Wielki rozkład kanoniczny

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wielki rozkład kanoniczny"

Transkrypt

1 Ćwiczenia nr 0 Wielki rozkład kanoniczny Jest to rozkład prawdopodobieństwa dla układu o zmiennej liczbie cząstek N. Liczbę cząstek możemy potraktować jako dodatkową liczbą kwantową układu. ψ jest to stan układu o energii E n i liczbie cząstek N, gdzie n numeruje poziomy energetyczne układu f funkcja rozkładu czyli prawdopodobieństwo, że układ będzie w stanie ψ Jeśli układ składa się z części (umownie mówimy o cząstkach ) nieoddziałujących to stan układu budujemy ze stanów jednocząstkowych. Wtedy wartości poziomów energetycznych układu nie zależą od liczby cząstek. To znaczy E n nie zależy od N. Natomiast od liczby cząstek N zależy liczba poziomów dostępnych dla układu, czyli górna granica w sumie po n. W tym formaliźmie można uwzględnić słabe oddziaływanie między cząstkami jako zaburzenie w sensie mechaniki kwantowej, które przesuwa poziomy układu, ale wtedy poziomy układu zaczynają zależeć od liczby cząstek. Dalej będziemy rozpatrywać cząstki nieoddziałujące. Przykład: Mamy dwie funkcje falowe (stany) jednocząstkowe: φ 0 i φ o energiach odpowiednio ε 0 = 0 i ε = E. Poziomy energetyczne dostępne dla układu złożonego z N cząstek wynoszą: E 0 = 0 gdy wszystkie cząstki są w stanie φ 0 E = E gdy jedna cząstka jest w stanie φ, a pozostałe są w stanie φ 0... E N = NE gdy wszystkie cząstki są w stanie φ Ogólnie: E n = ne, gdzie n = 0,,..., N } {{ } N + poziomów Liczba poziomów dostępnych dla układu: n max = N +

2 zależy od liczby cząstek N. Warunek unormowania funkcji rozkładu ma teraz postać: n max (N) f = N= n=0 Sumujemy zarówno po liczbie cząstek N, jak i po poziomach układu numerowanych przez n, przy czym liczba poziomów dostępnych dla układu złożonego z N cząstek wynosi n max (N). Wielki rozkład kanoniczny to funkcja rozkładu która maksymalizuje entropię statystyczną: S = k f ln f gdzie zapisaliśmy w sposób uproszczony sumowanie po n i N. Muszą przy tym być spełnione dodatkowe warunki: ) unormowania funkcji rozkładu: f = 2) Stałości energii układu w sensie średniej termodynamicznej, tak jak w rozkładzie kanonicznym: E n f = E = U = const 3) Stałości liczby cząstek w sensie termodynamicznym, czyli jako średniej statystycznej: N f = N = N Ostatni warunek interpretujemy w ten sposób, że układ jest otwarty, to znaczy wymienia cząstki z otoczeniem, ale w stanie równowagi termodynamicznej średnia liczba cząstek jest ustalona. Zadanie: Wyliczyć wielki rozkład kanoniczny z warunku maksimum entropii statystycznej. Trzeba do tego zastosować trzy mnożniki Lagrange a: 2

3 S = S + α f + β E n f + γ N f Warunek konieczny istnienia maksimum: S f = 0 Stąd: k(ln f + ) + α + βe n + γn = 0 ln f = α k + β k E n + γ k N Szukana funkcja rozkładu wynosi więc: f = exp ( α k ) exp ( β k E ) ( γ n exp k N) Druga pochodna S po f jest mniejsza od zera, więc istotnie mamy do czynienia z maksimum. Pierwszy mnożnik Lagrange a α można wyeliminować korzystając z warunku unormowania funkcji rozkładu: f = = exp ( α k ) exp ( β k E ) ( γ n exp k N) } {{ } = Θ Podwójną sumę Θ powstałą w tym wyrażeniu nazywa się wielką sumą statystyczną. Stąd funkcja rozkładu wynosi: f = Θ exp ( β k E ) ( γ n exp k N) Pozostałych dwóch mnożników β i γ nie można usunąć za pomocą przekształceń matematycznych, ale można nadać im interpretację termodynamiczną. W tym celu należy obliczyć wartość maksymalnej entropii w stanie równowagi termodynamicznej dla wielkiego rozkładu kanonicznego: S max = k f ln f = k f [β k E n + γ k N ln Θ] = = β f E n γ f N + k ln Θ W takim razie mamy: S max = βu γn + k ln Θ f 3

4 Trzeba przypomnieć sobie jakąś tożsamość termodynamiczną w której występowałyby jednocześnie energia wewnętrzna U, entropia S i liczba cząstek N. Szukaną tożsamością jest definicja wielkiego potencjału: Ω = U TS µn czyli transformacji Legendre a energii wewnętrzej ze względu na dwie pary zmiennych T S i µ N. Stąd: S = T U µ T N T Ω Jeśli chcemy aby teoria statystyczna zgadzała się z termodynamiką to możemy przyjąć następującą interpretację mnożników Lagrange a: β = T γ = µ T gdzie µ jest potencjałem chemicznym. Wielki potencjał jest zaś logarytmem wielkiej sumy statystycznej: Ω = ln Θ Wielka suma statystyczna przyjmuje ostateczną postać: Θ = exp ( E ) ( n µn ) exp Uwaga: Do obliczeń wygodnie jest włączyć składnik z N = 0 (brak cząstek w układzie). Odpowiada to zmianie wielkiej sumy statystycznej o wartość równą. Wielka suma statystyczna jest rzeczywiście wielka, zazwyczaj o wiele większa niż średnia liczba cząstek w układzie. Zaraz zobaczymy, że np. dla gazu doskonałego co do rzędu wielkości: Θ e 023 Więc dodanie do niej nie stanowi wielkiego problemu. Znając wielką sumę statystyczną można obliczyć wszystkie własności termodynamiczne układu. W termodynamice mieliśmy związek: 4

5 dω = SdT Ndµ pdv stąd: średnia liczba cząstek: N = Ω µ entropia: S = Ω T Obie te zależności można teraz prosto wyprowadzić różniczkując wzór na Θ po temperaturze i potencjale chemicznym. Przez analogię z termodynamiką można przyjąć, że ciśnienie statystyczne wynosi: p = Ω V jeśli tylko wielka suma statystyczna zależy od objętości układu. Wielki rozkład kanoniczny dla układów klasycznych Wielką sumę statystyczną można wyrazić poprzez sumę sum statystycznych dla rozkładu kanonicznego: Θ = exp ( µn ) n max exp ( E ) n N= N= n=0 Stąd: Θ = exp ( µn ) Z(N) gdzie Z(N) jest sumą statystyczną dla rozkładu kanonicznego z liczbą cząstek równą N. Suma ta zależy od N poprzez górną granicę sumowania n max (N) liczbę stanów dostępnych dla układu. Dla układu klasycznego sumę statystyczną w rozkładzie kanonicznym możemy zamienić przez całkowanie po całej przestrzeni fazowej układu N-cząstkowego: Z(N) = d p h N... d p N dq... dq N exp ( H N(p, q) ) a potem wykonać sumowanie po N. H N (p, q) jest hamiltonianem dla układu N cząstek. 5

6 Zadanie: Znaleźć wielką sumę statystyczną dla klasycznego gazu doskonałego nierozróżnialnych cząstek i na jej podstawie wyliczyć parametry termodynamiczne układu. Z wcześniejszych rachunków przy pomocy rozkładu kanonicznego wiemy już, że suma statystyczna dla N rozróżnialnych cząstek wynosi: Z r (N) = ( V l 3 ) N gdzie h l = 2πm jest wielkością o wymiarze długości. Ma ona sens długości fali de Broglie a dla cząstki o energii E = π. Jak zobaczymy później, jeśli średnie odległości między cząstkami są mniejsze od tej wielkości to poprawki kwantowe zaczynają mieć znaczenie. Suma statystyczna dla N nierozróżnialnych cząstek wynosi: Z n (N) = N! Z r(n) stąd wielka suma statystyczna wynosi (zaczynając sumowanie od N = 0): Θ = N! Z r(n) exp ( µn ) ( = e µ/ V ) N N! l 3 N=0 N=0 Łatwo rozpoznać w tym wyrażeniu rozwinięcie w szereg funkcji e x dla x = e µ/ V l 3 Stąd wielka suma statystyczna dla klasycznego gazu doskonałego wynosi: Θ = exp ( e µ/ V l 3 ) Wielki potencjał: Ω = ln Θ = V e µ/ l 3 Średnia liczba cząstek w temperaturze T: N = Ω µ = V l 3 eµ/ = V l 3 eµ/ A więc zachodzi zależność: 6

7 Ω = N Widzimy więc, że Θ = e Ω/ = e N jest dużo większa niż średnia liczba cząstek w układzie. Dla jednego mola cząstek gazu Θ e 023. Ciśnienie statystyczne: p = Ω V = l 3 eµ/ A więc zachodzi zależność: Ω = pv Ten wzór jest ogólnie słuszny dla dowolnego układu termodynamicznego (tożsamość Kramersa); za wyjątkiem przypadku zewnętrznych pól, np. elektrycznego i magnetycznego. Patrz ćwiczenia nr 4, wnioski z jednorodności potencjału Gibbsa. Wyprowadziliśmy więc po raz kolejny wzór Clapeyrona: pv = Ω = N Entropia: S = Ω T Ponieważ długość l zależy od temperatury trzeba zastosować jawne wyrażenie na l: Ω(µ, T, V) = V ( 2πm ) 3e µ/ = kv h h 3 (2πmk)3/2 T 5/2 e µ/ Stąd różniczkując po T: S = kv 5 h 3 2 (2πm)3/2 e µ/ } {{ } = 5 2 kn Energia wewnętrzna: V ( µ ) e µ/ } l 3 {{ 2 } = kn µ U = Ω + TS + µn = N N µn + µn = 3 2 N = kn ( 5 2 µ ) Jak widać zarówno rozkład kanoniczny jak i wielki rozkład kanoniczny prowadzą do tych samych wniosków fizycznych dla gazu doskonałego. 7

8 Zadanie Znaleźć prawdopodobieństwo, że liczba cząstek w gazie wyniesie N. Wielki rozkład kanoniczny wynosi: f = Θ exp ( µn ) ( En ) exp Jeśli wysumujemy funkcję rozkładu po zmiennej n numerującej poziomy energetyczne układu, to dostaniemy szukane prawdopodobieństwo, że w układzie będzie właśnie N cząstek, bez względu na to jaka będzie energia układu E n. p(n) = n max n=0 f = Θ exp ( µn ) Z(N) gdzie pojawiła się suma statystyczna w rozkładzie kanonicznym dla N cząstek. Dla gazu doskonałego biorąc Θ = e N oraz jako Z(N) przyjmując poprawioną sumę statystyczną dla układu nierozróżnialnych cząstek dostaniemy: p(n) = e N e µn/ ( V ) N N! l 3 Ale mamy równość: V l 3 = N e µ/ stąd: p(n) = e N N N /N! Wniosek Dostaliśmy rozkład prawdopodobieństwa Poissona: p N = λ N e λ /N! z wartością średnią λ = N równą wartości oczekiwanej liczby cząstek w gazie. 8

9 rozklad Poissona In[]:= p n_, lambda_ lambda^n Exp lambda n ; In[2]:= << Graphics Graphics srednia liczba czastek w gazie In[3]:= n0 000; In[4]:= In[5]:= data Table n, p n, n0, 5, n, 0.5 n0,.5 n0, 5 ; GeneralizedBarChart data, PlotRange All, Frame True, Axes None, FrameLabel "N", "p N ", RotateLabel False, BarEdges False ; p N N Poziomy energetyczne jednocząstkowe i ich liczby obsadzeń Jeśli chcemy sumować tylko po różnych poziomach energetycznych układu to w wielkiej sumie statystycznej powinniśmy uwzględnić krotność degeneracji W danego poziomu E n. Θ = n max N= n= W exp ( E n ) ( µn ) exp Jeśli cząstki (podukłady) oddziaływują słabo, to znaczy ich oddziaływanie można traktować jako zaburzenie, to jest sens mówić o stanach jednocząstkowych. ε,..., ε m wartości energii stanów jednocząstkowych z uwzględnieniem zaburzenia (według rachunku zaburzeń mechaniki kwantowej) n,..., n m liczby obsadzeń (zapełnień), czyli ile cząstek przebywa w danym stanie jednocząstkowym gdzie m jest maksymalną liczbą stanów jednocząstkowych. Wówczas całkowita liczba cząstek wynosi: m N = n i 9

10 a całkowita energia układu (poziom energetyczny) jest równa: m E n = ε i n i Rolę dwóch liczb kwantowych: n numerującej poziomy energetyczne układu oraz N określającej liczbę cząstek pełni teraz zbiór liczb obsadzeń (n,..., n m ) poziomów jednocząstkowych. Możemy więc zrezygnować z podwójnego sumowania po liczbie cząstek układu N i po numerach poziomów energetycznych układu n. Zamiast tego można sumować po wszystkich wartościach liczb obsadzeń: n,..., n m = 0,, 2,..., Wyrażając liczbę cząstek N i energię układu E n poprzez liczby obsadzeń i energie poziomów jednocząstkowych wielką sumę statystyczną można zapisać w postaci: (µ m m n i ) ( ε i n i ) Θ = W n...n m exp exp = = n...n m =0 n...n m =0 W n...n m exp [ m n i (µ ε i ) ] Podobnie funkcja wielkiego rozkładu kanonicznego wyrażona przez liczby obsadzeń ma postać: f n...n m = Θ W n...n m exp [ m n i (µ ε i ) ] Jest to prawdopodobieństwo, że w stanie równowagi termodynamicznej cząstki rozłożą się po poziomach energetycznych jednocząstkowych z liczbami obsadzeń n,..., n m. Dla cząstek nierozróżnialnych krotności degeneracji: W n...n m = ponieważ podanie liczb obsadzeń n... n m jednoznacznie określa stan układu. Dla cząstek rozróżnialnych krotności degeneracji wynoszą: N! W n...n m = n! n 2! n m! Jest to znany wzór z kombinatoryki określający liczbę sposobów na które można rozmieścić N przedmiotów (cząstek) w m szufladkach (poziomach jednocząstkowych) o pojemności n,..., n m. 0

11 Przykład Niech liczba cząstek wynosi N = 0, a liczby obsadzeń trzech poziomów jednocząstkowych wynoszą: n = 4, n 2 = 4, n 3 = 2 Liczba wszystkich możliwych permutacji cząstek wynosi 0! Jeśli cztery cząstki znajdują się na jednym poziomie to przestawianie ich w obrębie tego samego poziomu nie zmieni stanu układu. Powinniśmy więc podzielić 0! przez 4!, 4! oraz 2! 0! W 4,4,2 = 4! 4! 2! Zadanie: Cząstki muszą zmieścić się tylko na dwóch poziomach jednocząstkowych ε = 0 i ε = E. Obliczyć wielką sumę statystyczną i równanie stanu dla układu złożonego z cząstek nierozróżnialnych. Krotności degeneracji poziomów energetycznych układu: W n,n 2 = stąd wielka suma statystyczna ma postać: Θ = exp { [n (µ ε ) + n 2 (µ ε 2 )] } = = = n,n 2 =0 n,n 2 =0 y n n =0 gdzie: exp [ n µ (xy) n 2 n 2 =0 x = e E/ < ] [ n2 (µ E) ] exp = y = e µ/ Otrzymaliśmy iloczyn sum dwóch postępów geometrycznych: Θ = y xy

12 Warunkiem zbieżności wielkiej sumy statystycznej jest: y < czyli µ < 0 Potencjał chemiczny powinien być ujemny. Ponieważ z termodynamiki wiemy, że µ = U/ N, warunek µ < 0 oznacza, że przy dodaniu cząstki do układu energia całości się zmniejsza (!). Można to zrozumieć w ten sposób, że dodatkowa cząstka wymusza przejście pewnej liczby cząstek na niższy poziom energetyczny. Uwaga: Wielką sumę statystyczną można też obliczyć z wyznaczonej na poprzednich ćwiczeniach sumy statystycznej Z n dla układu N nierozróżnialnych cząstek dwupoziomowych. Wielki potencjał: Ω = ln Θ = [ln( y) + ln( xy)] Średnia liczba cząstek w temperaturze T: N = Ω µ = dy dµ Ω y = y ( )( y + x xy = y ( y + x xy ) = ) = y xy + x xy ( y)( xy) = y + x 2xy ( y)( xy) Otrzymaliśmy uwikłane równanie wiążące wartość potencjału chemicznego µ = ln y ze średnią liczbą cząstek N. Ponieważ warunkiem zbieżności wielkiej sumy statystycznej jest y < możemy napisać y = q, stąd N = ( q) + x 2x( q) q[ x( q)] = q q x + 2xq x + xq Ponieważ w fizyce statystycznej rozpatrujemy układy złożone z dużej liczby cząstek N widać, że równanie będzie w przybliżeniu spełnione jeśli przyjmiemy: q N wówczas: 2

13 N (N ) x + 2 x N x + x N Wielki potencjał wynosi więc w przybliżeniu: N Ω = [ln q + ln( x + xq)] = ln x + xq ln ( N ) x gdzie zaniedbalismy mały składnik xq = x/n. Wielka suma statystyczna wynosi: Θ = e Ω/ N x a więc jest rzędu średniej liczby cząstek w układzie. Dotychczas nie było mowy o objętości w jakiej znajduje się układ cząstek dwupoziomowych. Wielki rozkład statystyczny daje możliwość obliczenia ciśnienia i objętości układu bez potrzeby wprowadzania ich do sumy statystycznej (!). Wystarczy powołać się na równanie Kramersa ogólnie obowiązujące dla wszystkich układów termodynamiczych: Ω = pv Od razu dostajemy równanie stanu układu: pv = ln ( N ) e E/ gdzie E jest różnicą energii dwóch poziomów jednocząstkowego. BOZONY To nierozróżnialne cząstki dla których liczby obsadzeń poziomów jednocząstkowych n,..., n m są dowolne. Poprzednie zadanie dotyczyło więc bozonów. Okazuje się, że wielką sumę statystyczną można doprowadzić do prostej postaci bez żadnych założeń o rodzaju poziomów energetycznych jednocząstkowych. Zadanie: Obliczyć wielką sumę statystyczną dla bozonów. Cząstki są nierozróżnialne więc krotności degeneracji poziomów układu są równe. 3

14 Θ = = n =0 n...n m =0 exp [ e n (µ ε )/ = Θ Θ 2 Θ m m n i (µ ε i ) ] = e n 2(µ ε 2 )/ n 2 =0 e n m(µ ε m )/ = n m =0 Wielka suma statystyczna rozpadła się na iloczyn wyrażeń, które można nazwać sumami Θ i dla poziomów jednocząstkowych ε i, dla i =, 2,..., m. Tak zwana faktoryzacja sumy statystycznej była możliwa dzięki założeniu, że cząstki nie oddziałują między sobą wtedy poziomy energetyczne jednocząstkowe ε i są wielkościami stałymi. Θ i = ( ) e (µ ε i )/ n i = n i =0 e (µ ε i)/ W wyniku otrzymaliśmy sumę postępu geometrycznego. Warunkiem zbieżności wielkiej sumy statystycznej jest: e (µ ε i)/ < czyli µ < ε i, i =, 2,..., m dla i =, 2,..., m Co będzie spełnione jeśli potencjał chemiczny będzie mniejszy niż najniższa energia stanu jednocząstkowego. Wielki potencjał dla bozonów: Ω = ln Θ = (ln Θ + ln Θ ln Θ m ) = pv Jak widać ciśnienie i objętość dla bozonów można wprowadzić za pomocą równania Kramersa dla wielkiego potencjału, bez potrzeby szczegółowych rozważań w jaki sposób poziomy energetyczne zależą od objętości układu. Średnia liczba cząstek w temperaturze T: N = Ω m µ = Θ i Θ i µ = = m Θ i [ e (µ ε i )/ ] 2 ( e (µ ε i)/ ) = 4

15 = m e (µ ε i)/ m e = (µ ε i)/ e (ε i µ)/ Uwaga na zmianę znaku w wykładniku ostatniego wyrażenia. Średnią liczbę cząstek w temperaturze T można zapisać więc w postaci sumy: m N = n i gdzie wielkości: n i = e (ε i µ)/ można zinterpretować jako średnie w temperaturze T liczby obsadzeń poziomów jednocząstkowych ε i. Powyższe równanie na N stanowi uwikłaną zależność pomiędzy liczbą cząstek N i potencjałem chemicznym µ w danej temperaturze. Funkcję: n(ε) = e (ε µ)/ nazywa się rozkładem Bosego-Einsteina. Nie jest to rozkład w sensie statystycznym ponieważ nie jest unormowany do jedności tak jak prawdopodobieństwo. Zadanie: Pokazać, że rzeczywiście n i rozkładu kanonicznego. to średnia w sensie statystycznym dla wielkiego Średnia dowolnej wielkości w wielkim rozkładzie kanonicznym musi zostać obliczona przy pomocy funkcji rozkładu: n i = n i = n i f n...n m gdzie n...n m =0 f n...n m = Θ exp [ m n j (µ ε j ) ] j= jest wielkim rozkładem kanonicznym dla bozonów. 5

16 Przy sumowaniu po n j, dla i j mamy wyrażenie: exp [ Θ j n j(µ ε j ) ] = n j =0 Co wynika z defincji sumy statystycznej Θ j dla poziomu jednocząstkowego ε j. Z całego sumowania po wszystkich liczbach obsadzeń zostaje nam tylko jedna suma dla i = j: n i = n i exp [ Θ i n i(µ ε i ) ] n i y n i n i =0 = gdzie n i =0 y = e (µ ε i)/ Suma w liczniku ułamka jest pochodną po y szeregu geometrycznego: y d ( ) y n i dy y d ( ) y n i =0 dy y ( y) n i = = = 2 = y n i y y y n i =0 Stąd ostatecznie: n i = e (ε i µ)/ n i =0 y n i Wniosek: Średnia energia układu bozonów w sensie termodynamicznym wynosi więc: m U = E i n i gdzie n i jest dane rozkładem Bosego-Einsteina, a sumowanie odbywa się po energiach stanów jednocząstkowych. 6

17 Zadanie: Znaleźć średnią liczbę cząstek i energię układu w temperaturze T dla zbioru nieoddziałujących nierozróżnialnych oscylatorów harmonicznych. Poprzednio stosując rozkład kanoniczny zrezygnowaliśmy z rozważania nierozróżnialnych oscylatorów, ponieważ suma statystyczna dla nierozróżnialnych cząstek nie poddaje się faktoryzacji. Teraz część pracy została już wykonana i możemy skorzystać z ogólnych wzorów dla wielkiego rozkładu kanonicznego. Poziomy energetyczne jednocząstkowe dla oscylatorów wynoszą: E m = m ω i nie ma górnej granicy poziomów, to znaczy m = 0,, 2,...,. Średnia liczba obsadzeń m-tego poziomu, czyli liczba oscylatorów posiadających m kwantów, wynosi: n m = exp[(m ω µ)/] Całkowita liczba oscylatorów w temperaturze T wynosi: N = n m = x m y m=0 m=0 gdzie oznaczyliśmy: x = exp ( ω) ( µ ) > y = exp Średnia liczba obsadzeń zerowego poziomu (liczba oscylatorów w stanie podstawowym) wynosi: n 0 = y > 0 stąd y > A więc potencjał chemiczny dla tego układu musi być ujemny. Co wynika z ogólnej reguły, że potencjał chemiczny musi leżeć poniżej najniższego poziomu energetycznego jednocząstkowego. Całkowita termodynamiczna energia układu: m U = E m n m = ω x m y m=0 m=0 Uzwględnienie tak zwanych drgań zerowych czyli energii stanu podstawowego E 0 = 2 ω polegałoby na zamianie m m+ w liczniku sumowanego wyrażenia. 2 7

18 Średnia liczba cząstek N i energia układu U w danej temperaturze związane są w sposób uwikłany poprzez parametr y, zależny od potencjału chemicznego, którego nie da się wyciągnąc przed szereg. Poprzednio przy użyciu rozkładu kanonicznego dla rozróżnialnych oscylatorów dostaliśmy prosty związek dla dowolnych temperatur: U = N ω x W fizyce statystycznej rozpatrujemy układy o bardzo dużej liczbie cząstek N. Będzie to zapewnione jeśli y wówczas pierwszy wyraz szeregu dla N będzie bardzo duży. Fizycznie oznacza to, że większość oscylatorów przebywa w stanie podstawowym, potencjał chemiczny jest bliski zeru, a temperatura bardzo niska. Kiedy temperatura zacznie wzrastać ω parametr x będzie zmierzał do jedności. Wtedy suma szeregu może pozostać bardzo duża przy obniżającym się potencjale chemicznym. Fizycznie oznacza to, że przy rosnących temperaturach liczby obsadzeń dla kolejnych m coraz wolniej zmierzają do zera, a więc oscylatory przemieszczają się na wyższe poziomy energetyczne. W niskich temperaturach zaniedbując pozostałe wyrazy szeregu poza pierwszym i pisząc: y = + ε mamy N ε czyli y = e µ/ ( + N ) stąd korzystając z przybliżenia logarytmu ln( + z) z dla z dostajemy zależność potencjału chemicznego od niskich temperatur µ ln ( + ) N N Wówczas energia układu przestaje wyraźnie zależeć od N i wynosi w przybliżeniu: m U = ω x m y ω m x m m=0 m= i zmierza do zera dla malejących temperatur. 8

19 Ciekawostką matematyczną jest, że suma tak prostego szeregu wyraża się w bardzo skomplikowany sposób przez tak zwane zupełne całki eliptyczne K(k) i E(k): m x m = K(k) [ 2 k 2 K(k) E(k) ] + π 2π 3 24 m= gdzie tak zwany moduł k zależy w uwikłany sposób od x: ln x = 2π K( k 2 ) K(k) Program Mathematica nie daje rady zsumować tego szeregu i trzeba odwołać się do wzoru z tablic na przedstawienie w postaci szeregu trygonometrycznego dla funkcji eliptycznej /sn 2 u I.S. Gradxte n, I.M. Ryжik, Tablicy integralov, summ, r dov i proizvedeni, Moskva 95, wzór ( ) suma szeregu obliczona numerycznie s x_ : NSum m x^ m, m,, Infinity suma szeregu obliczona za pomoca wzoru ( ) z tablic Gradsteina i Ryzika f k_ Pi EllipticK k^2 EllipticK k^2 ; k0 x_ : k. FindRoot f k Log Sqrt x, k, 0.00, g m_ Limit EllipticK m ^2 2 Pi^2 EllipticK m EllipticE m EllipticK m Pi^2 Csc Pi u 2 EllipticK m ^2 4 EllipticK m ^2 JacobiSN u, m ^2, u 0 Simplify Π 2 2 EllipticE m EllipticK m 4 2 m EllipticK m 2 24 Π 2 porownanie obu wyrazen dla kilku wartosci x Table x, s x, g k0 x ^2, x, 3, 0, MatrixForm

Wykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe

Wykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe Wykład 12 Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy

Bardziej szczegółowo

Wielki rozkład kanoniczny

Wielki rozkład kanoniczny , granica termodynamiczna i przejścia fazowe Instytut Fizyki 2015 Podukład otwarty Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R układ S + R jest izolowany

Bardziej szczegółowo

9.1 Rozkład kanoniczny dla układów kwantowych

9.1 Rozkład kanoniczny dla układów kwantowych 9 Rozkład kanoniczny 9.1 Rozkład kanoniczny dla układów kwantowych Jest to funkcja rozkładu w stanie równowagi termodynamicznej, dla układu mogącego wymieniać ciepło z otoczeniem. Układ znajduje się w

Bardziej szczegółowo

n p 2 i = R 2 (8.1) i=1

n p 2 i = R 2 (8.1) i=1 8.9 Rozkład Maxwella Jest to rozkład prędkości cząstek w gazie doskonałym. Wielkość f (p) jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie p. Różnica pomiędzy rozkładem Maxwella i rozkładem

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego

Wykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego Wykład 14 Termodynamika gazu fotnonowego dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 16 stycznia 217 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej

Bardziej szczegółowo

Statystyki kwantowe. P. F. Góra

Statystyki kwantowe. P. F. Góra Statystyki kwantowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Statystyki kwantowe Rozpatrujemy gaz doskonały o Hamiltonianie H = N i=1 p i 2 2m. (1) Zamykamy czastki w bardzo dużym pudle o idealnie

Bardziej szczegółowo

3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a

3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a 3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a literatura: Ingarden, Jamiołkowski i Mrugała, Fizyka Statystyczna i ermodynamika, 9 W.I Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, 14 3.1

Bardziej szczegółowo

Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki

Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki Instytut Fizyki 2015 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały

Wykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały Wykład 1 i 2 Termodynamika klasyczna, gaz doskonały dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki

Bardziej szczegółowo

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.

Bardziej szczegółowo

4 Przekształcenia pochodnych termodynamicznych

4 Przekształcenia pochodnych termodynamicznych 4 Przekształcenia pochodnych termodynamicznych 4.1 Relacje Maxwella Pierwsza zasada termodynamiki może być zapisana w postaci niezależnej od reprezentacji jako warunek znikania formy Pfaffa: Stąd musi

Bardziej szczegółowo

Zespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] }

Zespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } Zespół kanoniczny Zespół kanoniczny N,V, T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } Zespół izobaryczno-izotermiczny Zespół izobaryczno-izotermiczny N P T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } acc o n =min {1, exp[

Bardziej szczegółowo

Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny

Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny 1 Rozkład Mikrokanoniczny (przypomnienie) S= k B ln( (E,V,{x i },{N j }) ) Z fenomenologii: Niestety, rachunki przy użyciu rozkładu mikrokanonicznego

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek prawdopodobieństwa

1 Rachunek prawdopodobieństwa 1 Rachunek prawdopodobieństwa 1. Obliczyć średnią i wariancję rozkładu Bernouliego 2. Wykonać przejście graniczne p 0, N w rozkładzie Bernouliego przy zachowaniu stałej wartości średniej: λ = N p = const

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji

Bardziej szczegółowo

Termodynamika. Część 11. Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ

Termodynamika. Część 11. Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Termodynamika Część 11 Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Układ otwarty rozkład wielki kanoniczny Rozważamy układ w równowadze termicznej

Bardziej szczegółowo

8 Rozkład mikrokanoniczny

8 Rozkład mikrokanoniczny 8 Rozkład mikrokanoniczny 8.1 Funkcja rozkładu Literatura: D. Morse, Thermal Physics, rozdz. III Statistical Mechanics. Rozpatrujemy klasyczny układ mechaniczny (zbiór cząstek) q oznacza w skrócie wszystkie

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe. P. F. Góra Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Zespół kanoniczny Zespół mikrokanoniczny jest (przynajmniej w warstwie

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Fermiony w niskich temperaturach Wychodzimy ze znanego już wtrażenia na wielka sumę statystyczna: Ξ = i=0

Bardziej szczegółowo

Przegląd termodynamiki II

Przegląd termodynamiki II Wykład II Mechanika statystyczna 1 Przegląd termodynamiki II W poprzednim wykładzie po wprowadzeniu podstawowych pojęć i wielkości, omówione zostały pierwsza i druga zasada termodynamiki. Tutaj wykorzystamy

Bardziej szczegółowo

S ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany

S ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej

Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Jacek Izdebski 5 stycznia roku Zadanie 1 Funkcja falowa Ψ(x) = A n sin( πn x) jest zdefiniowana jedynie w obszarze

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań,

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna. This Book Is Generated By Wb2PDF. using

Fizyka statystyczna.  This Book Is Generated By Wb2PDF. using http://pl.wikibooks.org/wiki/fizyka_statystyczna This Book Is Generated By Wb2PDF using RenderX XEP, XML to PDF XSL-FO Formatter 18-05-2014 Table of Contents 1. Fizyka statystyczna...4 Spis treści..........................................................................?

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Podstawy termodynamiki

Podstawy termodynamiki Podstawy termodynamiki Organizm żywy z punktu widzenia termodynamiki Parametry stanu Funkcje stanu: U, H, F, G, S I zasada termodynamiki i prawo Hessa II zasada termodynamiki Kierunek przemian w warunkach

Bardziej szczegółowo

Zamiana sumowania po stanach jednocząstkowych na całkowanie

Zamiana sumowania po stanach jednocząstkowych na całkowanie TiFS, Ćwiczenia nr 11 Zamiana sumowania po stanach jednocząstkowych na całkowanie Gęstość stanów kwantowych na osi energii f (E) określa liczbę stanów N(E) w określonym przedziale energii de: f (E) de

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw

Bardziej szczegółowo

Termodynamika Część 3

Termodynamika Część 3 Termodynamika Część 3 Formy różniczkowe w termodynamice Praca i ciepło Pierwsza zasada termodynamiki Pojemność cieplna i ciepło właściwe Ciepło właściwe gazów doskonałych Ciepło właściwe ciała stałego

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia)

Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia) Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia) Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 6 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności

Bardziej szczegółowo

FIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w

FIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1

Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI 22.1 Wstęp Definiujemy dla gazu elektronowego operatory anihilacji ψ σ (r) i kreacji ψ σ(r) pola fermionowego ψ σ

Bardziej szczegółowo

1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera

1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera 1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera Na państwa użytek załączam precyzyjne sformułowania i dowody nierówności Hoeldera i Minkowskiego: Twierdzenie 1.1 Nierówność Hoeldera). Niech p, q będą takimi liczbami

Bardziej szczegółowo

Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach

Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach J. Śmiarowska, P. Jamer Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska 24 kwietnia 2012 J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach

Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach Efekt Comptona. p f Θ foton elektron p f p e 0 p e Zderzenia fotonów

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek

17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 17 KLASYCZNA DYNAMIKA MOLEKULARNA 17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Rozważamy układ N punktowych cząstek

Bardziej szczegółowo

Roztwory rzeczywiste (1)

Roztwory rzeczywiste (1) Roztwory rzeczywiste (1) Również w temp. 298,15K, ale dla CCl 4 () i CH 3 OH (). 2 15 1 5-5 -1-15 Τ S H,2,4,6,8 1 G -2 Chem. Fiz. TCH II/12 1 rzyczyny dodatnich i ujemnych odchyleń od prawa Raoulta konsekwencja

Bardziej szczegółowo

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji Wykład 11. Metoda najmniejszych kwadratów Szukamy zależności Dane są wyniki pomiarów dwóch wielkości x i y: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Przypuśćmy, że nanieśliśmy je na wykres w układzie

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury.

Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury. 1 Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury. natężenie natężenie teoria klasyczna wynik eksperymentu

Bardziej szczegółowo

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej

Bardziej szczegółowo

Termodynamiczny opis przejść fazowych pierwszego rodzaju

Termodynamiczny opis przejść fazowych pierwszego rodzaju Wykład II Przejścia fazowe 1 Termodynamiczny opis przejść fazowych pierwszego rodzaju Woda występuje w trzech stanach skupienia jako ciecz, jako gaz, czyli para wodna, oraz jako ciało stałe, a więc lód.

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 15. Termodynamika statystyczna. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 15. Termodynamika statystyczna.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 15. Termodynamika statystyczna Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html TERMODYNAMIKA KLASYCZNA I TEORIA

Bardziej szczegółowo

TERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA

TERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA TERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA Przedmiotem badań są własności układów makroskopowych w zaleŝności od temperatury. Układ makroskopowy Np. 1 mol substancji - tyle składników ile w 12 gramach węgla C 12 N

Bardziej szczegółowo

1 Całki funkcji wymiernych

1 Całki funkcji wymiernych Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami

Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Przykład 1. Napisz program, który dla podanej liczby n wypisze jej rozkład na czynniki pierwsze. Oblicz asymptotyczną złożoność

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

r. akad. 2005/ 2006 Jan Królikowski Fizyka IBC

r. akad. 2005/ 2006 Jan Królikowski Fizyka IBC VIII.1 Pojęcia mikrostanu i makrostanu układu N punktów materialnych. Prawdopodobieństwo termodynamiczne. Entropia. VIII. Rozkład Boltzmanna VIII.3 Twierdzenie o wiriale Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Uwagi

Bardziej szczegółowo

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia 1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Analiza matematyczna. 1. Ciągi Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n

Bardziej szczegółowo

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5) . Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny

Bardziej szczegółowo

Wykład Budowa atomu 3

Wykład Budowa atomu 3 Wykład 14. 12.2016 Budowa atomu 3 Model atomu według mechaniki kwantowej Równanie Schrödingera dla atomu wodoru i jego rozwiązania Liczby kwantowe n, l, m l : - Kwantowanie energii i liczba kwantowa n

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:

Bardziej szczegółowo

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Zadanie 1 (4 pkt) n Odczytanie i zapisanie danych z wykresu: 100, 105, 100, 10, 101. n Obliczenie mediany: Mediana jest równa 101. n Obliczenie średniej

Bardziej szczegółowo

5. Ruch harmoniczny i równanie falowe

5. Ruch harmoniczny i równanie falowe 5. Ruch harmoniczny i równanie falowe 5.1. Mamy dwie nieważkie sprężyny o współczynnikach sprężystości, odpowiednio, k 1 i k 2. Wyznaczyć współczynnik sprężystości układu tych dwóch sprężyn w przypadku,

Bardziej szczegółowo

II Zasada Termodynamiki c.d.

II Zasada Termodynamiki c.d. Wykład 5 II Zasada Termodynamiki c.d. Pojęcie entropii i temperatury absolutnej II zasada termodynamiki dla procesów nierównowagowych Równania Gibbsa dla procesów quasistatycznych Równania Eulera Relacje

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

Termodynamiczny opis układu

Termodynamiczny opis układu ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ Przedmiot badań fizyki statystycznej układy składające się z olbrzymiej ilości cząstek (ujawniają się specyficzne prawa statystyczne). Termodynamiczny opis układu Opis termodynamiczny

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a. Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA. Szczególna teoria względności. Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 2013)

CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA. Szczególna teoria względności. Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 2013) CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA Szczególna teoria względności Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 013) u Masa w szczególnej teorii względności u Określenie relatywistycznego pędu u Wyprowadzenie wzoru Einsteina

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo