Sztuczna inteligencja Lista zada«
|
|
- Janina Witkowska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Sztuczna inteligencja Lista zada«informatyka, WPPT PWr Wrocªaw 2016 / Powtórka z rachunku prawdopodobie«stwa Zad. 1 Zdeniuj przestrze«probabilistyczn. Zad. 2 Przypomnij denicj zdarze«rozª cznych. Przypomnij denicj zdarze«niezale»nych. Kiedy zdarzenia rozª czne s niezale»ne? Zad. 3 Przypomnij poj cie prawdopodobie«stwa warunkowego. Zad. 4 Niech A 1, A 2,... tworz rozbicie przestrzeni (Ω, F, P). Udowodnij,»e dla dowolnego zdarzenia B P[B] = P[B A 1 ]P[A 1 ] + P[B A 2 ]P[A 2 ] Zad. 5 Przypomnij wzór Bayesa. Zad. 6 Pies Huckleberry kupiª ±rodek owadobójczy,»eby zgªadzi termita. rodek z prawdopodobie«stwem 0, 8 zabija termita, je±li ten jest tzw. typu drewnianego. Huckleberry szacuje,»e jego maªy wróg to z prawdopodobie«stwem 1/4 termit typu drewnianego, za± z prawdopodobie«stwem 3/4 to termit innego typu. Policzyª,»e szansa zgªadzenia termita wynosi 0, 45. Z jakim prawdopodobie«stwem ±rodek zgªadzi termita, je±li termit potra budowa tunele poza drewnem (nie jest typu drewnianego)? Zad. 7 Przed chwil pies Huckleberry kupiª ±rodek owadobójczy,»eby zgªadzi termita. rodek z prawdopodobie«stwem 4/5 zabija termita, je±li ten jest tzw. typu drewnianego, za± z prawdopodobie«- stwem 1/3 zabija termita, je±li ten jest innego typu. Huckleberry szacowaª wtedy,»e jego maªy wróg to z prawdopodobie«stwem 1/4 termit typu drewnianego, za± z prawdopodobie«stwem 3/4 to termit innego typu. Po zastosowaniu ±rodka termit prze»yª. Pies Huckleberry zastanawia si, jaka jest szansa,»e ma do czynienia z termitem drewnianym, skoro jego maªy wróg prze»yª. Pomó» zrobi obliczenia Huckleberry'emu. Zad. 8 Zaªó»my,»e test na wykrywanie narkotyków z prawdopodobie«stwem 0.99 prawidªowo potwierdza obecno± narkotyku oraz z prawdopodobie«stwem 0.99 prawidªowo stwierdza jego brak. Zaªó»my równie»,»e tylko 0.5% populacji za»ywa narkotyki. Zaªó»my,»e pewien test bada«wypadª pozytywnie. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e badana osoba za»yªa narkotyk? Zad. 9 Przypomnij denicj zmiennej losowej, warto±ci oczekiwanej oraz wariancji. Kiedy 1. E[X + Y ] = E[X] + E[Y ]? 2. Var[X + Y ] = Var[X] + Var[Y ]? 3. EaX + b = aex + b? 4. Var[aX + b] =...? 5. E[XY ] = E[X]E[Y ]?
2 Zad. 10 Zaªó»my,»e X k B(k 2, 1 k ) dla k = 1, 2, 3,... s niezale»nymi zmiennymi losowymi. Niech Y n = X X n. Wyznacz granic lim n Var[Y n /n]. Zad. 11 Zaªó»my,»e X k Geo( 1 k ) dla k = 1, 2, 3,... s niezale»nymi zmiennymi losowymi. Niech Y n = X 1... X n. Wyznacz granic lim n E[Y n /(2n!)]. Zad. 12 Przypomnij denicj estymatora. Kiedy mówimy,»e estymator jest nieobci»ony, asymptotycznie nieobci»ony, najefektywniejszy? Zad. 13 Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) b dzie prób pochodz c z rozkªadu o nieznanej warto±ci oczekiwanej µ i nieznanej wariancji σ 2. Za estymator parametru µ przyjmijmy ˆX n = 1 n n X i, i=1 za± za estymator parametru σ 2 Ŝn = 1 n n (X i ˆX n ) 2. i=1 Czy s to estymatory nieobci»one? A asymptotycznie nieobci»one? Je±li który± jest obci»ony, to spróbuj go zmodykowa tak, by byª nieobci»ony. Zad. 14 Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) b dzie prób pochodz c z rozkªadu o znanej warto±ci oczekiwanej µ i nieznanej wariancji σ 2. Za estymator parametru σ 2 przyjmijmy Ŝ n = 3 n n i=1 ( Xi 3 µ ) 2. 3 Czy Ŝn jest estymatorem nieobci»onym? A asymptotycznie nieobci»onym?
3 2 PAC learnability Wi kszo± zada«zaczerpni ta jest z ksi»ki Understanding Machine Learning: From Theory to Algorithms, Shai Shalev-Schwartz, Shai Ben-David. Zad. 15 Pracujemy z nast puj cym modelem uczenia. Dziedzin (zbiorem obiektów, które chcemy etykietowa ) jest X = {0, 1, 2,..., 12}. Zbiór etykiet to Y = {0, 1}, a wi c b dziemy rozwa»a klasy- katory binarne. Ci g danych treningowych wygl da nast puj co S = ((9, 0), (3, 0), (4, 1), (9, 0), (8, 1)). Krzy±, Puchatek oraz Prosiaczek zaproponowali swoje hipotezy. Oto one { 0 gdy 3 x h Krz (x) = 1 w p.p. { 1 gdy 2 x h P uch (x) = { 1 gdy x 6 h P ros (x) = 1. Oblicz bª d empiryczny (ryzyko empiryczne) ka»dej z trzech hipotez. Które z nich s hipotezami ERM? 2. Zaªó»my,»e rozkªad, z którego pochodz obiekty, jest rozkªadem jednostajnym, oraz»e prawdziwa hipoteza etykietuje jedynkami liczby parzyste i zerami nieparzyste. Oblicz bª d realny (ryzyko realne) ka»dej z hipotez. 3. Jak zmieni si warto±ci bª dów empirycznych i realnych, je±li zaªo»ymy,»e rozkªad, z którego pochodz obiekty, jest rozkªadem dwumianowym z parametrami 12 i 1/2, i X P[{i}] = ( ) ( 12 1 ) 12? i 2 Zad. 16 Niech X b dzie zero-jedynkow zmienn losow. Udowodnij,»e E[X] = P[X = 1]. Zad. 17 Niech H b dzie zbiorem klasykatorów binarnych na przestrzeni X. Niech D b dzie nieznanym rozkªadem prawdopodobie«stwa okre±lonym na X i niech f b dzie prawdziwym etykietowaniem, f H. Ustalmy h H. Pokaza,»e warto± oczekiwana bª du empirycznego L S (h) (liczona nad losowaniem danych treningowych zgodnie z rozkªadem D) jest równa bª dowi realnemu L (D,f) (h), czyli E S x D m[l S(h)] = L (D,f) (h). Zad. 18 Klasykator zdeniowany przy pomocy rodziny prostok tów o bokach równolegªych do osi wspóªrz dnych przypisuje punktowi warto± 1 wtedy i tylko wtedy, gdy punkt znajduje si wewn trz pewnego prostok ta. Formalnie dla dowolnych liczb rzeczywistych a 1 b 1 oraz a 2 b 2 deniujemy klasykator h (a1,b 1,a 2,b 2) nast puj co { 1 gdy a1 x h (a1,b 1,a 2,b 2)(x 1, x 2 ) = 1 b 1 oraz a 2 x 2 b 2, Klasa hipotez bazuj ca na rodzinie prostok tów o bokach równolegªych do osi wspóªrz dnych to Zauwa»,»e jest to niesko«czona klasa hipotez. zaªo»enie realizowalno±ci. H 2 rec = {h (a1,b 1,a 2,b 2) : a 1 b 1 oraz a 2 b 2 }. Podczas tego wiczenia zakªadamy,»e speªnione jest 1. Niech A b dzie algorytmem, który zwraca najmniejszy prostok t zawieraj cy wszystkie pozytywnie oetykietowane próbki danych treningowych. Uzasadnij,»e A jest algorytmem ERM H 2 rec. 4 log 4/δ 2. Poka»,»e je±li A otrzyma zbiór treningowy mocy ε, to z prawdopodobie«stwem 1 δ zwróci hipotez o bª dzie rzeczywistym ograniczonym z góry przez ε.
4 HINT. Ustal pewien rozkªad D na X. Niech R = R(a 1, b 1, a 2, b 2) b dzie prostok tem, który generuje poprawne etykietowanie. Niech a 1 a 1 b dzie tak dobrane, by masa rozkªadu prawdopodobie«stwa prostok ta R 1 = (a 1, a 1, a 2, a 2 ) wynosiªa ε/4. Podobnie, niech b 1, a 2, b 2 b da tak dobrane, by masa rozkªadu prawdopodobie«stwa ka»dego z prostok tów R 2 = (b 1, b 1, a 2, b 2), R 3 = (a 1, b 1, a 2, a 2 ), R 4 = (a 1, b 1, b 2, b 2) równie» wynosiªa ε/4. Niech R(S) b dzie prostok tem zwróconym przez algorytm A (patrz rysunek). Uzasadnij,»e R(S) R. Uzasadnij,»e je±li S w ka»dym z prostok tów R 1, R 2, R 3, R 4 zawiera cho jeden punkt, to bª d rzeczywisty hipotezy zwróconej przez A wynosi co najwy»ej ε. Dla ka»dego i {1, 2, 3, 4} ogranicz z góry prawdopodobie«stwo tego,»e S nie zawiera punktu wewn trz R i. Skorzystaj z podaddytywno±ci prawdopodobie«stwa, by wyci gn ostateczny wniosek. 3. Jaki b dzie czas dziaªania algorytmu A? Zad. 19 Niech X b dzie dziedzin dyskretn oraz niech H Singleton = {h z : z X } {h }, gdzie dla ka»dego z X, h z jest funkcj zdeniowan nast puj co: h z (x) = 1, gdy x = z oraz h z (x) = 0, gdy x z. h jest hipotez, która etykietuje wszystko negatywnie, tzn., x X h (x) = 0. Z zaªo»enia realizowalno±ci wynika,»e prawdziwa hipoteza f etykietuje negatywnie wszystkie obiekty przestrzeni X, z wyj tkiem co najwy»ej jednego. 1. Zaproponuj dowoln hipotez ERM H. 2. Poka»,»e H Singleton jest klas PAC nauczaln. Zaproponuj górne ograniczenie zªo»ono±ci próbkowej. Zad. 20 Niech X = R 2, Y = {0, 1} oraz niech H b dzie klas koncentrycznych okr gów na pªaszczy¹nie, tzn. H = {h r : r R + }, gdzie h r (x) = 1[ x r]. Udowodnij,»e H jest PAC nauczalna, oraz»e zªo»ono± próbkowa jest ograniczona przez log(1/δ) m H (ε, δ). ε Zad. 21 Czy niesko«czona klasa hipotez H mo»e by PAC nauczalna?
5 3 Agnostic PAC learnability Zad. 22 Niech X = {a, b}, za± Y = {0, 1} (etykietowanie binarne). Wiedz c,»e w pewnym learning tasku prawdziwym rozkªadem na dziedzinie X Y, z którego pochodz obiekty, jest D dany tabel 0 1 a 1/2 1/6 b 1/6 1/6 skonstruuj optymalny klasykator Bayesa f B : X {0, 1}. Oblicz jego bª d realny L D (f B ). Czy da si skonstruowa hipotez h, której bª d realny L D (h) b dzie mniejszy ni» L D (f B )? Zad. 23 Pracujemy z nast puj cym modelem uczenia. Dziedzin (zbiorem obiektów, które chcemy etykietowa ) jest X = {0, 1, 2,..., 12}. Zbiór etykiet to Y = {0, 1}, a wi c b dziemy rozwa»a klasy- katory binarne. Ci g danych treningowych wygl da nast puj co S = ((9, 0), (3, 0), (4, 1), (9, 1), (8, 1)). Krzy±, Puchatek oraz Prosiaczek zaproponowali swoje hipotezy. Oto one { 0 gdy 3 x h Krz (x) = 1 w p.p. { 1 gdy 2 x h P uch (x) = { 1 gdy x 6 h P ros (x) = 1. Oblicz bª d empiryczny (ryzyko empiryczne) ka»dej z trzech hipotez. 2. Prawdziwy rozkªad D na X Y, z którego pochodz obiekty, mo»e by przedstawiony nast puj co. Deniuj go - rozkªad brzegowy D x na X, który jest po prostu rozkªadem jednostajnym oraz rozkªad warunkowy etykiet D y x dany przez P[Y = 0 X = x] = { 1/3 gdy 2 x 3/4 w p.p., P[Y = 1 X = x] = { 2/3 gdy 2 x 1/4 w p.p. Jak wygl da tu optymalny klasykator Bayesa? Oblicz jego bª d realny. 3. Oblicz bª d realny (ryzyko realne) ka»dej z trzech hipotez. Zad. 24 Wiemy,»e dla dziedziny Z = X Y, klasy hipotez H, funkcji straty l : H Z R + oraz rozkªadu D próba S jest ε/2 - reprezentatywna. Poka»,»e ka»da hipoteza h S zwrócona przez algorytm ERM H speªnia L D (h S ) min h H L D(h) + ε. Zad. 25 Niech H b dzie klas klasykatorów binarnych. Poka»,»e je±li H jest agnostycznie PAC nauczalna, to H jest te» PAC nauczalna. Zad. 26 Niech Z = X Y b dzie dziedzin i l : H Z R + funkcj straty. Na wykªadzie udowodnili±my,»e je±li H jest sko«czona, za± warto±ci funkcji straty ograniczone do (0, 1), to H jest agnostycznie PAC nauczalna. Pokazali±my,»e zaªo»enia denicji agnostycznej PAC nauczalno±ci speªnia dowolny algorytm ERM H, za± zªo»ono± próbkow mo»na ograniczy przez m H (ε, δ) 2 log(2 H /δ) ε 2. Jak zmieni si ograniczenie zªo»ono±ci próbkowej, je±li przeprowadzimy ten sam dowód dla funkcji straty, której warto±ci zawieraj si w przedziale (a, b) (a, b R + )?
6 Zad. 27 Przypomnij nierówno± Markowa. Nast pnie udowodnij nierówno± Hoedinga. Nierówno± Hoedinga. Niech Z 1, Z 2,..., Z m b dzie ci giem niezale»nych zmiennych losowych pochodz cych z tego samego rozkªadu takich,»e E[Z i ] = µ oraz P[a Z i b] = 1. Wtedy dla ka»dego ε > 0. [ ] 1 m P Z i µ m > ε 2e 2mε 2 (b a) 2 i=1 HINT. Niech X i = Z i E[Z i ] oraz X = 1 m m i=1 X i. Zauwa»,»e λ > 0, ε > 0 P[ X > ε] = P[e λ X > e λε ]. Skorzystaj z nierówno±ci Markowa, nast pnie z niezale»no±ci zmiennych X i, a potem lematu Hoedinga. Jak wygl da otrzymana nierówno± dla λ = 4mε/(b a) 2? Powtórz rozumowanie dla zmiennej X. Lemat Hoedinga. Niech X b dzie zmienn losow przyjmuj c warto±ci w [a, b] tak,»e E[X] = 0. Wtedy λ > 0 E[e λx ] e λ2 (b a) 2 8.
7 4 VC dimension Zad. 28 Niech X = {x 1, x 2, x 3 }, C 1 = {x 1, x 2 }, C 2 = {x 2, x 3 }. Rozwa»amy klas hipotez H = {(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1)} - jest to zbiór czterech funkcji z X w {0, 1} reprezentowanych jako wektory z {0, 1} X. Wyznacz obci cie H do C 1 (H C1 ) oraz do C 2 (H C2 ). Czy H szatkuje C 1? A C 2? Jaki jest wymiar V C klasy H? Zad. 29 Niech X = R, za± H niech b dzie klas wszystkich otwartych przedziaªów na R, tzn. H = {h a,b : a, b R, a < b}, gdzie { 1 gdy x (a, b) h a,b (x) = Przypomnij, dlaczego V Cdim(H) = 2. Zad. 30 Przekonaj siebie,»e wymiar V C klasy z zadania 18 (klasa hipotez bazuj ca na rodzinie prostok tów o bokach równolegªych do osi wspóªrz dnych H 2 rec) wynosi 4. Nast pnie przekonaj do tego kole»ank lub koleg z ªawki. Zad. 31 Jaki jest wymiar V C klasy wszystkich kóª na R 2? Zad. 32 Uzasadnij,»e dla ka»dych dwóch klas hipotez je±li H H, to V Cdim(H ) V Cdim(H). Zad. 33 Niech X = {1, 2,..., n} oraz k n. Jaki jest wymiar V C klasy wszystkich funkcji z X w {0, 1}, które przypisuj warto± 1 dokªadnie k elementom z X? (H X =k = {h {0, 1}X : {x : h(x) = 1} = k}.) Zad. 34 Na wykªadzie pokazali±my,»e V Cdim(H) log 2 H. Jednak jest to tylko górne ograniczenie, V Cdim(H) mo»e by du»o mniejsze ni» log 2 H. Podaj przykªad klasy H, dla której ró»- nica log 2 H V Cdim(H) mo»e by dowolnie du»a. (Rozwa» klas pewnych funkcji progowych na X = {1, 2,..., k}). Zad. 35 Niech X = R oraz H = {h t : t R}, gdzie h t (x) = 0, 5 sin(tx). Uzasadnij,»e V Cdim(H) =. Zad. 36 Niech X b dzie zmienn losow przyjmuj c warto±ci w [0, 1]. oczekiwana X wynosi µ. Udowodnij,»e dla ka»dego a (0, 1) P[Z > a] µ a 1 a. Przyjmijmy,»e warto± (Zastosuj nierówno± Markowa do zmiennej losowej Y = 1 X.) Nast pnie uzasadnij,»e je±li E[X] 1/4, to P[X 1/8] 1/7.
8 5 Decision trees and neural networks Zad. 37 Poka»,»e dowolna hipoteza h : {0, 1} d {0, 1} mo»e zosta zaimplementowana jako drzewo decyzyjne wysoko±ci co najwy»ej d + 1 z w zªami wewn trznymi postaci (x 1 = 0?) dla i {0, 1,..., d}. Wyci gnij wniosek,»e wymiar V C klasy drzew decyzyjnych dla dziedziny {0, 1} d wynosi 2 d. Zad. 38 Suboptymalno± algorytmu ID3. Niech X = {0, 1} 3 oraz Y = {0, 1}. Rozwa»my nast puj cy zbiór treningowy: {((1, 1, 1), 1), ((1, 0, 0), 1), ((1, 1, 0), 0), ((0, 0, 1), 0)}. Zaªó»my,»e chcemy go wykorzysta do zbudowania drzewa decyzyjnego gª boko±ci 2 (tzn. dla ka»dej danej wej±ciowej mo»emy zada dwa pytania postaci (x i = 0?) zanim przypiszemy jej etykiet ). 1. Wykonujemy algorytm ID3 z warunkiem maksymalnej gª boko±ci 2. Atrybuty, wedªug których rozbijamy kolejne w zªy s wybierane z wykorzystaniem funkcji zysku informacji (minimalizujemy entropi ). Je»eli dwa atrybuty otrzymuj ten sam wynik, wybieramy jeden z atrybutów losowo. Poka»,»e bª d empiryczny wynikowego drzewa decyzyjnego b dzie wynosiª zawsze co najmniej 1/4. 2. Znajd¹ drzewo decyzyjne gª boko±ci 2 o zerowym bª dzie empirycznym. Zad. 39 Rozwa»my problem klasykacji binarnej. Próba zawiera 800 obiektów, po 400 z ka»dej klasy. Podziaª próby wedªug atrybutu i daje rozbicie na w zeª (300, 100) (tzn. 300 obiektów oetykietowanych zerem i 100 jedynk ) oraz w zeª (100, 300). Podziaª próby wedªug atrybutu j daje rozbicie na w zeª (200, 400) oraz (200, 0) (tzw. czysty w zeª). Porównaj warto±ci trzech rodzajów funkcji zysku przedstawionych na wykªadzie dla tej sytuacji. Które s lepsze? Zad. 40 Skonstruuj jednowarstwow sie neuronow (podaj wektor wag, topologi sieci oraz funkcj aktywacyjn ) o jednym wyj±ciu, która implementuje koniunkcj dwóch bitów. Zad. 41 Skonstruuj jednowarstwow sie neuronow (podaj wektor wag, topologi sieci oraz funkcj aktywacyjn ) o jednym wyj±ciu, która implementuje koniunkcj n bitów. Zad. 42 Skonstruuj dwuwarstwow sie neuronow (podaj wektor wag, topologi sieci oraz funkcj aktywacyjn ), która implementuje funkcj XOR. Zad. 43 Czy da si skonstruowa jednowarstwow sie neuronow implementuj c dodawanie dwóch bitów?
5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach ( Niezale»ne szkody maja rozkªady P (X i = k) = exp( 1)/k!, P (Y i = k) = 4+k ) k (1/3) 5 (/3) k, k = 0, 1,.... Niech S = X 1 +... + X 500 + Y 1 +... + Y 500. Skªadka
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1
Bardziej szczegółowoCOLT - Obliczeniowa teoria uczenia si
Hung Son Nguyen (UW) COLT - Obliczeniowa teoria uczenia si 2007 1 / 32 COLT - Obliczeniowa teoria uczenia si Hung Son Nguyen Institute of Mathematics, Warsaw University son@mimuw.edu.pl 2007 Hung Son Nguyen
Bardziej szczegółowo3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 5 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 1 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 1 / 28 Kontakt Dr Šukasz
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka
Elementarna statystyka Alexander Bendikov 26 marca 2017 Klasyczny model: eksperyment o jednakowo prawdopodobnych wynikach Zaªo»enia: 1 Przestrze«próbek S ma sko«czenie wiele wyników ω 1, ω 2,..., ω n,
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoPrzekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoMODELE LINIOWE i MIESZANE
MODELE LINIOWE i MIESZANE WYKŠAD 5 13 kwiecie«2018 1 / 48 Plan wykªadu 1. Metody Monte Carlo we wnioskowaniu statystycznym 2. Pakiet R 2 / 48 Metody Monte Carlo we wnioskowaniu statystycznym 3 / 48 Zaªó»my,»e
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoMetody probablistyczne i statystyka stosowana
Politechnika Wrocªawska - Wydziaª Podstawowych Problemów Techniki - 011 Metody probablistyczne i statystyka stosowana prowadz cy: dr hab. in». Krzysztof Szajowski opracowanie: Tomasz Kusienicki* κ 17801
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoZadanie 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M =
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M = 2 14 2 10 8 0 10 8. a) Znajd¹ rozwi zanie dwuosobowej gry o sumie zero maj cej powy»sz macierz wypªat. b) Przyjmuj
Bardziej szczegółowoCAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski
III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoW poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków Rodzina indeksowana {A t } t T podzbiorów D to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Wykªad 3 20 pa¹dziernika 2011 Produkt
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach. a) (6 pkt.) oblicz intensywno± pªaconych skªadek;
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2019r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Dwa niezale»ne portfele S 1, S 2 maj zªo»one rozkªady Poissona. S 1 CP oisson(2, F ), S 2 CP oisson(2, G), gdzie
Bardziej szczegółowoEkstremalnie maªe zbiory
Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka
Elementarna statystyka Alexander Bendikov 28 marca 2017 Rozkªady dwumianowe Denicja Zaªó»my,»e wykonujemy n niezale»nych eksperymentów, których rezultatem mo»e by albo sukces z prawdopodobie«stwem p albo
Bardziej szczegółowoZadania. 4 grudnia k=1
Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy
Bardziej szczegółowoDynamiczne wªasno±ci algorytmu propagacji przekona«
BP propagacji przekona«4. Interdyscyplinarne Warsztaty Matematyczne Wydziaª Fizyki Politechnika Warszawska B dlewo, 26 maja, 2013 BP 1 2 3 4 5 6 BP Rysunek: Zbiór zmiennych losowych. BP Rysunek: Zbiór
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia
Bardziej szczegółowoAlgorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi
Algorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi Rozpoznawanie j zyków bezkontekstowych Problem rozpoznawania j zyka L polega na sprawdzaniu przynale»no±ci sªowa wej±ciowego x do L. Zakªadamy,»e j zyk
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoRozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych
Rozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych Piotr Majerski, Zbigniew Szkutnik AGH Kraków Wisªa 2010 P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 1 / 22
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne
Bardziej szczegółowoSystemy decyzyjne Wprowadzenie
Hung Son Nguyen (UW) Systemy decyzyjne Wprowadzenie 2007 1 / 34 Systemy decyzyjne Wprowadzenie Hung Son Nguyen Institute of Mathematics, Warsaw University son@mimuw.edu.pl 2007 Hung Son Nguyen (UW) Systemy
Bardziej szczegółowoCiaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo
Spis tre±ci Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4 5 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 4 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 4 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowoSTATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH
STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH WYKŠAD 4 03 listopad 2014 1 / 47 Plan wykªadu 1. Testowanie zaªo»e«o proporcjonalnym hazardzie w modelu Cox'a 2. Wybór zmiennych do modelu Cox'a 3. Meta analiza
Bardziej szczegółowoUczenie Wielowarstwowych Sieci Neuronów o
Plan uczenie neuronu o ci gªej funkcji aktywacji uczenie jednowarstwowej sieci neuronów o ci gªej funkcji aktywacji uczenie sieci wielowarstwowej - metoda propagacji wstecznej neuronu o ci gªej funkcji
Bardziej szczegółowo1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoWst p. Elementy systemów decyzyjnych Sprawy organizacyjne. Wprowadzenie Przegl d metod klasykacji
Wst p 1 Wprowadzenie do systemów decyzyjnych Elementy systemów decyzyjnych Sprawy organizacyjne 2 Problem klasykacji i klasykatory Wprowadzenie Przegl d metod klasykacji 3 Metody oceny klasykatorów Skuteczno±
Bardziej szczegółowoIn»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia
Uwagi: 27012014 poprawiono kilka literówek, zwi zanych z przedziaªami ufno±ci dla wariancji i odchylenia standardowego In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia Przedziaªy wiarygodno±ci, testowanie
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoLab. 02: Algorytm Schrage
Lab. 02: Algorytm Schrage Andrzej Gnatowski 5 kwietnia 2015 1 Opis zadania Celem zadania laboratoryjnego jest zapoznanie si z jednym z przybli»onych algorytmów sªu» cych do szukania rozwi za«znanego z
Bardziej szczegółowoPrawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«.
Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«. Alicja Czy» WFTiMS April 14, 2010 Spis tre±ci 1 Wprowadzenie Denicja prawdopodobie«stwa warunkowego Twierdzenie Bayesa Niezale»no±
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 6: Bayesowskie ª czenie wiedzy (6) Ekonometria Bayesowska 1 / 21 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Oczekiwana wielko± modelu 3 Losowanie próby modeli 4 wiczenia w R (6) Ekonometria
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 5 i 6 Modelowanie szeregów czasowych. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 5 i 6 Modelowanie szeregów czasowych (5-6) Ekonometria 1 / 30 Plan prezentacji 1 Regresja pozorna 2 Testowanie stopnia zintegrowania szeregu 3 Kointegracja 4 Modele dynamiczne (5-6)
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 2: Bayesowska estymacja równania ze staª. Elementy j zyka R (2) Ekonometria Bayesowska / 24 Plan wykªadu Model ze staª 2 Podstawy j zyka R 3 Bayesowska analiza modelu ze staª
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoRozkªady i warto± oczekiwana
Rozkªady i warto± oczekiwana Piotr Wilkin Zmienne losowe i rozkªady. Wst p Zmienn losow nazywamy zmienn X przyjmuj c dowolne warto±ci z pewnego zbioru D, która speªnia wªasno± y D P (X = y) = (innymi sªowy
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego (2) Ekonometria 1 / 33 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Ocena dopasowania R-kwadrat Skorygowany R-kwadrat i kryteria informacyjne 3 Ocena istotno±ci zmiennych
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Bardziej szczegółowo2. (8 punktów) 3. (8 punktów) 4. (8 punktów) 5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Znajd¹ rozwi zanie poni»szego zagadnienia programowania liniowego: Zmaksymalizowa x 1 2x 2 + x 3 x 5 przy ograniczeniach x 1 3x 2 + x 3 + 2x 5 = 8
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VIII: Przestrzenie statystyczne. Estymatory 1 grudnia 2014 Wprowadzenie Przykład: pomiar z błędem Współczynnik korelacji r(x, Z) = 0, 986 Wprowadzenie Przykład: pomiar z błędem Współczynnik korelacji
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13
Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference for regression) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 2 czerwca 2016 Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for
Bardziej szczegółowoO pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych
O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych Paweª Gªadki 1 Podstawowe poj cia teorii gier dwuosobowych Strategia gracza to reguªa okre±laj ca wybór przez gracza
Bardziej szczegółowoWst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki
Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki 1 Zadania na wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Zad. 1. Ile istnieje ró»nych liczb czterocyfrowych zakªadaj c,»e cyfry nie powtarzaj si a
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoStacjonarne szeregi czasowe
e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis tre±ci 1 Denicja 1 Szereg {x t } 1 t N nazywamy ±ci±le stacjonarnym (stacjonarnym w w»szym sensie), je»eli dla dowolnych m, t 1, t 2,..., t m, τ ª czny rozkªad prawdopodobie«stwa
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch proporcji (Two-sample problem: comparing two proportions)
Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch proporcji (Two-sample problem: comparing two proportions) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 25 maja 2016 Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowopunkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio:
5.9. lim x x +4 f(x) = x +4 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern, która jest ci gªa dla wszystkich x, dla których mianownik jest ró»ny od zera, czyli dla: x + 0 x Zatem w punkcie x = funkcja ta jest okre±lona
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) W modelu rezerwy R n = u + n (W 1 + + W n ) wiemy,»e W i s iid o rozkªadzie geometrycznym na 0, 1, 2,...
Bardziej szczegółowoLekcja 12 - POMOCNICY
Lekcja 12 - POMOCNICY 1 Pomocnicy Pomocnicy, jak sama nazwa wskazuje, pomagaj Baltiemu w programach wykonuj c cz ± czynno±ci. S oni szczególnie pomocni, gdy chcemy ci g polece«wykona kilka razy w programie.
Bardziej szczegółowoInformatyka. z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA
Informatyka Zbiór przykªadowych prac kontrolnych oraz przykªadowych zada«egzaminacyjnych z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA Sprawdzian 1, M09-02 Zadanie 1 (1p) W rzucie dwiema kostkami obliczy prawdopodobie«stwo
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 9: Metody numeryczne: MCMC Andrzej Torój 1 / 17 Plan wykªadu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 / 17 Plan prezentacji Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 3 / 17 Zastosowanie metod numerycznych
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoTeoria grafów i sieci 1 / 58
Teoria grafów i sieci 1 / 58 Literatura 1 B.Korte, J.Vygen, Combinatorial optimization 2 D.Jungnickel, Graphs, Networks and Algorithms 3 M.Sysªo, N.Deo Metody optymalizacji dyskretnej z przykªadami w Turbo
Bardziej szczegółowoI Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
Bardziej szczegółowoStrategia czy intuicja?
Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),
Bardziej szczegółowoZdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Bardziej szczegółowoEstymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych
Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych Politechnika Gda«ska Wydziaª Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Wisªa, 3-7.12.2012 Przestrze«Biesowa Przestrze«Biesowa B s p,q, 1 p,
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków. Funkcje. Funkcje caªkowite i cz ±ciowe. Deniowanie funkcji. Wykªad pa¹dziernika 2012
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 3 Funkcje 18 pa¹dziernika 2012 Deniowanie funkcji Funkcje caªkowite i cz ±ciowe Denicja wprost: f (x) = x + y f = λx. x + y Denicja warunkowa: { n/2, je±li n
Bardziej szczegółowoModele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6
Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Model mieszany
Bardziej szczegółowoMetoda momentów i kwantyli próbkowych. Wrocław, 7 listopada 2014
Metoda momentów i kwantyli próbkowych Wrocław, 7 listopada 2014 Metoda momentów Momenty zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n - próba losowa. Momenty zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n - próba losowa.
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoJAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Test Istotno±ci (Tests of Signicance)
Elementarna statystyka Test Istotno±ci (Tests of Signicance) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 16 kwietnia 2016 Elementarna statystyka Test Istotno±ci (Tests of Signicance) 16 kwietnia 2016 1 /
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoZadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Marek Zawadowski Zadanie 1 Napisz
Bardziej szczegółowoAM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Bardziej szczegółowoE. Sadowska-Owczorz Statystyka i probabilistyka - zadania kwiecie«2018
1. Jest 50 pyta«egzaminacyjnych. Na ka»dej wylosowanej przez zdaj cego kartce napisane s trzy pytania. (a) Ile mo»e by ró»nych kartek? (b) Oblicz prawdopodobie«stwo,»e zdajacy odpowie co najmniej na jedno
Bardziej szczegółowox y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Bardziej szczegółowoWBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0
WBiA Architektura i Urbanistyka Matematyka wiczenia 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: 1) 2A + C 2) A C T ) B A 4) B C T 5) A 2 B T 1 0 2 dla A = 1 2 1 1 0 B = ( 1 2 1 0 1 ) C = 1 2 1 0 2 1 0 1 2. Które
Bardziej szczegółowoistnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,
Ciaªo Denicja. Zbiór K z dziaªaniami dodawania + oraz mno»enia (których argumentami s dwa elementy z tego zbioru, a warto±ciami elementy z tego zbioru) nazywamy ciaªem, je±li zawiera co najmniej dwa elementy
Bardziej szczegółowoTablice wzorów z probabilistyki
Akademia Górniczo - Hutnicza im. Stanisªawa Staszica Wydziaª Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i In»ynierii Biomedycznej Kierunek: Automatyka i robotyka Tablice wzorów z probabilistyki Prowadz cy:
Bardziej szczegółowoMATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI
MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera strony (zadania 1 ).. Arkusz zawiera 4 zadania zamknięte i 9
Bardziej szczegółowo