delta przy zerowych warunkach początkowych. Aby otrzymać odpowiedź skokową g [n] należy zadać pobudzenie skok przy zerowych warunkach początkowych. b M Rys. 6. Okno interfejsu graficznego systdys

9 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 9/3 Przykład 3. Jest dany system DLS rzędu N = 2 opisany równaniem różnicowym (z zadanymi różnymi od zera warunkami początkowymi) [] n.25y[ n 2] = x[] n +.5x[ n ] y[ ] = y[ 2] = 2 y () pobudzony sygnałem { x[] n } = { } n= 2. Obliczona rekurencyjnie z równania różnicowego odpowiedź całkowita systemu jest następująca { y[] n } 3 = K n= 2 K () Obliczone rekurencyjnie odpowiedź wymuszona i swobodna to odpowiednio yw n = K (2) { []} n= 2 K { y s [] n } = L n= 2 K (3) Jak widać zgodnie z przewidywaniami teoretycznymi odpowiedź całkowita równa się sumie odpowiedzi własnej i swobodnej. Obliczone rekurencyjnie odpowiedzi impulsowa i skokowa to odpowiednio h = K (4) { [] n } { [] n } n= 2 K g = K (5) n= 2 K Widzimy że zgodnie z przewidywaniami teoretycznymi odpowiedź impulsowa równa się różnicy wstecznej odpowiedzi skokowej odpowiedź skokowa równa się akumulacie odpowiedzi impulsowej a próbki o indeksie są sobie równe h [ ] = g[ ] =. System jest BIBO stabilny gdyż jego odpowiedź impulsowa zmierza wykładniczo do zera a więc w przypadku systemu DLS jest bezwzględnie sumowalna. Wyniki obliczeń komputerowych (rys. 6) potwierdzają poprawność obliczeń ręcznych. Wyniki te uzyskano wprowadzając do interfejsu graficznego systdys pobudzenie MATLAB - L = 8 współczynniki równania różnicowego A=-.25 współczynniki równania różnicowego B=.5 warunki początkowe 2. Przykład 4. W tym przykładzie przeanalizujemy system dyskretny bankowy. Klient ma konto bankowe o bieżącym stanie y [ n] z miesięczną stopą procentową % ( r =.) na które wpłaca co miesiąc depozyt lub wybiera pieniądze (przykładowo wpłaca co miesiąc 2 zł z wyjątkiem czwartego miesiąca kiedy zamiast wpłaty wypłacono 5 zł). Schemat

10 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie /3 blokowy systemu oszczędzania i jego równanie różnicowe pokazano na rys. 7. Wyniki obliczeń komputerowych uzyskane z użyciem interfejsu graficznego systdys są takie jak na rys. 8. Należy zwrócić uwagę że system jest niestabilny (przy n oszczędności rosną liniowo do nieskończoności nie wykreślona tutaj odpowiedź impulsowa nie jest bezwzględnie sumowalna). Trzeba jednak pamiętać że system modeluje tylko nominalną wartość oszczędności. Aby modelować wartość realną oszczędności należałoby rozbudować model systemu i uwzględnić w nim wszystkie mechanizmy rządzące rynkiem jak inflacja dewaluacja itp. x[] n = 2u[] n 7δ [ n 3] y[ n] = x[ n] + ( + r) y[ n ] + r y[ n ] Opóźnienie T= miesiąc Rys. 7. Schemat blokowy systemu gromadzenia oszczędności Rys. 8. Wyniki obliczeń dla systemu gromadzenia oszczędności

11 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie /3 3. Wykonanie ćwiczenia. Zamodeluj dowolny praktyczny sygnał niosący informację dyskretną. Może to być sygnał podobny do sygnału w przykładzie z przepływem towaru przez magazyn. Inny przykład to modelowanie przepływu pieniędzy na koncie bankowym w kolejnych miesiącach. Przy zerowym początkowym stanie konta na początku wpłynęło 5 zł w następnych dwóch miesiącach wpłynęło po 3 zł w kolejnych dwóch miesiącach wypłacono 2 zł i 7 zł a w następnych trzech miesiącach wpłynęło 4 zł zł i 2zł. Zastosuj interfejs graficzny sygndys. Odrysuj sygnał. Przepisz te wartości parametrów i przerysuj te wyniki operacji na sygnale którym jesteś w stanie nadać praktyczną interpretację. 2. Wybierz dowolny sygnał dyskretny którego próbki nie muszą mieć praktycznego znaczenia ale dla którego jesteś w stanie zinterpretować dostatecznie wiele parametrów i wyników operacji na sygnale (jak w przykładzie 2). Zastosuj interfejs graficzny sygndys. Odrysuj sygnał. Przepisz te wartości parametrów i przerysuj te wyniki operacji na sygnale które jesteś w stanie zinterpretować. 3. Wybierz sygnał świergotowy lub sygnał z modulacją AM lub sygnał z modulacją FM. Zamodeluj sygnał w interfejsie graficznym sygndys. Przerysuj sygnał. Przepisz te wartości parametrów i przerysuj te wyniki operacji na sygnale które jesteś w stanie zinterpretować (m.in. oszacuj wartości średnią i skuteczną sygnału). W przypadku sygnału świergotowego oszacuj częstotliwość chwilową na początku i końcu sygnału (licząc próbki od jednego przejścia sygnału przez zero do drugiego przejścia przez zero) i porównaj z teoretycznymi wartościami częstotliwości chwilowych f ( t) = f + µ t. W przypadku sygnału AM lub FM przeprowadź demodulację. 4. Wybierz dowolne równanie różnicowe systemu DLS z przyczynowym pobudzeniem (podobne do tego z przykładu 3 może to być np. równanie z zadania egzaminacyjnego). Przeanalizuj system za pomocą interfejsu graficznego systdys. Pokaż że wyniki obliczeń komputerowych są takie same jak obliczeń ręcznych. 5. Wybierz dowolny praktyczny system DLS (podobnie jak w przykładzie 4). Przykładem takiego systemu dyskretnego jest system sprzedaży skryptu. Uczelnia przyjmuje każdego roku studentów na I rok studiów. Każdy student musi mieć skrypt z matematyki. Studenci ci rocznie kupują y[] n nowych skryptów oraz odkupują część używanych skryptów od starszych kolegów. Średnio jedna czwarta studentów odsprzedaje używane skrypty na koniec roku. Trwałość skryptu jest taka że może on być używany tylko trzykrotnie (może być odsprzedany dwukrotnie). Schemat blokowy systemu sprzedaży skryptu i jego równanie różnicowe pokazano na rys. 9. Ten system jest systemem stabilnym i nakład skryptu stabilizuje się na określonym poziomie ok. 762 która to wartość będzie jednym z wyników analizy.

12 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 2/3 [] n = u[] n x n 4 Opóźnienie T= rok y + 6 [] = y[ n ] y[ n 2] x[ n] y [ n ] Opóźnienie y[ n 2] T= rok 4 6 Rys. 9. Schemat blokowy systemu sprzedaży skryptu Przeanalizuj system za pomocą interfejsu graficznego systdys. Pokaż że wyniki obliczeń komputerowych są takie same jak obliczeń ręcznych. 4. Zadania testowe na wejściówki i sprawdziany. Kasjerka rozpoczyna pracę mając w kasie x [ ] = zł. Kolejni klienci wpłacają lub pobierają pieniądze: x [ ] = 2 zł x [ 2] = 5 zł x [ 3] = 3 zł x [ 4 ] = zł (dalej zera przerwa śniadaniowa). a) Wykreśl część parzystą i nieparzystą sygnału przesuniętego y[] n = x[ n +]. Czy y n y n y n? Czy jest prawdą że y n = y n y n? [] + o [] [] [ ] e[ ] o [ ] D [] n S [ n] sygnału x [ n] e = b) Wykreśl różnicę wsteczną i akumulatę. Zinterpretuj wykresy. Kiedy w kasie było najwięcej a kiedy najmniej pieniędzy? c) Oblicz sumę sumę bezwzględną energię sygnału x [ n]. Ile ostatecznie było pieniędzy w kasie i ile pieniędzy przeszło przez ręce kasjerki? r l. Jakie są właściwości tej funkcji? Jakie jest r l? d) Wykreśl funkcję autokorelacji [ ] xx 2. Wykreśl sygnał nieprzyczynowy { x[ n] } = { + j + 2j3 + 3 j j} 2. Oblicz i wykreśl: część symetryczną i antysymetryczną sprzężoną sygnału różnicę wsteczną akumulatę funkcję autokorelacji. Oblicz sumę sumę bezwzględną energię wartość średnią wartość skuteczną sygnału przedłużonego okresowo. 3. Jest dany przyczynowy system DLS rzędu N = 2 opisany równaniem różnicowym (z zadanymi różnymi od zera warunkami początkowymi) y [] n 5y[ n 2] = x[] n y[ ] = 2 y[ 2] = 2 z pobudzeniem { [] n } = { 2} n x. Oblicz rekurencyjnie i narysuj odpowiedzi: wymuszoną = swobodną całkowitą impulsową skokową. Narysuj schemat blokowy systemu. 4. Pracownik pobiera w fabryce części do zmontowania odbiorników radiowych dziennie. Po dwóch dniach kontrola techniczna zwraca mu do ponownego zmontowania % odbiorników radiowych a i spośród tych naprawionych odbiorników następnego dnia wraca do poprawki 5% odbiorników radiowych. Na jakim poziomie ustabilizuje się liczba odbiorników radiowych przechodzących dziennie przez ręce pracownika? yy []

13 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 3/3 [] n = u[] n x y + 2 [] n = y[ n 2] + y[ n 3] x[ n] Opóźnienie T = 2 dni y [ n 2] y[ n 3] Opóźnienie T = dzień 2 Rys.. Schemat blokowy systemu montażu odbiorników radiowych

Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZENIE 7. Splot liniowy i kołowy sygnałów

Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZENIE 7. Splot liniowy i kołowy sygnałów Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZEIE 7 Splot liniowy i kołowy sygnałów 1. Cel ćwiczenia Operacja splotu jest jedną z najczęściej wykonywanych operacji na sygnale. Każde przejście

Bardziej szczegółowo

Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 6 1/8 ĆWICZENIE 6. Dyskretne przekształcenie Fouriera DFT

Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 6 1/8 ĆWICZENIE 6. Dyskretne przekształcenie Fouriera DFT Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 6 1/8 ĆWICZEIE 6 Dyskretne przekształcenie Fouriera DFT 1. Cel ćwiczenia Dyskretne przekształcenie Fouriera ( w skrócie oznaczane jako DFT z ang. Discrete Fourier

Bardziej szczegółowo

Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 9 1/5 ĆWICZENIE 9. Kwantowanie sygnałów

Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 9 1/5 ĆWICZENIE 9. Kwantowanie sygnałów Andrzej Leśnicki Laboratorium CP Ćwiczenie 9 1/5 ĆWICZEIE 9 Kwantowanie sygnałów 1. Cel ćwiczenia ygnał przesyłany w cyfrowym torze transmisyjnym lub przetwarzany w komputerze (procesorze sygnałowym) musi

Bardziej szczegółowo

f = 2 śr MODULACJE

f = 2 śr MODULACJE 5. MODULACJE 5.1. Wstęp Modulacja polega na odzwierciedleniu przebiegu sygnału oryginalnego przez zmianę jednego z parametrów fali nośnej. Przyczyny stosowania modulacji: 1. Umożliwienie wydajnego wypromieniowania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Technologie informatyczne Wprowadzenie do Simulinka w środowisku MATLAB Pytania i zadania do ćwiczeń laboratoryjnych

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI)

Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) 1. Filtracja cyfrowa podstawowe

Bardziej szczegółowo

10. Demodulatory synchroniczne z fazową pętlą sprzężenia zwrotnego

10. Demodulatory synchroniczne z fazową pętlą sprzężenia zwrotnego 102 10. Demodulatory synchroniczne z fazową pętlą sprzężenia zwrotnego Cele ćwiczenia Badanie właściwości pętli fazowej. Badanie układu Costasa do odtwarzania nośnej sygnału AM-SC. Badanie układu Costasa

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

SYMULACJA KOMPUTEROWA SYSTEMÓW

SYMULACJA KOMPUTEROWA SYSTEMÓW SYMULACJA KOMPUTEROWA SYSTEMÓW ZASADY ZALICZENIA I TEMATY PROJEKTÓW Rok akademicki 2015 / 2016 Spośród zaproponowanych poniżej tematów projektowych należy wybrać jeden i zrealizować go korzystając albo

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych Ćwiczenie 1 Wydobywanie sygnałów z szumu z wykorzystaniem uśredniania Opracowali: - prof. nzw. dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński - mgr inż. Tomasz Kubik

Bardziej szczegółowo

Przebieg sygnału w czasie Y(fL

Przebieg sygnału w czasie Y(fL 12.3. y y to układy elektroniczne, które przetwarzają energię źródła przebiegu stałego na energię przebiegu zmiennego wyjściowego (impulsowego lub okresowego). W zależności od kształtu wytwarzanego przebiegu

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 6 Transmitancje operatorowe, charakterystyki częstotliwościowe układów aktywnych pierwszego, drugiego i wyższych rzędów

ĆWICZENIE 6 Transmitancje operatorowe, charakterystyki częstotliwościowe układów aktywnych pierwszego, drugiego i wyższych rzędów ĆWICZENIE 6 Transmitancje operatorowe, charakterystyki częstotliwościowe układów aktywnych pierwszego, drugiego i wyższych rzędów. Cel ćwiczenia Badanie układów pierwszego rzędu różniczkującego, całkującego

Bardziej szczegółowo

ANALIZA HARMONICZNA DŹWIĘKU SKŁADANIE DRGAŃ AKUSTYCZNYCH DUDNIENIA.

ANALIZA HARMONICZNA DŹWIĘKU SKŁADANIE DRGAŃ AKUSTYCZNYCH DUDNIENIA. ĆWICZENIE NR 15 ANALIZA HARMONICZNA DŹWIĘKU SKŁADANIE DRGAŃ AKUSYCZNYCH DUDNIENIA. I. Cel ćwiczenia. Celem ćwiczenia było poznanie podstawowych pojęć związanych z analizą harmoniczną dźwięku jako fali

Bardziej szczegółowo

(1.1) gdzie: - f = f 2 f 1 - bezwzględna szerokość pasma, f śr = (f 2 + f 1 )/2 częstotliwość środkowa.

(1.1) gdzie: - f = f 2 f 1 - bezwzględna szerokość pasma, f śr = (f 2 + f 1 )/2 częstotliwość środkowa. MODULACJE ANALOGOWE 1. Wstęp Do przesyłania sygnału drogą radiową stosuje się modulację. Modulacja polega na odzwierciedleniu przebiegu sygnału oryginalnego przez zmianę jednego z parametrów fali nośnej.

Bardziej szczegółowo

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0,

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0, Bierne obwody RC. Filtr dolnoprzepustowy. Filtr dolnoprzepustowy jest układem przenoszącym sygnały o małej częstotliwości bez zmian, a powodującym tłumienie i opóźnienie fazy sygnałów o większych częstotliwościach.

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM Sygnałów, Modulacji i Systemów ĆWICZENIE 2: Modulacje analogowe

LABORATORIUM Sygnałów, Modulacji i Systemów ĆWICZENIE 2: Modulacje analogowe Protokół ćwiczenia 2 LABORATORIUM Sygnałów, Modulacji i Systemów Zespół data: ĆWICZENIE 2: Modulacje analogowe Imię i Nazwisko: 1.... 2.... ocena: Modulacja AM 1. Zestawić układ pomiarowy do badań modulacji

Bardziej szczegółowo

dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311

dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311 dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 3 Politechnika Gdaoska, 20 r. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach

Bardziej szczegółowo

Analiza zależności liniowych

Analiza zależności liniowych Narzędzie do ustalenia, które zmienne są ważne dla Inwestora Analiza zależności liniowych Identyfikuje siłę i kierunek powiązania pomiędzy zmiennymi Umożliwia wybór zmiennych wpływających na giełdę Ustala

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie podstawowym dla uczniów technikum część II Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie

Bardziej szczegółowo

Sposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania

Sposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania Sposoby modelowania układów dynamicznych Co to jest model dynamiczny? PAScz4 Modelowanie, analiza i synteza układów automatyki samochodowej równania różniczkowe, różnicowe, równania równowagi sił, momentów,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

PREZENTACJA MODULACJI AM W PROGRAMIE MATHCAD

PREZENTACJA MODULACJI AM W PROGRAMIE MATHCAD POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 80 Electrical Engineering 2014 Jakub PĘKSIŃSKI* Grzegorz MIKOŁAJCZAK* PREZENTACJA MODULACJI W PROGRIE MATHCAD W artykule przedstawiono dydaktyczną

Bardziej szczegółowo

Politechnika Warszawska Wydział Elektryczny Laboratorium Teletechniki

Politechnika Warszawska Wydział Elektryczny Laboratorium Teletechniki Politechnika Warszawska Wydział Elektryczny Laboratorium Teletechniki Skrypt do ćwiczenia T.09 Określenie procentu modulacji sygnału zmodulowanego AM 1. Określenie procentu modulacji sygnału zmodulowanego

Bardziej szczegółowo

CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera)

CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera) I. Wprowadzenie do ćwiczenia CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera) Ogólnie termin przetwarzanie sygnałów odnosi się do nauki analizowania zmiennych w czasie procesów fizycznych.

Bardziej szczegółowo

Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych ( )

Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych ( ) Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych Równanie różniczkowe jest to równanie, w którym występuje pochodna (czyli różniczka). Przykładem najprostszego równania różniczkowego może być: y ' = 2x które

Bardziej szczegółowo

Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.

Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie

Bardziej szczegółowo

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem: PPS 2 kartkówka 1 RÓWNANIE RÓŻNICOWE Jest to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Równania różnicowe to pewne związki rekurencyjne określające w sposób niebezpośredni wartość danego wyrazu ciągu.

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa V. Ciągi

Matematyka podstawowa V. Ciągi Matematyka podstawowa V Ciągi Teoria ciąg arytmetyczny - pierwszy wyraz ciągu - różnica Kolejny wyraz ciągu arytmetycznego powstaje przez dodanie do poprzedniego różnicy. = + Np. =2,=3 :2,5,8,11 = 4,=2

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa - podsumowanie

Funkcja liniowa - podsumowanie Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych

Bardziej szczegółowo

Temat ćwiczenia. Analiza częstotliwościowa

Temat ćwiczenia. Analiza częstotliwościowa POLIECHNIKA ŚLĄSKA W YDZIAŁ RANSPORU emat ćwiczenia Analiza częstotliwościowa Analiza częstotliwościowa sygnałów. Wprowadzenie Analizę częstotliwościową stosuje się powszechnie w wielu dziedzinach techniki.

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach. WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się

Bardziej szczegółowo

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET

ZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET CPS - - ZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET Rozwiązywanie równań różnicowych Dyskretny system liniowy-stacjonarny można opisać równaniem różnicowym w postaci ogólnej N M aky[ n k] bkx[ n k] k k Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 3 notatki

Zajęcia nr. 3 notatki Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty

Bardziej szczegółowo

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1-

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1- Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1- Filtry cyfrowe cz. Zastosowanie funkcji okien do projektowania filtrów SOI Nierównomierności charakterystyki amplitudowej filtru cyfrowego typu SOI można

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

WZMACNIACZ OPERACYJNY

WZMACNIACZ OPERACYJNY 1. OPIS WKŁADKI DA 01A WZMACNIACZ OPERACYJNY Wkładka DA01A zawiera wzmacniacz operacyjny A 71 oraz zestaw zacisków, które umożliwiają dołączenie elementów zewnętrznych: rezystorów, kondensatorów i zwór.

Bardziej szczegółowo

Wykład Drgania elektromagnetyczne Wstęp Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu

Wykład Drgania elektromagnetyczne Wstęp Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu Wykład 7 7. Drgania elektromagnetyczne Wstęp Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu M d x kx Rozwiązania x = Acost v = dx/ =-Asint a = d x/ = A cost przy warunku = (k/m) 1/. Obwód

Bardziej szczegółowo

1. Modulacja analogowa, 2. Modulacja cyfrowa

1. Modulacja analogowa, 2. Modulacja cyfrowa MODULACJA W16 SMK 2005-05-30 Jest operacja mnożenia. Jest procesem nakładania informacji w postaci sygnału informacyjnego m.(t) na inny przebieg o wyższej częstotliwości, nazywany falą nośną. Przyczyna

Bardziej szczegółowo

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu. ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

Badanie widma fali akustycznej

Badanie widma fali akustycznej Politechnika Łódzka FTIMS Kierunek: Informatyka rok akademicki: 00/009 sem.. grupa II Termin: 10 III 009 Nr. ćwiczenia: 1 Temat ćwiczenia: Badanie widma fali akustycznej Nr. studenta: 6 Nr. albumu: 15101

Bardziej szczegółowo

8. Realizacja projektowanie i pomiary filtrów IIR

8. Realizacja projektowanie i pomiary filtrów IIR 53 8. Realizacja projektowanie i pomiary filtrów IIR Cele ćwiczenia Realizacja na zestawie TMX320C5515 ezdsp prostych liniowych filtrów cyfrowych. Pomiary charakterystyk amplitudowych zrealizowanych filtrów

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

SPRZĘTOWA REALIZACJA FILTRÓW CYFROWYCH TYPU SOI

SPRZĘTOWA REALIZACJA FILTRÓW CYFROWYCH TYPU SOI 1 ĆWICZENIE VI SPRZĘTOWA REALIZACJA FILTRÓW CYFROWYCH TYPU SOI (00) Celem pracy jest poznanie sposobu fizycznej realizacji filtrów cyfrowych na procesorze sygnałowym firmy Texas Instruments TMS320C6711

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460 WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów PTS - laboratorium Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Ćwiczenie 4 Transformacja falkowa Opracował: - prof. dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński Zakład Inżynierii Biomedycznej Instytut Metrologii i Inżynierii

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT. Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT. Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA II rok Kierunek Transport Temat: Transmitancja operatorowa. Badanie odpowiedzi układów automatyki. Opracował

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki

Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Przetwarzanie Sygnałów Studia Podyplomowe, Automatyka i Robotyka. Wstęp teoretyczny Zmienne losowe Zmienne losowe

Bardziej szczegółowo

Skrypt 16. Ciągi: Opracowanie L6

Skrypt 16. Ciągi: Opracowanie L6 Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 16 Ciągi: 1. Ciągi liczbowe.

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Techniki ultradźwiękowej w diagnostyce medycznej

Laboratorium Techniki ultradźwiękowej w diagnostyce medycznej TUD - laboratorium Laboratorium Techniki ultradźwiękowej w diagnostyce medycznej Ćwiczenie 1 Analiza sygnałów występujących w diagnostycznej aparaturze ultradźwiękowej (rev.2) Opracowali: prof. nzw. dr

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera

Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera 1. Podstawowe właściwości przekształcenia

Bardziej szczegółowo

Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej.

Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej. Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej. Definicja 1 Jednomianem stopnia drugiego nazywamy funkcję postaci: i a 0. Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 3 BADANIE CHARAKTERYSTYK CZASOWYCH LINIOWYCH UKŁADÓW RLC. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia są pomiary i analiza

Bardziej szczegółowo

; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...

; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze... Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: "Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego"

Ćwiczenie: Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego Ćwiczenie: "Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego" Opracowane w ramach projektu: "Informatyka mój sposób na poznanie i opisanie świata realizowanego przez Warszawską Wyższą Szkołę Informatyki. Zakres

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zakres podstawowy i rozszerzony MATeMAtyka 3 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje elementarne

1 Funkcje elementarne 1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N

Bardziej szczegółowo

. Funkcja ta maleje dla ( ) Zadanie 1 str. 180 b) i c) Zadanie 2 str. 180 a) i b)

. Funkcja ta maleje dla ( ) Zadanie 1 str. 180 b) i c) Zadanie 2 str. 180 a) i b) Lekcja 1 -. Lekcja organizacyjna kontrakt diagnoza i jej omówienie Podręcznik: W. Babiański, L. Chańko, D. Ponczek Matematyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres materiału: Funkcje kwadratowe Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Lekcja 2. Pojęcie równania kwadratowego. Str Teoria 1. Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci: n

Lekcja 2. Pojęcie równania kwadratowego. Str Teoria 1. Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci: n Lekcja 1. Lekcja organizacyjna kontrakt. Podręcznik: A. Ceve, M. Krawczyk, M. Kruk, A. Magryś-Walczak, H. Nahorska Matematyka w zasadniczej szkole zawodowej. Wydawnictwo Podkowa. Zakres materiału: Równania

Bardziej szczegółowo

TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO

TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO TRYGONOMETRIA Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki między bokami i kątami trójkątów oraz tzw. funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02 Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. Liczby naturalne definicja dzielnika

Bardziej szczegółowo

Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy

Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy Przyspieszenie w ruchu jednostajnie zmiennym prostoliniowym Jest to taki ruch, w którym wektor przyspieszenia jest stały, co do wartości (niezerowej), kierunku i

Bardziej szczegółowo

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

BADANIE MODULATORÓW I DEMODULATORÓW AMPLITUDY (AM)

BADANIE MODULATORÓW I DEMODULATORÓW AMPLITUDY (AM) Zespół Szkół Technicznych w Suwałkach Pracownia Sieci Teleinformatycznych Ćwiczenie Nr 1 BADANIE MODULATORÓW I DEMODULATORÓW AMPLITUDY (AM) Opracował Sławomir Zieliński Suwałki 2010 Cel ćwiczenia Pomiar

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA PRZEDMIOT : : LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI 10. Dyskretyzacja

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie

Bardziej szczegółowo

14 Modulatory FM CELE ĆWICZEŃ PODSTAWY TEORETYCZNE Podstawy modulacji częstotliwości Dioda pojemnościowa (waraktor)

14 Modulatory FM CELE ĆWICZEŃ PODSTAWY TEORETYCZNE Podstawy modulacji częstotliwości Dioda pojemnościowa (waraktor) 14 Modulatory FM CELE ĆWICZEŃ Poznanie zasady działania i charakterystyk diody waraktorowej. Zrozumienie zasady działania oscylatora sterowanego napięciem. Poznanie budowy modulatora częstotliwości z oscylatorem

Bardziej szczegółowo

I. Funkcja liniowa WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES ROZSZERZONY

I. Funkcja liniowa WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES ROZSZERZONY I. Funkcja liniowa wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy proporcjonalnością

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

x(n) x(n-1) x(n-2) D x(n-n+1) h N-1

x(n) x(n-1) x(n-2) D x(n-n+1) h N-1 Laboratorium Układy dyskretne LTI projektowanie filtrów typu FIR Z1. apisać funkcję y = filtruj(x, h), która wyznacza sygnał y będący wynikiem filtracji sygnału x przez filtr FIR o odpowiedzi impulsowej

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z matematyki

Przykładowe zadania z matematyki Przykładowe zadania z matematyki przygotowujące do NOWEGO egzaminu maturalnego na poziomie rozszerzonym WYPEŁNIA UCZEŃ Kod ucznia Sprawdzian z matematyki na zakończenie nauki w drugiej klasie szkoły ponadgimnazjalnej.

Bardziej szczegółowo