Metody Kinetyki Biomolekularnej in vitro i in vivo
|
|
- Grażyna Klimek
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Metody Kinetyki Biomolekularnej in vitro i in vivo ósma seria zadań 9 listopada 016 Zadanie 1. Wiązanie tlenu przez hemoglobinę - model tertameryczny. Stosując opis stanu wiązania tlenu przez hemoglobinę wykorzystywany w poprzednich zadaniach, rozważ wiązanie tlenu gdy a) miejsca wiążące nie oddziałują ze sobą; b) wprowadzając energię oddziaływania związanych cząsteczek tlenu (modelpaulinga); c) dodając energię oddziaływania trzech i czterech cząsteczek tlenu (model Adaira). Rozwiązanie: Rysunek 1 przedstawia modele proponowane do rozważenia w tym zadaniu. Rysunek 1: Modele wiązania tlenu przez hemoglobine, które można wykorzystać do zbadania roli kooperatywności w procesie wiązania. Wprowadźmy σ 1, σ, σ 3 i σ 4 jako parametry stanu naszego układu. Gdy miejsce i jest obsadzone przez cząsteczkę tlenu to σ i = 1, w przeciwnym przypadku σ i = 0. W każdym modelu mamy pięć rozróżnialnych stanów makroskopowych hemoglobiny, zdefiniowanych przez liczbę związanych cząsteczek tlenu. Po jednym stanie mikroskopowym, w którym wszystkie miejsca albo są puste, abo są obsadzone. Cztery stany mikroskopowe dla stanu makroskopowego polegającego na związaniu jednej cząsteczki tlenu. Cztery stany mikroskopowe dla stanu makroskopowego polegającego na związaniu trzech cząsteczek tlenu. Sześć stanów mikroskopowych dla stanu makroskopowego polegającego na związaniu dwóch cząsteczek tlenu. Określimy energie tych mikrostanów, dla różnych modeli wiązania tlenu przez hemoglobinę. Zerem na skali energii będzie hemoglobina z pustymi miejscami wiążącymi. 1
2 W modelu wiązania przez niezależne miejsca, mamy następujące wkłady do sumy stanów (numerowanie stanów liczbą związanych tlenów): e β(ɛ µ) 6e β(ɛ µ) 3 4e 3β(ɛ µ) 4 e 4β(ɛ µ) Energia danego stanu Suma stanów Z = Ponieważ wyrazy są niezależne, to Z = 4 E = ɛ σ α α= e β(ɛ µ) 4 α=1 σα σ 1 =0 σ =0 σ 3 =0 σ 4 = e β(ɛ µ)σ 1 e β(ɛ µ)σ e β(ɛ µ)σ 3 e β(ɛ µ)σ 4 σ 1 =0 σ =0 σ 3 =0 σ 4 =0 Każda z sum daje więc 1 + e β(ɛ µ) Z = ( 1 + e β(ɛ µ)) 4 Średnie obsadzenie cząsteczki hemoglobiny przez tlen policzymy z pochodnej Stąd mamy N = 1 β ln Z µ N bound = 4e β(ɛ µ) 1 + e β(ɛ µ) Możemy zapisać ten wynik w funkcji stężenia tlenu wykorzystując wzór µ = µ o + kt ln(c/c o ), co daje N bound = 4 c c o e β(ɛ µo ) 1 + c c o e β(ɛ µo ) Wynik ten to cztery razy średnie obsadzenie białka z jednym miejscem wiążącym. W modelu wiązania zaproponowanego przez Paulinga, mamy następujące wkłady do sumy stanów (numerowanie stanów liczbą związanych tlenów): 0 1
3 1 4e β(ɛ µ) 6e β(ɛ µ) βj 3 4e 3β(ɛ µ) 3βJ 4 e 4β(ɛ µ) 6βJ gdzie J jest energią oddziaływania pary związanych tlenów. Energia danego stanu 4 E = ɛ σ α + J α=1 σ α σ γ α,γ gdzie sumowanie po α i γ w drugiej sumie przebiega od 1 do 4, oznacza wyłączenie takich samych indeksów, a J jest podzielone przez, bo pojawiają się wyrazy takie jak σ 1 σ i σ σ 1. Suma stanów Z = e β(ɛ µ) 4 α=1 σα β(j/) α,γ σασγ W postaci analitycznej σ 1 =0 σ =0 σ 3 =0 σ 4 =0 Z = 1 + 4e β(ɛ µ) + 6e β(ɛ µ) βj + 4e 3β(ɛ µ) 3βJ + e 4β(ɛ µ) 6βJ Średnie obsadzenie cząsteczki hemoglobiny przez tlen policzymy z pochodnej Stąd mamy N = 1 β ln Z µ N bound = 4e β(ɛ µ) + 1e β(ɛ µ) βj + 1e 3β(ɛ µ) 3βJ + 4e 4β(ɛ µ) 6βJ 1 + 4e β(ɛ µ) + 6e β(ɛ µ) βj + 4e 3β(ɛ µ) 3βJ + e 4β(ɛ µ) 6βJ Możemy zapisać ten wynik w funkcji stężenia tlenu wykorzystując wzór µ = µ o + kt ln(c/c o ). Aby uprościc zapis wprowadzimy oznaczenia: j = e βj i x = (c/c o )e β(ɛ µo) co daje N bound = 4x + 1x j + 1x 3 j 3 + 4x 4 j x + 6x j + 4x 3 j 3 + x 4 j 6 Wynik ten sprowadza się do poprzedniego gdy J = 0 czyli j = 1. W modelu wiązania zaproponowanego przez Adaira, mamy następujące wkłady do sumy stanów (numerowanie stanów liczbą związanych tlenów): e β(ɛ µ) 6e β(ɛ µ) βj 3 4e 3β(ɛ µ) 3βJ βk 4 e 4β(ɛ µ) 6βJ 4βK βl 3
4 gdzie J jest energią oddziaływania pary związanych tlenów, K energią oddziaływania trzech tlenów, a L energią oddziaływania czterech tlenów. Energia danego stanu 4 E = ɛ σ α + J α=1 σ α σ γ + K σ α σ γ σ ζ + L σ α σ γ σ ζ σ δ α,γ 3! α,γ,ζ 4! α,γ,ζ,δ gdzie sumowanie po α i γ, ζ i δ w odpowiednich sumach przebiega od 1 do 4, oznacza wyłączenie takich samych indeksów, J jest podzielone przez, bo pojawiają się wyrazy takie jak σ 1 σ i σ σ 1 i podobne argumenty dla podzielenia K/3! i L/4!. Sumę stanów zapiszemy od razu w postaci analitycznej Z = 1 + 4e β(ɛ µ) + 6e β(ɛ µ) βj + 4e 3β(ɛ µ) 3βJ βk + e 4β(ɛ µ) 6βJ 4βK βl Średnie obsadzenie cząsteczki hemoglobiny przez tlen policzymy z pochodnej Stąd mamy N = 1 β ln Z µ N bound = 4e β(ɛ µ) + 1e β(ɛ µ) βj + 1e 3β(ɛ µ) 3βJ βk + 4e 4β(ɛ µ) 6βJ 4βK βl 1 + 4e β(ɛ µ) + 6e β(ɛ µ) βj + 4e 3β(ɛ µ) 3βJ βk + e 4β(ɛ µ) 6βJ 4βK βl Możemy zapisać ten wynik w funkcji stężenia tlenu wykorzystując wzór µ = µ o + kt ln(c/c o ). Aby uprościc zapis wprowadzimy oznaczenia: j = e βj, k = e βk, l = e βl i x = (c/c o )e β(ɛ µo ) co daje N bound = 4x + 1x j + 1x 3 j 3 k + 4x 4 j 6 k 4 l 1 + 4x + 6x j + 4x 3 j 3 k + x 4 j 6 k 4 l Wynik ten sprowadza się do poprzednich gdy wyłączamy odpowiednie oddziaływania. Na koniec popatrzmy na porównaie wyników rozważanych modeli z wynikami doświadczalnymi. Rysunek : Wiązanie tlenu przez hemoglobinę w funkcji parcjalnego ciśnienia tlenu, dla rozważanych modeli, porównane z wynikami doświadczalnymi Imai, Biophys. Chem., tom 37, str. 1, 1990 Zadanie. Ciśnienie osmotyczne w zatłoczonych roztworach. Na wykładzie poznaliśmy (lub też zostało przypomniane) pojęcie ciśnienia osmotycznego i jego związek ze stężeniem molowym (równanie van t Hoffa): Π = crt 4
5 gdzie c jest stężeniem molowym składnika roztworu nieprzechodzącego przez półprzepuszczalną błonę, R jest stałą gazową, a T temperaturą bezwzględną. Powyższe równanie zostało wyprowadzone dla niewielkich stężeń c. W zakresie wyższych stężeń związek jest nieliniowy i można go otrzymać posługując się klatkowym modelem roztworu, obliczając pracę objętościową potrzebną do zmniejszenia objętości całkowitej V o objętość jednej komórki v. Praca ta jest równa zmianie energii swobodnej Gibbsa roztworu w tym procesie, a energię Gibbsa możemy otrzymać ze związku G = kt ln Z słusznego dla energii swobodnej Helmholtza (to powinni Państwo wiedzieć z wcześniejszych lat studiów), a w przypadku energi swobodnej Gibbsa stanowiącego dość dobre przybliżenie, gdy rozważamy zmiany energii swobodnej towarzyszące różnym procesom w układach znajdujących się w stanie ciekłym. Zadaniem naszym jest więc wyznaczenie ciśnienia p ze związku pv = G(Ω 1) G(Ω) występujące w powyższym równaniu p jest szukanym ciśnieniem osmotycznym Π. Rozwiązanie: Punktem wyjścia jest równanie na funkcję rozkładu wyprowadzone przy rozwiązywaniu podobnych problemów na poprzednich ćwiczeniach. Mamy roztwór C cząsteczek makromolekuły zatłaczającej w objętości V, którą przedstawiamy jako Ω komórek o objętości v każda. Funkcja rozkładu naszego roztworu, związana z solwatowaniem cząsteczek C przez rozpuszczalnik, ma postać a więc ( ) Ω! Z sol = (Ω C)!C! exp C ɛsol C kt [ ( )] Ω! G(Ω) = kt ln Z sol = kt ln (Ω C)!C! exp C ɛsol C kt Dokonajmy teraz zmniejszenia objętości roztworu o objętość jednej komórki elementarnej, nie zmieniając liczby makrocząsteczek C, ani temperatury T : [ ( Ω! G = kt [ln Z sol (Ω 1) ln Z sol (Ω)] = kt ln (Ω C)!C! exp ( ) (Ω 1)! ] ln (Ω 1 C)!C! exp C ɛsol C = kt ln kt C ɛsol C kt ) Ω Ω C Ta zmiana energii swobodnej jest równa pracy objętościowej wykonanej na układzie pv = kt ln Ω Ω C p = kt v ln Ω Ω C więc jest to ciśnienie osmotyczne, gdyż wywodzimy je z funkcji rozkładu związanej z solwatowaniem cząsteczek C. Możemy dalej wprowadzić stężenie substancji C do wyprowadzonego równania p = kt v ln Ωv Ωv Cv = kt v ln V V Cv = kt v ln 1 1 [C]v = kt v ln(1 [C]v) 5
6 gdzie [C] = C/V jest stężeniem cząsteczek C w liczbie cząsteczek na jednostkę objętości roztworu. W ostatnim wyrażeniu v możemy traktować jako parametr modelu i określać zależności ciśnienia osmotycznego od stężenie [C] dla różnych wartości tego parametru. Dostaniemy monotonicznie rosnące zależności nieliniowe, co jest zgodne z obserwacjami doświadczalnymi, lecz ilościowy przebieg tych zależności w funkcji stężenia dla żadnej wartości v nie jest taki jak w doświadczeniu. Jak widać model klatkowy ma spore ograniczenia. Zadanie 3. Dyfuzja cząsteczek w obecności zatłaczacza. Wykorzystaj model przypadkowych skoków w jednym wymiarze, rozważany na pierwszych ćwiczeniach, wprowadzając prawdopodobieństwo niemożności wykonania przeskoku z powodu zajęcia klatki przez inną molekułę (zatłaczaczem są więc molekuły tego samego rodzaju co ta, której dyfuzję obserwujemy). Dla uproszczenia przyjmij, że prawdopodobieństwo przeskoku do pustej klatki jest w obu kierunkach równe 1/. Rozwiązanie: Przyjmijmy, że ułamek objętości układu zajęty przez nasze molekuły wynosi φ. Następnie przyjmujemy, że żadne dwie cząsteczki nie mogą zajmować tej samej pozycji, co dla nas oznacza, że nie mogą być w tej samej jednowymiarowej klatce o długości a. Błądzenie przypadkowe wygląda więc następująco. W przedziale czasu τ cząsteczka wykonuje skok w prawo lub lewo, z takim samym prawdopodobieństwem. Skok się udaje tylko gdy odbywa sieę do miejsca, które nie jest już zajęte. Zatem prawdopodobieństwo zakończonego powodzeniem przeskoku w prawo lub lewo wynosi p r = p l = 1 (1 φ) gdzie 1/ to prawdopodobieństwo podjęcia skoku w prawo lub w lewo, a 1 φ to prawdopodobieństwo, że komórka będzie wolna. Z kolei prawdopodobieństwo, że cząsteczka pozostanie tam gdzie była wynosi p s = φ To prawdopodobieństwo jest równe 1 p jump = 1 1 (1 φ) 1 (1 φ) = φ. Aby obliczyć współczynnik dyfuzji odpowiadający takiemu błądzeniu przypadkowemu, oszacujemy średnie kwadratowe przemieszczenie x jako funkcję czasu. Dla t = τ trajektoria składa się z pojedynczego kroku x (τ) = a p r + a p l + 0p s = a (1 φ) Średnie kwadratowe przemieszczenie jest liniową funkcją czasu, więc w czasie t, czyli dla t/τ kroków dyfuzji wyniesie ono x (t) = t τ x (τ) = a τ a (1 φ)t = (1 φ)t τ W przypadku dyfuzji swobodnej (bez uwzględniania zatłaczania przestrzeni przez inne cząsteczki) mieliśmy czyli wprowadzenie zatłoczenia daje D o = a τ D x (t) t = D o (1 φ) 6
7 dyfuzja jest więc wolniejsza. Zadanie 4. Dyfuzja cząsteczek w obecności zatłaczacza. Wykorzystaj model przypadkowych skoków w jednym wymiarze, rozważany na pierwszych ćwiczeniach, wprowadzając prawdopodobieństwo niemożności wykonania przeskoku z powodu zajęcia klatki przez inną molekułę (zatłaczaczem są więc molekuły tego samego rodzaju co ta, której dyfuzję obserwujemy). Tym razem przyjmij, że prawdopodobieństwo przeskoku do pustej klatki jest w obu kierunkach równe k t, a więc, że istnieje niezerowe prawdopodobieństwo pozostania cząsteczki w tym samym miejscu przez czas t, tak jak to było w oryginalnym rozwiązaniu zadania pierwszej serii. Rozwiązanie: Przyjmijmy, że ułamek objętości układu zajęty przez nasze molekuły wynosi φ. Następnie przyjmujemy, że żadne dwie cząsteczki nie mogą zajmować tej samej pozycji, co dla nas oznacza, że nie mogą być w tej samej jednowymiarowej klatce o długości a. Błądzenie przypadkowe wygląda więc następująco. W przedziale czasu τ cząsteczka wykonuje skok w prawo lub lewo, z takim samym prawdopodobieństwem wynoszącym k t. Z prawdopodobieństwem 1 k t cząstka nie wykona przeskoku. Skok się udaje tylko gdy odbywa sieę do miejsca, które nie jest już zajęte. Zatem prawdopodobieństwo zakończonego powodzeniem przeskoku w prawo lub lewo wynosi p r = p l = k t(1 φ) gdzie 1 φ to prawdopodobieństwo, że komórka, do której następuje przeskok, będzie wolna. Z kolei prawdopodobieństwo, że cząsteczka pozostanie tam gdzie była wynosi p s = 1 k t(1 φ). Aby obliczyć współczynnik dyfuzji odpowiadający takiemu błądzeniu przypadkowemu, oszacujemy średnie kwadratowe przemieszczenie x w przedziale czasu t, jak to robiliśmy na pierwszych ćwiczeniach: x ( t) = a p r + a p l + 0p s = a k t(1 φ) Średnie kwadratowe przemieszczenie jest liniową funkcją czasu, więc w czasie t, czyli dla t/ t kroków dyfuzji wyniesie ono x (t) = t t x ( t) = t t a k t(1 φ) = a k(1 φ)t W przypadku dyfuzji swobodnej (bez uwzględniania zatłaczania przestrzeni przez inne cząsteczki) mieliśmy D o = a k czyli wprowadzenie zatłoczenia daje a więc x (t) = D o (1 φ)t D = D o (1 φ) wynik nasz jest więc taki sam jak przy przyjęciu poprzedniego modelu. 7
8 Problem 5 Niech D o będzie współczynnikiem dyfuzji cząsteczek L w rozcieńczonym roztworze. Wyprowadź zależność współczynnika D cząsteczek L w obecności cząsteczek zatłaczających C o rozmiarach liniowych r razy mniejszych cząsteczki L, od ułamka objętości roztworu zajętej przez C, posługując się przypadkiem dyfuzji jednowymiarowej. Jak się zmieni ta zależność, gdy rozmiary liniowe cząsteczek C będą r razy większe niż cząsteczki L? Przedyskutuj konsekwencje wyprowadzonych zależności. Rozwiązanie: Zaznaczenie, że roztwór jest rozcieńczony ze względu na stężenie cząsteczek L oznacza, że pomijamy efekty objętości wyłączonej związane z tymi cząsteczkami. Wprowadzamy dwie siatki jedną o oczku a i drugą o oczku b = a/r. Cząsteczki L w czasie τ mogą przeskakiwać na siatce a. Możemy, jak w problemie na ćwiczeniach, przyjąć, że prawdopodobieństwo próby przeskoku w prawo i w lewo są równe i wynoszą po 1/, a prawdopodobieństwo próby pozostania w miejscu wynosi 0. Aby próba dokonania przeskoku w prawo lub w lewo przez cząsteczkę L zakończyła się powodzeniem, żadna z r kolejnych sąsiadujących z nią małych klatek, z prawej lub lewej strony, nie może być zajęta przez cząsteczkę C. Gdy ułamek objętości roztworu zajęty przez cząsteczki C wynosi φ, to prawdopowobieństwo, że jedna konkretna mała klatka jest pusta wynosi 1 φ, a prawdopodobieństwo, że r kolejnych małych klatek jest pustych wynosi (1 φ) r. Zatem prawdopodobieństwa przeskoku w prawo, przeskoku w lewo i pozostania w miejscu wynoszą odpowiednio: 1 (1 φ)r ; 1 (1 φ)r ; i 1 (1 φ) r Suma tych prawdopodobieństw, tak jak trzeba, daje 1. Błądzenie przypadkowe wygląda więc następująco. W przedziale czasu τ cząsteczka wykonuje skok w prawo lub lewo, z takim samym prawdopodobieństwem. Skok się udaje tylko gdy odbywa sie do miejsca, którego kolejnych r małych klatek nie jest zajęte przez jakąkolwiek cząsteczkę C. Aby obliczyć współczynnik dyfuzji odpowiadający takiemu błądzeniu przypadkowemu, oszacujemy średnie kwadratowe przemieszczenie x jako funkcję czasu. Dla t = τ trajektoria składa się z pojedynczego kroku a dla czasu t, czyli N = t/τ kroków mamy: x (τ) = a p r + a p l + 0p s = a (1 φ) r x (t) = t τ x (τ) = a τ (1 φ)r t W przypadku dyfuzji swobodnej (bez uwzględniania zatłaczania przestrzeni przez inne cząsteczki) mieliśmy czyli możemy zapisać D o = a τ x (t) = a τ (1 φ)r t D o (1 φ) r t wprowadzenie zatłoczenia daje więc D = D o (1 φ) r dyfuzja jest więc wolniejsza i efekt zależy od r, im r jest większe tym wpływ cząsteczek zatłaczających, przy tym samym stopniu wypełnienia roztworu, jest większy. 8
9 Gdy to cząsteczki L są r razy mniejsze niż cząsteczki C to w wyrażeniu na prawdopodobieństwo skutecznego przeskoku mamy zamiast (1 φ) r po prostu 1 φ. W kolejnych wzorach w miejsce (1 φ) r wstawiamy 1 φ i stąd mamy odpowiedź. 9
Zadania treningowe na kolokwium
Zadania treningowe na kolokwium 3.12.2010 1. Stan układu binarnego zawierającego n 1 moli substancji typu 1 i n 2 moli substancji typu 2 parametryzujemy za pomocą stężenia substancji 1: x n 1. Stabilność
Bardziej szczegółowo1 Rachunek prawdopodobieństwa
1 Rachunek prawdopodobieństwa 1. Obliczyć średnią i wariancję rozkładu Bernouliego 2. Wykonać przejście graniczne p 0, N w rozkładzie Bernouliego przy zachowaniu stałej wartości średniej: λ = N p = const
Bardziej szczegółowoWykład 2. Anna Ptaszek. 7 października Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Chemia fizyczna - wykład 2. Anna Ptaszek 1 / 1
Wykład 2 Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego 7 października 2015 1 / 1 Zjawiska koligatywne Rozpuszczenie w wodzie substancji nielotnej powoduje obniżenie prężności pary nasyconej P woda
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoWykład 3. Entropia i potencjały termodynamiczne
Wykład 3 Entropia i potencjały termodynamiczne dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej
Bardziej szczegółowoRoztwory rzeczywiste (1)
Roztwory rzeczywiste (1) Również w temp. 298,15K, ale dla CCl 4 () i CH 3 OH (). 2 15 1 5-5 -1-15 Τ S H,2,4,6,8 1 G -2 Chem. Fiz. TCH II/12 1 rzyczyny dodatnich i ujemnych odchyleń od prawa Raoulta konsekwencja
Bardziej szczegółowoPodstawowe prawa opisujące właściwości gazów zostały wyprowadzone dla gazu modelowego, nazywanego gazem doskonałym (idealnym).
Spis treści 1 Stan gazowy 2 Gaz doskonały 21 Definicja mikroskopowa 22 Definicja makroskopowa (termodynamiczna) 3 Prawa gazowe 31 Prawo Boyle a-mariotte a 32 Prawo Gay-Lussaca 33 Prawo Charlesa 34 Prawo
Bardziej szczegółowoWykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova)
Wykład 2 Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) 1. Procesy Markova: definicja 2. Równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego 3. Przykład dyfuzji w kapilarze
Bardziej szczegółowoS ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany
FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym
Bardziej szczegółowoProgram MC. Obliczyć radialną funkcję korelacji. Zrobić jej wykres. Odczytać z wykresu wartość radialnej funkcji korelacji w punkcie r=
Program MC Napisać program symulujący twarde kule w zespole kanonicznym. Dla N > 100 twardych kul. Gęstość liczbowa 0.1 < N/V < 0.4. Zrobić obliczenia dla 2,3 różnych wartości gęstości. Obliczyć radialną
Bardziej szczegółowo1. Stechiometria 1.1. Obliczenia składu substancji na podstawie wzoru
1. Stechiometria 1.1. Obliczenia składu substancji na podstawie wzoru Wzór związku chemicznego podaje jakościowy jego skład z jakich pierwiastków jest zbudowany oraz liczbę atomów poszczególnych pierwiastków
Bardziej szczegółowoPraca domowa - seria 6
Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x
Bardziej szczegółowoRzadkie gazy bozonów
Rzadkie gazy bozonów Tomasz Sowiński Proseminarium Fizyki Teoretycznej 15 listopada 2004 Rzadkie gazy bozonów p.1/25 Bardzo medialne zdjęcie Rok 1995. Pierwsza kondensacja. Zaobserwowana w przestrzeni
Bardziej szczegółowoZespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] }
Zespół kanoniczny Zespół kanoniczny N,V, T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } Zespół izobaryczno-izotermiczny Zespół izobaryczno-izotermiczny N P T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } acc o n =min {1, exp[
Bardziej szczegółowoRoztwory rzeczywiste (1)
Roztwory rzeczywiste (1) Również w temp. 298,15K, ale dla CCl 4 () i CH 3 OH (). 2 15 1 5-5 -1-15 Τ S H,2,4,6,8 1 G -2 Chem. Fiz. TCH II/12 1 Roztwory rzeczywiste (2) Tym razem dla (CH 3 ) 2 CO () i CHCl
Bardziej szczegółowoStochastyczne równania różniczkowe, model Blacka-Scholesa
Stochastyczne równania różniczkowe, model Blacka-Scholesa Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Błądzenie losowe................................ 1 1. Proces Wienera................................. 1.3
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoFIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w
FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym
Bardziej szczegółowoRozwiązania, seria 5.
Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoSymulacja Monte Carlo izotermy adsorpcji w układzie. ciało stałe-gaz
Ćwiczenie nr 2 Symulacja Monte Carlo izotermy adsorpcji w układzie ciało stałe-gaz I. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest określenie wpływu parametrów takich jak temperatura, energia oddziaływania cząsteczka-powierzchnia
Bardziej szczegółowoElementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych. Katarzyna Sznajd-Weron
Elementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych Katarzyna Sznajd-Weron Wielkości makroskopowe - termodynamika Termodynamika - metoda fenomenologiczna Fenomenologia w fizyce: widzimy jak
Bardziej szczegółowoWykład 1. Anna Ptaszek. 5 października Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Chemia fizyczna - wykład 1. Anna Ptaszek 1 / 36
Wykład 1 Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego 5 października 2015 1 / 36 Podstawowe pojęcia Układ termodynamiczny To zbiór niezależnych elementów, które oddziałują ze sobą tworząc integralną
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowo6. Dyfuzja w ujęciu atomowym
6. Dyfuzja w ujęciu atomowym Do tej pory rozpatrywaliśmy dyfuzję w kategoriach makroskopowych - wszystkie nasze równania odnosiły się do sytuacji, w których opisywany układ traktowany był jako ciągłe medium.
Bardziej szczegółowoSumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych
Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Andrzej Nowicki 24 maja 2015, wersja kk-17 Niech m < n będą danymi liczbami naturalnymi. Interesować nas będzie równanie ( ) y 2 + (y + 1) 2 + + (y + m 1) 2 =
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Fenomenologia przejść fazowych. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Fenomenologia przejść fazowych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Przejście fazowe transformacja układu termodynamicznego z jednej fazy (stanu materii) do innej, dokonywane
Bardziej szczegółowo2.2. Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky'ego
2.2. Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky'ego Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną G = gdzie: N zbiór symboli nieterminalnych, T zbiór symboli terminalnych, P zbiór
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoWykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe
Wykład 12 Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy
Bardziej szczegółowo1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25.
1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25. A Najłatwiejszym sposobem jest rozpatrzenie wszystkich odpowiedzi
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowoWykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne
Wykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne W3. Zjawiska transportu Zjawiska transportu zachodzą gdy układ dąży do stanu równowagi. W zjawiskach
Bardziej szczegółowo16 Jednowymiarowy model Isinga
16 Jednowymiarowy model Isinga Jest to liniowy łańcuch N spinów mogących przyjmować wartości ± 1. Mikrostanem układu jest zbiór zmiennych σ i = ±1, gdzie i = 1,,..., N (16.1) Określają one czy i-ty spin
Bardziej szczegółowoOtrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m.
Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f ( x) = x + mx + m 1 jest zbiór liczb rzeczywistych? We wzorze funkcji f(x) pojawia się funkcja kwadratowa, jednak znajduje się ona pod pierwiastkiem.
Bardziej szczegółowoRoztwory. Homogeniczne jednorodne (jedno-fazowe) mieszaniny dwóch lub więcej składników.
Roztwory Homogeniczne jednorodne (jedno-fazowe) mieszaniny dwóch lub więcej składników. Własności fizyczne roztworów są związane z równowagę pomiędzy siłami wiążącymi cząsteczki wody i substancji rozpuszczonej.
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania
Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:
Bardziej szczegółowoRozkład normalny, niepewność standardowa typu A
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Instrukcja do ćwiczenia nr 1 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, listopad 2010 r. Podstawy
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowo3. Równania konstytutywne
3. Równania konstytutywne 3.1. Strumienie w zjawiskach transportowych Podczas poprzednich zajęć wprowadziliśmy pojęcie strumienia masy J. W większości zjawisk transportowych występuje analogiczna wielkość
Bardziej szczegółowo1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)
1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec
Bardziej szczegółowoWSKAZÓWKI DO WYKONANIA SPRAWOZDANIA Z WYRÓWNAWCZYCH ZAJĘĆ LABORATORYJNYCH
WSKAZÓWKI DO WYKONANIA SPRAWOZDANIA Z WYRÓWNAWCZYCH ZAJĘĆ LABORATORYJNYCH Dobrze przygotowane sprawozdanie powinno zawierać następujące elementy: 1. Krótki wstęp - maksymalnie pół strony. W krótki i zwięzły
Bardziej szczegółowo166 Wstęp do statystyki matematycznej
166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej
Bardziej szczegółowoN ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:
Zadanie. O niezależnych zmiennych losowych N, M M, M 2, 3 wiemy, że: N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 00 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach: 2, 3 Pr( M = )
Bardziej szczegółowoprof. dr hab. Małgorzata Jóźwiak
Czy równowaga w przyrodzie i w chemii jest korzystna? prof. dr hab. Małgorzata Jóźwiak 1 Pojęcie równowagi łańcuch pokarmowy równowagi fazowe równowaga ciało stałe - ciecz równowaga ciecz - gaz równowaga
Bardziej szczegółowoPrzedmiot: Chemia budowlana Zakład Materiałoznawstwa i Technologii Betonu
Przedmiot: Chemia budowlana Zakład Materiałoznawstwa i Technologii Betonu Ćw. 4 Kinetyka reakcji chemicznych Zagadnienia do przygotowania: Szybkość reakcji chemicznej, zależność szybkości reakcji chemicznej
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa
Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa 25 marca 209 Zadanie. W urnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy n kul bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza kula
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Projekt dofinansowała Fundacja mbanku UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH CZĘŚĆ I Układ równań to przynajmniej dwa równania spięte z lewej strony klamrą, np.: x + 0 Każde z równań musi zawierać przynajmniej jedną
Bardziej szczegółowoTRANSPORT NIEELEKTROLITÓW PRZEZ BŁONY WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA PRZEPUSZCZALNOŚCI
Ćwiczenie nr 7 TRANSPORT NIEELEKTROLITÓW PRZEZ BŁONY WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA PRZEPUSZCZALNOŚCI Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z podstawami teorii procesów transportu nieelektrolitów przez błony.
Bardziej szczegółowoRozkłady statyczne Maxwella Boltzmana. Konrad Jachyra I IM gr V lab
Rozkłady statyczne Maxwella Boltzmana Konrad Jachyra I IM gr V lab MODEL STATYCZNY Model statystyczny hipoteza lub układ hipotez, sformułowanych w sposób matematyczny (odpowiednio w postaci równania lub
Bardziej szczegółowoWykład 8 i 9. Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna
Wykład 8 i 9 Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW)
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Wykład 4
Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI
WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej
Bardziej szczegółoworelacje ilościowe ( masowe,objętościowe i molowe ) dotyczące połączeń 1. pierwiastków w związkach chemicznych 2. związków chemicznych w reakcjach
1 STECHIOMETRIA INTERPRETACJA ILOŚCIOWA ZJAWISK CHEMICZNYCH relacje ilościowe ( masowe,objętościowe i molowe ) dotyczące połączeń 1. pierwiastków w związkach chemicznych 2. związków chemicznych w reakcjach
Bardziej szczegółowoCo to jest model Isinga?
Co to jest model Isinga? Fakty eksperymentalne W pewnych metalach (np. Fe, Ni) następuje spontaniczne ustawianie się spinów wzdłuż pewnego kierunku, powodując powstanie makroskopowego pola magnetycznego.
Bardziej szczegółowoMetoda największej wiarogodności
Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Metoda Największej Wiarogodności (MNW) jest bardziej uniwersalną niż MNK metodą szacowania wartości nieznanych parametrów Wprowadzenie Założenia Logarytm
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoogromna liczba małych cząsteczek, doskonale elastycznych, poruszających się we wszystkich kierunkach, tory prostoliniowe, kierunek ruchu zmienia się
CHEMIA NIEORGANICZNA Dr hab. Andrzej Kotarba Zakład Chemii Nieorganicznej Wydział Chemii I pietro p. 138 WYKŁAD - STAN GAZOWY i CHEMIA GAZÓW kinetyczna teoria gazów ogromna liczba małych cząsteczek, doskonale
Bardziej szczegółowo7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i rozkład normalny cd.
# # Prawdopodobieństwo i rozkład normalny cd. Michał Daszykowski, Ivana Stanimirova Instytut Chemii Uniwersytet Śląski w Katowicach Ul. Szkolna 9 40-006 Katowice E-mail: www: mdaszyk@us.edu.pl istanimi@us.edu.pl
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE ROZMIARÓW
POLITECHNIKA ŁÓDZKA INSTRUKCJA Z LABORATORIUM W ZAKŁADZIE BIOFIZYKI Ćwiczenie 6 WYZNACZANIE ROZMIARÓW MAKROCZĄSTECZEK I. WSTĘP TEORETYCZNY Procesy zachodzące między atomami lub cząsteczkami w skali molekularnej
Bardziej szczegółowoIteracyjne rozwiązywanie równań
Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowo1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)
1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoSuperdyfuzja. Maria Knorps. Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki stosowanej, Politechnika Gdańska
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 1/2 Superdyfuzja Maria Knorps maria.knorps@gmail.com Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki stosowanej, Politechnika Gdańska VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p.
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium JAVA Zadanie nr 2 Rozpoznawanie liter autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Cel zadania Celem zadania jest zapoznanie się z problemem klasyfikacji
Bardziej szczegółowoWskaż grupy reakcji, do których można zaliczyć proces opisany w informacji wstępnej. A. I i III B. I i IV C. II i III D. II i IV
Informacja do zadań 1. i 2. Proces spalania pewnego węglowodoru przebiega według równania: C 4 H 8(g) + 6O 2(g) 4CO 2(g) + 4H 2 O (g) + energia cieplna Zadanie 1. (1 pkt) Procesy chemiczne można zakwalifikować
Bardziej szczegółowoO procesie Wienera. O procesie Wienera. Procesy stochastyczne Wykład XV, 15 czerwca 2015 r. Proces Wienera. Ruch Browna. Ułamkowe ruchy Browna
Procesy stochastyczne Wykład XV, 15 czerwca 2015 r. Ruch 1 {X t } jest martyngałem dokładnie wtedy, gdy E(X t F s ) = X s, s, t T, s t. Jeżeli EX 2 (t) < +, to E(X t F s ) jest rzutem ortogonalnym zmiennej
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Bardziej szczegółowoPODSTAWY CHEMII INŻYNIERIA BIOMEDYCZNA. Wykład 2
PODSTAWY CEMII INŻYNIERIA BIOMEDYCZNA Wykład Plan wykładu II,III Woda jako rozpuszczalnik Zjawisko dysocjacji Równowaga w roztworach elektrolitów i co z tego wynika Bufory ydroliza soli Roztwory (wodne)-
Bardziej szczegółowoTermodynamika Część 6 Związki i tożsamości termodynamiczne Potencjały termodynamiczne Warunki równowagi termodynamicznej Potencjał chemiczny
Termodynamika Część 6 Związki i tożsamości termodynamiczne Potencjały termodynamiczne Warunki równowagi termodynamicznej Potencjał chemiczny Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Związek pomiędzy równaniem
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoFIZYKA STATYSTYCZNA. Liczne eksperymenty dowodzą, że ciała składają się z wielkiej liczby podstawowych
FIZYKA STATYSTYCZA Liczne eksperymenty dowodzą, że ciała składają się z wielkiej liczby podstawowych elementów takich jak atomy czy cząsteczki. Badanie ruchów pojedynczych cząstek byłoby bardzo trudnym
Bardziej szczegółowo4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,
Bardziej szczegółowoMatematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Bardziej szczegółowoStosowana Analiza Regresji
Model jako : Stosowana Analiza Regresji Wykład XI 21 Grudnia 2011 1 / 11 Analiza kowariancji Model jako : Oprócz czynnika o wartościach nominalnych chcemy uwzględnić wpływ predyktora o wartościach ilościowych
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowodn dt C= d ( pv ) = d dt dt (nrt )= kt Przepływ gazu Pompowanie przez przewód o przewodności G zbiornik przewód pompa C A , p 1 , S , p 2 , S E C B
Pompowanie przez przewód o przewodności G zbiornik przewód pompa C A, p 2, S E C B, p 1, S C [W] wydajność pompowania C= d ( pv ) = d dt dt (nrt )= kt dn dt dn / dt - ilość cząstek przepływających w ciągu
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
Bardziej szczegółowoEgzamin, 28 stycznia. Poprawa następne strony. Drugi termin. Wyniki 1. termin
Egzamin, 28 stycznia Drugi termin Spotykamy się w piątek, 18 lutego o godz. 16.00 w moim pokoju (215). Ponieważ będę wracał z wyjazd służbowego mogę się spóźnić. Mam numer komórki p. Dominika Grządziela,
Bardziej szczegółowo( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:
ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. 2 Łańcuchem Markowa nazywamy proces będący ciągiem zmiennych
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. Wykład V. Regresja liniowa wieloraka
Statystyka opisowa. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Prosta regresji cechy Y względem cech X 1,..., X k. 2 3 Wyznaczamy zależność cechy Y od cech X 1, X 2,..., X k postaci Y = α 0 +
Bardziej szczegółowo; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowoCzym jest całka? Całkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne jest to zagadnienie z metod elementów skończonych (MES). Korzystając z całkowania numerycznego możemy obliczyć wartość dowolnej całki jednowymiarowej oznaczonej. Wynik jest zawsze
Bardziej szczegółowoMetoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra
Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego
Bardziej szczegółowo