Afiniczne rekursje stochastyczne z macierzami trójkatnymi

Transkrypt

1 Afiniczne rekursje stochastyczne z macierzami trójkatnymi Ewa Damek (Uniwersytet Wrocławski ) (wyniki wspólne z Witoldem Światkowskim, Jackiem Zienkiewiczem - Uniwersytet Wrocławski, Muneya Matsui - Nanzan University) Rzeszów

2 Losowe równanie afiniczne X = d AX + B, (A, B) X A M(d, R), X, B R d. X = A 1... A n 1 B n = A 1 A 2... A n 1 B n +B 1 = A 1 X θ+b 1 n=1 n=2 Jeśli E log + A <, E log + B < i 1 γ = inf n 1 n E log Π n = lim log Π n 1/n < 0, n Π n = A 1 A n, (A n, B n ) i.i.d to mamy zbieżność i istnieje jedyne rozwiazanie (Bougerol, Pickard, 1992). Π n e γn/2 p.w. od pewnego miejsca. X = n=1 A n 1 B = A n=2 A n 2 B + B. Jeśli lim n A n 1/n < 1, to szereg zbieżny.

3 Losowe równanie afiniczne X = d AX + B, A M(d, R), X, B R d. (A, B) X A ij = 0, i > j X = A 1... A n 1 B n n=1 P( X > t)? Przypadek jednowymiarowy W = d MW + Q, M > 0, W niezależne od (M, Q) 1 γ = lim ni=1 n n log M i = E log M < 0 M 1 M n 0 eksponencjanie szybko, W = n=1 M 1... M n 1 Q n

4 Goldie(1991)-Kesten(1973), przypadek jednowymiarowy W = d MW + Q, M > 0, W niezależne od (M, Q) Theorem Załóżmy, że rozkład log M jest niearytmetyczny, E log M < 0, EM α = 1 dla pewnego α > 0 i E[ Q α ] <, ρ = E[M α log M] <. Wtedy P[W > t] C + t α i P[W < t] C t α. C + + C > 0 lub W = x 0 p.w. E W β <, 0 < β < α h(β) = EM β < 1, 0 < β < α, h (β) = EM β (log M) 2 > 0, h (β) = EM β log M, h (0) < 0. W = M 1 M n 1 Q n supp n M 1 M n n=1 P(M 1 M log t/ρ > t) Ct α (log t) 1/2,

5 GARCH(1,1) X t = σ t Z t, t Z, Z t 0 i.i.d, często N(0, σ), volatility (zmienność) σ t 0 zależy od Z s, s < t, ciag stacjonarny. Z t, σ t niezależne. Modeluje ceny instrumentów finansowych. σ 2 t =α 0 + α 1 X 2 t 1 + β 1 σ 2 t 1 = α 0 + α 1 σ 2 t 1Z 2 t 1 + β 1 σ 2 t 1 =α 0 + (α 1 Z 2 t 1 + β 1 )σ 2 t 1 = α 0 + Mσ 2 t 1 α 0, α 1, β 1 > 0. Jeśli E log(α 1 Zt β 1) < 0, to wpadamy w tw. Kestena-Goldiego. W σ t, W = d α 0 + MW. σ t ma ogon cięższy niż Z t. Stad X t ma ogon cięższy niż Z t. E(α 1 Zt β 1) α = 1 to można go precyzyjnie opisać. Buraczewski, Damek, Mikosch Stochastic Models with Power Law Tails. The Equation X = AX + B, 2016.

6 Uproszczona wersja twierdzenia Kestena (1973) X = d AX + B, (A, B) X ( h(s) = inf E Πn s) 1/n, Πn = A 1 A n, h(s) = EM s n N Załóżmy, że Wtedy A ij > 0, A odwracalna, B 0 istnieje α > 0 takie, że h(α) = 1, + istnienie pewnych momentów A ij i B P( x, X > t) e(x)t α, x S d 1 e(x) > 0 gdy x 0, x = 1. Nieredukowalność działania. Alsmeyer, Mentemeier; Guivarc h, Le Page; Klüppelberg, Pergamenchtchikov; Buraczewski, Damek, Guivarc h, Hulanicki, Urban.

7 GARCH(2,1) X t = σ t Z t, t Z, Z t 0 i.i.d, często N(0, σ), volatility σ t 0 zależy od Z s, s < t, ciag stacjonarny. Z t, σ t niezależne. σ 2 t = α 0 + α 1 X 2 t 1 + α 2 X 2 t 2 + β 1 σ 2 t 1, α 0, α 1, α 2, β 1 > 0 X t = ( σ 2 t+1 X 2 t ) = ( α1 Zt 2 + β 1 α 2 Zt 2 0 X t = A t X t 1 + B ) ( σ 2 t X 2 t 1 ) + ( α0 0 Jeśli α 1 + α 2 + β 1 < 1, to γ < 0 i wpadamy w tw. Kestena. σ t ma ogon cięższy niż Z t. Stad X t ma ogon cięższy niż Z t. Jeśli istnieje s, E(α 1 Z 2 t + β 1 ) s > 1, to istnieje α, h(α) = 1. )

8 Macierze trójkatne 2015 A = ( a y 0 d ), B = ( b1 b 2 ) X = AX + B, X 2 = dx 2 + b 2, Przy założeniach Kestena-Goldiego mamy wg. rozkładu wg. rozkładu lim t tα 2 P[X 2 > t] = c + i lim t α 2 P[X 2 < t] = c. t Ponadto X 2 = d 1... d n 1 b 2,n n=1 E log a < 0, E log d < 0, Ea α 1 = 1, Ed α 2 = 1

9 Bivariate GARCH(1,1) X t = ( Xt,1 X t,2 ) ( σt,1 Z = t,1 σ t,2 Z t,2 ) σ t,1 = α 11 X 2 t 1,1 + α 12 X 2 t 1,2 + β 11 σ 2 t 1,1 + β 12 σ 2 t 1,2 + α 01 σ t,2 = α 21 Xt 1,1 2 + α 22 Xt 1,2 2 + β 21 σt 1,1 2 + β 22 σt 1,2 2 + α 02 ( ) ( ) ( ) σ 2 t,1 σ 2 σt,2 2 = A t 1,1 α01 σt 1,2 2 + α 02 A 11 =α 11 Z 2 t 1,1 + β 11, A 12 = α 12 Z 2 t 1,2 + β 12 A 21 =α 21 Z 2 t 1,1 + β 21, A 22 = α 22 Z 2 t 1,2 + β 22 A ij > 0 to Kesten, A 21 = α 21 Z 2 t 1,1 + b 21 = 0, to my.

10 Wykładnik Lapunova A ij = 0, for i > j, A ii > 0 Istnieje ε > 0 takie, że Ea ε, Ed ε η < 1, to wtedy γ < 0. Niech A n = D n + N n, gdzie ( ) ( ) an 0 0 yn D n =, N 0 d n = n 0 0 A 1 A n =(D 1 + N 1 ) (D n + N n ) n = D 1 D i 1 N i D i+1 D n + D 1 D n i=1 bo N i diagn j = 0. E A 1 A n ε Cnη n, η < 1 ( ) 0 a1 a D 1 D i 1 N i D i+1 D n = i 1 y i d i+1 d n 0 0

11 Pierwsza współrzędna X = A 1... A n 1 B n X 1 = a 1 a n 1 b 1,n + X, n=1 n=1 gdzie ( X n 1 ) = a 1 a i 1 y i d i+1 d n 1 b2,n n=2 i=1 ( ) ( ) a1 a A 1 A n 1 B n = n 1 b1,n 0 d 1 d n 1 b 2,n Co jest cięższe X czy i=1 a 1 a n 1 b 1,n. Ea α 1 = 1, Ed α 2 = 1 ( ) an y A n = n 0 d n α 2 < α 1 to X cięższy, α 1 < α 2 nie.

12 Ostatnie wyniki Theorem (Matsui, W. Światkowski, Damek) Załóżmy, że B 0, E log a < 0, E log d < 0, Ea α 1 = 1, Ed α 2 = 1 i pewne założenia o momentach. Jeśli α 1 < α 2 to P(X 1 > t) Ct α 1, C > 0. Jeśli α 1 > α 2 to P(X 1 > t) Ct α 2, C > 0. Jeśli α 1 = α 2 = α to powinno być P( X > t) L(t)t α. Theorem (Damek, Zienkiewicz) Jeśli A 11 = A 22, A 12 R to P( X > t) Ct α (log t) α or P( X > t) Ct α (log t) α/2, C > 0. W zalezności od średniej A 12. ( ) a y X = X + B 0 d

13 d-wymiarowe stochastyczne równanie afiniczne Muneya Matsui, W. Światkowski X = d AX + B, (A, B) X A M(d, R), A ij = 0, for i > j, A ii > 0. Załóżmy, że A ij 0, EA α i ii = 1 dla pewnych α i > 0 i niech α 1,... α d będa parami różne, B i 0. Wtedy dla każdego i P(X i > t) t α i, gdzie α i zależy tylko od α i,... α d. EA α i ij EA α i ii <, E log A ii < 0, log A ii niearytmetyczne, log + A ii <

14 Pierwsza współrzędna X 1 = a 1 a n 1 b 1,n + X, X 2 = d 1... d n 1 b 2,n i=1 n=1 P ( a 1 a n 1 b 1,n > t ) t α 1 i=1 X = a 1 a i 1 y i X 2 θ i i=1 α 1 < α 2 to E X 2 θ i α 1 <. Prawie jak założenia Goldiego tyle, że X 2 θ i stacjonarny nie i.i.d. P(X 1 > t) t α 1. α 1 > α 2, to Ea α 2 < 1. Z lematu Breimana P(a 1 a i 1 y i X 2 θ i > t) (c + c + )t α 2 (Ea α 2 ) i 1 E y i α 2.

15 Zimowa Szkoła dla Studentów Małe Horyzonty - Baby Horizons, Będlewo , Piotr Śniady, Krzysztof Fraczek z Torunia, Piotr Gwiazda z Warszawy będa , Radosław Adamczak, Piotr Zakrzewski z MIMUW i Jacek Wesołowski z MINI bedą info na stronie Banach Center organizatorzy: Piotr Rudnicki, Kajetan Jastrzębski, Oskar Słowik, Tomasz Limisiewicz

16 Buraczewski, Damek, Guivarc h, Hulanicki, Urban X = d AX + B, X niezależne od (A, B), A R + O(d) Theorem Załóżmy, że rozkład log A jest niearytmetyczny, E log A < 0, E A α = 1 dla pewnego α > 0 i E[ B α + A α log + A ] <. Ponadto załóżmy, że P[Ax + B = x] < 1 dla każdego x R d. Wtedy isnieje niezerowa miara σ na S d 1 taka, że P[ X > t, o ile σ( W ) = 0. Dokładniej, A α Ef (A 1 R) f C c (R), A. X X W Sd 1 ] σ(w )t α 0 α f (rω) drdσ(ω) r α+1