Analiza wyboczenia MES

Transkrypt

1 Analiza wyboczenia MES Jerzy Pamin i Marek Słoński s: {JPamin,MSlonski}@L5.pk.edu.pl Podziękowania: M. Radwańska, A. Wosatko ANSYS, Inc. ROBOT

2 Zjawisko wyboczenia Założenia liniowej analizy wyboczenia: obciążenie jest jednoparametrowe, zmieniające się proporcjonalnie do parametru obciążenia λ P = λp obciążenie jest zachowawcze, tzn. nie zmienia kierunku podczas odkształcania się konstrukcji ustrój (pręt, tarcza, powłoka) jest idealny, bez geometrycznych, materiałowych czy obciążeniowych imperfekcji, które zaburzają idealny stan przedwyboczeniowy

3 Zjawisko wyboczenia c.d. Obciążenie P kr = λ kr P to obciążenie krytyczne, po osiągnięciu którego następuje wyboczenie, gdzie przez P oznaczono tzw. obciążenie konfiguracyjne odpowiadające λ = 1. Cechą charakterystyczną utraty stateczności przez wyboczenie jest zasadnicza zmiana formy deformacji układu konstrukcyjnego z naprężeniami ściskającymi w całym układzie lub jego części. Źródło: E. Ramm, Buckling of Shells, Springer-Verlag, Berlin 1982

4 Przykłady zjawiska wyboczenia Kryterium statyczne utraty stateczności (przez wyboczenie) polega na badaniu równowagi bliskich stanów przed- i powyboczeniowych. Zjawisko wyboczenia zostanie pokazane dla: pojedynczego pręta przegubowo podpartego, wysokiej belki wspornikowej, tarczy jednokierunkowo ściskanej, przegubowo podpartej na obwodzie, powłoki walcowej z ciśnieniem normalnym, utwierdzonej na dolnym konturze.

5 Wyboczenie pojedynczego pręta Przed wyboczeniem: pręt: ma prostoliniową oś, jest wyłącznie ściskany (nie zginany). Po wyboczeniu: pręt: ma zakrzywioną oś, jest ściskany i zginany.

6 Wyboczenie wysokiej belki wspornikowej Przed wyboczeniem: belka zginana w płaszczyźnie z obciążeniem siłą prostopadłą do osi belki, przyłożoną na swobodnym końcu X Y Rysunek: Przemieszczenia belki w stanie przedwyboczeniowym Po wyboczeniu: następuje zwichrzenie (giętno-skrętna deformacja)

7 Wyboczenie wysokiej belki wspornikowej c.d. Z X Rysunek: Postacie wyboczenia

8 Wyboczenie tarczy jednokierunkowo ściskanej Przed wyboczeniem: mamy idealny stan tarczowy: tarcza o idealnej płaszczyźnie środkowej, obciążenie jednokierunkowo ściskające, działające idealnie w płaszczyźnie środkowej. Po wyboczeniu: powstaje stan giętny: z niezerowymi przemieszczeniami prostopadłymi do płaszczyzny środkowej, z krzywiznami i momentami zginającymi.

9 Wyboczenie tarczy jednokierunkowo ściskanej (ANSYS, [3]) Rysunek: Pierwsza i druga forma wyboczenia Rysunek: Trzecia i czwarta forma wyboczenia

10 Wyboczenie powłoki walcowej ściskanej radialnym ciśnieniem zewnętrznym Przed wyboczeniem: panuje w powłoce: stan osiowo symetryczny, w większości obszaru powłoki długiej stan bezmomentowy, w sąsiedztwie konturu utwierdzonego stan giętny. Po wyboczeniu: następuje zasadnicze zaburzenie osiowej symetrii: powstają pofalowania w kierunku obwodowym, liczba półfal jest różna dla kolejnych wartości mnożników krytycznych obciążenia.

11 Wyboczenie powłoki c.d. (ANSYS, [3]) Rysunek: Kolejne formy wyboczenia

12 Ogólna analiza wyboczenia [1,2] Kryterium energetyczne wyboczenia Kryterium energetyczne polega na analizie przyrostu energii potencjalnej Π przy przejściu od stanu przed- do powyboczeniowego. Rozważamy dwa sąsiednie stany: stan (I) równowagi, dla którego: stan (II) równowagi, dla którego: δπ (I ) = 0 δπ (II ) = δπ (I ) + δ Π = 0 energetyczne kryterium stanu krytycznego: δ Π = 0.

13 Algorytm analizy wyboczenia MES Równanie macierzowe dla całego układu opisujące utratę stateczności przez wyboczenie: [K 0 + λk σ (s )]v = 0 lub gdzie: {K 0 + λ[k σ (s ) + K u1 (g )]}v = 0 macierz liniowej sztywności układu K 0 macierz sztywności naprężeniowej K σ (s ) oraz macierz sztywności przemieszczeniowej K u1 (g ) poszukiwany mnożnik krytyczny obciążenia λ kr poszukiwana postać deformacji powyboczeniowej, opisana za pomocą wektora v = u g

14 Statyka stanu przedwyboczeniowego Algorytm etapu I: 1. Obliczamy globalną macierz sztywności K 0 2. Obliczamy wektor węzłowych zastępników obciążenia konfiguracyjnego P, dla parametru obciążenia λ = 1, przy założeniu obciążenia jednoparametrowego P = λp 3. Uwzględnieniamy kinematyczne warunki brzegowe 4. Rozwiązujemy układ równań K 0 u g = P, otrzymując przemieszczenia węzłowe w stanie przedwyboczeniowym: u g = K 1 0 P 5. Na podstawie przemieszczeń całego układu u g i danego elementu u e - obliczamy wewnątrz elementu: gradienty przemieszczeń g e oraz uogólnione naprężenia s e.

15 Analiza wyboczenia Algorytm etapu II: 1. Generujemy: - macierze sztywności naprężeniowej dla wszystkich elementów K e σ(s e ) i całej konstrukcji K σ (s ) - ewentualnie macierz sztywności przemieszczeniowej K u1 (g ) 2. Formułujemy niestandardowy (uogólniony) problem własny, odpowiadający problemowi zlinearyzowanemu: [K 0 + λ(k σ + K u1 )]v = 0 lub problemowi początkowemu: [K 0 + λk σ ]v = 0 3. Rozwiązujemy problem własny, wyznaczając pary (λ 1, v 1 ),..., (λ N, v N ) gdzie: N liczba stopni swobody układu λ i wartość własna - parametr krytycznego obciążenia v i = u g i wektor własny - postać powyboczeniowej deformacji

16 Wyboczenie idealnej tarczy dane wymiary: L x = L y = 1.16 m, h = m stałe materiałowe: E = kn/m 2, ν = 0.3 konfiguracyjne tarczowe obciążenie konturowe odpowiadające płaskiemu zginaniu: px,max,min = 1.0 kn/m dwa przypadki warunków podparcia płyty na obwodzie: a) przegubowe podparcie (na rysunku z prawej) b) utwierdzenie (na rysunku z lewej) Rysunek: Dyskretyzacja MES, obciążenie i dwa przypadki warunków podparcia

17 Wyboczenie tarczy Założenia: tarcza ma idealną płaszczyznę środkową, obciążenie leży idealnie w płaszczyźnie środkowej, obciążenie jest jednoparametrowe, zmieniające się przez parametr λ. Analiza wyboczenia dla tarczy w stanie czystego zginania tarczowego Rysunek: Obciążenie wywołujące stan czystego zginania tarczowego przed wyboczeniem Obliczenia: numeryczne MES (ANKA i ROBOT): rozwiązania przybliżone analityczne: rozwiązania dokładne

18 Wyboczenie przy zginaniu tarczowym Obliczenie wartości obciążenia krytycznego: Obciążenie i deformacja w stanie przedwyboczeniowym Rozwiązania analityczne dla tarczy: przegubowo podpartej: p zg,analit kr utwierdzonej: p zg,analit kr = 39.0 π2 D m L 2 x = 25.6 π2 D m L 2 x = 9259 kn/m = 6077 kn/m Rozwiązania numeryczne (ANKA, siatka 8 8 ES) dla tarczy: przegubowo podpartej: p zg,mes kr = 6028 kn/m utwierdzonej: p zg,mes kr = kn/m Rozwiązania numeryczne (ROBOT, siatka ES) dla tarczy: przegubowo podpartej: p zg,mes kr = 6241 kn/m utwierdzonej: p zg,mes kr = kn/m

19 Zginanie tarczowe w stanie przedwyboczeniowym Rysunek: Rozkład siły tarczowej n x dla tarczy przegubowo podpartej (z lewej) i utwierdzonej (z prawej)

20 Zginanie tarczowe, postacie powyboczeniowe Rysunek: Dwie pierwsze postacie powyboczeniowe dla tarczy przegubowo podpartej (ROBOT)

21 Zginanie tarczowe, postacie powyboczeniowe Rysunek: Dwie pierwsze postacie powyboczeniowe dla tarczy utwierdzonej (ROBOT)

22 Wyboczenie blachownicy dane wymiary: L x = L y = 1.16 m, h s = m, h p = m stałe materiałowe: E = kn/m 2, ν = 0.3 konfiguracyjne tarczowe obciążenie konturowe: px,min,max = 1.0 kn/m dwa warianty analizy wyboczenia blachownicy: wariant 1: badanie lokalnego wyboczenia środnika wariant 2: wyboczenie dźwigara składającego się ze środnika i dwóch półek

23 Wariant 1: wyboczenie środnika Lokalne wyboczenie środnika: wyizolowany środnik, współpracujący w rzeczywistości z półkami i żebrami, może mieć zadane różne warunki brzegowe na liniach połączenia z półkami oraz z pionowymi żebrami w skrajnych przypadkach można na całym obwodzie przyjąć linie: a) przegubowo podparte b) zamocowane stan rzeczywisty jest stanem pośrednim przykłady rozwiązane poprzednio służą ilustracji wyboczenia samego środnika

24 Wariant 2: wyboczenie blachownicy c.d. Analiza wyboczenia dźwigara: wykonując obliczenia przy użyciu programu ROBOT zbudowano model dyskretny: dźwigara składającego się ze środnika (12 12) i dwu półek (4 12) przy obciążeniu wywołującym zginanie dźwigara wyniki numeryczne (ROBOT): p bl,mes kr = 9068 kn/m porównanie wartości sił krytycznych obliczonych MES (ROBOT): dla wyizolowanego środnika: - przegubowo podpartego (pp) - utwierdzonego (ut) całego dźwigara (bl) p zg,pp,mes < p bl,mes < p zg,ut,mes 6241 kn/m < 9068 kn/m < kn/m

25 Zginanie blachownicy w stanie przedwyboczeniowym Rysunek: Rozkład siły tarczowej n x dla blachownicy

26 Postacie powyboczeniowe blachownicy Rysunek: Dwie postacie powyboczeniowe zginanej blachownicy (ROBOT)

27 Geometrycznie i materiałowo nieliniowa analiza [5] Schemat strategii obliczeniowej realizowanej na wielu poziomach: konstrukcji elementu skończonego warstwy punktu Uwzględnione efekty: śledzenie wytężenia w przekroju zarysowanie betonu sprężysto-plastyczne zbrojenie duże przemieszczenia i ich gradienty Cele: wyznaczenie ewolucji przemieszczeń określenie mechanizmu uszkodzenia oszacowanie nośności

28 Model powłoki żelbetowej Zdegenerowany element powłokowy 8-węzłowy (teoria Mindlina-Reissnera) Model warstwowy powłoki żelbetowej (5 warstw betonu, 4 warstwy stali reprezentujące 2 siatki zbrojenia) Model sprężysty z rozmazanym zarysowaniem dla warstwy betonu (osłabienie betonu, redukcja sztywności na ścinanie) Model sprężysto-plastyczny dla warstw stali

29 Analiza numeryczna powłoki chłodni kominowej [5]

30 Analiza numeryczna powłoki chłodni kominowej Obciążenia chłodni: ciężar własny g wiatr w ssanie wewnętrzne s obciążenia termiczne osiadania podłoża Zależności λ w K otrzymane dwoma pakietami MES przy sterowaniu siłą lub przemieszczeniem dla obciążenia g + λ(w + s)

31 Analiza numeryczna żelbetowej powłoki - wyniki analizy powłoki z otworem technologicznym Deformacja Mapa warstwicowa membranowych sił południkowych

32 Analiza numeryczna żelbetowej powłoki Kierunki naprężeń głównych w warstwie zewnętrznej Wizualizacja rozmazanych rys

33 Katastrofa World Trade Center

34 Katastrofa World Trade Center Wybudowany w latach , 110 kondygnacji o wys. ok. 3.7m, konstrukcja ramowa stalowa zgodnie z koncepcją rura w rurze, rdzeń m (47 słupów połączonych krótkimi belkami, przenosił 60% ciężaru własnego), rama zewnętrzna (240 słupów skrzynkowych 356x356 co 1m na obwodzie, przenosiła 40% ciężaru własnego), stropy zespolone na dźwigarach kratowych połączonych przegubowo ze rdzeniem i ramą zewnętrzną, stężenie szczytowe na kondygnacjach Ciężar budynku ponad ziemią 3630MN, ciężar własny 2890MN, obc. użytkowe 740MN. Czas na ucieczkę w WTC1 i WTC2 odpowiednio 100 i 60 min.

35 Uproszczony mechanizm katastrofy WTC [6,8] Efekt dynamiczny wysokiej temperatury, która obniżyła granicę plastyczności stali i spowodowała wyboczenie słupów w warunkach pełzania 1. Konstrukcja zostaje osłabiona, pożar paliwa powoduje wzrost temperatury do ok. 600C 2. Następuje redystrybucja naprężeń i lepkoplastyczne wyboczenie słupów na krytycznej kondygnacji 3. Kratownice stropowe się uginają, postępuje wyboczenie słupów, niszczą się węzły ram, połowa słupów przestaje przenosić ciężar części budynku powyżej 4. Część ta spada na niższy strop z rosnącą energią kinetyczną, uderzenie stanowi obciążenie dynamiczne, którego kontrukcja poniżej nie jest w stanie przenieść i zaczyna się proces zniszczenia 5. Górna część wieży stopniowo zapada się, jej masa i energia rośnie Szacunkowe obliczenia energetyczne dają współczynnik przeciążenia P dyn /mg =

36 Odpowiedź wież World Trade Center na obciążenie wyjątkowe [7] Uproszczony model dynamiczny (110 elementow belkowych) z masami skupionymi (ciężar stropów 33 MN), sztywność na zginanie i ścinanie określona na podstawie modelu ramy przestrzennej, 3% tłumienie Rayleigha.

37 Wyniki dla uproszczonego modelu dynamicznego Przemieszczenia i siły w momencie uderzenia nie przekroczyły wynikających z projektowanego obciążenia wiatrem, dlatego wieże przetrzymały początkowo obciążenie wyjątkowe.

38 Model MES do oceny szczegółowej zniszczeń (LS-DYNA [7]) Model strefy uderzenia i samolotu o masie 140 ton, materiał sprężysto-plastyczny.

39 Model krytycznego segmentu - wyniki Siły osiowe w słupach zewnętrznych przed i po uderzeniu Redystrybucja obciążeń pionowych po uderzeniu, zniszczonych 122/113 słupów odpowiednio dla WTC1/WTC2, granica plastyczności osiągana w pozostałych słupach, pozytywny wpływ stężeń szczytowych.

40 Literatura [1] M. Radwańska. Ustroje powierzchniowe, podstawy teoretyczne oraz rozwiązania analityczne i numeryczne. Wydawnictwo PK, Kraków, [2] Z. Waszczyszyn, C. Cichoń, M. Radwańska. Stability of Structures by Finite Elements Methods. Elsevier, [3] M. Bera. Analiza utraty stateczności wybranych tarcz i powłok sprężystych metodą elementów skończonych. Praca dyplomowa, Politechnika Krakowska, Kraków, [4] M. Radwańska, E. Pabisek. Zastosowanie systemu metody elementów skończonych ANKA do analizy statyki i wyboczenia ustrojów powierzchniowych. Pomoc dydaktyczna PK, Kraków [5] Z. Waszczyszyn, E. Pabisek, J. Pamin, M. Radwańska. Nonlinear analysis of a RC cooling tower with geometrical imperfections and a technological cut-out. Engineering Structures, 2, , [6] Z.P. Bazant, Y. Zhou. Why Did the World Trade Center Collapse? - Simple Analysis. ASCE J. Eng. Mech., 128, 2-6, [7] Y. Omika, E. Fukuzawa, N. Koshika, H. Morikawa, R. Fukuda. Structural Responses of World Trade Center Collapse under Aircraft Attacks. ASCE J. Eng. Mech., 131, 6-15, [8] Z.P. Bazant, M. Verdure. Mechanics of Progressive Collapse: Learning from World Trade Center and Building Demolitions. ASCE J. Eng. Mech., 133, , 2007.