MES w zagadnieniach sprężysto-plastycznych

Transkrypt

1 MES w zagadnieniach sprężysto-plastycznych Wykład 5 dla kierunku Budownictwo, specjalności DUA+TOB Jerzy Pamin Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Politechnika Krakowska Podziękowania: P. Mika, A. Winnicki, A. Wosatko TNO DIANA FEAP Tematyka zajęć Nieliniowość fizyczna Teoria plastycznego płynięcia Zastosowania - deformacje plastyczne Symulacja zarysowania konstrukcji murowych Modelowanie katastrofy World Trade Center

2 Analiza przyrostowo-iteracyjna Nieliniowy problem: f ext przykładane w przyrostach t t + t σ t+ t = σ t + σ Równowaga w chwili t + t: n e A e T gdzie: e=1 n e e=1 A e T B T σ t+ t dv = fext t+ t V e B T σ dv = fext t+ t V e f t int = n e e=1 Ae T V e B T σ t dv Linearyzacja lewej strony w chwili czasu t: Układ równań dla przyrostu: σ = σ( ɛ( u)) K d = f t+ t ext f t int f t int Nieliniowość fizyczna K d = f t+ t ext Linearyzacja lewej strony w chwili czasu t: σ = ( ) σ t ( ɛ t ɛ u) u D = σ ɛ, L = ɛ u Dyskretyzacja: u = N d e f t int σ = σ( ɛ( u)) Liniowe związki geometryczne macierz dyskretnych związków kinematycznych B = LN niezależna od przemieszczeń Styczna macierz sztywności n e K = A e T B T D B dv A e V e e=1

3 Uplastycznienie materiału siła A B C P σ y - A σ y B σ y - - C przemieszczenie σ y σ y σ y zakres sprężysty pełne uplastycznienie zakres sprężysty poziom mikroskopowy sieć ścinanie poślizg krystaliczna dyskolacyjny pełne uplastycznienie Teoria płynięcia plastycznego [1,2] Nośność materiału nie jest nieskończona, przy deformacji powstają odkształcenia trwałe Pojęcia teorii plastyczności Funkcja plastyczności f (σ) = 0 - określa granicę zachowania sprężystego Prawo płynięcia plastycznego ɛ p = λm - określa prędkość odkształceń plastycznych λ - mnożnik plastyczny m - kierunek płynięcia plastycznego (zazwyczaj stowarzyszony z funkcją płynięcia m T = n T = f σ ) Wzmocnienie plastyczne f (σ α, κ) 0 kinematyczne (κ = 0) lub izotropowe (α = 0) Warunki obciążenie-odciążenie: f 0, λ 0, λf = 0 (odciążenie jest sprężyste)

4 Teoria płynięcia plastycznego Deformacja materiału zależy od historii obciążenia, zatem związki konstytutywne są zapisywane w prędkościach. Płynięcie plastyczne gdy f = 0 i ḟ = 0 (warunek zgodności plastycznej) Dekompozycja addytywna ɛ = ɛ e + ɛ p Odwzorowanie bijekcyjne σ = D e ɛ e Wykorzystując prawo płynięcia σ = D e ( ɛ λm) Zgodność procesu plastycznego ḟ = f σ σ + f κ κ Moduł wzmocnienia f κ κ h = 1 λ Podstawiając σ do równ. zgodności n T σ h λ = 0 oblicza się mnożnik plastyczny λ = nt D e ɛ h+n T D e m Macierzowe równanie konstytutywne [ ] σ = D e De mn T D e ɛ h+n T D e m Operator styczny D ep = D e De mn T D e h+n T D e m Całkowanie po czasie niezbędne na poziomie punktu Teoria Hubera-Misesa-Hencky ego Najczęściej stosowana jest teoria Hubera-Misesa-Hencky ego (H-M-H), oparta na skalarnej mierze energii odkształcenia postaciowego. Dla małych odkształceń zakłada się addytywność ich przyrostów: ɛ = ɛ e + ɛ p Funkcja płynięcia np. ze wzmocnieniem izotropowym f (σ, κ) = 3J σ 2 σ(κ) = 0 κ - miara odkształcenia plastycznego ( κ = 1 σ σt ɛ p = λ) Prawo płynięcia plastycznego ɛ p = λ f σ Prawo wzmocnienia izotropowego np. liniowe σ(κ) = σ y + hκ h - moduł wzmocnienia

5 Wykresy siła-przemieszczenie Idealna plastyczność Plastyczność ze wzmocnieniem Teoria plastycznego płynięcia Funkcje plastyczności dla metali: Coulomba-Tresca i-guesta i Hubera-Misesa-Hencky ego Funkcje plastyczności niezależne od ciśnienia

6 Teoria plastycznego płynięcia Funkcje plastyczności dla gruntów: Mohra-Coulomba i Burzyńskiego-Druckera-Pragera Funkcje plastyczności zależne od ciśnienia Powierzchnie plastyczności dla betonu Płaski stan naprężenia Eksperyment Kupfera Funkcja plastyczności Rankine a: f (σ, κ) = σ 1 σ(κ) = 0 Miara odkształcenia zarysowania κ = ɛ p 1

7 Algorytm komputerowej plastyczności Algorytm powrotnego odwzorowania algorytm Eulera wstecz (bezwarunkowo stabilny) 1. Obliczyć sprężysty predyktor σ tr = σ t + D e ɛ 2. Sprawdzić, czy f (σ tr, κ t ) > 0? Jeśli nie, to stan sprężysty σ = σ tr Jeśli tak, to stan plastyczny, obliczyć plastyczny korektor σ = σ tr λd e m(σ) f (σ, κ) = 0 (układ 7 równań nieliniowych na σ, λ) Obliczyć κ = κ t + κ( λ) σ t f = 0 σ σ tr Iteracyjne poprawki są konieczne, chyba, że powrót odbywa się po promieniu i wzmocnienie jest liniowe. Brazylijski test rozłupywania Sprężystość, płaski stan odkształcenia Deformacje, naprężenie pionowe σ yy i niezmiennik naprężenia J σ 2

8 Brazylijski test rozłupywania Sprężystość, zależność naprężeń od siatki Naprężenia σ yy dla rzadkiej i gęstej siatki Naprężenia pod siłą zmierzają do nieskończoności (zależność rozwiązania od gęstości siatki) - rozwiązanie sprzeczne z fizyką Brazylijski test rozłupywania Idealna plastyczność H-M-H Końcowa deformacja i naprężenie σ yy

9 Brazylijski test rozłupywania Idealna plastyczność H-M-H Końcowe odkształcenie ɛ yy i niezmiennik J ɛ 2 Brazylijski test rozłupywania Idealna plastyczność H-M-H Force 400 Force This is correct! Displacement Displacement Dla elementu czterowęzłowego wykres siła-przemieszczenie wykazuje wzmocnienie na skutek blokady objętościowej, bo plastyczność H-M-H zawiera więz nieściśliwości plastycznej, którego nie potrafi odtworzyć poprawnie model MES Element ośmiowęzłowy nie wykazuje blokady

10 Brazylijski test rozłupywania Sprężystość, płaski stan odkształcenia, elementy 8-węzłowe Deformacje, naprężenie pionowe σ yy i niezmiennik naprężenia J σ 2 Brazylijski test rozłupywania Idealna plastyczność H-M-H Końcowa deformacja i naprężenie σ yy

11 Brazylijski test rozłupywania Idealna plastyczność H-M-H Końcowe odkształcenie ɛ yy i niezmiennik J ɛ 2 Plastyczność Burzyńskiego-Druckera-Pragera Funkcja plastyczności ze wzmocnieniem izotropowym f (σ, κ) = q + α p βc p (κ) = 0 q = 3J 2 - dewiatorowa miara napr. p = 1 3 I 1 - ciśnienie hydrostatyczne α = 6 sin ϕ 3 sin ϕ, β = 6 cos ϕ 3 sin ϕ ϕ - kąt tarcia wewnętrznego c p (κ) - kohezja Potencjał plastyczny f p = q + α p α = 6 sin ψ 3 sin ψ ψ - kąt dylatacji Niestowarzyszone prawo płynięcia ɛ p = λm, m = f p σ Miara odkształceń plastycznych κ = η λ, η = ( α 2 ) 1 2 Moduł wzmocnienia kohezji h(κ) = ηβ c p κ HMH BDP q βc p Dla sin ϕ = sin ψ = 0 otrzymuje się funkcję Hubera- Misesa-Hencky ego. ϕ p

12 Symulacja niestateczności zbocza Gradientowa plastyczność Burzyńskiego-Druckera-Pragera Ewolucja miary odkształceń plastycznych Interfejsowe elementy skończone 2D i 3D Przykład zastosowania: zarysowanie przy zginaniu

13 Elementy interfejsowe t = D u Dla interfejsu 2D w modelu 3D: Interfejs w modelu 2D t = [t n t t t s ] T Względne przemieszczenie u stron (A) i (B) interfejsu u = [ u n u t u s ] T u = [u (A) n u (B) n u (A) t u (B) t u (A) s u s (B) ] T u = Lu, u = N d e L = u = LN d e Przypadek ścinania Symulacja zarysowania konstrukcji murowych [3] DIANA

14 Modelowanie konstrukcji murowych Model mikro (dyskretne interfejsy) lub model makro (homogenizacja) W każdym z trzech podstawowych stanów wytrzymałościowych pojawia się osłabienie Teoria plastyczności Model interfejsu Model kontinuum

15 Budowa metra w Amsterdamie (Noord/Zuidlijn) Katastrofa World Trade Center Wybudowany w latach , 110 kondygnacji o wys. ok. 3.7m, konstrukcja ramowa stalowa zgodnie z koncepcją rura w rurze, rdzeń m (47 słupów połączonych krótkimi belkami, przenosił 60% ciężaru własnego), rama zewnętrzna (240 słupów skrzynkowych 356x356 co 1m na obwodzie, przenosiła 40% ciężaru własnego), stropy zespolone na dźwigarach kratowych połączonych przegubowo ze rdzeniem i ramą zewnętrzną, stężenie szczytowe na kondygnacjach Ciężar budynku ponad ziemią 3630MN, ciężar własny 2890MN, obc. użytkowe 740MN. Czas na ucieczkę w WTC1 i WTC2 odpowiednio 100 i 60 min.

16 Uproszczony mechanizm katastrofy WTC [4,6] Efekt dynamiczny wysokiej temperatury, która obniżyła granicę plastyczności stali i spowodowała wyboczenie słupów w warunkach pełzania 1. Konstrukcja osłabiona przez uderzenie, pożar paliwa powoduje wzrost temperatury do ok. 600C 2. Redystrybucja naprężeń, lepkoplastyczne wyboczenie słupów na krytycznej kondygnacji, zniszczeniu ulegają węzły kratownic nośnych stropów i postępuje wyboczenie słupów 3. Połowa słupów przestaje przenosić ciężar części budynku powyżej 4. Część ta spada na niższy strop z rosnącą energią kinetyczną, uderzenie stanowi obciążenie dynamiczne, którego kontrukcja poniżej nie jest w stanie przenieść 5. Górna część wieży stopniowo zapada się, gdy rośnie jej masa i energia Szacunkowe obliczenia energetyczne dają współczynnik przeciążenia P dyn /mg = Odpowiedź wież World Trade Center na obciążenie wyjątkowe [5] Uproszczony model dynamiczny (110 elementow belkowych) z masami skupionymi (ciężar stropów 33 MN), sztywność na zginanie i ścinanie określona na podstawie modelu ramy przestrzennej, 3% tłumienie Rayleigha.

17 Wyniki dla uproszczonego modelu dynamicznego Przemieszczenia i siły w momencie uderzenia nie przekroczyły wynikających z projektowanego obciążenia wiatrem, dlatego wieże przetrzymały początkowo obciążenie wyjątkowe. Katastrofa World Trade Center, 2001 [5] Model MES do oceny szczegółowej zniszczeń - LS-DYNA Model strefy uderzenia i samolotu o masie 140 ton, materiał sprężysto-plastyczny.

18 Model krytycznego segmentu - wyniki Siły osiowe w słupach zewnętrznych przed i po uderzeniu Redystrybucja obciążeń pionowych po uderzeniu, zniszczonych 122/113 słupów odpowiednio dla WTC1/WTC2, granica plastyczności osiągana w pozostałych słupach, pozytywny wpływ stężeń szczytowych. Literatura [1] R. de Borst and L.J. Sluys. Computational Methods in Nonlinear Solid Mechanics. Lecture notes, Delft University of Technology, [2] M. Jirásek and Z.P. Bažant. Inelastic Analysis of Structures. J. Wiley & Sons, Chichester, [3] P.B. Lourenco. Computational strategies for masonry structures. PhD Thesis, Delft University of Technology, [4] Z.P. Bazant, Y. Zhou. Why Did the World Trade Center Collapse? - Simple Analysis. ASCE J. Eng. Mech., 128, 2-6, [5] Y. Omika, E. Fukuzawa, N. Koshika, H. Morikawa, R. Fukuda. Structural Responses of World Trade Center Collapse under Aircraft Attacks. ASCE J. Eng. Mech., 131, 6-15, [6] Z.P. Bazant, M. Verdure. Mechanics of Progressive Collapse: Learning from World Trade Center and Building Demolitions. ASCE J. Eng. Mech., 133, , 2007.