Algebra i jej zastosowania ćwiczenia

Transkrypt

1 Algebra i jej zastosowania ćwiczenia A. Pilitowska i A. Romanowska jesień Iloczyny (produkty) proste 1. Znaleźć tabelke dodawania i mnożenia pierścienia Z 2 Z Które z naste puja cych par grup sa izomorficzne? Odpowiedź uzasadnić. (a) C 60 i C 10 C 6, (b) (P {a, b, c}, ), gdzie jest różnica symetryczna zbiorów, i C 2 C 2 C 2, (c) D n i C n C 2, gdzie D n jest grupa dihedralna, (d) D 6 i A 4, (e) Z 4 Z 2 i ({±1, ±i, ±(1 + i)/ 2, ±(1 i)/ 2}, ). 3. Wykazać, że jeśli G H jest grupa cykliczna, to również G i H sa grupami cyklicznymi. 4. Niech G i H be da grupami i niech G = {(g, 1) G H g G} i H = {(1, h) G H h H}. Pokazać, że (G H)/G = H i (G H)/H = G. 5. Znaleźć dzielniki zera w pierścieniu Z 4 Z Znaleźć wszystkie kongruencje pierścienia P = Z 2 Z 3, w którym dla wszystkich x, y P, xy = 0. 1

2 2 IDEA LY I PIERŚCIENIE ILORAZOWE 2 7. Wykazać, że iloczyn dwóch lub wie cej pierścieni ca lkowitych (cia l) nigdy nie jest pierścieniem ca lkowitym (cia lem). 8. Wykazać, że obraz homomorficzny pierścienia ca lkwitego nie musi być pierścieniem ca lkowitym. 9. Opisać pierścień endomorfizmów End(Z 2 Z 2 ) grupy Z 2 Z 2. Czy jest to pierścień przemienny? 2 Idea ly i pierścienie ilorazowe 1. Obliczyć sume i iloczyn naste puja cych elementów w podanych pierścieniach: (a) 3x + 4 i 5x 2 w pierścieniu Q[x]/(x 2 7), (b) x 2 + 3x + 1 i 2x w pierścieniu Q[x]/(x 3 + 2), (c) x i x + 1 w pierścieniu Z 2 [x]/(x 3 + x + 1), (d) ax + b i cx + d w pierścieniu R[x]/(x 2 + 1), gdzie a, b, c, d R. 2. Znaleźć tabelki dzia lań dodawania i mnożenia w naste puja cych pierścieniach: (a) Z 3 [x]/(x 2 + 1), (b) Z 2 [x]/(x 3 + 1), (c) Z 3 [x]/(x 2 + 2x + 2). 3. Korzystaja c z twierdzenia o izomorfizmie dla pierścieni pokazać, że: (a) Z[x]/(x 2 + 1) = Z[i], (b) R[x]/(x 2 + 5) = C, (c) Q[x]/(x 2 7) = Q( 7). 4. Niech a, b Z. Pokazać, że (a) (b) = (NW W (a, b)) oraz (a) + (b) = (NW D(a, b)).

3 2 IDEA LY I PIERŚCIENIE ILORAZOWE 3 5. Niech F be dzie cia lem. Pokazać, że dla dowolnych f(x), g(x) F [x], (f(x)) (g(x)) wtedy i tylko wtedy, gdy g(x) f(x). 6. Niech F be dzie cia lem. Pokazać, że dla dowolnych f(x), g(x) F [x], (f(x)) (g(x)) = (NW W (f(x), g(x))) oraz (f(x)) + (g(x)) = (NW D(f(x), g(x))). 7. Niech P i R be da pierścieniami przemiennymi z 1. Pokazać, że każdy idea l pierścienia P R jest postaci I 1 I 2, gdzie I 1 jest idea lem pierścienia P oraz I 2 jest idea lem pierścienia R. Znaleźć przyk lad idea lu w produkcie dwóch pierścieni (bez 1), którego nie można przedstawić w takiej formie. 8. Pokazać, że pierścień Z Z jest pierścieniem idea lów g lównych. 9. Opisać wszystkie idea ly produktu F 1... F n, gdzie F 1,..., F n sa cia lami. 10. Niech I i J be da idea lami pierścienia P. Pokazać, że zbiór IJ := { n i=1 x iy i n Z +, x i I, y i J} jest idea lem pierścienia P. 11. Niech P be dzie pierścieniem przemiennym z jednościa. Pokazać, że dla dowolnych a, b P, (a)(b) = (ab). 12. Niech (I t ) t T be dzie niepusta rodzina idea lów pierścienia P spe lniaja ca warunek: dla dowolnych t 1, t 2 T istnieje taki indeks t 3 T, że I t1 I t2 I t3. Pokazać, że zbiór I := I t jest idea lem pierścienia P. 13. Sprawdzić, czy idea l I = (x 2 + 1) pierścienia Z 2 [x] jest maksymalny. 14. Sprawdzić, czy idea l I = (2) + (x 2 ) pierścienia Z[x] jest pierwszy. 15. Dla jakich pierścieni, idea l {0} jest idea lem pierwszym? 16. Dla jakich pierścieni, idea l {0} jest idea lem maksymalnym? t T 17. Niech h : P na R be dzie homomorfizmem pierścieni przemiennych i niech I R be dzie idea lem pierwszym w R. Pokazać, że h 1 (I) jest idea lem pierwszym w pierścieniu P.

4 3 PIERŚCIENIE EUKLIDESA Niech P be dzie pierścieniem ca lkowitym idea lów g lównych. Pokazać, że różny od zerowego idea l pierwszy pierścieni P jest maksymalny. Zadania dodatkowe 19. Pokazać, że pierścień Z[x] nie jest pierścieniem idea lów g lównych. 20. Pokazać, że podpierścień pierścienia idea lów g lównych nie musi być pierścieniem idea lów g lównych. 21. Pokazać, że obraz homomorficzny pierścienia idea lów g lównych jest pierścieniem idea lów g lównych. 22. Niech P be dzie pierścieniem, w którym każdy idea l jest skończenie generowany. Pokazać, że każdy wste puja cy cia g I 1 I 2... idea lów pierścienia P jest, pocza wszy od pewnej liczby n N, sta ly, tj. I n = I n+1 = Niech P be dzie pierścieniem, w którym każdy wste puja cy cia g idea lów jest, pocza wszy od pewnej liczby n N, sta ly. Pokazać, że każda niepusta rodzina idea lów pierścienia P posiada element maksymalny. 24. Niech P be dzie pierścieniem, w którym każda niepusta rodzina idea lów posiada element maksymalny. Pokazać, że każdy idea l pierścienia P jest skończenie generowany. 25. Niech I be dzie idea lem pierścienia P. Pokazać, że istnieje idea l maksymalny zawieraja cy idea l I. 3 Pierścienie Euklidesa 1. Pokazać, że pierścień Gaussa Z[i] := {a+bi a, b Z} jest pierścieniem Euklidesa z norma d(a + bi) = a 2 + b W pierścieniu Z[i] wykonać dzielenie (a) i przez 3 + 4i, (b) 4 i przez 1 + i.

5 3 PIERŚCIENIE EUKLIDESA 5 3. Niech P be dzie pierścieniem Euklidesa i a, b, c P. Pokazać, że jeśli NW D(a, b) = 1 oraz a bc, to a c. 4. Znaleźć NW D elementów a i b w zadanych pierścieniach Euklidesa P oraz znaleźć takie s, t P, że NW D(a, b) = as + bt. (a) a = 713, b = 253 w Z, (b) a = , b = w Z, (c) a = x 5 2x 4 2x 3 + 8x 2 7x + 2, b = x 4 4x + 3 w R[x], (d) a = x 4 + 4x 3 + 4x 2 + 4x + 3, b = x 3 + 5x 2 + 7x + 3 w Q[x], (e) a = x 4 + 2, b = x w Z 5 [x]. 5. W pierścieniu Z[i] znaleźć NW D(a, b) oraz znaleźć takie s, t Z[i], że NW D(a, b) = as + bt. (a) a = 4 i, b = 1 + i, (b) a = i, b = 2i + 7, (c) a = 3 + i, b = 3i W pierścieniu liczb ca lkowitych znaleźć rozwia zanie naste puja cych równań: (a) 20x + 28y = 16, (b) 15x + 24y = 9, (c) 11x + 31y = Znaleźć (a) element odwrotny do 4 w pierścieniu Z 7, (b) element odwrotny do 35 w pierścieniu Z 101, (c) element odwrotny do 11 w pierścieniu Z Pokazać, że Q[x]/(x 3 5) jest cia lem i znaleźć element odwrotny do elementu x Rozwia zać naste puja ce uk lady równań: (a) x 5 4 x 7 3 x 9 1

6 3 PIERŚCIENIE EUKLIDESA 6 (b) x 12 9 x 13 3 x Dana jest reprezentacja modularna (9, 3, 6) liczby x Z Znaleźć liczbe x. 11. Niech P be dzie niezerowym pierścieniem Euklidesa z dok ladnie jednym idea lem maksymalnym. Pokazać, że wówczas suma dwóch elementów nieodwracalnych w pierścieniu P jest elementem nieodwracalnym. 12. Niech liczba zespolona z = a bi be dzie pierwiastkiem wielomianu f(x) R[x]. Pokazać, że liczba do niej sprze żona z = a bi jest również pierwiastkiem tego wielomianu. 13. Niech p(x) = a 0 + a 1 x a n x n Z[x]. Pokazać, że jeśli r s jest wymiernym pierwiastkiem wielomianu p(x) oraz NW D(r, s) = 1, to r a 0 oraz s a n. 14. Pokazać, że 5 2 jest liczba niewymierna. 15. Pokazać, że elementy odwracalne w przemiennym pierścieniu (P, +,, 1) tworza grupe abelowa ze wzgle du na mnożenie. 16. Niech P be dzie pierścieniem ca lkowitym i niech a P be dzie elementem nierozk ladalnym w P, stowarzyszonym z b P. Pokazać, że element b jest nierozk ladalny. 17. Niech P be dzie pierścieniem Euklidesa, a, b, c P i niech d 1 be dzie stowarzyszone z NW D(a, b, c) oraz d 2 be dzie stowarzyszone z NW D(a, b). Pokazać, że wówczas d 1 jest stowarzyszone z NW D(d 2, c). 18. Niech P be dzie pierścieniem Euklidesa, a, b, p P oraz p be dzie elementem nierozk ladalnym takim, że p ab. Pokazać, że wtedy p a lub p b. 19. Sprawdzić, czy podane elementy sa nierozk ladalne: (a) 11 w Z, (b) x 3 + x w Z 3 [x], (c) x 4 2 w Q[x],

7 3 PIERŚCIENIE EUKLIDESA 7 (d) x 2 2 w R[x], (e) x 2 3 w Q( 2)[x]. 20. (Kryterium Eisensteina) Niech f(x) = a 0 + a 1 x a n x n Z[x]. Pokazać, że jeśli dla pewnej liczby pierwszej p: p a 0,..., p a n 1, p a n, p 2 a 0, to f(x) jest wielomianem nierozk ladalnym nad Q. 21. Sprawdzić, czy wielomian p(x) = 3x 8 4x 6 + 8x 5 10x + 6 jest nierozk ladalny w Q[x]. 22. Pokazać, że dla wielomianu f(x) = a 0 + a 1 x a n x n Z 2 [x], (x + 1) f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy n i=0 a i Znaleźć wszystkie nierozk ladalne wielomiany stopnia mniejszego lub równego 4 nad Z Znaleźć dowolny nierozk ladalny wielomian stopnia 2 nad Z 5. Zadania dodatkowe 25. Kalendarz Majów Majowie, jedna z najlepiej znanych prekolumbijskich cywilizacji Meksyku, opracowali z lożony system pomiaru czasu. Potrafili m.in. przewidywać zaćmienia S lońca czy ruch Ksie życa i Wenus. W życiu codziennym stosowali trzy podstawowe kalendarze: licza cy 365 dni w roku kalendarz s loneczny (dzieli l sie na 18 miesie cy, z których każdy liczy l 20 dni i by l uzupe lniany specjalnym okresem 5 dni uznanych za nieszcze śliwe ); 260-dniowy kalendarz świe ty, zwany tzolkin; D luga Rachube, której jednostkami by ly: 1, 20, 360, 7200 i dni.

8 3 PIERŚCIENIE EUKLIDESA 8 Świe ty kalendarz Majów sk lada l sie z 20 miesie cy (każdy podzielony na 13 dni oznaczanych liczbami zapisanymi w systemie z lożonym z kresek i kropek). Niżej podane sa nazwy miesie cy: 1. Imix 6. Cimi 11. Chuen 16. Cib 2. Ik 7. Manik 12. Eb 17. Caban 3. Akbal 8. Lamat 13. Ben 18. Etznab 4. Kan 9. Muluc 14. Ix 19. Cauac 5. Chicchan 10. Oc 15. Men 20. Ahau Jako date w tym kalendarzu przyjmujemy pare uporza dkowana (d, m), gdzie 1 d 13 i 1 m 20. (A zatem m oznacza miesia c a d dzień.) Pare (d, m) oznaczać be dziemy symbolem dm. Zasade funkcjonowania tzolkin można zrozumieć obserwuja c ruch dwóch zaze biaja cych sie i obracaja cych sie kó l ze batych, zmieniaja cych jednocześnie po lożenie podobnie, jak liczby m i d. Na przyk lad, po dniu 1Imix naste powa l 2Ik a po nim 3Akbal, itd. Szczególnie ważny by l koniec 52-letniego cyklu wg kalendarza s lonecznego (lub 73-letniego wg kalendarza swie tego). Tego dnia oba kalendarze powraca ly do tego samego dnia pocza tkowego. Starożytni Majowie wierzyli, że wówczas może nasta pić koniec świata. Obliczyć, ile dni dzieli 11Oc i 5Etznab. 26. System kryptograficzny z kluczem publicznym (a) (Ma le Twierdzenie Fermata) Niech p be dzie liczba pierwsza, a Z i niech p a. Pokazać, że wówczas a p 1 p 1. (b) Niech p i q be da różnymi, dodatnimi liczbami pierwszymi. Niech n = pq, k = (p 1)(q 1) i niech d Z be dzie takie, że NW D(d, k) = 1. Niech ponadto e be dzie ca lkowitym rozwia zaniem równiania dx k 1. Pokazać, że dla dowolnej liczby ca lkowitej b Z, zachodzi b ed n b. System RSA. System z kluczem publicznym zosta l opracowany przez R. Rivest a, A. Shamir a i L. Adleman a w roku 1977, i znany jest obecnie pod nazwa systemu RSA. Rozważmy grupe osób, z których każda chce wys lać tajna wiadomość do dowolnej innej. Wiadomość, która ma być wys lana przedstawia

9 4 ROZSZERZENIA CIA L I CIA LA SKOŃCZONE 9 sie najpierw w postaci numerycznej. Może na przyk lad sk ladać sie ona z bloków m liter alfabetu lacińskiego, które przedstawia sie jako rozwinie cie liczby ca lkowitej przy podstawie 26. Wówczas jednostka tekstu jest dodatnia liczba ca lkowita nie wie ksza niż N = 26 m. (W praktyce liczba N ma od 200 do 600 znaków.) Dowolna osoba z grupy, powiedzmy użytkownik A, wybiera dwie bardzo duże liczby pierwsze p i q w taki sposób, żeby ich iloczyn n = pq by l wie kszy od N. Dodatkowo znajduje liczby d i e (tego samego rze du wielkości co n) takie, że NW D(d, k) = 1, gdzie k = (p 1)(q 1)) oraz de k 1. Pare (n, e) zwana kluczem publicznym podaje do wiadomości wszystkich, natomiast liczby p, q i d zachowuje w sekrecie. Inny użytkownik, nazwijmy go B, który chce wys lać wiadomość w do osoby A, sprawdza jej klucz publiczny, oblicza s n w e i wysy la s do A. Aby odszyfrować wiadomość, A pos luguje sie swoim tajnym kluczem deszyfruja cym, którym jest liczba d. Na mocy poprzedniego zadania oryginalna wiadomość w n s d. Bezpieczeństwo takiej metody szyfrowania gwarantuje fakt, że bez znajomości liczb pierwszych p i q nie wydaje sie możliwe znalezienie deszyfruja cego wyk ladnika d. Z lamanie szyfru jest prawdopodobnie tak trudne, jak rozk lad wielkiej liczby naturalnej n na czynniki. 27. Sprawdzić, czy pierścień Z[i 6] jest pierścieniem Euklidesa. 4 Rozszerzenia cia l i cia la skończone 1. Które z podanych pierścieni sa cia lami? (a) Q[x]/(x 3 3), (b) Q[x]/(x 2 2), (c) Q[x]/(x 2 1), (d) Z 5 [x]/(x 2 + 1), (e) R[x]/(x 2 2). 2. Sprawdzić, czy podane elementy sa nierozk ladalne. Jeśli tak, znaleźć odpowiednie cia lo ilorazowe przez idea l generowany przez ten element.

10 4 ROZSZERZENIA CIA L I CIA LA SKOŃCZONE 10 (a) 11 w Z, (b) x 3 + x w Z 3 [x], (c) x 4 2 w Q[x], (d) x 2 2 w R[x], (e) x 2 3 w Q( 2)[x]. 3. Które z podanych pierścieni sa cia lami? Znaleźć charakterystyke podanych cia l. (a) Z 2 Z 2, (b) Q( 3 7), (c) Q Z 3, (d) Z 5 [x]/(x 2 + x + 1), (e) Z 4 2, (f) Z 4 2[x]. 4. Obliczyć stopnie rozszerzeń: (a) [Q( 3 7) : Q], (b) [Q(i, 3i) : Q], (c) [Z 3 [x]/(x 2 + x + 2) : Z 3 ], (d) [R : Q]. 5. Pokazać, że nie istnieje cia lo leża ce dok ladnie pomie dzy Q i L = Q[x]/(x 3 2). 6. Skonstruować cia lo Q( 2, 3). Pokazać, że istnieje takie α, że Q( 2, 3) = Q(α) = Q( 2 + 3). Znaleźć [Q(α) : Q]. 7. Sprawdzić, czy jest elementem algebraicznym nad Q. 8. Znaleźć tabelki dodawania i mnożenia cia l GF (8) i GF (9). 9. Skonstruować cia la GF (128) oraz GF (49). Znaleźć ich charakterystyke. 10. Skonstruować rozszerzenie cia la Q o element

11 4 ROZSZERZENIA CIA L I CIA LA SKOŃCZONE 11 (a) 4 3, (b) 3i. Podać ogólna postać elementów w tym rozszerzeniu. Jaki jest stopień i charakterystyka tego rozszerzenia? 11. Skonstruować rozszerzenie F cia la Z 2 stopnia 4. Podać ogólna postać elementów w tym rozszerzeniu. Jaka jest charakterystyka cia la F? 12. Opisać z jakich elementów sk lada sie pierścień GF (4)[x] i znaleźć jego charakterystyke. 13. Znaleźć rozszerzenie F cia la Q o pierwiastek wielomianu p(x) = x 7 + 7x x Jaki jest stopień rozszerzenia F? Podać ogólna postać elementów w rozszerzeniu F. 14. Znaleźć elementy pierwotne w ciele GF (9). 15. Znaleźć element pierwotny α cia la GF (16) i przedstawić wszystkie niezerowe elementy tego cia la jako pote gi α. Zadania dodatkowe 16. Niech F be dzie cia lem o charakterystyce p. Pokazać, że dla dowolnych x, y F, (x + y) p = x p + y p. 17. Niech f(x) GF (p), gdzie p jest liczba pierwsza. Pokazać, że f(x pn ) = (f(x)) pn, dla dowolnego n N. 18. Niech r, s Z +. Pokazać, że GF (p s ) GF (p r ) wtedy i tylko wtedy, gdy s r. 19. Znaleźć najmniejsze rozszerzenie cia la GF (8), w którym wielomian x 9 1 rozk lada sie na czynniki liniowe.

12 4 ROZSZERZENIA CIA L I CIA LA SKOŃCZONE 12 Kwadraty lacińskie 20. Niech V be dzie n-wymiarowa przestrzenia wektorowa nad cia lem GF (p m ). Niech a, b 0, 1 be da elementami tego cia la. Pokazać, że tabelka binarnej operacji mnożenia określonej na V wzorem x y = ax + by jest kwadratem lacińskim. 21. Dwa kwadraty lacińskie A = (a ij ) oraz B = (b ij ) rze du n, tj. wymiaru n n, o elementach ze zbioru S = {s 1, s 2,..., s n } sa ortogonalne - piszemy wtedy A B - jeśli wszystkie spośród n 2 par (a ij, b ij ), gdzie 1 i n, 1 j n, sa różne. Zbiór {A 1,..., A t } kwadratów lacińskich rze du n jest zbiorem ortogonalnych kwadratów lacińskich, jeśli A i A j dla każdych i j, 1 i, j t. (a) Skonstruować dwa ortogonalne kwadraty lacińskie i. rze du 3, ii. rze du 4. (b) Skonstruować zbiór trzech ortogonalnych kwadratów lacińskich rze du 4. Kwadraty lacinskie stosuje sie przy projektowaniu eksperymentów statystycznych. Przypuśćmy, że chcemy porównać plony trzech różnych rodzajów ziarna a, b, c. Mamy do dyspozycji prostoka tna dzia lke, która w różnych miejscach może mieć różna żyzność. Taka dzia lke można podzielić na 9 prostoka tnych cze ści, i posiać trzy rodzaje ziarna tak, aby tworzy ly kwadrat laciński rze du 3. Ten sposób siania redukuje b le dy w porównaniu plonów wynikaja ce z różnic żyzności gleby. Jeśli dodatkowo chcemy zbadać dzia lanie trzech różnych rodzajów nawozów A, B, C na te trzy gatunki ziarna, tworzymy kwadrat laciński z symboli nawozów w taki sposób, aby oba kwadraty by ly ortogonalne. Wtedy każdy rodzaj nawozu wyste puje dok ladnie raz z każdym rodzajem ziarna. 22. Niech GF (n) = {x 0, x 1,..., x n 1 } be dzie skończonym cia lem rze du n = p m, gdzie x 0 = 0 oraz x 1 = 1. Niech A k = (a k ij), gdzie 1 k n 1 oraz a k ij = x k x i + x j dla 0 i n 1, 0 j n 1. Wykazać, że

13 5 KODY WYKRYWAJA CE I KORYGUJA CE B LE DY 13 (a) Dla każdego k = 1,..., n 1, A k jest kwadratem lacińskim rze du n. (b) Zbiór {A 1,..., A n 1 } jest zbiorem ortogonalnych kwadratów lacińskich rze du n. 5 Kody wykrywaja ce i koryguja ce b le dy 1. Wykazać, że odleg lość Hamminga mie dzy wektorami kodowymi jest metryka. 2. Waga wt(c) wektora c Z n 2 nazywamy odleg lość c od wektora zerowego. Wykazać, że dla dowolnych wektorów c, f Z n 2, (a) d(c, f ) = n (c i f i ) 2, i=1 (b) wt(c + f ) = wt(c) + wt(f ) 2wt(cf ), (c) wt(c + f ) wt(c) wt(f ). Pokazać, że jeśli wt(c) = wt(f ), to d(c, f ) jest liczba parzysta. 3. Znaleźć odleg lość (n, n 1)-kodu kontroli parzystości. 4. Niech p(x) = 1 + x 2 + x 3 + x 4 be dzie wielomianem generuja cym (7,3)- kodu. Znaleźć s lowo kodowe dla wiadomości Znaleźć wszystkie s lowa kodowe kodu generowanego przez wielomian p(x) = 1 + x + x 3, jeśli wiadomość ma d lugość Niech p(x) = 1 + x + x 3 be dzie wielomianem generuja cym kodu wielomianowego. Sprawdzić, czy otrzymane s lowa zawieraja wykrywalne b le dy: (a) , (b) , (c) Pokazać, że w kodzie liniowym albo wszystkie s lowa kodowe maja parzysta wage, albo dok ladnie po lowa z nich ma wage parzysta a po lowa nieparzysta.

14 5 KODY WYKRYWAJA CE I KORYGUJA CE B LE DY Znaleźć macierz koduja ca oraz macierz kontroli parzystości (a) (6,3)-kodu generowanego przez wielomian p(x) = 1 + x + x 3, (b) (9,4)-kodu generowanego przez wielomian p(x) = 1 + x 2 + x 4 + x 5. Sprawdzić, czy otrzymane s lowa: (a) (1,0,0,0,1,1), (b) (1,0,0,1,1,0), (c) (1,0,1,0,0,0). zawieraja b le dy wykrywalne przez pierwszy z tych kodów. 9. Wektor u = (u 1,..., u 7 ) jest s lowem kodowym (7,4)-kodu liniowego, jeśli u 1 = u 4 + u 5 + u 7, u 2 = u 4 + u 6 + u 7, u 3 = u 4 + u 5 + u 6. Znaleźć macierz koduja ca i macierz kontrolna tego kodu. Zakodować wiadomość Sprawdzić, czy jest s lowem kodowym. Odkodować s lowa: , Znaleźć syndromy, warstwy i najbardziej prawdopodobne b le dy (7, 4)- kodu binarnego, którego macierz kontroli parzystości ma postać: H =