Skierowane liczby rozmyte w modelowaniu ekonomicznym

Transkrypt

1 Skierowane liczby rozmyte w modelowaniu ekonomicznym Dariusz Kacprzak Politechnika Białostocka Wydział Informatyki Katedra Matematyki 5-35 Białystok Wiejska 45 dkacprzak@interia.pl Streszczenie rtykuł przedstawia nowy model liczb rozmytych skierowane liczby rozmyte (OFN). Model ten pozwala na działania na liczbach rozmytych w sposób analogiczny do operacji na liczbach rzeczywistych. Ponadto pozbawiony jest głównego problemu klasycznych liczb rozmytych nieograniczonego wzrostu rozmycia w trakcie obliczeń. W pracy przedstawiono również przykłady wykorzystania skierowanych liczb rozmytych do modelowania zmiennych ekonomicznych takich jak utarg i poziom produkcji, które mogą być nieprecyzyjne lub trudne w pomiarze z odpowiednią precyzją z przyczyn technicznych. Wstęp Ekonomia jest nauką o społecznych prawach gospodarowania w warunkach ograniczonych zasobów i wielkości wymaganych przy realizacji celu. Celem tym jest poznanie rzeczywistości gospodarczej, opisanie jej, wyjaśnienie przyczyn i natury zjawisk oraz procesów zachodzących w gospodarce rynkowej, której podmiotem jest człowiek. Jednym z głównych narzędzi wykorzystywanych w realizacji tego celu są modele ekonomiczne (ekonometryczne), które stanowią uproszczony obraz rzeczywistości gospodarczej. Występujące w modelach ekonomicznych wielkości wejściowe, wyjściowe, współczynniki, operatory działań itp. mają charakter zmiennych przyjmujących wartości liczbowe albo działań na liczbach. Warunkiem stosowania takich modeli jest kwantyfikowalność występujących w nich elementów i znajomość ich wartości liczbowych [Kacprzak, 2009, s ]. Jednak w naukach ekonomicznych powszechnie stosuje się pojęcia nieostre, nieprecyzyjne, wieloznaczne jak wysoki wzrost gospodarczy, wysokie bezrobocie, niska inflacja, itp. Mimo nieprecyzyjności takich określeń, są one w pewnym sensie zrozumiałe jednoznacznie i chcąc je stosować w modelach ekonomicznych, należy je zastąpić zapisem liczbowym. Jednym ze sposobów matematycznego modelowania pojęć nieostrych i wieloznacznych jest wykorzystanie zbiorów i liczb rozmytych. W szczególności na uwagę zasługuje nowy model opracowany przez polskich naukowców tzw. model skierowanych liczb rozmytych Ordered Fuzzy Numbers (OFN).. Zbiory i liczby rozmyte W ostatnich latach możemy zaobserwować znaczący postęp w zakresie zastosowań metod opartych na zbiorach rozmytych w różnorodnych dziedzinach życia. Szczególnie znaczącym elementem jest tu rozwój podejścia lingwistycznego, w którym zamiast liczb używa się słów do określenia wartości zmiennych i zależności między nimi. Takie podejście ma kluczowe znaczenie, gdy komputer ma zastępować eksperta i interpretować wyrażenia języka naturalnego. Człowiek zazwyczaj daje sobie radę w sytuacjach, gdy próby matematycznego opisania i rozwiązania problemu zawodzą. Może to wynikać z zdolności ludzkiego umysłu do rozumowania w kategoriach przybliżonych, czego nie potrafią komputery. Tak więc zbiory i liczby rozmyte stanowią doskonałe narzędzie służące do formalizowania takiego przybliżonego rozumowania w terminach wieloznacznych, nieostrych, nieprecyzyjnych... Liczby rozmyte wg Zadeha W ujęciu klasycznym zbiory rozmyte są pojęciem uogólniającym koncepcję zbioru czy podzbioru pewnego niepustego zbioru (przestrzeni, obszaru rozważań, uniwersum). W języku

2 funkcji zbiór jest utożsamiany z jego funkcją charakterystyczną, czyli funkcją rzeczywistą o wartościach binarnych lub. Wówczas zbiór możemy zapisać jako zbiór par, gdzie oraz Pojęcie zbioru rozmytego, wprowadzone przez Lotfi Zadeha w 965 roku, rozszerza zbiór wartości funkcji do przedziału, a funkcja charakterystyczna zastępowana jest funkcją przynależności. Zbiorem rozmytym na uniwersum, nazywamy zbiór par: gdzie jest funkcją przynależności zbioru rozmytego, która każdemu elementowi przypisuje jego stopień przynależności do zbioru rozmytego,. Zbiory rozmyte pozwalają na stopniowe przechodzenie od przynależności do nieprzynależności poszczególnych elementów do zbioru [zob. rys. ], w przeciwieństwie do zbiorów klasycznych, gdzie przejście to charakter skokowy. Weźmy np. określenie wysoka temperatura. Trudno jest określić wyraźną granicę co jest wysoką temperaturą a co nie jest. Czy wysoka temperatura to 20 C, czy 25 C, a może 30 C? Stwierdzenie, że wysoka temperatura to na pewno temperatura powyżej 25 C, natomiast na pewno temperaturą wysoką nie jest temperatura poniżej 5 C, jest tu oczywiście sztuczne i nie możne być adekwatnie przedstawione za pomocą zbiorów klasycznych Temperatura Rysunek. Funkcja przynależności zbioru rozmytego wysoka temperatura. Dokładne stopnie przynależności dla poszczególnych elementów nie istnieją same w sobie, a są wyznaczane subiektywnie czy uzależnione od kontekstu, np. przez eksperta. Wskazują one tendencje, odzwierciedlając na elementach uniwersum uporządkowanie wprowadzone przez skojarzenie z zbiorem pewnej własności. W przypadku zbiorów rozmytych możemy wyróżnić trzy główne przypadki: oznacza pełną przynależność elementu do zbioru rozmytego, tzn., oznacza częściową przynależność do zbioru rozmytego, oznacza brak przynależności elementu do zbioru rozmytego, tzn.. Wraz z określeniem zbioru rozmytego określa się pewne jego integralne parametry jak nośnik i przekrój. Nośnikiem zbioru rozmytego nazywamy zbiór nierozmyty oznaczany jako i określony następująco:. Natomiast przekrojem zbioru rozmytego, oznaczanym jako, nazywamy następujący zbiór nierozmyty:,. Liczba rozmyta to szczególny rodzaj zbioru rozmytego określonego na zbiorze liczb rzeczywistych, który dodatkowo spełnia następujące warunki: jest normalny tzn., jest wypukły tzn., jego nośnik jest przedziałem, jego funkcja przynależności jest przedziałami ciągła. Zbiory rozmyte spełniające powyższe warunki w wielu pracach nazywane są rozmytymi liczbami wypukłymi lub klasycznymi zbiorami rozmytymi. Nośniki liczb rozmytych stanowią przedziały rzeczywiste R. Z tego względu liczby rozmyte nadają się doskonale do reprezentowania wielkości nieostrych, nieprecyzyjnych i wieloznaczne (jak dane ekonomiczne) za pomocą przedziałów

3 liczb rzeczywistych otwartych lub domkniętych, jeżeli tylko mamy pewność, że wielkość reprezentowana jest większa od i mniejsza od. Cztery podstawowe operacje: dodawanie (+), odejmowanie ( ), mnożenie ( ) i dzielenie (:) wyglądają następująco. Niech i będą liczbami rozmytymi z funkcjami przynależności i wówczas: gdzie * oznacza odpowiednio +,,, :, (przy dzieleniu ). Tak określone liczby rozmyte i działania na nich (które są dość skomplikowane obliczeniowo), stwarzają pewne ograniczenia. Chodzi tu przede wszystkim o powiększanie nośnika. Niezależnie czy dwie liczby dodajemy [zob. rys. 2] czy też odejmujemy [zob. rys. 3], następuję powiększanie nośnika, co powoduje, że po wykonaniu wielu działań nośnik liczby wynikowej może być tak szeroki, że informacja, którą wynikowa liczba prezentuje staje się mało użyteczna. B + B Rysunek 2. Liczby rozmyte i oraz wynik dodawania. B - B Rysunek 3. Liczby rozmyte i oraz wynik odejmowania. Innym istotnym ograniczeniem jest fakt, że dla dowolnej liczby rozmytej nie istnieją liczby rozmyte i takie, że oraz co oznacza, że [zob. rys. 4] oraz, gdzie 0 i oznaczają liczby rzeczywiste. - +(- ) Rysunek 4. Liczba rozmyta oraz wynik odejmowania. Bezpośrednią, negatywną konsekwencją takiego stanu rzeczy może być brak, w ogólnym przypadku, możliwości rozwiązania prostych równań, z niewiadomą, postaci oraz gdyż oraz. W przypadkach szczególnych rozwiązanie powyższych równań

4 może istnieć, ale nawet wówczas jego znalezienie jest trudne ponieważ pozostaje nam do dyspozycji metoda prób i błędów. Wspomnianych powyżej ograniczeń pozbawiony jest nowy model liczb rozmytych skierowane liczby rozmyte. Model skierowanych liczb rozmytych Ordered Fuzzy Numbers (OFN) został zaproponowany w 2002 roku przez prof. W. Kosińskiego, P. Prokopowicza i D. Ślęzaka [Kosiński, Prokopowicz, Ślęzak, 2002, s , Kosiński, Prokopowicz, Ślęzak, 2002, s , Kosiński, Prokopowicz, Ślęzak, 2002, s. 54 6]..2. Skierowane liczby rozmyte Skierowaną liczbą rozmytą nazywamy uporządkowaną parę funkcji, gdzie obie funkcje są ciągłe oraz. Odpowiednie części skierowanej liczby rozmytej nazywamy częścią wznoszącą i częścią opadającą [zob. rys. 5a]. Ponieważ obie części są ciągłe, to ich obrazy są ograniczonymi przedziałami odpowiednio i, których granice oznaczamy następująco: oraz. Do tych zbiorów możemy dołączyć na przedziale (ten przedział może być jednoelementowy) funkcję stałą równą (warunek normalności) [zob. rys. 5b]. Wówczas tworzy jeden przedział (nośnik liczby ). W przypadku, gdy obydwie funkcje i są odwracalne, istnieją dla nich funkcje odwrotne i określone na odpowiednich przedziałach i co pozwala na określenie funkcji przynależności liczby rozmytej w następujący sposób:. a) b) x y DOWN g f - g - UP DOWN x dolaczony przedzial UP f c) y y Rysunek 5. a) Przykładowa skierowana liczba rozmyta, b) skierowana liczba rozmyta przedstawiona w sposób nawiązujący do liczb rozmytych w klasycznym podejściu, c) strzałka przedstawiająca porządek odwróconych funkcji i orientację liczby rozmytej. Źródło: Kosiński, Prokopowicz, Ślęzak, 2002, s Tak określone liczby rozmyte nawiązują do klasycznych liczb rozmytych, są jednak wyposażone w dodatkową własność zaznaczoną strzałką skierowanie [zob. rys. 5c]. Graficznie liczba nie różni się od liczby, jednak w rzeczywistości są to dwie różne liczby, różniące się skierowaniem. Podstawowe działania na skierowanych liczbach rozmytych określone są następująco. Niech, i będą skierowanymi liczbami rozmytymi wówczas: jest sumą liczb i [zob. rys. 6], jeżeli x

5 B + B Rysunek 6. Suma skierowanych liczb rozmytych i. jest różnicą liczb i [zob. rys. 7], jeżeli B - B Rysunek 7. Różnica skierowanych liczb rozmytych i. jest iloczynem liczby przez skalar [zob. rys. 8], jeżeli 2* Rysunek 8. Iloczyn skierowanej liczby rozmytej przez skalar. jest iloczynem liczb i [zob. rys. 9], jeżeli B B * Rysunek 9. Iloczyn skierowanych liczb rozmytych i.

6 jest ilorazem liczb i [zob. rys. 0], jeżeli oraz /B B /B / B= */ B Rysunek 0. Iloraz skierowanych liczb rozmytych i. Tak określone działania są analogiczne do działań na liczbach rzeczywistych, w szczególności dla dowolnej skierowanej liczby rozmytej mamy [zob. rys. i 2]: oraz o ile skierowana liczba jest odwracalna. - +(- ) Rysunek. Suma skierowanych liczb rozmytych przeciwnych. / */ Rysunek 2. Iloczyn skierowanych liczb rozmytych odwrotnych.

7 Pozwala to na rozwiązywanie równań postaci oraz w skierowanych liczbach rozmytych stosując metodę eliminacji, w sposób analogiczny do rozwiązywania równań na liczbach rzeczywistych. l - + p Rysunek 3. Przykładowa OFN wraz z charakterystycznymi punktami. Na rysunku 3 pokazano przykładową skierowaną liczbę rozmytą i zaznaczono jej charakterystyczne punkty. Pozwala to na opisanie takiej liczby za pomocą czwórki liczb rzeczywistych: gdzie:,, i. Taka reprezentacja skierowanych liczb rozmytych umożliwia szybkie wykonywanie działań na tych charakterystycznych elementach. W dalszej części przedstawione zostaną przykłady zastosowania skierowanych liczb rozmytych do modelowania wielkości ekonomicznych. 2. Ekonomiczne interpretacje skierowanych liczb rozmytych W wielu dziedzinach, zarówno nauki jak i zastosowań praktycznych, występuje tendencja do ścisłego i sformalizowanego opisu wszelkich obiektów. Nawet w najbardziej złożonych systemach społeczno-ekonomicznych budowane modele mają postać pewnych równań czy układów równań matematycznych np. algebraicznych lub różniczkowych, które wiążą dane wejściowe z wyjściowymi w sposób umożliwiający odzwierciedlenie rzeczywistych zależności między nimi. Jednak modele takie oparte są na założeniu, że wielkości w nich występujące są mierzalne i możemy je zapisać za pomocą liczb rzeczywistych. Natomiast w rzeczywistej gospodarce niektóre wielkości ekonomiczne są trudno mierzalne a precyzyjne ich określenie może być wręcz niemożliwe, ponieważ są one obarczone niepewnością i podlegają ciągłym fluktuacjom. Ponadto są podatne na wszelakie zakłócenia i sygnały płynące z gospodarki, co nastręcza trudności z jednoznacznym opisaniem ich wartości. W tej sytuacji możemy się zwrócić w stronę zbiorów i liczb rozmytych, które umożliwiają matematyczny opis i przetwarzanie wielkości niepewnych i nieprecyzyjnych, co poniżej zostanie przedstawione na przykładach. 2.. Utarg w sieci placówek handlowych Utarg, czyli suma wpływów gotówkowych brutto ze sprzedaży dóbr (towarów i usług) w ramach prowadzonej działalności gospodarczej, jest jedną z kluczowych informacji dla podmiotów gospodarczych. Znajomość jego wartości w nadchodzącym okresie może być podstawą do rozwijania, korygowania lub też zaniechania działalności. Jednak w ciągle zmieniającym się otoczeniu rynkowym, precyzyjne ustalenie wartości utargu w okresie przyszłym jest niemal niemożliwe. W tej sytuacji z pomocą przychodzą skierowane liczby rozmyte, które umożliwiają opis tego typu wielkości i dalsze przetwarzanie tych informacji w modelach ekonomicznych. Załóżmy, dla uproszczenia, że sieć placówek handlowych składa się z dwóch jednostek i. Ekspert/analityk, który dokonywał prognozy utargu dla obu placówek, wyniki zaprezentował za pomocą skierowanych liczb rozmytych trójkątnych (przedział jest jednoelementowy) [zob. rys. 4]. Pozwala to na jednoczesne zobrazowanie trzech elementów:. Określenie wartości utargu czyli zbioru elementów z jądra. Liczbę możemy określić jako około 4, tzn. że spodziewany utarg w placówce powinien oscylować w okolicy 4mln. Z kolei liczba opisuje sytuację około 3, czyli osiągnięty utarg w placówce będzie bliski 3mln. 2. Określenie trendu w którym podąży utarg w porównaniu z okresem poprzednim znajduje to odzwierciedlenie w skierowaniu liczby (strzałce). W placówce mamy skierowanie (nazwijmy je

8 umownie negatywne, bo jest przeciwne w stosunku do osi), które oznacza, że w tej placówce utarg będzie spadał w porównaniu z okresem poprzedzającym badanie. Z kolei w placówce, skierowanie jest pozytywne (zgodne z osią), co oznacza, że ta placówka rozwija się lepiej i zwiększy utarg w porównaniu z minionym okresem. 3. Możliwości rozwoju obrazowane jest to szerokością nośnika (im szerszy nośnik, tym większe możliwości rozwoju danej placówki). W przypadku placówki szerokość nośnika jest umiarkowana, co oznacza dość stabilną pozycję placówki i ograniczone możliwości zwiększania utargu. Może to wynikać z faktu, że placówka już długo jest na rynku, ma ugruntowaną pozycję i stałych klientów. Dodatkowo duża konkurencja w jej otoczeniu sprawia, że zwiększenie utargu jest trudne. Z kolei placówka ma zdecydowanie szerszy nośnik, co odzwierciedla większe możliwości rozwoju. Może to wynikać z faktu, że jest to nowa jednostka, powstała w miejscu, gdzie konkurencja jest ograniczona i łatwiej jej przyciągnąć klientów oraz zwiększyć utarg. a) b) B Rysunek 4. Prognozowany utarg placówek a) i b). Właściciela sieci placówek handlowych, oprócz informacji o utargu z poszczególnych jednostek, interesuje również wypadkowy utarg (suma utargów z poszczególnych placówek) z sieci. Ograniczając rozważania do placówek i można oczekiwać wypadkowego utargu na poziomie około 7, czyli powinien on oscylować w okolicy 7mln. Ponadto w placówce utarg będzie niższy niż w okresie poprzednim a nośnik pokazuje niewielkie możliwość zmiany tej tendencji. Natomiast w placówce będzie wzrastał a szerokość nośnika pokazuje, że są duże możliwości jego poprawy. W związku z tym oczekujemy, że wypadkowy utarg będzie wzrastał jednak duże możliwości rozwoju jednostki zostaną nico wytłumione przez małe możliwości jednostki. naliza taka znajduje dokładne odzwierciedlenie w skierowanych liczbach rozmytych. Na rysunku 5 przedstawiono sumę, która dokładnie obrazuje omówione uwagi. +B Rysunek 5. Prognozowany łączny utarg placówek i.

9 nalogiczne rozumowanie możemy przeprowadzić odnośnie kosztów w poszczególnych placówkach i kosztu wypadkowego. To z kolei pozwoli na analizę zysków jednostkowych i zysku wypadkowego Poziom produkcji całkowitej w wybranej gałęzi gospodarki Poziom produkcji całkowitej (wykorzystywany m.in. w modelu Leontiewa) określonej gałęzi gospodarki wyrażamy w jednostkach pieniężnych, licząc produkty wytwarzane w danej gałęzi po pewnych określonych cenach i będziemy reprezentować za pomocą skierowanej liczby rozmytej. Liczba taka będzie wypadkową oceną grupy ekspertów (lub oceną pojedynczego eksperta) przeprowadzających analizę możliwości produkcyjnych danej gałęzi na nadchodzący okres. nalizy ekspertów uwzględniają trzy czynniki [Kacprzak, 2009, s ]: ocenę perspektyw (koniunktury) przed gałęzią w nadchodzącym okresie, możliwości dokonania zmian w poziomie produkcji całkowitej, jak zmiany poziomu produkcji wpłyną na wynik finansowy gałęzi (mierzony np. za pomocą zysku). Elementy te znajdują odzwierciedlenie w skierowanej liczbie rozmytej w następujący sposób: skierowanie określa koniunkturę w gałęzi, nośnik opisuje możliwe do osiągnięcia poziomy produkcji nie pogarszające kondycji finansowej gałęzi, wartości funkcji przynależności ilustrują zmianę kondycji finansowej gałęzi wywołane zmianą poziomu produkcji. a) l - + p b) p + - l Rysunek 6. Skierowana liczba rozmyta : a) skierowana pozytywnie, b) skierowana negatywnie. Rozważymy skierowane liczby rozmyte trapezoidalne (część jest przedziałem) [zob. rys. 6]. Dodatkowo podzielimy je na dwie grupy: skierowane pozytywne i negatywne, w zależności od prognozowanej koniunktury w danej gałęzi Liczby rozmyte o skierowaniu pozytywnym Liczby o skierowaniu pozytywnym [zob. rys. 6a] będą opisywały poziom produkcji całkowitej w gałęzi, która zdaniem ekspertów ma przed sobą dobre perspektywy w nadchodzącym okresie (co odzwierciedla skierowanie). Zwyżkująca koniunktura na produkcję tej gałęzi sprawia, że powinna ona zwiększyć poziom produkcji całkowitej, poprawiając wynik finansowy, którego miernikiem będzie funkcja przynależności. Załóżmy, że punkt określa poziom produkcji w danej gałęzi w okresie poprzedzającym badanie. Wówczas wartość funkcji przynależności stanowi wartość odniesienia, w stosunku do której eksperci odnoszą wynik finansowy uzyskany przy wyższych poziomach produkcji. Poszczególnym elementom skierowanej pozytywnie liczby rozmytej możemy nadać następującą interpretację [Kacprzak, 2009, s ]:

10 punkt wyjściowy poziom produkcji, który może być utrzymany bez zmiany wyniku finansowego gałęzi. Jednak dobra koniunktura sprawia, że eksperci są zgodni, iż powinien być zwiększony, poprawiając ten wynik, część część ta odzwierciedla sytuację, że rosnący poziom produkcji całkowitej zapewnia gałęzi coraz lepszy wynik finansowy (w stosunku do poziomu odniesienia, co jest widoczne w rosnących wartościach funkcji przynależności. Może to wynikać z faktu, że gałąź dysponowała niewykorzystanymi środkami produkcji w postaci maszyn, urządzeń czy też całych linii produkcyjnych, których uruchomienie nie pociąga za sobą znacznych kosztów. Wówczas przychód uzyskany ze zbytu dodatkowej produkcji (ponad poziom ) przewyższy poniesione dodatkowe koszty związane z uruchomieniem dodatkowych mocy produkcyjnych i zapewni poprawę wyniku finansowego, część poziom produkcji, (umownie nazwiemy go optymalnym) który w danej sytuacji gospodarczej zapewnia najlepszy wynik finansowy. Stabilizacja funkcji przynależności (obrazowana jako wartość stała równa ) oznacza, że koszty (zakupu dodatkowych maszyn i urządzeń, zwiększenia zatrudnienia) umożliwiające dalsze zwiększanie poziomu produkcji zaczynają równoważyć się z przychodem uzyskanym ze sprzedaży dodatkowej produkcji, co hamuje poprawę wyniku finansowego, część ta część odzwierciedla stan w którym dalsze zwiększanie poziomu produkcji zacznie osłabiać wynik finansowy (w stosunku do uzyskanego przy poziomie produkcji z części ). Może to wynikać z faktu, że uzyskanie takiego poziomu produkcji pociągnie za sobą znaczny wzrost kosztów (rozbudowa istniejących zakładów, zakup nowych maszyn i urządzeń, nowych linii produkcyjnych, zwiększenie liczebności kadry zarządzające), które w coraz większym stopniu będą pochłaniać wyższy przychód uzyskany ze sprzedaży dodatkowej produkcji. Ponadto mogą się na to nałożyć kłopoty ze zbytem nadmiaru produkcji, co z jednej strony ograniczy przychód, zaś z drugiej podniesie koszty związane z magazynowaniem niewykorzystanej produkcji, punkt jest to maksymalny poziom produkcji jaki może być osiągnięty, bez pogarszania bieżącej kondycji finansowej gałęzi. Dalsze zwiększanie produkcji pociąga za sobą znaczne koszty (budowa nowych zakładów, fabryk), których nie da się zbilansować wyższym przychodem. Dodatkowo mogą się nasilić trudności ze zbytem tak wysokiego poziomu produkcji Liczby rozmyte o skierowaniu negatywnym Liczb o skierowaniu negatywnym [zob. rys. 6b] użyjemy do scharakteryzowania poziomu produkcji w gałęzi, która, zdaniem ekspertów, ma przed sobą pogarszającą się perspektywę. Słabnący popyt na produkcję tej gałęzi sprawia, że powinna ona zmniejszyć poziom produkcji całkowitej, który może poprawić wynik finansowy lub złagodzić skutki złej koniunktury. Również tutaj założymy, że punkt określa poziom produkcji w danej gałęzi w okresie poprzedzającym badanie. by zapewnić analogiczną interpretację funkcji przynależności liczby skierowanej negatywnie (z funkcją przynależności liczby skierowanej pozytywnie) przyjmiemy, że wartość określa oczekiwany wynik finansowy gałęzi (gdy jest ujemny, to określa straty), który gałąź by osiągnęła, gdyby nie nastąpiły zmiany w poziomie produkcji przy słabnącej koniunkturze. Jednocześnie wartość ta stanowi poziom odniesienia do wyniku finansowego uzyskanego przy niższych poziomach produkcji. Poszczególne elementy skierowanej negatywnie liczby rozmytej możemy interpretować następująco [Kacprzak, 2009, s ]: punkt wyjściowy poziom produkcji. Przy słabnącej koniunkturze, niższe przychody oraz rosnące koszty związane z magazynowaniem niewykorzystanej produkcji pogarszają wynik finansowy i zmuszą gałąź do obniżenia poziomu produkcji, część obniżanie poziomu produkcji będzie łagodzić skutki słabnącej koniunktury i poprawiać kondycję gałęzi. Wynika to faktu, że mimo iż niższa produkcja zapewnia mniejszy przychód, to jednak spadek kosztów związanych z zakupem surowców do produkcji, kosztów magazynowania ewentualnego nadmiaru produkcji oraz ograniczenie zatrudnienia zapewnia poprawę wyniku finansowego, część poziom produkcji, który nazwiemy optymalnym w aktualnej sytuacji gospodarczej, zapewniający zbyt całej produkcji. Dodatkowo malejące koszty zaczynają równoważyć malejące przychody, co zapewnia stabilizację wyniku finansowego,

11 część ta część odzwierciedla sytuację, w której dalsze obniżanie poziomu produkcji może doprowadzić do pogorszenia kondycji finansowej gałęzi (w stosunku do wyniku uzyskanego przy poziomie produkcji z części ). Malejąca produkcja zapewnia niższy przychód, który w coraz większym stopniu jest pochłaniany przez koszty związane z funkcjonowaniem gałęzi (np. koszty stałe), jednak nadal zapewnia nieznaczny dodatni wynik finansowy, punkt jest to minimalny poziom produkcji, który zapewnia gałęzi funkcjonowanie. Dalsze obniżanie produkcji grozi bankructwem i wyjściem z rynku OFN w modelu Leontiewa Model Leontiewa, znany jest również w literaturze pod nazwami: model przepływów międzygałęziowych, model input output czy model nakładów i wyników. Model ten daje możliwość opisywania i analizy złożonych systemów gospodarczych. Opiera się na obserwacji gospodarki w skład której wchodzi wiele gałęzi produkcyjnych, których działalność jest wzajemnie powiązana. Powiązania te wynikają z faktu, że produkcja jednych gałęzi jest zużywana jako nakład w innych gałęziach. Dodatkowo część produkcji zostaje przeznaczona na zaspokojenie potrzeb odbiorców końcowych (sektora gospodarstw domowych czy tworzenie zapasów). Model Leontiewa zapisujemy w postaci (system składa się z gałęzi) [Czerwiński, 980]: gdzie: oznacza macierz (wektor) produkcji całkowitej (globalnej), macierz współczynników kosztów, macierz (wektor) produktu końcowego. oznacza macierz jednostkową stopnia. Macierz nosi nazwę macierzy Leontiewa i przekształca wektor produkcji całkowitej w wektor produktu końcowego. Model Leontiewa umożliwia odpowiedź na pytanie jaka powinna być produkcja każdej gałęzi gospodarki, aby zrównoważyć popyt zgłaszany zarówno przez same gałęzie jak i sektor gospodarstw domowych. Pozwala również na analizę na podstawie oceny stanu zdolności produkcyjnych gospodarki (określonego wektora produkcji całkowitej ), określić wektor produktu końcowego, jakiego można oczekiwać przy realizacji zakładanego planu produkcyjnego. Rozważmy pewien fikcyjny system gospodarczy składający się z trzech gałęzi [zob. tabela ]. Na jego bazie przedstawimy analizę modelu Leontiewa ze względu na wektor produkcji całkowitej, którego współrzędne będą skierowanymi liczbami rozmytymi (zakładając stabilność współczynników kosztów macierzy ) [Kacprzak, 2009, s ]. numer gałęzi i przepływy międzygałęziowe j produkt końcowy Tabela. Tablica przepływów międzygałęziowych fikcyjnego systemu. Źródło: Kacprzak, 2009, s produkcja całkowita Macierz współczynników kosztów oraz macierz Leontiewa mają postaci: Załóżmy, że wektor produkcji całkowitej, oszacowany przez ekspertów, ma postać: Oznacza to, że pierwsza gałąź ma przed sobą dobre perspektywy, a jej produkcja powinna się kształtować w zakresie, aby gałąź wykorzystała koniunkturę i poprawiła wynik.

12 finansowy. Dodatkowo, aby osiągnąć optymalny (najlepszy) wynik, produkcja powinna oscylować w przedziale. Ponadto eksperci ocenili, że w dwóch pozostałych gałęziach nie ma istotnych przesłanek, które mogłyby wpłynąć na poziom produkcji, w wyniku czego uznają oni, iż dotychczasowy poziom produkcji, odpowiednio i, powinien zostać zachowany. Taki wektor produkcji całkowitej pozwala na uzyskanie wektor produktu końcowego w postaci: Widzimy, że produkt końcowy pierwszej gałęzi będzie miał tendencje do wzrostu i oscylował w zakresie, co wynika ze wzrostu poziomu produkcji w pierwszej gałęzi. Produkty końcowe w dwóch pozostałych gałęziach będą się obniżać i kształtować odpowiednio w przedziałach i. Wynika to z faktu, że gałęzie te nie zmieniły poziomu produkcji, a rosnący poziom produkcji pierwszej gałęzi, poprzez przepływy międzygałęziowe, pochłania większą część produkcji pozostałych gałęzi, co skutkuje zmniejszonym ich produktem końcowym. Możemy również poddać analizie poszczególne części skierowanych liczb rozmytych. Jeżeli gałąź pierwsza ustawi poziom produkcji na poziomie optymalnym (CONST), wówczas produkt końcowy będzie się kształtował w poszczególnych gałęziach odpowiednio w zakresach, i. Ustalenie produkcji pierwszej gałęzi na poziomie z części, czyli w zakresie, oznacza, że gałąź chce skorzystać z dobrej koniunktury, ale jednocześnie eksperci przewidują, że koniunktura w dalszej przyszłości może nie być już tak dobra, co zniechęca do większych inwestycji i rozszerzania produkcji. Wówczas produkt końcowy poszczególnych gałęzi będzie kształtował się odpowiednio w zakresach, i. Z kolei część odzwierciedla, że perspektywy długofalowe są dobre i znaczące zwiększenie poziomu produkcji, mimo nie uzyskania optymalnego wyniku finansowego w nadchodzącym okresie, zapewni w dłuższej perspektywie dobry rezultat. Możemy również dokonać analizy funkcji przynależności, przez pryzmat -przekrojów, jeżeli któraś z gałęzi chce ustawić produkcję na poziomie, który zapewni jej poprawę wyniku finansowego w co najmniej określonym stopniu. Podobnie możemy analizować model Leontiewa jeżeli wszystkie współrzędne wektora produkcji całkowitej są rozmyte i oceniamy produkt końcowy każdej gałęzi oraz sytuację odwrotną kiedy rozmywamy wektor produktu końcowego i określamy poziom produkcji całkowitej niezbędnej do jego uzyskania. Dodatkowo skierowanie pozwala na śledzenie skutków (spadku czy wzrostu) w danych wyjściowych w zależności od tendencji danych wejściowych, co przy analizie macierzy lub macierzy Leontiewa może być trudne lub wręcz niemożliwe przy większej liczbie gałęzi. Podsumowanie Celem pracy była analiza możliwości wykorzystania i przydatności skierowanych liczb rozmytych w badaniach ekonomicznych. Przykłady pokazują, że mogą być one z powodzeniem stosowane w modelach ekonomicznych, dając wyniki zgodne z intuicją i wiedzą ekonomiczną. Prostota wykonywanych na nich działań i ilość informacji jakie mogą przenosić stanowią niewątpliwie ich zalety. Pozwalają na modelowanie zjawisk i wielkości, których nie daje się zmierzyć i opisać za pomocą liczb rzeczywistych, a z taką sytuacją mamy do czynienia najczęściej w modelowaniu ekonomicznym, gdzie wielkości wejściowe są obarczone niepewnością, wrażliwe na czynniki i zaburzenia zewnętrzne. Literatura. Czerwiński Z., 980, Matematyka na usługach ekonomii, PWN, Warszawa. 2. Dubois D., Prade H., 978, Operations on fuzzy numbers, Int. J. System Science 9, s Drewniak J., 200, Liczby rozmyte, w: Zbiory rozmyte i ich zastosowania, Chojcan J., Łęski J. (eds.) Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, s Kacprzak D., 2009, Ewolucja liczb rozmytych, VII Konferencja naukowo-praktyczna : Energia w nauce i technice, s

13 5. Kacprzak D., 2009, Model Leontiewa i skierowane liczby rozmyte, VII Konferencja naukowopraktyczna : Energia w nauce i technice, s Kacprzyk J., 200, Wieloetapowe sterowanie rozmyte. Wydawnictwa Naukowo Techniczne, Warszawa. 7. Kacprzyk J., 986, Zbiory rozmyte w analizie systemowej, PWN, Warszawa. 8. Kosiński W., Prokopowicz P., Ślęzak D., 2002, Fuzzy numbers with algebraic operations: algorithmic approach, in: Intelligent Information Systems 2002, Kłopotek M., Wierzchoń S. T., Michalewicz M., (eds.) Proc. IIS 2002, Sopot, June 3 6, 2002, Poland, Physica Verlag, 2002, s Kosiński W., Prokopowicz P., Ślęzak D., 2002, Drawback of fuzzy arthmetics new intutions and propositions, in: Proc. I METH, Methods of ritificial Intelligence, Burczyński T., Cholewa W., Moczulski W., (eds.), Gliwice, Poland (2002), s Kosiński W., Prokopowicz P., Ślęzak D., 2002, On algebraic operations on fuzzy reals, in: dvances in Soft Computing, Proc. of the Sixth Int. Conference on Neutral Networks and Soft Computing, Zakopane, Poland June 5, 2002, Rutkowski L., Kasprzyk J. (eds.), Physica- Verlag, Heidelberg, s Kosiński W., Prokopowicz P., Ślęzak D., 2003, Ordered fuzzy numbers, Bull. Pol. cad. Sci. Math., Ser. Sci. Math., 5, (3), s Kosiński W., Prokopowicz P., 2004, lgebra liczb rozmytych, Matematyka stosowana, 5 (46), 2004, Pismo Polskiego Towarzystwa Matematycznego, Warszawa, s Kosiński W., 2006, On Fuzzy Number Calculus, Int. J. ppl. Comput. Sci., v.6, no., pp Łachwa., 200, Rozmyty świat zbiorów, liczb, relacji, faktów, reguł i decyzji. kademicka Oficyna Wydawnicza EXIT Warszawa. 5. Zadeh L..,965, Fuzzy sets, Information and Control 8, s bstract The space of ordered fuzzy numbers (OFN), the new model of fuzzy numbers that make possible to deal with fuzzy inputs quantitatively, exactly in the same way as with real numbers, is shortly presented. The use of OFN is getting rid of the main problem in classical fuzzy numbers - unbounded increase in fuzziness with calculations. In next step is shown a few examples of the potential use of these numbers to model such vague terms as observed values of some economical terms, like takings or production level, that can be inaccurate or can be difficult to measure with an appropriate precision because of technical reasons.