1. Symulacje komputerowe Idea symulacji Przykład. 2. Metody próbkowania Jackknife Bootstrap. 3. Łańcuchy Markova. 4. Próbkowanie Gibbsa

Transkrypt

1 BIOINFORMATYKA 1. Wykład wstępny 2. Bazy danych: projektowanie i struktura 3. Równowaga Hardyego-Weinberga, wsp. rekombinacji 4. Analiza asocjacyjna 5. Analiza asocjacyjna 6. Sekwencjonowanie nowej generacji 7. Sekwencjonowanie nowej generacji 8. Funkcjonalna adnotacja polimorfizmów 9. Funkcjonalna adnotacja polimorfizmów 10. Bazy danych 11. Wybrane algorytmy 12. Literatura Literatura Literatura Literatura

2 WSTĘP 1. Symulacje komputerowe Idea symulacji Przykład 2. Metody próbkowania Jackknife Bootstrap 3. Łańcuchy Markova 4. Próbkowanie Gibbsa

3 SYMULACJE MONTE CARLO

4 SYMULACJE MONTE CARLO - historia Enrico Fermi Stanisław Ulam John vonneumann Instytut Los Alamos, USA Monte Carlo

5 SYMULACJE MONTE CARLO - historia

6 SYMULACJE MONTE CARLO - zastosowanie ANALIZA SYSTEMÓW ZŁOŻONYCH, WYKORZYSTUJĄCA: prawdopodobieństwo losowość komputer + oprogramowanie

7 SYMULACJE MONTE CARLO - zastosowanie 1. wnioskowanie o systemach zbyt skomplikowanych do opisu deterministycznego 2. modelowanie systemów złożonych w różnych warunkach 3. np. przewidywanie pogody finanse genetyka modelowanie dynamiki populacji, determinacji cech fenotypowych,... statystyka - testowanie hipotez, określanie dokładności estymatorów, określanie wielkości błędów I-go i II-go rodzaju...

8 SYMULACJE MONTE CARLO - przebieg symulacji dane wejściowe model 1. Zdefiniowanie modelu i danych wejściowych 2. Wygenerowanie liczb losowych 3. Obliczenie wielkości wynikowych powtórzyć przynajmniej razy 4. Podsumowanie wyników 5. Np. aproksymacja liczby p: wynik

9 SYMULACJE MONTE CARLO - przykład dane wejściowe ANALIZA STRUKTURY GENETYCZNEJ POPULACJI frekwencje alleli przeżywalność płodność podatność na choroby liczba pokoleń struktura populacji w pokoleniu N

10 SYMULACJE MONTE CARLO - przykład SYMULACJA GENOTYPÓW i WARTOŚCI CECH osobnik liczba losowa1 liczba losowa 2 allel 1 allel 2 wzrost - efekt genetyczny wzrost - efekt środowiskowy obserwowany wzrost frekwencja allelu frekwencja allelu efekt allelu 2 na wzrost 10 test t średni wzrost w populacji 160 alfa max alfa t obserwow any średni wzrost 159 hipoteza 0

11 METODY PRÓBKOWANIA

12 METODY PRÓBKOWANIA Określenie cech estymatora średnia, wariancja, obciążenie Alternatywa dla podejścia numerycznego Alternatywa dla podejścia empirycznego Wykorzystuje pojedynczą, dostępną próbę danych Jackknife Bootstrap

13 JACKKNIFE próba danych Jackknife 1: n1 n2 n3 n4 n5 oryginalna próba danych: n1 n2 n3 n4 n5 próba danych Jackknife 2: n1 n2 n3 n4 n5 próba danych Jackknife 5: n1 n2 n3 n4

14 JACKKNIFE próba danych Jackknife 1: x(1) = 14 oryginalna próba danych: estymator średniej x = 15 próba danych Jackknife 2: x(2) = 18 próba danych Jackknife 5: x(5) = 16

15 JACKKNIFE średnia wariancja obciążenie

16 BOOTSTRAP próba danych Bootstrap 2: n2 n3 n4 oryginalna próba danych: n1 n2 n3 n4 n5 próba danych Bootstrap 2: n1 n1 n5 próba danych Bootstrap N: n1 n2 n3

17 BOOTSTRAP próba danych Bootstrap 1: x(1) = 14 oryginalna próba danych: estymator średniej x = 15 próba danych Bootstrap 2: x(2) = 18 próba danych Bootstrap N: x(n) = 16

18 BOOTSTRAP średnia wariancja obciążenie x ˆ 1 N B x i N i1 2 J 1 N 1 x x B xi x x x B N i1 2

19 ŁAŃCUCHY MARKOVA

20 ŁAŃCUCHY MARKOVA MARKOV CHAIN: modeluje prawdopodobieństwo uzyskania poszczególnych wartości zmiennej

21 ŁAŃCUCHY MARKOVA wartość zmiennej (X) np. liczba żywych rekombinantów, średnia wartość cechy stan (n) np. struktura populacji, liczebność osobników o danych genotypach, przeżywalność osobników, wsp. rekombinacji prawdop. przejścia z 1 do 2 prawdop. przejścia z n-1 do n wartość zmiennej stan 1 wartość zmiennej stan 2 wartość zmiennej stan n

22 ŁAŃCUCHY MARKOVA Macierz prawdopodobieństw przejścia pomiędzy poszczególnymi stanami stan

23 PRÓBKOWANIE GIBBSA

24 PRÓBKOWANIE GIBBSA GIBBS SAMPLING algorytm oparty o metodę Markov Chain wykorzystują do generowania danych zasadę symulacji Monte Carlo Monte Carlo Markov Chain = MCMC umożliwia generowanie danych pochodzących z rozkładu wielowymiarowego f(x,y,z) trudne Poprzez generowanie danych z rozkładów warunkowych poszczególnych zmiennych generowanie x z rozkładu f(x y, z) generowanie y z rozkładu f(y x, z) generowanie z z rozkładu f(z x, y) łatwiejsze

25 PRZYKŁAD 1. dane: x - liczba rekombinantów, nieznana r - współczynnik rekombinacji, nieznana n - liczba osobników, znana 2. Estymacja: x i r 3. Prawdopodobieństwo warunkowe P ( r x, n) = Beta (x, n-x) P ( x r, n) = Dwumianowy (r, n) PRÓBKOWANIE GIBBSA ), ( x n x r r x n x x n x x n x r P x n x r r x n n r x P 1 ), (!!! x n x n x n

26 PRÓBKOWANIE GIBBSA GENEROWANIE DANYCH generowanie wartości początkowych x 0, r 0 generowanie wartości r t+1 ~ Beta (x t,n-x t ) generowanie wartości x t+1 ~ Dwum (r t+1,n) t = f(x,y): x 1, r 1 x 2, r 2 x 3, r 3... x t, r t

27 PRÓBKOWANIE GIBBSA NS=10000 # number of generated samples n=20 # total number of individuals sample=matrix(0,nrow=ns,ncol=2) # generate starting values r=runif(1,0,0.5) # wsp. rekombinacji x=rbinom(1,n,r) # liczba remombinantów # generate next NS valuess for (i in 1:NS) { r=rbeta(1,x+1,n-x+1) print(r) while (r>0.5) { r=rbeta(1,x+1,n-x+1) } x=rbinom(1,n,r) sample[i,1]=x sample[i,2]=r sample[1:20,1] hist(sample[,1],main='histogram of generated values',xlab='l.rekombinantow') } # results sample[1:20,1] plot(sample[,1],xlab='sample',ylab='l.rekombinantow') meanx=mean(sample[,1]) sdx=sd(sample[,1]) meanx sdx sample[1:20,2] hist(sample[,2],main='histogram of generated values',xlab='wsp.rekombinacji') plot(sample[,2],xlab='sample',ylab='w.rekombinacji') meanr=mean(sample[,2]) sdr=sd(sample[,2]) meanr sdr Copyright 2009, Joanna Szyda

28 PRÓBKOWANIE GIBBSA

29 PRZYKŁAD Z LITERATURY

30 1. Symulacje komputerowe Idea symulacji Przykład 2. Metody próbkowania Jackknife Bootstrap 3. Łańcuchy Markova 4. Próbkowanie Gibbsa