Filmy o numerycznym prognozowaniu pogody Pogodna matematyka : zakładka: Filmy

Transkrypt

1 Modelowanie komputerowe w ochronie środowiska Wykłady x 4 Ćwiczenia x 3 Strona: Literatura: Urszula Foryś, Matematyka w biologii, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 25. Piotr Holnicki-Szulc, Modele propagacji zanieczyszczeń atmosferycznych w zastosowaniu do kontroli i sterowania jakością środowiska, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa 26. Jerzy Małecki, Marek Nawalany, Stanisław Witczak, Tomasz Gruszczyński, Wyznaczanie parametrów migracji zanieczyszczeń w ośrodku porowatym dla potrzeb badań hydrogeologicznych i ochrony środowiska, Uniwersytet Warszawski Wydział Geologii, Warszawa 26. Maria Markiewicz, Podstawy modelowania rozprzestrzeniania się zanieczyszczeń w powietrzu atmosferycznym, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 24. Romuald Szymkiewicz, Modelowanie matematyczne przepływów w rzekach i kanałach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2. Janusz Uchmański, Klasyczna ekologia matematyczna, PWN, Warszawa 982. Filmy o numerycznym prognozowaniu pogody Pogodna matematyka : zakładka: Filmy O modelowaniu Etapy procesu modelowania Przykład modeli ekologicznych przykład metody numerycznej Model oznacza reprezentację badanego zjawiska w postaci innej niż ta, w jakiej występuje ono w rzeczywistości (W. Findeisen). Podstawowym celem modelowania jest tworzenie narzędzi pozwalających badać i prognozować przebieg zjawisk fizycznych w warunkach innych niż aktualnie istniejące lub w warunkach nie pozwalających na stwierdzenie faktów za pomocą bezpośredniego doświadczenia. modele fizyczne modele obliczeniowe Rozwój modelowania określanego jako modelowanie komputerowe nastąpił dzięki dostępności komputerów o mocach wystarczających do realizowania dużych obliczeń. Przykłady: Numeryczne prognozy pogody mapy.meteo.pl MSOŚ, 26, wykład /4 Anna Trykozko, ICM, Uniwersytet Warszawski

2 Zastosowania wykorzystujące prognozy pogody (energetyka, rozprzestrzenianie się zanieczyszczeń, modele falowania) modelowanie klimatu Zastosowania z zakresu inżynierii środowiska Obliczeniowa mechanika płynów (zastosowania: przemysł motoryzacyjny, lotnictwo, medycyna, inżynieria produkcji,...)... Nawet najdokładniejszy model jest tylko przybliżeniem rzeczywistości. Na to w jakim stopniu model oddaje rzeczywistość ma wpływ między innymi: poprawność przyjętych założeń, uwzględnienie wszystkich procesów istotnych dla badanego zjawiska; niepewność parametrów; niepewność warunków brzegowych; problemy związane ze skalą czasową lub przestrzenną; w tym różnorodność (rozpiętość) skali i brak możliwości ich równoczesnego uwzględnienia; nieadekwatna parametryzacja niejednorodności występujących w małych skalach. MSOŚ, 26, wykład /4 2 Anna Trykozko, ICM, Uniwersytet Warszawski

3 Im dokładniejszy model tym lepiej opisuje rzeczywistość. Natomiast tym większe problemy z dostarczeniem danych. Wynikowa dokładność modelu nie może być lepsza od dokładności danych wejściowych. Model jest uproszczoną wersją rzeczywistego systemu i w przybliżony sposób opisuje zachodzące procesy. (J. Bear, A. Verruijt, Modeling Groundwater Flow and Pollution, D.Reidel Publishing Company, Dordrecht 987.) Ponieważ model jest uproszczoną wizją prawdziwego systemu, nie istnieje jeden i jednoznaczny model opisujący zjawisko. Różne zestawy założeń przyjętych podczas tworzenia modelu prowadzą do różnych modeli, przybliżających badane zjawisko w inny sposób. A zatem nie istnieje model obiektywny. Podstawę modelu stanowi zbiór założeń, które wyrażają nasze zrozumienie systemu i jego zachowania. Przykład modelu ekologicznego Założenia: w danym środowisku występuje tylko jeden gatunek N zasoby środowiska są nieograniczone. osobniki nie umierają. populacja jest jednorodna. Model: wzrost (zmiana) populacji gatunku jest proporcjonalna do populacji w danej chwili. Wyraża to równanie Malthusa: dn( = r N(, dt gdzie: N ( - zagęszczenie osobników w chwili t; r > współczynnik rozrodczości gatunku. Uwaga: W modelu ciągłym nie rozpatruje się liczebności populacji, lecz jej zagęszczenie, czyli liczbę osobników przypadających na jednostkę powierzchni. Np można interpretować N ( jako masę danej populacji. Aby równanie miało jednoznaczne rozwiązanie niezbędne jest podanie warunku początkowego: N ( ) = N. Jest to równanie różniczkowe zwyczajne. Jego rozwiązaniem jest funkcja wykładnicza rt ( = N e N Jeśli wyznaczenie rozwiązania analitycznego nie byłoby możliwe (łatwe), równanie można rozwiązać w sposób przybliżony korzystając z metod numerycznych. MSOŚ, 26, wykład /4 3 Anna Trykozko, ICM, Uniwersytet Warszawski

4 25 Model wzrostu wykładniczego r=, r=,4 r=,6 czas Modelowanie komputerowe - etapy Model konceptualny Model matematyczny Model numeryczny Kalibracja (wyznaczenie/poprawianie wartości parametrów np. na podstawie danych eksperymentalnych) Walidacja Analiza wyników - wizualizacja Model konceptualny Stanowi szereg założeń, redukujących zagadnienie rzeczywiste i rzeczywisty obszar, do ich uproszczonych odpowiedników, które są akceptowalne w kontekście celu modelowania. Cele modelowania: edukacja, symulacja, wspomaganie zarządzania, (modele wykorzystywane w procesie wspomagania podejmowania decyzji zwykle zawierają stosunkowo dużo uproszczeń z uwagi między innymi na konieczność szybkiego generowania wyników. ) Założenia modelu konceptualnego dotyczą między innymi: wymiar przestrzenny modelu, geometria obszaru, zmienne stanu (CO się wyznacza, np. temperatura, ciśnienie, stężenie), sposób interakcji z otoczeniem warunki brzegowe, stan ustalony lub zmienność w czasie (zagadnienia ewolucyjne), warunki początkowe, rodzaj zjawiska, wzajemne zależności, np. wpływ substancji rozpuszczonej i/lub temperatury na gęstość i lepkość, Model matematyczny Większość modeli wyraża bilans pewnej wielkości, np. bilans masy wody, bilans masy (substancji), bilans ciepła. MSOŚ, 26, wykład /4 4 Anna Trykozko, ICM, Uniwersytet Warszawski

5 Modele deterministyczne: równanie lub układ równań, najczęściej równań różniczkowych cząstkowych lub zwyczajnych. Należy określić: równanie/ równania na wybór równań mają wpływ założenia uczynione na poziomie modelu konceptualnego, warunki brzegowe interakcje z otoczeniem, warunki początkowe stan systemu w chwili początkowej. Z matematycznego punktu widzenia zagadnienie musi być dobrze postawione: istnienie rozwiązania; jednoznaczność rozwiązania; stabilność (mała zmiana danych powoduje małą zmianę rozwiązania). Modele stochastyczne Model numeryczny rozwiązanie analityczne (dokładne) istnieje tylko dla ograniczonej klasy zagadnień rozwiązanie numeryczne Uzasadnieniem użycia określenia model numeryczny, zamiast metoda numeryczna uzyskania przybliżonego rozwiązania jest fakt, że również w tym kroku formułuje się szereg dodatkowych założeń. A zatem model numeryczny stanowi kolejną przybliżoną wersję rzeczywistego obiektu modelowania. dyskretyzacja - reprezentacja obszaru za pomocą komórek obliczeniowych (elementów) metoda numeryczna Dyskretyzacja Model numeryczny bazuje na dyskretyzacji obszaru, w którym zdefiniowane jest zagadnienie. W ogólnym przypadku rozwiązanie zagadnienia przybliżonego wyznacza się tylko w skończonej liczbie punktów (mówi się, że rozwiązanie jest określone w sposób dyskretny). h x i- x i x i+ MSOŚ, 26, wykład /4 5 Anna Trykozko, ICM, Uniwersytet Warszawski

6 acck. M.F. acck. B.C. i K.K. MSOŚ, 26, wykład /4 6 Anna Trykozko, ICM, Uniwersytet Warszawski

7 Rozwiązanie przybliżone konstruuje się na bazie dyskretyzacji obszaru stosując metodę numeryczną. Najczęściej stosowane metody rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych: metoda różnic skończonych, metoda elementu skończonego, metoda objętości skończonych. Każda z tych metod ma określone wymagania związane ze sposobem przeprowadzenia dyskretyzacji. Dyskretyzacja ma wpływ na jakość rozwiązania przybliżonego. W przypadku korzystania z gotowych kodów komputerowych, dyskretyzacja obszaru stanowi jedno z głównych zadań osoby korzystającej z modelu. W przypadku zadań o złożonej geometrii, nawet z pomocą specjalnego oprogramowania, może być to zadaniem bardzo pracochłonnym. W wyniku zastosowania jednej z wymienionych metod otrzymuje się układ równań algebraicznych, liniowych lub nieliniowych. Rozmiar układu równań jest bezpośrednio związany ze sposobem dyskretyzacji, w szczególności z liczbą komórek (elementów), na które został podzielony obszar obliczeniowy. Rozwiązanie układu równań stanowi rozwiązanie przybliżone oryginalnego zagadnienia różniczkowego. Uwaga: zwiększanie wymiaru obszaru, w którym rozważa się zjawisko, prowadzi do gwałtownego zwiększania rozmiaru układu równań. Implementacja metody obliczeniowej Symulacje Kalibracja (wyznaczenie wartości parametrów np. na podstawie danych eksperymentalnych) Walidacja MSOŚ, 26, wykład /4 7 Anna Trykozko, ICM, Uniwersytet Warszawski

8 Model matematyczny układ równań różniczkowych (zwyczajnych lub dyskretyzacja obszaru metoda różnic skończonych metoda elementu skończonego metoda objętości skończonych Model numeryczny układ równań algebraicznych (liniowych lub nieliniowych) metoda iteracyjna lub skończona Rozwiązanie analityczne (dla ograniczonej liczby przypadków) Symulacje: Rozwiązanie przybliżone porównać Obserwacje, eksperymenty porównać Odrębna klasa modeli to modele opisywane za pomocą automatów komórkowych Modele działają w oparciu o siatkę. Oczko siatki ma przypisane stany, które podlegają ewolucji według reguł definiujących dynamikę zjawiska. Zmiana stanu w oczku zależy od stanów w sąsiednich oczkach. mniej sformalizowane umożliwia wprowadzanie elementów losowych reguły można definiować w oparciu o prawdopodobieństwo. Przykład: model pożaru lasu: Inna reprezentacja schematu modelowania: ZASTOSOWANIE co robimy? ALGORYTM w jaki sposób? (równania, metody, dane) ARCHITEKTURA uszczegółowienie sposobu realizacji obliczeń (Schemat wg. strony MSOŚ, 26, wykład /4 8 Anna Trykozko, ICM, Uniwersytet Warszawski

9 Modelowanie komputerowe stanowi niezwykle mocne i przydatne narzędzie, ale trzeba mieć świadomość jego ograniczeń, oraz przyczyn powodujących te ograniczenia. Model wzrostu Założenia: w danym środowisku występuje tylko jeden gatunek N. zasoby środowiska są nieograniczone. osobniki nie umierają populacja jest jednorodna. Model: wzrost (zmiana) populacji gatunku jest proporcjonalna do populacji w danej chwili. zmniejszenie (zmiana) populacji gatunku jest proporcjonalna do populacji w danej chwili. Modyfikacja równania Malthusa: dn( = r N( s N(, dt gdzie: N ( zagęszczenie osobników w chwili t; r > współczynnik rozrodczości gatunku. s> współczynnik śmiertelności populacji dn( = ( r s) N( dt Rozwiązaniem tego równania jest funkcja wykładnicza: ( r s) t N ( = N e Zmiany liczebności populacji zależą od znaku współczynnika r s. 3 Proces urodzin i śmierci r-s> r=s r-s< czas Model logistyczny Założenia: w danym środowisku występuje tylko jeden gatunek N. zasoby środowiska są nieograniczone. zasoby środowiska są ograniczone (pojemność środowiska K), co powoduje wystąpienie konkurencji między osobnikami (np. zdobywanie pożywienia, terytorium, itp.). osobniki nie umierają populacja jest jednorodna. MSOŚ, 26, wykład /4 9 Anna Trykozko, ICM, Uniwersytet Warszawski

10 Model Idea jest taka: współczynnik wzrostu populacji (opisywany parametrem r) jest modyfikowany w zależności od populacji N( tak aby: był dodatni, gdy populacja N jest mniejsza od pojemności środowiska K. był ujemny, gdy populacja N (stan początkowy) przewyższa pojemność środowiska K. był bliski r (brak wpływu pojemności środowiska K), gdy N jest małe (w stosunku do K). był bliski gdy populacja N jest bliska pojemności środowiska K. Te założenia spełnia następujący składnik: N ( r ( ) K a równanie logistyczne (Verhulst, 838) wyraża się w postaci: dn( N( = r N( ( ), dt K gdzie: N ( - zagęszczenie osobników w chwili t; r > współczynnik rozrodczości gatunku; K> pojemność środowiska. Rozwiązanie równania logistycznego: K N( =. K rt + ( ) e N Przy t N ( K co oznacza, że liczebność populacji stabilizuje się na poziomie odpowiadającym pojemności środowiska. Model logistyczny, K= N= N=5 N=3 N=5 Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych Numeryczne rozwiązanie równania różniczkowego zwyczajnego: dy( () = f ( t, y( ) dt z warunkiem początkowym y ( t ) = y polega na wyznaczeniu dyskretnych wartości y n = y( t n ), n=,2,... stanowiących przybliżone rozwiązanie () w punktach (nazywanych węzłami) t n, n=,2,... Zakładamy, że węzły są równoodległe, a sąsiadujące punkty t n i t n znajdują się w odległości h; h jest nazywane krokiem całkowania. MSOŚ, 26, wykład /4 Anna Trykozko, ICM, Uniwersytet Warszawski

11 Pochodną po czasie zastępuje się ilorazem różnicowym wyznaczonym w oparciu o węzły t n, n=,2,...: dy( yn yn yn yn =, n=,2,... dt t t h t= tn n n Metoda Eulera Najprostszą (ale najmniej dokładną) metodą jest metoda Eulera. Wzór otrzymuje się zastępując w równaniu () pochodną po czasie ilorazem różnicowym. yn yn = f ( tn, yn ), stąd: h y = + n yn h f ( tn, yn ) W szczególności: y = y + h f ( t, y ), y 2 = y + h f ( t, y), itd. Rozwiązanie przybliżone w kolejnym punkcie wyznacza się na podstawie rozwiązania wyznaczonego w punkcie poprzedzającym, wyznaczając rozwiązanie w punkcie t korzysta się z warunku początkowego y ( t ) = y. Metoda Eulera jest mało dokładna i wymaga stosowania małego kroku całkowania. Błędy z kolejnych kroków akumulują się. y 2 y y h t t t 2 t 3 Metody Runge-Kutty Lepszą jakość rozwiązania przybliżonego uzyskuje się poprzez zastosowanie następującego schematu: k h f t n, y ) = ( n k k2 = h f ( tn +,5h, yn + ) 2 yn = yn + k 2 Jest to metoda Runge-Kutty drugiego rzędu. Porównajmy przybliżone rozwiązania otrzymane za pomocą metody Eulera i metody Runge- Kutty. Na rysunku widać również zależność rozwiązania przybliżonego od długości kroku całkowania h. MSOŚ, 26, wykład /4 Anna Trykozko, ICM, Uniwersytet Warszawski

12 model wzrostu wykładniczego 4 2 N-Euler 8 N-R.-K. 6 dokładne 4 2 czas model wzrostu wykładniczego 4 2 N-Euler 8 dokładne 6 N-R.-K. 4 2 czas krok czasowy h=.5 (26 kroków) krok czasowy h=. (3 kroków) Najpopularniejszą i często stosowaną metodą jest metoda Runge-Kutty czwartego rzędu. k h f t n, y ) k k k = ( n y h f ( t +,5h, y k ) 2 h f ( t +,5h, y k2 ) 2 h f ( tn + h, yn + 3) k k2 k3 k4 yn = n n + 3 = n n + 4 = k n = + Podane metody można stosować również do układów równań różniczkowych zwyczajnych. Dwuwymiarowe modele ekologiczne model Lotki-Volterry Model dotyczy zmian liczebności populacji dwóch gatunków: ofiar (ang. prey) oraz drapieżników (ang. predator) żywiących się osobnikami pierwszego gatunku. Założenia: W środowisku występują dwa gatunki: ofiary H i drapieżnicy P. populacje H i P są jednorodne. zasoby środowiska są nieograniczone. Model: zmiana (zwiększenie) populacji ofiar H jest proporcjonalna do populacji H. zmiana (zmniejszenie) populacji ofiar H jest wprost proporcjonalna do populacji drapieżników P. zmiana (zwiększenie) populacji drapieżników P jest wprost proporcjonalna do populacji ofiar H. zmiana (zmniejszenie) populacji drapieżników P w wyniku śmiertelności jest wprost proporcjonalna do ich populacji P. Niech: H( zagęszczenie ofiar w chwili t, P( zagęszczenie drapieżników w chwili t. Ewolucja populacji dwóch gatunków jest opisana układem równań różniczkowych zwyczajnych: MSOŚ, 26, wykład /4 2 Anna Trykozko, ICM, Uniwersytet Warszawski

13 dh( = r H( a H( P( dt dp( = b H( P( m P( dt gdzie: r współczynnik rozrodczości gatunku ofiar a współczynnik skuteczności polowań b współczynnik rozrodczości drapieżników (na jednostkę upolowanej ofiary) m współczynnik śmiertelności drapieżników Rozwiązania H( i P( są funkcjami okresowymi przesuniętymi w fazie. 4 Portret fazowy układu drapieżca-ofiara Wyniki uzyskano dla następujących wartości parametrów: r=, a=,, b=,, m=,5 H =5, P =2 H P zagęszczenie drapieżców zagęszczenie ofiar H Portret fazowy prezentuje wzajemną zależność populacji dwóch gatunków. MSOŚ, 26, wykład /4 3 Anna Trykozko, ICM, Uniwersytet Warszawski