Przekształcanie wykresów.

Transkrypt

1 Sławomir Jemielity Przekształcanie wykresów. Pokażemy tu, jak zmiana we wzorze funkcji wpływa na wygląd jej wykresu. A. Mamy wykres funkcji f(). Jak będzie wyglądał wykres f ( ) + a, a stała? ( ) f ( ) a f + Co dzieje się z funkcją? Otóż każda wartość funkcji zmieni się o a. Spowoduje to przesunięcie wszystkich punktów wykresu wzdłuż osi wartości funkcji czyli OY o tę samą wartość. Wykres przesunie się do góry jeśli a było dodatnie i do dołu jeśli było ujemne. Przykład Niech f ( ) = i a =. f ( ) + a = + 6 y 5 4 f() + a 3 f() Podsumujmy: By z wykresu funkcji f ( ) otrzymać wykres f ( ) + a, przesuwamy wykres ( ) osi OY. Do góry gdy a > 0, do dołu, gdy a < 0. B. Wykres funkcji ( a) ( ) f ( a) f + f +. f o a w kierunku Kto nie wie ten (opierając się na poprzednim punkcie) powie natychmiast, że wykres przemieści się wzdłuż osi OX (i tu będzie miał rację) w prawo, czyli w kierunku większych, jeśli a jest większe od zera a w lewo jeśli będzie mniejsze od zera. Niestety ktoś taki pomyli się. Jest dokładnie odwrotnie.

2 Jeśli a > 0, wykres przesunie się lewo. Jeśli a < 0, wykres przesunie się prawo. Dlaczego tak się dzieje? Załóżmy dla ustalenia uwagi, że a > 0. f() f(+a) + a Spójrzmy na rysunek. Funkcja f(+a) przyporządkowuje punktowi wartość f(+a). Inaczej: by otrzymać poprawny wykres, należy narysować punkt o współrzędnej, a jego współrzędna y- owa to wartość funkcji w punkcie + a, czyli w punkcie o a dalszym. Musimy zatem przenieść punkt z położenia ( + a, f ( + a) ) do położenia (, f ( + a) ), a zatem cofnąć go, a nie przesunąć do przodu. Dla ujemnej wartości a będzie odwrotnie. Przykład. Niech f ( ) = i a = - jak poprzednio. f ( + a) = ( + ) 6 y f(+a) 5 f() Podsumujmy: By z wykresu funkcji f ( ) otrzymać wykres f ( + a), przesuwamy wykres ( ) osi OX. W lewo gdy a > 0, w prawo, gdy a < 0. C. Wykres funkcji f ( ) f ( ) f ( ). f o a w kierunku Co robi taka operacja z pojedynczym punktem wykresu? Współrzędna nie zmienia się, a jego współrzędna y-owa zmienia znak na przeciwny. Odpowiada to odbiciu punktu względem osi OX. Dotyczy to wszystkich punktów, a więc całego wykresu.

3 Przykład. f = Niech ( ) f ( ) = f() y f() Podsumujmy: By z wykresu funkcji f ( ) otrzymać wykres f ( ), odbijamy wykres ( ) f symetrycznie względem osi OX. D. Wykres funkcji f ( ). f ( ) f ( ) Argumentowi przyporządkowana jest wartość jaką ma funkcja dla. f(-) - Zatem punkt wykresu dla argumentu powstaje w ten sposób, że bierzemy wartość funkcji dla i rysujemy punkt o współrzędnych (, f ( ) ). Odpowiada to symetrycznemu odbiciu względem osi OY. Przykład. 3 Niech f ( ) =

4 ( ) = ( ) 3 f -4-3 f(-) Podsumujmy: y f() 3 4 By z wykresu funkcji f ( ) otrzymać wykres f ( ), odbijamy wykres ( ) f symetrycznie względem osi OY. E. Wykres funkcji f ( ). ( ) f ( ) f Moduł nie zmienia liczby dodatniej lub zera, a liczbie ujemnej zmienia znak. Wobec tego jeśli wartość funkcji ( ) 0 f = f i nic się nie dzieje. Moduł nie ma wpływu na wykres funk- f to ( ) ( ) cji. Inaczej jest gdy f ( ) < 0. Wtedy f ( ) f ( ) =. Mieliśmy już z takim przypadkiem do czynienia. Tę część wykresu, dla której wartości funkcji są ujemne, należy odbić względem osi OX. Przykład. f Niech ( ) = 4 f ( ) = 4 Oto wykres wyjściowej funkcji.

5 5 y 4 3 f()> f()< A to ostateczny wykres funkcji ( ) = 4 y 5 f. f() Podsumujmy: By z wykresu funkcji f ( ) otrzymać wykres f ( ), leżącą nad osią OX część wykresu ( ) f pozostawiamy bez zmian, natomiast tę, która leży pod osią OX odbijamy symetrycznie względem osi OX. F. Wykres funkcji f ( ). ( ) f ( ) f Jeśli 0, to ( ) f ( ) f =. Wykres się nie zmienia. Na prawo od osi OY wykres pozostaje bez zmian. Trudniej jest stwierdzić co dzieje się z lewą częścią wykresu. Jeśli < 0, to f = f. Oznacza to, że ujemnym argumentom przyporządkowane są takie same wartości ( ) ( ) funkcji, jak przeciwnym, a więc dodatnim, argumentom. Zatem na lewo od OY wykres będzie wyglądał tak samo jak po stronie dodatniej. Będzie jedynie odbity symetrycznie względem osi OY. Wiąże się to z tym, że liczby przeciwne do danych idą na osi OX w przeciwnym niż one porządku. Przykład. f Niech ( ) = 4 + 4

6 ( ) = f Najpierw narysujmy początkową <0 >0 Właściwy wykres narysujemy w dwóch etapach. f dla 0. To żaden problem. Wystarczy z poprzedniego rysunku ) Rysujemy wykres ( ) przerysować czarną część wykresu. ) Rysujemy wykres dla < 0. To jest nieco trudniejsze. Należy widoczną już część wykresu odbić po lewej stronie, uprzednio zamazawszy to, co było wcześniej czyli wykres f() dla < 0. Oto gotowy wykres.

7 Podsumujmy: By z wykresu funkcji ( ) ( ) f otrzymać wykres f ( ), leżącą na prawo od osi OY część wykresu f pozostawiamy bez zmian, natomiast po lewej stronie umieszczamy odbitą symetrycznie względem osi OY część wykresu leżącą po prawej stronie. G. Wykres funkcji af ( ), a > 0 ( ) af ( ) f Pomnożenie funkcji przez liczbę powoduje, że jej wartości rosną a razy dla każdego argumentu. W szczególności miejsca zerowe pozostają na swoim miejscu, bo pomnożenie zera przez cokolwiek daje zero. Wykres funkcji rozciąga się tak, że punkty leżące na osi OX pozostają na miejscu. Przykład. f = sin a = af = sin Niech ( ) ( ) y af() π π f() π π - - Podsumujmy: By z wykresu funkcji f ( ) otrzymać wykres af ( ) należy każdy punkt wykresu f() narysować w odległości a razy większej niż pierwotny, nie zmieniając przy tym jego odciętej.

8 Mamy więc siedem przekształceń wykresów funkcji. Są to: ) f ( ) + a ) f ( + a) f 3) ( ) 4) f ( ) 5) f ( ) 6) f ( ) 7) af ( ) Pozwalają one rysować wykresy bardziej skomplikowanych funkcji, jeśli znamy wykres prostszej. Jak widać przekształcanie wykresów nie jest bardzo trudne. Problemy zaczynają się, gdy trzeba wykonać więcej przekształceń. Są zwłaszcza kłopoty z ustaleniem kolejności przekształceń. ZADANIE Narysuj wykres funkcji f() przekształcając wykres funkcji g( ) = + = + = a) f ( ) b) f ( ) 3 c) f ( ) d) f ( ) = + 3 e) f ( ) = + ROZWIĄZANIE =. Uwaga! Duże, wytłuszczone litery w rozwiązaniach oznaczają odwołanie do odpowiedniego przekształcenia omówionego w powyższym wstępie. a) f ( ) = + Zróbmy najpierw plan, jak dojść od funkcji y = do y = +. Widzimy, że do argumentu zostało dodane, a do wartości funkcji y = dodane. Schemat przekształceń można więc zapisać tak: f ( + a) f ( ) + a +.

9 Znaczy to tyle, że z wyjściowej funkcji robimy poddając ją przekształceniu polegającym na dodaniu liczby do argumentu (B.), a następnie tę z kolei poddajemy przekształceniu polegającemu na dodaniu liczby do całej funkcji (A.) i otrzymujemy +. Z tego co wiemy ze wstę- pu, wyjściowy wykres należy przesunąć o w prawo i o w górę. Oczywiście przesuwając najpierw o w górę a potem o w prawo otrzymamy dokładnie to samo, z czego należy wnosić, że następujący schemat przekształceń też doprowadziłby do sukcesu: f ( ) + a f ( + a) + +. Rzeczywiście to samo. Teraz pozostały rysunki. Zrobimy to w jednym układzie współrzędnych. Umówmy się, że wyjściowy wykres zawsze będzie czarny, a docelowy czerwony. Pośrednie oznaczał będę innymi kolorami i linią przerywaną. b) f ( ) = 3 + Tu sytuacja jest bardziej skomplikowana. Napiszę schemat, a potem go omówię. f ( + a) f ( ) + a f ( ) f ( ) + a ) Przesuwamy wykres o w lewo (B.). ) Przesuwamy wykres o do dołu (A.). + 3) To co jest pod osią OX odbijamy do góry (przypomnijcie sobie jak działa moduł) (E.). 4) To co wyszło przesuwamy o 3 do dołu (A.).

10 To jeszcze nie koniec. To dopiero ) i ). Nie chciałem umieszczać wszystkich etapów na jednym rysunku, bo nic nie byłoby widać. Wykres czerwony to ten, który mieliśmy uzyskać. Zastanówmy się jeszcze czy można zmienić kolejność operacji? Wiemy z poprzedniego przykładu, że można zmienić kolejność przesunięć wzdłuż osi OX i OY. Nie można zmienić pozycji operacji f ( ), bo zobaczcie co się dzieje, gdy na przykład wstawimy ją jako pierwszą. f ( ) f ( + a) f ( ) + a f ( ) + a 3 i otrzymujemy coś zupeł nie innego niż chcieliśmy. c) f ( ) =

11 Spróbujmy takiej kolejności: trzeba. Odwróćmy kolejność. f ( ) f ( + a). Źle! Otrzymaliśmy coś innego niż f ( ) ( ) + a f Dobrze. Najpierw przesuwamy (B.), a potem odbijamy prawą część wykresu względem osi OY na lewą stronę, a po prawej zostawiamy to co było (F.) Teraz rysunek. A to jest właściwy wykres. d) f ( ) = + 3 Tu jest mnóstwo roboty. Najpierw schemat. Zabieramy się do tego od wewnątrz.

12 f ( + a) f ( ) f ( ) + a f + a ( ) f ( ) f ( ) + 3 Spróbujcie zmienić gdzieś kolejność. Zobaczcie gdzie nie wpływa to na poprawność, a gdzie dostajemy błędny wynik. A oto etapy rysowania wykresu. ) Przesunięcie o w prawo (B.) ) Odbijamy prawą część wykresu względem osi OY na lewą stronę, a po prawej zostawiamy to co było (F.). 3) Przesunięcie o do dołu (A.). 4) To co jest pod osią OX zostaje odbite do góry (E.). 5) Cały wykres odbijamy względem osi OX (C.) 6) Całość przesuwamy o 3 do góry (A.). Kolejne etapy umieścimy na oddzielnych rysunkach. ) )

13 3) 4)

14 5) I wreszcie 6) e) f ( ) = + Spróbujmy tak: f ( ) f ( + a) ( + ). Niedobrze. Jeszcze raz. f ( + a) f ( ) + + ) Przesuwamy wykres w lewo o (B.). ) Odbijamy wykres symetrycznie względem osi OY (D.)

15 ZADANIE Narysuj wykres funkcji f() przekształcając wykres funkcji ( ) a) f ( ) = + 3 b) f ( ) = + 3 c) f ( ) = + 3 g =. ROZWIĄZANIE a) f ( ) = + 3 ( ) ( ) f + a f Schemat przekształcenia: Po pierwszym zadaniu doszliście z pewnością do wprawy więc od razu rysunek. Wykres czarny - y = Wykres niebieski - y = + 3 Wykres czerwony - y = + 3 b) f ( ) = + 3 Schemat przekształcenia: f ( ) f ( + a) + 3 Tym razem zrobimy trzy oddzielne rysunki, by sobie nawzajem nie przeszkadzały. y =

16 y = y = + 3 I to jest końcowy wykres. c) f ( ) = + 3 Różnica między tym a poprzednim schematem przekształceń polega na zmianie kolejności dwu spośród operacji prowadzących do wyniku. f ( ) ( ) Schemat przekształcenia: + a f y = y = + 3

17 y = + 3 Jak widać zmiana kolejności przekształceń doprowadziła do innego wykresu. Morał z tego taki, że trzeba uważać na kolejność.