8 Rozkład mikrokanoniczny

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "8 Rozkład mikrokanoniczny"

Transkrypt

1 8 Rozkład mikrokanoniczny 8.1 Funkcja rozkładu Literatura: D. Morse, Thermal Physics, rozdz. III Statistical Mechanics. Rozpatrujemy klasyczny układ mechaniczny (zbiór cząstek) q oznacza w skrócie wszystkie współrzędne uogólnione układu p = L oznacza wszystkie pędy uogólnione q Przez mikrostan układu rozumiemy punkt w przestrzeni fazowej układu, o współrzędnych q(t), p(t). Funkcja Hamiltona H(p, q) określa ewolucję układu w czasie. Jeśli rozpatrywany układ jest całkowicie odizolowany od otoczenia wówczas: H(p, q) = E = const (8.1) energia wewnętrzna układu jest zachowana. Do opisu klasycznego układu mechanicznego w fizyce statystycznej wprowadza się pojęcie funkcji rozkładu: f (q, p, t) (8.2) która określa gęstość prawdopodobieństwo znalezienia układu w punkcie (q, p) przestrzeni fazowej w chwili czasu t. Można powiedzieć, że znajomość funkcji rozkładu określa makrostan układu. Element objętości w przestrzeni konfiguracyjnej wynosi W przestrzeni pędowej: dv q = dq 1 dq N (8.3) dv p = d p 1 d p N (8.4) gdzie N jest liczbą stopni swobody; 2N jest wymiarem przestrzeni fazowej. Element objętości w przestrzeni fazowej wynosi 1

2 dv = dv q dv p (8.5) Możemy więc napisać warunek unormowania dla funkcji rozkładu: f (q, p, t) dv q dv p = 1 (8.6) V Prawdopodobieństwo znalezienia układu gdziekolwiek w przestrzeni fazowej jest pewnością. Warunek stałości energii układu H(p, q) = const wyznacza pewną hiperpowierzchnię 2N 1 wymiarową w przestrzeni fazowej. Po tej powierzchni porusza się punkt w przestrzeni fazowej reprezentujący układ mechaniczny. Powierzchnia ta ma zazwyczaj skończoną (hiper)objętość V. W przypadku obiektów geometrycznych o więcej niż trzech wymiarach trudno rozróżniać pojęcia objętości i powierzchni. Istnieją dwa sposoby doświadczalnego określania prawdopodobieństwa, czyli funkcji rozkładu f (q, p, t) obserwowanie jednego układu przez długi okres czasu = średnia po czasie jednoczesna obserwacja wielu takich samych układów czyli tzw. zespołu statystycznego albo ansamblu = średnia po zespole Zachodzi następujące twierdzenie ergodyczne: oba sposoby są rownoważne, czyli średnia po zespole powinna być równa średniej po czasie. 8.2 Twierdzenie Liouville a Wybrana objętość dv przestrzeni fazowej pozostaje stała w czasie ewolucji układu. 2

3 E=const} hiperpowierzchnie stalej energii dv Oznacza to, że jeśli umieścimy pewną liczbę punktów reprezentujących różne mikrostany układu w pewnej objętości dv przestrzeni fazowej to wraz z upływem czasu objętość ta pozostanie niezmieniona. Gęstośc prawdopodobieństwa f to prawdopodobieństwo na jednostkę objętości. Samo prawdopodobieństwo jest stałe w czasie bo zależy tylko od tego ile punktów umieściliśmy na początku w objętości dv. Skoro sama objętość dv pozostaje stała to oznacza to sama funkcja rozkładu f nie powinna zmieniać się w czasie: d f dt = 0 (8.7) Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej mamy d f dt = f t + f q q + f p ṗ (8.8) W pochodnej zwyczajnej po czasie zawierają się pochodne cząstkowe po czasie, i po współrzędnych (q, p) opisujące przesuwanie się punktów reprezentujących stany układu w przestrzeni fazowej. Jeśli skorzystać z równań Hamiltona to w wyniku otrzymuje się równanie będące odpowiednikiem równania Heisenberga z mechaniki kwantowej: d f dt = f t + {H, f } (8.9) gdzie {, } są to tak zwane nawiasy Poissone a czyli klasyczny odpowiednik komutatora. Twierdzenie Liouville a przyjmuje wówczas postać: f t = {H, t} (8.10) 3

4 8.3 Funkcja rozkładu w stanie równowagi termodynamicznej Z twierdzenia ergodycznego wynika, że funkcję rozkładu można określić na podstawie średniej liczby układów zepołu statystycznego znajdujących się w stanie (p, q) w danej chwili czasu. Postulujemy, że w stanie równowagi termodynamicznej funkcja rozkładu nie zależy jawnie od czasu (makrostan jest ustalony): Z twierdzenia Liouville a wynika, że: f t = 0 (8.11) {H, f } = 0 (8.12) Co jest spełnione jeśli funkcja rozkładu zależy jedynie od wartości hamiltonianu w danym punkcie przestrzeni fazowej: f (q, p) = f (H(q, p)) (8.13) A więc w stanie równowagi termodynamicznej funkcja rozkładu jest stała na hiperpowierzchni stałej energii f (H(q, p)) = const (8.14) Dla układu izolowanego od otoczenia jego energia E jest nie zmienia się w czasie: H(p, q) = E = const (8.15) Stąd wynika, że funkcja rozkładu jest stała na hiperpowierzchni energii układu i znika poza nią. Taką funkcję rozkładu nazywa się rozkładem mikrokanonicznym. 8.4 Funkcja rozkładu dla układów kwantowych Stan układu kwantowego opisuje jego funkcja falowa: 4

5 ψ(t) (8.16) W ogólności funkcja (8.16) jest kombinacją liniową rozwiązań równania Schrödingera niezależnego od czasu: Hψ n = E n ψ n (8.17) Symbol n oznacza zbiór wszystkich liczb kwantowych identyfikujących dany poziom energetyczny E n. Wówczas ψ(t) = W a n (t) ψ n (t) (8.18) i=1 gdzie W jest liczbą poziomów energetycznych układu. Funkcje ψ n to mikrostany kwantowe. Ewolucja czasowa pojedynczego stanu kwantowego o ustalonej energii jest trywialna: ψ(t) = ψ n exp ( i E nt ) Faza funkcji falowej oscyluje periodycznie. (8.19) Makrostanem układu jest prawdopodobieństwo f (n, t) znalezienia układu w danym mikrostanie kwantowym ψ n w danej chwili czasu t. Oprócz czysto kwantowej niepewności w którym stanie ψ n jest układ, związanej ze współczynnikami a n w równaniu (8.18) prawdopodobieństwa f (n, t) biorą się także stąd, że dla układu złożonego z bardzo dużej liczny cząstek nie jesteśmy w stanie określić dokładnie samej funkcji falowej (8.16). 8.5 Związek pomiędzy obrazem klasycznym i kwantowym Relacja nieoznaczoności Heisenberga: p q h (8.20) 5

6 sugeruje podział przestrzeni fazowej na elementarne komórki o objętości h N, gdzie N jest liczbą stopni swobody układu. Zadanie Pokazać, że jednemu kwantowemu stanowi oscylatora harmonicznego odpowiada powierzchnia h w przestrzeni fazowej (q, p). Hamiltonian oscylatora harmonicznego: stąd: H = p2 2m + mω2 2 q2 Jest to równanie elipsy o półosiach: 1 = p2 2mE + mω2 2E q2 A = 2mE, B = 2E mω 2 Pole elipsy wynosi S = πa B = π 2E ω Możemy powyższy wzór porównać ze wzorem z mechaniki kwantowej na poziomy energetyczne oscylatora harmonicznego E n = n ω ω gdzie n jest liczbą wzbudzeń oscylatora (kwantów energii). Czynnik 1 ω jest 2 tak zwaną energię drgań zerowych, które występują nawet w temperaturze zera 6

7 bezwględnego. Różnica energii pomiędzy kolejnymi poziomami energetycznymi wynosi E = ω Odpowiada mu różnica powierzchni pomiędzy kolejnymi elipsami wynosząca S = π 2 E ω = h E = nω h 2π = n ω Powierzchnia odpowiadająca jednemu stanowi kwantowemu (jednemu kwantowi drgań) wynosi więc h. p E n+1 E n q Wniosek: Przejście pomiędzy opisem klasycznym i kwantowym oscylatora harmonicznego można wykonać dzieląc jego przestrzeń fazową na komórki ( plasterki ) o powierzchni h. Wydawać by się mogło, że jest to szczególna własnośc oscylatora harmonicznego. Można jednak pokazać, że dla dowolnego układu mechanicznego wykonującego ruch periodyczny zachodzi następujący warunek kwantowania Bohra-Sommerfelda: 7

8 p dq = nh (8.21) gdzie całka dotyczy zamkniętej trajektorii układu w przestrzeni fazowej. Jest to słuszne jako tzw. przybliżenie WKB w mechanice kwantowej. Dla układu mechanicznego o N stopniach swobody można podać następującą regułę: dla dużych objętości w przestrzeni fazowej całkowanie funkcji rozkładu można zastąpić przez sumę po stanach (komórkach w przestrzeni fazowej o rozmiarze h N ): V (q, p) dq d p h N W n=1 f n (8.22) gdzie. W jest liczbą stanów kwantowych układu odpowiadających klasycznej objętości V przestrzeni fazowej. Jest ona równa W = V h N (8.23) 8.6 Związek formalizmu statystycznego z wielkościami termodynamicznymi Postulujemy związek pomiędzy funkcją rozkładu dla układu kwantowego i entropią dany wzorem Boltzmanna-Plancka: W S = k f n ln f n (8.24) n=1 gdzie k = 1, J/K jest stałą Boltzmanna. Dzięki niej entropia ma odpowiednią wartość i wymiar taki jak w termodynamice. Ten wzór na entropię pozwala określić ją także dla stanu nierównowagowego, kiedy funkcja rozkładu f (n, t) jawnie zależy od czasu. Aby uzasadnić wzór (8.24) powołujemy się na wzór Shannona z teorii informacji, który głosi że informacja jest proporcjonalna do logarytmu z prawdopo- 8

9 dobieństwa. Informacja uzyskana w wyniku określenia, że układ jest w danym mikrostanie w którym przebywa z prawdopodobieństwem f n wynosi: I n = C ln f n (8.25) gdzie C jest pewną stałą. Znak minus piszemy dlatego, że prawdopodobieństwo 0 < f n < 1. Średnia wartość informacji uzyskanej w wyniku uszczegółowienia wiedzy o układzie, czyli przy przejściu od mikrostanu do makrostanu jest średnią statystyczną po zespole, a więc wynosi: I = W I n f n S (8.26) n=1 Jest więc propocjonalna do entropii. Stała proporcjonalności C/k wynika z wartości entropii przyjętych w termodynamice. Entropia to miara braku wiedzy o układzie. Moglibyśmy zamiast wzoru (8.24) zastosować analogiczny wzór dla układu klasycznego. Ale wymagało by to całkowania. Sumowanie jest prostsze matematycznie, a zawsze w końcu można skorzystać z reguły (8.22). 8.7 Metoda mnożników Lagrange a Warto przypomnieć sobie na czym polega ta metoda, ponieważ dla niewtajemniczonych wygląda ona na sztuczkę magiczną. Szukamy ekstremum funkcji f (x, y) przy warunku więzów g(x, y) = const. Możemy oba warunki zapisać jako warunki znikania pochodnych zewnętrznych: d f = f x dx + f y dy = 0 dg = g g dx + x y dy = 0 (8.27) 9

10 Nie możemy skorzystać z warunku koniecznego na istnienie ekstremum funkcji f, ponieważ formy dx i dy związane są zależnością dg = 0. Ponieważ oba równania mają być spełnione jednocześnie możemy je złożyć ze sobą mnożąc drugie z nich przez dowolną stałą λ mnożnik Lagrange a: d f + λdg = ( f x + λ g ) ( f dx + x y + λ g ) dy = 0 (8.28) y Jeśli znajdziemy taką wartość mnożnika λ 0, że wyrażenie w pierwszym nawiasie będzie równe zeru, to wyrażenie w drugim nawiasie musi zniknąć, ponieważ samo dy jest dowolne. Oba wyrażenia przyrównane do zera dają uwikłane równania algebraiczne określające pewien punkt (x 0, y 0 ), dla którego spełnione jest równanie dla dowolnych dx i dy: d f + λ 0 dg = 0 (8.29) Jeśli ograniczymy się teraz do dx i dy nie wyprowadzających poza warunek więzów, wtedy dg = 0. Wtedy także musi być d f = 0. A więc ten punkt to szukane ekstremum warunkowe! 8.8 Rozkład mikrokanoniczny Korzystając z zasady maksimum entropii w stanie równowagi termodynamicznej można znaleźć równowagową funkcję rozkładu (rozkład mikrokanoniczny) W S = k f n ln f n = max (8.30) n=1 Maksimum szukane jest ze względu na wartości wszystkich współczynników f n przy warunku unormowania (warunku więzów): W f n = 1 (8.31) n=1 10

11 Stosujemy metodę mnożników Lagrange a czyli do warunku na maksimum dodajemy warunek więzów pomnożony przez α: W S = S + α n=1 f n = max (8.32) Teraz maksimum zachodzi bez dodatkowych więzów, możemy więc wykorzystać warunek konieczny jego istnienia: Stąd: S f n = k ln f n k + α = 0 (8.33) ln f n = α k 1 (8.34) czyli f n = exp ( α k 1) (8.35) funkcja rozkładu nie zależy od n. Dla rozkładu mikrokanonicznego układ znajduje się w każdym z mikrostanów z jednakowym prawdopodobieństwem. Jeśli układ kwantowy jest izolowany od otoczenia to nie mogą wystąpić przejścia kwantowe wywołane oddziaływaniem z otoczeniem. Liczby kwantowe n dotyczą wówczas jednego poziomu energetycznego. Sumowanie po n ma sens jeśli występuje degeneracja tego poziomu. Dla układów złożnych z wielu cząstek degeneracja poziomów energetycznych jest bardzo duża. Zadanie Znaleźć entropię rozkładu mikrokanonicznego czyli wartość maksymalną entropii w stanie równowagi. Korzystamy z warunku unormowania prawdopodobieństwa: 11

12 W f n = 1 gdzie W jest jest liczbą mikrostanów dostępnych dla układu. Stąd: n=1 f n = 1 W A więc maksimum entropii wynosi: S max = k W 1 W ln 1 W n=1 = k ln W (8.36) Otrzymaliśmy wzór Boltzmanna. 12

13 Grób rodziny Boltzmannów na cmentarzu w Wiedniu. Wzór Boltzmanna znajduje się na samej górze pomnika. Ludwig Boltzmann popełnił samobójstwo w wieku 62 lat. Jak wynika z napisu na pomniku posiadał młodszego immiennika, który zginął pod Smoleńskiem w 1943 roku. Po włączeniu Austrii do Rzeszy w 1938 roku obywatele austriaccy służyli w Wehrmachcie. Sumowanie zawodzi jeśli liczba mikrostanów jest nieskończona. Wtedy trzeba przejść do całkowania po przestrzeni fazowej klasycznej gęstości prawdopodobieństwa f (q, p). Dla układu klasycznego izolowanego od otoczenia należy obliczyć objętość przestrzeni fazowej dostępnej dla układu, czyli objętość hiperpowierzchni stałej energii V. Wówczas równowagowa funkcja rozkładu czyli gęstość prawdopodobieństwa: 13

14 Entropia układu w stanie równowagi: f (q, p) = 1 = const (8.37) V S = k ln V h N (8.38) gdzie V/h N jest liczbą komórek w przestrzeni fazowej, czyli liczbą stanów kwantowych dostępnych dla układu w przybliżeniu Bohra-Sommerfelda. Zadanie Zastosować rozkład mikrokanoniczny do gazu doskonałego. Obliczyć równanie stanu i ciepło właściwe. Zadanie wykonamy w dwóch etapach. Najpierw wyznaczymy objętość w przestrzeni fazowej dostępną dla układu, z niej entropię równowagową. Na podstawie entropii będzie można obliczyć pozostałe funkcje termodynamiczne. Gaz doskonały to układ złożony z nieoddziaływujących cząstek. Jest w tym pojęciu sprzeczność, bo cząstki muszą wymieniać między sobą energię, aby układ mógł osiągnąc stan równowagi termodynamicznej. Widocznie robią to po cichu. Hamiltonian układu czyli energia wewnętrzna: H = U = 3N i=1 p 2 i 2m gdzie N jest tutaj liczbą cząstek, a p i są składowymi pędów cząstek. W przestrzeni konfiguracyjnej układ zajmuje objętość V q = V N 0 gdzie V 0 jest objętością naczynia z gazem. Jest tak dlatego, że przestrzeń konfiguracyjna to iloczyn kartezjański N przestrzeni trojwymiarowych. W przestrzeni 14

15 pędów mamy warunek stałości energii w postaci 3N i=1 p 2 i = 2mU gdzie m jest masą cząstki gazu. Jest to równanie 3N-wymiarowej sfery o promieniu: R 2 = 2mU Trzeba znaleźć wzór na objętość tej sfery czyli hiperpowierzchni stałej energii Zadanie pomocnicze Znaleźć wzór na objętość sfery w przestrzeni n-wymiarowej. Można obliczyć to poprzez indukcję. Równanie sfery w przestrzeni n + 1 wymiarowej: x x2 n = (R sin φ) 2 n wymiarów +z 2 = (R cos φ) 2 dodatkowy wymiar = R 2 Z φ V ( Rsin φ) n dl V n+1 ( R) 15

16 objętość dwuwymiarowego okręgu o promieniu R to jego obwód: V 2 (R) = 2πR Przez objętość sfery trójwymiarowej rozumiemy jej powierzchnię: V 3 (R) = 4πR 2 Widać, że dla sfery n-wymiarowej powinien obowiązywać wzór V n (R) = a n R n 1 gdzie a 2 = 2π, a 3 = 4π. Możemy spróbować napisać rekurencyjny wzór wiążący objętość sfery o promieniu R w przestrzeni n+1-wymiarowej z dodanym dodatkowym wymiarem, z jej przekrojem poprzecznym, który jest sferą n-wymiarową. Przy przesuwaniu się wzdłuż dodatkowego (n + 1)-wymiaru jej promień zmienia się od 0 do R i znowu do zera. Całkujemy po łuku dl = Rdφ: R π V n+1 (R) = V n (sin φ) dl = V n (R sin φ)rdφ R 0 Stąd wynika wzór rekurencyjny na współczynniki a n π a n+1 = a n sin n 1 θ dθ 0 Potrzebny wzór (30.12) z książki: B. Piłat, M. Waliszewski, Tablice całek 0 π/2 sin n xdx = π 2 Γ( n+1 2 ) Γ( n+2 2 ) 16

17 gdzie Γ(z) jest funkcją gamma Eulera. Można go także obliczyć za pomocą programu Mathematica. In[1]:= Integrate Sin Θ n, Θ, 0,Π, GenerateConditions False TraditionalForm Out[1]//TraditionalForm= Π n 1 2 n 1 2 Możemy spróbować obliczyć współczynnik a 5. Oznaczając π I n = sin n xdx 0 mamy a 5 = I 3 I 2 I 1 a 2 = 2π π 3 Γ( 4 2 )Γ( 3 2 )Γ( 2 2 ) Γ( 5 2 )Γ( 4 2 )Γ( 3 2 ) = 2π 5 2 Γ(1) Γ( 5 2 ) Widać, że ogólny wzór wynosi więc: Sprawdzenie: V 2 = 2π R = 2πR obwód okręgu Γ(1) V n = 2πn/2 Γ(n/2) Rn 1 V 3 = 2π3/2 Γ(3/2) R2 = 4πR 2 powierzchnia sfery ponieważ z tablic wiadomo, że Γ(3/2) = π/2. Wzór na objętość sfery w n- wymiarach można zapisać za pomocą silni: z! = Γ(z + 1) stąd: 17

18 V n = 2πn/2 R n 1 ( n 2 1)! Dla dużych n można do silni zastosować wzór Stirlinga: ln n! n ln n n Dla ułatwienia rachunków można napisać wzór na logarytm objętości sfery dla przypadku n + 2: ln V n+2 n (ln π + ln R 2 ln n ) ln (2Rπ) Dla dużych n wyraz, który nie zależy od n możemy opuścić 1. Stąd przybliżona objętość sfery dla dużych n V n+2 ( 2πeR 2 gdzie e to podstawa logarytmów naturalnych. Po tej ciężkiej pracy możemy wrócić teraz do zadania o gazie doskonałym. Ponieważ cząstek w gazie jest bardzo dużo możemy pomylić się w liczeniu o dwa stopnie swobody i przyjąć we wzorze na objętość sfery: n ) n/2 n = 3N gdzie N jest liczbą cząstek. Objętość dostępna dla cząstek gazu w przestrzeni pędów wynosi wtedy: V p ( 2πeR 2 ) 3N/2 3N 1 Jak się za chwilę okaże dla gazu doskonałego promień sfery R 2 n. Aby opuścić ostatni wyraz trzeba się wówczas powołać na nierówność ln R n ln n. 18

19 Promień sfery wynosi R = 2mU. Objętość dostępna dla cząstek gazu w przestrzeni fazowej wynosi więc: V = V q V p = V N 0 (4πmUe ) 3N/2 3N Entropia w stanie równowagi termodynamicznej wynosi: gdzie S = k ln V [ V0 ( 4πmUe ) ] 3/2 = Nk ln = Nk ln V h3n h 3 0 (αu/n) 3/2 3N α = 4πme 3h 2 jest pewną stałą. Możemy więc wyrazić energię wewnętrzną gazu przez entropię i objętość czyli znamy termodynamiczną relację fundamentalną: U = ( e S/kN N ) 2/3 N α = e 2S 3kN V 2/3 0 Korzystając ze wzoru z termodynamiki określających temepraturę i ciśnienie jako pochodne energii wewnętrznej: N α du = TdS pdv możemy zdefiniować temperaturę statystyczną tak samo jak termodynamice: czyli T = U S = 2 V 3kN U U = 3 2 kt N 19

20 Ciepło właściwe gazu dokonałego wynosi więc c V = 3 2 Nk Dla jednego mola gazu liczba cząstek jest równa liczbie Avogadro: N = N A = 6, stąd ciepło molowe: C V = 3 2 R gdzie R = k N A jest tak zwaną stałą gazową. Ciśnienie gazu: stąd: p = U V = ( 2 S 3 ) V 5/3 0 e 2S N 3kN α = 2 U 3 V 0 pv 0 = 2 3 U = knt Dostaliśmy równanie Clapeyrona. Zadanie Obliczyć ciepło właściwe zbioru N niezależnych oscylatorów harmonicznych. Nazywa się to modelem Einsteina ciepła właściwego ciał stałych. Podobnie jak dla gazu doskonałego pojęcie niezależnych (nieoddziałujących) oscylatorów harmonicznych zawiera sprzeczność, bo nie pozwala na dojście układu do stanu równowagi termodynamicznej poprzez wymianę energii pomiędzy oscylatorami. 20

21 Atomy w siatce krystalicznej są utrzymywane w położeniach równowagi przez siły wzajemnego oddziaływania, które można uznać za harmoniczne dla niewielkich wychyleń. Zakładając, że każdy atom drga wokół położenia równowagi z tą samą częstotliwością, można przekształcić hamiltonian ich oddziaływania, tak że formalnie wygląda jak hamiltonian dla zbioru niezależnych oscylatorów. Kwanty drgań tych oscylatorów, czyli kwanty drgań siatki krystalicznej noszą nazwę fononów. Jeśli przyjmiemy, że każdy atom może poruszać się w 3 kierunkach dostajemy 3N oscylatorów, gdzie N jest liczbą atomów w krysztale. Energia układu: U = ω gdzie n i to liczba wzbudzeń (kwantów) dla i-tego oscylatora. Dla rozkładu mikrokanonicznego musimy spełnić warunek stałości energii całego układu: N i=1 n i U = ωm = const gdzie M = N n i = const i=1 jest liczbą wszystkich kwantów w układzie. Znajomość liczb (n 1,..., n N ) określa mikrostan układu. Z kolei znajomość całkowitej liczby kwantów M określa makrostan układu. W celu obliczenia entropii musimy wyliczyć ile mikrostanów odpowiada danemu makrostanowi, czyli znaleźć na ile sposobów W(M, N) można przedstawić liczbę M w postaci sumy N liczb naturalnych (z zerem). M = n 1 + n n N 21

22 Dla jednego oscylatora n 1 = M i jest to jedyna możliwość: W(M, 1) = 1 Jeśli do zbioru N oscylatorów dołożymy jeden oscylator to może on: nie mieć żadnego kwantu n N+1 = 0 czemu odpowiada wartość W(M, N) dla pozostałych oscylatorów mieć jeden kwant n N+1 = 1 co oznacza że trzeba go zabrać pozostałym oscylatorom, więc dla nich mamy W(M 1, N)... może posiadać wszystkie kwanty n N+1 = M co oznacza, że pozostałe oscylatory nie mają żadnego kwantu W(0, N) Możemy więc napisać wzór rekurencyjny: W(M, N + 1) = W(M, N) + W(M 1, N) W(0, N) Dla N = 2 W(M, 2) = W(M, 1) + W(M 1, 1) W(0, 1) = = (M + 1 razy) = M + 1 Dla N = 3 Ogólnie: W(M, 3) = W(M, 2) + W(M 1, 2) W(0, 2) = = (M + 1) + M + (M 1) = 1 (M + 2)(M 1) = 2 (M + 2)! = 2! M! 22

23 W(M, N) = (M + N 1)! (N 1)! M! = M + N 1 M Dostaliśmy wzór znany z kombinatoryki jako liczba sposobów na jakie można rozłożyc M kulek (kwantów) w N przegródkach (oscylatorach). Dla bardzo dużych wartości N moglibyśmy się pomylić w liczeniu oscylatorów o 1, co ułatwia rachunki: W(M, N + 1) = Do silni zastosujemy wzór Stirlinga: (M + N)! N! M! W(M, N) ln n! n ln n n Entropię układu w stanie równowagi termodynamicznej obliczymy ze wzoru Boltzmanna: S = k ln W k [(M + N 1) ln(m + N) (N 1) ln N (M 1) ln M] Temperatura wynosi: T = du ds Pochodna jest zwyczajna ponieważ nie mówiliśmy w ogóle o objętości układu, więc układ nie wykonuje pracy mechanicznej. gdzie T = 1 / ds du = ω / ds dm 23

24 ds dm M + N 1 = ln(m + N) + M + N ln M M 1 M Oba ułamki równe są w przybliżeniu jedności dla dużych N, jeśli dodatkowo założyć, że liczba wzbudzeń (kwantów) M jest dostatecznie duża, co oznacza temperatury powyżej zera bezwzględnego. Możemy więc napisać zależność: ln ( 1 + N M gdzie wprowadziliśmy parametr x. Stąd: ) = ω kt = x 1 + N M = ex A więc średnia liczba kwantów w temperaturze T wynosi: M = N e x 1 Dla tego konkretnego układu kwantowego można by także zdefiniować temperaturę poprzez wzrost entropii przy dołożeniu jednego kwantu (temperatura kombinatoryczna): T komb. = ω S(M + 1, N) S(M, N) Jak widać z poniższego wykresu temperatura ta jest równoważna temperaturze statystycznej. 24

25 In[23]:= nmax 80; liczba oscylatorów mmax 100; maksymalna liczba kwantów scisła entropia kombinatoryczna In[25]:= S N_, M_ : N M Log M N przyblizona entropia In[26]:= Sapprox N_, M_ : M 1 Log M N 1 Log N M N 1 Log M N porównanie In[71]:= rys1 ListPlot Table m, S nmax, m, m, 1, mmax, 3, DisplayFunction Identity, Prolog PointSize ; rys2 Plot Sapprox nmax, m, m, 1, mmax, DisplayFunction Identity ; Show rys1, rys2, DisplayFunction $DisplayFunction, Frame True, Axes None, FrameLabel "liczba kwantów", "S", RotateLabel False ; S liczba kwantów 25

26 temperatura kombinatoryczna In[52]:= T N_, M_ : 1 S N, M 1 S N, M temperatura wynikajaca z przyblizonej entropii In[51]:= Tapprox N_, M_ : 1 Log 1 N M porównanie In[56]:= rys1 ListPlot Table m, T nmax, m, m, 0, mmax 1, 3, DisplayFunction Identity, Prolog PointSize 0.02 ; rys2 Plot Tapprox nmax, m, m, 1, mmax, DisplayFunction Identity ; Show rys1, rys2, Frame True, FrameLabel "srednia liczba kwantów", "T", DisplayFunction $DisplayFunction, RotateLabel False ; T srednia liczba kwantów 26

27 Energia wewnętrzna układu: U = ωm = N ω e x 1 Ciepło właściwe: c = du dt = N ω e x ( ω ) x 2 e x = Nk (e x 1) 2 kt 2 (e x 1) 2 W niskich temperaturach x 1 c Nkx 2 e x ciepło właściwe maleje wykładniczo do zera dla T 0. Model Einsteina jest zbyt uproszczony. W rzeczywistości ciepło właściwe większości ciał maleje potęgowo przy zbliżaniu się do zera bezwzględnego. W temperaturach wysokich x 1 x 2 e x c Nk lim x 0 (e x 1) 2 Stosując dwukrotnie regułę de l Hôspitala dostajemy: c = Nk Dla kryształu liczba oscylatorów wynosi 3N, gdzie N jest liczbą atomów w siatce krystalicznej, stąd ciepło molowe C = 3N A k = 3R Jest to tak zwane prawo Dulonga-Petita. 27

28 cieplo wlasciwe In[65]:= In[78]:= U T_ 1 Exp 1 T 1 ; c T_ D U T, T ; Plot c T, T, 0, 1.5, Frame True, FrameLabel "T", "C T ", RotateLabel False ; C T T 28

n p 2 i = R 2 (8.1) i=1

n p 2 i = R 2 (8.1) i=1 8.9 Rozkład Maxwella Jest to rozkład prędkości cząstek w gazie doskonałym. Wielkość f (p) jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie p. Różnica pomiędzy rozkładem Maxwella i rozkładem

Bardziej szczegółowo

Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki

Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki Instytut Fizyki 2015 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię

Bardziej szczegółowo

Wielki rozkład kanoniczny

Wielki rozkład kanoniczny Ćwiczenia nr 0 Wielki rozkład kanoniczny Jest to rozkład prawdopodobieństwa dla układu o zmiennej liczbie cząstek N. Liczbę cząstek możemy potraktować jako dodatkową liczbą kwantową układu. ψ jest to stan

Bardziej szczegółowo

S ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany

S ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym

Bardziej szczegółowo

9.1 Rozkład kanoniczny dla układów kwantowych

9.1 Rozkład kanoniczny dla układów kwantowych 9 Rozkład kanoniczny 9.1 Rozkład kanoniczny dla układów kwantowych Jest to funkcja rozkładu w stanie równowagi termodynamicznej, dla układu mogącego wymieniać ciepło z otoczeniem. Układ znajduje się w

Bardziej szczegółowo

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji

Bardziej szczegółowo

FIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w

FIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym

Bardziej szczegółowo

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały

Wykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały Wykład 1 i 2 Termodynamika klasyczna, gaz doskonały dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki

Bardziej szczegółowo

17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek

17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 17 KLASYCZNA DYNAMIKA MOLEKULARNA 17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Rozważamy układ N punktowych cząstek

Bardziej szczegółowo

Termodynamika Część 3

Termodynamika Część 3 Termodynamika Część 3 Formy różniczkowe w termodynamice Praca i ciepło Pierwsza zasada termodynamiki Pojemność cieplna i ciepło właściwe Ciepło właściwe gazów doskonałych Ciepło właściwe ciała stałego

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 15. Termodynamika statystyczna. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 15. Termodynamika statystyczna.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 15. Termodynamika statystyczna Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html TERMODYNAMIKA KLASYCZNA I TEORIA

Bardziej szczegółowo

mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej

mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver-28.06.07 współrzędne uogólnione punkt materialny... wektor wodzący: prędkość: przyspieszenie: liczba

Bardziej szczegółowo

Przegląd termodynamiki II

Przegląd termodynamiki II Wykład II Mechanika statystyczna 1 Przegląd termodynamiki II W poprzednim wykładzie po wprowadzeniu podstawowych pojęć i wielkości, omówione zostały pierwsza i druga zasada termodynamiki. Tutaj wykorzystamy

Bardziej szczegółowo

3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a

3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a 3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a literatura: Ingarden, Jamiołkowski i Mrugała, Fizyka Statystyczna i ermodynamika, 9 W.I Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, 14 3.1

Bardziej szczegółowo

Wielki rozkład kanoniczny

Wielki rozkład kanoniczny , granica termodynamiczna i przejścia fazowe Instytut Fizyki 2015 Podukład otwarty Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R układ S + R jest izolowany

Bardziej szczegółowo

Termodynamika. Część 11. Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ

Termodynamika. Część 11. Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Termodynamika Część 11 Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Układ otwarty rozkład wielki kanoniczny Rozważamy układ w równowadze termicznej

Bardziej szczegółowo

WŁASNOŚCI CIAŁ STAŁYCH I CIECZY

WŁASNOŚCI CIAŁ STAŁYCH I CIECZY WŁASNOŚCI CIAŁ STAŁYCH I CIECZY Polimery Sieć krystaliczna Napięcie powierzchniowe Dyfuzja 2 BUDOWA CIAŁ STAŁYCH Ciała krystaliczne (kryształy): monokryształy, polikryształy Ciała amorficzne (bezpostaciowe)

Bardziej szczegółowo

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek prawdopodobieństwa

1 Rachunek prawdopodobieństwa 1 Rachunek prawdopodobieństwa 1. Obliczyć średnią i wariancję rozkładu Bernouliego 2. Wykonać przejście graniczne p 0, N w rozkładzie Bernouliego przy zachowaniu stałej wartości średniej: λ = N p = const

Bardziej szczegółowo

Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny

Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny 1 Rozkład Mikrokanoniczny (przypomnienie) S= k B ln( (E,V,{x i },{N j }) ) Z fenomenologii: Niestety, rachunki przy użyciu rozkładu mikrokanonicznego

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ

PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie

Bardziej szczegółowo

TERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA

TERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA TERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA Przedmiotem badań są własności układów makroskopowych w zaleŝności od temperatury. Układ makroskopowy Np. 1 mol substancji - tyle składników ile w 12 gramach węgla C 12 N

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego

Wykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego Wykład 14 Termodynamika gazu fotnonowego dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 16 stycznia 217 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej

Bardziej szczegółowo

r. akad. 2005/ 2006 Jan Królikowski Fizyka IBC

r. akad. 2005/ 2006 Jan Królikowski Fizyka IBC VIII.1 Pojęcia mikrostanu i makrostanu układu N punktów materialnych. Prawdopodobieństwo termodynamiczne. Entropia. VIII. Rozkład Boltzmanna VIII.3 Twierdzenie o wiriale Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Uwagi

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Wykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe

Wykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe Wykład 12 Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia Masa atomowa (cząsteczkowa) - to stosunek masy atomu danego pierwiastka chemicznego (cząsteczki związku chemicznego) do masy 1/12

Podstawowe pojęcia Masa atomowa (cząsteczkowa) - to stosunek masy atomu danego pierwiastka chemicznego (cząsteczki związku chemicznego) do masy 1/12 Podstawowe pojęcia Masa atomowa (cząsteczkowa) - to stosunek masy atomu danego pierwiastka chemicznego (cząsteczki związku chemicznego) do masy 1/12 atomu węgla 12 C. Mol - jest taką ilością danej substancji,

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej

Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Jacek Izdebski 5 stycznia roku Zadanie 1 Funkcja falowa Ψ(x) = A n sin( πn x) jest zdefiniowana jedynie w obszarze

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,

Bardziej szczegółowo

Statystyki kwantowe. P. F. Góra

Statystyki kwantowe. P. F. Góra Statystyki kwantowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Statystyki kwantowe Rozpatrujemy gaz doskonały o Hamiltonianie H = N i=1 p i 2 2m. (1) Zamykamy czastki w bardzo dużym pudle o idealnie

Bardziej szczegółowo

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji Wykład 11. Metoda najmniejszych kwadratów Szukamy zależności Dane są wyniki pomiarów dwóch wielkości x i y: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Przypuśćmy, że nanieśliśmy je na wykres w układzie

Bardziej szczegółowo

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia wyrównawcze z fizyki -Zestaw 4 -eoria ermodynamika Równanie stanu gazu doskonałego Izoprzemiany gazowe Energia wewnętrzna gazu doskonałego Praca i ciepło w przemianach gazowych Silniki cieplne

Bardziej szczegółowo

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

V. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ

V. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ V. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ 1 1 Postulaty mechaniki kwantowej Istota teorii kwantowej może być sformułowana za pomocą postulatów, których spełnienie postulujemy i których nie można wyprowadzić z żadnych

Bardziej szczegółowo

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)

Bardziej szczegółowo

FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań

FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań Andrzej Przybyszewski Michał Witczak Marcin Talarek. Definicja pracy na odcinku A-B 2. Zdefiniować różnicę energii potencjalnych gdy ciało przenosimy z do B

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 14. Termodynamika fenomenologiczna cz.ii. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 14. Termodynamika fenomenologiczna cz.ii.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 14. Termodynamika fenomenologiczna cz.ii Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html GAZY DOSKONAŁE Przez

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły

Bardziej szczegółowo

Termodynamiczny opis układu

Termodynamiczny opis układu ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ Przedmiot badań fizyki statystycznej układy składające się z olbrzymiej ilości cząstek (ujawniają się specyficzne prawa statystyczne). Termodynamiczny opis układu Opis termodynamiczny

Bardziej szczegółowo

Elementy fizyki statystycznej

Elementy fizyki statystycznej 5-- lementy fizyki statystycznej ermodynamika Gęstości stanów Funkcje rozkładu Gaz elektronów ermodynamika [K] 9 wszechświat tuż po powstaniu ermodynamika to dział fizyki zajmujący się energią termiczną

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 9: Rozkład mikrokanoniczny i entropia Boltzmanna

WYKŁAD 9: Rozkład mikrokanoniczny i entropia Boltzmanna WYKŁAD 9: Rozkład mikrokanoniczny i entropia Boltzmanna (Zadaniem Fizyki Statystycznej jest zrozumienie własności (równowagowych i nierównowagowych materii w oparciu o oddziaływania międzymolekularne)

Bardziej szczegółowo

1 Formy różniczkowe w R 3

1 Formy różniczkowe w R 3 1 Formy różniczkowe w R 3 literatura: W.I. Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, rozdział 7 L. Górniewicz, R. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, tom 1, rozdział 9 H. Flanders, Teoria

Bardziej szczegółowo

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Fermiony w niskich temperaturach Wychodzimy ze znanego już wtrażenia na wielka sumę statystyczna: Ξ = i=0

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

gęstością prawdopodobieństwa

gęstością prawdopodobieństwa Funkcja falowa Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają własności falowe. Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje tzw. funkcja falowa(,t)

Bardziej szczegółowo

Promieniowanie dipolowe

Promieniowanie dipolowe Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..)

Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..) Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..) 24.02.2014 Prawa Keplera Na podstawie obserwacji zgromadzonych przez Tycho Brahe (głównie obserwacji Marsa)

Bardziej szczegółowo

FIZYKA STATYSTYCZNA. Liczne eksperymenty dowodzą, że ciała składają się z wielkiej liczby podstawowych

FIZYKA STATYSTYCZNA. Liczne eksperymenty dowodzą, że ciała składają się z wielkiej liczby podstawowych FIZYKA STATYSTYCZA Liczne eksperymenty dowodzą, że ciała składają się z wielkiej liczby podstawowych elementów takich jak atomy czy cząsteczki. Badanie ruchów pojedynczych cząstek byłoby bardzo trudnym

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ Przedmiot badań fizyki statystycznej układy składające się z olbrzymiej ilości cząstek (ujawniają się specyficzne prawa statystyczne). 15.1. Termodynamiczny opis układu Opis

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO ĆWICZEŃ DOTYCZĄCYCH CIEPŁA WŁAŚCIWEGO

WSTĘP DO ĆWICZEŃ DOTYCZĄCYCH CIEPŁA WŁAŚCIWEGO W3 WSTĘP DO ĆWICZEŃ DOTYCZĄCYCH CIEPŁA WŁAŚCIWEGO Ciepło właściwe jest jedną z podstawowych cech termodynamicznych ciał, mającą duże znaczenie praktyczne. Zależność ciepła właściwego różnych ciał od temperatury

Bardziej szczegółowo

Kwantowe własności promieniowania, ciało doskonale czarne, zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne.

Kwantowe własności promieniowania, ciało doskonale czarne, zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne. Kwantowe własności promieniowania, ciało doskonale czarne, zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne. DUALIZM ŚWIATŁA fala interferencja, dyfrakcja, polaryzacja,... kwant, foton promieniowanie ciała doskonale

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach

Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach Efekt Comptona. p f Θ foton elektron p f p e 0 p e Zderzenia fotonów

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statyczne Maxwella Boltzmana. Konrad Jachyra I IM gr V lab

Rozkłady statyczne Maxwella Boltzmana. Konrad Jachyra I IM gr V lab Rozkłady statyczne Maxwella Boltzmana Konrad Jachyra I IM gr V lab MODEL STATYCZNY Model statystyczny hipoteza lub układ hipotez, sformułowanych w sposób matematyczny (odpowiednio w postaci równania lub

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.

Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej

Bardziej szczegółowo

Faculty of Applied Physics and Mathematics -> Department of Solid State Physics. dydaktycznych, objętych planem studiów

Faculty of Applied Physics and Mathematics -> Department of Solid State Physics. dydaktycznych, objętych planem studiów Nazwa i kod przedmiotu Kierunek studiów Mechanika kwantowa, NAN1B0051 Nanotechnologia Poziom studiów I stopnia - inżynierskie Typ przedmiotu obowiąkowy Forma studiów stacjonarne Sposób realizacji na uczelni

Bardziej szczegółowo

15 Potencjały sferycznie symetryczne

15 Potencjały sferycznie symetryczne z ϕ θ r y x Rysunek : Definicje zmiennych we współrzędnych sferycznych r, θ, ϕ) 5 Potencjały sferycznie symetryczne 5. Separacja zmiennych Do tej pory omawialiśmy problemy jednowymiarowe, które służyły

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania

Bardziej szczegółowo

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Modelu Standardowego

Wstęp do Modelu Standardowego Wstęp do Modelu Standardowego Plan Wstęp do QFT (tym razem trochę równań ) Funkcje falowe a pola Lagranżjan revisited Kilka przykładów Podsumowanie Tomasz Szumlak AGH-UST Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej

Bardziej szczegółowo

4 Przekształcenia pochodnych termodynamicznych

4 Przekształcenia pochodnych termodynamicznych 4 Przekształcenia pochodnych termodynamicznych 4.1 Relacje Maxwella Pierwsza zasada termodynamiki może być zapisana w postaci niezależnej od reprezentacji jako warunek znikania formy Pfaffa: Stąd musi

Bardziej szczegółowo

Zespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] }

Zespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } Zespół kanoniczny Zespół kanoniczny N,V, T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } Zespół izobaryczno-izotermiczny Zespół izobaryczno-izotermiczny N P T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } acc o n =min {1, exp[

Bardziej szczegółowo

5. Ruch harmoniczny i równanie falowe

5. Ruch harmoniczny i równanie falowe 5. Ruch harmoniczny i równanie falowe 5.1. Mamy dwie nieważkie sprężyny o współczynnikach sprężystości, odpowiednio, k 1 i k 2. Wyznaczyć współczynnik sprężystości układu tych dwóch sprężyn w przypadku,

Bardziej szczegółowo

Zasady termodynamiki

Zasady termodynamiki Zasady termodynamiki Energia wewnętrzna (U) Opis mikroskopowy: Jest to suma średnich energii kinetycznych oraz energii oddziaływań międzycząsteczkowych i wewnątrzcząsteczkowych. Opis makroskopowy: Jest

Bardziej szczegółowo

Mechanika. Wykład 2. Paweł Staszel

Mechanika. Wykład 2. Paweł Staszel Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

Moment pędu fali elektromagnetycznej

Moment pędu fali elektromagnetycznej napisał Michał Wierzbicki Moment pędu fali elektromagnetycznej Definicja momentu pędu pola elektromagnetycznego Gęstość momentu pędu pola J w elektrodynamice definuje się za pomocą wzoru: J = r P = ɛ 0

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)

Bardziej szczegółowo

Co ma piekarz do matematyki?

Co ma piekarz do matematyki? Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska Dolnośląski Festiwal Nauki Wrzesień 2009 x x (x 1, x 2 ) x (x 1, x 2 ) (x 1, x 2, x 3 ) x (x 1, x 2 ) (x 1, x 2, x 3 ) (x 1, x 2, x 3, x 4 ). x

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna. This Book Is Generated By Wb2PDF. using

Fizyka statystyczna.  This Book Is Generated By Wb2PDF. using http://pl.wikibooks.org/wiki/fizyka_statystyczna This Book Is Generated By Wb2PDF using RenderX XEP, XML to PDF XSL-FO Formatter 18-05-2014 Table of Contents 1. Fizyka statystyczna...4 Spis treści..........................................................................?

Bardziej szczegółowo

Mechanika kwantowa. Erwin Schrödinger ( ) Werner Heisenberg

Mechanika kwantowa. Erwin Schrödinger ( ) Werner Heisenberg Mechanika kwantowa Erwin Schrödinger (1887-1961) Werner Heisenberg 1901-1976 Falowe równanie ruchu (uproszczenie: przypadek jednowymiarowy) Dla fotonów Dla cząstek Równanie Schrödingera y x = 1 c y t y(

Bardziej szczegółowo

Więzy i ich klasyfikacja Wykład 2

Więzy i ich klasyfikacja Wykład 2 Więzy i ich klasyfikacja Wykład 2 Karol Kołodziej (przy współpracy Bartosza Dziewita) Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna

Bardziej szczegółowo

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,

Bardziej szczegółowo

Siły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18

Siły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18 Siły zachowawcze i energia potencjalna Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18 Polecana literatura John R Taylor, Mechanika klasyczna, tom1 Wydawnictwo Naukowe

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 X. Elementy termodynamiki

Podstawy fizyki sezon 1 X. Elementy termodynamiki Podstawy fizyki sezon 1 X. Elementy termodynamiki Agnieszka Obłąkowska-Mucha AGH, WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Temodynamika

Bardziej szczegółowo

Temperatura, ciepło, oraz elementy kinetycznej teorii gazów

Temperatura, ciepło, oraz elementy kinetycznej teorii gazów Temperatura, ciepło, oraz elementy kinetycznej teorii gazów opis makroskopowy równowaga termodynamiczna temperatura opis mikroskopowy średnia energia kinetyczna molekuł Równowaga termodynamiczna A B A

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE.

WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. 1 WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. Współrzędne wewnętrzne 2 F=-fq q ξ i F i =-f ij x j U = 1 2 fq2 U = 1 2 ij f ij ξ i ξ j 3 Najczęściej stosowaną metodą obliczania drgań

Bardziej szczegółowo

Podstawy termodynamiki

Podstawy termodynamiki Podstawy termodynamiki Organizm żywy z punktu widzenia termodynamiki Parametry stanu Funkcje stanu: U, H, F, G, S I zasada termodynamiki i prawo Hessa II zasada termodynamiki Kierunek przemian w warunkach

Bardziej szczegółowo

Ruch drgający i falowy

Ruch drgający i falowy Ruch drgający i falowy 1. Ruch harmoniczny 1.1. Pojęcie ruchu harmonicznego Jednym z najbardziej rozpowszechnionych ruchów w mechanice jest ruch ciała drgającego. Przykładem takiego ruchu może być ruch

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE

I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE - lata '90 XIX wieku WSTĘP Widmo promieniowania elektromagnetycznego zakres "pokrycia" różnymi rodzajami fal elektromagnetycznych promieniowania zawartego w danej wiązce. rys.i.1.

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5) . Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny

Bardziej szczegółowo

Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury.

Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury. 1 Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury. natężenie natężenie teoria klasyczna wynik eksperymentu

Bardziej szczegółowo

Droga do obliczenia stałej struktury subtelnej.

Droga do obliczenia stałej struktury subtelnej. Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Droga do obliczenia stałej struktury subtelnej. Stała struktury subtelnej, jest równa w przybliżeniu 1/137,03599976. α jest bezwymiarową kombinacją ładunku, stałej Plancka,

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas 3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to

Bardziej szczegółowo