MATEMATYKA OBIEKTOWA. Edward Bryniarski. Cybernetyczne podstawy matematyki

Transkrypt

1 MATEMATYKA OBIEKTOWA Edward Bryniarski Cybernetyczne podstawy matematyki

2 GENEZA Nie pytam o to, co było pierwsze, jajko czy kura, ale o to dlaczego z jednego powstało to a nie co innego. Cybernetyka wymaga nowego podejścia do badań matematycznych W. Ross Ashby Wstęp do cybernetyki Oto Trójca Systemowa trzy wielkie pytania, które rządzą systemowym myśleniem: 1. Dlaczego widzę to co widzę? 2. Dlaczego rzeczy pozostają takie same? 3. Dlaczego rzeczy się zmieniają? Gerald M. Weinberg Pytanie podsumowujące: dlaczego rzeczy są takie a nie inne?

3 NOWA ERA CYBERNETYKI radykalny konstruktywizm - rzeczywistość, którą opisujemy i dostrzegamy wynika z naszego sposobu Ŝycia z tego jak ją postrzegamy i charakteryzujemy; społeczne (architektoniczne, artystyczne) decydowanie celowe, zaimprowizowane czyny (akcje) i struktury (modelowe, wirtualne), które określają pewne decyzje społeczne oraz niepokoją po to, aby alarmować społeczeństwo aestetycznymi środkami sztuki, rozpoznawanymi jako konsekwencje analogicznie określonych decyzji społecznych; cybernetyka drugiego rzędu - interdyscyplinarny splot intelektualnych dróg łączących koncepcje: zwrotnej przyczynowości, samoorganizacji, samoodniesienia, cybernetyki cybernetyki (metacybernetyki), samoświadomości (branie pod uwagę siebie).

4 ZAŁOśENIA PROGRAMOWE O ile współczesne nauki najczęściej posługują się schematami wytworów myślenia abstrakcyjnego, a w wyjaśnianiu schematami poznawczymi, to nauki cybernetyczne posługują się schematami poznawanej rzeczywistości, tj. klasami wszystkich równowaŝnych funkcjonalnie układów (jednakowo zachowujących się), rozwaŝanych niezaleŝnie od budowy tych układów. W szczególności do tych schematów naleŝą schematy poznawcze. Schematy poznawcze w cybernetyce, zwane teŝ czarnymi skrzynkami, odnoszą się do wszystkich równowaŝnych funkcjonalnie układów we wszechświecie i jako takie są szczególnym przypadkiem uniwersalnych obiektów. Cybernetyka jest nauką formalną (metanauką), pozwalającą w dowolnej nauce tworzyć uŝyteczne w tej nauce modele, i jako taka bada takŝe systemy matematyczne i logiczne, w tym sylogistykę. Językiem cybernetyki jest język sformalizowany rozszerzony o język diagramów (sieci semantycznych). Ujęcie cybernetyczne ujawnia uniwersalność matematyki, logiki i sylogistyki. W cybernetycznym ujęciu matematyki dąŝy się do wyjaśnienia dlaczego obiekty mogą mieć własności matematyczne mogą być obiektami matematycznymi. Informatyka jest nauką cybernetyczną.

5 The Cybernetic Foundation of Mathematics 1977 r. - Valentin F. Turchin jako przeciwnik totalitaryzmu i militaryzmu, w proteście przeciwko ograniczaniu wolności słowa i utajnianiu osiągnięć naukowych z zakresu matematyki, informatyki i fizyki, emigruje ze Związku Radzieckiego do Stanów Zjednoczonych. Tam rozwija koncepcję cybernetyki jako metanauki ( cybernetyki drugiego rzędu ). Wcześniej jest twórcą koncepcji metasystemu tranzytów. Na gruncie tej koncepcji jest pomysłodawcą superkompilatora i twórcą języka programowania REFAL. Ma takŝe znaczące osiągnięcia w fizyce kwantowej r. -Valentin F. Turchin, The Cybernetic Foundation of Mathematics, Technical report (170 pages) of the City College, City University of New York r. - V.F.Turchin w pracy A Constructive Interpretation of the Full Set Theory (The Journal of Symbolic Logic, Volume 52, Number 1, March 1987) propaguje swoją koncepcję cybernetycznych podstaw matematyki r. ogłoszony zostaje manifest cybernetyki (The Cybernetic Manifesto) autorstwa V. F. Turchina 1999 r. - Valentin F. Turchin A Dialogue on Metasystem Transition 1993 r. - witryna internetowa Principia Cybernetica Web - pierwsza witryna tworzona w całości w TEX (autorstwa V.F.Turchin)

6 MATEMATYKA OBIEKTOWA Edward Bryniarski, A CALCULUS OF ROGH SETS OF THE FIRST ORDER, Bulletin of the Polish Academy of Sciences Vol. 37 no 1-6 (1988), Edward Bryniarski, REWOLUCJA OBIEKTOWA A KONCEPCJA ZBIORÓW PRZYBLIśONYCH,, w: XL Konferencja Historii Logiki Kraków , Ruch Filozoficzny, tom LI, Nr 3-4, Edward Bryniarski, FORMAL CONCEPTION OF ROUGH SETS, Fundamenta Informaticae 27 (2/3) (1996), S.Bellert, Topological Considerations and Synthesis of Linear Networks by Means of the Method of Structural Numbers, Arch. Elektrot. 1963, z. 3 S.L. Bloom and Z. Esik. Iteration Theories: The Equational Logic of Iterative Processes. EATCS Monographs on Theoretical Computer Science.Springer-Verlag, r. D ecio Krause,The Mathematics of Non-Individualit, Department of Philosophy, Federal University of Santa Catarina, dkrause@cfh.ufsc.br This way, we are looking to a logic of quantum mechanics as distinct from standard quantum logics. In this paper, we introduce a mathematical formalism (termed Quasi Set Theory) which we think answers Manin s Problem and may contribute to express quantum facts closer to intuition.

7 PROGRAM BADAWCZY 1. Elementarne struktury obiektowe: podstawowe własności obiektów dostrzeganych wokół nas: relacja zawierania obiektów, operacja minimum określona dla tej relacji. 2. Dziedziny obiektowe: powstawanie obiektów, droga powstawania obiektów, obiekty poprawnie zbudowane, ramy poprawności powstawania obiektów, obiekty określane, obiekty określające, jednostki (całości), kompozycja i dekompozycja obiektów (systemy tekstowe są dziedzinami obiektowymi, mogą być analogicznie opisywane). 3. Procedura obiektu jako minimalna poddziedzina dziedzinie obiektowej, umoŝliwiająca kompozycję (dekompozycja) tego obiektu; iteracje jako klasy izomorficznych procedur. 4. Teoria iteracji w dziedzinach obiektowych. Liczby jako iteracje w elementarnych strukturach obiektowych. 5. Topologia w dziedzinach obiektowych: obiekty graniczne, operacja domknięcia, rozdzielenie dziedzin obiektowych, asocjacje, ciągłość określona przez homomorfizm (za P.C.Hammerem) jako własność niezmiennicza, przekształcenie ciągłe jako homomorfizm dziedzin obiektowych.

8 PROGRAM BADAWCZY 6. Geometria w dziedzinach obiektowych określona jest przez grupę operacji utoŝsamianych z iteracyjnymi procedurami, wraz z wyróŝnionym zbiorem generatorów oraz obiektów: zastosowanie róŝnych procedur iteracyjnych na wyznaczonym zbiorze obiektów prowadzi do generowania przestrzeni o innym wymiarze. Obecnie są znane pewne konstrukcje geometrii skończonych. 7. Algebra: obliczalność obiektów (ich kompozycja, dekompozycja) za pomocą procedur, dziedziny obiektowe niezmiennicze, jądra dziedzin, dziedziny ilorazowe, dziedziny rozwiązalne, problemy nierozwiązalne w dziedzinach obiektowych. 8. Teoria rekursji w dziedzinach obiektowych. 4. Przestrzenie wymiarowe: jednostki ekstensywne i intensywne, twierdzenie o tym, Ŝe jeden obiekt jest osiągalny z drugiego obiektu, gdy iteracje jednostek intensywnyh pierwszego i drugiego obiektu są róŝne (np. ciśnienie wody w pierwszej części rury jest wyŝsze niŝ w drugiej). 10. SYSTEMY MATEMATYCZNE.

9 WIELKA NIEZNANA 11. Przestrzenie iteracyjne. Całkowanie i róŝniczkowanie operatorów prawostronnie odwracalnych, określonych na przestrzeni iteracyjnej 12. Rozszerzenie języka sformalizowanego o termin równowaŝenia się wielu obiektów (odpowiadający równowaŝeniu się wielu oddziaływań). Termy wieloznaczne (np. rozwaŝane równocześnie w wielu modelach, por. opis obiektów w przestrzeniach wielowymiarowych za pomocą składowych). Współczesna matematyka jest fazą wstępną rozwoju matematyki obiektowej lub szerzej cybernetycznej

10 Systemy iteracyjne Systemy rzeczywistości, tj. wyróŝnione struktury relacyjne (często z relacją porządku), w których realizowane jest powtarzalne wykonywanie tych samych operacji lub wchodzenie w te same relacje nazywamy systemami iteracyjnymi. W ujęciu algebraicznym przez iterację moŝna rozumieć ten sam typ skończonej ilości złoŝeń operacji (niekonieczne tych samych operacji) w algebrach naleŝących do klasy wszystkich analogicznych (dokładniej: podobnych, np. z dokładnością do homomorfizmu) algebr częściowych (podalgebr sytemu iteracyjnego), a w ujęciu logicznym ten sam typ złoŝeń operacji i relacji w strukturze relacyjnej naleŝącej do klasy wszystkich analogicznych (dokładniej: podobnych, np. z dokładnością do homomorfizmu) struktur relacyjnych (podsystemów sytemu iteracyjnego).

11 Przykład iteracji Np. dla homomorficznych algebr A 1 = < U 1, f 1, f 2 >, A 2 = < U 2, g 1, g 2 >, gdzie pierwsze operacje są jednoargumentowe, a drugie dwuargumentowe, złoŝenia f(x 1, x 2 ) = f2(x 1,f 1 (x 2 )) i g(x 1, x 2 ) = g 2 (x 1, g 1 (x 2 )) mają ten sam typ. Gdy oznaczymy ten typ przez i, to piszemy i{f 1, f 2 } = f, i{g 1, g 2 } = g. Iterację i jednej funkcji f zapisujemy if. PoniewaŜ kaŝda struktura relacyjna indukuje zbiór iteracji, więc system iteracyjny moŝemy utoŝsamiać z indukującą iteracje strukturą relacyjną.

12 Operacja przypisania Systemy podstawień Zbiór termów z operacją przypisania (tj. podstawiania, czy zastępowania) nazywamy systemem podstawień. ZłoŜenie funkcji określa się jako ciąg podstawień termów: t 1 := τ 1, t 2 := τ 2,..., t n := τ n. Np. złoŝeniu z = f(g(h(x,y)), h(x,g(y))) odpowiada następujący ciąg podstawień: z:= f(x 1, x 2 ), x 1 := g(x 3 ), x 2 := h(x, x 4 ), x 3 := h(x, y), x 4 := g(y) System podstawień jest systemem iteracyjnym, a typy podstawień moŝna utoŝsamiać z iteracjami w tym systemie. Ciąg podstawień moŝna określić takŝe za pomocą drzewa podstawień

13 Iteracja jako klasa drzew podstawień równowaŝnych f g h h x g x y y

14 Bardziej precyzyjne określenie iteracji Wprowadzone wcześniej pojęcie iteracji moŝna bardziej precyzyjnie określić za pomocą klasy abstrakcji. Dowolną klasę wszystkich izomorficznych podsystemów systemu iteracyjnego nazywamy iteracją. Liczby kardynalne są iteracjami: Niech <U, R> jest systemem iteracyjnym, w którym U jest dowolnie ustalonym nieskończonym zbiorem, a rodzina relacji R jest pusta. Wtedy, dowolny podzbiór U wyznacza podsystem tego systemu iteracyjnego, a iteracja jako klasa wszystkich izomorficznych podsystemów jest klasą wszystkich równolicznych zbiorów, tj. jest liczbą kardynalną. Podobnie: liczby porządkowe są iteracjami.

15 Kreskowy system zliczania przedmiotów - izomorficzne podsystemy zliczania przedmiotów - jednoelementowy podsystem - dwuelementowy podsystem - trzyelementowy podsystem Iteracje w kreskowym systemie zliczania przedmiotów są modelem liczb naturalnych.

16 Systemy pomiarowe jako systemy iteracyjne Mechanizm pomiaru - mechanizm ustalający w danym stanie dokonywania pomiaru wystąpienie kolejnej jednostki pomiaru. Włączenie mechanizmu pomiaru za kaŝdym razem powiększa na skali pomiaru wynik pomiaru o następną jednostkę. Nie wystąpienie następnej jednostki pomiaru oznacza jego zakończenie. Pomiar jest więc iterowaniem jednostek pomiaru. ZłoŜenie jednostek pomiaru - wynik skończonej ilości niezaleŝnych pomiarów, np. jednostka miary pola powierzchni cm 2 = cm*cm, jednostka siły N = kg* m /s. Wielkości są niezaleŝne, gdy nie mogą się wzajemnie określać tak, aby do wyznaczenia którejś jednostki wystarczał pomiar pozostałych jednostek. Zbór niezaleŝnych wielkości wymiarowych wraz z operacjami i relacjami tworzy przestrzeń wymiarową. Jest ona systemem iteracyjnym. Klasa wszystkich izomorficznych podprzestrzeni tej przestrzeni jest iteracją. Wielkości określone przez operacje nazywamy ekstensjonalnymi, a określone przez relacje - intensjonalnymi. We współczesnej fizyce iteracjami w przestrzeniach wymiarowych są liczby rzeczywiste. ZłoŜenie wielkości ekstensjonalnej z intesjonalną jest wielkością energii

17 Liczby całkowite jako iteracje M = < U, π, I >, gdzie U jest nieskończonym niepustym zbiorem, a π róŝnowartościową funkcją, bez cykli (nie istnieje taki X U, Ŝe π(x)=x), określoną na tym zbiorze, a I funkcją toŝsamościową (I(x) = x). I tak I1. ZłoŜenie funkcji π ma typ 0, gdy jego wynikiem jest funkcja toŝsamościowa I. Przez 1 oznaczamy iterację, oznaczającą typ złoŝenia funkcji π, którego wynikiem jest funkcja π. Piszemy 0π = I; I2. Jeśli i jest iteracją, to istnieje taka iteracja i *, Ŝe i * π = (iπ)π, gdzie zapis f 1 f 2 jest złoŝeniem funkcji f 1, f 2 określonym wzorem f 1 f 2 (x)=f 2 (f 1 (x)); I3. JeŜeli do zbioru iteracji naleŝy 0 i spełniony jest warunek I2 to kaŝda iteracja naleŝy do tego zbioru.

18 Liczby całkowite jako iteracje Sumę i iloczyn iteracji określamy następująco: Sum. Il. (n + k) π = (nπ)(kπ); (n * k) π = n(kπ). Zbiór iteracji równowaŝny zbiorowi liczb całkowitych uzyskamy, jeśli będziemy rozwaŝać złoŝenia funkcji wśród których jest funkcja odwrotna do funkcji π, tj. M = < U. π, I, π -1 >. Wtedy przyjmiemy oznaczenie (nπ) -1 = (-n)π. Oczywiście n + (-n) = 0, a ponadto zachodzą pozostałe własności liczb całkowitych.

19 Iteracyjne ujęcie teorii liczb rzeczywistych Iteracyjne ujęcie teorii liczb rzeczywistych Iterowanie, rozumiane jako powtarzalność czegoś w danej strukturze relacyjnej, jest homomorfizmem (izomorfizmem) pomiędzy podstrukturami tej struktury. Określenie liczb rzeczywistych. Niech zbiór U jest uporządkowany przez relację w sposób gęsty i bez luk, a więc w sposób ciągły, bez elementu pierwszego i ostatniego. Wybierzmy w tym zbiorze dowolne dwa róŝne elementy 0 i 1, tak aby 1 0. ZałóŜmy, Ŝe wtedy, dla dowolnego elementu x U, istnieje pewien izomorfizm monotoniczny i x, przekształcający 0 w liczbę x oraz pewien automorfizm monotoniczny a x przekształcający element 1 w x 0. JeŜeli klasę automorfizmów rozszerzymy o homomorfizm a 0 : U {0}, to moŝemy określić na U następujące działania: x + y = i x (y), x*y = a x (y). MoŜna sprawdzić, Ŝe struktura <U, +, *,, 0, 1> spełnia aksjomaty teorii liczb rzeczywistych.

20 Liczby zespolone jako iteracje Ze względów dydaktycznych zalecany moŝe być następujący przykład systemu iteracyjnego: operacja π jest wykonywaniem przez ucznia kroków do przodu w danym kierunku, zbiór U jest zbiorem połoŝeń ucznia, funkcja I to postój w miejscu. Najbardziej interesującym przykładem jest system iteracji, w którym oprócz kroków do przodu w danym kierunku, wykonywane są kroki prostopadle na lewo, w bok od kierunku przemieszczania się ucznia. Oznaczmy przez π kroki do przodu, a przemieszczanie się o krok na lewo od kierunku ruchu przez i Wtedy kroki wykonane na lewo od kroków wykonanych na lewo od kierunku do przodu, są. krokami do tyłu.

21 Liczny zespolone jako iteracje Wprowadzając analogiczne jak poprzednio pojecie iloczynu iteracji, mamy iiπ = - 1π, lub krócej: i 2 = -1. Tak więc iteracja n + ki, oznaczająca n kroków w danym kierunku i następnie k kroków na lewo od tego kierunku, moŝe być utoŝsamiana z liczbą zespoloną. ZauwaŜmy, Ŝe iteracja n + ki ustala nowy kierunek ruchu i wyznacza pewne przemieszczenie, które moŝemy traktować jako nowy krok. Iloczyn iteracji (n 1 + k 1 i) (n 2 + k 2 i) będzie wtedy oznaczał wykonanie n 1 tych nowych kroków do przodu i k 1 w kierunku na lewo od kierunku ustalonego przez iterację n 2 + k 2 i. Dokładnie: (n 1 + k 1 i) (n 2 + k 2 i) = (n 1 n 2 k 1 k 2 ) + (n 1 k 2 + k 1 n 2 ) i (dlaczego?).

22 Iteracyjne ujęcie liczb pitagorejskich Źródło: J. H. Conway, R. K. Guy, Księga liczb, WNT, Warszawa 1999, s.51

23 Iteracyjne ujęcie liczb pitagorejskich Źródło: J. H. Conway, R. K. Guy, Księga liczb, WNT, Warszawa 1999, s.62

24 Grupy krystalografii jako systemy iteracyjne

25 Systemy geometryczne Sztuka M.C.Eschera

26 Projektowanie parkietów lub posadzek Grupy krystalografii wykorzystuje się przy projektowaniu parkietów lub posadzek z płytek drewnianych lub ceramicznych. Problem ten, dla przypadku płytek w kształcie wielokątów foremnych, jest juŝ znany od czasów staroŝytnych. Całą płaszczyznę dzieli się na stykające się w wierzchołkach wielokąty foremne, tak aby w kaŝdym wierzchołku stykały się wszystkie przystające do wybranych wielokąty. PoniewaŜ wielokąt o n bokach posiada kąt o mierze (n - 2) * / n, a suma miar wszystkich połączonych w wierzchołku kątów wynosi 360 0, więc przykładowo dla trzech wielokątów (o ilości boków n1, n2, n3) mamy warunek 1/n1 + 1/n2 + 1/n3 = 1/2, a dla czterech wielokątów (o ilości boków n1, n2, n3, n4) 1/n1 + 1/n2 + 1/n3 + 1/n4 = 1. Przykładowe projekty parkietów przedstawiamy dalej. MoŜna je zrealizować w edytorach grafiki (np. Power Point).

27 System geometryczny Parkiet 1

28 System geometryczny Parkiet 2

29 Elementarna teoria obiektów Definicja 1 Strukturę ESO = < M, ε >, gdzie M jest niepustym zbiorem, nazywamy elementarną strukturą obiektową, gdy relacja ε M M, zwana relacją zawierania obiektów, spełniająca następujące warunki: M1. x M (x ε x) (zwrotność) M2. x, y M (x ε y y ε x x = y) (antysymetria) M3. x, y, z M (x ε y y ε z x ε z) (pzechodniość) Elementy M nazywamy obiektami. WyraŜenie x ε y czytamy: x jest częścią y, y zawiera x lub x zawiera się w y. Przez ε oznaczamy zawieranie właściwe. Ze względu na warunek M2, moŝna poprawnie określić operację minimum µ x M dla dowolnej formuły poprawnie zbudowanej F o zmiennej wolnej x: y = µ x M (F(x)) F(x/y) x M(F(x) y ε x)

30 Elementarna teoria obiektów M4 m, m 1,m 2 M (m 1 ε m m 2 ε m x M( x ε m 1 x ε m 2 ) m 3 ε m (m 3 = µ x M (m 1 ε x m 2 ε x)). JeŜeli jakiś obiekt m zawiera dwa rozłączne obiekty m 1,m 2, to istnieje pewien obiekt minimalny m 3 będący częścią m, zawierającą obiekty m 1,m 2. Krócej: obiekt zawierający dwie rozłączne części, zawiera w sobie minimalną część zawierającą te części. M5. Dla dowolnego zbioru obiektów S, jeŝeli r,s S m M (r ε m s ε m), to u M(u = µ m M ( s S (s ε m)). JeŜeli kaŝda para obiektów jakiegoś zbioru, połączona jest ze sobą jakimś obiektem, to obiekty tego zbioru tworzą pewien obiekt.

31 Elementarna teoria obiektów Z warunku M5 wynika Twierdzenia 1 x, y,z M (z ε x z ε y r M(r = µ u M (x ε u y ε u ))). Dwa obiekty o wspólnej części tworzą jeden obiekt. Z warunku M4 wynika Twierdzenie 2 m, m 1,m 2 M (m 1 ε m m 2 ε m x ε m yε x(y ε m 1 y ε m 2 ) x ε m ( x ε m 1 x ε m 2 ) m 3 ε m m 3 = µ x M (m 1 ε x m 2 ε x)). JeŜeli jakiś obiekt m jest rozbity na dwa obiekty m 1,m 2 w taki sposób, Ŝe kaŝda część m ma część wspólną z jednym z obiektów m 1,m 2, to istnieje minimalny obiekt m 3 będący częścią m, łączący obiekty m 1,m 2. Krócej: obiekt składający się z dwu rozłącznych części, zawiera w sobie minimalną część łączącą te części.

32 Elementarna teoria obiektów Twierdzenie 3 M6. Dla dowolnego m M i zbioru obiektów S, jeŝeli m 1, m 2 S (m 1 ε m m 2 ε m x M( x ε m 1 x ε m 2 )), to u M(u = µ m M ( s S (s ε m)). Dla dowolnego obiektu m i dowolnego zbioru S części obiektu m, jeŝeli dla kaŝdej pary obiektów zbioru S obiekty te są rozłączne, to obiekty zbioru S tworzą pewien minimalny obiekt. Dowód. Z warunku M4, dla dowolnych dwu obiektów zbioru S istnieje jeden minimalny obiekt zawierający te obiekty. Stad, dla dowolnego obiektu x, korzystając z twierdzenia 1 moŝemy utworzyć zbiór S x, którego kaŝdy element powstał z tego obiektu x i jakiegoś innego obiektu S. Zbiór S x spełnia załoŝenia warunku M5. Oznaczmy przez m x minimalny obiekt zwierający obiekty zbioru S x. PoniewaŜ w zbiorze S ={m x : x S} wszystkie obiekty wynikiem powiększenia o te same obiekty łączące te elementy S, więc S pełnia załoŝenie warunku M5. Zatem istnieje taki minimalny obiekt u, którego wszystkie elementy zbioru S są częściami. PokaŜemy, Ŝe u jest minimalnym obiektem zawierającym elementy S. Niech u ε u jest obiektem zwierającym wszystkie elementy S. Wtedy, wobec załoŝeń, przyjętych oznaczeń oraz własności M4 i M5, mamy, Ŝe dla dowolnego x S, wszystkie elementy S x są częściami u, a stąd m x ε u. Mamy stąd, Ŝe wszystkie elementy zbioru S są częściami u, zatem minimalny obiekt u, którego częściami są elementy S musi być teŝ częścią u. Otrzymaliśmy: u ε u u ε u, a stąd, wobec M2, u = u. C.n.d.

33 Elementarna teoria obiektów Definicja 2 W elementarnej strukturze obiektowej < M, ε >, podzbiór W M nazywamy warstwą w tej strukturze, gdy 1. x,y W(x y <x, y> ε) 2. x M(x W y W(x ε y y ε x)). Warstwę W 0 nazywamy warstwą pierwszą, gdy 3. x M(x W y W(y ε x)). Twierdzenie 4 W elementarnej strukturze obiektowej moŝe istnieć tylko jedna warstwa pierwsza. Definicja 3 Podstrukturę struktury relacyjnej ESO = < M, ε > w standardowym rozumieniu, będąca zarazem elementarną struktura obiektowa, nazywamy jej podstrukturą. Twierdzenie 5 W strukturze ESO = < M, ε >, dla dowolnego x M istnieje podstruktura ESO taka, Ŝe wszystkie jej obiekty są częściami x. Oznaczmy ją przez ESO x.