STRATEGIA PRZYBLIŻONA. Inna propozycja: szukanie optymalnej strategii metodą iteracyjną.

Transkrypt

1 STRATEGIA PRZYBLIŻONA Ogólna strategia rozwiązywania gier NxN może być trudna obliczeniowo. Np. sprawdzenie otrzymanej mieszanej strategii wyrównującej : czy wszystkie strategie przeciwnika dają te same wypłaty? Jeśli tak, OK. Jeśli nie, sprawdzamy wszystkie możliwe podgry. Ale: dla N=0 jest np. [0!/4!/6!] 2 = 4400 podgier typu 4x4. Sporo! Inna propozycja: szukanie optymalnej strategii metodą iteracyjną.. Rozwiązanie nie jest optymalne, ale jest bliskie optymalnemu. 2. Można stosować ten sposób do dowolnej gry w postaci macierzowej.

2 Przykład: gra 4x4 o sumie zerowej (wypłaty Wiersza). Zacznijmy od dowolnego wiersza, np. A. A B C D A B C D

3 Zaznaczamy wiersz A jedynką i przepisujemy go pod tabelką. A B C D A B C D

4 Znajdujemy w przepisanym wierszu najmniejszą liczbę: tu jest nią w kolumnie C. Zaznaczamy kolumnę C jedynką i przepisujemy ją obok tabelki. A B C D A B C D

5 Znajdujemy w przepisanej kolumnie największą liczbę: tu jest nią 5 w wierszu B. Zaznaczamy wiersz B jedynką i dodajemy ją do wiersza przepisanego przedtem. A B C D A B C D =3* 3+2 =5 +5 =6 4+4 =

6 Znajdujemy w otrzymanym wierszu najmniejszą liczbę: tu jest nią 3 w kolumnie A. Zaznaczamy kolumnę A jedynką i dodajemy ją do kolumny przepisanej przedtem. A B C D A B C D

7 Największą liczbą w przepisanej kolumnie może być 6 w wierszu B. Zwiększamy indeks wiersza B o jeden i dodajemy go do wiersza przepisanego przedtem. 2 A B C D A B C D

8 I tak dalej. Indeksy wierszy i kolumn dają częstości gry poszczególnych strategii. 2 2 A B C D A B C D

9 Uśredniając z tymi częstościami liczby w ostatnio otrzymanym wierszu i kolumnie otrzymujemy średni wynik gry. Np. do tego momentu strategia Wiersza to (A+2B)/3, a strategia Kolumny to (2A+C)/3. Wynik Wiersza można obliczyć, średniując wartości z tabelki po strategiach mieszanych: W(Wiersza) = (2*2+*+4*+2*5)/9 = 9/9. W miarę, jak rośnie ilość iteracji, wynik zdąża do prawdziwej wartości. Tu strategią Wiersza jest (8A+3B+7C+9D)/27, a wynikiem 23/9. Strategia Kolumny to (5A+7B+3C+3D)/8, a wynik: -23/9.

10 GRA O NIEPEŁNEJ INFORMACJI Przykład: gra kefir i piwo. Założenia:. Mężczyźni dzielą się na Twardzieli (T) i Mięczaków (M). 2. T wolą piwo () i umieją robić awantury. 3. M wolą kefir () i nie umieją robić awantur. 4. W kiosku pracuje wiedźma (W), która lubi wrzeszczeć na M i grzecznie traktować T (3). 5. Każdy lubi jak na niego nie wrzeszczeć (3). M T P K P K A 0,3,3 A,0 0,0 PA 0,3 4,0 PA,0 3,3 KA 3,0,3 KA 4,3 0,0 G 3,0 4,0 G 4,3 3,3 A agresywna G grzeczna AK agresywna gdy kefir AP agresywna gdy piwo

11 Problem W: Jak grać? Nie wie, czy gra z T, czy z M. Rozwiązanie Johna Harsanyi (Nobel 994): Wiedźma ma grać tak, jakby gość miał strategię mieszaną qt+(-q)m. Gość wie kim jest, ona może tylko szacować p-stwo i obliczać wypłaty.

12 A AP AK G P q+0,3(-q) q+0,3(-q) q+3,3q q+3,3q K -q+0,3(-q) -q+3,3q -q+0,3(-q) -q+3,3q TP +0,3(-q) +3(-q),0 +3q,3 +3,3q MP 0+0,3(-q) 0+3q,3 0+3(-q),0 0+3,3q Kolumna A: W wrzeszczy, X nie dostaje 3. W dostaje 3 gdy X=M (p-stwo -q). Piwo smakuje gdy X=T (p-stwo q). Kefir smakuje, gdy X=M (p-stwo -q). Smakuje. Nie smakuje.

13 A AP AK G P q+0,3(-q) q+0,3(-q) q+3,3q q+3,3q K -q+0,3(-q) -q+3,3q -q+0,3(-q) -q+3,3q TP +0,3(-q) +3(-q),0 +3q,3 +3,3q MP 0+0,3(-q) 0+3q,3 0+3(-q),0 0+3,3q Piwo smakuje, gdy X=T. W wrzeszczy; zadowolona, gdy X=M. Kefir smakuje, gdy X=M. W grzeczna; zadowolona, gdy X=T. Smakuje. W grzeczna, gdy K. Nie trafiła. Nie smakuje. W grzeczna, gdy X wziął K i okazał się T. Trafiła!

14 A AP AK G P q+0,3(-q) q+0,3(-q) q+3,3q q+3,3q K -q+0,3(-q) -q+3,3q -q+0,3(-q) -q+3,3q TP +0,3(-q) +3(-q),0 +3q,3 +3,3q MP 0+0,3(-q) 0+3q,3 0+3(-q),0 0+3,3q Piwo smakuje, gdy X=T. W nie wrzeszczy; zadowolona, gdy X=T. Kefir smakuje, gdy X=M. W wrzeszczy; zadowolona, gdy X=M. Smakuje. Jeśli X=T, to wziął P. W trafia; zadowolona. Nie smakuje. Jeśli X=M, to wziął P. W nie trafia.

15 A AP AK G P q+0,3(-q) q+0,3(-q) q+3,3q q+3,3q K -q+0,3(-q) -q+3,3q -q+0,3(-q) -q+3,3q TP +0,3(-q) +3(-q),0 +3q,3 +3,3q MP 0+0,3(-q) 0+3q,3 0+3(-q),0 0+3,3q Kolumna G: W nie wrzeszczy; X dostaje 3. W dostaje 3 gdy X=T. Reszta jak w kolumnie A.

16 Równowaga w grze zależy od tego, czy według W q>/2, czy nie. Jeśli W uważa większość gości za mięczaków, będzie wrzeszczała na wszystkich gości zamawiających K i będzie miła dla co trzeciego piwosza. Wszyscy twardziele będą pili P. P-stwo r, że M weźmie P, będzie takie aby smak K zrównoważyła mu szansa, że zostanie o..ny, czyli r=q/(-q). Jest to więc strategia mieszana. Jeśli W uważa większość gości za twardzieli, zawsze jest grzeczna. Mamy wtedy dwie równowagi. Jedna spodziewana: (P,AK). Druga paradoksalna: (K,AP).

17 Żeby wglądnąć w ten paradoks, rozpatrzmy np. q=2/3. A AP AK G P 2/3, 2/3, /3, 2 /3, 2 K /3, 0/3, 2 /3, 0/3, 2 TP, 3, 0 3, 3 4, 2 TP dominuje nad MP G dominuje nad A MP 0, 2, 3, 0 3, 2

18 Żeby wglądnąć w ten paradoks, rozpatrzmy np. q=2/3. A AP AK G P 2/3, 2/3, /3, 2 /3, 2 K /3, 0/3, 2 /3, 0/3, 2 TP, 3, 0 3, 3 4, 2 TP dominuje nad MP G dominuje nad A MP 0, 2, 3, 0 3, 2 Morał: nie dajcie na siebie wrzeszczeć.