9.1 Rozkład kanoniczny dla układów kwantowych

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "9.1 Rozkład kanoniczny dla układów kwantowych"

Transkrypt

1 9 Rozkład kanoniczny 9.1 Rozkład kanoniczny dla układów kwantowych Jest to funkcja rozkładu w stanie równowagi termodynamicznej, dla układu mogącego wymieniać ciepło z otoczeniem. Układ znajduje się w termostacie i można przyjąć, że jego energia jest stała w sensie średniej termodynamicznej. Liczba cząstek w układzie jest ustalona. E = const, N = const (9.1) Zadanie Wyprowadzić funkcję rozkładu kanonicznego z warunku maksimum entropii dla układów kwantowych. S = k f n ln f n = max (9.2) gdzie n numeruje poziomy energetyczne układu. Może zdarzyć się tak, że nie ma górnej granicy energii układu, wówczas n max = +. W celu uwzględnienia warunku (9.1) zastosować mnożniki Lagrange a Szukana funkcja rozkładu f n musi spełniać warunek unormowania prawdopodobieństwa: f n = 1 (9.3) W przeciwieństwie do rozkładu mikrokanonicznego dopuszczamy teraz sumowanie po stanach układu dla wszystkich możliwych energii, ale rządamy aby stała była średnia wartość energii: U = E = n E n f n = const (9.4) W języku teorii prawdopodobieństwa jest to tak zwana wartość oczekiwana. Do znalezienia maksimum entropii zastosujemy dwa mnożniki Lagrange a α i β: S = S + α f n + β E n f n (9.5) Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji S zależnej od wielkości f n jest

2 S f n = 0 = k(ln f n + 1) + α + βe n (9.6) Stąd: ln f n = α + βe n k 1 (9.7) Znaleźliśmy więc szukaną funkcję rozkładu: f n = exp ( α k 1) exp ( βe n ) k (9.8) Druga pochodna funkcji S jest mniejsza od zera 2 S f 2 n = k f n < 0 (9.9) więc jest to maksimum. Pozostało nam wyznaczenie mnożników Lagrange a α i β. Pierwszy mnożnik Lagrange a α można określić z warunku unormowania prawdopodobieństwa (9.3): ( α ) f n = 1 = exp k 1 ( ) βen exp k (9.10) Czynnik zawierający sumowanie nazywa się sumą statystyczną: ( ) βen Z = exp k (9.11) Stąd: ( α ) exp k 1 = 1 Z (9.12) Z funkcji rozkładu wyeliminowaliśmy więc mnożnik α: f n = 1 ( ) Z exp βen k (9.13) Drugiego mnożnika Lagrange a nie można wyliczyć za pomocą przekształceń matematycznych. Natomiast można go powiązać z temperaturą układu. Obliczmy maksymalną entropię w stanie równowagi termodynamicznej: ( ) ( ) 1 βen βen

3 gdzie W n jest krotnością degeneracji danego poziomu E n, a samo sumowanie odbywa = k Z β k E n exp ( ) βen + kz ( ) k ln Z βen exp k (9.14) Można znacznie uprościć to wyrażenie korzystając z definicji (9.11) sumy statystycznej Z i wyrażenia na średnią energię układu (9.4): a więc: S max = βu + k ln Z (9.15) U = 1 β S + k ln Z (9.16) β Jeśli tak wprowadzone średnia energia U i entropia S max statystyczna mają odpowiadać wielkościom termodynamicznym, to powinien zachodzić związek termodynamiczny pomiędzy nimi: U = F + TS (9.17) gdzie F jest energią swobodną. Możemy więc utożsamić drugi mnożnik Lagrange a z temperaturą układu: β = 1 T (9.18) a logarytm sumy statystycznej z energią swobodną: F = ln Z (9.19) Pojawienie się energii swobodnej F(T, V) nie było przypadkowe. F jest potencjałem termodynamicznym służącym do opisu układu o stałej objętości mogącego wymieniać ciepło z otoczeniem. Taki układ właśnie rozpatrujemy. Suma statystyczna przyjmuje ostatecznie postać: ( Z = exp E ) n (9.20) Jeśli poziomy energetyczne układu są zdegenerowane to sumę statystyczną można zapisać w skróconej postaci: ( Z = W n exp E ) n (9.21)

4 Zadanie Wyrazić energię wewnętrzną układu przez sumę statystyczną. stąd: Z ( nmax T = E n exp E ) n = Z 2 U (9.22) 2 U = 2 1 Z Z T = 2 ln Z (9.23) T Stosujemy tu pochodną cząstkową ponieważ suma statystyczna w konkretnym przypadku może zależeć także od innych parametrów niż tylko temperatura; na przykład może zależeć od objętości. Można zauważyć, że skoro: do dostaliśmy zależność F = ln Z (9.24) U = T 2 T ( ) F = F T F T T (9.25) znaną z termodynamiki, w której: F T = S (9.26) V Przy okazji policzyliśmy więc także zależność entropii od sumy statystycznej: S = F T = ln Z (9.27) T Jeśli znamy zależność sumy statystycznej od objętości układu to ciśnienie statystyczne możemy zdefiniować zgodnie z termodynamiką jako: p = F V = T V ln Z (9.28) 9.2 Rozkład kanoniczny dla klasycznego układu w przestrzeni fazowej Zazwyczaj w podręcznikach fizyki statystycznej zaczyna się od wyprowadzenia rozkład kanonicznego właśnie dla układu klasycznego. My możemy powołać się na

5 zastąpić przez całkowanie po przestrzeni fazowej odpowiadającego mu układu klasycznego. Wystarczy tylko podzielić całkę przez h w odpowiedniej potędze: 1 h M V dv (9.29) gdzie M jest liczbą stopni swobody układu, a V objętością przestrzeni fazowej dostępną dla układu. Suma statystyczna dla klasycznego ukłądu mechanicznego wynosi więc: Z = 1 h M dv q e H/ (9.30) gdzie H = H(q, p) jest funkcją Hamiltona układu. Pierwsza całka po dv q = dq 1... dq N jest liczona po przestrzeni konfiguracyjnej układu, druga całka po dv p = d p 1... d p N jest liczona po przestrzeni pędów układu. W przeciwieństwie do rozkładu mikrokanonicznego całkujemy teraz po całej przestrzeni fazowej dostępnej dla układu, a nie tylko po hiperpowierzchni stałej energii. Wszystkie funkcje termodynamiczne wynikają z Z w taki sam sposób jak dla układu kwantowego. Nie ma sensu liczyć tego jeszcze raz przy pomocy całkowania. Znalezienie maksimum entropii dla układu klasycznego wymagało by znalezienia maksimum funkcjonału: S = k f (q, p) ln f (q, p) dv q dv p (9.31) dla nieznanej funkcji rozkładu f (q, p). Trzeba do tego znać metody rachunku wariacyjnego. Zadanie Zastosować rozkład kanoniczny do gazu doskonałego. Obliczyć sumę statystyczną i własności termodynamiczne układu. Hamiltonian układu złożonego z n cząstek gazu wynosi: H = 3n i=1 p 2 i 2m (9.32) Liczba stopni swobody układu M = 3n. Suma statystyczna wynosi: Z = 1 h 3nVn d p 1... d p 3n e H/ (9.33) Całkowanie po przestrzeni konfiguracyjnej daje od razu V n, gdzie V jest objętością

6 cząstki gazu stąd V n. Z postaci hamiltonianu (9.32) od razu wynika, że całka po przestrzeni pędów układu rozpada się na iloczyn 3n niezależnych i takich samych całek dla jednego stopnia swobody pojedynczej cząstki: Z = z 3n (9.34) gdzie suma statystyczna dla jednego stopnia swobody układu wynosi: z = V 1/3 h + d p exp ) ( p2 2m (9.35) Jest to ogromna zaleta rozkładu kanonicznego w porównaniu z mikrokanonicznym ogólnie słuszna dla układu fizycznego złożonego z wielu niezależnych i nieoddziałujących części. Suma statystyczna układu jest wtedy iloczynem sum statystycznych dla pojedynczych części układu. Jest to prawda także dla układów kwantowych. Jeśli układ kwantowy składa się z kilku nieoddziałujących części to jego funkcja falowa jest iloczynem funkcji falowych podukładów. ψ = ψ 1 ψ 2 ψ m (9.36) Wówczas poziomy energetyczne układu można przedstawić w postaci sumy poziomów energetycznych podukładów E = E E m (9.37) i suma statystyczna (9.21) rozpada się też na iloczyn sum dla niezależnych części układu. Wyjątkiem są układy cząstek o spinie połówkowym, dla których trzeba dodatkowo spełnić zasadę Pauliego. Całkę występującą w sumie statystycznej dla jednego stopnia swobody gazu doskonałego można wyrazić przez całkę Poissone a: 0 e x2 dx = π 2 (9.38) stąd: e α2 x 2 dx = u = ax du = adx = 2 α 0 e u2 du = π α 2 (9.39) Suma statystyczna dla jednego stopnia swobody cząstki gazu wynosi:

7 Suma statystyczna dla całego układu zgodnie ze wzorem (9.34) wynosi Z = z 3n = V n h 3n (2πm)3n/2 (9.41) Energia swobodna gazu doskonałego jest związana z logarytmem sumy statystycznej: [ F = ln Z = n ln V + 3 ( )] 2πm 2 ln h 2 Entropia gazu doskonałego zgodnie ze wzorem (9.27) wynosi S = F T = nk ln V + 3 ( ) 2πm V 2 nk ln + n 3 h 2 h 2 2 2πm 2πmk } {{ h 2 } = 3 2 nk (9.42) (9.43) stąd energia wewnętrzna jest równa U = F + TS = 3 n (9.44) 2 Ciśnienie gazu doskonałego zgodnie ze wzorem (9.28) wynosi p = F V = n T V (9.45) a więc otrzymaliśmy równanie Clapeyrona. Jak widać zastosowanie rozkładu kanonicznego prowadzi do znacznie łatwiejszych rachunków niż w przypadku rozkładu mikrokanonicznego, a wyniki są te same. Zachodzi ogólna zależność, którą udowadnia się w podręcznikach fizyki statystycznej: rozkład mikrokanoniczny można zastąpić rozkładem kanonicznym.wyjątkiem są sytuacje, gdy w danym układzie statystycznym zachodzą duże fluktuacje, na przykład w czasie przemiany fazowej Inną zaletą rozkładu kanonicznego jest to że pojęcie temperatury pojawia się w ogólnym wyprowadzeniu tego rozkładu. W rozkładzie mikrokanonicznym temperaturę można wprowadzić postulując warunek aby energia swobodna F = U TS w stanie równowagi termodynamicznej była minimalna. Niestety dla każdego konkretnego układu trzeba to minimum odnaleźć niezależnie. Dla rozkładu kanonicznego ten warunek jest spełniony automatycznie i T pojawia się bezpośrednio jako parametr sumy statystycznej. Istotnie skoro w rozkładzie kanonicznym mamy: F = U TS (9.46)

8 Zadanie Sprawdzić, że energia swobodna (9.42) i entropia (9.43) obliczone dla gazu doskonałego przy pomocy rozkładu kanonicznego nie są wielkościami ekstensywnymi! Z termodynamiki wiadomo, że powinna zachodzić następująca zależność: F(λN, λv) = λf(n, V) (9.47) przy zwiększeniu objętości i liczby cząstek o czynnik λ. W naszym przypadku: F(λN, λv) = λn [ ln(λv) + 3 ( )] 2πm 2 ln = h 2 [ = λ N ln V + 3 ( )] 2πm 2 ln h } {{ 2 } = λf(n, V) λ N ln λ (9.48) Pojawił się tu nieporządany składnik λ N ln λ. Podobnie, składnik proporcjonalny do ln V psuje ekstensywność entropii gazu dokonałego S = U F T = 3 2 Nk F T (9.49) stąd S(λN, λv) = λs(n, V) + λkn ln λ (9.50) Na przykład dla λ = 2 możemy wyobrazić sobie dwa pudełka o jednakowej objętości zawierające tę samą liczbę czastek gazu, rozdzielone przegródką. Jeśli usuniemy przegródkę to wedłu obliczonego wzoru entropia układu nie będzie sumą entropii jego części. S + S = 2S + 2kN 2 ln{? Efekt ten znany jako paradoks Gibbsa spowodowany jest nieuwzględnieniem tego,

9 9.3 Poprawka na nierozróżnialność cząstek dla klasycznego układu w przestrzeni fazowej Jeśli cząstki są nierozróżnialne to ich odpowiednie stopnie swobody są nierozróżnialne. Na przykład nie potrafimy określić czy p x jest pędem cząstki nr 1 czy nr 2. Trzeba więc utożsamić stany układu (punkty w przestrzeni fazowej) w których poszczególne stopnie swobody cząstek ulegają permutacji ze względu na numer cząstki. Na przykład, jeśli zamienimy ze sobą składowe x-owe pędów nierozróżnialnych cząstek nr 1 i 2 (p x ) 1 (p x ) 2 (9.51) to w układzie nic się nie zmieni. Ponieważ sumę statystyczną liczymy jako całkę po przestrzeni fazowej układu, to znaczy że każdy istotnie różny punkt tej przestrzeni został policzony n! razy, gdzie n jest liczbą cząstek. Poprawka na nierozróżnialność cząstek dla sumy statystycznej polega więc na podzieleniu jej przez n!. Z nierozróżnialne = 1 n! Z rozróżnialne (9.52) Poprawkę stosujemy do n cząstek, które są nierozróżnialne, a nie do 3n stopni swobody, ponieważ oczywiście kierunek x różni się od kierunku y i składowe pędu p x i p y można od siebie odróżnić. Zadanie Zastosować poprawkę na nierozróżnialność cząstek do gazu doskonałego. Sprawdzić, czy energia swobodna i entropia staną się wielkościami ekstensywnymi. Suma statystyczna dla jednej rozróżnialnej cząstki gazu wynika ze wzoru (9.40): z (1) r = V h 3 (2πm)3/2 = z 3 (9.53) gdzie z jest obliczoną wcześniej sumą statystyczna na jeden stopień swobody. Suma statystyczna dla całego gazu rozróżnialnych cząstek: Stąd suma statystyczna dla gazu nierozróżnialnych cząstek: Z r = (z (1) r ) n (9.54) Z n = 1 n! Z r = (z(1) r ) n n! (9.55)

10 ln n! n ln n n (9.56) Łatwo ten wzór pokazać poprzez zamianę sumowania przez całkowanie: ln n! = ln( n) = ln 1 + ln ln n ln x dx = = x(ln x 1) n 1 = n ln n n = n ln n n (9.57) Stąd logarytm sumy statystycznej dla nierozróżnialnych cząstek gazu wynosi: n 1 ln Z n n(ln z (1) r [ ln n + 1) = n ln V + 3 ( ) ] 2πm 2 ln ln n + 1 h 2 (9.58) Poprawiona energia swobodna wynosi: [ F = ln Z n = n ln V n + 3 ( ) ] 2πm 2 ln + 1 h 2 (9.59) Poprawiona entropia: S = F T = nk (ln Vn ) + 1 V = nk + 3 ( ) 2πm 2 nk ln h 2 [ ln V n + 3 ( ) 2πm 2 ln + 5 ] h n 2 3 h 2 2πm 2πmk } {{ h 2 } = 3 2 nk = (9.60) Powyższy wzór nosi nazwę wzoru Sackura-Tetrodego. Teraz zarówno energia swobodna jak i entropia są wielkościami ekstensywnymi ponieważ składnik ln(v/n) występujący we wzorach (9.59) i (9.60) jest jednorodną funkcją swoich argumentów: λn k ln ( ) ( λv = λ nk kn ln V ) λn n (9.61) 9.4 Poprawka na nierozróżnialność cząstek dla układów kwantowych W zasadzie w mechanice kwantowej zakłada się, że cząstki należące do jednego układu kwantowego są zawsze nierozróżnialne. Jednak na przykład atomy w siatce krystalicznej można odróżnić od siebie wskazując który węzeł siatki dany atom zajmuje. Pojęcie rozróżnialnych cząstek kwantowych może więc być w pewnych przy-

11 Zadanie Układ kwantowy złożony jest z N cząstek mogących przyjmować energię 0 lub ɛ (dwa stany jednocząstkowe ψ 0 i ψ 1 ). Znaleźć obie sumy statystyczne Z r i Z n dla przypadku cząstek rozróżnialnych i nierozróżnialnych. Istnieje N + 1 dopuszczalnych poziomów energetycznych układu, w zależności od tego na którym poziomie jednocząstkowym są dane cząstki: Suma statystyczna wynosi: E 0 = 0, E 1 = ɛ, E 2 = 2ɛ,..., E N = NE (9.62) Z = N ( W m exp E ) m m=0 gdzie E m = mɛ (9.63) Wielkość W m jest krotnością degeneracji m-tego poziomu układu. Dla cząstek nierozróżnialnych poziomy energetyczne układu są niezdegenerowane: W m = 1 (9.64) Na przykład dla poziomu układu E 2 dwie cząstki mają energię ɛ, a pozostałe cząstki energię równą 0. Wówczas: Z n = N ( exp mɛ ) = m=0 N m=0 q m = 1 + q + q q N = 1 qn+1 1 q (9.65) gdzie zastosowaliśmy wzór na sumę postępu geometrycznego dla ( q = exp ɛ ) (9.66) Dla cząstek rozróżnialnych poziomy energetyczne układu są zdegenerowane. Na przykład dla poziomu E 2 dwie cząstki z N mają energię ɛ, a pozostałe N 2 cząstek energię 0. Liczba możliwości wyboru dwóch cząstek z N to W 2 = N (9.67) 2 Tak więc suma statystyczna dla układu N rozróżnialnych cząstek wynosi: Z r = N m=0 N m qm = (1 + q) N (9.68)

12 Z r = (z (1) r ) N (9.69) gdzie z (1) r ( = exp 0 ) ( + exp ɛ ) (9.70) jest sumą statystyczną dla jednej cząstki. Jak wynika z podzielenia przez siebie wzorów (9.65) i (9.68) dla tego układu kwantowego nie ma prostego związku między obydwoma sumami statystycznymi. W wysokich temperaturach Z r Z n N! (9.71) wówczas y = ɛ 1 (9.72) q = e y 1 q (9.73) Wówczas możemy przybliżyć obie sumy statystyczne: Z n 1 (1 y)n+1 1 (1 y) 1 (1 (N + 1)y) y = N + 1 (9.74) Z r = (1 + 1 y) N 2 N (9.75) Jak widać ich iloraz nadal nie jest równy N! Z r Z n 2N N + 1 N! (9.76) Zależność między sumami statystycznymi dla kwantowych cząstek rozróżnialnych i nierozróżnialnych byłaby taka jak dla układów klasycznych, gdyby dla cząstek rozróżnialnych krotności degeneracji większości poziomów układu były równe N! Może być tak w dwóch przypadkach: 1. wszystkie cząstki przebywają na tym samym poziomie jednocząstkowym 2. każda cząstka przebywa na innym poziomie jednocząstkowym.

13 poziom podstawowy. Drugi przypadek odpowiada temperaturom bardzo wysokim E, gdzie E jest różnicą między poziomami jednocząstkowymi. Wówczas każda cząstka przebywa na swoim poziomie. W zadaniu rozwiązywanym powyżej wszystkie cząstki muszą się zmieścić tylko na dwóch poziomach jednoczątkowych. Dlatego w tym przypadku nie było prostej zależności pomiędzy sumami statystycznymi. Problem z policzeniem sumy statystycznej dla nierozróżnialnych cząstek kwantowych jest podobny do trudności rachunkowych, które powoduje rozkład mikrokanoniczny. W rozkładzie mikrokanonicznym warunek E = const utrudnia sumowanie. W rozkładzie kanonicznym można sumować po stanach o dowolnej energii, ale za to trzeba ograniczyć się do przypadku niezmiennej liczby cząstek N = const. Okazuje się, że rezygnacja z tego warunku, czemu odpowiada tak zwany wielki rozkład kanoniczny, usuwa trudności rachunkowe dla cząstek nierozróżnialnych. Zadanie Znaleźć sumę statystyczną dla kwantowego gazu doskonałego cząstek rozróżnialnych. Wyznaczyć jej przybliżoną wartość w wysokich temperaturach. Pojemnik w którym znjaduje się gaz można potraktować jako trójwymiarową studnię potencjału o objętości V. Jeden stopień swobody takiego gazu odpowiada zagadnieniu cząstki kwantowej w nieskończonej energetycznie studni potencjału o szerokości L = V 1/3. Funkcje własne w studni jednowymiarowej mają postać fal stojących z węzłami na granicach studni dla z = 0 i z = L ψ n = A sin nπx L gdzie stała A wynika z unormowania funkcji falowej. Poziomy energetyczne jednocząstkowe: Ĥψ n = czyli ˆp2 2m ψ n = 2 2m E n = 2 n 2 π 2 2mL 2 = αn 2 gdzie α = 2 π 2 2mL 2 = h2 8mL 2 d dx ψ 2 n = 2 n 2 π 2 2mL ψ 2 n Możemy więc napisać sumę statystyczą dla jednego stopnia swobody gazu: z r (1) = exp ( αn2 ) = q n2

14 q = exp ( α ) Tutaj n numeruje poziomy energetyczne dla jednego stopnia swobody. Powyższa suma nie wyraża się przez funkcje elementarne. Można ją uzależnić od tak zwanej trzeciej funkcji eliptycznej teta Jacobiego zdefiniowanej jako szereg Fouriera 1 : ϑ 3 (u, q) = q n2 cos 2nu Wówczas ścisła suma statystyczna jest równa: z r (1) = 1 [ ϑ3 (0, e α/ ) 1 ] 2 Istnieje wzór przestawiający rozwinięcie w szereg logarytmu ln ϑ 3, ale można zastosować sposób, którego użyliśmy wcześniej dla skróconego wzoru Stirlinga, czyli zamienić sumowanie przez całkowanie. Z rysunku wynika, że sumy szeregów: q n2 = z r (1) i q n2 = z r (1) q gdzie f (n) = q n2 n=2 mają następujący sens geometryczny: z (1) r jest sumą powierzchni prostokątów pod wykresem funkcji f (x) z (1) r q jest sumą powierzchni prostokątów nad wykresem funkcji f (x) Całka określa powierzchnię pod wykresem funkcji f (x) : I = x=1 f (x) dx f ( n) f (1) f (2) f (3) f (4) f (5) n Musi zachodzić następująca nierówność pomiędzy tymi trzema powierzchniami: z r (1) q < I < z r (1) Widać z tego, że błąd jaki wprowadzimy zamieniając sumę statystyczną z r (1) przez całkę nie może być większy niż q. Dla q 1 powierzchnia pod krzywą zmierza do nieskończoności, wobec tego względny błąd zamiany sumy przez całkę zmierza do zera.

15 q = exp ( α ) 1 Jest to słuszne jeśli α czyli w wysokich temperaturach. Dla q 0 zarówno całka jak i oba szeregi zmierzają do zera, a względny błąd rośnie do nieskończoności. Wtedy zamiana sumy przez całkę nie jest uzasadniona. Zamieniając więc sumę przez całkę w wysokich temperaturach dostajemy: z r (1) exp ( αu2 ) du = exp ( h2 u 2 ) du 8mL 2 u=1 u=1 Jeśli zastosujemy podstawienie: p = hu 2L wówczas: z (1) r 2L h p=1 exp ( p2 ) d p 2m Dla T powyższa całka w przedziale (1, ) dąży do nieskończoności. Można więc z niewielkim błędem rozszerzyć dolną granicę całkowania do zera, ponieważ ta sama całka w przedziałe (0, 1) dąży do jedności. Ponieważ przyjęliśmy L = V 1/3 otrzymujemy ostatecznie z (1) r 2L h p=0 exp ( p2 ) V 1/3 d p = 2m h p= exp ( p2 ) d p 2m Dostaliśmy w przybliżeniu wysokich temperatur sumę statystyczną dla jednego stopnia swobody klasycznego gazu doskonałego.

16 cieplo wlasciwe kwantowego gazu doskonalego stale fizyczne Α 1; k 1; q T_ Exp Α k T ; przyblizona suma statystyczna nmax 50; Z T_ Sum q T ^ n^2, n, 1, nmax ^ 3 N ; U T_ k T^2 D Z T, T Z T ; cieplo wlasciwe na jedna czastke gazu, w granicy wysokotemperaturowej Α << powinno wynosic 3/2 k = 1.5 c T_ D U T, T N; Plot c T, 1.5, T, 0.01, 50, PlotStyle Thickness 0.01, Dashing 1, , Frame True, PlotRange All, FrameLabel "T", "c T ", RotateLabel False ; c T T W niskich temperaturach α mamy q 1 i wówczas jako przybliżenie sumy statystycznej można wziąść kilka pierwszych wyrazów szeregu: z (1) r = q + q 4 + q co fizycznie odpowiada temu, że cząstki przebywają głownie na pierwszych kilku poziomach energetycznych w studni. Można zauważyć, że w stałej α występuje wielkość L 2 = V 2/3, gdzie V jest objętością gazu. Oznacza to, że suma statystyczna Z zależy od objętości. Pozwala to na obliczenie równania stanu: p = F V = N ln z(1) r T T Dla cząstek nierozróżnialnych w gazie kwantowym nie można przedstawić sumy statystycznej w postaci iloczynu sum dla jednej cząstki i ścisłe obliczenie takiej sumy nie jest już łatwe. Zadanie: Zastosować rozkład kanoniczny do zbioru N niezależnych i rozróżnialnych oscylatorów harmonicznych o tej samej częstości drgań ω. Jest to model Einsteina ciepła

17 W dokładniejszej teorii Debye a ciepła właściwego kryształów zakłada się, że każdy oscylator ma inną częstość, poprzez relację dyspersji ω(k), gdzie k sa dopuszczalnymi wartościami wektora falowego drgań w krysztale. Przez to nie ma problemu z rozróżnieniem poszczególnych oscylatorów. Energia układu: N E = n i ω i=1 gdzie N to liczba oscylatorów, natomiast n i to liczba wzbudzeń (kwantów) i-tego oscylatora (liczba obsadzeń). Lepiej nie liczyć krotności degeneracji dla danej wartości poziomu energetycznego układu, tylko od razu sumować po wszystkich dopuszczalnych liczbach obsadzeń poziomów jednocząstkowych (dla pojedynczego oscylatora): (n 1,..., n N ) = 0, 1, 2,..., Suma statystyczna układu wynosi: Z = e E/ = exp [ ω (n n N ) ] = z N 1 gdzie z 1 = (n 1,...,n N )=0 n=0 exp ( n ω ) (n 1,...,n N )=0 jest sumą statystyczną dla pojedynczego oscylatora. Jak zwykle dla układu rozróżnialnych cząstek suma statystyczna poddaje się tzw. faktoryzacji czyli rozkładowi na czynniki. Dla pojedynczego oscylatora otrzymujemy nieskończony szereg geometryczny: z 1 = q n = 1 1 q gdzie n=0 q = exp ( ω ) Suma statystyczna układu wynosi: Z = (1 q) N Energia wewnętrzna układu w stanie równowagi termodynamicznej: U = 2 d dt ln Z = 2 N d dt ln(1 q) = 2 N 1 ( dq ) = 1 q dt = 2 N 1 q q ω = N ωq 2 1 q

18 dv = dv q dv p gdzie x = ω Otrzymujemy wzór: U = N ωe x = N ω 1 e x e x 1 Dostaliśmy wynik taki jak obliczony wcześniej z rozkładu mikrokanonicznego, tylko że o wiele łatwiej, bo bez potrzeby rozważań kombinatorycznych. Zbior rozroznialnych oscylatorow harmonicznych cieplo wlasciwe liczone na jeden oscylator In[1]:= In[4]:= In[5]:= U T_ 1 Exp 1 T 1 ; c T_ D U T, T ; Plot c T, T, 0.001, 5, PlotRange All, Frame True, Axes None, FrameLabel "T", "c", RotateLabel False ; c T Rozkład kanoniczny i zasada ekwipartycji energii A.G. Samo loviq, Termodinamika i Statistiqeska Fizika, 73. Niech α będzie którąś współrzędną lub którymś pędem uogólnionym układu klasycznego. Pokazać, że następująca średnia liczona w rozkładzie kanoniczym wynosi: α H = α gdzie H jest funkcją Hamiltona układu. Z definicji średniej (wartości oczekiwanej) w rozkładzie prawdopodobieństwa: α H = α H f (q, p) dv α α gdzie f (q, p) jest funkcją rozkładu (gęstością prawdopodobieństwa) czyli rozkładem kanonicznym: f (q, p) = exp ( H(q, p) ) Element całkowania po przestrzeni fazowej wynosi:

19 H = p2 2m + mωq2 2 dv q = dq 1 dq N element objętości w przestrzeni konfiguracyjnej dv p = d p 1 d p N element objętości w przestrzeni pędów gdzie N jest liczbą stopni swobody układu. Stąd szukana średnia wynosi: α H = α H α α exp ( H(q, p) ) dv Do powyższej całki zastosujemy całkowanie przez części pisząc: α H α exp ( H(q, p) ) [ ( H(q, p) )] ( H(q, p) ) = α exp + exp α Ponieważ α jest którąś ze współrzędnych q albo którymś z pędów p możemy ją wyróżnić z elementu całkowania: dv = dα dv gdzie dv przez części po α: oznacza całkowanie po pozostałych zmiennych, i wykonać całkowanie α H α exp ( H(q, p) ) ( H(q, p) ) + dα = α exp + exp ( H(q, p) ) dα Jeśli założymy, że dla α ± mamy H, co zachodzi na przykład dla kwadratowej zależności hamiltonianu od współrzędych lub pędów, to wyrażenie po prawej stronie równości liczone w granicy ± zdąża do zera. Dostajemy więc: α H = dv α exp ( H(q, p) ) dα Możemy z powrotem połączyć elementy całkowania: dα dv = dv i zauważyć, że funkcja rozkładu kanonicznego jest unormowana do jedności: exp ( H(q, p) ) dv = 1 Otrzymujemy więc szukaną równość: α H = α Zadanie: Dla klasycznego oscylatora harmonicznego wykazać, że średnia energia kinetyczna i potencjalna w temeraturze T wynosi 1 2. Hamiltonian oscylatora:

20 Możemy więc zastosować wyniki powyższych rachunków. q H = mωq 2 = q p H p 2 = = p m Tak więc średnie energie kinetyczna i potencjalna liczone w rozkładzie kanonicznym wynoszą: mωq 2 Epot. = = p 2 E kin. = = 1 2m 2 Mówimy, że na każdy stopień swobody oscylatora przypada /2. W tym przypadku do stopni swobody dolicza się energię potencjalną. Zadanie: Obliczyć średnią w rozkładzie kanoniczym energię potencjalną dla oscylatora anharmonicznego: H = p2 2m + γq4 Uwaga: nie bierzemy pod uwagę zależności typu βq 3, gdyż wówczas siła F = E pot. / q = βq 2 jest zawsze skierowana w tą samą stronę i nie byłoby punktu równowagi, w którym F = 0. Biorąc α = q zauważamy, że H + jeśli α ±, więc spełnione jest założenie twierdzenia o ekwipartycji energii. q H = 4γq 4 = q Wobec czego: Epot. = γq 4 = 1 4. Jak widać dostaliśmy współczynnik 1. Nie można więc stosować zasady ekwipartycji 4 energii w postaci hasła: Każdemu należy się 1 2!. Sens fizyczny stałej γ w energii potencjalnej można dostać całkując zasadę zachowania energii: m ( dq) 2 + 2γq 4 = E = const dt Stąd: dq m

21 t t = 0 q dt = ± Podstawiając: q=q 0 mdq 2(E γq4 ) ) 1/4dq u 4 = γq4 E, du = ( γ E u m 1 t = ± 2 (γe) 4 du 1 u 4 u=u 0 Powyższa całka wyraża się poprzez funkcje eliptyczne, ale można zauważyć, że całkowanie od u = 0 (stan równowagi) do u = 1 (maksymalne wychylenie) powinno dać 1/4 okresu drgań: T 4 = π 2ω = gdzie m (γe) 1/4 β = Γ(5/4) Γ(3/4) jest pewną stałą. 1 0 du πmβ = 1 u 4 (γe) 1/4 In[1]:= Out[1]= Integrate 1 Sqrt 1 u^4, u, 0, 1 Π Gamma 5 4 Gamma 3 4 Stąd: γ = m2 ω 4 π 2 β 4 ω 4 16E Jak widać dla oscylatora harmonicznego częstość drgań zależy od energii ω 4 E, czyli też od maksymalnej amplitudy q 4 0 = E/γ dla której ω q 0.

Wielki rozkład kanoniczny

Wielki rozkład kanoniczny Ćwiczenia nr 0 Wielki rozkład kanoniczny Jest to rozkład prawdopodobieństwa dla układu o zmiennej liczbie cząstek N. Liczbę cząstek możemy potraktować jako dodatkową liczbą kwantową układu. ψ jest to stan

Bardziej szczegółowo

n p 2 i = R 2 (8.1) i=1

n p 2 i = R 2 (8.1) i=1 8.9 Rozkład Maxwella Jest to rozkład prędkości cząstek w gazie doskonałym. Wielkość f (p) jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie p. Różnica pomiędzy rozkładem Maxwella i rozkładem

Bardziej szczegółowo

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji

Bardziej szczegółowo

8 Rozkład mikrokanoniczny

8 Rozkład mikrokanoniczny 8 Rozkład mikrokanoniczny 8.1 Funkcja rozkładu Literatura: D. Morse, Thermal Physics, rozdz. III Statistical Mechanics. Rozpatrujemy klasyczny układ mechaniczny (zbiór cząstek) q oznacza w skrócie wszystkie

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład

Bardziej szczegółowo

Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki

Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki Instytut Fizyki 2015 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię

Bardziej szczegółowo

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.

Bardziej szczegółowo

Wielki rozkład kanoniczny

Wielki rozkład kanoniczny , granica termodynamiczna i przejścia fazowe Instytut Fizyki 2015 Podukład otwarty Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R układ S + R jest izolowany

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej

Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Jacek Izdebski 5 stycznia roku Zadanie 1 Funkcja falowa Ψ(x) = A n sin( πn x) jest zdefiniowana jedynie w obszarze

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego

Wykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego Wykład 14 Termodynamika gazu fotnonowego dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 16 stycznia 217 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

S ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany

S ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym

Bardziej szczegółowo

Termodynamika. Część 11. Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ

Termodynamika. Część 11. Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Termodynamika Część 11 Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Układ otwarty rozkład wielki kanoniczny Rozważamy układ w równowadze termicznej

Bardziej szczegółowo

Wykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe

Wykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe Wykład 12 Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek prawdopodobieństwa

1 Rachunek prawdopodobieństwa 1 Rachunek prawdopodobieństwa 1. Obliczyć średnią i wariancję rozkładu Bernouliego 2. Wykonać przejście graniczne p 0, N w rozkładzie Bernouliego przy zachowaniu stałej wartości średniej: λ = N p = const

Bardziej szczegółowo

3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a

3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a 3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a literatura: Ingarden, Jamiołkowski i Mrugała, Fizyka Statystyczna i ermodynamika, 9 W.I Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, 14 3.1

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały

Wykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały Wykład 1 i 2 Termodynamika klasyczna, gaz doskonały dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki

Bardziej szczegółowo

Termodynamika Część 3

Termodynamika Część 3 Termodynamika Część 3 Formy różniczkowe w termodynamice Praca i ciepło Pierwsza zasada termodynamiki Pojemność cieplna i ciepło właściwe Ciepło właściwe gazów doskonałych Ciepło właściwe ciała stałego

Bardziej szczegółowo

Zamiana sumowania po stanach jednocząstkowych na całkowanie

Zamiana sumowania po stanach jednocząstkowych na całkowanie TiFS, Ćwiczenia nr 11 Zamiana sumowania po stanach jednocząstkowych na całkowanie Gęstość stanów kwantowych na osi energii f (E) określa liczbę stanów N(E) w określonym przedziale energii de: f (E) de

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Statystyki kwantowe. P. F. Góra

Statystyki kwantowe. P. F. Góra Statystyki kwantowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Statystyki kwantowe Rozpatrujemy gaz doskonały o Hamiltonianie H = N i=1 p i 2 2m. (1) Zamykamy czastki w bardzo dużym pudle o idealnie

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

gęstością prawdopodobieństwa

gęstością prawdopodobieństwa Funkcja falowa Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają własności falowe. Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje tzw. funkcja falowa(,t)

Bardziej szczegółowo

FIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w

FIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym

Bardziej szczegółowo

Przegląd termodynamiki II

Przegląd termodynamiki II Wykład II Mechanika statystyczna 1 Przegląd termodynamiki II W poprzednim wykładzie po wprowadzeniu podstawowych pojęć i wielkości, omówione zostały pierwsza i druga zasada termodynamiki. Tutaj wykorzystamy

Bardziej szczegółowo

Zespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] }

Zespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } Zespół kanoniczny Zespół kanoniczny N,V, T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } Zespół izobaryczno-izotermiczny Zespół izobaryczno-izotermiczny N P T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } acc o n =min {1, exp[

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji Wykład 11. Metoda najmniejszych kwadratów Szukamy zależności Dane są wyniki pomiarów dwóch wielkości x i y: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Przypuśćmy, że nanieśliśmy je na wykres w układzie

Bardziej szczegółowo

FIZYKA STATYSTYCZNA. Liczne eksperymenty dowodzą, że ciała składają się z wielkiej liczby podstawowych

FIZYKA STATYSTYCZNA. Liczne eksperymenty dowodzą, że ciała składają się z wielkiej liczby podstawowych FIZYKA STATYSTYCZA Liczne eksperymenty dowodzą, że ciała składają się z wielkiej liczby podstawowych elementów takich jak atomy czy cząsteczki. Badanie ruchów pojedynczych cząstek byłoby bardzo trudnym

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe. P. F. Góra Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Zespół kanoniczny Zespół mikrokanoniczny jest (przynajmniej w warstwie

Bardziej szczegółowo

mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej

mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver-28.06.07 współrzędne uogólnione punkt materialny... wektor wodzący: prędkość: przyspieszenie: liczba

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny

Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny 1 Rozkład Mikrokanoniczny (przypomnienie) S= k B ln( (E,V,{x i },{N j }) ) Z fenomenologii: Niestety, rachunki przy użyciu rozkładu mikrokanonicznego

Bardziej szczegółowo

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Obliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak

Obliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak Obliczanie długości łuku krzywych Autorzy: Witold Majdak 7 Obliczanie długości łuku krzywych Autor: Witold Majdak DEFINICJA Definicja : Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie Rozważmy krzywą Γ zadaną

Bardziej szczegółowo

Teoria kinetyczna gazów

Teoria kinetyczna gazów Teoria kinetyczna gazów Mikroskopowy model ciśnienia gazu wzór na ciśnienie gazu Mikroskopowa interpretacja temperatury Średnia energia cząsteczki gazu zasada ekwipartycji energii Czy ciepło właściwe przy

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna. This Book Is Generated By Wb2PDF. using

Fizyka statystyczna.  This Book Is Generated By Wb2PDF. using http://pl.wikibooks.org/wiki/fizyka_statystyczna This Book Is Generated By Wb2PDF using RenderX XEP, XML to PDF XSL-FO Formatter 18-05-2014 Table of Contents 1. Fizyka statystyczna...4 Spis treści..........................................................................?

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 15. Termodynamika statystyczna. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 15. Termodynamika statystyczna.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 15. Termodynamika statystyczna Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html TERMODYNAMIKA KLASYCZNA I TEORIA

Bardziej szczegółowo

5. Ruch harmoniczny i równanie falowe

5. Ruch harmoniczny i równanie falowe 5. Ruch harmoniczny i równanie falowe 5.1. Mamy dwie nieważkie sprężyny o współczynnikach sprężystości, odpowiednio, k 1 i k 2. Wyznaczyć współczynnik sprężystości układu tych dwóch sprężyn w przypadku,

Bardziej szczegółowo

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}. CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Moment pędu fali elektromagnetycznej

Moment pędu fali elektromagnetycznej napisał Michał Wierzbicki Moment pędu fali elektromagnetycznej Definicja momentu pędu pola elektromagnetycznego Gęstość momentu pędu pola J w elektrodynamice definuje się za pomocą wzoru: J = r P = ɛ 0

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury.

Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury. 1 Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury. natężenie natężenie teoria klasyczna wynik eksperymentu

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia wyrównawcze z fizyki -Zestaw 4 -eoria ermodynamika Równanie stanu gazu doskonałego Izoprzemiany gazowe Energia wewnętrzna gazu doskonałego Praca i ciepło w przemianach gazowych Silniki cieplne

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania

Bardziej szczegółowo

1 Całki funkcji wymiernych

1 Całki funkcji wymiernych Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...

Bardziej szczegółowo

II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski

II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski 1 1 Różniczkowanie numeryczne Rozważmy funkcję f(x) określoną na sieci równoodległyc węzłów. Funkcja f(x) może być dana za pomocą wzoru analitycznego

Bardziej szczegółowo

Termodynamiczny opis układu

Termodynamiczny opis układu ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ Przedmiot badań fizyki statystycznej układy składające się z olbrzymiej ilości cząstek (ujawniają się specyficzne prawa statystyczne). Termodynamiczny opis układu Opis termodynamiczny

Bardziej szczegółowo

WŁASNOŚCI CIAŁ STAŁYCH I CIECZY

WŁASNOŚCI CIAŁ STAŁYCH I CIECZY WŁASNOŚCI CIAŁ STAŁYCH I CIECZY Polimery Sieć krystaliczna Napięcie powierzchniowe Dyfuzja 2 BUDOWA CIAŁ STAŁYCH Ciała krystaliczne (kryształy): monokryształy, polikryształy Ciała amorficzne (bezpostaciowe)

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Fermiony w niskich temperaturach Wychodzimy ze znanego już wtrażenia na wielka sumę statystyczna: Ξ = i=0

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ Przedmiot badań fizyki statystycznej układy składające się z olbrzymiej ilości cząstek (ujawniają się specyficzne prawa statystyczne). 15.1. Termodynamiczny opis układu Opis

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ

PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie

Bardziej szczegółowo

3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach

3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny

Bardziej szczegółowo

Normalizacja funkcji falowej

Normalizacja funkcji falowej Normalizacja funkcji falowej Postulaty mechaniki kwantowej Zadanie. Wyznacz stałą normalizacyjną i podaj postać funkcji unormowanej: Ψ = Ncosαx) dla x [, a] Opis sposobu rozwiązania zadania krok po kroku:.

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 9: Rozkład mikrokanoniczny i entropia Boltzmanna

WYKŁAD 9: Rozkład mikrokanoniczny i entropia Boltzmanna WYKŁAD 9: Rozkład mikrokanoniczny i entropia Boltzmanna (Zadaniem Fizyki Statystycznej jest zrozumienie własności (równowagowych i nierównowagowych materii w oparciu o oddziaływania międzymolekularne)

Bardziej szczegółowo

2 Całkowanie form różniczkowych i cykle termodynamiczne

2 Całkowanie form różniczkowych i cykle termodynamiczne 2 Całkowanie form różniczkowych i cykle termodynamiczne 2.1 Definicja całki z formy różniczkowej ymbol ω oznacza całka z formy ω po obszarze Ω. To jak praktycznie obliczyć Ω taką całkę zależy jakiego stopnia

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

4 Przekształcenia pochodnych termodynamicznych

4 Przekształcenia pochodnych termodynamicznych 4 Przekształcenia pochodnych termodynamicznych 4.1 Relacje Maxwella Pierwsza zasada termodynamiki może być zapisana w postaci niezależnej od reprezentacji jako warunek znikania formy Pfaffa: Stąd musi

Bardziej szczegółowo

Wyprowadzenie wzoru na krzywą łańcuchową

Wyprowadzenie wzoru na krzywą łańcuchową Wyprowadzenie wzoru na krzywą łańcuchową Daniel Pęcak 16 sierpnia 9 1 Wstęp Być może zastanawiałeś się kiedyś drogi czytelniku nad kształtem, jaki kształt przyjmuje zwisający swobodnie łańcuch lub sznur

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,

Bardziej szczegółowo

Elementy fizyki statystycznej

Elementy fizyki statystycznej 5-- lementy fizyki statystycznej ermodynamika Gęstości stanów Funkcje rozkładu Gaz elektronów ermodynamika [K] 9 wszechświat tuż po powstaniu ermodynamika to dział fizyki zajmujący się energią termiczną

Bardziej szczegółowo

Podstawy termodynamiki

Podstawy termodynamiki Podstawy termodynamiki Organizm żywy z punktu widzenia termodynamiki Parametry stanu Funkcje stanu: U, H, F, G, S I zasada termodynamiki i prawo Hessa II zasada termodynamiki Kierunek przemian w warunkach

Bardziej szczegółowo

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową

Bardziej szczegółowo

Program MC. Obliczyć radialną funkcję korelacji. Zrobić jej wykres. Odczytać z wykresu wartość radialnej funkcji korelacji w punkcie r=

Program MC. Obliczyć radialną funkcję korelacji. Zrobić jej wykres. Odczytać z wykresu wartość radialnej funkcji korelacji w punkcie r= Program MC Napisać program symulujący twarde kule w zespole kanonicznym. Dla N > 100 twardych kul. Gęstość liczbowa 0.1 < N/V < 0.4. Zrobić obliczenia dla 2,3 różnych wartości gęstości. Obliczyć radialną

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Drgania układu o wielu stopniach swobody

Drgania układu o wielu stopniach swobody Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach

Bardziej szczegółowo

17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek

17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 17 KLASYCZNA DYNAMIKA MOLEKULARNA 17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Rozważamy układ N punktowych cząstek

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)

Bardziej szczegółowo

V. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ

V. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ V. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ 1 1 Postulaty mechaniki kwantowej Istota teorii kwantowej może być sformułowana za pomocą postulatów, których spełnienie postulujemy i których nie można wyprowadzić z żadnych

Bardziej szczegółowo

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg sum częściowych: Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym, a jeśli to mamy do czynienia z nieskończonym szeregiem liczbowym, który oznaczany

Bardziej szczegółowo

Termodynamiczny opis przejść fazowych pierwszego rodzaju

Termodynamiczny opis przejść fazowych pierwszego rodzaju Wykład II Przejścia fazowe 1 Termodynamiczny opis przejść fazowych pierwszego rodzaju Woda występuje w trzech stanach skupienia jako ciecz, jako gaz, czyli para wodna, oraz jako ciało stałe, a więc lód.

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań,

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,

Bardziej szczegółowo

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo

Potencjał pola elektrycznego

Potencjał pola elektrycznego Potencjał pola elektrycznego Pole elektryczne jest polem zachowawczym, czyli praca wykonana przy przesunięciu ładunku pomiędzy dwoma punktami nie zależy od tego po jakiej drodze przesuwamy ładunek. Spróbujemy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 23 KWANTOWA DYNAMIKA MOLEKULARNA Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1

Rozdział 23 KWANTOWA DYNAMIKA MOLEKULARNA Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 3 KWANTOWA DYNAMIKA MOLEKULARNA 3.1 Wstęp Metoda ta umożliwia opis układu złożonego z wielu jonów i elektronów w stanie podstawowym. Hamiltonian układu

Bardziej szczegółowo