Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał.
|
|
- Karol Marszałek
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał.
2 Definicja Niech F będzie ciałem. Podzbiór L H zbioru F nazywamy podciałem ciała F (piszemy L ă F ), gdy pl, `æ LˆL, æ LˆL q jest ciałem. Jeżeli L ă F to mówimy, że F jest rozszerzeniem ciała L.
3 Przykłady: 1. Q ă R, 2. R ă C.
4 Twierdzenie Niech F będzie ciałem i niech H L Ă F. Następujące warunki są równoważne: 1. L ă F, 2. L ma następujące własności: 1 P y P Lpx y P y P Lpx y 1 P Lq.
5 Twierdzenie Niech R tl i : i P Iu będzie rodziną podciał ciała F ; 1. Ş ipi L i jest podciałem ciała F, 2. Ť ipi L i jest podciałem ciała F, o ile R jest łańcuchem.
6 Definicja Niech F będzie ciałem oraz A Ă F pewnym zbiorem. Niech ponadto L ă F. Najmniejsze w sensie inkluzji podciało ciała F zawierające zbiór L Y A (tj. przekrój wszystkich podciał ciała F zawierających L Y A) nazywamy podciałem generowanym przez A nad L (rozszerzeniem ciała L o zbiór A, rozszerzeniem ciała L o elementy zbioru A) i oznaczamy LpAq. Jeżeli A ta 1,..., a n u, to ciało Lpta 1,..., a n uq nazywamy podciałem skończenie generowanym przez A nad L (rozszerzeniem skończenie generowanym ciała L o zbiór A) i oznaczamy Lpa 1,..., a n q. Jeżeli A tau to skończenie generowane rozszerzenie Lpaq ciała L o element a nazywamy rozszerzeniem prostym.
7 Twierdzenie (o postaci elementów rozszerzenia ciała o zbiór) Niech F będzie ciałem oraz A Ă F pewnym zbiorem. Niech L ă F. Wówczas LpAq t fpa 1,..., a n q gpa 1,..., a n q : f, g P Lrx 1,..., x n s, gpa 1,..., a n q 0, a 1,..., a
8 Wniosek 1. Niech F będzie ciałem oraz niech a P F. Niech L ă F. Wówczas Lpaq t x 0 ` x 1 a `... ` x n a n y 0 ` y 1 a `... ` y n a n : y 0`y 1 a`...`y n a n 0, n P NYt0u 2. Niech F będzie ciałem oraz niech ta 1,..., a n u Ă F. Niech K ă F. Wówczas Lpa 1,..., a n q t fpa 1,..., a n q gpa 1,..., a n q : f, g P Lrx 1,..., x n s, gpa 1,..., a n q (to znaczy elementy rozszerzenia ciała o zbiór skończony są wartościami funkcji wymiernych o współczynnikach z danego ciała).
9 Przykłady: 3. Niech F C,? 2 P C, L Q ă C. Wówczas: Qp? 2q t fp? 2q gp? 2q : f, g P Qrxs, gp? 2q 0u.
10 Definicja Niech F będzie ciałem oraz niech L 1 ă F, L 2 ă F,..., L n ă F. Podciało generowane przez L 2 Y... Y L n nad L 1 nazywamy kompozytem (lub iloczynem) ciał L 1, L 2,..., L n i oznaczamy L 1 L 2... L n.
11 Uwaga 1. Niech F będzie ciałem oraz niech L 1 ă F, L 2 ă F. Niech ta 1,..., a n u Ă F oraz tb 1,..., b m u Ă F. Wówczas: L 1 pa 1,..., a n q L 2 pb 1,..., b m q L 1 L 2 pa 1,..., a n, b 1,..., b m q. 2. Niech F będzie ciałem oraz niech L ă F. Niech ta 1,..., a n u Ă F oraz tb 1,..., b m u Ă F. Wówczas Lpa 1,..., a n q Lpb 1,..., b m q Lpa 1,..., a n, b 1,..., b m q. 3. Niech F będzie ciałem oraz niech L 1 ă F, L 2 ă F. Niech K 1 ă L 1 oraz niech K 2 ă L 2. Wówczas K 1 K 2 ă L 1 L 2.
12 Uwaga Niech F, L będą ciałami, niech φ : F Ñ L będzie homomorfizmem. Wówczas φ jest różnowartościowy.
13 Dowód. Ponieważ φ jest homomorfizmem, więc ker φ Ÿ F. Ponieważ jednak F jest ciałem, więc ker φ P tt0u, F u. Gdyby ker φ F, to w szczególności φp1q 0, a więc φ nie byłby homomorfizmem. Zatem ker φ t0u.
14 Definicja Niech F będzie ciałem, niech F ă K i F ă L będą jego rozszerzeniami. Niech ponadto φ : K Ñ L będzie homomorfizmem. Jeśli φæ F id F, to φ nazywamy F -zanurzeniem.
15 Twierdzenie Niech F, L będą ciałami, niech F 1 ă F, L 1 ă L, niech φ : F Ñ L będzie homomorfizmem. Wówczas: 1. φpf 1 q ă L, 2. φ 1 pl 1 q ă F.
16 Charakterystyka pierścienia i ciała, ciała proste i klasyfikacja ciał prostych.
17 Definicja Niech R będzie pierścieniem. Liczbę: # 0, gdy rp1q 8 w grupie addytywnej pr, `q, charr n, gdy rp1q n w grupie addytywnej pr, `q, nazywamy charakterystyką pierścienia R.
18 Przykłady: 1. charz 0, charq 0; 2. charz 4 4, charz 7 7; 3. charrrxs 0; 4. charz 5 rxs 5.
19 Uwaga Niech R będzie pierścieniem. Odwzorowanie φ : Z Ñ R dane wzorem φpmq m 1 jest homomorfizmem pierścieni. Jeśli charr 0, to ker φ t0u. Jeśli charr n, to ker φ pnq.
20 Dowód. Bez trudu pokazujemy, że φ jest homomorfizmem. Załóżmy, że charr 0. Pokażemy, że ker φ t0u. Ustalmy m P ker φ. Wówczas m P ker φ ô m 1 0 Ø m 0. Załóżmy, że charr n. Pokażemy, że ker φ pnq. Ustalmy m P ker φ. Wówczas m P ker φ ô m 1 0 Ø n m ô m P pnq.
21 Wniosek Niech R będzie pierścieniem. 1. Jeśli charr 0, to R zawiera podpierścień izomorficzny z Z. 2. Jeśli charr n, to R zawiera podpierścień izomorficzny z Z n.
22 Dowód. 1. Zdefiniujmy odwzorowanie φ : Z Ñ R wzorem φpmq m 1. Oznaczmy R 1 im φ. Wobec twierdzenia o izomorfizmie Z{ ker φ R 1. Ponieważ ker φ t0u, więc R Z{t0u Z. 2. Analogicznie.
23 Wniosek Niech R będzie pierścieniem. 1. Jeśli R jest pierścieniem całkowitym, to charr 0 lub charr p dla pewnej liczby pierwszej p. 2. Jeśli R jest ciałem, to charr 0 lub charr p dla pewnej liczby pierwszej p.
24 Dowód. 1. Przypuśćmy, że charr pq, dla pewnych liczb pierwszych p, q. Wówczas R zawiera pierścień izomorficzny z Z pq, a więc p, q P DpZ pq q Ă DpRq, co daje sprzeczność. 2. Oczywiste.
25 Przykłady: 5. charr 0; 6. charz p p, gdzie p jest dowolną liczbą pierwszą.
26 Uwaga Niech R będzie pierścieniem i niech R 1 ă R. Wówczas charr 1 charr.
27 Uwaga Niech R będzie pierścieniem i niech charr p. Wówczas b P Rpa ` bq p a p ` b p ; b P Rpa ` bq pn a pn ` b pn.
28 Dowód. 1. Ponieważ oraz więc 2. Indukcja. pa ` bq p pÿ k 0 ˆp a k b p k k P t1,..., p 1up k P t1,..., p 1u a k b p k 0. k
29 Definicja i uwaga Niech F będzie ciałem i niech charf p. Wówczas odwzorowanie φ : F Ñ F dane wzorem φpaq a p jest homomorfizmem ciał. Obraz im φ oznaczamy przez F p i nazywamy p-potęgą ciała F.
30 Definicja Ciało F nazywamy ciałem prostym gdy nie zawiera podciał właściwych.
31 Twierdzenie Niech F będzie ciałem. Wówczas F zawiera podciało proste.
32 Dowód. Zdefiniujmy K č tl : L ă F u. Wówczas K jest podciałem ciała F. Pokażemy, że K jest ciałem prostym. Ustalmy M ă K. Wówczas M ă F, więc K Ă M i tym samym K M.
33 Twierdzenie (o klasyfikacji ciał prostych) Niech F będzie ciałem prostym. Wówczas 1. Jeśli charf 0, to F Q. 2. Jeśli charf n, to F Z p.
34 Dowód: 1. Odwzorowanie φ : Z Ñ F dane wzorem φpmq m 1 jest różnowartościowym homomorfizmem. Wobec własności uniwersalnej ciała ułamków, istnieje dokładnie jeden homomorfizm różnowartościowy ψ : pzq Ñ F taki, że ψ λ φ, gdzie λ : Z Ñ pzq jest homomorfizmem kanonicznym. Ponadto im ψ ă F i skoro F jest proste, więc im ψ F. Wobec tego Q pzq F.
35 2. Odwzorowanie φ : Z Ñ F dane wzorem φpmq m 1 jest homomorfizmem takim, że ker φ ppq. Wobec twierdzenia o homomorfizmie istnieje dokładnie jeden homomorfizm ψ : Z{ppq Ñ F taki, że ψ κ ψ, gdzie κ : Z Ñ Z{ppq jest epimorfizmem kanonicznym. Ponadto Z{ppq jest ciałem, więc ψ jest różnowartościowy. Ponadto im ψ ă F i skoro F jest ciałem prostym, to im ψ F. Wobec tego Z p F.
36 Wniosek Niech F będzie ciałem. Wówczas 1. Jeśli charf 0, to F zawiera podciało izomorficzne z Q. 2. Jeśli charf p, to F zawiera podciało izomorficzne z Z p.
37 Wniosek Niech F będzie ciałem o p elementach, gdzie p jest liczbą pierwszą. Wówczas F Z p.
38 Dowód. Charakterystyka ciała F jest różna od 0, a zatem równa pewnej liczbie pierwszej q. Tym samym F zawiera podciało izomorficzne z Z q. W szczególności grupa addytywna pf, `q ciała F zawiera jako podgrupę grupę izomorficzną z grupą addytywną pz q, `q ciała Z q. Stąd, wobec twierdzenia Lagrange a, q p i w konsekwencji q p.
39 Definicja Niech F będzie ciałem. Pierścieniem prostym zawartym w ciele F nazywamy Z, jeżeli charf 0, Z p, jeżeli charf p, dla pewnej liczby pierwszej p.
40 Uwaga Niech F będzie ciałem prostym, niech F ă K i F ă L będą jego rozszerzeniami. Niech ponadto φ : K Ñ L będzie homomorfizmem. Wówczas φ jest F -zanurzeniem.
41 Dowód. Z definicji φp1q 1 i skoro φ jest homomorfizmem, to φ 1looooomooooon `... ` 1 1looooomooooon `... ` 1. m Jeśli charf p, to dowód jest zakończony. Jeśli charf 0, to, dalej z definicji homomorfizmu, mamy: 1looooomooooon `... ` 1 φ 1looooomooooon `... ` 1 1looooomooooon `... ` 1 φ m 1 looooomooooon `... ` 1 m m. looooomooooon 1 `... ` 1 n φ 1looooomooooon `... ` 1 n n m
Pojęcie pierścienia.
Pojęcie pierścienia. Definicja: Niech R będzie zbiorem niepustym. 1. Algebrę pr, `, q nazywamy pierścieniem, gdy pr, `q jest grupą abelową, działanie jest łaczne oraz rozdzielne względem działania `, to
Bardziej szczegółowoRozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu.
Rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu. Twierdzenie (Kroneckera) Niech F będzie ciałem, niech f P F rxs. Wówczas istnieje rozszerzenie L ciała F takie, w którym f ma pierwiastek.
Bardziej szczegółowoBaza i stopień rozszerzenia.
Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. Wówczas L jest przestrzenią liniową nad ciałem F. Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. 1. Wymiar
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoDefinicja. Niech pg, q będzie grupą. Wówczas ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G p0q G,
Grupy rozwiązalne. Definicja Niech pg, q będzie grupą. Wówczas ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G p0q G, G piq rg pi 1q, G pi 1q s, dla i P N nazywamy górnym ciągiem centralnym grupy
Bardziej szczegółowo14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe
14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech
Bardziej szczegółowoWielomiany wielu zmiennych.
Wielomiany wielu zmiennych. Definicja i uwaga: Niech R będzie dowolnym pierścieniem. Wielomianem zmiennych x 1,..., x n o współczynnikach z pierścienia R będziemy nazywali wyrażenie postaci ÿ a i1...i
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowo= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i
15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.
Bardziej szczegółowoUwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Bardziej szczegółowo12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze.
12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. Rozszerzenia rozdzielcze i pojedyncze. Rozszerzenia normalne. 12.1.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowo1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Bardziej szczegółowoTwierdzenie 15.3 (o postaci elementów rozszerzenia ciała o zbiór). Niech F będzie ciałem oraz A F pewnym zbiorem. Niech L<F.
15. Wyład 15: Podciała, podciała geerowae przez zbiór, rozszerzeia ciał. Charaterystya pierścieia i ciała, ciała proste i lasyfiacja ciał prostych. 15.1. Podciała, podciała geerowae przez zbiór, rozszerzeia
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia teorii podzielności.
Podstawowe pojęcia teorii podzielności. Definicja Niech pr, `, q będzie pierścieniem 1 całkowitym. Mówimy, że element a dzieli b, a, b P R, (lub że a jest dzielnikiem b, lub że b jest wielokrotnością a)
Bardziej szczegółowo(6) Homomorfizm φ : P R nazywamy epimorfizmem kategoryjnym, jeśli dla każdego pierścienia. jeśli φ ψ 1 = φ ψ 2, to ψ 1 = ψ 2 ;
10. Wykład 10: Homomorfizmy pierścieni, ideały pierścieni. Ideały generowane przez zbiory. 10.1. Homomorfizmy pierścieni, ideały pierścieni. Definicja 10.1. Niech P, R będą pierścieniami. (1) Odwzorowanie
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowo1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy
1 Grupy 1.1 Grupy 1.1.1. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 2 = a 2 b 2 dla dowolnych a, b G. Udowodnić, że grupa G jest abelowa. 1.1.2. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 1 = a 1 b 1 dla dowolnych a,
Bardziej szczegółowo1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 3, 16.10.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Definicja pierścienia 2/10 Zbiór R wyposażony w dwa działania
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoWielomiany i rozszerzenia ciał
Wielomiany i rozszerzenia ciał Maciej Grzesiak 1 Pierścień wielomianów 1.1 Pojęcia podstawowe Z wielomianami spotykamy się już w pierwszych latach nauki w szkole średniej. Jest to bowiem najprostsza pojęciowo
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowo... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1
4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy
Bardziej szczegółowoWniosek Niech R będzie pierścieniem, niech I R. WówczasI R wtedy i tylko wtedy, gdy I jest jądrem pewnego homomorfizmu.
11. Wykład 11: Pierścień ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Ideały pierwsze i maksymalne. 11.1. Pierścień ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Definicja i Uwaga 11.1. Niech R będzie pierścieniem,
Bardziej szczegółowociałem F i oznaczamy [L : F ].
11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem
Bardziej szczegółowoi=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian
9. Wykład 9: Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów. 9.1. Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Uwaga 9.1. Niech (R, +, ) będzie pierścieniem
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 7, 13.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Ułamki pierścienia całkowitego Cel: Wprowadzenie pojęcia funkcji
Bardziej szczegółowoKombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoim = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu.
61 7. Wyk ad 7: Homomorfizmy pierúcieni, idea y pierúcieni. Idea y generowane przez zbiory. PierúcieÒ ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Idea y pierwsze i maksymalne. 7.1. Homomorfizmy pierúcieni,
Bardziej szczegółowoDziałania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Przykłady działań wewnętrznych 1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu
Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowo9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoGrupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
Bardziej szczegółowoUniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny
Uniwersytet w Białymstoku Wydział Matematyczno-Fizyczny Instytut Matematyki dr hab. Ryszard Andruszkiewicz Wykład monograficzny Wykład monograficzny prowadzony dla studentów V roku matematyki przez dr
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoSkończone rozszerzenia ciał
Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie
Bardziej szczegółowo020 Liczby rzeczywiste
020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią. wykład I
Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoPojęcia wstępne. Piotr P. Karwasz. Kraków, 22 kwietnia 2017 r. Uniwersytet Gdański
Piotr P. Karwasz Uniwersytet Gdański Kraków, 22 kwietnia 2017 r. Redukcja Niech p Z będzie liczbą pierwszą oraz π p kanonicznym homomorfizmem: π p : Z F p. Twierdzenie (wersja dla studentów) Niechaj w(x)
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowo1 Pierścienie, algebry
Podstawowe Własności Pierścieni Literatura Pomocnicza: 1. S.Balcerzyk,T.Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN 2. A.Białynicki-Birula, Algebra, PWN 3. J.Browkin, Teoria ciał, PWN 4. D.Cox, J.Little, D.O
Bardziej szczegółowoO ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH
O ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH NA PODSTAWIE REFERATU NGUYEN QUANG LOCA Przez cały referat K oznaczać będzie ustalone ciało algebraicznie domknięte. 1. Przez cały referat N oznaczać będzie ustaloną kratę izomorficzną
Bardziej szczegółowoĄ Ą Ś Ń Ć Ó Ą Ą
Ń Ś Ą Ż Ż Ś Ż Ź Ń Ą Ą Ś Ń Ć Ó Ą Ą Ś Ą Ź Ń Ó Ś Ć Ż Ą Ą Ć Ż Ó Ą Ó Ą Ć Ś Ą Ą Ń Ń Ń Ń Ń Ą Ń Ą Ń Ń Ń Ń Ą Ń Ń Ń Ń Ń Ń Ń Ń Ś Ą Ń Ś Ś Ó Ś Ó Ą Ń Ś Ą Ś Ą Ś Ś Ż Ą Ą Ą Ą Ą Ś Ą Ś Ó Ą Ś Ś Ś Ń Ń Ż Ą Ś Ś Ą Ń Ż
Bardziej szczegółowoKierunek i poziom studiów: Sylabus modułu: Wstęp do algebry i teorii liczb (03-M01N-WATL) Nazwa wariantu modułu (opcjonalnie): -
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Sylabus modułu: Wstęp do algebry i teorii liczb (03-M01N-WATL) Nazwa wariantu modułu (opcjonalnie): - 1. Informacje ogólne koordynator
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1
Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1 1. (a) Udowodnić, że jeśli grupa ilorazowa G/Z(G) jest cykliczna, to grupa G jest abelowa (Z(G) oznacza centrum grupy
Bardziej szczegółowoÓ Ż Ń Ń ć ż ć Ż Ż ć ż Ż ć
ż ż Ą ż Ż Ć Ó Ż Ń Ń ć ż ć Ż Ż ć ż Ż ć Ż ć Ż ć Ż Ó Ż ć Ó Ą ż ć Ż Ż ć ż ć Ż ć Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ó Ż Ż Ó Ż Ż Ś Ś Ś ż Ż Ś Ó ż Ż Ż Ń Ż ż ć ż ż ż ż Ń Ś Ó Ż Ś Ż ć Ś Ś ć ż Ś Ą Ż Ś Ń Ń Ś Ż ż Ś ż Ż Ą Ż Ś Ż ż Ś ć Ś Ś Ż
Bardziej szczegółowoStruktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Bardziej szczegółowoŻ ż Ź ś ż ż ś Ą Ą Ź ż Ż ś ż ż Ż Ż ż ć ś ś ć ć Ń ź ś Ż ć ż ż ś ś ś
ś ż ź ż ś Ż ż Ź ś ż ż ś Ą Ą Ź ż Ż ś ż ż Ż Ż ż ć ś ś ć ć Ń ź ś Ż ć ż ż ś ś ś ż ż ś ź Ą ż Ń ż ż ż Ż ź ż ść Ż ś ź ź ś Ś ź ś ś Ą Ż ś Ż ś Ż ś ż ż ś ż ść ś ż ż ś ż ś ż ć ś ś ź ś ż ś ż ź ż ż ź ź Ó ż ć ż ż ż ź
Bardziej szczegółowoŚ
ź Ś ź Ż Ż Ż Ż ć Ś Ó Ń ć ć Ż Ż Ż Ż ń ć Ż Ż Ż Ż Ą Ś ć Ź Ż ć ć Ż ć ć Ż Ż Ż Ż Ż ć Ó Ó ź Ż Ż ź ź Ś Ż ć Ż ć ć Ą Ż ź Ż ź Ż ć Ż Ż Ż Ź Ż Ż ź ć ć ć ć Ż ć ć ć ć Ż Ż ź ź Ż Ż Ś ć Ź ć ć ć ć ć Ż ć ć ć ć ć Ż ć ć ć Ż Ń
Bardziej szczegółowo1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowoTeoria ciała stałego Cz. I
Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowo2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16
DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni 2018 1 Spis treści 1 Podzielność w Z, algorytm Euklidesa 2 2 Kongruencje 5 3 Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona 7 4 Grupy 9 5 Grupy permutacji 12 6 Homomorfizmy
Bardziej szczegółowoDefinicje- Algebra III
Definicje- Algebra III Opracowane na podstawie notatek z wykładu w semetrze zimowym roku 2007r. (mocno niekompletne- umieszczono kilka pierwszych wykładów) 21.11.2007r. Algebry Definicja1(K-algebra)- Przestrzeń
Bardziej szczegółowojest przemienny. h f J.
12. Wykład 12: Moduły injektyne. Deinicja 12.1. Niec będzie pierścieniem, leym -modułem. eżeli dla każdego -modułu M i omomorizmu : M Ñ zacodzi następujący arunek: dla każdego leego -modułu N idlakażdego
Bardziej szczegółowo0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)
Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem
Bardziej szczegółowoAlgebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Algebra konspekt wykladu 2009/10 1 3 Podgrupy Niech S g mówimy, że podzbiór S jest zamknie ty ze wzgle du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2018/2019 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Pierścienie Euklidesa
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy
Bardziej szczegółowoAlgorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),
Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)
Bardziej szczegółowoAlgebra Abstrakcyjna i Kodowanie Lista zadań
Algebra Abstrakcyjna i Kodowanie Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, Wrocław 2016/17 1 Grupy Zadanie 1 Pokaż, że jeśli grupy G i H są abelowe, to grupa G H też jest abelowa. Zadanie 2 Niech X będzie niepustym
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
Bardziej szczegółowoApplication of SPME/GC-MS for determination of chlorophenoxy herbicide residues within weed tissues. W: Chemistry for Agriculture 7. (H. Górecki, Z. Dobrzański, P. Kafarski, red.). wyd. CZECH-POL-TRADE, Prague-Brussels, pp. 967-971 (ISBN: 80-239-7759-8).
Bardziej szczegółowo
ż ż ż ń ń Ł ń ń ż Ż ń ż ń Ż Ż
Ó Ń ń ż Ń ż ż ż ń ń Ł ń ń ż Ż ń ż ń Ż Ż ń ć ż ń ż ń ż Ą Ż ć ż ć ć ź ć ć ń Ż Ż ć Ż Ą Ż ć ń ć ć ż ć ć ć ć ć ć ż ć ć ż ć ń ć ć ż ć ć ż ż ć ż ć Ż ż ć Ż Ż Ż ż ż ć Ą ń Ż Ń ń Ą Ą ż Ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż
Bardziej szczegółowoLICZBY RZECZYWISTE AKSJOMATYKA I KONSTRUKCJA DEDEKINDA
[O]dwoływanie się do intucji geometrycznych w pierwszej prezentacji rachunku różniczkowego uważam za niezmiernie użyteczne z dydaktycznego punktu widzenia, a nawet za niezastąpione, gdy nie chcemy tracić
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowo1. Informacje ogólne. 2. Opis zajęć dydaktycznych i pracy studenta. wykład
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok I Sylabus modułu: Wstęp do algebry i teorii liczb (03-MO1S-12-WATL) Nazwa wariantu modułu (opcjonalnie):
Bardziej szczegółowoŁ Ą ź ź Ż ź Ź Ó Ó ź Ł
Ł Ń Ó Ł Ą ź ź Ż ź Ź Ó Ó ź Ł ź Ń Ł Ź Ś Ł ź Ś Ó Ć Ą Ń Ą ź ź ź Ż ź ź Ź Ć ź ź Ł ź Ó Ą Ą Ł Ą Ą Ś ŚĆ Ł ź ź ź ź Ł ź Ń ź ź ź ź ź ź ź ź Ż Ą Ą Ó Ą Ł Ś Ś ź Ł ź Ł ź ź ź Ź Ź Ś Ź Ź Ó ź ź Ś Ó Ł Ś ź Ł ź ź Ź ź ź ź ź Ś
Bardziej szczegółowoÓ Ń Ś Ą Ś Ń Ś Ś
ź Ó Ń Ś Ą Ś Ń Ś Ś Ś Ą Ś Ń Ś Ę Ń Ą Ą Ś ź Ś ć Ó Ą Ś Ć ć Ś ć Ń ć Ń Ó Ą Ś ć Ó ć ć ć Ń Ę Ń ź ź ć ć Ę ć ć Ń Ń Ę Ą ź Ą Ń Ń Ą Ą Ą Ń ź ć Ń ź Ę ź ć Ą ć Ń ć Ś Ś Ń ć Ń ź ć Ś ź ź Ń Ń Ń ź Ę Ę ź Ę Ś ź Ń ź ć Ń Ń Ń
Bardziej szczegółowo