Termodynamika - kilka relacji

Transkrypt

1 Termodynamika - kilka relacji ukªad termodynamiczny charakteryzuj wielko±ci ekstensywne E energia, V obj to±, S entropia, N liczba cz stek b d¹ wielko±ci intensywne ɛ g sto± energii, P ci±nienie, T temperatura, n g sto± cz stek, s g sto± entropii, µ potencjaª chemiczny I zasada termodynamiki de = TdS pdv + µdn uwaga: dla ukªadu relatywistyczne denujemy µ uwzgl dniaj c energi spoczynkow cz stki - masa wchodzi do bilansu energii procesy prowadz ce do równowagi mog tworzy i anihilowa cz stki je»eli zachodz przemiany np. A + B C to w równowadze µ A + µ B = µ C dlatego w równowadze chemicznej (wzgl dem takich procesów) wprowadzamy potencjaªy chemiczne tylko dla zachowanych liczb kwantowych: liczba barionowa, dziwno±,... np. dla p, p, π +, π, π 0 liczba pionów i barionów nie jest zachowana w procesach anihilacji - wystarczy wprowadzi potencjaª chemiczny dla liczby barionowej µ B i trzeciej skªadowej izospinu µ I (µ P = µ B + µ I /2, µ n = µ B µ I /2, µ π + = µ π = µ I, µ π 0 = 0,... ) Uwaga: gdy nie ma rów. chemicznej, ka»da cz stka ma niezale»ny potencjaª chemiczny

2 Termodynamika 2 rozkªady równowagowe (gaz nieoddziaªuj cy, np. gaz hadronowy, ale nie QGP) f i (p) = 1 e (E i µ i )/kt ± 1, E i = p 2 + m 2, µ i potencjaª chemiczny cz stek i (- bozony, + fermiony) Niezerowy potencjaª chemiczny umo»liwia wprowadzenie innej g sto±ci cz stek i antycz stek µ A = µ Ā 0 ρ A ρ Ā (ρ A ρ Ā je»eli T µ A, LHC central rapidity ) g sto± cz stek ( g i liczba wewn trznych stopni swobody) n i = g i f i (p) d 3 p (2π) 3 ci±nienie P = i g i p 2 3E i f i (p) g sto± energii ɛ = i g i E i f i (p) d 3 p (2π) 3

3 Termodynamika 3 Dla wysokiej temperatury T m, T µ, ɛ i = g i n i = g i E i f i (p) d 3 p (2π) π 2 3 g i 30 T 4 ( 7 π 2 8 g i 30 T 4 ) bozony (fermiony) f i (p) d 3 p (2π) ζ(3) 3 g i π 2 T g i π 2 T 3 ( 3 4 g i P i = g i p 2 3E i f i (p) 1 3 ɛ i dla gazu ultrarelatywistycznego (du»e temperatury wzg. masy) ɛ = 1 3 P g e π 2 30 T 4 T 4 (Stefan-Boltzmann limit) gdzie g e = g bozon g fermion to efektywna liczba stopni swobody s 4 ɛ 3 T T 3, n i T 3 ζ(3) π 2 T 3 ) bozony(fermiony)

4 Równanie stanu równanie stanu (zwi zek mi dzy wielko±ciami termodynamicznymi) np. ɛ = ɛ(p, µ) zale»y od wªasno±ci ukªadu (rodzaje stopni swobody, oddziaªywania) mo»na ªatwo wyliczy dla nieoddziaªuj cego gazu (z caªek) ɛ i = g i Ei f i (p) d3 p (2π) 3 itd. dla QCD znamy z oblicze«na sieciach dla zerowej g sto±ci barionowej µ = 0

5 Pr dko± d¹wi ku dla materii bez barionów (obszar centralnych rapidity) funkcje term. zale» tylko od temperatury ɛ(t ) P(T ) s(t ) dɛ = s, dp dt ds pr dko± d¹wi ku c 2 s = dp dɛ dla gazu ultrarelatywistycznego c 2 s 1 3 dla T = T c zmi kczenie równania stanu (softest point)

6 Tensor energii p du tensor energii-p du dla gazu w spoczynku T µν id = 2 p g i f i (p)p µ p ν E i i ɛ T µν = 0 P P P gdy gaz (ukªad w równowadze) porusza sie z pr dko±cia u µ T µν = (ɛ + P)u µ u ν Pg µν ogólniej (nie tylko dla gazu) zakªadaj c lokan równowag T µν = [ɛ(x α ) + P(x α )] u µ (x α )u ν (x α ) P(x α )g µν tensor energii-p du wyra»ony przez - lokaln g sto± energii ɛ(x α ) - lokalne ci±nienie P(x α ) - pr dko± kolektywn u(x α ) collective ow

7 Etapy zderzenia j drowego

8 - tensor energii p du - prawa zachowania energy momentum tensor tensor energii-p du T µν id = (ɛ + p)u µ u ν Pg µν relatywistyczna hydrodynamika pªynu idealnego (5 funkcji w wym), g sto± energii, ci±nienie, pr dko± pªynu (pr dko± kolektywna) ɛ(x µ), P(x µ), v(x µ) 4 równania hydrodynamiki ( µ = x µ ) µt µν = 0 równanie stanu (pªyn o zerowej g sto±ci barionowej) gaz relatywistyczny ɛ = 3p ɛ = ɛ(p)

9 Równania hydrodynamiki pªynu idealnego równania µ T µν = 0 rzutujemy na u ν dostajemy równanie zachowania entropii uµ ν T µν = 0 µ(s u µ ) = 0 entropia dla pªynu idealnego jest zachowana pozostaªe rów. rzutujemy prost. do u µ να µ Tµα = (g να u ν u α ) µ Tµα = 0 co daje lub inaczej (ɛ + P)uµ µ u ν = ν P u ν uµ µ P uµ µ u ν = ν T T uµ µ T u ν T równanie rzutowane na u ν mo»na zapisa jako uµ µ T = cs 2 µuµ T ekspansja jest szybsza je»eli cs 2 jest du»e ( 1/3), a wolna dla mi kszego równania stanu (maªe c2 s ), np. dla przej±cia I rodzaju

10 etap nierównowagowy - tworzenie g stej materii - termalizacja plazma kwarkowo gluonowa - ekspansja hydrodynamiczna przej±cie do materii hadronowej - ekspansja hydrodynamiczna równowaga chemiczna - dalsza ekspansja tylko w równowadze kinetycznej wymro»enie freeze-out - emisja pojedynczych hadronów rozpraszanie hadronów i rozpad rezonansów

11 Przepªyw Bjorkena w zderzeniu najszybsza ekspansja nast puje w kierunku z trzeba u»ywac zmiennych τ = t 2 + z 2 i η = 1 ( ) 2 log t+z (proper time, space-time rapidity) t z materia szybko si poruszj ca w kierunku z, w zmiennych η i rapidity y ma przepªyw skaluj cy (przepªyw Bjorkena) η y czyli vz τ z, vz τ sinh(η) przyjmuj c dla pocz tkowej fazy zderzenia vz = z τ, vx = vy = 0 oraz zalezno± rozkªadów tylko od τ (ɛ(τ)) wtedy równania hydrodynamiki to dla ustalonej pr dko±ci d¹wi ku c 2 s = dp d ɛ mamy d ɛ = ɛ + P d τ τ ( τ ) ɛ(τ) = ɛ 0 1+c 2 s 0 τ

12 ekspansja 2+1-wymiarowa Realistyczny model ekspansji 1 t ɛ(τ, x, y), u µ = ( 1 v 2 τ, vx, vy, 1 z 1 v 2 τ ) mamy 3 równania hydrodynamiki + rów. stanu, dla 4 wielko±ci ɛ, P, v x, v z, które s funkcjami τ, x, y ekspansja 3+1-wymiarowa 1 ɛ(τ, x, y, η), u µ = (, vx, 1 v 2 vy, 1 sinh(y )) 1 v 2 mamy 4 równania hydrodynamiki + rów. stanu, dla 5 wielko±ci ɛ, P, v x, v z, Y, które s funkcjami τ, x, y, η, (Y to rapidity pªynu) Ekspansja podªu»na i poprzeczna

13 Ekspansja 3+1-wymiarowa kolektywna ekspansja poprzeczna u µ µu x = 1 + u2 x st u µ µu y = 1 + u2 y st ux uy x P st y P +... ux uy y P st x P +... szybsza ekspansja w kierunku wi kszego gradientu g sto±ci (kierunek x in plane) co powoduje niesymetryczny rozkªad p dowy - przepªyw eliptyczny elliptic ow M. Chojnacki

14 Wymro»enie cz stki s emitowne statystycznie z elementów pªynu formuªa Cooper-Frye E d 3 N = dσ µp µ dp 3 f [p µu µ (x)] g sto± maleje - zatrzymanie ekspansji hydrodynamicznej zwykle przyjmuje sie wymoro»enie (freeze out ) gdy temperatura spadnie do pewnej warto±ci, ten warunek daje powierzchni wymro»enia cz stka nabywa pr dko± kolektywn i pr dko± ruchu termicznego nast pnie rozpad rezonansów i rozpraszanie w gazie hadronów

15 Widma w p dzie poprzecznym spªaszczone widmo - przepªyw kolektywny silniejszy efekt dla ci»szych cz stek silniejszy efekt na LHC model hydrodynamiczny opisuje mi kkie p dy p < 2GeV porzuszaj cy si pªyn daje widmo o efektywnie wy»szej temperaturze (1/nachylenie w widmach m ) 1 + β r T e T 1 β r

16 asymetryczny ksztaªt ¹ródªa dla niezerowego parametru zderzenia model Glaubera, model KLN, IP-Glasma dxdy(x 2 y 2 )ρ(x,y) dxdy(x 2 +y 2 )ρ(x,y) eccentricity - ɛ 2 = wi kszy gradient i silniejszy przepªyw in plane - v 2 > 0 - elliptic ow coecient dn dφ 1 + 2v2cos(2φ) ɛ 2 + HYDRO RESPONSE v 2 Plaszczyzna zdarzenia (pªaszczyzna reakcji) musza by wyznaczone w ka»dym zderzeniu (event plane, reaction plane)

17 Korelacje dwucz stkowe w k cie C( φ) dn dφ 1dφ 2δ(φ 1 + φ φ 2) dφ 1dφ v 2 1 cos( φ) + 2v 2 2 cos(2 φ) + 2v 2 3 cos(3 φ) +... v 2 2 mo»na wyznaczy z korelacji dwucz stkowych v 2 2 = 1 N pair ij cos(2(φ i φ j )) (cummulant method) (v 1 - przepªyw ukierunkowanydirected ow, v 3 - przepªyw trójk tny triangular ow) w symetrycznych zderzeniach - nieparzyste harmoniki pochodz z uktuacji ksztaªtu

18 Przepªyw eliptyczny pocz tkowa asymetria ksztaªtu jest przeksztaªcona w asymetri azymutaln p dów emitowanych cz stek silny argument za istnieniem przepªywu kolektywnego

19 uktuacje warunków poczatkowych ukuujacy rozkªad g sto±ci wi ksze eccentricity ukuujace eccentricity deformacja trójk tna ɛ 3 dipolowa deformacja - przepªyw ukierunkowany v 1 uktuacje < p > ukuacje kierunku pªaszczyzny zderzenia )) 3 = cos(3(φ-ψ 3 v <N part <120 AMPT 160<N part <200 Au+Au 200GeV 240<N part <280 η < <N part < p (GeV) T dn dφ 1+2v 1 cos(φ Ψ 1 )+2v 2 cos(2(φ Ψ 2 ))+2v 3 cos(3(φ Ψ 3 ))+... (b)

20 zdarzenie po zdarzeniu - dla ka»dej realizacji warunków poczatkowych - ewolucja hydrodynamiczna - wyniki u±redniamy po wielu symulacjach - podobnie jak w eksperymencie 3+1D event by event viscous hydrodynamics

21 Przepªyw trójk tny PHENIX przepªyw trójk tny dobrze opisany przez symulacje hydrodynamiki zdarzenie po zdarzeniu

22 Flukuacje wspóªczynników przepªywu < v n >, < v 2 n > a nawet caªy rozkªad vn mo»na odtworzy

23 Dobry opis rozkªadu wspóªczynników v n w hydrodynamice

24 Deformacja ksztaªtu - wpsóªczynniki przepªywu deformacja ksztaªtu»ródªa mo»na zapisac za pomoca wspólczynników eccentricity ellipticity, triangularity n dxdy r cos(nφ)ρ(x, y) ɛ n = dxdy r n ρ(x, y) ko«cowa asymetria emitowanych cz stek jest proporcjonalna do ɛ n v n κɛ n wspóªczynnik odpowiedzi hydrodynamicznej κ zale»y od wªasno±ci pªynu - lepko±!

25 Dobry opis rozkªadu wspóªczynników v n w hydrodynamice

26 sqgp czy wqgp? Przepªyw kolektywny w hydrodynamice mo»na u»y do zbadania wªasno±ci materii Haque, Andersen, Mustafa, Strickland, Su, 2013 Csernai, Kapusta, McLerran, 2006

27 Pªyn o maªej lepko±ci teoria silnie oddziaªuj ca (AdSCFT) η s = 1 4π 0.08 krótka droga swobodna, du»y przkrój czynny η = 1 3 npl mfp dla η/s = 0.08 L mfp = 3s fm 4πnp ±rednia droga swobodna dªugo± fali cz stki L mfp 0.9λ ±rednia droga swobodna odlegªo± mi zdy cz stkami L mfp 0.5n 1/3 czyli : nie mo»na uzywa opisu kwazicz stek, sqgp

28 tensor energii p du T µν = hydrodynamika z lepko±ci ɛ p + Π p + Π p + Π + πµν lepko± shear µα νβ u γ γ π αβ = 2ησµν π µν τ π 1 ηt πµν α 2 τ π ( τπ u α ηt ) lepko± bulk u γ γ Π = ζ γu γ Π τ Π 1 2 ΠζT τ Π α ( τπ u α poprawki od lepko±ci zachodz przy istnieniu gradientów pr dko±ci ζt )

29 Maªa lepko± - pªyn prawie doskonaªy Maªa lepko± : η/s = sqgp (strongly interacting QGP)

30 IP-glasma η/s 0.2 oszacowanie η/s zale»y od modelu, η/s

31 korelacje inteferometryczne Hanburry Brown-Twiss (1956) - pomiar ±rednicy gwiazd korelacja nat»enia w dwóch detektorach < I A I B >=< I A >< I B > (1+C(r AB ))

32 Korelacje Hanbury Brown-Twiss (HBT) korelacje kwantowe (anty-)symetryzacja amplitudy produkcji pary cz stek obserwujemy korelacje pary identycznych cz stek, np. π + π + C(p 1, p 2) = d 4 x1d 4 x 2S(x 1, p 1)S(x 2, p 2) e i (x 1 p 1 +x 2 p 2 ) + e i (x 2 p 1 +x 1 p 2 ) 2 d 4 x 1S(x 1, p 1) d 4 x 2S(x 1, p 2) eksperymentalnie rekonstruujemy N(p1, p2) C(k, q) = N(p 1)N(p 2) u»ywaj c w mianowniku par z mieszanych zdarze«mixed event pairs mierzymy korelacje we wzgl dnym p dzie pionów, dla ró»nych p dów pary k = p 1 +p 2 2 w ogólno±ci funkcja 6-zmiennych w funkcji falowej pary uwzgl dnia si te» oddziaªywania w stanie ko«cowym, np. oddz. kulombowskie

33 Parametryzacja Bertscha-Pratta korelacje mierzymy dla ustalonego ±redniego p du pary k = (p 1 + p 2)/2 przechodzimy do ukªadu local comoving system LCMS gdzie k z = 0 (skªadowa wzdªu» osi zderzenia), wtedy k = (k, 0) wektor wzgl dnego p du rozdzielamy na trzy skªadowe q long = q z, q out (równolegle do k ) i q side prostopadle do long i out

34 promienie HBT funkcja korelacji (bez uwzg dnienienia oddziaªywa«w stanie ko«cowym) C(q) = 1+ λe R2 out q2 out R2 side q2 side R2 long q2 long Parametry tu R daj rozmiar obszaru emisji interferometry, femtoscopy, HBT

35 zalezno± od p du pary pary o du»ym p dzie s emitowane z tego samego obaszaru ¹ródªa im wi kszy p d tym bardziej skolimowana emisja pary, musz by emitowane z elementu pªynu o tej samej pr dko±ci kolektywnej ten obszar nazywa sie homgeneity region a jego rozmiar homgeneity length dla niezerowego p du pary mierzmy rozmiar obszar emisji a nie caªe ¹ródªo promienie zmniejszaj si ze wzrostem p du pary

36 zalezno± od rozmiaru im wi ksza krotno± tym wi kszy rozmiar emisja z wi kszego obszaru o podobnej gesto±ci + pewna zale»no±c od siªy przepªywu

37 ¹ródªa arxiv: Phys.Rev.Lett.87:272302,2001 Phys. Rev. 106, (2011) Phys. Rev. 103, (2009) arxiv: Phys. Rev. C78, (2009) Phys.Rev. C81 (2010) Phys. Rev. C 88 (2013) New J. Phys. 13 (2011) arxiv: Phys.Today 56N10 (2003) 48 Phys.Rev. C79 (2009) arxiv: ATLAS-CONF