Rozdział 4 Równanie Schrödingera
|
|
- Adam Michalik
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozdział 4 Równanie Schrödingera 4.1 Równanie falowe Schrödingera 4. Obserwable, stany stacjonarne, wartości średnie 4.3 Nieskończona studnia potencjału 4.4 Skończona studnia potencjału 4.5 Trójwymiarowa nieskończona studnia potencjału 4.6 Degeneracja 4.7 Oscylator harmoniczny 4.8 Bariery i tunelowanie 4.9 Studnia potencjału 0 Erwin Schrödinger ( Wnikliwa analiza procesu obserwacji w fizyce atomowej wykazała, że cząsteczki subatomowe nie mają znaczenia jako pojedyncze jednostki, ale mogą być rozumiane wyłącznie w kontekście przygotowanego eksperymentu i dokonanego pomiaru. - Erwin Schrödinger Przygotowanie Marek Szopa, na podstawie Rick Trebino, Georgia Tech,
2 Opinie o mechanice kwantowej Myślę, że śmiało można powiedzieć, że nikt nie rozumie mechaniki kwantowej. Jeśli nie musisz nie zadawaj sobie pytania: "Ale jak to może tak być?", bo zabrniesz w ślepą uliczkę, z której nikt jeszcze nie uciekł. Nikt nie wie, jak może tak być. - Richard Feynman Ci, którzy spotkawszy się po raz pierwszy z mechaniką kwantową nie są w szoku, prawdopodobnie nie rozumieją jej.. Richard Feynman ( Niels Bohr
3 4.1: Równanie falowe Schrödingera Jednowymiarowe równanie falowe Schrödingera, zależne od czasu, dla cząstek o energii E poruszających się w potencjale V : (, t ħ Ψ (, t Ψ iħ + V Ψ t t m (, gdzie V V(,t gdzie i jest pierwiastkiem kwadratowym z -1. Równanie Schrodingera jest FUNDAMENTALNYM równaniem Mechaniki Kwantowej. Porównajmy je z równaniem falowym dla elektromagnetyzmu: Ψ 1 Ψ v t 0
4 Rozwiązanie ogólne równania falowego Schrödingera dla V 0 Ψ(, t ħ Ψ(, t Sprawdźmy rozwiązanie: iħ t m Ψ (, t Ae i ( k ωt A[cos( k ωt + i sin( k ωt] Ψ i ( k ωt iω Ae iω Ψ t iħ Ψ ( iħ( iω Ψ ħω Ψ t Ψ k Ψ ħ Ψ ħ k Ψ m m Równanie jest spełnione jeśli: ħ k p ħω hν E m m Co oznacza, że całkowita energia jest energią kinetyczną.
5 Ogólne rozwiązanie równania falowego Schrödingera dla V 0 W próżni (kiedy V 0, ogólna postać funkcji falowej jest: Ψ + ( (, i k ωt t Ae A[cos( k ωt i sin( k ωt] funkcja ta opisuje falę poruszającą się w kierunku. Amplituda fali może w ogólności być liczbą zespoloną. Funkcja falowa również nie musi być rzeczywista. W ogólnym przypadku jest ona funkcją zespoloną. Tylko mierzalne fizycznie wielkości takie jak prawdopodobieństwo, pęd i energia muszą być rzeczywiste.
6 Prawdopodobieństwo i normalizacja Prawdopodobieństwo P( d znalezienia cząstki między i + d jest dane równaniem: P ( d Ψ (, t Ψ(, t d wielkość Ψ Ψ nazywamy gęstością prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki między 1 a jest dane równaniem P Ψ Ψ d 1 Funkcja falowa musi być znormalizowana, więc prawdopodobieństwo znalezienia cząstki między gdziekolwiek na osi musi być 1 Ψ (, t Ψ(, t d 1
7 Warunki jakie muszą spełniać funkcje falowe Warunki na funkcje falowe: 1. W celu uniknięcia nieskończonych prawdopodobieństw, funkcja falowa musi być wszędzie skończona.. Funkcja falowa musi być jednowartościowa. 3. Funkcja falowa musi być dwukrotnie różniczkowalna. Oznacza to, że ona i jej pochodna muszą być ciągłe. (Wyjątkiem od tej reguły jest przypadek, gdy potencjał V jest nieskończony. 4. W celu normalizacji, funkcja falowa musi dążyć do zera jak dąży do (plus, minus nieskończoności. Rozwiązania, które nie spełniają tych właściwości z reguły nie odpowiadają rozwiązaniom akceptowalnym fizycznie.
8 W wielu przypadkach potencjał nie zależy eplicite od czasu. Zależności od czasu i położenia w równaniu Schrödingera mogą być wówczas rozdzielone. Niech: co daje: Po podzieleniu przez ( f(t: Bezczasowe równanie falowe Schrödingera Lewa strona zależy tylko od t, a prawa tylko od. Każda strona musi więc być równa stałej. Dla strona zależnej od czasu otrzymujemy: ( (, ( t f t Ψ ( ( ( ( ( ( ( t f V m t f t t f i + ħ ħ ( ( ( 1 ( ( 1 V m t t df t f i + ħ ħ B t df f i 1 ħ, - nie zależy od
9 Bezczasowe równanie falowe Schrödingera Mnożąc obie strony przez f(t/iħ: f B f t To równanie różniczkowe jest łatwe do rozwiązania: f ( t e e Bt/ iħ ibt / ħ Przypomnijmy rozwiązanie dla cząstki swobodnej: W którym f(t ep(-iωt, więc: ω B / ħ lub B ħω, co oznacza, że: B E! f ( t e iet/ Mnożąc przestrzenną część równ. Schrödingera przez (, otrzymujemy: ħ / iħ Stałą przed f(t możemy zignorować, gdyż jej wartość będzie określona z warunku normalizacji ( ω Ψ (, t e i k t ħ m d ( d + V ( ( E (
10 Bezczasowe równanie falowe Schrödingera ħ m d ( d + V ( ( E ( Równanie to jest znane jako bezczasowe (niezależne od czasu równanie falowe Schrödingera, i na równi z pełnym równaniem falowym Schrödingera jest fundamentalnym równaniem mechaniki kwantowej Ĥ E Równanie to ma postać równania własnego, gdzie: Hˆ ħ + V m Ĥ jest operatorem energii.
11 4.: Obserwable ħ m d ( d + V ( ( E ( Operatory odgrywają w mechanice kwantowej ważną rolę. Wszystkie wielkości mierzalne mają odpowiadające im operatory które nazywamy obserwablami. Operatorem energii kinetycznej jest: ħ K m Inne operatory są na ogół prostsze, zazwyczaj zawierają operacje mnożenia, dodawania. Operator energii potencjalnej jest po prostu mnożeniem przez V(. V ( V ( (
12 Stany stacjonarne Załóżmy, że mamy funkcję falową postaci: Ψ (, t ( e iωt Gęstość prawdopodobieństwa tej funkcji jest równa: * * iωt Ψ Ψ ( e ( e ( iωt Jest to rozkład prawdopodobieństwa niezależny od czasu. Taki stan, (reprezentowany przez falę stojącą nazywamy stanem stacjonarnym.
13 Wartości średnie obserwabli W mechanice kwantowej często obliczamy wartości oczekiwane. Wartość oczekiwana jest średnią ważoną tej wielkości. Ogólnie rzecz biorąc, wartość oczekiwaną jest: P + P + + P P 1 1 N N i i Jeśli zmienna może przyjmować nieskończenie wiele wartości oraz jest ciągła to: W mechanice kwantowej: P( d Ψ Ψ Ψ Ψ * * ( ( d ( ( d Wartość oczekiwana dowolnej obserwabli zależnej od w stanie jest : A Ψ * ( A ( ( d Ψ Ψ i
14 Notacja Bra-Ket Poprzednie równanie jest na tyle ważne, że fizycy mają dla niego specjalna notację. A Ψ * ( A ( Ψ( d Ψ A Ψ Ψ Całe to wyrażenie jest rozumiane jako bracket czyli nawias Wyrażenie nazywamy bra podczas gdy nazywamy ket. Warunek normalizacji w tej notacji jest: Ψ Ψ 1
15 Operator pędu Aby znaleźć wartość oczekiwaną, musimy najpierw wyrazić poprzez i. Rozważmy pochodną funkcji falowej cząstki swobodnej względem : Ψ [ e ale k p / ħ więc mamy mnożąc obie strony przez ħ Ψ(, t pˆ[ Ψ (, t] iħ pψ(, t To sugeruje, że operatorem pędu powinniśmy nazwać Wartością oczekiwaną pędu w stanie Ψ jest więc ] ike i ( k ωt i ( k ωt Ψ i p ħ Ψ ikψ pˆ iħ * Ψ(, t p Ψ pˆ Ψ iħ Ψ (, t d Ψ
16 Operatory położenia i energii Operatorem położenia jest mnożenie przez. Operator energii: Pochodna po czasie funkcji falowej cząstki swobodnej jest: Ψ t t [ e Podstawiając ω Ε / ħ mamy [,]ħ, Operatorem energii jest więc: iωe Wartością oczekiwaną energii w stanie Ψ jest: ] i ( k ωt i( k ωt Eˆ ħ i t * Ψ(, t E iħ Ψ (, t d Ψ iωψ
17 Operatorowa postać równania Schrödingera Energia całkowita jest: p E K + V + V m p EΨ Ψ + V Ψ m Podstawiając operatory: Ψ : E Ψ iħ t p +: 1 Ψ + VΨ iħ Ψ + V Ψ m m ħ Ψ + V Ψ m Ψ ħ Ψ mamy: iħ + V Ψ t m Czyli pełne równanie falowe Schrodingera
18 Dwa rozwiązania równań różniczkowych Rozważmy równanie różniczkowe: d d k k jest rzeczywiste Jako, że k jest dodatnie, rozwiązaniem równania jest: k ( Ae + Be ɶ ɶ k Można też te rozwiązania zapisać jako: k k cosh( k ( e + e 1 k k sinh( k ( e e 1 Teraz rozważmy inne równanie różniczkowe: d k d Ponieważ stała -k jest ujemna, rozwiązaniem jest: ( ik ik Ae + Be albo Asin( k + B cos( k ɶ ɶ
19 4.3: Nieskończona prostokątna studnia potencjału Najprostszym przykładem tego systemu jest cząstka uwięzione w pudełku o nieskończenie twardych ścianach których cząstka nie może przeniknąć. Potencjał ten nazywany jest również nieskończoną prostokątną studnią: 0, L V ( 0 0 < < L 0 L W obszarze gdzie potencjał jest nieskończony funkcja falowa musi być równa zeru. W obszarze zerowego potencjału (wewnątrz studni, bezczasowe równanie Schrödingera można zapisać jako: d d ( me ħ + V ( ( k E ( gdzie k me / ħ md d ħ Ogólne rozwiązanie tego równania:! "sin& +'cos& * Energia jest tylko kinetyczna i dlatego dodatnia
20 Kwantowanie Warunki brzegowe potencjału stanowią, że funkcja falowa musi być równa zeru w punktach 0oraz +. Aby tak mogło być dla musi być, że kl nπ dla całkowitych,. Funkcja falowa jest więc: n ( A sin nπ L 0 L Normalizując ją: ½ ½ cos(nπ/l * ( ( d 1 n n A sin nπ d 1 0 L L A / L Otrzymamy znormalizowaną funkcję falowa: ( n L sin nπ L Taka sama funkcja opisuje drgającą strunę umocowaną na obu końcach!
21 Skwantowana energia Skwantowana liczba falowa wynosi więc: Co oznacza energię: E n n πħ ml (n 1,, 3,... n k n π L ( n L me ħ sin n nπ L Zauważmy, że energia zależy od liczby naturalnej,. Stąd energia jest skwantowana i niezerowa. Przypadek szczególny gdy n 1 nazywamy stanem podstawowym. Energia E 1 πħ ml Położenie
22 4.4: Skończona prostokątna studnia potencjału Skończona prostokątna studnia jest dana przez potencjał: V 0 0 Region I V ( 0 0 < < L Region II V 0 L Region III Równanie Schrödingera na zewnątrz studni w obszarach I i III jest: d m ( V 0 E d ħ ħ d + V 0 E m d α gdzie: α Załóżmy: E < V 0 Położenie m( V E / ħ 0 Biorąc pod uwagę, że funkcja falowa musi być zero w (minus, plus nieskończoności mamy: ( I III Ae α ( Be α Region I, < 0 Region III, > L
23 Rozwiązania dla skończonej prostokątnej studni potencjału Wewnątrz studni, gdzie potencjał V jest zero, równanie falowe jest -. / -. &0! gdzie & ħ 0 (tak jak dla nieskończonej studni. Rozwiązaniem tu jest: ( sin cos II A k + B k Region II, 0 < < L Warunki brzegowe wymagają aby: tzn. aby w miejscu sklejenia obszarów funkcja i jej pochodna były ciągłe. dla 0 oraz dla L I II II III ' ' dla 0 oraz ' ' dla L I II II III Funkcja falowa Ekspotencjalna Zauważmy, że funkcja falowa poza studnią nie jest równa zeru. Energia
24 Cząstki wnikają do ściany! Głębokość wnikania to odległość od ścianki studni powyżej której prawdopodobieństwo znalezienia cząstki znacząco maleje. Jest to: 1 δ α ħ m( V E 0 Funkcja falowa Ekspotencjalna Głębokość penetracji jest proporcjonalna do stałej Plancka. Uzyskane zjawisko jest sprzeczne z fizyką klasyczną! ( I III Ae α ( Be α Region I, < 0 Region III, > L
25 4.5: Trójwymiarowa, nieskończona studnia potencjału Funkcja falowa zależy od trzech wymiarów przestrzennych. Tak jak dodaje się składowe wektora, tak aby zdefiniować trójwymiarowy operator pędu dodajmy do siebie trzy przestrzenne składowe pędu : gdzie pˆ pˆ + pˆ + pˆ y z ˆ iħ p ˆ iħ p y y ˆ iħ p z z Tak więc trójwymiarowe równanie falowe Schrödingera ma postać: V E m + + y z + ħ lub ħ V E m +
26 Trójwymiarowa, nieskończona studnia potencjału Kiedy 0 łatwo znaleźć rozwiązanie: (, y, z A sin( k sin( k y sin( k z k π n / L gdzie: π / y z k n L k π n / L y y y z z z oraz: E π n ħ n y nz n, ny, n + + z m L Ly Lz n, n, n (, y, z A sin( π n / L sin( π ny y / Ly sin( π nzz / Lz y z Kiedy więc mamy cząstkę w sześciennym pudle: π ħ E n + n + n n,, ny nz ml ( y z
27 4.6: Degeneracja weźmy 10, 4, 3 oraz 8, 6, 5: ale: π ħ E n + n + n n,, ny nz ml 10,4,3 8,6,5 Widzimy, że dwie różne funkcje falowe mogą mieć tą samą energię. E ( y z E 1 0, 4, 3 8, 6, 5 Trójwymiarowe równanie falowe Schrödingera wprowadza trzy liczby kwantowe energii. Tej samej energii mogą odpowiadać różne zestawy liczb kwantowych. Jeśli istnieje więcej niż jedna funkcja falowa dla danej energii, to taki stan kwantowy nazywamy zdegenerowanym. Degeneracja jest wynikiem szczególnych własności energii potencjalnej, która opisuje system. Zaburzeniem energii potencjalnej można usunąć degenerację.
28 4.7: Prosty oscylator harmoniczny Prosty oscylator harmoniczny opisuje wiele fizycznych sytuacji od sprężyny, poprzez cząsteczki dwuatomowe do sieci krystalicznych Położenie równowagi Energia potencjalna Położenie Energia potencjalna Prosty ruch harmoniczny Molekuła dwuatomowa Rozwińmy potencjał w szereg Taylora: 1 V ( V0 + V1 ( 0 + V (
29 Prosty oscylator harmoniczny Weźmy pod uwagę wyrazy drugiego rzędu rozwinięcia Taylora potencjału: V ( κ ( 1 Jest to paraboliczna studnia potencjału 0 Energia potencjalna paraboliczna studnia potencjału Położenie Podstawiając to do d ( równania Schrödingera: ħ + V ( ( E ( m d d m me m E κ + κ d ħ ħ ħ gdzie przyjęliśmy 0 0 Niech oraz ħ. ħ., co daje: d d ( α β
30 Paraboliczna studnia potencjału Funkcjami falowymi są gdzie H n ( to wielomiany Hermite a rzędu n α 1 3( α (α 3 e π α 1 ( (α 1 e π 1 4 α 1( α e π ( α π 1 4 e α Funkcje falowe / α α / α / /
31 Paraboliczna studnia potencjału Klasycznie, prawdopodobieństwo znalezienia masy jest największe na końcach studni a najmniejsze w centrum. Kwantowo największe prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w najniższym stanie energii jest w centrum studni potencjału.
32 Dalsza analiza studni parabolicznej Kiedy jednak liczby kwantowe rosną, rozwiązanie zbliża się do wyniku klasycznego. Na tym przykładzie prostego oscylatora harmonicznego widzimy że Zasada Korespondencji jest spełniona.
33 Paraboliczna studnia potencjału Poziomy energetyczne są dane przez: E n 1 1 ( n + ħ κ / m ( n + ħω Energia stanu podstawowego jest nazywana granicą Heisenberga: E 0 1 ħω
34 4.8: Bariery potencjału i tunelowanie Rozważmy cząstkę o energii E zbliżającą się do bariery potencjału o wysokości V 0, poza którą potencjał wszędzie jest zero. Najpierw rozważmy przypadek kiedy energia cząstki jest większa od potencjalnej bariery. me W obszarach I i III, liczby falowe są: ki kiii ħ W obszarze bariery zaś: m( E V0 kii gdzie V V0 ħ Padająca Cząstka Odbita Przepuszczona
35 Odbicie i przejście Funkcja falowa będzie składać się z fali padającej, fali odbitej oraz fali która przeszła barierę. Potencjały oraz równania falowe Schrödingera dla trzech obszarów są: Region I ( < 0 V 0 d I m + E I 0 d ħ d II m Region II (0 < < L V V 0 + ( E V 0 II 0 d ħ d III m Region III ( > L V 0 + E III 0 d ħ Odpowiednie rozwiązania są: Wszystkie trzy stałe są ujemne tzn.: d k d Region I ( 0 iki < Ae + Be Region II (0 < < + Region III ( ikii L Ce De iki > L Fe + Ge I II III ik I ik I II ik Sinusy i kosinusy we wszystkich obszarach Jako, że fala porusza się od lewej strony można zidentyfikować rozwiązania: Fala padająca Fala odbita Fala, która przeszła (padająca III I II (odbita Be Ae (przepuszczona ik I I ik Fe ik I
36 Prawdopodobieństwa odbicia i przejścia Prawdopodobieństwa odbicia cząstki R, oraz przejścia T są: T R * I(odbita B B * (padająca I * III (przekazana F F * (padająca I A A A A Ponieważ cząstka musi się odbić lub przejść: R + T 1 Po zastosowaniu warunków brzegowych dla 0, and L, uzyskujemy prawdopodobieństwo przejścia: T V sin 4E( E ( k V II L 0 1 Zauważmy, że prawdopodobieństwo przejścia może być nawet równe 1.
37 Tunelowanie Teraz rozważmy sytuację, w której klasyczna cząstka nie ma wystarczającej ilości energii do pokonania bariery potencjału, E < V 0. Energia Zjawisko klasyczne Wynik mechaniki kwantowej jest jedną z najbardziej niezwykłych cech współczesnej fizyki. Istnieje skończone prawdopodobieństwo, że cząstka przenika przez barierę i pojawia się po drugiej stronie! Funkcja falowa w obszarze II jest: II m V E κ κ 0 Ce + De gdzie κ ( ħ Współczynnik przejścia dla tunelowania jest: T V0 sinh ( κl 1 + 4E( V0 E 1
38 Tunnelownie funkcji falowej Zjawisko kwantowe Ekspotencjalnie Sinusoidalnie Sinusoidalnie To naruszenie fizyki klasycznej jest dozwolone przez zasadę nieokreśloności. Cząstka może naruszać klasyczne zachowanie o E przez krótki czas, t ~ ħ / E.
39 Ewolucja funkcji falowej i gęstości prawdopodobieństwa w czasie
40 Analogia do optyki falowej Jeśli światła przechodzące przez pryzmat szklany odbija się od wewnętrznej powierzchni pod kątem większym od kąta krytycznego, zachodzi całkowite wewnętrzne odbicie. Jednak pole elektromagnetyczne tuż za pryzmatem nie jest dokładnie zero. Jak pokazują eksperymenty, jeśli umieścić kolejny pryzmat bardzo blisko pierwszego, to fala elektromagnetyczna (światło pojawia się w również w drugim pryzmacie. Sytuacja jest analogiczna do opisanego wyżej tunelowania. Efekt ten został zaobserwowany przez Newtona i może być wykonany, za pomocą dwóch pryzmatów i lasera. Intensywność drugiej wiązki światła zmniejsza się ekspotencjalnie, kiedy odległość między pryzmatami wzrasta.
41 4.9: Studnia potencjału 9 : Rozważmy cząstkę przechodzącą przez studnie potencjału a nie barierę. Cząstka o energii E Klasycznie, cząstka ta powinna przyspieszyć w rejonie studni gdyż: K mv / E + V 0? Kwantowomechanicznie, fala ulegnie odbiciu i transmisji a jej długość wewnątrz studni zmniejszy się. Gdy szerokość studni potencjału jest dokładnie równa połowie lub całkowitej wielokrotności długości fali, fala odbita będzie w przeciwfazie lub w fazie fali padającej odpowiednio, czego skutkiem będzie wygaszenie lub rezonans. Wygaszenie bądź wzmocnienie fal może spowodować całkowite przejście ;0, 1 lub całkowite odbicie ;1, 0. Jeśli, na przykład, na prawym brzegu studni + fala biegnąca w prawo jest w przeciwfazie do fali odbitej, efektem będzie zerowa amplituda (brak cząstki wewnątrz studni.
42 Przykładowe rozwiązania równania falowego Schrödingera dla jednowymiarowych pól potencjalnych
43 Rozpad Alfa Zjawisko tunelowania wyjaśnia rozpad alfa, ciężkich jąder promieniotwórczych. Wewnątrz jądra, cząstka alfa czuje silne, krótkozasięgowe przyciąganie jądrowe, oraz Kulombowską siłę odpychającą. Oddziaływanie jądrowe jest silniejsze wewnątrz jądra a wypadkowy potencjał może być opisany za pomocą studni potencjału. Poza promieniem jądra dominuje siła Kulomba. Bariera potencjalna na granicy jądrowej jest kilka razy większa niż energia cząstki alfa. W mechanice kwantowej, jednak cząstka alfa może tunelować przez barierę. Jest to obserwowane jako zjawisko rozpadu promieniotwórczego.. Energia Energia potencjalna Kulomba Promień
gęstością prawdopodobieństwa
Funkcja falowa Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają własności falowe. Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje tzw. funkcja falowa(,t)
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU
X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci: ħ 2 2m d 2 x dx 2 V xx = E x (X.1) Warunki regularności na x i a) skończone b) ciągłe c) jednoznaczne
Bardziej szczegółowoElementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Funkcja falowa Równanie Schrödingera
lementy mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa co to jest? Funkcja falowa Równanie Schrödingera Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe
Bardziej szczegółowoRównanie falowe Schrödingera ( ) ( ) Prostokątna studnia potencjału o skończonej głębokości. i 2 =-1 jednostka urojona. Ψ t. V x.
Równanie falowe Schrödingera h Ψ( x, t) + V( x, t) Ψ( x, t) W jednym wymiarze ( ) ( ) gdy V x, t = V x x Ψ = ih t Gdy V(x,t)=V =const cząstka swobodna, na którą nie działa siła Fala biegnąca Ψ s ( x, t)
Bardziej szczegółowoJak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii?
Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe materii (cząstek, układów cząstek) opisuje matematycznie pewna funkcja falowa ( x, Funkcja falowa
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej
Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Jacek Izdebski 5 stycznia roku Zadanie 1 Funkcja falowa Ψ(x) = A n sin( πn x) jest zdefiniowana jedynie w obszarze
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoCiało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury.
1 Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury. natężenie natężenie teoria klasyczna wynik eksperymentu
Bardziej szczegółowor. akad. 2012/2013 wykład III-IV Mechanika kwantowa Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich Mechanika kwantowa
r. akad. 01/013 wykład III-IV Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich Mechanika kwantowa Zakład Zakład Biofizyki Biofizyki 1 Falowa natura materii Zarówno fale elektromagnetyczne (fotony) jaki i
Bardziej szczegółowoV. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ
V. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ 1 1 Postulaty mechaniki kwantowej Istota teorii kwantowej może być sformułowana za pomocą postulatów, których spełnienie postulujemy i których nie można wyprowadzić z żadnych
Bardziej szczegółowoWykład 21: Studnie i bariery cz.1.
Wyład : Studnie i bariery cz.. Dr inż. Zbigniew Szlarsi Katedra Eletronii, paw. C-, po.3 szla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szlarsi/ 3.6.8 Wydział Informatyi, Eletronii i Równanie Schrödingera
Bardziej szczegółowoJak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii?
Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe materii (cząstek, układów cząstek) opisuje matematycznie pewna funkcja falowa ( x, t ) Tutaj upraszczamy
Bardziej szczegółowoElementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Fale materii hipoteza de Broglie'a Funkcja falowa Równanie Schrödingera
lementy mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa co to jest? Fale materii hipoteza de Broglie'a Funkcja falowa Równanie Schrödingera Fale materii de Broglie a (rok 193) De Broglie zaproponował, że każdy
Bardziej szczegółowoNieskończona jednowymiarowa studnia potencjału
Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ
PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie
Bardziej szczegółowoElementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Fale materii hipoteza de Broglie'a Funkcja falowa Równanie Schrödingera
Elementy mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa co to jest? Fale materii hipoteza de Broglie'a Funkcja falowa Równanie Schrödingera Fale materii de Broglie a (rok 1923) De Broglie zaproponował, że każdy
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa mechanika kwantowa Rozpraszanie na potencjale Na początek rozważmy najprostszy przypadek: próg potencjału
Fizyka 2 Wykład 4 1 Jednowymiarowa mechanika kwantowa Rozpraszanie na potencjale Na początek rozważmy najprostszy przypadek: próg potencjału Niezależne od czasu równanie Schödingera ma postać: 2 d ( x)
Bardziej szczegółowoZasada nieoznaczoności Heisenberga
Fale materii paczki falowe o różnej szerokości Dwa gaussowskie rozkład amplitud fal armonicznc o różnc szerokościac σ p i różnc wartościac średnic pędu p. Części rzeczwista ReΨ i urojona mψ funkcji falowc
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa Schrödingera
Fizyka 2 Wykład 2 1 Mechanika kwantowa Schrödingera Hipoteza de Broglie a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona. Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek graniczny
Bardziej szczegółowoStara i nowa teoria kwantowa
Stara i nowa teoria kwantowa Braki teorii Bohra: - podane jedynie położenia linii, brak natężeń -nie tłumaczy ilości elektronów na poszczególnych orbitach - model działa gorzej dla atomów z więcej niż
Bardziej szczegółowoλ(pm) p 1 rozpraszanie bez zmiany λ ze wzrostem λ p e 0,07 0,08 λ (nm) tł o
W 1916r. Einstein rozszerzył swoją koncepcję kwantów światła, przypisując im pęd. Fotonowi o energii ħω odpowiada pęd p ħω/c /λ Efekt Comptona 193r. - rozpraszanie promieni X 1keV- kilka MeV na elektronac
Bardziej szczegółowoPodstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 26, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek
Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 26, 28.05.2012 wykład: pokazy: ćwiczenia: Czesław Radzewicz Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek Ernest Grodner Wykład 25 - przypomnienie
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić
Bardziej szczegółowoPOSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny
POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Erwin Schrödinger ( ) Werner Heisenberg
Mechanika kwantowa Erwin Schrödinger (1887-1961) Werner Heisenberg 1901-1976 Falowe równanie ruchu (uproszczenie: przypadek jednowymiarowy) Dla fotonów Dla cząstek Równanie Schrödingera y x = 1 c y t y(
Bardziej szczegółowoMechanika klasyczna zasada zachowania energii. W obszarze I cząstka biegnie z prędkością v I, Cząstka przechodzi z obszaru I do II.
Próg potencjału Mecanika klasyczna zasada zacowania energii mvi mv E + V W obszarze I cząstka biegnie z prędkością v I, E > V w obszarze cząstka biegnie z prędkością v Cząstka przecodzi z obszaru I do.
Bardziej szczegółowoEfekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach
Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach Efekt Comptona. p f Θ foton elektron p f p e 0 p e Zderzenia fotonów
Bardziej szczegółowoMechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 )
Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński 4 grudnia 11 Zadanie MK1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = ma następującą postać: A(a Ψ(x,) = x ) gdy x [ a,a] gdy x / [ a,a] gdzie a +. Wyznacz
Bardziej szczegółowoChemia ogólna - część I: Atomy i cząsteczki
dr ab. Wacław Makowski Cemia ogólna - część I: Atomy i cząsteczki 1. Kwantowanie. Atom wodoru 3. Atomy wieloelektronowe 4. Termy atomowe 5. Cząsteczki dwuatomowe 6. Hybrydyzacja 7. Orbitale zdelokalizowane
Bardziej szczegółowoWykład Budowa atomu 2
Wykład 7.12.2016 Budowa atomu 2 O atomach cd Model Bohra podsumowanie Serie widmowe O czym nie mówi model Bohra Wzbudzenie, emisja, absorpcja O liniach widmowych Kwantowomechaniczny model atomu sformułowanie
Bardziej szczegółowoFizyka 3.3 WYKŁAD II
Fizyka 3.3 WYKŁAD II Promieniowanie elektromagnetyczne Dualizm korpuskularno-falowy światła Fala elektromagnetyczna Strumień fotonów o energii E F : E F = hc λ c = 3 10 8 m/s h = 6. 63 10 34 J s Światło
Bardziej szczegółowoFALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że
FAL MATRII De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie a Cząstce materialnej
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA II. 12. Mechanika kwantowa. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA II. Mechanika kwantowa Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/ MECHANIKA KWANTOWA Podstawę mechaniki kwantowej stanowi
Bardziej szczegółowoWykład 9 Podstawy teorii kwantów fale materii, dualizm falowo-korpuskularny, funkcja falowa, równanie Schrödingera, stacjonarne równanie
Wykład 9 Podstawy teorii kwantów fale materii, dualizm falowo-korpuskularny, funkcja falowa, równanie Schrödingera, stacjonarne równanie Schrödingera, zasada nieoznaczoności Heisenberga, ruch cząstki swobodnej,
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Fizyka 2 Wykład 3 1 Równanie Schrödingera Chcemy znaleźć dopuszczalne wartości energii układu fizycznego, dla którego znamy energię potencjalną. Z zasady odpowiedniości znamy postać hamiltonianu. Wybieramy
Bardziej szczegółowoDoświadczenie Younga Thomas Young. Dyfrakcja światła na dwóch szczelinach Światło zachowuje się jak fala - interferencja
Doświadczenie Younga 1801 Thomas Young Dyfrakcja światła na dwóch szczelinach Światło zachowuje się jak fala - interferencja Doświadczenie Younga c.d. fotodetektor + głośnik fala ciągły sygnał o zmiennym
Bardziej szczegółowoWykład I Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16
Optyka Wykład I Krzysztof Golec-Biernat Fale 1 Uniwersytet Rzeszowski, 4 października 2017 Wykład I Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16 Uwagi wstępne 30 h wykładu wykład przy pomocy transparencji lub
Bardziej szczegółowoTeorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały
WYKŁAD 1 Teorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały sformułowanie praw fizyki kwantowej: promieniowanie katodowe
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoFizyka 3. Konsultacje: p. 329, Mechatronika
Fizyka 3 Konsultacje: p. 39, Mechatronika marzan@mech.pw.edu.pl Zaliczenie: 1 sprawdzian 30 pkt 15.1 18 3.0 18.1 1 3.5 1.1 4 4.0 4.1 7 4.5 7.1 30 5.0 http:\\adam.mech.pw.edu.pl\~marzan Program: - elementy
Bardziej szczegółowoMetody rozwiązania równania Schrödingera
Metody rozwiązania równania Schrödingera Równanie Schrödingera jako algebraiczne zagadnienie własne Rozwiązanie analityczne dla skończonej i nieskończonej studni potencjału Problem rozwiązania równania
Bardziej szczegółowoże w wyniku pomiaru zmiennej dynamicznej A, której odpowiada operator αˆ otrzymana zostanie wartość 2.41?
TEST. Ortogonalne i znormalizowane funkcje f i f są funkcjami własnymi operatora αˆ, przy czym: α ˆ f =. 05 f i α ˆ f =. 4f. Stan pewnej cząstki opisuje 3 znormalizowana funkcja falowa Ψ = f + f. Jakie
Bardziej szczegółowoWstęp do Modelu Standardowego
Wstęp do Modelu Standardowego Plan Wstęp do QFT (tym razem trochę równań ) Funkcje falowe a pola Lagranżjan revisited Kilka przykładów Podsumowanie Tomasz Szumlak AGH-UST Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej
Bardziej szczegółowoTemat: Przykłady zjawisk kwantowych.
Temat: Przykłady zjawisk kwantowych. Cele poznawcze: mechanika klasyczna jest teorią. deterministyczną - cząstki które poruszają się w tym samym polu sił i mają te same warunki początkowe będą w każdej
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania
Bardziej szczegółowoFIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań
FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań Andrzej Przybyszewski Michał Witczak Marcin Talarek. Definicja pracy na odcinku A-B 2. Zdefiniować różnicę energii potencjalnych gdy ciało przenosimy z do B
Bardziej szczegółowoFizyka 11. Janusz Andrzejewski
Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoWłasności falowe materii
Część 3 Własności falowe materii 1. Rozpraszanie promieni X 2. Fale De Brogliea 3. Rozpraszanie elektronu 4. Ruch falowy 5. Transformata Fouriera 6. Zasada nieokreśloności 7. Cząsteczka w pudle 8. Prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoFizyka 12. Janusz Andrzejewski
Fizyka 1 Janusz Andrzejewski Przypomnienie: Drgania procesy w których pewna wielkość fizyczna na przemian maleje i rośnie Okresowy ruch drgający (periodyczny) - jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające
Bardziej szczegółowoZad Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji.
Zad. 1.1. Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji. Zad. 1.1.a. Funkcja: ϕ = sin2x Zad. 1.1.b. Funkcja: ϕ = e x 2 2 Operator: f = d2 dx
Bardziej szczegółowo11 Przybliżenie semiklasyczne
11 Przybliżenie semiklasyczne W tym rozdziale rozważymy rachunek przybliżony, który opiera się na rozwinięciu funkcji falowej w szereg potęg stałej Plancka. Zakłada się przy tym jawnie, że h jest małym
Bardziej szczegółowoStudnie i bariery. Fizyka II, lato
Studnie i bariery Fizyka II, lato 017 1 Nieskończona studnia potencjału Nieskończenie duży potencjał na krawędziach studni nie pozwala elektronom opuścić obszaru 0
Bardziej szczegółowoΨ(x, t) punkt zamocowania liny zmienna t, rozkład zaburzeń w czasie. x (lub t)
RUCH FALOWY 1 Fale sejsmiczne Fale morskie Kamerton Interferencja RÓWNANIE FALI Fala rozchodzenie się zaburzeń w ośrodku materialnym lub próżni: fale podłużne i poprzeczne w ciałach stałych, fale podłużne
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 7
Podstawy fizyki wykład 7 Dr Piotr Sitarek Katedra Fizyki Doświadczalnej, W11, PWr Drgania Drgania i fale Drgania harmoniczne Siła sprężysta Energia drgań Składanie drgań Drgania tłumione i wymuszone Fale
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?
Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Elektron fala stojąca wokół jądra Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkowy
Bardziej szczegółowoStatystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego
Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Bozony: fotony (kwanty pola elektromagnetycznego, których liczba nie jest zachowana mogą być pojedynczo pochłaniane lub tworzone. W konsekwencji,
Bardziej szczegółowoPostulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl 19 września 2014 Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki
Bardziej szczegółowoWłaściwości chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzają się w pewnym cyklu (zebrane w grupy 2, 8, 8, 18, 18, 32 pierwiastków).
Właściwości chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzają się w pewnym cyklu (zebrane w grupy 2, 8, 8, 18, 18, 32 pierwiastków). 1925r. postulat Pauliego: Na jednej orbicie może znajdować się nie więcej
Bardziej szczegółowomechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej
mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver-28.06.07 współrzędne uogólnione punkt materialny... wektor wodzący: prędkość: przyspieszenie: liczba
Bardziej szczegółowoW-23 (Jaroszewicz) 20 slajdów Na podstawie prezentacji prof. J. Rutkowskiego
Bangkok, Thailand, March 011 W-3 (Jaroszewicz) 0 slajdów Na odstawie rezentacji rof. J. Rutkowskiego Fizyka kwantowa fale rawdoodobieństwa funkcja falowa aczki falowe materii zasada nieoznaczoności równanie
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 2
D. Halliday, R. Resnick, J.Walker: Podstawy Fizyki, tom 5, PWN, Warszawa 2003. H. D. Young, R. A. Freedman, Sear s & Zemansky s University Physics with Modern Physics, Addison-Wesley Publishing Company,
Bardziej szczegółowoAtomowa budowa materii
Atomowa budowa materii Wszystkie obiekty materialne zbudowane są z tych samych elementów cząstek elementarnych Cząstki elementarne oddziałują tylko kilkoma sposobami oddziaływania wymieniając kwanty pól
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowoFale mechaniczne i akustyka
Fale mechaniczne i akustyka Wstęp: siła jako element decydujący o rodzaju ruchu Na pierwszym wykładzie, dynamiki Newtona omawiając II zasadę dr d r F r,, t = m dt dt powiedzieliśmy, że o tym, jakim ruchem
Bardziej szczegółowoMoment pędu fali elektromagnetycznej
napisał Michał Wierzbicki Moment pędu fali elektromagnetycznej Definicja momentu pędu pola elektromagnetycznego Gęstość momentu pędu pola J w elektrodynamice definuje się za pomocą wzoru: J = r P = ɛ 0
Bardziej szczegółowoNumeryczne rozwiązanie równania Schrodingera
Numeryczne rozwiązanie równania Schrodingera Równanie ruchu dla cząstki o masie m (elektron- cząstka elementarna o masie ~9.1 10-31 kg) Mechanika klasyczna - mechanika kwantowa 1. Druga zasada dynamiki
Bardziej szczegółowoLXVII OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY II STOPNIA
LXVII OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY II STOPNIA CZĘŚĆ TEORETYCZNA Za każde zadanie można otrzymać maksymalnie 0 punktów. Zadanie 1. przedmiot. Gdzie znajduje się obraz i jakie jest jego powiększenie? Dla jakich
Bardziej szczegółowoh 2 h p Mechanika falowa podstawy pˆ 2
Mechanika falowa podstawy Hipoteza de Broglie a Zarówno promieniowanie jak i cząstki materialne posiadają naturę dwoistą korpuskularno-falową. Z każdą mikrocząstką można związać pewien proces falowy pierwotnie
Bardziej szczegółowoPoczątek XX wieku. Dualizm korpuskularno - falowy
Początek XX wieku Światło: fala czy cząstka? Kwantowanie energii promieniowania termicznego postulat Plancka efekt fotoelektryczny efekt Comptona Fale materii de Broglie a Dualizm korpuskularno - falowy
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych
LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI ĆWICZENIE NR Drgania układów mechanicznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami układów drgających oraz metodami pomiaru i analizy drgań. W ramach
Bardziej szczegółowoDualizm korpuskularno falowy
Dualizm korpuskularno falowy Fala elektromagnetyczna o długości λ w pewnych zjawiskach zachowuje się jak cząstka (foton) o pędzie p=h/λ i energii E = h = h. c/λ p Cząstki niosą pęd p Cząstce o pędzie p
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowoWykład Budowa atomu 3
Wykład 14. 12.2016 Budowa atomu 3 Model atomu według mechaniki kwantowej Równanie Schrödingera dla atomu wodoru i jego rozwiązania Liczby kwantowe n, l, m l : - Kwantowanie energii i liczba kwantowa n
Bardziej szczegółowoMichał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max.
Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max. 10 stron na jeden z listy tematów + rozmowa USOS! 1 Model
Bardziej szczegółowoPromieniowanie X. Jak powstaje promieniowanie rentgenowskie Budowa lampy rentgenowskiej Widmo ciągłe i charakterystyczne promieniowania X
Promieniowanie X Jak powstaje promieniowanie rentgenowskie Budowa lampy rentgenowskiej Widmo ciągłe i charakterystyczne promieniowania X Lampa rentgenowska Lampa rentgenowska Promieniowanie rentgenowskie
Bardziej szczegółowoREZONANSY : IDENTYFIKACJA WŁAŚCIWOŚCI PRZEZ ANALIZĘ FAL PARCJALNYCH, WYKRESY ARGANDA
REZONANSY : IDENTYFIKACJA WŁAŚCIWOŚCI PRZEZ ANALIZĘ FAL PARCJALNYCH, WYKRESY ARGANDA Opis układu cząsteczek w mechanice kwantowej: 1. Funkcja falowa, 2. Wektora stanu ψ. TRANSFORMACJE UKŁADU CZĄSTEK: 1.
Bardziej szczegółowoPromieniowanie dipolowe
Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A
Bardziej szczegółowo15 Potencjały sferycznie symetryczne
z ϕ θ r y x Rysunek : Definicje zmiennych we współrzędnych sferycznych r, θ, ϕ) 5 Potencjały sferycznie symetryczne 5. Separacja zmiennych Do tej pory omawialiśmy problemy jednowymiarowe, które służyły
Bardziej szczegółowo(U.14) Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym
3.10.2004 35. U.14 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 131 Rozdział 35 U.14 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 35.1 Niezmienniczość ze względu na W rozdziale 16 wspominaliśmy jedynie o podstawowych
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)
Bardziej szczegółowoFala jest zaburzeniem, rozchodzącym się w ośrodku, przy czym żadna część ośrodka nie wykonuje zbyt dużego ruchu
Ruch falowy Fala jest zaburzeniem, rozchodzącym się w ośrodku, przy czym żadna część ośrodka nie wykonuje zbyt dużego ruchu Fala rozchodzi się w przestrzeni niosąc ze sobą energię, ale niekoniecznie musi
Bardziej szczegółowoAtom wodoru i jony wodoropodobne
Atom wodoru i jony wodoropodobne dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2012/13 Spis treści Spis treści 1. Model Bohra atomu wodoru 2 1.1. Porządek
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 8 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ
PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ Za dzień narodzenia mechaniki kwantowej jest uważany 14 grudnia roku 1900. Tego dnia, na posiedzeniu Niemieckiego Towarzystwa Fizycznego w Instytucie Fizyki Uniwersytetu Berlińskiego
Bardziej szczegółowoZasady oceniania karta pracy
Zadanie 1.1. 5) stosuje zasadę zachowania energii oraz zasadę zachowania pędu do opisu zderzeń sprężystych i niesprężystych. Zderzenie, podczas którego wózki łączą się ze sobą, jest zderzeniem niesprężystym.
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający
Bardziej szczegółowoMiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki
MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki 1. Dynamika układów punktów materialnych 2. Elementy mechaniki relatywistycznej 3. Podstawowe prawa elektrodynamiki i magnetyzmu 4. Zasady optyki geometrycznej
Bardziej szczegółowoTEORIA PASMOWA CIAŁ STAŁYCH
TEORIA PASMOWA CIAŁ STAŁYCH Skolektywizowane elektrony w metalu Weźmy pod uwagę pewną ilość atomów jakiegoś metalu, np. sodu. Pojedynczy atom sodu zawiera 11 elektronów o konfiguracji 1s 2 2s 2 2p 6 3s
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html DRGANIA HARMONICZNE
Bardziej szczegółowoFIZYKA 2. Janusz Andrzejewski
FIZYKA 2 wykład 12 Janusz Andrzejewski Światło Falowa natura Dyfrakcja Interferencja Załamanie i odbicie Korpuskuralna natura Teoria promieniowania ciała doskonale czarnego Zjawisko fotoelekryczne Zjawisko
Bardziej szczegółowoMetoda rozdzielania zmiennych
Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych
Bardziej szczegółowo1 Płaska fala elektromagnetyczna
1 Płaska fala elektromagnetyczna 1.1 Fala w wolnej przestrzeni Rozwiązanie równań Maxwella dla zespolonych amplitud pól przemiennych sinusoidalnie, reprezentujące płaską falę elektromagnetyczną w wolnej
Bardziej szczegółowoWykład 13 Mechanika Kwantowa
Wykład 13 Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński mrow@if.pw.edu.pl Wydział Fizyki Politechnika Warszawska 25 maja 2016 Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 13 25 maja 2016 1 / 21 Wprowadzenie Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoII. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski
II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową
Bardziej szczegółowoWAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.
ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,
Bardziej szczegółowoFALE W OŚRODKACH SPRĘZYSTYCH
ALE W OŚRODKACH SPRĘZYSTYCH PRZYKŁADY RUCHU ALOWEGO Zjawisko rozchodzenia się fal spotykamy powszechnie. Przykładami są fale na wodzie, fale dźwiękowe, poruszający się front przewracających się kostek
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowofalowa natura materii
10 listopada 2016 1 Fale de Broglie a Dyfrakcja promieni X 1895 promieniowanie X dopiero w 1912 dowód na ich falowa naturę - to promieniowanie elektromagnetyczne zjawiska falowe: ugięcia, dyfrakcji - trudne:
Bardziej szczegółowo