Zbiory mocy alef zero

Transkrypt

1 Uniwersytet Rzeszowski Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Monika Łokaj Zbiory mocy alef zero Praca licencjacka wykonana w Instytucie Matematyki pod kierunkiem dra Michała Lorensa Praca została przyjęta przez promotora Rzeszów 2006

2 Podziękowania Składam serdeczne podziękowania Panu doktorowi Michałowi Lorensowi za pomoc w powstawaniu niniejszej pracy

3 Spis treści: Wstęp...4 Rozdział 1. Zbiory równoliczne...6 Rozdział 2. Liczby kardynalne zbiorów, moce zbiorów...10 Rozdział 3. Zbiory przeliczalne...14 Rozdział 4. Arytmetyka liczb kardynalnych...16 Literatura

4 Wstęp Teoria mocy, zajmująca się kwestią liczebności zbiorów i porównywaniem ich liczebności, jest jednym z głównych działów teorii mnogości. Stanowiła ona teŝ jeden z najwaŝniejszych tematów rozwaŝań Georga Cantora ( ), który jest twórcą teorii mnogości. Wprowadził on pojęcie mocy zbioru i liczby kardynalnej oraz udowodnił ich podstawowe własności. Szczególne znaczenie miały jego rozwaŝania dotyczące zbiorów nieskończonych oraz badania dotyczące mocy konkretnych zbiorów znanych z praktyki badawczej matematyków, zwłaszcza zbiorów liczb naturalnych, wymiernych i rzeczywistych. Zagadnienia te wiąŝą się z pojęciem nieskończoności, którą w piątym lub szóstym wieku przed naszą erą odkryli Grecy. Było to dla nich pojęcie tak dziwne i sprzeczne z ludzką intuicją, Ŝe skonfundowało filozofów i matematyków, którzy je wprowadzili. Przysposobiło im mnóstwa cierpień i wielu doprowadziło do obłędu. 1 Przez długie wieki pojęcie to sprawiało matematykom wiele kłopotów i było przez nich traktowane jako pojęcie niejasne. Dopiero rozwaŝania Cantora nad nieskończonymi liczbami kardynalnymi utorowały drogę do pełnej akceptacji pojęcia nieskończoności. Celem Cantora było zdefiniowanie liczby kardynalnej zbioru nieskończonego. Początkowo na oznaczenie liczby kardynalnej odpowiadającej zbiorom przeliczalnym uŝywał litery ϖ. Posługiwał się takŝe znanym symbolem, którym zwykle oznaczamy nieskończoność. Wkrótce jednak uznał, Ŝe liczby kardynalne wymagają nowego symbolu. Postanowił więc uŝyć w tym celu pierwszej litery alfabetu hebrajskiego alef,.א Cantor świadomie wybrał wiedząc o roli alefu jako symbolu Boga i nieskończoności. Poza tym z dumą powtarzał,א swoim kolegom, Ŝe specjalnie wybrał właśnie alef na oznaczenie liczb kardynalnych, gdyŝ uwaŝał je za nowy początek w matematyce, początek nowej nieskończoności Aczel A. D., Tajemnica Alefów matematyka, kabała i poszukiwania nieskończoności, Dom wydawniczy REBIS, Poznań 2002, str TamŜe, str

5 MoŜna zadać jeszcze pytanie, czy matematyka nieskończona jest potrzebna i konieczna w matematyce stosowanej. (...) Teoria mnogości jest fundamentalną teorią matematyczną, stanowiącą podstawę dla całej matematyki. (...) W matematyce współczesnej jest wiele działów, które w istotny sposób opierają się na pozaskończonej teorii mnogości. 3 W tej pracy postaram się przybliŝyć czytelnikowi podstawowe definicje i twierdzenia teorii mnogości. Udowodnię, Ŝe zbiory liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych są równoliczne a co z tego wynika są zbiorami mocy alef zero. Przedstawię zbiory przeliczalne i co najwyŝej przeliczalne. W ostatnim rozdziale omówię arytmetykę liczb kardynalnych, zwracając szczególną uwagę na liczbę alef zero. Uwaga. W pracy przyjęłam następujące oznaczenia: N - zbiór liczb naturalnych; 2 N - zbiór liczb naturalnych parzystych; 2 N zbiór liczb naturalnych nieparzystych; Z - zbiór liczb całkowitych; Q - zbiór liczb wymiernych. 3 Murawski R., Filozofia Matematyki Zarys Dziejów, Wyd. naukowe PWN, Warszawa 2001, str

6 Rozdział 1. Zbiory równoliczne Zastanówmy się, jak stwierdzić, czy dane zbiory skończone A, B mają tę samą liczbę elementów. MoŜna po prostu policzyć elementy obu zbiorów i uzyskane liczby porównać. Metoda ta nie jest jednak zbyt praktyczna, jeśli zbiory są bardzo liczne lub gdy nie umiemy rachować. MoŜna więc zrobić inaczej: wybrać jeden z elementów zbioru A i połączyć go w parę z jednym z elementów zbioru B, później zestawić następną parę i kontynuować to postępowanie do czasu, aŝ wyczerpią się elementy któregoś ze zbiorów. Jeśli na przykład szybciej wyczerpią się elementy zbioru A, to zbiór B ma więcej elementów niŝ zbiór A, jeśli natomiast kaŝdemu elementowi ze zbioru A przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru B to zbiory te będą miały tyle samo elementów. Ta metoda stanowi podstawę określenia pojęcia równoliczności zbiorów. Definicja 1.1. Zbiorami równolicznymi (lub równej mocy) nazywamy dwa zbiory X i Y, gdy istnieje przekształcenie róŝnowartościowe zbioru X na Y ([3], str. 52). JeŜeli zbiory X i Y są równoliczne to piszemy wtedy X ~ Y. Zatem mamy: X ~ Y 1 1 f [ f : X Y ]. na Przykład 1.1. Rysunek 1.1. Funkcja ustalająca równoliczność zbioru prostokątów i kół

7 Rysunek 1.1. przedstawia prosty przykład zbiorów równolicznych. Zbiory prostokątów i kół mają tyle samo elementów, co łatwo sprawdzić, bo są skończone. Funkcja zaznaczona na rysunku strzałkami jest jednym z moŝliwych odwzorowań wzajemnie jednoznacznych jednego zbioru na drugi. Jeśli zbiór X jest zbiorem skończonym: X={a 1, a 2,..., a n }, gdzie n N, to zbiór Y jest równoliczny ze zbiorem X wtedy i tylko wtedy, gdy ma tę samą liczbę n elementów. Pojęcie równoliczności zbiorów skończonych pokrywa się więc z elementarnym pojęciem równej liczby elementów tych zbiorów ([3], str. 52). Przykład 1.2. a) Zbiory liczb naturalnych i liczb parzystych są równoliczne. Liczby naturalne Liczby parzyste Zbiory liczb naturalnych i liczb parzystych są nieskończone. Oczywiście zbiór liczb parzystych jest właściwym podzbiorem zbioru liczb naturalnych N. Mimo to, funkcja f ( n) = 2n, dla kaŝdej liczby naturalnej n, jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb parzystych, co teraz udowodnię. Dowód. I. RóŜnowartościowość. Weźmy dowolne liczby naturalne x i y oraz załóŝmy, Ŝe f ( x) = f ( y). Wówczas f ( x) = 2x i f ( y) = 2y. Skoro załoŝyliśmy, Ŝe f ( x) = f ( y), to 2 x = 2y, a stąd x = y, co dowodzi tego, Ŝe funkcja f jest róŝnowartościowa

8 II. Na. Weźmy dowolną liczbę naturalną parzystą y. Szukamy liczby naturalnej x takiej, Ŝeby y f ( x) = y. Mamy zatem, Ŝe 2 x = y, x = N. Zatem pokazaliśmy, Ŝe dla kaŝdej liczby 2 naturalnej parzystej istnieje liczna naturalna x, taka, Ŝe y = f (x) Na podstawie I i II funkcja f jest bijekcją więc ustala równoliczność tych zbiorów. b) Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb nieparzystych są równoliczne. Funkcja f ( n) = 2n + 1, dla n N {0}, jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb nieparzystych. Funkcja ta ustala więc równoliczność tych zbiorów. Przykład 1.3. Zbiory liczb naturalnych i liczb całkowitych są równoliczne. Liczby naturalne Liczby całkowite Funkcja: f (x) = 1 1 x x 2 dla dla x 2N + 1 x 2N jest bijekcją odwzorowującą zbiór liczb całkowitych na zbiór liczb naturalnych. Dowód. I. RóŜnowartościowość. Niech x 1, x 2 N. ZałóŜmy, Ŝe x 1 x 2 i przypuśćmy, Ŝe f x1 ) = f ( x ). RozwaŜmy trzy przypadki: ( 2-8 -

9 (i) x 1 =2n+1, x 2 =2m+1, dla n, m N {0}. Z załoŝenia mamy, Ŝe x 1 x 2, stąd 2n+1 2m+1, czyli 2n 2m, a zatem n m. Z określenia funkcji mamy, 1 1 Ŝe f x ) =- (2n+1)+ 2 2 ( oraz f x ) =- (2m+1)+. Z załoŝenia mamy 2 2 ( f x1 ) = f ( x ), zatem - (2n+1)+ =- (2m+1)+, czyli 2n+1=2m+1, ( 2 a z tego, Ŝe n=m a to jest sprzeczne z załoŝeniem. (ii) x 1 =2n+1, x 2 =2m, dla n N {0}, m N. Z określenia funkcji mamy, Ŝe 1 1 f ( x 1 ) =- (2n+1)+ oraz f ( x 2 ) = 1 2m. Z załoŝenia f ( x ) ( ) 1 = f x2, czyli (2n+1)+ = 2m. Z tego 2n-1+1=2m, stąd 2n=2m, a zatem n= -m a to oznacza, Ŝe n i m nie są jednocześnie liczbami naturalnymi więc dochodzimy do sprzeczności. (iii) x 1 =2n, x 2 =2m, dla n, m N. Z załoŝenia mamy, Ŝe x 1 x 2, stąd 2n 2m, a z tego n m. Z określenia funkcji mamy, Ŝe f ( x 1 ) = 1 2n oraz f ( x ) 2 = 1 2m. 2 2 Z załoŝenia mamy f ( x1 ) = f ( x2 ), czyli 1 2n 1 = 2 m. a z tego, Ŝe n=m a to 2 2 jest sprzeczne z załoŝeniem. Na podstawie (i)-(iii) funkcja f jest róŝnowartościowa. II. Na. 1 1 (i) 0 Z. Szukam x N, takiego, Ŝeby f (x) =0. Niech f (x) =- x+, wtedy x+ =0, a stąd x=1. Wskazałam x=1 N taki, Ŝe f (x) =

10 (ii) Niech b Z, b>0. Szukam x N takiego, Ŝeby f (x) =b. Niech x=2n, n N. 1 1 f (x) = x, wtedy x=b, a stąd x=2b N. 2 2 f ( 2b) = 1 2b =b. 2 (iii) Niech b Z, b<0. Szukam x N takiego, Ŝeby f (x) =b. Niech x=2n+1, n N. 1 1 f ( 2n + 1) = (2n+1)+ =- 2n - + =-n, wtedy -n=b, a stąd n=-b. Zatem x=-2b+1 jest szukanym x N f ( 2b + 1) = - (-2b+1)+ =b- + =b Na mocy (i)-(iii) funkcja f jest na. Na podstawie I i II funkcja f jest bijeckją zbioru Z na zbiór N, a to dowodzi tego, Ŝe te zbiory są równoliczne

11 Rozdział 2. Liczby kardynalne zbiorów, moce zbiorów Twierdzenie 2.1. Relacja równoliczności jest relacją równowaŝności. Twierdzenie to pozwala rozklasyfikować zbiory ze względu na ich moc. Prowadzi to do przeniesienia na zbiory nieskończone elementarnego pojęcia liczebności zbioru. 4 Mianowicie mamy następującą definicję: Definicja 2.1. KaŜdemu zbiorowi X jest przyporządkowana liczba kardynalna, czyli jego moc, którą oznaczamy symbolem X, w taki sposób, Ŝe ta sama liczba kardynalna przyporządkowana jest dwóm róŝnym zbiorom wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory te są równoliczne ([3], str. 52). Czyli A = B wtedy i tylko wtedy, gdy A ~ B. Mocą zbioru pustego jest liczba zero, mocą niepustego zbioru n - elementowego jest liczba naturalna n większa od zera ([2], str. 237). Symbol X został wprowadzony przez Cantora. Podwójna kreska nad symbolem zbioru miała w intencji Cantora oznaczać, Ŝe do pojęcia mocy zbioru dochodzi się dokonując abstrakcji od jakości elementów zbioru i od ich uporządkowania. Moc zbioru jest tą własnością, która nie ulegnie zmianie, jeśli elementy zbioru X zastąpi się wzajemnie jednoznacznie przez elementy innego zbioru, a takŝe, gdy zmieni się uporządkowanie elementów zbioru X ([2], str. 236). Oprócz oznaczenia X w literaturze znajdziemy równieŝ card(x). Symbol ten pochodzi od angielskiego słowa cardinality- liczba kardynalna, moc ([6], str. 121). 4 Moszner Z., Elementy teorii mnogości i topologii, Wyd. Naukowe WyŜszej Szkoły Pedagogicznej w Krakowie, Kraków 1968, str

12 Definicja Moc zbioru liczb naturalnych to א 0, co zapisujemy symbolicznie: N = א 0. Na podstawie definicji 2.1. definicję tę moŝna sformułować następująco: Definicja Niech A będzie dowolnym zbiorem. A = א 0 wtedy i tylko wtedy, gdy A ~ N ([2], str. 238). Symbol א 0 oznacza więc moc kaŝdego zbioru, który jest równoliczny ze zborem liczb naturalnych. Z definicji 1.1. i definicji 2.1. wynika: Twierdzenie A = א 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg nieskończony o wyrazach nie powtarzających się, którego zbiór wyrazów równa się A ([2], str. 238). Twierdzenie formułuje się nieraz następująco: Twierdzenie A = א 0 wtedy i tylko wtedy, gdy elementy zbioru A moŝna ustawić w ciąg nieskończony o wyrazach nie powtarzających się. Przykład 2.1. Zbiory liczb parzystych, nieparzystych i całkowitych są mocy א 0. Fakt ten wynika z twierdzenia 2.2 i przykładów podanych w rozdziale 1 (Przykład 1.2a, 1.2b, 1.3). Przykład 2.2. Zbiór Q liczb wymiernych jest mocy א 0. Przypomnijmy, Ŝe liczba w jest wymierna, jeśli w= n m dla pewnej liczby całkowitej m i dla pewnej liczby naturalnej n. Najpierw udowodnię, Ŝe zbiór wszystkich liczb wymiernych

13 dodatnich jest mocy א 0. Zapiszmy wszystkie liczby wymierne dodatnie w tablicy według zasady: w pierwszym wierszu umieszczamy w porządku malejącym liczby wymierne o liczniku 1, w drugim- kolejne liczby wymierne o liczniku 2 itd. (Tablica 2.1.). Tablica 2.1. Wyliczanie liczb wymiernych dodatnich rozpoczynamy od 1 1 i posuwamy się zgodnie z kierunkiem strzałek opuszczając wyliczone juŝ wcześniej liczby (zaznaczone w przekreślonych kółkach). Mamy więc: ,,,,,,,,,,, W ten sposób uwzględnimy wszystkie liczby wymierne dodatnie, a kaŝdą z nich policzymy dokładnie raz. MoŜna więc wszystkie liczby wymierne dodatnie ustawić w nieskończony ciąg o wyrazach nie powtarzających się. Oznaczamy przez w 1, w 2, w 3,... wszystkie liczby wymierne dodatnie. Aby teraz otrzymać ciąg składający się z wszystkich liczb wymiernych, wystarczy wziąć ciąg następujący: 0 w 1 -w 1 w 2 -w 2 w 3 -w 3,... W ten sposób pokazaliśmy, Ŝe wszystkie liczby wymierne moŝna ustawić w ciąg nieskończony o wyrazach nie powtarzających się więc na podstawie twierdzenia 2.2. zbiór liczb wymiernych jest mocy א

14 Rozdział 3. Zbiory przeliczalne Definicja 3.1. Zbiory mocy א 0 nazywamy przeliczalnymi. Zbiory przeliczalne lub skończone nazywamy co najwyŝej przeliczalnymi ([4], str. 65). Uwaga 3.1. Zbiór co najwyŝej przeliczalny charakteryzuje się tym, Ŝe jest pusty lub jego elementy moŝna ułoŝyć w ciąg (skończony lub nie), a zbiór przeliczalny tym, Ŝe jego elementy moŝna ustawić w ciąg o nieskończenie wielu wyrazach róŝnych ([4], str. 65). Wynika stąd następujące twierdzenie: Twierdzenie 3.1. Suma A B zbiorów przeliczalnych A i B jest zbiorem przeliczalnym ([2], str.239). Dowód. Jeśli jeden ze zbiorów jest pusty, twierdzenie wynika ze wzoru A φ =A. Jeśli zbiory A i B są niepustymi zbiorami przeliczalnymi to w myśl uwagi 3.1 elementy zbioru A moŝna ustawić w ciąg nieskończony a 1, a 2,..., a n,..., elementy zbioru B- w ciąg b 1, b 2,..., b n,... Tworzymy ciąg a 1, b 1, a 2, b 2,..., a n, b n,..., który jest przeliczalny a jego wyrazy stanowią zbiór A B. Twierdzenie 3.2. Iloczyn kartezjański dwóch (lub ogólniej: skończonej liczby) zbiorów przeliczalnych jest przeliczalny ([3], str. 54). Dowód. Udowodnię, Ŝe zbiór par <m, n>, gdzie n i m są to liczby naturalne, jest przeliczalny. NaleŜy więc elementy tego zbioru ustawić w ciąg. W tym celu przyjmujemy następująca regułę: z dwóch par <m, n> i <m, n > tę uwaŝamy za wcześniejszą, która ma sumę elementów mniejszą; jeśli zaś m+n=m +n, to wcześniejsza jest para o mniejszym poprzedniku. A zatem ciąg ten przedstawia się następująco:

15 <1,1>, <1,2>, <2,1>, <1,3>, <2,2>, <3,1>,<1,4>,... Stąd juŝ moŝemy wywnioskować, Ŝe mając dwa dowolne ciągi nieskończone a 1, a 2,..., a m,... b 1, b 2,..., b n,... moŝna ustawić w ciąg nieskończony wszystkich par <a m, b n >. Twierdzenie to moŝemy udowodnić wykorzystując metodę przekątniową. KaŜdą z par <m,n> moŝemy ustawić w tabeli traktując m jako licznik a n jako mianownik. Wtedy pokazalibyśmy, Ŝe iloczyn kartezjański dwóch zbiorów jest mocy א 0, a na podstawie definicji 3.3. będziemy mieli, Ŝe będzie on przeliczalny

16 Rozdział 4. Arytmetyka licz kardynalnych Zdefiniujemy dodawanie, mnoŝenie i potęgowanie liczb kardynalnych. Dla oznaczenia tych działań zachowujemy oznaczenia i terminologię arytmetyki liczb zwykłych. Definicja 4.1. Dla dowolnych zbiorów X i Y a) X Y = φ ( X +Y = X Y ), b) X Y = X Y, c) Y X X =( Y ). Sumą mocy zbiorów rozłącznych jest więc moc sumy tych zbiorów, iloczynem moc iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów. Potęga, której podstawą jest moc zbioru Y, wykładnikiem moc zbioru X jest równa mocy zbioru wszystkich odwzorowań zbioru X w zbiór Y ([7], str. 182). Przykład 4.1. Zbiory {1,2,3} i {4,5,6,7} są oczywiście rozłączne. Sumą tych zbiorów jest zbiór {1,2,3,4,5,6,7}. Prawdziwe są wzory : { 1,2,3} =3, { 4,5,6,7} =4, { 1,2,3,4,5,6,7 } =7. W myśl definicji 4.1.a mamy, Ŝe 3+4=7 Przykład ten wskazuje, Ŝe dodawanie liczb naturalnych jest szczególnym przypadkiem dodawania liczb kardynalnych. ZałoŜenie, Ŝe X Y=φ jest istotne, na co wskazuje następujący przykład: Przykład 4.2. Prawdziwy jest wzór { 1,2,3} = { 3,4,5} =3. Mocą sumy zbiorów {1,2,3} i {3,4,5} jest jednak 5 a nie

17 Przykład 4.3. Dane są zbiory {1,2} i {1,2,3}. Iloczynem kartezjańskim tych zbiorów jest zbiór par uporządkowanych: {<1,1>, <1,2>, <1,3>, <2,1>, <2,2>, <2,3>}. Ponadto { 1,2, } =2 oraz { 1,2,3} =3. W myśl definicji 4.1.b iloczynem mocy zbiorów {1,2} i {1,2,3} jest moc zbioru {<1,1>, <1,2>, <1,3>, <2,1>, <2,2>, <2,3>}, czyli 2 3=6. Widzimy, Ŝe równieŝ mnoŝenie liczb naturalnych jest szczególnym przypadkiem mnoŝenia liczb kardynalnych. Przykład 4.4. Niech X={1,2,3} i Y={1,2}. Jeśli funkcja f Y X, to ciąg f (1), f (2), f (3) jest równy jednemu z następujących ośmiu ciągów: 1,1,1; 1,1,2; 1,2,1; 1,2,2; 2,1,1; 2,1,2; 2,2,1; 2,2,2. W myśl definicji 4.1.c Y X =2 3 =8. Przykład ten wskazuje, Ŝe potęgowanie liczb naturalnych jest szczególnym przypadkiem potęgowania liczb kardynalnych. Z dotychczasowych rozwaŝań wynika, Ŝe arytmetyka liczb naturalnych jest częścią arytmetyki liczb kardynalnych. Pojęcia arytmetyki liczb naturalnych mogą być zdefiniowane za pomocą pojęć teorii mnogości. PoniewaŜ pojęcia arytmetyki liczb całkowitych, naturalnych i rzeczywistych mogą być zdefiniowane za pomocą pojęć arytmetyki liczb naturalnych, której twierdzenia mogą teŝ stanowić podstawę dowodów twierdzeń arytmetyki kaŝdego z wymienionych rodzajów liczb, znaczenie teorii mnogości dla całej matematyki jest wiodące ([7], str. 183)

18 Twierdzenia, które teraz podamy, nie mają swoich odpowiedników w arytmetyce liczb naturalnych. Są to podstawowe twierdzenia dotyczące zbiorów mocy alef zero; podajemy je bez dowodów. Twierdzenie 4.1. א = א 0. Twierdzenie 4.2. א 0 + n = א 0, dla dowolnej liczby naturalnej n. Twierdzenie 4.3. א 0 + א 0 = א 0. Twierdzenie 4.3. א 0 n= א 0, dla dowolnej liczby naturalnej n. Twierdzenie 4.4. א 0 א 0 = א

19 Literatura [1] Aczel A. D., Tajemnica Alefów. Matematyka, kabała i poszukiwania nieskończoności, Dom wydawniczy REBIS, Poznań [2] Borkowski L., Wprowadzenie do logiki i teorii mnogości, Towarzystwo Naukowe Katolickiego Uniwersytetu Lubelskiego, Lublin [3] Kuratowski K., Wstęp do teorii mnogości i topologii, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa [4] Moszner Z., Elementy teorii mnogości i topologii, Wyd. Naukowe WyŜszej Szkoły Pedagogicznej w Krakowie, Kraków [5] Murawski R., Filozofia Matematyki. Zarys Dziejów, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa [6] Murawski R, Świdrydowicz K., Wstęp do teorii mnogości, Wyd. Naukowe UAM, Poznań [7] Słupecki J., Hałkowska K., Piróg-Rzepecka K., Logika i teoria mnogości, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa