Krystian Pera Rafał Buła Damian Mitrenga. Modele inwestycyjne

Transkrypt

1 Krystian Pera Rafał Buła Damian Mitrenga Modele inwestycyjne F I N A N S E

2 Modele inwestycyjne

3 F I N A N S E Autorzy: Krystian Pera 1, 2*, 3*, 4*, 5*, 6*, 7*, 8*, 9 Rafał Buła 3*, 5*, 6*, 8* Damian Mitrenga 2*, 4*, 7* * współautorstwo

4 Krystian Pera Rafał Buła Damian Mitrenga Modele inwestycyjne Wydawnictwo C.H.Beck Warszawa 2014

5 Wydawca: Dorota Ostrowska-Furmanek Redakcja merytoryczna: Agnieszka Niegowska Recenzent: dr hab. Anna Górczyńska, prof. UG Projekt okładki i stron tytułowych: GRAFOS Ilustracja na okładce: c istock/enrico Fianchini Seria: Finanse Podseria: Rynki finansowe Złożono programem TEX c Wydawnictwo C.H.Beck 2014 Wydawnictwo C.H.Beck Sp. z o.o. ul. Bonifraterska 17, Warszawa Skład i łamanie: Wydawnictwo C.H.Beck Druk i oprawa: Drukarnia Totem, Inowrocław ISBN e-book

6 Spis treści Zestawienie symboli Wstęp Pomiar dochodowości inwestycji istota, odmiany i cechy stóp zwrotu (Krystian Pera) Kategoria oraz istota stopy zwrotu Stopy zwrotu za cały okres inwestycji Prosta stopa zwrotu Logarytmiczna stopa zwrotu Szacowanie przeciętnych jednookresowych stóp zwrotu Średnia prosta stopa zwrotu Geometryczna stopa zwrotu w warunkach znanej wartości końcowej kapitału Geometryczna stopa zwrotu w warunkach wielości stóp jednookresowych Efektywna stopa zwrotu Nominalna i realna stopa zwrotu Analiza dla dodatniego poziomu stopy nominalnej Analiza dla zerowego i ujemnego poziomu stopy nominalnej Niepewność i ryzyko w analizach inwestycyjnych (Krystian Pera, Damian Mitrenga) Kategoria niepewności i ryzyka Zmienna dyskretna i ciągła statystyczna analiza rozkładu Miary ryzyka Miary zmienności Miary zagrożenia Modele dyskontowe wyceny akcji (Krystian Pera, Rafał Buła) Model zdyskontowanych dywidend Model skończonej liczby dywidend Model stałej wartości dywidendy Model stałego wzrostu dywidendy Model dwóch faz Modele wielofazowe Model logistycznego wzrostu dywidendy Teoria portfela (Krystian Pera, Damian Mitrenga) Stopa zwrotu i odchylenie standardowe portfela aktywów Teoria portfela portfel dwóch spółek w warunkach braku możliwości krótkiej sprzedaży Teoria portfela portfel dwóch spółek w przypadku uchylenia założenia o braku krótkiej sprzedaży Teoria portfela portfel dowolnej liczby akcji V

7 Spis treści 4.5. Wybór portfela preferowanego z grona portfeli efektywnych Jednoczynnikowy model Sharpe a (Krystian Pera, Rafał Buła) Model Osborne a Model Sharpe a Model rynkowy Szacowanie parametrów modelu Korekty parametru beta Korekta Blume a Korekta Vašíčka Model wyceny aktywów kapitałowych CAPM (Krystian Pera, Rafał Buła) Założenia modelu Granica efektywna Capital Market Line Linia rynku papierów wartościowych Security Market Line Nieklasyczne wersje modelu wyceny aktywów kapitałowych Beta lewarowana i nielewarowana Miary efektywności inwestycji w modelu CAPM Modele wielowskaźnikowe i teoria arbitrażu cenowego (Krystian Pera, Damian Mitrenga) Modele wielowskaźnikowe Ogólna postać modelu wielowskaźnikowego Dobór wskaźników do modelu Własności modelu Teoria arbitrażu cenowego Prawo jednej ceny i arbitraż Ogólna postać modelu APT Model APT a model CAPM Dodatkowe zastosowania modeli wielowskaźnikowych Modele wyceny obligacji (Krystian Pera, Rafał Buła) Metodyka wyceny obligacji Struktura terminowa stóp procentowych Miary dochodowości inwestycji w obligacje Średni czas trwania obligacji Wypukłość obligacji Uodpornianie portfela obligacji Modele transferu ryzyka kontrakty opcyjne (Krystian Pera) Definicja i rodzaje opcji oraz pozycje w opcjach Opcja kupna Opcja sprzedaży Wartość opcji i kształtujące ją czynniki Wewnętrzna i czasowa wartość opcji Czynniki kształtujące wartość opcji Modele wyceny kontraktów opcyjnych Dwumianowy model wyceny opcji Przejście od modelu dwumianowego do ciągłego Model Blacka Scholesa Własności wzorów modelu Blacka Scholesa przejścia graniczne Obciążenia modelu Blacka Scholesa Ograniczenia na cenę opcji Parytet kupna-sprzedaży opcji Bibliografia Indeks rzeczowy VI

8 Zestawienie symboli Autorzy dołożyli wszelkich starań, aby licznie używana w książce symbolika nie odbiegała od standardowych symboli używanych w literaturze przedmiotu. Jednak niezależnie od tego w pracy pojawiają się pewne oznaczenia specyficzne. W celu zwiększenia czytelności i zapewnienia pełnej jasności naszych wywodów przedstawiamy zestawienie użytych symboli w kolejności zgodnej z sekwencją rozdziałów książki. 1. Pomiar dochodowości inwestycji istota, odmiany i cechy stóp zwrotu R, r stopa zwrotu PV wartość bieżąca FV wartość przyszła n liczba okresów trwania inwestycji P t cena akcji w chwili t D t dochód uzyskany w chwili t K t kapitał inwestora w chwili t R t prosta stopa zwrotu osiągnięta w okresie t 1, t R t (n) prosta stopa zwrotu osiągnięta w okresie t n, t R ln,t logarytmiczna stopa zwrotu osiągnięta w okresie t 1, t R ln,t (n) logarytmiczna stopa zwrotu osiągnięta w okresie t n, t I t indeks dynamiki dla okresu t 1, t I t (n) indeks dynamiki dla okresu t n, t R średnia prosta stopa zwrotu R ln średnia logarytmiczna stopa zwrotu R g średnia geometryczna stopa zwrotu m częstość kapitalizacji w ciągu roku 1

9 Zestawienie symboli R ef efektywna stopa zwrotu R N nominalna stopa zwrotu R R realna stopa zwrotu inf stopa inflacji inf ln logarytmiczna stopa inflacji inf t prosta stopa inflacji w okresie t 1, t inf t (n) prosta stopa inflacji w okresie t n, t def stopa deflacji 2. Niepewność i ryzyko w analizach inwestycyjnych R k k-ta możliwa do osiągnięcia stopa zwrotu p k prawdopodobieństwo zrealizowania się takiego stanu natury, który sprzyja osiągnięciu stopy zwrotu R k n liczba stanów natury o niezerowym prawdopodobieństwie realizacji R t t-ta zaobserwowana stopa zwrotu T liczba obserwacji f(r) funkcja gęstości prawdopodobieństwa stopy zwrotu E(R), µ wartość oczekiwana stopy zwrotu R średnia stopa zwrotu z próby D dominanta Me mediana µ p moment centralny rzędu p γ 1 standaryzowany trzeci moment centralny γ 2 eksces (standaryzowany czwarty moment centralny pomniejszony o 3) σ 2 wariancja σ odchylenie standardowe sσ 2 semiwariancja sσ semiodchylenie standardowe σ d odchylenie przeciętne Q odchylenie ćwiartkowe Q α kwantyl rzędu α CV współczynnik zmienności P a prawdopodobieństwo nieosiągnięcia poziomu aspiracji R a R b poziom bezpieczeństwa VaR wartość zagrożona 2

10 Zestawienie symboli 3. Modele dyskontowe wyceny akcji WWA t wartość wewnętrzna akcji w chwili t WDA t wartość dochodowa akcji w chwili t P t cena akcji w chwili t DIV t, DIV(t) dywidenda wypłacona w chwili t r, δ wymagana stopa zwrotu g, γ tempo wzrostu dywidendy 4. Teoria portfela R stopa zwrotu z portfela σ 2 wariancja stopy zwrotu z portfela N liczba dostępnych akcji w i udział i-tej akcji w kapitalizacji portfela R i stopa zwrotu z i-tej akcji R ik k-ta możliwa do osiągnięcia stopa zwrotu z i-tej akcji R it t-ta zaobserwowana stopa zwrotu z i-tej akcji Var(R i ) = σi 2 wariancja stopy zwrotu z i-tej akcji σ i odchylenie standardowe stopy zwrotu z i-tej akcji cov(r i, R j ) = σ ij kowariancja stopy zwrotu z i-tej akcji oraz stopy zwrotu z j-ej akcji cor(r i, R j ) = ρ ij współczynnik korelacji pomiędzy stopą zwrotu z i-tej akcji oraz stopą zwrotu z j-ej akcji 5. Jednoczynnikowy model Sharpe a R mf stopa zwrotu właściwa dla czynnika rynkowego σmf 2 wariancja stopy zwrotu właściwej dla czynnika rynkowego ξ i składnik losowy właściwy dla i-tej akcji σei 2 wariancja składnika losowego właściwego dla i-tej akcji a i, b i parametry i-tej akcji R P stopa zwrotu z portfela aktywów ξ P składnik losowy właściwy dla portfela aktywów σep 2 wariancja składnika losowego właściwego dla portfela aktywów a P, b P parametry portfela aktywów R m stopa zwrotu z portfela rynkowego σm 2 wariancja stopy zwrotu z portfela rynkowego σ mi kowariancja stopy zwrotu z portfela rynkowego oraz stopy zwrotu z i-tej akcji 3

11 Zestawienie symboli ρ mi współczynnik korelacji pomiędzy stopą zwrotu z portfela rynkowego oraz stopą zwrotu z i-tej akcji ε i składnik losowy właściwy dla i-tej akcji σ eij kowariancja składnika losowego właściwego dla i-tej akcji oraz składnika losowego właściwego dla j-ej akcji α i, β i parametry i-tej akcji α P, β P parametry portfela aktywów ε P składnik losowy właściwy dla portfela aktywów ˆβ i oszacowanie parametru beta i-tej akcji ˆα i oszacowanie parametru alfa i-tej akcji ˆβ iu+1 P prognozowana wartość parametru beta i-tej akcji w okresie u + 1 korekta Blume a ˆβ i V oszacowanie parametru beta i-tej akcji korekta Vašíčka ˆβ iu+1 B prognozowana wartość parametru beta i-tej akcji w okresie u + 1 korekta Blume a Vašíčka 6. Model wyceny aktywów kapitałowych CAPM R stopa zwrotu z portfela aktywów ryzykownych σ odchylenie standardowe stopy zwrotu z portfela aktywów ryzykownych R P stopa zwrotu z portfela zawierającego aktywa ryzykowne i wolne od ryzyka σ P odchylenie standardowe stopy zwrotu z portfela zawierającego aktywa ryzykowne i wolne od ryzyka R f stopa zwrotu z aktywów wolnych od ryzyka w f udział aktywów wolnych od ryzyka w kapitalizacji portfela złożonego z aktywów ryzykownych i wolnych od ryzyka R z stopa zwrotu z portfela nieskorelowanego z rynkowym (Z) w z udział portfela Z w kapitalizacji portfela aktywów ryzykownych β beta lewarowana β U beta nielewarowana S wskaźnik Sharpe a α S alfa Sharpe a T wskaźnik Treynora α J alfa Jensena 7. Modele wielowskaźnikowe i teoria arbitrażu cenowego L liczba wskaźników I k k-ty wskaźnik 4

12 σik 2 wariancja k-tego wskaźnika b ik współczynnik b właściwy dla i-tej akcji i k-tego wskaźnika a i wyraz wolny dla i-tej akcji R P k stopa zwrotu z portfela, którego wrażliwość na k-ty czynnik ryzyka wynosi 1, a na pozostałe 0 8. Modele wyceny obligacji Zestawienie symboli N wartość nominalna M wartość wykupu C t odsetki wypłacane w t-tym okresie m częstość wypłaty kuponu i (m) k stopa kuponu o m-krotnej kapitalizacji w ciągu roku i (m) stopa zwrotu z obligacji o m-krotnej kapitalizacji w ciągu roku i k stopa kuponu o kapitalizacji rocznej i stopa zwrotu z obligacji o kapitalizacji rocznej n liczba pełnych okresów odsetkowych pomiędzy datą ostatniej wypłaty kuponu a terminem wykupu v liczba niepełnych okresów odsetkowych pomiędzy datą ostatniej wypłaty kuponu a datą wyceny obligacji WWO wartość wewnętrzna obligacji P cena rynkowa obligacji (brudna) P c cena rynkowa obligacji (czysta) AI narosłe odsetki YTM stopa dochodu w okresie do wykupu D średni czas trwania D M zmodyfikowany średni czas trwania D FW średni czas trwania Fishera Weila CX wypukłość 9. Modele transferu ryzyka kontrakty opcyjne c cena opcji kupna p cena opcji sprzedaży S t cena instrumentu bazowego w chwili t X cena wykonania opcji T termin wygaśnięcia opcji ITM opcja w cenie, in-the-money OTM opcje nie w cenie, out-of-the-money ATM opcja po cenie, at-the-money r stopa zwrotu z aktywów wolnych od ryzyka 5

13 Zestawienie symboli ft c funkcja wypłaty opcji kupna f p T funkcja wypłaty opcji sprzedaży FT C funkcja zysku opcji kupna FT P funkcja zysku opcji sprzedaży σ odchylenie standardowe logarytmicznej stopy zwrotu z instrumentu bazowego (zmienność) Vw C wartość wewnętrzna opcji kupna Vw P wartość wewnętrzna opcji sprzedaży u współczynnik wzrostu ceny d współczynnik spadku ceny P t wartość opcji sprzedaży w chwili t C t wartość opcji kupna w chwili t Ct+1 u wartość opcji kupna w chwili t + 1, gdy cena akcji wzrosła (P dla opcji sprzedaży) Ct+1 d wartość opcji kupna w chwili t + 1, gdy cena akcji spadła (P dla opcji sprzedaży) φ(.) dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego

14 Wstęp Niektórzy uważają, że inwestowanie jest sztuką. Dla autorów tej książki termin ten jest raczej wysublimowaną filozofią rozumienia finansów i równocześnie jednym z możliwych sposobów ich objaśniania. Inwestowanie jest sposobem działania pozwalającym myśleć o takiej przyszłości, w której można osiągnąć więcej niż dziś. Przynajmniej w obszarze kapitałów. Gdyby nawet próbować skojarzyć inwestycje z określoną sztuką, to jest to sztuka prakseologicznego myślenia o metodach pomnażania kapitału. Z tego sposobu myślenia rodzą się pomysły na angażowanie dyspozycyjnego kapitału, a w konsekwencji decyzje inwestycyjne. Takie kategorie jak kapitał, wartość początkowa, wartość końcowa oraz stopa zwrotu wraz z analizą ryzyka i niepewności tworzą podstawy do rozważań na temat efektywnego inwestowania. W prezentowanej Czytelnikom książce zajmujemy się teorią inwestycji finansowych w ujęciu modelowym. Treść książki jest logicznie uporządkowanym, usystematyzowanym zbiorem myśli na temat efektywnego inwestowania w papiery wartościowe w szczególności akcje i obligacje jako podstawowe instrumenty rynku kapitałowego powstałych wskutek wykorzystania naukowego dorobku specjalistów w obszarze teorii inwestycji i przedstawionych według naszego ich rozumienia i możliwego zastosowania. Fascynuje nas jednoznaczność myśli poszczególnych modeli inwestycyjnych, ich wewnętrzna spójność i logika. Traktujemy je jako naukowe, eleganckie w swej postaci i formie konstrukcje myślowe i jako takie chcemy je przedstawić. Poprawny dobór treści jest sztuką kompromisu. Pierwsze ograniczenie to wyłączenie z rozważań problematyki inwestycji rzeczowych oraz makroekonomicznych skutków sumy indywidualnych decyzji inwestycyjnych. Podstawowa perspektywa postrzegania tej problematyki, według której powstały poszczególne rozdziały, polega na wyobrażeniu sobie hipotetycznego inwestora, który 7

15 Wstęp dysponuje określonym kapitałem finansowym, ma zamiar zaangażować go w papiery wartościowe i, zachowując się skrajnie racjonalnie, dąży do optymalizacji relacji pomiędzy oczekiwanym dochodem a poziomem ryzyka. Kolejne ograniczenie, które skutkuje doborem problematyki, polega na założeniu, że inwestor chcąc podjąć optymalne decyzje inwestycyjne, poszukuje zwartego ujęcia modelowego, wspomagającego proces decyzyjny. W tym sensie opisaliśmy najważniejsze modele inwestycyjne, które przy spełnieniu przyjętych założeń prowadzą do racjonalnej decyzji. Pewnym dylematem autorów była i nadal pozostaje kwestia przyjętych proporcji pomiędzy słownym opisem a sformalizowanym, matematycznym ujęciem opisywanych zagadnień. Staraliśmy się w opisie poszczególnych modeli nadać im jak najbardziej jednoznaczną charakterystykę, wobec czego niejednokrotnie symbole zastępowały nam słowa naszym zamiarem było przedstawienie modeli inwestycyjnych, a zatem już to wyznaczyło proporcje pomiędzy słowami a symbolami. Czerpiąc z dorobku klasyków metodologii nauk ekonomicznych, podzielamy pogląd Léona Walrasa w kwestii aplikacyjności ujęć formalnych: Jeżeli chodzi o język, to dlaczego mamy się upierać przy tym, aby mozolnie i bardzo nieściśle wyjaśniać w języku potocznym te problemy [...], które w języku matematyki można wyrazić przy użyciu niewielkiej liczby słów, w sposób bardziej dokładny i bardziej precyzyjny [Walras, 1874, s. 33]. Przy czym staraliśmy się, aby to sformalizowane ujęcie uczynić jak najbardziej przyjaznym w odbiorze i zrozumiałym. Zwłaszcza w tym kontekście myśleliśmy o studentach, którzy obok naszych zainteresowań opisywaną problematyką byli źródłem inspiracji do napisania tej książki. Trzeba postawić także pewne ograniczenia naszych celów i odpowiedzieć na pytanie, czym ta książka nie jest. Z całą pewnością nie jest to zbiór recept na bycie bogatym poprzez inwestowanie w papiery wartościowe Czytelnicy znajdą tu myśli o istocie i skutecznym inwestowaniu na rynku kapitałowym. Jednak fenomenem giełd czy, szerzej, całego rynku finansowego jest to, że wszyscy inwestorzy, dysponując tymi samymi lub bardzo podobnymi informacjami, podejmują bardzo różne, często przeciwstawne decyzje inwestycyjne. Nie wdając się tu w szczegółowe wyjaśnienie powodów, dla których tak się dzieje, trzeba zauważyć, że uniwersalnych i zawsze skutecznych recept na maksymalizowanie stopy zwrotu nie ma. Gdyby bowiem były, my jako autorzy pisalibyśmy jedynie dzienniki z dalekich podróży, zarządzając naszymi coraz bardziej wartościowymi portfelami inwestycyjnymi. Dlaczego tak nie jest? Brak uniwersalnych zastosowań, a przede wszystkim pełnej skuteczności modeli inwestycyjnych w konstruowaniu rzeczywistych, optymalnych portfeli aktywów finansowych wywodzi się z kilku fundamental- 8

16 Wstęp nych przyczyn. Za jedną z ważniejszych należy uznać milczące założenie modeli o replikowaniu warunków z przeszłości modele inwestycyjne bez względu na ich konkretną postać i stopień metodycznego skomplikowania zakładają, że to, co zdarzyło się na rynkach w przeszłości, w większości przypadków powtórzy się w przyszłości. Stąd tak wielka rola np. wartości średnich. Ponieważ nie zawsze owa replikacja następuje bądź następuje, ale w horyzoncie czasowym innym niż horyzont inwestycji, uzyskane efekty są często odmienne (czasem lepsze, czasem gorsze) od oczekiwanych. Ponadto modele nie ujmują całej sfery behawioralnej w decyzjach inwestycyjnych, co więcej zakładają posunięty do granic możliwości racjonalizm zachowania. Staraliśmy się w poszczególnych modelach wskazać wszystkie uwarunkowania skuteczności lub przedstawić skutki decyzji inwestycyjnych w warunkach zmiany przyjętych założeń. Książka powstała głównie jako monografia naukowa, a także pomoc merytoryczna w ramach przedmiotu z tematyki modeli inwestycyjnych lub pokrewnych, wykładanych na kierunkach finansowych uczelni ekonomicznych. Bylibyśmy jednak wysoce usatysfakcjonowani, gdyby okazało się, że podjęta problematyka spotyka się z zainteresowaniem inwestorów bądź też jest przyczynkiem do podjęcia przedmiotowych dyskusji. I w tym sensie dedykujemy ją wszystkim, którzy chcą dogłębnie i wyczerpująco zrozumieć, czym jest efektywna inwestycja finansowa. Oddając tę książkę do rąk Czytelników, chcemy podziękować jej pierwszemu Czytelnikowi, Pani Profesor Annie Górczyńskiej z Uniwersytetu Gdańskiego, która zgodziła się przyjąć rolę recenzenta. Dziękujemy Pani Profesor za wyjątkową przychylność autorom, za podzielanie naszych poglądów na podjęte w tej książce tematy oraz za wyrażone uwagi i sugestie.

17 1 Pomiar dochodowości inwestycji istota, odmiany i cechy stóp zwrotu Krystian Pera 1.1. Kategoria oraz istota stopy zwrotu Ocena opłacalności inwestycji jest nierozerwalnie związana z pomiarem jej dochodowości, a nawet więcej pomiar dochodowości jest istotą oceny efektywności. Zaś w samych metodach pomiaru dominuje wieloraka postać względności. Przy czym nie chodzi tutaj o względność w sensie jakiejkolwiek niejednoznaczności, lecz o względność rozumianą jako konieczność porównywania jednej wielkości z inną w warunkach istotności ich obu dla wartości wyniku pomiaru efektywności inwestycji. Owa względność występuje, albowiem: efektywność jest zawsze pochodną poniesionych nakładów; nie wystarczy, aby inwestycja przyniosła jakikolwiek dochód, tzn. aby jej wartość końcowa (FV) była wyższa od wartości zaangażowanych nakładów inwestycyjnych (PV) chodzi o coś więcej: inwestycję można uznać za efektywną, jeśli przynosi dochód nie mniejszy od oczekiwanego, z kolei dochód oczekiwany jest zależny od wielu czynników, wśród których do najważniejszych należy zaliczyć: ryzyko, jakie towarzyszy inwestycji, czas jej trwania, koszt pozyskania kapitału oraz oceny warunków inwestycyjnego otoczenia mikro- i makroekonomicznego. Podstawową miarą wykorzystywaną do oceny opłacalności inwestycji jest stopa zwrotu. Drugim obok niej miernikiem efektywności inwestycji jest poziom dochodu, jaki inwestor osiągnął lub jaki zamierza osiągnąć. Obie te miary są ściśle ze sobą powiązane. W niniejszej książce szacowanie poziomu dochodu inwestycji jest określane jako bezwzględny rachunek efektywności, a szacowanie stopy zwrotu jest rachunkiem względnym efektywności inwestycji. Warto od 10

18 1. Pomiar dochodowości inwestycji istota, odmiany i cechy stóp zwrotu razu zauważyć, że takie rozróżnienie pomiędzy rachunkiem bezwzględnym oraz względnym nie jest jedyne. Zasadniczo istnieją dwie koncepcje rozumienia istoty rachunku tzw. bezwzględnego, a zatem istnieją też dwie koncepcje rozumienia rachunku względnego. Według pierwszej, dominującej koncepcji rachunek jest bezwzględny, jeśli jego wynik jest wyrażony w pieniądzu i w ten sposób jest źródłem informacji o wartości lub dochodowości całego projektu inwestycyjnego, bez względu na jego skalę, nie będąc równocześnie źródłem informacji o efektywności każdej zaangażowanej jednostki nakładów inwestycyjnych. Według tego rozumienia miara jest bezwzględna, jeśli odpowiada na pytanie: jaką w sumie nadwyżkę wygeneruje oceniana inwestycja, bez odpowiedzi na pytanie o efektywność każdej zaangażowanej jednostki nakładów kapitałowych. Idąc tym tokiem rozumowania, można powiedzieć, że rachunek jest względny, jeśli poziom uzyskanych efektów odnosi się bezpośrednio do poziomu zaangażowanych nakładów inwestycyjnych. W tym sensie każdy miernik w rodzaju stopy zwrotu jest miarą względną. Mierniki te odpowiadają na pytanie o poziom efektywności, lecz nie udzielają odpowiedzi na pytanie o całkowity poziom dochodowości. W tym sensie stopa zwrotu jest podstawową względną miarą efektywności inwestycji. Jednakże poza ogólnym zrozumieniem, czym jest stopa zwrotu, należy zrozumieć jej zróżnicowane postaci, odmiany, a nawet znaczenia. Druga koncepcja rozróżnienia rachunku bezwzględnego i względnego odnosi się do oceny wariantowości realizacji projektów inwestycyjnych. W myśl tej koncepcji, jeżeli celem oceny jest porównanie kilku możliwych wariantów inwestycyjnych, to rachunek jest względny, a jeżeli ocenie podlega opłacalność jednego możliwego wariantu realizacji jest on rachunkiem bezwzględnym i to pomijając rodzaj zastosowanych mierników [Rogowski, 2008]. W tym ujęciu takie miary jak dochód, stopa zwrotu czy wartość bieżąca netto (NPV) oraz wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) bądź każdy inny miernik dyskontowy mogą być elementami oceny zarówno bezwzględnej, jak i względnej. Autorzy w niniejszej książce preferują pierwsze z wymienionych podejść, rezerwując kategorię względności do miar wyrażonych w ułamku bądź procencie, wobec czego kategoria oceny bezwzględnej jest odpowiedzią na pytanie o poziom całkowitego dochodu z inwestycji. Takie też rozumienie tych ujęć będzie stosowane w całej książce. Ponieważ jednak w literaturze nie ma jednoznacznych wskazań w tym obszarze, w analizach efektywności należałoby każdorazowo definiować istotę rachunku, aby uniknąć nieporozumień interpretacyjnych. Jednakże samo to rozróżnienie nie odpowiada jeszcze wprost na pytanie o kryteria doboru poszczególnych metod oceny efektywności inwestycji. 11

19 Krystian Pera Stopa zwrotu jest jednym z rodzajów stopy procentowej, ta zaś w teorii finansów definiowana jest jako wyrażony w procencie stosunek wynagrodzenia za udzielenie pożyczki do wysokości tej pożyczki [Czarny, Rapacki, 2002]. Jak widać, jest to stosunkowo wąskie ujęcie tej kategorii, odnoszące się do efektywności kapitału pożyczkowego. Inne definicje określają stopę procentową jako [Czekaj, Dresler, 2005, s ]: cenę, którą ponosi dłużnik za udostępnienie mu przez wierzyciela kapitału, poziom wynagrodzenia uzyskiwanego za powstrzymywanie się od bieżącej konsumpcji (nurt klasyczny), zjawisko pieniężne zależne od takich czynników, jak podaż pieniądza oraz preferencje płynności (nurt keynesowski). Z punktu widzenia analizy inwestycyjnej najbardziej adekwatne zdaje się podejście klasyczne. Stopa zwrotu (jako stopa procentowa) określa bowiem wyrażony w procencie poziom dochodu, jaki inwestor otrzymał lub otrzyma w przyszłości w zamian za rezygnację z nieinwestycyjnego, bieżącego użycia części lub całości dyspozycyjnych zasobów kapitałowych (czyli nakładów inwestycyjnych) na rzecz przyszłych korzyści finansowych, w stosunku do nakładów. Stopa zwrotu w ogólnym sensie definicyjnym określa zatem dochód, jaki przypada na jednostkę zainwestowanego kapitału. Jest to najbardziej ogólne, ale też najbardziej podstawowe ujęcie tej miary, którego formalny wyraz jest następujący: R = N D i i=1, N N i i=1 gdzie: R stopa zwrotu, D i i-ty rodzaj osiągniętego dochodu, np. różnica kursów, dywidenda, odsetki, N i i-ty rodzaj poniesionych nakładów, zaangażowanego kapitału dla osiągnięcia dochodu D, np. zaangażowane zyski okresów wcześniejszych, inwestycyjnie zaangażowany kredyt. Tak zdefiniowana stopa zwrotu zasadniczo ma charakter oceny wstecznej, ex post, albowiem a priori zakłada się, że poziom dochodu jest znany i wynosi D. Jednakże z punktu widzenia analizy inwestycyjnej podstawowe znaczenie ma rachunek prospektywny ex ante, w którym szacuje się oczekiwany poziom efektywności inwestycji, a sama stopa zwrotu jest wartością prognostyczną. Takie ujęcie jest istotne, ponieważ stanowi podstawę podjęcia decyzji o zaangażowaniu kapitału lub odstąpieniu od inwestycji. W tym znaczeniu ogólny wzór na stopę 12

20 1. Pomiar dochodowości inwestycji istota, odmiany i cechy stóp zwrotu zwrotu, która staje się oczekiwaną stopą E(R), jest wyrażony jako: E(R) = E(D) = N N i i=1 N E (D i ) i=1, N N i i=1 gdzie: E(D) oczekiwany poziom sumarycznego dochodu 1. Inwestor może oczekiwać, że stopa zwrotu będzie oscylować wokół pewnej wartości oczekiwanej. W tym sensie stopa zwrotu jest zmienną losową realizującą się z określonym prawdopodobieństwem. Jeżeli zmienna losowa przyjmuje skończoną liczbę wartości (rozkład dyskretny), to wartość oczekiwana tej zmiennej jest równa 2 : n E(R) = p k R k, k=1 gdzie: E(R) oczekiwana stopa zwrotu, R k k-ta możliwa stopa zwrotu, p k prawdopodobieństwo zrealizowania się takiego scenariusza, który sprzyja osiągnięciu stopy zwrotu R k, n liczba rozpatrywanych stóp zwrotu o niezerowym prawdopodobieństwie realizacji. Wynika z tego, że oczekiwana stopa zwrotu jest średnią ważoną możliwych do osiągnięcia stóp zwrotu, przy czym wagami są prawdopodobieństwa ich osiągnięcia, które mogą być wyznaczone subiektywnie (opinie ekspertów) lub zgodnie z zasadami rachunku prawdopodobieństwa jako częstości występowania danej stopy zwrotu: p k = m k m, gdzie: m k liczba przypadków, gdy stopa zwrotu osiągnęła wartość R k, m liczebność zbioru obserwacji. Ideę oczekiwanej stopy zwrotu można przedstawić symbolicznie, za pomocą tzw. koła inwestycyjnego, w którym wyrażone są możliwe do osiągnięcia stopy zwrotu wraz z przynależnym im prawdopodobieństwem. 1 Same sposoby szacowania oczekiwanego dochodu są istotnym i metodycznie trudnym zagadnieniem. Są one przedmiotem pogłębionej analizy w dalszej części książki. 2 W tym ujęciu rozpatrywany jest wyłącznie rozkład dyskretny o skończonej liczbie realizacji z niezerowym prawdopodobieństwem. Rozkładem dyskretnym jest także rozkład o nieskończonej, ale przeliczalnej liczbie realizacji z niezerowym prawdopodobieństwem. 13